Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 35

« Lune Rouge » est l’expression utilisée pour décrire une éclipse lunaire totale. Quand la Terre projette son ombre

sur une Pleine Lune et l’éclipse, la Lune se couvre d’une lueur rouge. Une éclipse lunaire totale se produit tous les 6

mois. Il y a au moins six pleines lunes entre deux éclipses lunaires totales dans une tétrade.

Y a t-il un concept mathématique pour connaître l'instant du phénomène de la Lune Rouge?

Objectifs: 1- Reconnaître un nombre premier.

2- Appliquer la méthode “ Crible d'Eratosthène ”.

3- Mémoriser les premiers nombres premiers.

4- Opérer des divisions successives pour connaître un nombre premier.

5- Écrire un nombre naturel sous la forme d’un produit de facteurs premiers.

6- Calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres naturels.

7- Relier le PGCD et le PPCM aux problèmes de notre vie quotidienne.

36 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

On considère le tableau suivant:

1. Entourer le

nombre 2

et barrer

tous ses

multiples.

2. Entourer le

premier nombre

qui n’est pas

encore barré et

barrer tous ses

multiples.

3. Répéter cette opération. (Pour cette liste, on arrête à 7).

4. Entourer le reste non barré des nombres.

5. Comment peut-on caractériser les nombres entourés?

…………………………………………………………………………

Définition:

Un nombre premier est un nombre entier naturel qui possède exactement

deux diviseurs.(1 et lui-même)

Remarque

Tout nombre non nul étant diviseur de 0, 0 n’est donc pas premier.

1 possède un diviseur unique, 1 lui-même, 1 n’est donc pas premier.

Donc un nombre premier est supérieur à 1.

Exemples :

2 ; 7 ; 23 sont premiers. 4 ; 9 ; 100 sont non premiers.

1. Citer les diviseurs de 12.

…………………………………………………………………………..

2. Même question pour les nombres: 13; 16; 17; 11 et 20.

……………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

3. Classer les nombres 12; 13; 16; 17; 11 et 20 en deux groupes, les

nombres ayant 2 diviseurs et les nombres ayant plus de deux diviseurs.

…………………………………………………………………………...

Activité 2:

Nombres Premiers

Nombres Premiers et Nombres Composés 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Eratosthène était un mathématicien grec, géographe, poète, astronome et théoricien de la musique. Il est surtout connu pour être la première personne à avoir calculé la circonférence de la Terre, son calcul était remarquablement précis pour les moyens rudimentaires de l’époque. Il a également été le premier à calculer l'inclinaison de l'axe de la Terre (encore une fois avec une précision remarquable). En outre, il peut avoir calculé avec précision la distance de la Terre au Soleil et avoir inventer le jour bissextile. Il a créé la première carte du monde incorporant des parallèles et méridiens, sur la base des connaissances géographiques disponibles de l'époque. Eratosthène a proposé un algorithme simple pour trouver les nombres premiers. Cet algorithme est connu en mathématiques par le crible d'Eratosthène.

simple pour trouver les nombres

premiers. Cet algorithme est connu

en mathématiques par le crible

d'Eratosthène.

276 AV-JC – 194 AV-JC

Activité 1:

Le “Crible d'Eratosthène” nous permet de déterminer les nombres premiers inférieurs à 100, qui sont: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89 et 97.

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 37

∎Un nombre entier naturel est divisible par 2 (est pair), si et seulement si,

son chiffre des unités est pair.

∎ Un nombre entier naturel est divisible par 3, si et seulement si, la

somme de ses chiffres est divisible par 3.

∎Un nombre entier naturel est divisible par 5, si et seulement si, son

chiffre des unités est soit 0, soit 5.

Exemples :

145 n’est pas divisible par 2, son chiffre des unités, 5, n’est pas pair.

145 n’est pas divisible par 3, la somme de ses chiffres, 10, n’est pas

divisible par 3.

145 est divisible par 5, son chiffre des unités étant 5.

Soit les nombres 113 et 133

1. 113 est- il divisible par 2? Justifier.

…………………………………………………………………………

2. 113 est-il divisible par 3, par 5 ? Justifier.

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

3. Vérifier la divisibilité de 113 par tous les nombres premiers dont les

carrés sont inférieurs à 113.

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

4. En déduire si 113 est premier ou non premier.

…………………………………………………………………………

5. Reprendre les mêmes étapes pour le nombre 133.

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

Reconnaître un Nombre Premier

2 Règles de divisibilité:

Application 1:

Vérifiez la divisibilité par 2; par 3 et par 5 de chacun des nombres

suivants: 25; 87; 114; 125; 564 et 103.

Application 2:

Vérifier si chacun des nombres suivants est un nombre premier ou un

nombre non premier:

1. 28.

2. 43.

3. 117.

4. 217.

5. 209.

6. 137

Jouons avec les

Nombres Premiers

Demandez à un de vos amis de

choisir un nombre premier

supérieur à trois.

De l’élevez au carré.

De lui ajouter quatorze.

De le diviser par douze.

Sans savoir quel nombre premier

votre ami a choisi, vous pouvez

toujours lui affirmer qu’il y aura

un reste égal à 3.

Essayons:

Prendre le nombre premier 7.

En l’élevant au carré nous

obtenons 49.

En ajoutant 14, nous obtenons 63.

63 = 12×5 + 3, donc le reste de la

division du nombre 63 par 12, est

égal 3.

Quel que soit le nombre premier

choisi, le résultat est le même.

Activité 3:

38 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

Reconnaître un Nombre Premier

2 Algorithme d'Euclide:

Application 3:

Utiliser l’Algorithme d'Euclide pour savoir si chacun des nombres

suivants est premier ou non:

1. 𝑎 = 143

2. 𝑏 = 127.

3. 𝑐 = 247.

Le plus grand nombre premier connu jusqu’à nos jours fut trouvé en janvier 2013. : Le nombre premier de Mersenne. Egal à 257885161-1, il possède 17425170 chiffres. Historiquement, rappelons quelques très grands nombres premiers découverts par des mathématiciens célèbres.

En 1588, Pietro Cataldi avait prouvé que 217-1 = 131071 et 219-1 = 524287 sont tous les deux premiers. En 1772, le génial Euler, démontra

que 231-1 = 2147483647 est un

nombre premier. Il le vérifia par

une division test.

En 1876, Lucas prouva que 2127-1 = 170141183460469231731687303715884105727 est un nombre premier. En 1951 Ferrier a trouvé le nombre premier (2148 + 1) / 17 = 20988936657440586486151264256610222593863921. Quand aurons-nous un nombre premier à milliards chiffres?! Ceci est prévisible en 2024………

L’histoire brève de très grands nombres

Pour vérifier si un nombre naturel est premier ou non on peut appliquer la

méthode des divisions successives, elle se présente comme suit:

Soit 𝒏 un nombre entier naturel.

Diviser 𝒏 par les nombres premiers dont les carrés sont inférieurs à n

(successivement et en ordre croissant).

Continuer jusqu’à obtenir, soit une division sans reste, soit un quotient

inférieur ou égal au diviseur.

Dans le premier cas n est non premier, dans le second n est premier.

Cette méthode est la méthode de « l’Algorithme d'Euclide ».

Exemples:

1. Considérons le nombre 437.

437 n’est pas divisible par chacun

des nombres 2; 3; 5 et 7.

En appliquant l’Algorithme

D’Euclide on trouve que 23

et 19 sont diviseurs de 437, donc

437 est un nombre composé.

2. Considérons le nombre 241.

241 n’est pas divisible par chacun des

nombres 2; 3; 5 et 7.

En appliquant l’ l’Algorithme

d'Euclide

on trouve que dans la dernière

étape,

le quotient “14” est

inférieur au diviseur “17”,

ou 172 = 289, et 289 > 241, par

suite, 241 est un nombre premier.

Diviseur Quotient Reste

11 39 8

13 33 8

17 25 12

19 23 0

Diviseur Quotient Reste

11 21 10

13 18 7

17 14 3

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 39

Définition:

Théorème fondamental de l'arithmétique:

Chaque nombre est premier ou peut être écrit sous la forme de produit des

facteurs premiers.

Exemples:

𝟐𝟕𝟎𝟎 = 𝟐 × 𝟏𝟑𝟓𝟎 = 𝟐 × 𝟐 × 𝟔𝟕𝟓 = 𝟐 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟐𝟐𝟓

= 𝟐 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟕𝟓 = 𝟐 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟐𝟓

= 𝟐 × 𝟐 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟓 × 𝟓 = 𝟐𝟐 × 𝟑𝟑 × 𝟓𝟐.

𝟑𝟔𝟎𝟎 = 𝟏𝟔 × 𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟔 × 𝟐𝟓 × 𝟗 = 𝟐𝟒 × 𝟓𝟐 × 𝟑𝟐.

1. Écrire le nombre 6 sous forme d’un produit de deux nombres premiers.

…………………………………………………………………………

2. Écrire le nombre 30 sous forme d’un produit de trois nombres premiers.

………………………………………………………………………….

3. Écrire chacun des nombres: 18; 45; 60; 90; 125; 130 et 150 sous la

forme d’un produit de puissances de nombres premiers.

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………

4. Un nombre non premier peut-il être écrit sous la forme d’un produit de

nombres premiers?

………………………………………………………………………….

Décomposition en Facteurs Premiers:

Décomposition en Facteurs Premiers 3

Application 4:

Décomposer chacun des nombres suivants en produit de facteurs

premiers:

1. 85.

2. 66.

3. 98.

4. 105.

5. 150.

6. 300.

Arbre des Facteurs

Écrire 504 en facteurs

premiers, en utilisant l’arbre

des facteurs.

Les facteurs premiers sont

entourés. En utilisant les

puissances, la factorisation

première du nombre 504 est:

504 = 23 x 32 x 7.

OU Division Successive

Par suite:

504 = 23 x 32 x 7

504 2

÷

252 2

126 2

63 7

9 3

3 3 1

Fact

eur

s Pr

emiers

504

252

126

63

21

2

7

2

2

3

3

Activité 4:

40 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

On a 24 fleurs et 18 roses.

1. Nous voulons mettre les tulipes et les roses dans deux vases tels que

les deux vases contiennent le même nombre de tulipes et de roses.

Combien de tulipes et de roses doit-on mettre dans chaque vase?

……………………………………………………………………...…

………………………………………………………………………...

2. Répondre à la même question avec trois vases puis quatre vases.

………………………………………………………………………...

3. Peut-on répartir également les tulipes et les roses dans cinq vases?

Justifier la réponse.

………………………………………………………………………...

4. Reprendre la question de la partie (1) pour six vases et sept vases.

………………………………………………………………………...

5. Que représente le nombre 6 pour les deux nombres 24 et 18?

…………………………………………………………………………

Activité 5:

Plus Grand Commun Diviseur

4

Soient a et b deux nombres entiers naturels.

Leur plus grand commun diviseur est noté : PGCD (a ; b).

PGCD (a ; b) est égal au produit de leurs facteurs communs.

Pour deux puissances xn et x

m (n ≤ m), x

n est le plus grand commun

diviseur.

Exemples:

1) On a 𝟑𝟎 = 𝟐 × 𝟓 × 𝟑 et 𝟕𝟎 = 𝟐 × 𝟓 × 𝟕, alors, on aura,

PGCD(30; 70) = 𝟐 × 𝟓 = 𝟏𝟎.

2) On a 𝟑𝟔𝟎 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟓 et 𝟒𝟖𝟎 = 𝟐𝟓 × 𝟑 × 𝟓, alors, on aura,

PGCD(360; 480) = 𝟐𝟑 × 𝟑 × 𝟓 = 𝟏𝟐𝟎.

25 = 2

3 × 2

2, donc 2

3 est un facteur commun à 360 et 480.

32 = 3 × 3, donc 3 est un facteur commun à 360 et 480.

Application 5:

Trouver le plus grand commun diviseur de chacun des nombres suivants:

1. 24 et 36.

2. 280 et 350.

3. 1210 et 1100.

Nombre Parfait

Soit n un nombre entier naturel.

n est parfait, si et seulement si, n

est égal à la somme de ses

diviseurs propres (les diviseurs de

n, différents de n)

1; 2 et 3 sont les diviseurs

propres de 6 et 6 = 1 + 2 + 3,

donc, 6 est un nombre parfait.

1; 2; 4; 7 et 14 sont les propres

diviseurs de 28 et

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, donc, 28

est un nombre parfait.

On ne sait pas encore, s'il y a des

nombres parfaits impairs …!

En 2014, uniquement 48 nombres

parfaits étaient connus.

Les huit premiers nombres parfaits

sont:

6; 28; 496; 8128; 33550336;

8589869056; 137438691328 et

2305843008139952128.

Le plus grand nombre parfait

connu est formé de 34850340

chiffres, il fut découvert en 2013.

Il n’y a pas un nombre premier

parfait impair inférieur à 101500;

cette information fut signalée le 8

Novembre 2014.

Plus Grand Commun Diviseur

Divisor:

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 41

Plus Petit Commun Multiple

5

Sami et Rami se sont rencontrés le 2 Août dans un centre commercial.

Sami visite le centre commercial tous les 8 jours et Rami tous les 12 jours.

1. Trouver le nombre de jours “n” pour que Rami et Sami se rencontrent de

nouveau pour la première fois.

……………………………………………………………………...……

……………………………………………………………………...……

2. Reprendre la même question pour trouver le nombre de jours “p” et “q”

pour que les deux amis se rencontrent de nouveau pour la deuxième et la

troisième fois respectivement.

………………………………………………………………………......

3. Que représente le nombre “n” pour 8 et 12?

……………………………………………………………………….......

……………………………………………………………………….......

4. Que représentent les nombres “p” et “q” pour le nombre “n”?

……………………………………………………………………….......

Soient a et b deux nombres entiers naturels.

Le plus petit commun multiple de a et b est noté : PPCM (a ; b).

PPCM (a ; b) est égal au produit de tous leurs facteurs pris chacun une

fois unique. Pour des puissances xn et x

m, (n ≤ 𝒎) leur plus petit commun

multiple est xm .

Exemples :

1) 30 = 2 × 3 × 5, et 70 = 2 × 𝟓 × 7,

donc PPCM(30 ; 70) = 2×3×5×7 = 210.

2) 360 = 23 × 3

2 × 5, et 23520 = 2

5 × 3 × 5 ×7

2,

donc PPCM(360 ; 23520) = 25 × 3

2 × 5 × 7

2 = 70560.

25 = 2

3 × 2

2, donc 2

5 est un facteur du PPCM (360 ; 23520).

De même 32 et 5.

3) 230 = 2 × 5 × 23 et 9 = 32,

donc PPCM(230 ; 9) = 2 × 5 × 23 × 32 = 230 × 9 = 2070.

D’où 230 et 9 sont premiers entre eux.

On remarquera que PGCD (230 ; 9) = 1.

PREMIERS ENTRE EUX

Deux nombres sont premiers

entre eux si leur PGCD est

égal à 1. Dans ce cas, leur

PPCM est égal à leur produit.

Application 6:

Trouver le plus petit commun multiple de chacun des nombres suivants:

1. 24 et 36.

2. 280 et 350.

3. 1210 et 1100.

Plus de règles de

divisibilité

Un nombre entier naturel est

divisible par 4, si et seulement

si, nombre formé des chiffres

de ses unités et de ses

dizaines est divisible par 4.

Exemple: 12 étant divisible

par 4 ; 512 est divisible par 4.

Un nombre est divisible par 9,

si et seulement si, la somme

de ses chiffres est un multiple

de 9.

Exemple : 7 + 9 + 2 = 18, et 18

est un multiple de 9, donc 792

est un multipl2 de 9.

Un nombre est divisible par

10, si et seulement si son

chiffre des unités est zéro.

Exemples : 140, 200 et 450

sont divisibles par 10.

Plus Petit Commun Multiple:

Activité 6:

PGCD(a; b) x PPCM(a; b) = a x b

Remarque

42 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

Exercices

Exercice 1

Citer tous les nombres premiers inférieurs à 70.

Exercice 2

Parmi les nombres suivants, indiquer lequel est

divisible par 2, 3, 5 et 7: (un nombre peut être

divisible par plus d’un nombre)

4; 6; 9; 15; 21; 100; 49; 1250; 1175; et 2750.

Exercice 3

Vérifier parmi les nombres suivants, lesquels sont

premiers et lesquels sont non premiers:

7; 12; 47; 23; 15; 9; 21; 37; 81; 87; 1200 et 117.

Exercice 4

Vérifier parmi les nombres suivants, lesquels sont

premiers et lesquels sont non premiers:

99; 101; 147; 141; 205; 207; 39; 103; 96 ; 1071 et

17 × 11.

Exercice 5

Parmi les nombres suivants, trouver les nombres

premiers:

121; 101; 91; 109 181; 881; 10101; 881; 729; 1111;

227; 6110 et 181 𝑛 .

Exercice 6

Décomposer en facteurs premiers chacun des

nombres suivants:

18; 45; 96; 49; 63 121; 212; 147; 2015 et 1250.

Exercice 7

Décomposer chacun des nombres suivants en facteurs

premiers:

1. 1680.

2. 2500×4900×2800.

3. (4800)5.

Exercice 8

Décomposer chacun des nombres suivants en facteurs

premiers:

15; 242; 100; 122; 1000; 1025; 460 et 1650.

Exercice 9

Décomposer en facteurs premiers chacun des

nombres suivants:

242 × 363 × 152; 122 × 304 × 36 × 2253 et

125 × 625 × 2562.

Exercice 10

Écrire 635 et 54

4 sous forme d’un produit de facteurs

premiers.

Exercice 11

Déterminer les valeurs de x, y et z pour que le

nombre naturel 720 puisse s’écrire:

720 = 2𝑥 × 3𝑦 × 5𝑧.

Exercice 12

Déterminer les entiers a, b et c pour que le nombre

4851 puisse s’écrire :

4851 = 3𝑎 × 7𝑏 × 11𝑐 .

Exercice 13

1. Écrire 14 sous forme d’un produit de deux nombres

premiers a et b à déterminer.

2. Que représente chacun de 𝑎 et 𝑏 pour le nombre 14?

3. Que représente 14 pour chacun de 𝑎 et 𝑏?

Exercice 14

Trouver le P.G.C.D. et le P.P.C.M. de 63 et 54.

(utiliser la factorisation première).

Exercice 15

1. Écrire tous les diviseurs de 48 et 90.

2. En déduire le PGCD de 48 et 90.

3. En déduire PPCM(48; 90).

Exercice 16

Trouver le PGCD et le PPCM de 𝒑 et 𝒒 dans chacun

des cas suivants:

1. 𝑝 = 24 × 3 × 53 et 𝑞 = 22 × 32 × 5.

2. 𝑝 = 7 × 11 × 23 et 𝑞 = 72 × 11 × 22.

3. 𝑝 = 52 × 73 × 2 et 𝑞 = 53 × 7 × 24.

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 43

s

Exercice 17

Trouver le PGCD et le PPCM de 𝒂 et 𝒃 dans chacun

des cas suivants: (utiliser la décomposition en facteurs

premiers)

1. 𝑎 = 18 et 𝑏 = 24.

2. 𝑎 = 24 et 𝑏 = 36.

3. 𝑎 = 210 et 𝑏 = 90.

4. 𝑎 = 60 et 𝑏 = 165.

5. 𝑎 = 175 et 𝑏 = 450.

6. 𝑎 = 10625 et 𝑏 = 425.

Exercice 18

Trouver le PGCD et le PPCM des deux nombres

donnés dans chacun des cas suivants:

1. 360 et 72.

2. 810 et 63.

3. 4900 et 280.

Exercice 19

Corriger les propositions fausses dans les expressions

suivantes:

1. Chaque nombre impair est un nombre premier.

2. Chaque nombre premier est impair.

3. La somme de n’importe quels deux entiers impairs

est un nombre premier.

4. Un nombre premier possède trois diviseurs.

5. Les facteurs premiers de 12 sont 3 et 4.

6. Si on ajoute un à n’importe quel nombre premier,

on obtient un nombre non premier.

7. Si 𝑎 = 23×3×5×7, et 𝑏 = 2

3×3

2×5, alors

PPCM (𝑎; 𝑏) = 23×3×5.

8. 7 𝑛 est un nombre premier pour toute valeur de 𝑛.

9. Si 𝑥 = 72 et 𝑦 = 360 alors

P.G.C.D (𝑥; 𝑦) = 23 × 32 × 5.

10. Le P.P.C.M de 12 3 et 270 est 25 × 33 × 5.

11. Si 𝑥 = 25 × 32 × 7, PGCD(𝑥;𝑦) = 23 × 3 × 7 et

PPCM(𝑥; 𝑦) = 25 × 32 × 7 × 52, alors,

𝑦 = 23 × 3 × 7.

Exercice 20

Considérons le nombre 𝒂 = 𝟏 𝟎𝟒𝟎 𝟒𝟎𝟎.

1. Décomposer 𝑎 en produit de facteurs premiers.

2. En déduire que 𝑎 est un carré d’un nombre à

déterminer.

Exercice 21

Trouver le PPCM des dénominateurs des fractions

dans les expressions suivantes puis calculer.

1. 5

6+

1

8

2. 3

4−

7

6

3. 1

9−

1

12

4. 3

10−

1

20

Exercice 22

Soit a= 100, PPCM(a; b) = 2500 et PGCD(a; b) = 50,

trouver b.

Exercice 23

Soit a = 54 = 2 × 33, PPCM(a; b) = 2

4 × 3

3 × 5

3 et

PGCD(a; b) = 2 × 32, trouver b.

Exercice 24

Considérer les nombres 𝒂 = 𝟑𝟔𝟎 et 𝒃 = 𝟏𝟐𝟎

1. Décomposer 𝑎 et 𝑏 en produits de facteurs

premiers.

2. Montrer que 𝑎 est un multiple de 𝑏.

3. En déduire le 𝑃𝑃𝐶𝑀(𝑎; 𝑏) et le P𝐺𝐶𝐷(𝑎;𝑏).

Exercice 25

Trouver le PGCD et le PPCM de 𝐚 et 𝐛 dans chacun

des cas suivants:

1. a = 35 et b = 56. 2. a = 130 et b = 455. 3. a = 210 et b = 260. 4. a = 120 et b = 216. 5. a = 1500 et b = 432. 6. a = 150 et b = 160.

Exercice 26

Trouver le PGCD et le PPCM de 𝐚 et 𝐛 dans chacun

des cas suivants:

1. a = 80 et b = 63.

2. a = 540 et b = 960.

3. a = 168 et b = 504.

4. a = 70 et b = 120.

5. a = 480 et b = 1800.

6. a = 252 et b = 308.

4. 128 et 320.

5. 297 et 330.

5. 3

20−

7

15+

11

30

6. 5

2−

7

5+

11

7

7. 1

12+

7

6+

5

2

8. 1

4−

2

3+

5

6

44 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

Problème 1

Dans le tableau ci-dessous seulement une, parmi les réponses proposées à chaque question, est correcte. Écrire le

numéro de chaque question et donner, en justifiant, la réponse correcte correspondante.

Problème 2

On donne les nombres suivants: 𝐚 = 𝟕𝟐𝟎𝟎 ; 𝐛 = 𝟐𝟔𝟎 et 𝐜 = 𝟗𝟑𝟔

Décomposer a, b et c en produits de facteurs premiers.

Problème 3

On donne 𝒂 = 𝟒𝟖, 𝒃 = 𝟔𝟒 et 𝒄 = 𝟕𝟐.

1. Écrire 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sous la forme d’un produit de facteurs premiers.

2. Trouver PGCD(𝑎; 𝑏) et PGCD 𝑎;𝑏; 𝑐 .

Problème 4

1. Expliquer si chacun des nombres suivants est premier ou non premier.

8451, 137, et 6132

.

2. Décomposer en produit de facteurs premiers:

a. 45008.

b. 2500×2800×6300.

Problème 5

On donne les trois entiers: a = 420 ; b = 900 et c = 210

1. Décomposer chacun des trois entiers en produit de facteurs premiers.

2. Trouver : P.G.C.D(a ;b) , P.G.C.D(b ;c) , P.G.C.D(a ;b ;c)

P.P.C.M(a ;b) , P.P.C.M(b ;c) , P.P.C.M(a ;b ;c).

3. Vérifier que: a × b = P.G.C.D(a ;b) × P.P.C.M(a ;b) .

Problème 6

On donne : 𝐚 = 𝟑𝟐 × 𝟓𝟑 × 𝟕 et 𝐛 = 𝟑 × 𝟓𝟐 × 𝟏𝟏.

Décomposer les entiers suivants en produits de facteurs premiers:

1) a × b

2) 11a × 7b.

Problèmes

Questions Réponses

A B C

1o

PGCD(31; 61) = 1 0 3

2o Si 𝒂 = 𝟐𝟑 × 𝟏𝟏 × 𝟑𝟐 et 𝒃 = 𝟐𝟓 × 𝟕 × 𝟑𝟐

alors PPCM 𝒂;𝒃 = 25 × 32 25 × 3 25 × 7 × 11 × 32

3o Si PGCD(16; 18) = 2;

alors GCD(1600; 1800) = 100 200 20

4o Si 𝒂 = 𝟐𝟑 × 𝟑 × 𝟓, alors un des diviseurs

de 𝒂 est: 50 24 45

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 45

Problème 7

On donne que 𝐀 = 𝟒𝟓𝟑 × 𝟐𝟎𝟓 × 𝟏𝟐𝟒 𝐞𝐭 𝐁 = 𝟒𝟖𝟐.

1. Décomposer A et B en produits de facteurs premiers.

2. Simplifier: 𝐴 × 𝐵 et 𝐴

𝐵.

Problème 8

Soit 𝑿 = 𝟒𝟐𝟎 𝐞𝐭 𝒀 = 𝟏𝟎𝟓𝟎.

1. Décomposer 𝑋 et 𝑌 en produits de facteurs premiers.

2. En déduire la décomposition de 𝑋 × 𝑌 et 𝑋2 en produits de facteurs premiers.

Problème 9

Soit 𝒂 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟓, PGCD 𝒂;𝒃 = 𝟐 × 𝟑𝟐 × 𝟓 et PPCM 𝒂;𝒃 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟒 × 𝟓 × 𝟕.

Trouver la valeur de 𝑏.

Problème 10

On considère les expressions suivantes: a =𝟒𝟗

𝟐×(𝟑×𝟓

𝟐)𝟑

×𝟓𝟒

𝟕𝟑

×𝟏𝟐𝟓×(𝟑𝟐

)𝟑 ; b = 20

3 35

2 et c = 6300

1. Montrer que 𝑎 = 2 × 53 × 7

2. Décomposer 𝑏 et 𝑐 en produits de facteurs premiers.

3. Trouver P.G.C.D (𝑎, 𝑏) et L.C.M (𝑏, 𝑐) sous la forme de produits de facteurs premiers.

4. Déduire la forme simplifiée de:

a. 𝑋 =b

a×c.

b. 𝑌 =6300

202×14.

5. Montrer que 𝑋 × 𝑌 = 1.

Problème 11

On donne : 𝒂 =𝟒𝟐𝟎×(𝟑

𝟐×𝟓)

𝟑

𝟐𝟕𝟐

×𝟓𝟎 ; 𝒃 = 720 ×180 et 𝒄 = 𝟐𝟐𝟐 ; t : un entier à déterminer

1. Montrer que la forme simplifiée de 𝑎 est 2 × 3 × 7 × 52.

2. Décomposer 𝑏 et 𝑐 en produits de facteurs premiers.

3. Déduire la forme simplifiée de :𝑏×𝑐

𝑎2×121

4. Trouver, sous la forme de produits de facteurs premiers, P.G.C.D (𝑎; 𝑏) et P.P.C.M (𝑎; 𝑐)

5. Sachant que P.G.C.D (𝑎; 𝑡) = 2 × 7 × 3 et P.P.C.M (𝑎; 𝑡) = 22 × 7 × 3 × 52, trouver t comme un produit de

facteurs premiers.

Problème 12

On considère les nombres: 𝒙 = 𝟕𝟓𝟎 × 𝟐𝟒 × 𝟏𝟓𝟎, 𝒚 = 𝟒𝟎𝟓 × 𝟏𝟖𝟎𝟒 𝐞𝐭 𝒛 = 𝟐𝟕𝟎𝟑 𝟐.

1. Décomposer 𝑥, 𝑦, et 𝑧 en produits de facteurs premiers.

2. En déduire la forme simplifiée de:

a. 𝑥 × 𝑦 × 𝑧.

b. 𝑥3×𝑦4

𝑧2.

46 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

Problème 13

Les voitures dans un parking sont rangées en lignes de 12 voitures, lignes de 16

voitures et en lignes de 20 voitures, il reste 6 voitures hors lignes à chaque fois.

Trouver le nombre de voitures s’il est inférieur à 1000. (Donner tous les valeurs possibles)

Problème 14

On collecte des timbres dans un album 3 par 3 ; 5 par 5 ; ou 7 par 7. Il reste 2 timbres à chaque fois.

Trouver le nombres possible de timbres s’il est inférieur à 400.

Problème 15

Un fleuriste a 120 tulipes et 168 roses. Il veut préparer des bouquets identiques qui ont le même nombre de

tulipes et roses.

1. Trouver le nombre maximal de bouquets qu’il peut préparer.

2. Trouver le nombre de tulipes et de roses dans chaque bouquet.

3. Si chaque tulipe coûte 3 $ et chaque rose coûte 2$, calculer le prix d’un bouquet.

Problème 16

Pour ranger les livres dans une librairie, Tarek a essayé de les placer

12 par 12, 15 par 15 et 20 par 20 dans chaque étagère. Il reste 6 livres à chaque fois.

1. Trouver le nombre des livres dans la librairie de Tarek, s’il

est inférieur à 200. (Donner tous les valeurs possibles)

2. Trouver le nombre de livres que Tarek doit placer dans chaque étagère

pour qu’aucun livre ne reste non placé.

Problème 17

L nombre des pas dans un escalier est le nombre premier inclus entre 30 et 80.

Si les pas sont comptées deux à deux, il en reste une. Si les pas sont comptées trois

à trois, il en reste une. S’ils sont comptées cinq à cinq, encore il en reste une.

Trouver le nombre(s) des pas dans cet escalier.

Problème 18

Le nombre d’élèves dans une école est inférieur à 500. Si on les range, par colonne

de 24, il reste 23 élèves, par colonne de 30, il reste 29 élèves, et par colonne de 40, il

reste 39 élèves.

Trouver le nombre possible de ces élèves.

Problème 19

Sami et Toni travaillent ensemble la nuit dans une association comme

agents de sécurité.

Toutes les six nuits, Sami a une nuit de congé, et Toni toutes les dix nuits.

Sachant que Sami et Toni étaient en congé tous les deux le 1 Avril ;

Trouver la date suivante où ils seront en congé ensemble.

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 47

Problème 20

Zahi a vendu quelques livres à 24$ chacun et il a assez d’argent pour acheter des billets pour un festival à 50$ l’un.

Il n’a plus d’argent après avoir acheté les billets.

1. Trouver la plus petite quantité d’argent qu’il a pu gagner de la vente des livres.

2. Trouver le plus petit nombre de livres qu’il a vendu.

Problème 21

On suppose que 𝒂 = 𝟓𝟒𝟎,𝑷𝑷𝑪𝑴 𝒂;𝒃 = 𝟐𝟐 × 𝟑𝟑 × 𝟓 × 𝟕𝟐 𝐞𝐭 𝑷𝑮𝑪𝑫 𝒂;𝒃 = 𝟏𝟎 ,

Trouver la valeur de 𝑏.

Problème 22

Un groupe d’élèves dans une école sont rangés en lignes de 12 élèves, de 16 élèves puis de 18 élèves, il reste 5

élèves à chaque fois.

Trouver les nombres possibles d’élèves de ce groupe.

Problème 23

Un charpentier a deux madriers de bois: le premier a pour longueur 630 cm et le

second 825 cm. Il veut les scier en pièces de même longueur.

1. Trouver la plus grande longueur possible de chaque pièce.

2. Calculer le nombre des pièces obtenues.

Problème 24

On considère les expressions suivantes: 𝒂 = 𝟕𝟐𝟎𝟎𝟑 ; 𝒃 = 𝟐𝟒𝟐 × 𝟒𝟐𝟑 𝐚𝐧𝐝 𝒄 = 𝟏𝟎𝟎𝟖

1. Décomposer a, b et c en produits de facteurs premiers.

2. Trouver PGCD (a, b), PGCD (b, c), et PPCM (a, c) comme produits de facteurs premiers.

3. Déduire la forme simplifiée de : 𝑋 =𝑎

𝑏×𝑐 ; 𝑌 =

1008 2

242×423.

Problème 25

Deux livres ont 480 et 608 pages respectivement. Il est demandé de diviser ces deux

livres en chapitres qui ont tous le même nombre de pages, qui est entre 30 et 50.

1. Trouver le plus grand nombre possible de pages de chaque chapitre.

2. Déterminer le nombre de chapitres de chaque livre.

48 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

Problème 1:

Je suis un nombre premier de deux chiffres; la somme de mes chiffres est encore un nombre premier.

Qui suis-je? Donner tous les solutions possibles.

Problème 2:

Trouver le PGCD et le PPCM de 𝐚 𝐞𝐭 𝐛 dans chacun des cas suivants:

1. a = 60 et b = 84. 4. a = 105 et b = 315.

2. a = 385 et b = 2310. 5. a = 630 et b = 210.

3. a = 450 et b = 900.

Problème 3:

Décomposer chacun des nombres suivants en produit de facteurs premiers:

25 × 12; 24 × 36; 16 × 18; 72 × 21 × 25; 2 × 16 × 9; 11 × 121 × 125; 124 × 48 × 9 et 1024 × 75 × 45.

Problème 4:

Classer les nombres suivants en nombres premiers et non premiers. Justifier la réponse:

1. 1001. 3. 341 × 743 × 657.

2. 151. 4. 𝑥4 où x est un entier plus grand que 1.

Problème 5:

1. Décomposer les entiers suivants en produit de facteurs premiers: a = 616 ; b = 561 ; c = 13 000 et d = 65 000

2. En déduire la décomposition en facteurs premiers de: 𝑎3, 𝑎 × 𝑏 × 𝑐, 𝑎3 × 𝑏2 × 𝑑 et 𝑐2

𝑑.

Problème 6:

On donne que: 𝐚 = 198 ; PGCD(𝐚 ; 𝐛) = 33 et PPCM(𝐚 ; 𝐛) = 990.

Trouver la valeur de 𝑏.

Problème 7:

On considère les nombres: a = 2200 ; b = 396 ; c = (45×56)2 et d = 441 × 25

2

1. Décomposer a, b, c et d en produits de facteurs premiers.

2. Ecrire sous la forme de produits de facteurs premiers: P.G.C.D (a;b) ; P.G.C.D (b;d) ; P.P.C.M (b;c)

et P.P.C.M (c;d)

3. Réduire les fractions suivantes: 𝑋 =2200396

et 𝑌 = 45×56

2

441 × 252.

4. En déduire la forme simplifiée du produit 𝑋 × 𝑌.

Problème 8:

Un boulanger cuit une pizza rectangulaire de dimensions 99cm et

55cm. Il veut couper cette pizza en petit carrés. 1. Trouver le côté du carré.

2. Calculer le nombre de carrés.

3. Si chaque carré coûte 1500 L.L. Calculer le prix total de la pizza.

Problèmes

Supplémentaires

Problèmes Supplémentaires - Problèmes Supplémentaires - Problèmes Supplémentaires - Problèmes Supplémentaires

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 49

Problème 9:

Pour une fête scolaire, la surveillante décide de ranger les élèves en lignes de 12 et de 15; elle a remarqué qu’il

reste 7 élèves à chaque fois. Sachant que le nombre des élèves est inférieur à 200.

1. Trouver les nombres possibles des élèves.

2. Supposer que le plus grand cas possible est le nombre correct des élèves. Pour aider la surveillante, trouver le

nombre d’élèves de chaque ligne pour qu’il ne reste aucun élève hors ligne.

Problème 10:

Le nombre de timbres que Sami possède est entre 30 et 40.

S’il les compte:

2 par 2; il en restera un.

3 par 3; il en restera un.

5 par 5; il en restera un.

Quel est le nombre de timbres que Sami possède?

Résolutions des Problèmes Supplementaires

Problème 1 Les réponses possibles sont 11, 23, 29, 41, 43, 47, 61, 67, 83 et 89.

Problème 2 1)PGCD(a; b) = 12 2)PGCD(a; b) =

385

3)PGCD(a; b) = 450 4)PGCD(a; b) =

105

5)PGCD(a; b) =

210

Problème 3 52×2

2×3, 23×6

2×3, 42×3

2×2, 73× 3 ×5

2, 2

5×32, 11

3×53, 3

3×26×31 et 2

10×53×3

3

Problème 4 151 (premier), 1001, 341×743×657 et x4 (composé)

Problème 5

1)a = 23×7×11, b = 3×17×11, c = 2

3×53×13 et d = 2

3×54×13

2)a3 = 2

9×73×11

3, a×b×c = 2

6×7×112×17×5

3×13, a3×b

3 = 2

12×32×17

2×115×5

4×13 et

c2/d = 2

3×52×13

Problème 6 b = 165

Problème 7

1)a = 23×5

2×11, b = 22×3

2×11, c = 26×5

2×34×7

2 et d = 7

2×32×5

4

2)PGCD(a; b) = 11×22, PGCD(b; d) = 3

2, PPCM(b; c) = 2

6×34×5

2×72×11 et PPCM(c; d) =

26×5

4×34×7

2

3)X = 50/9 et Y = 576/25 4)X×Y = 128

Problème 8 1)11cm 2)45 carrés 3)67500 L.L est le prix total de la pizza

Problème 9 1) Le nombre possible des élèves = 67, 127 et 187

2)11 élèves dans chaque ligne ou17 élèves dans chaque ligne

Problème 10 31 timbres

50 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

Problème 1 Architecture Il est demandé de partager le sol d’une salle

rectangulaire en petits carrés identiques.

1. Trouver la plus grande mesure possible du côté du carré.

2. Trouver le nombre de carrés .

3. Trouver, en cm, toutes les autres mesures possibles du côté de

chaque carré.

Problème 2 Facebook Rola vérifie son face-book chaque 30 minutes et Rami le vérifie chaque 45 minutes.

S’ils vérifient leurs face-books simultanément (au même temps) à 6:00 PM.

Quand vérifieront-ils leurs pages simultanément de nouveau pour la première fois?

Problème 3

Constructions Métalliques

Afin de réaliser des bandes métalliques de métaux différents, il est nécessaire

de couper deux tiges de fer et de cuivre de longueur 240cm et 280 cm

en pièces égales.

1. Trouver la plus grande longueur possible de chaque pièce.

2. Trouver le nombre de pièces obtenues de chaque tige.

Problème 4

Constructions de Terrains de Football

Pour planter le gazon d’un terrain de dimensions 145 m et 120 m, il est

divisé en carrés identiques de surface de plantation.

1. Trouver le plus grand côté possible de chaque surface de plantation.

2. Déterminer le nombre de carrés des surfaces de plantation obtenues.

3. Trouver toutes les mesures possibles du côté de chaque carré en m.

Problème 5

Production Industrielle

Alison et Sergio travaillent sur une ligne de production d’usine, pour inspecter des montres numériques. Alison

inspecte une montre toutes les 16 qui passent, tandis que Sergio inspecte une montre toutes les 36 qui passent.

Trouver quelle montre ils vont inspecter en même temps pour la première fois.

Problème 6 Physique Deux cyclistes se déplacent à une vitesse constante sur une piste circulaire. Le premier couvre la piste en

15 minutes, et le second en 18 minutes. Ils prennent le départ du point A en même temps à 08:00:00 .

Quand les deux cyclistes repasseront-ils ensemble au point A pour la première fois ?

Math et Sciences 750 cm

45

0 c

m

Leçon 3 –Nombres Premiers – PGCD et PPCM Brillant | Math EB7 51

Exercice 1 (1pt)

On donne : 𝒂 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟐 × 𝟓; PPCM 𝒂;𝒃 = 𝟐𝟑 × 𝟑𝟒 × 𝟓 × 𝟕 et PGCD 𝒂;𝒃 = 𝟐 × 𝟑𝟐 × 𝟓.

Trouver la valeur de 𝑏.

Exercice 2 (3.5pts)

On considère les trois entiers: a= 630 ; b = 693 et c = 7 700

1. Décomposer a, b, et c en produits de facteurs premiers.

2. Calculer: P.G.C.D(a ;b) et P.P.C.M(a ;b)

3. Trouver, comme produit de facteurs premiers, P.G.C.D(a ;b ;c) et P.P.C.M(a ;b ;c)

4. Vérifier que: a × b = PGCD(a ;b) × PPCM(a ;b) .

Exercice 3 (2pts)

Rani décide de décorer l’arbre de Noël avec des balles rouges.

Il les groupe 3 par 3, 5 par 5 et 7 par 7, Il reste 1 balle

à chaque fois.

1. Trouver le nombre de balles rouges que Rani possède s’il est

inférieur à 120.

2. Donner une solution à ce problème pour qu’il ne reste

aucune balle hors groupe.

Exercice 4 (2pts)

Fadi doit partager 120 billes rouges et 110 billes jaunes en

paquets égaux.

1. Trouver le plus grand nombre de billes dans chaque paquet.

2. Trouver le nombre de paquets utilisés.

Exercice 5 (3.5pts)

1. Calculer P.G.C.D (315; 270).

2. Olivia a 320 barres de chocolat et 280 chewing-gums. Elle les a distribués à un groupe d’étudiants de telle sorte

que chaque élève ait le mêmes nombre de barres de chocolat et de chewing-gums. Il reste 5 barres de chocolat et

10 chewing-gums.

a. Trouver le nombre maximal d’étudiants du groupe.

b. Calculer le nombre de barres de chocolat et chewing-gums que chaque élève a pris.

Chapitre Evaluation Test Chapitre Evaluation Test Nombres premiers

Premiers Durée: 2 heures

52 Brillant |Math EB7 Leçon 3 – Nombres Premiers – PGCD et PPCM

Question 6 (8pts)

On donne: 𝒂 = 𝟏𝟑

𝟒

𝟏𝟔𝟗 + 𝟕𝟐 − 𝟐𝟒 × 𝟑

𝟐𝟎 ; 𝒃 = 20

3 35

2 ; 𝒄 = 2100 et 𝒅 = 𝟑𝟔𝟎𝟎.

1. Montrer que 𝑎 = 170.

2. Décomposer 𝑎, 𝑏, 𝑐 , et 𝑑 en produits de facteurs premiers.

3. Montrer que 𝑑 est le carré d’un nombre à déterminer.

4. En déduire la forme simplifiée de :𝑎3×𝑏

2

𝑐2 .

5. Ecrire sous la forme de produits de facteurs premiers : PGCD (𝑎, 𝑐) ; PGCD (𝑏, 𝑐); PPCM (𝑎, 𝑐) et PPCM

(𝑐,𝑑)

6. Réduire les fractions suivantes: X =170

2

203

×352 et Y =

21003600

.

7. En déduire la forme simplifiée du produit X × Y.

8. Un bibliothécaire veut ranger 2100 livres et 3600 récits sur des étagères identiques.

a. Trouver le nombre d’étagères sachant qu’il est compris entre 7 et 15 et un multiple de 3.

b. Calculer le nombre de livres et de récits rangés sur chaque étagère.

Anciens Systèmes Numériques Le système grec ancien

Le système romain

La multiplication par 1000 se fait en traçant une barre au dessus du nombre et donc permet de symboliser de

grands nombres d’une manière simple. Par exemple :

1 2 3 4 5

Ι ΙΙ ΙΙΙ ΙΙΙΙ Γ

6 7 8 9 10

ΓΙ ΓΙΙ ΓΙΙΙ ΓΙΙΙΙ Δ

20 30 50 60 100

ΔΔ ΔΔΔ ΓΔ ΓΔΔ Η

400 500 700 1000 5000

ΗΗΗΗ ΓH ΓΗΗΗ Χ ΓΧ

1 2 3 4 5 6 7

I II III IV V VI VII

8 9 10 20 30 40 50

VIII IX X XX XXX XL L

60 70 80 90 100 500 1000

LX LXX LXXX XC C D M

5000 10 000 50 000 100 000 500 000 1000 000

𝐕 𝐗 𝐋 𝐂 𝐃 𝐌