- Modello di Solow - Crescita popolazione - Progresso
tecnologico
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Capitolo 7: La crescita economica, I Lofferta di beni La
funzione di produzione Funzione di produzione (neoclassica): Y =
F(K,L) Rendimenti di scala costanti (RSC): zY = F(zK, zL)
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Capitolo 7: La crescita economica, I Tutte le variabili possono
essere espresse in termini pro capite (denotate con lettere
minuscole) k = K/L y = Y/L c = C/L i = I/L Lofferta di beni La
funzione di produzione pro capite
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Capitolo 7: La crescita economica, I Il reddito e il capitale
pro capite rappresentano i valori medi nella popolazione.
Utilizzando variabili pro capite possiamo confrontare economie di
dimensioni diverse. Una nazione piccola ma molto produttiva pu
avere un reddito per abitante (pro capite) superiore a quello di un
paese pi grande anche se la produzione totale inferiore. Lofferta
di beni La funzione di produzione pro capite
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Capitolo 7: La crescita economica, I Poich F(K,L) a RSC abbiamo
( z = 1/L): y = Y/L = F(K, L)/L = F(K/L, L/L) y = F(k, 1) = f(k) La
produttivit marginale del capitale pro capite: PMK = f(k + 1) f(k)
decrescente Lofferta di beni La funzione di produzione pro
capite
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Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k La PMK decrescente e la pendenza della
funzione di produzione cala con laumento di capitale utilizzato 1 1
PMK Lofferta di beni La funzione di produzione pro capite
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Capitolo 7: La crescita economica, I Il prodotto per lavoratore
diviso tra consumo c e investimento i: y = c + i Il modello di
Solow suppone che venga risparmiata una frazione fissa del reddito:
s = tasso di risparmio Quindi il consumo (la rimanente) frazione di
reddito. La funzione di consumo data da: c = (1 s)y La domanda di
beni Le funzione di consumo e investimenti
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Capitolo 7: La crescita economica, I Come nel modello statico
lequilibrio macroeconomico implica che: Investimenti = Risparmio i
= sy Utilizzando la funzione di produzione pro capite abbiamo: i =
sf(k) Il cui grafico uguale a quello della funzione di produzione
riscalato di un coefficiente tra zero e uno (il tasso di
risparmio). La domanda di beni Le funzione di consumo e
investimenti
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Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k Il reddito y diviso tra consumi e
investimenti Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) = Investimenti y c
i=sy Nota: Variazioni di s spostano la funzione sf(k) in alto e in
basso. Se s = 1 tutta la produzione risparmiata e c = 0 La funzione
di produzione pro capite Consumi e investimenti
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Capitolo 7: La crescita economica, I Lo stock di capitale La
funzione di risparmio e gli investimenti Prodotto per lavoratore, y
Capitale per lavoratore, k Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) =
Investimenti Ammortamento del capitale, k k Gli investimenti
AUMENTANO il capitale installato nel periodo successivo
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Capitolo 7: La crescita economica, I Analisi dinamica
Laccumulazione del capitale Prodotto per lavoratore, y Prodotto,
f(k) Risparmio, sf(k) = Investimenti La DIFFERENZA tra investimenti
e ammortamento misura la variazione dello stock di capitale: Pu
essere positiva k k0k0 k1k1 k k
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Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y
Prodotto, f(k) Risparmio, sf(k) = Investimenti o pu essere negativa
se lammortamento superiore allinvestimento k k0k0 k1k1 k Analisi
dinamica Laccumulazione del capitale k
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Capitolo 7: La crescita economica, I Analisi dinamica La
convergenza verso lo stato stazionario Prodotto per lavoratore, y k
f(k)f(k) sf(k) Fino a quando linvestimento superiore al
deprezzamento il capitale installato aumenta k 0 k0k0 k1k1 k
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Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y
k f(k)f(k) sf(k) k k 1 k2k2 La produttivit marginale del capitale
decrescente e gli aumenti di produzione si riducono con laumentare
di k k0k0 k1k1 Analisi dinamica La convergenza verso lo stato
stazionario
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Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y
k f(k)f(k) sf(k) k Fino a quando sf(k) > k lo stock di capitale
continua a crescere k 2 k3k3 k0k0 k1k1 k2k2 Analisi dinamica La
convergenza verso lo stato stazionario
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Capitolo 7: La crescita economica, I Quando gli investimenti
sono uguali allammortamento lo stock di capitale pro capite non
cambia. I nuovi investimenti compensano esattamente lammortamento.
Nel lungo periodo leconomia caratterizzata da un equilibrio di
stato stazionario in cui la variabile endogena k* non varia. Questo
implica che anche il reddito e il consumo di stato stazionario non
variano : y* = f(k*) c* = (1-s)f(k*) Lo stato stazionario
Investimenti e ammortamento sono uguali
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Capitolo 7: La crescita economica, I Dinamica del modello Lo
stato stazionario y k f(k)f(k) sf(k) k In stato stazionario gli
investimenti (risparmi) sono uguali allammortamento Il capitale pro
capite smette di crescere i* = k* k* y = f(k*)
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Capitolo 7: La crescita economica, I Lo stato stazionario
caratterizzato da k = 0 Poich la funzione di accumulazione del
capitale data da: k = sf(k) k Avremo: 0 = sf(k*) k* Riordinando i
termini si ottiene: k*/f(k*) = s/ Lo stato stazionario La
matematica
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Capitolo 7: La crescita economica, I Prodotto per lavoratore, y
k f(k)f(k) k Graficamente nello stato stazionario di golden rule la
pendenza della funzione di produzione uguale a quella della retta
di ammortamento: k* gold PMK = La massimizzazione dei consumi La
golden rule s gold f(k)
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Capitolo 7: La crescita economica, I La regola aurea:
Matematicamente Il consumo di stato stazionario dato da: c * = y *
i * ovvero c * = f (k * ) i * quindi una funzione di k * data da: c
* (k * ) = f (k * ) k * Il massimo della funzione c(k * ) si
ottiene calcolando la derivata rispetto a k * e uguagliandola a
zero. Otteniamo: f (k * ) = ovvero PMK =
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Capitolo 7: La crescita economica, I Leconomia non tende al
capitale di regola aurea automaticamente. Solo se il tasso di
risparmio quello compatibile con lottenimento di k* gold il consumo
viene massimizzato. Se cos non allora lottenimento della produzione
di regola aurea richiede un cambiamento del tasso di risparmio.
Cosa succede in seguito alla variazione del tasso di risparmio
durante la transizione al nuovo stato stazionario? La regola
aurea
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Capitolo 7: La crescita economica, I Un aumento di c *
ottenibile con una riduzione di s. Il consumo superiore a quello
iniziale durante tutta la transizione allequilibrio Idea: il troppo
capitale installato viene consumato t0t0 c i y Tempo Se il capitale
iniziale troppo elevato: k* > k* gold
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Capitolo 7: La crescita economica, I Se il capitale iniziale
troppo basso: k* < k* gold Un aumento di c * ottenibile con un
aumento di s. Il consumo superiore a quello iniziale nel lungo
periodo (per definizione di regola aurea) Ma nel breve periodo
diminuisce per permettere laccumulazione di capitale. t0t0 c i y
Tempo
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III ESERCITAZIONE24 Esercizio 1 Modello di Solow. Realizzate il
grafico del modello di Solow. a) Identificate lequilibrio di stato
stazionario. b) Studiate graficamente come cambia lequilibrio a
seguito di una diminuzione del tasso di deprezzamento del capitale.
Commentate. c) Studiate graficamente come cambia lequilibrio di
stato stazionario in seguito ad un aumento del tasso di crescita
della popolazione. d) Commentate se la predizione teorica conferme
allevidenza empirica.
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III ESERCITAZIONE25 Es.1: Stato Stazionario, il grafico
Investimento, sf(k) Ammortamento, ( +n)k Capitale per lavoratore, k
Investimento e ammortamento k*k* i * = k * k = K/L, y = Y/L y =
f(k) i = I/L = sy = sf(k) s = saggio di risparmio d = tasso di
ammortamento n = tasso di crescita della popolazione
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III ESERCITAZIONE26 Es.1: Stato Stazionario, la definizione Lo
stato stazionario identifica la condizione di lungo periodo
delleconomia, in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto
aggregato sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle). k
= i - k nk, sf(k) = i y=f(k)=k k = s k - k nk=0
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III ESERCITAZIONE27 Es. 1: Stato Stazionario, la soluzione
Perch la variazione del capitale sia nulla deve essere k = 0 sf(k)
= ( +n)k Perch i due effetti opposti sul capitale si compensino
necessario che gli investimenti rimpiazzino la parte di capitale
che si deteriora ( k ) e forniscano capitale aggiuntivo ai nuovi
lavoratori (nk).
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III ESERCITAZIONE28 Es. 1, punto 2: diminuzione del tasso di
deprezzamento k i sf(k) ( 2 + n)k ( 1 + n)k k2*k2* k1*k1* Se
diminuisce? 2 < 1 k 2 * > k 1 * In corrispondenza di k 1 *,il
capitale che si logora per effetto del deprezzamento meno di quello
che si crea con i nuovi investimenti. Quindi k aumenta, fino a
raggiungere il nuovo valore di S.S. k 2 * > k 1 *. Anche il
nuovo valore di equilibrio del reddito procapite y sar maggiore: y
2 * >y 1 *
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III ESERCITAZIONE29 Es. 1, punto 3: aumento del tasso di
crescita della popolazione Se n aumenta, lo stock di capitale per
lavoratore tender a diminuire nel tempo. k = sf(k) ( + n 2 )k ; n 2
>n 1 La variazione di k sar nulla se la spesa per investimenti
compensa sia la quantit di capitale che si logorato, sia la quantit
di capitale necessaria per dotare ogni nuovo lavoratore dello
stesso ammontare di capitale del periodo precedente.
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III ESERCITAZIONE30 Es.1: aumento di n, il grafico k i sf(k) (
+ n 1 )k ( + n 2 )k k1*k1* k2*k2* Se n aumenta? n 2 > n 1 k 2
*< k 1 *
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III ESERCITAZIONE31 Es. 1: evidenza empirica Se il tasso di
crescita della popolazione aumenta, il livello dello stock di
capitale di stato stazionario diminuisce. Osservando la relazione
tra i dati sul reddito pro capite e quelli sul tasso di crescita
della popolazione per i paesi del mondo, vediamo che effettivamente
i paesi con una crescita maggiore della popolazione tendono ad
avere livelli di reddito pro capite inferiori. La predizione
teorica del modello di Solow sembra quindi confermata dallanalisi
empirica. Nellinterpretare i dati bisogna per fare attenzione:
possono esistere molteplici spiegazioni alla base dellosservazione
dello stesso fenomeno.
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III ESERCITAZIONE32 Esercizio 2: La Regola Aurea Modello di
Solow. Realizzate il grafico del modello di Solow (per semplicit,
n=0). Identificate lequilibrio di stato stazionario (versione
semplificata es.A). Definite ed identificate il livello di capitale
di regola aurea. Studiate graficamente come si converge
allequilibrio di stato stazionario aureo quando si parte con troppo
poco capitale rispetto a quello di Stato Stazionario della regola
aurea.
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III ESERCITAZIONE33 Es. 2: grafico k = K/L, y = Y/L y = f(k) i
= I/L = sy = sf(k) s = saggio di risparmio = tasso di ammortamento
Investimento e ammortamento Ammortamento, k Investimento, sf(k)
Capitale per lavoratore, k i* = k* k*
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III ESERCITAZIONE34 Es. 2: Stato Stazionario Lo stato
stazionario identifica la condizione di lungo periodo delleconomia,
in cui lo stock di capitale e il livello del prodotto pro capite
sono stabili nel tempo (le loro variazioni sono nulle). k = i - k,
la variazione dello stock di capitale data dalla differenza tra la
spesa per nuovi impianti,ecc. (Investimenti) e la quantit di
capitale che si logora ogni anno (stock di capitale esistente x
tasso dammortamento).
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III ESERCITAZIONE35 Es. 2: Stato Stazionario (continua)
Dallidentit contabile del reddito nazionale sappiamo che i = sy =
sf(k), quindi possiamo scrivere k = sf(k) - k. Perch la variazione
del capitale sia nulla deve essere k = 0 sf(k) = k Quando la spesa
per investimenti (che fa aumentare k) e la quantit di capitale che
si usura ( k diminuisce) sono uguali, i due effetti opposti sul
capitale si compensano esattamente ed il livello dello stock di
capitale presente nelleconomia rimane costante.
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III ESERCITAZIONE36 Es. 2: regola aurea La Regola Aurea si
riferisce allindividuazione del livello di capitale di stato
stazionario che massimizza il consumo e, di conseguenza, il
benessere della societ. c = y i (Ipotesi: g=0) c = f(k) sf(k) sf(k)
= f(k) c S.S. : sf(k * ) = k * c * = f(k * ) - k *
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III ESERCITAZIONE37 Prodotto per lavoratore, y k Prodotto, f(k)
Risparmio, sf(k) = Investimento y c s = i max c = max [f(k) - k]
PMK - = 0 PMK = S.S.: k* golden equivale PMK = Es. 2: regola aurea,
il grafico k* k PMK
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III ESERCITAZIONE38 Prodotto per lavoratore, y k Prodotto, f(k)
s g f(k) Es. 2: convergenza allequilibrio kgkg k k k< k g s deve
aumentare per arrivare al livello s golden sf(k)
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III ESERCITAZIONE39 s aumenta: c diminuisce i aumenta, sf(k)
> k. I maggiori investimenti fanno aumentare k. Laccumulazione
di k fa aumentare progressivamente il prodotto aggregato y e quindi
i consumi, fino a quando si raggiunge il livello di k del nuovo
Stato Stazionario, corrispondente al valore di s di Regola aurea.
Siccome ci troviamo nello S.S. di regola aurea, il nuovo valore di
equilibrio del consumo sar maggiore di quello iniziale. Es. 2:
convergenza allequilibrio (continua)
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III ESERCITAZIONE40 Es.2: convergenza allequilibrio (continua)
y c i In t 0, s aumenta t0t0
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Capitolo 8: La crescita economica, II La funzione di produzione
del modello di Solow: F(K, L) Pu essere generalizzata per tenere
conto della variazione dellefficienza produttiva: F(K, L x E) E =
efficienza del lavoro Il progresso tecnologico nel modello di Solow
Lefficienza del lavoro
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Capitolo 8: La crescita economica, II In cui L E il numero di
lavoratori effettivi Il progresso tecnologico equivale a un aumento
della forza lavoro. Lefficienza del lavoro E aumenta al tasso g: Il
progresso tecnologico nel modello di Solow Lefficienza del lavoro
Esempio: g = 0,02, lefficienza di L cresce al 2% allanno Progresso
tecnologico: Labor-augmenting
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Capitolo 8: La crescita economica, II Il progresso tecnologico
nel modello di Solow Lefficienza del lavoro Possiamo esprimere
tutte le variabili per unit di lavoro effettivo: Reddito: y = Y/LE
= f(Y/LE,1) Capitale: k = K/LE Risparmio, investimenti: s y = s
f(k)
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Capitolo 8: La crescita economica, II Il progresso tecnologico
nel modello di Solow Lefficienza del lavoro La variazione del
capitale per unit di lavoro effettivo: ( + n + g)k k ammortamento n
k crescita della popolazione g k progresso tecnologico (maggiore
efficienza dei lavoratori)
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Capitolo 8: La crescita economica, II Lo stato stazionario In
presenza di progresso tecnologico Come nel modello base di Solow,
in stato stazionario il capitale per unit di lavoro effettivo non
varia: k = s f(k) ( + n + g)k = 0 Nota: in questo caso quello che
smette di crescere il capitale per unit di lavoro effettivo
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Capitolo 8: La crescita economica, II Lo stato stazionario In
presenza di progresso tecnologico Investimenti, investimenti di
sviluppo uniforme Capitale per lavoratore effettivo, k
Investimenti, sf(k) Investimenti di sviluppo uniforme, ( + n + g)k
k In stato stazionario: k = sf(k) ( + n + g)k = 0
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Capitolo 8: La crescita economica, II Gli effetti del progresso
tecnologico Variabile Capitale per lavoratore effettivo Prodotto
per lavoratore effettivo Prodotto per lavoratore Simbolo Tasso di
crescita di stato stazionari o k = K /(E x L) y = Y /(E x L)= f(k)
Y/L = y x E 0 0 g Prodotto totale Y = y x (E x L) n + g Quali sono
i tassi di crescita delle variabili di stato stazionario? Solo il
progresso tecnologico spiega una crescita persistente del tenore di
vita.
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Capitolo 8: La crescita economica, II La regola aurea Progresso
tecnologico e crescita della popolazione Il consumo di stato
stazionario dato da: c * = y * i * = f (k * ) ( + n + g) k * c *
massimo quando: PMK = + n + g ovvero PMK = n + g
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Capitolo 8: La crescita economica, II Prodotto per unit di
lavoro effettivo, y Capitale per unit di lavoro effettivo k f (k) (
+ n + g)k Graficamente nello stato stazionario della regola aurea
la pendenza della funzione di produzione uguale a quella della
retta di ammortamento: k* gold PMK = + n + g s gold f(k) La regola
aurea Progresso tecnologico e crescita della popolazione
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III ESERCITAZIONE50 Esercizio 5 Partendo da s
III ESERCITAZIONE53 Soluzione es. 5 - continua Supponiamo di
partire da uno stock di capitale di stato stazionario inferiore a
quello aureo: In t 1 il tasso di risparmio aumenta: ( + s) + I e -
c (gli investimenti aumentano e i consumi si riducono) In t 0 I= k
in t 1 I> k cosicch k k y, c e I sino a raggiungere lo stato
stazionario aureo. Consumi: subito si contraggono ( - c) poi
aumentano (c ) ed alla fine saranno superiori rispetto al livello
di partenza.
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III ESERCITAZIONE54 Soluzione es. 5: chi ci guadagna e chi ci
perde? Nellimmediato il tenore di vita misurato mediante i consumi
diminuisce. tuttavia, il maggiore investimento (maggiore s) implica
che lo stock di capitale cresce pi velocemente e quindi il tasso di
crescita di Y e di y (=Y/L) aumentano; cio la crescita della
produttivit aumenta. Nota: siamo nel BP. Nel nuovo stato
stazionario Y cresce al tasso n+g mentre y al tasso g (quindi
indipendenti da s). Nello stato stazionario aureo il consumo
maggiore e quindi il tenore di vita aumentato (per le generazioni
future).
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III ESERCITAZIONE55 Soluzione: y,c,i nel tempo y c i In t 0 s
aumenta t0t0