Классическая модель временных рядов › static › doc › 0000 › 0000 › 0200 › 2… · месячном периоде из года в год

ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ-1 (СГЛАЖИВАНИЕ) НОВИКОВА И.С.

Классическая модель временных рядов. Временным рядом называют серию числовых величин, полученных через регулярные промежутки времени. В основе прогнозирования с помощью по временных рядов лежит предположение о том, что действие факторов, влияющих на отклик изучаемой системы, распространяется из прошлого в будущее (хотя бы не сверх отдалённое). Потому основной целью анализа временных рядов будет выявление и оценка этих факторов с целью прогноза дальнейшего поведения системы. Мы будем рассматривать классическую мультипликативную модель временного ряда. Состав мультипликативной модели можно рассмотреть на примерах. Одним из них будут данные о ввп России за 1995- 2013 гг

1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 1428,5 2007,8 2342,5 2629,6 4823,2 7305,6 8943,6 10830,5 13208,2

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 17027,2 21609,8 26917,2 33247,5 41276,8 38807,2 46308,5 55644,0 61810,8 66689,1

1) данные за 1995-2001гг. не пересматривались и не соопоставимы с данными за

2002-2012 гг.


Компоненты классической модели Приведены данные об объёмах ввп представлены в графическом виде.

Для удобства и наглядности соединим последовательно точки.


Характеризуя полученные данные в целом можно сказать, что объем ввп показывает отчётливую тенденцию к росту за указанный период, и эту общая тенденция (движение на повышение или понижение) называется трендом. Тренд был заметен и по последовательности точек, но не всегда это так очевидно. Тренд, однако, не является единственной составляющей ряда. На фоне отчётливого повышения отклика можно выделить периоды ускоренного и замедленного роста, а иногда и падения наблюдаемой величины. Циклическая компонента объясняет отклонения от тренда с периодичностью от 2 до 10 лет; обычно эта компонента может изменяться по длине периода и своей интенсивности и хорошо коррелирует с циклом деловой активности. На подъёме деловой активности значения отклика оказываются выше чисто трендовых, а в периоды спада и стагнации оказываются заметно ниже ожидаемых по тренду. Сезонная компонента определяет короткопериодические колебания, связанные с изменениями внутригодовой активности, отслежены они могут быть при ежеквартальных, ежемесячных и более частых наблюдениях. В сезонной компоненте отражаются традиции (сезонные распродажи), социальных привычек («высокий» и «низкий» курортные сезоны)), религиозные факторы (увеличение или уменьшение закупок в праздничные дни, в рамадан). Нерегулярная компонента вызывает отклонения от линии отклика, определяемой предыдущими составляющими. Она может быть рассмотрена как случайная, и потому непрогнозируемая; в терминах статистики ее будем считать ошибкой наблюдения и обрабатывать аналогично случайным ошибкам измерений в статистике. Связывают ее обычно со случайными явлениями внешнего мира- ураганами, наводнениями, забастовками, влиянием политических процессов, таких как выборы или неопределенность их исхода, переворотами и мятежами.


Составляющие классической модели. В классической модели временных рядов считается, что наблюдаемое значение отклика в любой точке временного ряда является произведением трёх (или четырёх) факторов: тренда, циклической и нерегулярной компоненты, а в случае частых наблюдений может добавиться ещё и сезонная компонента. То есть любое значение ряда может быть представлено в виде

𝒀! = 𝑻! ∙ 𝑪! ∙ 𝑺! ∙ 𝑰! где 𝒀! - значение отклика, 𝑻!- значение трендовой компоненты, 𝑪!- значение циклической компоненты, 𝑺!- значение сезонной компоненты, 𝑰! - значение нерегулярной компоненты в любой точке ряда. Итак, Тренд- это общая устойчивая долговременная тенденция. Возникает вследствие изменения в технологии, численности населения, благосостоянии, системе ценностей. Длится несколько лет Циклическая компонента- это повторяющиеся подъемы и спады, проходящие 4 фазы: пик, рецессия, депрессия, подъем. Возникает по причине взаимодействия комбинаций множества факторов, влияющих на экономику. Наблюдается на периоде примерно 2-10 лет с изменяющейся интенсивностью. Сезонная составляющая- это достаточно регулярные периодические флуктуации, происходящие в каждом 12-месячном периоде из года в год. Причиной являются климатические условия, социальные или (и) религиозные традиции итд. Длительность периода- около 12 месяцев (при квартальных или месячных наблюдениях). Нерегулярная компонента- это остаточные случайные отклонения (рассматриваемые как результат ошибки) и остающиеся после учёта систематических эффектов.


Возникает из-за случайных отклонений в данных, вызванных непредвиденными событиями. По длительности эта составляющая обычно короткая и не повторяющаяся. При анализе данных методом временных рядов вначале обычно строят график зависимости отклика по времени для определения общей долговременной тенденции, повышающего или понижающего тренда.

1. Если данные сильно колеблются и общий тренд не угадывается, может потребоваться сглаживание временного ряда, после выполнения которого тренд обычно выявляется.

2. В дальнейшем для описания временного ряда используется один из методов регрессии данных ряда на временную ось

3. и полученное регрессионное описание используется в целях прогнозирования.


Сглаживание временных рядов (общие утверждения).

Одной из наиболее практически значимых задач является построение плавных (непрерывных) временных зависимостей -функций 𝑥(𝑡) , если эта функция имеет случайную составляющую. Дискретная зависимость 𝑥! 𝑡! (частный случай дискретного случайного процесса) и есть временной ряд. По сравнению с экспериментальными зависимостями 𝑦 = 𝑓(𝑥), которые мы считали результатом однофакторного (однопараметрического) эксперимента и рассмотрели выше, особенности экспериментальных временных рядов заключаются в следующем:

• На практике обычно приходится анализировать временные ряды с достаточно большим количеством измерений (не менее нескольких десятков).

• Измерения как правило производятся через равные интервалы времени (шаг 𝑡!!! − 𝑡! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. )

• Зависимость 𝑥! 𝑡! заведомо немонотонна и ограничена. Поэтому, если выбрать конечный интервал △ 𝑥, то для любого 𝑥 с увеличением длины временного ряда количество значений 𝑥!, попадающих в интервал 𝑥, 𝑥 + ∆𝑥 будет увеличиваться.

• Функцию, аппроксимирующую временной ряд по всей его длине, как правило, невозможно описать аналитически.

Рассмотрим пример. Проведём эксперимент, фиксируя значения входных 𝑥! и выходных 𝑦! параметров одновременно, в моменты времени 𝑡! , через равные промежутки 𝑡!!! − 𝑡! = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Тогда функциональная зависимость 𝑦! = 𝑓(𝑥!) , описывающая результаты эксперимента, задаётся параметрически через два временных ряда 𝑥! 𝑡! , 𝑦! 𝑡! .


Мы рассмотрим простейшие виды сглаживания: 1) метод скользящего среднего; 2) медианное сглаживание.

3) экспоненциальное сглаживание. Рассмотрим две случайные зависимости. Зависимости имеют одинаковую регулярную

составляющую 𝑥 𝑡 , а случайные составляющие зависимостей

отличаются: вторая зависимость кроме мелких случайных флуктуаций, как у первой, имеет редкие выбросы достаточно большой амплитуды.

Целью сглаживания является получение плавной

зависимости 𝑥 𝑡 . Метод скользящего среднего предполагает выбор окна

усреднения 𝜏, и для каждого 𝑡! рассчитывается значение как среднее значение функции на этом интервале (в непрерывном случае):

𝑥! 𝑡! =1𝜏∙ 𝑥 𝑡 𝑑𝑡.

!!!!/!

!!!!/!

Этот метод позволяет сгладить случайную составляющую зависимости, то есть избавиться от высокочастотных


флуктуаций. При этом фильтрация высоких частот зависит от длины интервала усреднения 𝜏.

Если применить метод скользящего среднего ко второй зависимости, имеющей значительные, но редкие выбросы, то полученная сглаженная зависимость 𝑥! 𝑡 будет заметно отличаться от 𝑥! 𝑡 . Выбросы (за счёт их высокой амплитуды), сильно влияют на среднее значение, как только попадают в интервал усреднения, то есть каждый выброс искажает 𝑥! 𝑡 на интервале длиной 𝜏.

В случае, когда выбросы имеют редкий и случайный характер, для выделения регулярной составляющей метод скользящего среднего неприемлем.

При наличии редких выбросов удобнее применять метод медианного сглаживания, в котором на «скользящем» интервале 𝜏 для получения 𝑥 𝑡 используется не среднее значение функции, а медиана. Пусть 𝜏 = 4 и на интервал 𝜏 попало четыре значения временного ряда 𝑥! 𝑡! , и одно из значений 𝑥! сильно отличается от других (точка 3). Построение медианы по 𝑥 предполагает, что медианный центр (жирная красная точка), будет находиться в области точек 1, 2 и 4, так как и выше, и ниже его должны находиться по две точки.

Таким образом, выброс в точке 3 на сглаженной зависимости будет устранён.

Необходимо иметь в виду, что зависимости 𝑥! 𝑡 и 𝑥! 𝑡 , полученные методом скользящего среднего и методом медианного сглаживания отличаются. Их отличие


возрастает при увеличении частоты возникновения аномальных выбросов. Если выбросы возникают в изучаемой временной зависимости достаточно часто, то они могут рассматриваться как неотъемлемая характеристика колебательной составляющей, и их устранение при сглаживании будет искажать адекватное описание случайного ряда.

Для оценки частоты выбросов могут использоваться разные критерии, например, средняя частота возникновения выбросов на выбранном временном интервале или отношение их общего количества к длине временного ряда.

Кроме того, неоднозначен ответ на вопрос: флуктуации какой амплитуды считать выбросами?


Сглаживание временных рядов (примеры).

Основной целью сглаживания ряда является выделение трендовой компоненты процесса. При сглаживании временного ряда в большей или меньшей степени нивелируется влияние нерегулярной составляющей отклика, так что сглаженный ряд фактически оказывается (в рамках классической модели) суперпозицией тренда и циклической (и возможно сезонной) составляющих процесса, что облегчает их дальнейшее исследование. Обычно используется метод скользящего среднего или метод экспоненциального сглаживания; оба метода субъективны в отношении выбора параметров сглаживания, но именно в корректном выборе параметров и проявляется опыт и интуиция исследователя. Мы рассмотрим оба указанных метода.

Кстати, в первом и третьем примере как раз и видно, для чего мы последовательность точек координатной плоскости, соответствующую результатам измерений, соединяем непрерывной ломаной- для наглядности и упрощения восприятия.


1. Среднемесячная температура в Москве за 2008-2013 годы: Янв Февр март апр Май июнь июль авг сент окт ноя дек 2008 -5.9 -1.52 .09 .311 .215 .6 19.3 17.6 11.1 9.0 2.4 -1.8 2009 -5.6 -5.7 -0.5 5.0 13.5 17.3 18.7 15.9 14.3 5.9 2.2 -6.5 2010 -14.4 -8.5 -1.1 8.3 16.7 18.6 25.5 21.9 11.9 4.0 2.6 -7.6 2011 -7.5 -11.1 -1.9 6.6 14.0 18.8 23.4 18.9 12.4 6.7 0.2 -0.2 2012 -6.7 -11.9 -3.2 8.2 14.7 17.1 20.8 18.0 13.1 6.8 1.6 -9.0 2013 -8.6 -3.5 -7.0 6.0 16.9 19.8 19.1 18.6 10.6 6.6 4.0 -1.8


2. объём ввп за 1995-2013 годы. 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

1428,5 2007,8 2342,5 2629,6 4823,2 7305,6 8943,6 10830,5 13208,2

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 17027,2 21609,8 26917,2 33247,5 41276,8 38807,2 46308,5 55644,0 61810,8 66689,1


3. Объём экспорта в США помесячно за 2011-2013 годы. 111426, 111025, 133171, 125355, 125364, 124362, 121649, 128016, 128492, 132273, 126770, 127950, 119142, 125001, 141446, 128921, 132435, 133794, 122874, 129939, 129531, 134931, 131301, 131924, 124494, 124004, 137175,130558, 133951, 135508, 128669, 133527, 129959, 142696, 138021,…….


Метод скользящего среднего— результаты сглаживания подвержены влиянию длины периода сглаживания. При небольших периодах не удаётся выявить трендовую компоненту сильно зашумлённого процесса, при больших же периодах происходят значительные потери данных на концах анализируемого интервала.

Скользящее среднее порядка 𝑳 - это временной ряд, состоящий из средних арифметических 𝑳 соседних значений 𝒀𝒊 , по всем возможным значениям времени. В качестве 𝑳 выбирается нечётное число, обычно 3, 5 или 7 (и эти схемы называют трёхточечной, пятиточечной и т.д. cоответственно) Для примера рассмотрим трёхточечную схему и обобщим её на другие случаи. Среднее рассчитывается по трём значениям 𝒀𝒊 , одно из которых относится к прошлому периоду, одно – к искомому и одно – к будущему. Так как для 𝒊 = 𝟏 не существует прошлого значения, то в первой точке невозможно рассчитать сглаженное значение. Для 𝒊 = 𝟐 сглаженное значение будет средним арифметическим 𝒀𝒊 при 𝑖 = 1; 2; 3 ; для i = 3 среднее арифметическое берётся для 2-го, 3-го и 4-го значений 𝒀𝒊; в последней точке исходного интервала скользящее среднее также невозможно рассчитать из-за отсутствия будущего значения по отношению к рассчитываемому. В общем случае это можно представить так:

𝑬𝒊 =𝟏𝑳∙ 𝒀𝒌

𝒊!(𝑳!𝟏)/𝟐

𝒌!𝒊!(𝑳!𝟏)/𝟐

-значение скользящего среднего в L-точечной схеме для i-го элемента ряда Как видим, для 𝑳 - точной схемы первое сглаженное значение будет приходиться на (𝑳 − 𝟏)/𝟐 + 𝟏 -й момент времени. То есть на концах исходного интервала будет теряться по (𝑳 − 𝟏)/𝟐 исходных точек (например, для 7-точечного


сглаживания будут потеряны три первых и три последних значения). Результаты сглаживания методом скользящего среднего для изменения объёма ввп.

Для построений использовалась программа «Математика» Wolfram Research (функции MovingAverage и DateListPlot). Для расчётов и построений графиков, конечно, можно использовать и Excel (нужно помнить, что в Офисе 2011 нет предустановленного пакета анализа- требуется StatPlus). Результат для трёхточечного сглаживания выглядит так:


Но возможности этих пакетов ограничены потому я и использую «Математику». Рассмотрим результат применения метода на данных о среднемесячной температуре в Москве за 2008-2013 годы. Из-за большого количества данных таблицу здесь приводить не буду (смотрите в приложениях).

7-точечная схема даёт более высокую степень сглаживания по сравнению с 5-ти (и тем более с 3-х) точечной. На практике ограничиваются по большей части именно этими схемами, поскольку более высокие порядки приводят к ещё более значительным потерям на концах интервала. Тренд на представленных данных выявляется в первом примере (ввп), зато во втором (температура) более отчётливо проявляется циклический характер.


Для данных об экспорте США результат сглаживания будет таков

В экономике отсутствие сколько-нибудь значимого тренда при выраженной циклической компоненте характерно для устоявшихся производств, не испытывающих революционных изменений в технологиях и выходящих на стабильный консервативный рынок.


Экспоненциальное сглаживание-- также даёт возможность оценить степень воздействия тренда и/или циклической компоненты на отклик системы, но в отличие от метода скользящих средних, ещё и может быть использован для краткосрочных прогнозов будущей тенденции на один период вперёд. Именно поэтому метод обладает явным преимуществом над ранее рассмотренным.

Название метода связано с тем, что при его применении получаются экспоненциально взвешенные скользящие средние по всему временному ряду; то есть сглаженное значение в любой точке ряда является некоторой функцией всех предшествующих наблюдаемых значений.

• В методе скользящих средних при расчёте не учитывается влияние наблюдений, отстоящих более чем на (𝑳 − 𝟏)/𝟐 периодов от рассматриваемого, а при экспоненциальном сглаживании учитываются все предшествующие наблюдения.

• Кроме того, экспоненциальное сглаживание не зависит от последующих значений. При этом непосредственно предыдущее значение учитывается с максимальным весом, предшествующее ему- с несколько меньшим, самое "старое" наблюдение влияет на результат с минимальным статистическим весом. Понятно, что в первой точке ряда нет сглаженного значения для предшествующей точки (нет самой такой точки), и сглаженным значением 𝑬𝟏 считается сама наблюдаемая в этой точке величина отклика 𝒀𝟏 . Для всех следующих точек действует простое правило вычислений:

𝑬𝒊 = 𝜶 ∙ 𝒀𝒊 + 𝟏 − 𝜶 ∙ 𝑬𝒊!𝟏. 𝒀𝒊 - наблюдаемое значение в данной точке ряда 𝒊, 𝑬𝒊!𝟏 - рассчитанное сглаженное значение для предшествующей точки ряда, 𝜶 − некоторый заранее заданный коэффициент сглаживания, постоянный по всему ряду, 0 < 𝜶 < 𝟏.


Имеем: 𝑬𝟏 = 𝒀𝟏. 𝑬𝟐 = 𝜶 ∙ 𝒀𝟐 + 𝟏 − 𝜶 ∙ 𝑬𝟏 = 𝜶 ∙ 𝒀𝟐 + 𝟏 − 𝜶 ∙ 𝒀𝟏 𝑬𝟑 = 𝜶 ∙ 𝒀𝟑 + 𝟏 − 𝜶 ∙ 𝑬𝟐 =

= 𝜶 ∙ 𝒀𝟑 + 𝟏 − 𝜶 ∙ 𝜶 ∙ 𝒀𝟐 + 𝟏 − 𝜶 ∙ 𝒀𝟏 == 𝜶 ∙ 𝒀𝟑 + 𝟏 − 𝜶 ∙ 𝜶 ∙ 𝒀𝟐 + 𝟏 − 𝜶 𝟐 ∙ 𝒀𝟏.

Выбор коэффициента сглаживания 𝜶 в значительной степени влияет на результаты- чем он больше (ближе к 1), тем больше вес последних значений и тем меньше вес предыдущих. К сожалению объективного критерия при его выборе не существует. При равной степени сглаживания с использованием метода экспоненциального сглаживания и метода скользящего среднего коэффициент 𝜶 связан с интервалом 𝑳 простым соотношением 𝜶 = 𝟐/(𝑳 + 𝟏) . Таким образом сглаживание по 5-точечной схеме (зелёный) эквивалентно по своему воздействию на исходные данные экспоненциальному сглаживанию с коэффициентом 𝜶 = 𝟎. 𝟑𝟑 (красный).

Хотя в принципе 𝜶 может принимать любые значения из диапазона 𝟎 < 𝜶 < 𝟏, обычно ограничиваются интервалом от 0.2 до 0.5. При высоких значениях 𝜶 в бОльшей степени учитываются мгновенные текущие наблюдения отклика и наоборот, при низких его значениях сглаженная величина определяется в большей степени прошлой тенденцией развития, нежели текущим состоянием отклика системы. Аналитики большинства фирм при обработке рядов используют эмпирически определённые значения 𝜶.


• Для динамично развивающихся фирм и рынков выше значимость последних данных (𝜶 выше).

• Для прогнозов используют более высокие величины, чем для анализа предшествующих тенденций. Тем не менее выбор коэффициента 𝜶 был и останется крайне субъективным.


Результаты применения метода экспоненциального сглаживания для данных по ввп. Тонкая линия- исходные данные, Синяя- 𝜶 = 𝟎. 𝟑, Красная- 𝜶 = 𝟎. 𝟓, Зелёная- 𝜶 = 𝟎. 𝟕.

Использована функция «ExponentialMovingAverage» программы «Математика» для расчетов и её графические возможности. В Excel+ StatPlus расчёты и графики выглядят так (при этом надо отметить- выбрать значение сглаживающего коэффициента можно через Advanced optiones, по умолчанию он равен 0.1).


Результаты применения метода экспоненциального сглаживания для данных по температуре:

Тонкая пунктирная линия- исходные данные, Синяя- 𝜶 = 𝟎. 𝟐𝟓, Красная- 𝜶 = 𝟎. 𝟓, Зелёная- 𝜶 = 𝟎. 𝟕𝟓.


Результаты применения метода экспоненциального сглаживания для данных по экспорту США

Синяя- 𝜶 = 𝟎. 𝟐, Лиловая- 𝜶 = 𝟎. 𝟓, Красная- 𝜶 = 𝟎. 𝟖.

Экспоненциальное сглаживание и прогноз. Результаты экспоненциального сглаживания могут быть использованы и для краткосрочных прогнозов на один шаг вперёд по временной шкале. Для представленных данных можно сделать прогноз объёма ввп на 2014 год. Расчёт прогноза прост– прогнозным значением на 1 период вперёд будет сглаженное значение в последней точке ряда и таким образом: 𝒀𝒊!𝟏 = 𝑬𝒊, то есть 𝒀𝟐𝟎𝟏𝟒 = 𝑬𝟐𝟎𝟏𝟑.

= Прогнозируемое значение ввп : 0.3 53480.8 0.5 60939.3 0.7 64356.1

Результаты расчётов по сглаживанию можно посмотреть в приложении.

Documents

Классическая модель временных рядов › static › doc › 0000 › 0000 › 0200 › 2… · месячном периоде из года в год