*§ 1. Механическое движение

П окай на.11t только снится.

А. А. Блок

Раздел механики, в котором изучают, как движется тело, без выяснения

причин, вызвавших это движение, называют кинематикой (от греч. kineтa -движение).

Наиболее простым движением в природе является механическое движение тел.

Механическим движением тела называют изменение его положения

в пространстве относительно других тел с течением времени.

Примеров механического движения в окружающем нас мире много: идёт пешеход, летит самолёт, плывут облака по небу, едет машина по шоссе, на­

бегают волны на берег и др . О движении, происходящем в природе, итальянский учёный Джордано Бруно

в поэтической форме говорил так:

И всякой вещи свойственно движенье, Близка она от нас иль далека, И тяжела она или легка.

Движение тела мы замечаем по изменению его положения относительно

других тел. Но это движение может быть различным по отношению к разным телам. Пусть, например, в автобусе сидит пассажир и держит в руках арбуз. Автобус начал двигаться по шоссе. Относительно пассажира и автобуса положе­

ние арбуза не изменилось - он находится в покое, а относительно пешеходов,

домов, дороги он начал двигаться вместе с пассажиром и автобусом. Значит, движение и покой относительны.

Для описания движения какого-либо тела необходимо условиться, относи-

тельно какого иного тела рассматривается положение данного тела.

Тело, относительно которого рассматривают положение других тел, на­

зывают телом отсчёта.

Телами отсчёта могут быть: фонарный столб, светофор, стол, дом, Земля,

Солнце и др. С телом отсчёта связывают систему координат, с помощью которой определя­

ют положение тела в пространстве. В прямоугольной декартовой системе коор­динат (рис. 1.1) положение точки А определяется тремя координатами (х; у; z)

10

или радиусом-вектором r (его проводят из начала координат О в точку А).

Координаты движущегося тела с те­

чением времени изменяются. Поэтому

для описания движения нужно знать,

какому моменту времени соответству­

ет та или иная координата. Для этого

необходим прибор, чтобы измерять вре­

мя, - часы.

Тело отсчёта, связанную с ним си­

стеl\~у координат и прибор для из­мерения времени (часы) назьmают

системой отсчёта.

Изучить движение тела - значит

уметь находить его положение в про· странстве в любой момент времени.

В этом и заключается основная задача

механики.

Любое тело состоит из множества то­

чек, поэтому, чтобы задать его положе­

ние в пространстве, необходимо указать

z

--z --- --1 А(х; у; z) 1 1

1 / х -- 1 /

- - - - - - - - ------ - _::: _ _;_/У х

Рис. 1.1

координаты всех его точек. Это сделать Рис. 1.2 чрезвычайно трудно. Однако, если раз-

мерами тела можно пренебречь, достаточно изучить движение только одной его точки. Тело в таких случаях считают материальной точкой. Например, изучая

движение планет вокруг Солнца, их можно принять за материальные точки. Одно и то же тело в одних условиях можно считать материальной точкой,

а в других - нет . Так, космический корабль при наблюдении его с Земли можно рассматривать как материальную точку . Но космонавт, находящийся

в корабле, считать его материальной точкой не может. Материальная точка - это модель тела, размерами которого можно

пренебречь по сравнению с пройденным расстоянием. В дальнейшем вместо

термина «материальная точка» часто будут использоваться слова «тело" и •точка» . Тело можно считать материальной точкой и в случае, когда оно движется

поступательно.

Поступательным движением называется такое движение, при котором

mобая прямая, соединяющая две mобые точки тела, движется параллельно самой себе.

Так, прямая АВ остаётся параллельной самой себе при поступательном движении тела, изображённого на рис. 1.2.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково. Посту­пательно движется кабина лифта, поршни двигателя автомобиля относительно

цилиндра.

11

проверьте себя

1. Как определяется механическое движение? 2. Что такое тело отсчёта? 3. Что представляет собой система отсчёта? 4. Можно ли считать материальной точкой автомобиль, въезжающий в

гараж? автобус, движущийся по шоссе? 5. Ка.ков физический смысл китайского изречения: •Посмотри сквозь перила

моста, и ты увидишь, ка.к мост плывёт по неподвижной воде•?

ЗАДАНИЕ. Повторите сведения о векторах (см . Приложение 1).

*§ 2. ТраекториА, nуть, перемещение Идея вектора бесценна.

Дж. Максвелл

Представим себе, что в начальный момент времени движущаяся матери­

альная точка находилась в точке А, а через некоторое время она, перемещаясь

по штриховой линии, оказалась в точке В (рис. 1.3).

Лиm1ю, которую описывает материальная точка при своём движении, на­

зывают траекторией.

Например, траектория конца часовой стрелки - окружность, кончика карандаша - линия, которую он оставляет на бумаге. На снегу можно видеть

лыжню - траекторию лыжника.

В зависимости от формы траектории механические движения делятся на

прямоJПШейные (траектория - прямая линия) и криволинейвые (траектория -кривая линия).

Траектории движения тела в разных системах отсчёта могут быть разными.

Так, если в безветренную погодУ из окна вагона поезда наблюдать за дождём,

то видно, что капли оставляют на оконных стёклах неподвижного поезда вер­

тикальные следы, а на стёклах движущегося поезда - наклонные.

Длину участка траектории, который материальная точка прошла за данный

промежуток времени, называют пройденным путём или просто путём.

Для описания движения также применяют векторную величину - пере­

мещение.

1

1 \

/

1

А

12

, .... _- - - -"' ' / 1

' /

Рис. 1.3

.... ' '

ПеремещеВ11ем называют вектор, проведёиный

из начального положения движущейся мате­

риальной точки в её конечное положение.

На рис. 1.3 перемещение обозначено s (бук­вой со стрелкой над ней). Буква s без стрелки обозначает длину вектора перемещения - его мо­

дУ ЛЬ.

Если тело совершает несколько перемещений,

то их можно складывать по правилам сложения

векторов. Пусть тело переместилось из точки 1 в точку 2 (рис. 1.4, а), а затем из точки 2 в точку 3. Чтобы определить результирующее перемещение 81, 3 ,

надо найти векторную сумму перемещений 81• 2 и 82, 3 :

81 , з = 81,2 + 82.З . (1.1) Если тело движется в одном и том же направлении, то модуль перемещения

равен пройденному пути. Если же направление движения тела меняется , то модуль вектора перемещения не равен пройденному пути. Например, пешеход движется так, что, выйдя из начала координат, он пришёл в точку А, а потом

пошёл в обратном направлении и оказался в точке В (рис. 1.4, 6). Пройденный пешеходом путь l = 7 м, а модуль s 3 перемещения, т. е. длина вектора 83 , ока­зался равным 3 м (s3 = s 1 - s2).

Рассмотрим движение материальной точки в плоскости относительно систе-

мы координат ХОУ (рис. 1.5). Пусть АВ = s - вектор перемещения точки, х0 и у0 - её начальные координаты, х и

у - конечные. Из рис. 1.5 видно, что S z = Х - Хо,

Sv = У - Уо,

где S x и Sv - проекции вектора пере­

мещения s на оси ОХ и ОУ. Отсюда Х = Хо+ Sz, (1.2) У = Уо + s11 • (1.3)

Следовательно, для нахождения

координат материальной точки в тобой момент времени надо знать её началь­

ные координаты х0 и Уо и проекции век­

тора перемещения s на оси координат. "Уравнения (1.2) и (1.3) - это урав­

нения движения материальной точки. Зная уравнения движения, можно для

каждого момента времени определить

положение точки на её траектории.

Проверьте себя

1. Дайте определение траектории и приведите примеры траекторий

разных движений.

2. Что называют пройденным пу­тём?

3. Какую физическую величину называют перемещением?

4. Как найти результирующее пере­мещение тела?

5. Запишите уравнения движения тела.

а

t 8,

·~ А sз ....... 82

1 1 ~ в 1 1 1 " о 1 2 3 4 5 6 7Х

б

Рис. 1 .4

у

в у ------ ---------

Уо

о х х

Рис. 1.5

13

УПРАЖНЕНИЕ 1

1. Мяч движется от поверхности Земли вертикально вверх и, достигнув высоты 20 м, падает на землю. Определите путь, пройденный мячом, и его перемещение.

2. Фигурист движется по окружности радиусом R = 15 м. За некоторый промежуток времени он проехал расстояние, равное половине длины окруж­

ности. Чему равны путь и перемещение фигуриста? 3. Турист прошёл 8 км на север, а затем 6 км на запад. Какое перемещение

он совершил и какой прошёл путь? 4. В начальный момент времени муравей находился в точке с координатами

х0 = 3 см, у0 = 1 см. Через некоторое время он переместился в точку с коор­динатами х = 2 см, у = 4 см. Начертите вектор его перемещения и найдите проекции этого вектора на координатные оси.

*§ 3. Скорость равномерноrо nр11мо1111нейноrо дв11жен11• Скорость нужна, а поспешность вредна.

А. В. Суворов

Простейший вид механического движения - равномерное прямолинейное

движение.

Равномерным прямолинейным движением называют движение матери­альной точки, при котором она за любые равные промежутки времени

совершает одинаковые перемещения.

Приблизительно равномерным прямолинейным движением можно считать

движение парашютиста с раскрытым парашютом вблизи поверхности Земли (в отсутствие ветра), движение эскалатора метрополитена.

Движения разных тел отличаются быстротой: улитка ползёт медленно, самолёт летит быстро . Для количественной характеристики быстроты движения

вводится понятие скорости.

Скоростью равномерного прямолинейного движения назъшают физическую

величину, равную отношению перемещения тела ко времени, за которое

оно совершено:

(1.4)

Скорость - вектор, направление которого при прямолинейном движении

совпадает с направлением вектора перемещения. При равномерном прямоли­

нейном движении скорость постоянна по модулю и направлению: v = const. Векторному уравнению (1.4) соответствуют уравнения для модуля скорости

и для проекции скорости на ось ОХ:

14

V = ~; V x = Sx t

Формула v

t = 1 с, то : позволяет установить единицу скорости 1• Если s 1 м,

1 м м [v] =те = 1-с·

Метр в секунду равен скорости равномерно и прямолинейно движущейся точки, при которой она за время 1 с перемещается на расстояние 1 м.

Найдём уравнение, связывающее координату х, проекцию v" скорости и время t для равномерного прямолинейного движения тела.

Так как х = х0 + Sx и Sr = v"t' то из этих выражений получим:

1 Х = Хо + V xt. 1 (1.5)

Значения величин х, х0 и v" могут быть как положительными, так и отри­цательными в зависимости от направления вектора скорости тела относительно

выбранной оси и положения точки начала отсчёта на ней. Уравнение (1.5) называют уравнением прямолинейного равномерного дви·

жения. Оно позволяет определить положение тела, движущегося равномерно и прямолинейно, в любой момент времени, т. е. решить основную задачу ме­ханики для этого случая.

Зависимость между координатой тела и временем его движения может быть выражена графически. Уравнение (1.5) показывает, что зависимость х от t линейна. График этой зависимости изображён на рис. 1.6.

На рис. 1. 7 представлены графики зависимости от времени проекций скорости равномерного и прямолинейного движения точки для двух случаев:

V1x > 0 И V2x < 0 . График v"(t) (рис . 1.8) позволяет найти проекцию s" перемещения точки.

Площадь фигуры ОАВС под этим графиком численно равна произведению v..,t, т. е. проекции s" перемещения, совершённого телом :

V..,t = Sx·

х vx v, '

(}1х (}lx > о

1

А в 1

о 1 1

Хо (} х 1 s,= vxt 1

1 1

о

Vix < 0 1 V2x 2 t IC -t

о

Рис. 1.6 Рис. 1.7 Рис. 1.8

1 Букву, обозначающую физическую величину, для которой определяются единицы, будем заключать в квадРатвые скобки.

15

и • • о х

А в с

Рис. 1.9

ЗАДАЧА

Из пунктов А и В, расстояние между которыми l = 80 м, одновременно в одном направлении начали двигаться равномерно два велосипедиста: первый -со скоростью и1 = 4 м/с, второй - со скоростью и2 = 2 м/с. Через сколько вре­мени и на каком расстоянии от точки А первый велосипедист догонит второго?

Решите задачу аналитически и графически.

Решение. Совместим начало координат - точку О с точкой А и направим ось ОХ от А к В (рис. 1.9). Запишем уравнения равномерных прямолинейных движений велосипедистов в общем виде:

Х1 = Хо1 + Ui xt ,

Х2 = Хо2 + U2xt .

Здесь Хо1 = О, Хо2 = l. Выразим проекции скоростей велосипедистов на ось ОХ через модули:

Тогда уравнения движения велосипедистов примут вид

.х,•

200

160

120

80

о L-.l-..&-...&..--1--1--~

10 2030 .(() 50 t, с::

Рис . 1.1 0

16

Х1 = U1t, Х2 = l + U2t.

Первый велосипедист догонит второго в точке С, и их координаты станут равными: х1 = х2 = Хе. Сле-

довательно,

Uitc = l + u 2t c ,

где t c - время движения велосипедистов до встречи.

Отсюда находим:

l tc = --. (1)

U1 - U2

Координата места встречи велосипедистов:

(2)

Подставив в уравнения (1) и (2) значения величин из условия задачи, получим:

t c = 40 с; Хе= 160 м.

Графиками зависимости координат х 1 и х2 от времени являются пря­мые 1 и 2 (рис. 1.10). Точка С пересечения графиков соответствует времени и месту встречи.

Проверьте себя

1. Ка.кое движение называют прямолинейным равномерным? 2. Ка.кую физическую величину называют скоростью равномерного прямо­

линейного движения? 3. В ка.к их единицах выражают скорость? 4. Ка.кое уравнение называют уравнением равномерного прямолинейного

движения точки?

УПРАЖНЕНИЕ 2

1. Найдите модуль и направление вектора скорости точки, если при равно­мерном движении по оси ОХ её координата за время t = 2 с изменилась от Х1 = -2 М ДО Х2 = 6 М.

2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 60 м, одновременно навстречу друг другу начали двигаться два велосипедиста. Модули скорости

велосипедистов равны 3 м/с и 6 м/с соответственно. Через ка.кое время вело­сипедисты встретятся? Каково расстояние от точки А до места их встречи? Решите задачу аналитически и графически.

§ 4. Сnожение cкopoaeii Книга природы написана на естественном языке

разума - языке математики.

Г. Галилей

Мы знаем, что траектория движения тела зависит от выбора системы отсчёта

(см . § 2). А зависит ли от системы отсчёта скорость тела? Рассмотрим пример. Автобус движется по прямолинейному участку равномерно со скоро­

стью v1 относителъно шоссе (рис. 1.11). Пассажир идёт относительно автобуса

s 1 1 1 1 1 Э2 1 1

" 1 1 1 1

O'i~ ~J-5_ ~ ~J и

Х' •

" 01 х

81

Рис. 1.11

17

со скоростью й2, при этом векторы скоростей й1 и й2 имеют одинаковые на­правления. Какова скорость пассажира относительно шоссе?

Проведём через начальную точку ось ОХ и направим её вдоль шоссе (см. рис. 1.11). Это неподвижная система отсчёта, связанная с Землёй. Другую систему отсчёта свяжем с автобусом и проведём ось О'Х' параллельно оси ОХ. Это подвижная система отсчёта, которая движется относительно неподвижной прямолинейно и равномерно со скоростью автобуса й1 •

Перемещение 8 пассажира относительно шоссе за некоторое время t равно сумме перемещений за то же время автобуса 81 относительно шоссе и пасса­

жира относительно автобуса 82:

8 = 81 + 82•

Разделив обе части этого равенства на время t движения пассажира, по­лучим:

или

(1.6)

Скорость тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости тела относительно подвижной системы отсчёта и скорости

подвижной системы относительно неподвижной.

Формула (1.6) выражает закон сложепия скоростей. Этот закон справедлив и в том случае, когда векторы й, и й2 не лежат на одной прямой.

ЗАДАЧА

Лодка пересекает реку перпендикулярно берегу со скоростью v = 4 км/ч. Какова скорость v2 лодки относительно воды, если скорость течения v 1 = 3 км/ч?

Решение. Согласно закону сложения скоростей скорость лодки относи­тельно берега равна

Рис. 1.12

18

й = й 1 + й2.

1

Векторное сложение скоростей й1 и й2 показано на рис. 1.12. Так как по условию вектор скорости лодки на­

правлен перпендикулярно берегу, то в

соответствии с теоремой Пифагора

v~ = v~ + v2•

Тогда

V 2 = ~vi + v2 ; V2 = 5 км/ч.

УПРАЖНЕНИЕ 3

1. Катер переправляется через реку шириной 800 м перпендикулярно тече­нию, скорость которого 6 км/ч. Скорость катера относительно воды 10 км/ч. Какова скорость катера относительно берега? Сколько времени займёт пере­права? На какое расстояние снесёт за это время катер по течению?

2. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями, модули кото­рых относительно земли равны 60 и 70 км/ч соответственно. Какова скорость второго поезда относительно первого?

§ 5. Скороаь nри неравномерном движении Движение любого тела в реальных условиях не бывает строго равномерным

и прямолинейным. Неравномерное движение можно характеризовать средней

путевой скоростью.

Средней путевой скоростью неравномерного движения материальной точки

называют физическую величину, равную отношению пройденного пути ко

времени движения:

l Vcp. n = t (1.7)

Поскольку путь и время - скалярные величины, то средняя путевая ско­

рость также скалярная величина.

Допустим, что некоторое тело, двигаясь неравномерно, переместилось из

точки О в точку С за время t (рис. 1.13), совершив перемещение s. Быстроту движения характеризуют векторной величиной - средней скоростью.

Средней скоростью неравномерного прямолинейного движения матери­

альной точки называют физическую величину, равную отношению пере­

мещения ко времени, в течение которого оно совершено:

(1.8)

Вектор средней скорости v0 P направлен в ту же сторону, что и вектор пере­

мещения s.

~ 1 " о s с х

Рис. 1.13

Средняя скорость вычисляется за определённый промежуток времени.

Поэтому даже для одного и того же движения она может быть различ­

ной, если выбирать разные промежутки времени. Например, средняя ско­

рость велосипедиста, проехавшего по треку круг, равна нулю, но она отлична

от нуля, если её определять за время, в течение которого пройдена половина круга.

19

Рис. 1.14

Рассмотрим движение лыжника на спуске. Ясно, что оно неравномерное. Поставим вопрос: с какой скоростью лыжник проходит точку С (рис. 1.14), или какова его скорость в точке С?

Скорость тела в данной точке траектории или в данвый момент времени

называют мгновеввой скоростью.

Будем находить среднюю скорость для различных участков, включающих точку с.

На участке А1В1 средняя скорость равна й10Р = ~. t1

На участке А2В2 , длина которого меньше длины участка А1В1 и который

u u - 82 проиден за меньшии промежуток времени t 2 , средняя скорость равна v20P = t;

Найдём среднюю скорость на участке А3В3 :

- S:i Vз ср = -.

tз

Будем продолжать уменьшать промежуток времени, за который мы рассма­

триваем перемещение лыжника. Вместе с ним будет уменьшаться и перемещение

лыжника. Когда длина участка траектории и промежуток времени станут такими малыми, что изменением скорости можно пренебречь, тогда средняя скорость станет

мгновенной скоростью в точке С (движение будет как бы равномерным).

Мгновенная скорость, или скорость в данной точке, равна отношению

малого перемещения Лs 1 на у-частке траектории, примыкающем к данной точ-

1 Греческая бУJ<ва Л может означать, что величина является очень малой или из­меняется (об этом можно судить по контексту).

20

ке, к малому промежутку времени Лt, в течение

которого это перемещение совершается:

- Лs v = лt '

Мгновенная скорость - вектор . Направление

вектора мгновенной скорости совпадает с направ­

лением движения тела в этой точке.

Значение модуля мгновенной скорости, напри­

мер автомобиля, показывает спидометр (рис. 1.15).

Проверьте себя Рис. 1.15

1. Что такое средняя путевая скорость? Как её определяют? 2. Какую скорость называют средней скоростью? 3. Как определяют мгновенную скорость?

УПРАЖНЕНИЕ 4

1. Автомобиль за первые 0,5 ч проехал 36 км, а следующие 0,5 ч двигался со скоростью 25 м/с. Какова средняя путевая скорость автомобиля на всём пути?

2. Первую половину времени мотоциклист двигался со скоростью 72 км/ч, а вторую - со скоростью 15 м/с. Какова средняя путевая скорость мотоцик­листа на всём пути?

3. Поезд прошёл первую половину пути со скоростью 40 км/ч, а вто­рую - со скоростью 60 км/ч. Какова средняя путевая скорость движения поезда?

§ 6. Ускорение Теперь же перейдём к движению ускоренному.

Прежде всего необходимо будет подыскать этому естественному явлению

соответствующее точное определение.

Г.Галилей

При неравномерном движении тела его мгновенная скорость изменяется

с течением времени. Изменение скорости тела может происходить очень быстро,

например при движении снаряда в стволе пушки при выстреле, и сравнительно

медленно, например при отправлении поезда.

Обозначим скорость тела в начальный момент через ii0 (рис. 1.16), а спустя время t - через ii, тогда изменение скорости равно Лii = ii - ii0 • Быстроту изменения скорости характеризуют специальной величиной, которую называют

ускорением и обозначают а.

21

о

дv . ... Рис . 1.16

х

Ускорением назьmают физическую величину, равную отношению измене­ния скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло:

1- дй й - йо 1 а = - = --- . 1 t

(1.9)

Ускорение - вектор. Направление ускорения совпадает с направлением

вектора изменения скорости (см. рис. 1.16). Формулу (1 .9) можно записать для проекции ускорения:

Ux - Vor ах = t

Если мгновенная скорость неравномерного движения изменяется одинаково

за любые равные промежутки времени, то это движение называют движением

с постояняым ускорением или равноускоревиым движением. Такое движение

совершает тело, падающее на землю, шайба, получившая удар клюшкой и

скользящая по льду.

Единицу ускорения получим из выражения для модуля ускорения (а= ~v} 1 м

с м [aJ = тc = l c2 ·

Метр на секунду в квадрате равен ускорению прямолинейного равно­

ускоренного движения материальной точки, при котором за 1 с её скорость изменяется на 1 м/с.

и ...

о

Рис. 1.17

22

Выразим из формулы ускорения (1.9) скорость тела в любой момент времени t :

1 й = йо + ii.t. 1 (1 .10)

Векторному уравнению (1.10) соответствует уравнение в проекциях на ось ОХ:

1 v" = Vo" + a"t. I (1.11)

Графиком зависимости проекции скорости

от времени при движении тела с постоянным

ускорением является график линейной функции

(рис. 1.17).

Проверьте себя

1. Что такое ускорение? 2. В каких единицах выражают ускорение? 3. Как направлен вектор ускорения? 4. По какой формуле можно найти скорость тела, движущегося с посто­янным ускорением?

УПРАЖНЕНИЕ 5

1. С каким ускорением двигался мотоциклист, если его скорость увеличи­лась с 5 до 15 м/с за 20 с?

2. За какое время скорость автомобиля уменьшилась с 20 до 12 м/с, если он двигался с ускорением, равным по модулю 0,2 м/с2?

3 . Проекция скорости тела, движущегося прямолинейно, изменяется по закону v.., = 4 + 0,5t (все величины выражены в единицах СИ). Чему равна скорость тела через 10 с от начала движения? Постройте график v.., = v"(t).

§ 7. Перемещение nри nр•моnинеiном равноускоренном движении

Механика - рай для ~tатематических наук.

Леонардо да Вивчи

Найдём зависимость перемещения от времени при движении точки с посто­янным ускорением. В§ 3 мы выяснили, что при равномерном прямолинейном движении проекция перемещения численно равна площади прямоугольника,

расположенного под графиком, выра-

жающим зависимость проекции ско­

рости от времени (см. рис. 1.8). Пока­жем, что при равноускоренном дви­

жении проекцию перемещения можно

определить аналогично.

Для этого обратимся к графику за­висимости проекции v.., скорости от времени t для случая, когда а.., > О,

v0.., > О (рис. 1.18). Разобьём интервал времени движения тела на такие ма­

ленькие промежутки Лt, в течение ко­

торых движение можно считать равно­

мерным. Тогда произвольная: полоска

abcd будет мало отличаться от пря­моугольника, поэтому можно считать,

что её площадь численно равна произ­

ведению скорости на этот промежуток

времени. Сумма площадей всех таких

полосок даст площадь фигуры ОАВС.

о

в

1 1 1 1

... 1 r:j~ 1

1 1 1

------ - ~ п,

Рис. 1.18

1 1 1 1 1 1

CI

23

Из рис. 1.18 видно, что эта фигура является трапецией. Из геометрии из­вестно, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на

высоту, т. е.

S = (ОА + ВС) · ОС. 2

Длины оснований ОА и ВС численно равны проекциям Vox и их, а длина высо­ты ОС - времени t движения. Поэтому для проекции перемещения на ось ОХ получаем выражение

(и0, + и0• + a, t)t S x = 2

или

Если начальная скорость тела равна нулю ( v0 = 0), то а t2

s - • % - - 2- ·

(1 .12)

Из§ 2 известно, что координата тела и проекция Sx перемещения связаны

формулой х = х0 + S x . Следовательно,

1 х = Хо + Vort + ~ · 1 (1 .13)

Это уравнение называют уравнением движения тела с постоянным уско­

рением.

Выведем формулу для вычисления проекции перемещения тела, в которую

не входит время движения. Из формулы (1 .11) найдём время:

Подставив это выражение для времени в уравнение (1 .12), получим:

Эту формулу можно записать иначе:

(1.14)

ЗАДАЧА

Тело начинает движение с постоянным ускорением и за вторую секунду

проходит путь 3 м. Определите путь, который пройдёт это тело за четвёртую

24

секунду своего движения, и сравните пути, пройденные телом за первую, вто­

рую, третью и четвёртую секунды.

Р е ш е н и е. Примем за начало отсчёта координат точку начала движения (рис. 1.19). Из общего уравнения движения

подставив в него

Хо = О, v0 ... = О и а ... = а, получим:

at2

х = т·

О ... 1 ."l"~-t1 ... ~ ..... 1 __ L_, --t•~li""'~t-2 ____ La ___ _,.~I Хз Рис . 1.19

Определим пройденные пути:

а · 12

за первую секунду - l1 = Х1 = - 2-;

а · 22

за вторую секунду - l2 = Х2 - х 1 = - 2-а · 12 За.

- -2- = 2'

а · З2 а · 22 ба . за третью секунду - lз = Хз - Х2 = - 2- - - 2- = 2'

а· 42 а · З2 7а за четвёртую секундУ - z. = х. - Хэ = - 2- - - 2- = 2·

Найдём отношение путей, пройденных за 1, 2, 3 и 4-ю секунды:

l . l . l . l а . За . ба . 7а - 1 . 3 . 5 . 7 1· 2· 3· 4= 2·2·2· 2- ....

" х

Обобщая, сделаем вывод: пути, которые проходит за последовательные равные промежутки времени тело, движущееся с постолн:н:ым ускорением из

состояния покоя, относятся как ряд нечётных чисел:

l l 1 : l 2 : l3 : l4 : l 5 ." = 1 : 3 : 5 : 7 : 9 ... . 1 (1.15)

Справедливо и обратное утверждение: если пути, проходимые телом из со­стояния покоя за последовательные равные промежутки времени, относятся

как ряд нечётных чисел, то такое движение будет равноускоренным .

Теперь найдём путь, пройденный телом за четвёртую секундУ. Из форму­лы (1.15) получим:

25

тогда

Проверьте себя

1. Как по графику зависимости проекции скорости от времени определить проекцию перемещения тела?

2. По какой формуле для равноускоренного движения находят проекцию перемещения тела? координату тела?

3. Как найти проекцию перемещения тела, если известны его ускорение, начальная и конечная скорости?

УПРАЖНЕНИЕ 6

1. Гоночный автомобиль, стартуя с места и двигаясь с постоянным ускоре­нием, прошёл путь 400 м за 8 с. С каким ускорением он двигался?

2. Трамвай, двигавшийся со скоростью 12 м/с , начинает торможение. Чему равен его тормозной путь, если он остановился через 8 с?

3. Самолёт прошёл взлётную полосу за 20 с и в момент отрыва от земли имел скорость 120 м/с. С каким ускорением он двигался по взлётной полосе и какова её длина?

§ 8. Сво6одное nадение теn Наука, связывающая теорию и эксперимент,

фактически началась с работ Галилея.

А. Эйнштейн, Л. Ивфелъд

Наиболее распространённый вид равноускоренного движения на Земле -свободное падение тел. Такое движение изучал итальянский учёный Г. Галилей, который установил, что в данном месте Земля сообщает всем телам одина­

ковое ускорение. Это ускорение называют ускорением свободного падения, его

модуль обозначают буквой g.

26

Галилео Галилей

(1564- 1642)

В справедливости утверждения Галилея убедимся

на опыте . Поместим в длинную стеклянную трубку

свинцовую дробинку, пробку и птичье пёрышко. Рас­

положив трубку вертикально, мы увидим, что все эти

предметы упадут на дно в разное время: сначала дро­

бинка, затем пробка, наконец перо (рис. 1.20, а). От­

качаем из трубки воздух . Повторив опыт, мы увидим, что эти же тела упадут одновременно (рис. 1.20, 6). Следовательно, в вакууме все тела под действием

притяжения Земли падают с одинаковым ускорени­

е.11~. Движение тела только под влиянием притяжения

Земли называется свободным падением.

о 0,2

1 0,8

1,8 2

3 3,2

4

а б

Рис. 1.20 Рис. 1.21

Если сделать ряд моментальных снимков падающего шарика через равные

промежутки времени, то, измерив расстояния между последовательными

положениями шарика (рис. 1.21), можно установить, что его движение дей­ствительно равноускоренное (см. задачу из § 7), а также можно определить значение ускорения свободного падения.

В различных местах на поверхности Земли ускорение свободного паде­

ния неодинаково. Оно изменяется примерно от gэ = 9, 78 м/с2 на экваторе до g 0 = 9,83 м/с2 на полюсе. В средних широтах ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли равно g = 9,8 м/с2 •

При решении задач мы будем использовать

приближённое значение g::: 10 м/с2, когда сопро-тивлением воздуха можно пренебречь.

ЗАДАЧА

Тело, находящееся на высоте h 1 = 6 м над ямой глубиной h2 = 4 м, бросают вертикально вверх с начальной скоростью 5 м/с. Через какое время тело упадёт на дно ямы?

Решение. За начало отсчёта координат при­мем начальное положение тела. Изобразим на

рисунке вектор начальной скорости й0 и вектор ускорения g тела. Координатную ось ОУ напра­вим вертикально вверх (рис. 1.22).

у

о

Рис. 1 .22

27

Запишем уравнение координаты у для движения тела с постоянным уско­рением :

Так как

а t 2

У = Уо + Voyt + т·

Уо = О, Vov = Vo, av = -g,

то уравнение движения тела примет вид

gt2 у= Vot - 2·

Когда тело упадёт на дно ямы, его координата

у = -(h1 + h2) .

Следовательн~>,

или

gt2 - 2v0t - 2(h1 + h2) = О.

Решив это уравнение относительно t, получим:

t = Vo + Jv~ + 2g(h,_ + ~); t = 2 с. g

(Второй корень уравнения имеет отрицательное значение, что при заданных условиях не имеет физического смысла.)

Проверьте себя

1. Какое движение тела называют свободным падением? 2. С каким ускорением движутся тела при свободном падении? 3. Какой опыт показывает, что различные тела в вакууме падают с одина­

ковым ускорением?

УПРАЖНЕНИЕ 7

1. Камень брошен с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 10 м/с. Через какое время он упадёт на землю?

2. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью 18 м/с. Опреде­лите модУЛИ v1 и v2 скорости тела в моменты времени t 1 = 1 с и t 2 = 3 с от на­чала движения.

3. Какой путь проходит тело при свободном падении за первую секунду своего движения? за вторую? за третью?

4. Тело свободно падает с высоты 80 м. Какой путь оно проходит за послед­нюю секунду падения?

5. Тело свободно падает с высоты 20 мот поверхности земли. Определите время его падения и скорость в конце пути.

28

6. Из точки, находящейся на высоте 100 м над поверхностью земли, бросают вертикально вниз тело со скоростью 10 м/с. Через какое время оно достигнет поверхности земли?

§ 9. Дв11жен11е теn, 6роwенных nод yrnoм к rор113Онту

Человек знает физику, если он умеет решать задачи.

3. Фер!\m

В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение тел вблизи поверх­

ности земли в вертикальном направлении. Теперь мы изучим движение тела,

брошенного под некоторым углом к горизонту . Такое движение совершают, например, струи воды, выбрасываемые из фонтана (рис . 1.23).

Рассмотрим следующий опыт. Два одинаковых шарика начинают одно­

временно падать с одной и той же высоты (рис. 1.24): один - по вертикали вниз, другой, которому отогнутая

упругая пластинка П сообщила скорость в горизонталь­ном направлении, - по кривой. Шарики ударяются о

пол одновременно. Следовательно, время падения обоих шариков одинаково.

Если сделать серию мгновеввых фотографий шариков

во время их падения, то получится картина, приведёвная

на рис. 1.25. Хорошо видно, что в любой момент времени шарики находятся на одной и той же высоте. Следователь­

но, наличие горизонтальной скорости у одного из них не

сказывается на его движении по вертикали.

Если к установке, изображёвной на рис. 1.24, приста­вить вертикально лист фанеры, а шарик смазать зубной пастой и снова сообщить ему горизонтальную скорость,

I -Vo -i1 ' ' ' '\

\

"---. 1 ' ·----· 1 ' : \ ·--------~

: \

Рис. 1.23

\ \ \ \

1 \

: \ t - - ---------1 1 1

Рис . 1.24 Рис. 1.25

29

то на листе фанеры останется след от зубной пасты - траектория шарика. Это

означает, что шарик движется в вертикальной плоскости (содержащей век­

тор g). Поэтому для определения положения шарика в любой момент времени нужно знать две его координаты: х и у.

Движение тел, брошенных под углом к горизонту, происходит с постоян­

ным ускорением свободного падения, поэтому уравнения движения имеют вид

8zt 2,

х = Хо+ V0:rt + - 2-,

gvt2 у = Уо + Voyt + -2- .

Если ось ОХ направить горизонтально, а ось ОУ - вертикально, то g :r =О, и уравнения движения выглядят так:

ЗАДАЧА 1

х = х0 + v0:rt;

gvt2 у = Уо + Vogt + - 2- .

Шару, лежащему на краю стола высотой Н, толчком сообщили горизонталь­ную скорость v0 • Как далеко от места сбрасывания шара со стола он упал на

пол? По какой траектории он двигался? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Примем за начало отсчёта координат точку О, из которой брошен шар, ось ОХ направим горизонтально, а ось ОУ - вертикально вниз (рис . 1.26).

Запишем уравнения для координат х и у:

х = х0 + Vo:rt;

gvt2 У = Уо + Voyt + - 2- ·

Выразим проекции векторных величин, входящие в эти уравнения, через

их модули:

у

Рис. 1 .26

30

Voz = Vo; Vo11 = О; g11 = g.

Учитывая значения начальных координат (х0 =О, Уо = О), получим:

gt2 Х = Vot; у = т·

В момент падения шара на пол его координата х

равна дальности полёта l, а координата у - высоте

стола Н. Тогда

l = Vot;

gt2 Н =т

(1)

(2)

Найдём из соотношения (2) время полёта шара ( t в выражение (1) для дальности полёта:

{2ii l = Vo'{g '

J2: ) и подставим его

Чтобы узнать, по какой траектории движется шар, наидем связь между его координатами у их. Выразим время t из уравнения для координаты х и подставим его в уравнение для у:

Это уравнение параболы, т. е. траектория движения шара в этом слу­чае представляет собой параболу, вершина которой находится в точке его сбрасывания.

ЗАДАЧА 2

Тело брошено с начальной скоростью й0 , направленной под углом а. к гори­зонту. Найдите время t движения тела, его максимальную высоту подъёма Н и дальность полёта l .

Решение. За начало отсчёта координат примем точку О, из которой брошено тело (рис. 1.27). Ось ОХ направим горизонтально, а ось ОУ - вер­тикально вверх.

Запишем уравнения для координат:

Х = Хо + Voxt + g"t2. - 2- ·

gvt2 - 2- ·

Выразим проекции величин, входящих в эти уравнения, через их модули:

v0" = v0cosa; Vov = v0 sina; g x = О; gv = - g.

у

}{ ----------------

/

О Uor lX

Рис. 1.27

31

Учитывая значения начальных координат (х0 = О, у0 = О), получим:

х = (v0 cosa)t; . gt2

у = (v0 sma)t - 2·

Когда тело упадёт на землю, его координата у будет равна нулю (у = О) :

gt2 О = (v0 sina)t - 2 ·

Отсюда время движения тела

2и0 sin CL t=

g

Наибольшую высоту подъёма найдём, подставив в уравнение для координа­

ты у время t 1 подъёма тела . Это время определим из уравнения для проекции скорости на ось ОУ:

v 11 = Vo11 + g11t .

Поскольку в верхней точке V v = О, а t = t 1, то О = v0 sina - gt1•

Тогда

t _ и0 sin CL 1 - • g

Следовательно,

и2 sin2 а Н = о •

2g

Дальность полёта тела получим, подставив в уравнение для координаты х выражение для всего времени движения:

l = и~ sin 2а . g

Зависимость дальности полёта тела, брошенного под углом к горизонту, от

значения этого угла можно наблюдать на опыте. Если направлять струю воды,

вытекающую из шланга, под различными углами к горизонту, то мы увидим,

Рис. 1.28

32

что с увеличением угла от О до 45° струя бьёт всё дальше и дальше (рис. 1.28). Для угла в 45° дальность полёта частиц воды наибольшая. При

дальнейшем увеличении угла дальность полёта струи уменьшается.

Наличие сопротивления воздуха приводит к

тому, что реальная траектория тела, брошенного

под углом к горизонту, отличается от расчётной

и дальность полёта тела уменьшается в несколько

раз.

УПРАЖНЕНИЕ 8

1. С самолёта, летящего горизонтально со скоростью 540 км/ч на высоте 500 м, сбрасывают груз. На каком расстоянии от места сброса груз упадёт на землю? Сопротивление воздуха не учитывать.

2. Снаряд вылетает под углом 60° к горизонту с начальной скоростью v0 = 500 м/с. Определите время и дальность полёта снаряда, а также макси­мальную высоту его подъёма.

3. Под каким углом к горизонту надо бросить мяч, чтобы максимальная высота его подъёма была равна дальности полёта?

§ 10. Равномерное движение no окружности

Понять Вселенную может лишь тот,

кто снач.ала выуч.ит язык и постигнет

письАU?на, которыми она начертана.

Г. Галилей

Простейшим прим-ером криволинейного движения является движение по

окружности, весьма распространённое в природе и технике. Так движутся,

например, точки поверхности Земли, вращающейся вокруг своей оси, точки

стрелок часов, колёс автомобилей, части

маховиков.

Важность изучения движения по окруж­

ности связана и с тем, что любую криволи­

нейную траекторию можно представить как

совокупность дуг окружностей различных

радиусов (рис. 1.29). Начнём изучать движение по окруж­

ности с опыта. Приведём во вращение

точильный камень (наждачный круг руч­

ного точила) и прижмём :к нему стальной

стержень. При этом мы увидим пучок искр,

вылетающих из-под стержня в месте

его прикосновения :к :камню (рис. 1.30). Эти мелкие раскалённые частички стали

и камня, оторвавшись, летят по :касатель­

ной к окружности в той точке, к которой

прикасается стержень. Следовательно,

скорость частичек в данной точке направ­

лена по касательной к окружности в этой

точке.

Направление скорости точки, движу·

щейся по окружности, постоянно меняется

Рис. 1.29

Рис. 1.30

33

Рис . 1.31

(рис. 1.31). Если при этом модуль скорости точ­ки не изменяется, то такое движение называют

равномерным движением по окружности.

Для описания равномерного движения по

окружности используются следующие величины:

период, частота, угол поворота, угловая и линей­

ная скорости.

Периодом обращения называют физическую величину, равную времени, в течение которого

точка, двигаясь по окружности, совершает

один оборот.

Период обращения обозначают буквой Т и выражают в секундах:

[Т] = 1 с.

Частотой обращения называют физическую величину, равную числу обо­

ротов, совершаемых точкой при равномерном движении по окружности

за 1 с.

Частота обращения обозначается буквой п. Она очень просто связана с пе­

риодом обращения Т. Если, например, за время t тело совершило N оборотов,

t N то период обращения Т = N, а частота обращения п = t Следовательно, ча-

стота - это величина, обратная периоду:

34

(1.16)

Из этой формулы можно найти единицу частоты:

[п]= ! =с-1 • с

Рис. 1.32

Секунда в минус первой степени равна часто­

те обращения, при которой за 1 с материальная точка, двигаясь равномерно по окружности, со­

вершает один оборот.

Пусть материальная точк~. двигаясь по окруж­

ности из точки А (рис. 1.32), оказалась в точке А'. Изменение её положения на окружности харак­

теризуют углом поворота <р радиуса-вектора R.

Углом поворота ер называют физическую вели­

чину, равную углу, на который поворачивает­

ся радиус-вектор, соединяющий движущуюся точку с центром окружности.

Единица угла поворота - радиан (рад) 1•

Быстроту изменения угла поворота радиуса-вектора характеризуют угловой

скоростью, которая обозначается буквой w.

Угловой скоростью равномерного движения точки по окружности называют

физическую веJIИЧИНУ, равную отношению угла поворота радиуса-вектора

точки за некоторый промежуток времени к этому промежутку:

w = .2.. t

Из формулы (1.17) определим единицу угловой скорости:

[w] = 1 рад/с .

(1.17)

Радиан в секунду равен угловой скорости равномерно обращающейся точки,

при которой за время 1 с радиус-вектор этой точки поворачивается па угол 1 рад.

Из соотношения (1.17) получим зависимость угла поворота от времени:

<р = wt. (1 .18)

За время, равное периоду Т, радиус-вектор точки поверпётся на угол, рав­

ный 2п, поэтому в соответствии с формулой (1.18) можно записать:

откуда

1 Поскольку п = Т' то

2п = wT,

2n W = т·

w = 2пп.

(1 .19)

Найдём связь между скоростью и движения материальной точки по ок­

ружности (линейной скоростью) и угловой скоростью w. Путь, пройденный

точкой за один оборот по окружности радиусом R, равен длине окружности : l = 2пR. Но этот же путь при равномерном движении точки выражается фор­

мулой l = иТ. Следовательно, 2nR = иТ. Отсюда

или с учётом соотношения (1.19)

21tR и = т·

U = WR.

1 1 рад равен центральному углу, длина дуги которого равна радиусу.

(1.20)

35

Скорость равномерного движения материальной точки по окружности (ли­

нейная скорость) равна произведеншо угловой скорости точки на радиус

окружности.

Проверьте себя

1. Что такое период обращения? 2. Какую физическую величину называют частотой обращения? 3. Как связаны период и частота обращения? 4. Что такое угол поворота радиуса-вектора? В :каких единицах его выражают? 5. Какую физическую величину называют угловой скоростью? В каких

единицах её выражают? 6. Какова зависимость между линейной и угловой скоростями точки при

её движении по окружности?

УПРАЖНЕНИЕ 9

1. Точка движется равномерно по окружности радиусом 0,5 м со скоростью 3,14 м/с. Сколько оборотов она сделает за время t = 10 мин?

2. Минутная стрелка часов на Спасской башне Московского Кремля имеет длину 3,5 м. С какой линейной скоростью движется конец этой стрелки?

3. Каковы угловая и линейная скорости точек поверхности Земли, располо­женных на экваторе? Радиус Земли считайте равным 6400 км.

8f$i·I~1:; i §Q {3: t•}8 Аристотель считал круговое движение самым простым . Он писал : «Круговое движе­ние первичнее прямолинейного, поскольку оно проще и более совершенно . Ведь бесконечно перемещаться по прямой линии нельзя•>.

§ 11. Центростремитеnьное ускорение Если материальная точка движется равномерно по окружности, то её вектор

скорости, оставаясь неизменным по модулю, всё время меняет своё направление

(см . рис . 1.31). Поэтому такое движение происходит с ускорением. Определим модуль ускорения и его направление.

Пусть за время t тело (материальная точка) , двигаясь равномерно по окруж­

ности радиусом R, переместилось из точки А в точку В (рис . 1.33). Скорость тела в точке А равна ii1, в точке В - ii2 . Так как скорости ii1 и ii2 равны по модулю, то модуль скорости обозначим через v. Вспомним, что ускорение точки равно отношению изменения скорости Лii к промежутку времени t, за который произошло это изменение:

- дй а =т·

Из этой формулы следует, что вектор ускорения ii. направлен так же, как и вектор Лii. Выясним, как направлен вектор Лii . Для этого перенесём вектор ii2 параллельно самому себе так, чтобы начала векторов ii1 и ii2 совпали. Затем

36

соединим их концы вектором Лii, направленным от

конца вектора ii1 к концу вектора ii2 • В соответст-вии с правилом вычитания векторов Лii = ii2 - ii1• ац

Если угол между радиусами , проведёнными в точки А и В, равен q>, то угол между векторами ско­ростей ii1 и ii2 также равен q>, поскольку эти векторы перпендикулярны радиусам ОА и ОВ.

Будем уменьшать промежуток времени t, при этом точка В станет приближаться к точке А и О будет уменьшаться угол q> между радиусами ОА и ОВ, следовательно, и между векторами ii1 и ii2 • Рис . 1.33 При этом вектор Лii поворачивается так, что прибли-жается к радиусу, соединяющему центр окружности с точкой А, т. е. вектор Лii

оказывается направленным к центру окружности. Значит, и вектор ускорения

направлен к центру окружности. Поэтому •стремящееся к центру~ ускорение называют центростремительным и обозначают iiц.

Найдём модуль центростремительного ускорения. Треугольник АОВ и тре­

угольник, образованный векторами ii1 , ii2 и Лii, подобны как равнобедрен­ные с равными углами при вершинах (см. рис. 1.33). Поэтому, учитывая, что v1 = v2 = и и модуль s перемещения равен длине хорды АВ (s = АВ), получим:

Ли s v = R'

откуда

Ли= vs. R v

Для малых углов q> длина s хорды приблизительно равна длине дуги АВ . v

Длина же дуги АВ - это путь, пройденный точкой с постоянной по модулю

скоростью и. Он равен иt . Следовательно,

s = vt. Поэтому для Ли получим:

v · иt Ли и2

Ли = -Я' или t = R,

Ли где -t- есть модуль ускорения. Таким образом, центростремительное ускорение

равно

(1.21)

Центростремительное ускорение равно отвошеишо квадрата скорости ма­

териальной точки к радиусу окружности, по которой она движется.

2п Используя формулы v = wR и ю = 2nn = Т' для центростремительного

ускорения получим:

(1.22)

37

Проверьте себя

1. Можно ли равномерное движение по окружности считать движением без ускорения?

2. Как направлен вектор центростремительного ускорения? 3. Чему равен модуль центростремительного ускорения?

УПРАЖНЕНИЕ 10

1. С каким центростремительным ускорением движется по выпуклому мосту радиусом 45 м автомобиль, если его скорость равна 54 км/ч?

2. Определите центростремительное ускорение Земли при её движении во­круг Солнца. Считайте орбиту Земли окружностью радиусом 1,5·108 км.

3. С каким центростремительным ускорением и с какой скоростью движет­ся искусственный спутник Земли, если высота его орбиты над поверхностью Земли 1200 км, а период обращения 105 мин? Считайте, что спутник движется по круговой орбите с постоянной скоростью.

4. Камень брошен со скоростью 10 м/с под углом 45° к горизонту. Опреде­лите радиус кривизны траектории в точке с максимальной высотой.

ИЗ ИСТОРИИ СОЗДАНИЯ КИНЕМАТИКИ

Науку, которая рассматривает сами по себе движения ... я называю кинематикой.

А. Ампер

Механика - одна из древнейших наук. Её возникновение и развитие

связаны с практическими потребностями человеческого общества. Первые до­шедшие до нас трактаты по механике появились в Древней Греции. Термин

•механика• ввёл в науку древнегреческий учёный Аристотель (IV в. дон. э.).

Механика как самостоятельная наука о движении тел родилась в эпоху Возрождения, когда развитие ремёсел, торговли, мореплавания и военного дела потребовало уточнения представлений о неравномерных и криволиней­

ных движениях и заставило искать законы, управляющие этими движениями.

Леонардо да Винчи

(1452- 1519)

38

В конце XV в. Леонардо да Винчи, итальянский художник, скульптор, архитектор, учёный и инженер,

проводит первые опыты по исследованию падения тяжё­

лых тел. В своих научных трудах он пишет о том, что

наука должна строиться на опыте и на математическом

расчёте: •Мне кажется, что пусты и полны заблужде­ний те науки, которые не порождены опытом - отцом всякой достоверности и не завершаются в наглядном опыте. Никакой достоверности нет в науках там,

где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой».

Большое влияние на развитие механики оказало учение о гелиоцентрической системе мира польского

Рис. 1.34 Рис. 1.35

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

учёного Н. Коперника (XVI в.) и открытие немецким астрономом И. Кеплером законов движения планет (начало ХVП в. ).

Основателем же механики считается итальянский учёный Галилео Галилей.

Он впервые ввёл понятия равномерного движения, скорости и ускорения при

прямолинейном движении, сформулировал принцип относительности движения.

Галилей установил, что свободное падение тел является равноускоренным

движением. Перед Галилеем возникла проблема: как проверить законы свобод­ного падения тел, если это движение происходит очень быстро и нет приборов

для отсчёта малых промежутков времени? Чтобы уменьшить скорость паде­

ния тел, Галилей применил наклонную плоскость . В доске он сделал жёлоб, выстланный для уменьшения трения пергаментом (рис. 1.34), и пускал по жёлобу отполированный шар. Пуская его с половины, четверти и т. д. длины

наклонной плоскости, Галилей установил, что пройденные шаром по наклонной

плоскости пути относятся как квадраты времени движения.

По преданию, Галилей наблюдал падение с наклонной Пизанской башни

различных тел, которые достигали земли почти одновременно (рис . 1.35). Небольшую разницу во времени падения тел Галилей объяснил наличием со­

противления воздуха. Такое объяснение было тогда принципиально новым,

поскольку со времён Аристотеля утвердилось представление, что, двигаясь,

тело оставляет за собой пустоту, а •природа ве терпит пустоты • . Воздух

устремляется в пустоту и толкает тело, т. е . считалось, что воздух не замедляет,

а, наоборот, ускоряет тела. Таким образом, Галилей впервые доказал, что

Земля сообщает всем телам вблизи своей поверхности одинаковое ускорение.

39

В научных исследованиях Г. Галилей сделал два принципиально важных шага: обратился к физическому опыту и соединил физику с математикой.

В ХVП-ХVШ вв. для развития техники мануфактурного производства по­

требовалось изучение вращательного движения. В 1673 г. Х. Гюйгенс создал первую теорию движения точки по окружности, ввёл понятие центростреми­тельного ускорения и вывел формулу для его расчёта.

Под влиявием запросов машинной техники и необходимости исследований передачи движения в механизмах в первой половине XIX в . возникла потреб­ность выделить кинематику в самостоятельный раздел. На целесообразность этого в 1834 г. указал французский физик А. Ампер, который предложил и само название •кинематика• .

В XIX- XX вв . в связи с изучением движения всё более сложных объектов произошло разделение кинематики на несколько самостоятельных частей .

Таким образом, несмотря на свою древнюю историю, кинематика развивается

и совершенствуется .

•

40

САМОЕ ВАЖНОЕ в rnABE 1

• Основная задача механики - нахождение положения тела в пространстве в любой момент времени.

• Механическое движение - изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени.

• Система отсчёта - тело отсчёта и связанные с ним система координат и часы.

• Перемещение - вектор, соединяющий начальную и конечную точки траектории тела.

• Уравнение равномерного прямолинейного движения: х = х0 + vxt, где х - коордивата тела в произвольный момент времени t, х0 - начальная

координата, Vx - проекция скорости на ось ОХ. • Закон сложения скоростей: v = й1 + v0 , где й - скорость тела относи­

тельно неподвижной системы координат, й1 - скорость тела относитель-во подвижной системы координат, v0 - скорость подвижной системы

координат относительно неподвижной. • Средняя скорость - физическая величина, равная отношению переме­щения тела ко времени, в течение которого оно было совершено:

- s Vcp = t'

• Мгновенная скорость - скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории:

v = Лs Лt

• Ускорение - физическая величина, равная отношению изменения ско­

рости тела ко времени, за которое это изменение произошло:

ли ii = -t-'

или, в проекциях на ось ОХ:

Ux - Uoz ах= t

• Уравнение движения тела с постоянным ускорением:

а t 2

Х = Хо + Uoxt + 2• где х0 - координата тела в начальный момент времени, Vox и ах - про­екции начальной скорости и ускорения на ось ОХ.

• Центростремительное ускорение - ускорение движущейся по окруж­

и2 ности точки, направленное к центру окружности : ац = R.

Предисловие .. "." .. "."." .... ". " " .. " """ " ... " .. .. " .... " .. """ .. " " .... " .. " " .. .. " . .. . " 3 Введение. Методы научного познания . " .. "."." ." .. .. . .. ". """ """ ". ".". """"..... 4

ЧАСТЬ 1. МЕХАНИКА

Гл а в а 1. Кинематика *§ 1. Механическое движение ."."." " . . "." .. " .. .. "" . .. """""""" ."" .. " .". " . . 10 *§ 2. Траектория, путь, перемещение """""""""""."""""""""" """""". 12 *§ 3. Скорость равномерного прямолинейного движения """"" " """" .. " .. ". 14

§ 4. Сложение скоростей """""""""""""""" "." ." " """"""""""""""" 17 § 5. Скорость при неравномерном движении "".""" .. . """""""""""""".. 19 § 6. Ускорение .... . . ". """" .". ". " . . "." .". " ." ." . " . " . . " " ..... . . ". " .. " ."." " .. ". 21 § 7. Перемещение при прямолинейном равноускоренном движении ". ". "" 23 § 8. Свободное падение тел .. .. " . " .. . .. . . " .. "." ." . ""." . . " .. . .. . .. . .. .. . " ." .. .. ".". 26 § 9. Движение тел, брошенных под углом к горизонту """."""" """"""." 29 § 10. Равномерное движение по окружности .""""""""""""""".".""""". 33 § 11. Центростремительное ускорение """ """ """. """ """"""." " """ "" ". 36

Из истории создания кинематики """""""""""""""""""""""" ". 38 Самое важное в главе 1 . " ."." ..... . .... " . . " .. "" ". ". " . . "." """."" ... " ...... 40