ТЕОРИЯ РЯДОВ

2. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ.

2.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

• Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(то есть ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно)

1 1

1 2 3 41

... 1 ... 1 ,

0

n n

n nn

n

u u u u u u

u n N

Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак сходимости, установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к Бернулли:

• Признак Лейбница

Если члены знакочередующегося ряда

таковы, что

и

То ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит

первого члена.

1

1 2 3 4 .. 1 ... 0n

n nu u u u u u

1 2 3 ... ...nu u u u

lim 0nn

u

10 S u

Следствие.

Остаток rn знакочередующегося ряда всегда удовлетворяет условию

1n nr u

Пример 1

11 1 1 1

.... 1 ...1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 !

n

n

Исследовать на сходимость ряд

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1 1 1

.... ...2! 3! 1 !n

Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится

11 1 1 1

.... 1 ...1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 !

n

n

1

lim 01 !n n

и

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд

1 1

1

1 1 1 1 11 ... 1 ... 1

2 3 4n n

nn n

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1 1 11 .... ...

2 3 n

Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.

Ответ: ряд сходится

1lim 0n n

и

1 1

1

1 1 1 1 11 ... 1 ... 1

2 3 4n n

nn n

Замечания:

1) Исследование знакочередующегося ряда вида

–u1+u2−u3+... (с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) и к исследованию ряда

Ряды, для которых выполняются условия признака Лейбница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница)

1

1

1n

nn

u

2) Соотношение 0<S<u1 позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой Sn.

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд (un+1−un+2+...), сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. Sn<un+1.

Поэтому ошибка, совершаемая при замене S на Sn , меньше модуля первого из отброшенных членов.

Пример 3

1

1

11

n

nn n

Вычислить приблизительную сумму ряда

Решение

Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится.

Можно записать:

Возьмем первые пять членов ряда, т.е.

5 2 3 4 5

1 2 1 1 3 1 1 11 0,7834

2 3 4 5 4 27 256 3125S

Сделали ошибку, меньшую, чем

1

1

11

n

nn n

2 3

1 11 ...

2 3S

6

1 10,00003

6 46656

Итак, 0,7834S

2.2. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

• Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда

• Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Если знакопеременный ряд

таков, что ряд, составленный из абсолютных величин его

членов

сходится, то и данный знакопеременный ряд также

сходится.

1 2 3 ... ...nu u u u

1 2 3 ... ...nu u u u

Пример 4

2 2 2 2

sin sin 2 sin 3 sin... ...,

1 2 3

nR

n

Исследовать на сходимость ряд

Решение Наряду с данным рядом рассмотрим ряды:

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1.... ... **

1 2 3 4 n

Ряд (**) сходится, т.к. является обобщенным гармоническим

рядом , где р=2>1

Члены ряда (*) не больше соответствующих членов ряда (**):

(признак сравнения).

Следовательно, ряд (*) тоже сходится. Тогда и знакопеременный

ряд сходится.

2 2 2 2

sin sin 2 sin 3 sin... ... *

1 2 3

n

n

и

sin 1n

1

1p

n n

Пример 5

2 3

2 13 5cos cos cos cos

4 4 4 4... ...3 3 3 3n

n

Исследовать на сходимость ряд

Решение Наряду с данным рядом рассмотрим ряды:

2 3

1 1 1 1.... ... **

3 3 3 3n

Ряд (**) сходится, т.к. является убывающей геометрической

прогрессией со знаменателем

Члены ряда (*) не больше соответствующих членов ряда (**):

(признак сравнения).

Следовательно, ряд (*) тоже сходится. Тогда и знакопеременный

ряд сходится.

и

2 1cos 1

4

n

13

2 3

2 13 5cos cos cos cos

4 4 4 4... ... *3 3 3 3n

n

Отметим, что признак сходимости является только достаточным признаком сходимости знакопеременного ряда, но не необходимым: существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин его членов, расходятся.

Пример 6

Исследовать на сходимость ряд

1 1

1

1 1 1 1 11 ... 1 ... 1

2 3 4n n

nn n

Решение

Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены условия признака Лейбница. Следовательно, данный ряд сходится. (см. пример 2).

Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т.е. ряд

расходится (гармонический ряд)

1 1

1

1 1 1 1 11 ... 1 ... 1

2 3 4n n

nn n

1

1 1 1 1 11 ... ...

2 3 4 nn n

• Знакопеременный ряд называется

абсолютно сходящимся, если сходится ряд

1n

n

u

1n

n

u

• Знакопеременный ряд называется

условно сходящимся, если он сходится, а ряд

расходится.

1n

n

u

1n

n

u

Пример 6 (продолжение)

Знакопеременный ряд

1 1

1

1 1 1 1 11 ... 1 ... 1

2 3 4n n

nn n

является условно сходящимся, т.к. ряд, составленный из абсолютных величин его членов

есть гармонический ряд, который расходится.

1

1 1 1 1 11 ... ...

2 3 4 nn n

Пример 7

1

1

1

1 1 1 1 11 .... 1 ...

! 2! 3! 4! !

nn

n n n

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1 1 11 .... ...

2! 3! !n

Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.

1lim 0

!n n

и

1

1

1

1 1 1 1 11 .... 1 ...

! 2! 3! 4! !

nn

n n n

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

1 1 1 11 .... ...

2! 3! 4! !n

По признаку Даламбера данный ряд сходится, т.к:

1

1 1

! 1 !n nu un n

1 1 ! ! 1

1 ! 1 ! 1 1n

n

u n n

u n n n n

1 1lim lim 0 1

1n

n nn

u

u n

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занимают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных сумм (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность).

То есть абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычитаются, перемножаются как обычные ряды.

Суммы таких рядов не зависят от порядка записи (перестановки) его членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения, вообще говоря, не имеют места.

Сумма условно сходящегося ряда может меняться! при перестановке его членов.

Рассмотрим ряд, который сходится условно (см.пример 6)

1 1

1

1 1 1 1 11 ... 1 ... 1

2 3 4n n

nn n

Пусть его сумма равна S, т.е.

11 1 1 11 ... 1 ...

2 3 4n

Sn

Перепишем члены этого ряда так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных:

1 1 1 1 1 1 11 ...

2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 11 ...

2 4 3 6 8 5 10 12

1 1 1 1 1 1...

2 4 6 8 10 12

1 1 1 1 1 1 1 11 ...

2 2 2 3 4 2 5 6

1 1 1 1 1 1 1 11 ...

2 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 11 ...

2 2 3 4 5 6 7 8 2S

S

Сумма ряда уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расходящийся ряд.

Поэтому, действия над рядами нельзя производить, не убедившись в их абсолютной сходимости!

Пример 8

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

111 1 1

1 .... ...2 3 4

n

n

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1 1 11 .... ...

2 3 n

Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.

1lim 0n n

и

111 1 1

1 .... ...2 3 4

n

n

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

1 1 1 11 .... ...

2 3 4 n

Ответ: ряд сходится условно.

Сравним его с гармоническим рядом, который расходится:

1 1 1 11 .... ...

2 3 4 n

Каждый член первого ряда, начиная со второго, больше

соответствующего члена второго ряда:

1 1 1 1 1 1....

2 32 3 nn

А ряд второй расходится, следовательно расходится и

первый.

Пример 9

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

54

1

1n

n n

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

5 5 54 4 4

1 1 11 .... ...

2 3 n

Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.

54

1lim 0n n

и

5 5 5 554 4 4 4 41 1

1 1 1 1 11 ...

2 3 4

n n

n nn n

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

5 5 5 54 4 4 4

1 1 1 11 .... ...

2 3 4 n

Ответ: ряд сходится абсолютно.

Это обобщенный гармонический ряд, где р=5/4>1. Такой

ряд сходится. (см. лекцию 2, слайд 35-36)

Пример 10

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

2

1 ln ln 2 ln 3 ln 4...

2 3 4

n

n

n

n

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

ln 2 ln 3 ln 4 ln.... ...

2 3 4

n

n

Условия выполнены, следовательно данный ряд сходится.

lnln 1lim lim lim 0n n n

nn

n n n

и

2

1 ln ln 2 ln 3 ln 4...

2 3 4

n

n

n

n

Рассмотрим ряд, составленный из модулей его членов:

ln 2 ln 3 ln 4 ln.... ...

2 3 4

n

n

Проверим сходимость по интегральному признаку:

ln( ) , 2

xf x x

x

Эта функция непрерывная, монотонно убывает и

Следовательно, условия интегрального признака

выполнены. Имеем:

ln( )

nf n

n

2 2

ln 2 ln2 2

ln 2ln 2

ln

ln lnlim

ln 2 ln

1lim lim lim ln ln 2

2 2

1

2

M

M

M M

M M M

x t

x x dxdx dx dt

x x xM

tt dt M

Ответ: ряд сходится условно

Несобственный интеграл расходится, а значит и ряд,

составленный из модулей тоже расходится.

Пример 11

Вычислить сумму ряда

1

2 2 2 2 31

1 1 1 1 1...

2 1 2 2 2 3 2

n

nn n

с точностью до δ=0,001

Решение

Проверим выполнение условий признака Лейбница:

Условия выполнены, следовательно данный

знакочередующийся ряд сходится.

2

1lim 0

2nn n

и

1

2 2 2 2 31

1 1 1 1 1...

2 1 2 2 2 3 2

n

nn n

2 2 2 3

1 1 1...

1 2 2 2 3 2

Таким образом, величина отброшенного при вычислении остатка ряда, который также является знакочередующимся рядом, не превосходит первого отброшенного члена (на основании следствия из признака Лейбница)

Нужное число n членов найдем путем подбора из неравенства

2

10,001

2nn

2 2

2 3

2 4

2 5

2 6

1 11 0,5 0,001

1 2 21 1

2 0,0625 0,0012 2 16

1 13 0,0139 0,001

3 2 721 1

4 0,0039 0,0014 2 256

1 15 0,00125 0,001

5 2 8001 1

6 0,00043 0,0016 2 2304

n

n

n

n

n

n

При n=6 неравенство

выполняется, значит, если отбросить в данном ряде все члены, начиная с шестого, то требуемая точность будет обеспечена.

Следовательно, сумма ряда:

2

10,001

2nn

5

1 1 1 1 10,449

2 16 72 256 800S S

Ответ: S=0,449