TOÁN KINH T - bai-giang.webnode.vn¯ƠNG I. MA... · Ma trận và các phép toán trên ma trận. 1.2. Phép khử Gauss-Jordan và hệ phương trình tuyến tính. 1.3. Định

MÔN HỌC

TOÁN KINH TẾ (MATHEMATICAL ECONOMICS)

GV: ThS. Phạm Thị Yến Anh

Email: [email protected]

http://www.londoninternational.ac.uk/sites/default/files/programme_resources/lse/lse_pdf/subject_guides/ec3120_ch1-4.pdf

CHƢƠNG 1

MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

(Matrix and matrix operators)

1.1. Ma trận và các phép toán trên ma trận.

1.2. Phép khử Gauss-Jordan và hệ phương

trình tuyến tính.

1.3. Định thức của ma trận.

1.4. Ma trận nghịch đảo.

1.5. Mô hình Input – Output Leontief.

1.6. Mô hình cân bằng thị trường.

3

Chƣơng 1.

MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS

MA TRẬN

(matrix)

CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 4

MATHEMATICAL ECONOMICS

5

MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN

8 x 8


6

65536 x 256


MỘT SỐ VÍ DỤ MA TRẬN

MA TRẬN (matrix)

Môt ma trận A loai m x n la môt bảng chữ

nhật gôm mxn sô thưc đươc viết thanh m hàng

(dòng) n côt như sau:

7

1.1. MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN


8

MA TRẬN (MATRIX)

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ...

...

n

n

m m

ij

mn

a

a a a

a a aA

a a a

Dòng i

Côt j m n

Kí hiệu: 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋)𝒎𝒙𝒏

𝑎𝑖𝑗 là phần tử của ma trận A nằm

ở giao điểm của dòng i côt j


Ví du

a/ 1 −1 04 2 3

là ma trận cấp 2x3 và có các

phần tử là 𝑎11 = 1; 𝑎12 = −1; 𝑎13 = 0 ;

𝑎21 = 4; 𝑎22 = 2; 𝑎23 = 3

b/ 1 24 3

là ma trận cấp 2x2 và có các phần

tử: 𝑎11 = 1; 𝑎12 = 2; 𝑎21 = 4; 𝑎22 = 3

9

MA TRẬN (MATRIX)


10

MA TRẬN VUÔNG

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

n n

Đường chéo chính Đường chéo phụ

• Khi m = n, bảng số thành hình vuông, ta có

ma trận vuông với n hàng n côt, ta gọi nó là

ma trận cấp n


11

Ma trận chéo la ma trận vuông có các phần tử nằm

ngoài đường chéo chính bằng 0.

1 0 0 0 0 0

0 3 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 5 0

0 0 0 0 0 1

6 x 6

MA TRẬN CHÉO

12

Ma trận đơn vị la ma trận chéo có các phần tử nằm

trên đường chéo chính đều bằng 1. Ky hiệu In

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

6 x 6

MA TRẬN ĐƠN VỊ

13

Ví du: 1 2 5 0 6 0

0 2 0 1 0 7

0 0 1 0 0 3

0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1

6 x 6

Ma trận tam giác trên la ma trận vuông có các phần

tử nằm phía dƣới đường chéo chính đều bằng 0.

MA TRẬN TAM GIÁC

14

Ma trận tam giác dươi la ma trận vuông có các

phần tử nằm phía trên đường chéo chính đều

bằng 0. 1 0 0

2 0 0

2 3 5

3 x 3

Ma trận tam giác trên hay ma trận tam giác dưới gọi

chung là ma trận tam giác.

MA TRẬN TAM GIÁC

15

1. PHÉP CHUYỂN VỊ

Cho ma traän ( )

Ma traän chuyeån vò cuûa kí hieäu laø ( )

ij m n

T

ji n m

A a

A A a

Ví du:

1 2 3

0 5 1

1 2 0

A

1 0 1

2 5 2

3 1 0

T

A

MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

16

2. HAI MA TRÂ N

BĂ NG NHAU

Cho ma traän ( ) , ( )ij m n ij m n

ij ij

A a B b

A B a b



17

2. HAI MA TRÂ N

BĂ NG NHAU

Ví du: 1 3 2 1 3

;2 3 2

y x yA B

z t z t

0

2 1 1 3

3 3 2

3 3

22 2

2

x

xy

y yA B

z zz

t t

t



18

3. PHÉP CỘNG

(TRỪ)

Cho ma traän ( ) , ( )

( )

ij m n ij m n

ij ij m n

A a B b

C A B a b

Ví du:

2 3 2 3

1 3 2 1 0 1,

0 1 1 1 2 0

A B

2 3

0 3 3

1 3 1

A B

2 3

2 3 1

1 1 1

A B



19

4. PHÉP NHÂN

VỚI SỐ THỰC Cho ma traän ( ) ,

( )

ij m n

ij m n

A a

A a

Ví du 1:

2 3

1 3 2, 2

0 1 1

A

2 3

2 6 42

0 2 2

A A



20

Ví du 2: Môt công ty sản xuất bàn và ghế tai 2 địa điểm

khác nhau A, B.

Cho C là ma trận tổng chi phí sản xuất mỗi loai lần lươt

tai A và B.

627 681

135 150

C

Bàn

Ghế

Địa điểm A Địa điểm B

Giả sử chỉ có 2 loai chi phí: chi phí lao đông và chi phí

nguyên vật liệu. Chi phí lao đông chiếm 2/3 tổng chi phí.

Tính chi phí mỗi loai?



21

a) Tìm ma trận chi phí lao đông L đối với mỗi loai

sản phẩm tai A va B ?

627 681 418 4542

3 135 150 90 100

L x

627 681 209 2271

3 135 150 45 50

M x

b) Xác định ma trận chi phí nguyên vật liệu M ?



22

5. PHÉP NHÂN

1

Cho ma traän ( ) , ( )

( ) ,

ik m kj p

n

ij m p ij ik

n n

kj

k

A a B b

C AB c c a b



1 1 2 2 3 3...

ij i j i j i j in njc a b a b a b a b

23

Côt j của

ma trận B

1

2

1 2 3 3...

n

n

j

j

i i i i j

j

b

b

a a a a b

b

Dòng i của ma trận A

1 1 2 2 3 3...

ij i j i j i j in njc a b a b a b a b

5. PHÉP NHÂN



24

Vi du 1: 2 2 2 2

3 2

1 0

1 1 1 11 2 , ,

0 2 1 10 3

Cho A B C

2 2 1 3;

2 2 1 3

BC CB

1 0 1 1

1 11 2 1 5

0 20 3 0 6

AB

5. PHÉP NHÂN



25

Ngày bán Áo thun Áo sơ mi Quần tây

1/9

2/9

3/9

8 6 5

7 4 9

10 8 8

Ví du 2: Môt cửa tiệm bán 3 loai quần áo: Ao thun,

Ao sơ mi, Quần tây. Trong 3 ngày 1/9 và 2/9, 3/9

lương hàng bán ra (chiếc) cho trong bảng sau :

Giá vốn và lãi của từng loai là:

Ao thun 7$ và 1$ / chiếc

Ao sơ mi 12$ và 2$ / chiếc

Quần tây 18$ và 3$ / chiếc


Tính giá vốn và tiền lãi của cửa tiệm trong ngày 1/9, 2/9, 3/9

26

8 6 5 7 1 218 35

7 4 9 . 12 2 259 42

10 8 8 18 3 310 50

Thưc hiện nhân 2 ma trận

Ma trận tích cho ta biết tổng doanh thu (theo giá

vốn) và tổng số lãi của từng ngày.

Vốn và lãi ngày 1/9 Vốn và lãi ngày 2/9

Vốn và lãi ngày 3/9

27

Cho ma trận A, B, C va số thưc 𝛼, 𝛽. Khi đó

𝑖) 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 𝑖𝑖) 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑖𝑖𝑖) 0 + 𝐴 = 𝐴 + 0 = 𝐴 𝑖𝑣) 𝐴 + −𝐴 = −𝐴 + 𝐴 = 0 𝑣) 𝐴 + 𝐵 𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 𝑣𝑖) 𝛼 𝐴 + 𝐵 = 𝛼𝐴 + 𝛼𝐵 𝑣𝑖𝑖) 𝛼 + 𝛽 𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴 𝑣𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐼𝑛 = 𝐼𝑛𝐴 = 𝐴


TÍNH CHẤT

Cho ma trận A vuông cấp n. Ta luy thưa bậc 𝑘 ∈ 𝑁 của ma trận A la môt ma trận 𝐴𝑘 vuông cấp n, đươc xác định như sau:

𝐴0 = 𝐼𝑛

𝐴1 = 𝐴

𝐴2 = 𝐴. 𝐴

…….

𝐴𝑘 = 𝐴𝑘−1.A

Vậy 𝐴𝑘 = 𝐴. 𝐴…𝐴𝑘 𝑙â 𝑛

6. PHÉP LUY THỪA

28



Ví du 1 Cho 𝐴 =1 −23 −4

.

a/ Tính A2

b/ Tính A3

CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS 29 MATHEMATICAL ECONOMICS


Ví du 2. Cho A =2 10 2

. Tính An



Ví du 3. Cho C =2 23 −1

.

a/ Tính C2

b/ Tính C3

c/ Tim f(C), trong đo 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 4

d/ Tim g(C), trong đo 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 8



Loai 2: Biến dong 𝑖 của 𝐴 thanh 𝑘 lần dong 𝑖

(𝒅𝒊:=k𝒅𝒊 ,𝒌 ≠ 𝟎)

Cho ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑚𝑥𝑛. Ta định nghia 3 phép

biến đổi trên dong đối với ma trận A như sau:

Loai 1: Hoán vị dong 𝑖 va dong 𝑗 của 𝐴 𝑖 ≠ 𝑗 (𝒅𝒊 ↔ 𝒅𝒋)

Loai 3: Biến dong 𝑖 của 𝐴 thanh dong 𝑖 công 𝑘 lần

do ng 𝑗 (𝒅𝒊 ≔ 𝒅𝒊 + 𝒌𝒅𝒋 , 𝒌 ≠ 𝟎)

7. CÁC PHÉP BIẾN ĐÔI SƠ CẤP

32 Tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp trên cột


Vi du:

a/ Cho ma trận 𝑀 =3 1−2 2

1 00 1

Dùng các PBĐSC trên hàng để biến đổi M

thành dang 1 0 …0 1 …

33 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS MATHEMATICAL ECONOMICS


Vi du

b/ Cho ma trận 𝑀 =2 2 02 1 −1−1 3 1

123


thành dang 1 00 10 0

0 …0 …1 …



Vi du

c/ Cho ma trận

𝑀 =1 2 02 0 −1−1 3 1

1 0 00 1 00 0 1


thành dang 1 00 10 0

0 …0 …1 …




BÀI TẬP SỐ 1


CÁC BẠN SINH VIÊN VỀ LÀM BÀI TẬP SỐ 1

VÀ NỘP LẠI CHO CÔ VÀO CA HỌC SAU


BÀI TẬP SỐ 1


BÀI TẬP SỐ 1

39

1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ

PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

11 12 11 2

1 2

1 2

1

21 22 2 2

1 2

(*)

n

n

n

n

n

m m mn m

x x x

x x x

x x x

a a a b

a a a b

a a a b

, ; 1, , 1, : caùc heä soá

: caùc aån soá

ij i

i

a b i m j n

x

Môt hê phương trinh tuyến tính trên K la hê gôm

có m phương trinh, n ẩn có dang tổng quát như sau:



• Nghiệm của hê la môt bô 𝑛 sô 𝑠1, 𝑠2, … , 𝑠𝑛

sao cho khi ta thay vao tưng phương trinh của

hê ta đươc những đăng thức đung.

• Tập hơp tất cả các nghiệm của hệ phương

trình đươc gọi là tập nghiệm của hệ phương

trình.

• Môt biểu thức biểu diễn nghiệm của hệ

phương trình đươc gọi là nghiệm tổng quát

của hệ phương trình.



41

Hê phương trình tuyến tính chỉ có 1 trong 3 trường

hơp nghiệm xảy ra la:

• Vô nghiệm - ta nói hê không tương thích

•𝑯ê 𝒄𝒐 𝒏𝒈𝒉𝒊ê 𝒎 𝒅𝒖𝒚 𝒏𝒉â 𝒕

𝑯ê 𝒄𝒐 𝒗ô 𝒔ô 𝒏𝒈𝒉𝒊ê 𝒎 - ta nói hê tương thích





Hê phương trinh tuyến tính đươc gọi la

thuần nhất nếu tất ca các hê sô tư do

𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 đều bằng 0.

Đinh nghia hệ thuần nhất

Hê phương trinh tuyến tính đươc gọi la

không thuần nhất nếu ít nhất môt trong các hê

sô tư do 𝑏1, 𝑏2, … , 𝑏𝑚 đều khác 0.

Đinh nghia hệ không thuần nhất










Ví dụ:






47

11 12 11 2

1 2

1 2

1

21 22 2 2

1 2

(*)

n

n

n

n

n

m m mn m

x x x

x x x

x x x

a a a b

a a a b

a a a b

, ; 1, , 1, : caùc heä soá

: caùc aån soá

ij i

i

a b i m j n

x

Môt hê phương trinh tuyến tính trên K la hê gôm

có m phương trinh, n ẩn có dang tổng quát như sau:




48

Go i

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

...

...( | )

...

n

n

m m mn m

a a a b

a a a bA A B

a a a b

La ma trận

mơ rông





Có 3 phép biến đổi tương đương đối với ma trận mở rông:

• Nhân 1 dòng của ma trận với 1 sô khác không.

• Công vao môt dòng môt dòng khác đa đươc nhân với 1 sô

tuy y.

• Đổi chô 2 dòng.



50

Ví du:


1.5. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1.2. PHÉP KHỬ GAUSS-JORDAN VÀ HỆ








53

Cho ma traän ( )

A ñöôïc goïi laø ma traän baäc thang neáu

noù thoûa 2 ñieàu kieän sau:

ij m nA a

Các dòng khác 0 luôn nằm trên các dòng

bằng 0 (nếu có).

Đông thơi trên 2 dong ≠ 𝟎, ta co phần tử

khác 0 đầu tiên của dong dươi nằm bên phai

phần tư ≠ 𝟎 đầu tiên của dong trên.

ĐỊNH NGHIA MA TRẬN BẬC THANG




54

1 2 3 0 6 1

0 0 3 1 1 0

0 0 0 1 4 2

0 0 0 0 0 0

Ma trận bậc thang

1 2 3 0 6 1

0 0 3 1 1 0

0 0 0 1 4 2

0 1 0 0 0 0

Không phải bậc thang

Vi dụ




55

THUẬT TOÁN ĐƢA VỀ MA TRẬN BẬC THANG

Bước 1: Xác định các phần tử được đánh dấu (là

phần tử khác 0 đầu tiên của mỗi dòng).

Bước 2: Lần lươt triệt tiêu các phần tử nằm phía

dưới chúng (trong cùng môt côt) theo thứ tư tư trái

sang phải.




56

Ví du. Đưa ma trận sau về dang bậc thang:


5 1 4 3

/ 1 3 1 2

4 4 5 1

a A

2 1 3 4

/ 1 3 2 3

1 2 5 1

b B



57

Ví du. Đưa ma trận sau về dang bậc thang:


1 2 1 0 2

2 4 1 3 2/

0 1 1 2 3

1 4 7 1 19

c C



58

ĐỊNH NGHIA HANG MA TRẬN

Đinh nghia 1. Hang của ma trận A cấp 𝑚𝑥𝑛 là số

dòng khác 0 của ma trận bậc thang của ma trận A.

Kí hiệu: rank (A) hay r(A)

Nhận xét:

(i) Nếu A là ma trận cấp 𝑚 𝑥 𝑛 thì

(ii) r (A) = r(AT )

( ) min{ , }r A m n




59

r(𝐴) = 3

1 2 3 0 6 1

0 0 3 1 1 0

0 0 0 1 4 2

0 0 0 0 0 0

A

Vi dụ 1

1 2 3 0 6 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

B 𝑟(𝐵) = 2




60

Bươc 1. Lập ma trận mơ rông 𝐴 = (𝐴|𝐵) Bươc 2. Dung phép biến đổi sơ cấp trên hang đưa

ma trận mơ rông vê dang ma trận bậc thang.

Bươc 3.

• Nếu 𝑟 𝐴 ≠ 𝑟 𝐴 thi hệ vô nghiệm

• Nếu 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 thi hệ có nghiệm

Nếu 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = n (sô â 𝑛) thi hệ có

nghiệm duy nhất.

Nếu 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 < 𝑛 (𝑠ô â 𝑛) thi hệ có

vô sô nghiệm với 𝑛 − 𝑟(𝐴) ẩn tư do.

Giải hệ AX=B bằng phƣơng pháp Gauss


61

Bươc 4. Nếu hệ có nghiệm thì:

• Viết lai hê phương trinh tương ứng với ma trận

bậc thang.

• Giải hệ phương trình ngươc tư dưới lên trên.



Đinh nghia ân cơ sở và ân tƣ do

• Ân cơ sở la ẩn tương ứng với côt chưa phần

tử cơ sở (phần tư đươc đánh dấu).

• Ân tư do la la ẩn tương ứng với côt không có

phần tử cơ sở (phần tử đươc đánh dấu).



Ví du. Giải hệ phương trinh sau bằng phương pháp

Gauss:

63

1 2 3

2 3

0

c)

3 0

x x x

x x

1 2 3

2 3

1 2 3

0

a) 2 5

2 3 0

x x x

x x

x x x



5 2 0

b) 4 0

3 3 0

x y z

x y z

x y z

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

x 2x 3x 4x 2

d / 2x 5x 2x x 1

5x 12x 7x 6x 7

64

Hê thuần nhất chỉ co nghiêm duy nhất bằng 0

khi va chỉ khi 𝒓(𝑨) = 𝒏 = 𝒔ô â 𝒏

Hê thuần nhất 𝐴𝑋 = 0 co nghiêm không tầm

thương (nghiêm khac 0) khi va chỉ khi 𝒓 𝑨 < 𝒏 = 𝒔ô â 𝒏


Chú ý:




PP GAUSS-JORDAN

Giải tương tư như phương pháp Gauss,

nhưng biến đổi ma trận hệ số mở rông về ma

trận bậc thang rút gọn.

(Ma trận bậc thang rút gọn là ma trận bậc

thang có các phần tử đươc đánh dấu là số 1, các

phần tử còn lai trên cùng 1 côt bằng 0).



Ví du. Cho hê phương trinh

Xác định gia trị của tham sô m sao cho:

a/ Hê có môt nghiệm duy nhất.

b/ Hê vô nghiệm

c/ Hê có vô sô nghiệm.

66

3 1

2 1

3 2

x y z

x y mz m

x my z




Ta có:

67

1 1 3 1

( | ) 2 1 1

1 3 2

1 1 3 1

0 1 6 3

0 0 ( 5) ( 2)

A A B m m

m

m m

m m m m




a/ Hê có nghiệm duy nhất ⇔ 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 3

⟺ 𝑚 𝑚+ 5 ≠ 0 ⟺ 𝑚 ≠ 0𝑚 ≠ −5

b/ Hê vô nghiệm ⇔ 𝑟 𝐴 < 𝑟 𝐴

𝑕𝑎𝑦 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 + 1

⟺ 𝑟 𝐴 = 2

𝑟 𝐴 = 3⟺ 𝑚 = −5

c/ Hê có vô sô nghiệm ⇔ 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 < 3

⟺ 𝑟 𝐴 = 𝑟 𝐴 = 2 ⟺ 𝑚 = 0

68




1. Giải hệ phương trinh sau bằng 2 phương pháp:

Gauss, Gauss – Jordan :


BÀI TẬP SỐ 2

2 3 0

) 2 3 5 0

3 4 6 0

x y z

a x y z

x y z

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 4

x 2x x x 1

2x 3x x 5x 1b /

x x 8x 5x 0

3x 5x 9x 2




Gauss, Gauss – Jordan :


BÀI TẬP SỐ 2

2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

3 6 6 4 5

) 3 7 8 5 8 9

3 9 12 9 6 15

x x x x

d x x x x x

x x x x x

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

x x x x 0

2x 3x 2x 5x 0c /

x 2x x 5x 0

3x x 3x 0


Gauss, Gauss – Jordan:


BÀI TẬP SỐ 2


BÀI TẬP SỐ 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

x x x 1

2x 3x mx 3

x mx 3x 2

2/ Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương

trình:

Cho ma trận A vuông cấp n,

73

1.3. ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

n n

ĐỊNH NGHĨA


74

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

... ... ... ...

...

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

Ta định nghia định thức của A, ky hiệu |A|

hoặc det(A) hoặc

La môt số thưc đươc xác định bằng qui nap

theo 𝑛 như sau:



Nếu 𝒏 = 𝟏,

nghia là 𝑨 = (𝒂𝟏𝟏),

thì 𝒅𝒆𝒕 (𝑨) = 𝒂𝟏𝟏

Ví du:

𝑎) 𝐴 = −1 ,

𝑏) 𝐵 = (2)

75

𝑡𝑕ì det (𝐴) = −1

𝑡𝑕ì det (𝐵) = 2



Nếu 𝒏 = 𝟐,

nghia là A =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

,

thì det 𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

76

= 𝒂𝟏𝟏. 𝒂𝟐𝟐-𝒂𝟏𝟐. 𝒂𝟐𝟏



Ví du:

𝑎. 𝐴 =1 23 4

,

𝐴 =1 23 4

𝑏. 𝐵 =1 20 3

,

𝐵 =1 20 3

77

= 1.4 − 2.3 = −2

= 1.3 − 2.0 = 3



Nếu 𝒏 = 𝟑,

nghia là

78

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a



79

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

11 22 33a a a12 23 31a a a

21 32 13a a a( )

(12 21 33)a a a11 23 32a a a13 22 31a a a

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 3231 32 33

a a a a a

a a a a a

a aa a a



80

1 0 1

/ 2 1 3

1 1 2

a

0 2 1

/ 1 2

4 4

b m

m

( 2 0 2) (1 3 0) 4

22 4 20m m


Ví dụ: Tính đinh thức sau:


Khi 𝒏 ≥ 𝟑, ta ký hiệu ma trận Mij là ma trận

có đươc tư 𝐴 bằng cách xóa dòng 𝑖 và côt 𝑗 của 𝐴. Và ta đặt

Khi đó:

𝐶𝑖𝑗 đươc xác định như trên gọi là

phần bù đại số của 𝑎𝑖𝑗

81

ij ij1 deti j

C M

1 1 2 2det ... i i i i in inA a c a c a c



Ví du: Tính định thức sau:

82

1 0 1

/ 2 1 3

1 1 2

a A

0 2 1

/ det(B) 1 2

4 4

b B m

m


2 1 1 0

0 1 2 1c / C

3 1 2 3

3 1 6 1


Tính chất 1

Cho A, B là các ma trận vuông cấp n.

Ta có:

83

TÍNH CHẤT ĐỊNH THỨC


Cho A là ma trận vuông cấp n.

i. Nếu đổi chỗ 2 dòng bất kì trong ma trận A

thì định thức của nó đổi dấu.

ii. Nếu nhân vào 1 dòng môt số 𝑘 ≠ 0 thì

định thức của nó tăng lên k lần.

84

Tính chất 2



iii. Nếu công vào 1 dòng bất kì bôi của dòng khác

thì định thức của nó không thay đổi.

iv. Định thức bằng 0 nếu có 1 hàng ( côt) toàn số 0.

v. Định thức bằng 0 nếu có 2 hàng (côt) tỷ lệ với

nhau.

85

Tính chất 2



a/ 𝐴 =𝑚 21 𝑚

b/ 𝐵 =2 −3 4−3 𝑚 14 1 5

c/ 𝐶 =−1 2 32 𝑚 43 4 −5

Ví du. Tính đinh thức cac ma trận sau


3 1 1 1

1 3 1 1d / D

1 1 3 1

1 1 1 3

m 1 1 1

1 m 1 1e / E

1 1 m 1

1 1 1 m

1. Đinh nghia

Cho A là môt ma trận vuông cấp nxn, ma trận

nghịch đảo của A đươc ký hiệu là A-1 và có tính

chất sau : A.A-1= In, A-1.A = In

Khi đó A gọi là ma trận khả nghịch.

NHẬN XÉT: Ma trận nghịch đảo của ma trận

vuông A nếu có la duy nhất.

87

1.4. MA TRẬN NGHỊCH ĐAO


Vi du 1

Với 𝐴 =3 12 1

; 𝐵 =1 −1−2 3

Ta có: 𝐴 . 𝐵 =3 12 1

1 −1−2 3

=1 00 1

= 𝐼2

và 𝐵. 𝐴 =1 −1−2 3

3 12 1

=1 00 1

= 𝐼2

Vậy B là ma trận nghịch của A.

Ta nói B = A-1 (hay A = B-1 )



Vi du 2. Cho 𝐴 =3 12 1

. Tìm A-1



2. ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ MA TRẬN VUÔNG

CO MA TRẬN NGHỊCH ĐAO

Đinh ly

Cho A la ma trận vuông cấp n.

Điều kiện cần va đu đê A có ma trận nghịch đảo la

định thưc A khác 0



Ví du. Tim điều kiện m đê ma trận sau kha nghịch

a/ 𝐴 =𝑚 21 𝑚

b/ 𝐵 =2 −3 4−3 𝑚 14 1 5

c/ 𝐶 =−1 2 32 𝑚 43 4 −5



3. PHƢƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐAO

PP 1. BĂNG GAUSS-JORDAN (phép biến đổi sơ cấp)

Cho A là ma trận vuông cấp nxn.

Ta viết vào bên phải của A thêm ma trận In

kí hiệu ( A In).

Áp dụng các PBĐSC trên toàn ma trận

(A In) để biến (AIn) trở thành ( In A-1).



Ví du: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

bằng Gauss-Jordan (phép biến đổi sơ cấp)

93

nA| I

3 1 1 0 1 0 1 1

2 1 0 1 0 1 2 3

11 1

2 3

A

Ta viết:



a/ 𝐴 =3 12 1

.

b/ B=3 2 21 1 11 0 1

.

c/ C =0 2 01 1 11 0 1

.



95

Đinh lý: Ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ

khi det(A) ≠ 0

11 21 31

1

12 22 32

13 23 33

1

det( )

c c c

A c c cA

c c c

3. PHƢƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐAO:

PP 2. BĂNG PP ĐỊNH THỨC

𝑀𝑖𝑗 𝑙𝑎 𝑚𝑎 𝑡𝑟â 𝑛 𝑐𝑜

đươ 𝑐 𝑡ư 𝑚𝑎 𝑡𝑟â 𝑛 𝐴 𝑏ă 𝑛𝑔 𝑐𝑎 𝑐𝑕 𝑏𝑜

đ𝑖 𝑑𝑜 𝑛𝑔 𝑖 𝑣𝑎 𝑐ô 𝑡 𝑗

T𝐫𝐨𝐧𝐠 đ𝒐 : 𝑐𝑖𝑗 = (−1) 𝑖+𝑗det (𝑀𝑖𝑗)



Ví du. Tim ma trận nghịch đảo của ma trận sau

bằng phương pháp định thức:

𝑎/ 𝐴 =3 12 1

𝑏/ 𝐵 =1 23 4

c/ C =3 2 21 1 11 0 1

d/ D =2 −1 30 3 15 −2 4



Ví du. Tim ma trận nghịch đảo của ma trận sau

d/ D =2 −1 30 3 15 −2 4

e/ 𝐸 =2 1 10 5 −21 −3 4



3. Tính chất

a. Nếu A có ma trận nghịch đảo thi:

i. (𝐴−1)−1= 𝐴

ii. 𝐴−1 =1

|𝐴|

iii. (𝐴−1)𝑇 = (𝐴𝑇)−1

b. Nếu A va B la hai ma trận vuông cung cơ va không suy biến thi AB cung có ma trận nghịch đảo va (𝐴𝐵)−1= 𝐵−1. 𝐴−1



4. PHƢƠNG TRÌNH MA TRẬN

Xét 2 phương trinh:

𝐴𝑋 = 𝐵 (1) 𝑋𝐴 = 𝐵 (2)

Với A, B la các ma trận cho trước, X la ma trận cần tim.

Khi đo ta co:

1 ⟺ 𝐴−1. 𝐴. 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵 ⟺ 𝑋 = 𝐴−1. 𝐵

2 ⟺ 𝑋. 𝐴. 𝐴−1 = 𝐵. 𝐴−1 ⟺ 𝑋 = 𝐵. 𝐴−1



Ví du 1.

Cho ma trận 𝐴 =1 −23 4

, B =1020

Giải phương trinh ma trận sau:

𝑎/ 𝐴𝑋 = 𝐵

𝑏/ 𝑋𝐴 = 𝐵



Ví du 2. Cho ma trận

𝐴 =2 −1 30 3 15 −2 4

, 𝐶 =3 2 21 1 11 0 1

, B =1 −2 34 5 00 1 2

Giải phương trinh ma trận sau:

a/ 𝐴𝑋 = 𝐵; 𝑋𝐴 = 𝐵

b/ 𝐶𝑋 = 𝐵; 𝑋𝐶 = 𝐵

101 MATHEMATICAL ECONOMICS CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS


102

Đinh nghia: Hệ phương trình Cramer là hệ

gôm 𝑛 phương trình, 𝑛 ẩn trên 𝐾.

1 1 21 12 1 1

1 2

1 2

21 22 2 2

1 2

(**)

n

n

n

n

n

n n nn n

a a a b

a a a b

x x x

x x x

x bxa a a x



5. ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC GIẢI HỆ GRAMER

103

Đặt: 11 12 1n 1

21 22 2n 2

n1 n2 nn n

a a ... a b

a a ... a bA , B

... .... .... .... ...

a a ... a b

Với mỗi 𝑗 = 1, 𝑛 𝑡𝑎 𝑔𝑜 𝑖 𝐴𝑗 la ma trận có đươc

tư ma trận 𝐴 bằng cách thay các phần tư ở côt 𝒋 của 𝑨 bởi các phần tư của côt 𝑩


Giải hệ Cramer bằng phƣơng pháp đinh thức

104

Đinh ly : Với hê (**) ta có:

• Nếu |𝐴| ≠ 0 thi (**) có nghiệm duy nhất: 𝑥𝑗 =𝐴𝑗

|𝐴|

• Nếu |𝐴| = 0 va tôn tai 𝑗 ∈ 1,2, … , 𝑛

𝑠𝑎𝑜 𝑐𝑕𝑜 𝐴𝑗 ≠ 0 thi hê (*) vô nghiệm

• Nếu |𝐴| = 0 va 𝐴𝑗 = 0, ∀𝑗 = 1, 𝑛 thi hệ (**) vô

nghiệm hoặc vô sô nghiệm.



105

11 12 1

2

1 2

11 22 2 2

a a b

a a b

x x

x x

Đặt 11 12

21 22

a aA

a a

1 12

1

2 22

b aA

b a

11 1

2

21 2

a bA

a b

Nghiệm của hệ là: 1 2

1 2,

A Ax x

A A

1/ Hệ 2 phương trình, 2 ẩn



106

1 2 311 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

1 2 3

a a a b

a a a b

a a a b

x x x

x x x

x x x

Đặt

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

1 12 13

1 2 22 23

3 32 33

b a a

A b a a

b a a

11 1 13

2 21 2 23

31 3 33

a b a

A a b a

a b a

11 12 1

3 21 22 2

31 32 3

a a b

A a a b

a a b

2/ Hê 3 phương trình, 3 ẩn:



107

Nghiệm của hệ là: 1 2 3

1 2 3, ,

A A Ax x x

A A A



108

Ví du: Giải hệ phương trình sau:

1 2 3

1 3

1 2 3

2 3 1

/ 2 0

3 4 4 2

x x x

a x x

x x x

1 2 3

1 2

1 3

4 3 2 7

/ 0

3 2

x x x

b x x

x x



BÀI TẬP SỐ 3

109 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS




110

Câu 1

BÀI TẬP SỐ 3



Câu 2

BÀI TẬP SỐ 3


Câu 3

BÀI TẬP SỐ 3


Câu 4

Câu 5

BÀI TẬP SỐ 3

BÀI TẬP SỐ 3

Câu 6/ Giải phương trinh ma trận sau

114

1 2 1 3a / X

3 5 2 1

2 3 1 2b / X

1 1 2 0



Giả định chung: nền kinh tê của môt khu vưc

hay môt quốc gia có nhiều nganh sản xuất.

Nganh san xuất phải thoa man 2 yếu tô :

• Sản xuất ra môt sản phâmt huần nhất hay

môt sản phẩm dịch vụ theo 1 tỷ lê nhất định

gọi chung la 1 mặt hang.

• Các yếu tô đầu vao sử dụng theo môt tỷ lê

nhất định.


1.5. MÔ HÌNH INPUT – OUTPUT LEONTIEF

Tổng cầu ngành là tổng nhu cầu của môt ngành

sản xuất đươc chia thành 2 yếu tố:

Cầu trung gian là sản phẩm hàng hóa của ngành

này là yếu tố đầu vào phục vụ cho ngành sản xuất

khác.

Cầu tiêu dùng (hay còn gọi là cầu cuối) là nhu cầu

phục vụ các hô gia đinh, chính phủ hay các công ty

xuất khẩu.

CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS

116 MATHEMATICAL ECONOMICS


Giả sử, nền kinh tê của môt khu vưc hay môt quốc

gia có n nganh sản xuất đươc ký hiệu là N1, N2,…,

Nn và hàng hóa dịch vụ đươc tính bằng 1 loai đơn vị

tiền tề nào đó. Gọi:

xij là giá trị hàng hóa của ngành i phục vụ cho ngành

j làm yếu tố đầu vào (cầu trung gian).

bi là giá trị hàng hóa mà ngành i phục vụ cho nhu

cầu tiêu dùng và xuất khẩu (cầu tiêu dùng).

xi là tổng cầu ngành i



K𝑕𝑖 đó 𝑡ổ𝑛𝑔 𝑐ầ𝑢 𝑛𝑔à𝑛𝑕 𝑖 𝑙à:

118

Đặt 𝒂𝒊𝒋 =𝒙𝒊𝒋

𝒙𝒋 ∀𝒋 = 𝟏, 𝒏 là tỷ lệ chi phí ngành j

trả cho việc mua hàng hóa dịch vụ của ngành i.

Hay là để sản xuất ra 1 đơn vị tiền tệ thì ngành

j phải trả cho ngành i số tiền là 𝑎𝑖𝑗


Lưu ý:


Giá trị 𝟏 − 𝒂𝟏𝒋 + 𝒂𝟐𝒋 +⋯+ 𝒂𝒏𝒋 là tỷ lệ giá trị

gia tăng của ngành j đóng góp cho nền kinh tế.


Khi đó nhu cầu của ngành thoa mãn hệ phương

trình sau:


(*)


Đặt các ma trận sau:

121

Trong đó,

Dòng i cho biết hệ số giá trị hàng hóa ngành i bán

cho các ngành khác trong nền kinh tế.

Côt j cho biết giá trị hàng hóa mà ngành j mua tư các

ngành khác để sản xuất (kể cả của chính ngành j).

Là ma trận hê

số kỹ thuật

hay ma trận

chi phí trực

tiếp hay ma

trận hê số IO


Đặt các ma trận sau:

122

Ma trận cầu tiêu

dùng và xuất khẩu

Ma trận tổng cầu


Khi đó hệ (*) đươc viết dưới dang ma trận

như sau: 𝑋 = 𝐴𝑋 + 𝐵 ⟺ 𝐼𝑛 − 𝐴 𝑋 = 𝐵

Là hệ phương trình I/O

123

Ma trận 𝐼𝑛 − 𝐴 được gọi là ma trận Leontief

Khi giải hệ phương trình I/O giúp ta xác định

mức tổng cầu đối với hàng hóa, dịch vụ của

tưng ngành sản xuất trong nền kinh tế.

Tư đó, lập kế hoach sản xuất cho phù hơp giúp

nền kinh tế hoat đông tốt, tránh đươc lam phát

thưa hoặc thiếu.


Giaû söû moät neàn kinh teá coù 2 ngaønh sản xuất

với ma trận hệ số kỹ thuật (IO) là

- Biết cầu cuối của 2 ngành lần lươt là 15$,

19$. Hãy xác định mức tổng cầu mỗi ngành.


Ví du 1

0, 4 0,1

0, 2 0,6A


125

Giả sử nền kinh tế có 3 ngành sản xuất với ma trận hệ

số kỹ thuật (IO) là

a. Giải thích ý nghia con số 0.4

b. Cho tiết tỷ lệ gia tăng của ngành đóng góp cho ngành

kinh tế.

c. Biết cầu cuối của 3 ngành lần lươt là 10, 5, 6 (tỷ USD).

Hãy xác định mức tổng cầu mỗi ngành.


Ví du 2


Mô hình giá cân bằng thị trường là mô hình

trong đó giá điều chỉnh để cân bằng cung

(Supply) và cầu (Demand).


1.6. MÔ HÌNH GIÁ CÂN BĂNG THỊ TRƢỜNG

Giá P = P1; P2; … ; Pn với Pi là giá của sản phẩm thứ i

Cung thị trương:

• Hàm cung theo giá Qs = f(P).

• Quy luật cung: Cung thị trường tỉ lệ thuận mức giá

Cầu thị trương:

• Hàm cầu theo giá Qd = g(P).

• Quy luật cầu: Cầu thị trường tỉ lệ nghịch mức giá.


1.6. MÔ HÌNH GIÁ CÂN BĂNG THỊ TRƢỜNG

128

• Điểm cân bằng thị trương (market equilibrium

point) là điểm tai đó cung bằng cầu 𝑄𝑠 = 𝑄𝑑

• Nếu giá thị trường cao hơn giá cân bằng thi thị trường

xảy ra thặng dư sản phẩm. Ngươc lai tao khan hiếm.


Cho hàm cầu và cung của 1 hàng hóa A như sau:

𝑄𝑑 = −0.1𝑃 + 50

𝑄𝑠 = 0.2𝑃 − 10

a. Xác định điểm cân bằng (lương và giá)

b. Giả sử thu nhập người lao đông tăng làm lương cầu tăng 6 đơn vị số lương ở mọi mức giá, xác định điểm cân bằng mới. Lương và giá thay đổi như thế nào so với ban đầu?

c. Tai điểm cân bằng ở câu a, giả sử môt nhà cung cấp có hàm cung 𝑄𝑠∗ = 0.1𝑃 −6 rút khoi thị trường. Xác định điểm cân bằng mới. Lương và giá thay đổi như thế nào so với ban đầu?


Ví du 1 (mô hình cân bằng thi trƣờng 1 loai

hàng hóa)

d. Tai điểm cân bằng ở câu a, theo dư báo sản

lương cầu giảm 20%. Xác định điểm cân bằng

mới. Lương và giá thay đổi như thế nào so với

ban đầu?



hàng hóa)

Có 3 sản phẩm với hàm cung và cầu như sau:

131

Hãy tìm điểm cân bằng thị trường.



hàng hóa)


Ví du 3

Có 3 sản phẩm với hàm cung và cầu như sau:



Ví du 3


BÀI TẬP SỐ 4

134 CHAPTER 1. MATRIX AND MATRIX OPERATORS





Bài 1

136

Bài 2


Bài 3


Bài 3



Bài 3



Bài 4


Bài 5


Bài 5


Bài 5


Bài 5

Documents

TOÁN KINH T - bai-giang.webnode.vn¯ƠNG I. MA... · Ma trận và các phép toán trên ma trận. 1.2. Phép khử Gauss-Jordan và hệ phương trình tuyến tính. 1.3. Định