Задание по математике для МЦИ-26

Здравствуйте, студенты! Продолжаем повторение! Готовимся к экзамену!

Задание для повторения по теме «Математический анализ»:

1. Повторить теоретический материал по теме «Математический анализ»

(смотри ниже)

2. Разобрать примеры, если что-то непонятно, задать вопрос преподавателю

(можно по телефону 89195229602)

3. Выполнить упражнения №125 – 150 из КИМ (для подготовки к экзамену)

4. Выслать для проверки преподавателю №130,140,145,148,150(4) до 13.06

Задания выполнять строго по образцу!!!

Производная

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, 𝑥0 – точка этого промежутка

и число ∆𝑥 ≠ 0, такое, что 𝑥0 + ∆𝑥 также принадлежит данному промежутку. Тогда

предел разностного отношения 𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)

∆𝑥 при ∆𝑥 → 0 (если этот предел существует)

называется производной функции f(x) в точке 𝑥0 и обозначается 𝑓/(𝑥) (читается: “Эф

штрих от икс»).

𝑓/(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

Число ∆𝑥 ≠ 0может быть как положительным, так и отрицательным, при этом

число𝑥0 + ∆𝑥 должно принадлежать промежутку, на котором определена функция f(x).

Если функция f(x) имеет производную в точке x, то эта функция называется

дифференцируемой в этой точке. Если функция f(x) имеет производную в каждой точке

некоторого промежутка,то эта функция дифференцируема на этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Правила дифференцирования

1. Производная суммы равна сумме производных

(𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥))/

= 𝑓/(𝑥) + 𝑔/(𝑥)

2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной(𝑐𝑓(𝑥))/

= 𝑐𝑓/(𝑥)

3. Производная произведения: (𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙))/ = 𝒇/(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) + 𝒈/(𝒙) ∙ 𝒇(𝒙)

4. Производная частного:(𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙))/ =

𝒇/(𝒙)𝒈(𝒙)− 𝒇(𝒙)𝒈/(𝒙)

𝒈𝟐(𝒙)

5. Производная сложной функции: (𝒇(𝒈(𝒙)))/ = 𝒇/(𝒈(𝒙))𝒈/(𝒙)

Таблица производных

Функция 𝒇(𝒙) Производная функции 𝒇′(𝒙)

С (const) 0

x 1

kx k

√𝑥

1

2√𝑥

1

𝑥

−1

𝑥2

𝒙𝒑 𝒑𝒙𝒑−𝟏

∗ 𝒙𝟐 2x

∗ 𝒙−𝟐 −𝟐

𝒙𝟑

∗ 𝒙𝟑 𝟑𝒙𝟐

∗ 𝒙−𝟑 −𝟑

𝒙𝟒

∗ 𝒙𝟒 𝟒𝒙𝟑

∗ 𝒙−𝟒 −𝟒

𝒙𝟓

(𝑘𝑥 + 𝑏)𝑝 𝑘𝑝(𝑘𝑥 + 𝑏)𝑝−1

sin 𝑥 cos 𝑥

cos 𝑥 −sin 𝑥

tg 𝑥 1

cos2 𝑥

ctg 𝑥 −

1

sin2 𝑥

𝑒𝑥 𝑒𝑥

𝑒𝑘𝑥+𝑏 𝑘𝑒𝑘𝑥+𝑏

𝑎𝑥 𝑎𝑥 ln 𝑎

ln 𝑥 1

𝑥

𝑙𝑛(𝑘 𝑥 + 𝑏) 𝑘

𝑘𝑥 + 𝑏

log𝑎 𝑥 1

𝑥𝑙𝑛𝑎

𝑐𝑜𝑠2𝑥 −2𝑠𝑖𝑛2𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥

Примеры:

№1. Вычислите производные функций:

а) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙

𝑓/(𝑥) = (𝑥2 − 3𝑥)/ = 2𝑥 − 3 ∙ 1 = 2𝑥 − 3

б) 𝒇(𝒙) = −𝟏

𝟐𝒙 + 𝟐

𝑓/(𝑥) = (−1

2𝑥 + 2)/ = −

1

2∙ 1 + 0 = −

1

2

в) 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟒

𝟓

𝑓/(𝑥) = (𝑥−4

5)/ = −4

5∙ 𝑥−

4

5−1 = −

4

5𝑥−

9

5 = −4

5𝑥9

5

= −4

5√𝑥95 = −4

5√𝑥4𝑥55 = −4

5𝑥 √𝑥45

г) 𝒚 = √𝒙𝟓𝟔

𝑦/ = (√𝑥56)/ = ((𝑥)

5

6)/ =5

6(𝑥)

5

6−1 =

5

6𝑥−

1

6 =5

6𝑥1

6

=5

6√𝑥6

д) 𝒚 =𝟏

𝒙𝟏𝟎

𝑦/ = (1

𝑥10)/ = (𝑥−10)/ = −10𝑥−10−1 = −10𝑥−11 =

−10

𝑥11

е) 𝒇(𝒙) =𝟏

√𝒙𝟑𝟒

𝑓/(𝑥) = (1

√𝑥34 )/ = (1

𝑥3

4

)/ = (𝑥−3

4)/ = −3

4𝑥−

3

4−1 = −

3

4𝑥−

7

4 = −3

4𝑥7

4

= −3

4√𝑥74 = −3

4√𝑥4𝑥34 =

= −3

4𝑥 √𝑥34

ж) 𝒚 = (𝟏 − 𝟑𝒙)𝟒

𝑦/ = 4(1 − 3𝑥)4−1 ∙ (1 − 3𝑥)/ = 4(1 − 3𝑥)3 ∙ (0 − 3 ∙ 1) = 4(1 − 3𝑥)3 ∙ (−3) =

= −12(1 − 3𝑥)3

з) 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟕) ∙ 𝒙𝟐

𝑓/(𝑥 = (𝑥 + 7)/ ∙ 𝑥2 + (𝑥 + 7) ∙ (𝑥2)/ = (1 + 0) ∙ 𝑥2 + (𝑥 + 7) ∙ 2𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥2 + 14𝑥 =

= 3𝑥2 + 14𝑥

и) 𝒇(𝒙) =𝒙𝟓

𝟑𝒙+𝟐

𝑓/(𝑥 =(𝑥5)/ ∙ (3𝑥 + 2) − (3𝑥 + 2)/ ∙ (𝑥5)

(3𝑥 + 2)2=

5𝑥5−4 ∙ (3𝑥 + 2) − (3 ∙ 1 + 0) ∙ (𝑥5)

(3𝑥 + 2)2=

=5𝑥4(3𝑥 + 2) − 3 ∙ 𝑥5

(3𝑥 + 2)2=

15𝑥5 + 10𝑥4 − 3𝑥5

(3𝑥 + 2)2=

12𝑥5 + 10𝑥4

(3𝑥 + 2)2=

2𝑥4(6𝑥 + 5)

(3𝑥 + 2)2

к) 𝒚 = 𝐥𝐧(𝟐 − 𝟑𝒙);

𝒌 = −𝟑, то 𝒚/ =−𝟑

𝟐 − 𝟑𝒙=

−𝟑

−𝟑𝒙 + 𝟐=

𝟑

𝟑𝒙 − 𝟐

л) 𝒚 = 𝟑𝟐𝒙+𝟏;

𝑦/ = (32𝑥+1)/ = 32𝑥+1 ∙ 𝑙𝑛3 ∙ (2𝑥 + 1)/ = 32𝑥+1 ∙ 𝑙𝑛3 ∙ (2 ∙ 1 + 0) = 32𝑥+1 ∙ 𝑙𝑛3 ∙ 2

= 2 ∙ 32𝑥+1 ∙ 𝑙𝑛3

м) 𝒉(𝒙) = 𝟑𝒆𝟐𝒙 − √𝒙;

ℎ/(𝑥) = (3𝑒2𝑥 − √𝑥)/

= 3𝑒2𝑥 ∙ (2𝑥)/ −1

2√𝑥= 3𝑒2𝑥 ∙ (2 ∙ 1) −

1

2√𝑥= 6𝑒2𝑥 −

1

2√𝑥

н) 𝒉(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝒙

ℎ/(𝑥) = (𝑐𝑜𝑠𝑥 −log5 𝑥)/ = −𝑠𝑖𝑛𝑥 −1

𝑥𝑙𝑛5

Геометрический смысл производной

Х

У

00x

α

k – угловой коэффициент

прямой (касательной)

Геометрический смысл производной: если к графику функции y = f(x)

в точке с абсциссой можно провести касательную, непараллельную оси у,

то выражает угловой коэффициент касательной, т.е.

ktgxf == )( 0

Поскольку , то верно равенство tgxf = )( 0tgk =kxf = )( 0

)(xfy =

bxky +=

)( 0xf 0x

𝛼 − угол между прямой и осью Ox, 𝒌 = 𝑡𝑔𝛼 –угловой коэффициент прямой𝑦 = 𝒌𝑥 + 𝑏.

Значение производной функции f(x) в точке 𝑥0 равно угловому коэффициенту касательной

к графику функции в точке (𝑥0; f(𝑥0))

𝒇/(𝒙𝟎) = 𝒌 = 𝒕𝒈𝜶

Уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) в точке (𝑥0; f(𝑥0)) имеет вид:

𝒚 = 𝒇(𝒙𝟎) + 𝒇/(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎)

Примеры:

1.Найти угол между касательной к графику функции 𝑦 = −1

3𝑥3 − 12 в точке с

абсциссой 𝑥0 = 1 и осью 𝑂𝑥.

Решение:𝒕𝒈𝜶 = 𝒚′(𝒙𝟎)

1)𝑦′ = (−1

3𝑥3 − 12) ′ = −𝑥2

2) 𝑦′(1) = −12 = −1

3) 𝑡𝑔𝛼 = −1 => 𝜑 = −450Ответ: 𝛼 = 450

2. Написать уравнение касательной к графику функции 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 в точке с абсциссой

𝑥0 =𝝅

𝟔

Решение:𝒚 = 𝒇(𝒙𝟎) + 𝒇′(𝒙𝟎)(𝒙 − 𝒙𝟎) − уравнение касательной в общем виде

1) 𝑦 (𝜋

6) = sin (2 ∙

𝜋

6) = 𝑠𝑖𝑛

𝜋

3=

√𝟑

𝟐

2) 𝑦′ = (𝑠𝑖𝑛2𝑥)′ = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ∙ (2𝑥)′ = 2𝑐𝑜𝑠2𝒙

3) 𝑦′ (𝜋

6) = 2cos (2 ∙

𝜋

6) = 2𝑐𝑜𝑠

𝜋

3= 2 ∙

𝟏

𝟐= 𝟏

4) Подставляем полученные результаты в общий вид уравнения касательной:

𝑦 =√𝟑

𝟐+ 𝟏 (𝑥 −

𝝅

𝟔) = 𝑥 +

3√3−𝜋

6Ответ:𝑦 = 𝑥 +

3√3−𝜋

6

Интервалы монотонности, максимумы и минимумы функции

1. Достаточный признак возрастания функции:если 𝑓/(𝑥) > 0 в каждой точке интервала

(𝑎; 𝑏), то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) возрастает на этом интервале.

Достаточный признак убывания функции:если 𝑓/(𝑥) < 0 в каждой точке интервала

(𝑎; 𝑏), то функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) убывает на этом интервале.

2. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции

равна нулю или не существует, называются критическими.

3. Точка 𝑥0 из области определения функции 𝑓(𝑥) называется точкой максимума этой

функции, если существует такая окрестность точки 𝑥0, что для всех 𝑥 ≠ 𝑥0 из этой

окрестности выполняется неравенство 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0).

Точка 𝑥0 из области определения функции 𝑓(𝑥) называется точкой минимума этой

функции, если существует такая окрестность точки 𝑥0, что для всех 𝑥 ≠ 𝑥0 из этой

окрестности выполняется неравенство 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0).

4. Точки минимума и максимума называются точками экстремума данной функции, а

значение функции в этих точках – соответственно минимумом и максимумом функции

(или экстремумом функции).

5. Необходимое условие существования экстремума:

Теорема Ферма: если точка 𝑥0 является точкой экстремума функции 𝑓(𝑥)и в этой точке

существует производная 𝑓/(𝑥), то она равна нулю, т.е. 𝑓/(𝑥) = 0.

6. Достаточные условия существования экстремума:

Пусть функция 𝑓(𝑥)непрерывна и имеет производную 𝑓/(𝑥)в некоторой окрестности

точки 𝑥0, тогда:

если 𝑓/(𝑥) < 0 на интервале (𝑎; 𝑥0) и 𝑓/(𝑥) > 0 на интервале (𝑥0; 𝑏) (т.е. производная

меняет знак с минуса на плюс), то 𝑥0 − точка минимума функции 𝑓(𝑥);

если 𝑓/(𝑥) > 0 на интервале (𝑎; 𝑥0) и 𝑓/(𝑥) < 0 на интервале (𝑥0; 𝑏) (т.е. производная

меняет знак с плюса на минус), то 𝑥0 − точка максимума функции 𝑓(𝑥).

Примеры:

Найдите промежутки монотонности функции, точки экстремума и экстремумы функции

𝒚 = −𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐

Решение:

1. Найдём производную функции:

𝑦/ = (−𝑥3 + 3𝑥2)/ = −1(𝑥3)/ + 3(𝑥2)/ = −1 ∙ 3𝑥2 + 3 ∙ 2𝑥 = −3𝑥2 + 6𝑥

2. Найдём критические точки функции – производную приравняем к нулю и решим

полученное уравнение:

−3𝑥2 + 6𝑥 = 0

−3𝑥(𝑥 − 2) = 0

−3𝑥 = 0 или 𝑥 − 2 = 0

𝑥 = 0 или 𝑥 = 2

0; 2 – критические точки

3. Отметим критические точки на луче. Точки разобьют луч на 3 промежутка.

Найдём знак производной на каждом промежутке. Функция возрастает, если

производная имеет знак «+», убывает, если производная имеет знак «-».

_ + _

4. 𝑦𝑚𝑖𝑛 = −(0)3 + 3 ∙ (0)2 = 0

𝑦𝑚𝑎𝑥 = −(2)3 + 3 ∙ (2)2 = 4

Ответ:

функция возрастает при 𝑥𝜖[0; 2],

функция убывает при 𝑥𝜖(−∞; 0] ∪ [2; +∞);

𝑥𝑚𝑖𝑛 = 0, 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 2 – точки экстремума функции;

𝑦𝑚𝑖𝑛 = 0, 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 4 − экстремумы функции

Замечание:

Если функция непрерывна в каком – либо из концов промежутка возрастания

(убывания), то эту точку присоединяют и к промежутку возрастания и к

промежутку убывания функции.

Схема исследования функции

1) Найти область определения функции.

2) Проверить функцию на чётность, нечётность, периодичность:

а) чётность, нечётность:

­ в уравнение функции вместо х подставить –х

­ если функция не сменила знаки, т. е. 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥), то функция является чётной,

т. е. график функции симметричен относительно оси Оу

­ если функция сменила знаки, т. е. f(-х) =- f(x), , то функция является нечётной, т. е.

график функции симметричен относительно начала координат

­ если функция сменила знаки частично, то она является ни чётной, ни нечетной, т. е.

симметрии нет.

б) периодичность:

­ периодическими являются тригонометрические функции

𝑦/(𝑥)

x

y(x)

0 2

max min

­ если функция периодическая, то нужно найти её период

3) Найти точки пересечения с осями координат:

­ с осью х: уравнение функции приравнять к нулю и решить полученное уравнение

(если уравнение решить не удаётся, то точки пересечения с осью х искать не надо).

­ с осью у: в уравнение функции вместо х подставить ноль и вычислить.

4) Найти критические точки функции: найти производную функции, приравнять её к

нулю и решить полученное уравнение.

5) Определить какие из критических точек являются точками экстремума:

­ отметить критические точки на луче

­ найти знак производной на каждом получившемся интервале

­ определить по знакам как ведёт себя функция (+ « »; - « »)

­ по стрелкам определить точки экстремума

6) Найти значение функции в критических точках: в уравнение функции вместо «х»

подставить каждую критическую точку и вычислить.

7) Вычислить координаты дополнительных точек (левее и правее точек экстремума).

8) На координатной плоскости построить график функции.

Пример: исследовать функцию у = 6𝑥4 - 4𝑥6 и построить её график.

Построeние:

1) D(y) = (- ∞; +∞)

2) y(-x)=6(−𝑥)4 - 4(−𝑥)6 = 6𝑥4 - 4𝑥6

y(-x)=y(x) <=> функция чётная <=> график функции симметричен относительно оси у.

Функция не периодическая.

3) С осью x: 6𝑥4 - 4𝑥6= 0

2𝑥4(3 - 2𝑥2) = 0

2𝑥4 = 0 или 3 - 2𝑥2 = 0

x = 0 или - 2𝑥2 = -3

𝑥2 = 3

2

x = ±√3

2

(0;0), (√𝟑

𝟐; 0), (−√

𝟑

𝟐; 0) – координаты точек пересечения с осью х;

С осью у:

у(0)=6×0 - 4×0 = 0 (0;0) – координаты точки пересечения с осью у.

4) y/=(6х4 – 4х6) / = 6×4х3 - 4×6х5 = 24х3 – 24х5

24х3 – 24х5 = 0, разделив обе части уравнения на 24. получим

x3 – х5 = 0, вынесем общий множитель за скобки

x3(1 – х2) = 0

x3 = 0 или 1 – х2 = 0

x= √03

- х2 = - 1

x = 0 х2 = 1

x = ±√1

x = ±1

min max

- 1; 0; 1 – критические точки

5) х

6)

7) у(-1) = 6(-1)4 – 4(-1)6= 6 – 4 = 2(-1;2) – точка максимума

у(0) = 6×04 - 4×06 = 0(0;0) – точка минимума

у(1) = 2(1;2)– точка максимума

8) Дополнительные точки не нужны, так как есть точки пересечения с осью х.

9) На координатной плоскости строим график функции:

Наибольшее и наименьшее значения функции

1. Если функция непрерывна на отрезке [𝑎; 𝑏] и имеет производную в каждой его

внутренней точке, то для нахождения наибольшего и наименьшего значений этой

функции на отрезке [𝑎; 𝑏] нужно:

­ найти значение функции на концах отрезка, т.е. 𝑓(𝑎)и 𝑓(𝑏)

­ найти критические точки функции (найти производную функции, приравнять её к

нулю и решить полученное уравнение)

­ найти значения функции в критических точках, принадлежащих интервалу (a; b);

­ из найденных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее;

­ записать ответ в виде

max[𝑎;𝑏]

𝑓(𝑥) = 𝑓(… ) = ⋯ ;

min[𝑎;𝑏]

𝑓(𝑥) = 𝑓(… ) = ⋯

2. Данный метод поиска наибольших и наименьших значений функции применим к

решению разнообразных прикладных задач. При этом действуем по следующей схеме:

­ задача «переводится» на язык функций, для этого выбирают удобный параметр x,

через который интересующую нас величину выражают как функцию 𝑓(𝑥);

­ средствами анализа ищется наибольшее или наименьше значение этой функции на

некотором промежутке;

­ выясняется, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет

полученный (на языке функции) результат.

Примеры:

1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 8𝑥2 + 5 на отрезке

[−3; 2]

𝑦/(𝑥) + _ + _

1

0 -1

y(x)

min max max

Решение:

1) Находим значение функции на концах отрезка [−3; 2]

𝑓(−3) = (−3)4 − 8(−3)2 + 5 = 81 − 72 + 5 = 𝟏𝟒

𝑓(2) = 24 − 8 ∙ 22 + 5 = 16 − 32 + 5 = −𝟏𝟏

2) Находим критические точки функции:

𝑓′(𝑥) = (𝑥4 − 8𝑥2 + 5)′ = 4𝑥3 − 16𝑥

4𝑥3 − 16𝑥 = 0

4𝑥(𝑥2 − 4) = 0

4𝑥 = 0или 𝑥2 − 4 = 0

𝑥 = 0 или 𝑥 = ±2

−2; 0; 2 − критические точки

Проверим, какие из полученных критических точек принадлежат интервалу (−3; 2)

−2 ∈ (−3; 2); 0 ∈ (−3; 2); 2 ∉ (−3; 2)

3) Находим значение функции в критических точках, принадлежащих интервалу

(−3; 2)

𝑓(−2) = (−2)4 − 8 ∙ (−2)2 + 5 = 16 − 32 + 5 = −𝟏𝟏

𝑓(0) = 04 − 8 ∙ 02 + 5 = 0 − 0 + 5 = 𝟓

4) из найденных значений функции выбираем наибольшее и наименьшее и

записываем Ответ:

max[−3;2]

𝑓(𝑥) = 𝑓(−3) = 14;

min[−3;2]

𝑓(𝑥) = 𝑓(−2) = 𝑓(2) = −11

2. Из всех прямоугольников, площадь которых равна 9 см2, найти прямоугольник с

наименьшим периметром.

Решение:

Задачу переводим на язык функции:

1) пусть 𝑥 −длина прямоугольника, 𝑦 −его ширина; площадь прямоугольника

вычисляется по формуле 𝑆 = 𝑥 ∙ 𝑦, но по условию 𝑆 = 9 см2 =>𝑥 ∙ 𝑦 = 9 =>𝑥 =9

𝑦

2) так как в задаче надо найти прямоугольник с наименьшим периметром, то выразим

его 𝑃 = 2(𝑥 + 𝑦), но из первого условия 𝑥 =9

𝑦 =>

𝑃 = 2(9

𝑦+ 𝑦), то есть задача переведена на язык функции

3) определяем, на каком интервале могут быть заданы значения сторон

прямоугольника: сторона прямоугольника не может быть равна 0 и не может быть

отрицательной, значит, значения сторон будем определять на (0; +∞)

4) найдём критические точки полученной функции на (0; +∞)

𝑃′ = (2(9

𝑦+ 𝑦))

′

= (18

𝑦+ 2𝑦)

′

= −18

𝑦2+ 2

−18

𝑦2 + 2 = 0, умножим обе части уравнения на 𝑦2

−18 + 2𝑦2 = 0

2𝑦2 = 18

𝑦2 = 9 => 𝑦 = ±3

−3 ∉ (0; +∞); 3 ∈ (0; +∞);

является точкой минимума функции 𝑃 = 2(9

𝑦+ 𝑦) 5) докажем, что 𝑦 = 3

6) 𝑦 = 3, то 𝑥 =9

𝑦=

9

3= 3 => прямоугольник с наименьшим периметром – это

квадрат со стороной 3 см

Ответ: квадрат со стороной 3 см

Первообразная. Неопределённый интеграл.

Функция 𝐹(𝑥) называется первообразной для функции 𝑓(𝑥), если 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Операция нахождения первообразной называется интегрированием.

Совокупность 𝐹(𝑥) + 𝐶 всех первообразных для функции 𝑓(𝑥) называется

неопределённым интегралом от этой функции и обозначается ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.

Таким образом, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Пусть функция 𝐹(𝑥) непрерывна на данном промежутке и дифференцируема во

всех его внутренних точках. Тогда

∫ 𝑑𝐹(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 или 𝐹′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶

2. Пусть функция 𝑓(𝑥) имеет первообразную на данном промежутке. Тогда для

любой внутренней точки этого промежутка имеет место равенство:

𝑑 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3. Если функции 𝑓1(𝑥) и 𝑓2(𝑥) имеют первообразные на данном промежутке, то и

функция 𝑓1(𝑥)± 𝑓2(𝑥) имеет на нём первообразную, причём:

∫(𝑓1(𝑥) ± 𝑓2(𝑥)) = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥

4. Если 𝑘 ≠ 0 – некоторое неотрицательное число и функция 𝑓(𝑥) имеет

первообразную на данном промежутке, то функция 𝒌𝑓(𝑥) так же имеет на нём

первообразную, причём:

∫ 𝒌𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝒌 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

5. Если k, b – постоянные, k ≠ 0, то 1

𝑘𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) является первообразной функции

𝑓(𝑘𝑥 + 𝑏):

∫ 𝑓((𝒌𝑥 + 𝑏))𝑑𝑥 =1

𝒌𝐹(𝑘𝑥 + 𝑏) + 𝐶

Таблица неопределённых интегралов

Интеграл Примеры

1 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

3

𝑃/(𝑥)

P(x)

+ −

min

2

∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝐶

1. ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =𝑥3+1

3 + 1+ 𝐶 =

1

4𝑥4 + 𝐶

2. ∫ √𝑥3

𝑑𝑥 = ∫ 𝑥1

3 𝑑𝑥 =𝑥

1

3+1

1

3+ 1

+ 𝐶 =

=𝑥

4

3

4

3

+ 𝐶 =3

4𝑥

4

3 + 𝐶

3. ∫𝑑𝑥

𝑥2= ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 =

𝑥−2+1

−2 + 1+ 𝐶 =

=𝑥−1

−1+ 𝐶 = −

1

𝑥+ 𝐶

4. ∫𝑑𝑥

√𝑥= ∫ 𝑥−

1

2𝑑𝑥 =𝑥−

1

2+1

−1

2+ 1

+ 𝐶 =

=𝑥

1

2

1

2

+ 𝐶 = 2√𝑥 + 𝐶

5. ∫𝑑𝑥

√5 − 3𝑥= ∫(5 − 3𝑥)−

1

2𝑑𝑥 =

= −1

3∙

(5 − 3𝑥)−1

2+1

−1

2+ 1

+ 𝐶 =

= −1

3∙

(5 − 3𝑥)1

2

1

2

+ 𝐶 =

= −2

3√5 − 3𝑥 + 𝐶

3 ∫

𝑑𝑥

𝑥= 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶, 𝑥 ≠ 0;

∫𝑑𝑥

𝑎𝑥 ± 𝑏=

1

𝑎𝑙𝑛|𝑎𝑥 ± 𝑏| + 𝐶

∫𝑑𝑥

3 − 2𝑥= −

1

2𝑙𝑛|3 − 2𝑥| + 𝐶

4 ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =𝑎𝑥

𝑙𝑛 𝑎+ 𝐶,

𝑎 > 0; 𝑎 ≠ 1;

∫ 𝑎𝑘𝑥+𝑏 𝑑𝑥 =𝑎𝑘𝑥+𝑏

𝑘 𝑙𝑛 𝑎+ 𝐶

∫ 35−4𝑥 𝑑𝑥 = −35−4𝑥

4 𝑙𝑛 3+ 𝐶

5 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶;

∫ 𝑎𝑘𝑥+𝑏 𝑑𝑥 =1

𝑘𝑒𝑘𝑥+𝑏 + 𝐶

∫ 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 = −1

2𝑒−2𝑥 + 𝐶

6 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶;

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥𝑑𝑥 =1

𝑎𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥 + 𝐶

∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥 =1

3𝑠𝑖𝑛3𝑥 + 𝐶

7 ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶;

∫ 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑥𝑑𝑥 = −1

𝑎𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥 + 𝐶

∫ 𝑠𝑖𝑛1

2𝑥𝑑𝑥 = −2𝑐𝑜𝑠

1

2𝑥 + 𝐶

8 ∫

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥= 𝑡𝑔𝑥 + 𝐶; ∫

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠25𝑥=

1

5𝑡𝑔𝑎5𝑥 + 𝐶

∫𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑥=

1

𝑎𝑡𝑔𝑎𝑥 + 𝐶

9 ∫

𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛𝑥= 𝑙𝑛 |𝑡𝑔

𝑥

2| + 𝐶

10 ∫

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠𝑥= 𝑙𝑛 |𝑡𝑔

𝑥

2+

𝜋

4| + 𝐶

11 ∫

𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥= −𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶;

∫𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑎𝑥= −

1

𝑎𝑐𝑡𝑔𝑎𝑥 + 𝐶

∫𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2 1

3𝑥

= −3𝑐𝑡𝑔𝑎1

3𝑥 + 𝐶

12 ∫

𝑑𝑥

√1 − 𝑥2= {

𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶

; −1

< 𝑥 < 1

∫𝑑𝑥

√𝑎2 − 𝑥2= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

𝑥

𝑎+ 𝐶;

∫𝑑𝑥

√𝑎2 − 𝑏2𝑥2=

=1

𝑏∫

𝑑𝑥

√𝑎2

𝑏2 − 𝑥2

=

=1

𝑏𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

𝑏

𝑎𝑥 + 𝐶

1. ∫𝑑𝑥

√5 − 𝑥2= ∫

𝑑𝑥

√(√5)2 − 𝑥2

=

= 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥

√5+ 𝐶

2. ∫𝑑𝑥

√9 − 5𝑥2= ∫

𝑑𝑥

√32 − (√5)2𝑥2

=

=1

√5𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛

√5

3𝑥 + 𝐶

13 ∫

𝑑𝑥

1+𝑥2 = {𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶

−𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶;

∫𝑑𝑥

𝑎2+𝑥2 =1

𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥

𝑎+ 𝐶;

∫𝑑𝑥

𝑎2 + 𝑏2𝑥2=

1

𝑏2∫

𝑑𝑥

√𝑎2

𝑏2 + 𝑥2

=

=1

𝑏2∙

𝑏

𝑎𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑏𝑥

𝑎+ 𝐶 =

=1

𝑎𝑏𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑏𝑥

𝑎+ 𝐶

1. ∫𝑑𝑥

3 + 𝑥2=

1

√3𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑥

√3+ 𝐶

2. ∫𝑑𝑥

4 + 9𝑥2= ∫

𝑑𝑥

22 + 32𝑥2=

=1

6𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

3𝑥

2+ 𝐶

14 ∫

𝑑𝑥

1 − 𝑥2=

1

2𝑙𝑛 |

1 + 𝑥

1 − 𝑥| + 𝐶

∫𝑑𝑥

𝑥2 − 𝑎2=

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑥 − 𝑎

𝑥 + 𝑎| + 𝐶

∫𝑑𝑥

𝑎2 − 𝑥2=

1

2𝑎𝑙𝑛 |

𝑥 + 𝑎

𝑥 − 𝑎| + 𝐶

1. ∫𝑑𝑥

𝑥2 − 5= ∫

𝑑𝑥

𝑥2 − (√5)2=

=1

2√5𝑙𝑛 |

𝑥 − √5

𝑥 + √5| + 𝐶

2. ∫𝑑𝑥

4 − 𝑥2=

𝑑𝑥

2𝑥2=

1

4𝑙𝑛 |

𝑥 + 2

𝑥 − 2| + 𝐶;

15 ∫

𝑑𝑥

√𝑥2 ± 𝑎= 𝑙𝑛 |𝑥 + √𝑥2 ± 𝑎| + 𝐶 ∫

𝑑𝑥

√𝑥2 − 7= 𝑙𝑛 |𝑥 + √𝑥2 − 7| + 𝐶

16 ∫

𝑥𝑑𝑥

√𝑥2 + 𝑎= √𝑥2 + 𝑎 + 𝐶;

∫𝑥𝑑𝑥

√𝑥2 − 𝑎2= √𝑥2 − 𝑎2 + 𝐶

Методы вычисления неопределённых интегралов

Существуют три метода вычисления неопределённых интегралов

1. Непосредственное интегрирование

2. Интегрирование заменой переменной

3. Интегрирование по частям

Непосредственное интегрирование

Основано на прямом использовании таблицы интегралов: то есть данный интеграл

нужно преобразовать к табличному интегралу, используя любые математические

приёмы, формулы и свойства интегралов.

Примеры:

1) ∫(𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖)𝒅𝒙

Преобразуем интеграл, используя свойства 3,4 предыдущего конспекта (вы должны были

их выучить!): интеграл от нескольких слагаемых запишем как сумму интегралов от

каждого слагаемого отдельно, а затем числовые множители вынесем за знак интеграла –

каждый из полученных интегралов стал табличным

∫(4𝑥3 + 3𝑥2 − 2𝑥 − 8)𝑑𝑥 = ∫ 4𝑥3𝑑𝑥 + ∫ 3𝑥2𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥𝑑𝑥 − ∫ 8𝑑𝑥 =

= 4 ∫ 𝑥3𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑑𝑥 − 8 ∫ 𝑑𝑥 = 4𝑥4

4+ 3

𝑥3

3− 2

𝑥2

2− 8𝑥 + 𝐶 =

= 𝑥4 + +𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 𝐶

2) ∫(𝒙+𝟐)𝟑

𝒙𝒅𝒙

Возведём числитель в куб по формуле (𝒂 + 𝒃)𝟑 = 𝒂𝟑 + 𝟑𝒂𝟐𝒃 + 𝟑𝒂𝒃𝟐 + 𝒃𝟑

∫(𝑥+2)3

𝑥𝑑𝑥 = ∫

𝑥3+6𝑥2+12𝑥+8

𝑥𝑑𝑥 =

Преобразуем дробь, разделив каждое слагаемое числителя на знаменатель 𝑥, а затем

применили свойства 3,4, как и в 1 примере

= ∫(𝑥2 + 6𝑥 + 12 +8

𝑥)𝑑𝑥 =

1

3𝑥3 + 3𝑥2 + 12𝑥 + 8𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶

3) ∫𝒅𝒙

𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙

Числитель умножим на тригонометрическую единицу 𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1, затем каждое

слагаемое числителя разделим на знаменатель и применим свойство 3, получилм

табличные интегралы

∫𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥= ∫

(𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥)𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥=

= ∫𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥+ ∫

𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥= ∫

𝑑𝑥

𝑠𝑖𝑛2𝑥+ + ∫

𝑑𝑥

𝑐𝑜𝑠2𝑥= = −𝑐𝑡𝑔𝑥 + +𝑡𝑔𝑥 + 𝐶

4) ∫𝟏𝒅𝒙

𝒙𝟒+𝒙𝟐

Преобразуем числитель как 𝟏 = 𝑥2 + 1 − 𝑥2, затем по свойству 3 распишем на разность

двух интегралов, сократим и получили табличные интегралы

∫𝑑𝑥

𝑥4 + 𝑥2= ∫

(𝑥2 + 1 − 𝑥2)𝑑𝑥

𝑥2(𝑥2 + 1)= ∫

(𝑥2 + 1)𝑑𝑥

𝑥2(𝑥2 + 1)− ∫

𝑥2𝑑𝑥

𝑥2(𝑥2 + 1)=

= ∫𝑑𝑥

𝑥2− ∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 1= ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 − ∫

𝑑𝑥

𝑥2 + 1= −

1

𝑥− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥 + 𝐶

5) ∫(𝟐𝒙+𝟓)𝒅𝒙

𝒙𝟐+𝟓𝒙+𝟒

Разложим знаменатель на множители по теореме о разложении квадратного трёхчлена на

множители 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)

𝑥2 + 5𝑥 + 4 = 0

По теореме Виета (или через дискриминант!)

{𝑥1 + 𝑥2 = −5

𝑥1 ∙ 𝑥2 = 4 [

𝑥1 = −4𝑥2 = −1

𝑥2 + 5𝑥 + 4 = (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)

Числитель преобразуем как 2𝑥 + 5 = (𝑥 + 4) + (𝑥 + 1)

∫(2𝑥 + 5)𝑑𝑥

𝑥2 + 5𝑥 + 4= ∫

(𝑥 + 4) + (𝑥 + 1)

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)𝑑𝑥 = ∫

(𝑥 + 4)𝑑𝑥

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)+ ∫

(𝑥 + 1)𝑑𝑥

(𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟏)=

= ∫1𝑑𝑥

(𝒙+𝟏)+ ∫

1𝑑𝑥

(𝒙+𝟒)= 𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝑙𝑛|𝑥 + 4| + 𝐶

применили табличный интеграл №3 (смотри таблицу!)

Определённый интеграл

Для любой функции 𝑓(𝑥), непрерывной на отрезке [𝑎; 𝑏], существует

определённый интеграл ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎.

Если 𝑓(𝑥) > 0 на отрезке [𝑎; 𝑏], то определённый интеграл ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎.

Концы 𝑎, 𝑏 отрезка (промежутка интегрирования) называются пределами

интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел).

Криволинейная трапеция

Фигуру, ограниченную снизу отрезком [𝑎; 𝑏] оси Ох, сверху графиком

непрерывной функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), принимающей положительные значения, а с боков

отрезками прямых x = a и x = b называют криволинейной трапецией.

На рисунке: заштрихованная фигура – криволинейная трапеция.

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить по формуле

𝑆 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

где 𝐹(𝑥) – любая первообразная функции 𝑓(𝑥).

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к

отысканию первообразной 𝐹(𝑥) функции 𝑓(𝑥), то есть к интегрированию функции 𝑓(𝑥).

Разность 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) называют определённым интегралом от функции 𝑓(𝑥) на

отрезке [𝑎; 𝑏] и обозначают так: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 (читается: “Интеграл от a до b эф от икс дэ

икс», то есть ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

где a – нижняя граница интеграла, b – верхняя граница интеграла. Эту формулу называют

формулой Ньютона – Лейбница в честь создателей дифференциального и интегрального

исчисления.

𝑺 = ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝒃

𝒂

= 𝑭(𝒃) − 𝑭(𝒂)

Свойства определённого интеграла

1. ∫ 𝛼𝑑𝑥 = 𝛼(𝑏 − 𝑎)𝑏

𝑎, 𝛼 – любое действительное число;

2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

∫ 𝛼𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝛼 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎;

3. При замене нижнего предела на верхний и наоборот, определённый интеграл

меняет знак на противоположный, сохраняя при этом абсолютное значение, т.

е.∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏

𝑏

𝑎;

4. При равенстве верхнего и нижнего пределов определённый интеграл равен

нулю: ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎;

5. Если взять точку c, лежащую внутри отрезка[𝑎; 𝑏], то получим:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑐

𝑐

𝑎

𝑏

𝑎;

6. Интеграл от алгебраической суммы слагаемых равен алгебраической сумме

интегралов этих слагаемых, т. е.

∫ [𝑓1(𝑥)) ± 𝑓2(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑏

𝑎;

7. Если 𝑓1(𝑥) ≤ 𝑓2(𝑥), то ∫ 𝑓1(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑓2(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

Непосредственное интегрирование

С помощью формулы Ньютона – Лейбница

Определённый интеграл равен разности значений первообразных при верхнем и

нижнем пределах интегрирования ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)𝑏

𝑎

Примеры:

1. ∫𝑑𝑥

√𝑥3

8

1= ∫ 𝑥

8

1

−1

3 𝑑𝑥 =3

2𝑥

2

3| 81

=3

2(8

2

3 − 12

3) =3

2(4 − 1) =

9

2= 4,5

2. ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 =𝜋

0𝑠𝑖𝑛𝑥| 𝜋

0= 𝑠𝑖𝑛𝜋 − 𝑠𝑖𝑛0 = 0

3. ∫𝑑𝑥

𝑥2+𝑥

2

1= ∫

𝑑𝑥

𝑥(𝑥+1)

2

1= ∫

𝑑𝑥

𝑥

2

1− ∫

𝑑𝑥

𝑥+1

2

1= 𝑙𝑛|𝑥|| 2

1− 𝑙𝑛|𝑥 + 1|| 2

1= (𝑙𝑛 2 − 𝑙𝑛 1) −

−(𝑙𝑛 3 − 𝑙𝑛 2) = 2 𝑙𝑛 2 − 𝑙𝑛 3 = 𝑙𝑛4

3

Упражнения по теме «Первообразная. Интеграл»

1. Является ли функция 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 1 первообразной для функции

𝑓(𝑥) = 3(𝑥2 − 1)?

Решение:

По основному свойству первообразных 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Если это условие выполняется, то 𝐹(𝑥) будет являться первообразной для 𝑓(𝑥),

найдём 𝐹′(𝑥)

𝐹′(𝑥) = (𝑥3 − 3𝑥 + 1 )′ = 3𝑥2 − 3 = 3(𝑥2 − 1), 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) => 𝐹(𝑥) являться

первообразной для 𝑓(𝑥)

2. Для функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 +1

𝑥 найдите первообразную, график которой проходит

через точку 𝑀(1; −2)

Решение:

Преобразуем данную функцию к табличному значению интегралов 𝑓(𝑥) = 𝑥1

2 +1

𝑥

По таблице интегралов найдём

𝐹(𝑥) = ∫ (𝑥1

2 +1

𝑥) 𝑑𝑥 =

𝑥1

2+1

1

2+ 1

+ 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 =2

3∙ 𝑥

3

2 + 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶

Так как 𝑀(1; −2), то 𝑥 = 1, 𝑦 = −2

Подставим эти значения в уравнение первообразной 𝐹(𝑥) =2

3∙ (𝑥)

3

2 + +𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 и

найдём 𝐶

−2 =2

3∙ (1)

3

2 + +𝑙𝑛|1| + 𝐶, 𝑙𝑛|1| = 0

−2 =2

3+ 0 + 𝐶

𝐶 = −2 −2

3= −2

2

3 Ответ: 𝐹(𝑥) =

2

3𝑥

3

2 + +𝑙𝑛|𝑥| − 22

3

3. Найти какую-нибудь первообразную функции 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 2𝑥 − 5, значение

которой при 𝑥 = 2 отрицательно.

Решение:

По таблице интегралов найдём

𝐹(𝑥) = ∫(3𝑥3 + 2𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = 3 ∙𝑥4

4+ 2 ∙

𝑥2

2− 5𝑥 + 𝐶 =

3𝑥4

4+ 𝑥2 − 5𝑥 + 𝐶

𝐹(2) =3 ∙ (2)4

4+ 22 − 5 ∙ 2 + 𝐶 =

48

4+ 4 − 10 + 𝐶 = 6 + 𝐶

Так как значение первообразной при 𝑥 = 2 должно быть отрицательно, то найдём

𝐶, при котором это условие выполнится 6 + 𝐶 < 0, 𝐶 < −6, то есть 𝐶 ∈ (−∞; −6),

выбираем любое число из этого интервала и подставляем в уравнение

первообразной

Ответ: 𝐹(𝑥) =3𝑥4

4+ 𝑥2 − 5𝑥 − 16

4. Найти все первообразные функции (то есть вычислить неопределённые

интегралы):

1) −3

𝑥2 +4

𝑥3 2) 2𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2

Решение:

1) Запишем функцию в виде неопределённого интеграла ∫ (−3

𝑥2 +4

𝑥3) 𝑑𝑥 и преобразуем

его по свойствам интегралов и степеней

∫ (−3

𝑥2+

4

𝑥3) 𝑑𝑥 = ∫ (−

3

𝑥2) 𝑑𝑥 + ∫ (

4

𝑥3) 𝑑𝑥 = ∫(−𝟑𝑥−2)𝑑𝑥 + ∫ 𝟒𝑥−3 =

−𝟑 ∫ 𝑥−2𝑑𝑥 + 𝟒 ∫ 𝑥−3 = − 3𝑥−2+1

−2 + 1+ 4

𝑥−3+1

−3 + 1+ С = −3

𝑥−1

−1+ 4

𝑥−2

−2+ С =

3

𝑥−

2

𝑥2+ 𝐶

2) Запишем функцию в виде интеграла ∫ (2𝑐𝑜𝑠2 𝑥

2) 𝑑𝑥 и преобразуем его по формуле

понижения степени 𝑐𝑜𝑠2𝛼 =1+𝑐𝑜𝑠2𝛼

2

∫ (2𝑐𝑜𝑠2𝑥

2) 𝑑𝑥 = ∫ 2 (

1 + 𝑐𝑜𝑠2 ∙𝑥

2

2) 𝑑𝑥 =

= ∫(1 + 𝑐𝑜𝑠𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 1𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶

5. Вычислить определённые интегралы:

1) ∫ √𝑥 + 13

0𝑑𝑥 2) ∫ 3 sin(3𝑥 − 6) 𝑑𝑥

3

1

Решение:

1) Преобразуем корень √𝑥 + 1 в степень (𝑥 + 1)1

2 и применим интеграл (№2

смотри в таблице) и формулу Ньютона-Лейбница:

∫ √𝑥 + 13

0𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 1)

1

23

0𝑑𝑥 = (

(𝑥+1)12

+1

1

2+1

)|0

3

= (2(𝑥+1)

32

3)|

0

3

=2

3(3 + 1)

3

2 −2

3(0 + 1)

3

2 =

=2

3∙ (4)

3

2 −2

3∙ (1)

3

2 =2

3∙ 23 −

2

3=

16

3−

2

3= 4

2

3

2) Этот интеграл есть в таблице (№7), поэтому, применяя свойства интегралов и

формулу Ньютона-Лейбница, получим:

∫ 𝟑 𝑠𝑖𝑛(3𝑥 − 6) 𝑑𝑥 = 𝟑 ∫ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥 − 6) 𝑑𝑥 = 3 ∙ (−1

3𝑐𝑜𝑠 (3𝑥 − 6))|

1

33

1

3

1= (−𝑐𝑜𝑠 (3𝑥 − 6))|1

3 =

= − 𝑐𝑜𝑠(3 ∙ 3 − 6) + 𝑐𝑜𝑠(3 ∙ 1 − 6) = − 𝑐𝑜𝑠 3 + 𝑐𝑜𝑠(−3) = − 𝑐𝑜𝑠 3 + 𝑐𝑜𝑠 3 = 0

Вычисление площадей плоских фигур с помощью интегралов

№ п/п Рисунок Решение

1.

𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

𝑑𝑥

2.

𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)

𝑐

𝑎

𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐

3.

𝑆 = ∫(−𝑓(𝑥)

𝑏

𝑎

)𝑑𝑥

4.

𝑆 = ∫(𝑓2(𝑥)

𝑏

𝑎

) − 𝑓1(𝑥))𝑑𝑥

Примеры:

1) Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями

𝑦 = 4 − 𝑥2 и 𝑦 = 0

Решение:

1. 𝑦 = 4 − 𝑥2- квадратичная функция, 𝐷(𝑦) ∈ (−∞; +∞), график – парабола, ветви

направлены вниз, вершина в точке с координатами (0; 4);

𝑦 = 0 – прямая, задающая ось абсцисс.

2. Найдём абсциссы точек пересечения параболы с осью 𝑥:

4−𝑥2 = 0,𝑥2 = 4, 𝑥 = 2, 𝑥 = − 2.

Значит нижняя граница интеграла 𝑎 = −2, а верхняя 𝑏 = 2

3. Найдём площадь криволинейной трапеции по формуле: 𝑆 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑆 = ∫ (4 − 𝑥2)𝑑𝑥 = (4𝑥 −𝑥3

3)|

2

−22

−2= (4 ∙ 2 −

23

3) − (4 ∙ (−2) −

(−2)3

3) = 8 −

8

3+ 8 −

8

3=

16 −16

3= 16 − 5

1

3= 10

2

3 Ответ: 𝑆 = 10

2

3кв. ед.

2) Найти площадь фигуры, заключённой между линиями 𝑦 = 𝑥3, 𝑥 = −1, 𝑥 = 2 и

осью 𝑂𝑥.

Решение:

1. Построим график функции 𝑦 = 𝑥3и прямые𝑥 = −1, 𝑥 = 2 в одной системе координат.

1)𝑦 = 𝑥3, 𝐷(𝑦) ∈ (−∞; +∞)

Нули функции: 𝑥3 = 0, 𝑥 = 0

𝑥 -2 -1 0 1 2

𝑦 -8 -1 0 1 8

2) 𝑥 = −1 - прямая, параллельная оси 𝑂𝑦 и

проходящая через точку (−1; 0)

𝑥 = 2 - прямая, параллельная оси 𝑂𝑦 и проходящая

через точку (2; 0)

2. Искомая площадь состоит из двух частей:

𝑆 = ∫ −𝑥3𝑑𝑥 + ∫ 𝑥3𝑑𝑥 = −2

0

0

−1

∫ 𝑥3𝑑𝑥 + ∫ 𝑥3𝑑𝑥 = −(𝑥4

4)|

0

−1+

2

0

0

−1

(𝑥4

4)|

2

0=

= − (04

4−

(−1)4

4) + (

24

4−

04

4) =

1

4+

16

4= 4

1

4 Ответ: 𝑆 = 4

1

4 кв.ед