Számítástechnika Számítástechnika matematikai alapjaimatematikai alapjai

Készítette: Kiss SzilviaKiss SzilviaZKMSZinformatika szakmacsoport

2

InformatikaInformatikaAz informatika az információ

• megszerzésével,• feldolgozásával,• tárolásával,• továbbításával foglalkozó tudományág.

3

InformatikaInformatikaInformációhoz kommunikáció során juthatunk.A kommunikáció információelméleti modellje:

4

InformációInformációAz érzékszerveinken keresztül megszerzett új ismereteket információnak nevezzük.

Milyen érzékszerveink segítségével juthatunk információhoz?

Melyik két érzékszervünkkel szerezzük az új ismeretek nagy részét?

5

Az információ érzékeléseAz információ érzékeléseKözvetlen érzékelés

• kódolatlan képinformációk pl. …• kódolatlan hanginformációk pl. …• egyéb információk pl. …

Kódolt érzékelés• kódolt képinformációk

• írott információ pl. …• speciális jelek (pl. zászlójelek, karjelzések)

• kódolt hanginformációk• szóbeli információ pl. …• zenei információ (pl. kürtjelek)

6

JelJelA jelek az információ hordozására alkalmas szimbólumok. Például:

• magyar abc betűi,• karjelzések,• térképeken alkalmazott jelek,• közlekedési táblák.

A jel érzékszerveinkkel vagy műszereinkkel felfogható (mérhető) jelenség, amelynek jelentése van, ezt a jelentést valamilyen egyezmény, szabály rögzíti.

7

Alapvető jeltípusokAlapvető jeltípusokA jeleket informatikai szempontból két nagy csoportba sorolhatjuk:

Analógnak nevezzük azt a jelet, amelynek az értelmezési tartománya is, az értékkészlete is folytonos, a jel minden időpillanatra értelmezett.

Analóg jelek

8

Alapvető jeltípusokAlapvető jeltípusokA jeleket informatikai szempontból két nagy csoportba sorolhatjuk:

Analógnak nevezzük azt a jelet, amelynek az értelmezési tartománya is, az értékkészlete is folytonos, a jel minden időpillanatra értelmezett.

1. Analóg jelek

9

Alapvető jeltípusokAlapvető jeltípusok

Most is süt a napIlyen erősen süt, csak most éppen nem figyelünk rá

Napsütés:

Analóg jel, mert bármikor

bármilyen erősen süthet

Megfigyelve, feljegyezve:

Nem analóg, mert csak adott időpillanatokban figyeljük meg, és (most) csak rácspontokon ábrázolhatjuk az erősségét

Ilyen erősen süt, csak most sem nem figyelünk rá

10

Alapvető jeltípusokAlapvető jeltípusok

11

Alapvető jeltípusokAlapvető jeltípusokA jeleket informatikai szempontból két nagy csoportba sorolhatjuk:

A digitális jel mind értelmezési tartományában, mind pedig értékkészletében diszkrét.

2. Diszkrét jelek

12

Alapvető jeltípusokAlapvető jeltípusok

13

Különböző adatok is hordozhatnak azonos információt. (január) (1)

AdatAdatAz adat az információ megjelenített, rögzített formája.

Azonos adatok is hordozhatnak különböző információt. 7900 7900

14

Jelek a számítógépbenJelek a számítógépben

Mágneses

Fény

Elektromos

15

A számítógépben általában kétállapotú jelekkel segítségével próbáljuk az információt tárolni.

A hétköznapi információkat (szöveges, képi, hang) általában számítógépen is tudjuk tárolni.

Eleinte számítógépen csak számot, szöveget, és logikai adatokat tároltak.

Adatok a számítógépbenAdatok a számítógépben

16

Az adat megjelenési formáiAz adat megjelenési formáiSzám (numerikus adat): 1,2,3,4,…,9Szöveg (alfanumerikus adat):

betűk: A, a, B, b, ... számok: 1,2,3,4,…,9

(A numerikus adatokkal ellentétben számítási műveletekre nem alkalmasak.)

írásjelek: . , ; - ? ! …műveleti jelek: + - / * ^ …speciális jelek: @ $ # & ...

Logikai adat: az állítások tartalmának megfelelően kétféle lehet, igaz (true), vagy hamis (false)

17

Információ – adat – jelInformáció – adat – jel

A jel az információ hordozója,

az adat az információ tárolására szolgáló halmaz,

míg az információ számunkra új ismeretet jelöl,

azaz új hír, közlés vagy tájékoztatás.

18

Az ember a tízes számrendszert,a számítógép a - technikailag legegyszerűbben megvalósítható ‑ kettes számrendszert használja.

A számítógép-ember kommunikációban az ‑ egyszerűbb felírhatóság kedvéért ‑ a tizenhatos számrendszer alkalmazott.

Így az adatábrázolás előtt ismerkedjünk meg a számrendszerekkel.

AdatábrázolásAdatábrázolás

19

Ennek alapján rögzítsünk néhány számrendszerrel kapcsolatos alapfogalmat: Alapszám: Az egyes helyértékeken szerepelhető különböző együtthatók

száma. A tízes számrendszer esetén: 10 Helyérték: Az alapszám egészkitevős hatványai. A tízes számrendszer

esetén: 100, 101, 102, 103 … Együttható: Az egyes helyértékeken szereplő szorzók. A tízes

számrendszer esetén: 0,1,2...9 A szám értékének meghatározása: Szám = (együttható * helyérték)

Pl: 2*1000 + 6*100 + 5*10 + 7*1 = 2657

Tízes (decimális) Tízes (decimális) számrendszerszámrendszer

20

A számítógépben egy bináris helyértéket bitnek nevezünk, melynek állapota ‑ a bináris számrendszer együtthatói alapján ‑ 0 vagy 1 lehet.

A bináris számrendszerben is ‑ hasonlóan minden más számrendszerhez ‑ helyértékek vannak, melyek a kettő hatványai szerint jobbról balra növekednek.Alapszám: 2Együtthatók: 0,1

Kettes (bináris) Kettes (bináris) számrendszerszámrendszer

21

Alapszám: 16Együtthatók: 0, 1, 2, ..., 9, A, B, C, D, E, FAz együtthatók nem adhatók meg minden esetben a tízes számrendszerben alkalmazott számokkal, szükség volt a 9 utáni számokhoz egy-egy jelet hozzárendelni. Ezek a következők: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15

Pl.: 1*4096 + 0*256 + 14*16 + 15*1 =4335

Tizenhatos (hexadecimális) szrTizenhatos (hexadecimális) szr

22

Az átváltáskor az együtthatókkal (0,1) szorozzuk az adott helyértékeket.Például:

11001100(2)==1*27+1*26+0*25+0*24+1*23+1*22+0*21+0*20= =128+64+0+0+8+4+0+0 = 204(10)

Szr-ek közti átváltásSzr-ek közti átváltása) Átváltás binárisból decimálisba

23

Az átváltáskor az együtthatókkal (0, 1, 2 ... A, B, C, D, E, F ) szorozzuk az adott helyértékeket, majd összeadjuk őket.

Például:

10AC(16) = 1*163+0*162+A*161+C*160 =

=4096+0+160+12 = 4268(10)

b) Átváltás hexadecimálisból decimálisba

Szr-ek közti átváltásSzr-ek közti átváltás

24

Egy hexadecimális számjeggyel négy bináris érték adható meg, így a bináris számjegyeket jobbról négyes csoportokra osztjuk, utána külön-külön hexadecimális számra váltjuk, majd az így kapott eredményt sorban egymás mellé írjuk.Ha a balról a legelső csoportban nincs 4 db bináris szám, akkor azok elé annyi 0-t írunk, hogy azok is egy teljes csoportot alkossanak.

Például:

c) Átváltás binárisból hexadecimálisba Szr-ek közti átváltásSzr-ek közti átváltás

25

Az elv a következő: minden hexadecimális számjegyből egy bináris számnégyest készítünk, és az így kapott eredményt sorban egymás mellé írjuk.Például:

d) Átváltás hexadecimálisból binárisba

Szr-ek közti átváltásSzr-ek közti átváltás

26

e) Átváltás decimálisból binárisbaA decimális bináris átalakítást speciális formában, "maradékos osztás elve" alapján végezzük. Pl.:

A bináris számot úgy kapjuk, hogy a maradékokat alulról felfelé összeolvassuk: 204(10) = 11001100(2)

Baloldal 204 2 Jobboldal204 : 2 = 102 102 0 maradt: 0102 : 2 = 51 51 0 maradt: 051 : 2 = 25 25 1 maradt: 125 : 2 = 12 12 1 maradt: 1

12 : 2 = 6 6 0 maradt: 06 : 2 = 3 3 0 maradt: 03 : 2 = 1 1 1 maradt: 11 : 2 = 0 0 1 maradt: 1

Szr-ek közti átváltásSzr-ek közti átváltás

27

Az összeadás műveleti szabályai:0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 + 1 + 1 = 11

Példa a bináris összeadásra a decimális megfelelőjével történő ellenőrzéssel:

a) Bináris összeadás

Műveletvégzés a kettes Műveletvégzés a kettes számrendszerbenszámrendszerben

28

A számítógép tervezésekor arra törekedtek, hogy minél kevesebb műveletet kelljen ismernie a számítógép központi egységének.Az összes műveletet az összeadásra vezették vissza.Az összeadással elvégzett kivonás elött a negatív számokat speciális formára, komplemenssé kell alakítani.Példaként nézzük meg a 168(10)-as, azaz a 10101000(2) szám átalakítását.

b) Bináris kivonás

Műveletvégzés a kettes Műveletvégzés a kettes számrendszerbenszámrendszerben

29

b) Bináris kivonás

Az egyes komplemens képzésekor problémaként vetődik fel, hogy így a nullára két kód is van:00000000(2) = " +0 „11111111(2) = " 0 "Erre megoldást kínál a kettes komplemens képzés.

Műveletvégzés a kettes Műveletvégzés a kettes számrendszerbenszámrendszerben

30

b) Bináris kivonás

Műveletvégzés a kettes Műveletvégzés a kettes számrendszerbenszámrendszerben

31

Ezek után nézzünk konkrét példát a bináris kivonásra. Végezzük el a következő műveletet: 184(10) – 100(10)

Műveletvégzés a kettes Műveletvégzés a kettes számrendszerbenszámrendszerben

32

Műveletvégzés a kettes Műveletvégzés a kettes számrendszerbenszámrendszerben

A számítástechnikában előre rögzítenünk kell a számok ábrázolásának hosszát. A 184(10) nyolc bináris számjegy hosszúságú, ezért ezt a hosszúságot rögzítettük.

Így a –100 bináris alakját is egy 0-val kiegészítve 8 jegyből állóra alakítottuk.

33

Műveletvégzés a kettes Műveletvégzés a kettes számrendszerbenszámrendszerben

A végeredmény azonban ennél hosszabb számot eredményezett. Mivel az ábrázoláshoz továbbra is csak 8 jegynyi hely áll rendelkezésünkre, ezért az ún. túlcsordulás következett be, amely számjegyek “elvesztek”.

Győződjünk meg róla, hogy így kaptuk meg a helyes eredményt.

34

a) Bit A bináris szám egy helyértékét bitnek nevezzük. A bit állapota ennek megfelelően 0 vagy 1 lehet.b) Byte 8 bit összekapcsolásával kialakított egység.c) Szó A processzor típusától függő érték. Jelenleg a 64 bites szervezésű processzorok az elterjedtek, így ezek esetében a 64 bitből kialakított egységet nevezzük szónak.

Az adatábrázolás Az adatábrázolás adategységeiadategységei

35

Az eddigi ismereteink alapján tudjuk, hogy a tízes számrendszerben az 1Kilo az 1000-t jelenti.

A bináris számrendszerben a helyértékek mások, így ebben az esetben az 1Kilo 1024-nek felel meg. Ennek megfelelően változik a Mega, illetve a Giga értéke is.

Az adatábrázolás Az adatábrázolás adategységeiadategységei

1 Byte = 8 bit1 KB = 1024 Byte = 8*1024 bit1 MB = 1024 KB= 1024*1024 Byte = 8*1024*1024 bit1 GB=1024 MB=1024*1024 KB =1024*1024*1024 Byte = 8*1024*1024*1024 bit

36

Pozitív és negatív egész számok ábrázolására. A negatív számokat a már ismertetett kettes komplemens szerint értelmezik a gépek.Törtrésszel rendelkező számokat is ábrázolhatunk, de ekkor a törtet jelző pont csak logikailag létezik, a számítógép nem "teszi ki", helyét nem változtatja. Nyomtatásnál az elhelyezéséről a programozónak kell gondoskodnia.

a) Fixpontos ábrázolásEz a számok műveletvégzésre alkalmas formában történő tárolására szolgál.

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

37

a) Fixpontos ábrázolás

A fixpontos számábrázolás hátrányai:• az ábrázolható tartomány kicsi: 2 Byte-on a legnagyobb 32.767, a legkisebb -32.768• a számok pontossága erősen korlátozott:

ha egész számot ábrázol 7/4 =1 és a 4 /4=1

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

38

A fixpontos hátrányait kiküszöbölő, a számok hatványkitevős (matematikában használt normál alakhoz hasonlatos) felírásán alapuló számábrázolás.Például: 175(10) = 0.175 * 103 10110011(2) = 0.0.10110011 * 228

0.375(10) = 0.375 * 100 0.011(2) = 0.0.11 * 22-1

b) Lebegőpontos számábrázolás

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

39

Általánosan felírva: A = M * pk A = az eredeti szám M = az együttható,ennek a tört része az ún. mantisszap = a hatvány alapjak = a hatvány kitevője, az ún. karakterisztikaEbből észre vehetjük, hogy néhány elem minden szám esetén ismétlődik, ezért ezeket a számítógépen nem kell külön ábrázolni.

b) Lebegőpontos számábrázolás

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

40

Például: 175(10) = 0.175 * 103 10110011(2)= 0.10110011 * 28

0.375(10) = 0.375 * 100 0.011(2) = 0.11 * 2-1

b) Lebegőpontos számábrázolás

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

41

A számokat 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljukb.) Lebegőpontos számábrázolás

12 12

:

kX m m

mantissza mkarakterisztika k

A mantissza egészrésze2323 11 (23÷2= 1111 marad: 11)1111 11 (11÷2= 55 marad: 11)55 11 ( 5÷2= 22 marad: 11)22 00 ( 2÷2= 11 marad: 00)11 11 ( 1÷2= 00 marad: 11)00

Pl.: -23.1875

A mantissza törtrésze0,18750,1875 00 (0,1875×2= 00,,375375)0,3750,375 00 (0,375 ×2= 00,,7575)0,75 0,75 11 (0,75 ×2= 11,,55)0,5 0,5 11 (0,5 ×2= 11,,00)00

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

42

A számokat 6 bájtos valós típusú mennyiségként ábrázoljuk

b.) Lebegőpontos számábrázolás

A mantissza egészrésze=1011110111Pl.: -23.1875

A mantissza törtrésze=001110111.0011

10111.001|1000000 | 00000000 | 00000000 | 00000000 |

m

kkkkkkkk

Normálás 0.1xxxx A pontot 5 lépéssel balra tettük0.101110011

5mk

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

12 12

:

kX m m

mantissza mkarakterisztika k

.101110011

.10111001|1000000 | 00000000 | 00000000 | 00000000 |

m

kkkkkkkk

43

A mantissza előjeleb.) Lebegőpontos számábrázolás

0.1011100115

mk

Mivel itt mindig 1 állna, Mivel itt mindig 1 állna, ezért ez a bitet ruházzuk ezért ez a bitet ruházzuk

fel a mantissza előjelének fel a mantissza előjelének jelentéséveljelentésével

Ha a mantisszaHa a mantisszanegatív, akkor legyen 1negatív, akkor legyen 1különben legyen 0különben legyen 0

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

12 12

:

kX m m

mantissza mkarakterisztika k

.101110011

.10111001|1000000 | 00000000 | 00000000 | 00000000 |

m

kkkkkkkk

44

b.) Lebegőpontos számábrázolás

A karakterisztikát az ábrázolt legkisebb szám abszolút értékével megnöveljük, azaz hozzá adunk |-128|=128-at, majd átváltjuk 2-es számrendszerbe.

Tehát ha k=5, akkor k:=5+128=133

A karakterisztika (kitevő) előjele

Ezt az alakot nevezzük 128-cal eltolt nullpontú ábrázolásnak

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

12 12

:

kX m m

mantissza mkarakterisztika k

45

b.) Lebegőpontos számábrázolás A karakterisztika (kitevő) előjele

A karakterisztika133133 11 (133÷2= 6666 marad: 11)6666 00 ( 66÷2= 3333 marad: 00)3333 11 ( 33÷2= 1616 marad: 11)1616 00 ( 16÷2= 8 8 marad: 00)88 00 ( 8÷2= 4 4 marad: 00)44 00 ( 4÷2= 22 marad: 00)22 00 ( 2÷2= 11 marad: 00)11 11 ( 1÷2= 00 marad: 11)00

k=10000101

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

12 12

:

kX m m

mantissza mkarakterisztika k

46

A 6 bájtos normált ábrázolás eddigiek ismeretében:

Ábrázolható tartomány:

konvenció (megállapodás): 0:= {k=-128, mantissza=tetszőleges}

A legkisebb pozitív valós szám: 0.5 * 2-127 ≈2,938*10-39

A számok ábrázolása a A számok ábrázolása a számítógépbenszámítógépben

47

A számítógép nem csak ‑ a számrendszereknél ismertetett ‑ matematikai műveletek, hanem logikai műveletek végrehajtására is képes. A logikában állítások vannak, melyek vagy igazak vagy hamisak. Ennek megfelelően a logikai adatok két értéket vehetnek fel: ha igaz, az értéke 1, ha hamis, az értéke 0. A logikai adatok ábrázolása általában 1Byte-on történik: 00000001 = logikai igaz 00000000 = logikai nem

Ismerkedjünk meg néhány logikai művelettel:

Logikai műveletekLogikai műveletek

48

a) Negálás (NOT)

Olyan művelet, amely során az igazból hamisra, a hamisból igazra váltunk.

Logikai műveletekLogikai műveletek

49

b) ÉS kapcsolat (AND)

A művelet elvégzése után az eredmény akkor igaz, ha az A és B is igaz volt, miden más esetben hamis.

Logikai műveletekLogikai műveletek

A B A & B

50

c) VAGY kapcsolat (OR)

Az eredmény akkor igaz, ha vagy az A vagy a B is igaz volt, beleértve azt is, amikor mindkettő igaz.

Logikai műveletekLogikai műveletek

A

B

A v B

51

d) KIZÁZÓ VAGY kapcsolat (XOR)Az eredmény kizárólag akkor igaz, ha vagy A vagy B igaz volt. Ez a kapcsolat kizárja azt az esetet, amikor mindkettő igaz.

Logikai műveletekLogikai műveletek

A BA B

52

a) Összeadás (1 bites)

Aritmetikai műveletekAritmetikai műveletek

1 0

0 1

0 1

0 0

A + B

0111

1001

1010

0000

A BA & BBA

&

Összeg

Átvitel

53

b) Összeadás (Teljes összeadó)

Aritmetikai műveletekAritmetikai műveletek

&

&O

R

A B Átvitel be

Összeg

Átvitel ki

54

Kódolás-dekódolásKódolás-dekódolásA kódolás olyan művelet, amely egy jelrendszer elemeihez egy másik jelrendszer elemeit előre meghatározott szabályok szerint (kódkulcs) hozzárendeli. A dekódolás a kódolás fordított művelete.

KódInformáció Információ

Kódoló Dekódoló

55

Kódolás (szám.tech.)Kódolás (szám.tech.)a) BCD kód (Binary Coded Decimal) Elsősorban a tízes számrendszerbeli számok ábrázolását segíti elő. Egy tízes számrendszerbeli helyérték ábrázolására 4 bitet használ

56

b) EBCDIC kód (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) A BCD kód kiterjesztett változata, amely már 8 bites, így 28 = 256 kódhoz rendelhetünk egy-egy karaktert. A nagy számítógépek kódrendszere. Például:

Kódolás (szám.tech.)Kódolás (szám.tech.)

57

c) ASCII kód

(American Standard Code for Information Interchange) A mikroszámítógépek kódja, amely 8 bites,így szintén 256 kóddal rendelkezik.Az angol ábécé, decimális számjegyek, írásjelek, aritmetikai és logikai műveleti jelek, vezérlőjelek ábrázolása lehetséges. Emellett beállíthatók nemzeti karakterek is.

Kódolás (szám.tech.)Kódolás (szám.tech.)

58

Kódolás (szám.tech.)Kódolás (szám.tech.)

59

GyakorlásGyakorlás

60

GyakorlásGyakorlás

61

GyakorlásGyakorlás

62

VégeVége

De kár!!! :)