: Nhóm Phép toán hai ngôi A2 hần tử xTy X gọi là cái hợp thành hay còn gọi là kết quả của phép toán thực hiện trên hai phần tử x và y. hép toán

1

Phần I: Cấu trúc đại số

Chương I: Nhóm

Phép toán hai ngôi ( 3 tiết)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững:

Định nghĩa phép toán hai ngôi, các tính chất, phần tử đặc biệt của phép

toán hai ngôi.Bộ phận ổn định, phép toán cảm sinh.

2. Kỹ năng:

Biết kiểm tra một tập hợp và một phép toán đã đƣợc học ở trƣờng phổ

thông có phải là một phép toán hai ngôi không và nếu là phép toán hai ngôi thì

chỉ ra các tính chất , phần tử đặc biệt của mỗi phép toán đó

3. Thái độ:

- Có thái độ nghiêm túc với môn học.

- Có liên hệ với thực tế chƣơng trình môn Toán ở Tiểu học.

B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:

Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng.

- Tài liệu chính:

[1] Đậu Thế Cấp – Cấu trúc đại số - NXBGD, 2009.

- Tài liệu tham khảo :

[2] Trần Diên iển và các tác giả – ác t p h p – NXBGD&

NXBĐ SP, 2007.

[3] Nguy n duy Thuận - Nguy n Mạnh Trinh - i - NXBGD, 1999.

2. Người học:

Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng và tài liệu học

tập nhƣ trên.

C.Nội dung:

1.Định nghĩa và ví dụ :

a. Định nghĩa :

Cho X là một tập hợp. Một phép toán hai ngôi trên X là một ánh xạ

T: X x X X

,x y xTy

2

Phần tử xTy X gọi là cái hợp thành hay còn gọi là kết quả của phép toán T

thực hiện trên hai phần tử x và y. Phép toán hai ngôi còn gọi tắt là phép toán.

Nhƣ vậy, một phép toán hai ngôi T trên tập X là một qui tắc đặt tƣơng

ứng mỗi cặp phần tử (x,y) thuộc tập X x X một phần tử xác định duy nhất xTy

thuộc X. Thay cho kí hiệu T ta còn viết các kí hiệu khác nhƣ +, . , , ,…

x + y đƣợc đọc là x cộng y và kết quả đó gọi là tổng của x và y.

x.y (hay xy) đƣợc đọc là x nhân y và kết quả đó gọi là tích của x và y.

b. Ví dụ:

1) Phép cộng thông thƣờng các số là phép toán hai ngôi trên các tập N, Z, Q, R.

2) Phép nhân thông thƣờng các số là phép toán hai ngôi trên các tập N, Z, Q, R.

3) Phép chia thông thƣờng các số là phép toán hai ngôi trên các tập * *, RQ

nhƣng không phải là phép toán hai ngôi trên N, vì 3,5 N N nhƣng 3:5∉ N.

4) Cho tập N* các số tự nhiên khác 0. ánh xạ

*: N*× N

* → N

*

(a, b) a * b = ab

là một phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên khác 0.

5) Phép trừ là một phép toán hai ngôi trên Z vì ta có ánh xạ

( -) : Z x Z → Z

(a,b) a – b

Tuy nhiên, phép trừ không phải là phép toán hai ngôi trên tập các số tự nhiên N,

vì 3,5 N N nhƣng 3 – 5 ∉ N.

2.Các tính chất đặc biệt của phép toán hai ngôi

a)Tính chất kết hợp:

Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X. Phép toán T gọi là có tính chất kết

hợp nếu

, , :a b c X aTb Tc aT bTc

b)Tính chất giao hoán: Phép toán T gọi là có tính chất giao hoán nếu

, :a b X aTb bTa

3

Ví dụ: a. Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên có tính chất giao hoán và kết

hợp

Thật vậy:a,b,c N ta có:

a + b = b + a (tính chất giao hoán của phép cộng)

a . b = b . a (tính chất giao hoán của phép nhân)

(a + b) + c = a + (b + c) (tính chất kết hợp của phép cộng)

( a.b).c = a. (b.c) (tính chất kết hợp của phép nhân)

b. Phép cộng và phép nhân thông thƣờng các số trên Z, Q, R có tính chất

giao hoán và kết hợp.

c. Phép trừ các số nguyên không có tính chất giao hoán và kết hợp. Chẳng

hạn

1 -2 2 – 1

(1 – 2) – 3 1 – (2 – 3)

d. Phép lũy thừa trên N* không có tính chất giao hoán và kết hợp. Chẳng

hạn

12 2

1

43 4 (3 )(2 ) 2

3. Các phần tử đặc biệt của phép toán hai ngôi

a) Phần tử trung hòa:

* Định nghĩa: cho T là phép toán hai ngôi trên X.

Phần tử e'X ( e” X ) gọi là phần tử trung hòa bên trái (phải) của phép toán T

nều với mọi x X

e' T x = x ( x T e” = x )

Phần tử e gọi là phần tử trung hòa của phép toán T nếu e vừa là phần tử trung

hòa bên trái vừa là phần tử trung hòa bên phải, tức là với mọi xX

e T x = x T e = x

* Định lí: Cho T là một phép toán hai ngôi trên X. Khi đó nếu e’ là phần tử trung

hòa bên trái và e” là phần tử trung hòa bên phải của T thì e

’ = e

”.

Chứng minh: Do e’ là phần tử trung hòa bên trái nên

e’T e

” = e

”

Do e” là phần tử trung hòa bên phải nên

4

e’T e

” = e

’

Từ hai đẳng thức trên suy ra e’ = e

”.

Hệ quả: Phần tử trung hòa của một phép toán T, nếu có, là duy nhất.

* Ví dụ

- Số 0 là phần tử trung hòa của phép cộng thông thƣờng trên N, Z, Q, R.

- Số 1 là phần tử trung hòa của phép nhân thông thƣờng trên N, Z, Q, R.

- 0 là phần tử trung hòa bên phải của phép trừ trên Z, nhƣng không là phần tử

trung hòa bên trái.

b) Phần tử đối xứng:

*Định nghĩa : Cho T là một phép toán hai ngôi trên X có phần tử trung hòa là e,

xX . Phần tử x’X ( x

” X) đƣợc gọi là phần tử đối xứng bên trái ( phải) của x

nếu

x’ T x = e ( x T x

” = e)

Phần tử x’ đƣợc gọi là phần tử đối xứng của x nếu x

’ vừa là phần tử đối xứng

bên trái vừa là phần tử đối xứng bên phải của x, tức là

x’ T x = x T x

’ = e

Nếu x có phần tử đối xứng thì x gọi là phần tử khả đối xứng.

* Định lí: Nếu phép toán T trên X kết hợp, x’ là phần tử đối xứng bên trái của x,

x” là phần tử đối xứng bên phải của x thì x

’ = x

”.

Chứng minh:

Theo định nghĩa: x’T x = e và xTx

” = e ( e ở đây là phần tử trung hòa của T)

Theo giả thiết ta có

x’ = x

’T e

= x’T (x T x

”)

= (x’T x)T x

”

= e T x”

= x”

Vậy x’ = x

”

* Hệ quả: Nếu phép toán T kết hợp thì phần tử đối xứng của một phần tử nếu có

là duy nhất.

Ví dụ:

5

- e là phần tử trung hòa của phép toán T thì e là phần tử đối xứng của chính nó

vì eTe e .

- Đối với phép cộng trên Z, Q, R, mọi phần tử x đều có phần tử đối xứng là -x.

- Đối với phép nhân trên Q*,

R*, mọi phần tử x đều có phần tử nghịch đảo là x

-1.

- Đối với phép cộng các số tự nhiên chỉ có phần tử 0 là có phần tử đối xứng.

Phần tử đối xứng của 0 là 0.

- Đối với phép nhân các số tự nhiên, chỉ có 1 là có phần tử đối xứng. Phần tử đối

xứng của 1 là 1.

- Đối với phép nhân các số nguyên chí có 1 và -1 là có phần tử đối xứng trong Z.

Phần tử đối xứng của 1 là 1; phần tử đối xứng của -1 là -1.

c. Vài quy ƣớc về cách gọi:

Nếu phép toán trên X là phép cộng (+) thì phần tử trung hòa thƣờng gọi là phần

tử không, kí hiệu là 0x hoặc 0; phần tử đối xứng của x gọi là phần tử đối của x,

kí hiệu là –x.

Nếu phép toán trên X là phép nhân (.) thì phần tử trung hòa thƣờng gọi là phần

tử đơn vị, kí hiệu là 1x hoặc 1; phần tử khả đối xứng gọi là phần tử khả nghịch,

phần tử đối xứng của x gọi là phần tử nghịch đảo của x, kí hiệu là x-1. Cũng nhƣ

với phép nhân số thông thƣờng dấu (.) thƣờng đƣợc bỏ đi.

4. Tập con ổn định, phép toán cảm sinh

a.Định nghĩa:

Cho T là một phép toán hai ngôi trên tập X và A là một tập con của X. A đƣợc

gọi là tập con ổn định ( bộ phận ổn định) đối với phép toán T nếu với mọi x, y

A ta có xTy A.

Phép toán T ở định nghĩa trên gọi là phép toán ổn định trên A.

Nếu phép toán T ổn định trên A thì

T: AxA A, T(x,y) = xTy cũng là một ánh xạ, do đó cũng là một phép toán

Trên A.

Phép toán này trên tập A đƣợc gọi là phép toán cảm sinh bởi phép toán T

trên X.

b. Ví dụ:

6

1. Tập hợp các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên

đối với phép cộng và phép nhân.

Thật vậy: Kí hiệu 2N = 2 /a a N là tập các số tự nhiên chẵn

2N N vì mọi số tự nhiên chẵn đều là số tự nhiên

2a,2b 2N ; a,b N, ta có 2a + 2b = 2(a+b) = 2t 2N

2a.2b = 2(2ab) = 2q 2N

Vậy tập các số tự nhiên chẵn là tập con ổn định của tập các số tự nhiên đối với

phép cộng và phép nhân.

2. Tập các số tự nhiên là tập con ổn định của của tập các số nguyên Z đối với

phép cộng và phép nhân . Nhƣng nó không ổn định đối với phép trừ.

3. Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép

nhân nhƣng không là tập con ổn định đối với phép cộng.

4. Phép cộng các số tự nhiên chẵn là phép toán cảm sinh bởi phép cộng các số

tự nhiên.

5. Phép cộng các số tự nhiên, phép cộng các số nguyên chẵn là phép toán là

phép toán cảm sinh bởi phép cộng các số nguyên.

D. Câu hỏi, hướng dẫn học tập, thảo luận:

1.Thế nào là phép toán hai ngôi ? Liên hệ xem các phép toán cộng, trừ, nhân,

chia trên các tập N, Z, Q, *Q phép toán nào là phép toán hai ngôi, phép toán

nào không là phép toán hai ngôi. Nếu là phép toán hai ngôi thì chỉ ra các tính

chất và tìm phẩn tử đặc biệt của mỗi phép toán đó.

D: Xét các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên Tập Z.

- Phép cộng, trừ, nhân là các phép toán hai ngôi vì ta có các ánh xạ... chẳng hạn:

(-) : ZxZ Z

(a,b) a-b

Phép chia không là phép toán hai ngôi vì 3,4 Z nhƣng (3:4) Z.

- Phép cộng, phép nhân có tính chất giao hoán và kết hợp. Phần tử trung hòa của

phép cộng là 0, của phép nhân là 1.

- Phép trừ không có tính chất giao hoán, không có tính chất kết hợp và không có

phần tử trung hòa.

- Đối với phép cộng thì a Z có phần tử đối xứng là -a Z . Đối với phép nhân

chỉ có 1 và -1 là có phần tử đối xứng, phần tử đối xứng của 1là 1, của -1 là -1.

2. Các bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6 trang 17 ở [2] và bài 1.1, 1.2 ở [1].

7

Bài tập ( 3 tiết)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức:

Giải các bài tập về phép toán hai ngôi . iểu rõ những phép toán nào dạy

cho học sinh tiểu học là phép toán hai ngôi, phép toán nào không là phép toán

hai ngôi

2. Kỹ năng:

- Kiểm tra một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó là phép toán hai

ngôi ; kĩ năng xét các tính chất và những phần tử đặc biệt của phép toán hai

ngôi; kĩ năng xét tập con ổn định của một tập hợp đối với một phép toán.

- Rèn kỹ năng giải toán.

3. Thái độ:

- Giáo dục đức tính cẩn thận, yêu thích môn học và có liên hệ với thực tế

chƣơng trình Toán ở Tiểu học.

B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:

Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng bài giảng, tài liệu

giảng dạy





NXBĐ SP, 2007.


2. Người học:


tập nhƣ trên.

C.Nội dung:

Bài 1: Cho các tập hợp: N, Z, Q, *Q

a) Xét các phép toán cộng, trừ, nhân, chia có phải là phép toán hai ngôi trên

chúng không ?

8

+ Phép cộng, nhân phép toán hai ngôi trên N, Z, Q, *Q vì …

+ Phép trừ không là phép toán hai ngôi trên N, *Q vì

* *1 5 1 5; :

2 2 2 2Q Q

+ Phép trừ là phép toán hai ngôi trên Z, Q.

+ Phép chia là phép toán hai ngôi trên *Q

( không là phép toán hai ngôi trên N, Z ,Q vì 1,0 Q mà 1: 0 Q .

b) Nếu là phép toán hai ngôi thì có những tính chất gì? Những phần tử đặc

biệt ?

+ Phép cộng có tính chất kết hợp, giao hoán trên các tập N, Z, Q, *Q ; có

phần tử trung lập là 0.(trừ *Q )

+ Phép nhân có tính chất kết hợp, giao hoán trên các tập N, Z, Q, *Q ; có

phần tử trung lập là 1.

+ Phép trừ trên Z, Q không có tính chất kết hợp, không có tính chất giao hoán

; không có phần tử trung lập.

+ Phép chia trên *Q không có tính chất giao hoán, kết hợp; không có phần tử

trung lập.

Bài 2:

+ Phép có tính chất giao hoán, kết hợp

0 1 1 0 1

1 2 2 1 0...

1 2 = 2 1 = 0

+ Có phần tử trung lập là 0 vì

0 X

0 1 1 0 1;0 2 2 0 2,...

+ 0 có phần tử đối xứng là 0 vì

0 X

0 0 0

9

Tƣơng tự: 1 có phần tử đối xứng là 2, 2 có phần tử đối xứng là 1.

Bài 3

+ Phép toán * có tính chất kết hợp vì

( )

( )

( ) ( )

a b c a c a

a b c a b a

a b c a b c

+ Phép toán * không có tính chất giao hoán vì ,a b Y mà

a*b = a và b*a = b nên a*b b*a.

+ Y không có phần tử trung lập đối với phép toán *.

Bài 4 : Cho phép toán

* * *:

,b

T N N N

a b a

+ T không có tính chất giao hoán vì *2,3,4 N nhƣng

3 3.4 12

4 81

2 3 4 2 4 2 2

2 3 4 2 3 2 81 2

2 3 4 2 3 4

T T T

T T T T

T T T T

+ Trong N* không tồn tại phần tử trung hòa. GS e là phần tử trung hòa

Với *a N ta có

e

a

aTe a a a

eTa a e a

không tồn tại *

e N

Bài 5.

a) Cho quy tắc , x*y= x + y + xyx y R

+ * là phép toán hai ngôi vì ta có ánh xạ:

( , )

R R R

x y x y xy

+ T có tính chất giao hoán : , : *x y R x y x y xy y x yx y x .

+ T có tính chất kết hợp:

10

, ,

( * )* ( )*

( ) ( )

x y z R

x y z x y xy z

x y xy z x y xy z

x y xy z xz yz xyz

(1)

*( * ) *( )

( )

x y z x y z yz

x y z yz x y z yz

x y z yz xy xz xyz

(2)

Từ 1 &2 suy ra ( * )* *( * )x y z x y z

b) Xét quy tắc 2 , ,m n m n m n N

+ CM là phép toán 2 ngôi trên N

+ không có tính chất giao hoán

+ không có tính chất kết hợp

c) Cho quy tắc , , \ 1a b a b ba a b Q

++ CM là phép toán 2 ngôi trên \ 1Q

+ có tính chất giao hoán

+ có tính chất kết hợp

Bài 6.

- Đặt 2 /A a a Z là tập các số nguyên chẵn

iển nhiên A Z.

2 ,2

2 2 2( ) 2

2 .2 2(2 ) 2

a b A

a b a b t A

a b ab q A

Vậy tập các số nguyên chẵn là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với

phép cộng và phép nhân.

- Chứng minh tƣơng tự với tập các số nguyên lẻ.

11

Tập các số nguyên lẻ là tập con ổn định của tập các số nguyên đối với phép nhân

nhƣng không ổn định đối với phép cộng.

Bài 7.

Xét các tính chất và phần tử đặc biệt của các phép toán sau:

a) m n = m + 2n trên N

b) m n = m.2n

trên N

c) ) m n = m + n2 trên N

Giải:

a)

- ,

2 2

m n N

m n m n n m n m

Vậy * không có tính chất giao hoán.

, ,

( ) ( 2 ) 2 2

( ) ( 2 ) 2( 2 ) 2 4

m n t N

m n t m n t m n t

m n t m n t m n t m n t

Từ hai đẳng thức trên suy ra

( ) ( )m n t m n t

Vậy * không có tính chất kết hợp.

: 0 2.0m N m m m .

Vậy 0 là phần tử trung hòa bên phải.

b)chứng minh tƣơng tự

Phép toán * không giao hoán, không kết hợp và 0 là phần tử trung hòa bên phải.

c) Phép toán * không giao hoán, không kết hợp và 0 là phần tử trung hòa bên

phải.

Bài 8.

Trên N* đặt: a) a*b = ƢCLN(a,b)

b) a b = BCNN[a,b]

Giải:

Phép toán * và là phép toán hai ngôi trên N.

12

- Tính chất giao hoán:

, : ( , ) ( , )a b N a b UCLN a b UCLN b a b a

Vậy * trên N có tính chất giao hoán.

- Tính chất kết hợp:

, , : ( ) ( , )

(( , ), ) ( , ( , ))

( , ) ( )

a b c N a b c UCLN a b c

UCLN a b c UCLN a b c

a UCLN b c a b c

Vậy phép toán * có tính chất kết hợp.

- Phép toán * không có phần tử trung hòa.

Chứng minh tƣơng tự: Phép toán có tính chất giao hoán,kết hợp, 1 là phần tử

trung hòa.chỉ có phần tử 1 là có phần tử đối xứng. đối xứng của 1 là 1.


1. Xem lại các bài tập đã làm.

2. Về nhà đọc tài liệu phần nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con,

đồng cấu nửa nhóm, đồng cấu vị nhóm, nửa nhóm sắp thứ tự.

Chú ý các định nghĩa và ví dụ.

Nửa nhóm, vị nhóm ( 3 tiết)

I. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Sinh viên phải nắm vững:

- Định nghĩa nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con.

- Đồng cấu nửa nhóm, đồng cấu vị nhóm, các tính chất. Nửa nhóm sắp

thứ tự.

2. Kỹ năng:

- Kiểm tra đƣợc một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó có phải là

nửa nhóm, vị nhóm không.

- Kiểm tra đƣợc một tập đã cho có là nửa nhóm con, vị nhóm con hay

không.

- Kiểm tra đƣợc một ánh xạ đã cho có là đồng cấu nửa nhóm, đơn cấu,

toàn cấu, đẳng cấu nửa nhóm hay không.

13

3. Thái độ:

- Giáo dục tình cảm nghề nghiệp, phƣơng pháp làm việc khoa học.

II. Chuẩn bị:

1. Giảng viên:






NXBĐ SP, 2007.


2.Người học:


tập nhƣ trên.

III.Nội dung:

I) Nửa nhóm

1.Định nghĩa nửa nhóm:

a. Định nghĩa:

Cho X là một tập hợp và T là một phép toán hai ngôi trên X. Tập X cùng với

phép toán T đƣợc kí hiệu là (X,T) hoặc X.

* (X,T) gọi là một nửa nhóm nếu phép toán T có tính chất kết hợp.

* (X,T) gọi là một Vị nhóm nếu phép toán T kết hợp và có phần tử trung

hòa.

Nửa nhóm (vị nhóm) (X,T) gọi là nửa nhóm ( vị nhóm) giao hoán nếu phép toán

T là giao hoán.

b. Ví dụ:

- (N*, +) là một nửa nhóm giao hoán nhƣng không là vị nhóm.

- (N,+); (N,.) là 1vị nhóm giao hoán.

- (Z,+), (Z,.) là 1vị nhóm giao hoán.

14

- (mZ, +) là 1vị nhóm giao hoán.

- Cho X là một tập hợp. Trên X xét phép toán

x T y = x với mọi x, y X.

(X,T) là nửa nhóm. Thật vậy, mọi x, y, z X, ta có:

(xTy) T z = xTz = x (1)

xT(yTz) = xT y = x (2)

Từ (1) & (2) suy ra (xTy) T z = xT(yTz)

Nếu X có hơn một phần tử thì nửa nhóm (X,T) không giao hoán. Thật

vậy, giả sử x, y X,x y, ta có xTy = x, yTx = y, tức là xTy yTx.

Mọi y X đều là phần tử trung hòa bên phải. Thật vậy, mọi x X ta có

xTy = x nên y là phần tử trung hòa bên phải.

Nếu X có hơn 1 phần tử thì trong X không có phần tử trung hòa bên trái.

Thật vậy, với mọi y X, chọn x X, x y. Khi đó yTx = y x nên y không là

phần tử trung hòa bên trái.

2. Tích các phần tử trong nửa nhóm

Cho (X,.) là một nửa nhóm nhân. Vì phép toán kết hợp nên với các phần tử x1,

x2, …, xn X ta định nghĩa

x1 x2 x3 = (x1 x2) x3

x1 x2 ...xn-1 xn = (x1 x2…xn-1) xn với n 3.

* Định lý 1: Cho a1, a2 ,..., an là các phần tử của một nửa nhóm nhân X. Giả sử

1 = k1 < k2 <…< kh n. Đặt

b1 = a1a2…ak2-1

b2 = ak2ak2+1…ak3-1

……………………

bh = akhakh+1…an

Khi đó ta có a1a2…an = b1b2…bh

CM: GT. ƣớng dẫn: Chứng minh theo quy nạp.

* Nhận xét:

- 1) Ta viết a.a…a (n lần) là an. Theo định lý 1 với mọi phần tử a của nửa nhóm

nhân X và p, qN* ta có

15

( )

p q p q

pq p q

a a a

a a

- 2) Nếu X là nửa nhóm cộng thì ta viết a + a + …+ a (n lần) là n.a. Các quy

tắc trong 1) trở thành : với mọi a X, p, qN* ta có:

Pa + qa = (p+q)a

(pq)a = q(pa)

* Định lý 2: Cho x1, x2 ,..., xn là các phần tử của một nửa nhóm nhân giao hoán

X. Khi đó

1 2 (1) (2) ( )... ...n nx x x x x x

Trong đó là một hoán vị bất kỳ của các số 1, 2,…, n.

CM: GT

Nhận xét:

- 1) Theo định lý 2, với mọi a, b X, X là nửa nhóm nhân giao hoán và nN*

ta

có

( )n n nab a b

- 2) Nếu X là nửa nhóm cộng giao hoán thì quy tắc trong 1) trở thành : Với mọi

a, b X, nN* ta có n(a+b) = na + nb.

3. Tính chất của phần tử khả nghịch

Định lý 3: Cho X là một vị nhóm nhân với phần tử đơn vị 1x. Khi đó:

1) 11 1x x

2) x X khả nghịch thì x-1

khả nghịch và 1 1( ) .x x

3) x, y X khả nghịch thì xy khả nghịch và 1 1 1( )xy y x

* Nhận xét: Nếu (X,+) là một vị nhóm với phần tử không 0x thì các quy tắc

trong định lý 3 trở thành

1) -0x = 0x

2) –(-x ) = x nếu x có phần tử đối.

3) –(x +y) = -y –x nếu x, y có phần tử đối.

Ở đây ta dùng kí hiệu x + (-y) = x – y, nếu y có phần tử đối.

16

4. Luật giản ƣớc

Phần tử a của nửa nhóm nhân X gọi là thỏa mãn luật giản ƣớc nếu

x,y X, ta có

ax = ay x = y

xa = ya x = y

Định lý 6: Nếu a là một phần tử khả nghịch của một vị nhóm nhân X thì a thỏa

mãn luật giản ƣớc.

CM: Với mọi x,y X ta có

ax = ay a-1

(ax) = a-1

(ay)

(a-1

a)x = (a-1

a)y

1xx = 1xy

x = y.

Tƣơng tự: xa = ya x = y

II) Nửa nhóm con

1.Định nghĩa

Cho(X,T) là một nửa nhóm và tập con A X ổn định đối với phép toán T. Phép

toán T cảm sinh trên A hiển nhiên là kết hợp, do đó (A,T) là một nửa nhóm, gọi

là nửa nhóm con của (X,T).

Để chứng minh A là một nửa nhóm con của nửa nhóm X ta chỉ cần kiểm tra

phép toán trên X là ổn định trên A.

Nếu X là một vị nhóm và nửa nhóm con A của X chứa phần tử trung hòa thì A

là một vị nhóm và đƣợc gọi là vị nhóm con của vị nhóm X.

2.Ví dụ

- Cho X là một nửa nhóm (vị nhóm) bất kỳ. Khi đó X là một nửa nhóm con (vị

nhóm con) của chính nó.

- Tập A các số nguyên chẵn là một vị nhóm con của của vị nhóm cộng các số

nguyên Z.

- Tập B các số nguyên lẻ là một vị nhóm con của của vị nhóm nhân các số

nguyên Z.

- Cho m là một số tự nhiên. Tập mZ tất cả các số nguyên là bội số của m là một

17

vị nhóm con của vị nhóm cộng các số nguyên. Thật vậy,

+ mZ là bộ phận ổn định đối với phép cộng.

1 2 1 2 1 2, : ( )mk mk mZ mk mk m k k mZ vì

1 2k k Z .

+ mZ là bộ phận ổn định trong Z mà phép cộng trong Z có tính chất kết hợp

phép cộng trên mZ có tính chất kết hợp.

+ 0 .0m mZ mà .0 .0 ,mk m m mk mk mk mZ

vậy mZ là vị nhóm con của vị nhóm (Z,+).

- Xét tập R với phép toán

a*b = a + b – ab

và tập con S = [0,1]. Với mọi a, b, c R ta có

(a*b)*c = (a + b – ab) *c = a + b – ab + c – (a + b - ab)c

= a + b +c – ab – ac – bc + abc

Tƣơng tự ta tính đƣợc a*(b*c) và ta có (a*b)*c = a*(b*c).

Vì phép toán * kết hợp nên (R,*) là một nửa nhóm.

a, b R, ta có a*b = a + b – ab = b + a – ba = b*a nên phép toán * giao

hoán.

a R, ta có a*0 = a + 0 – a.0 = a và 0*a = 0 + a - 0.a = a.

Do đó 0 là phần tử trung hòa của phép toán *.

Vậy (R,*) là một vị nhóm giao hoán.

Ta có a*b = a + b – ab = a(1 – b) + b . Với mọi a,b S:

0 a(1 – b) + b (1 – b) + b = 1 a*b S. vậy phép toán * ổn định trên

S nên S là nửa nhóm con của (R,*). Do 0 S nên S là vị nhóm con của (R,*).

III. Đồng cấu nửa nhóm

1.Định nghĩa

Cho 2 nửa nhóm (X,*) và (Y, ). Một ánh xạ

f : X Y gọi là một đồng cấu nửa nhóm nếu

f(x*y) = f(x) f(y) với mọi x, y X.

Nếu X và Y đều là vị nhóm thì đồng cấu nửa nhóm gọi là đồng cấu vị nhóm.

Khi ánh xạ f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì đồng cấu f tƣơng ứng gọi là đơn

cấu, toàn cấu, đẳng cấu.

18

2. Ví dụ

- Cho f: (N,+) (N,.), f(n) = 2n

m, n N, ta có f(m+n) = 2m+n

= 2m. 2

n = f(m) . f(n) nên f là đồng cấu.

n1, n2 N, n1 n2 , ta có f(n1) = 12n

22n

= f(n2) nên f là đơn ánh, do đó f

là đơn cấu từ (N,+) vào (N,.). Chú ý rằng f cũng là đơn cấu vị nhóm.

- Cho X là một nửa nhóm (vị nhóm) . Khi đó ánh xạ đồng nhất

Ix : X X, Ix(x) = x với x X là đẳng cấu nửa nhóm (vị nhóm).

- Cho A là một nửa nhóm con của X. Khi đó ánh xạ

JA : A X, JA(x) = x với x A

là đơn cấu nửa nhóm, gọi là phép nhúng chính tắc A vào X.

3. Định lý

Cho f : (X,*) (Y, ) là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó

1) A là nửa nhóm con của X thì f(A) là nửa nhóm con của Y.

2) B là nửa nhóm con của Y thì f-1

(B) là nửa nhóm con của X.

Chứng minh: D

1) Lấy tùy ý y1, y2 f(A) thì phải chứng minh y1 y2 f(A).

2) Lấy tùy ý x1, x2 f-1

(B) cần chứng minh x1* x2 f-1

(B).

IV. Nửa nhóm sắp thứ tự

1.Định nghĩa

Cho (X,T) là một nửa nhóm giao hoán và là một quan hệ thứ tự toàn phần trên

X. Nếu mọi x, y, z X

x y xTz yTz (1)

thì (X,T, ) gọi là một nửa nhóm sắp thứ tự.

Nếu x y và x y thì ta viết x < y. Nếu điều kiện (1) thay bởi điều kiện

x < y xTz < yTz

thì nửa nhóm gọi là nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt.

Trên N hoặc Z ta có quan hệ thứ tự thông thƣờng:

m n nếu tồn tại k N sao cho m + k = n.

Ta có là quan hệ thứ tự toàn phần trên N và trên Z.

2. Ví dụ:

19

- (N,+, ), (N*, . , ) là nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt.

(N, ., ) là nửa nhóm sắp thứ tự (không nghiêm ngặt). Vì chẳng hạn

3 < 4 nhƣng 3.0 = 4.0

- (Z, +, ) là nửa nhóm sắp thứ tự nghiêm ngặt,

(Z, ., ) không là nửa nhóm sắp thứ tự. Vì chẳng hạn

2 3 nhƣng 2.(-4) 3.(-4)

- Mọi nửa nhóm con của một nửa nhóm sắp thứ tự là nửa nhóm sắp thứ tự.


1.Chú ý cho học sinh các cấu trúc: Nửa nhóm sắp thứ tự, nửa nhóm sắp thứ tự

nghiêm ngặt.

2. bài tập 1.4 đến 1.7, 1.11 trang 22, 23 của [1]; 1,2, 3, 4 trang 33, 34 của [2]

3. về nhà đọc phần nhóm. Chú ý phải nắm đƣợc định nghĩa và ví dụ.

Nhóm - Bài tập ( 3 tiết)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức:

- Sinh viên phải nắm vững định nghĩa nhóm, các tính chất của nhóm.

- Giải các bài tập về Nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm con để củng

cố các kiến thức về Nửa nhóm, vị nhóm.

2. Kỹ năng:

- Kiểm tra đƣợc một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó là nửa

nhóm, vị nhóm, nhóm.

- Kiểm tra đƣợc một tập con của nửa nhóm ( vị nhóm) đã cho là nửa

nhóm con( vị nhóm con).

3. Thái độ:

- Giáo dục tình cảm nghề nghiệp, phƣơng pháp làm việc khoa học. Giáo

dục tính cẩn thận.

B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:


giảng dạy.

20





NXBĐ SP, 2007.


2. Người học:


tập nhƣ trên.

C. Nội dung

1. Định nghĩa nhóm

Một vị nhóm đƣợc gọi là một nhóm nếu mọi phần tử của nó đều khả đối

xứng.

Nếu phép toán của nhóm giao hoán thì nhóm đƣợc gọi là nhóm giao hoán

hay nhóm Abel.

Nếu X là tập hữu hạn, có n phần tử thì X đƣợc gọi là một nhóm có cấp n.

Nếu X là 1 tập vô hạn thì X đƣợc gọi là một nhóm có cấp vô hạn.

Nhƣ vậy nhóm có thể định nghĩa trực tiếp nhƣ sau:

* Tập X cùng với phép toán nhân trên nó gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:

1) Mọi x, y, z X

(xy)z = x(yz)

2) Tồn tại 1x X (gọi là phần tử đơn vị) sao cho với mọi x X

1x x = x 1x = x

3) Mọi x X tồn tại x-1

X (gọi là phần tử nghịch đảo của x) sao cho

x-1

x = xx-1

= 1x

* Tập X cùng với phép toán cộng trên nó gọi là một nhóm nếu thỏa mãn các

điều kiện sau:

1) Mọi x, y, z X

(x+y) + z = x + (y+z)

21

2) Tồn tại 0x X (gọi là phần tử không) sao cho với mọi x X

0x+ x = x + 0x = x

3) Mọi x X tồn tại -x X (gọi là phần tử đối của x) sao cho

( - x) + x = x + (-x) = 0x

Nhận xét:

1) Trong 1 nhóm nhân có phép chia (:) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

x : y = x y-1

Trong 1 nhóm cộng có phép trừ (-) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

x – y = x + (-y)

2) Để đơn giản kí hiệu, các kết quả lý thuyết về sau ta thƣờng chỉ xét với

nhóm nhân (d dàng chuyển các kết quả này cho nhóm cộng hay nhóm với

phép toán tùy ý.

Ví dụ

1. Tập các số nguyên với phép cộng thông thƣờng là một nhóm Abel

Thật vậy:

* Phép (+) các số nguyên có tính chất kết hợp:

∀a, b, c ∈Z ta có (a+b) + c = a + b + c = a + (b+c)

* 0 là phần tử trung hòa trên Z đối với phép cộng vì

+ 0Z

+a Z ta có 0 + a =0 và a+0 = a

* Mỗi phần tử aZ có phần tử đối xứng là –a Z sao cho

( –a) + a = 0 và a + (-a) = 0

* Phép (+) các số nguyên có tính chất giao hoán:

∀a, b ∈Z ta có a + b = b + a

2. (Q,+) là một nhóm Aben. (CM)

3. (R,+) là một nhóm Aben.(CM)

(4) ( *Q , .) ( *Q , .) là 1 nhóm Aben. Phần tử nghịch đảo của x là 1

x .

2. Tính chất của các phần tử trong nhóm

Nếu a là một phần tử của 1 nhóm X thì ta định nghĩa

22

0 1a

=a a...na a (n lần) nếu n > 0

1( )n na a nếu n < 0

1. Với mọi phần tử a của một nhóm X và p,q ∈Z ta có

ap.a

q = a

p+q

( )pq p qa a

2. Với mọi phần tử a, b của 1 nhóm X và m ∈Z ta có

( )m m mab a b

3. Với mọi phần tử a, b của 1 nhóm X ta có

1 1 1 1 1( ) ,( )a a ab b a

4. Mọi phần tử của nhóm X đều thỏa mãn luật giản ƣớc, tức là ∀a, b, c ∈X

ab = ac b = c; ba = ca b = c.

* Bài tập

Bài 1.

a) (5Z,+) là vị nhóm .

5 5 |Z x x Z là tập các số nguyên chia hết cho 5.

+ Phép (+) có tính chất kết hợp:

+ có phần tử trung hòa là 5.0

b)(5Z, .) là nửa nhóm nhƣng không là vị nhóm

+ Phép nhân trên 5Z có tính chất kết hợp

5 ,5 ,5 5x y t Z :

2 3 3 25 .5 .5 5 .5 5 5 5 .5 ( ) 5 . 5 .5x y t xy t xy t x yt x yt x y t

+ Giả sử e là phần tử đơn vị của 5Z : 5 5x Z ta có

5

.5 5 1 5

5 . 5

e Z

e x x e Z

x e x

Bài 2 2 1|X n n Z

23

a) CM X là vị nhóm con của nhóm (Z,.)

+ X là bộ phận ổn định trong Z đối với phép nhân

+ Phép nhân trong X có tính chất kết hợp.

+ Có phần tử trung lập là 1 = 2.0 + 1 X

b) CM X không là nửa nhóm con của nhóm (Z,+) vì X không là bộ phận ổn

định đối với phép cộng.

Bài 3.

Cho N* là tập các số tự nhiên khác 0. Ta định nghĩa:

mn == m + n – 1, m, n N*

a) Tìm 2 1; 4 5; 5 5

b) Chứng minh (N, ) là một vị nhóm giao hoán.

Giải

a) 2 1 = 2; 4 5 = 8; 5 5 = 9

b) CM (N, ) là 1 vị nhóm giao hoán

* Phép toán có tính chất kết hợp vì với m, n, t N*

(mn) t = (m + n - 1) t = (m + n – 1) + t - 1

= m + ( n - 1 + t) – 1

= m + (n + t – 1) - 1= m (n + t - 1) = m (n t)

* 1 N* là phần tử trung hòa đối với phép toán vì m N

* ta có

1m = 1 + m - 1 = m và m1 = m + 1 - 1 = m

* Tính chất giao hoán: m,n N*

mn = m + n - 1 = n + m - 1 = nm. Suy ra trên N* có tính chất giao hoán.

Vậy (N*, ) là một vị nhóm giao hoán

Bài 4. Chứng minh rằng các tập và các phép toán tƣơng ứng sau đây là những

nửa nhóm giao hoán

a) R, x* y =x + y + xy.

b) N, x y = x + y + 2

Giải.

a) Chứng minh Phép toán * có tính chất kết hợp, giao hoán.

24

+ T có tính chất giao hoán : , : *x y R x y x y xy y x yx y x .

+ T có tính chất kết hợp:

, ,

( * )* ( )*

( ) ( )

x y z R

x y z x y xy z

x y xy z x y xy z

x y xy z xz yz xyz

(1)

*( * ) *( )

( )

x y z x y z yz

x y z yz x y z yz

x y z yz xy xz xyz

(2)

Từ 1 &2 suy ra ( * )* *( * )x y z x y z .

Vậy (R,*) là nửa nhóm giao hoán.

b) Chứng minh phép toán có tính chất kết hợp, giao hoán.

Bài 5.

Trên R* xét phép toán a*b = |a|b. Chứng tỏ rằng (R

*,*) là một nửa nhóm không

giao hoán.

Giải:

*, ,

( ) (| | ) || | | | || |

( ) (| | ) | || |

a b c R

a b c a b c a b c a b c

a b c a b c a b c

Từ 2 đẳng thức trên suy ra

( ) ( )a b c a b c

Vậy * có tính chất kết hợp. Do đó (R*, *) là một nửa nhóm. Nửa nhóm này

không giao hoán. Vì:

*, , | | | |a b R a b a b b a b a

Bài 6.

Phép toán * trên X gọi là lũy đẳng nếu x*x = x với x.

Cho (X,*) là một nửa nhóm giao hoán lũy đẳng. Trên X đặt

x y nếu x*y = y

25

Chứng minh là 1 quan hệ thứ tự trên X.

Giải:

,

, , & &

, , , & ,

( ) , .

x X x x x x x

x y X x y y x x y y y x x y x

x y z X x y y z x y y y z z

x y z y z y z z x z z x z

Vậy là 1 quan hệ thứ tự trên X.

Bài 7.

Kí hiệu P(X) là tập tất cả các tập con của X.

a) Chứng tỏ (P(X), ) là một vị nhóm giao hoán. Tìm các phần tử khả đối xứng

của vị nhóm này.

b) Chứng tỏ (P(X), ) là một vị nhóm giao hoán. Tìm các phần tử khả đối xứng

của vị nhóm này.


1. D giải bài 7:

+ Phép toán có tính chất kết hợp: A, B, C P(X) ta luôn có

(A B) C = A ( B C)

+ là phần tử trung hòa vì A P(X) ta có

A = A và A = A

+ Phép toán có tính chất giao hoán: A, B P(X) ta luôn có

A B = B A

(P(X), ) là một vị nhóm giao hoán. Chỉ có là có phần tử đối xứng nên

là phần tử khả đối xứng.

b) (P(X), ) là vị nhóm giao hoán. Phần tử trung hòa là X, chỉ có X có phần tử

đối xứng là X.

2.Khi xét cấu trúc nhóm, nhóm Abel chú ý cách tìm phần tử trung hòa.

Ví du:

3.Bài tập về nhà 2.1, 2.2, 2.3 trang 44 thuộc [1]; 5, 6(ý 1,2,8,),7 trang 34 thuộc

[2].

26

Bài tập (3 tiết)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức:

- Củng cố các kiến thức và giải các bài tập về Nửa nhóm giao hoán, nửa

nhóm con, vị nhóm con, nửa nhóm sắp thứ tự, nhóm, đồng cấu nửa nhóm.

2. Kỹ năng:

- Kiểm tra đƣợc một tập hợp và một phép toán trên tập hợp đó là nửa

nhóm, vị nhóm, nhóm.

- Kiểm tra đƣợc một tập con của nửa nhóm( vị nhóm) đã cho là nửa nhóm

con (vị nhóm con)

- Rèn kĩ năng giải bài tập về nửa nhóm, vị nhóm, nửa nhóm con, vị nhóm

con, nhóm.

3. Thái độ:

- Nghiêm túc với môn học và lòng say mê với giải bài tập về Nửa nhóm,

nửa nhóm con, nhóm.

B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:






NXBĐ SP, 2007.


2. Người học:


tập nhƣ trên.

C. Nội dung

Bài 8.

Cho X là tập các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng X là một vị nhóm con của

vị nhóm nhân các số nguyên Z nhƣng không là nửa nhóm con của nửa nhóm

27

cộng Z.

Giải:

X = 2 1|a a Z là tập các số nguyên lẻ.

Rõ ràng 1= 2.0+ 1 X. ơn nữa 2a+1, 2b+1 X thì

(2a +1).(2b +1) = 2(2ab + a +b) + 1 = 2q +1 X (với 2ab + a + b = q).

Vậy X là vị nhóm con của vị nhóm nhân Z.

X không là nửa nhóm con của nửa nhóm cộng Z. Vì X không ổn định đối với

phép cộng. Chẳng hạn 5,7 thuộc X nhƣng 5 +7 X.

Bài 9.

Giả sử X là một tập hợp tùy ý. Xét phép toán hai ngôi:

*:

2

( , )

X X

x y x y x

Chứng minh X là một nửa nhóm với phép toán hai ngôi trên. Nửa nhóm đó có

giao hoán không ? Có đơn vị không ?

Giải:

+ x,y,z X

ta có (x*y) * z = x * z = x; x * (y * z) = x * y = x.

Vậy (x*y) * z = x * (y * z).

+ X có nhiều hơn 1 phần tử thì phép toán * không giao hoán, vì giả sử x, y là 2

phần tử khác nhau thuộc X, ta có

x * y = x y = y * x

+ X có phần tử đơn vị bên phải nhƣng không có phần tử bên trái. Vì với x X

ta có

x* 1 = x 1 = 1 * x

Bài 10. Trên tập hợp Z các số nguyên, phép toán đƣợc xác định nhƣ sau:

m n = m + n - 1, với m, nZ

Chứng minh rằng tập hợp Z cùng với phép toán là một nhóm Aben.

Giải:

* Phép toán có tính chất kết hợp vì với m, n, t Z

(mn) t = (m + n - 1) t = (m + n – 1) + t - 1

28

= m + ( n - 1 + t) – 1 = m + (n + t – 1) - 1

= m (n + t - 1) = m (n t)

* 1 Z là phần tử trung hòa đối với phép toán vì m Z ta có

1m = 1 + m - 1 = m và m1 = m + 1 - 1 = m

* với mỗi m Z có phần tử đối xứng (-m + 2 ) Z vì :

(-m + 2)m = (- m +2) + m - 1 = 1 và m (-m +2) = m +(- m +2) - 1 = 1

* Tính chất giao hoán: m,n Z

mn = m + n - 1 = n + m - 1 = nm.

Vậy (Z, ) là 1 nhóm Abel.

Bài 11. Cho tập A = 0;1;2 . Chứng minh rằng A là một nhóm Aben với phép

toán cho bởi bảng sau:

0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

Giải: HD

- Phép toán có tính chất kết hợp.

- Phần tử trung lập là 0.

- Phần tử đối xứng của 1 là 2; của 2 là 1; của 0 là 0.

- Phép toán có tính chất giao hoán.

Vậy (A, ) là một nhóm Aben.

Bài 12.

Trên tập hợp Z các số nguyên, phép toán đƣợc xác định nhƣ sau:

a b = a + b + 2, với a, bZ

Chứng minh rằng (Z, ) là một nhóm Aben.

Giải :

HD :- Phép toán có tính chất kết hợp.

- Phần tử trung hòa là -2.

- Phần tử đối xứng của a là (–a – 4) .

29

- Phép toán có tính chất giao hoán.

Bài 13. Chứng minh rằng 1

\2

R

với phép toán * 2x y x y xy là một

nhóm Abel.(R là tập các số thực)

Giải:

- Tính chất kết hợp:

, ,x y z 1

\2

R

ta có:

( )x y z = (x + y - 2xy) z = x + y - 2xy + z – 2(x + y - 2xy)z

= x + y - 2xy + z – 2xz – 2yz + 4xyz

= x + y + z - 2xy – 2xz – 2yz + 4xyz

x (y z)= x (y + z – 2yz) = x +(y + z – 2yz) – 2x(y + z – 2yz)

= x + y + z – 2yz – 2xy – 2xz + 4xyz

Vậy phép toán * có tính chất kết hợp

- Phần tử trung hoà:

* , 2 (1 2 ) 0, 0x e x x x e xe x e x x e . Vậy 0 là phần tử trung

hoà. Thử lại thấy 0 là phần tử trung hòa.

- Phần tử đối xứng:

Mọi 1

\ , * ' 0 ' 2 ' 0 '2 2 1

xx R x x x x xx x

x

với

1

2x . Vậy phần tử

đối xứng của x là 2 1

x

x . Thử lại thấy

2 1

x

x là phần tử đối xứng của x.

- Tính chất giao hoán:

x,y R: x*y = x + y – 2xy = y + x – 2yx = y*x

Vậy (1

\2

R

,*) là nhóm Aben.

Bài 14.

Chứng minh *X R R với phép toán ( , )*( , ) ( , )a b c d ac bc d là một nhóm

không giao hoán.(R là tập các số thực; R* là tập các số thực khác 0)

Giải:

+) Tính chất kết hợp

30

(a,b), (c,d), (e,f) *R R ta có:

[(a,b) (c,d)] (e,f) = ( , )ac bc d (e,f) = (ace,(bc+d)e+f)

= (ace,bce + de + f) (1)

(a,b) [(c,d) (e,f)] = (a,b) (ce,de + f)= (ace,bce + de +f) (2)

Từ (1) & (2) suy ra phép toán trên có tính chất kết hợp

+) Tìm phần tử trung hòa: ( , )*( , ) ( , ), ( , )a b x y a b a b X

1( , ) ( , )

0

ax a xax bx y a b

bx y b y

. Thử lại ta thấy (1,0) là phần tử

trung hòa.

+) Tìm phần tử đối xứng của (a,b): ( , )*( ', ') (1,0) ( ', ' ') (1,0)a b a b aa ba b

1' 1, ' ' 0 ' , '

baa ba b a b

a a . Thử lại ta thấy

1,

b

a a

là phần tử đối

xứng của ,a b X

2,0 *(1,1) 2,1 ;(1,1)*(2,0) (2,2) 2,0 *(1,1) (1,1)*(2,0)

nên phép toán * không giao hoán.

Vậy (X,*) là nhóm không giao hoán.

Bài 15.

Lập các bảng toán cho các tập hợp gồm 2 phần tử, 3 phần tử để đƣợc nhóm 2

phần tử, 3 phần tử.

Giải:

Cho X ={a, b} để X là 1 nhóm, trƣớc hết ta chọn một phần tử làm phần tử trung

hòa . Vì trong nhóm có luật giản ƣớc nên kết quả trong mỗi dòng và mỗi cột

phải khác nhau. Cuối cùng ta có:

* a b

a a b

b b a

Tƣơng tự M = {a, b, c} ta có

31

* a b c

a a b c

b b c a

c c a b

+ Tính chất kết hợp: a, b, c M

(a * b) * c = b * c = a

a * ( b * c) = a * a = a

(a * b) * c = a * ( b * c)

+ Phần tử trung hòa là a.

+ Phần tử đối xứng của a là a.

Phần tử đối xứng của b là c.

Phần tử đối xứng của c là b.

Bài 16: Chứng minh rằng tập hợp các số thực có dạng 2, ,a b a b Z với

phép cộng thông thƣờng là một nhóm Abel.


1.HD bài t p 16:

Chứng minh rằng tập hợp các số thực có dạng 2, ,a b a b Z với phép cộng

thông thƣờng là một nhóm Abel.

ƣớng dẫn: Đặt 2 | ,X a b a b Z . Chứng minh:

- Phép + có tính chất kết hợp

- Phép + có phần tử trung hòa là 0 0 2

- Mọi 2a b có phần tử đối xứng là 2a b

- Phép + có tính chất giao hoán.

2. Về nhà xem lại các bài tập đã chữa.

3. Nghiên cứu phần nhóm con, đồng cấu nhóm, đối xứng hóa, nhóm sắp thứ tự.

Cần hiểu đƣợc định nghĩa nhóm con, đồng cấu nhóm, nhóm sắp thứ tự và lấy

đƣợc ví dụ minh họa.

32

Nhóm con. Đồng cấu nhóm. Nhóm sắp thứ tự


A. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp ngƣời học hiểu đƣợc:

Định nghĩa nhóm con, các tiêu chuẩn của nhóm con, đồng cấu nhóm,

tích hai đồng cấu nhóm, ảnh và hạt nhân của một đồng cấu nhóm, nhóm sắp thứ

tự.

2. Kỹ năng:

- Kiểm tra đƣợc một tập con của một nhóm có là nhóm con của nhóm đó

không.

- Kiểm tra đƣợc một ánh xạ đã cho là đồng cấu nhóm, đơn cấu nhóm, toàn

cấu nhóm, đẳng cấu nhóm không.

- Rèn kĩ năng giải bài tập về nhóm con, đồng cấu nhóm, Nửa nhóm sắp

thứ tự.

3. Thái độ:


B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:






NXBĐ SP, 2007.


2. Người học:


tập nhƣ trên.

C.Nội dung:

1.Nhóm con

a.Định nghĩa nhóm con

33

Cho X là 1 nhóm và tập con A của X ổn định đối với phép toán trên X. Nếu A

cùng với phép toán cảm sinh là 1 nhóm thì A gọi là nhóm con của X.

Định nghĩa cách khác:

Tập con A của nhóm X gọi là nhóm con của nhóm X nếu thỏa mãn 3 điều kiện

sau đây:

1. x,y A đều có xy A;

2. 1x A;

3. x A đều có x-1

A.

Nhận xét

1)Nếu A là nhóm con của nhóm X thì đơn vị của A cũng là đơn vị của X;

nghịch đảo của x trong A cũng chính là nghịch đảo của x trong X.

2) Nếu A là 1 nhóm con của một vị nhóm X thì điều nói trên có thể không đúng.

Ví dụ:

- ( Z ,+) là một nhóm con của nhóm (Q,+).

- (Q, +) là nhóm con của nhóm (R,+).

- Tập các số nguyên chẵn với phép cộng thông thƣờng là một nhóm con của

nhóm (Z, +)

- {-1,1} với phép nhân (.) là nhóm con của nhóm(R*, .).

- Với mọi nhóm X, các tập {1x} và X là nhóm con của X. Các nhóm con này gọi

là các nhóm con tầm thƣờng của X.

b. Các tiêu chuẩn của nhóm con

Định lý 1:Tập con A của nhóm X là một nhóm con của X khi và chỉ khi thỏa

mãn các điều kiện sau:

1) A

2) x,y A xy A

3) x A x-1

A.

Định lý 2: Tập con A của nhóm X là một nhóm con của X khi và chỉ khi thỏa


1) A

34

2) x,y A xy-1

A.

2.Đồng cấu nhóm

a. Định nghĩa và tính chất

Cho X, Y là 2 nhóm, để đơn giản kí hiệu ta đều xét phép toán trên chúng là

phép nhân.

Một ánh xạ f: X Y gọi là một đồng cấu nhóm nếu mọi x, y X đều có

f (x.y) = f (x) . f (y).

Nếu ánh xạ f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì đồng cấu f đƣợc gọi là đơn cấu,

toàn cấu, đẳng cấu.

Đồng cấu f từ X vào chính nó đƣợc gọi là tự đẳng cấu.

Định lý: Cho f: X Y là một đồng cấu nhóm. Khi đó

1) f (1x) = 1y .

2) x X, f (x-1

) = [f (x)]-1

Ví dụ:

- Cho X là một nhóm khi đó ánh xạ đồng nhất Ix: X X là một tự đẳng cấu.

- Cho (N, +) là vị nhóm cộng các số tự nhiên. Ánh xạ

g : 2

N N

n n

là một đơn cấu.

Thật vậy: n,t N, g(n+t) = 2(n + t) = 2n + 2t = g(n) + g(t)

n1, n2 N, n1 n2, g(n1) = 2n1 2n2 = g(n2)

- Ánh xạ f : *( , ) ( ,.), ( ) 2xR R f x là 1 đẳng cấu nhóm.

- Cho X, Y là 2 nhóm. Ánh xạ f: 1y

X Y

x

là 1 đồng cấu nhóm, đồng cấu này

gọi là đồng cấu tầm thƣờng.

Định lý:

Cho f: X Y , :g Y Z là các đồng cấu nhóm. Khi đó : ,h X Z h g f

là đồng cấu nhóm.

Chứng minh: Với mọi x, y X ta có

h (x.y) = g(f (x.y)) = g ( f (x)f (y)) = g(f (x)). g(f(y)) = h(x). h(y), do đó h là đồng

35

cấu.

Định lý: Nếu f: X Y là một đẳng cấu thì ánh xạ ngƣợc 1 :f Y X cũng là 1

đẳng cấu.

b. Ảnh và hạt nhân của đồng cấu.

Định lý: Cho f: X Y là một đồng cấu nhóm. Khi đó

1) A là một nhóm con của X thì f(A) là một nhóm con của Y.

2) B là một nhóm con của Y thì f-1(B) là nhóm con của X.

Cho f: X Y là một đồng cấu nhóm. Theo định lý này f(X) là một nhóm con

của Y ta gọi nhóm con này là ảnh của f, kí hiệu là Imf .

f-1

({1y}) = f-1

(1y) là một nhóm con của X, ta gọi nhóm con này là hạt nhân của f,

kí hiệu là ker f.

3. Đối xứng hóa

a. Định nghĩa

Cho X là một nửa nhóm nhân giao hoán. Phần tử a X thỏa mãn luật giản ƣớc

gọi là phần tử chính quy.

Nửa nhóm ( vị nhóm) X gọi là chính qui nếu mọi phần tử của nó đều chính qui.

Ví dụ : Trong nửa nhóm cộng các số tự nhiên N, mọi phần tử đều chính quy.

Trong nửa nhóm nhân các số tự nhiên N , mọi phần tử khác 0 đều là chính

quy.

b. Định lý : Cho X là một vị nhóm nhân giao hoán, chính quy. Khi đó tồn tại

một nhóm X và đơn cấu : X X từ nửa nhóm X vào X sao cho với X ,

có thể viết dƣới dạng 1( )[ ( )]a b với a, b thuộc X.

Nhóm X đƣợc gọi là nhóm đối xứng hóa của nửa nhóm X.( X = X2/ là tập

thƣơng của X2 theo quan hệ ).

4. Nhóm sắp thứ tự

a.Định nghĩa

Cho (X,.) là một nhóm Abel và là một quan hệ thứ tự toàn phần trên X.

Nếu ( ,., )X là một nửa nhóm sắp thứ tự thì ( ,., )X gọi là một nhóm sắp thứ

tự, tức là x,y, zX, x y đều có xz yz.

36

Trong nhóm sắp thứ tự d thấy x < y kéo theo xz < yz. Do đó mọi nhóm sắp thứ

tự đều là sắp thứ tự nghiêm ngặt.

Định nghĩa tƣơng tự cho vị nhóm sắp thứ tự.

Nhận xét:

1). Nếu ( ,., )X là nhóm sắp thứ tự thì mọi nhóm con của X cũng là nhóm sắp

thứ tự.

2) Trong nhóm sắp thứ tự ta có

,

,

a b c d ac bd

a b c d ac bd

b. Ví dụ

- Nhóm cộng các số nguyên Z là một nhóm sắp thứ tự.

- Vị nhóm cộng các số tự nhiên là một vị nhóm sắp thứ tự.

* Bài tập.

Bài 1:

Trên tập hợp S = / , , 0ax b a b R a , xác định một phép toán T nhƣ sau:

(ax+b) T (cx+d) = (ac)x +(b+d), ax+b, cx+d S.

Chứng minh rằng (S,T) là một nhóm Aben.

Giải:

* ax +b, cx +d, ex +f S

((ax +b) T(cx +d)) T (ex +f) = ((ac)x + (b+d)) T (ex +f) = ((ac)e)x +((b +d) + f)

= (a(ce)x + (b +(d+f)) = (ax +b) T ((ce)x + (d +f)) = (ax+b) T((cx +d) T (ex +f))

=> Phép toán T trên S có tính chất kết hợp.

* x + 0S là phần tử trung lập đối với phép toán T vì với ax+b S, ta có:

( x +0) T (ax+b) = (1.a)x + (0+b) = ax + b

và (ax+b) T (x +0) = (a.1)x + (b+0) = ax + b.

* mỗi phần tử ax+b S có phần tử đối xứng là 1

ax – b S vì

(ax+b) T (1

ax – b) = (a.

1

a)x + ( b - b) = x + 0 và

(1

ax – b) T(ax+b) = (

1

a.a)x + (- b+ b) = x + 0

37

* ax +b, cx +d S

ax+b) T (cx+d) = (ac)x + (b+d) = (ca)x + (d+b) = (cx+ d) T (ax+b)

=> Phép toán T trên S có tính chất giao hoán.

Vậy (S.T) là một nhóm Abel.

Bài 2: Chứng minh rằng tập hợp A = 1,1 là một nhóm con của nhóm nhân

các số hữu tỉ khác 0, nhƣng không là nhóm con của nhóm cộng các số nguyên.

Giải: ta có A vì 1 A.

Với mọi -1,1A ta có (-1).1 = -1 A.

(-1) +(- 1) = -2 A.

Vậy A là một nhóm con của nhóm nhân các số hữu tỉ khác 0, nhƣng không là

nhóm con của nhóm cộng các số nguyên.

Bài 3: Chứng minh rằng tập các số thực có dạng 2, ,a b a b Z là một nhóm

con của nhóm cộng các số thực.

Giải: Đặt 2 | ,X a b a b Z . Khi đó X là tập con của tập các số thực

Ta có 0 0 2 X .

2, 2 ; , , ,a b c d X a b c d Z ta có

( 2) ( 2) ( ) ( ) 2a b c d a c b d X

Vậy X là nhóm con của nhóm cộng các số thực.

Bài 4: Chứng minh rằng tập các số thực có dạng 2 22, , , 0a b a b Q a b là

một nhóm con của nhóm nhân các số thực khác 0.

Bài 5: Cho X là một nhóm với đơn vị e. Chứng minh rằng nếu x2 = e với mọi x

X thì X là một nhóm Abel.

Giải: với x,y X ta có :

(xy)2 = x

2y

2 => (xy)(xy) = x

2y

2

Hay x (y x) y = x(xy)y

=> y x = x y

Bài 6: Cho ánh xạ

38

f : N N , n a 5n

a)Chứng minh rằng f là một tự đồng cấu của nửa nhóm cộng các số tự nhiên N.

b) Tìm f(N) và f-1

(0).

Giải:

a) Ánh xạ f: N → N, n a 5n

là một tự đồng cấu của nửa nhóm cộng( N, +), vì với mọi m, n N ta có

f ( m + n) = 5(m + n) = 5m + 5n = f(m)+f(n).

b) f (N) = 5N = {5n | n N}, f -1

(0) = {0}


- Chú ý các khái niệm nhóm con, đồng cấu nhóm, tiêu chuẩn nhận biêt nhóm

con để giải các bài tập.

- Làm các bài tập: 9, 10,14 của [2]; 2.6,2.5 của [1].

- Ôn tập để kiểm tra giữa kì. Chú ý bài tập về: phép toán hai ngôi(định nghĩa,

tính chất, những phần tử đặc biệt), bộ phận ổn định, nửa nhóm, nhóm, đồng cấu

nhóm.

Kiểm tra giữa kì ( 1 tiết)

Chương II: Vành và trường (6 tiết)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp ngƣời học hiểu đƣợc:

Định nghĩa vành( trƣờng); tính chất của vành ( trƣờng), vành (trƣờng)

con. Đồng cấu vành( trƣờng), ảnh và hạt nhân của một đồng cấu vành, vành

(trƣờng) sắp thứ tự.

2. Kỹ năng:

- Kiểm tra đƣợc một tập hợp cùng với 2 phép toán trên nó có là vành

(trƣờng) không.

- Kiểm tra đƣợc một tập con của một vành( trƣờng) có là vành con(trƣờng

con ) của vành (trƣờng) đó không.

39

- Kiểm tra đƣợc một ánh xạ đã cho là đồng cấu, đơn cấu, toàn cấu, đẳng

cấu vành.

3. Thái độ:


B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:






NXBĐ SP, 2007.


2. Người học:


tập nhƣ trên.

C. Nội dung:

I. Vành:

1.Định nghĩa và tính chất:

Ta gọi là vành, một tập X cùng với 2 phép toán trên X, thƣờng kí hiệu cộng và

nhân thỏa mãn các điều kiện sau

1) (X, +) là một nhóm Aben.

2) (X,.) là một nửa nhóm

3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là mọi x, y, z X ta có

x ( y + z ) = xy + xz, (y + z) x = yx + zx

Một cách tƣơng đƣơng, ta có thể định nghĩa (X, +, .) là vành nếu nó thỏa mãn

các điều kiện sau

i)x,y, z X, (x + y ) + z = x + ( y +z)

ii) x,y X, x + y = y + x

iii) Tồn tại 0x X, mọi x X, 0x + x = x + 0x = x

40

iv) x X, tồn tại -x X, x + (-x) = (-x) + x = 0x

v) x,y, z X, (xy)z = x(yz)

vi) x,y, z X, x (y + z) = xy + xz, (y + z) x = yx + zx

Nếu phép toán nhân trong vành X có tính chất giao hoán thì vành X gọi là vành

giao hoán, nếu phép nhân có đơn vị thì vành gọi là vành có đơn vị.

Ví dụ :

1)Z, +, .); (Q, +, .) ; (R, +, .) là những vành giao hoán có đơn vị

2) Tập X = 0,1,2,3 cùng với 2 phép toán cộng và nhân cho trong bảng

sau là một vành giao hoán có đơn vị.

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

. 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Định lý 1: Với mọi x, y, z của vành X ta có

1) x.0x = 0x.x = 0x

2) (-x)y = x(-y) = -xy

3) (-x) (-y) = xy

4) x(y – z) = xy – xz ; (y – z) x = y x – zx

Chứng minh: Với mọi x, y, z của vành X

41

1) Ta có: x.0x = x( 0x + 0x) = x.0x + x.0x

x.0x = 0x

Chứng minh tƣơng tự ta có x.0x = 0x

2) Vì xy + (-x) y = (x + (-x) ) y = 0x y = 0x

Nên (-x) y = - xy

Chứng minh tƣơng tự ta cũng có

xy + x(-y) = x(y + (-y)) = x.0x = 0x

x(-y) = - xy

3) Theo 2) ta có (-x)(-y) = - x(-y) = - (-xy) = xy

4) Theo 2) ta có x(y- z) = x (y + (-z)) = xy + x(-z) = xy – xz

Chứng minh tƣơng tự ta có (y – z )x = yx – zx

ệ quả:

Với mọi m Z và mọi x, y của vành X ta có

m(xy) = (mx)y = x(my)

2. Vành con:

ĐN: Cho X là một vành và tập con A của X ổn định đối với hai phép toán của

vành X. Nếu với các phép toán cảm sinh, (A, +, .) là một vành thì A gọi là vành

con của vành X.

VD: 1) Cho X là một vành. Khi đó {0x} và X là các vành con của X. Các vành

con này gọi là vành con tầm thƣờng của X.

2) Vành Z các số nguyên là một vành con của vành Q các số hữu tỷ.

3)Vành Q là vành con của vành các số thực R.

4) Tập các số nguyên chẵn là một vành con của vành Z.

Định lý 2: Tập con A của vành X là vành con của vành X khi và chỉ khi thỏa


1) A

2) x, y A x + y A , xy A

3) x A - x A

Định lý 3: Tập con A của vành X là vành con của vành X khi và chỉ khi thỏa


42

1) A

2) x, y A x - y A, xy A

3. Đồng cấu vành:

a. Định nghĩa và tính chất

Cho X, Y là 2 vành. Một ánh xạ f: X Y gọi là một đồng cấu vành nếu với

mọi x, y X ta có

f(x + y) = f(x) + f(y)

f(x.y) = f(x). f(y)

Nhƣ vậy một đồng cấu vành f: X Y là một đồng cấu từ nhóm cộng X vào

nhóm cộng Y và là một đồng cấu từ nửa nhóm nhân X vào nửa nhóm nhân Y.

Vì f là đồng cấu nhóm cộng nên

f(0x) = 0y, f(-x) = - f(x)

Nếu f là đơn ánh (toán ánh, song ánh) thì đồng cấu vành f đƣợc gọi là đơn cấu(

toàn cấu, đẳng cấu)

Một đồng cấu từ vành X vào chính nó gọi là tự đồng cấu của vành X.

Ví dụ:

1) Cho X, Y là 2 vành. Ánh xạ f: X Y, f(x) = 0y, với mọi x X là đồng

cấu vành, gọi là đồng cấu không.

2) Cho X là 1 vành. Ánh xạ đồng nhất Ix: XX là một đẳng cấu vành.

3) Cho X là một vành có đơn vị 1x. Ánh xạ f: Z X, xác định bởi f(m) =

m.1x là một đồng cấu từ vành Z các số nguyên vào vành X. Thật vậy,

m, n Z ta có

f(m +n) = (m +n). 1x = m.1x + n.1x = f(m) + f(n)

f(m.n) = (m.n). 1x =( m.1x). (n.1x) = f(m) . f(n)

Định lý:

1)Cho f: X Y, g: YZ là các đồng cấu vành. Khi đó g f : X Z là đồng

cấu vành.

2) Cho f: X Y là một đẳng cấu vành. Khi đó ánh xạ ngƣợc f-1

: Y X

cũng là đẳng cấu vành.

43

b. Ảnh và hạt nhân của đồng cấu vành:

Cho f: X Y là một đồng cấu vành. Khi đó

1) Nếu A là vành con của vành X thì f(A) là vành con của vành Y.

2) Nếu B là vánh con của vành Y thì f-1(B) là vành con của vành X.

Cho f: X Y là một đồng cấu vành. Theo định lý này, f(X) là một vành con

của vành Y, ta gọi vành con này là ảnh của f, kí hiệu Imf.

f-1

( 0y ) = f

-1(0y) là một vành con của vành X, ta gọi vành con này là hạt

nhân của f, kí hiệu kerf.

4.Vành sắp thứ tự:


Cho (X, +, .) là một vành giao hoán và là một quan hệ thứ tự toàn phần trên

X. Khi đó (X, +, . , ) gọi là một vành sắp thứ tự nếu với x,y, z X, ta có

1) x y x +z y + z

2) 0 x, 0 y 0 xy.

Vành đƣợc gọi là vành sắp thứ tự nghiêm ngặt nếu 2) đƣợc thay bởi:

2’) 0 < x, 0 <y 0 < xy.

Ở đây, x < y, nghĩa là x y và x y.

II.Trường


Ta gọi là trƣờng, một vành giao hoán có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và

mọi phần tử khác không đều khả nghịch.

Cho X là một trƣờng, kí hiệu 0 là phần tử không, 1 là phần tử đơn vị.

Trƣớc hết ta nhận xét rằng 0 1. Thật vậy, trong X tồn tại x 0, do đó tồn

tại x-1

.

Từ đó x.x-1

0.x-1

1 0.

Phần tử x 0 của một vành X đƣợc gọi là ƣớc của không nếu tồn tại y X,

y 0 sao cho xy = 0.

Ta nhận xét rằng: Mọi trƣờng X đều không có ƣớc của không.

Thật vậy, mọi xX, x 0, nếu có y X sao cho xy = 0 thì

44

x-1

xy = x-1

0 y = 0. Do đó x không là ƣớc của không.

Đặt X* = X- 0 . Theo nhận xét trên X* ổn định với phép toán nhân, 1 X*.

Nếu x X* thì tồn tại x

-1X*. Do đó (X

*,.) là nhóm Aben.

Nhƣ vậy, một cách tƣơng đƣơng, có thể định nghĩa: (X, +, .) là một trƣờng nếu

1) X cùng với phép cộng là một nhóm Abel;

2) X* = X- 0 cùng với phép nhân là một nhóm Abel;

3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng.

Ví dụ:

- (Q,+, .); (R, +, .) là các trƣờng.

- Vành các số nguyên Z không phải là một trƣờng.

2. Trƣờng con:

Cho X là một trƣờng. Tập con A của X gọi là trƣờng con của X nếu A ổn định

đối với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh tạo thành

một trƣờng.

Ví dụ:

- Trƣờng các số hữu tỷ Q là một trƣờng con của trƣờng các số thực R.

- Tập ( 2) 2 / ,Q a b a b Q là một trƣờng con của trƣờng của trƣờng số thực

R.

Định lý 1: Tập con A của trƣờng X có nhiều hơn một phần tử là trƣờng con của

trƣờng X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện

1) x, y A x + y A , xy A

2) x A - x A

3) x A, x 0 x-1

A

Định lý 2: Tập con A của trƣờng X có nhiều hơn một phần tử là trƣờng con của

trƣờng X khi và chỉ khi thỏa mãn các điều kiện

1) x, y A x - y A

2) x, y A, y 0 xy-1 A .

Ví dụ: ( 2) 2 / ,Q a b a b Q là một trƣờng con của trƣờng của trƣờng số

45

thực R.

Thật vậy, với mọi

2, 2 ( 2)x a b y c d Q ta có

( ) ( ) 2 ( 2)x y a c b d Q

Nếu thêm y 0 thì

1

2 2

2 2 2 2

2 ( 2)( 2)

22

22 ( 2)

2 2

a b a b c dxy

c dc d

ac bd bc adQ

c d c d

Vậy theo định lý 2, ( 2)Q là trƣờng con của trƣờng R.

3. Đồng cấu trƣờng: Định nghĩa tƣơng tự đồng cấu vành.

4. Miền nguyên:

Một vành giao hoán, có đơn vị, nhiều hơn một phần tử, không có ƣớc của không

gọi là một miền nguyên.

Mọi trƣờng đều là miền nguyên. Vành số nguyên Z là một miền nguyên nhƣng

không phải là trƣờng.

Trong miền nguyên mọi phần tử khác 0 đều thỏa mãn luật giản ƣớc đối với phép

nhân. Thật vậy, với mọi a 0:

ab = ac b = c

5. Trƣờng sắp thứ tự:

Cho X là một trƣờng và một quan hệ thứ tự toàn phần trên X. Khi đó X

đƣợc gọi là một trƣờng sắp thứ tự nếu nó là một vành sắp thứ tự. D thấy mọi

miền nguyên sắp thứ tự đều là sắp thứ tự nghiêm ngặt.

Cho X là một trƣờng (hoặc vành) sắp thứ tự. Với mọi xX ta gọi giá trị tuyệt

đối của x là phần tử |x| X đƣợc xác định bởi:

|x| = 0

x

x

nếu x = 0

Với mọi x, y X ta có các tính chất sau:

1) 0 |x|, |x| = 0 x = 0

46

2) |xy| = |x||y|

3) |x + y| |x| + |y|

4) | |x| - |y| | |x – y|.


* Chú ý cho SV:

- Vành(trƣờng) là cấu trúc của một tập hợp và 2 phép toán trên tập hợp đó.

- Tiêu chuẩn để nhận biết một tập con của Vành(trƣờng) là vành con(trƣờng

con) của vành(trƣờng) đó.

- Bài tập: 3.1; 3.2; 3.3; 3.16 của [1]; 1,3, 4 của [2].

Bài Tập (4 tiết)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức:

- Giải các bài tập về Vành, trƣờng. Vành con, trƣờng con. Đồng cấu vành.

- Củng cố các kiến thức về vành (trƣờng), vành (trƣờng) con

2. Kỹ năng:

- Kiểm tra đƣợc một tập hợp cùng với 2 phép toán trên nó có là vành

(trƣờng) không?

- Kiểm tra đƣợc một tập con của một vành( trƣờng) có là vành con(trƣờng

con ) của vành (trƣờng) đó không?

- Kiểm tra đƣợc một ánh xạ đã cho có là đồng cấu vành không?

3. Thái độ:

- Giáo dục tình cảm nghề nghiệp, phƣơng pháp làm việc khoa học. Giáo

dục tính cẩn thận.

B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:





47


NXBĐ SP, 2007.


2. Người học:


tập nhƣ trên.

C. Nội dung:

Bài 1: Cho X là 1 vành và x X. Chứng minh rằng với n N*

(-x)n = x

n nếu n chẵn

(-x)n = -x

n nếu n lẻ

Ta có: (-x)2 = (-x).(-x) = x

2. Do đó:

Nếu n chẵn tức n = 2k

(-x)n = (-x)

2k = ((-x)

2)

k = x

2k.

Ta có: (-x) = -x. Do đó nếu n lẻ, tức n = 2k+1

(-x)n = (-x)

2k+1 = (-x)

2k.(-x) = x

2k.(-x) = - X

2k+1

Bài 2: Trong một vành có đơn vị X. Chứng minh rằng nếu x khả nghịch thì –x

cũng khả nghịch và (-x)-1

= -x-1

.

(-x).(-x-1

) = x.x-1

= 1x, (-x-1

).(-x) = x-1

.x = 1x. Do đó –x khả nghịch và

(-x)-1

= -x-1

.

Bài 3: Trên tập X = Z x Z định nghĩa các phép toán

(m,n) + (p,q) = (m+p, n+q)

(m,n). (p,q) = (mp, mq+ np+ nq)

Chứng minh rằng (X, +, .) là một vành giao hoán, có đơn vị .

Phần tử không là (0,0); Phần tử đối của (m,n) là (-m,-n); phần tử đơn vị

là (1,0).

Bài 4: Cho X là một vành. Trên tập Z x X xét các phép toán

(m, x) + (n ,y) = (m+ n, x+ y)

(m, x) . (n, y) = (mn, nx+ my+ xy)

Chứng minh rằng

a) (Z x X, +, .) là một vành có đơn vị.

b) Ánh xạ h: X Z x X, h(x) = (0,x) là đơn cấu vành. Do đó một vành bất

48

kỳ đều có thể coi là vành con của một vành có đơn vị.

Giải: a)Phần tử không là (0,0), phần tử đối của (m,x) là (-m, -x). Phần tử đơn vị

là (1,0).

b) h(x +y) = (0, x+y) = (0, x) + (0, y) = h(x) + h(y)

h(xy) = (0, xy) = (0,x). (0,y) = h(x). h(y).

Vậy h là đồng cấu. Rõ ràng x y (0,x) (0,y) h(x) h(y) nên h là

đơn cấu.

Bài 5:

)3 3 |a Z a a Z . CM (3Z, +, .) là một vành giao hoán.

C1: CM dựa vào định nghĩa

+ (3Z,+) là một nhóm giao hoán.

+ (3Z,.) là một nửa nhóm giao hoán.

+ Phép nhân phân phối với phép cộng trên 3Z.

C2: CM 3Z là vành con của vành Z

3 ;3Z Z Z vì 0=3.0 3Z

+ 3 ,3 3a b Z ta có 3 3 3( ) 3 ;

3 .3 3(3 ) 3 ; 3ab 3

a b a b Z a b Z

a b ab Z Z

b) 5 5 |Z a a Z . CM (5Z, +, .) là một vành giao hoán.

CM tƣơng tự a)

TQ: (mZ, +, .) là một vành

Bài 6: Trên tập X = Z x Z với phép cộng và phép nhân xác định nhƣ sau:

(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d);

(a, b). (c, d) = (ac, ad).

Xét xem (X, +, .) có là vành giao hoán, có đơn vị không ?.

Giải: Kiểm tra thấy:

(X, +) là một nhóm Abel.

(X, .) là một nửa nhóm.

Với (a, b), (c, d), (e, f) thuộc X ta có

(a,b).((c, d) + (e, f)) = (a, b).(c, d) + (a, b). (e, f)

Và ((c, d) + (e, f)). (a, b) = (c, d).(a, b) + (e, f).(a, b).

Vậy (X, +, .) là một vành.

Vành này không giao hoán. Chẳng hạn:

49

(1, 0). (2,3) = (2, 3) nhƣng (2, 3). (1, 0) = (2, 0).

Vành này cũng không có đơn vị.

Bài 7: Chứng minh rằng nếu vành R thỏa mãn a2 = 0 thì với mọi a R

thì ab = - ba với a, b R.

Giải: Vì a2 = 0 nên ta có:

0 = (a +b)2 = (a+ b).(a + b) = a

2 + ab + ba + b

2 = 0 + ab + ba + 0.

ab + ba = 0 hay ab = -ba

Bài 8: a) Cho (R, +, .) là một vành giao hoán. Chứng minh rằng a R khác 0 là

ƣớc của 0 khi và chỉ khi a không phải là phần tử chính qui đối với phép nhân.

b)Tìm các ƣớc của 0 trong vành Z6. và trong vành Z15.

Giải: a) Giả sử a là một ƣớc của 0 trong vành R. Khi đó a 0 và tồn tại bR,

b 0 sao cho ab = 0. Mặt khác, a0 = 0 suy ra ab = a0 nhƣng không suy ra b =0.

Vậy a không phải là phần tử chính qui.

Đảo lại, nếu a không là phần tử chính qui thì cần chứng minh a là ƣớc của 0.

Giả sử tồn tại b, c thuộc R mà b c nhƣng ab = ac , từ đó suy ra ab – ac = 0

hay a(b- c) = 0. Điều này chứng tỏ a là ƣớc của 0.

b) Trong vành Z6 có các ƣớc của 0 là: 2 , 3 , 4 vì 2 3 = 0 ; 3 4 = 0 .

Trong vành Z15 có các ƣớc của 0 là: 3 , 5 , 6 ,9 ,10 ,12 .

Bài 9: Chứng minh rằng ánh xạ f: Z Z là tự đồng cấu vành f(a) = 0 hoặc

f(a) = a với a Z.

Giải: Rõ ràng nếu f là một ánh xạ từ Z đến Z, sao cho f(a) = 0, a Z hoặc

f(a) = a, , a Z thì f là một đồng cấu vành.

Đảo lại, giả sử f: Z Z là một đồng cấu vành và f khác ánh xạ không, tức là

tồn tại aZ sao cho f(a) 0. Ta sẽ chứng minh f là ánh xạ đồng nhất của vành Z.

Thật vậy, a = a.1 nên f(a) = f(a)f(1), vì f(a) 0 nên suy ra f(1) = 1; với mọi nZ,

f(n) = f(n.1) = nf(1) = n.1 = n. Tức là f(n) = n, n Z.

Bài 10: Chứng minh rằng 0 và 1 là phần tử trung hòa và đơn vị của vành sắp thứ

tự thì 0 < 1.

Giải:

50

Trƣớc hết ta thấy rằng nếu R là một vành sắp thứ tự thì với mọi a R,

0 a2

Thật vậy, nếu 0 < a thì 0 a.a = a2. Nếu a < 0 thì 0 < -a suy ra 0 (-a)

2 = a

2.

Ta có 1 = 12 nên 0 1, nhƣng vì 1 0 nên 0 < 1.

Bài 11: Cho R là vành các số thực. Trên tập V = RxR xác định phép cộng và

phép nhân nhƣ sau:

(a,b) + (c,d) = (a + c, b +d)

(a,b) . (c,d) = (ac, bc)

Chứng minh rằng V là một vành không giao hoán và không có đơn vị.

Giải: HD

+ (V,+) là một nhóm Abel.

+ (V,.) là một nửa nhóm.

+ (a,b), (c,d), (e,f) V ta có:

(a,b).((c,d) + (e,f)) = (a,b)(c,d) + (a,b)(e,f)

((c,d) + (e,f)).(a,b) = (c,d)(a,b) + (e,f)(a,b)

Vậy (V,+,.) là một vành. Vành này khong giao hoán vì chẳng hạn

(1,0).(2,3) = (2,0) (2,3) = (2,3).(1,0) và vành này cũng không có đơn vị.

Bài 12:Ví dụ: 2 / ,X a b a b Q là một tập con của tập số thực R nên để

chứng minh X là một trƣờng ta chỉ cần chứng minh nó là trƣờng con của trƣờng

số thực.

Ta có: 1 = 1 +0 2 X và 0 = 0 + 0 2 X

Với mọi

2, 2 ( 2)x a b y c d Q ta có

( ) ( ) 2 ( 2)x y a c b d Q

Nếu y 0 thì

1

2 2

2 2 2 2

2 ( 2)( 2)

22

22

2 2

a b a b c dxy

c dc d

ac bd bc adX

c d c d

51


- Ôn tập chƣơng II.

- Xem lại các bài tập đã chữa. Làm các bài tập: 12 của [2]; 3.13 của [1].

- Đọc trƣớc: Tập hợp số tự nhiên và quan hệ thứ tự.

Lƣu ý: Định nghĩa tập hợp tƣơng đƣơng, tính chất của quan hệ tƣơng

đƣơng. tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn. Khái niệm bản số, định nghĩa số tự

nhiên.

Chương III: Số tự nhiên

Tập hơp số tự nhiên và quan hệ thứ tự (3 tiết)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp SV hiểu đƣợc :

- Tập hợp tƣơng đƣơng, tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn.

- Bản số và số tự nhiên, quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên. Nguyên

lý quy nạp và tính sắp thứ tự tốt.

2. Kỹ năng:

- Có kĩ năng chứng minh 2 tập hợp đã cho là tƣơng đƣơng với nhau, một

tập hợp đã cho là tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn, quan hệ thứ tự trên N.

- Biết cách chứng minh bằng quy nạp.

3. Thái độ:

- Nghiêm túc với việc học về chủ đề số tự nhiên để thấy đƣợc ý nghĩa của

việc "xây dựng lại" tập số tự nhiên, trên cơ sở đó giúp giảng dạy tốt hơn môn

Toán ở các lớp dƣới của bậc Tiểu học.

B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:





52


NXBĐ SP, 2007.


2. Người học:


tập nhƣ trên.

C. Nội dung:

I.Tập hợp tƣơng đƣơng:

1.Định nghĩa và ví dụ:

Định nghĩa: Cho hai tập hợp A và B.Ta nói rằng A tƣơng đƣơng với B, và

viết A B, nếu có một song ánh f từ A đến B.

Ví dụ: - Tập hợp A các ngón tay của bàn tay phải tƣơng đƣơng với tập B các

ngón tay của bàn tay trái. Thật vậy, tƣơng ứng f: A → B cho tƣơng ứng ngón cái

với ngón cái, ngón trỏ với ngón trỏ, ngón giữa với ngón giữa, ngón áp út với

ngón áp út và ngón út với ngón út, rõ ràng f là một song ánh từ A đến B.

- Cho A = {a, b, c}; B = {α, β, γ}.

Khi đó A ~ B vì có song ánh f: A → B

a | α

b | β

c | γ

- Xét tam giác ABC. Kí hiệu [AB] và [AC]

tƣơng ứng là tập hợp các điểm của cạnh AB

và AC.Ta có [AB] [AC].

2.Tính chất:

Quan hệ xác định ở trên có các tính chất sau:

i) Tính chất phản xạ: Với mọi tập hợp A ta luôn có A A.

ii) Tính chất đối xứng: Với mọi tập hợp A,B nếu A B thì B A.

iii)Tính chất bắc cầu: Với mọi tập hợp A,B,C nếu A B và B C thì A C.

Chứng minh:

i) Với mỗi tập A ánh xạ đồng nhất IA: A→ A là một song ánh, nên ta luôn có

A A.

ii) Với mọi tập hợp A, B nếu A B, tức là có 1 song ánh từ tập A lên tập B.

Khi đó ánh xạ ngƣợc f-1

: B→ A cũng là 1 song ánh nên suy ra B A.

iii) Với mọi A, B, C nếu A B và B C tức là có các song ánh f: A → B và

g: B → C. Khi đó g0f : A → C cũng là một song ánh. Suy ra A C.

53

* Chú ý:

- Quan hệ có 3 tính chất đặc trƣng của một quan hệ tƣơng đƣơng.Tuy nhiên

ta không thể nói đó là 1 quan hệ tƣơng đƣơng trên tập hợp các tập hợp.

- Do tính chất đối xứng nếu có A B thì cũng có B A. Vì vậy, khi có A B

ta cũng nói A và B tƣơng đƣơng với nhau.

3. Định lý Căng-to (Cantor)

Định lý: Với 2 tập hợp A và B bất kỳ luôn xảy ra một trong hai trƣờng hợp sau:

i) Có một đơn ánh từ A đến tập B.

ii) Có một đơn ánh từ tập B đến tập A.

Nếu cả hai trƣờng hợp trên cùng xảy ra thì có một song ánh từ tập A đến tập B.

* Định lý Cantor còn đƣợc phát biểu cách khác nhƣ sau:

Với 2 tập hợp A và B bất kỳ luôn xảy ra một trong hai trƣờng hợp sau:

i) A tƣơng đƣơng với một tập con( bộ phận) của B

ii) B tƣơng đƣơng với một bộ phận của A.

Nếu cả hai trƣờng hợp trên cùng xảy ra thì tập A tƣơng đƣơng với tập B.

II.Tập hợp hữu hạn, tập hợp vô hạn:

1. Định nghĩa:

- Tập hợp A đƣợc gọi là tập hợp hữu hạn nếu A không tƣơng đƣơng với bất kì

tập con thực sự nào của A.

- Một tập không phải là tập hợp hữu hạn đƣợc gọi là tập hợp vô hạn.

(Nghĩa là: Tập hợp A đƣợc gọi là một tập hợp vô hạn nếu A tƣơng đƣơng với

một tập con thực sự của A).

- Nếu A X

A X

thì A là 1 tập con thực sự của X.

Ví dụ:

(1) Tập rỗng là một tập hợp hữu hạn, vì không có một tập con thực sự nào.

(2) Tập {x} là một tập hữu hạn, vì {x} chỉ có một tập con thực sự là tập rỗng ,

mà không tƣơng đƣơng với {x}.

(3) Tập số tự nhiên N là tập vô hạn.

Thiết lập ánh xạ

*

:

1

f N N

n n

CM : f là 1 song ánh *N N N là tập vô hạn.

2.Tính chất:

1). Tập hợp tƣơng đƣơng với tập hợp hữu hạn là một tập hữu hạn.

2). Tập con của một tập hữu hạn là một tập hữu hạn

III. Số tự nhiên và quan hệ thứ tự:

1. Bản số và Số tự nhiên:

54

a. Khái niệm về bản số

- Ta hiểu “bản số” của một tập hợp để đặc trƣng cho “số lƣợng” các phần tử của tập

hợp đó. Mỗi tập hợp có một bản số.

- Bản số của tập hợp A kí hiệu là |A| hoặc cardA;

- |A| = |B| A ~ B nghĩa là có một song ánh từ tập hợp A đến tập hợp B.

Ví dụ :

| | ≠ |{x}|;

|{x, y}| ≠ |{x, y, z}|. Ta đặt | | = 0 và |{x}| = 1.

b.Định nghĩa số tự nhiên: Bản số của một tập hữu hạn đƣợc gọi là một số tự

nhiên hay còn gọi là một bản số hữu hạn.

Nhƣ vậy, a là một số tự nhiên nếu có một tập hữu hạn A sao cho a = cardA.

- Tập tất cả các số tự nhiên ta kí hiệu là N

Ví dụ: 0 là một số tự nhiên vì 0 = | ∅ |, ∅ là tập hữu hạn.

1 là một số tự nhiên vì 1 = |{x}|, {x} là tập hữu hạn.

2. Quan hệ thứ tự trên tập các số tự nhiên:

Định nghĩa:

Giả sử a, b N, a = |A|, b = |B|. Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b và viết ab, nếu

có một đơn ánh f từ tập A đến tập B.

Khi a b và a ≠ b thì viết a <b.

Chú ý:

- Định nghĩa trên có thể phát biểu cách khác nhƣ sau: Giả sử a, b N, a =

|A|, b = |B|. Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b và viết a b, nếu A tƣơng đƣơng với

một tập con của B.

- Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập A và Bsao cho a =

|A|, b = |B|.

Định lý:

Quan hệ xác định trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn phần

trong tập các số tự nhiên.

Chứng minh:

Trƣớc hết ta kiểm tra rằng quan hệ thỏa mãn các yêu cầu của một quan hệ

thứ tự.

- Tính chất phản xạ: a N, a a.

Thật vậy, nếu a N, tồn tại tập hợp hữu hạn A sao cho a = |A| và ta luôn có

AA, do đó a a theo định nghĩa.

- Tính chất phản đối xứng: a, b N, nếu a b và b a thì a = b.

Thật vậy, giả sử a = |A|, b = |B|. Từ giả thiết a b suy ra A tƣơng đƣơng với

một tập con của B. Từ giả thiết b a suy ra B tƣơng đƣơng với một tập con của

A. Nhƣng khi đó theo định lý Căng to ta có A B hay a = b.

55

- Tính chất bắc cầu: a, b,c N, nếu a b và b c thì a c.

Thật vậy, giả sử a = |A|, b = |B|, c = |C|. Từ giả thiết a b và b c suy ra có

các đơn ánh f: A→B, g: B→C. Khi đó rõ ràng g0f: A →C là một đơn ánh. Vậy

a c.

Nhƣ vậy , quan hệ là một quan hệ thứ tự trên N.

Mặt khác, theo định lý Căng to giữa hai tập hợp A và B bất kỳ ta luôn có

hoặc A tƣơng đƣơng với một tập con của B, hoặc B tƣơng đƣơng với một tập

con của A. Từ đó suy ra với hai số tự nhiên a và b bất kỳ ta luôn có a b hoặc

b a, nghĩa là quan hệ là một quan hệ thứ tự toàn phần trên N.

IV. Dãy số tự nhiên:

1. Số kề sau:

Giả sử a, bN, a b và A và B là 2 tập hữu hạn sao cho A B và a =

cardA, b = cardA.

Ta nói b là số kề sau của a nếu B\A là một tập đơn tử hay card(B\A) = 1.

Kí hiệu : Số kề sau của a là a’ (hoặc a+1)

Khi b là số kề sau của a ta cũng nói a là số kề trƣớc của b.

Nhƣ vậy số tự nhiên b là số kề sau của số tự nhiên a nếu:

+)a b và do đó các tập hợp hữu hạn A, B sao cho A B và a = cardA,

b = cardB.

+) B\A là một tập đơn tử.

Ví dụ : Số 1 là số kề sau số 0.

Thật vậy ta đã biết 0 < 1 và 1 = |{a}|, 0 = ||, {a} và {a}\ ={a}.

2. Các tính chất:

1). Mỗi số tự nhiên có đúng một số kề sau.

2). Số 0 không là số kề sau của bất kì số tự nhiên nào.Mọi số tự nhiên khác

0đều là số kề sau của đúng một số tự nhiên. Nói cách khác, mọi số tự nhiên khác

0 có đúng một số kề trƣớc.

3). Giả sử a và b là 2 số tự nhiên. Nếu a < b thì ab.

ệ quả: Giữa số tự nhiên a và số kề sau a’ của nó không có số tự nhiên

nào khác.

3. Dãy số tự nhiên:

Ta biết:

0 = || là số tự nhiên không đứng liền sau số nào.

1 = |{x} là số tự nhiên đứng liền sau 0: 1 = 0’.

Kí hiệu 2 = 1’, 3 = 2

’,…

Ta nhận đƣợc dãy số tự nhiên nhƣ sau:

0, 1, 2, 3, …

Biểu di n các số tự nhiên trên một nửa đƣờng thẳng có định hƣớng ta đƣợc

56

một tia số:

0 1 2 3 4 ..............

4. Tính vô hạn của tập hợp N:

Định lý: Tập hợp số tự nhiên N là một tập vô hạn.

Chứng minh:

N*= N\{0} là một tập con thực sự của N. Ánh xạ f là một song ánh từ N đến

N*. Do vậy N là một tập hợp vô hạn.

V. Nguyên lý quy nạp và tính sắp thứ tự tốt:

1. Nguyên lý quy nạp ( Tiên đề quy nạp)

Giả sử M là một tập con của tập các số tự nhiên N và thỏa mãn 2 điều kiện

sau:

1). 0 M

2) Nếu n M thì n’M

Khi đó ta có M = N.

2. Phép chứng minh quy nạp:

Định lý: Giả sử P(n) là một hàm mệnh đề xác định trên tập các số tự nhiên

N. Nếu P(0) đúng và P(n) đúng kéo theo P(n’) đúng thì mệnh đề P(n) đúng

với mọi số tự nhiên n.

Chứng minh: Kí hiệu M là tập hợp các số tự nhiên n mà P(n) đúng.

M = {nN| P(n) đúng}

Ta có

0 M (vì P(0) đúng. Giả sử nM nghĩa là P(n) đúng khi đó P(n’) cũng

đúng, do đó n’ M.

Vậy theo nguyên lý qui nạp M= N, nói cách khác P(n) đúng với mọi số tự

nhiên n.

Phép chứng minh quy nạp:

Theo định lý trên, để chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n ta

cần tiến hành theo 2 bƣớc:

Bƣớc 1: (bƣớc cơ sở)Chứng minh rằng P(0) là đúng.

Bƣớc 2: Giả sử rằng P(n) là đúng (gọi là giả thiết quy nạp) suy ra P(n’) là đúng.

Chú ý: Phép chứng minh quy nạp có thể bắt đầu từ một số tự nhiên a. Để chứng

minh P(n) đúng với mọi số tự nhiên n a, ta tiến hành theo 2 bƣớc:

Bƣớc 1: Chứng minh rằng P(a) là đúng.

Bƣớc 2: Giả sử rằng P(n) đúng với n a, suy ra P(n’) là đúng.

3. Tính sắp thứ tự tốt

a. Định nghĩa:

Tập hợp A cùng với một quan hệ thứ tự trên A đƣợc gọi là sắp thứ tự tốt nếu

mọi tập con khác rỗng của A đều có phần tử nhỏ nhất.

57

Chú ý: Nếu A cùng quan hệ thứ tự là sắp thứ tự tốt thì là một quan hệ toàn

phần trên A.

b. Định lý:

Tập hợp các số tự nhiên N cùng với quan hệ thứ tự đã xác định là một tập hợp

sắp thứ tự tốt.

Chứng minh: D

Giả sử M là tập con khác rỗng của N. Ta chứng minh M có phần tử nhỏ nhất.

c. Tập con bị chặn trên:

Định nghĩa: Cho M là 1 tập con khác rỗng của N. M gọi là bị chặn trên bởi số

tự nhiên a nếu với mọi x M, x a

Định lý: Mọi tập con khác rỗng bị chặn trên của tập N đều có số lớn nhất.

Bài tập:

Bài 1: Cho A = {1; 2; 3; 4}, B = {a; b; c; d}

ai song ánh từ A đến B là:

f: A B

1 a

2 b

3 c

4 d

g: A B

1 b

2 c

3 a

4 d

Có tất cả 4 = 4.3.2.1 = 24 song ánh.

Bài 2: Cho A = {1; 2; 3; 4}. CM A là hữu hạn

Các tập con thực sự của A là: ,{1}, {2}, {3}, {4}, {1;2}, {1;3}, {1;4}; {2;3},

{2;4},{3;4}, {1;2;3}, {1;3;4}, {2;3;4}, {1;2;4}.

Các tập con này đều không tƣơng đƣơng với tập A. Vậy A là tập hợp hữu hạn.

Bài 3: Ta có ánh xạ f: Z 2Z

n 2n

là một song ánh và 2Z là tập con thực sự của Z, tức là 2Z tƣơng đƣơng với Z.

Vậy Z là tập vô hạn.


- Chú ý cách chứng minh 2 tập hợp tƣơng đƣơng: Muốn chứng minh A B ta

58

cần chỉ ra có một song ánh từ A đến tập B.

Ví dụ bài tập: Cho hai tập hợp A, B. Chứng minh:

A x B : B x A

Xét ánh xạ f : A B B A xác định bởi f(a,b) = (b,a)

Đó là một đơn ánh vì nếu (a1,b1) (a2,b2) thì a1 a2 hoặc b1 b2. Do đó (b1,a1)

(b2,a2) hay f(a1,b1) f(a2,b2). Đó là một toàn ánh vì với mỗi (b,a) BA, có

(a,b) A B để f(a,b) = (b,a). Vậy f là một song ánh. Suy ra A B : B A.

- Bài tập về nhà: 1,2, 7, 8 ở [1].

- Đọc phần: Các phép toán trên tập các số tự nhiên và lý thuyết chia hết trên tập

các số tự nhiên.

Các phép toán trên tập N. Lý thuyết chia hết trên tập N (3 tiết)

A. Mục tiêu:


- Phép cộng, phép nhân, phép trừ các số tự nhiên. Phép chia hết và phép

chia có dƣ. Các tính chất của các phép toán, tính chất liên hệ giữa thứ tự và các

phép toán.

- Ƣớc chung lớn nhất, Thuật toán Ơclit, bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố

và hợp số. Định lý cơ bản của số học. Ứng dụng của định lý cơ bản

2. Kỹ năng:

- Có kĩ năng tìm UCLN(a,b) bằng thuật toán Ơclit, tìm bội chung nhỏ

nhất.

- Có kĩ năng chứng minh các tính chất của các phép toán cộng và phép

nhân các số tự nhiên.

3. Thái độ:

- Giáo dục tình cảm nghề nghiệp, phƣơng pháp làm việc khoa học

B. Chuẩn bị:

1.Giảng viên:




NXBĐ SP, 2007.

59

[3]Trần Diên iển và các tác giả – Giáo trình Lý thuyết số - NXBGD,

1997.


[5] Nguy n Tiến Tài( chủ biên) – Toán – NXBGD, 1999.

2. Người học:


tập nhƣ trên.

C. Nội dung:

I. Hợp và tích Đề - Các của các tập hợp:

Các bổ đề :

1). ợp của một họ hữu hạn những tập hợp hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.

2). Tích Đề-Các của hai tập hữu hạn là một tập hợp hữu hạn.

3). Với 2 số tự nhiên tùy ý a và b bao giờ cũng tồn tại hai tập hợp hữu hạn A và

B sao cho:

a = |A|, b = |B| và A B

4) Giả sử A,B, A’, B

’ là những tập hợp hữu hạn sao cho: ' ', ,A A B B A B ,

' ' .A B Khi đó ta có:

i) (AUB) (A’UB

’)

ii) ( A B) (A’

B

’)

Chứng minh: Tham khảo giáo trình xem nhƣ bài tập.

II. Các phép toán trên N:

1. Định nghĩa:

Giả sử a, b là 2 số tự nhiên tùy ý. A, B là hai tập hợp hữu hạn sao cho a =

|A|, b = |B|, A B . Ta định nghĩa:

a + b = | AUB|

a .b = |A B| ( ab = |A B| )

2.Tính chất của các phép toán:

- Tính chất giao hoán: Với mọi số tự nhiên a và b ta có:

a + b = b +a

a.b = b.a

- Tính chất kết hợp: Với mọi số tự nhiên a, b,c ta có:

(a + b) +c = a + (b + c)

(a.b).c = a. (b.c)

- Phần tử trung lập: Với mọi số tự nhiên a ta có:

a + 0 = 0 + a = a

a.1 = 1.a = a

Nghĩa là số 0 là phần tử trung lập của phép cộng, số 1 là phần tử trung lập của

60

phép nhân.

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có;

a(b + c) = ab + ac

(b +c )a = ba + ca

- Với mọi số tự nhiên a, ta luôn có:

a+ 1 = a’( nghĩa là a +1 là số kề sau của a)

a.0 = 0

3.Tính chất liên hệ giữa thứ tự và các phép toán:

a. Tính chất tƣơng thích của thứ tự với phép cộng:

Với mọi số tự nhiên a, b, c ta có:

i) Nếu a bthì a +c b + c

ii) Nếu a + c = b + c thì a = b ( luật giản ƣớc của phép cộng)

iii) a + c < b + c thì a < b.

b. Tính chất tƣơng thích của thứ tự với phép nhân:

Với mọi số tự nhiên a, b, c ; c ≠ 0 ta có:

i) Nếu abthì ac bc

ii) Nếu ac = bc thì a = b ( luật giản ƣớc của phép nhân)

iii) ac < bc thì a < b.

4. Phép trừ:

a. Định lý: Với mọi số tự nhiên a, b.

Nếu a b thì tồn tại số tự nhiên c sao cho a + c = b.

Chứng minh:

Vì a b nên tồn tại 2 tập hợp hữu hạn A, B sao cho A B và a = cardA, b =

cardB. Khi đó A\B là một tập hữu hạn. Đặt c = |B\A| ta có A (B\A) = ,

do đó a +c = | AU(B\A)| = | B| = b.

b. Định nghĩa:

Số tự nhiên c thỏa mãn đẳng thức a + c = b đƣợc gọi là hiệu của b và a. Quy

tắc tìm hiệu của hai số đƣợc gọi là phép trừ.

Kí hiệu c = b – a. ( Điều kiện để có phép trừ là a b .

c. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ:

Với mọi số tự nhiên a, b, c mà c b ta có:

1) a (b - c) = ab – ac

2) ( b – c ) a = ba – ca.

III. Lý thuyết chia hết trên tập N các số tự nhiên

1. Phép chia hết và phép chia có dƣ

a. Định nghĩa

61

Cho a, b∈N, ta nói rằng a chia hết b (hay b chia hết cho a) nếu ∃c∈N: ac = b.

Kí hiệu: a | b (đọc là a chia hết b, hay a là ƣớc của b), hoặc

b a (đọc là b chia hết cho a, hay b là bội của a).

Tính chất:

1) ∀a ∈ N, a | 0; a | a và 1 | a. Vì ta có 0 = a.0; a = a.1.

2) ∀a, b, c ∈ N, a | b và a | c ⇒ a | (b + c).

Thật vậy: a | b ⇒ ∃b1 ∈ N sao cho ab1 = b.

a | c ⇒ ∃c1 ∈ N sao cho ac1 = c.

⇒ ab1 + ac1 = b + c ⇒ a(b1 + c1) = b + c ⇒ a | (b + c).

3) ∀a, b, c ∈ N, a | b ⇒ a | bc.

iển nhiên.

4) ∀a, b, c ∈ N, a | b và b | c ⇒ a | c.

Thật vậy, a | b ⇒ ∃b1∈ N sao cho ab1 = b.

b | c ⇒ ∃c1∈ N sao cho bc1 = c.

⇒ a(b1c1) = c ⇒ a | c.

b. Định lí về phép chia có dƣ

Định lí 1. a, b∈ N, b ≠ 0.

Khi đó, tồn tại duy nhất q, r ∈ N: a = bq + r , 0 ≤ r < b.

Chú ý: Thực hiện phép chia a cho b đƣợc thƣơng q, số dƣ r:

+ r = 0, q gọi là thƣơng đúng \ ( a b)b a

+ 0r , q là thƣơng hụt của phép chia a cho b.

c. Bội và luỹ thừa

- Bội n ( 0n ) của số tự nhiên a

so hang a

...n

na a a a đƣợc định nghĩa bởi 1na n a a

Ta có: , , ; m n a N m n a ma na

- Luỹ thừa bậc n ( 0n ) của số tự nhiên a

thua so a

. ...n

n

a a a a đƣợc định nghĩa bởi 1.n na a a

Ta có:

, , ; .

m n m n

n n n

m n a N a a a

ab a b

2. Ƣớc chung lớn nhất

a. Định nghĩa:

d∈N đƣợc gọi là ƣớc chung của các số tự nhiên a và b nếu d là ƣớc của a

và của b.

- Với mỗi số tự nhiên a, kí hiệu U(a) là tập các ƣớc của a.

- Ta luôn có 1∈ U(a)

62

- Nếu a ≠ 0 thì U(a) là một tập hợp hữu hạn.

- Tập các Uc của a và b là a bU U

Số lớn nhất trong tập các ƣớc chung của a và b đƣợc gọi là ƣớc chung lớn

nhất của a và b, kí hiệu là UCLN(a, b) hoặc (a, b).

VD: UCLN(2,7) = 1;

UCLN(6,15) = 3.

b. Cách tìm ƣớc chung lớn nhất: Thuật toán Ơclit Bổ đề. Giả sử a, b, r, q N thỏa mãn a = bq + r (1).

Khi đó UCLN(a, b) = UCLN(b, r).

CM: GT

NX: Nếu ,a b N sao cho b\a thì UCLN(a,b) = b.

Thuật toán Ơclit

VD: 1) Tìm UCLN (360,22)

360 22

22 8 16

8 6 2

6 2 1

0 3

UCLN (360,22) = 2

1 1

1

1 1 1

1 1 1 2 2 1

2

Cho , N , . T×m UCLN , ?

Thùc hiÖn phÐp chia cho ®îc , 0

X°y ra 2 TH

+ 0 UCLN ,

0 0 UCLN , UCLN ,

TiÕp tôc chia cho ®îc b , 0

+ 0

a b a b a b

a b a bq r r b

r a b b

r r b vµ a b b r

b r r q r r r

r

1 1

2 2 1 1 1 2

1 2 1 2 2 3 3 2

2 1 1 1

1

UCLN ,

0 0 UCLN , UCLN ,

TiÕp tôc chia cho ®îc , 0

Qu¸ tr×nh n¯y sÏ dõng l¹i khi gÆp phÐp chia hÕt, cuèi cïng

,0

Khi ®ã,

n n n n n n

n n n

b r r

r r r vµ b r r r

r r r r q r r r

r r q r r r

r r q

1 2 1 UCLN , UCLN , ... UCLN ,

Qu¸ tr×nh trªn gäi l¯ thuËt to¸n ¥clit.

UCLN , bºng sè d kh¸c 0 cuèi cïng cða thuËt to¸n n¯y.

n n n n nr r r r r a b

a b

63

2) Tìm UCLN (600,126)

600 126

126 96 4

96 30 1

30 6 3

0 5

UCLN (600,126) = 6

c. Tính chất của UCLN

Định lí 2. Cho rn là ƣớc chung lớn nhất của hai số tự nhiên a và b. Nếu c là ƣớc

chung của a và b thì c là ƣớc của rn.

CM:

Nhìn vào thuật toán Ơclit giữa a và b ta thấy:

Tập các ƣớc chung của a và b trùng với tập các ƣớc của rn-1 và rn.

Mọi ƣớc chung của a và b đều là ƣớc của rn.

mà rn = UCLN(a, b) đpcm.

Định lí 3. Cho a, b ∈ N*. d = UCLN(a, b). Khi đó:

(1) Với mọi số tự nhiên k thì UCLN(ka, kb) = kd

(2) Nếu c là một ƣớc chung của a và b, thì UCLN(a/c;b/c)=d/c

CM: GT

Định lí 4. Cho a, b, c là ba số tự nhiên sao cho UCLN(a, b) = 1.

Khi đó UCLN(ac, b) = UCLN(c, b)

CM:

Giả sử d là 1 ƣớc chung của ac và b. Khi đó d là ƣớc chung của ac và bc.

d là ƣớc của UCLN(ac, bc) . Nhƣng UCLN(ac, bc) = c.UCLN(ac, b) = c.1 = c

d là ƣớc chung của b và c do đó d là UCLN(c, b).

d. UCLN của n số tự nhiên

Định nghĩa: d N đƣợc gọi là UCL của các số tự nhiên a1, a2, …, an nếu

d là số lớn nhất trong các ƣớc chung của các ai, i = 1,2,... , n.

Chú ý: a1, a2, …, an *

N thì bao giờ cũng tồn tại UCLN(a1, a2, …, an).

e. Các số nguyên tố cùng nhau

Định nghĩa : ,a b N ,a và b đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau nếu UCLN(a,b) =

1.

+ Các số tự nhiên a1, a2, …, an đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau

nếu UCLN(a1, a2, …, an) = 1.

+ Các số a1, a2, …, an đƣợc gọi là nguyên tố sánh đôi nếu

các số này đôi một nguyên tố cùng nhau.

Chú ý: + Các số nguyên tố sánh đôi nguyên tố cùng nhau.

64

+ Ngƣợc lại không đúng.

VD: UCLN(4,5,6) = 1 nhƣng chúng không nguyên tố sánh đôi

vì UCLN(4,6) = 2

Tính chất: Cho , ,a b c N .

1) Nếu UCLN(a,b) = 1 và UCLN(a,c) = 1 thì UCLN(a,bc) = 1.

+ Từ tính chất 10) Nếu UCLN(a,b) = 1

thì UCLN , 1, ,m na a m n N

2) Nếu UCLN(a, b) = 1 và a \ bc thì a\ c.

3) Giả sử d\a và d\b, d = UCLN(a, b) UCLN ,a b

d d

= 1

3. Bội chung nhỏ nhất

a. Định nghĩa

- Cho *a N . Tập hợp các bội của a là tất cả các số tự nhiên có dạng ma, m ∈

N.

- Cho a1, a2, …, an*

N .Số tự nhiên b đƣợc gọi là bội chung của các ai, i = 1, 2,

…, n nếu b là bội của ai với mọi i = 1, 2, …, n.

Đặt B là tập hợp các bội chung của a1, a2, …, an. Do đó B có số bé nhất khác 0.

Số bé nhất đó đƣợc gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2, …, an.

Kí hiệu: BCNN(a1, a2, …, an)

b. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Định lí 5. Với hai số tự nhiên a, b khác 0 ta có: BCNN(a, b) = ab/ UCLN(a,b)

Hệ quả 1. Hai số tự nhiên a và b nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi BCNN(a, b) = ab.

Hệ quả 2. BCNN(a, b) là ƣớc của mọi bội chung a và b

c. Các tính chất của bội chung nhỏ nhất

1) Với mọi số tự nhiên c ≠ 0 ta có BCNN(ca, cb) = c.BCNN(a, b)

2) Nếu d là một ƣớc chung của a và b thì BCNN( a/d, b/d) = BCNN(a,b)/d

3) Cho m là một bội chung của a và b, m = BCNN(a, b) khi và chỉ khi m/a

và m/b nguyên tố cùng nhau.

4. Số nguyên tố và hợp số

a. Định nghĩa:

Số tự nhiên p đƣợc gọi là một số nguyên tố nếu p > 1 và p chỉ có hai ƣớc số (tự

nhiên) là 1 và p.

Số a > 1 không là số nguyên tố đƣợc gọi là hợp số

Định lí 6. Mọi số lớn hơn 1 đều có một ƣớc số nguyên tố

Hệ quả 1. Với mọi hợp số a bao giờ cũng có một ƣớc số nguyên tố không vƣợt

quá căn bậc hai của a

Hệ quả 2. Tập các số nguyên tố là vô hạn

65

Định lí 7. Cho p là một số nguyên tố. Với mọi số tự nhiên a, hoặc a chia hết cho

p hoặc a và p nguyên tố cùng nhau

Định lí 8. Cho p là một số nguyên tố, a, b là hai số tự nhiên. Nếu p là ƣớc của ab

thì p là ƣớc của a hoặc p là ƣớc của b

b. Định lí cơ bản của số học

Định lí 9. Mỗi số tự nhiên a lớn hơn 1 đều phân tích đƣợc thành tích những

thừa số nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất nếu không kể đến thứ tự của

các thừa số.

Chứng minh:

HD: CM

- Sự phân tích đƣợc của số tự nhiên a lớn hơn 1:

a = p1p2...pn là sự phân tích của a thành tích những thừa số nguyên tố.

- Tính duy nhất:

Giả sử số tự nhiên a có hai sự phân tích thành tích những thừa số nguyên

tố:

a = p1p2...pn và a = q1q2...qm ,ta chứng minh p1p2...pn = q1q2...qm , tức là

sự phân tích này là duy nhất.

Ví dụ: Phân tích 3500 thành những thừa số nguyên tố.

Ta viết nhƣ sau:

3500 2

1750 2

875 5

175 5

35 5

7 7

1

Vậy: 3500 = 2.2.5.5.5.7

3500 = 22.5

3.7

1 (Đây là sự phân tích tiêu chuẩn của 3500)

3500 = 22.3

0. 5

3.7 (Đây không phải là sự phân tích tiêu chuẩn của 3500)

Phân tích 2940 thành tích của những thừa số nguyên tố

2940 2

1470 2

735 3

245 5

49 7

7 7

1

Vậy 2940 = 2

2.3.5.7

2

66

c. Một số ứng dụng của định lí cơ bản.

Định lí 10.

Cho a là một số tự nhiên có sự phân tích tiêu chuẩn là 1 2

1 2... k

ka p p p

.

Số tự nhiên d là ƣớc của a khi và chỉ khi d có dạng 1 2

1 2... k

kd p p p

với

0 ; 1,i i

i k

Định lí 11. Cho a ,b là hai số tự nhiên có sự phân tích là

1 2

1 2... n

na p p p

, 1 2

1 2... n

nb p p p

,

ip là những số nguyên tố, 0 , ; 1,

i ii n .

Khi đó: 1 2

1 2... n

nd p p p

; min , , 1,

i i ii n là ƢCLN của a và b;

1 2

1 2... n

nm p p p

; ax , , 1,

i i im i n là BCNN của a và b.


- Chú ý cho SV cách chứng minh các tính chất của các phêp toán về các số tự

nhiên.

Ví dụ: Chứng minh tính chất kết hợp của phép cộng các số tự nhiên.

a) Giả sử a, b,c N và a = |A| , b = |B|, c = |C|, AB = , BC = . Khi đó

(A B) C = = A (B C). Vì (A B) C = A ( B C) nên

|(A B) C| = |A ( B C)|.

Vậy ( a + b) + c = |(A B) C| = |A ( B C)| = a + ( b + c)

- Bài tập về nhà: 1, 2, 7, 8 trang 63, 64 ở [2]; 1, 3, 4, 8, 9, 10, 15 trang 85, 86

ở [2].

- Về nhà đọc trƣớc: ệ ghi số. Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học

một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học.

Hệ ghi số. Nội dung và cơ sở toán học của việc dạy học

một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học ( 2 tiết)

A. Mục tiêu:


- Cách ghi số trong hệ g- phân (hệ ghi số cơ số g), đổi cơ số, so sánh các

số trong hệ g- phân, thực hiện phép tính trong hệ g- phân.Các dấu hiệu chia hết.

- Nội dung dạy học số tự nhiên ở Tiểu học và cơ sở toán học của nó.

2. Kỹ năng:

- Có kĩ năng biểu diến các số tự nhiên trong hệ g- phân, đổi một số từ hệ

g- phân sang hệ g'- phân, so sánh các số trong hệ g- phân.

67

- Có kĩ năng thực hành các phép toán cộng, trừ, nhân trong hệ g- phân.

Thái độ:


B. Chuẩn bị:

1. Giảng viên: Kế hoạch giảng dạy, đề cƣơng chi tiết học phần, đề cƣơng BG



NXBĐ SP, 2007.


1997.



2. Ngƣời học: Vở ghi, bút viết, Đề cƣơng chi tiết P, ĐCBG, Tài liệu học tập

nhƣ trên

C. Nội dung:

I. Hệ ghi số

1. Hệ ghi số g – phân: a. Mở đầu

Định lí . Giả sử g là một số tự nhiên lớn hơn 1. Khi đó mỗi số tự nhiên a > 0 đều

biểu di n duy nhất một cách dƣới dạng

1

1 1 0...n n

n na c g c g c g c với

0, 0 1, i= 0, 1, ..., n v¯ c 0i n

n c g

Chứng minh:

Trƣớc hết ta thực hiện phép chia có dƣ của a cho g:

a = g.q0 + c0, 0 c0 g – 1

Nếu q0 = 0 thì c0 = a > 0 ta đƣợc a = c0 là sự biểu di n của a ( với n = 0)

Nếu q0 0, ta lại thực hiện phép chia có dƣ của q0 cho g:

q0 = gq1+ c1, 0 c1 g – 1

Nếu q1 = 0 thì c1 = q0 > 0 và ta đƣợc:

a = c1g + c0

là sự biểu di n của a ( với n = 1)

Nếu q1 0 ta lại thực hiện phép chia có dƣ của q1 cho g. Quá trình trên chỉ dừng

lại khi ta gặp một số thƣơng bằng 0. Quá trình nhƣ vậy phải dừng lại sau hữu

hạn bƣớc, vì dãy số tự nhiên a > q0 > q1 > ... là một dãy giảm thực sự nên đến

một lúc nào đó phải có qn = 0. Khi đó ta đƣợc:

a = g.q0 + c0, 0 c0 g – 1

q0 = gq1+ c1, 0 c1 g – 1

68

q1 = gq2+ c2, 0 c2 g – 1

...

qn-2 = gqn-1+ cn-1, 0 cn-1 g – 1

qn-1 = g0+ cn, 0 cn g – 1

( chú ý: Theo lập luận ở trên, phép chia nào số thƣơng bằng 0 thì số dƣ phải

khác 0)

Nhân đẳng thức thứ 2 với g, nhân đẳng thực thứ 3 với g2, ..., đẳng thức cuối

cùng với gn và cộng lại ta đƣợc:

a = g.q0 + c0

q0g = g2q1+ c1g

q1g2 = g

3 q2+ c2g

2

...

qn-2gn-1

= gn qn-1+ cn-1g

n-1

qn-1 gn = g

n+1 0+ cng

n

a= c0 + c1g + c2g2 + c3g

3 + ...+ cn-1g

n-1 + cng

n

Bây giờ ta phải chứng minh sự biểu di n trên của số a là duy nhất.

Giả sử số tự nhiên a có hai sự biểu di n:

1

1 1 0...n n

n na c g c g c g c = bmg

m + ...+ b1g + b0

Với 0 ci g – 1,0 bi g – 1, i = 0,1,2,..., n; j = 0,1, ..., m và cn > 0,bm >0.

Đẳng thức trên chứng tỏ c0 và b0 đều là dƣ trong phép chia của a cho g và theo

tính chất duy nhất của phép chia có dƣ ta có: b0 = c0.

Trong đẳng thức trên, giản ƣớc hai vế cho b0 = c0 ta đƣợc

2

2 1...n

nc g c g c g= bmg

m + ...+b2g

2 + b1g

Chia hai vế của đẳng thức này cho g ta đƣợc:

A1= cngn-1

+ ...+ c2g + c1 = bm gm-1

+ ... + b2 g +b1

Và điều này chứng tỏ c1 và b1 đều là dƣ trong phép chia của a1 cho g, do đó c1 =

b1, ...

Bằng lí luận nhƣ vậy, giả sử n m, ta đƣợc c0 = b0, c1 = b1, ..., cn = bn.

Nhƣng khi đó n = m, vì nếu ngƣợc lại từ đẳng thức đầu tiên sau khi giản ƣớc các

số hạng bằng nhau ở hai vế ta đƣợc:

0 = bmgm + ...+ bn+1g

n+1

Với bm > 0, g > 1,0 bi g – 1, i = n+1,..., m là điều không thể xảy ra. Vậy hai

sự biểu di n của số a phải trùng nhau.Đpcm.

Định nghĩa . : Cho a là một số tự nhiên khác 0, g là một số tự nhiên lớn hơn 1,

nếu a có dạng

1

1 1 0...n n

n na c g c g c g c

với 0, 0 1, i= 0, 1, ..., n v¯ c 0i n

n c g thì ta viết: -1 1 0...

n n ga c c c c

69

76

535

3749 7

24

39

4

7

7

7

7

45

3

6

10 06

1 3

0 1

và nói đó là sự biểu di n số tự nhiên a trong hệ g phân.

Nhƣ vậy để biểu di n số tự nhiên a trong hệ g- phân ta chỉ cần dùng g kí hiệu,

mỗi kí hiệu đƣợc gọi là một chữ số ( vì 0 ci g – 1). Vì ta đã quá quen thuộc

với cách ghi số trong hệ thập phân nên nếu g < 10 thì ta chỉ cần dùng g kí hiệu

đầu tiên trong các kí hiệu từ 0, 1, ...,8,9 còn nếu g > 10 thì ta phải đặt thêm các

kí hiệu mới.

b. Biểu diễn số tự nhiên trong hệ g – phân

Phép chứng minh định lí trên cũng đồng thời chỉ ra cách biểu di n một số tự

nhiên trong hệ g-phân. Ta hãy trình bày cách làm đó qua một ví dụ cụ thể.

Ví dụ: Biểu di n số 3749 trong hệ 7-phân(hệ thất phân). Để thực hiện liên tiếp

phép chia 3749 và các thƣơng của của phép chia đó cho 7 ta viết nhƣ sau:

Vậy c0 = 4, c1 = 3, c2 = 6, c3 = 3, c4 = 1 và 3749 =

713634

c. Đổi cơ số

Việc đổi một số đƣợc ghi trong hệ g – phân sang hệ g' – phân thƣờng

đƣợc thực hiện bằng cách:

Đổi từ hệ g – phân qua hệ thập phân, rồi từ hệ thập phân qua hệ g' – phân.

- Việc đổi một số từ hệ thập phân sang hệ g'- phân đã đƣợc trình bày ở ví dụ

trên.

- Việc đổi một số trong hệ g- phân sang hệ thập phân cũng đơn giản.

Ví dụ: Viết số 713634 trong hệ thập phân

713634 = 1.74 + 3.7

3 + 6.7

2 + 3.7 + 4

= 2401 + 1029 + 294 + 25

= 3749

Vậy 713634 = 3749

d. So sánh các số trong hệ g – phân

Cách so sánh các số trong hệ g- phân tƣơng tự nhƣ cách so sánh các số trong hệ

thập phân.

e. Thực hành phép tính hệ g – phân

70

Để thực hiện phép cộng và nhân các số trong hệ g – phân, ta cần lập bảng

cộng và bảng nhân các chữ số của hệ g – phân, rồi trên cơ sở đó thực hiện phép

tính với các số có nhiều chữ số bằng cách sử dụng quy tắc nhớ.

Cụ thể, ta hãy trình bày vấn đề đó trong hệ 6 – phân (lục phân).

Bảng cộng

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5 10

2 2 3 4 5 10 11

3 3 4 5 10 11 12

4 4 5 10 11 12 13

5 5 10 11 12 13 14

Bảng nhân

x 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5

2 0 2 4 10 12 14

3 0 3 10 13 20 23

4 0 4 12 20 24 32

5 0 5 14 23 32 41

Chú ý: Khi lập bảng cộng và bảng nhân, ta thực hiện phép tính trong hệ thập

phân rồi đổi két quả ra hệ lục phân.

Ví dụ:

Trong hệ thập phân ta có 4 + 5 = 9 và 9 = 1.6 + 3 = 613 ;

Trong hệ thập phân ta có 5.5 = 25 và 25 = 4.6 + 1 = 641 .

Để thực hiện phép tính trên các số có nhiều chữ số, ta thực hiện phép tính

trên các chữ số của chúng (theo bảng trên) và áp dụng quy tắc nhớ tƣơng tự nhƣ

khi tính toán trong hệ thập phân.

Ví dụ: Tính:

5432156 + 3542456

325346 - 5345 6

3453 6 455 6

71

Giải:

Ta viết :

543215

354245

1341504

Vậy : 6 + 6 = 6

Ta viết :

32534

5345

23145

Vậy : 6 - 6 = 6

Ta viết:

3453

455

31033

31033

23140

3055403

Vậy: 6 6 = 6

g) Hệ nhị phân:

Ghi một số trong hệ nhị phân ta chỉ cần dùng 2 kí hiệu là 0 và 1. Điều đó thuận

tiện trong kĩ thuật, vì hai kí hiệu đó có thể cho tƣơng ứng với hai trạng thái đóng

mạch và ngắt mạch.

Mặt khác, bảng cộng và bảng nhân trong hệ nhị phân lại rất đơn giản:

Bảng cộng

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

Bảng nhân

x 0 1

0 0 0

1 0 1

2. Các dấu hiệu chia hết

Để đơn giản ta giới hạn việc trình bày trong hệ thập phân.

72

a. Dấu hiệu chia hết cho 2 và 5

Định lí . Một số chia hết cho 2 (hoặc 5) khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó

chia hết cho 2 (hoặc 5). Cụ thể:

a) Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi nó có chữ số hàng đơn vị là 0, 2, 4, 6

hoặc 8.

b) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số hàng đơn vị của nó là 0 hoặc 5

b.Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25

Định lí . Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi số tạo bởi hai chữ số

cuối cùng của nó chia hết cho 4 (hoặc 25).

c. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9

Định lí. Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó

chia hết cho 3 (hoặc 9)

d. Dấu hiệu chia hết cho 11

Định lí. Một số chia hết cho 11 khi và chỉ khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ

tổng các chữ số hàng lẻ là một bội của 11.

Ví dụ: Số 9873215 chia hết cho 11 vì ( 5 + 2 + 7 + 9) – (1 + 3 + 8)

= 23 – 12= 11

II. Cơ sở toán học của việc dạy một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học

1. Nội dung dạy số tự nhiên ở Tiểu học

Số học là mạch kiến thức cơ bản, cốt lõi của chƣơng trình môn Toán Tiểu

học. Mạch số học đƣợc tạo thành từ bốn phần: số học các số tự nhiên, số học các

phân số, số học các số thập phân và một số yếu tố đại số; trong đó, số học các số

tự nhiên giữ vai trò trung tâm. Nó đƣợc trình bày theo phƣơng pháp đồng tâm từ

lớp 1 đến hết học kì đầu của lớp 4.

Phần số học các số tự nhiên bao gồm các nội dung: hình thành khái niệm số tự

nhiên, so sánh các số tự nhiên, các phép tính về số tự nhiên và giải toán về số tự

nhiên.

a. Hình thành khái niệm về số tự nhiên Sách giáo khoa lần lƣợt giới thiệu cho

học sinh:

+) 10 chữ số cơ bản

+) Số có hai và nhiều chữ số

+) àng và lớp của một số có nhiều chữ số

+) Số chẵn, số lẻ, số tròn chục, tròn trăm,. . .

+) Số tự nhiên liên tiếp, dãy số tự nhiên

+) Tia số, . . . . . . . . . . . .

b. So sánh các số tự nhiên

Sau khi hình thành cho học sinh khái niệm “lớn hơn” và “bé hơn”, sách giáo

khoa giới thiệu các quy tắc so sánh các số tự nhiên có nhiều chữ số và thực hành

so sánh các số tự nhiên

73

c. Các phép tính về số tự nhiên

Thông qua các vòng số: trong phạm vi 10, 100, 1000, 10 000, 100 000 và các số

có nhiều chữ số, sách giáo khoa đã giới thiệu cho học sinh bốn phép tính: cộng,

trừ, nhân, chia các số tự nhiên. Đối với mỗi phép tính, lần lƣợt cung cấp cho học

sinh: +) ình thành ý nghĩa của mỗi phép toán;

+) Phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) trong bảng;

+) Quy tắc thực hành phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) ngoài bảng (với các số có

nhiều chữ số);

+) Tính chất của phép tính (giao hoán, kết hợp, phân phối, tính chất của số 0, số

1,...);

+) Kĩ năng tính nhẩm;

+) Các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9.

d. Giải toán về số tự nhiên

oạt động giải toán có vị trí quan trọng trong dạy – học toán nói chung, dạy –

học số tự nhiên ở Tiểu học nói riêng. Thông qua dạy – học giải toán về số tự

nhiên, từng bƣớc học sinh đƣợc phát triển tƣ duy, rèn luyện phƣơng pháp và kĩ

năng suy luận lôgíc, khêu gợi và tập dƣợt khả năng quan sát, phỏng đoán, tìm

tòi. Các bài toán thƣờng gặp về số tự nhiên ở Tiểu học có thể phân thành bốn

dạng:

+) Các bài toán về cấu tạo số tự nhiên;

+) Các bài toán về rèn kĩ năng thực hành so sánh các số tự nhiên;

+) Các bài toán nhằm rèn kĩ năng thực hành bốn phép tính về số tự nhiên;

+) Vận dụng kĩ năng thực hành tính toán về số tự nhiên để giải toán có văn và

toán có nội dung hình học,...

2.Cơ sở toán học của việc dạy học một số vấn đề về số tự nhiên ở Tiểu học:

– Dùng bảng số tập hợp, bằng ngôn ngữ của tiểu học, sách giáo khoa Toán 1 đã

hình thành cho học sinh 10 chữ số cơ bản (từ 0 đến 9), (xem SGK Toán 1).

– Bằng phƣơng pháp suy luận tƣơng tự, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh

các số có hai và nhiều chữ số.

– Dùng bảng số tập hợp, bằng ngôn ngữ của tiểu học, sách giáo khoa Toán 1 đã

hình thành cho học sinh khái niệm “lớn hơn”, “bé hơn” và quan hệ so sánh các

số trong phạm vi 10 (xem SGK Toán 1).

– Bằng phƣơng pháp quy nạp (không hoàn toàn), sách giáo khoa đã giới thiệu

cho học sinh quy tắc so sánh các số tự nhiên có nhiều chữ số (xem SGK Toán 3

và Toán 4).

– Các quy tắc thực hành bốn phép tính và các tính chất của bốn phép tính về số

tự nhiên đƣợc giới thiệu cho học sinh bằng phƣơng pháp quy nạp.

(Trong các phần trƣớc, chúng ta đã dùng công cụ là bảng số tập hợp để chứng

minh các tính chất và quy tắc nêu trên. Song ở Tiểu học, học sinh chƣa đƣợc

74

trang bị những kiến thức của toán học cao cấp, nên phải chọn cách tiếp cận nhƣ

trong sách giáo khoa đã trình bày).


- Chú ý cho SV khi thực hiện các phép tính trong hệ g- phân thì trƣớc hết

thực hiện phép tính trong hệ thập phân rồi đổi kêt quả ra hệ g- phân. chẳng

hạn, để lập bảng cộng và bảng nhân trong hệ cơ số 8, trong hệ thâp phân ta

có: 5+7 = 12 và 12 = 1.8 + 4 = 14 ;

6.7 = 42 và 42 = 5.8 +2 = 52 .

- Chú ý cho SV cách biểu di n một số tự nhiên trong hệ g- phân.

- Bài tập: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 12 trang 97, 98 ở [2]; 17,18,33 trang 90,92 ở [3]


A. Mục tiêu:

1. Kiến thức:

- Giảỉ các bài tập về số tự nhiên và các phép toán, lý thuyết chia hết trên

tập các số tự nhiên; UCLN, BCNN, hợp số; các bài tập về hệ ghi số g- phân.

- Củng cố các kiến thức về số tự nhiên và các kiến thức về hệ ghi số g-

phân

2. Kỹ năng:

- Có kĩ năng về giải bài tập về số tự nhiên, chia hết, tìm UCLN, BCNN

cả các số tự nhiên, hợp số.

- Có kĩ năng thực hành các phép toán cộng, trừ, nhân trong hệ g- phân và

giải các bài tập về các số trong hệ g- phân.

3. Thái độ:

- Nghiêm túc chuẩn bị các bài tập mà GV đã giao cho.

- Giáo dục tình cảm nghề nghiệp, rèn đức tính cẩn thận, tỉ mỉ.

B. Chuẩn bị:

1. Người day:


giảng dạy.



NXBĐ SP, 2007.

75


1997.



2. Người học:


tập nhƣ trên.

C. Nội dung:

Bài 1: Cho a, b N . Chứng minh:

a) a + b = 0 khi và chỉ khi a = b = 0;

b) ab = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0

c) ab = 1 khi và chỉ khi a = b = 1

Giải: a) Rõ ràng a = b = 0 thì a + b = 0.

Đảo lại, nếu a + b = 0, giả sử a = |A|, b = |B| và A B = , A và B là tập hợp

hữu hạn. Khi đó a + b = |A B| = 0 . Suy ra A B = A = B = hay a =

b = 0.

b)Nếu a =0 hoặc b = 0 thi ab = 0.

Đảo lại, nếu ab = 0, giả sử a = |A|, b = |B| , A và B là tập hợp hữu hạn. Khi đó ab

= |A x B| = 0 A x B = A = hoặc B = hay a = 0 hoặc b = 0.

c) Nếu a = b = 1 thì ab =1.

Đảo lại, nếu ab = 1, giả sử a = |A|, b = |B|, 1 = ab = | AxB| A = 1 và B = 1.

Tức là a = b = 1

Bài 2: CM tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 và cho 6.

Gọi tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là A= a(a+1) (a+2), a N

CM 3A

Ta biểu di n a = 3q + r, 0 3r

0 3 3 3

1 3 1 3 2 3 3 3 3

2 3 2 3 1 3 3 3 3

r a q A

r a q a q A

r a q a q A

CM 6A

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có ít nhất một số chẵn 2A

Theo trên ta đã CM đƣợc 3A mà (2,3) = 1 2.3 6A A

Bài 3: CM trong 11 số tự nhiên bất kì có hai số mà hiệu của chúng chia hết cho

10

CM

76

Giả sử 1 2 11, ,...,a a a là 11 số tự nhiên bất kì.

Chia ai, i= 1, 2, …,11 cho 10 ta đƣợc

10 ; 0 10, i=1,11i i i ia q r r

Có 11 số dƣ 1 2 11, ,...,r r r nhận 10 giá trị từ 0, 1, 2,…,9 có 2 số dƣ bằng nhau.

Giả sử rk , rj : rk = rj

10 10k j k ja a q q

Bài 4: CM trong hai số chẵn liên tiếp có 1 và chỉ một số chia hết cho 4

Giải

GS hai số chẵn liên tiếp là 2k, 2k+2, k Z . Xảy ra 2 T sau:

T 1: k chẵn ( k=2l) 2 4 4

2 2 4 2 4

k l

k l

T 2: k lẻ ( k= 2l+1) 2 2 2 1 4 2 4

2 2 2(2 1) 2 4 4 4

k l l

k l l

Vậy trong hai số chẵn liên tiếp có 1 và chỉ 1 số chia hết cho 4.

Bài 5: CM tích của 2 số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

CM

GS hai số chẵn liên tiếp là 2k, 2k+2, k Z . Xảy ra 2 T sau:

T 1: k chẵn ( k=2l) 2 4 4

2 2 4 2 2

k l

k l

T 2: k lẻ ( k= 2l+1) 2 2 2 1 4 2 2

2 2 2(2 1) 2 4 4 4

k l l

k l l

Vậy tích của hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8.

Bài 6: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh:

a) UCLN(3n + 1, 2n + 1) = 1

b) UCLN(21n + 4, 14n + 3) = 1

Giải: b)

+ Nếu n = 0 thì UCLN (21n + 4, 14n + 3) = UCLN (4,3) = 1

+ Nếu n > 0, Dùng thuật toán Ơclit:

21n + 4 = (14n + 3) 1+ 7n + 1

14n + 3 = (7n+1) 2 + 1

7n + 1 = 1 (7n + 1)

Vậy UCLN(21n + 4, 14n + 3) = 1

77

Bài 7: Tìm ƢCLN, BCNN của các cặp số tự nhiên a và b sau

1) a = 300, b = 210;

2) a = 310, b = 2100;

3) a = 3465, b = 875;

Giải

Cách 1: Dùng thuật toán Ơcơlit

ƢCLN(a;b) = số dƣ khác 0 cuối cùng của thuật toán Ơclit.

300 210

210 90 1

90 30 2

0 3

Vậy ƢCLN(300,210) = 30; BCNN(300,210) =

300.210

UCLN 300,210=2100;

Cách 2: Dựa vào ứng dụng của định lí cơ bản.

Ta có 300 = 22.3.5

2

210 = 2.3.5.7

ƢCLN(300,210) = 2.3.5

BCNN(300,210) =22.3.5

2.7=2100.

Bài 8: Tìm tất cả các cặp số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện sau:

a) UCLN(a,b) = 15 và BCNN(a,b) = 2145

b) UCLN(a,b) = 15 và BCNN(a,b) = 2835

Giải:

a) Giả sử a, b N: a. b = 8400 và UCLN(a,b) = 20 khi đó

a = 20a1, b = 20b1 và UCLN(a1,b1) = 1 (1)

Suy ra 400a1. b1 = 8400 hay a1. b1 = 21 (2)

Có thể giả thiết rằng a1 b1. Khi đó từ (1)& (2) suy ra

a1 = 1 và b1 = 21 hoặc a1 = 3 và b1 = 7

Vậy a = 20 và b = 420 hoặc a = 60 và b = 140

b) Giả sử a, bN: UCLN(a,b) = 15, BCNN(a,b) = 2145, 0 < a b. Ta có

a = 15a1, b = 15b1 và UCLN(a1,b1) = 1.

Khi đó

2145 = BCNN(15a1,15b1) = 15 BCNN(a1,b1) = 15a1b1

Suy ra a1b1 = 143 = 11.13

Do UCLN(a1,b1) = 1 nên hoặc a1 = 1 và b1 = 143

78

hoặc a1 = 11 và b1 = 13

vậy a = 15 và b = 2145 hoặc a = 165 và b = 195

Bài 9: Cho n là một số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng tỏ rằng các số có dạng sau là

hợp số.

a) n4 + 4

b) n4 + 3n

2 + 4

c) n4 + n

2 + 1

Giải: Ta có:

a) .

Do n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên và là các số tự

nhiên lớn hơn 1.

là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên nó là hợp số.

Ta có:

b) .

Do n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên và là các số tự nhiên

lớn hơn 1.

là tích của hai số tự nhiên lớn hơn 1 nên nó là hợp số.

Bài 10 : Biểu di n các số sau đây trong hệ cơ số 5:

a) 3656 7 b) 843521

HD và KQ:

+ 7 = 1364

+ 1364 = . vậy 7 =

+ = 18257

+ 18257 = . Vậy =

Bài 11:

Trong hệ ghi số cơ số nào thì:

a) Số 63 đƣợc viết là 77g

b) Số 32 đƣợc viết là 44g

c) Số 8 đƣợc viết là 1000g

Giải:

a) 77g = 7g + 7.

Theo đề bài: 7g + 7 = 63

7g = 56

g = 8. Vậy 63 = 877 .

79

5664551

b) 44g = 4g +4.

Theo đè bài ta có: 4g +4 = 32

4g = 28

g = 7. Vậy 32 = 744

c) tƣơng tự ta có 8 = 23 8 =

21000 .

Bài 12:

Tính: 467534 8 + 6564758

6543210 8 - 656437 8

54352 6 345 6

Giải:

467534

656475

Vậy 8 8 8467534 656475 1346231

6543210

656437

Vậy 8 8 86543210 656437 5664551

54352

345

445124 Vậy 654352 6345 = 633550444

350332

251540

33550444


- Xem lại các bài tập đã chữa

- Làm các bài tập còn lại đã cho.

- Đọc trƣớc: Tập hợp số hữu tỉ không âm và tập số thập phân không âm.

1346231

80

Chương IV: Số hữu tỉ không âm

Tập hợp số hữu tỉ không âm. Tập số thập phân không âm.

Bài tập (4 tiết:3,1)

A. Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp SV hiểu đƣợc

- Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ không âm, xây dựng tập số hữu

tỉ không âm, các phép toán trên tập số hữu tỉ không âm, quan hệ thứ tự trên tập

số hữu tỉ không âm, phân số trong chƣơng trình môn toán ở trƣờng Tiểu học.

- Phân số thập phân, các phép toán trên tập số thập phân không âm, quan

hệ thứ tự tên tập số thập phân không âm, số thập phân trong chƣơng trình môn

toán ở trƣờng Tiểu học.

- Giải bài tập về phân số và số thập phân

2. Kỹ năng:

- Có kĩ năng cộng, trừ, nhân chia các số hữu tỉ không âm và cộng, trừ,

nhân, chia các số thập phân không âm.

- Có kĩ năng giải bài tập về phân số và số thập phân

3. Thái độ:

Chủ động tìm tòi khám phá và phát hiện những cơ sở toán học của việc

dạy học phân số và số thập phân ở tiểu học.

B. Chuẩn bị:

1. Giảng viên:

Kế hoạch dạy học, đề cƣơng ci tiết học phần, đề cƣơng bài giảng



NXBĐ SP, 2007.


1997.



2. Người học:

Vở ghi, bút viết, đề cƣơng chi tiết P, đề cƣơng BGvà tài liệu học tập nhƣ trên.

C. Nội dung:

I. Tập hợp số hữu tỉ không âm:

81

1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số hữu tỉ không âm

Nhƣ chúng ta đã biết, tổng và tích của hai số tự nhiên bất kì là một số tự

nhiên. Trong khi đó, thƣơng của hai số tự nhiên không phải lúc nào cũng là một

số tự nhiên. Chẳng hạn 4: 5 hoặc 17 : 9,...

Trong thực tế, tập số tự nhiên không đủ để biểu di n số đo của nhiều phép đo

đại lƣợng. Chẳng hạn, khi chia đều 5 quả cam cho 4 ngƣời thì số quả cam mỗi

ngƣời đƣợc chia không thể biểu di n bằng một số tự nhiên hoặc khi đo chiều dài

của lớp học đƣợc 6m2dm5cm thì dùng đơn vị là mét không thể biểu di n số đo

bằng một số tự nhiên ...

Về phƣơng diện toán học, nhiều tính chất của phép cộng, trừ, nhân, chia trên

phân số và số thập phân đƣợc đƣa vào môn Toán ở trƣờng phổ thông hầu hết là

công nhận chứ chƣa đƣợc chứng minh chặt chẽ.

Trong chƣơng này, ta nghiên cứu phƣơng pháp mở rộng tập hợp số tự nhiên

cùng với các phép toán và quan hệ giữa chúng để khắc phục những hạn chế nêu

trên.

2.Xây dựng tập hợp số hữu tỉ không âm.

ĐN: Mỗi cặp sắp thứ tự (a,b) trong đó a N và b N* ta gọi là một phân số

không âm (hay phân số).

Tập tất cả các phân số kí hiệu là P. Nhƣ vậy P = N x N*.

Kí hiệu: a

b để chỉ phân số (a,b), trong đó a là tử số, b là mẫu số của phân số đó.

Nhƣ vậy P =a

b với a N và b N

*

Trên tập P, ta ĐN quan hệ 2 ngôi "e" nhƣ sau:

Với a

b;

c

d P, ta nói phân số

a

b tƣơng đƣơng với phân số

c

d

Kí hiệu: a

be

c

d ad = bc

VD: a, 1 6

3 18e vì 1x18 = 3x6 (=18)

b, 2

3e

5

6 vì 2x6 3x5

Từ ĐN ta có:

- Rõ ràng a

be

a

b hay quan hệ 2 ngôi "e" có tính chất phản xạ (1)

- Nếu a

be

c

d thì ad = bc => cb = da. Vậy

c

de

a

b => Quan hệ e có tính chất

đối xứng (2)

82

- Nếu a

be

c

d và

c

de

m

n

Từ ĐN ta có ad = bc và cn = dm. Nhân 2 vế của đẳng thức thứ nhất với n ta có

adn = bcn; đẳng thức thứ 2 với b đƣợc bcn = bdm.

Từ đó suy ra adn = bdm hay an = bm

Vậy a

be

m

n => Quan hệ e có tính chất Bắc cầu (3)

Từ (1),(2),(3) Suy ra e là một quan hệ tƣơng đƣơng xác định trên tập các phân

số P.

Ta có thể phân chia tập P theo quan hệ tƣơng đƣơng e và nhận đƣợc tập thƣơng

P

e.

Ta sẽ gọi tập thƣơng P

e là tập các số hữu tỉ không âm, kí hiệu Q+.

Mỗi phần tử của tập Q+ ta gọi là một số hữu tỉ không âm (hay số hữu tỉ).

Giả sử r Q+ . Nhƣ vậy r xác định bởi một lớp các phân số tƣơng đƣơng với

phân số a

b nào đó, tức là r = c(

a

b) hay r =

m

n P và

m

n

a

b

Một phân số thuộc lớp c(a

b) ta gọi là một đại diện của phân số hữu tỉ r.

Mỗi số hữu tỉ r = c(a

b) là một lớp những phân số bằng phân số

a

b cho trƣớc.

Chẳng hạn:

C(1

2) =

1

2; 2 3 4

; ; ;...4 6 8

C(3

4) =

3

4; 6 9 12

; ; ;...8 12 16

Kí hiệu: a

b để chỉ số hữu tỉ r = c(

a

b)

Chẳng hạn: Kí hiệu 1

2để chỉ số hữu tỉ r = c(

1

2)

Kí hiệu 7

9để chỉ số hữu tỉ r = c(

7

9)

Mỗi số hữu tỉ không âm có duy nhất một phân số đại diện là phân số tối giản.

Khi nói đến phân số đại diện của một số hữu tỉ ta thƣờng hiểu là phân số tối

giản nói trên.

Mỗi số tự nhiên a có thể biểu di n dƣới dạng một phân số 1

a.

83

Vì vậy mỗi số tự nhiên a cũng xác định! một số hữu tỉ r có phân số đại diện là

1

a. Thành thử N có thể coi là bộ phận của Q+.

Quy ƣớc: Số hữu tỉ xác định bởi c(0

1) là 0

và xác định bởi c(1

1) là 1.

3. Các phép toán trong tập hợp số hữu tỉ không âm.

a.Phép cộng và phép nhân.

- ĐN: Cho 2 số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là a

b và

c

d tƣơng ứng.

Ta gọi:

+) Tổng của hai số hữu tỉ r và s là một số hữu tỉ t , kí hiệu t = r + s, trong đó

số hữu tỉ t có phân số đại diện là ad bc

bd

hay c(a

b) + c(

c

d) = c(

ad bc

bd

)

Phép toán này gọi là phép cộng các số hữu tỉ không âm, r và s gọi là số

hạng, t gọi là tổng.

+) Tích của 2 số hữu tỉ r và s là số hữu tỉ p, kí hiệu p=r x s (hoặc r.s hoặc rs)

Trong đó số p có phân số đại diện là ac

bd hay c(

a

b) x c(

c

d) = c(

ac

bd) phép toán

trên gọi là phép nhân các số hữu tỉ không âm, trong đó r,s là các thừa số, p là

tích.

- VD: Cho r = 4

15 và s =

25

12

Ta có r + s = 4

15+

25

12 =

4 12 25 15

15 12

=

423

180 =

157

60

r.s = 4

15

25

12 =

100 5

180 9

b. Phép trừ và phép chia

* Phép trừ

ĐN: Cho hai số hữu tỉ r và s có phân số đại diện là a

bvà

c

d tƣơng ứng.

Ta gọi hiệu của số hữu tỉ r trừ đi s là số hữu tỉ u ( kí hiệu u = r – s) trong đó u là

số hữu tỉ có phân số đại diện là ad bc

bd

; nếu ad – cb là số tự nhiên.

Quy tắc cho tƣơng ứng với mỗi cặp số hữu tỉ r và s với một số hữu tỉ u

84

nói trên ta gọi là phép trừ các số hữu tỉ không âm. trong đó r là số bị trừ, s là số

trừ. u là hiệu số.

VD: Cho r = 9 2

;11 7

s . Ta có:

r – s = 9 7 2 11

11 7

=

44

77 trong khi đó s – r không thực hiện đƣợc

vì 2 x 11 – 9 x 7 không phải là số tự nhiên.

* Phép chia

ĐN: Cho r và s là 2 số hữu tỉ không âm, trong đó s 0. Ta gọi thƣơng của số

hữu tỉ r chia cho s là số hữu tỉ q, kí hiệu r : s = q, thỏa mãn điều kiện

q x s = r.

Quy tắc cho tƣơng ứng mỗi cặp số hữu tỉ r và s với mỗi số hữu tỉ q nói

trên ta gọi là phép chia các số hữu tỉ không âm, trong đó r là số bị chia, s là số

chia, q là thƣơng số.

VD:

Tìm thƣơng của r chia cho s biết r = 20

9 và s =

4

15

Ta có s-1

có phân số đại diện là 15

4 vậy r : s =

20

9 x

15

4=

25

3

Nhận xét: Từ các kết quả trên ta thấy:

+ Phép cộng và phép nhân các số hữu tỉ không âm luôn thực hiện đƣợc;

+ Phép trừ các số hữu tỉ không âm không phải bao giờ cũng thực hiện đƣợc;

+ Phép chia cho một số hữu tỉ khác 0 luôn thự hiện đƣợc.

4. Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm

-ĐN: Cho r và s là 2 số hữu tỉ không âm có phân số đại diện là a

bvà

c

d tƣơng

ứng. Ta nói rằng r nhỏ hơn hoặc bằng s, kí hiệu là r s nếu ad bc.

Ta nói r nhỏ hơn s, kí hiệu là r < s, nếu r s và r s.

Ta nói r lớn hơn hoặc bằng s (vaà iết r s) nếu s r; r lớn hơn s (và viết r > s)

nếu s < r.

Các hệ thức r s hoặc r s ta gọi là bất đẳng thức, hệ thức r < s hoặc r > s ta

gọi là bất đẳng thức nghiêm ngặt.

-VD: c(5 7

) ( )11 11

c vì 5 x 11 < 7 x 11

c( 3 4

) ( )5 7

c vì 3 x 7 > 4 x 5

Định lí: Quan hệ thứ tự trong tập số hữu tỉ không âm thỏa mãn các tính

chất:

85

+ Tính đơn điệu: Nếu ta cộng hoặc nhân cả 2 vế của một bất đẳng thức

với cùng một số hữu tỉ không âm thì bất đẳng thức không đổi chiều.

+ Tính trù mật: Xen giữa 2 số hữu tỉ khác nhau tồn tại vô số các số hữu tỉ

khác chúng.

+ Tiên đề Acsimet: Mọi số hữu tỉ đều bị chặn trên bởi một số tự nhiên.

ay mọi số hữu tỉ r, tồn tại số tự nhiên a sao cho r < a

5. Phân số trong chƣơng trình môn toán ở tiểu học

Nội dung phân số đƣợc đƣa vào dạy ở trƣờng tiểu học bao gồm:

+ ình thành khái niệm phân số;

+ So sánh các phân số;

+ Bốn phép toán về phân số : gồm hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu

tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành tính

toán về phân số.

+ Giải toán về phân số.

II Tập số thập phân không âm

1. Phân số thập phân

- ĐN: Phân số a

b gọi là phân số thập phân, nếu mẫu số b là lũy thừa của 10 với

số mũ tự nhiên

- VD: 3 11 125

; ; ;10 1 100

… là những phân số thập phân

Trong thực tế có nhiều phân số không cho dƣới dạng phân số thập phân nhƣng

nó lại bằng phân số thập phân khác, chẳng hạn:

3 75 1 5 13 325; ;

4 100 2 10 40 1000 ;……

Những phân số nhƣ thế gọi là biểu di n đƣợc dƣới dạng thập phân.

Để phân số tối giản p

q biểu di n đƣợc dƣới dạng thập phân, điều kiện cần và đủ

là mẫu số q không có ƣớc nguyên tố nào khác 2 và 5.

2. Số thập phân không âm

- ĐN: Số hữu tỉ không âm r đƣợc gọi là số thập phân không âm, nếu phân số đại

diện của nó biểu di n đƣợc dƣới dạng thập phân.

ay nói cách khác, số hữu tỉ không âm r đƣợc gọi là số thập phân không âm nếu

nó có một đại diện là phân số thập phân.

Tất cả các số thập phân không âm ta kí hiệu là Q+10

Phân số tối giản a

b biểu di n dƣới dạng thập phân khi và chỉ khi mẫu số b của nó

không có ƣớc nguyên tố khác 2 và 5.

*Dạng biểu di n thu gọn của phân số

86

+ 351

3,51100

(đọc là ba đơn vị nguyên, năm mƣơi mốt phần một trăm của đơn vị

hoặc ba phẩy năm mƣơi mốt).

+ 8

0.810

(đọc là không đơn vị nguyên, tám phần mƣời của đơn vị, hay không

phẩy tám).

Số đứng bên trái dấu phẩy gọi là phần nguyên, nhóm các chữ số đứng bên phải

dấu phẩy gọi là phần thập phân của số thập phân đó.

3. Các phép toán trên số thập phân ( sv tự đọc giáo trình)

- Phép cộng các số thập phân

- Phép trừ các số thập phân

- Phép nhân các số thập phân

- Phép chia các số thập phân

4. Quan hệ thứ tự trong tập số thập phân

Mỗi số thập phân là một số hữu tỉ không âm. Vì vậy, xây dựng quan hệ thứ tự

trên tập Q+10 ta đƣa về số hữu tỉ không âm. Chẳng hạn:

VD: Cho r = 9,63; s = 12,1. Hãy so sánh r và s.

Ta có 9,63 = 963

100 và 12,2 =

121

100. Vì

963

100 <

121

100 nên 9,63 < 12,1.

Quy tắc ( sv tự đọc giáo trình)

5. Số thập phân vô hạn tuần hoàn ( sv tự đọc giáo trình)

6. Số thập phân trong chƣơng trình môn toán ở tiểu học

Số thập phân đƣợc trình bày trong lớp cuối của bậc tiểu học với các nội dung:

- ình thành khái niệm số thập phân;

- So sánh các số thập phân;

- Bốn phép tính về số thập phân gồm: hình thành ý nghĩa phép toán, giới thiệu

tính chất và quy tắc thực hành bốn phép tính, rèn kĩ năng thực hành bốn phép

tính;

- Giới thiệu các quy tắc tính nhẩm;

- Giải toán về số thập phân.

III.Bài tập

Bài 1: Không quy đồng mẫu số hãy so sánh các phân số sau:

a, 19 13

à 26 31

v ; b, 48 45

à 19 21

v

c, 21 69

à 23 71

v ; d, 19 137

à 17 135

v

e, 11 27

à 36 81

v

Giải:

87

a, Ta có 19 19 19 13

à 26 31 31 31

v . Vậy 19 13

> 26 31

b, Ta có 48 48 48 45

à 19 21 21 21

v . Vậy 48 45

> 19 21

c, Ta có 1- 21

23 =

2

23 và 1 -

69 2

71 71 . Vì

2 2

23 71 nên

21 69<

23 71

d, Ta có 19 2

117 17

và 137 2

1135 135

. Vì 2 2

17 135 nên

19 137 >

17 135

e, Ta có 11 12 1 27

36 36 3 81 . Vậy

11 27<

36 81

Bài 2: Tích của tử số và mẫu số của một phân số lớn hơn 1 bằng 200, nếu chia

cả tử và mẫu cho 5 ta đƣợc phân số tối giản. Tìm phân số đó?

Giải:

Ta có bảng phân tích 200 thành tích của các cặp số sau:

200 200 100 50 40 25

1 2 4 5 8

Các phân số lớn hơn 1 có tích của tử và mẫu bằng 200 là:

200 100 50 40 25

, , , ,1 2 4 5 8

Bằng phƣơng pháp thử chọn ta nhận đƣợc phân số cần tìm là : 40

5

Bài 3. Tìm số dƣ trong phép chia sau:

a) 229,03 : 4,2 (nếu chỉ lấy hai chữ số ở phần thập phân của thƣơng)

b) 4,553 : 44 (nếu chỉ lấy bốn chữ số ở phần thập phân của thƣơng)

Giải.

a, Ta thực hiện phép chia đƣợc thƣơng là 54,53 và số dƣ là 0,004.

b) Ta thực hiện phép chia đƣợc thƣơng là 0.1034 và số dƣ là 0,0034.

Bài 4. Khi cộng một số tự nhiên với một số thập phân có một chữ số ở phần thập

phân, do sơ suất, một học sinh đã bỏ quên dấu phẩy của số thập phân và đặt

phép tính nhƣ cộng hai số tự nhiên nên nhận đƣợc kết quả bằng 1228. TÌm hai

số đó, biết rằng kết quả của phép tính đúng bằng 847,3.

Giải.

Kết quả của phép tính tăng là:

1228 – 847,3 = 380,7.

Khi bỏ quên dấu phẩy, số thập phân đó đã tăng lên gấp 10 lần. Ta có sơ đồ sau:

88

Số thập phân cần tìm là:

380,7 : (10 – 1) = 42,3

Số tự nhiên cần tìm là:

847,3 – 42,3 = 805.

ai số cần tìm là: 805 và 42,3

Bài 5: Lãi suất tiết kiệm là 0,65% một tháng. Cô Thủy gửi tiết kiệm 12 000 000

đồng. ỏi sau một tháng cô có tất cả bao nhiêu tiền lãi và tiền gửi ?

Giải:

Số tiền lãi cô Thủy có sau một tháng là:

12 000 000 : 100 x 0,65 = 78 000 ( đồng)

Số tiền gửi và tiền lãi cô Thủy có là:

12 000 000 + 78 000 = 12 078 000 (đồng)

Đáp số: 12 078 000 đồng


- Làm các bài tập 5,7, 8 trang 141 và 4, 6, 7, 12, 14 trang 162,163 ở [2].

- Chú ý khi giải các bài toán tiểu học phép nhân không đƣợc sử dụng dấu ".".

- Ôn tập các kiến thức cơ bản của các chƣơng I, II, III,IV để chuẩn bị cho thi

kết thúc học phần:

+ Phép toán hai ngôi ( Định nghĩa, tính chất, những phần tử đặc biệt. bộ phận ổn

định, phép toán cảm sinh)

+ Nửa nhóm- Nhóm( định nghĩa, tính chất: Kiểm tra đƣợc một tập hợp và một

phép toán hai ngôi trên tập hợp đã cho là một nhóm hoặc nhóm Aben)

+ Đồng cấu nhóm. Nửa nhóm sắp thứ tự

+ Vành, trƣờng: Kiểm tra đƣợc một tập hợp cùng với 2 phép toán trên tập hợp

đó là một vành, trƣờng.

+ Vành con, trƣờng con: Lƣu ý kiểm tra đƣợc một tập con của một vành(trƣờng)

có là vành con( trƣờng con) của vành (trƣờng) đó hay không.

+ Bản số của tập hợp. Số tự nhiên( định nghĩa, tính chất và các phép toán )

+ Ƣớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, số nguyên tố - hợp số.

+ ệ ghi số g- phân, Thực hành phép tính trong hệ g-phân, các dấu hiệu chia

hết.

STN STP

380,7

10 lần STP

Phép tính đúng

Phép tính chép nhầm

89

Documents

: Nhóm Phép toán hai ngôi A2 hần tử xTy X gọi là cái hợp thành hay còn gọi là kết quả của phép toán thực hiện trên hai phần tử x và y. hép toán