Upload
walter
View
46
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
*** MATEMATIKAI LOGIKA *** 1. ÍTÉLETEK, ÍTÉLETKALKULUS 1.1. AZ ÍTÉLET FOGALMA Igaz , vagy hamis . Ítélet logikai értéke Logikai változó - i, h vagy t,f vagy T, F) Példa. A : A tiszta hó fehér. B : Április 30 napból áll. C : Minden hónap 30 napból áll. D : 7 osztható 3-mal. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
*** MATEMATIKAI LOGIKA ***1. ÍTÉLETEK, ÍTÉLETKALKULUS
1.1. AZ ÍTÉLET FOGALMAIgaz, vagy hamis . Ítélet logikai értékeLogikai változó - i, h vagy t,f vagy T, F)Példa.A: A tiszta hó fehér. B: Április 30 napból áll.C: Minden hónap 30 napból áll. D: 7 osztható 3-mal.E: Ha BÉR < 50 000, AKKOR A SZEMÉLYI JÖVEDELEMADÓ = 0.F: Ha a < b és b < c, akkor c < a.G: Portugália fővárosa Bécs.
2
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
1.2. LOGIKAI MŰVELETEK
Igazságtáblázat Ítéletkalkulus
1.2.1. NEGÁCIÓ
A A
hi
ih
DEFINÍCIÓ. A logikai értéke igaz, ha A hamis, és hamis, ha A értéke igaz.
Összetett ítélet Egyszerű ítéletNem minden mondat ítélet. Nyisd ki az ajtót!"Én egy hazug vagyok”
3
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
PÉLDÁK. 1. Példa. A: Esik az eső. Akkor A: Nem esik az eső.2. Példa. A: a < b. Akkor A: a b 3. Példa. A: Budapest tiszta város.
A: Budapest nem tiszta város.
A
1.2.2. KONJUNKCIÓ DEFINÍCIÓ. Az AB konjunk-ció logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mind A, mind B (tehát egyszerre mind a kettő)logikai értéke igaz.
A B BA
iihh
ihih
ihhh
Megjegyzés. A -val ekvivalensek: ~ A, NOT A,
4
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
PÉLDÁK. 1. Példa. A: Péter okos; B: Péter szerencsés; A B: Péter okos is és szerencsés is (azaz egy új ítélet: okos-szerencsés).2. Példa. A: x >1; B: x < 2; A B: l < x < 2.Megjegyzés. & AND1.2.3. DISZJUNKCIÓ
A B BA
iihh
ihih
iiih
DEFINÍCIÓ. Az A B diszjunkciólogikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha A és B közül legalább azegyik igaz.
5
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
PÉLDÁK
1. A: Péter okos, B: Péter szerencsés, A B: Péter
vagy okos, vagy szerencsés, vagy mindkettő.
2. A: 5 osztója 25-nek; B: 3 osztója 25-nek; A B = i.
3. A: 2 >3; B: 5 >7; A B= h.
4. A: Ma esik az eső. B: Ma hó esik. Akkor A B : Ma
eső, vagy hó esik (vagy mindkettő előfordul).
6
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
1.2.4. IMPLIKÁCIÓ
DEFINÍCIÓ. Az impliká-
ció akkor és csak akkor ha-
mis, ha A igaz, és B hamis.
A B BA
iihh
ihih
ihii
Példa. Legyen A: A Nap süt, B: 2+5>3. Logikai értelemben impli-kációnak tekintjük az aláb-bi ítéletet: Ha a Nap süt, akkor 2 + 5 > 3.
7
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
Az A B implikáció megfordításán a B A implikációt értjük. Indok az implikáció definíciójáraPÉLDÁK1. Példa. A: A négyszög téglalap; B: a négyszög átlói egyenlők. Ha a négyszög téglalap, akkor átlói egyen- lők.2. Példa. A: a szám 8-cal osztható; B: a szám 4-gyel osztható; A B = i; B A = h.3. Példa. Legyen A: Esik az eső, B: Fúj a szél. Mit jelent a) A B , ill. b) B A.
8
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
1.2.5. EKVIVALENCIA
DEFINÍCIÓ. AB akkor és
csak akkor igaz, ha A B és
B A is igaz.
A B BA
iihh
ihih
ihhiPÉLDÁK
1. Példa. K: Az n egész szám számjegyeinek összege osztható 3-mal. L: n osztható 3-mal. K L igaz és L K is igaz. Tehát K L.2. Példa. M: Két szám pozitív. N: szorzatuk pozitív.M N igaz, de N M nem; Tehát M N.
9
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
1.2.6. A logikai műveletek tulajdonságai (logikaiazonosságok)Kommutativitás: A B = B A A B = B A A B = B Ade: A B B A Asszociativitás:(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) de: (A B) C A (B C)
10
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
Disztributivitás:(A B) C = (A C) (B C)(A B) C = (A C) (B C)Tagadás:( A) = A(A B) = A B De Mor-(A B) = A B gan
(A B) = A B(A B) = A B = A B Implikáció::A B = A B EkvivalenciaA B = (A B) (B A)BOOLE-ALGEBRA
11
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
BA
A B BA
iihh
ihih
hiih
DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két ítélet. Akkor az
1.2.7. TOVÁBBI LOGIKAI MŰVELETEKA kizáró “vagy”, kizáró diszjunkció művelet
művelettel létrehozott ítélet akkor és csakakkor igaz, ha vagy A, vagy B, de nem mind a kettőigaz.
12
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
Erre a műveletre az alábbi tulajdonságok érvényesek:1. Kommutativitás:2. Asszociativitás: 3. Disztributivitás:4.
PQQP RQPRQP
RPQPRQP QPQPQP QPQP
A B BA
iihh
ihih
hiii
A NAND művelet
DEFINÍCIÓ. A és B két ítélet. Akkor a jellel jelölt NAND művelet olyan AB ítéletet de- finiál, amely akkor és csak akkorhamis, ha mindkét ítélet igaz.
5.
13
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
A NOR művelet
DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két
ítélet. Akkor a jellel jelölt
NOR művelet olyan AB ítéle-
tet definiál, amely akkor és
csak akkor igaz, ha mind az
A, mind a B hamis.
BABA
A B BA
iihh
ihih
hhhi
AB ítélet tehát a következőképpen írható fel:
14
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
A műveletek közti elsőbbségi sorrend (precedencia).A "Balról jobbra" szabályPÉLDÁK1. Példa. Legyen A: 5000 Tőke, B: Kamat 3%. A AB=?, ha Tőke = 6000, Kamat = 2%.2. Példa. Adjuk meg a ((AB)(CD)(EF))G kifejezés értékét, haa kifejezésben szereplő változók értékei: A = i; B=h; C=h; D=i; E=h; F=h; G= i;
SPSRQP
2. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK2.1. ALAPFOGALMAKPélda.
15
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
2.2. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK IGAZSÁGTÁB-
LÁZATA
PÉLDÁK
PQP
QPQP
PP
1. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz-ságtáblázatát!
2. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz-ságtáblázatát!3. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz-ságtáblázatát!
16
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
2.3. TAUTOLÓG LOGIKAI KIFEJEZÉSEK DEFINÍCIÓ. A L logikai kifejezést tautológiának
hívjuk, ha L értéke a benne szereplő ítéletek (változók)
bármilyen értékére mindig igaz. Ha viszont a L értéke
mindig hamis, akkor ellentmondásnak
hívjuk a kifejezést.
PPP QPQ
Példa. Mutassuk meg, hogya)b)
tautológiaellentmondás!
17
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
logikai kifejezés tautológia. Az alábbi kifejezések mind tautológiák!a)b)
).(: PJPB SR
SRJSRA :
SRSR RSPRSP
PP
2.4. VÁLTOZÓK HELYETTESÍTÉSEPélda.Helyettesítsük a P változó értékét -sel.
Akkor B-nek az alábbi helyettesítési értékéhez jutunk
Példa. A
TÉTEL. Tautológia minden helyettesítési értéke tautológia.
18
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
2.5. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK EKVIVALEN-CIÁJA
DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két logikai kifejezés és
tegyük fel, hogy a P1, P2,…, Pn változók, és csak ezek
a változók, mindkét kifejezésben szerepelnek. Azt
mondjuk, hogy az A és B logikai kifejezések
ekvivalensek, ha a P1, P2,…, Pn változók minden
konkrét n-esére ( 2n ilyen van) az A és B kifejezések
ugyanazt az értéket veszik fel.
19
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
2.6. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK EGYSZERŰSÍ-TÉSETÉTEL. Legyen L egy logikai kifejezés. Helyette-sítsünk L-ben egy L1 részkifejezést olyan L2 kifejezéssel, amelyre L1= L2.A kapott L* kifejezés ekvivalens L-lel, azaz L* =L. .
QQPP
RQPRQPRQP ::
Példa. Mutassuk meg, hogy
A származtatás jele: :.Példa. Mutassuk meg, hogy
20
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
2.7. DUÁLIS LOGIKAI KIFEJEZÉSEK
DEFINÍCIÓ. Az A és A* logikai kifejezések
egymás duálisai, ha egymásból úgy
származtathatók, hogy a műveletet -sel, a
-t pedig -gyal helyettesítjük, i-t h-val és
h-t i-vel). (E műveleteket egymás duálisának nevezzük.)
RQP iQP SQPQP
Példa. Írjuk fel a következő kifejezések duálisait!a) b) c)
21
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
TÉTEL. Legyenek A és A* egymás duálisai és
tegyük fel, hogy mindkét kifejezés a P1, P2,…, Pn
logikai változók függvénye, azaz:
és ,...,, 21 nPPPA .,...,, 21*
nPPPA
nPPPA ,...,, 21 nPPPA ,...,, 21*
nPPPA ,...,, 21 .,...,, 21*
nPPPA
Akkor
illetve
22
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
3. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK NORMÁLFORMÁJA
3.1. ELEMI KIFEJEZÉSEK
DEFINÍCIÓ. A P1, P2,…, Pn logikai változóknak
(ítéleteknek) és negáltjaiknak a konjunkcióját
(szorzatát) elemi szorzatnak, diszjunkcióját
(összegét) pedig elemi összegnek nevezzük.
Példák:PQPPPPQQPP ,,,,
PQPPPPQQPP ,,,,
23
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
Tétel. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy
egy elemi szorzat azonosan hamis illetve egy elemi
összeg azonosan igaz legyen az, hogy tartalmazzon
legalább egy olyan faktort, amelyben egy változó és
negáltja szerepel.
RQRQQP dnf-ja?
3.2. DISZJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK
DEFINÍCIÓ. Azt a logikai kifejezést, amely
elemi szorzatok összegéből áll, diszjunktív
normálformának (dnf) nevezzük.
1. Példa:
24
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
2. Példa: A QPP dnf-ja?
Megoldás: .:: QPPPQPPQPP
Az első lépésben a QPQP azonosságot
alkalmaztuk, majd a második lépésben szoroztunk P-vel.
25
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
.1. Példa: QRQRQP knf-ja?2. Példa: QPQP knf-ja?
Megoldás:
QPPQPQQPPQQP :: QPPQPQQP
:: QPQPQQPPQP
.: QQPPQPQQPPQP
3.3. KONJUNKTÍV NORMÁLFORMÁKDEFINÍCIÓ. Az elemi összegek szorzatából álló kifejezést konjunktív normálformának (knf) nevezzük.
26
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
3.4. PEREFKT NORMÁLFORMÁKDEFINÍCIÓ. A P1, P2,…, Pn logikai változók azonelemi szorzatait (összegeit), amelyekben mindegyikváltozó szerepel, de egyidejűleg nem tartalmazzáka változót és negáltját, teljes (vagy primitív) elemi szorzatoknak(összegeknek) nevezzük.Példa. Írjuk fel a P, Q, R változók néhány a) primitív elemi szorzatát és b) primitív elemi összegét.M: RQPRQPRQPQRPRQPRQPRPQPQR ,, ,, , , , a)
RQPRQPRQPRQP ,, ,
, , , , b) RQPRQPRQPRQP
27
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
3.4.1.PERFEKT DISZJUNKTÍV NORMÁLFORMÁKDEFINÍCIÓ. Azokat a logikai kifejezéseket, amelyekprimitív elemi szorzatok összegeiből állnak, perfekt(vagy teljes) diszjunktív normálformáknak hívjuk (pdnf).
QP QP QP 1. Példa. Írjuk fel az a) b) c)kifejezések diszjunktív normálformáját!
ihihh
iiiih
iihhi
hiiii
QPQPQPQP
QP
QP
QP
a
)
28
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
Eljárás perfekt diszjunktív normálformák létrehozására1. Példa: Írjuk fel az alábbi logikai kifejezésekperfekt diszjunktív normálformáját! QP
QQPP Megoldás:
PPQQ :() PPQQQPQP
:PQPQQPQP
.QPQPQP
29
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
2. Példa: Írjuk fel az alábbi logikai kifejezések perfekt diszjunktív normálformáját!
QRRPPQ
Megoldás:
:PPQRQQRPRRPQ
.RQPQRPRPQPQR
Megjegyzés: A pdnf alkalmas logikai kifejezések ekvivalenciájának bizonyításárra
30
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
„Algoritmus”Ekvivalencia Példa: Mutassuk meg, hogy a bal ill. jobb oldali kifejezések ekvivalensek egymással!
PPQPa ) QPQPPb )
Megoldás:a) QPPQPQQQPPQP
QPPQQQPP
b) QPQPPQQPQQPQPP QPQPPQPPQQQPQP
31
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
3.4.2. PERFEKT KONJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK
DEFINÍCIÓ. Az elemi összegek konjunkció-
jából álló logikai kifejezéseket perfekt konjunk-
tív normálformáknak hívjuk.
PQRP
Példa. Írjuk fel alogikai kifejezést perfekt konjunktív normálalakban. QPPQRP QPPQRP
RRQPRRPQQQRP RQPRQPRQP
RQPRQP
32
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
p s1 10 0
+-
p kapcsoló
s lámpa
A P = S logikai kifejezés
A P Q művelet áramköre
a p kapcsoló
s lámpa+
-
a q kapcsoló
P Q S1 1 11 0 00 1 00 0 0
4. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK
33
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
+
-
p kapcsoló
s lámpa
A P Q művelet áramköre
q kapcsoló P Q S1 1 11 0 10 1 10 0 0
pq r
A VAGY-kapu
Input Outputp q p q1 1 11 0 10 1 10 0 0
34
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
Input Outputp q p q1 1 11 0 00 1 00 0 0
p
qr
ÉS-Kapu
Input Output
P P
1 0
0 1
p r
Nem-kapu
35
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
Példa: Adjuk meg a baba
b
a
ba
ba
baba
a
a
b
b
kifejezés áramkörét!
36
Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01
A NOR-kapu.
b
a
ab
A NAND-kapu.