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變異量數 (measures of variation) 葉玉賢. 本章重點 1. 變異量數的探討（四分位差） 2. 變異數與標準差 (Standard Deviation, SD 或簡稱 S) 3. 相對差異係數：變異係數. 變異量數的探討. 變異量數的探討. 變異量數 (measures of variability) 的意義： （ 1) 變異量數是用來了解團體分數的 分散 情形的指標，數值越大，團體分數分散越大，變異越大。 （ 2) 變異量數是用來表示一群數值散佈的範圍，也可反映出平均數代表性的大小。 - PowerPoint PPT Presentation
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變異量數變異量數 (measures of variation) (measures of variation) 葉玉賢葉玉賢
本章重點本章重點1. 1. 變異量數的探討（四分位差）變異量數的探討（四分位差）2.2. 變異數與標準差變異數與標準差 (Standard Deviation, SD(Standard Deviation, SD 或簡或簡稱稱 S)S)3.3. 相對差異係數：變異係數相對差異係數：變異係數
變異量數的探討變異量數的探討
科技與社會科技與社會
變異量數的探討 變異量數的探討
1.1. 變異量數變異量數 (measures of variability)(measures of variability) 的意義：的意義：
（（ 1)1) 變異量數是用來了解團體分數的變異量數是用來了解團體分數的分散分散情形的指標，情形的指標，數值越大，團體分數分散越大，變異越大。數值越大，團體分數分散越大，變異越大。
（（ 2)2) 變異量數是用來表示一群數值散佈的範圍，也可變異量數是用來表示一群數值散佈的範圍，也可反映出平均數代表性的大小。反映出平均數代表性的大小。
（（ 3)3) 教育學術領域中，通常把變異量數分為：絕對變教育學術領域中，通常把變異量數分為：絕對變異量數異量數（有單位的：例如全距、四分位差、平均差、標準差、變異（有單位的：例如全距、四分位差、平均差、標準差、變異數）數）／相對變異量數／相對變異量數（無單位的：例如變異係數、標準分數）（無單位的：例如變異係數、標準分數）
例如：探討全校男同學體重的變異程度。 例如：探討全校男同學體重的變異程度。
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練習：練習：Example: Example: Ａ班的數學分數（共Ａ班的數學分數（共 1010 人）人） 20, 35, 50, 50, 65, 65, 65, 80, 90, 100 20, 35, 50, 50, 65, 65, 65, 80, 90, 100 ∑∑= 520 X=52= 520 X=52
Ｂ班的數學分數（共Ｂ班的數學分數（共 1010 人）人） 50, 50, 50, 50, 50, 50, 52, 52, 58, 5850, 50, 50, 50, 50, 50, 52, 52, 58, 58 ∑∑= 520 X=52= 520 X=52
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集中量數／變異量數的差異集中量數／變異量數的差異(( 分散情形不同，集中情形相同分散情形不同，集中情形相同 ))
某班四個學期數學成績分配表
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
第一學期 第二學期 第三學期 第四學期
學期
數學
平均
分數
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變異數 S²
變異量數的種類變異量數的種類 全距全距 四分差四分差 平均差平均差 標準差與變異數標準差與變異數
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何謂全距？何謂全距？ 全距（全距（ RangeRange ）是指群體全部數值的變動範圍，是計算變異量數的最簡）是指群體全部數值的變動範圍，是計算變異量數的最簡
單方式、粗造且壟統的指標。單方式、粗造且壟統的指標。（一）定義：全距是指團體中（一）定義：全距是指團體中最大值與最小值的差最大值與最小值的差，可用，可用 ωω （讀做（讀做 omegaomega ））
表示。表示。（二）全距是表示分散情形最簡陋的方式，適用於（二）全距是表示分散情形最簡陋的方式，適用於等距變數等距變數，而不適用於次，而不適用於次
序變數。序變數。（三）公式（三）公式
ω = Xω = XHH - X - XL L
例子：假定例子：假定 XXHH=75=75 ，， XXLL=32=32 ，則全距有兩種表達方式：，則全距有兩種表達方式：ω = Xω = XHH - X - XL L = 75= 75 －－ 32 = 4332 = 43
ω = Xω = XHH - X - XL L = 75.5= 75.5 －－ 31.5 = 4431.5 = 44
全距特性：全距特性： 1. 1. 只考慮最大值與最小值，容易忽略其他數值的分散情形；只考慮最大值與最小值，容易忽略其他數值的分散情形； 2.2. 容易受極端分數的影響，故十分不穩定；容易受極端分數的影響，故十分不穩定； 3.3. 全距是變異量數中最簡易的方法，計算簡單明瞭。全距是變異量數中最簡易的方法，計算簡單明瞭。 4.4. 抽樣個數越多，全距越大，反之，全距越小。抽樣個數越多，全距越大，反之，全距越小。
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四分四分 (( 位位 )) 差的概念差的概念
四分差（四分差（ QQ ）指的是團體中最中間的）指的是團體中最中間的 50%50%的人分數的一半，我們要取的是次數分配中的人分數的一半，我們要取的是次數分配中的那一個的那一個 25%25% 的距離到底是多少？的距離到底是多少？
QQ11=1/4 N=1/4 N 的分數，的分數， QQ22=2/4 N=2/4 N 的分數（的分數（ MdMd ），），QQ33=3/4 N=3/4 N 的分數。的分數。
四分位差不是一個點，而是一個距離。四分位差不是一個點，而是一個距離。公式：公式：
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四分四分 (( 位位 )) 差的概念差的概念
（四）在已歸類資料時的公式：（四）在已歸類資料時的公式：
LL11 = = 第一四分位數所在組的真正下限第一四分位數所在組的真正下限FF1 1 = L= L11 以下的累積次數以下的累積次數ffQ1Q1 = = 第一四分位數所在組的次數第一四分位數所在組的次數h = h = 組距組距N = N = 總人數總人數
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四分位差的演算四分位差的演算
組別 f cf
75~79 1 55
70~74 2 54
65~69 4 52
60~64 5 48
55~59 8 43
50~54 10 35
45~49 9 25
40~44 7 16
35~39 4 9
30~34 2 5
25~29 2 3
20~24 1 1
N=55
例子：例子： 5555 名學生成就名學生成就測驗表，試求這測驗表，試求這 5555學生的：學生的：
1. Md 2. Q1 3. Q3 4. Q
變異數與標準差變異數與標準差
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變異量數的概念變異量數的概念 --標準差標準差 (Standard Deviation, SD)(Standard Deviation, SD)
所謂標準差，是指用∑所謂標準差，是指用∑ (X-(X-)) 的方式來表示分數分散的情況。的方式來表示分數分散的情況。
在算出標準差之前，需算出離均差平方和（在算出標準差之前，需算出離均差平方和（ sum of square of sum of square of deviation from the mean,deviation from the mean, 簡稱簡稱 SSSS ），代表每一個分數與平均），代表每一個分數與平均數的距離量數。數的距離量數。
SS= ∑(X-SS= ∑(X-)² =∑)² =∑x²x² （離均差平方和）（離均差平方和） S² =∑S² =∑x²/nx²/n （變異數）（變異數） SD= √ SD= √ ∑∑x²/nx²/n
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從標準差公式的涵義可知下列幾項事實從標準差公式的涵義可知下列幾項事實
當團體人數只有一人，當團體人數只有一人， S², S=0S², S=0 ，因為沒有個，因為沒有個別差異存在，所以就沒有變異數或標準差的別差異存在，所以就沒有變異數或標準差的存在。存在。
當團體中的所有人分數都相同的時候， 當團體中的所有人分數都相同的時候， S², S², S=0S=0 ，因為此時每個分數＝Ｘ。，因為此時每個分數＝Ｘ。
ㄧ個團體中至少要有兩個人存在，並且其中ㄧ個團體中至少要有兩個人存在，並且其中一人的分數與其他分數不相等時， 一人的分數與其他分數不相等時， S², SS², S 才才會存在，且大於０。會存在，且大於０。
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變異數與標準差變異數與標準差（一）為了解團體裡分散的情形，最好的方法就是（一）為了解團體裡分散的情形，最好的方法就是
計算所有分數到平均數的距離。計算所有分數到平均數的距離。 （二）然而平均數位於所有數值的中間位置， （二）然而平均數位於所有數值的中間位置，
，必須 ，必須去除掉負號去除掉負號才能了解確切的分散情形。才能了解確切的分散情形。（三）除了使用絕對值觀念的平均差（（三）除了使用絕對值觀念的平均差（ ADAD ）以外，）以外，
我們還可以將每一個 加以平方並總加成 我們還可以將每一個 加以平方並總加成 ，這就是 ，這就是離均差平方和離均差平方和（（ sum of square of desum of square of deviation from the mean, SSviation from the mean, SS ））
（四）如果我們再把（四）如果我們再把 SSSS 除以總次數除以總次數 NN ，則可得到，則可得到變異數變異數 SS22 （（ variancevariance ），再將之開根號，便可得），再將之開根號，便可得到標準差到標準差 SDSD （（ standard deviationstandard deviation ）。）。
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該班學生的智育成績的變異情形？（未歸類）該班學生的智育成績的變異情形？（未歸類）
72, 73, 79, 81, 81, 82, 85, 85, 85, 8772, 73, 79, 81, 81, 82, 85, 85, 85, 87 87, 89, 89, 90, 90, 91, 91, 91, 91, 9287, 89, 89, 90, 90, 91, 91, 91, 91, 92 92, 92, 92, 93, 93, 93, 93, 94, 94, 9492, 92, 92, 93, 93, 93, 93, 94, 94, 94 95, 95, 95, 95, 96, 96, 96, 97, 9895, 95, 95, 95, 96, 96, 96, 97, 98
請求該班智育成績中的…請求該班智育成績中的…1. 1. ωω==2. X=2. X=3. Q=3. Q=4. SD=4. SD=
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標準差標準差 (SD)(SD) 的計算舉例的計算舉例 .1.1
甲組甲組 乙組乙組XX X²X² YY Y²Y²
9090 81008100 9090 81008100
8585 72257225 7575 56255625
8080 64006400 7575 56255625
7575 56255625 7575 56255625
7070 49004900 7575 56255625
6565 42254225 6565 42254225
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變異數與標準差變異數與標準差
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變異數與標準差變異數與標準差
計算公式：計算公式：因為：因為：
所以：所以：
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變異數與標準差變異數與標準差
例一：當例一：當 X = 14X = 14 、、 1212 、、 99 、、 1717 、、 88 時，試時，試求其標準差。（朱經明，求其標準差。（朱經明， 20072007 ：： 4646 ，表，表4-34-3 ））
例二：七名學生參加一項測驗，得分為例二：七名學生參加一項測驗，得分為 33 ，， 44 ，，88 ，， 99 ，， 1111 ，， 1212 ，， 1616 ，試求此測驗的變，試求此測驗的變異數與標準差各為多少？異數與標準差各為多少？
解答：解答： SS = 17.71SS = 17.71 、、 SD = 4.21SD = 4.21
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變異數與標準差變異數與標準差
離均差平方和、變異數及標準差的關係（圖離均差平方和、變異數及標準差的關係（圖 4-4-22 ））
1.1. 離均差平方和（離均差平方和（ SSSS ）即指這七個正方形面積）即指這七個正方形面積的的總面積總面積，面積愈大代表團體的分數愈參差，面積愈大代表團體的分數愈參差不齊。不齊。
2.2. 變異數可視為七個正方形面積的變異數可視為七個正方形面積的平均面積平均面積。。3.3. 標準差則是平均面積正方形的標準差則是平均面積正方形的長度長度距離。距離。
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變異數與標準差變異數與標準差
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變異數與標準差變異數與標準差
1.1. 團體各分數加團體各分數加 cc ，所得變異數仍與原來變異，所得變異數仍與原來變異數相等（平均數改變、變異數不變）。數相等（平均數改變、變異數不變）。
證明：證明：
2.2. 團體各分數乘團體各分數乘 cc ，所得變異數為原來變異數，所得變異數為原來變異數之之 cc22 倍（平均數變倍（平均數變 cc 倍，變異數變倍，變異數變 cc22 倍）倍）
證明：證明：
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比較：各種變異量數的適用時機：比較：各種變異量數的適用時機：
適用變項：適用等距變項：全距、標準差、平均差。適用變項：適用等距變項：全距、標準差、平均差。適用次序變項：四分差適用次序變項：四分差快速與簡易：全距 快速與簡易：全距 > > 四分差 四分差 >> 平均差 平均差 >> 標 標
準差準差 穩定性：標準差穩定性：標準差 >> 平均差 平均差 >> 四分差 四分差 >> 全距 全距 極端值：出現極端值時，使用四分差比較佳極端值：出現極端值時，使用四分差比較佳
相對差異係數：變異係數相對差異係數：變異係數
科技與社會科技與社會
相對差異係數（相對差異係數（ Coefficient of Relative VariationCoefficient of Relative Variation ）（或稱為）（或稱為變異係數變異係數 , Coefficient of variation, CV, Coefficient of variation, CV ））
意義：表示標準差的大小與平均數的大小相比起來佔平均意義：表示標準差的大小與平均數的大小相比起來佔平均數的多少百分比。數的多少百分比。
我們想要知道甲乙兩個團體中，哪一個團體的個別差異比我們想要知道甲乙兩個團體中，哪一個團體的個別差異比較大，這時，除了運用平均數以外，我們可以比較他們的較大，這時，除了運用平均數以外，我們可以比較他們的標準差。但是，如果若要比較大學生的身高與小學生的身標準差。但是，如果若要比較大學生的身高與小學生的身高，此時這樣的比較沒有意義，而需要運用相對差異係數，高，此時這樣的比較沒有意義，而需要運用相對差異係數，再來進行比較。再來進行比較。
變異係數只能用在描述統計，不能用在推論統計變異係數只能用在描述統計，不能用在推論統計 公式：公式：
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相對差異係數的運算相對差異係數的運算
練習：練習： 1. 1. 崑山科大電機系男生學生的體重，崑山科大電機系男生學生的體重， M=70, SD=6.5M=70, SD=6.5 ，崑山，崑山科大附設幼稚園男性學生體重，科大附設幼稚園男性學生體重， M=40, SD= 2M=40, SD= 2 ，求男大學生，求男大學生與男幼童的相對差異係數？與男幼童的相對差異係數？
2. 2. 某ㄧ個班上成年男子共有某ㄧ個班上成年男子共有 150150 名，身高的平均數為名，身高的平均數為 167cm167cm ，，標準差為標準差為 5cm5cm ，體重的平均數為，體重的平均數為 61kg61kg ，標準差為，標準差為 6kg6kg ，試，試求該班成年男子身高體重的相對差，並解釋此結果的意義。求該班成年男子身高體重的相對差，並解釋此結果的意義。
