· Najvažnija i najčešća distribucija koju srećemo u teoriji i primjenama u ... PronaĎite upotrebom tablica površina ispod normalne krivulje: a ... t 1 0,5 0,5

Predavanja za kolegij 'Analiza poslovnih podataka' Šarlija, 2007.

__________________________________________________________________________

______________________________________________________________________1 4. Teorijske distribucije

Sadržaj poglavlja:

4. Teorijske distribucije 4.1. Teorijske distribucije diskretne slučajne varijable 4.1.1. Binomna distribucija 4.1.2. Poissonova distribucija 4.2. Teorijske distribucije kontinuirane slučajne varijable 4.2.1. Uniformna distribucija 4.2.2. Normalna distribucija 4.3. Zadaci - teorijske distribucije


__________________________________________________________________________


4. Teorijske distribucije

Teorijske distribucije vjerojatnosti opisane su matematičkim modelima. To su takve distribucije koje se mogu očekivati u skladu s našim ili na temelju nekih teorijski pretpostavki. Kada neka empirijska distribucija slijedi odreĎenu teorijsku distribuciju, moguće je upotrijebiti teorijsko znanje o toj distribuciji kako bi se dobili odgovori na pitanja o podacima. Postoje teorijske distribucije diskretne i teorijske distribucije kontinuirane slučajne varijable.

4.1. Teorijske distribucije diskretne slučajne varijable Najčešće teorijske distribucije diskretne slučajne varijable su binomna i poissonova distribucija.

4.1.1. Binomna distribucija

BINOMNA SLUČAJNA VARIJABLA Binomna slučajna varijabla je diskretna slučajna varijabla koja je definirana kada su ispunjeni uvjeti binomnog pokusa: 1. postoji n identičnih pokušaja odnosno ponavljanja pokusa 2. svaki pokus ima 2 moguća ishoda 3. vjerojatnosti ishoda su konstantne za svako ponavljanje pokusa 4. pokusi su nezavisni Mogući ishodi binomnog pokusa: USPJEH NEUSPJEH

Vjerojatnosti ishoda pokusa: p q BINOMNA FORMULA VJEROJATNOSTI Binomna formula vjerojatnosti se koristi za izračunavanje vjerojatnosti binomne slučajne varijable.


__________________________________________________________________________


Ako je: n broj ponavljanja pokusa k broj uspjeha p vjerojatnost uspjeha

q vjerojatnost neuspjeha; p+q=1 q=1-p tada vjerojatnost k uspjeha u binomnom pokusu izračunavamo na slijedeći način:

knkk qp

k

np)kX(P

PRIMJER 1. Novčić se baca 6 puta. Uspješan ishod je pojavljivanje glave. a) Kolika je vjerojatnost da će pasti dvije glave? b) Kolika je vjerojatnost da će pasti 4 glave ili manje? c) Kolika je vjerojatnost da će pasti barem 4 glave? d) Kolika je vjerojatnost da ne padne niti jedna glava? DEFINICIJA BINOMNE DISTRIBUCIJE Za diskretnu slučajnu varijablu X koja može poprimiti bilo koji cijeli broj izmeĎu 0 i n s pripadajućim vjerojatnostima:

knkk qp

k

np

kažemo da ima binomnu distribuciju s parametrima n i p. Uobičajeni zapis slučajne varijable X koja ima binomnu distribuciju je:

X B(n,p) KARAKTERISTIKE BINOMNE DISTRIBUCIJE Očekivanje

npXE

Varijanca

npqXV

Standardna devijacija

npq


__________________________________________________________________________


4.1.2. Poissonova distribucija POISSONOVA SLUČAJNA VARIJABLA Ako:

- svaki pokus ima 2 moguća ishoda - n (broj ponavljanja pokusa) velik broj ili potencijalno beskonačan - vjerojatnosti ishoda su konstantne za svako ponavljanje pokusa - pokusi su nezavisni

prikladna je varijabla koju zovemo Poissonova slučajna varijabla. Poissonova varijabla izvire iz koncepta pokusa koji se sastoji u mjerenju broj povoljnih ishoda u odreĎenoj vremenskoj jedinici, jediničnoj površini, udaljenosti, volumenu i sl. NPR.

Broj telefonkih poziva u 1 minuti, broj čestica emitiranih radioaktivnim supstancama, broj kvarova u jediničnoj površini žice itd.

POISSONOVA FORMULA VJEROJATNOSTI Poissonova formula vjerojatnosti se koristi za izračunavanje vjerojatnosti Poissonove slučajne varijable. Ako je: k broj uspjeha p vjerojatnost uspjeha

prosječan broj uspjeha; =np e baza prirodnih logaritama; e=2,71828… tada vjerojatnost k uspjeha izračunavamo na slijedeći način:

,...2,1,0k!k

ep

k

k

PRIMJER 5. Prosječan broj pacijenata koji dolaze u hitnu služu “Chicago Hope” subotom navečer izmeĎu 10:00 i 12:00 je 6,5. Neka oni dolaze slučajno i nezavisno jedan od drugoga. Kolika je vjerojatnost da jedne subote doĎe 5 pacijenata ili manje?


__________________________________________________________________________


DEFINICIJA POISSONOVE DISTRIBUCIJE Poissonova distribucija idejno nastaje iz pokusa koji broje pojave nekog dogaĎaja u jediničnom vremenskom intervalu (ili intervalu volumena, mase itd.) ako pokus zadovoljava slijedeće uvjete:

Vjerojatnost da se pojavi dogaĎaj ne ovisi o tome u kojem će se jediničnom intervalu desiti

Broj dogaĎaja u jednom vremenskom intervalu neovisan je o broju dogaĎaja u nekom drugom intervalu

Očekivanje borja dogaĎaja je isto za sve jedinične vremenske intervale

(očekivanje označimo sa ) Za diskretnu slučajnu varijablu X čiji je skup vrijednosti 0,1,2,… s pripadajućim vjerojatnostima

!k

ep

k

k

kažemo da ima Poissonovu distribuciju s parametrom . Uobičajeni zapis slučajne varijable X koja ima Poissonovu distribuciju je:

X P(). Ako je n dovoljno velik, a p potrebno malen, Binomnu distribuciju B(n,p) možemo aproksimirati Poissonovom distribucijom.

U praksi se obično uzima np10, n50; aproksimacija je bolja što je n veći, a p manji NPR.

n=100, p=0,01, =1 K 0 1 2 3 4 5 BINOMNA 0,366 0,370 0,185 0,0610 0,0149 0,0029 POISSONOVA 0,368 0,368 0,184 0,0613 0,0153 0,00307


__________________________________________________________________________


KARAKTERISTIKE POISSONOVE DISTRIBUCIJE Očekivanje

XE

Varijanca

XV

Standardna devijacija

4.2. Teorijske distribucije kontinuirane slučajne varijable

4.2.1. Uniformna distribucija

Ako je slučajna varijabla X distribuirana prema uniformnoj distribuciji u intervalu izmeĎu a i b, funkcija gustoće dana je sljedećom formulom:

ostalo

bxaabxf

0

1

)(

f(x) a b x

graf funkcije gustoće nikada nije ispod x osi

ukupno područje ispod funkcije gustoće iznosi 1


__________________________________________________________________________


PRIMJER 1. Vrijeme leta izmeĎu Zagreba i Kopenhagena je slučajna varijabla X koja je distribuirana prema uniformnoj distribuciji. Vrijeme leta traje izmeĎu 90 i 100 minuta.

ostalo

Xxf

0

100901,0)(

Kolika je vjerojatnost da let traje izmeĎu 92 i 97 minuta. KARAKTERISTIKE UNIFORMNE DISTRIBUCIJE OČEKIVANJE

2

baXE

VARIJANCA

12

2

2 ab

STANDARDNA DEVIJACIJA

2

4.2.2. Normalna distribucija NORMALNA DISTRIBUCIJA Najvažnija i najčešća distribucija koju srećemo u teoriji i primjenama u vjerojatnosti i matematičkoj statistici je normalna distribucija. Zbog njenih prirodnih svojstava, kad god je moguće, druge distribucije se aproksimiraju normalnom. Uz neka ograničenja, gotovo sve druge distribucije mogu se u graničnom slučaju prikazati kao normalne distribucije. Važnost ove slučajne varijable posljedica je činjenice da se suma mnogo nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnih varijabli može dobro aproksimirati slučajnom varijablom koja ima normalnu distribuciju. Ovakva tvrdnja često vrijedi i ako sve slučajne varijable u sumi nisu jednako distribuirane, a takoĎer i u nekim slučajevima kada nisu nezavisne.


__________________________________________________________________________


DEFINICIJA Za kontinuiranu slučajnu varijablu X s pripadajućom funkcijom gustoće:

2

2

2

2

1)(

x

exf

kažemo da ima normalnu ili Gaussovu distribuciju s parametrima i i pišemo X

N(, 2). Graf funkcije gustoće za normalnu distribuciju naziva se normalna ili Gaussova krivulja.

Karakteristike normalne distribucije: 1. ukupno područje ispod normalne krivulje iznosi 1 2. krivulja je simetrična oko očekivanja 3. područje ispod krivulje sa svake strane očekivanja iznosi 0,5 4. krakovi krivulje protežu se u beskonačnost 5. svaki par vrijednosti za očekivanje i standardnu devijaciju odreĎuje drugačiju

normalnu krivulju 6. najveća točka na normalnoj krivulji nalazi se kod očekivanja 7. očekivanje, medijan i mod su jednaki 8. očekivanje se nalazi u centru krivulje, a to može biti bilo koji realan broj, pozitivan,

negativan ili nula 9. standardna devijacija je pozitivna i ona odreĎuje oblik normalne krivulje; što je

standardna devijacija veća, to je krivulja šira i plosnatija

10. 68,26% područja ispod normalne krivulje je unutar 1 od ; 95,44% područja je

unutar 2 od ; 99,72% je unutar 2 od


__________________________________________________________________________


STANDARDNA NORMALNA DISTRIBUCIJA

U cilju pronalaženja područja ispod normalne krivulje koja ima i , normalna distribucija se mora standardizirati.

Normalna slučajna varijabla X koja ima i se transformira u standardnu normalnu slučajnu varijablu:

XZ

Aritmetička sredina standardne normalne varijable Z jednaka je 0, a standardna devijacija jednaka je 1. Funkcija gustoće za Z:

2

2

2

1)(

z

ezf

U tablicama površina ispod standardne normalne distribucije mogu se očitati površine ispod standardne normalne krivulje za varijablu Z od 0 do pozitivnog broja z.


__________________________________________________________________________


PRIMJENA NORMALNE DISTRIBUCIJE

Za pronalaženje područja izmeĎu dvije vrijednosti ispod normalne krivulje: 1. obje x vrijednosti treba pretvoriti u z vrijednosti 2. pronaći područje odnosno površinu ispod standardne normalne krivulje izmeĎu te

dvije z vrijednosti – ta površina je vjerojatnost da se slučajna varijabla X nalazi u intervalu izmeĎu x1 i x2

PRIMJER 1. PronaĎite upotrebom tablica površina ispod normalne krivulje: a) P(1,26) b) P(0,34) c) P(1,8) Upotrebom tablice površina ispod normalne krivulje i zbog simetrije krivulje, u mogućnosti smo pronaći interval izmeĎu z1 i z2 i to na sljedeći način:

0,

0),()(

0,)(

)(

2121

2112

2112

21

zzzPzP

zzzPzP

zzzPzP

zZzP

Pošto je ukupno područje ispod normalne krivulje površine 1, a pola područja ima površinu 0,5, možemo pronaći i vjerojatnost na jednoj strani krivulje:

05,0

0),(5,0)(

11

11

1zzP

zzPzZP

05,0

0),(5,0)(

11

11

1zzP

zzPzZP


__________________________________________________________________________


4.3. Zadaci - teorijske distribucije Zadatak 1. Vjerojatnost da je Ana pogodila metu je 1/3. Ona gaĎa 7 puta. NaĎite vjerojatnost da je Ana pogodila točno 3 puta. Zadatak 2. Kocka se baca 3 puta. X je broj pojavljivanja šestica u 3 bacanja. a) Kolika je vjerojatnost da u tri bacanja niti jednom nije pala šestica? b) Kolika je vjerojatnost da je sva tri puta pala šestica? Zadatak 3.

Vjerojatnost da je neki proizvod neispravan iznosi 0,2. Iz nekog skladišta se uzima 10 proizvoda. Treba odrediti: a) Vjerojatnost da je meĎu njima 5 neispravnih b) Vjerojatnost da ne bude više od 3 neispravna c) Očekivanje d) Standardnu devijaciju

Zadatak 4.

2% proizvedena proizvoda su neispravni. NaĎi vjerojatnost da postoji 3 neispravna proizvoda u uzorku od 100 proizvoda. Zadatak 5. Automatska telefonska centrala tijekom 1 minute primi u prosjeku 10 poziva. Izračunajte: a) vjerojatnost da će centrala u tijeku 1 minute primiti 6 poziva b) vjerojatnost da će centrala u tijeku 1 minute primiti manje od 3 poziva c) očekivanje i varijancu

Zadatak 6.

Masa vreće krumpira je slučajna varijabla X koja je distribuirana prema uniformnoj distribuciji izmeĎu 9,75 kg i 10,75 kg. Napišite i nacrtajte funkciju gustoće. Koliko iznosi očekivanje i standardna devijacija. Kolika je proporcija vreća koje su teže od 10 kg?


__________________________________________________________________________


Zadatak 7.

PronaĎite vjerojatnosti za standardnu normalnu distribuciju:

a) P(-0,5 Z 1,1)

b) P(-0,38 Z 1,72)

c) P(0,2 Z 1,4)

d) P(-1,5 Z -0,7) Zadatak 8. PronaĎite vjerojatnosti za standardnu normalnu distribuciju:

a) P(Z 1,6)

b) P(Z -1,8) Zadatak 9.

Neka je X normalno distribuirana slučajna varijabla XN(70,4). PronaĎite:

a) P(68 X 74)

b) P(72 X 75)

c) P(63 X 68)

d) P(X 73) Zadatak 10. Čaj se pakira u vrećice nominalne mase 50g. Distribucija vrećica čaja prema masi normalnog je oblika sa sredinom koja je jednaka nominalnoj i standardnom devijacijom od 4g. Ako se slučajno izabere vrećica, kolika je vjerojatnost da je njena masa: a) manja od 51 g b) veća od 47 g c) izmeĎu 48 i 52 g d) izmeĎu 46 i 53 e) izmeĎu 48 i 49 g

Zadatak 11.

Iz podataka u ' analiza poslovnih podataka.sta' je ustanovljeno da 57% poduzeća na žiro-računu ima više od 100.000 kn. Ako se na slučajan način odabere 10 poduzeća, kolika je vjerojatnost da će pola odabranih imati više od 100.000 kn na žr? Kolika je vjerojatnost da će manje od 3 poduzeća imati manje od 100.000 kn na žr?


__________________________________________________________________________


Zadatak 12. Jedno je istraživanje pokazalo da se 5% Amerikanaca boje biti sami u kući po noći. Ako na reprezentativan način odaberemo uzorak od 20 Amerikanaca, pronaĎite slijedeće vjerojatnosti:

a) Ima točno 5 ljudi u uzorku koji se boje biti sami noću (0.002) b) Ima najviše 3 osobe u uzorku koje se boje biti same noću (0.984) c) Ima barem 3 osobe u uzorku koje se boje biti same noću (0.076)

Zadatak 13. Računovodstvena služba poduzeća je utvrdila da 40% kupaca ne plaća račun na vrijeme. Ako se na slučajan način iz skupa računa odabere njih 6, kolika je vjerojatnost:

a) Da su svi odabrani kupci podmirili svoje račune na vrijeme (0.046656) b) Da je preko ¾ odabranih kupaca podmirilo račune (0.23328) c) Da 50% odabranih kupaca nije platilo račune na vrijeme (0.27648)

Zadatak 14. Šanse da izvještaj o povratu poreza neke osobe bude ponovo pregledan iznose 15 naprema 1000 za prihod manji od 100 000$, 30 naprema 1000 ako je prihod 100 000$ ili veći (Statistical Abstract of the USA, 1998)

a) Koja je vjerojatnost da poreznom obvezniku, čiji je prihod manji od 100 000$, porezna kartica bude ponovno pregledana, a kolika za onoga čiji je prihod jednak ili veći 100 000$ (0.015; 0.03)

b) IzmeĎu poreznih obveznika s prihodom ispod 100 000$, koja je vjerojatnost da će biti pregledana samo jedna porezna prijava, a kolika za više od jedne (0.0706; 0.0022)

c) Izračunajte kao pod b) za porezne obveznike s prihodom većim od 100 000$ (0.1328; 0.0085)

d) Koje pretpostavke ste morali postaviti da biste riješili ove zadatke upotrebom binomne distribucije

Zadatak 15. Iz podataka u 'analiza poslovnih podataka.sta' je ustanovljeno da u prosjeku godišnje u jednom gradu 10 poduzeća ostvari značajno velik rast prodaje. Kolika je vjerojatnost da u danoj godini niti jedno poduzeće ne ostvari značajno velik rast prodaje, a kolika da to ostvari više od 5, a manje od 8 poduzeća.

Zadatak 16.

Prodajna služba jednog poduzeća u prosjeku primi 3 telefonska poziva na sat. Za bilo koji odabrani sat, pronaĎite vjerojatnost da će prodaja primiti:

a) Najviše 3 poziva (0.6472) b) Barem 3 poziva (0.5768) c) Pet ili više poziva (0.1848)


__________________________________________________________________________


Zadatak 17. Pretpostavimo da je prosječan broj potresa na izabranom području u jednoj godini 13. Koja je vjerojatnost da će u danoj godini biti 20 ili više potresa na tom području?

Zadatak 18. Prema raspoloživim podacima kontrole proizvodnje na liniji malih kućanskih aparata prosječno se po radnoj smjeni javljaju 3 neispravna proizvoda. Neka je X broj neispravnih proizvoda koje je u radnoj smjeni ustanovila kontrola. Kolika je vjerojatnost da u jednoj smjeni neće biti neispravnih proizvoda, a kolika da će ih biti više od 5?

Zadatak 19. Neka je Z standardna normalna slučajna varijabla. Odredite slijedeće vjerojatnosti:

a) P-0.5 Z 1.1

b) P-0.38 Z 1.72

c) PZ 1.6

d) PZ -1.8

Zadatak 20. Dobit poduzeća je normalno distribuirana slučajna varijabla s očekivanjem 460 tisuća kn i standardnom devijacijom 590 tisuća kn (' analiza poslovnih podataka.sta'). Kolika je vjerojatnost da će poduzeće imati dobit izmeĎu 200 i 700 tisuća kn? Kolika je vjerojatnost da će poduzeće imati dobit manju od 300 tisuća kn?

Zadatak 21. Prinos usjeva odreĎenog gospodarstva mjeri se količinom proizvoda koje se proizvede po hektaru. Poznato je da se normalna slučajna varijabla može upotrijebiti za opis prinosa kroz vrijeme (American Journal of Agricultural Economics, 1999). Povijesni podaci pokazuju da prinos pamuka za iduću godinu može biti opisan normalnom slučajnom varijablom s očekivanjem 1500 funti po hektaru i standardnom devijacijom 250 funti. Poljoprivredno gospodarstvo koje promatramo bit će profitabilno ako proizvede barem 1600 funti po hektaru.

a) Kolika je vjerojatnost da će to gospodarstvo izgubiti novac slijedeće godine (0.6554)

b) Kolika je vjerojatnost da slijedeće godine prinos padne unutar dvije standardne devijacije oko 1500 (0.9544)

Zadatak 22.

Količina novca koji avio-kompanije troše na hranu po jednom putniku je normalno distribuirana čije očekivanje iznosi 64 kn, a standardna devijacija 16 kn. Odredite:

a) Koliki postotak avio-kompanija troši više od 100 kn po putniku b) Koliki postotak avio-kompanija troši izmeĎu 48 i 80 kn po putniku


__________________________________________________________________________


Zadatak 23.

Iz podataka u 'poduzeca_hrvatska.sta' je ustanovljeno da je kod 60% poduzeća stanje novca (AAOP050) veće od 20.000 kn. Ako se na slučajan način odabere 10 poduzeća, kolika je vjerojatnost da će pola odabranih imati više od 100.000 kn na žr? Kolika je vjerojatnost da će manje od 3 poduzeća imati manje od 100.000 kn na žr?

Zadatak 24. Šanse da izvještaj o porezu bude ponovo pregledan iznose 15 naprema 1000 za prihod manji od 100 000 kn, 30 naprema 1000 ako je prihod 100 000 kn ili veći.

a) Koja je vjerojatnost da poreznom obvezniku, čiji je prihod manji od 100 000 kn, porezna kartica bude ponovno pregledana, a kolika za onoga čiji je prihod jednak ili veći 100 000 kn

b) IzmeĎu poreznih obveznika s prihodom ispod 100 000 kn, koja je vjerojatnost da će biti pregledana samo jedna porezna prijava, a kolika za više od jedne

c) Izračunajte kao pod b) za porezne obveznike s prihodom većim od 100 000 kn d) Koje pretpostavke ste morali postaviti da biste riješili ove zadatke upotrebom

binomne distribucije

Zadatak 25. Iz podataka u 'poduzeca_hrvatska.sta' je ustanovljeno da u prosjeku godišnje u jednom gradu 10 poduzeća ostvari značajno velik rast prodaje. Kolika je vjerojatnost da u danoj godini niti jedno poduzeće ne ostvari značajno velik rast prodaje, a kolika da to ostvari više od 5, a manje od 8 poduzeća.

Zadatak 26. Prema raspoloživim podacima u 'poduzeca_hrvatska.sta' prosječno se u kvartalu ustanovi prijevara u porezu kod 10 poduzeća. Neka je X broj neispravnih prijava koje je u kvartalu ustanovila kontrola. Kolika je vjerojatnost da u jednom kvartalu neće biti neispravnih prijava, a kolika da će ih biti više od 12? Zadatak 27. Dobit poduzeća je normalno distribuirana slučajna varijabla s očekivanjem 460 tisuća kn i standardnom devijacijom 590 tisuća kn. Kolika je vjerojatnost da će poduzeće imati dobit izmeĎu 200 i 700 tisuća kn? Kolika je vjerojatnost da će poduzeće imati dobit manju od 300 tisuća kn?

Documents

· Najvažnija i najčešća distribucija koju srećemo u teoriji i primjenama u ... PronaĎite upotrebom tablica površina ispod normalne krivulje: a ... t 1 0,5 0,5