水素原子 by T.Koyama

１．シュレ－ディンガ－の波動方程式の極座標表示 シュレ－ディンガ－の波動方程式を３次元中心間ポテンシャルについて解こう。 まず、シュレ－ディンガ－の波動方程式は、

− ∇ +LNM

OQP =

22

2mV r E( ) ( ) ( )ψ ψr r (1)

にて与えられる。これを極座標表示に書き換える。変数の変換は、

x ry rz r

===

sin cossin sincos

θ φθθ

φ (2)

である。これより、

r x y z zr

yx

2 2 2 2= + + = =, cos , tanθ φ (3)

であり、さらに、

r x y z

r rx

x rx

xr

rr

r ry

y ry

yr

rr

r rz

z rz

zr

rr

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

= + +∂∂

= ∴∂∂

= = =

∂∂

= ∴∂∂

= = =

∂∂

= ∴∂∂

= = =

sin cos sin cos

sin sin sin sin

cos cos

θ φ θ φ

θ φ θ φ

θ θ

(4.1)

および、

cos

sinsin

sin cos cossin

cos cos

sinsin

sin sin cossin

cos sin

sinsin sin

cossin

sin

θ

θ θ θθ

θ φ θθ

θ φ

θ θ θθ

θ φ θθ

θ φ

θ θ θθ θ

θθ

θ

=

−∂∂

= −∂∂

= − ∴∂∂

= = =

−∂∂

= −∂∂

= − ∴∂∂

= = =

−∂∂

= −∂∂

= − ∴∂∂

= − =−

= −

zr

xzr

rx

xzr x

xzr r

yzr

ry

yzr y

yzr r

zrr

zr

rz r

zr z

zr r r r

2 3 3

2 3 3

2 2

2

3

2

3

21 1

r

r1

(4.2)

また、

1

tan

coscos sin sin

sin coscos sin

sin

coscos cos

sin coscossin

cos

φ

φφ φ φ θ φ

θ φφ φ

θ

φφ φ φ φ

θ φφθ

φφ φ

=

∂∂

= − ∴∂∂

= − = − = −

∂∂

= ∴∂∂

= = =

∂∂

= ∴∂∂

=

yx

xyx x

yx

rr r

yxx x x r r

z z

1

1 1

1 0 0

2 2 22

2 2 22

2 22

2

2

(4.3)

となる。以上から、x, y, zによる偏微分は、

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

−∂∂

xrx r x x r r r

yry r y y r r r

zrz r z z r r

θθ

φφ

θ φ θ φθ

φθ φ

θθ

φφ

θ φ θ φθ

φθ φ

θθ

φφ

θ θθ

sin cos cos cos sinsin

sin sin cos sin cossin

cos sin

(5)

と計算される。次に x, y, zによる２階偏微分を計算しよう。結局は式(5)を２階続けて行えば良いのであるから、次のように計算される。

∂∂

∂∂

FHG

IKJ =

∂∂

+∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

∂∂

+∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

=∂∂

∂∂

+∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

∂∂

+∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

−∂∂

∂∂

+

x x r r r r r r

r r r r

r r r r

r r

sin cos cos cos sinsin

sin cos cos cos sinsin

sin cos sin cos cos cos sinsin

cos cos sin cos cos cos sinsin

sinsin

sin cos cos cos

θ φ θ φθ

φθ φ

θ φ θ φθ

φθ φ

θ φ θ φ θ φθ

φθ φ

θ φθ

θ φ θ φθ

φθ φ

φθ φ

θ φ θ φr r

r r r r r r r

rr r r r

r r

rr

∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

=∂∂

−∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+

∂∂

+∂

∂ ∂−

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂

∂ ∂

F

H

GGGG

I

K

JJJJ

−−

∂∂

+

θφθ φ

θ φ θ θ φθ θ

φ φφ φ

θ φθ φ θ φ

θθ φ

θθ φ

θ

φ θθ φ

φθ θ φ

φθ

θ φ

sinsin

sin cos sin cos cos sin cos

cos coscos cos sin cos sin cos cos cos

sin cossin

sinsin

sinsin

sin sin

2 22

2

2 2 2

2 2

2

2

2

1 1

sin cos cos sin cos cos

cossin

sinsin

θ φφ

θ φθ

θ φφ θ

φθ φ

φθ φ

∂∂ ∂

+ −∂∂

+∂

∂ ∂

+ −∂∂

+ −∂∂

F

H

GGGG

I

K

JJJJ

2 2

2

2

r r r

r r

2

=∂∂

−∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ −

sin cos sin cos cos sin cos

cos cos sin cos cos

cos sin cossin

cossin

sinsin

sin cos

2 22

2

2 2

2 2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

1 1

1 1

1

θ φ θ θ φθ θ

φ φφ φ

θ φθ

θ θ φθ θ

θ φ φθ

θθ φ θ φ

φθ φ

φ φ

r r r r r r r

r r r r r r

r

r r r r

2

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

2

2

2

2

1φ θ φ

θ φθ

φθ

φφ θ

r r

r

sin

cos sinsin

sin cos

(6)

∂∂

∂∂

FHG

IKJ =

∂∂

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

∂∂

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

=∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

∂∂

+

y y r r r r r r

r r r r

r r r r

r r

sin sin cos sin cossin

sin sin cos sin cossin

sin sin sin sin cos sin cossin

cos sin sin sin cos sin cossin

cossin

sin sin cos sin

θ φ θ φθ

φθ φ

θ φ θ φθ

φθ φ

θ φ θ φ θ φθ

φθ φ

θ φθ

θ φ θ φθ

φθ φ

φθ φ

θ φ θ φr r

r r r r r r r

rr r r r

r r

r

∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

=∂∂

−∂∂

+∂

∂ ∂−

∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ

+

∂∂

+∂

∂ ∂−

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂

∂ ∂

F

H

GGGG

I

K

JJJJ

+

∂∂

θφθ φ

θ φ θ φ θ φθ

θ φθ

φθ φ

φθ φ

θ φθ φ θ φ

θθ φ

θθ φ

θ

θ φθ φ

φθ θ φ

φθ

θ φ

cossin

sin sin sin sin cos sin cos sin cossin

cossin

cos sincos sin sin sin sin sin cos sin

cos cossin

cossin

cossin

sin cos

2

2 2

2

2

2

2 2

2

2

2

r r r r

r r

+∂

∂ ∂+

∂∂

+∂

∂ ∂

−∂∂

+∂∂

F

H

GGGG

I

K

JJJJ

sin sin cos cos cos sin

sinsin

cossin

θ φφ

θ φθ

θ φφ θ

φθ φ

φθ φ

2 2

2

2

=∂∂

+ −∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

−∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

sin sin sin cos sin sin cos

cos sin sin cos sin

cos sin cossin

cossin

cossin

sin cos

2 22

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

1 1

1 1

1

θ φ θ θ φθ θ

φ φφ φ

θ φθ

θ θ φθ θ

θ φ φθ

θθ φ θ φ

φθ φ

φ φ

r r r r r r r

r r r r r r

r

r r r r r r

r

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ

2

2

2

2

1φ θ φ

θ φθ

φθ

φφ θ

sin

cos cossin

cos sin

(7)

3

∂∂

∂∂

FHG

IKJ =

∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

=∂∂

∂∂

−∂∂

FHG

IKJ −

∂∂

∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

=∂∂

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

− −∂∂

+∂

∂ ∂−

∂∂

−∂∂

FHG

IKJ

=∂

z z r r r r

r r r r r r

r r r r

r r r r r

cos sin cos sin

cos cos sin sin cos sin

cos cos sin sin

sin sin cos cos sin

cos

θ θθ

θ θθ

θ θ θθ

θθ

θ θθ

θ θ θθ

θθ

θ θ θθ

θθ

θθ

θ

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2

1

1 1

∂+

∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

r r r r

r r r r r r

sin cos

sin sin cos

θ θθ θ

θθ

θ θθ θ

(8)

x, y, zによる２階偏微分が得られたのでラプラシアンは、

4

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂

+∂

2

2

2

2

2

2

2 22

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 2

2

1 1

1 1

1

x y z

r r r r r r r

r r r r r r

r r r r

sin cos sin cos cos sin cos

cos cos sin cos cos

cos sin cossin

cossin

sinsin

θ φ θ θ φθ θ

φ φφ φ

θ φθ

θ θ φθ θ

θ φ φθ

θθ φ θ φ

φθ

2

2

2

2

2

2

2 22

2

2 2 2

2 2 2

2

2 2

1

1 1

1 1

∂FHG

IKJ

−∂

∂ ∂−

∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+ −∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FH

φ

φ φφ θ φ

θ φθ

φθ

φφ θ

θ φ θ θ φθ θ

φ φφ φ

θ φθ

θ θ φθ θ

sin cossin

cos sinsin

sin cos

sin sin sin cos sin sin cos

cos sin sin cos sin

r r r

r

r r r r r r r

r r r r r rG IKJ

−∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

cos sin cossin

cossin

cossin

sin cossin

cos cossin

cos sin

cos sin cos

sin sin cos

θ φ φθ

θθ φ θ φ

φθ φ

φ φφ θ φ

θ φθ

φθ

φφ θ

θ θ θθ θ

θθ

θ θ

r

r r r r r r

r

r r r r

r r r r

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2 2

2

1 1

1

1 1 2

r r∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJθ θ

5

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+ −∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ + −

∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂

∂ ∂−

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂

sin cos sin sin cos

sin cos cos sin cos sin

sin cos cos sin cos sin

sin cos sin cos

2 22

22 2

2

22

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

1 1

1 1

1 1

θ φ θ φ θ

θ θ φθ θ

θ θ φθ θ

θ θ φθ θ

θ θ φθ θ

θ θθ θ

θ θθ

r r r

r r r r r r

r r r r r r

r r r r r−

∂∂ ∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ + −

2

2 2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2

2

2

1 1

1 1

r

r r r r r r

r r r r r r r r r

r r

θ

φ φφ φ

φ φφ φ

θ φθ

θ φθ

θθ

θ φ φθ

θθ φ θ φ

θ φ φθ

θ

sin cos sin cos

cos cos cos sin sin

cos sin cossin

cossin

cos sin cossin

cos

1

sin

sinsin

cossin

sin cossin

sin cossin

cos sinsin

sin cos cos cossin

cos sin

θ φ θ φ

φθ φ

φθ φ

φ φφ θ φ

φ φφ θ φ

θ φθ

φθ

φφ θ

θ φθ

φθ

φφ θ

∂∂

+∂

∂ ∂FHG

IKJ

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

+ −∂

∂ ∂+

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂ ∂

−∂∂

FHG

IKJ

+∂∂

−∂

∂ ∂FHG

IKJ +

∂∂

+∂

∂ ∂FHG

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 1

1 1

r r r r r r

r r r r r r

r rIKJ

=∂∂

+∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

2

2

2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2

2

2

2 2 2

2

2

1 1 1 1

2 1 1

1 1 1 1

r r r r r r r r

r r r r r r

r rr

r

θ θ φθθ θ

θθθ θ θ φ

θ θθ

θ θ φ

sincos

sin

cossin sin

sinsin

sin

(9)

にて与えられる。ここで、

1 1 1 1

1 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

r rr f

r rr f

r r rr f

r rf r f

r

rfr

fr

r fr

fr r

fr r r r

f

∂∂

2

FHG

IKJ =

∂∂

FHG

IKJ =

∂∂

∂∂

FHG

IKJ

RSTUVW=

∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

RSTUVW

=∂∂

+∂∂

+∂∂

RSTUVW =

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

FHG

IKJ

(10.1)

6

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2 2

2

2

2

2

2 2 2 2

2

2

r r

r

r r r

sinsin

sin sincos sin

sin

cossin sin

cossin sin

θ θθ

θ θ φ θθ

θθ

θ θ

θθ θ θ θ φ

θθθ θ θ φ

∂∂

∂∂ φ

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP=

∂∂

+∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

=∂∂

+∂∂

+∂∂

LNM

OQP

=∂∂

+∂∂

+∂∂

(10.2)

を用いた。以上から、結局

∇ =∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

22

2 2 2

2

2

1 1 1 1r r

rr sin

sinsinθ θ

θθ θ φ

(11)

であるので、シュレ－ディンガ－の波動方程式は、極座標にて

− ∇ +LNM

OQP =

− ∇ +LNM

OQP = −

∇ −LNM

OQP =

∇ − =

∇ + − − =

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

L

22

22

2 2

22

2

2 2

2 2

2

2 2 2

2

2

2

2 2

2

0

1 1 1 1

mV r E

mV r k

m

mV r k

U r k

U r k

r rr

r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) { ( ) } ( )

( )sin

sinsin

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψ ψ

ψθ θ

θθ θ φ

r r

r r

r r

r r

r r

rNM

OQP

+ − − =ψ ψ( ) { ( ) } ( )r rU r k 2 0

(12)

と書き直される。ここで

E km

U r mV r= − =

2 2

222, ( ) ( ) (13)

と置いた。 ２．シュレ－ディンガ－の波動方程式の解法 シュレ－ディンガ－波動方程式の極座標表示が得られたので、次に変数分離にてこの偏微分方程式を解こう。まず、 ψ ψ θ φ θ φ( ) ( , , ) ( ) ( , )r = =r R r Y (14) と置く。これより、波動方程式は、

7

1 1 1 1 0

1 1 1 1

2

2 2 2

2

22

2

2 2 2

2

22

r rr R r Y

rR r Y U r k R r Y

Yr r

rR r R rr

Y U r k R r Y

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

+ − − =

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

+ − −

( ) ( , )sin

sinsin

( ) ( , ) { ( ) } ( ) ( , )

( , ) ( ) ( )sin

sinsin

( , ) { ( ) } ( )

θ φθ θ

θθ θ φ

θ φ θ φ

θ φθ θ

θθ θ φ

θ φ ( , )

( )( ) { ( ) }

( , ) sinsin

sin( , )

θ φ

θ φ θ θθ

θ θ φθ φ

=

∂∂

FHG

IKJ + − − +

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

=

0

1 1 1 02

22 2

2

2

2r

R r rrR r r U r k

YY

と書き直され、これより、λを変数 ( , , )r θ φ に依存しない変数として、

rR r r

rR r r U r k

YY

( )( ) { ( ) }

( , ) sinsin

sin( , )

∂∂

FHG

IKJ + − − =

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

= −

2

22 2

2

2

21 1 1

λ

θ φ θ θθ

θ θ φθ φ λ

となる。この２式をさらに変形し、最終的に

rR r r

rR r r U r k

rR r rrR r U r k

r

r rrR r U r k

rR r

( )( ) { ( ) }

( )( ) { ( ) }

( ) ( ) ( )

∂∂

FHG

IKJ + − − =

∂∂

FHG

IKJ + − − =

∂∂

FHG

IKJ + − − −RST

UVW =

2

22 2

2

22

2

2

22

2

1

1 0

λ

λ

λ

(15)

1 1 1

1 1 0

1 1 0

2

2

2

2

2

2

2

2

2

YY

Y Y

Y

( , ) sinsin

sin( , )

sinsin

sin( , ) ( , )

sinsin

sin( , )

θ φ θ θθ

θ θ φθ φ λ

θ θθ

θ θ φθ φ λ θ φ

θ θθ

θ θ φλ θ φ

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

= −

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

LNM

OQP

+

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+LNM

OQP

=

= (16)

を得る。さらに変数分離を続けよう。 Y F G( , ) ( ) ( )θ φ θ φ= (17) と置く。これより、式(16)は、

8

1 1 0

1 1 0

1 1 0

1 1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sinsin

sin( , )

sinsin

sin( ) ( )

sinsin ( ) ( )

sin( ) ( ) ( ) ( )

( )sin

sin ( ) ( )sin

θ θθ

θ θ φλ θ φ

θ θθ

θ θ φλ θ φ

θ θθ

θθ φ

θ φθ φ λ θ φ

φθ θ

θθ

θ θθ

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+LNM

OQP

=

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+LNM

OQP

=

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂∂

+ =

∂∂

∂∂

FHG

IKJ +

∂

Y

F G

F G F G F G

G F F∂

+ =

∂∂

∂∂

FHG

IKJ + +

∂∂

=

φφ λ θ φ

θθ

θθ

θθ λ θ

φ φφ

2

22

2

0

1 1 0

G F G

FF

GG

( ) ( ) ( )

( )sin sin ( ) sin

( )( )

と変形され、これより、µを ( , )θ φ に依存しない変数として、

1

1

2 2

2

22

FF

GG

( )sin sin ( ) sin

( )( )

θθ

θθ

θθ λ θ µ

φ φφ µ

∂∂

∂∂

FHG

IKJ + =

∂∂

= −

(18)

が成立する。この２つ目の式は容易に解けて、

1

0

2

22

2

22

GG

G G

G A i

( )( )

( ) ( )

( ) exp( )

φ φφ µ

φφ

µ φ

φ µ

∂∂

= −

∂∂

+ =

∴ = φ

である。関数の規格化条件から、

G d A d A A( ) ,φ φ φ ππ

π π2

0

2 2

0

2 22 1 12z z= = = =

である。ここで、 と仮定した。したがって、A > 0 G( )φ は、

G( ) exp( )φπ

µφ=12

i (19)

にて与えられる。ここで、周期的境界条件から、

G G

im

( ) ( ) exp( )

exp( ), , , ,

0 12

2 12

2

2 10 1 2 3

= = =

∴ == = ± ± ±

ππ

ππ µ

π µµ

i

(20)

9

となりµは整数となる。 次に式(18)の始めの式を解こう。µを mに置き換えて、

1

0

1 0

2 2 2

2 2

2

2

FF m

F F m F

F m F

( )sin sin ( ) sin

sin sin ( ) ( ) sin ( )

sinsin ( )

sin( )

θθ

θθ

θθ λ θ µ

θθ

θθ

θ θ λ θ θ

θ θθ

θθ λ

θθ

∂∂

∂∂

FHG

IKJ + = =

∂∂

∂∂

FHG

IKJ + −

∂∂

∂∂

FHG

IKJ + −

FHG

IKJ =

= (21)

となる。さらに、

cos , sin

( ) (cos )

θθ θ

θ

θ θ

= = = −

=

x dd

dxd

ddx

ddx

F f

と変数変換しよう。これより、

1 0

1 0

1 0

1

2

2

2

2

2

2

22

2

sinsin ( )

sin( )

sinsin ( )

sin( )

sinsin sin sin ( )

sin( )

sinsin sin ( )

sin

θ θθ

θθ λ

θθ

θ θθ

θθ λ

θθ

θθ θ θ θ λ

θθ

θθ θ θ λ

θ

∂∂

∂∂

FHG

IKJ + −

FHG

IKJ =

FHG

IKJ + −

FHG

IKJ =

− −FHGIKJ

RSTUVW + −

FHG

IKJ =

− −FHGIKJ

RSTUVW + −

FHG

IKJ

F m F

dd

dd

F m F

ddx

ddx

F m F

ddx

ddx

F m F( )

sinsin sin cos sin ( )

sin( )

sin cossin

sin ( )sin

( )

cos sin ( )sin

( )

( )

θ

θθ θ θ θ θ θ λ

θθ

θ θθ

θ θ λθ

θ

θ θ θ λθ

θ

=

− − −FHG

IKJ

RSTUVW

+ −FHG

IKJ =

−FHGIKJ +

RSTUVW + −

FHG

IKJ =

− +FHG

IKJ + −

FHG

IKJ =

− + −

0

1 2 0

2 1 0

2 0

2 1

22

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

2

ddx

ddx

ddx

F m F

ddx

ddx

F m F

ddx

ddx

F m F

x ddx

x d 2

2

2

2

22

2

2

2

10

1 21

0

dxF m

xF

x d f xdx

x df xdx

mx

f x

FHG

IKJ + −

−FHG

IKJ =

− − + −−

FHG

IKJ =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

θ λ θ

λ

(22)

と書き直される。これはルジャンドルの陪微分方程式である。特に の時は、ルジャン

ドルの微分方程式 m = 0

10

( ) ( ) ( ) ( )1 222

02

00− − +x d f x

dxx df x

dxf xλ 0= (23)

となる。この解がルジャンドル多項式であるが、これを級数解法にて解いてみよう。まず、

を級数展開にて、 f x0 ( )

f x C x x

df xdx

k m C x

d f xdx

k m k m C x

mk m

m

mk m

m

mk m

m

00

00

1

02

02 0 0

2

0

0

0

0

1 1

1

( ) , ( )

( )

( ) ( )( )

= − ≤ ≤

= +

= + + −

+

=

∞

+ −

=

∞

+ −

=

∞

∑

∑

∑

b g (24)

と置く（xの指数部の mは、先の式(20)の mではないので注意すること）。これを、ルジャンドルの微分方程式(23)に代入し整理する。

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

(

1 2 0

1 1 2

1 1

2

22

02

00

20 0

2

00

1

0 0

0 02

00 0

0

0

0 0

0 0

− − + =

− + + −RST

UVW − +RST

UVW +RST

UVW =

+ + − − + + −

−

+ −

=

∞+ −

=

∞+

=

∞

+ −

=

∞+

=

∞

∑ ∑

∑ ∑

x d f xdx

x df xdx

f x

x k m k m C x x k m C x C x

k m k m C x k m k m C x

k

mk m

mm

k m

mm

k m

m

mk m

mm

k m

m

λ

λ

+ + =

− + + + + + −

− + + − − + + =

− + +

+

=

∞+

=

∞

− − + −

=

∞

+

=

∞+

=

∞+

=

∞

−

∑ ∑

∑

∑ ∑ ∑

m C x C x

k k C x k k C x k m k m C x

k m k m C x k m C x C x

k k C x k k C x

mk m

mm

k m

m

k km

k m

m

mk m

mm

k m

mm

k m

m

k k

)

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

0 0 02

0 0 11

0 02

2

0 00

00 0

0 0 02

0 0 1

0

1 1 1

1 2 0

1 1

λ

λ

−+

+

=

∞

+

=

∞+

=

∞+

=

∞

− −

++

+ + + + +

− + + − − + + =

− + +

+ + + + + − + + − − + +

∑

∑ ∑ ∑

10 0 2

0

0 00

00 0

0 0 02

0 0 11

0 0 2 0 0 0

2 1

1 2 0

1 1

2 1 1 2

0

0 0 0

0 0

0

( )( )

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

k m k m C x

k m k m C x k m C x C x

k k C x k k C x

k m k m C k m k m C k m C C x

mk m

m

mk m

mm

k m

mm

k m

mk k

m m mk

λ

λl q

00∑

mm

mk k

m mk m

m

k k C x k k C x

k m k m C k m k m C x

=

∞

− −

++

=

∞

∑

∑

=

− + +

+ + + + + + − + + + =

0

0 0 02

0 0 11

0 0 2 0 00

0

1 1

2 1 1 0

0 0

0

( ) ( )

( )( ) { ( )( )}λ

決定方程式より、C から、k k0 0≠ k0 0 01 0 0( ) , 1,− = ∴ = が得られ、さらに ( )k k0 01 0+ = よ

り、k の時、C は任意である。任意であるから通常C0 0= 1 1 0= と置く。また の時には、

となる。また、 k0 1=

C1 0=

11

( )( ) { ( )( )}

( )( )( )( )

k m k m C k m k m C

C k m k mk m k m

C

m m

m m

0 0 2 0 0

20 0

0 0

2 1 11

2 1

+ + + + + − 0+ + + =

=+ + + −+ + + +

+

+

λλ (25)

である。 まず始めに の場合を考えよう。これより、 k0 0=

C m mm m

Cm+ =+ −

+ +21

2 1( )

( )( ) mλ (26)

である。ここで、

C m mm m

C m mm m

C m mm m

Cm m m+ =+ −

+ +=

+ −+ +

=+ −+ +2

2

2

2

21

2 1 3 21 11 3 2

( )( )( )

/ // /

λ λ λm

と変形されるので、λが m に無関係な定数であれば、m→ ∞で となり、解は収

束しない。 で と収束するためには、

C Cm+ =2 m

m→ ∞ Cm → 0 λと m の間に何らかの関係が存在しなくてはならない。nを整数として、

λ = + = + ≤

= >

n n n n n m

C nm

( ) ,

,

1

0

2

m (27)

が成立する時に と収束する。なぜなら、 Cm → 0 m m m m n n m n m n m n m n m n2 2 2 1+ − = + − − = + − + − = + + −λ ( )( ) ( ) ( )( ) であり、これを式(26)に代入すると、

C m n m nm m

C n m m n mm m

Cm m+ =+ +

m−

+ +=

+ + −+ +2 2 2

13 2

1 1 11 3 2

( )( ) ( / / )( // /

)

が得られ、

lim ( / / )( / )/ /

lim( / )( / ) limm m m

n m m n mm m

n m n m nm→∞ →∞ →∞

+ + −+ +

= + − = − FHGIKJ

RS|T|UV|W|<

1 1 11 3 2

1 1 12

2

1

であるから、結局、式(27)の条件が成立すれば、 n m≤ の場合、漸化式(26)は大きな mに対して、 に収束することがわかる。またCm → 0 n m> では式(27)よりC としたので、当

然ながら である。つまり、式(27)の条件が成立すれば、式(24)は無限級数ではなく、有限級数展開(＝多項式展開)できるのである。議論が若干複雑になってきたので、ここでいったんまとめてみよう。

m = 0Cm = 0

・ルジャンドルの微分方程式

12

( ) ( ) ( ) ( )1 222

02

00− − +x d f x

dxx df x

dxf xλ 0=

1≤

(28.1)

・級数展開( の場合) k0 0=

(28.2) f x C x xmm

m0

0

1( ) , ( )= − ≤=

∞

∑ ・解が収束する条件

λ = + = + ≤

= >

n n n n n m

C nm

( ) ,

,

1

0

2

m (28.3)

・漸化式

C m n m nm m

C m n n mm m

Cm m+ =+ + −+ +

= − m+ + −+ +2

12 1

1 12 1

( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( )

(28.4)

・初期条件 (28.5) C C0 10≠ , 0= となる。さて、初期条件において、決定方程式からC1 0= としたので、漸化式から級数展

開には偶数次しか現れないことがわかる。具体的に展開してみよう。 C C C0 0 1 0= =, の時 m + =2 2

C n n C2 01 12

= −+( ) ( )

!

の時 m + =2 4

C n n C n n n n C

n n n n C

4 2

20

1 3 24 3

1 3 24 3

1 12

1 3 1 24

= −+

0−

⋅= −

+ −⋅

−+

= −+ + −

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )!

( ) ( )( ) ( )!

の時 m + =2 6

C n n C n n n n n n C

n n n n n n C

6 42

0

30

1 5 46 5

1 5 46 5

1 3 1 24

1 5 3 1 2 46

= −+ −

⋅= −

+ −⋅

−+ + −

= −+ + + − −

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )!

( ) ( )( )( ) ( )( )!

の時 m + =2 8

C n n C n n n n n n n n C

n n n n n n n n C

8 63

0

40

1 7 68 7

1 7 68 7

1 5 3 1 2 46

1 7 5 3 1 2 4 68

= −+ −

⋅= −

+ −⋅

−+ + + − −

= −+ + + + − − −

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )!

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )!

ここで、ルジャンドル多項式は、

13

P x n pn p n p p

xnp

nn p

p

n

( ) ( ) ( )!( )!( )! !

/

= −−

− −−

=∑ 1 2 2

2 22

0

2

(29)

にて定義される。n=偶数として、 n p l− =2 2 と置き、pを消去すると、

P x n pn p n p p

x

n n ln n l n n l n l

x

n ln l l n l

x

np

nn p

p

n

n ln

n n l

l

n

n ln

l

l

n

( ) ( ) ( )!( )!( )! !

( ) ( )!( / )!( )!( / )!

( ) ( )!( / )!( )!( / )!

/

//

//

= −−

− −

= −− +

− + − + −

= −+

+ −

−

=

− −

=

−

=

∑

∑

∑

1 2 22 2

1 2 22 2 2 2

1 22 2 2 2

2

0

2

2 2

0

2

2 2

0

2

+

これも具体的展開してみよう。 x l2 の係数は次のように定義しよう。

C n ln l l n ll

n ln2

21 22 2 2 2

≡ −+

+ −−( ) ( )!

( / )!( )!( / )!/

l = 0の時、

C nn n

nn0

212 2 2

= −( ) !( / )!( / )!

/

l = 1の時、

C nn n

n n n nn n n

n n nn

C

n n nn

C

n n C

nn

n

n22 1

2

0

0

0

1 22 2 1 2 2 1

11

2 1 22 2 1 2 2 2

11

2 1 22 1

11

2 12

1 12

≡ −+

+ −=

−−

+ ++

=−

+ ++

=−

+ ++

= −+

−( ) ( )!( / )! !( / )!

( )( )

( )( ) !( / )( / )( / )! !( / )!

( )( )( )( / )

( / )2!

( )( )( )

( )2!

( ) ( )!

//

l = 2の時、

C nn n

n n n n n n nn n n n

n n n n n nn n

C

n n n n

nn

n

n

42 2

2

2

2 0

2

1 42 2 2 4 2 2

11

4 3 2 1 2 22 2 2 2 1 2 4 2

11

4 3 2 1 2 2 12 2 2 1

11

4 3 2 1

≡ −+

+ −

=−−

+ + + + −+ +

=−

+ + + + −+ +

=−

+ + + +

−( ) ( )!( / )! !( / )!

( )( )

( )( )( )( ) !( / )( /( / )( / )( / )! !( / )!

( )( )( )( )( )( / )( / )

( / )( / )4!

( )( )( )( )( )

/

/ 1)

n nn n

C

n n n n C

( )( )( )4!

( ) ( )( ) ( )!

−+ +

= −+ + −

24 2

1 3 1 24

0

20

14

l = 3の時、

C nn n

n n n n n n n n n nn n n n n

n n n n n n n n nn

nn

n

n

62 3

2

3

3

1 62 2 3 6 2 3

11

6 5 4 3 2 1 2 2 1 22 2 3 2 2 2 1 2 6 2

11

6 5 4 3 2 1 2 2 1 2 22

≡ −+

+ −

=−−

+ + + + + + − −+ + +

=−

+ + + + + + − −+

−( ) ( )!( / )! !( / )!

( )( )

( )( )( )( )( )( ) !( / )( / )( /( / )( / )( / )( / )! !( / )!

( )( )( )( )( )( )( )( / )( / )( / )

( /

/

/ 2)

3 2 2 2 111

6 5 4 3 2 1 2 46 4 2

1 5 3 1 2 46

0

3 0

30

)( / )( / )6!

( )( )( )( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )6!

( ) ( )( )( ) ( )( )!

n nC

n n n n n n n n nn n n

C

n n n n n n C

+ +

=−

+ + + + + + − −+ + +

= −+ + + − −

以上から、ルジャンドル多項式が式(28.2)そのものであることがわかる。つまりルジャンドル多項式が式(28.1)の解である。 式(25)において の場合は、以上と同様にして、n=奇数に対するルジャンドル多項式が解となる。最も重要な点は、解が収束する条件として、式(28.3)のように

k0 1=λが特別な値に

限定される点である。 さて、以上は式(22)において、m の場合であったが、次に= 0 m ≠ 0における解を求める。天下り式ではあるが、解はルジャンドル陪関数

f x P x x ddx

P x n m nnm m

m

m n( ) ( ) ( ) ( ) , ( )/= = − − ≤ ≤1 2 2 (30)

になる（式(28.3)の mは単に展開次数を表す記号であり、式(22)において導入された上式のmとは異なるので注意）。結局、式(17)の F( )θ は、

F C f x CP x C P

n n mn m

P m

nm

nm

nm

( ) ( ) ( ) (cos )

( )!( )!

(cos ) , ( )

θ θ

θ

= = =

=+F

HGIKJ

−+

≤2 1

2n

(31)

にて与えられる。規格化定数 Cは規格化条件から決定されている。 式(17)(19)(20)(31)から、

Y F G

n n mn m

P im mnm

( , ) ( ) ( )

( )!( )!

(cos ) exp( ) , ( )n

θ φ θ φ

πθ φ

=

=+F

HGIKJ

−+

≤12

2 12

(32)

となる。さらにパリティ－まで考慮するために をつけて、最終的に ( )−1 m

Y n l ml m

P imlmm

lm( , ) ( ) ( )!

( )!(cos )exp( ) , ( )θ φ

πθ φ= −

+ m lFHG

IKJ

−+

≤1 2 14

(33)

と書かれ、これは球面調和関数と呼ばれる（慣例に従い、n と置き直した）。なお、( )l −1 m→

15

をついても、もともとYlm( , )θ φ は空間的に＋側と－側が対称な関数であるので一般性を失わない。 さて、以上で波動関数の方位依存性部分が得られたので、次に動径方向について求めよう。まず動径方向の波動関数は式(15)より、

1 02

22

2rd

d rrR r U r k l l

rR r( ) ( ) ( ) ( )1F

HGIKJ + − − −

+RSTUVW = (34)

である。ただし、式(28.3)よりλ = +l l( 1)とした。ポテンシャルとして、

U r m er

m er

( ) = −FHG

IKJ = −

2 14 22

0

2

02

2

πε πε (35)

を採用しよう。απε

=me2

022および χ( ) ( )r rR r= と置いて、

12

1 0

1 0

1 0

2

20

2

22

2

2

22

2

2

22

2

rddr

rR r m er

k l lr

R r

ddr

rR r kr

l lr

rR r

ddr

r kr

l lr

r

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

FHG

IKJ + − −

+RSTUVW =

FHG

IKJ + − + −

+RSTUVW =

FHG

IKJ + − + −

+RSTUVW =

πε

α

χ α χ

(36)

さらに、 χ( ) ( ) ( ) exp( )r rR r X r kr= = − (37) と置く。

ddr

r kr

l lr

r

ddr

X r kr kr

l lr

X r kr

dd r

d X rd r

kr kX r kr kr

l lr

X r kr

d X rd r

k dX rd r

k X r

2

22

2

2

22

2

22

2

22

1 0

1 0

1 0

2

χ α χ

α

α

( ) ( ) ( )

( ) exp( ) ( ) ( ) exp( )

( ) exp( ) ( ) exp( ) ( ) ( ) exp( )

( ) ( ) ( )

FHG

IKJ + − + −

+RSTUVW =

−FHG

IKJ + − + −

+RSTUVW − =

− − −RST

UVW + − + −+RST

UVW − =

− +RST

UVW − + − + −+RST

UVW − =

− + −+RST

UVW =

exp( ) ( ) ( ) exp( )

( ) ( ) ( ) ( )

kr kr

l lr

X r kr

d X rdr

k dX rd r r

l lr

X r

22

2

2 2

1 0

2 1 0

α

α

さらに、変数を無次元にするために、

16

2

2

2 42

22

2

2

kr x

dd r

d xd r

dd x

k dd x

dd r

d xd r

dd x

k dd x

k dd x

=

=FHG

IKJ =

=FHG

IKJ

FHG

IKJ =

(38)

と置く。したがって、最終的に

d X rdr

k dX rdr r

l lr

X r

k d X x kd x

k dX x kdx

kx

k l lx

X x k

d X xd x

dX xdx

kx

l lx

X x

2

2 2

22

22

2

2

2

2 2

2 1 0

4 2 4 2 2 4 1 2

2 1 0

( ) ( ) ( ) ( )

{ / ( )} { / ( )} ( ) { / ( )}

( ) ( ) / ( ) ( ) ( )

− + −+RST

UVW =

− + −+RST

UVW =

− + −+RST

UVW =

α

α

α

0 (39)

を得る。さて、級数展開しよう。

X x C x

dX xdx

m k C x

d X xdx

m k m k C x

mm k

m

mm k

m

mm k

m

( )

( ) ( )

( ) ( )( )

=

= +

= + + −

+

=

∞

+ −

=

∞

+ −

=

∞

∑

∑

∑

0

0

0

0

01

02

2 0 02

0

1

(40)

これを式(39)に代入し、整理すると、

17

d X rd x

dX rdx

kx

l lx

X x

m k m k C x m k C x

kx

l lx

C x

m k m k C x m k C x

k

mm k

mm

m k

m

mm k

m

mm k

mm

m k

m

2

2 2

0 02

00

1

0

20

0 02

00

1

0

2 1 0

1

2 1 0

1

2

0 0

0

0 0

( ) ( ) / ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

/ ( ) ( )

( )( ) ( )

− + −+RST

UVW =

+ + − − +

+ −+RST

UVW =

+ + − − +

+

+ −

=

∞+ −

=

∞

+

=

∞

+ −

=

∞+ −

=

∞

∑ ∑

∑

∑ ∑

α

α

α C x l l C x

m k m k l l C xk

m k C x

m k l m k l C xk

m k C x

k l k l

mm k

mm

m k

m

mm k

mm

m k

m

mm k

mm

m k

m

+ −

=

∞+ −

=

∞

+ −

=

∞+ −

=

∞

+ −

=

∞+ −

=

∞

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

− + =

+ + − − + + − +RSTUVW =

+ + + − − + − +RSTUVW =

+ − −

0 0

0 0

0 0

1

0

2

0

0 02

00

1

0

0 02

00

1

0

0 0

1 0

1 12

0

12

0

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )(

l q α

α

1 1

20

1 1

20

1

1

0 0 02

1

01

0

0 0 0 0 0 11

0

01

0

0 0 0

0 0

0

0

0

0

) ( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( )

( )( )

( )(

C m k l m k l C x

km k C x

k l k l C m k l m k l C x

km k C x

k l k l C

m k l m k

mm k

m

mm k

m

mm k

m

mm k

m

+ + + + − −

+ − +RSTUVW =

+ − − + + + + + −

+ − +RSTUVW =

+ − −

+ + + + +

+ −

=

∞

+ −

=

∞

++ −

=

∞

+ −

=

∞

∑

∑

∑

∑

α

α

− + − +RSTUVW

LNM

OQP =+

+ −

=

∞

∑ l Ck

m k C xm mm k

m

) ( )1 01

0 200

α

(41)

となる。なお、式の変形において、

(42) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

{( ) }{( ) ( )}( )( )

m k m k l l m k m k l lm k l m k l

m k l m k l

+ + − − + = + − + − += + + + − += + + + − −

0 0 02

0

0 0

0 0

1 1 11

1 を用いた。ここで、C0 0≠ より、 ( )( )k l k l0 0 1 0+ − − = でなくてはならない。したがって、

か であるが、 の時、 は原点で発散するので物理的に解ではな

い。したがって、 でなくてはならない。したがって、式(41)から、 に関する漸

化式は、

k l0 = − k l0 1= + k0 = −l X x( )k l0 1= + Cm

18

( )( ) ( ) , ( , ,

( )( ) ( ) , ( , , , , )

( ) ( ) , ( , , , )

( )

( )

m k l m k l Ck

m k C m

m l m Ck

m l C m

m l mCk

m l C m

Cm l

km m l

C

m m

m m

m m

m m

+ + + + − + − +RSTUVW = =

+ + + + − + +RSTUVW = =

+ + + − +RSTUVW = =

=+ −RST

UVW+ +

+

+

−

0 0 1 0

1

1

12

0 0 1 2 3

2 2 12

1 0 0 1 2 3

2 12

0 1 2 3

22 1

α

α

α

α

− =1 1 2 3, ( , , , )m

, , )

(43)

にて与えられる。ここで、 において、 m→ ∞

Cm l

km m l

C

lm km

m lC

m lC

mCm m m m=

+ −RSTUVW

+ +=

+ −RSTUVW

+ +≅

+ +≅− − −

( )

( ) ( ) ( )

α α2

2 1

12

2 112 1

11 1 m−1 1

となる。また

exp( )

! ! !x

mx x x x x C

Cm

C

m

mm

m

m

m m

= = + + + + + =

∴ =

=

∞

=

∞

−

∑ ∑1 1 12

13

14

10

2 3 4

0

1

x

であることを考え合わせると、mの大きな所で、 は指数関数になっていることがわか

る。したがって、 X x( )

X x C x C x x C x x xmm k

mm

m l

m

lm

m

m

l( ) exp( )= = = ≅+

=

∞+ +

=

∞+

=

∞+∑ ∑ ∑0

0

1

0

1

0

1

と表すことができる書ける。しかし、この場合、

χ( ) ( ) exp( )( ) exp( / )

exp( ) exp( / )exp( / )

r X r krX x xx x xx x

l

l

= −= −

≅ −

≅

+

+

22

2

1

1

注）式(39)において、 X r X x k X x( ) { / ( )} ( )= =2 としたことに注意すること。 となり、 χ( )r が発散してしまう。 χ( )r が物理的に意味を持つ解を有するためには、結局、 X x( )が無限級数ではなく、有限な多項式で表されると仮定するしかない。つまり、あるm N= において とするのである。このようにすれば、mCN = 0 N> の は全てCm Cm = 0となる。したがって、

19

C

N lk

N N lC

N lk

N

N N=+ −RST

UVW+ +

=

∴ + − = =

−

( )

( )

( ) , ( , , ,

α

α

22 1

0

20 1 2

1

)3

(44)

である。Nと lは自然数および整数であるので、とびとびの値を取ることになる。つまり、これより、物理的に意味のある k の値は、離散的な値を取ることが導かれたのである。

απε

=me2

022および、 E k

m= −

2 2

2であるから、

( ) ,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ), ( , , , )

N lk

kN l

meN l

E km m

m eN l

meN l

N l

+ − = ∴ =+

=+

= − = −+

= −+

+ =

α απε

πε πε

20

2 4

2 2 4 2 41 2 3

2

02

2 2 2 2 4

02 4 2

4

02 2 2

(45)

これが水素原子のエネルギ－固有値である。n N l= + とすると、nは主量子数と呼ばれる。なお、N-1は動径関数の節の数であり、lは球面調和関数の節の数である。 次に式(39)が、ラゲ－ルの微分方程式であることを証明しよう。そのために、

X x x y xdX x

dxl x y x x dy x

dxd X x

dxl l x y x l x dy x

dxx d y x

dx

l

l l

l l l

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

=

= + +

= + + + +

+

+

− +

1

1

2

21 1

2

2

1

1 2 1

(46)

と置いて式(39)を整理する。

20

d X rd x

dX rdx

kx

l lx

X x

d X rd x

dX rdx

N lx

l lx

X x

l l x y x l x dy xdx

x d y xdx

l x y x x dy xdx

N lx

l lx

x y x

x

l l l l l

l

l

2

2 2

2

2 2

1 12

21

21

2 1 0

1 0

1 2 1 1

1 0

( ) ( ) / ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

− + −+RST

UVW =

− ++

−+RST

UVW =

+ + + + − + −

++

−+RST

UVW =

− +

+

+

α

+

12

21

12

1

2

2

2

2

2 1

1 1 1 0

2 1

1 1 1 0

2 1

d y xdx

l x dy xdx

x dy xdx

l l x y x l x y x N lx

l lx

x y x

x d y xdx

l dy xdx

x dy xdx

l lx

y x l y x N l l lx

y x

x d y xdx

l

l l

l l l

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) {( )

+ + −

+ + − + ++

−+RST

UVW =

+ + −

++

− + + + −+RST

UVW =

+ +

+

− +

+ − + − =1 1 0x dy xdx

N y x} ( ) ( ) ( ) (47)

ここでラゲ－ルの微分方程式およびラゲ－ルの多項式は、

xd L x

dxp x

dL xdx

qL xqp

qp

qp

2

2 1( )

( )( )

( )+ + − + = 0 (48)

L x q pm m p q m

xqp

mm

m

q

( ) ( ) ( )!!( )!( )!

=− ++ −=

∑ 10

(49)

にて与えられる。したがって、 p l= +2 1、およびq N= −1の時に、式(48)と(47)が一致することがわかる。またこの場合、ラゲ－ル多項式は、

L x q pm m p q m

x

L x N lm m l N m

x

L x N lm m l N m

x

L x N lm m l N m

qp

mm

m

q

Nl

mm

m

N

Nl

mm

m

N

Nl

m

( ) ( ) ( )!!( )!( )!

( ) ( ) ( )!!( )!( )!

( ) ( ) ( )!!( )!( )!

( ) ( )! ( )!( )!( )

=− ++ −

=− − + ++ + − −

=− ++ + − −

= +−

+ + − −

=

−+

=

−

−+

=

−

−+

∑

∑

∑

1

1 1 2 12 1 11 22 1 1

2 12 1 1

0

12 1

0

1

12 1

0

1

12 1

!x m

m

N

=

−

∑0

1

(50)

となる。ここで式(43)の漸化式は、式(45)を用いると、

21

Cm l

km m l

Cm l N lm m l

C N mm m l

Cm m m=+ −RST

UVW+ +

=+ − +

+ += −

−+ +− −

( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( )

α2

2 1 2 11

2 11 1l q

m−1 (51)

となるので、これを書き下すと、

C Nl

C1 01 11 2 1

= −−

+ +( ) ( )

( )

C N

lC N

lN

lC

N Nl l

C

2 1

20

1 22 2 2 1

1 22 2 2 1

1 11 2 1

1 2 12 2 2 1 1 2 1

= −−

+ += − 0

−+ +

−−

+ +

= −− −

+ + + +

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )

C N

lC N

lN N

l lC

N N Nl l l

C

3 22

0

30

1 33 3 2 1

1 33 3 2 1

1 2 12 2 2 1 1 2 1

1 3 2 13 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1

= −−

+ += −

−+ +

−− −

+ + + +

= −− − −

⋅ ⋅ + + + + + +

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )(

( ) ( )( )( )( )( )( )

)

C N

lC N

lN N N

l l lC

N N N Nl l l l

C

4 33

0

40

1 44 4 2 1

1 44 4 2 1

1 3 2 13 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1

1 4 3 2 14 3 2 4 2 1 3 2 1 2 2 1 1 2 1

= −−

+ += −

−+ +

−− − −

⋅ ⋅ + + + + + +

= −− − − −

⋅ ⋅ ⋅ + + + + + + + +

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )( )( )( )(

( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )

)

である。これより、

C N m N m N

m m l m l lC

N lm m l N m

C

mm

m

= −− − − −

+ + + + + +

= −− +

+ + − −

( ) ( )( ) ( )!( )( ) ( )

( ) ( )!( )!!( )!( )!

1 1 12 1 2 1 1 2 1

1 1 2 12 1 1

0

0

(52)

である。したがって、

X x C x

x C x

x N lm m l N m

C x

x C N lm m l N m

x

mm k

m

lm

m

m

N

l m m

m

N

lm

m

m

N

( )

( ) ( )!( )!!( )!( )!

( )!( )! ( )!( )!( )!

=

=

= −− +

+ + − −

= − +−

+ + − −

+

=

∞

+

=

−

+

=

−

+

=

−

∑

∑

∑

∑

0

0

1

0

1

10

0

1

10

0

1

1 1 2 12 1 1

1 2 1 12 1 1

(53)

を得る。これより、式(50)を利用すると、

22

X x x C N l

m m l N mx

x C N lN l

L x

lm

m

m

N

lNl

( ) ( )!( )! ( )!( )!( )!

( )!( )!( )!

( )

= − +−

+ + − −

=− +

+

+

=

−

+−+

∑10

0

1

10 1

2 1

1 2 1 12 1 1

1 2 12

(54)

と表されることがわかる。関数を元の に戻そう。先に、 R r( )

R rr

rr

kr X r( ) ( ) exp( ) ( )= = −1 1χ および 2kr x=

と置いたので、

R rr

kr X r

rkr kr C N l

N lL kr

kC kr kr N lN l

L kr

lNl

lNl

( ) exp( ) ( )

( ) exp( ) ( )!( )!( )!

(

( ) exp( ) ( )!( )!( )!

( )

= −

= −− +

+

= −− +

+

+−+

−+

1

1 2 1 2 12

2

2 2 1 2 12

2

10

2 1

0 12 1

)1 (55)

となる。さらに関数の規格化条件から、最終的に、

R r k k NN l N

kr kr L krN ll

Nl( ) ( ) ( )!

( ) !( ) exp( ) (=

−+

− −+2 2 1

22 1

2 1 )2 (56)

にて与えられる。また主量子数 n N l= + を用いて書き直すと、

R r k k n ln n l

kr kr L krnll

n ll( ) ( ) ( )!

( )!( ) exp( ) (=

− −−

− − −+2 2 1

22 1

2 1 )2 (57)

となる。

23