-
ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
Т. И. ТРОФИМОВА
КУРСФИЗИКИ
11-е издание, стереотипное
-
УДК 53(075.8)ББК 22.3я73
Т761
Рецензент —профессор кафедры физики им. А. М. Фабриканта
Московского энергетического института (технического
университета) В.A. Касьянов
Трофимова Т. И.Т761 Курс физики: учеб. пособие для вузов /
Таисия Ивановна Трофимо-
ва. — 11-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия»,
2006. — 560 с.ISBN 5-7695-2629-7Учебное пособие (9-е издание,
переработанное и дополненное, — 2004 г.) состоит из семи
частей, в которых изложены физические основы механики,
молекулярной физики и тер-модинамики, электричества и магнетизма,
оптики, квантовой физики атомов, молекул итвердых тел, физики
атомного ядра и элементарных частиц. Рационально решен вопрос
обобъединении механических и электромагнитных колебаний.
Установлена логическая пре-емственность и связь между классической
и современной физикой. Приведены контрольныевопросы и задачи для
самостоятельного решения.
Для студентов инженерно-технических специальностей высших
учебных заведений.
УДК 53(075.8)ББК 22.3я73
Оригинал-макет данного издания является
собственностьюИздательского центра «Академия», и его
воспроизведение любым способом
без согласия правообладателя запрещается
© Трофимова Т. И., 2004© Образовательно-издательский центр
«Академия», 2004
ISBN 5-7695-2629-7 © Оформление. Издательский центр «Академия»,
2004
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебное пособие написано в соот-ветствии с действующей
программойкурса физики для инженерно-техничес-ких специальностей
высших учебныхзаведений. Небольшой объем учебногопособия достигнут
с помощью тщатель-ного отбора и лаконичного изложенияматериала.
Книга состоит из семи частей. В пер-вой части дано
систематическое изложе-ние физических основ классической ме-ханики,
а также рассмотрены элементыспециальной (частной) теории
относи-тельности. Вторая часть посвящена ос-новам молекулярной
физики и термо-динамики. В третьей части представле-ны
электростатика, постоянный элект-рический ток и электромагнетизм. В
чет-вертой части, посвященной теории ко-лебаний и волн,
механические и элек-тромагнитные колебания рассмотреныпараллельно,
указаны их сходства иразличия и сопоставлены физическиепроцессы,
происходящие при соответ-ствующих колебаниях. В пятой частиизложены
элементы геометрической иэлектронной оптики, волновая оптикаи
квантовая природа излучения. Шес-
тая часть посвящена элементам кванто-вой физики атомов, молекул
и твердыхтел. В седьмой части рассмотрены эле-менты физики атомного
ядра и элемен-тарных частиц.
Изложение материала ведется безгромоздких математических
выкладок,особое внимание обращено на физиче-скую суть явлений и
описывающих ихпонятий и законов, а также на преем-ственность
современной и классичес-кой физики. Все биографические дан-ные
приведены по книге Ю. А. Храмо-ва «Физики» (М.: Наука, 1983).
Автор выражает глубокую благо-дарность коллегам и читателям,
чьидоброжелательные замечания и поже-лания способствовали
улучшениюкниги, и особую признательность про-фессору В. А.
Касьянову за рецензиро-вание пособия и сделанные им замеча-ния.
Ознакомиться с работами автора мож-но в Интернете на сайте
www.yandex.ru«Физика. Трофимова Т. И.». Замеча-ния и предложения
просьба направ-лять автору по электронной
почте[email protected].
-
ВВЕДЕНИЕ
ПРЕДМЕТ ФИЗИКИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ
Окружающий нас мир, все сущест-вующее вокруг нас и
обнаруживаемоенами посредством ощущений представ-ляют собой
материю.
Неотъемлемым свойством материи иформой ее существования является
дви-жение. Движение в широком смыслеслова — это всевозможные
измененияматерии — от простого перемещения досложнейших процессов
мышления.
Разнообразные формы движенияматерии изучаются различными
наука-ми, в том числе и физикой. Предметфизики, как, впрочем, и
любой науки,может быть раскрыт только по мере егодетального
изложения. Дать строгоеопределение предмета физики доволь-но
сложно, потому что границы междуфизикой и рядом смежных
дисциплинусловны. На данной стадии развитиянельзя сохранить
определение физикитолько как науки о природе.
Академик А. Ф.Иоффе (1880-1960;российский физик) определил
физикукак науку, изучающую общие свойстваи законы движения вещества
и поля.В настоящее время общепризнано, чтовсе взаимодействия
осуществляются по-средством полей, например гравитацион-ных,
электромагнитных, полей ядерныхсил. Поле наряду с веществом
являетсяодной из форм существования материи.Неразрывная связь поля
и вещества, атакже различие в их свойствах будут рас-смотрены по
мере изучения курса.
Физика — наука о наиболее простыхи вместе с тем наиболее общих
формах
движения материи и их взаимных пре-вращениях. Изучаемые физикой
формыдвижения материи (механическая, теп-ловая и др.) присутствуют
во всех выс-ших и более сложных формах движенияматерии (химических,
биологических идр.). Поэтому они, будучи наиболее про-стыми,
являются в то же время наибо-лее общими формами движения мате-рии.
Высшие и более сложные формыдвижения материи — предмет
изучениядругих наук (химии, биологии и др.).
Теснейшая связь физики с многимиотраслями естествознания, как
отмечалакадемик С.И.Вавилов (1891 — 1955;российский физик и
общественный де-ятель), привела к тому, что физика глу-бочайшими
корнями вросла в астроно-мию, геологию, химию, биологию и дру-гие
естественные науки. В результатеобразовался ряд новых смежных
дис-циплин, таких, как астрофизика, био-физика и др.
Физика тесно связана и с техникой,причем эта связь имеет
двустороннийхарактер. Физика выросла из потребно-стей техники
(развитие механики удревних греков, например, было вызва-но
запросами строительной и военнойтехники того времени), и техника,
всвою очередь, определяет направлениефизических исследований
(например, всвое время задача создания наиболееэкономичных тепловых
двигателей выз-вала интенсивное развитие термодина-мики). С другой
стороны, от развитияфизики зависит технический уровень
-
производства. Физика — база для созда-ния новых отраслей техники
(электрон-ная техника, ядерная техника и др.).
Бурный темп развития физики, рас-тущие связи ее с техникой
указывают
на значительную роль курса физики вовтузе — это фундаментальная
база длятеоретической подготовки инженера,без которой его успешная
деятельностьневозможна.
ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Основным методом исследования вфизике является опыт —
основанноена практике чувственно-эмпирическоепознание объективной
действительно-сти, т. е. наблюдение исследуемых явле-ний в точно
учитываемых условиях,позволяющих следить за ходом явле-ний и
многократно воспроизводить егопри повторении этих условий.
Для объяснения эксперименталь-ных данных выдвигаются гипотезы.
Ги-потеза — это научное предположение,позволяющее уяснить сущность
проис-ходящих явлений и требующее провер-ки на опыте и
теоретического обосно-вания для того, чтобы стать достовер-ной
научной теорией.
В результате обобщения экспери-ментальных данных, а также
накоплен-ного опыта людей устанавливаютсяфизические законы —
устойчивые по-вторяющиеся объективные закономер-ности, существующие
в природе. Наи-более важные законы устанавливаютсвязь между
физическими величинами.Измерение физической величины естьдействие,
выполняемое с помощьюсредств измерений для нахождения зна-чения
физической величины в приня-тых единицах.
Единицы физических величин мож-но выбрать произвольно, но тогда
воз-никнут трудности при их сравнении.Поэтому целесообразно ввести
системуединиц, охватывающую единицы всехфизических величин.
Для построения системы единицпроизвольно выбирают единицы
длянескольких не зависящих друг от другафизических величин. Эти
единицы на-зываются основными. Остальные жеединицы, называемые
производными,выводятся из физических законов, свя-зывающих их с
основными единицами.
В научной, а также в учебной лите-ратуре обязательна к
применению Си-стема интернациональная (СИ), кото-рая строится на
семи основных едини-цах — метр, килограмм, секунда, ампер,кельвин,
моль, кандела — и двух допол-нительных — радиан и стерадиан.
Метр (м) — длина пути, проходимо-го светом в вакууме за 1/299
792 458 с.
Килограмм (кг) — масса, равнаямассе международного прототипа
кило-грамма (платиноиридиевого цилиндра,хранящегося в Международном
бюромер и весов в Севре, близ Парижа).
Секунда (с) — время, равное9 192 631 770 периодам излучения,
со-ответствующего переходу между двумясверхтонкими уровнями
основного со-стояния атома цезия-133.
Ампер (А) — сила неизменяющего-ся тока, который при прохождении
подвум параллельным прямолинейнымпроводникам бесконечной длины
иничтожно малого поперечного сечения,расположенным в вакууме на
расстоя-нии 1 м один от другого, создает меж-ду этими проводниками
силу, равную2 • 10-7 Н на каждый метр длины.
-
Кельвин (К) — 1/273,16 часть тер-модинамической температуры
тройнойточки воды.
Моль (моль) — количество веще-ства системы, содержащей столько
жеструктурных элементов, сколько ато-мов содержится в нуклиде 12С
массой0,012 кг.
Кандела (кд) — сила света в задан-ном направлении источника,
испуска-ющего монохроматическое излучение
частотой 540 • 1012 Гц, энергетическаясила света которого в этом
направлениисоставляет 1/683 Вт/ср.
Радиан (рад) — угол между двумярадиусами окружности, длина
дугимежду которыми равна радиусу.
Стерадиан (ср) — телесный угол свершиной в центре сферы,
вырезающийна поверхности сферы площадь, равнуюплощади квадрата со
стороной, равнойрадиусу сферы.
-
ЧАСТЬ 1
ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ
§ 1. Модели в механике.Система отсчета. Траектория,
длина пути, вектор перемещения
Механика — часть физики, котораяизучает закономерности
механическо-го движения и причины, вызывающиеили изменяющие это
движение. Меха-ническое движение — это изменение стечением времени
взаимного располо-жения тел или их частей.
Развитие механики как науки начи-нается с III в. до н.э., когда
древнегре-ческий ученый Архимед (287 — 212 дон.э.) сформулировал
закон равновесиярычага и законы равновесия плавающихтел. Основные
законы механики уста-новлены итальянским физиком и астро-номом Г.
Галилеем (1564 —1642) и окон-чательно сформулированы
английскимученым И. Ньютоном (1643 — 1727).
Механика Галилея — Ньютона назы-вается классической механикой. В
нейизучаются законы движения макроско-пических тел, скорости
которых малы посравнению со скоростью света с в ваку-уме. Законы
движения макроскопическихтел со скоростями, сравнимыми со
ско-ростью с, изучаются релятивистскоймеханикой, основанной на
специальнойтеории относительности, сформули-
рованной А.Эйнштейном (1879—1955).Для описания движения
микроскопиче-ских тел (отдельные атомы и элементар-ные частицы)
законы классической ме-ханики неприменимы — они заменяют-ся
законами квантовой механики.
Уравнения релятивистской механи-ки в пределе (для скоростей,
малых посравнению со скоростью света) перехо-дят в уравнения
классической механи-ки, уравнения квантовой механики впределе (для
масс, больших по сравне-нию с массами атомов) также перехо-дят в
уравнения классической механи-ки. Это указывает на
ограниченностьприменимости классической механи-ки — механики тел
больших масс (посравнению с массой атомов), движу-щихся с малыми
скоростями (по срав-нению со скоростью света).
Механика делится на три раздела:1) кинематику; 2) динамику; 3)
статику.
Кинематика изучает движение тел,не рассматривая причины, которые
этодвижение обусловливают.
Динамика изучает законы движе-ния тел и причины, которые
вызываютили изменяют это движение.
Статика изучает законы равнове-сия системы тел. Если известны
зако-ны движения тел, то из них можно ус-
-
тановить и законы равновесия. Поэто-му законы статики отдельно
от законовдинамики физика не рассматривает.
В механике для описания движениятел в зависимости от условий
конкрет-ных задач используются разные физи-ческие модели.
Простейшей модельюявляется материальная точка — тело,обладающее
массой, размерами которо-го в данной задаче можно
пренебречь.Материальная точка — понятие абст-рактное, но его
введение облегчает ре-шение практических задач. Например,изучая
движение планет но орбитамвокруг Солнца, можно принять их
заматериальные точки.
Произвольное макроскопическоетело или систему тел можно
мысленноразбить на малые взаимодействующиемежду собой части, каждая
из которыхрассматривается как материальная точ-ка. Тогда изучение
движения произ-вольной системы тел сводится к изуче-нию системы
материальных точек.
Под воздействием тел друг на другатела могут деформироваться, т.
е. изме-нять свою форму и размеры. Поэтому вмеханике вводится еще
одна модель —абсолютно твердое тело. Абсолютнотвердым называют
тело, которое нипри каких условиях не может деформи-роваться и при
всех условиях расстоя-ние между двумя точками (или точнеемежду
двумя частицами) этого тела ос-тается постоянным.
Любое движение твердого тела мож-но представить как комбинацию
посту-пательного и вращательного движений.Поступательное движение —
это дви-жение, при котором любая прямая, же-стко связанная с
движущимся телом,остается параллельной своему первона-чальному
положению. Вращательноедвижение — это движение, при кото-ром все
точки тела движутся по окруж-ностям, центры которых лежат на
од-
ной и той же прямой, называемой осьювращения.
Движение тел происходит в про-странстве и во времени. Поэтому
дляописания движения материальной точ-ки надо знать, в каких местах
простран-ства и в какие моменты времени этаточка находилась в том
или ином поло-жении.
Положение материальной точки оп-ределяется по отношению к
какому-либо другому, произвольно выбранно-му телу, называемому
телом отсчета.С ним связывается система отсче-та — совокупность
системы координати часов. В декартовой системе коорди-нат,
используемой наиболее часто, по-ложение точки А в данный момент
вре-мени по отношению к этой системе ха-рактеризуется тремя
координатами х, уи z или радиусом-вектором г, проведен-ным из
начала системы координат вданную точку (рис. 1).
При движении материальной точкиее координаты с течением времени
из-меняются. В общем случае ее движениеопределяется скалярными
уравнениями
x=x(t), y=y(t),z=z{t), (1.1)
эквивалентными векторному уравнению
r = r(t). (1.2)
Уравнения (1.1) и (1.2) называютсякинематическими уравнениями
дви-жения материальной точки.
Рис. 1 Рис. 2
8
-
Число независимых величин, полно-стью определяющих положение
точкив пространстве, называется числомстепеней свободы. Если
материальнаяточка свободно движется в простран-стве, то, как уже
было сказано, она об-ладает тремя степенями свободы (коор-динаты х,
у и z); если она движется понекоторой поверхности, то двумя
сте-пенями свободы, если вдоль некоторойлинии, то одной степенью
свободы.
Исключая t в уравнениях (1.1) и(1.2), получим уравнение
траекториидвижения материальной точки. Траек-тория — линия,
описываемая в про-странстве движущейся точкой. В зави-симости от
формы траектории движе-ние может быть прямолинейным
иликриволинейным.
Рассмотрим движение материальнойточки вдоль произвольной
траектории(рис. 2). Отсчет времени начнем с мо-мента, когда точка
находилась в положе-нии А. Длина участка траектории Л В,пройденного
материальной точкой смомента начала отсчета времени, назы-вается
длиной пути A S H является ска-лярной функцией времени: As =
As(t).Вектор Лг = г2 — гь проведенный из на-чального положения
движущейся точкив положение ее в данный момент време-ни (приращение
радиуса-вектора точкиза рассматриваемый промежуток време-ни),
называется перемещением.
При прямолинейном движении век-тор перемещения совпадает с
соответ-ствующим участком траектории и мо-дуль перемещения \Аг\
равен пройден-ному пути As.
§ 2. Скорость
Для характеристики движения мате-риальной точки вводится
векторнаявеличина — скорость, которой опреде-
Рис.З
ляется как быстрота движения, так иего направление в данный
момент вре-мени.
Пусть материальная точка движет-ся по какой-либо криволинейной
тра-ектории так, что в момент времени t ейсоответствует
радиус-вектор тх (рис. 3).В течение малого промежутка времениAt
точка пройдет путь As и получитэлементарное (бесконечно малое)
пере-мещение А г.
Вектором средней скорости (v)называется отношение приращения А
градиуса-вектора точки к промежуткувремени At:
(2.1)
Направление вектора средней скоро-сти совпадает с направлением А
г. Принеограниченном уменьшении At сред-няя скорость стремится к
предельномузначению, которое называется мгно-венной скоростью
v:
Мгновенная скорость v, таким обра-зом, есть векторная величина,
опреде-ляемая первой производной радиуса-вектора движущейся точки
по времени.Так как секущая в пределе совпадает скасательной, то
вектор скорости v на-правлен по касательной к траектории всторону
движения (см. рис. 3). По мереуменьшения A t длина пути As все
боль-ше будет приближаться к |Аг|, поэтомумодуль мгновенной
скорости
-
Таким образом, модуль мгновеннойскорости равен первой
производнойпути по времени:
v =dsdt
(2.2)
При неравномерном движении мо-дуль мгновенной скорости с
течениемвремени изменяется. В данном случаепользуются скалярной
величиной (v) —средней скоростью неравномерногодвижения:
\v) - -7— •At
Из рис. 3 вытекает, что (v) > \Av\, таккак As > \Ar\, и
только в случае прямо-линейного движения
As = \Ar\.
Если выражение ds = vdt [см. фор-мулу (2.2)] проинтегрировать по
време-ни в пределах от t до t + At, то найдемдлину пути,
пройденного точкой за вре-мя At:
(2.3)
В случае равномерного движениячисловое значение мгновенной
скоро-сти постоянно; тогда выражение (2.3)примет вид
Длина пути, пройденного точкой запромежуток времени от t1 до t2,
опре-деляется интегралом
§ 3.Ускорениеи его составляющие
В случае неравномерного движенияважно знать, как быстро
изменяетсяскорость с течением времени. Физиче-ской величиной,
характеризующей бы-строту изменения скорости по модулюи
направлению, является ускорение.
Рассмотрим плоское движение, т. е.движение, при котором все
участки тра-ектории точки лежат в одной плоско-сти. Пусть вектор v
задает скорость точ-ки А в момент времени t. За время Atдвижущаяся
точка перешла в положе-ние В и приобрела скорость, отличнуюот v как
по модулю, так и направлениюи равную vl = v + Av. Перенесем век-тор
vl в точку А и найдем Av (рис. 4).
Средним ускорением неравномер-ного движения в интервале от t доt
+ A t называется векторная величина,равная отношению изменения
скорос-ти Av к интервалу времени At:
/-л д ^(а) = At
Мгновенным ускорением а (уско-рением) материальной точки в
моментвремени t будет предел среднего ускоре-ния:
Рис А
10
-
Таким образом, ускорение а естьвекторная величина,
определяемаяпервой производной скорости по вре-мени.
Разложим вектор А Г; на две составля-ющие. Для этого из точки А
(см. рис. 4)по направлению скорости v отложимвектор AD, по модулю
равный vx. Оче-видно, что вектор CD, равный ДГ>Т, оп-ределяет
изменение скорости за времяAt по модулю: AvT = vx — v. Вторая
жесоставляющая Avn вектора А Г; характе-ризует изменение скорости
за время Atпо направлению.
Тангенциальная составляющаяускорения
т.е. равна первой производной по вре-мени от модуля скорости:
она опреде-ляет быстроту изменения скорости помодулю.
Найдем вторую составляющую уско-рения. Допустим, что точка В
достаточ-но близка к точке А, поэтому As можносчитать дугой
окружности некоторогорадиуса г, мало отличающейся от хор-ды А В.
Тогда из подобия треугольни-ков АО В и EAD с л е д у е т н отак как
А В — t>At, то
В пределе при At —> 0 получим vx —> v.Поскольку Г;1 —>
?, угол £Л1) стре-
мится к нулю, а так как треугольникEAD равнобедренный, то угол
ADEмежду v и ДГ>И стремится к прямому.Следовательно, при At —* 0
векторы Д йпи v оказываются взаимно перпендику-лярными. Так как
вектор скорости на-правлен по касательной к траектории,то вектор
Avn, перпендикулярный век-тору скорости, направлен к центру
еекривизны. Составляющая ускорения
называется нормальной составляю-щей ускорения и направлена по
глав-ной нормали к траектории к центру еекривизны.
Полное ускорение тела есть геомет-рическая сумма тангенциальной
и нор-мальной составляющих (рис. 5):
Итак, тангенциальная составляю-щая ускорения характеризует
быстро-ту изменения модуля скорости (направ-лена по касательной к
траектории), анормальная составляющая ускорения —быстроту изменения
направления ско-рости (направлена по главной норма-ли к центру
кривизны траектории).Составляющие аТ и ап перпендикуляр-ны друг
другу.
В зависимости от тангенциальной инормальной составляющих
ускорениядвижение можно классифицироватьследующим образом:
1) ат = 0, ап = О — прямолинейноеравномерное движение;
2) ат = а — const, ап = 0 — прямоли-нейное равнопеременное
движение.При таком виде движения
Если начальный момент времениt1 = 0, а начальная скорость vl =
vQi то,
Рис.5
11
-
получим
Проинтегрировав эту формулу впределах от нуля до произвольного
мо-мента времени t, найдем, что длинапути, пройденного точкой, в
случае рав-нопеременного движения
3) ат = f(t), ап = 0 — прямолинейноедвижение с переменным
ускорением;
4) ат — 0, ап = const. При ат = 0 ско-рость изменяется только по
направле-нию. Из формулы следует, чторадиус кривизны должен'быть
постоян-ным. Следовательно, движение по ок-ружности является
равномерным;
5) ат = 0, ап ^ 0 — равномерное кри-волинейное движение;
6) ar = const, ап ^ 0 — криволиней-ное равнопеременное
движение;
7) ат = f(t), ап ^ 0 — криволинейноедвижение с переменным
ускорением.
§ 4. Угловая скоростьи угловое ускорение
Рассмотрим твердое тело, котороевращается вокруг неподвижной
оси.Тогда отдельные точки этого тела бу-дут описывать окружности
разных ра-диусов, центры которых лежат на осивращения. Пусть
некоторая точка дви-жется по окружности радиуса R (рис.6). Ее
положение через промежутоквремени At задается углом Atp.
Элементарные (бесконечно малые)повороты можно рассматривать
каквекторы (они обозначаются Дфили d(p).Модуль вектора dtp равен
углу поворо-
Рис. 6 Рис.7
та, а его направление совпадает с на-правлением поступательного
движенияострия винта, головка которого враща-ется в направлении
движения точки поокружности, т. е. подчиняется правилуправого винта
(см. рис. 6). Векторы,направления которых связываются снаправлением
вращения, называютсяпсевдовекторами или аксиальнымивекторами. Эти
векторы не имеют оп-ределенных точек приложения: онимогут
откладываться из любой точкиоси вращения.
Угловой скоростью называется век-торная величина, определяемая
первойпроизводной угла поворота тела по вре-мени:
Вектор С5 направлен вдоль оси вра-щения по правилу правого
винта, т.е.так же, как и вектор dtp (рис. 7). Размер-ность угловой
скорости dim u> = Т~\ аее единица — радиан в секунду
(рад/с).
Линейная скорость точки (см. рис. 6)
т.е.
В векторном виде формулу для ли-нейной скорости можно написать
каквекторное произведение:
v = [QR].
12
-
При этом модуль векторного про-изведения, по определению,
равен
а направление совпадает снаправлением поступательного движе-ния
правого винта при его вращении отG3 к R.
Если ш = const, то вращение равно-мерное и его можно
характеризоватьпериодом вращения Т — временем, закоторое точка
совершает один полныйоборот, т. е. поворачивается на угол 2тт.Так
как промежутку времени At = Т со-ответствует откуда
Число полных оборотов, совершае-мых телом при равномерном его
движе-нии по окружности в единицу времени,называется частотой
вращения:
откуда
Угловым ускорением называетсявекторная величина, определяемая
пер-вой производной угловой скорости повремени:
При вращении тела вокруг непод-вижной оси вектор углового
ускорениянаправлен вдоль оси вращения в сторо-ну вектора
элементарного приращенияугловой скорости. При ускоренном дви-
Рис.8 Рис.9
жений вектор е сонаправлен вектору G5(рис. 8), при замедленном —
противо-направлен ему (рис. 9).
Тангенциальная составляющая ус-
корения и
Нормальная составляющая ускорения
Таким образом, связь между линей-ными (длина пути s, пройденного
точ-кой по дуге окружности радиусом R, ли-нейная скорость v,
тангенциальное уско-рение ат, нормальное ускорение ап) иугловыми
величинами (угол поворота ф,угловая скорость ы, угловое ускорениеz)
выражается следующими формулами:
s — Дф, v = Rw, aT = Re, an = LU2R.
В случае равнопеременного движе-ния точки но окружности (е =
const)
где ш0 — начальная угловая скорость.
Контрольные вопросы
• Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят
такую модель?• Что такое система отсчета?• Что такое вектор
перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку
пути, пройденному точкой?
13
-
• Какое движение называется поступательным? вращательным?• Дайте
определения векторов средней скорости и среднего ускорения,
мгновенной ско-
рости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?• Что
характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная
составляю-
щая ускорения? Каковы их модули?• Возможны ли движения, при
которых отсутствует нормальное ускорение? тангенци-
альное ускорение? Приведите примеры.• Что называется угловой
скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направ-
ления?• Какова связь между линейными и угловыми величинами?
ЗАДАЧИ
1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается
уравнением s = А + Bt ++ Ct2 + Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3).
Определите: 1) время после начала движения,через которое ускорение
о тела будет равно 2 м/с2; 2) среднее ускорение (а) тела за
этотпромежуток времени. [1) 10 с; 2) 1,1 м/с2]
1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол, под
которым тело брошенок горизонту, если максимальная высота подъема
тела равна 1/4 дальности его полета. [45°]
1.3. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается так, что зависимость
угловой скорости отвремени задается уравнением оо = 2At + bBtA (A =
2 рад/с2 и 5 = 1 рад/с5). Определитеполное ускорение точек обода
колеса через t=lc после начала вращения и число оборотов,сделанных
колесом за это время, [а = 8,5 м/с2; N= 0,48]
1.4. Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности
радиусом г = 4 м, задает-ся уравнением ап — А + Bt + Ct
2 (А = 1 м/с2,£? = 6 м/с3, С— 3 м/с4). Определите: 1)
танген-циальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за
время tx = 5 с после начала дви-жения; 3) полное ускорение для
момента времени t2 = 1 с. [1) 6 м/с
2; 2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]1.5. Частота вращения колеса при
равнозамедленпом движении за t = 1 мин уменьши-
лась от 300 до 180 мин"1. Определите: 1) угловое ускорение
колеса; 2) число полных оборо-тов, сделанных колесом за это время.
[1) 0,21 рад/с2; 2) 240]
1.6. Диск радиусом R — 10 см вращается вокруг неподвижной оси
так, что зависимостьугла поворота радиуса диска от времени задается
уравнением ip = А + Bt + Ct2 + Dt3 (В == 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D =
1 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса к концувторой
секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение ат; 2)
нормальноеускорение а„; 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с2; 2)
28,9 м/с2; 3) 28,9 м/с2]
Глава 2
ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИИ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО
ТЕЛА
§ 5. Первый закон Ньютона. им в «Математических началах
нату-Масса. Сила ральной философии» (1687). Законы
Ньютона играют исключительную рольВ основе классической динамики
в механике и являются обобщением ог-
(основной раздел механики) лежат три ромного числа опытных
данных. Пра-закона Ньютона, сформулированные вильность этих законов
(для обширно-
14
-
го, но все же ограниченного круга яв-лений) подтверждается
согласием сопытом получаемых с их помощью ре-зультатов.
Первый закон Ньютона: всякая ма-териальная точка (тело)
сохраняет со-стояние покоя или равномерного пря-молинейного
движения до тех пор, покавоздействие со стороны других тел
незаставит ее изменить это состояние.Стремление тела сохранять
состояниепокоя или равномерного прямолиней-ного движения называется
инертнос-тью. Поэтому первый закон Ньютонаназывают также законом
инерции.
Механическое движение относи-тельно, и его характер зависит от
сис-темы отсчета. Первый закон Ньютонавыполняется не во всякой
системе от-счета, а те системы, по отношению ккоторым он
выполняется, называютсяинерциальными системами отсчета.Инерциальной
системой отсчета явля-ется такая система отсчета, относитель-но
которой материальная точка, свобод-ная от внешних воздействий, либо
по-коится, либо движется равномерно ипрямолинейно. Первый закон
Ньютонаутверждает существование инерциалъ-ных систем отсчета.
Опытным путем установлено, чтоинерциальной можно считать
гелио-центрическую (звездную) систему от-счета (начало координат
находится вцентре Солнца, а оси проведены в на-правлении
определенных звезд). Сис-тема отсчета, связанная с Землей, стро-го
говоря, неинерциальна, однако эф-фекты, обусловленные ее
неинерциаль-ностью (Земля вращается вокруг соб-ственной оси и
вокруг Солнца), прирешении многих задач пренебрежимомалы, и в этих
случаях ее можно счи-тать инерциальной.
Из опыта известно, что при одина-ковых воздействиях различные
тела
неодинаково изменяют скорость свое-го движения, т. е., иными
словами, при-обретают различные ускорения. Уско-рение зависит не
только от величинывоздействия, но и от свойств самоготела (от его
массы).
Масса тела — физическая величи-на, являющаяся одной из основных
ха-рактеристик материи, определяющая ееинерционные {инертная масса)
и гра-витационные {гравитационная мас-са) свойства. В настоящее
время мож-но считать доказанным, что инертная игравитационная массы
равны друг дру-гу (с точностью, не меньшей 10~12 ихзначения).
Чтобы описывать воздействия, упо-минаемые в первом законе
Ньютона, вво-дят понятие силы. Под действием силтела либо изменяют
скорость движения,т. е. приобретают ускорения (динамиче-ское
проявление сил), либо деформиру-ются, т. е. изменяют свою форму и
раз-меры (статическое проявление сил).
В каждый момент времени сила ха-рактеризуется числовым
значением,направлением в пространстве и точкойприложения. Итак,
сила — это вектор-ная величина, являющаяся мерой меха-нического
воздействия на тело со сто-роны других тел или полей, в результа-те
которого тело приобретает ускорениеили изменяет свою форму и
размеры.
§ 6. Второй закон Ньютона
Второй закон Ньютона — основнойзакон динамики поступательного
дви-жения — отвечает на вопрос, как изме-няется механическое
движение матери-альной точки (тела) под действием при-ложенных к
ней сил.
Если рассмотреть действие различ-ных сил на одно и то же тело,
то оказы-вается, что ускорение, приобретаемое
15
-
телом, всегда пропорционально равно-действующей приложенных
сил:
а ~ F (т = const). (6.1)
При действии одной и той же силына тела с разными массами их
ускоренияоказываются различными, а именно
(6.2)
Используя выражения (6.1) и (6.2)и учитывая, что сила и
ускорение — ве-личины векторные, можем записать
(6.3)
Соотношение (6.3) выражает вто-рой закон Ньютона: ускорение,
при-обретаемое материальной точкой (те-лом), пропорционально
вызывающейего силе, совпадает с нею по направле-нию и обратно
пропорционально массематериальной точки (тела).
В СИ коэффициент пропорциональ-ности к — 1. Тогда
или
(6.4)
Учитывая, что масса материальнойточки (тела) в классической
механикеесть величина постоянная, в выраже-нии (6.4) ее можно
внести под знак про-изводной:
Векторная величина
р = rnv,
(6.5)
(6.6)
численно равная произведению массыматериальной точки на ее
скорость иимеющая направление скорости, назы-
вается импульсом {количеством дви-жения) этой материальной
точки.
Подставляя (6.6) в (6.5), получим
(6.7)
Это выражение — более общая фор-мулировка второго закона
Ньютона:скорость изменения импульса матери-альной точки равна
действующей на неесиле. Выражение (6.7) называется так-же
уравнением движения матери-альной точки.
Если на тело действует несколькосил, то в формулах (6.4) и (6.7)
под Fподразумевается их результирующая(векторная сумма сил).
Единица силы в СИ — ньютон (Н):1 Н — сила, которая массе 1 кг
сообща-ет ускорение 1 м/с2 в направлении дей-ствия силы:
1Н = 1кг-м/с2.
Второй закон Ньютона справедливтолько в инерциальных системах
отсче-та. Казалось бы, первый закон Ньюто-на входит во второй как
его частныйслучай. В самом деле, в случае равен-ства нулю
равнодействующей сил (приотсутствии воздействия на тело со сто-роны
других тел) ускорение [см. (6.3)]также равно нулю. Однако первый
за-кон Ньютона рассматривается как са-мостоятельный закон, так как
именноон утверждает существование инерци-альных систем отсчета, в
которых толь-ко и выполняется уравнение (6.7).
Если на материальную точку одно-временно действуют несколько сил
F bF 2 , . . . , Fn, то ее ускорение
16
-
Рис. 10 (7.1)
Следовательно, если на материаль-ную точку действует
одновременно не-сколько сил, то каждая из этих сил со-общает
материальной точке ускорениесогласно второму закону Ньютона,
какбудто других сил не было (принцип не-зависимости действия
сил).
Силы и ускорения можно разлагатьна составляющие, использование
кото-рых приводит к существенному упро-щению решения задач.
Например, на рис. 10 действующаясила F = та разложена на два
компо-нента: тангенциальную силу Fr (направ-лена по касательной к
траектории) инормальную силу Fn (направлена по
где Fl2 — сила, действующая на первуюматериальную точку со
стороны вто-рой; F 2 1 — сила, действующая на вторуюматериальную
точку со стороны пер-вой. Эти силы приложены к разным ма-териальным
точкам (телам), всегда дей-ствуют парами и являются силами од-ной
природы.
Третий закон Ньютона позволяетосуществить переход от динамики
от-дельной материальной точки к дина-мике системы материальных
точек.Это следует из того, что и для систе-мы материальных точек
взаимодей-ствие сводится к силам парного взаи-модействия между
материальнымиточками.
Третий закон Ньютона, как впрочеми первые два, справедлив только
в инер-циальных системах отсчета. Отметимтакже, что при движении со
скоростя-ми, сравнимыми со скоростью света,наблюдаются отступления
от этого за-кона. Однако в рамках классическоймеханики он
справедлив, и утверждениео его невыполнимости имеет принци-пиальное
значение лишь для определе-ния границ применимости
механикиНьютона.
§ 7. Третий закон Ньютона
Взаимодействие между материаль-ными точками (телами)
определяетсятретьим законом Ньютона: всякоедействие материальных
точек (тел)друг на друга носит характер взаимо-действия; силы, с
которыми действуютдруг на друга материальные точки, все-гда равны
по модулю, противополож-но направлены и действуют вдоль пря-мой,
соединяющей эти точки:
§ 8. Силы трения
Из опыта известно, что всякое тело,движущееся по горизонтальной
повер-хности другого тела, при отсутствиидействия на него других
сил с течени-ем времени замедляет свое движение ив конце концов
останавливается. Этоможно объяснить существованием си-лы трения,
которая препятствуетскольжению соприкасающихся тел от-носительно
друг друга. Силы трения за-висят от относительных скоростей
тел,
17
-
Рис. 11
в результате их действия механическаяэнергия всегда превращается
во внут-реннюю энергию соприкасающихся тел,т. е. в энергию
теплового движения ча-стиц.
Различают внешнее (сухое) и внут-реннее (жидкое или вязкое)
трение. Этоделение, впрочем, имеет условный ха-рактер. Внешним
трением называетсятрение, возникающее в плоскости каса-ния двух
соприкасающихся тел при ихотносительном перемещении. Если
со-прикасающиеся тела неподвижны отно-сительно друг друга, говорят
о трениипокоя, если же происходит относитель-ное перемещение этих
тел, то в зависи-мости от характера их относительногодвижения
говорят о трении скольже-ния, качения или верчения.
Внутренним трением называетсятрение между частями одного и того
жетела, например между различнымислоями жидкости или газа,
скоростикоторых меняются от слоя к слою.В отличие от внешнего
трения здесьотсутствует трение покоя. Если теласкользят
относительно друг друга и
Рис. 12
разделены прослойкой вязкой жидко-сти (смазки), то трение
происходит вслое смазки. В таком случае говорят огидродинамическом
трении (слойсмазки достаточно толстый) и гранич-ном трении (толщина
смазочной про-слойки составляет около 0,1 мкм и ме-нее).
Силы трения определяются характе-ром взаимодействия между
молекула-ми вещества и являются по своей при-роде электромагнитными
силами. Этисилы описываются закономерностями,полученными опытным
путем.
Обсудим некоторые закономернос-ти внешнего трения. Это трение
обус-ловлено шероховатостью соприкасаю-щихся поверхностей, а в
случае оченьгладких поверхностей — силами меж-молекулярного
притяжения.
Рассмотрим лежащее на плоскоститело (рис. 11), к которому
приложенагоризонтальная сила F. Тело придет вдвижение лишь тогда,
когда приложен-ная сила F будет больше силы тренияFT p. Французские
физики Г.Амонтон(1663-1705) и Ш. Кулон (1736- 1806)опытным путем
установили следую-щий закон: сила трения скольжения
FTpпропорциональна силе N нормальногодавления, с которой одно тело
действу-ет на другое:
где / — коэффициент трения сколь-жения, зависящий от свойств
соприка-сающихся поверхностей.
Найдем значение коэффициента тре-ния. Если тело находится на
наклоннойплоскости с углом наклона а (рис. 12),то оно приходит в
движение только ког-да тангенциальная составляющая^силы тяжести Р
больше силы трения FTp.Следовательно, в предельном случае(начало
скольжения тела) F = FTp, илиР sin a — fN = fP cos а, откуда
18
-
Таким образом, коэффициент тре-ния равен тангенсу угла а0, при
кото-ром начинается скольжение тела по на-клонной плоскости.
Для гладких поверхностей опреде-ленную роль начинает играть
межмоле-кулярное притяжение. Для них приме-няется закон трения
скольжения
где /1|СТ — истинный коэффициент тре-ния скольжения; S — площадь
контак-та между телами; р0 — добавочное дав-ление, обусловленное
силами межмоле-кулярного притяжения, которые быст-ро уменьшаются с
увеличением рассто-яния между частицами.
Трение играет большую роль в при-роде и технике. Благодаря
трению дви-жется транспорт, удерживается заби-тый в стену гвоздь и
т.д. В некоторыхслучаях силы трения оказывают вред-ное действие и
поэтому их надо умень-шать. Для этого на трущиеся поверхно-сти
наносят смазку (сила трения умень-шается примерно в 10 раз),
которая за-полняет неровности между этими по-верхностями и
располагается тонкимслоем между ними так, что поверхнос-ти как бы
перестают касаться друг дру-га, а скользят относительно друг
другаотдельные слои жидкости. Таким обра-зом, внешнее трение
твердых тел заме-няется значительно меньшим внутрен-ним трением
жидкости.
Радикальным способом уменьшениясилы трения является замена
тренияскольжения трением качения (шарико-вые и роликовые подшипники
и т.д.).
Сила трения качения определяет-ся по закону, установленному
Куло-ном:
тр JK >Г
(8.1)
где /к — коэффициент трения качения,имеющий размерность dim/K =
L\ r —радиус катящегося тела.
Из (8.1) следует, что сила трения ка-чения обратно
пропорциональна ради-усу катящегося тела.
§ 9. Закон сохранения импульса.Центр масс
Для вывода закона сохранения им-пульса рассмотрим некоторые
понятия.Совокупность материальных точек(тел), рассматриваемых как
единое це-лое, называется механической систе-мой.
Силы взаимодействия между мате-риальными точками механической
си-стемы называются внутренними.
Силы, с которыми на материальныеточки системы действуют
внешниетела, называются внешними.
Механическая система тел, на кото-рую не действуют внешние силы,
назы-вается замкнутой (или изолирован-ной).
Если мы имеем механическую сис-тему, состоящую из многих тел,
то, со-гласно третьему закону Ньютона, силы,действующие между этими
телами, бу-дут равны и противоположно направ-лены, т. е.
геометрическая сумма внут-ренних сил равна нулю.
Рассмотрим механическую систему,состоящую из п тел, масса и
скоростькоторых соответственно равны тъ т2,...,mnHvltV2,..., vn. П
у с т ь F'b F2', ...,F'n —равнодействующие внутренних
сил,действующих на каждое из этих тел, аFh F2, ..., Fn —
равнодействующие вне-шних сил.
Запишем второй закон Ньютона длякаждого из п тел механической
систе-мы:
19
-
Последнее выражение и являетсязаконом сохранения импульса:
им-пульс замкнутой системы сохраняется,т. е. не изменяется с
течением времени.
Закон сохранения импульса спра-ведлив не только в классической
физи-ке, хотя он и получен как следствие за-конов Ньютона.
Эксперименты доказы-вают, что он выполняется и для замк-нутых
систем микрочастиц (они подчи-няются законам квантовой
механики).Этот закон носит универсальный ха-рактер, т.е. закон
сохранения импуль-са — фундаментальный закон природы.
Отметим, что, согласно (9.1), им-пульс сохраняется и для
незамкнутойсистемы, если геометрическая суммавсех внешних сил равна
нулю. Такжесохраняется проекция импульса на на-правление, вдоль
которого равнодей-ствующая сил равна нулю.
Закон сохранения импульса являет-ся следствием определенного
свойствасимметрии пространства — его однород-ности. Однородность
пространствазаключается в том, что при параллель-ном переносе в
пространстве замкнутойсистемы тел как целого ее физическиесвойства
и законы движения не изме-няются, иными словами, не зависят
отвыбора положения начала координатинерциальной системы
отсчета.
Импульс системы может быть выра-жен через скорость ее центра
масс. Цен-тром масс (или центром инерции)системы материальных точек
называет-ся воображаемая точка С, положениекоторой характеризует
распределениемассы этой системы. Ее радиус-векторравен
где тг\\г{ — соответственно масса и ра-диус-вектор г-й
материальной точки;п — число материальных точек в систе-
20
или
(9.1)
Так как геометрическая сумма внут-ренних сил механической
системыпо третьему закону Ньютона равнанулю, то
Складывая почленно эти уравнения,получим
Таким образом, производная по вре-мени от импульса механической
систе-мы равна геометрической сумме вне-шних сил, действующих на
систему.
В случае отсутствия внешних сил(рассматриваем замкнутую
систему)
-
Скорость центра масс
(9.2)
т.е. импульс системы равен произведе-нию массы системы на
скорость ее цен-тра масс.
Подставив выражение (9.2) в урав-нение (9.1), получим
(9.3)
т.е. центр масс системы движется какматериальная точка, в
которой сосредо-точена масса всей системы и на кото-рую действует
сила, равная геометри-ческой сумме всех внешних сил, прило-женных к
системе. Выражение (9.3)представляет собой закон движенияцентра
масс.
В соответствии с (9.2) из закона со-хранения импульса вытекает,
что центрмасс замкнутой системы либо движет-ся прямолинейно и
равномерно, либо ос-тается неподвижным.
§ 10. Уравнение движениятела переменной массы
Движение некоторых тел сопровож-дается изменением их массы,
напримермасса ракеты уменьшается вследствиеистечения газов,
образующихся присгорании топлива, и т. п.
Выведем уравнение движения телапеременной массы на примере
движе-
ния ракеты. Если в момент времени tмасса ракеты т, а ее скорость
v, то поистечении времени dt ее масса умень-шится на dm и станет
равной т — dm, aскорость станет равной v -f dv. Изме-нение импульса
системы за отрезок вре-мени dt
dp=[(m — dm)(v+dv)+dm(v + U)} — mv,
где и — скорость истечения газов отно-сительно ракеты.
Тогда
dp = mdv + и dm
(учли, что dmdv — малый высшего по-рядка малости по сравнению с
осталь-ными). Если на систему действуют вне-шние силы, то dp = Fdt,
поэтому
или
(10.1)
Второе слагаемое в правой части(10.1) называют реактивной силой
Fp.Если и противоположен v по направ-лению, то ракета ускоряется, а
если со-впадает с v, то тормозится.
Таким образом, мы получили урав-нение движения тела
переменноймассы
(10.2)
которое впервые было выведено И. Б. Ме-щерским (1859-1935).
Идея применения реактивной силыдля создания летательных
аппаратоввысказывалась в 1881 г. Н.И.Кибаль-чичем (1854 -1881). В
1903 г. К. Э. Ци-олковский (1857—1935) опубликовалстатью, где
предложил теорию движе-ния ракеты и основы теории жидко-стного
реактивного двигателя, поэтомуего считают основателем
отечественнойкосмонавтики.
21
-
Применим уравнение (10.1) к дви-жению ракеты, на которую не
действу-ют внешние силы. Полагая F = 0 исчитая, что скорость
выбрасываемыхгазов относительно ракеты постоянна(ракета движется
прямолинейно), по-лучим
откуда
Значение постоянной интегрирова-ния С определим из начальных
усло-вий. Если в начальный момент време-ни скорость ракеты равна
нулю, а ее
стартовая масса т0, то С= и\п т0. Сле-довательно,
(10.3)
Это соотношение называется фор-мулой Циолковского. Она
показывает,что: 1) чем больше конечная масса ра-кеты т, тем больше
должна быть стар-товая масса ракеты т 0 ; 2) чем большескорость и
истечения газов, тем боль-ше может быть конечная масса при дан-ной
стартовой массе ракеты.
Выражения (10.2) и (10.3) получе-ны для нерелятивистских
движений,т. е. для случаев, когда скорости v и ималы по сравнению
со скоростью с рас-пространения света в вакууме.
Контрольные вопросы
• Какая система отсчета называется инерциалыюй? Почему система
отсчета, связанная сЗемлей, неиперциалыга?
• Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?• Является ли
первый закон Ньютона следствием второго закона Ньютона? Почему?• В
чем заключается принцип независимости действия сил?• Какова
физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого?
Какие
виды внешнего (сухого) трения вы знаете?• Что называется
механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Явля-
ется ли Вселенная замкнутой системой? Почему?• В чем заключается
закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? По-
чему он является фундаментальным законом природы?• Каким
свойством пространства обусловливается справедливость закона
сохранения им-
пульса?• Что называется центром масс системы материальных точек?
Как движется центр масс
замкнутой системы?
ЗАДАЧИ
2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту,
равным 30°, скользит тело.Определите скорость тела в конце третьей
секунды от начала скольжения, если коэффици-ент трения 0,15. [10,9
м/с]
2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова
должна быть наимень-шая скорость самолета, чтобы летчик не
оторвался от сиденья в верхней части петли?[28 м/с]
2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей,
составляющих с горизон-том углы а = 30° и (3 = 45°. Гири равной
массы (тх = т2 = 2 кг) соединены нитью, переки-нутой через блок.
Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь
о
22
-
наклонные плоскости равными fx = /2 = /= 0,1 и пренебрегая
трением в блоке, определите:1) ускорение, с которым движутся гири;
2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с2; 2) 12 Н]
2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка,
из которой про-изводится выстрел вдоль полотна под углом а = 45° к
горизонту. Масса платформы с пуш-кой М= 20 т, масса снаряда т = 10
кг, коэффициент трения между колесами платформы ирельсами /= 0,002.
Определите скорость снаряда, если после выстрела платформа
откати-лась на расстояние 5 = 3 м. [ vQ = М ^ — = 970 м/с]
т cos a2.5. На катере массой т = 5 т находится водомет,
выбрасывающий [i — 25 кг/с воды со
скоростью и—1 м/с относительно катера назад. Пренебрегая
сопротивлением движениюкатера, определите: 1) скорость катера через
3 мин после начала движения; 2) предельновозможную скорость катера.
[1)
Глава 3
РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
§ 1 1 . Энергия, работа, мощность
Энергия — универсальная мера раз-личных форм движения и
взаимодей-ствия. С различными формами движе-ния материи связывают
различныеформы энергии: механическую, тепло-вую, электромагнитную,
ядерную и др.В одних явлениях форма движения ма-терии не изменяется
(например, горя-чее тело нагревает холодное), в других —переходит в
иную форму (например, врезультате трения механическое движе-ние
превращается в тепловое). Однакосущественно, что во всех случаях
энер-гия, отданная (в той или иной форме)одним телом другому телу,
равна энер-гии, полученной последним телом.
Изменение механического движе-ния тела вызывается силами,
действу-ющими на него со стороны других тел.Чтобы количественно
характеризоватьпроцесс обмена энергией между взаи-модействующими
телами, в механикевводится понятие работы силы.
Если тело движется прямолинейно ина него действует постоянная
сила F,
которая составляет некоторый угол ас направлением перемещения,
то рабо-та этой силы равна произведению про-екции силы Fs на
направление переме-щения (Fs = Fcos а), умноженной на пе-ремещение
точки приложения силы:
A = Fss = Fscosa. (11.1)
Сила может изменяться как по мо-дулю, так и по направлению,
поэтому вобщем случае формулой (11.1) пользо-ваться нельзя. Если,
однако, рассмот-реть элементарное перемещение dr, тосилу F можно
считать постоянной, адвижение точки ее приложения — пря-молинейным.
Элементарной работойсилы F на перемещении dr называетсяскалярная
величина
&А = Fdr = Fcosads = Fsds,
Рис. 13
23
-
где а — угол между векторами F и dr;ds = |dr | — элементарный
путь; Fs — про-екция вектора F на вектор df (рис. 13).
Работа силы на участке траекторииот точки 1 до точки 2 равна
алгебраи-ческой сумме элементарных работ наотдельных бесконечно
малых участкахпути. Эта сумма приводится к интегралу
Для вычисления этого интеграланадо знать зависимость силы Fs от
пути sвдоль траектории 1 — 2. Пусть эта зави-симость представлена
графически (рис.14), тогда искомая работа А определя-ется на
графике площадью затониро-ванной фигуры. Если, например,
телодвижется прямолинейно, сила F= constи а = const, то получим
где s — путь, пройденный телом [см.также формулу (11.1)].
Из формулы (11.1) следует, что при
работа силы положительна, в
этом случае составляющая Fs совпадаетп
