Пилипенко Николай Васильевич

МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ

НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ

ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Санкт-Петербург 2011

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ, МЕХАНИКИ И ОПТИКИ

Пилипенко Николай Васильевич

МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ

ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Учебное пособие

Санкт-Петербург 2011

Пилипенко Н.В. Методы и приборы нестационарной теплометрии на осно-ве решения обратных задач теплопроводности, – СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. – 180 с. В учебном пособии излагаются методы решения прямых и обратных задач теплопроводности с использованием распространенных типов сенсоров. Приведены примеры имитационного моделирования при решении акту-альных задач нестационарной теплометрии. Рекомендовано Учебно-методическим объединением по университетскому политехническому образованию в качестве учебного пособия для студен-тов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Техниче-ская физика».

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в ре-зультате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утвер-ждена Программа развития государственного образовательного учрежде-ния высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский го-сударственный университет информационных технологий, механики и оп-тики» на 2009–2018 годы.

© Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, 2011

©Н.В.Пилипенко, 2011

I

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ .......................................... 1 ВВЕДЕНИЕ .......................................................................................................... 2 1. МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПРИКЛАДНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ ................................................................................................. 5

1.1 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ПРИКЛАДНАЯ ТЕПЛОМЕТРИЯ........................................ 5 1.1.1 Прикладная теплометрия .................................................................. 5 1.1.2 Прикладная теплометрия в науке и технике ................................... 6 1.1.3 Стационарная прикладная теплометрия .......................................... 9 1.1.4 Нестационарная прикладная теплометрия .................................... 10

1.2 ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРОБЛЕМАТИКА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПРИКЛАДНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ ................................................................................................. 10

1.2.1 Цели и задачи прикладной теплометрии ....................................... 10 1.2.2 Тепломер как теплометрическая измерительная система ........... 11

1.3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПРИЕМНИКАХ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ............................ 12

1.3.1 Общие положения ............................................................................ 12 1.3.2 Математическая модель теплопереноса в форме уравнения Фурье, точные и приближенные аналитические решения.................... 13 1.3.3 Дискретные математические модели теплопереноса................... 14 1.3.4 Дифференциально-разностная модель теплопереноса в градиентных приемниках теплового потока .......................................... 17 1.3.5 Калориметрические приемники теплового потока ...................... 18 1.3.6 Динамические характеристики приемники теплового потока.... 18

1.4 МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И ГРАНИЧНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ....................................................... 19

1.4.1 Классические методы восстановления плотности теплового потока ......................................................................................................... 19 1.4.2 Восстановление плотности теплового потока как граничная обратная задача теплопроводности ......................................................... 22 1.4.3 Граничные обратные задачи теплопроводности — некорректно поставленные задачи математической физики ...................................... 23 1.4.4 Восстановление плотности теплового потока методом параметрической идентификации ........................................................... 25

1.5 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА .................................................................... 27

1.5.1 Классический оптимальный цифровой фильтр Калмана............. 27

II

1.5.2 Применение алгоритма цифрового фильтра Калмана для решения граничных обратных задач теплопроводности по восстановлению плотности теплового потока ....................................... 29 1.5.3 Проблемы оптимальной фильтрации Калмана ............................. 30 1.5.4 Стратегия применения алгоритмов фильтра Калмана при В-сплайн аппроксимации плотности теплового потока ....................... 31

1.6 МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ ........ 32 1.6.1 Основные положения....................................................................... 32 1.6.2 Общие составляющие методической погрешности прикладной теплометрии ............................................................................................... 33 1.6.3 Исследование погрешностей восстановления плотности теплового потока методом имитационного моделирования ................ 34 1.6.4 Методическая погрешность параметрической идентификации плотности теплового потока .................................................................... 35 1.6.5 Совместные доверительные области и интервалы оценок составляющих вектора искомых параметров......................................... 36 1.6.6 Планирование экспериментов, реализующих методы обратной задачи теплопроводности ......................................................................... 39 1.6.7 Оптимальное (рациональное) проектирование измерительных и вычислительных компонентов теплометрических систем по критериям совместных доверительных областей или совместных доверительных интервалов ...................................................................... 40

2. РЕШЕНИЕ ПРИЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПРИЕМНИКАХ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ ............................................................................. 44

2.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПРИЕМНИКАХ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ................................................................. 44

2.1.1 Однородный градиентный приемник теплового потока с нелинейным теплопереносом .................................................................. 47 2.1.2 Однородный градиентный приемник теплового потока с постоянными теплофизическими характеристиками............................ 48 2.1.3 Двухсоставный градиентный комбинированный приемник теплового потока с контактным тепловым сопротивлением между элементами................................................................................................. 49 2.1.4 Двухсоставный градиентный комбинированный приемник теплового потока с воздушным зазором................................................. 50 2.1.5 Векторно-матричная форма модели измерений приемника теплового потока ....................................................................................... 51

2.2 ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПРИЕМНИКАХ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ.......................................................................................................... 52

III

2.2.1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений ................................................................................................... 52 2.2.2 Оценки погрешностей решения...................................................... 54 2.2.3 Нелинейные дифференциально-разностные модели преобразователя теплового потока.......................................................... 55 2.2.4 Примеры численных решений прямой задачи теплопроводности ..................................................................................... 55

2.3 ЧИСЛЕННО-АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ ПРИЕМНИКОВ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА .................. 59

2.3.1 Переходные матрицы приемника теплового потока .................... 59 2.3.2 Матричные импульсно-переходные характеристики приемника теплового потока ....................................................................................... 60 2.3.3 Передаточные функции приемника теплового потока ................ 61 2.3.4 Переходные характеристики приемника теплового потока ........ 64 2.3.5 Частотные характеристики приемника теплового потока ........... 64 2.3.6 Статические характеристики приемника теплового потока........ 67

2.4 РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПРИЕМНИКА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ТИПА ТОНКОГО ДИСКА (ПРИЕМНИК ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ГАРДОНА) ........................................................................................................ 67

2.4.1 Постановка задачи ........................................................................... 67 2.4.2 Дифференциально-разностная модель приемника теплового потока Гардона .......................................................................................... 68 2.4.3 Исследования нестационарного теплопереноса и динамических характеристик приемника теплового потока Гардона .......................... 70

2.5 РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПРИЕМНИКА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА С ЭЛЕМЕНТАМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА ........................... 71

2.5.1 Постановка задачи ........................................................................... 71 2.5.2 Дифференциально-разностная модель приемника теплового потока типа полупространства ................................................................ 75 2.5.3 Исследования нестационарного теплопереноса в приемнике теплового потока типа полупространства .............................................. 77 2.5.4 Дифференциально-разностная модель однородного приемника теплового потока на полупространстве .................................................. 80 2.5.5 Исследование нестационарного теплопереноса в приемнике теплового потока ....................................................................................... 80

2.6 РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПРИЕМНИКА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА БАТАРЕЙНОГО ТИПА....................................................... 84

2.6.1 Постановка задачи ........................................................................... 84 2.6.2 Дифференциально-разностная модель батарейного приемника теплового потока ....................................................................................... 85 2.6.3 Исследование нестационарного теплопереноса и динамических характеристик батарейного приемника теплового потока ................... 87

IV

3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПРИЕМНИКЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ................. 93

3.1 ПОСТАНОВКА И ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ....................................................................................... 93

3.1.1 Исходные допущения ...................................................................... 93 3.1.2 Требования к приемнику теплового потока .................................. 94 3.1.3 Выбор метода решения граничной обратной задачи теплопроводности по восстановлению плотности теплового потока . 94 3.1.4 Способ параметризации плотности теплового потока................. 94 3.1.5 Выбор алгоритма параметрической идентификации модели приемника теплового потока ................................................................... 96 3.1.6 Стратегия получения оптимальных оценок полного вектора искомых параметров ................................................................................. 96

3.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ФИЛЬТРА КАЛМАНА ПО ИСКОМЫМ ПАРАМЕТРАМ .......................................................... 98

3.2.1 Постановка задачи ........................................................................... 98 3.2.2 Ковариационные матрицы .............................................................. 98 3.2.3 Алгоритм фильтра Калмана по искомым параметрам ................. 99 3.2.4 Условия входа в алгоритм............................................................. 100 3.2.5 Программная реализация алгоритма............................................ 102 3.2.6 Методика имитационного моделирования (вычислительного эксперимента) процедур восстановления теплового потока и примеры ее реализации ........................................................................................... 102

3.3 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ФИЛЬТРА КАЛМАНА ПО ИСКОМЫМ ПАРАМЕТРАМ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ГРАДИЕНТНЫХ ПРИЕМНИКОВ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ............................................................... 104

3.3.1 Случай динамических измерений при постоянной плотности теплового потока на тыльной стороне .................................................. 104 3.3.2 Случаи восстановления переменного теплового потока ........... 108

3.4 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ РАСШИРЕННОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА............................................................ 110

3.4.1 Постановка задачи ......................................................................... 110 3.4.2 Восстановление плотности теплового потока для приемников теплового потока с линейным теплопереносом................................... 113 3.4.3 Восстановление плотности теплового потока для приемников теплового потока с нелинейным теплопереносом............................... 115 3.4.4 Программная реализация алгоритма расширенного фильтра Калмана .................................................................................................... 116

V

3.4.5 Восстановление плотности теплового потока с помощью алгоритма расширенного фильтра Калмана для однородного градиентного приемника теплового потока ......................................... 117

3.5 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА С ОДНОВРЕМЕННЫМ ОЦЕНИВАНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИЕМНИКА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА ................................................................. 120

3.5.1 Постановка задачи ......................................................................... 120 3.5.2 Алгоритм фильтра Калмана по искомым параметрам ............... 121 3.5.3 Алгоритм расширенного фильтра Калмана ................................ 122

3.6 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ И ОСОБЕННОСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕДЛОЖЕННОЙ МЕТОДОЛОГИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ К ПРИЕМНИКАМ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА РАЗЛИЧНОГО ТИПА ............................... 125

3.6.1 Приемники теплового потока типа тонкого диска (преобразователь теплового потока Гардона)...................................... 125 3.6.2 Приемники теплового потока с элементами полупространства127 3.6.3 Батарейные приемники теплового потока................................... 131

4. ОЦЕНИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЕДЛОЖЕННОЙ МЕТОДОЛОГИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ ..................... 135

4.1 ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ......................................................................... 135 4.1.1 Структура суммарной погрешности ............................................ 135 4.1.2 Прямые измерения плотности тепловых потоков ...................... 135 4.1.3 Косвенные измерения плотности тепловых потоков ................. 135 4.1.4 Состояние проблемы оценивания общих составляющих методической и динамической погрешности прикладной теплометрии ............................................................................................. 137 4.1.5 Состояние проблемы оценивания методической погрешности восстановления плотности тепловых потоков, выполненного методом параметрической идентификации ......................................................... 137

4.2 ОСНОВНАЯ МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ...... 138

4.2.1 Постановка задачи ......................................................................... 138 4.2.2 Оценки метод наименьших квадратов и ковариационная матрица их ошибок................................................................................................. 139

4.3 СОВМЕСТНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ И ИНТЕРВАЛЫ ОПТИМАЛЬНЫХ ОЦЕНОК СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРА ИСКОМЫХ ПАРАМЕТРОВ ...................... 142

4.3.1 Совместные доверительные области оценок составляющих вектора искомых параметров ................................................................. 142 4.3.2 Совместные доверительные интервалы оценок составляющих вектора искомых параметров ................................................................. 144

VI

4.4 СОВМЕСТНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ И ИНТЕРВАЛЫ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В ЗАДАЧЕ ЕЕ ПЛАНИРОВАНИЯ (ОРГАНИЗАЦИИ) ............................................................................................. 145

4.4.1 Постановка задачи ......................................................................... 145 4.4.2 Порядок планирования параметрической идентификации плотности тепловых потоков ................................................................. 147

4.5 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОЛОГИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ТЕПЛОВЫХ ПОТОКОВ И ЕЕ ПЛАНИРОВАНИЕ (ОРГАНИЗАЦИЯ) .................................................................. 148

4.5.1 Постановка задачи ......................................................................... 148 4.5.2 Однородный градиентный приемник теплового потока, теплоизолированный с тыльной стороны............................................. 150 4.5.3 Исследование возможностей определения теплопроводности материала градиентного приемника теплового потока, теплоизолированного с тыльной стороны............................................ 153 4.5.4 Приемник теплового потока с поперечным градиентом типа Гардона ..................................................................................................... 154

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ........................................................... 158

1

ПЕРЕЧЕНЬ СОКРАЩЕНИЙ И ОБОЗНАЧЕНИЙ

АДТ — аэродинамические трубы; ВПТП — высокотемпературный преобразователь теплового потока; ГТД — газотурбинные двигатели; ГУ — граничное условие; ДВС — двигатели внутреннего сгорания; ДРМ — дифференциально-разностная модель; ЛА — летательные аппараты; ММТ — математическая модель теплопереноса; МНК — метод наименьших квадратов; ОЗТ — обратная задача теплопроводности; ПЗТ — прямая задача теплопроводности; ПК — программный комплекс; ПОС — псевдоожиженная система; ПС — псевдоожиженный слой; ПТП — приемник (преобразователь) теплового потока; СДИ — совместный доверительный интервал; СДО — совместная доверительная область; СОДУ — система обыкновенных дифференциальных уравнений; ТИС — теплометрическая измерительная система; ТФХ — теплофизические характеристики; ФК — фильтр Калмана; ЧЭ — чувствительный элемент.

2

ВВЕДЕНИЕ

Во многих интенсивно развивающихся отраслях науки и техники прогресс зависит от решения проблемы прикладной теплометрии — из-мерения локальных плотностей тепловых потоков на поверхностях объек-тов исследования, контроля или управления. В частности, это теплоэнерге-тика, тепловые двигатели, металлургия, электроника, ракеты и космиче-ские летательные аппараты, медицина, биология, теплоизмерительные приборы различного назначения: приемники теплового излучения, измери-тели тепловых потерь промышленных и жилых объектов, теплофизических характеристик (ТФХ) материалов.

В настоящее время разрабатываются и широко используются для прикладной теплометрии различного типа приемники тепловых потоков (в дальнейшим изложении — ПТП), которые, как правило, представляют со-бой автономные достаточно миниатюрные устройства с одномерным теп-лопереносом, а в некоторых вариантах при упрощающих допущениях — одноемкостные. По наличию или отсутствию статических характеристик (градуировок) ПТП могут быть статическими, являясь средствами прямых измерений тепловых потоков, и астатическими — средствами косвенных измерений. Для большинства практически важных случаев прикладная те-плометрия является нестационарной, когда измерения постоянных или пе-ременных во времени плотностей тепловых потоков q(τ) как астатически-ми, так и статическими теплоинерционными ПТП выполняются в неста-ционарных режимах работы последних. При этом возникает необходи-мость расчетного определения (восстановления) плотности входящего в ПТП теплового потока q(τ) по измеряемым температурам или их разно-стям в отдельных точках ПТП с применением современных ЭВМ. Эта за-дача относится к нестационарным граничным обратным задачам теп-лопроводности (ОЗТ), а в аспекте измерительной техники — к косвенным методам измерений q(τ). Значительную роль в развитии нестационарной теплометрии сыграли труды О. А. Геращенко, Т. Г. Грищенко, Н. А. Ярышева, Г. Н. Дульнева, Н. В. Шумакова, Б. М. Смольского, А. Г. Шашкова, Ю. Ф. Гортышева, В. А. Трушина, Л. С. Кременчугского, Ю. А. Полякова, Н. П. Дивина, С. З. Сапожникова, В. Ю. Митякова, П. А. Короткова, Г. Е. Лондона, Г. Л. Гродзовского, В. И. Жука, Г. А. Суркова и других отечественных исследователей.

При разработке методов нестационарной теплометрии усложняю-щим обстоятельством является разнообразие ПТП по типам и разновид-ностям конструкций, тепловых и измерительных схем и, что весьма важ-но, по виду математических моделей теплопереноса (ММТ) в ПТП. ММТ

3

должны адекватно описывать процессы в ПТП с учетом всех значимых особенностей: наличия элементов из разнородных материалов, армирую-щих и защитных слоев, контактных тепловых сопротивлений, воздушных зазоров и др.; зависимость ТФХ материалов от температуры и другие не-линейности; различные граничные условия на тыльной поверхности ПТП и т. д. ММТ должен соответствовать метод решения прямой задачи тепло-проводности (ПЗТ), обладающий приемлемой точностью и вычислитель-ной эффективностью. Кроме того, желательна общность как вида самих ММТ, так и их программного обеспечения по отношению к различным ви-дам ПТП. Предварительный анализ показал, что подобным требованиям удовлетворяют дифференциально-разностные модели (ДРМ). Однако доказательство общности ДРМ для всех известных разновидностей ПТП, а также возможности использования их для получения динамических харак-теристик последних требует проведения соответствующих исследований.

Известно, что в общем случае граничные ОЗТ относятся к некор-ректно поставленным задачам математической физики. Это приводит к возможной неустойчивости их решений и, следовательно, к необходимо-сти обращения к регуляризованным методам решения ОЗТ, интенсивно развиваемым в работах О. М. Алифанова, В. А. Морозова, В. Б. Гласко, Ю. В. Полежаева, Е. А. Артюхина, А. В. Ненарокомова, С. В. Резника, В. В. Михайлова, Ю. Е. Воскобойникова, Дж.. Бека и других исследовате-лей.

В настоящее время общепризнанным является то, что для научно-технических приложений эффективными методами решения граничных ОЗТ являются экстремальные постановки с последующей функциональной (по классификации О. М. Алифанова) или параметрической идентифика-цией (оптимизацией). Они основаны на априорной параметрической ап-проксимации искомой величины q(τ), неизвестные постоянные коэффици-енты (параметры) которой подлежат идентификации. В этих случаях, как правило, применяются регуляризованные алгоритмы решения ОЗТ, реали-зующие итерационный принцип минимизации функционала (функции) не-вязки, что связано со значительными объемами вычислений. Поэтому воз-можности применения этих методов в теплометрических измерительных системах, работающих в реальном времени, существенно ограничены.

В то же время, в работах J.V. Beck, Д. Ф. Симбирского, Ю. М. Мацевитого, А. Е. Воскобойникова, J. Hodge, D. Audley, J. Hayes, Е. Н. Бута, А. С. Гольцова, А. В. Олейника и других исследователей, пред-ложено использовать последовательные (рекуррентные) методы парамет-рической идентификации, в частности, модифицированные алгоритмы из-вестного цифрового фильтра Калмана. Они исходно предназначены для измерительных систем реального времени и доказали свою эффективность при решении ряда граничных ОЗТ для однородных ПТП. Однако их ис-

4

пользование требует проведения соответствующих исследований в части устойчивости, сходимости, возможности получения оценок погрешностей результатов восстановления q(τ).

Одной из актуальных проблем является оценивание и устранение методических погрешностей нестационарной теплометрии, особенно воз-никающих при решениях некорректно поставленных граничных ОЗТ по восстановлению q(τ).

Таким образом, в литературе практически отсутствует научно-обоснованный общий подход к тепломерам как к автономным измеритель-ным системам реального времени, к методологии и возможностям их ис-пользования в нестационарной теплометрии.

Изложенное показывает как научную, так и практическую актуаль-ность нестационарной прикладной теплометрии в особенности при подго-товке бакалавров и магистров по направлению «Техническая физика».

Целью данного учебного пособия является обоснование общей, по отношению к различным типам ПТП и условиям измерений, методологии нестационарной теплометрии пригодной для использования в теплометри-ческих измерительных системах реального времени.

Для достижения этой цели были рассмотрены общие для ПТП раз-личных типов:

– метод моделирования динамики теплопереноса в ПТП, позволяю-щий решать как прямые, так и обратные задачи теплопроводности;

– метод восстановления плотности входящего теплового потока q(τ) путем решения в реальном времени обратной задачи теплопроводности;

– метод, позволяющий оценить погрешности восстановле-ния теплового потока q(τ).

5

1 МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПРИКЛАДНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ

1.1 НЕСТАЦИОНАРНАЯ ПРИКЛАДНАЯ ТЕПЛОМЕТРИЯ 1.1.1 Прикладная теплометрия

Температурное состояние объектов живой и неживой природы, а также процессы создания и преобразования тепловой энергии, опреде-ляющие это состояние, являются одним из наиболее важных и распростра-ненных объектов изучения. Основным экспериментальным инструментом этого изучения является термометрия. Кроме нее, с начала XX века интен-сивно развивается теплометрия — совокупность методов и средств полу-чения экспериментальной информации о плотностях тепловых потоков на границах тел, находящихся в теплообмене с окружающими средами [3, 7, 8, 10, 36, 40, 58, 59, 100, 124, 157, 158, 162, 176, 185, 199, 201, 210 и др.]. Ее предметом являются теплометрические исследования различных объектов, начиная с геофизических, биологических, медицинских и до различных научно-технических и промышленных устройств — от атомных реакторов до космических кораблей.

1.1.1.1 На первом этапе своего развития теплометрия применялась преимущественно при фундаментальных научных исследованиях тепло-вых процессов, в которых, в основном, реализовывались классические ме-тоды, использующие физические явления различной природы. Средства классической теплометрии, как правило, представляют собой достаточно сложные и дорогостоящие физические приборы, измеряющие в основном интегральные характеристики теплообмена и тепловыделения [58].

Второй этап — этап интенсивного развития прикладной тепло-метрии, вызванного в середине прошлого века научно-технической рево-люцией, при которой создание объектов новой техники и новых техноло-гий потребовало разработки и использования значительного количества простейших приемников плотности локальных тепловых потоков (ПТП). Как правило, в них обеспечивается одномерный теплоперенос, а отдельные разновидности при определенных допущениях относятся к од-ноемкостным. Общим признаком простейших ПТП (в дальнейшем — ПТП) является их миниатюрность, которая предоставляет возможности измерять переменные по времени (нестационарные) локальные плотности тепловых потоков q(τ) на теплообменивающихся поверхностях объектов исследований без существенных нарушений их температурного поля и ус-ловий теплообмена с окружающей средой. Исходной информацией (выхо-дом ПТП) для определения плотности тепловых потоков является темпера-тура или ее перепады в отдельных точках ПТП, которые измеряются с по-

6

мощью термометров сопротивления или термоэлектрических, послед-ние — в одиночном, дифференциальном или батарейном исполнении. ПТП, как правило, размещаются либо на исследуемой поверхности, либо заподлицо с нею, либо внутри и даже с тыльной стороны объекта исследо-вания. В некоторых случаях при условии одномерности теплопереноса в качестве естественного ПТП используются фрагменты самого объекта, ос-нащенные термометрами. 1.1.2 Прикладная теплометрия в науке и технике

На рис 1.1 приведена структура известных случаев применения ме-тодов и средств прикладной теплометрии в различных направлениях и объектах науки и техники. Можно констатировать, что:

1.1.2.1 Прикладная теплометрия используется в металлургии, те-плоэнергетике, тепловых двигателях, электронных устройствах, медицине, биологии, теплозащите летальных аппаратов и их термовакуумных испы-таниях, при исследованиях процессов теплообмена в разреженных, сверх-звуковых, двухфазных, псевдоожиженных и др. потоках, в котельном и печном оборудовании, при исследованиях взаимодействия промышленных и жилых объектов (зданий, плотин, шахт, заводских труб, теплотрасс и др.) с окружающей средой и грунтами, в теплоизмерительных приборах раз-личного назначения: приемниках теплового излучения, измерителях теп-лопотерь, измерителях ТФХ материалов и др.

Направления и объекты прикладной теплометрии

Конвективный теплообмен

Лучистый теплообмен

Кондуктивный теплообмен

Сложный теплообмен

Тепловые потери

Аэродинами-ческие трубы

Лопатки турбин

Устройства с использованием

фазовых превращений

Низкотемпе-ратурные ПОС

Приборы измерения излучения

ПТП для измерения излучения

Топки

Космические летательные аппараты

Устройства с контактными сопротивле-

ниями

Установки для определения

ТФХ

Технологичес-кие процессы

Камеры сгорания ДВС

Высокотемпе-ратурные потоки

Диагностика плазмы

Высокотемпе-ратурные ПОС

Строительные конструкции

Трубопроводы, теплотрассы

Энергетическое оборудование

Рис. 1.1. Направления и объекты прикладной теплометрии в науке и тех-нике

1.1.2.2 ПТП отличаются чрезвычайным разнообразием конструк-ций, тепловых и измерительных схем. В соответствии с принятой и используемой нами рабочей классификацией рассматривались

7

следующие типы ПТП: градиентные, калориметрические (рис. 1.3) и с элементами полупространства (рис. 1.4). Разновидности ПТП в рамках указанных типов приведены на рис. 1.2, а принципиальные схемы, особенности конструкции и закрепления на объектах исследования некоторых наиболее сложных из них — на рис. 1.3–1.8.

1.1.2.3 По характеру изменения q в прикладной теплометрии мож-но выделить следующие случаи:

– constq = при неограниченном времени проведения измерений и с выполнением измерений в ускоренном динамическом режиме;

– (τ)q q= — произвольная функция времени, в котором можно вы-делить так называемую пульсационную теплометрию — измерение вы-сокочастотных полигармонических или стохастических (турбулентных) пульсаций q(τ) при их малых отклонениях относительно среднего значения

constq = . 1.1.2.4 Основным свойством ПТП как средства измерения является

наличие или отсутствие статической характеристики (градуировки), ко-торая устанавливает количественную связь выходных величин (сигналов ПТП) с входными величинами constq = . При наличии статической харак-теристики ПТП являются статическими средствами прямых измерений q .

Известно, что многие разновидности ПТП, в частности, калоримет-рические или типа полубесконечного тела, не имеют статической характе-ристики. Тогда они являются астатическими средствами измерения [141].

1.1.2.5 Из анализа литературных источников вытекает разделение прикладной теплометрии на стационарную и нестационарную. Вопросам стационарной прикладной теплометрии или измерениям constq = (без ограничения времени) посвящена существенная часть публикаций. Ис-пользуются, в основном, статические градиентные ПТП, как правило, серийно выпускаемые батарейные и ПТП типа тонкого диска (ПТП Гардо-на), классические однородные (вспомогательная стенка) и некоторые дру-гие.

Несмотря на то, что большинство стандартизованных средств при-кладной теплометрии, их информационное и метрологическое обеспечение предназначены для измерений постоянных тепловых потоков на устано-вившихся режимах работы ПТП, в подавляющем числе случаев на практи-ке более актуальной являются нестационарная теплометрия. Для указан-ных выше ПТП это обстоятельство является особенно важным, так как приспособление к задачам нестационарной теплометрии существенно расширяет область их использования.

8

Рис.

1.2

. Типы

и разновидности

ПТП

для

нестационарной прикладной

теплометрии

ПТП дл

я нестацио

нарн

ой

тело

метри

и

Град

иентны

е

С поперечны

м градиентом

С продольны

м градиентом

Однородны

еСоставные

Батарейные

ГУ на ты

льной

поверхности

Кало

риметри

ческие

С регулярны

м тепловым

режи

мом

Одно-

ёмкостны

еТерм

оанемо

-ме

трические

Массивные

Типа

тонкой

стенки

Боломе

тры

С эл

ементами

полу

пространства

Однородны

еСоставные

С заглублен

-ны

ми

тепропарам

и

С поверхнос

-тными

терм

опарам

иВс

тавки

С гр

адиен-

тыми

ПТП

Коаксиальные

терм

опары

Цилиндрические

q 2=0

п/б тела

t п2=c

onst

t п2=v

art c2

; α2Ес

тественные

Автономн

ые

Анизот

-ропные

9

Рис. 1.3. Конструктивные схемы калориметрических ПТП

Рис. 1.4. Конструктивная схема ПТП с элементами

полупространства

1.1.3 Стационарная прикладная теплометрия 1.1.3.1 К основным проблемам стационарной прикладной тепло-

метрии относятся: уменьшение инструментальных погрешностей, включая градуировку; снижение уровня методических погрешностей, связанных с неодномерностью теплопереноса в ПТП и вносимых ими искажений в ус-ловия теплообмена и температурное поле объекта исследований, приведе-нием полученных для ПТП значений q к исследуемой поверхности и дру-гие. Этим важным для прикладной теплометрии вопросам, которые явля-ются предметом отдельных исследований посвящена обширная библио-графия.

1.1.3.2 Принципиальное значение имеет уровень динамических по-грешностей статических ПТП, которые должны анализироваться для двух случаев:

1) оценки уровня динамических погрешностей измерения q(τ), по-зволяющего статическим ПТП оставаться в рамках средств прямых изме-рений;

2) оценки возможностей и погрешностей ускоренных (динамиче-ских) измерений constq = .

В обоих случаях должны использоваться динамические характери-стики статических ПТП, получение которых требует построения матема-тических моделей теплопереноса и решения для них прямых задач тепло-проводности (ПЗТ). Для многих разновидностей ПТП, особенно неодно-родных, эти вопросы остаются актуальными.

10

1.1.4 Нестационарная прикладная теплометрия Общеизвестно, что статические ПТП в случае измерений constq =

всегда, а в случаях (τ)q q= при пренебрежимо малом уровне тепловой инерционности относятся к средствам прямых измерений q . В свою оче-редь, астатические ПТП в случаях как constq = , так и (τ)q q= исполь-зуются для косвенных измерений — расчетному восстановлению зна-чений q по выходному сигналу ПТП путем решения граничной обрат-ной задачи теплопроводности (ОЗТ) [7, 74, 169, 211 и др.].

Однако, необходимо отметить, что и для статических ПТП из-за обычно имеющей место их значительной тепловой инерции, также прихо-дится решать задачу косвенных измерений, восстанавливая (τ)q q= или

constq = , но в динамическом режиме. Для восстановления q(τ), как правило, необходимо использовать

ЭВМ. В этих случаях часто применяется термин тепломер, под которым понимается ПТП, соединенный с цифровым или аналоговым вычислитель-ным устройством, предназначенным для восстановления q .

Также необходимо отметить становление, по нашему мнению, ново-го перспективного направления в нестационарной теплометрии — так названных градиентных датчиков теплового потока (ГДТП) на базе анизотропных термоэлементов. В частности, под общим научным руково-дством С. З. Сапожникова, за последнее время, созданы ГДТП с высокой чувствительностью и постоянными времени до 10–8…10–9 с, а также мето-дология их применения [160–162]. С их помощью получены уникальные результаты при исследованиях различных видов теплообмена, в том числе и в промышленных условиях. Представляется, что при дальнейшем разви-тии в части повышения уровня рабочих температур, нанесения защитных и чернящих покрытий и, в силу этого, методологии использования ГДТП в составе многослойных ПТП, а также при их размещении на тыльных по-верхностях объектов теплометрии ГДТП могут утвердиться как важное звено современного подхода к исследованию тепловых процессов.

1.2 ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ПРОБЛЕМАТИКА НЕСТАЦИОНАРНОЙ ПРИКЛАДНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ 1.2.1 Цели и задачи прикладной теплометрии

1.2.1.1 Основной целью нестационарной прикладной тепломет-рии является экспериментальное определение плотности q(τ) локального теплового потока на поверхности объекта исследований. Для достижения этой цели используются рассмотренные выше ПТП, и в связи с этим воз-никает основная задача прикладной теплометрии — восстановление по

11

сигналу (выходу) ПТП плотности q(τ) теплового потока — граничного условия задачи Коши для рабочей поверхности ПТП.

После восстановления q(τ) необходимо решить еще одну основную задачу — приведение q(τ) к исследуемой поверхности. Этой, также доста-точно сложной проблеме посвящено значительное количество публикаций.

1.2.1.2 Полученные значения q(τ) обычно используются для по-строения температурного поля объекта исследований и определения гра-ничных условий теплообмена на поверхностях как ПТП, так и исследуе-мой.

Для решения последней задачи необходимо иметь информацию о моделях теплообмена указанных поверхностей с окружаемой средой, а также присоединить к восстановленным значениям q(τ) значения темпера-туры (τ)пt поверхности ПТП. В таком случае появляются принципиальные возможности расчетного определения параметров известных моделей теплообмена.

Чаще всего такими параметрами являются коэффициенты конвек-тивной теплоотдачи α, например, на поверхности лопаток турбин [33, 219 и др.]. В [14] утверждается, что принципиально возможно кроме α опреде-лять параметры радиационной составляющей (интегральную степень чер-ноты ε(T)), температуры омывающей жидкости или газа и др.

В последующем, найденные граничные условия теплообмена на по-верхности ПТП в ряде случаев могут быть естественным образом приведе-ны к исследуемой поверхности при известных теплофизических характе-ристиках обеих поверхностей. В частности, это может быть непосредст-венно выполнено для модели конвективного теплообмена, а с учетом раз-личий в величинах степени черноты обеих поверхностей — для моделей лучистого или сложного теплообмена. 1.2.2 Тепломер как теплометрическая измерительная система

В соответствии с ГОСТ Р 8.596–2002 [121] в качестве субъекта при-кладной нестационарной теплометрии, функционирующего в реальном времени, будем рассматривать теплометрическую измерительную сис-тему (ТИС) (выше — тепломер), состоящую из измерительных, свя-зующих, вычислительных, комплексных и вспомогательных компо-нент, функционирующих как единое целое и предназначенных для:

– получения информации о состоянии ПТП — измерительного ком-понента ТИС;

– машинной обработки результатов измерений температур или их перепадов в ПТП;

– регистрации и индикации этих результатов и результатов их ма-шинной обработки.

12

В соответствии с [121] ТИС обладает основными признаками сред-ства измерения и является их разновидностью.

Основными компонентами ТИС являются измерительные (ПТП) — средства измерений, для которых необходимо нормировать метрологиче-ские характеристики, и вычислительные — цифровые вычислительные устройства с программным обеспечением, выполняющее вычисление ре-зультатов косвенных измерений [74, 121, 129].

Для программ, реализуемых вычислительным компонентом ТИС, требуется нормирование характеристик погрешностей вычислений и его программной реализации. Поэтому научное обоснование ТИС должно содержать такое описание алгоритма восстановления q(τ) и реализацией его программы, которое позволяло бы определять характеристики погреш-ностей результатов этих косвенных измерений.

1.3 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПТП И РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 1.3.1 Общие положения

Математические модели теплопереноса (ММТ) в ПТП используются для решения прямых (ПЗТ) и обратных (ОЗТ) задач теплопроводности.

Основным требованием к ним является высокая степень адекват-ности реальному теплопереносу в ПТП. При решении этой достаточно сложной проблемы целесообразно следовать общепринятой методологии построения (идентификации) ММТ изложенной, например в [69, 130, 194]. В соответствии с нею, вначале должна выполняться структурная иденти-фикация ММТ — выбор ее математической структуры (формы), а затем параметрическая идентификация — установление значений ее парамет-ров (коэффициентов). Применительно к ПТП качественная структурная идентификация ММТ обеспечивается учетом всех существенных факторов теплопереноса, в том числе: наличия составляющих элементов из разно-родных материалов, армирующих и защитных слоев, контактных тепловых сопротивлений, воздушных зазоров и др.; зависимости ТФХ материалов от температуры и другие нелинейности; произвольных граничных условий на тыльной поверхности ПТП и т. д. При этом необходимо отметить, что вве-дение каждого нового фактора из числа вышеперечисленных, повышая степень адекватности ММТ, существенно усложняет последнюю.

Кроме того, ММТ должен соответствовать метод решения ПЗТ, об-ладающий требуемой точностью и вычислительной эффективностью (бы-стродействием), а также желательно — обобщенностью по отношению к известным разновидностям ПТП. При этом более жесткие требования к точности и быстродействию предъявляются к методам решения ПЗТ, ис-пользуемым при решениях потенциально неустойчивых ОЗТ, тогда как

13

при решениях собственно ПЗТ обычно допустима общетехническая точ-ность.

В настоящем разделе будут рассмотрены применяемые на практике ММТ в ПТП и методы решения ПЗТ для них, целью которых чаще всего является получение переходных и других динамических характеристик ПТП, а для статических ПТП — также и статических характеристик (градуировок). 1.3.2 Математические модели теплопереноса в форме уравнения Фурье, точные и приближенные аналитические решения

1.3.2.1 При линейном теплопереносе для однородных ПТП с про-дольным градиентом, как правило, с теплоизолированным тыльным тор-цом, и ПТП с элементами полубесконечного тела в качестве ММТ исполь-зуются точные аналитические решения уравнения Фурье. Некоторые из них можно найти в известных монографиях по теории теплопроводно-сти, например, в [94, 112 и др.]. Они получены либо классическими мето-дами теории теплопроводности, либо методами интегральных преобразо-ваний, чаще всего по Лапласу (операционное исчисление). Некоторые ре-шения специализированы под ПТП, в частности, для случая однородной бесконечной пластины на полупространстве или она же теплоизолирован-ная с тыльного торца [81, 84, 85, 115]. К сожалению, они, как правило, имеют форму бесконечных рядов по специальным функциям, что вносит определенные затруднения при их реализации на ЭВМ.

Необходимо признать, что до настоящего времени широко исполь-зуются решения ПЗТ для однородного полубесконечного тела примени-тельно к пленочным или другого типа микро ПТП, расположенным на по-верхности этого тела или ПТП в форме вставок, в частности, коаксиальной термопары Бендерского [17, 158]. При этом для теплометрии ДВС приме-няется представление произвольного q(τ) в виде ряда Фурье [91, 158, 178 и др.]. Подобное решение ПЗТ используется в работе [79], но для спектраль-ного представления искомого коэффициента теплоотдачи α(τ) .

Операционное исчисление предоставляет возможность получения и использование передаточных функций — одной из основных динамиче-ских характеристик средств измерений. В этом направлении фундамен-тальными для теплометрии являются исследования научных школ Н. А. Ярышева [203–207 и др.], О. А. Геращенко [58, 60 и др.], А. Г. Шашкова [198, 199 и др.], работы А. Т. Короткова и Г. Е. Лондона [100] и ряд других.

Передаточные функции для некоторых тел канонической формы получены в работах по автоматическому управлению их тепловым состоя-нием, в частности, в монографии В. А. Маковского [114] и у многих дру-гих. К сожалению, для ПТП они в общем случае являются трансцендент-

14

ными, что не позволяет использовать их для получения стандартных дина-мических характеристик.

Необходимо отметить, что в ряде случаев исследователи с целью уп-рощения относят многослойные разнородные ПТП с продольным градиен-том и поверхностными термометрами, армирующими, защитными или чернящими покрытиями, нагаром и т. п. толщинами до 0,1–0,2 мм и выше к однородным [44, 45, 91, 158, 178 и др.]. В то же время в работах [38, 39, 91 и др.] показано, что это может привести к существенным погрешностям.

1.3.2.2 При линейном теплопереносе получили широкое распро-странение в качестве ММТ приближенные аналитические решения уравнения Фурье, чаще всего на основе интеграла Дюамеля или функций Грина [36].

Известны методы получения приближенных ММТ на основе опера-ционного исчисления. Так, в ряде случаев обращаются к численной реали-зации обратного преобразования Лапласа [60, 61, 197]. Используется также предложенный Н. А. Ярышевым для задач термометрии [203] и реализо-ванный О. А. Геращенко [58] для теплометрии метод получения прибли-женных ММТ путем аппроксимации исходных трансцендентных переда-точных функций их упрощенными аналогами. Этот метод позволил соз-дать прикладную теорию тепловой инерционности некоторых простейших ПТП. Для линейных однородных ПТП типа полупространства подобные упрощенные аналоги широко и постоянно используются в пульсационной теплометрии [75, 79, 98, 122 и др.]. 1.3.3 Дискретные математические модели теплопереноса

1.3.3.1 Известны различные формы дискретных ММТ и методы решения ПЗТ для них, приведенные в обширной библиографии, вклю-чающей как приближенные методы решения линейных и нелинейных за-дач теплопереноса в твердых телах, например, [127, 159], так и конкретно для различных ПТП. В частности, конечно-разностные модели (КРМ) градиентных ПТП использовались в работах [25, 37, 68, 92, 106, 132, 165, 193, 208, 226 и др.], а типа полубесконечного тела, например, в [79]. Все большее распространение получают конечно-элементные модели (КЭМ), в частности, [34, 236]. Широко известны и используются универсальные программные комплексы ANSYS, NOSTRAN, Cosmos/M, PHOENICS для реализации КЭМ и КРМ различных ПТП, например, в [213, 233].

1.3.3.2 В целом, дискретные ММТ широко используются в практике нестационарной прикладной теплометрии в ряде типовых случаев, а имен-но:

1) При нелинейном теплопереносе в однородных ПТП как альтер-натива методу преобразования нелинейного уравнения Фурье в линейное путем подстановки Кирхгофа, а также отдельным оригинальным прибли-

15

женным методам решения, в частно-сти, [163, 165].

2) Во многих случаях для ли-нейных и нелинейных неоднород-ных ПТП дискретные ММТ являют-ся единственно возможным методом моделирования и решения ПЗТ.

В качестве примера можно привести естественный шестислой-ный неоднородный градиентный ПТП, состоящий последовательно из стеклянной или керамической под-ложки толщиною 1 мм пленочных термопар для измерения температур на поверхностях вспомогательной стенки толщиною 1H = мм, слоя за-щитного покрытия из окисла кремния и чернящего покрытия толщиною от

1 до 6 мкм. Еще более сложной является ММТ естественного градиентного ПТП (рис. 1.5), образованного в теплозащитном покрытии (ТЗП) орби-тальной ступени «Спейс Шаттл» [195, 196]. Более простые варианты авто-номных составных градиентных ПТП, включающие контактные тепловые сопротивления и воздушные прослойки приведены на рис. 2.1.

3) К неоднородным от-носятся такие широко распро-страненные ПТП как гради-ентные батарейные, пред-ставляющие собой оригиналь-ную термобатарею, окаймлен-ную двумя монтажными теп-лоизолирующими слоями (рис. 1.6). В качестве их уп-рощенных ММТ зачастую ис-пользуется уравнение Фурье для однородной вспомога-тельной стенки, с помощью которого, например в [58], по-лучены приближенные пере-

даточные функции и переходные характеристики некоторых типовых ва-риантов размещения этих ПТП на объекте исследований (рис. 1.7) и гра-ничных условий на их тыльной стороне. Представляется, что указанные ММТ являются неадекватными даже для решения ПЗТ.

Рис. 1.5. Поперечный разрез модели тепловой зашиты

Рис. 1.6. Конструктивные схемы

батарейного ПТП

16

4) Для однород-ных ПТП с линейным теплопереносом, когда программная реализа-ция уравнения Фурье в форме бесконечных ря-дов по специальным функциям нежелатель-на, либо когда получе-ние этого решения за-труднено или невоз-можно.

В частности, с помощью дискретных ММТ могут быть пре-одолены значительные сложности, возникаю-щие при решениях ПЗТ

и построении динамических характеристик таких распространенных ПТП как градиентные с поперечным градиентом температуры Гардона и батарейный О. А. Геращенко. Особенности их тепловых схем следуют из рис. 1.6 и рис. 1.8. Изначально они предназначались для теплометрии по-стоянных или медленно изменяющихся тепловых потоков в рамках воз-можностей, определяемых своей инерционностью.

Одной из причин практически полного их неиспользования в практике нестационар-ной теплометрии явля-ется, на наш взгляд, от-сутствие адекватных ММТ в них, пригодных для решения как ПЗТ, так и ОЗТ.

Таким образом, проблема аналитиче-ского моделирования теплопереноса для все-го набора разновидно-стей ПТП далека до

окончательного решения, которое, по нашему мнению, может быть успеш-но получено с использованием дискретных ММТ.

Рис. 1.7. Схематическое представление разме-

щения ПТП на объекте исследования

Рис. 1.8. Тепловая схема ПТП Гардона

17

1.3.4 Дифференциально-разностные модели теплопереноса в градиентных приемниках теплового потока

В работах [9, 36, 166, 170, 175 и др.] показано, что динамика одно-мерного как линейного, так и нелинейного теплопереноса в градиентных однородных ПТП может быть описана системой обыкновенных диффе-ренциальных уравнений (СОДУ) первого порядка в полных произ-водных. В моделях такого типа реализована дискретизация пространства теплопереноса вдоль оси x , а время τ оставлено непрерывным.

Теоретические основы построения и решения таких моделей приве-дены в монографиях по численным методам решения задач теплопровод-ности [9, 127, 159, 196 и др.]. Применительно к ПТП для получения ДРМ, например, в [36] рекомендуется использовать один из следующих методов: конечного контрольного объема, сосредоточенной теплоемкости или пу-тем преобразования КРМ [130, 166, 175 и др.]. Для этого ПТП делится на n элементарных участков-блоков размером Δ. а температуры ( )it τ центров внутренних блоков (для граничных блоков — торцевых поверхностей) со-ставляет ( 1)n× -вектор температурного состояния ПТП

[ ] 1( ) (τ) ni it =τ =T . (1.1)

В общем случае нелинейного теплопереноса в ПТП его ДРМ являет-ся нелинейной, а в случае линейного — имеет вид

(τ) (τ) (τ) (τ),d F Gd

= = ⋅ +τ

T T T U (1.2)

где F — ( )n n× -матрица обратных связей; G — ( 2)n× -матрица управле-ния, а вектор управления (τ)U , в частности, для условий 2-го рода на тор-

цах ПТП, имеет вид 1 2(τ) (τ) (τ)q q Τ=U (смотри раздел 2.1). Очевидной практически важной особенностью ДРМ является их

стандартная в общей теории динамических объектов и систем форма, в ча-стности (1.2). Для них разработаны общие методы решения ПЗТ, а для ли-нейных ДРМ типа (1.2) — и методы анализа динамических свойств в про-странстве состояний [78, 119, 177, 183], реализованные в виде современ-ных программных продуктов MATLAB, SIMULINK, VISSIM и др.

В цитированных выше работах на основе ДРМ был выполнен ком-плекс исследований адекватности, точности и динамических характери-стик, как правило, для градиентных однородных ПТП. Очевидно, что подобные исследования необходимо провести для всех типов и разно-видностей известных ПТП, в том числе и для неоднородных составных с учетом особенностей их конструкций и тепловых схем. Также остается от-крытым вопрос о возможностях применения ДРМ для ПТП с элементами полупространства.

18

1.3.5 Калориметрические приемники теплового потока Чаще всего принцип калориметрии реализуется при измерениях пе-

ременных или ступенчато изменяющихся плотностей тепловых потоков q(τ) или constq = одноемкостными ПТП, в которых с той или иной сте-пенью приближенности реализуется равномерное распределение темпера-туры. В этом случае в качестве вырожденной ММТ используется следую-щее уравнение

(τ)τ

dtvc V qd

ρ ⋅ = , (1.3)

где tv — среднеобъемная температура. К ним, в соответствии с рис. 1.2, можно отнести ПТП в форме массивного тела с измерением среднеобъем-ной температуры [200, 222], типа тонкой стенки естественные [45, 192] или автономные [44], болометры [45, 155], массивные с установлением тепло-вого регулярного режима [131, 156 и др.].

Как решение уравнения (1.3), так и анализ с его помощью динамиче-ских свойств ПТП, не вызывает затруднений (при адекватности ММТ). 1.3.6 Динамические характеристики приемников теплового потока

Основной целью решения ПЗТ для различных ПТП является иссле-дование динамических свойств последних, которые в общем случае пред-ставляются набором стандартных динамических характеристик: переход-ной, импульсно-переходной, частотными (комплексными и амплитудно-фазовыми), передаточными функциями и др.

Наиболее презентативной и общедоступной является переходная характеристика — реакция ПТП на ступенчатое входное воздействие. Для статических ПТП она позволяет также получать статистическую ха-рактеристику (градуировку). В целом, приведенные выше ММТ и методы решения их для случая constq = позволяет получать переходные характе-ристики для всех известных разновидностей ПТП, в том числе и с нели-нейным теплопереносом. На базе приближенных решений в работах [58, 84], были сделаны попытки создания теории тепловой инерционности про-стейших ПТП.

При линейном теплопереносе появляются возможности определе-ния и других характеристик. В частности, оригинальный аналитической метод получения частотных и импульсно-переходных характеристик ра-диационных ПТП приведен в работах [208, 209]. В [79] для условий круп-номасштабных турбулентных пульсаций теплоотдачи на основе известного решения [94] разработана методика получения и использования прибли-женных передаточных функций для поверхностных слоев полубесконеч-ного тела с напыленным многослойным ПТП. В дальнейшем находится приближенное решение ПЗТ по динамическим характеристикам тепломера

19

на основе аппарата спектральных плотностей входного и выходного сиг-налов ПТП. Путем упрощения исходных трансцендентных передаточных функций линейных ПТП, как указано в разделе 1.3.2.2, могут быть получе-ны приближенные ММТ как преобразователей температуры, так и про-стейших однородных ПТП различных типов [58, 203, 205, 206 и др.], а на их основе с использованием стандартных методов — приближенные дина-мически характеристики. Динамика калориметрических ПТП типа тонкой стенки рассматривались в работах [43–45], однородных градиентных рас-четным и опытным путем — в работах [68, 206].

Для неоднородных и нелинейных ПТП некоторые динамические характеристики, в частности, частотные могут быть получены непосредст-венно путем многовариантных численных расчетов реакции ПТП на соот-ветствующие входные воздействия. Однако этот метод требует практиче-ски не реализуемого объема вычислений.

В тоже время, при линейном теплопереносе на основе ДРМ в форме (1.2), можно без затруднений получить указанный выше полный набор динамических характеристик реализуемых ПТП методами пространства состояний теории динамических систем [119 и др.], используя стандартное программное обеспечение. Для однородных градиентных ПТП резуль-таты реализации указанного подхода приведены в цитированных выше работах Д. Ф. Симбирского, Е. Н. Бута, А. С. Гольцова и др., а в общем случае — для всех разновидностей известных и перспективных ПТП — требуется проведение соответствующих исследований.

1.4 МЕТОДЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И ГРАНИЧНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

В монографиях [3, 7, 10, 36 и др.] из круга известных ОЗТ особо вы-деляется класс обратных задач, возникающих при диагностике и иденти-фикации тепловых процессов. Эти ОЗТ принято подразделять на гра-ничные, коэффициентные, ретроспективные и геометрические. Как показано в разд. 1.1, восстановление q(τ) относится к граничным ОЗТ. По-лезными являются такие коэффициентные и комбинированные (граничные плюс коэффициентные) ОЗТ, позволяющие уточнить ТФХ материалов ПТП. Ниже основное внимание будет уделено граничным ОЗТ, появле-нию и развитию которых предшествовали классические методы восста-новления q(τ).

1.4.1 Классические методы восстановления q(τ) Для начального этапа развития прикладной теплометрии (раздел

1.1.1) характерным являлось отдельные обращения к задаче измерения q(τ) на исследуемой поверхности, обычно с дальнейшим определением усло-

20

вий ее теплообмена с окружающей средой. Использовались ПТП, которые с тем или иным уровнем упрощений относились к однородным (рис. 1.2) с линейным теплопереносом, а в качестве методов восстановления q(τ) ис-пользовались известные на то время аналитические решения прямых и об-ратных задач теплопроводности.

1.4.1.1 При этом для ПТП типа полубесконечного тела с измерени-ем температуры поверхности (τ)nt в ряде случаев использовалось точные решения для q(τ), либо [146], например, либо получаемое путем обраще-ния (дифференцирования по х) известного решения для (τ)пt , например, в [85, 176]. Во втором случае очевидным недостатком является необходи-мость дифференцирования по τ измеряемых величин (τ)пt . Поэтому при-менялись приближенно-аналитические решения q(τ) на основе различ-ных интегральных представлений, в том числе и с полиномиальной ап-проксимацией измеряемой температуры, или интеграла Дюамеля и др.

Отметим, что для пульсационной теплометрии были разработаны и до настоящего времени широко используются ПТП в виде вставок из элек-троизоляторов с тонкопленочными чувствительными элементами на по-верхности. Как правило, в них восстановление q(τ) осуществляется в ре-альном времени с помощью аналоговых схем, построенных на основе уп-рощенных передаточных функций ПТП, например, в [75, 98, 122, 193, 216].

Для подобных ПТП с тонкопленочными микро термопарами на по-верхности или в виде коаксиальных термопар — вставок Бендерского ус-пешно используется метод с разложением как искомых q(τ), так и изме-ряемых температур в ряды Фурье, например, в [17, 29, 91, 95, 101, 128, 158, 178, 208, 209].

Аналогичные ПТП были разработаны для импульсных измерений лазерных излучений [70, 155], метод измерений и электроимпульсная гра-дуировка которых предложена, например, в [70]. При этом передаточные функции также приближенно представлены дифференцирующей цепоч-кой.

Известны отдельные случаи восстановления q(τ) при нелинейном теплопереносе, в частности с предварительной подстановкой Кирхгофа и далее с использованием интеграла Дюамеля, например, в [106].

1.4.1.2 В градиентных ПТП вида бесконечной пластины (вспомога-тельные стенки) с линейным теплопереносом обычно измерялись пере-пады температур tΔ между рабочим и тыльным торцами. При размещении таких ПТП на полубесконечном теле (при нулевом контактном сопротив-лении между ними) для q(τ)получены как точные [81, 82, 115], так и при-ближенные аналитические решения, а именно: либо оригинальные, либо на основе интеграла Дюамеля [85], либо с применением интегральных

21

преобразований с последующей экспоненциальной или полиномиальной аппроксимацией q(τ), либо с обращением решений ПЗТ, получаемых с по-мощью конечно-разностных моделей [68] и другие. К отдельному перспек-тивному направлению теплометрии относятся однородные градиентные микро ПТП толщиною до 1–10 мкм, в которых микроперепады температур измеряются с помощью дифференциальных термобатарей микротермопар [217, 232 и др.].

1.4.1.3 К классическим можно отнести большинство методов с кало-риметрическими ПТП, многие разновидности которых успешно приме-няются до настоящего времени.

Так, для измерений в импульсных или ударных аэродинамических трубах (АДТ) широко применяются калориметрические ПТП в виде тон-кой стенки в двух вариантах: естественном, когда ПТП образуется непо-средственно из тонкой стенки исследуемой модели путем закрепления микротермопар к ее внутренней поверхности [38, 39, 41–43] и автономном, когда ПТП, состоит из тонкой металлической подложки, покрытой слоем электроизолятора, или диэлектрической подложки с нанесенным пленоч-ным термометром, закрепленной на тонкой стенке объекта исследований [222, 238]. ПТП типа тонкой стенки применялись также при исследованиях теплоотдачи лопаток турбин [156].

В ряде работ исследовано применение поверхностных пленочных термометров сопротивления для импульсной теплометрии [70, 155]. По-лучены соотношения толщин чувствительных элементов и подложки, оп-ределяющие диапазон работы указанных ПТП в качестве одноемкостного болометра.

Однако во многих случаях, в частности, даже для тонкой стенки вы-зывает сомнение выполнение условия одноемкостности − равномерности температурного поля по сечению даже в случае тонкой стенки. Это застав-ляет либо вводить определенные поправки [38, 39], либо рассматривать эти ПТП как объекты с распределенными параметрами и использовать приве-денные выше ММТ. Это относится и к массивным ПТП имеющим форму круглой пластины [200]. Аналогичная ситуация складывается для боло-метров и термоанемометров из-за необходимости количественно учиты-вать тепловое взаимодействие чувствительного элемента со слоем элек-троизоляции на поверхности объекта исследований [188, 192]. Для кало-риметрических ПТП, реализующих закономерности теории регулярного теплового режима, например, [93, 110] с целью определения величины коэффициента теплоотдачи α в качестве ММТ используется решение ли-нейного уравнения Фурье в предположении ступенчатого изменения тем-пературы среды при постоянстве α, а также и других допущений, которые на практике выполняются далеко не всегда.

22

1.4.2 Восстановление плотности теплового потока как граничная обратная задача теплопроводности

На этапе интенсивного развития прикладной теплометрии постепен-но утверждался взгляд на задачу восстановления q(τ) как граничную ОЗТ.

Решение граничных ОЗТ заключается в численном оценивании временной зависимости плотности теплового потока q(τ) на поверхности объекта исследований или размещенного на ней ПТП по данным измере-ний нестационарных температур в одной или нескольких точках внутри упомянутых тел. При измерениях температуры на поверхности указан-ную ОЗТ принято называть «псевдообратной» [8, 12, 36, 102, 118 и др.].

1.4.2.1 Вначале при становлении методов ОЗТ основное внимание уделялось алгоритмам восстановления q(τ). В основном, рассматривались однородные линейные ПТП. Некоторые перспективные на то время под-ходы к решению ОЗТ для них изложены в монографиях [8, 36, 96, 117, 176, 201 и др.]. Особо следует выделить универсальность и перспективность системно-структурного подхода, реализованного в работах А.Г. Шашкова [198, 199].

Как правило, появившиеся точные решения граничных ОЗТ для линейных ПТП, например, [220] в силу своей сложности и необходимости расчета производных от измеряемых температур были практически непри-менимы. На практике, в основном, использовались приближенно-аналитические решения, например, на основе теоремы Дюамеля [36, 88, 91, 164 и др.], функций Грина [161], быстрого преобразования Фурье [212] и другие. Серия удобных для практической реализации оригинальных ме-тодов восстановления q(τ) для однородных ПТП градиентных и полубес-конечного тела с линейным и нелинейным теплопереносом была предло-жена учеными ИТМО АН БССР Г. Т. Алдошиным, А. С. Голосовым, В. Н. Жуком, В. Л. Сергеевым, Г. А. Сурковым с соавторами [88, 163–165, 180, 181 и др.]. Оригинальный метод для однородной пластины с измерением температур в 2–4 внутренних точках предложен в работе [201]. В работе [18] получено решение для q(τ) в явном виде путем представления началь-ных условий в виде линейной комбинации интегралов Лапласа.

1.4.2.2 Неоднородность ПТП существенно усложняет задачу вос-становления q(τ). Входящие в тепловые схемы ПТП слои изолятора; тер-мометры; защитные, чернящие и армирующие слои; контактные сопротив-ления; воздушные прослойки и т. п. практически не позволяют воспользо-ваться вышеприведенными для однородных ПТП решениями. Это неодно-кратно подчеркивалось, в частности, в работах [38, 41, 42, 91, 98, 178, 208].

В целом, для неоднородных ПТП даже при линейном теплопереносе получение точных или приближенных аналитических решений для q(τ) становится практически невозможным. Выходом является обращение к

23

упомянутым в 1.3.3 и 1.4.2.2 дискретным ММТ. 1.4.2.3 Для однородных ПТП с нелинейным теплопереносом в ря-

де случаев для восстановления q(τ) используется приближенно-аналитические решения ММТ ПТП, линеаризованных с помощью подста-новки Кирхгофа, например в [106]. Известны также некоторые оригиналь-ные решения для исходной нелинейной ММТ. В частности, это работа [163], в которой применяется пространственно-временная аппроксимация распределения температур ( , τ)t x по глубине ПТП типа пластины или по-лубесконечного тела при измерениях температур в двух внутренних точ-ках. Аналогичная аппроксимация использована также в работе [165] для пластины с измерением температуры на тыльном торце. В работе [180] для пластины с измерением температуры в двух внутренних точках пред-варительно производится подстановка Кирхгофа.

В целом же, в прямых численных методах решения нелинейных ОЗТ для однородных и неоднородных ПТП, как правило, используются дискретные ММТ либо конечно-разностные (КРМ) [68, 92, 132, 226, 235], либо дифференциально-разностное (ДРМ) [196, 226 и др.], либо конечно-элементные (КЭМ) [29, 37, 178]. 1.4.3 Граничные обратные задачи теплопроводности — некорректно поставленные задачи математической физики

Усложнение условий измерений привели к необходимости рассмот-рения решения граничных ОЗТ обязательно с учетом математической не-корректности их постановки, которая способна вызывать неустойчивость решений даже при слабом возмущении исходных данных, всегда имею-щим место на практике.

1.4.3.1. Для устранения математической некорректности А. Н. Тихоновым был предложен общий метод регуляризации ОЗТ [186, 187], позволяющий получать устойчивые решения некорректно поставлен-ных задач.

Основополагающий вклад в развитие регуляризованных методов решения обратных задач математической физики внесли выдающиеся ма-тематики А. Н. Тихонов, А. А. Самарский, М. М. Лаврентьев, А. Н. Колмогоров, В. К. Иванов, В. Я. Арсенин, В. Б. Гласко, В. А. Морозов и др. [63, 90, 97, 107, 108, 187 и др.], а в области решения прикладных ОЗТ различных типов — труды исследователей-теплофизиков О. М. Алифанова, Дж. Бека, Д. Сполдинга, Ю. В. Полежаева, Е. А. Артюхина, С. В. Резника, Ю. А. Воскобойникова, Ю. С. Шаталова, Ю. М. Мацевитого, Д. Ф. Симбирского, П. Г. Круковского, В. В. Михайло-ва, А. В. Ненарокомова, С. В. Румянцева и других.

По мере накопления опыта успешных решений различных ОЗТ была создана методология прикладной теплометрии, опирающаяся на теоре-

24

тические основы методов ОЗТ. В ней наиболее перспективными общепри-знаны экстремальные постановки ОЗТ с привлечением для решения чис-ленных методов оптимизации.

1.4.3.2 Наиболее обстоятельно экстремальные постановки гранич-ных ОЗТ изложены в работах [9, 12, 130 и др.]. В них среднеквадратичная невязка Φ — отклонение измеряемых температур (τ)Y от их значений [ ]τ, (τ) qY , рассчитываемых по ММТ в функции q(τ) — подлежит мини-

мизации по q(τ), а значение ˆ(τ)q , дающее минимум невязки Φ , является оптимальным решением граничной ОЗТ.

В экстремальной постановке возможны два варианта [130]: 1) Функциональная минимизация когда ОЗТ решается в функцио-

нальном пространстве q(τ), а невязка Φ является функционалом [ ](τ)qΦ . При этом объемы вычислений весьма значительны ( 1,2, , )i N= K

[8, 12]. 2) Параметрическая минимизация (идентификация [9]), когда

ОЗТ решается в пространстве искомых параметров ( 1,2, , )jq j r= K сле-дующей конечномерной аппроксимацией искомой функции q(τ):

1(τ) (τ)

r

j jj

q q=

= φ∑ , (1.4)

где ( )jφ τ — система базисных функций времени, а jq — априори неиз-вестные коэффициенты, которые объединяются в ( 1)r × — вектор искомых параметров

1 2 rq q q Τ=Q L . (1.5) Тогда невязка Φ является функцией ( )Φ Q и подлежит минимиза-

ции по Q , а полученные при этом оптимальные оценки Q̂ вектора иско-мых параметров являются приближенным решением граничной ОЗТ. В ра-боте [36] аппроксимация (1.4) названа функциональной аппроксимацией q(τ), а в ряде работ (смотри ниже) — параметризацией q(τ) и граничной ОЗТ в целом. Параметризация позволяет существенно, на 1–2 порядка, уменьшить количество искомых величин ( r вместо Ν ) при одном и том же количестве Ν измерений, облегчив тем самым процедуру минимизации Φ и соответственно снизив объем вычислений. При этом в ряде работ по-казано, что параметризация оказывает регуляризующее влияние [57, 130].

1.4.3.3 Для минимизации функционала невязки Φ могут быть применены известные в теории оптимизации методы (алгоритмы) [33, 54, 62, 102, 219]. Можно упомянуть градиентные методы с производными (методы сопряженных градиентов, скорейшего спуска), ньютоновские и квазиньютоновские методы Ньютона, Ньютона-Гаусса, Левенбурга-

25

Марквардта и ряд других. По характеру использования поступающей от ПТП информации их

можно разделить на одношаговые, когда после проведения эксперимента обрабатывается сразу весь массив из N измерений сигналов ПТП и мно-гошаговые (рекуррентные, последовательные и т. д.), когда каждое из k измерений ( 1,2, , )k N= K используется последовательно, по мере посту-пления.

В литературе широко представлены случаи успешного решения гра-ничных ОЗТ одношаговыми итерационными методами функциональной оптимизации с обязательной регуляризацией как по А. Н. Тихонову, так и другими способами [97]. Исследования возможностей и реальный опыт применения этих методов к решению обратных задач посвящена обширная библиография, в частности, [8, 10, 12, 13, 15, 36, 102, 130, 235].

Однако одношаговые итерационные алгоритмы требуют значитель-ных объемов вычислений. Например, анализ решения методических задач показывает [102], что количество необходимых итераций может достигать нескольких десятков, а в некоторых случаях доходит до 50–100. Например, по данным обзора шести распространенных методов итерационной мини-мизации, приведенным в [102], количество итераций колеблется от 10–40 до 450. В связи с этим обстоятельством, а также в силу своей одношагово-сти приведенные методы практически не могут быть использованы в вы-числительных компонентах теплометрических измерительных систем в качестве алгоритма восстановления q(τ).

Определенные перспективы в этом направлении открывает метод параметрической идентификации. 1.4.4 Восстановление плотности теплового потока методом параметрической идентификации

1.4.4.1 Предполагается, что путем априорного анализа условий теп-лометрии выполнена описанная выше процедура параметризации ОЗТ и установлен ( 1)r × -вектор искомых параметров Q (1.5), который в соответ-ствии с (1.4) представляет искомую функцию q(τ).

В качестве базисных функций ( )jφ τ используются кусочно-линейные и постоянные функции, интерполяционные многочлены Ла-гранжа, многочлены Чебышева, рядом Фурье (полным либо усеченным [73]), сплайн-функции и др. Для монотонно изменяющихся q(τ) в работе [36] предложены различные формы линейных и нелинейных кусочных ап-проксимаций, применительно к условиям ДВС — ряды Фурье, в частно-сти, в [91, 158, 178, 208 и др.], в газовой динамике — стохастические моде-ли, в частности, в [57] и т. п. Широкое распространение в нестационарной теплометрии, начиная с работ Е. Н. Бута и Д. Ф. Симбирского [52, 53 и др.]

26

получили В-сплайны, которые имеют ряд преимуществ как в части качест-ва аппроксимации q(τ), так и по вычислительной эффективности решений ОЗТ. В последующем они нашли широкое применение. Так, в работах [16, 21, 25, 26, 28] для аппроксимации как q(τ), так и ТФХ используются куби-ческие В-сплайны. В то же время в ряде работ было показано, что повы-шение порядка В-сплайнов ухудшает устойчивость решений ОЗТ. Поэтому находят применение В-сплайны 1-го порядка [168].

1.4.4.2 Будем также предполагать, что температурное поле ПТП в соответствии с (1.5) представлено ( 1)n× -вектором состояния ( )τT . Неко-торые его составляющие ( )it τ или их линейные комбинации измеряются и

образуют ( 1)m× -вектор измерений [ ] 1( ) ( ) mi jy =τ = τY . В общем случае ( )iy τ

содержат случайные погрешности измерения ( )iε τ , составляющие ( 1)m× -вектор случайных погрешностей ( )τε . Тогда модель измерений ПТП имеет вид

( ) ( ) ( ),Hτ = τ + τY T ε (1.6) где H — ( )m n× -матрица измерений.

В дискретной по времени k kτ = ⋅ Δ τ ( 0, 1, , )k Ν= K форме модель измерения ПТП имеет вид

k k kΗ= +Y T ε , (1.7) где ( )k k= τY Y ; ( )k k= τT T ; ( )k k k= τε ε ( 0, 1, , )k Ν= K .

Тогда под параметрической идентификацией понимается процедура нахождения оптимальных оценок ˆ

ΝQ вектора искомых параметров Q ,

дающих минимум функции ( )Φ Q невязки ˆ[ ( )]k k−Y Y Q между измеряе-мыми kY и модельными температурами ˆ ( )kY Q , рассчитываемые по ММТ в функции от вектора искомых параметров Q [136, 137].

Форма функции невязки ( )Φ Q в гиперпространстве искомых пара-метров jq во многом определяет выбор методов получения оптимальных оценок вектора искомых параметров Q , к числу которых относятся мето-ды: наименьших квадратов (МНК), оценивания по Байесу и некоторые другие [194]. В работах [73, 155 и др.] для калориметрических ПТП ис-пользуется метод максимального правдоподобия. На практике преимуще-ственно используются квадратичная функция невязки обобщенного МНК, которая имеет следующий вид:

1

1

ˆ ˆ( ) [ ( )] [ ( )]N

k k k kk

RΤ −

=Φ = − ⋅ ⋅ −∑Q Y Y Q Y Y Q , (1.8)

где R — ковариационная ( )m m× -матрица случайных погрешностей в из-

27

мерениях, статистическая характеристика вектора kε . Для линейного МНК, когда измерения kY линейно зависят от

вектора искомых параметров Q , аналитическим путем могут быть получе-ны МНК-оценки ˆ

NQ искомого ( 1)r × -вектора Q и ковариационная ( )r r× -матрица NP ошибок этих оценок.

1.4.4.3 МНК-оценки Q̂ широко используются в практических при-ложениях, поэтому методы их получения хорошо программно обеспечены. МНК-оценки обладают рядом положительных качеств, в частности, при выполнении определенных требований к kε являются оптимальными — несмещенными, состоятельными и эффективными. По теории МНК имеется обширная библиография, например [77, 111, 191]. Однако наряду с этим МНК свойственен ряд недостатков. Так, в общем случае минимиза-ция функции невязки (1.8) является некорректно поставленной задачей [57] с возможной потерей устойчивости, для устранения которой разрабо-таны и успешно используется ряд подходов, в частности регуляризация за-дачи, основанная на идеях А. Н. Тихонова (смотри также раздел 1.4.3.3). Имеются сведения об успешном применении метода МНК-оценок для ре-шения как коэффициентных (например, смотри работы Е. А. Артюхина), так и комбинированных ОЗТ, в частности, в [13, 225].

1.4.4.4 Для достаточно широко распространенного на практике не-линейного МНК в качестве методов минимизации Q функции невязки (1.8) обычно используются известные в теории оптимизации приближен-ные одношаговые итерационные методы (алгоритмы), которые приме-няются также при рассмотренной выше минимизации функционала не-вязки [ ( )]qΦ τ при функциональной оптимизации.

В целом, метод параметрической идентификации в форме обобщен-ного МНК успешно применяется при решении граничных и, особенно, ко-эффициентных ОЗТ. Однако перечисленные выше его алгоритмы плохо приспособлены к функционированию в реальном времени.

Этим обстоятельством вызвано обращение к быстросчетным мно-гошаговым последовательным (рекуррентным) алгоритмам оптималь-ного цифрового ФК как средству минимизации (1.8) в целях решения не-которых граничных ОЗТ по восстановлению q(τ).

1.5 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ ЦИФРОВОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА 1.5.1 Классический оптимальный цифровой фильтр Калмана

Исходно классический алгоритм ФК был получен с позиций тео-рии пространства состояний динамических объектов, линейные модели ко-

28

торых имеют форму СОДУ (1.2), для определения оптимальных оценок их векторов состояний [78, 119, 221]. В качестве объектов практического при-ложения ФК первоначально выступали воздушные и космические лета-тельные аппараты [104, 105, 221 и др.], а в последующем — самые различ-ные технические объекты.

Предметно классический алгоритм дискретного (цифрового) ФК заключается в последовательном, от k -го момента времени к ( 1)k + -му, где 0, 1, , k Ν= K , определении оптимальных оценок 1

ˆk+X ( 1)n× -вектора

состояния 1k+X и их ковариационной ( )n n× -матрицы 1kP + ошибок этих оценок на основании предыдущих значений ˆ

kX и kP , измерений 1k+Y , и известного (измеряемого) вектора управления kU . Эта задача решается по мере поступления измерений kY и kU , т. е. в реальном времени. В по-следующем, после уточнения и устранения ряда негативных особенностей ФК, в том числе и возможностей его расходимости, алгоритмы ФК приня-ли окончательную форму, которая приведена, например, в монографиях [48, 166, 177 и др.]. В настоящее время классические алгоритмы ФК нашли свою реализацию для самых различных технических объектов в форме универсальных программных продуктов в пакетах Simulink, Vissim и др. Они получены при условиях идеальной адекватности модели объекту, на-блюдаемости и управляемости последнего, а также наличия полной стати-стической информации о ковариационной матрице R шумов kε в измере-ниях (1.7) и условиях входа в алгоритм — начальных оценок 0/0X вектора состояния и ковариационной матрицы 0P его ошибок [104].

Однако классический алгоритм, не может быть непосредственно ис-пользован для решения граничных ОЗТ, так как для него необходимы из-мерения вектора управления ( )τU , в который входит искомая плотность теплового потока q(τ). В теории параметрической идентификации ди-намических объектов в подобных случаях используется прием расшире-ния пространства состояний объекта, например, в [104, 166]: вводится расширенный вектор состояния kR , в котором к вектору состояния kX присоединен постоянный вектор искомых параметров Q . Тогда для каж-дого ( 1)k + -го временного шага алгоритмом ФК могут быть получены оценки 1

ˆk+R [ ]( ) 1n r+ × -вектора 1kR +

r, которые включают искомые оценки

1ˆ

k+Q , а также их ковариационная [ ]( ) ( )n r n r+ × + -матрица 1kP + . В этом случае ФК становится нелинейным.

29

1.5.2 Применение алгоритма цифрового фильтра Калмана для решения граничных обратных задач теплопроводности по восстановлению плотности теплового потока

1.5.2.1 Методология использования алгоритма ФК для решения граничных ОЗТ нашла свое последовательное развитие в работах пред-ставителей научной школы ХАИ им. Н. Е. Жуковского Д. Ф. Симбирского, Е. Н. Бута, А. В. Олейника, А. С. Гольцова, Г. В. Макаренко и других [51, 52, 64, 166, 170, 171, 174 и др.]. Изложим ос-новные моменты этой методологии в соответствии с работами [53, 166]. Общим в них является использование ДРМ ПТП (см. раздел 1.3.4) и В-сплайн аппроксимации q(τ) (смотри раздел 1.4.4.1). В частности, В-сплайны первого порядка обычно записываются в следующей форме:

(1)

1( ) ( )

r

i ii

q q Sp=

τ = τ∑ , (1.9)

(1) 1 , 1;( )

0, 1,i i

ii

Sp⎧ − ξ ξ ≤⎪τ = ⎨

ξ >⎪⎩

где / 1i iξ = τ Δ − + — безразмерный аргумент сплайн-функции (1) ( )iSp τ ; Δ — участок сплайн-аппроксимации ( 1,2, , 1)z r= −K , включающий l из-мерений, каждое из которых выполняется через дискретное время Δτ . Об-щее количество измерений ( 1)N l r= ⋅ − соответствует суммарному време-ни теплометрии N Ντ = ⋅Δτ . Величина lΔ = ⋅Δτ выбирается по результа-там априорных исследований вида функции q(τ),особенностей и характе-ристик регистрирующей аппаратуры и других факторов. Коэффициенты iq равны узловым значениям функции ( )q τ и на всем отрезке времени Nτ со-

ставляют ( 1)r × -вектор искомых параметров 1 2 rq q q Τ=Q L . Для получения оптимальных оценок 1k+Q вектора Q в ( 1)k + -й мо-

мент времени применяется либо упомянутый выше расширенный ФК, ли-бо полученный там же так называемый ФК по искомым параметрам в следующем виде [166]:

1 1 1 1ˆ ˆ ˆˆ[ ( )]k k k k k kK+ + + += + −Q Q Y Y Q , (1.10)

11 ( )k k k k k kK P H H P H RΤ Τ −+ = + , (1.11) 1 1k k k k kP P K H P+ += − , (1.12)

где kP , 1kP + — ковариационные матрицы ошибок оценок параметров для моментов времени k kτ = ⋅Δτ и 1 ( 1) k k+τ = + Δτ ; kH — матрица коэффи-циентов чувствительности измеряемой температуры ПТП к изменению ис-комых параметров в момент времени 1k+τ ; Kk — весовая матрица.

30

Начальные оценки 0 1,0 2,0 ,0ˆ ˆ ˆ ˆrq q q

Τ=Q L задаются произвольно

на основе априорных знаний и могут быть для простоты приняты равными нулю. Дисперсии начальных оценок ,0( 1,2, , )iiP i r= K , достоверности апри-орной информации о величине ,0iq , используются в качестве диагональ-ных элементов ковариационной матрицы 0P ошибок начальных оценок.

Приведенная методология параметрической идентификации q(τ) бы-ла исследована и успешно реализована на практике применительно к однородным градиентным ПТП, в основном, при определении гранич-ных условий и температурного состояния элементов авиационных газо-турбинных двигателей, при термовакуумных испытаниях космических объектов и других. Помимо граничных на ее основе успешно решались также коэффициентные и комбинированные ОЗТ [166].

1.5.2.2 В работах Дж. Ходжа [195, 196] описаны случаи успешного многоцелевого применения аналогичной методологии решения нелиней-ных граничных и коэффициентных ОЗТ для одномерной модели много-компонентного теплозащитного покрытия. Используется ДРМ теплопе-реноса с уточнением изменяющихся в процессе работы ( )Δ τ покрытия, линейное представление q(τ) и модель измерений (1.7).

1.5.2.3 Фундаментальные исследования особенностей применения алгоритмов ФК и некоторых его модификаций проведены в работах Ю. Мацевитого и его учеников, посвященных идентификации и моде-лированию процессов теплопереноса в элементах теплоэнергетическо-го оборудования [117, 118 и др.] В большинстве случаев рассматривались многомерные ОЗТ с использованием конечно-разностных ММТ деталей. 1.5.3 Проблемы оптимальной фильтрации Калмана

Известно, что при практическом использовании алгоритмов ФК мо-гут возникать проблемы, связанные с отклонением его поведения в части устойчивости (сходимости) и точности конечных результатов от теорети-ческих норм. В частности, для классического варианта применения алго-ритма ФК к линейным летательным объектам наблюдаются случаи его расходимости по причине несоблюдения на практике приведенных в раз-деле 1.5.1 условий. В частности, по результатам детальных исследований в [105] к основным причинам расходимости были отнесены погрешности задания априорных данных. Показано, что для их исключения разрабо-таны и успешно применяются различные модификации алгоритма ФК, в частности, адаптивные фильтры: корреляционные, фильтр Язвинского, фильтры, не требующие априорной информации, редуцированные алго-ритмы линейной фильтрации и другие.

Указанные обстоятельства вынуждают для каждого класса объектов

31

обязательно проводить большие объемы исследований особенностей функционирования с ними алгоритмов ФК, уделяя основное внимание ус-ловиям входа в алгоритм, останова вычислений, точности конечных ре-зультатов и др. Обычно такие исследования проводятся путем численного моделирования процедур фильтрации или идентификации, технологии проведения и результатам которых посвящена обширная библиография. 1.5.4 Стратегия применения алгоритмов фильтра Калмана при В-сплайн аппроксимации плотности теплового потока

При использовании оптимальной фильтрации в ТИС известны раз-личные варианты реализации процедуры параметрической идентифика-ции.

1.5.4.1 В работе [11] рассмотрены особенности использования алго-ритма ФК для восстановления температуры поверхности и q(τ) по показа-ниям заглубленных термометров для однородных градиентных ПТП с по-шаговой (на каждом промежутке Δτ дискретного времени) кусочно-постоянной параметризацией. Результаты численных экспериментов пока-зали возникновение явления расходимости ФК при увеличении уровня случайных погрешностей (шумов) в измерениях, подтвердив тем самым, во-первых, необходимость проведения подобных исследований, и во-вторых, полезность функциональной аппроксимации q(τ), подобной опи-санной в разделах 1.4.3.2 и 1.4.3.3. Тогда при определении параметров Q этой аппроксимации q(τ) используется избыточная информация, нейтрали-зующая явление шумов в измерениях.

1.5.4.2 При использовании В-сплайн аппроксимации q(τ) возможны различные стратегии получения оценок полного вектора искомых пара-метров Q по всему времени измерений 0, N .

1) описанное выше непрерывное («non stop») последовательное по всем z участкам сплайн-аппроксимации получение оценок составляющих

iq вектора ( 1,2, , )z r=Q K [52, 53 и др. ]. 2) скользящее оценивание части составляющих Q с последователь-

ным использованием 2l и более измерений на 2-х и более участках ап-проксимации после которого следует перемещение на следующий участок с повторением вычислений [195, 196 и др.].

3) то же с последовательным использованием l измерений на каж-дом участке с кусочно-постоянной аппроксимацией q(τ) на нем и другие варианты.

1.5.4.3 При разработке алгоритмов ТИС реального времени для вы-бора стратегии оценивания Q , а также исследовании сходимости ФК, ис-пользуется численный эксперимент (имитационное моделирование). Та-кие исследования с общими положительными оценками в первом прибли-

32

жении были проведены в цитированных выше работах, в основном, для однородных градиентных ПТП и ПТП в виде полубесконечного тела [53, 166 и др.], батарейного ПТП с упрощенной моделью [64], для однородного одноемкостного калориметрического ПТП [171], при оценках ТФХ мате-риала однородных градиентных ПТП [166] и некоторых других.

Однако, в целом, для всего многообразия известных и вновь разраба-тываемых ПТП различных тепловых и измерительных схем, с различными ММТ теплопереноса проблема использования алгоритмов оптимальной фильтрации Калмана в качестве общего метода восстановления ( )q τ оста-ется открытой и требует проведения дополнительных исследований.

1.6 МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ 1.6.1 Основные положения

В технической литературе нами не было обнаружено сколь-либо полного системного изложения проблемы оценивания погрешностей не-стационарной прикладной теплометрии.

Поэтому будем полагать, что на нее распространяется общепринятое разделение суммарной погрешности на инструментальные основные и дополнительные, методические статические и динамические, а по харак-теру проявления — на случайные и систематические [74, 129]. На рис. 1.9 приведена структура методической погрешности представляющей наибольший интерес для тепловых измерений и прикладной теплометрии, в частности [100, 182, 185, 189, 203 и др.]. В ней погрешности из-за неод-номерности теплопереноса в ПТП и вызываемые искажениями измери-тельной среды (по терминологии [100]) являются общими составляющи-ми; динамические погрешности, как будет показано ниже, представляют интерес для стационарной, а погрешности восстановления q(τ) — для нестационарной теплометрии.

1.6.1.1 Обозначенная выше структура суммарной погрешности теп-лометрии в достаточной мере реализовывалась лишь для прямых изме-рений постоянных или медленно изменяющихся q статическими ПТП в пределах, допускаемых их тепловой инерционностью.

В этом случае удается выделять и анализировать раздельно практи-чески все составляющие суммарной погрешности. В частности, методика такого анализа в полной мере разработана и реализована для батарейных ПТП, используемых в стационарной теплометрии.

В ней принципиальное значение имеет уровень динамических по-грешностей статических ПТП, который определяется динамическими характеристиками статических ПТП.

33

Методические погрешности прикладной теплометрии

из-за неодномерности теплопереноса в ПТП

из-за неоднородности измерительной среды

динамические погрешности ПТП

Погрешности восстановления q(τ)

искажение температурного поля

объекта

искажение теплообмена объекта

приведение q(τ) к поверхности объекта

Рис. 1.9. Основные методические погрешности прикладной теплометрии 1.6.1.2 Как показано в разделе 1.1.4 нестационарная теплометрия

является разновидностью косвенных измерений, при которых q(τ) вос-станавливается путем решения потенциально неустойчивых граничных ОЗТ. В этом случае, проблема оценивания методических погрешностей принципиально усложняется. В технической литературе показано, что в этом случае наиболее проблемной и недостаточно изученной составляю-щей методической погрешности является погрешность восстановления q(τ). Для ее рассмотрения целесообразно в структуре методической по-грешности нестационарной теплометрии (рис. 1.9) предварительно выде-лять и анализировать общие составляющие методической погрешности. 1.6.2 Общие составляющие методической погрешности прикладной теплометрии

К ним отнесем следующие [58, 100, 182, 203 и др.]: – погрешности, вызываемые тепловым сопротивлением ПТП, кото-

рые могут быть оценены расчетным путем при использовании ДРМ; – погрешность из-за искажений, вносимых ПТП в условия теплооб-

мена и температурное поле объекта исследований; – погрешность приведения восстановленных значений q(τ) к иссле-

дуемой поверхности; – погрешность градуировки ПТП и ряд других. Указанным вопросам посвящено значительное количество публика-

ций. Однако лишь в некоторых из них предлагаются как методики учета погрешностей в типовых случаях теплометрии, так и результаты их при-менения. Так, погрешности измерительной среды рассмотрены в части искажения температурного поля объекта теплометрии применительно к

34

поверхностным термометрам и ПТП в цитированных выше работах Н. А. Ярышева, О. А. Геращенко, П. А. Короткова, Г. Е. Лондона, Т. Г. Грищенко и других исследователей.

В большинстве случаев в связи со сложностью проблемы исследова-ния и учет погрешностей восстановления q(τ) проводились путем имита-ционного моделирования (вычислительного эксперимента) влияния одной или нескольких компонент основных источников погрешностей. Лишь в некоторых работах используются аналитические подходы к реше-нию проблемы. Так, в работе [4] применительно к α-калориметрам оцени-валась роль систематических погрешностей в измерениях температур на погрешности решения ОЗТ с учетом метода решения последней. В работе [35] введен показатель степени неустойчивости численного решения ОЗТ, усиливающей влияние погрешностей в измерениях на конечные результа-ты. Сюда же можно отнести изложенный в 1.6.5 подход, в котором разде-лено через функции чувствительности влияние уровня σ2 случайных по-грешностей в измерениях температур и основных факторов постановки ОЗТ. Аналитические оценки погрешностей для замкнутых решений ОЗТ приводятся в [100].

Однако имитационное моделирование при оценках погрешностей восстановления q(τ) изначально и в дальнейшем используется повсемест-но. 1.6.3 Исследование погрешностей восстановления плотности теплового потока методом имитационного моделирования

1.6.3.1 Практически во всех работах по прикладной теплометрии предполагается [25 и многие другие] или численно исследуются [68, 76 и др.] условно одномерности теплопереноса в ПТП, а также способы ее достижения: путем увеличения продольных размеров измерительной сре-ды [75 и др.], улучшения боковой теплоизоляции ПТП [122 и др.], введе-ния охранных колец или компенсации боковых потерь тепла [110], учета продольных перетечек тепла в ММТ. Исследования растекания тепла в ка-лориметрических ПТП типа тонкой стенки неоднократно выполнялись применительно к теплометрии в импульсных и кратковременно дейст-вующих аэродинамических трубах [38, 43, 44, 163]. Методами имитацион-ного моделирования теплового режима калориметрических ПТП изучались утечки тепла из-за теплообмена чувствительного элемента с окружающей средой, в том числе с корпусом ПТП [34]. В [237] аналитические исследо-вания искажения одномерности градиентным однородным ПТП выполне-ны для тепловой схемы «круглый диск конечной толщины на полубеско-нечном теле» и т. д.

1.6.3.2 По всей вероятности, основное внимание уделяется оценкам влияния систематических погрешностей δt в измерениях температур

35

для различных разновидностей ПТП на погрешности δq конечных резуль-татов теплометрии [4, 6, 16, 36, 230 и многие другие]. В качестве иллюст-рации можно привести отдельные результаты. Так, в работах [66, 208, 209] применительно к ДВС и ПТП с пленочными термометрами получено, что при δt < 2 % величины δq составляют до 10 % при теплометрии металличе-ских поршней и до 30 % — керамических. В работах [98, 180] для одно-родных ПТП найдено, что при δt < 1 % величины δq могут достигать зна-чений < 3 % при линейном теплопереносе и < 9 % — при нелинейном.

1.6.3.3 Исследованию влияния случайных погрешностей в измере-ниях температур уделяется значительное внимание во многих работах, в частности, [6, 8, 23, 51, 92, 96, 117, 214 и др.]. При этом распространенным является предварительное сглаживание экспериментальных данных [39, 60, 92, 132, 197 и др.], которое практически всегда приводит к положи-тельным результатам. Однако в ряде работ, в частности [10, 36, 130, 194 и др.] указывается необходимость строгого подхода к этой операции с при-менением регуляризованных алгоритмов сглаживания, в частности, куби-ческих сглаживающих сплайнов [10, 130].

1.6.3.4 В ряде работ указанные исследования выполняются для дос-таточно полного набора влияющих факторов, например, в [6, 16 и др.], а в некоторых рассматриваются лишь отдельные факторы. Так, в [154] полу-чены оценки погрешностей решений ОЗТ из-за неточностей в теплофи-зических характеристиках материала, в частности, из-за неучета темпе-ратурной зависимости коэффициента теплопроводности. Влияние погреш-ностей в оценке месторасположения точек измерения температур в ПТП исследовалось в [32]. Оценка погрешностей решения ММТ в ПТП являет-ся хорошо изученной проблемой (см. раздел 1.3.3), особенно в приложении к сеточным методам [127, 159]. Однако возникающая из-за нее погреш-ность решения ОЗТ исследовалась редко.

В целом, необходимо констатировать, что имитационное моделиро-вание (вычислительный эксперимент) является общепринятым, универ-сальным и всегда реализуемым методом исследования погрешностей ре-шений конкретных ОЗТ. 1.6.4 Методическая погрешность параметрической идентификации плотности теплового потока

Проблему оценки погрешности восстановления q(τ) целесообразно рассматривать в привязке к выбранному методу восстановления q(τ), в ка-честве которого, как показано в разделе 1.4, нами принят метод парамет-рической идентификации ММТ в ПТП.

В методической погрешности параметрической идентификации можно выделить две основные составляющие:

– погрешность аппроксимации искомой функции q(τ) с выбором век-

36

тора искомых параметров Q (смотри раздел 1.4.3.2 и 1.4.3.3); – погрешность получения оптимальных оценок Q путем минимиза-

ции функции невязки (1.8). К сожалению, в технической литературе нам не удалось обнаружить

общие для различных ПТП рекомендации по оцениванию указанных ос-новных составляющих методической погрешности. 1.6.5 Совместные доверительные области и интервалы оценок ˆ jq со-ставляющих вектора искомых параметров

В работах [46, 87, 113, 167–169, 172, 173 и др.] был предложен метод исследования погрешностей оптимальных оценок ˆ

NQ ( 1)r × — вектора искомых параметров Q — коэффициентов аппроксимации (1.4) q(τ), вхо-дящего в однородный градиентный ПТП. Указанные оценки получены пу-тем минимизации по Q функции невязки ( )Φ Q типа (1.8). Метод исполь-зует хорошо разработанную и широко представленную как в технической, так и физико-математической литературе методологию МНК [77, 111, 191] теорию функций чувствительности динамических систем [120], а также статистические методы анализа и параметрической идентификации по-следних, в частности, фундаментально изложенные в монографии [194].

1.6.5.1 Предполагается, что погрешности оценок ˆNQ , полученных по

результатам Ν измерений, для линейных ( )Φ Q точно, а для нелиней-ных — приближенно характеризуются ковариационной ( )r r× -матрицей ˆ( )NP Q ошибок ˆ

NQ . Для случая когда ( 1)m× -вектор случайных погрешностей kε в измерениях (1.7) имеет нулевое математическое ожи-дание [ ]kE ε = 0, а его составляющие не коррелированны между собой, нормально распределены и обладают априорной дисперсией 2σ , ковариа-ционная матрица погрешностей в измерениях R имеет вид [36, 169]

2[ ]k kR E IΤ= ⋅ = σ ⋅ε ε , (1.13) где I — единичная ( )m m× -матрица.

Тогда в соответствии с [77, 169] ковариационная матрица ˆ( )NP Q имеет следующий вид:

2 1ˆ( )N NP A−= σQ , (1.14)

37

где

21 2 1 1

21 2 2 2

21 2

i k i k i k irk i ki k i k i k

i k i k i k irk i ki k i k i k

i k irk i k irk irki k i k i k

U U U U U

U U U U UA

U U U U U

⋅ ⋅

⋅ ⋅= Φ =

⋅ ⋅

∑∑ ∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑ ∑∑

∑∑ ∑∑ ∑∑

K

K

K K K K

K

(1.15)

— матрица Грама (информационная матрица Фишера), составляющими

которой являются функции чувствительности ˆ( )Nijk i

jU y

q∂

=∂

Q i -й со-

ставляющей вектора измерений kY к изменению j -й составляющей jq вектора искомых параметров Q в k -й момент времени ( 1,2, , ; 1,2, , ; 1,2, , )ik N i m j r= = =K K K .

1.6.5.2 Функции чувствительности ijkU — важные характеристики теплометрической измерительной системы. Они отражают все значимые факторы теплометрии: вид и параметры теплопереноса в ПТП, количест-во и месторасположение точек измерения температур и их перепадов, ка-чество каналов регистрации измеряемых величин, особенности входных воздействий (измеряемых и влияющих) ПТП, участок измерений по вре-мени и количество N моментов времени измерений на этом участке и др. Для некоторых линейных ПТП ijkU могут быть определены аналитическим путем, а в общем случае — численным расчетом по ММТ в ПТП [166, 169].

1.6.5.3 Диагональные элементы матрицы ˆ( )NP Q представляют со-бой дисперсии оценок jq , а остальные элементы — отражают их взаим-

ные корреляции. Известно также, что при заданном уровне 2σ ошибок измерений точность определения ˆ

NQ связана с квадратичной формой ˆ ˆ

N NAΤQ Q , описывающей в окрестности точки ˆNQ многомерный эллипсоид,

который является совместной доверительной областью (СДО) найденных оценок характеризующей точность косвенных измерений [169, 194].

В пространстве параметров jq СДО имеет следующий вид гиперэл-липсоида рассеивания [113, 172, 173, 194]:

( ) ( ) ( ) ( )1ˆ ˆ ˆ , 2 ,N N NР r F r NΤ −

ν− ⋅ ⋅ − = ⋅ −Q Q Q Q Q (1.16а)

где ( ), 2F r Nν − — квантиль распределения Фишера для доверительной вероятности ν ; r — количество искомых параметров; N — количество мо-

38

ментов времени измерения вектора измерений до kY (k = 1, 2, 3,…,N).

В уравнение (1.16а) вместо ( )1 ˆNР− Q в соответствии с (1.14) введем

матрицу Грамма A . С этой целью вместо априорной дисперсии σ2 реко-мендуется вводить реальные для проведенных экспериментов значения либо выборочной дисперсии измерений 2

0S для случая скалярного ( 1m = ) вектора измерений k ky=Y , либо квадрата стандартной ошибки NS оценок ˆ

NQ для случая векторного ( 2m ≥ ) измерения. Указанные значения рассчи-тываются на основании экспериментальных данных по следующим фор-мулам [194]:

2 20 1 1 1

1

1 ˆˆ[ ( )]N

k k kk

S y yN r −

== −

− ∑ Q ,

2 minNS

N rΦ

=−

,

где 1 1ˆˆ ( )k ky −Q — модельное измерение, рассчитываемое по ММТ в функ-

ции от ( 1)k − -й оценки Q , а minΦ — остаточное значение функции невяз-ки.

Тогда уравнение (1.16а) для СДО с учетом (1.14) и полученных выше значений 2

0S и 2NS можно записать в виде:

( ) ( )ˆ ˆ ,N N NA BΤ

− ⋅ ⋅ − =Q Q Q Q (1.16)

где 202

( , ) для m 1;

( , ) для m 2.N

S r F r N rB

S r F r N rν

ν

⎧ ⋅ ⋅ − − =⎪= ⎨⋅ ⋅ − − ≥⎪⎩

1.6.5.4 В целях упрощения в цитированных выше работах было предложено вместо СДО, в которую с доверительной вероятностью ν по-падают оценки ˆ

NQ , использовать совместные доверительные интерва-лы (СДИ) jq±Δ полученных оценок ˆ jq — проекции гиперэллипсоида (1.164) на оси параметров jq . Их можно рассчитать по формуле:

j jjq a BΔ = ± ⋅ , (1.17)

где jja — диагональные элементы обратной ( )r r× -матрицы Грама 1N−Α .

Таким образом, представленный метод позволяет получать статисти-чески обоснованные оценки точности оценок ˆ jq в форме СДО или СДИ, которые учитывают все перечисленные выше значимые факторы про-цедуры восстановления q(τ) по методу параметрической идентификации. В качестве примера научного обоснования этого статистического метода к реальной практической проблеме в более завершенной чем цитированные

39

выше работы форме можно привести случай параметрической идентифи-кации теплогазодинамических параметров авиационных газотурбинных двигателей в работе [87]. 1.6.6 Планирование экспериментов, реализующих методы ОЗТ

В монографии [130], которая является, на наш взгляд, обобщением достигнутого научно-технического уровня прикладных методов ОЗТ, под-черкивается, что рациональный выбор факторов, характеризующих усло-вия проведения эксперимента и получения информации о состоянии объ-екта исследований, может существенно сузить область возможных реше-ний ОЗТ, улучшить свойства сходимости и повысить точность их решения. К числу факторов, в первую очередь, отнесены выбор количества и разме-щения точек измерения температур в объекте исследования, в частности, ПТП.

1.6.6.1 Подобные вопросы изначально вызывали интерес и разреша-лись путем планирования экспериментов на основе прямого численного моделирования процедуры решения ОЗТ, когда с помощью конкретных математических моделей путем перебора вариантов определялось необхо-димое количестве и оптимальное размещение датчиков температуры и другие факторы для получения удовлетворительной точности решения ОЗТ [16, 103, 123 и др.]. Подобный подход к планированию позволяет учи-тывать различные факторы эксперимента. Однако его трудоемкость растет в геометрической прогрессии с ростом количества параметров теплопере-носа, подлежащих определению в ОЗТ и учитываемых влияющих факто-ров.

1.6.6.2 Планирование эксперимента в технических исследованиях являются активно развивающейся отраслью науки, ее теория и методы хо-рошо разработаны и отражены в специальной литературе [116, 126]. Одна-ко практическое применение планирования теплофизических эксперимен-тов, реализующих методы ОЗТ, является сравнительно новым направлени-ем исследований.

К числу первых аналитических работ в этом направлении можно от-нести исследования существования и единственности решения ОЗТ в пла-не их постановки [63, 108, 125]. В исследованиях А. Б. Успенского [190, 191] предлагается подход с использованием информационной матрицы Фишера Ф, лежащей в основе большинства методов общей теории опти-мального планирования.

По всей вероятности, впервые метод использования матрицы Ф для выбора вариантов различных точек измерения температуры в теле при оп-ределении ТФХ его материала был использован в работах Е. А. Артюхина [19, 22–24]. В последующем метод неоднократно реализовался при реше-ниях как коэффициентных [20, 21, 27, 28, 50 и др.], так граничных и ком-

40

бинированных ОЗТ [49 и др.]. 1.6.6.3 В окончательно сформировавшемся виде метод приведен в

монографии [130]. В ней подчеркивается, что метод требует предваритель-ной параметризации ОЗТ и что в его основу положен параметрический анализ функции невязки типа (1.8), которая, в частности, в [22] названа ко-нечноразностным аналогом ОЗТ. Для линейных функций невязки ( )Φ Q задача планирования решалась в типичной для общей теории постановке: как задача выбора условий проведения эксперимента и схемы измерений из условия обеспечения минимального значения числа обусловленности матрицы Фишера. Используются также и другие критерии, в частности, детерминант или след матрицы Ф, а также методы выпуклого анализа Ф [211]. В общем случае, нелинейные функций невязки ( )Φ Q подлежат ли-неаризации относительно априорно задаваемых значений Q , тогда плани-рование, как это названо в работах [130, 227 и др.], является локально-оптимальным.

В целом, предложенный метод представляется весьма эффективным применительно к оптимальному проектированию сложных многокомпо-нентных тепловых систем и испытательных комплексов, например, ракет-но-космических [124, 130]. Однако, по-нашему мнению, он менее пригоден для измерительных и вычислительных компонент измерительных систем, в частности, теплометрических. 1.6.7 Оптимальное (рациональное) проектирование измерительных и вычислительных компонентов теплометрических систем по критериям СДО и СДИ

Методику оценивания погрешностей параметрической идентифика-ции, приведенную в разделе 1.6.5 и изложенную в цитированных в ней ра-ботах, изначально предполагалось использовать также в целях априорно-го — до проведения измерений — оптимального (для линейных функций невязки ( )Φ Q ) или приближенного рационального (для нелинейных

( )Φ Q ) проектирования теплометрических систем. В работе [167] выполне-но такое проектирование применительно к решению граничной ОЗТ для однородного градиентного ПТП, а в [168] — коэффициентной ОЗТ путем построения СДО (раздел 1.6.5.3). При этом априорные функции чувстви-тельности ijkU , априорные ковариационная матрица (1.14) рассчитываются по априорно задаваемым значениям 0Q вектора искомых параметров Q . (В случае нелинейности функции невязки ( )Φ Q она линеаризуется в об-ласти, близкой 0Q [190, 169, 194 и др.].

В этом случае, в пространстве искомых параметров ( )jq j r= СДО имеет следующий вид:

41

( ) ( ) ( )1 20 0Р rΤ −

ν− ⋅ ⋅ − = χQ Q Q Q , (1.18)

где ( )2 rνχ — квантиль 2χ -распределения при доверительной вероятности ν .

При 2r > целесообразно использовать СДИ (раздел 1.6.5.4), для ко-торых на основании фундаментальных положений математической стати-стики [194], получено следующее выражение

2 2( ) ( )j iiq rνΔ = ± σ ⋅ρ χθ . (1.19) В последующих публикациях [172, 173] была сформулирована про-

цедура оптимального (рационального) проектирования измерительных и вычислительных компонент теплометрических систем путем перебора ва-риантов значимых факторов с целью достижения минимальных или зада-ваемых размеров СДО или величин СДИ. Последние, как показано в раз-делах 1.6.5.1 и 1.6.5.2, зависят от факторов конструкции и тепловой схемы ПТП и других значимых факторов теплометрии, приведенных выше.

При этом необходимо отметить, что все приведенные выше извест-ные результаты получены для одномерных градиентных ПТП с теплоизо-лированным тыльным торцом. Возможности и особенностях их примене-ния для различных известных ПТП требует проведения дальнейших иссле-дований.

Из изложенного выше вытекают следующие принципиально важные выводы:

1. а) Прикладная теплометрия широко используется в различных от-раслях и объектах науки и техники, что предопределяет чрезвычайное разнообразие конструкций ПТП, их тепловых и измерительных схем.

б) Общим случаем прикладной теплометрии, если исходить из ее ре-ального состояния и, особенно, перспектив развития является нестацио-нарная теплометрия.

в) Нестационарная прикладная теплометрия в общем случае, при использовании как статических, так и астатических ПТП, по сути являет-ся граничной ОЗТ по восстановлению q(τ), а в аспекте измерительной техники — разновидностью косвенных измерений, причем одной из наиболее сложных — совместных.

г) Запросы практики требуют восстановления q(τ) в реальном вре-мени проведения эксперимента, а современный уровень информационных технологий позволяют, по нашему мнению, считать это требование реаль-но выполнимым в рамках теплометрических измерительных систем реаль-ного времени.

2. Основные цели и задачи нестационарной прикладной теплометрии сводятся к следующему:

– математическое моделирование теплопереноса и решения пря-

42

мых задач теплопроводности для различных типов ПТП; – решение граничных ОЗТ по восстановлению плотности входя-

щих в ПТП различных разновидностей тепловых потоков q(τ) как основно-го алгоритма вычислительных компонент ТИС реального времени;

– оценивания погрешностей нестационарной теплометрии для раз-личных ПТП особенно методических погрешностей восстановления q(τ).

3. а) Методами теории теплопроводности практически для всех из-вестных ПТП могут быть получены ММТ, адекватно описывающие про-цессы теплопереноса. Они отличаются чрезвычайным многообразием форм, методов решения ПЗТ и их программных реализаций.

б) Для однородных, чаще всего линейных ПТП известны классиче-ские точные или приближенные аналитические методы решения ПЗТ. Од-нако их возможности существенно ограничены, в том числе из-за указан-ного выше разнообразия ПТП и граничных условий на их тыльном торце.

в) Численные методы, применяемые с дискретными ММТ нелиней-ных и неоднородных ПТП, позволяют получать для них решения ПЗТ с использованием известных специализированных или универсальных про-граммных комплексов. Они лишены практически всех ограничений анали-тических методов. Однако их вычислительная эффективность и быстро-действие, как правило, не удовлетворяют требованиям к вычислительным компонентам ТИС реального времени. Кроме того, в практике тепломет-рии весьма желательна общность как самих ММТ, так и их программного обеспечения по отношению к различным ПТП.

г) В ряде публикаций, в основном, для однородных нелинейных гра-диентных ПТП было показано, что практически всем упомянутым выше требованиям при решениях ПЗТ удовлетворяют дифференциально-разностные модели (ДРМ), которые имеют форму систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

д) В связи с этим в перспективе различные ПТП могут иметь общую форму, стандартную для теории динамических систем; общий метод реше-ния ПЗТ, максимально приспособленный для реализации на ЭВМ; общее программное обеспечение в виде распространенных программных ком-плексов. Эти комплексы реализуют прикладные методы теории простран-ства состояния динамических систем, в том числе методы получения стан-дартных динамических характеристик линейных ПТП.

4. а) В общем случае восстановление q(τ) является граничной ОЗТ, которые относятся к некорректно поставленным задачам математической физики. Это приводит к возможной неустойчивости решений и, следова-тельно к необходимости обращения к интенсивно развивающимся в по-следние десятилетия регуляризованным методам решения.

б) Общепризнанно, что для научно-технических приложений эффек-

43

тивными методами решения граничных ОЗТ являются экстремальные по-становки, в частности, с последующей параметрической идентификацией ММТ в ПТП.

в) Для этой цели применяются известные одношаговые регуляризо-ванные методы, реализующие, как правило, итерационный принцип ми-нимизации функций невязки, которая включает весь массив эксперимен-тальной информации за полное время проведения эксперимента. Это тре-бует значительного объема вычислений, что с учетом одношаговости при-водит к ограничениям возможностей применения указанных методов в ТИС реального времени.

5. Значительной перспективой обладают рекуррентные последова-тельные алгоритмы, использующие вычислительные процедуры опти-мального дискретного (цифрового) фильтра Калмана (ФК).

6. а) В суммарной погрешности прикладной теплометрии превали-руют методические погрешности.

б) К общим составляющим методической погрешности тепломет-рии относятся погрешности из-за нарушения одномерности теплопереноса в ПТП, из-за искажения ПТП измерительной среды и ряд других. Их оце-нивание является сложной проблемой, для решения которой необходимо привлекать известные методики и результаты.

в) При прямых измерениях постоянных или медленно изменяю-щихся плотностей тепловых потоков с применением статических ПТП проблемными являются динамические погрешности. Перспективным подходом к расчетам является использование ДРМ.

г) Оценивание методической погрешности нестационарной тепло-метрии как разновидности косвенных измерений q(τ) является сложной ак-туальной проблемой, решение которой в настоящее время осуществляется, в основном, путем эмпирического численного моделирования. При ис-пользовании для восстановления q(τ) метода параметрической идентифи-кации представляется перспективным метод построения СДО или СДИ искомых параметров через функции чувствительности к ним температур ПТП.

д) Смежной актуальной проблемой является оптимальное планиро-вание процесса нестационарной теплометрии либо на основе информаци-онной матрицы Фишера, либо путем априорного анализа указанных в п. 4 СДО или СДИ.

7. В целом, необходимо констатировать, что при решении актуаль-ной практической задачи — разработке современных методов и средств нестационарной прикладной теплометрии — существует комплексная проблема, заключающаяся в создании научных основ нестационарной теплометрии, представленной в форме ТИС.

44

44

2 РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПТП НА ОСНОВЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

Предлагается общий для различных видов ПТП численный метод решения прямых задач линейного и нелинейного теплопереноса, который основан на исследовании дифференциально-разностных моделей (ДРМ).

Для ПТП с линейным теплопереносом предлагается численно-алгоритмический метод, позволяющий с помощью математического аппа-рата пространства состояний динамических систем получить их динамиче-ские характеристики — переходные матрицы, передаточные функции, пе-реходные, импульсно-переходные и частотные характеристики.

2.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПТП

В разделе 1.3.4 было показано, что в качестве общей для различных линейных и нелинейных ПТП, моделей теплопереноса, предназначенных для решения ПЗТ, может использоваться ДРМ, которая в линейном случае имеет вид СОДУ (1.2). При этом для достижения адекватности реальному теплопереносу имеется возможность ввести в ДРМ некоторые особенности тепловых схем ПТП, учет которых в известных ММТ либо невозможен, либо вызывает значительные затруднения, в частности: разнородность со-ставляющих элементов; наличие в них элементов крепления, контактных пластин, чернящих или защитных покрытий, слоев клея, смол и т. п.; нали-чие контактных сопротивлений и воздушных зазоров; различные гранич-ные условия теплообмена на тыльной поверхности ПТП; зависимость ТФХ материалов от температуры и другие нелинейности.

Приведём ДРМ для некоторых распространенных разновидностей ПТП, тепловые схемы и топологии которых приведены на рис. 2.1, а их геометрические параметры и теплофизические свойства — в таблице 2.1.

45

ж

е

д

г

в

б

а

Рис.

2.1

. Тепловы

е схемы

и топологии

ДРМ

некоторых распространенных одномерных ПТП

: а) однородны

й ПТП

; б)

двухсоставной

неоднородны

й ПТП

с контактны

м тепловым сопротивлением

Rк; в)

ком

бинированный ПТП

с воздуш

-ной прослойкой

; г) П

ТП типа тонкого диска;

д) однородны

й ПТП

типа полуограниченного тела

; е) однородны

й ПТП

на

полуограниченном

теле с контактным тепловым сопротивлением

Rк; ж

) батарейны

й ПТП

46

Таблица 2.1 Основные характеристики исследуемых ПТП

Тип ПТП Толщина 310δ ⋅ , м

Теплопро-вод-

ностьλ , Вт/(м⋅К)

Температу-ропровод-ность

610а ⋅ , м2/с

Контактное тепловое сопротив-ление kR , К⋅м2 /Вт

Однородный ПТП 1 5δ = 1 15λ = 1 3,8а = ⎯

Двухсоставной ПТП с контактным тепло-вым сопротивлением

kR

1 2δ =

2 3δ = 1 31λ =

2 20λ = 1 8а =

2 6,7а = 30 10−÷

Комбинированный ПТП с воздушной прослойкой

1 1δ =

3 0,01δ =

2 3δ =

1 18λ =

2 91λ =0,023вλ =

1 5,4а =

2 3а =22ва =

⎯

ПТП типа тонкого диска (ПТП Гардона)

0,1дδ =5дD =

23,3дλ = 6,2да = 30 10−÷

Однородный ПТП типа полуограничен-ного тела

1 25,3δ ≤ 1 15λ = 1 3,83а = ⎯

Однородный ПТП на полуограниченном теле с контактным тепловым сопротив-лением kR

1 2δ = 1 15;0,7λ =

2 0,7;15λ =1 38;0,22а =

2 0,22;38а = 30 10−÷

Батарейный ПТП (ПТП Геращенко)

1 0,1δ =

2 1,3δ =

3 0,1δ =

1 0,2λ =

2 0,7λ =

3 0,2λ =

1 0,11а =

2 0,22а =

3 0,11а = ⎯

Высокотемператур-ный ПТП (ВПТП)

1 0,05δ =

2 2δ = 1 75,3λ =

2 2,36λ = 1 26,7а =

2 1,1а = 30 10−÷

Метод получения ДРМ изложен в подразделе 1.3.4.

47

2.1.1 Однородный градиентный ПТП с нелинейным теплопереносом (рис 2.1,а)

Тепловой моделью ПТП является теплоизолированный по боковым поверхностям стержень, либо бесконечная пластина с линейными разме-рами δ (рис. 2.1,а). Разобьем ПТП на n элементарных участков-блоков размером Δ . Средние температуры этих блоков 1 2, , , nt t tK отнесенные к их

центрам, составляют ( )1n× -вектор состояния ( ) [ ]1 1nit =τ =T . При этом раз-

меры граничных блоков в соответствии с [166] установим равными / 2Δ , а их средние температуры t1, tn отнесем к торцевым поверхностям. Для каж-дого блока составим уравнение теплового баланса между изменением его теплосодержания и потоками тепла от соседних блоков, а для двух гранич-ных блоков — и от внешней среды.

При учете зависимости ТФХ от температуры будем относить удельную теплоемкость ci и теплопроводность iλ к температурам блоков ti, а коэффициент теплопроводности между соседними блоками определять

по формуле ( ) ( ) 1, 1 1

12 2

i ii i i i

t tt t ±± ±

+⎛ ⎞⎡ ⎤λ = λ + λ = λ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠.

Тогда после преобразований уравнение теплового баланса для i-го блока имеет вид:

1 1 1 1i

i i i i i i idt t b t b t b td − − + += = − +τ

& , (2.1)

где , 11 2

i ii

ib

c−

−λ

=ρΔ

, ( ) ( ) ( )1 1

2

12i i i

ii

t t tb

c

− +⎡ ⎤λ + λ + λ⎣ ⎦=

ρΔ, , 1

1 2i i

ii

bc

++

λ=

ρΔ,

2 3 4 , 1i , , , ... n= − . Для первого блока ( 1i = ) c граничными условиями 2-го рода (ГУ-2)

на рабочем торце уравнение теплового баланса принимает вид: * *

1 1 1 2 2 1 12 2 2 ( ),t b t b t d q= − + + τ& (2.2)

где

1 2

* *1 2 2

1 1

2t t

b bc

+⎛ ⎞λ⎜ ⎟⎝ ⎠= =ρ Δ

; 11 1

1dc

=ρ Δ

.

Подстановкой 1( ) ( )срq t tτ = α − в уравнении (2.2) можно перейти к граничным условиям третьего рода (ГУ-3), задавая температуру среды срt и коэффициент теплоотдачи α . Тогда уравнение (2.2) принимает вид:

* *1 1 1 1 2 2 12( ) 2 2 срt b d t b t d t= − + α + + α ⋅& . (2.3) Для граничного тыльного блока i n= уравнения соответствуют виду

48

(2.2) или (2.3). В уравнения (2.2) и (2.3) могут быть введены граничные условия

лучистого теплообмена рабочей поверхности ПТП с окружающей средой. В простейшем случае, приведенном в разделе 1.2.2.3, уравнение (2.2)

принимает вид: * * 8 4 4

1 1 2 2 1 1 0 12 2 2 10 [ ( 273) ].cpt b t b t d C T t−= − + ε − +& (2.4) В целом, нелинейный теплоперенос в однородном ПТП описывается

нелинейной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), состоящей из двух уравнений типа (2.2), (2.3) или (2.4) и ( )2n − уравнений типа (2.1). Данную ДРМ можно записать в следующей вектор-но-матричной форме:

( ) ( ) [ ( )]ddt

τ = τ = τT T f T& , (2.5)

где ( ) 1( ) [ ( )] [ ( )]nf f Ττ = τ τf T T TL — нелинейная ( )1n× -вектор-функция, составляющими [ ( )]if τT ( )1,2, ,i n= K которой являются правые части всех n уравнений. 2.1.2 Однородный градиентный ПТП с постоянными ТФХ (рис. 2.1,а)

В случае постоянства ТФХ материала (λ = const, c = const)

11 constd d

c= = =

ρΔ и 2 consti

ab b= = =Δ

уравнения (2.1), (2.2) и (2.3) при-

нимают вид: 1 12i i i it bt bt bt− += − +& , (2.6)

( )1 2 1 12 2 2t bt bt dq= − + τ& , (2.7)

1 1 22 1 2 2 cpt b t bt dtΔ⎛ ⎞= − + α − + α⎜ ⎟λ⎝ ⎠& , (2.8)

а ДРМ ПТП (рис. 2.1,а) с условиями теплообмена 2-го рода на поверхно-стях граничных блоков состоит из 2-х уравнений типа (2.8) и ( )2n − урав-нений (2.7). Она может быть представлена в форме следующей линейной стационарной СОДУ:

( ) ( ) ( ) ( )d F Gdt

τ = τ = τ + τT T T U& , (2.9)

где векторы состояния ( )τT и управления ( )τU , матрицы обратных связей F и управления G имеют вид:

1

( 1)

( )( )

( )nn

t

t×

ττ =

τT M , 1

(2 1) 2

( )( )

( )qq×

ττ =

τU ,

49

( 2)

2 00 0

0 2n

d

G

d×

=M M

, ( )

2 2 0 0 0 02 0 0 0

0 0 0 20 0 0 0 2 2

n n

b bb b b

Fb b b

b b

×

− ⋅− ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ −⋅ −

, (2.10)

где 2bcλ

=ρΔ

и 1dc

=ρΔ

.

Для того же ПТП, но с условиями теплообмена 3-го рода ( ( )iα τ и ( )

iсрT τ при 1,2i = ) на поверхностях граничных блоков ДРМ (2.9) отлича-ется следующим видом вектора управления и матрицы обратных связей:

( )

( )

( )

1

2

2 1 2 0 0 0 0

2 0 0 0

0 0 0 2

0 0 0 0 2 2 1

b b

b b bF

b b b

b b

α τλ

τ

α τλ

Δ⎡ ⎤− + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦− ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ −

Δ⎡ ⎤⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 21 2ср срt tΤ

τ = α τ τ α τ τU (2.11) Таким образом, линейная стационарная ДРМ, при зависящих от вре-

мени граничных условиях 3-го рода становится нестационарной. 2.1.3 Двухсоставный градиентный комбинированный ПТП с контактным тепловым сопротивлением Rk между элементами (рис. 2.1,б)

Получим ДРМ для составного ПТП (рис. 2.1,б) с линейным теплопе-реносом, состоящего из двух разнородных элементов из материалов 1 и 2 с контактным сопротивлением kR между ними. Каждый элемент разбит на 11 блоков, из которых первый и последний — граничные. Вектор состоя-ния ПТП имеет вид:

1 11 12 22t t t t Τ=T L L . В развернутой форме ДРМ отличается своими 11-м и 12-м уравне-

ниями: 1

11 1 10 1 11 12 112 2 2 ( ),k

dt b t b t t tR

= − + −&

50

212 2 13 1 12 11 122 2 2 ( ),

k

dt b t b t t tR

= − + −&

где 1 21 2 1 22 2

1 1 2 21 1 2 2

1 1, , , .2

b b d dc cc c

λ λ= = = =

ρ Δ ρ Δρ Δ ρ Δ

В векторно-матричной форме ДРМ имеет вид (2.9), где матрица об-ратных связей F отличается своими 11-й и 12-й строками, а именно:

1 11 1

(22 22)2 2

2 2

0 0 2 2 2 0 0 0

0 0 0 2 2 2 0 0

k k

k k

d db bR R

Fd db bR R

×

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞

− +⎜ ⎟⎝ ⎠

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

L L

L L, (2.12)

Матрица управлений G и вектор управления U имеют вид: 1

(22 2)

2

2 00 0

,0 00 2

d

d

G×

= ⋅ ⋅ 1

(2 1) 2

( )( )

( )qq×

ττ =

τU .

2.1.4 Двухсоставной градиентный комбинированный ПТП с воздушным зазором (рис. 2.1,в)

Если между элементами ПТП с линейным теплопереносом имеется воздушный зазор, то будем предполагать, что в нем выполняется условие Gr ⋅ Pr < 1000, где Gr, Pr — критерии Грасгофа и Прандтля. Тогда в зазоре отсутствуют трудно учитываемые конвективные потоки тепла, и в правые части уравнений для контактирующих с зазором блоков вводятся члены ( )1k kt t+σ − , где /вσ = λ δ — тепловая проводимость воздушного зазора;

вλ — теплопроводность воздуха. В качестве иллюстрации приведем ДРМ для комбинированного

ПТП, состоящего из разнородных материалов 1 и 2, между которыми име-ется воздушный зазор (рис. 2.1,в) [30]. В развернутой форме ДРМ отлича-ется своими 7-м и 8-м уравнениями:

7 1 6 1 7 1 8 72 2 2 ( )t b t b t d t t= − + σ −& , 8 2 9 2 8 2 7 82 2 2 ( )t b t b t d t t= − + σ −& . В векторно-матричной форме ДРМ имеет вид (2.9), где матрица

F отличается своими 7-й и 8-й строками, а именно:

51

1 1 1 1

(16 16) 2 2 2 2

0 0 2 2( ) 2 0 0 00 0 0 2 2( ) 2 0 0

b b d dF

d b d b×

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− + σ σ

=σ − + σ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

L LL L

(2.13)

2.1.5 Векторно-матричная форма модели измерений ПТП В ПТП подлежат измерению либо температуры в отдельных точках,

либо перепады температур, либо среднеобъемные температуры отдельных элементов и т. д. Эту информацию, характеризующую измерительную схему ПТП, а также сведения о характере и величинах случайных погреш-ностей в измерениях температуры, в соответствии с изложенным в подраз-деле 1.4.4.1, можно отразить в следующей модели измерений:

( ) ( ) ( ),Hτ = τ + τY T ε (2.14) где ( )τY и ( )τε — векторы измерений и случайных погрешностей соот-ветственно размерностью ( )1m× ; H — матрица измерений размерно-стью ( )m n× .

В качестве иллюстрации приведем вид матрицы H для различных вариантов измерительной схемы комбинированного ПТП (рис. 2.1,в), при

[ ]161i it ==T и 2( ) 0q τ = .

Для случая измерения температуры одного блока размерность мат-рицы измерений H составляет ( )1 16× при следующих возможных вариан-тах измерений:

1 0 0 0 0H = L — измеряется температура 1t ; 0 0 1 0 0H = L — измеряется температура 3t и т. д.

Для случая измерения температуры двух блоков размерность мат-рицы измерений H составляет ( )2 16× при следующих возможных вариан-тах измерений:

1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0

H =LL

— измеряются температуры 1t и

6t ; 1 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1

H−

=LL

— измеряется перепад темпе-

ратур ( )1 6t t− и температура 16t и т. д. При измерениях, например, среднеобъемной температуры первых

трех элементов, равной ( )1 2 3 3t t t+ + , матрица H имеет вид:

52

1 1 1 0 03 3 3

H = L и т. д.

Таким образом, для различных градиентных ПТП предложены век-торно-матричные ДРМ с нелинейным (2.5) или линейным (2.9) теплопере-носом. Векторно-матричное уравнение измерений (2.14) отражает структу-ру системы измерения температур и (или) их перепадов, а также статисти-ческие характеристики случайных погрешностей в измерениях.

Ниже будут рассмотрены два подхода к реализации предложенных ДРМ при решениях ПЗТ и анализе динамических свойств ПТП, а именно:

– численные решения векторно-матричных уравнений динамики ПТП типа (2.5) или (2.9);

– численно-аналитические (алгоритмические) исследования основ-ных динамических характеристик ПТП методами, разработанными в об-щей теории динамических систем для объектов, математические модели которых имеют вид СОДУ.

2.2 ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПТП НА ОСНОВЕ ДРМ

Для численных решений линейных и нелинейных СОДУ, представ-ляющих ДРМ ПТП, нами предлагается использовать известный и широко применяемый метод пространства состояний, в основе которого лежит пе-реходная матрица состояний ( )0,Φ τ τ [78, 119, 166, 177, 183 и др.].

2.2.1 Линейные СОДУ В соответствии с цитированными источниками воспользуемся об-

щим решением линейных СОДУ (2.9), которое имеет вид [78, 119, 166, 177, 183 и др.]:

0

0 0( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ,G dτ

τ

τ = Φ τ τ ⋅ τ + Φ τ θ ⋅ θ ⋅ θ θ∫T T U& (2.15)

и решением однородного уравнения ( ) ( )Fτ = τT T& (2.16)

полученного из (2.15) в виде: 0 0( ) ( , ) ( ),τ = Φ τ τ ⋅ τT T (2.17)

где 0 0( , ) exp( ( ))FΦ τ τ = τ − τ — переходная ( )n n× -матрица состояния (мат-рица Коши) системы (2.9); 0τ — начальный момент времени.

Переходная матрица 0( , )Φ τ τ позволяет по значению вектора состоя-ния 0( )τT в момент времени 0τ получать его значения ( )τT в последую-щие моменты времени τ , образуя пространство состояния объекта, описы-

53

ваемого уравнением (2.9). На конечных (значительных) интервалах време-ни 0Δτ = τ − τ она отражает внутренние связи в объекте и является наибо-лее информативной его динамической характеристикой, что будет показа-но ниже [78, 119].

Для получения численных решений (2.15) и (2.17) введем дискретное время , 1,2,..,k k k Nτ = Δτ = и установим соответствующее ему малое зна-чение шага по времени 1k k+Δτ = τ − τ . При выборе Δτ необходимо учиты-вать, что ДРМ ПТП является реализацией известного метода прямых ре-шения задач теплопереноса, который относится к явным методам [127, 159]. Это обстоятельство накладывает следующее известное ограничение

на величину Δτ , исходя из условий устойчивости решения 0 2 0.5aF τ= ≤Δ

,

что было неоднократно подтверждено нами на практике. Для стационарных линейных СОДУ ( )F const= переходная матри-

ца 1( , )k k const+Φ τ τ = Φ = . Она определяется следующим бесконечным ря-дом:

2 21 1 ...2! !

m mI F F Fm

Φ = + Δτ + Δτ + + Δτ +K ., (2.18)

где I — единичная матрица. При малых Δτ ряд (2.18) отличается быстрой сходимостью. С помощью переходной матрицы Φ решение (2.15) может быть

представлено в виде:

11 ( ) ,2k k kI G+ = Φ ⋅ + + Φ ⋅ ΔτT T U (2.19)

где ( )k k= τT T ; 1 1( )k k+ += τT T и ( ) k k= τU U , а решение однородного уравнения (2.16) — в виде 1k k+ = ΦT T .

Решение (2.19) является дискретным аналогом уравнения (2.9). Интеграл в решении (2.15) при расчетах ( )τT от моментов времени

kτ к моментам времени 1k+τ вычисляется последовательно, обычно по формуле прямоугольников с использованием значений подынтегральной функции на левых концах промежутков интегрирования.

В монографии [183] показано, что при использовании метода прямо-угольников рекомендуется при вычислении Φ ограничиваться значениями

4m = . Более высокая точность приближения по формуле (2.18) может быть полезна при применении более точных и сложных способов прибли-жения интеграла в решении (2.15), например, по методу трапеции или па-раболической аппроксимации подынтегрального выражения. Поэтому во избежание повышения сложности решения, предлагается в общем случае ограничиваться значениями 4m = , а необходимой сходимости ряда (2.18)

54

добиваться за счет уменьшения шага по времени Δτ . Для нестационарных линейных СОДУ, матрица обратных связей

( )F τ зависит от времени, например, в соответствии с формулой (2.11). То-гда переходная матрица 1,k k+Φ от состояния kT к состоянию 1k+T должна вычисляться [166] для каждого расчетного шага по формуле, аналогичной (2.18):

2 21, 1 1 1

1 1 ...2! !

m mk k k k kI F F F

m+ + + +Φ = + Δτ + Δτ + + Δτ +K , (2.20)

где ( )1 1k kF F+ += τ , а решение нестационарной линейной СОДУ (2.9) в со-ответствии с (2.19) имеет вид:

1 1, 1,1 ( )2k k k k k k kI G+ + += Φ ⋅ + + Φ ⋅ ⋅ ΔτT T U . (2.21)

Таким образом, для нестационарных линейных ДРМ ПТП переход-ная матрица 1,k k+Φ должна рассчитываться на каждом временном шаге Δτ при условии его малости. Заметим, что выполнение этого условия обеспе-чивает быструю сходимость ряда (2.20). 2.2.2 Оценки погрешностей решения (2.19)

Будем учитывать, что суммарная погрешность решения прямой за-дачи теплопереноса в ПТП предложенным методом включает следующие две составляющие:

– погрешность из-за пространственной дискретизации ПТП при по-строении ДРМ, которая стремиться к нулю при увеличении числа n →∞ элементарных участков (блоков);

– погрешность решения ДРМ ПТП как СОДУ, которая стремиться к нулю при уменьшении Δτ .

В технической литературе вопросы оценок обеих составляющих хо-рошо изучены. Так, построение ДРМ теплопереноса и их место среди чис-ленных методов решения задач теплопроводности освещены в разделе 1.3.4.

ДРМ простейших однородных ПТП рассматривались и использова-лись во многих работах, начиная с [166]. Однако, в целом, возможности и особенности использования ДРМ как общей модели ПТП различных типов в литературе не рассматривались.

Для более сложных ПТП (рис. 2.1) точные аналитические решения практически отсутствуют. В этом случае оценки погрешностей рекоменду-ется выполнять путем сравнения результатов вариантных расчетов для различного количества n блоков разбиения ПТП и различных Δτ . Такие оценки, по результатам которых устанавливались оптимальные значения n и Δτ , проведены нами для всех разновидностей ПТП. При этом практиче-

55

ски всегда, удавалось достичь приемлемой точности решения ПЗТ. 2.2.3 Нелинейные ДРМ ПТП

Для получения решения нелинейных СОДУ типа (2.5) возможно ис-пользовать один из известных методов решения нелинейных СОДУ, в ча-стности, упомянутые выше методы Эйлера-Коши или Рунге-Кутта различ-ных порядков. Их программные реализации, в том числе и с автоматиче-ским выбором шага интегрирования Δτ , широко используется в различных пакетах для прикладных инженерно-технических расчетов, например, [86].

Кроме того, широко применяются известные сеточные методы ре-шения исходного уравнения Фурье [127, 159 и др.].

При применении математического аппарата теории пространства со-стояний предложено использовать метод естественной рекуррентной (по-следовательной) линеаризации правой части уравнения (2.5).

Метод рекуррентной линеаризации заключается в том, что при вы-числении вектора состояния 1k+T для 1k + момента времени по формуле (2.21) выполняется линеаризация правой части уравнения (2.5) к виду (2.9). Для этого значения ТФХ материала в уравнениях (2.1)–(2.4) необходимо отнести к уже рассчитанным температурам ,i kt каждого блока, а лучистый тепловой поток ( )q τ в соответствии с (2.4) представить в виде:

8 4 41, 0 1,10 [ ( 273) ]k ср kq C T t−= ε ⋅ − + , (2.22)

где 1, 1( ).k kq q= τ Тогда матрица обратных связей 1kF + зависит от полученного на

предварительном шаге значения kT , переходная матрица 1,k k+Φ определя-ется по формуле (2.20), а вектор 1k+T температурного состояния ПТП — по формуле (2.21).

Таким образом, при определении 1k+T по формуле (2.21) переходная матрица 1,k k+Φ вычисляется по формуле (2.20) через линеаризованную указанным способом матрицу обратной связи 1,kF + а лучистый тепловой поток 1,kq входит в состав вектора управления .kU

2.2.4 Примеры численных решений ПЗТ В процессе исследований получены решения ПЗТ для всех ПТП

(рис. 2.1) при различных: ГУ на тыльном торце ПТП, величинах контакт-ных сопротивлений, законах изменения воздействия 1( )q τ , величинах воз-душной прослойки и т. д.

В качестве иллюстраций изложенного выше, приведем результаты решения ПЗТ для двух ПТП (рис. 2.1,а и 2.1,в). Результаты для осталь-ных ПТП (рис. 2.1,г–2.1,ж) приведены в разделах 2.4–2.6.

56

На рис.2.2 показаны переходные характеристики для ПТП (рис. 2.1,а) при различных условиях на тыльном торце ПТП и неоднород-ных начальных условиях. Временной шаг 210−Δτ = с удовлетворяет устой-

чивости решения 0 2 0,5aF ΔτΔ = ≤

Δ. Приведены результаты по различным

составляющим вектора состояния ( )τT при 61 1 10q = ⋅ Вт/м2.

На рис. 2.3 и 2.4 приведены переходные характеристики и реакции на различные воздействия 1( )q τ для комбинированного ПТП с воздушной прослойкой (рис. 2.1,в). При исследованиях применялись различные зна-чения воздушной прослойки вδ при 6

1 1 10q = ⋅ Вт/м2 и 2 0q = по различным составляющим вектора состояния ( )τT . Как видно из рис. 2.4,а, влияние воздушной прослойки значительно (см. 7 ( )t τ и 8( )t τ ).

Выполнены исследования особенностей получения численных ре-шений для нелинейных ПТП (рис. 2.1,а). Предполагалось, что ТФХ мате-риала λ и с зависят от it и могут быть представлены в форме аппроксима-ций (1)

ii pSλ = λ∑ и (1)ii pc c S=∑ , где iλ и ci — коэффициенты при В-

сплайнах первого порядка с интервалом сплайн-аппроксимации Δ = 50 ˚C. Были выполнены расчеты переходных характеристик для случая

61 1 10q = ⋅ 2

Втм

и 2 0q = с лучистым тепловым потоком на рабочей поверх-

ности в соответствии с (2.4) (эффективная температура среды tср = 1500 ˚C и степень черноты поверхности ε = 0,85). Результаты указанных расчетов выборочно сравнивались с данными решения указанных задач известным методом Рунге-Кутта. Сравнение свидетельствует о практическом совпа-дении результатов расчетов.

57

б)

г)

а)

в)

Рис.

2.2

. Переходны

е характеристики

градиентного однородного ПТП

при

q1(τ)

= 1⋅1

06 Вт/м2 :

а) теплоизолированны

й тыльны

й торец

q 2 =

0;

б) сток тепла на

тыльном торце:

(1 —

q2 =

0; 2

— q

2(τ)

= –

0,5⋅

106 В

т/м2 ; 3

– q

2(τ)

= –

1⋅10

6 Вт/м2 ; 4

–

q 2(τ

) = –

2⋅10

6 Вт/м2 );

в)

подвод тепла к тыльному

торцу

: (1

— q

2 = 0

; 2 –

q2(τ)

= 0

,5⋅1

06 Вт/м2 ; 3

– q

2(τ)

= 1⋅1

06 Вт/м2 ; 4

–

58

б)

б)

а)

Рис.

2.3

. Переходны

е характеристики

ком

бинированного ПТП

с воздушны

м зазором δ при

q 1(τ

) = 1⋅1

06 Вт/м2 , q

2 = 0

: а)

по темп

ературе

t 1 при различны

х значениях δ

[м]:

1 —

δ =

1⋅1

0–5 м

; 2 —

δ =

5⋅1

0–5 м

; 3 —

δ =

1⋅1

0–4 м

; 4

— δ

= 2⋅1

0–4 м

; б)

по темп

ературам

t 1, t

7, t 8,

t 16 и

Δt 1–

16 =

t 1 –

t 16 при

δ =

1,0⋅1

0–5 м

а)

Рис.

2.4

. Реакция

ком

бинированного ПТП

с воздушны

м зазором δ

= 1,

0⋅10

–5 м

на различны

е q 1

(τ) при

q 2

= 0

: а)

гармо

нический

закон

q 1(τ

) = 1⋅1

06 + 1⋅1

06 sin(

2τ) В

т/м2 ; б

) одиночный им

пульс

q 1(τ

) = 1⋅1

06 Вт/м2 ,

1 с ≤ τ ≤

3 с

59

2.3 ЧИСЛЕННО-АЛГОРИТМИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ ПТП

Основным недостатком приведенного выше метода решения ПЗТ сравнительно с аналитическими является его конкретный числовой харак-тер.

Однако представление ДРМ в стандартной, для линейного теплопе-реноса, форме позволяет использовать современный математический аппа-рат теории пространства состояний и с его помощью численно-алгоритмическим путем непосредственно получать основные динамиче-ские характеристики ПТП. При этом к несомненным достоинствам чис-ленно-алгоритмических методов необходимо отнести доступность их про-граммной реализации в пакетах MATLAB, Simulink, Vissim и др.

Выполним адаптацию известных методов пространства состояний к задаче построения динамических характеристик линейных ПТП. В качест-ве источника будем использовать известные методы общей теории дина-мических систем [78, 119 и др.]. 2.3.1 Переходные матрицы ПТП

Основной динамической характеристикой ПТП в пространстве его состояний является переходная матрица 0( , )Φ τ τ , которую в этом случае необходимо рассматривать на значительном промежутке времени

0Δτ = τ − τ . Она имеет размерность ( )n n× и записывается в виде:

11 0 1 0

0

1 0 0

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )

n

n nn

φ τ τ ⋅ φ τ τΦ τ τ = ⋅ ⋅ ⋅

φ τ τ ⋅ φ τ τ. (2.23)

Элемент 0( , )ijφ τ τ представляет собой переходный процесс по темпе-ратуре i-го блока ПТП от единичного начального условия по температуре j-го блока, протекающий в свободной системе (2.16) при нулевых началь-ных условиях по температурам остальных блоков. Таким образом, пере-ходная матрица количественно отражает тепловые связи в ПТП самых сложных конструкций.

В практических расчетах используется дискретная форма переход-ной матрицы в следующем виде:

11, 1 ,

1, ,

k n k

k

n k nn k

φ ⋅ φΦ = ⋅ ⋅ ⋅

φ ⋅ φ, (2.24)

где 0( , ) ( ,0),k k kΦ =Φ τ τ = Φ Δτ а 0 0 ,( , ) ( , ) ( ,0) .ij ij k ij ij kkφ τ τ = φ τ τ = φ Δτ = φ

60

Для вычисления kΦ используется следующий способ [78, 119]: если для момента времени 0 0τ = ( 0)k = установить единичное начальное 0jt условие для j -й составляющей вектора состояния 0,T а все остальные по-ложить равными 0, то полученные в результате решения свободной систе-мы (2.16) значения ( 1,2,.., )it i n= вектора kT будут j -м столбцом матрицы

kΦ . Если подобную операцию выполнить n раз ( 1,2,.., )j n= , то будут по-лучены все n столбцов матрицы kΦ . Решение уравнения (2.16) можно по-лучить любым способом, в частности, по формулам (2.18) и (2.19). В целом вычисление kΦ на ЭВМ не вызывает затруднений.

2.3.2 Матричные импульсно-переходные характеристики ПТП Математическую модель ПТП, как компонента ТИС составляют

уравнение теплопереноса (2.9) и измерений (2.14). ( ) ( ) ( )F Gτ = τ + τT T U& , (2.25) ( ) ( )Hτ = τY T . (2.26)

Соотношения «вход ( )τU -выход ( )τY » для системы (2.25) характе-ризуются матричной импульсной переходной характеристикой ( ,0)Ω τ . Она описывает переходные процессы в ТИС с нулевыми начальными ус-ловиями по различным выходам ( 1,2,.., )jy j m= (измеренным температу-рам или их перепадам), вызванные единичными воздействиями — тепловыми потоками 1( ) ( 0)q τ = δ τ − или 2( ) ( 0)q τ = δ τ − , где ( 0)δ τ − — δ -функция Дирака. В случае ПТП с j m= измерениями и двумя граничными условиями на рабочей и тыльной поверхностях размерность ( ,0)Ω τ со-ставляет ( )2m× .

Известно, что матричная импульсно-переходная характеристика в дискретной форме ( ,0)k kΩ =Ω τ выражается через матрицы измерения H , переходную F и управления G следующим образом:

11, 12,

1, 2,

k k

k k

m k m k

H GΩ Ω

Ω = Φ =Ω Ω

M M , (2.27)

где 1,j kΩ и 2,j kΩ — импульсно переходные характеристики по различным выходам ПТП от единичных входных воздействий 1( ) ( 0)q τ = δ τ − или

2( ) ( 0)q τ = δ τ − . Как правило, практический интерес вызывает составляю-щие 1,j kΩ по каналам воздействия 1( )q τ .

Так как ненулевые составляющие 1 и 2d матриц H и G являются по-стоянными величинами, то матрицу kΩ образуют либо составляющие

61

, ( 1,2,..., ; 1,2,..., )iz k i n z nφ = = переходной матрицы kΦ , либо их разности, умноженные на величину 2d. 2.3.3 Передаточные функции ПТП

Для получения передаточных функций ПТП преобразуем его модель (2.25) по Лапласу к виду:

( ) ( ) ( )s s F s G s= +T T U , ( ) ( )s H s=Y T ,

и, проведя простейшие преобразования, получим 1( ) [ ] ( )s sI F G s−= − ⋅T U , (2.28)

1( ) [ ] ( )s H sI F G s−= − ⋅Y U , (2.29) где ( ), ( ), ( )s s sT Y U — изображения по Лапласу векторов ( ), ( ), ( )τ τ τT Y U соответственно.

Уравнение (2.28) определяет следующий вид матрицы ( )W s переда-точных функций ПТП:

11 121

( ) ( ) ( 2)( 2)1 2

( ) ( )( ) [ ]

( ) ( )m n n n nm

m m

W s W sW s H sI F G

W s W s

−

× × ××

⋅= − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅, (2.30)

где 1( )jW s — передаточная функция по каналу воздействия 1( ) ( )jq yτ → τ ;

2( )jW s — то же по каналу 2 ( ) ( )jq yτ → τ ; ( )jy τ — j -я составляющая век-тора измерения ( )( 1,2,.., )j mτ =Y .

Матрица передаточных функций ( )W s имеет такую же структуру и размерность, как и рассмотренная выше матричная импульсно-переходная характеристика ( ,0)Ω τ . Вид ( )W s при постоянном составе вектора вход-

ных воздействий 1 2( ) ( ) ( )q q Ττ = τ τU определяется, в основном, составом вектора измерений ( )τY .

Так как в качестве модели ПТП (2.14) используется ДРМ в виде сис-темы (2.9) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, передаточные функции измерительных каналов ПТП 1( )jW s и 2( )jW s име-ют следующую классическую форму в виде соотношения полиномов от комплексного параметра s:

1 21 2

1 21 2

...( )n n

nn n n

n

s sW ss s s

− −

− −β + β + +β

=+ α + α + α

, (2.31)

в котором порядок полинома числителя на единицу меньше порядка поли-нома знаменателя.

В дальнейшем основное внимание будем уделять передаточным

62

функциям 1( )jW s по каналам воздействия измеряемой величины 1( )q τ . Существенное влияние на динамические и статические характери-

стики ПТП оказывает вид непосредственно измеряемых в ПТП физических величин — температуры it блоков или их перепадов iz i zt t tΔ = − . Поэтому для более четкого разделения этих двух случаев введем обозначения: в первом случае ( ) ( )1 1ij tW s W s−= и во втором случае ( ) ( )1 1izj tW s W sΔ −= .

2.3.3.1 Получение передаточных функций (2.31) является достаточно сложной вычислительной процедурой, особенно при значительном числе n блоков ДРМ ПТП. Однако она без затруднений решается в численном виде при использовании современных программных комплексах MATLAB, Vissim, в частности, [86]. В них задаются численные значения составляющих матриц F , G и H модели (2.25) и получаются значения параметров iα и iβ полиномов числителя и знаменателя в формуле (2.31) для передаточных функций ( )1mW s и ( )2mW s по всем измерительным ка-налам ПТП.

2.3.3.2 Общей особенностью полиномов как числителя, так и знаме-нателя является высокий порядок передаточных функций (2.31) для боль-шинства рассмотренных ПТП.

Так как это обстоятельство, вызванное стремлением охватить из-лишний для реальных ПТП диапазон высоких частот входных воздейст-вий, существенно усложняет дальнейшее использование передаточных функций предложено провести программное уменьшение порядка указан-ных полиномов. Оно основано на эквивалентировании логарифмических частотных характеристик и в ПК MATLAB реализуется командами balreal(sys), minreal(sys) и modred(sys, elim), где sys = ss(F, G, H, D); elim — вектор, указывающий на подлежащие удалению переменные вектора со-стояния [86].

Функция balreal возвращает сбалансированную реализацию модели в пространстве состояний (ss) с равными грамианами управляемости и на-блюдаемости. Чтобы на выходе функции получить как новую сбалансиро-ванную модель sysb, так и вектор g с диагональными элементами сбалан-сированного грамиана, необходимо выполнить команду:

[sysb, g] = balreal(sys). Если значения первых диагональных элементов сбалансированного

грамиана g значительно больше последующих, то можно понизить порядок модели, удалив соответствующие малозначащие переменные состояния. Для этого применяется одна из двух модификаций функции modred:

rsys = modred(sysb, elim, 'mdc'); rsys = modred(sysb, elim, 'del'). В первом случае (mdc) гарантируется сохранение коэффициента пе-

63

редачи, так как метод заключается в приравнивании производных удаляе-мых переменных состояния нулю и решении системы уравнений для опре-деления установившихся значений. Во втором (del) — просто удаляются переменные состояния, метод не гарантирует сохранение коэффициента передачи, но более точно аппроксимирует переходные процессы в модели.

Для построения минимальной реализации модели можно использо-вать функцию minreal. Она удаляет неуправляемые или ненаблюдаемые переменные состояния и выполняет сокращение совпадающих нулей и по-люсов, удовлетворяющих заданной точности tol. Результирующая модель имеет минимальный порядок и те же самые частотные характеристики, что и первоначальная модель системы. Функция записывается в виде:

msys = mineral(sys); msys = mineral(sys, tol). Чтобы выполнить понижение порядка системы за счёт удаления пе-

ременных состояния, не оказывающих влияния на отклик системы, вызы-ваемый входным сигналом, применяется функция sminreal.

2.3.3.3 В качестве иллюстрации рассмотрим процедуру получения и понижения порядка полинома передаточной функции ( )W s по каналу

1 1 11 1 11q t t t−→ Δ = − для однородного градиентного ПТП (рис. 2.1,а). Его математическая исходная передаточная функция, в соответствии с выше изложенным, была получена в виде:

10 9 8 7 4 6 6 5

7 4 8 3 9 2 9

11 10 4 9 6 8 8 7 9 6

11 5 12 4 12 3 13 2

0,00051 0.15 20 1400 6,2 10 1,7 10

2,7 10 2,5 10 1,2 10 2,2 10 0,029( )330 4,8 10 3,9 10 1,9 10 6,1 10

1,2 10 1,4 10 9,5 10 2,9 10 2,6

s s s s s s

s s s sW ss s s s s s

s s s s

+ + + + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +=

+ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1310 0,012s +

,

(2.32) а передаточные функции ( )mdcW s и ( )delW s упрощенных моделей, которые получены методами ‘mdc’ и ‘del’ команды modred, в виде:

5 2 15

2 161,1 10 0,00013 1,8 10( )

1,6 7,1 10mdcs sW s

s s

− −

−⋅ + + ⋅

=+ + ⋅

, (2.33)

15

2 150,00021 3,2 10( )

2,9 1,3 10delsW s

s s

−

−+ ⋅

=+ + ⋅

. (2.34)

Приведенные функции являются важными динамическими характе-ристиками ПТП, которые в дальнейшем используются для построения или исследования их частотных характеристик.

Так, на рисунке 2.5 представлены переходные и частотные характе-ристики моделей, описываемых передаточными функциями (2.33) и (2.34).

64

а) б)

Рис. 2.5. Переходные а) и частотные б) характеристики ( 1 1 11q t −→ Δ ): 1 — полная модель; 2, 3 — упрощенные mdc и del модели

2.3.4 Переходные характеристики ПТП Переходные характеристики являются одними из наиболее доступ-

ных и информативных характеристик ПТП. Они позволяют оценить сте-пень тепловой инерционности и определить статическую характеристику (градуировку) статических ПТП.

Универсальным способом получения переходных характеристик линейных ПТП с ДРМ типа (2.9), так и нелинейных ДРМ типа (2.5), явля-ется численное решение уравнения (2.25), приведенным в подразделе 2.2 способом для ступенчатого входного воздействия 1( ) 1q τ = или 1 0( )q qτ = при известных ГУ теплообмена на тыльной поверхности ПТП. Таким спо-собом получены переходные характеристики для ПТП различных типов. В качестве примера на рис. 2.6 приведены переходные характеристики для однородного градиентного ПТП (разделы 2.1.2 и 2.3.3.3) с различными граничными условиями на тыльном торце.

Кроме того, для линейных ПТП, ДРМ которых представлены СОДУ типа (2.9), переходные характеристики могут быть без затруднений полу-чены численно-алгоритмическим методом. Так, с помощью пакетов про-грамм MATLAB нами были получены переходные характеристики практи-чески всех ПТП с различными векторами измерений ( )τY и ГУ теплооб-мена на тыльной стороне. 2.3.5 Частотные характеристики ПТП

Известный метод получения частотных характеристик ПТП [177, 183] заключается в подстановке в передаточные функции ( )

itW s или

( )itW sΔ , имеющие вид (2.31), значений s j= ω , где 1j = − и, далее, преоб-

Δt1–11,°C 20lg(Δt1–11/q1)

65

разование ( )itW s и ( )

itW sΔ к форме комплексной величины ( ) ( ) ( )W j U jVω = ω + ω .

Имея значения ( )U ω и ( )V ω можно получить как амплитудно-

частотную характеристику (АЧХ) ( )( )( )

UA arctgV

ωω =

ω, так и комплексную

частотную характеристику ПТП в виде: ( ) ( )exp[ ( )]K j A jω = ω − φ ω .

Реализация указанного метода на практике сопряжена со значитель-ными трудностями. Поэтому частотные характеристики линейных ПТП целесообразно получать непосредственно по матрицам F , G и H и их ДРМ типа (2.9) с помощью ПК MATLAB, команда [num, den] = ss2tf(ABCD) [86].

На рис. 2.7 представлены переходные, импульсно-переходные и час-тотные характеристики ПТП (рис. 2.1,а) при различных ГУ на тыльной стороне ПТП.

а) б)

в)

Рис. 2.6. Переходные характеристики однородного градиентного ПТП (рис. 2.1,а) по температурам t1, t3, t11 и перепаду температур Δt1–

11 = t1 – t11 при q1(τ) = 1⋅105 Вт/м2, 0Tr

= 20 °С и различных граничных усло-виях на тыльной стороне: а) q2(τ) = 0; б) q2(τ) = 5⋅104 Вт/м2; в) tср2 = 20 °С и

αср2 = 2000 Вт/(К⋅ м2)

66

Рис.

2.7

Динамические характеристики

однородного

градиентного ПТП

с различными

ГУ

на тыльной стороне

67

2.3.6 Статические характеристики ПТП На основании расчетов переходных характеристик как линейных,

так и нелинейных ПТП могут быть построены их статические характери-стики — в общем случае, зависимости величины выхода ( ) 0consty yτ = = от входных величин ( ) 0constx xτ = = . Для линейных измерителей статиче-ские характеристики линейны и имеют вид

0y K x= ⋅ , (2.35) где K называется коэффициентом преобразования, являясь тангенсом угла наклона характеристики.

Величина К полностью определяет статическую характеристику (градуировку) линейных измерителей и относит их либо к статическим, либо к астатическим ( K →∞ ), которые не имеют статических характери-стик.

Статические характеристики линейных ПТП могут быть получены по их передаточным функциям с помощью известной формулы из теории автоматического управления

( )0

lims

K W s→

= , (2.36)

вытекающей из следующей формулы (теоремы) операционного исчисле-ния с учетом (2.35):

( ) ( ) ( )00 0lim limxy s y s W s x W s

s→∞ = = ⋅ ⋅ = ⋅ .

В дальнейшим рассмотрим особенности и возможности решения различных ПЗТ, с использованием полученных в разделах 2,1÷2,3 резуль-татов, для наиболее распространенных ПТП, а именно: ПТП типа тонкого диска с продольным градиентом (ПТП Гардона); ПТП с элементами полу-ограниченного тела (полупространства) и градиентных батарейных ПТП (ПТП Геращенко), которые наиболее широко используются для измерения стационарных тепловых потоков.

2.4 РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПТП ТИПА ТОНКОГО ДИСКА (ПТП ГАРДОНА) 2.4.1 Постановка задачи

Как показано в разделе 1, ПТП Гардона является перспективным средством измерения стационарных лучистых тепловых потоков в диа-пазоне от единиц до 5 7(10 10 )÷ Вт/м2. На практике в большинстве извест-ных случаях используется и рассматривается установившийся температур-ный режим диска под воздействием постоянного теплового потока

0( ) constq r q= = [66, 67, 189, 210, 234]. В соответствии с [189] статическая

68

характеристика (градуировка) при постоянных ТФХ материала имеет сле-дующий вид:

0 24 hq tRλ

= ⋅Δ , (2.37)

где Δt — измеряемый перепад температур между центром и периферией диска; а распределение температуры ( )t r — вид

2 2

0( )4R rt r q

h= ⋅

λ.

В работах [47, 179] показано, что при нарушении условия ( ) constq τ = , которое всегда возникает при появлении конвективной со-

ставляющей теплообмена, использование статической характеристики (градуировки) приводит к существенным погрешностям. В [55, 215] указы-вается на необходимость введения в тепловую схему ПТП дополнительных факторов: теплообмена диска с центральным термоэлектродом, влияние теплоизолирующей набивки в полости под диском и др. Это существенно усложняет форму полученного в [55, 56] решения нестационарной задачи теплопроводности в ПТП Гардона.

Поэтому в литературе отсутствует конструктивная информация о поведении ПТП Гардона при воздействии нестационарных произволь-ных тепловых потоков ( )q τ , его динамических характеристиках, влиянии указанных выше особенностей тепловых схем, особенностях статических характеристик при ( , ) vart r τ = и др.

В связи с этим ниже приведена задача получения решений стацио-нарных и нестационарных, линейных и нелинейных ПЗТ для ПТП Гардо-на, как для анализа его динамических характеристик, в частности, иссле-дования реакций на типовые и произвольные входные воздействия, а также для использования в решениях ОЗТ по восстановлению произвольного

( )q τ . Для этого предложено применить ДРМ ПТП и методы ее использо-вания, приведенные выше. 2.4.2 ДРМ ПТП Гардона

На рис. 2.8 приведена тепловая схема ПТП Гардона c контактным тепловым сопротивлением kR между диском и массивным основанием (втулкой) с температурой ( )втt τ . Распределение температур по диаметру 2 дR диска предполагается симметричным.

Для получения ДРМ разобьем площадь диска на n концентрических колец (блоков) с шагом Δ , а для центрального и периферийного блоков — 2Δ . Количество блоков 11n = было выбрано после проведения расчет-ных исследования (см. раздел 2.2.2) как оптимальное по точности и раз-

69

мерности ДРМ. Основу ДРМ составляют 11n = нелинейных по ТФХ мате-риала уравнений теплового баланса для каждого блока.

Рис. 2.8. Тепловая схема ПТП Гардона (1 — константановый диск; 2 — медная втулка)

Система нелинейных уравнений может быть преобразована к форме (2.5) нелинейной ДРМ, методы численного решения которой рассмотрены в разделе 2.2.3. Если для упрощения задачи предположить независимость от температуры ТФХ материала, то эта система примет вид:

( )

( )

( )

11 1 22 2

44 3 4 52 2 2

1111 10 112 2

4 4 1

5 2 7 16 6

8076 76 80 13939 39

втк

кк

dt a at t t qd c

dt a a at t t t qd c

tdt a Rt t t qd c R cR c

= = − + + ττ ρΔΔ Δ

= = − + + ττ ρΔΔ Δ Δ

⋅λ + Δ= = − + τ +

τ ρΔ ⋅ ρΔΔ ⋅ ρΔ

&

K

&

K

&

(2.38)

Окончательно, систему (2.38) можно записать в следующей вектор-но-матричной форме (2.9):

F G= +T T U& , (2.39) где 1 11t t Τ=T L — (11 × 1)-вектор состояния; ( ) ( )втq t= τ τU — (2 × 1)-вектор управления; а матрицы обратных связей F и управления G имеют вид:

( )(11 2)

1 1 110 0 80 39 k

GRc

Τ

×=

ρΔ

LL

,

70

2 2

2 2 2

2 2 2

(11 11)

2 2 2

2 2 2

2 2

4 4 0 0 0 0 0 0

2 3 0 0 0 0 02 2

3 2 50 0 0 0 04 4

15 2 170 0 0 0 016 16

17 2 190 0 0 0 018 18

76 80760 0 0 0 0 039 39

k

k

a a

a a a

a a a

Fa a a

a a a

RaR c

×

− ⋅Δ Δ

− ⋅Δ Δ Δ

− ⋅Δ Δ Δ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

⋅ −Δ Δ Δ

⋅ −Δ Δ Δ

λ + Δ⋅ −

Δ ρΔ

.

Таким образом, получены нелинейная по ТФХ (2.5) и линейная (2.39) формы ДРМ для ПТП Гардона, учитывающие контактное сопротив-ление kR между диском и массивной медной втулкой, а также возможное в общем случае непостоянство температуры втулки ( )втt τ . Заметим, что в тепловую схему ПТП (рис. 2.8) принципиально может быть введен цен-тральный термоэлектрод, например, в виде теплоизолированного стержня диаметром d = Δ . Очевидно, это приведет к значительному (по меньшей мере, к двойному) увеличению размерности вектора состояния ( )τT ПТП.

2.4.3 Исследования нестационарного теплопереноса и динамических характеристик ПТП Гардона

Исследования решений прямых задач теплопроводности на основе предложенных выше ДРМ и методов (см. разделы 2.2 и 2.3) выполнены для значений параметров ПТП Гардона, указанных в табл. 2.1, при

constвтt = . Приведем для иллюстрации некоторые результаты этих иссле-дований [144, 145].

На рис. 2.9 приведены переходные характеристики ПТП по перепаду температур 1 11t −Δ для 5

0 1 10q = ⋅ Вт/(м2⋅К) при 0 const 0втt= = =T и раз-личных значениях контактного сопротивления Rk. Из вида переходных ха-рактеристик следует, что ПТП является статистическим преобразователем, а величина Rk оказывает значительное влияние на его градуировку.

На рис. 2.10 приведены переходные характеристики ПТП для раз-личных значений теплового потока, а на рис. 2.11 — построенная на их ос-новании расчетная по ДРМ статическая характеристика. Там же нанесены отдельные точки, рассчитанные по зависимости (2.36). Анализ расчетных и

71

аналитических данных показывает их практическое совпадение. На рис. 2.12–2.14 приведены результаты расчетов реакции ПТП на

нестационарный тепловой поток ( )q τ , изменяющийся по различным вре-менным законам.

Таким образом, предложенная методика на основе ДРМ теплопере-носа позволяет получать решения прямых задач теплопереноса для ПТП типа тонкого диска.

2.5 РЕШЕНИЕ ПРЯМЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ПТП С ЭЛЕМЕНТАМИ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 2.5.1 Постановка задачи

Как показано в разделе 1.3.1 в практике нестационарной тепломет-рии, начиная с первых исследований, получили распространение ПТП, те-пловыми моделями которых либо является полупространство, либо вклю-чает его элементы. К последним можно отнести расположенные на полу-пространстве ПТП в виде бесконечной пластины, батарейные тепломеры ИТТФ НАНУ, болометрические ПТП при неидеальной теплоизоляции, микро ПТП и др.

Как известно, условие полупространства заключается в том, что рас-пределение температуры ( , )T x τ подчиняется краевому условию

( , )Tx∂

∞ τ∂

= 0 при начальном условии 0( ,0) constT x T= = . Для практиче-

ских приложений оно может быть представлено в виде: 0( , )T x Tτ − ≤ δ , (2.40)

где δ — сколь угодно малая величина. Для подобных ПТП имеются решения линейных ПЗТ, получаемые, в

основном, в виде бесконечных рядов с использованием различных специ-альных функций [81, 84, 85, 115 и др.]. Из-за сложности они практически не применимы при решениях ОЗТ по восстановлению ( )q τ в теплометри-ческих измерительных системах реального времени, особенно в случае произвольного вектора исходных измерений: температуры в нескольких точках тела, произвольно расположенных градиентов температур и др. Практически отсутствуют решения, учитывающие тепловые контактные сопротивления и/или воздушные зазоры между элементами, составляю-щими ПТП.

Так как на практике указанные ПТП имеют ограниченное размеры, то существует проблема текущего, во время работы ПТП, контроля за со-блюдением условий полупространства в них. Для ряда ПТП, особенно с малой теплопроводностью, неучет зависимости ТФХ от температуры при-водит к недопустимо высоким погрешностям.

72

Рис. 2.9. Переходные характеристики ПТП Гардона при различных значениях кR :

1 — 410кR −= м2·К/Вт; 2 — 310кR −= м2·К/Вт; 3 — 210кR −= м2·К/Вт; 4 — 110кR −= м2·К/Вт

Рис. 2.10 Зависимость перепада температуры 1 11t −Δ от величины измеряемого теп-лового потока 0( )q τ для ПТП Гардона:

1 — 50( ) 2 10q τ = ⋅ Вт/м2; 2 — 5

0( ) 10q τ = Вт/м2; 3 — 50( ) 0,6 10q τ = ⋅ Вт/м2;

4 — 50( ) 0,4 10q τ = ⋅ Вт/м2; 5 — 5

0( ) 0,2 10q τ = ⋅ Вт/м2

Рис. 2.11. Статическая характеристика ПТП Гардона

0 4 8 12 16 k

∆t1–11, 0С

8

4

2

∆t1–11, 0С

120

80

40

0

0 1 2 3 4 τ, с

73

Рис. 2.12. Реакция ПТП Гардона на гармоническое воздействие

4 41( ) 1 10 1 10 sin(2 )q τ = ⋅ + ⋅ ⋅ τ Вт/м2 при Rk = 0, tвт = 0 при измерениях

Δt = t1 – t11

Рис. 2.13. Реакция ПТП Гардона на одиночный импульс 41( ) 1 10q τ = ⋅ Вт/м2

2 ≤ τ ≤ 3 при Rk = 0, tвт = 0 при измерениях Δt = t1 – t11

Рис. 2.14. Реакция ПТП Гардона на треугольный импульс

41( ) 1 10q τ = ⋅ Вт/м2 при Rk = 0, tвт = 0 при измерениях Δt =t1 – t11

q 1, Вт/м2 Δt, 0С

τ, с τ, с

q 1, Вт/м2 Δt, 0С

q 1, Вт/м2 Δt, 0С

τ, с τ, с

τ, с τ, с

74

Анализ перечисленных и некоторых других проблем решения пря-мых, а значит и обратных задач теплопроводности в рассматриваемом типе ПТП, позволяет сделать вывод, что указанная задача далека до своего пол-ного решения.

Выходом из создавшегося положения, по нашему мнению, является использование приведенных в разделе 2.1 ДРМ, учитывающих перечис-ленные выше особенности ПТП. Методика получения и решения таких ДРМ приведена в разделах 2.1 и 2.2.

Однако при этом необходимо учитывать следующие обстоятельства: 1. Разбивка полупространства на элементарные слои (блоки) должна

быть сугубо неравномерной — со сгущением вблизи поверхности, на ко-торой располагается преобразователь температуры. Указанная проблема имеет практическое решение. Причем при условии проведения достаточ-ного количества исследований в конкретном случае, разбивка может быть близка к оптимальной по точности решения ПЗТ или ОЗТ и по количеству элементов.

2. В реальных случаях любой одномерный ПТП конечных размеров, работающий как полупространство в начальный период переходного про-цесса, при монотонном тепловом нагружении с некоторого момента вре-мени выходит из рамок исходной тепловой схемы. Этот момент времени соответствует достижению тепловою волной границы и зависит от интен-сивности нагрева поверхности, в частности, от величины теплового потока

1( )q τ .

Рис. 2.15. Время распространения тепловой волны в полупространстве в

зависимости от величины q1(τ):

1 — 71( ) 1 10q τ = ⋅ Вт/м2; 2 — 6

1( ) 1 10q τ = ⋅ Вт/м2; 3 — 5

1( ) 1 10q τ = ⋅ Вт/м2; 4 — 41( ) 1 10q τ = ⋅ Вт/м2

0 4 8 12 16 20 24 τ, с

x, мм

30

20

10

75

По нашему мнению, для предварительных оценок условий работы рассматриваемых ПТП желательно на основании известных решений вы-полнить соответствующие расчеты. На рис. 2.15 приведены результаты расчетов времени проникновения тепловой волны на глубину x для неко-торых значений постоянного теплового потока q, поглощаемого поверхно-стью полупространства с параметрами, приведенными в таблице 2.1. При этом были использованы известные классические решения [36, 94, 112]. В соответствии с условием (2.40) моментом достижения тепловою волной глубины x считалось отличие температуры 0 0T = этой точки от начальной на величину 1δ = °C.

Полученные результаты или им аналогичные могут служить ориен-тиром для выбора основных параметров ПТП с элементами полупростран-ства по условиям измерения ( )q τ .

В качестве оптимальной по сложности и объему иллюстрации ука-занного подхода рассмотрим несколько реальных ПЗТ для ПТП данного типа в линейной постановке [143]. 2.5.2 ДРМ ПТП типа полупространства

2.5.2.1 Исходя из изложенного выше, принят следующий общий вид алгоритма выбора топологии ДРМ:

( 2)

32

2

nm i

iH −

=

Δ= + Δ + Δ ⋅∑ , (2.41)

где H — значение координаты x, которой не достигнет тепловая волна при заданном значении q (рис. 2.15); 2Δ и Δ — толщины 1-го и остальных элементарных слоев (блоков), а составляющими суммы являются толщины блоков, начиная с третьего (рис. 2.16).

Величина H определяется размером ПТП, а m — определяет харак-тер возрастания толщин блоков: m = 0 разбивка является равномерной, при m = 1 — геометрически нарастающей и т. п. Модель (2.41) совместно с оценками времени и глубины проникновения температурной волны в по-лупространство для реальных ПТП использовалось для оптимального вы-бора параметров ПТП: величин Δ , n и m.

Анализ результатов численных исследований позволил рекомендо-вать для дальнейшего использования значения m = 0,2.

2.5.2.2 В качестве иллюстрации приведем основные результаты по-строения ДРМ и исследования ее погрешностей для ПТП типа полупро-странства.

Разобьем ПТП по толщине на n = 23 блока в соответствии с моделью разбивки (2.41) при m = 0,2 (рис. 2.16,а). Составив для каждого блока урав-нение теплового баланса, как это приведено в разделе 2.1, и проведя их преобразование, получим ДРМ ПТП в следующей развернутой форме:

76

а) б)

Рис. 2.16. Топологии ДРМ распространенных ПТП с элементами полупространства:

а) «полупространство»; б) «однородный ПТП на полупространстве»

( )1 1 22 22 2 2a a bt t t q= − + + τ

ΔΔ Δ&

2 1 2 32 2 0,2 20,2

211 2 (1 2 )

2

a a at t t t⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟Δ Δ + Δ⎝ ⎠ +

&

3 2 3 42 2 20,2 0,2 0,2 2 0,2 2 0,22 (1 2 ) (2 ) (2 ) (1 2 )

2 2 2

a a at t t t= − +Δ Δ Δ

+ +

&

4 3 4 52 2 20,2 3 0,2 0,2 4 0,2 4 0,2(2 ) (1 2 ) (2 ) (2 ) (1 2 )

2 2 2

a a at t t t= − +Δ Δ Δ+ +

&

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

77

1 12 2 20,2 5 2 0,2 0,2 4 2 0,2 4 2 0,2(2 ) (1 2 ) (2 ) (2 ) (1 2 )

2 2 2

i i i ii i i

a a at t t t− +− + − + − +

= − +Δ Δ Δ

+ +

&

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

22 21 22 232 2 20,2 39 0,2 0,2 40 0,2 40 0,2(2 ) (1 2 ) (2 ) (2 ) (1 2 )

2 2 2

a a at t t t= − +Δ Δ Δ

+ +

&

23 22 232 20,2 41 0,2 0,2 41 0,2(2 ) (1 2 ) (2 ) (1 2 )

2 2

a at t t= −Δ Δ

+ +

& , (2.42)

где ( )a c= λ ρ — температуропроводность материала полупространства; ( )1b c= ρ . Окончательно, ДРМ можно записать в принятой выше векторно-

матричной форме (2.9): F G= +T T U& , (2.43)

где 1 2 23t t t Τ=T L — (23 × 1)-вектор состояния; ( )q= τU — (1 × 1)-

вектор управления (входных воздействий); 2 0 0G b Τ= Δ L — (23 × 1)-матрица управления. Матрица обратных связей F размерности (23 × 23) имеет обычную трехдиагональную форму.

Исследования проводились для значений параметров, указанных в табл. 2.1. Были выполнены исследования погрешностей расчетного опре-деления температуры поверхности 1( )t τ , вызываемой нарушением условий полубесконечности ДРМ — распространением тепловой волны за границу величин x = H. В качестве эталонных значений температур поверхности

*1 ( )t τ были приняты результаты расчетов по известному решению [36, 112]. Величина относительной погрешности рассчитывалась по формуле:

*1 1( ) ( ) ( )ДРМt t tΔ τ = τ − τ .

Результаты расчетов ( )tΔ τ для искомых значений q приведены на рис. 2.17, где отмечены также моменты времени

3qτ , 2qτ и

1qτ достижения температурной волною границы ДРМ ( 25,3H = мм).

2.5.3 Исследования нестационарного теплопереноса в ПТП типа полупространства

С помощью ДРМ (2.43) для ПТП были получены численные реше-ния различных задач теплопроводности, а также проведены численно-алгоритмические исследования его динамических характеристик. Приве-

78

дем в качестве иллюстрации некоторые результаты исследований. На рис. 2.18 приведена переходная характеристика ПТП для слу-

чая 51 1 10q = ⋅ Вт/м2, ограниченная моментом времени 10грτ = с. Величина

грτ выбирается из условия, что температурная волна не достигает границы 25,3H = мм. Соответствующие оценки грτ могут быть выполнены, исходя

из выбранного значения δ , либо по результатам априорных оценок (рис. 2.15), либо непосредственно из расчетов по ДРМ — поведению температу-ры последнего (23-го) ее блока.

Как следует из известных решений, а также непосредственно из рас-четов по ДРМ ПТП рассматриваемого типа является астатическим. Поэто-му результаты расчетов его динамических характеристик нами не приво-дятся.

На рис. 2.19 в качестве иллюстрации приведены результаты расчетов реакции ПТП на входящий тепловой поток ( )q τ , изменяющийся по раз-личным законам.

Рис. 2.17. Зависимость погрешности Δt (Δt(τ) = t1(τ)ДРМ – t1

*(τ)) от величины q: 1 — q = 105 Вт/м2, 2 — q = 104 Вт/м2, 3 — q = 103 Вт/м2. τq1 = 70 с,

τq2 = 90 с, τq3 = 260 с

Рис. 2.18. Переходная характеристика ПТП при 51 1 10q = ⋅ Вт/м2

0 2 4 6 8 τ, с

t1, °C

40

30

20

10

79

а)

б)

Рис. 2.19. Реакция полупространства:

а) на гармоническое входное воздействие q1(τ) = 1·105sin(2τ) Вт/м2; б) на одиночный импульс q1(τ) = 1⋅105 Вт/м2, 0 ≤ τ ≤ 5

80

2.5.4 ДРМ однородного ПТП на полупространстве Рассмотрим еще один вариант ПТП, содержащий элементы полупро-

странства — типа бесконечной пластины толщиною h на полупространстве с учетом контактного теплового сопротивления kR в плоскости их соеди-нения. Указанные ПТП широко распространены в практике стационарной и нестационарной теплометрии. В то же время, для них известны лишь от-дельные упрощенные решения ПЗТ, не учитывающие kR . Из-за недоста-точной точности они практически не пригодны для решения ОЗТ, особен-но нелинейных.

Рассмотрим особенности ДРМ ПТП. Его топология приведена на рис. 2.16,б. ДРМ пластины аналогична приведенной в разделе 2.1.1 линей-ной ДРМ для градиентного однородного ПТП с n = 11. В качестве линей-ной ДРМ полупространства использовалась приведенная в разделе 2.5.2 модель (2.42) с n = 23. То есть, размерность вектора состояния ( )τT ПТП составляет (34 × 1). Внесем изменения в модель (2.42) для 11-го и 12-го блоков, в которых учтем контактные сопротивления kR :

1 111 10 11 12

2 2 1 1 1 1

1 12 2 2 2k k

a at t t tR c R c

⎛ ⎞= − − + + ⋅⎜ ⎟Δ Δ ρ Δ ρ Δ⎝ ⎠

& ,

1 212 11 12 13

2 2 2 2 2 2

1 12 2 2 2k k

a at t t tR c R c

⎛ ⎞= ⋅ − + + ⋅⎜ ⎟ρ Δ ρ Δ Δ Δ⎝ ⎠

& . (2.44)

В целом, ДРМ для рассматриваемого линейного ПТП имеет вид (2.43). Матрица обратных связей F размерности (34 × 34) имеет обычную трехдиагональную форму, а (34 × 1) матрица 12 0 0G b Τ= Δ L .

Исследования проводились для ПТП, основные характеристики ко-торого приведены в табл. 2.1.

Общими для расчетов являлись толщина пластины 32 10h −= ⋅ м, толщина блоков 44 10−Δ = ⋅ м и граница расположения ДРМ полупро-странства 25,3H = мм.

2.5.5 Исследование нестационарного теплопереноса в ПТП С помощью ДРМ для рассматриваемого ПТП были получены чис-

ленные решения прямых задач теплопроводности для различных значе-ний kR . Рассматривались два варианта измерительной схемы: с измерени-ем либо поверхностной температуры 1t , либо перепада температур по толщине пластины 1 11 1 11t t−Δ = − . Расчеты проводились в пределах грτ , оп-ределяемого моментом достижения температурной волною границы

25,3H = мм. Причем грτ определялось по величине δ отклонения темпе-

81

ратуры последнего 34-го блока от начальной.

а)

б)

Рис. 2.20. Переходные характеристики однородного ПТП на полупро-

странстве при q(τ) = 1·105 Вт/м2 и разных значениях теплового контактного сопротивления Rk: 1 — Rk→∞ ; 2 — Rk = 0,001 К м2/Вт , 3 — Rk = 0 для слу-

чаев а) λ1 > λ2 и б) λ1 < λ2

82

В качестве иллюстрации приведем некоторые результаты. При этом основное внимание уделим случаю с измерением 1 11−Δ , так как ПТП типа полупространства при измерении 1( )t τ в пределах грτ может быть отнесен к астатическим преобразователям.

На рис. 2.20 приведены переходные характеристики ПТП для раз-личных сочетаний ТФХ пластины 1 1 1( , , )сλ ρ и полупространства

2 2 2( , , )сλ ρ при нескольких значениях контактного сопротивления kR для 51 10q = ⋅ Вт/м2.

На рис. 2.21 и 2.22 в качестве иллюстрации приведены результаты расчетов реакции ПТП на нестационарный тепловой поток, изменяющийся по различным временным законам.

Рис. 2.21. Реакция ПТП на гармоническое входное воздействие

q1(τ) = 1·105sin(2τ) Вт/м2 при λ1 > λ2, Rk = 10–3 К м2/Вт В целом, предложенная методика, использующая ДРМ ПТП, позво-

ляет получать решения различных прямых задач теплопереноса и исследо-вать динамические характеристики ПТП, содержащих элементы полупро-странства.

Однако ДРМ ПТП данного типа имеет существенный недостаток: необходимость отслеживать выполнение условий полупространства (2.40) в пределах размещения элементов ДРМ. Выше была предложена методика, позволяющая априори в первом приближении оценивать соблюдение ука-занных условий, что является обязательным, например, при построении динамических характеристик ПТП.

83

Отметим, что при решениях конкретных ПЗТ проблема контроля ус-ловий полупространство практически всегда может быть снята путем не-посредственного слежения за получаемой в процессе решения температу-рой последнего блока ДРМ, то есть за выполнением условия (2.40).

а)

б)

Рис. 2.22. Произвольное входное воздействие q1(τ) (а) и реакция на него ПТП (б) при λ1 > λ2, Rk = 10–3 К·м2/Вт

q, Вт/м2

9000

6000

3000

0 2 4 6 8 τ, с

t, °C

30

20

10

0

0 2 4 6 8 τ, с

84

2.6 РЕШЕНИЕ ПЗТ ДЛЯ ПТП БАТАРЕЙНОГО ТИПА Как указано в разделе 1, малогабаритные градиентные батарейные

ПТП, разработанные в начале 70-х годов под руководством О. А. Геращенко и в дальнейшем развиваемые его последователями Т. Г. Грищенко, В. Н. Черинько, Л. В. Декуша и другими [40, 58, 60, 61, 72, 76, 153 и др.] серийно выпускаются и находят широкое применение. Они обладают рядом положительных особенностей, однако в силу своей тепло-вой инерционности ограничены в части измерения быстроменяющихся те-пловых потоков или постоянных тепловых потоков, но в динамических ус-ловиях (при ограничениях на время единичного измерения). Это заставля-ет в настоящее время исследователей обращать значительное внимание на изучение динамических характеристик батарейных ПТП, а также методов решения граничных ОЗТ с целью восстановления входящих в них тепло-вых потоков. Эти задачи, связанные с проблемой решения ПЗТ для бата-рейных ПТП с учетом особенностей их реальных конструкций остаются практически не выясненными. 2.6.1 Постановка задачи

Постановка прямых задач нестационарного теплопереноса для мно-гослойных батарейных ПТП впервые была выполнена в работах О. А. Геращенко и Н. А. Ярышева. В работе [58], в частности, были клас-сифицированы схемы размещения ПТП на объекте теплометрии. Однако динамика последних была исследована в линейном варианте для упрощен-ной тепловой схемы двухслойной стенки, в которой нижняя пластина либо представляла поверхность исследуемого тела, либо заменялась граничны-ми условиями теплообмена на тыльной стороне ПТП. Таким образом, фак-тически рассматривалась разновидность простейших ПТП типа однород-ной вспомогательной стенки.

Однако решения даже этой упрощенной задачи было сопряжено с естественными трудностями. В [58] при дальнейших упрощениях и допу-щениях с использованием развитой в работах Н. А. Ярышева методологии упрощенных передаточных функций сложных теплоприемников был по-лучен ряд конструктивных результатов. В частности получены передаточ-ные функции для случаев размещения ПТП на полубесконечном теле и с граничными условиями 3-го рода на тыльной стороне, а также решения для переходных характеристик ПТП на полубесконечном теле для значе-

ний æ равных 1; 0 и ∞, где æ = 2 2 2

1 1 1

сс

λ ρλ ρ

. Для получения динамических ха-

рактеристик ПТП их передаточные функции в работах [203, 206 и др.] бы-ли представлены в виде простейших рациональных дробей. Однако из-вестные публикации о виде переходных характеристик охватывают далеко

85

не все случаи размещения на объекте и граничные условия на тыльной по-верхности ПТП, что не позволяет однозначно решить вопрос хотя бы их статических характеристик. Практически отсутствуют решения ПЗТ для различных случаев с нелинейным теплопереносом, а также с учетом влия-ния многослойности ПТП, в частности, их верхнего теплоизолирующего слоя, влияние которого может быть значительным.

В работах [60, 61, 197] показаны возможности применения операци-онного исчисления, в частности, численной реализации обратного преоб-разования Лапласа при решениях ПЗТ для трехсоставной модели батарей-ного ПТП. В работах [64, 175] была предложена ДРМ батарейного тепло-мера оптимальной размерности, использованная в последующем для теп-лометрии стационарных тепловых потоков в динамическом режиме.

Как перспективное направление следует отметить предложенный Н. А. Ярышевым экспериментально-расчетный метод построения моделей реальных батарейных ПТП по их переходным характеристикам [207].

В целом, можно констатировать, что известные решения ПЗТ для ба-тарейных ПТП, в силу упрощения исходных тепловых схем, а затем и са-мих методов решения, могут быть использованы лишь для приближенных оценок их динамических свойств. Они практически непригодны для ис-пользования при решениях обратных задачах теплопроводности по восста-новлению входящих тепловых потоков в силу существенных погрешно-стей. В связи с этим для решения поставленной задачи нами использован предложенный в разделе 2 общий метод решения ПЗТ, основанный на ДРМ теплопереноса в батарейном ПТП. Был выполнен значительный объ-ем соответствующих исследований, некоторые результаты которых приво-дятся ниже в качестве иллюстрации возможностей метода. 2.6.2 ДРМ батарейного ПТП

Запишем ДРМ для автономного батарейного ПТП, тепловая схема которого приведена на рис. 2.23,а. В иллюстративных целях выберем ДРМ с n = 10, оптимальную по размерности модель и уровню погрешностей ре-шения ПЗТ (рис. 2.23,б).

В соответствии с изложенным в разделе 2.1 для дальнейшего рас-смотрения может быть получена линейная ДРМ (2.9), в которой векторы состояния ( )τT и управления ( )τU , матрицы обратных связей F и управ-ления G для случая ГУ-2 на тыльной стороне ПТП имеют вид:

1

(10 1)10

( )( )

( )

t

t×

ττ =

τT M , 1

(2 1) 2

( )( )

( )qq×

ττ =

τU ,

(10 2)

2 00 0

0 2

d

G

d×

=M M

,

86

87

Полученная ДРМ может быть использована для составления более сложных ДРМ, реализующих различные варианты размещения ПТП на ис-следуемых объектах. Например, путем совмещения ДРМ автономного ба-тарейного ПТП с ДРМ полупространства или с ДРМ однородного ПТП. В указанных ДРМ можно при необходимости учесть также элементы конст-рукций и тепловых схем батарейных ПТП как наличие контактных сопро-тивлений, воздушных зазоров и ряд других.

Рис. 2.23. Тепловая схема (а) и топология ДРМ (б) батарейного ПТП.

1, 3 — слой эпоксидной смолы с кварцевым на-полнителем, 2 — чувствительный элемент (медь-

константантовая термобатарея) Выбором матрицы H размерностью (m × n) в векторно-матричной

модели (2.1.5) измерений реализуются m возможных вариантов измерений температур или их перепадов в рассматриваемом ПТП. 2.6.3 Исследование нестационарного теплопереноса и динамических характеристик батарейного ПТП

Исследования решений ПЗТ для батарейного ПТП были выполнены на основе полученной выше ДРМ с применением предложенных в разде-лах 2.2 и 2.3 методов. Предметом исследования был реальный батарейный ПТП геометрические параметры и ТФХ которого приведены в табл. 2.1.

Приведем для иллюстрации некоторые результаты этих исследова-ний. Основное внимание было уделено вопросам влияния граничных усло-вий теплообмена на тыльной стороне ПТП, которые существенно сказы-

1δ

2δ

3δ

ГУ любого рода

33

22

11

;;;

aaa

λλλ

1

2

3

88

ваются на физических и статических характеристиках последних. При реальных применениях батарейных ПТП практически всегда

неопределенным остается следующая проблема: к какой части ПТП следу-ет отнести перепад температур, измеряемый термобатареей на участке 2δ (рис. 2.23). В иной постановке ее можно сформулировать как учет влияния изолирующих слоев 1δ и 3δ , особенно 1δ , на характеристики ПТП. Для стационарной теплометрии эта проблема снимается путем прямой градуи-ровки ПТП. Однако при оценках динамических свойств ПТП, а также при решениях ОЗТ по восстановлению входящих тепловых потоков, эта про-блема далека от полного решения. В связи с этим для всех рассмотренных вариантов ПТП нами выделялись перепады измеряемых температур

3 8 3 8t t−Δ = − (истинный) и 1 10 1 10t t−Δ = − (кажущийся, отнесенный к полной толщине ПТП). Оказалось, что для случая теплоизоляции тыльной сто-роны ( 2 0q = ) ПТП однозначно проявляет свойства статического преобра-зователя (рис. 2.24). При этом различия в перепадах температур 3 8−Δ и

1 10−Δ весьма существенны. При граничных условиях 3-го рода на тыльной стороне ( cpT и α )

ПТП является астатическим преобразователем, о чем свидетельствуют пе-реходные характеристики, приведенные на рис. 2.25 для различных значе-ний α .

Определенные качественные оценки о влиянии на характеристики батарейных ПТП размещения на полупространстве, могут быть выпол-нены по результатам поведения однородного ПТП на полупространстве (рис. 2.20). По вполне обоснованной аналогии с батарейным ПТП можно сделать вывод, что последний в этих условиях также будет астатическим.

Существенный практический интерес представляет собой случай стабилизации температуры тыльной поверхности ПТП, то есть

10 consnt t t= = . Переходные характеристики батарейного ПТП приведены на рис. 2.26. Оказывается, что при измерении 3 8t −Δ ПТП имеет статиче-скую характеристику, а при измерении 1 10t −Δ — ПТП является астатиче-ским.

Для получения динамических характеристик и передаточных функ-ций батарейных ПТП могут быть могут быть использованы численно-алгоритмические методы, предложенные в разделах 2.3.2–2.3.5. Так, на рис.2.27 в качестве иллюстрации для ПТП при 2 0q = приведена импульс-но-переходная, а на рис. 2.28 логарифмические амплитудно- и фазочастот-ные характеристики, полученные с использованием MATLAB.

89

Рис. 2.24. Переходные характеристики батарейного ПТП при теплоизоляции тыльной поверхности q1(τ) = 1⋅104 Вт/м2, q2 = 0. Измеряются Δt1–10 (1) и Δt3–8 (2)

Рис. 2.25. Переходные характеристики батарейного ПТП при ГУ-3 на тыльной стороне с q1(τ) = 1⋅104 Вт/м2, tср2 = 20 °С и различными α: α = 100 Вт/(К⋅м2) (1);

α = 10 Вт/(К⋅м2) (2)

Рис. 2.26. Переходные характеристики батарейного ПТП при стабилизации температуры тыльной поверхности t10 = const, q1(τ) = 1⋅104 Вт/м2. Измеряются

Δt1–10 (1) и Δt3–8 (2)

90

Рис. 2.27. Импульсно переходная характеристика батарейного ПТП

Рис. 2.28. Логарифмические частотные характеристики батарейного ПТП

91

Рис. 2.29. Реакция батарейного ПТП на гармоническое воздействие q1(τ) = 1·105 sin (0,02k) Вт/м2, q2 = 0 при: 1 — Δt1–10; 2 — Δt3–8

Рис. 2.30. Реакция батарейного ПТП на одиночный импульс q1(τ) = 1·105 Вт/м2, 0 ≤ τ ≤ 3, q2 = 0, при: 1 — Δt1–10; 2 — Δt3–8

92

На рис. 2.29 и 2.30 приведены результаты расчетов ПТП на неста-ционарный тепловой поток 1( )q τ , изменяющийся по различным времен-ным законам.

Таким образом, предложенная методика на основе ДРМ теплопере-носа позволяют получать решение различных ПЗТ для батарейных ПТП, а также их основные динамические характеристики.

В заключение главы отметим: 1. Для различных видов градиентных ПТП, в частности, однородных

одно и многосоставных, разнородных многосоставных с учетом контакт-ных тепловых сопротивлений и воздушных прослоек с различными гра-ничными условиями на тыльной стороне, показан общий подход к по-строению векторно-матричных ДРМ с линейным и нелинейным теплопе-реносом.

2. Для указанных в п. 1 ПТП рассмотрены численные методы реше-ния прямых задач теплопроводности, приведены оценки погрешности ре-шений.

3. Показано, что можно использовать линейные ДРМ и известные методы пространства состояний, с помощью которых численно-алгоритмическим путем получены основные динамические характеристи-ки ПТП, а именно: переходные матрицы, передаточные функции, переход-ные, импульсно-переходные и частотные характеристики.

4. Приведенные в п. 1–3 положения использованы при решении ПЗТ и определении динамических характеристик таких распространенных ПТП, как: с поперечным градиентом температуры (ПТП Гардона); ПТП с элементами полубесконечного тела; батарейных (ПТП Геращенко).

93

3 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МОДЕЛИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА В ПТП

Исследуются особенности и возможности применения алгоритма оп-тимального цифрового фильтра Калмана (ФК) в качестве общего алгорит-ма решения граничной ОЗТ — восстановления теплового потока ( )q τ для различных типов ПТП, теплоперенос в которых описывается дифференци-ально-разностными моделями (ДРМ).

3.1 ПОСТАНОВКА И ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ ОЗТ 3.1.1 Исходные допущения

Граничную ОЗТ по восстановлению ( )q τ , входящего в одномерный ПТП, предлагается рассматривать при следующих допущениях:

3.1.1.1 Допускается, что для всего многообразия принципиальных тепловых и измерительных схем одномерных ПТП возможно и целесооб-разно использовать предложенные в разделе 2.1 математические модели, состоящие из следующих универсальных ДРМ нелинейного или линейного теплопереноса соответственно (раздел 2.1):

( ) [ ( ), ( )]τ = τ τT f T U& (3.1) или

( ) ( ) ( ),F Gτ = τ + τT T U& (3.2) а также из уравнения измерений в ПТП

( ) ( ) ( )Hτ = τ + τY T ε . (3.3) Вектор управления ( )τU представляет граничные условия на рабо-

чей и тыльной поверхностях ПТП. В его состав в общем случае входит подлежащая измерению плотность теплового потока ( )q τ . Кроме того, для градиентных ПТП возможно задание на тыльной поверхности граничных условий любого рода: они либо известны, либо непосредственно измеря-ются, либо соответствуют условиям полупространства.

3.1.1.2 Допускается, что имеющиеся априорные сведения о характере изменения во времени ( )q τ , позволяют с требуемой точностью выполнить ее аппроксимацию на интервале измерений 0, N Nτ = Δτ в виде обобщенно-го полинома (разделы 1.4.3.2 и 1.4.3.3)

( ) ( )0r

z zzq q=τ = φ τ∑ . (3.4) Неизвестные постоянные параметры zq объединяются в полный

( 1)r × -вектор искомых параметров

94

0 1 constz r rq q q Τ−= =Q L .

Тогда задача восстановления ( )q τ сводится к получению оптималь-ных или близких к ним (субоптимальных) оценок ΣQ полного вектора ис-комых параметров ΣQ .

Известно, что оптимальные — несмещенные, состоятельные, эффек-тивные и достоверные [194] оценки являются наилучшими решениями по-ставленной задачи, исходные данные которой включают случайные вели-чины: случайные погрешности в ДРМ, случайные погрешности ( )τε в из-мерениях и др. 3.1.2 Требования к ПТП

Используемые ПТП должны обладать минимальными значениями общих составляющих методической погрешности (раздел 1.6.2). Кроме то-го, желательно чтобы в вектор измерений Y , входила температура 1( )t τ рабочей поверхности ПТП либо непосредственно, либо в составе измеряе-мых перепадов температур по толщине последнего. Это пожелание вызва-но, в основном, следующими обстоятельствами:

– его выполнение переводит ОЗТ в разряд псевдообратных коррект-но поставленных задач математической физики [10, 36], что существенно снижает трудности их решения;

– измерение 1( )t τ позволяет естественным образом получить инфор-мацию о моменте начала действия ( )q τ на рабочую поверхность ПТП, что принципиально необходимо для решения ОЗТ. В противном случае эта информация должна поступать от постороннего источника, что лишает ПТП статуса автономного средства измерения.

3.1.3 Выбор метода решения граничной ОЗТ по восстановлению q(τ) В соответствии с предложенным в разделе 1.4 в качестве метода вос-

становления ( )q τ выбрана параметрическая идентификация ММТ в ПТП [139, 227, 228]. Она выполняется путем минимизации функции невязки

( )Φ Q (1.12) по вектору искомых Q -коэффициентов обобщенного полино-ма (1.8), аппроксимирующего ( )q τ . В основе указанного метода лежит ап-риорная (предварительная) параметризация задачи, которая заключается в выборе вида полинома (1.8).

3.1.4 Способ параметризации q(τ) В соответствии с изложенным в разделах 1.4.3.3 и 1.5.2.1 нами пред-

лагается использовать В-сплайн-аппроксимацию ( )q τ . С целью повыше-ния устойчивости решения выбраны В-сплайны 1-го порядка, представ-ленные формулой (1.9).

95

Для B-сплайн-аппроксимации ( )q τ интервал измерений 0, Nτ , вклю-чающий N моментов времени ( 1,2,.., )k k Nτ = с равномерным временным шагом Δτ , разбивается на ( 1)r − одинаковых участков сплайн-аппроксимации ( 1,2,3,.., 1)z z rΔ = Δ = − (рис. 3.1), каждый из которых включает l моментов времени, т. е. имеет протяженность lΔ = ⋅Δτ .

Рис. 3.1. Аппроксимация теплового потока ( )q τ B-сплайном 1-го порядка

Интервал измерений 0, Nτ , на котором аппроксимируется ( )q τ , ра-вен ( 1)r − Δτ , а количество неизвестных параметров этой аппроксимации равно r. Параметры zq — значения функции ( )q τ в узловых точках (на стыках участков сплайн-аппроксимации) составляют полный ( 1)r × -вектор искомых параметров ( 0,1,2,.. 1)z rΣ = −Q .

Предлагаемая B-сплайн-аппроксимация линейными сплайнами 1-го порядка для каждого участка Δz формально равносильна кусочно-линейной аппроксимации ( )q τ на участках Δτ , которая используется в ря-де работ [195, 196, 201 и др.]. Однако в них исходными данными для опре-деления искомых параметров zq и 1zq + являются значения всего лишь двух температур ПТП в моменты времени zτ и 1z+τ , разделенных времен-ным шагом Δτ . В то же время, в предлагаемом подходе с «эффективной» параметризацией — l температур для l моментов времени на каждом уча-

96

стке 1zΔ , то есть при существенно более высоком объеме исходной ин-формации. 3.1.5 Выбор алгоритма параметрической идентификации модели ПТП

Параметрическая идентификация модели теплопереноса в ПТП, в частности входящего в него теплового потока ( )q τ , заключается в нахож-дении по измерениям kY оптимальных оценок ˆ

NΣQ полного вектора ис-

комых параметров ΣQ , дающих минимум дискретной скалярной квадра-тичной функции невязки (1.8).

В соответствии с выводами раздела (1.5) в качестве метода миними-зации выбрана рекуррентная процедура алгоритма оптимального дискрет-ного фильтра Калмана. 3.1.6 Стратегия получения оптимальных оценок полного вектора искомых параметров ΣQ

Как показано в разделе 1.5, при реализации рекуррентных процедур параметрической идентификации теплопереноса в ПТП принципиально возможны различные стратегии получения оптимальных оценок.

Исходя из поставленных задач, с целью снижения размерности циф-рового ФК нами была выбрана стратегия скользящего оценивания. При этом в качестве основного варианта было выбрано последовательное, на каждом из 1,2,3, , 1z r= −K участков сплайн-аппроксимации, оценивание

локального ( )2 1× -вектора исходных параметров ( ) ( )z za bq q

ΤΣ =Q , состав-

ляющими которого являются значения теплового потока ( )zaq и ( )z

bq на ле-вой и правой границах z-го участка соответственно. Очевидно, что они яв-ляются также составляющими ( )0,1,2,... 1zq z r= − полного вектора иско-мых параметров ΣQ — значениями ( )q τ на границах всех 1r − участков

его сплайн-аппроксимации (см. рис. 3.1). Их оптимальные оценки ( )ˆ zalq и

( )ˆ zblq , получаются на основе измерений kY , количество которых l задается в

зависимости от уровня погрешностей kε в исходных измерениях и условий

получения оценки ( )ˆ zalq требуемой точности.

Далее вычисления переносятся на ( 1)z + участок, причем оценка ( )ˆ zaq

принимается окончательной, а ( ) ( )1ˆ ˆz zabq q += подлежит дальнейшему уточне-

нию на ( 1)z + -м участке и т. д.

Если же добиться требуемой точности оценки ( )ˆ zalq не удается, то ло-

97

гично использовать второй вариант стратегии оценивания, когда в ло-кальный вектор , 1z z+Q включаются параметры ( )z

aq , ( )zbq и ( 1)z

cq + , пред-ставляющие ( )q τ на двух участках z и ( 1)z + . Тогда по 2l значениям kY по-

лучаются оценки, ( )ˆ zaq , ( )ˆ z

bq и ( )1ˆ zcq + , из которых оценка ( )ˆ z

aq принимается окончательной. Далее составляется вектор 1, 2z z+ +Q из значений ( ) ( )1ˆ ˆ zza bq q+ = , ( ) ( )1 1ˆ ˆz z

cbq q+ += и ( )2ˆ zcq + , для оптимальных оценок которого ис-

пользуется 2l значений kY на участках ( 1)z + и ( 2)z + и т. д. В дальнейшем приводятся данные по основному варианту стратегии,

доказавшему свою эффективность. При этом с целью упрощения обозна-чений в последующем изложении, как правило, будем опускать индекс «z», тогда вектор искомых параметров сплайн-аппроксимации ( )q τ на участке z имеет вид

a bq q Τ=Q . Таким образом, при решении ОЗТ применяется следующая кусочно-

линейная В-сплайн-аппроксимация ( )q τ , вытекающая из общего выраже-ния (3.4):

(1) (1)0 1( ) ,a bq q Sp q Spτ = + (3.5)

где: 0 0(1)

00

1 , если 1,

0, если 1,Sp

⎧ − ξ ξ ≤⎪= ⎨ξ >⎪⎩

0τ

ξ =Δ

,

1 1(1)1

1

1 , если 1,

0, если 1,Sp

⎧ − ξ ξ ≤⎪= ⎨ξ >⎪⎩

1 1τξ = −

Δτ.

Формула (3.5) может быть представлена в дискретной форме, если ввести обозначения:

(1) (1) (1) (1)0 10, 1,( ), ( ), ( )k k k kk kq q Sp Sp Sp Sp= τ = τ = τ

и использовать в выражениях для 0 1,ξ ξ соотношение kτ=

Δ l.

В соответствии с изложенным функция невязки для участка «z» при-нимает следующий вид:

1

1

ˆ ˆ( ) [ ( )] [ ( )]l

Tk k k k

kR−

=Φ = − ⋅ −∑Q Y Y Q Y Y Q . (3.6)

98

3.2 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ФИЛЬТРА КАЛМАНА ПО ИСКОМЫМ ПАРАМЕТРАМ 3.2.1 Постановка задачи

Параметрическая идентификация ПТП заключается в получении оп-тимальных оценок вектора искомых параметров a bq q Τ=Q на каждом участке zΔ сплайн-аппроксимации ( )q τ и выполняется последовательно от моментов времени ( 1,2, , )k k l= K к моменту времени 1k + , т. е. от оценки ˆ

kQ к оценке 1ˆ

k+Q , последовательно, используя все l значения вектора из-мерений kY для l моментов времени. Затем осуществляется переход на

1z+Δ участок сплайн-аппроксимации, 2z+Δ и т. д. В соответствии с рис. 3.1 на 1-м участке оцениваются 0q и 1q , на 2-м — 1q и 2q и т. д.

Таким образом, в соответствии с алгоритмом (1.15)–(1.17) для каж-дого k-го момента времени каждого z-го участка zΔ последовательно (ре-куррентно), начиная с 1k = определятся оценки 1

ˆk+Q и ковариационная

( )2 2× -матрица 1kP + ошибок этих оценок на основании:

– известной оценки ˆkQ и ковариационной матрицы kP ошибок этой

оценки для k-го момента времени; – ДРМ ПТП, позволяющей по заданным ˆ

kQ рассчитывать значения модельного вектора измерений ( )1

ˆk+Y Q ;

– значения вектора измерений 1k+Y . Полученные оценки 1

ˆk+Q и их ковариационная матрица 1kP + наряду

с вновь поступившим значением вектора измерений 2k+Y являются осно-ванием для определения 2

ˆk+Q , 2kP + и т. д.

3.2.2 Ковариационные матрицы В поставленной задаче восстановления ( )q τ участвуют случайные

векторы шума измерений kε и начальных оценок 0Q̂ , так как их состав-ляющие ˆaq , ˆbq являются случайными величинами. Поэтому решение ˆ

lQ ОЗТ на z-м участке также является случайной величиной.

3.2.2.1 Качество оценок ˆlQ определяется получаемой в процессе вы-

числений ковариационной матрицей lP ошибок этих оценок, которая име-ет следующий вид:

99

11, 12, 13, 1 ,

21, 22, 22, 2 ,

( )

1, 2, 3, ,

l l l r l

l l l r ll

r r

r l r l r l rr l

p p p pp p p p

P

p p p p×

⋅⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅

, (3.7)

где диагональные элементы 11, 22, ,, ,...,l l rr lp p p являются дисперсиями всех r

составляющих вектора ˆlQ , а остальные элементы

( 1,2,.., ; 1,2,.., ; )ijp i r j r i j= = ≠ входят в следующую формулу для опреде-ления коэффициентов взаимной корреляции rij между i-й и j-й составляю-щими:

ijlij

iil jjl

pr

p p=

⋅. (3.8)

3.2.2.2 Относительно статистических свойств вектора случайных по-грешностей будем предполагать, что он, как это обобщено в работе [36], является случайным вектором с нулевым математическим ожиданием

[ ] 0kЕ =ε (3.9) и известной ковариационной матрицей

2

2

( )

2

0 0

0 0. . .

0 0

m m

m

R×

σ

σ=

σ

. (3.10)

Приведенный вид R означает, что измерения yik температуры в от-дельных точках ПТП, являются случайными нормально-распределенными величинами, выполняются регистрирующей аппаратурой с дисперсией

2( 1,2,3,.., )i i mσ = и между собой некоррелированны. Можно допустить, что дисперсии измерений температур или их перепадов одинаковы, т. е.

2 2iσ = σ . Тогда ковариационная матрица R имеет вид:

2R I= σ , (3.11) где I — единичная ( )m m× матрица.

3.2.3 Алгоритм фильтра Калмана по искомым параметрам Q

Алгоритм цифрового ФК по искомым параметрам Q в форме (1.10)–(1.12) приведен в разделе 1.5.2, где матрица функций чувствительности

1kH + имеет следующий вид:

100

1 ( 1) 1 ( 1)

2 ( 1) 2 ( 1)1

( 2)

( 1) ( 1)

ˆ

a b

a b

a b

q k q k

q k q kkk

m k

mq k mq k

U U

U UH

U U

+ +

+ ++×

+ +

∂= =∂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

YQ Q Q

. (3.12)

Составляющие матрицы чувствительности ,

( 1)ˆ

( )a

k

j kjq k

a

yU

q+=

∂=

∂ Q Q

Q, ,

( 1)ˆ

( )b

k

j kjq k

b

yU

q+=

∂=

∂ Q Q

Q (3.13)

являются функциями чувствительности j-го измерения ( )ˆi ky Q к искомому

параметру aq и bq в ( 1)k + момент времени ( 1,2,.., )k l= . Их значения рас-считываются по известной k-й оценке ˆ

kQ вектора искомых параметров пу-тем решения уравнения теплопереноса (3.1) или (3.2) любым известным способом, в том числе и предложенным в разделе 2.2. При этом общим, всегда практически реализуемым, универсальным методом их определения является вычисление по формулам:

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1 1, 1

1 1, 1

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) - ( , )

ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) - ( , )

a

b

ak a bk ak bkj k j kj q k

a

ak bk b ak bkj k j kj q k

b

y q q q y q qU

qy q q q y q q

Uq

+ ++

+ ++

Δ=

Δ

± Δ=

Δ

m

(3.14)

Таким образом, для построения матрицы 1kH + для ( 1)k + момента времени необходимо по формулам (3.14) определить изменение во време-ни ( 1,2, , )k l= K значений функции чувствительности. Обычно их количе-ство невелико, потому что количество точек измерений температуры или их перепадов в реальных ПТП обычно не превышает двух. 3.2.4 Условия входа в алгоритм (1.10)–(1.12)

Для выполнения расчетов по алгоритму ФК (1.10)–(1.12) от момента k = 0 к моменту времени k = 1 кроме геометрических и теплофизических характеристик ПТП в его ДРМ типа (2.9) или (2.5) необходимо задать ин-тервал Δτ дискретного времени, начальное распределение температур

0 ( 0)k= =T T , начальные оценки 0Q̂ и ковариационную матрицу 0P оши-бок начальных оценок. Эти величины обычно называют условиями входа в алгоритм.

Принципиальным достоинством предложенного алгоритма ФК явля-ется произвольное задание 0Q̂ в предположении, что он является случай-ным вектором с нормальным законом распределения, математическим

101

ожиданием и ковариационной 0P матрицей ошибок. Возможны два вари-анта выбора 0Q̂ и 0P . Для первого z = 1 участка 1Δ сплайн-аппроксимации

1( )q τ , на котором необходимо получить оценки ˆ ˆ ˆal blq q Τ=Q (см. раз-дел 3.1.6) значения 0ˆaq и 0ˆbq выбираются произвольно, а 0P имеет вид:

0

0

2ˆ

0 2ˆ

0,

0

a

b

q

q

Pσ

=σ

(3.15)

где 0

2ˆaqσ и

0

2ˆbqσ — дисперсии ошибок задания начальных оценок значе-

ний 0ˆaq и 0ˆbq искомых параметров aq и bq . Если предположить, что неточности начальных оценок 0ˆaq и 0ˆbq ук-

ладываются в интервалы aq±Δ и bq±Δ соответственно, то с доверительной вероятностью 0,95 величины дисперсий предлагается [166] определить по формуле:

0 00 0

2 2 2 2ˆ ˆ

4 4;9 9a bq a q bq qσ = Δ σ = Δ . (3.16)

Для 2-го, 3-го и т. д. участков сплайн-аппроксимации в качестве на-чальной оценки 0ˆaq рекомендуется принять значение оценки ˆblq , получен-ной по l измерениям на предыдущем участке, а значение 0ˆbq — произвольным. Такой выбор можно отразить соответствующим выбором диагональных элементов матрицы 0P для второго участка и т. д.

Существенным является также выбор начального распределения температур в ПТП. Идеальным является случай, когда для k = 0 на первом z = 1 участке 1Δ сплайн-аппроксимации (1)

0T достоверно известно. Если такая возможность отсутствует, то необходимо учитывать известное об-стоятельство, что практически для всех видов решений ПЗТ с течением времени начальное распределение температуры перестает влиять на тем-пературное поле тела [94, 112]. Это означает, что неточности в (1)

0T для z = 1 будут сказываться на решениях прямых и обратных задач теплопро-водности на ограниченном количестве временных шагов Δτ . Поэтому для k = 0 на втором участке z = 2 начальное распределение температуры (2)

0T необходимо задать равным полученному распределению температур (1)

lT на первом участке. Это правило затем распространяется на все последую-щие z-участки, что способствует приближению момента нечувствительно-сти вычислений к неточностям в 0T .

Кроме того, имеется возможность аппроксимировать начальные рас-пределение температуры ( , 0)x τ =T , как это проделано, например, в [36], а

102

неизвестные коэффициенты этой аппроксимации включить в состав иско-мых параметров для восстановления входящей в ПТП плотности теплового потока ( )q τ .

3.2.5 Программная реализация алгоритма Приведенный выше алгоритм восстановления входящего в ПТП теп-

лового потока ( )q τ реализован в форме программного комплекса ПК-1 «Heat Stream». ПК-1 написан на языке C++ в среде Borland C++ Builder 5 и предназначен для решения следующих задач для одномерных ПТП раз-личных типов:

– прямых задач теплопереноса (ПЗТ) в ПТП; – граничных обратных задач теплопереноса (ОЗТ) по восстановле-

нию входящего ПТП теплового потока с помощью предложенного в разде-ле 3.2 алгоритма ФК по искомым параметрам Q ;

– задач по численному моделированию вычислительных процедур решения ОЗТ с целью изучения их сходимости и выработки требований к условиям проведения реальной теплометрии.

На рис. 3.2 представлена схема алгоритма подпрограммы решения граничной ОЗТ программного комплекса «Heat Stream» c использованием алгоритма ФК по искомым параметрам. 3.2.6 Методика имитационного моделирования (вычислительного эксперимента) процедур восстановления теплового потока и примеры ее реализации

Как показано в разделе 1.6.3 в практических приложениях при реше-нии задач, связанных со сходимостью вычислительных процедур и точно-стью получаемых оценок, обычно, а для нелинейных оценок — обязательно, проводят имитационное моделирование. Его особенностью является то, что эталонные значения вектора ˆ

kY берутся из решения неко-торых эталонных ПЗТ для рассматриваемого ПТП.

Сущность имитационного моделирования заключается в выполнение следующих операций:

1. Задаемся значениями всех параметров ДРМ типа (3.1) или (3.2) конкретного ПТП, а также выбранным законом изменения ( )q τ и началь-ным вектором температурного состояния 0T . Получаем решения ПЗТ в ви-де температур kT для моментов времени k kτ = Δτ , особо выделив те, кото-рые подлежат измерению.

2. Используя цифровой датчик случайных чисел (шума) с регули-руемой величиной дисперсии, получаем значения погрешностей в измере-ниях [ ] 1

mk zk z== εε .

103

1+kY

2ˆ

+kY

)(ˆ1 kk QY +

1+kH

jqΔ )(1 jk qΔ+Y

1æ +k

1æ +k

0T τΔ kU H

GF ,,

Данные на k-ый момент времени (включительно)

kP

Общие исходные данные по ДРМ ПТП

Решение ПЗТ:

11

1

22

ˆ

)(21

..!2

1

++

+

=

τΔΦ++Φ=

+τΔ+τΔ+=Φ

kk

kkk

H

GI

FFI

TY

UTT

[ ] 11111æ

−Τ++++ +⋅= RHPHHP kkkkkk

kKkkk PHPP 111 æ +++ −=

Расчет матрицы функции чувствительности

k

kk

QQQYH

ˆ

11

=

++ ∂

∂=

Расчет оценок вектора искомых па-раметров:

)](ˆ[戈1111 kkkkkk QYYQQ ++++ −+=

Цифровой регистратор показаний ПТП

Результаты (k+1)-го шага

22ˆ

++ kk PQ

11ˆ

++ kk PQ

Рис. 3.2. Схема алгоритма подпрограммы решения граничной ОЗТ с использованием ФК по искомым параметрам

Исходные дан-ные для расчета

kk TQ ˆˆ

104

3. Определяем значения вектора kY путем наложения шума на соот-ветствующие выбранные составляющие вектора состояния kT .

4. Используя значения kY в алгоритме ФК, получаем значения ,ˆ

lΣQ оценок полного вектора параметров ΣQ на всех участках сплайн-аппроксимации искомого теплового потока ( )q τ при различных условиях входа в алгоритм ФК ( 0Q̂ и 0P ), различном количестве l моментов времени

kτ на участках аппроксимации, дисперсиях шумов 2σ в измерениях, не-точностей в задании начального вектора состояния 0T и др.

5. Путем сравнения ,ˆ

lΣQ с известными (эталонными) значениями те-плового потока 0 1 1, ,.. rq q q − на стыках участков его сплайн-аппроксимации (рис. 3.1) делаем вывод о характере сходимости и конечной точности по-лучаемых решений ОЗТ в зависимости от перечисленных выше факторов, а также вырабатываем количественные требования к последним.

Приведенная методика была успешно реализована нами с помощью ПК-1 при решениях ОЗТ по восстановлению ( )q τ для всех без исключения рассматриваемых ПТП.

В качестве иллюстрации приведем основные результаты вычисли-тельного эксперимента для однородного градиентного ПТП (рис. 2.1,а).

3.3 ВОССТАНОВЛЕНИЕ Q(τ) НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМА ФК ПО ИСКОМЫМ ПАРАМЕТРАМ ДЛЯ ОДНОРОДНЫХ ГРАДИЕНТНЫХ ПТП

Рассматриваются особенности решения ОЗТ и результаты восста-новления ( )q τ с использованием ПК «Heat Stream» с помощью однородно-го градиентного ПТП с постоянными ТФХ. Результаты решения ПЗТ при-ведены в разделе 2.2.4. 3.3.1 Случай динамических измерений q1 = const

Исследование роли различных факторов, влияющих на сходи-мость и погрешности решения ОЗТ, проводилось для различных вариан-тов структуры вектора измерений при эталонных значениях

51 1 10q = ⋅ Вт/м2 и 2 0q = . Рассматривался первый z = 1 участок при количе-стве l = 30 дискретных моментов времени k на нем.

Для всех рассмотренных вариантов установлены следующие началь-ные условия (для k = 0) входа в алгоритм ФК: вектор начального распреде-ления температур задавался точно ( )0 0=T , а начальные оценки

0 0ˆ ˆ 0a bq q= = со значительным отличием от их эталонных значений. В со-ответствии с этим значения диагональных элементов ковариационной мат-

105

рицы 0P ошибок начальных оценок составляли 1211,0 22,0 1 10P P= = ⋅ Вт2/м4.

На рис. 3.3 приведены движения оценок ˆakq и ˆbkq при уровне шума (среднеквадратичного отклонения) 0σ = . Очевидно, что удовлетворитель-ная сходимость (относительная погрешность 0,05δ ≤ ) оценок к истинным значениям наступает за два временных шага (k = 2) для ˆakq и k = 11 для ˆbkq , а хорошая сходимость ( )0,02 8kδ ≤ − = для ˆakq и 13k = для ˆbkq . По-ведение функции чувствительности измеренной температуры 1kt к оцени-ваемым параметрам (рис. 3.4) соответствует результатам исследований.

На рис. 3.5 демонстрируется влияние шумов σ в исходных измере-ниях температуры 1kt на сходимость оценок ˆakq и ˆbkq . Как видно из рис. 3.5, при 0,5σ = °С сходимость оценок сдвигается вправо: для ˆakq — до k = 10, а для ˆbkq — до k = 23.

Движение оценок параметров ˆakq и ˆbkq (рис. 3.6) приведены как пример попытки улучшения сходимости за счет изменения структуры вектора измерений kY . Очевидно, что введение дополнительного измере-ния 3kt (рис. 3.6,а) практически не влияет на качество сходимости оценок ˆakq , и незначительно влияет на ˆbkq . Аналогичная ситуация имеет место при замене измерения 1kt измерением перепада температур

1 11, 1 11k k kt t t−Δ = − (рис. 3.6,б). При измерениях температуры во внутренней точке сходимость существенно ухудшается (рис. 3.6,в).

Рис. 3.3. Однородный градиентный ПТП при q1(τ) = 1⋅105 Вт/м2 и q2 = 0. Движение оценок ˆakq (а) и ˆbkq (б) к истинным значениям qa = qb = q1 при

измерениях температуры t1k и уровне шума σ = 0

106

Рис. 3.4. Однородный градиентный ПТП при q1(τ) = 1⋅105 Вт/м2 и q2 = 0. Функции чувствительности u11,k и u12,k измеряемой температуры t1k к пара-

метрам qa и qb соответственно

Рис. 3.5. Однородный градиентный ПТП при q1(τ) = 1⋅105 Вт/м2 и q2 = 0. Движение оценок ˆakq (а) и ˆbkq (б) к истинным значениям qa = qb = q1

при уровне шума 0,5σ = °С

107

Рис.

3.6

. Однородны

й градиентны

й ПТП

при

q1(τ)

= 1⋅1

05 Вт/м2 и

q2 =

0.

Движение

оценок параметров

qak

(1, 2

, 3) и

qbk

(4, 5

, 6) при

измерениях темп

ератур

: а)

t 1k и

t 3k; б

) Δt (1

–11)

k; в)

t 2k. Уровень

шум

а в измерениях

σ =

0,3

°С

108

3.3.2 Случаи восстановления переменного потока q(τ) В качестве примеров, имитирующих реальные случаи нестационар-

ной теплометрии, была рассмотрена работа алгоритма ФК в составе ПК-1 «Heat Stream» в случае изменения ( )q τ по различным законам.

На рис. 3.7 приведены результаты восстановления теплового потока, изменяющегося по гармоническому закону 5

1( ) 1 10 sin 2q τ = ⋅ ⋅ τ . В частно-сти, на рис. 3.7,а приведен вид 1( )q τ (1), а на рис. 3.7,б — реакция темпера-тур 1t , 2t и 3t ПТП на это входное воздействие. На рис. 3.7,а приведены также результаты восстановления 1( )q τ при уровне шума в измерениях

0σ = . На рис. 3.8 приведен эталонный (заданный) треугольный импульс

теплового потока 1( )q τ (при 2 0q = ) и результаты его восстановления по измеряемой температуре 1kt при 0σ = .

В процессе исследований задавались различные законы изменения потока ( )q τ при изменениях погрешности в измерениях температуры 1( )q τ в пределах 0 1,5σ = ÷ °С (что составляет 10 % при 1,5σ = °С ).

В процессе исследований градиентных ПТП (рис. 2.1,а–2.1,в) задава-лись различные законы изменения потока ( )q τ при погрешности в измере-ниях температуры 1( )t τ до 10 %.

В целом, по результатам имитационного моделирования процедур восстановления входящего в однородный градиентный ПТП плотности те-плового потока 1( )q τ с применением алгоритма ФК по искомым парамет-рам можно считать успешным. Показана возможность получения количе-ственных оценок влияния таких усложняющих факторов, как величины шума в исходных измерениях σ и уровня заглубления точек измерения то-чек измерения температуры.

109

а) б)

Рис. 3.7. Восстановление теплового потока, изменяющегося по гармониче-скому закону q1(τ) = 1⋅105sin(2τ) при q2 = 0. а) Эталонный (заданный) (1) и восстановленный при σ = 0 (2) тепловые потоки. б) Реакция на эталонный

тепловой поток

а) б)

Рис. 3.8. Восстановление теплового потока в форме треугольного импульса q1(τ) при q2 = 0. а) Эталонный (заданный) (1) и восстановленный при σ = 0 (2) тепловые потоки. б) Реакция температуры t1k на эталонный тепловой

поток

110

3.4 ВОССТАНОВЛЕНИЕ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА НА ОСНОВЕ АЛГОРИТМОВ РАСШИРЕННОГО ФИЛЬТРА КАЛМАНА 3.4.1 Постановка задачи

В разделе 3.2 для восстановления входящего в ПТП теплового пото-ка ( )q τ предложено использовать алгоритм цифрового ФК по парамет-рам Q , а в разделе 3.3 проведены исследования эффективности этого ал-горитма. Его достоинством является небольшая размерность вектора оце-ниваемых параметров, а к недостаткам следует отнести значительный объ-ем вычислений матрицы функций чувствительности 1kH + на каждом шаге вычислений и необходимости задания начального распределения темпера-тур 0T по ПТП с требуемой точностью (см. раздел 3.2.4).

В связи с этим, было предложено для получения оптимальных оце-нок Q на каждом участке сплайн-аппроксимации ( )q τ использовать алго-ритм так называемого расширенного ФК, который позволяет устранить первый недостаток и существенно смягчить требования к точности задания

0T [166]. Как указано в разделе 1.5.1 расширенный фильтр Калмана основан

на введении расширенного вектора состояния

1 2 n a bt t t q q Τ= =T

RQ

L (3.17)

и соответствующих преобразований исходных моделей (3.1) и (3.2) тепло-переноса в ПТП, а также модели измерений (3.3) [104, 166].

Уравнения исходных ДРМ (2.5) или (2.9) необходимо дополнить дифференциальными уравнениями для составляющих aq и bq вектора R . Учитывая условие const=Q , эти дополнительные уравнения могут быть записаны в следующем виде

0

0

a a

b b

d q qdd q qd

= =τ

= =τ

&

& (3.18)

3.4.1.1 Расширенная ДРМ для исходной линейной ДРМ (2.9) оста-ется линейной и имеет следующий вид:

( )( ) ( ) ( )R RF Gτ = τ τ + τR R U& , (3.19)

111

где ( )

( ) ( )1 10 1

( )

( 2) ( 2)

2 200

00

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

n n

Rn n

dSp dSpF

F

×

+ × +

⋅⋅τ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅

;

( 2) 2

0 0 0 0 00 0 2 0 0R

nG

d

Τ

+ ×=

LL

. (3.20)

Приведенный выше вид матрицы управления RG относится к слу-

чаю, когда в векторе управления ( ) ( ) ( )1 2Tq qτ = τ τU искомый тепловой

поток ( )1q τ внесен в матрицу обратных связей ( )RF τ и подлежит восста-новлению, а тепловой поток ( )2q τ на тыльной стороне ПТП предполагает-ся известным. При этом учет других возможных вариантов условий тепло-обмена на тыльной стороне не вызывает принципиальных затруднений, но приводит к некоторым изменениям в модели (3.19).

Очевидно, что ( )1m× -вектор измерений ( )τY остается без измене-ний, а уравнение измерений в соответствии с (3.3) преобразуется к виду

( ) ( ) ( )RHτ = ⋅ τ + τY R ε , (3.21) где матрица RH измерений расширенной системы, которая выражается через матрицу H измерений исходной системы следующим образом:

( )

( 2)

0 00 0

0 0

m nR

m n

HH ×

× +

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (3.22)

Принципиальной особенностью ДРМ (3.19) является её нестацио-нарность — зависимость матрицы обратных связей ( )RF τ от времени τ. В теории пространства состояний нестационарность линейных объектов яв-ляется общим случаем и учитывается путем расчета на каждом временном шаге переходной матрицы 1,k k+Φ по формуле (2.20) с учетом зависимости матрицы обратных связей ( )RF τ от времени τ.

В соответствии с формулой (3.5) на каждом из участков zΔ кусочно-

112

линейной сплайн-аппроксимации ( )q τ ( 1,2, , 1z r= −K ) дискретный тепло-вой поток kq изменяется по закону

1k a bk kq q ql l

⎛ ⎞= − + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

,

где 1,2, ,k l= K . С учетом этой формулы дискретный аналог ,R kF матрицы ( )RF τ

может быть записан в виде

( )

, 1( 2) ( 2)

2 1 2

00

00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

n n

R kn n

k kd dl lF

F

×

++ × +

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⋅⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⋅⎢ ⎥

⋅⎣ ⎦

. (3.23)

Тогда переходная от моментов времени « k » к « 1k + » матрица , 1R k+Φ состояния ДРМ (3.19) в соответствии с (2.20) будет иметь вид

2 2 3 3, 1 , 1 , 1 , 1

1 12! 3!R k R k R k R kI F F F+ + + +Φ = + ⋅Δτ + ⋅Δτ + ⋅Δτ +K , (3.24)

а дискретный аналог ДРМ — вид

( )1 , 1 , 112k R k k R k R kФ I Ф G+ + += ⋅ + + ⋅ ⋅ ΔτR R U . (3.25)

Дискретное уравнение измерений в соответствии с (3.21) — вид k R k kH= ⋅ +Y R ε . (3.26)

3.4.1.2 Для исходно нелинейной ДРМ (2.5) расширенная ДРМ также является нелинейной. Она может быть представлена в следующей форме

( ) ( )Rτ = τ⎡ ⎤⎣ ⎦R f R& , (3.27)

где ( )R τ⎡ ⎤⎣ ⎦f R нелинейная вектор-функция размерности ( )2 1n + × , состав-

ляющими ( )if τ⎡ ⎤⎣ ⎦R (i = 1, 2, 3, …, 1n + ) которой являются n правых час-тей ДРМ (2.5) и правые нулевые части уравнений (3.18). Уравнение изме-рений имеет вид (3.26).

3.4.1.3 Для приведенных выше расширенных ДРМ задача восста-новления входящего в ПТП теплового потока ( )q τ выглядит следую-щим образом: на участке сплайн-аппроксимации 1( )q τ для расширенных моделей теплопереноса (3.19) или (3.27) и уравнения измерений (3.26),

113

имея на каждом «k»-м шаге значение вектора измерений kY , последова-тельно от «k»-го момента времени к ( 1)k + получить оптимальные оценки

1ˆ

k+R вектора ( 1,2, , )k l=R K . Оценки 1ˆ

k+R включают оценки 1ˆ

k+T вектора состояния ПТП T и оценки 1

ˆk+Q локального вектора искомых параметров

.Q На практике по виду расширенной ДРМ могут иметь место следую-

щие варианты постановки ОЗТ: 1. Линейная расширенная ДРМ (3.19). 2. Нелинейная расширенная ДРМ (3.27), причем исходная ДРМ

(3.1) — нелинейна, что вызвано зависимостью ТФХ материала от темпера-туры.

3. То же (п. 2), однако нелинейность вызвана лучистым теплообме-ном активного торца ПТП.

Для решения указанных задач воспользуемся алгоритмами цифрово-го ФК — линейным для ДРМ (3.19) и нелинейным для ДРМ (3.27).

3.4.2 Восстановление q(τ) для ПТП с линейным теплопереносом Расширенная ДРМ ПТП для этого случая имеет вид (3.19), её дис-

кретный аналог выражается уравнениями (3.25), а дискретная модель из-мерений имеет вид (3.26)

Для решения поставленной задачи определения оптимальных оценок ˆ

kR , а в их составе — искомого вектора ˆkQ , воспользуемся алгоритмом

линейного цифрового ФК. Фильтр Калмана является рекуррентной (последовательной) вычис-

лительной процедурой, в которой на основании поступивших измерений 1k+Y , предыдущей оценки /

ˆk kR и ее ковариационной матрицы /k kP вычис-

ляются новые оценки 1/ 1ˆ

k k+ +R и их ковариационная матрица 1/ 1k kP + + . При этом для оценок R и их ковариационных матриц Р используется двойная индексация: первый индекс указывает для какого момента дискретного времени определяется оценка, второй — по какому моменту дискретного времени включительно используется набор измерений kY . Статистические характеристики вектора случайных погрешностей kε соответствуют ука-занным в разделе 3.2.2.2.

3.4.2.1 Алгоритм ФК применительно к расширенной ДРМ заключа-ется в последовательном выполнение следующих векторно-матричных операций [104, 166]:

( )1/ , 1 / , 11ˆ ˆ2k k R k k k R k R kI G+ + += Φ ⋅ + + Φ ⋅ ⋅ ⋅ ΔτR R U , (3.28)

114

1/ , 1 / , 1k k R k k k R kP P Τ+ + += Φ ⋅ ⋅Φ , (3.29)

11 1/ 1/æ [ ]k k k R R k k RP H H P H RΤ Τ −+ + += ⋅ ⋅ + , (3.30)

1/ 1 1/ 1 1 1/ˆ ˆ ˆæ [ ]k k k k k k R k kH+ + + + + += + −R R Y R , (3.31)

1/ 1 1/ 1 1/æk k k k k R k kP P H P+ + + + += − . (3.32) Здесь 1æk+ весовая ( 2)n m+ × -мерная матрица; 1/ 1k kP + + и /k kP кова-

риационные ( 2) ( 2)n n+ × + -мерные матрицы ошибок оценок расширенно-го вектора состояния, а 1/k kP + — ковариационная матрица ошибок оценок прогноза 1/

ˆk k+R расширенного вектора состояний.

Перед выполнением вычислений по формуле (3.28)–(3.32) необхо-димо провести две подготовительные операции, а именно:

– рассчитать матрицу обратных связей , 1R kF + , подставив в формулу (3.23) вместо aq и bq их k-е оценки ˆakq и ˆbkq ;

– по формуле (3.24) рассчитать переходную матрицу , 1R k+Φ .

Полученные значения 1/ 1ˆ

k k+ +R и 1/ 1k kP + + , а так же значение 2k+Y вектора измерений служат основанием для определения следующей ( 2)k + -й оценки 2/ 2

ˆk k+ +R расширенного вектора состояния и ее ковариа-

ционной матрицы 2/ 2k kP + + и т. д. 3.4.2.2 Важным является вопрос выбора начальных (k = 0) оценок

расширенного вектора состояния 0/0R̂ , включающего как начальное рас-пределение температур по ПТП (вектор 0/0

ˆ )T , так и начальную оценку

0/0Q̂ искомого вектора .Q Подход к решению этой задачи приведен в разделе 3.2.4 в части вы-

бора начальных оценок вектора искомых параметров 0Q̂ и их ковариаци-онной матрицы 0P . Достоинством алгоритма расширенного ФК является обоснованное распространение этого подхода на выбор начальных оценок вектора 0/0T̂ температурного состояния ПТП и их ковариационной матри-цы 0/0P . Благодаря этому оптимальные оценки 1/ 1

ˆk k+ +T текущего вектора

1ˆ

k+T начинают определяться непосредственно с первых временных шагов, в то время как в алгоритмах ФК по искомым параметрам они определяют-ся опосредствованно через оценки ˆ

kQ . На практике вопросы влияния неточностей при задании начальных

оценок решаются в процессе проведения численных экспериментов по ис-следованию особенностей функционирования алгоритмов ФК, методика которых изложена в подразделе 3.3.1.

115

Учет зависимости ТФХ от температуры может без существенных изменений проводиться в рамках алгоритма (3.28)–(3.32) линейного рас-ширенного ФК. Для этого при вычислении по формуле (3.20) матрицы об-ратных связей , 1R kF + расширенной ДРМ для ( 1)k + -го момента времени значения ( ), ( )T c Tλ или ( )a T необходимо отнести к рассчитанным на пре-дыдущем k-м шаге температурам соответствующих блоков ,i kt . При этом известные справочные зависимости ( ), ( )T c Tλ или ( )a T удобно аппрокси-мировать В-сплайнами первого порядка по T в соответствии с формулой (3.5), в которой вместо временного интервала аппроксимации Δτ исполь-зуется температурный .TΔ Тогда для различных вариантов аппроксимации ТФХ имеют следующий вид:

1 1 1(1) (1) (1)

1 1 1( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )

p p p

i i i i i ii i i

T Sp T c T c Sp T a T a Sp T+ + +

= = =λ = λ = =∑ ∑ ∑ . (3.33)

3.4.3 Восстановление q(τ) для ПТП с нелинейным теплопереносом

Для получения оценок 1/ 1ˆ

k k+ +R расширенного вектора 1k+R подоб-ной сугубо нелинейной расширенной ДРМ (3.27) с моделью измерений (3.26) возможно использовать алгоритм нелинейного цифрового ФК, кото-рый по своей структуре близок алгоритму (3.28)–(3.32) линейного ФК. Он основан на рекуррентной (последовательной) линеаризации нелинейной модели, как это реализовано, например, в [166]. В отличие от обычных ме-тодов линеаризации, когда опорная траектория kR , относительно которой выполняется линеаризация, должна быть задана сразу по всему участку измерений 0, Nτ , линеаризация выполняется лишь на один шаг по времени Δτ вперед (от «k» до « 1k + ») по предыдущему значению опорной траекто-рии, в качестве которой используются оценки /

ˆk kR .

Для нелинейной ДРМ (3.38), этот метод реализуется путем получе-ния на каждом ( 1)k + -м временном шаге линеаризованной матрицы обрат-ной связи ,

ˆR kF в следующем виде:

116

[ ]

/

ˆ, 1 /

1 1 1 1

1

1

ˆ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0 0 00 0 0

k k

R k k k

n a b

n n n n

n a b

F

f f f ft t q q

f f f ft t q q

+ =

=

∂= τ =∂

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂=

∂ ∂ ∂ ∂

R R

R R

f RR

R R R R

R R R R

K

K K K K K

K

K K K K KK KK K

, (3.34)

где aq и bq — составляющие вектора искомых параметров Q (на каждом z-м (z = 1, 2,…, 1r − ) участке.

Тогда нелинейная ДРМ (3.27) будет иметь свой дискретный аналог в форме уравнения (3.34), где переходная матрица , 1

ˆR k+Φ рассчитывается по

формуле (3.24) с подстановкой в нее определенной по формуле (3.34) мат-рицы обратных связей , 1

ˆR kF + вместо , 1R kF + .

Благодаря пошаговой линеаризации расширенной ДРМ для получе-ния оптимальных оценок расширенного вектора состояния 1/ 1

ˆk k+ +R и его

ковариационной матрицы 1/ 1k kP + + на каждом из z участков сплайн-аппроксимации, можно использовать алгоритм расширенного ФК (3.28)–(3.32). Полученная оценка 1/ 1

ˆk k+ +R и ее ковариационная матрица 1/ 1k kP + +

наряду с измерением 2k+Y служат основанием для последующего опреде-ления оценки 2/ 2

ˆk k+ +R и ее ковариационной матрицы 2/ 2k kP + + для ( 2)k + -

го момента времени по приведенному алгоритму и т. д. Следует отметить, что как показано в литературе по оптимальной

фильтрации, в связи с нелинейностью задачи полученные оценки относят-ся к виду квазиоптимальных или субоптимальных. Поэтому их качество необходимо в каждом конкретном случае исследовать методом численного моделирования с анализом влияния всех неоднозначных факторов на ко-нечные результаты решения ОЗТ. 3.4.4 Программная реализация алгоритма расширенного ФК

Для реализации предложенного выше метода восстановления вхо-дящего в ПТП теплового потока разработан, тестирован и внедрен в прак-тику нестационарной теплометрии программный комплекс «Heat Identification» (ПК-2), который является 32-разрядным многопоточным

117

приложением для операционной системы Windows, его программа написа-на на языке C++ в интегрированной среде разработки Borland С++ Builder 6.

Назначение, задачи, структура алгоритма, режимы вычислений и ра-бота основной программы соответствуют приведенным в разделе 3.2.5 для ПК-1 «Heat Stream». Существенные отличия имеют место в подпро-грамме решения ПЗТ, в которой рассматриваются расширенные ДРМ ПТП (3.19) и модель измерений (3.21), и в подпрограмме решения граничной ОЗТ по восстановлению входящего в ПТП теплового потока методом рас-ширенного ФК.

Тестирование ПК-2 было выполнено методом численного экспери-мента, изложенного в разделе 3.3.1. Оно заключалось в исследованиях как процедур сходимости, так и конечной точности алгоритма расширенного ФК применительно к градиентному однородному ПТП (рис. 2.1,а) при ва-риациях различных факторов, которые влияют на решение ОЗТ.

Анализ результатов этих исследований показал устойчивую сходи-мость и приемлемую точность результатов восстановления 1( )q τ при вы-полнении оговоренных в разделе 3.1 условий.

3.4.5 Восстановление q(τ) с помощью алгоритма расширенного ФК для однородного градиентного ПТП

Был выполнен значительный объем численных экспериментов с це-лью тестирования программного комплекса ПК-2, а также сравнения эф-фективности двух вариантов алгоритма ФК: по искомым параметрам Q , реализованного в ПК-1, и расширенного — ПК-2.

3.4.5.1 В качестве объекта исследований была выбрана граничная ОЗТ по восстановлению плотности теплового потока ( )q τ , входящего в одномерный градиентный ПТП (рис. 2.1,а). Решение этой ОЗТ с помо-щью ПК-1 детально рассмотрено в разделе 3.3 для двух случаев: 1)

51 10a bq q q= = = ⋅ Вт/м2, ход измеренных температур приведен на рис. 3.2; 2) 5( ) 1 10 sin 2q τ = ⋅ τ . Для таких же вариантов решения было повторено с применением ПК-2.

Для ПК-1 и ПК-2 выбрано количество измерений на участках сплайн-аппроксимации 30l = , временной шаг 0,01Δτ = с, всего времен-ных шагов 33 10N = ⋅ . Были заданы значения среднеквадратичного откло-нения σ шума в измерениях 0,1σ = °С и погрешность задания начального распределения температур по ПТП 0 1TΔ = °С по всем составляющим 0T̂ . Эталонное значение 0 0=T . Учитывая, что перепад измеряемой температу-ры за 0,3 с составлял всего 3,5 °С, то заданный уровень погрешностей,

118

особенно по σ необходимо признать высоким. В качестве начальных оценок aq и bq на всех участках задавались

0 0ˆ ˆ 100a bq q= = Вт/м2. Значения диагональных элементов ковариационной

матрицы 0 0 01,1 2,2 11,11 100p p p= = = =K Вт2/м4 и

0 012

12,12 13,13 10p p= = Вт2/м4 на 1-м участке и на всех последующих.

На рис. 3.9 приведено движение оценок 1̂kq на всем интервале на-блюдения до 33 10k N= = ⋅ , полученное ПК-2 и ПК-1.

ПК-1 ПК-2 Рис. 3.9. Движение оценок 1̂kq теплового потока q1, полученные по ПК-1 и

ПК-2 для однородного градиентного ПТП (рис. 2.1,а) В целом, результаты численного экспериментирования показали ус-

тойчивую сходимость ФК как расширенного (ПК-2), так и по искомым па-раметрам (ПК-1) с погрешностью в пределах до 3 % от 0q . При этом, алго-ритм ПК-2 устраняет влияние погрешности 0TΔ значительно быстрее, чем алгоритм ПК-1. Очевидно, что это является следствием включения вектора

kT температурного состояния в искомый вектор kR , что позволяет в ПК-2 получать оценки kT , начиная с первого же шага k = 1 оценивания (см. так-же раздел 3.4.1). В то же время, в алгоритме ПК-1 уточнение kT происхо-дит опосредственно и поэтому существенно более низкими темпами.

3.4.5.2 Был также рассмотрен случай восстановления потока, изме-няющегося по гармоническому закону 5

1( ) 1 10 sin 2q τ = ⋅ τ , с использова-нием ПК-2 при разных уровнях шумов в измерениях (до 0,5σ = °С) и по-грешностей задания начальных распределений температур по ПТП (до

0 1TΔ = °С). Для таких условий расчеты по ПК-2 давали устойчивую схо-димость к эталонным значениям 0( )q τ и более высокую точность конеч-ных результатов, чем при использовании ПК-1.

q, Вт/м2 q, Вт/м2

τ, с τ, с

119

3.4.5.3 Кроме рассмотренных факторов σ и 0TΔ , оказывающих, как указано выше, существенное влияние на качество решения ОЗТ, было ис-следовано влияние других факторов, а именно: количества и места раз-мещения в ПТП точек измерения температуры, граничных условий на тыльной стороне, закона изменения 1( )q τ , количества измерений l на уча-стках сплайн-аппроксимации, а также условий входа в алгоритм ФК. К по-следним были отнесены выбор начальных оценок ,ˆa kq и ,ˆb kq на первом и последующих участках сплайн-аппроксимации диагональных элементов

11,0p и 22,0p ковариационной матрицы ошибок этих оценок. Если обобщить результаты указанных численных экспериментов

на основе алгоритма ПК-2, то можно сделать вывод, что закономерности влияния перечисленных выше факторов во многом аналогичны обнару-женным в разделе 3.3 для алгоритма ФК по искомым параметрам в форме ПК-1. В частности:

1. Качество решения ОЗТ (сходимость и точность) существенно ухудшается вплоть до расхождения оценок при заглублении точки измере-ния температуры, а также, если температура рабочей поверхности 1( )t τ не входит в состав вектора измерений kY . При этом при добавлении точек измерения температуры качество решения улучшается несущественно.

2. На тыльной стороне ПТП допускаются любые граничные условия теплообмена при условии, что они известны.

3. Условия входа в алгоритм ФК практически не сказывается на ка-честве решения ОЗТ. Так, начальные оценки искомых параметров обычно задавались равными

0 0ˆ ˆ 100a bq q= = Вт/м2 вместо истинных аq и bq поряд-

ка 5 61 10 1 10⋅ ÷ ⋅ Вт/м2. 4. Уровень шума в измерениях σ сказывается существенным обра-

зом, однако это влияние может быть устранено или значительно уменьше-но путем увеличения количества l измерений kY на участках Δ сплайн-аппроксимации 1( )q τ . Последнее, к сожалению, либо уменьшает значи-мость текущих измерений из-за малых различий между kY и 1k+Y (из-за уменьшения Δτ ), либо увеличивает lΔ = ⋅Δτ и, следовательно, ухудшает качество сплайн-аппроксимации 1( )q τ (при неизменных Δτ ).

5. Неточности 0TΔ задания начального распределения 0T температу-ры по ПТП существенно влияют на результаты решения ОЗТ на начальном участке протекания переходных процессов, а по истечению некоторого критического значения крτ перестают сказываться. Причем значения крτ для алгоритма расширенного ФК (ПК-2) существенно меньше, чем для ал-горитма ФК по искомым параметрам (ПК-1).

120

3.5 ВОССТАНОВЛЕНИЕ Q(τ) С ОДНОВРЕМЕННЫМ ОЦЕНИВАНИЕМ КОЭФФИЦИЕНТА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МАТЕРИАЛА ПТП 3.5.1 Постановка задачи

Теплофизические характеристики (ТФХ) материала ПТП существен-но влияют на результатах восстановления плотности теплового потока. В теплометрии в качестве информации о ТФХ используются справочные данные. Однако для новых материалов, многокомпонентных сложных сплавов, керамик, композитов и многих других значения ТФХ либо неиз-вестны, либо различаются в зависимости от технологии их получения. Для неоднородных градиентных ПТП, например, термобатарейных, много-слойных и т. п. величины ТФХ известны лишь приблизительно.

Выход из создавшегося положения обычно заключается в прямой градуировке ПТП, в ряде случаев — на специальных стендах, создание ко-торых требует значительных усилий. В свою очередь, учет погрешностей вызываемых возможными различиями ТФХ материалов ПТП представляет достаточно сложную научную проблему.

Перспективным является использование методов постановки и ре-шения комбинированных ОЗТ, в которых ставятся задачи одновременно-го решения граничной и коэффициентной ОЗТ.

При постановке коэффициентной ОЗТ ограничимся случаем оцени-вания величины некоторого среднего для каждого z -го участка сплайн-аппроксимации ( )q τ значения zλ

,z zλ = λQ . (3.35). Оно войдет в обобщенный вектор искомых параметров на этом участке

, , , ,z q z z a z b z zq qΤ

λ= = λQ Q Q , (3.36) который подлежит оцениванию по l значениям вектора измерений kY на этом участке ( 1,2, ,k l= K ). Условием такой постановки является возмож-ность раздельного независимого определения оценок ,ˆa zq , ,ˆb zq и ˆ

zλ иско-мых параметров. Эти возможности могут быть исследованы путем получе-ния совместных доверительных интервалов указанных оценок при исполь-зовании аппарата функций чувствительности каждой составляющей векто-ра измерений kY каждому составляющей обобщенного вектора искомых параметров zQ . Полученные оценки ˆ

zλ справедливы для каждого из z ин-тервалов, однако если их отнести к средней по участку аппроксимации температуре ,ср zt , то они могут дать общее представление о зависимости

( )Tλ . Фактически это означает параметризацию зависимости ( )Tλ путем ее кусочно-постоянной аппроксимации на каждом из z участков. Такая па-

121

раметризация незначительно повышает сложность решения комбиниро-ванной ОЗТ сравнительно с граничной и при этом, как показали наши ис-следования, существенно снижает уровень погрешности результатов от ошибок в ( )Tλ .

Заметим, что принципиально возможно другие более точные спосо-бы параметризации ( )Tλ , например, кусочно-линейная, когда

, , ,z a z b zΤ

λ = λ λQ . Однако, они являются отдельной сложной проблемой, особенно для ПТП с элементами полупространства.

Решение комбинированной ОЗТ может быть получено путем мини-мизации функции невязки (3.6), в которую через модельное измерений

( )ˆˆk zY Q входит обобщенный вектор искомых параметров zQ . При этом из-

за нелинейности комбинированной ОЗТ получаемые оценки ˆzQ вектора

zQ могут потерять свойства оптимальности и стать субоптимальными (приближенными). Для получения указанных оценок могут быть использо-ваны оба рассмотренных выше варианта цифрового ФК. Остановимся на этом более детально. 3.5.2 Алгоритм фильтра Калмана по искомым параметрам

В приведенные в разделе 3.2 структуру алгоритма, определяемую формулами (1.10)–(1.12), порядок вычислений и условия входа в алгоритм вносятся некоторые коррективы. Так, вместо формулы (3.12) для вычисле-ния матрицы 1kH + функций чувствительности измерений к определяемым параметрам zQ необходимо использовать следующую

,

,

1, , 1 1, , 1 1, , 11

ˆ1

, , 1 , , 1 , , 1 ˆ

............. ............ ............a b

z z k

a bz z k

q k q k kk

kz

m q k m q k m k

U U U

HU U U

+ + λ ++

+ =

+ + λ + =

⎡ ⎤⎢ ⎥∂

= = ⎢ ⎥∂ ⎢ ⎥⎣ ⎦

Q Q

Q Q

YQ

, (3.37)

где , , 1j kU λ + — функция чувствительности j-го измерения ( 1,2, ,j m= K ) к λ в ( 1)k + момент времени.

Для расчета , , 1j kU λ + , основанного на полученном на k-м шаге значе-

нии ,ˆ

z kQ , можно воспользоваться формулой

( ) ( ), 1 , 1, , 1

ˆ ˆ ˆ ˆ, , , ,j k ak bk k j k ak bk kj k

y q q y q qU + +

λ +λ ± Δλ − λ

=Δλ

. (3.38)

Для определения матрицы функций чувствительности 1kH + , а также модельного измерения 1 ,

ˆˆ ( )k z k+Y Q могут быть использованы нелинейная (2.5) или линейная (2.9) ДРМ и приведенные в разделе 2.2 методы их ре-

122

шения. При задании условий входа в алгоритм ,0ˆ

zQ и 0P , в соответствии с изложенной в подразделе 3.2.4.2 рекомендацией, необходимо учесть спе-цифику априорных сведений о величине λ и отразить ее в формуле

0

2 2ˆ 0

49λσ = Δ λ , где 0±Δλ — интервал возможных отклонений 0λ̂ от истин-

ного значения λ . Данный алгоритм [140] был реализован в виде программы «Heat

Conduction» на языке высокого уровня Scilab, который предназначен для выполнения инженерных и научных расчетов.

В качестве иллюстрации на рис. 3.10 представлены результаты вос-становления линейного теплового потока и теплопроводности для одно-родного градиентного ПТП из германия при задании начальных оценок вектора искомых параметров вдвое меньше эталонных и уровне шумов в измерениях σ=0,05 °С.

Рис. 3.10. Эталонные (1) и восстановленные (2) значения теплового потока и коэффициента теплопроводности

3.5.3 Алгоритм расширенного фильтра Калмана В разделе 3.4.2 рассмотрено применение алгоритма расширенного

ФК для решения граничной ОЗТ по восстановлению ( )q τ для ПТП с ис-

0 0,2 0,4 0,6 0,8 τ, c

q, Вт/м2

20000

16000

12000

8000

1

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 τ, c

λ, Вт/(м⋅К)

24

16

10 1

2

123

ходной линейной ДРМ типа (2.9). В этом случае расширенная ДРМ (3.19) остается линейной, и к ней применяется алгоритм линейного ФК. Для ПТП с нелинейной исходной ДРМ (2.5) расширенная ДРМ (3.19) также является нелинейной, и к ней применяется алгоритм нелинейного расширенного ФК, описанный в разделе 3.4.4.

В рассматриваемой комбинированной ОЗТ составляющая λ искомо-

го расширенного вектора 1 2z z

z z n a b zt t t q qΤΤ= = λR T Q K вхо-

дит в каждое уравнение искомой линейной ДРМ (2.9), в которых появля-ются нелинейные члены, содержащие произведения itλ ⋅ . Таким образом, расширенная ДРМ имеет следующий вид в развернутой форме

0 1

(1) (1)1 2 1

2 1 2 3 2

1 2

1 2 3

2 2 2 2 ( )

2 ( )..................................

2 2 2 ( ) ( )

0 ( ), 0 ( ) 0 ( )

z zi a b zp p

z

n n n n z

a n b n n

t b t b t d q S d q S f

t b t b t b t f

t b t b t dq f

q f q f и f−

+ + +

= − ⋅λ + ⋅λ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

= ⋅λ + ⋅λ + ⋅λ =

= ⋅λ − ⋅λ + τ =

= = = = λ = =

R

R

R

R R R

&

&

K K K K K K K K K&

&& &

(3.39)

и в векторно-матричной форме [ ]( )z R z= τR f R& , где вектор-функция

[ ] [ ] [ ] [ ]1 2 3( ) ( ) ( ) ( )R z z z n zf f f +τ = τ τ τf R R R RK . Таким образом, в рассматриваемом случае расширенная ДРМ ПТП в

обоих случаях является нелинейной и имеет вид (3.39). При этом в расши-ренное уравнение измерений в форме (3.26) вместо ( 2)n + -вектора R не-обходимо включить ( 3)n + -вектор zR . К представленным в такой форме расширенным моделям ПТП и измерений (3.25) и (3.26) для получения оп-тимальных оценок вектора искомых параметров zR можно применить ал-горитм расширенного нелинейного ФК. В его основе лежит процедура ре-куррентной линеаризации, которая закладывается в расчете на каждом временном шаге линеаризованной матрицы обратной связи

, /ˆ

ˆ [ ( )]z k z k kR zF =

∂= τ∂ R Rf RR

.

В рассматриваемом случае она имеет вид:

124

,( 3) ( 3)

/

1 1 1 1 1 1

1 2

1 2

ˆ

ˆ

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

z kn n

z k k

n a b

n n n n n nR

n a b

f f f f f ft t t q q

f f f f f fF

t t t q q+ × +

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥=∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂λ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦R R

K

K K K K K K K

K

KKK

(3.40)

Если в выражении (3.40) для ,

ˆz kRF подставить выражения для

1 2 1 2, , , ,n nf f f f+ +K из (3.39), то получим:

0 1

,

/

(1) (1)/ / 1, / 2, /

/ 1, / , /

ˆ

ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 0 2 2 - 2 2 0 0

ˆ ˆ ˆ0 0 2 0 0 2 2ˆ0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

z k

z k k

k k k k k k k kp p

k k n k k n k kR

b b dS dS bt bt

b bt btF −

=

− λ λ + + +

− λ −=

R R

K K

K K K K K K K

K

KKK

(3.41)

Далее порядок вычислений , / / , /ˆˆ ˆ T

z k k k k z k k=R T Q практически соот-

ветствует приведенному в подразделе 3.4 за единым исключением: линеа-ризованная матрица обратной связи

,ˆ

z kRF определяется по формуле (3.41), а не по формуле (3.34). Таким образом, от k-го момента времени на основе имеющейся оценки ,

ˆz k kR , ее ковариационной матрицы , /z k kP и измерения

1k+Y определяются оптимальные оценки , 1/ 1ˆ

z k k+ +R и их ковариационная

матрица , 1/ 1z k kP + + . Оценки , 1/ 1ˆ

z k k+ +R включают оптимальные оценки ˆzQ

вектора искомых параметров теплового потока / /ˆ ˆ,ak k bk kq q и коэффици-ента теплопроводности /

ˆk kλ . Эти вычисления повторяются k l= раз на

каждом z-м участке сплайн-аппроксимации ( )q τ , а затем осуществляется переход на ( 1)z + участок, как это показано в подразделе 3.1.6.

125

3.6 ИССЛЕДОВАНИЕ ВОЗМОЖНОСТЕЙ И ОСОБЕННОСТЕЙ ПРИМЕНЕНИЯ ПРЕДЛОЖЕННОЙ МЕТОДОЛОГИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ К ПТП РАЗЛИЧНОГО ТИПА

Эффективность предложенной методологии нестационарной тепло-метрии очевидна, если в качестве объектов исследования выбрать те ПТП, по которым либо полностью отсутствует информация о возможностях вос-становления q(τ), либо вызывают сомнения эффективность и точность ме-тодов из числа известных.

К первым относится ПТП Гардона даже для наиболее простого слу-чая, лучистого теплового потока q(τ), постоянного по радиусу диска. Как указано в разделе 2.4.1, наличие существенной доли конвективного тепло-обмена, а также учет дополнительных элементов конструкции в тепловой схеме ПТП ещё более усложняют задачу.

Ко вторым можно отнести батарейный ПТП при всевозможных ус-ловиях теплообмена на тыльном торце, в том числе и размещение их на полубесконечном теле.

В связи с этим ниже рассмотрены возможности и особенности ис-пользования алгоритмов ФК для восстановления тепловых потоков именно с помощью таких распространенных ПТП, как тепломер Гардона, тепло-мер с элементами полупространства и батарейный тепломер Геращенко. При этом использовались ДРМ теплопереноса в ПТП, при необходимости учитывающие их существенные особенности, в частности, тепловые со-противления и воздушные зазоры между составляющими элементами ПТП, наличие теплоизолирующих слоев и другие. 3.6.1 ПТП типа тонкого диска (ПТП Гардона)

В качестве иллюстрации приведем отдельные результаты восстанов-ления теплового потока с помощью ПТП Гардона. Целью начального этапа являлось изучение вопросов качества сходимости алгоритма ФК и точно-сти конечных результатов, в частности, зависимости этих показателей от условий входа в алгоритм ФК величины отличий начальных оценок 0Q̂ от его истинных значений 0Q и вида ковариационной матрицы P0.

3.6.1.1 При этом для случая ступенчатого изменения теплового пото-ка при постоянной температуре 0втt = и различных kR рассматривался первый участок сплайн-аппроксимации ( )q τ с различным количеством l измерений ky перепада температур 1 11 1, 11,k kt t t−Δ = − . Для всех вариантов задавались следующие условия входа в алгоритм ФК: вектор начального распределения температур задавался точно ( 0 0=T ), а начальные условия оценки

0 0ˆ ˆ 100a bq q= = Вт/м2 — со значительными отличиями от истинных

126

0 0410a bq q= = Вт/м2. Поэтому диагональные элементы 11,0p и 22,0p , в со-

ответствии с подразделом о ковариационной матрицы P0 ошибок началь-ных оценок выбирались равными 1210 Вт2/м4. По результатам численного моделирования для широкого диапазона изменения величин 0q была от-мечена устойчивая сходимость получаемых оценок ˆ

laq и ˆlbq к величине 0q .

В результате исследований установлено существенное влияние на погрешность восстановления ( )q τ контактного теплового сопротивления между диском и втулкой. Как видно из рис. 3.11, до значений

310kR −≤ м2К/Вт его можно не учитывать, чего нельзя сказать при 210kR −≥ м2К/Вт. Так при 110kR −= м2⋅К/Вт погрешность восстановления

( )q τ составляет более 40 %.

Рис. 3.11. Зависимость получаемых оценок теплового потока ˆ ˆa bq q= от ве-

личины контактного теплового сопротивления kR :

1 — истинное значения теплового потока 40 1 10q = ⋅ Вт/м2;

2 — 1q при 410kR −= м2⋅К/Вт; 3 — 2q при 310kR −= м2⋅К/Вт;

4 — 3q при 210kR −= м2⋅К/Вт; 5 — 4q при 110kR −= м2⋅К/Вт;

Были проведены исследования в части влияния случайных погреш-ностей (шумов kε ) в измерениях 1k ky t= Δ + ε . На рис. 3.12 в качестве ил-

q⋅10–4, Вт/м2

τ, с

127

люстрации приведен фрагмент таких исследований: сходимость оценок ,ˆa kq и ,ˆb kq при различных уровнях шумов kε , характеризуемых значения-

ми среднеквадратичных отклонений σ . Очевидно, что качество сходимости существенно зависит от σ . Так,

при 0σ = сходимость с погрешностью меньшей 5 % достигается за 3 шага по ˆaq и 17 шагов по ˆbq , а при 0,1σ = ºС — за 8 и 20 шагов соответственно. Шум с уровнем 0,3σ = ºС приводит к погрешностям оценок в 10–20 %.

3.6.1.2 Моделировались различные случаи нестационарной тепло-метрии. Задавались и восстанавливались потоки ( )q τ , меняющиеся по раз-личным законам, в том числе и произвольному. В качестве примера на рис. 3.13 показан случай гармонического изменения потока

4 4( ) 1 10 1 10 sin 2q τ = ⋅ + ⋅ τ при различных уровнях σ в измерениях. На рис. 3.13,б;в;г приведены истинный вид ( )q τ (1) и результаты его восстановле-ния (2), а на рис. 3.13,а — измеряемый перепад температур 1 11t −Δ . При этом величины участков аппроксимации ( )q τ соответствовали 30l = изме-рениям с дискретностью 0,01Δτ = с, то есть составляли по 0,3lτ = с. На первом участке задавались значения 1 1

,0 ,0ˆ ˆ 100a bq q= = Вт/м2 с диагональной

ковариационной матрицей 1211,0 22,0 1 10p p= = ⋅ Вт2/м4. Очевидно, что вос-

становление ( )q τ при 0σ = происходит практически идеально, при 0,1σ = ºС — с несущественными погрешностями, а при 0,2σ = ºС по-

грешности хотя и возрастают, однако находятся в пределах допустимых значений. 3.6.2 ПТП с элементами полупространства

Рассматривались два варианта ПТП, данного типа: полупространство и однородный ПТП на полупространстве с контактным сопротивлением Rk между ними. ДРМ теплопереноса в этих ПТП и особенности их примене-ния при решениях ПЗТ приведены в подразделе 2.5.

Исследовалась при различных шумах в измерениях температуры 1( )t τ сходимость оценок ,ˆa kq и ,ˆb kq на различных участках сплайн-аппроксимации; определялись функции чувствительности и диагональные элементы ковариационной матрицы ошибок оценок ,ˆa kq и ,ˆb kq ; устанавли-вались погрешности восстановления ( )q τ при различных законах (перио-дическом, ступенчатом, треугольном, произвольном).

128

3 6

σ =

0,3°С

2 5

σ =

0,1 °С

1 4

σ =

0

Рис.

3.1

2. Движение

оценок параметров

qa (

1, 2

, 3 —

левая

граница

), q b

(4, 5

, 6 —

правая граница)

при различны

х уровнях шум

ов σ

в измерениях для случая

q1=

1⋅10

4 Вт/м2 , t

вт=0

, Rk=

10–3

м2 ⋅К

/Вт и

Δτ=

0.01

с

129

б)

г)

а)

в) Рис.

3.1

3. ПТП

Гардона

. Результат

восстановления

q(τ)

=104 +1

04 sin(

2τ) при

различных уровнях шум

ов σ

в

измерениях

: б

— σ

= 0

; в —

σ =

0,1

ºС; г

— σ

= 0

,2 ºС

; а —

измеренны

й перепад темп

ератур

Δt 1–

11;

истинные

(1) и

восстановленные

(2) значения

q 1(τ

)

130

1

2

3

а)

б)

Рис. 3.14. Однородный ПТП на полупространстве. Результаты восстанов-ления потока а) q(τ) = 105sin(2τ) при различных уровнях шумов σ в изме-рениях температуры б): 1 — σ = 0,2 ºС; 2 — σ = 0,5 ºС; 3 — σ = 1,5 ºС

131

В качестве примера, для ПТП в виде полупространства, на рис. 3.14 показы результаты восстановления ( )q τ , меняющегося по периодическому закону с представлением реакции (температуры 1( )t τ ) на воздействие

1( )q τ . При этом показано изменение 1( )t τ с учётом шума (0,2 1.5)σ = ÷ ºС.

Для ПТП в виде однородный ПТП на полупространстве в связи с существенным влиянием соотношения теплопроводностей 1λ пластины и

2λ полупространства на динамику теплопереноса исследование особенно-стей восстановления ( )q τ проводилось для двух случаев, а именно при

1 2λ >> λ и 1 2λ << λ . Анализ полученных результатов показал, что для ПТП рассматри-

ваемых типов могут быть успешно использованы предложенные методы, как восстановления ( )q τ , так и исследования их точности. В целом, под-тверждены выводы относительно роли различных факторов, влияющих на рекомендации, которые были получены для однородного градиентного ПТП и ПТП Гардона. 3.6.3 Батарейные ПТП

Батарейные ПТП разработки Института технической теплофизики Национальной Академии наук Украины [58, 157], выпускаемые серийно, нашедшие отражение в нормативных материалах России и СНГ, имеющие чрезвычайно обширную библиографию, находят широкое практическое применение в стационарной теплометрии. В то же время информация об их использовании в нестационарной теплометрии безусловно является ак-туальной проблемой, ограничивается небольшим кругом исследований, в которых описаны некоторые достаточно приближенные методы восста-новления q(τ) в простейших случаях. Это объясняется, на наш взгляд, сложностью ММТ, разнообразием граничных условий на тыльном торце и недостатком информации о ТФХ материала конструкции, что приводит к значительным погрешностям даже при решении ПЗТ.

В то же время, как показали наши исследования, использование ДРМ (раздел 2.6), описанных в разделе 3 алгоритмов ФК и методов определения ТФХ, при необходимости в процессе теплометрии (раздел 3.5), позволяет получать решение проблемы восстановления q(τ), входящего в батарейный ПТП при практически любых граничных условиях на его тыльном торце.

Для иллюстрации ниже представлены некоторые результаты имита-ционного моделирования процедур восстановления входящих в батарей-ные ПТП тепловых потоков ( )q τ с исследованием предложенной методо-логии. Основные исследования были выполнены для батарейного ПТП, параметры которого, приведенные в таблице 2.1, соответствуют известной по технической литературе информации [157].

132

Рис. 3.15. Переходные характеристики батарейного ПТП:

1 — Δt1–10; 2 — Δt3–8; 3 — t1; 4 — t3; 5 — t8; 6 — t10

Рис. 3.16. Результаты восстановления потока q1(τ) с помощью батарейного

ПТП:

1 — заданный поток; 2 — восстановленный поток при измерении Δt3–8;

3 — восстановленный поток при измерении Δt1–10,

133

В подразделе 2.6.3 отмечалось, что на динамические характеристики батарейного ПТП существенное влияния оказывают теплоизолирующие слои толщиной 1δ и 3δ (см. рис. 2.23) и поэтому измеряемый перепад 3 8t −Δ отличался от кажущегося — 1 10t −Δ . На рис. 3.15 и 3.16 показаны переход-ные характеристики и некоторые температуры, а также результаты восста-новления потока constq = (но в динамическом режиме). Из рис. 3.16 вид-но, что при измерении кажущегося перепада 1 10t −Δ погрешность восста-новления потока весьма существенна.

В целом по результатам приведенных нами исследований можно сделать вывод о том, что с помощью предложенных методов моделирова-ния теплопереноса и восстановления q(τ) получено решение проблемы ис-пользования батарейных ПТП в нестационарной теплометрии (в пределах принятых допущений и ограничений), а именно:

– с учетом большинства особенностей конструкции и тепловой схе-мы ПТП, в частности, разнородности их составляющих по расположению, толщинам и ТФХ материалов, наличия тепловых контактных сопротивле-ний, воздушных прослоек и т. п.;

– для разнообразных граничных условий теплообмена на тыльном торце ПТП, учитывающих реальные условия их применения: теплоизоля-цию, термостабилизацию и другие, в том числе и с возможностью их изме-рения;

– с различной структурой вектора измеряемых температур или их перепадов по толщине ПТП.

Таким образом, в разделе 3.6 приведены доказательства универсаль-ности и перспективности методологии нестационарной прикладной тепло-метрии на примере некоторых распространенных ПТП, для которых про-блема эффективного восстановления q(τ) практически не имела решения. В целом по главе 3 отметим следующее:

1. На основе априорных сведений о характере изменения искомого потока q(τ) принята кусочно-линейная аппроксимация его на всем интер-вале измерений с использованием В-сплайнов первого порядка, которую в ряде работ называют параметризацией обратной задачи теплопроводности (ОЗТ).

2. Для решения граничной ОЗТ по восстановлению плотности вхо-дящего нестационарного теплового потока выбрана параметрическая иден-тификация математической модели теплопереноса в ПТП, которая выпол-няется путем минимизации функции невязки между вектором измерений и его аналогом, рассчитанным по дифференциально-разностной модели (ДРМ).

3. Для минимизации функции невязки, указанной в п. 2, использует-ся алгоритм цифрового фильтра Калмана (ФК) по искомым параметрам,

134

отличающийся высокой вычислительной эффективностью и изначально предназначенный для работы в измерительно-вычислительных системах реального времени.

4. В связи с рядом особенностей ФК по искомым параметрам, а именно, повышенным объемам вычислений функций чувствительности измерений к искомым параметрам и необходимостью знания начального распределения температуры по ПТП, рассмотрен расширенный ФК. Он основан на введении расширенного вектора состояния, состоящего из век-тора состояния и вектора искомых параметров, а так же расширенной ДРМ ПТП.

5. Рассмотрен метод решения комбинированной — одновременно граничной и коэффициентной — обратной задачи теплопроводности для различных типов ПТП.

6. Результаты расчетов по трём программным комплексам «Heat Stream», «Heat Identification» и «Heat Conduction», позволили сделать вы-вод об эффективности рассмотренного подхода и приемлемого уровня точности восстановления плотности теплового потока меняющегося по произвольному закону.

135

4 ОЦЕНИВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРЕДЛОЖЕННОЙ МЕТОДОЛОГИИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ

Рассмотрено структурирование суммарной погрешности неста-ционарной теплометрии с акцентом на ее методическую составляю-щую. Для случая нестационарной теплометрии рассматривается общий применительно к различным ПТП метод построения совместных довери-тельных областей (СДО) и интервалов (СДИ) результатов восстановле-ния q(τ), получаемых путем параметрической идентификации теплопере-носа в ПТП. Метод основан на обращении матрицы Грама (информаци-онной матрицы Фишера), составляющими которой являются функции чувствительности измеряемых температур в ПТП или их перепадов к ис-комым параметрам кусочно-линейной аппроксимации q(τ).

Для некоторых распространенных ПТП приводятся результаты ис-следований особенностей реализации предложенной методологии оценок погрешностей восстановления q(τ).

4.1 ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 4.1.1 Структура суммарной погрешности

В разделе 1.6 рассмотрено состояние проблемы оценивания сум-марной погрешности результатов прикладной теплометрии в рамках об-щепринятой структуры этой погрешности. Констатируется, что в ней пре-валирует методическая составляющая, структура которой приведена на рис. 1.9. Для анализа этой составляющей в разделе 1.6 были последова-тельно рассмотрены известные случаи прямых измерений плотности по-стоянных constq = или медленно изменяющихся тепловых потоков и кос-венных измерений, произвольно изменяющихся во времени q(τ) или

constq = в динамическом режиме. Второй случай, который наиболее вос-требован на практике, определяет предмет нестационарной теплометрии.

В обоих случаях присутствует общая составляющая методической погрешности, структура которой приведена на рис. 1.9 и в разделе 1.6.2. 4.1.2 Прямые измерения плотности тепловых потоков

В этом случае, кроме указанных выше общих составляющих методи-ческой погрешности, необходимо анализировать уровень динамических погрешностей статических ПТП, позволяющий тепломерам оставаться в рамках средств прямых измерений.

4.1.3 Косвенные измерения плотности тепловых потоков q(τ) В этом случае кроме общих составляющих методической погрешно-

136

сти теплометрии определяющей является методическая погрешность восстановления ( )q τ , которая, как показано в разделе 1.6, относится к наиболее актуальным и недостаточно изученным.

Погрешности восстановления q(τ) методом параметрической

идентификации

Погрешность аппроксимации q(τ)

Погрешности оценок вектора искомых параметров Q

погрешности расчета Y(Q)

погрешности в измерениях Y K

погрешности минимизации Ф(Q )

алгоритма минимизации

особености топлогии Ф(Q ) случайные системати-

ческие неадекватность

ММТпогрешность решения ПЗТ

параметри-ческаяструктурная

Рис. 4.1. Методические погрешности восстановления q(τ) методом

параметрической идентификации При использовании для восстановления q(τ) метода параметриче-

ской идентификации ПТП в методической погрешности (рис. 4.1) можно выделить две составляющие, а именно [134, 135]:

4.1.3.1 Погрешность аппроксимации искомой функции ( )q τ с вы-делением вектора искомых параметров Q (раздел 1.4.3.2). В разделе 3.1.4 приведены кусочно-линейная аппроксимация ( )q τ и стратегия последова-

тельного получения оптимальных оценок (2 1)× -вектора a bq q Τ=Q на каждом z -м участке сплайн-аппроксимации, имеющей длину Δ .

4.1.3.2 Погрешность оценок ˆlQ вектора искомых параметров Q .

В соответствии с рис. 4.1 на оптимальные оценки ˆlQ вектора Q влияют

следующие факторы: 1. Структурная и параметрическая неадекватность используемой

ДРМ реальным процессам теплопереноса в ПТП. 2. Погрешности решения прямой задачи теплопроводности (ПЗТ) в

ПТП. 3. Систематические погрешности в векторе kY измерения темпера-

тур или их перепадов в ПТП.

137

4. Погрешности алгоритма получения оценок ˆlQ , в основе которых

лежит минимизация по Q функции невязки ( )Φ Q МНК. 5. Особенности формы (топологии) функции невязки ( )Φ Q в про-

странстве составляющих aq , bq вектора искомых параметров Q .

4.1.4 Состояние проблемы оценивания общих составляющих методической и динамической погрешности прикладной теплометрии

Выше и в разделе 1.6 были рассмотрены известные методы и подхо-ды к различным аспектам решения проблемы оценивания методических погрешностей нестационарной теплометрии. Последовательно подытожим результаты этого анализа на основе представленных в разделах 2 и 3 мате-риалов с целью выделения основных задач нестационарной теплометрии.

4.1.4.1 Устранение или учет общих составляющих методической погрешности прикладной теплометрии (рис. 1.9) представляется чрез-вычайно важной и сложной проблемой. Для решения этой проблемы необ-ходимо привлекать классические работы О. А. Геращенко, Н. А. Ярышева, Т. Г. Грищенко и результаты других исследователей, в частности, рассмот-ренные в разделе 1.6.2.

4.1.4.2 Проблему оценки динамических погрешностей путем ис-пользования расчетных динамических характеристик для всех без ис-ключения известных ПТП допустимо считать решаемой с помощью пред-ложенной в разделе 2 общей для различных ПТП методологии решения прямых задач теплопроводности и анализа динамики ПТП в пространстве состояний на основе использования ДРМ теплопереноса. 4.1.5 Состояние проблемы оценивания методической погрешности восстановления q(τ), выполненного методом параметрической идентификации

4.1.5.1 Определение погрешностей аппроксимации искомой функции ( )q τ должно проводиться при априорном выборе длины участка

lΔ = ⋅Δτ и количества l измерений kY на нем ( 1,2, , )k l= K на основе имеющейся априорной информации о природе, свойствах и динамике теп-логенерирующей среды. Величина Δ должна быть оптимальной, исходя из двух условий: минимальной протяженности с позиции лучшей аппрокси-мации ( )q τ и достаточной протяженности, для того, чтобы за l измерений получить оптимальные оценки zQ .

4.1.5.2 Определение погрешностей оценок ˆlQ с учетом приведен-

ного в разделе 4.1.3.2 набора влияющих факторов является наиболее слож-ной задачей. По результатам анализа литературных источников можно констатировать следующее:

138

– по ряду составляющих указанной погрешности, таких как струк-турная неадекватность модели теплопереноса в ПТП и погрешность алго-ритма минимизации по Q функции невязки ( )Φ Q , определяемой форму-лой (3.6), необходимо априорно выполнять численные эксперименты (имитационное моделирование) по анализу указанных составляющих.

– как показано в разделе 2, при соответствующем выборе размерно-сти n ДРМ и временного шага Δτ , погрешность решения ПЗТ для всех рассматриваемых ПТП можно сделать приемлемо малой.

4.1.5.3 Если исходить из приведенных в разделах 1.4 и 1.5 положе-ний прикладной теории ОЗТ, факторы из перечня раздела 4.1.3.2 могут приводить к возникновению существенных погрешностей в оценках ˆ

lQ , вплоть до потери устойчивости решения. Поэтому основное внимание в настоящем разделе будет уделено двум факторам: случайным погрешно-стям (шумам) kε в измерениях kY и погрешностям, вызываемым осо-бенностями топологии функции невязки ( )Φ Q в пространстве искомых параметров aq и bq .

В дальнейшем будем называть эту погрешность основной методи-ческой погрешностью восстановления ( )q τ путем параметрической идентификации ММТ в ПТП.

4.2 ОСНОВНАЯ МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ Q(τ) МЕТОДОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ

В качестве метода исследования предлагается использовать приве-денный в разделе 1.6.5 метод построения СДО или СДИ для получаемых оценок ˆklq составляющих ,a zq и ,b zq вектора искомых параметров zQ на каждом из z участков кусочно-линейной В-сплайн-аппроксимации иско-мой плотности ( )q τ теплового потока (см. раздел 1.5).

4.2.1 Постановка задачи В разделе 3.1 были предложены и исследованы общие для различных

ПТП метод и стратегия восстановления ( )q τ путем параметрической идентификации ДРМ ПТП. Параметризация выполняется путем кусочно-линейной В-сплайн-аппроксимации ( )q τ , а в качестве стратегии иденти-фикации выбрано последовательное оценивание (2 1)× -вектора искомых параметров

, ,z a z b zq qΤ

=Q (4.1) по l значениям ( 1)m× -вектора измерений kY ( 1,2, , )k l= K на каждом из

139

участков аппроксимации длиною lΔ = ⋅Δτ . Для нахождений оптимальных оценок ,

ˆz lQ на z -м участке исполь-

зуются алгоритмы фильтра Калмана (ФК). Они при практической реализа-ции (см. раздел 1.5.3) по сути являются рекуррентными процедурами обобщенного МНК, минимизирующими по вектору искомых параметров

zQ функцию невязки типа (1.8), которая в рассматриваемом случае (см. также 3.6) принимает вид

( ) ( ) ( )1, 1 , 1

1

ˆ ˆˆ ˆl

z k k z k k k z kk

RΤ

−− −

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = − ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑Q Y Y Q Y Y Q , (4.2)

где ( ), 1ˆˆ

k z k−Y Q — модельный вектор измерений, рассчитываемый по ММТ

в ПТП для значений , 1ˆ

z k−=Q Q . В дальнейшем изложении для упрощения записи формул индекс « z » будет опущен. 4.2.2 Оценки МНК и ковариационная матрица их ошибок

В соответствии с изложенным в разделе 1.6.5, для рассматриваемого случая, когда в соответствии с (4.1) количество искомых параметров на каждом z-м участке r = 2, справедливы следующие зависимости для опти-мальных оценок ˆ

lQ и ковариационной (2 2)× -матрицы ее ошибок ( )ˆlP Q

[77, 169]:

( ) ( )1 1

ˆ ˆ ˆˆ

l lk

l l k l kk kl

YP P HΤ

Τ

= =

∂⎛ ⎞= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠∑ ∑Q Q Y Q Y

Q Q, (4.3)

( )1

1

1

ˆl

l k kk

P H R H−

Τ −

=

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑Q , (4.4)

где ( 2)m× -матрица функций чувствительности kH , которая имеет вид

1 1

11 12

1 2

ˆˆˆ

k k

a b k kk

kl

mk mk m k m k ll

a b

y yq q U U

Hy y U Uq q

∂ ∂∂ ∂

∂⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ∂ ∂∂ ∂

YQ Q

QQ

. (4.5)

Матрицу kH составляют функции чувствительности ijkU (см. раздел 1.6.5.2). По определению

1 ˆik

i ka l

yUq∂

=∂ Q

, 2 ˆik

i kb l

yUq

∂=∂ Q

. (4.6)

140

Информация о матрице функций чувствительности kH , которая вхо-дит в алгоритм ФК по искомым параметрам, имеется также в разделе 3.2.3. Там же приведена формула (3.12), реализующая универсальный численный способ расчета функций чувствительности.

Ковариационная (2×2)-матрица ( )ˆlP Q является характеристикой

точности оценок ˆlQ . В рассматриваемом случае она имеет вид

( ) 11 12

21 22

ˆl

p pP

p p=Q . (4.7)

Как показано в подразделе 3.2.2.1 ее диагональные элементы 11p и 22p являются дисперсиями оценок ,ˆa lq и ,ˆb lq соответственно, а элементы

12 21p p= характеризуют взаимную корреляцию этих оценок. При выполнении изложенных в подразделе 1.6.5.1 допущений в час-

ти характеристик случайных погрешностей измерений температур в ПТП их ковариационная матрица R имеет вид (1.13). Тогда формула (4.4) в со-ответствии с выражением (4.5) для матрицы kH функции чувствительно-сти в рассматриваемом случае преобразуется к виду

2 1ˆ( )l lP A−= σQ , (4.8)

где

21 1 2

1 1 1 1

1 22 1 2

1 1 1 1ˆ

l m l m

m k m k m klk i k i

l k k l m l mk

m k m k m kk i k i l

U U UA H H

U U UQ Q

= = = =Τ

=

= = = =

⋅

= ⋅ =

⋅=

∑∑ ∑∑∑

∑∑ ∑∑ r r (4.9)

— матрица Грама функций чувствительности ПТП. В формуле (4.8) разделены влияния уровня 2σ шума в измерениях и

других значимых особенностей (факторов) нестационарной теплометрии, которые отражены в обращенной матрице Грама 1

lA− через матрицу функ-ций чувствительности kH . Этот результат имеет принципиальное положи-тельное значение для излагаемого метода.

Введем понятие характеристической ковариационной матрицы lP , которая является обращенной матрицей Грама и имеет вид

11 12 11 121

21 22 21 22l l

p p a aP A

p p a a

∗ ∗−

∗ ∗= = = . (4.10)

Тогда выражение (4.8) для ( )ˆlP Q примет вид

( ) 2 1 2ˆl l lP A P−= σ ⋅ = σ ⋅Q . (4.11,а)

141

Из (4.9) и (4.11,а) следует соотношение

( ) 1 12 2

1 1ˆl l lP P A− −= =

σ σQ , (4.11)

которое будет использовано в дальнейшем. 4.2.2.1 В случае зависимости ТФХ материала или (и) нелинейных

граничных условий теплообмена ПТП теплоперенос в нем становится не-линейным (раздел 2.1). Следовательно, функция невязки (4.2) и сам МНК также становится нелинейным.

В этом случае будем использовать изложенную в работах [120, 169, 173, 211] стратегию оценивания рассматриваемых погрешностей, которая заключается в следующем.

1. Предполагается, что методами нелинейного программирования, к которым относится и алгоритм нелинейного ФК, могут быть получены квазиоптимальные оценки ˆ

lQ близкие их истинным (оптимальным) значе-ниям.

2. Справедливость этого предположения должна быть доказана пу-тем проведения имитационного моделирования, учитывающего особенно-сти ПТП, его ДРМ, используемого алгоритма и условий входа в него (смотри разделы 3.3, 3.4.4 и др.).

3. В случае ˆlQ близких к истинным, функция невязки ( )Φ Q может

быть линеаризована в области полученных оценок ˆlQ (п. 1). Тогда нели-

нейный случай в части оценивания погрешностей приводится к линейно-му, то есть приведенные выше формулы (4.4)–(4.11) остаются в силе.

4.2.2.2 Таким образом, в соответствии с изложенным выше и форму-лой (4.11,а) удается разделить влияние уровня случайных погрешностей в исходных измерениях ( 2σ ) и значений элементов характеристической ко-вариационной матрицы lP . Она через матрицу функций чувствительности

kH количественно отражает влияние всех значимых факторов процесса нестационарной теплометрии.

В дальнейшем к значимым факторам будем относить: 1. Особенности конструкции, тепловой схемы и ТФХ материалов

ПТП. 2. Структуру вектора измерений kY : вид, количество и топология

размещения в ПТП датчиков для измерения температуры или ее перепа-дов.

3. Особенности нестационарных температурных процессов в ПТП, включая начальное распределение температур 0Т , которые определяются видом восстанавливаемого ( )q τ .

4. Количество измерений l вектора измерений kY на этом участке z

142

наблюдаемого переходного процесса и ( 1,2, , )k l= K . В свою очередь, дисперсия 2σ случайных погрешностей в измере-

ниях температуры ПТП, в предположении нормальности их функции рас-пределения, учитывает особенности и качество как первичных термомет-ров (чувствительных элементов ПТП), так и регистрирующей аппаратуры.

Как будет показано ниже, матрица Грама позволяет также получать более полные характеристики точности — СДО или СДИ оценок парамет-ров ,ˆa lq и ,ˆb lq , в которые с заданной вероятностью ν попадают эти оценки, получаемые в результате решения задачи параметрической идентификации ПТП.

4.3 СОВМЕСТНЫЕ ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ (СДО) И ИНТЕРВАЛЫ (СДИ) ОПТИМАЛЬНЫХ ОЦЕНОК СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРА ИСКОМЫХ ПАРАМЕТРОВ Q

Как показано в разделе 1.6, форма СДО или величина СДИ, также как и ковариационная матрица ( )ˆ

kP Q , зависят от перечисленных в разде-

лах 1.6.5.2 и 4.2.2 значимых факторов процесса теплометрии. Рассмотрим методику построения СДО и СДИ для некоторых прак-

тически важных случаев. При этом будем использовать методики, приве-денные в работах [87, 113, 167–169, 172 и др.], исходное обоснование ко-торых изложено, в основном, в монографии [194]. 4.3.1 СДО оценок cоставляющих ,ˆa lq и ,ˆb lq вектора искомых параметров

Рассмотрим случай, когда вектор искомых параметров Q включает две составляющие ,ˆa lq и ,ˆb lq на каждом из z участков сплайн-аппроксимации и имеется k = 1,2,…,l моментов времени k kτ = ⋅Δτ полу-чения значений вектора измерений kY , для которого, в свою очередь, воз-можны два варианта измерения температуры или ее перепадов в ПТП: ска-лярный 1m = (в одной точке ПТП) и векторный 2,3,m = K (в двух и более точках ПТП).

4.3.1.1 Для этого случая уравнение (1.16) для СДО полученных оце-нок ,ˆa lq и ,ˆb lq на каждом z-м участке имеет вид:

( ) ( )ˆ ˆl l lA BΤ ∗− ⋅ ⋅ − =Q Q Q Q , (4.12)

где 20

2

2 (2, 2) для m 1;

2 (2, 2) для m 2.l

S F lB

S F lν∗

ν

⎧ ⋅ − − =⎪= ⎨⋅ − − ≥⎪⎩

. (4.13)

143

При этом в приведенных в разделе 1.6.5 формулах для 20S и 2

NS вме-сто r и N необходимо подставить 2 и l соответственно, а величину minΦ из (4.2) вычислять по формуле

( ) ( ) ( )2min 1 1

1

ˆ ˆ ˆˆ ˆl

l k k k k k kk

Τ

− −=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤Φ = σ − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑Q Y Y Q Y Y Q .

Матрица Грамма lA определяется по формуле (4.9), в которой функ-ции чувствительности ijkU рассчитываются по формулам (4.6) при ˆ

k=Q Q . 4.3.1.2 СДО, которые в рассматриваемом случае имеют форму эл-

липсов в пространстве двух искомых параметров qa и qb, описываются уравнением (4.12) и могут быть построены методом канонического анали-за. Выполним такое построение для некоторого z-го участка сплайн-аппроксимации q(τ).

Пусть определены оценки , ,ˆ ˆ ˆl a l b lq q

Τ=Q вектора искомых пара-

метров Q и на их основании по формуле (4.9) рассчитана матрица Грама lA , которая имеет виде

11 12

21 22l

a aA

a a= , (4.15)

а также значения параметра B ∗ для соответствующих m по формуле (4.13).

Тогда, подставив в (4.12) найденные величины lA и B ∗ и, проведя соответствующие преобразования, получим следующее уравнение кривой второго порядка (эллипса) в координатах ,ˆa a a lq q qΔ = − и ,ˆb b b lq q qΔ = − :

( ) ( ) ( ) ( )2 211 12 222a a b ba q a q q a q B∗⋅ Δ + Δ ⋅ Δ + ⋅ Δ = . (4.16)

На рис. 4.2 приведен общий вид СДО в указанных координатах. Для рассмотрения особенностей СДО (4.16) можно привлечь хорошо

известные методы канонического анализа функций [99]. Однако более удобным является способ построения эллипса по точкам, заключающийся в следующем: задаваясь значениями одной координаты, например, ( )bq ∗Δ , можно получать из (4.16) квадратные уравнения относительно двух значе-ний второй координаты 1( )aq ∗Δ и 2( )aq ∗Δ , которые в системе координат ( )aqΔ и ( )bqΔ дают по два значения на кривой эллипса (рис. 4.2). Приве-дем вид решения этих уравнений, если задаваться величиною ( )bqΔ , то

( ) ( ) ( ) ( )2 2212 12 11 22

1,211

[ ]b b ba

a q a q a a q Bq

a

∗− Δ ± Δ − Δ −Δ = . (4.17а)

144

Если задаваться ( )bqΔ , то

( ) ( ) ( ) ( )2 2212 12 22 11

1,222

[ ]a a ab

a q a q a a q Bq

a

∗− Δ ± Δ − Δ −Δ = . (4.17б)

Таким образом, для случая размерности

2r = вектора Q и лю-

бой размерности m век-тора измерений kY и могут быть достаточно просто построены двух-мерные СДО оценок ,ˆa lq и ,ˆb lq , имеющие форму эллипсов в пространстве

aq и bq . Для случая 2r >

построение трех- и более мерных СДО возможно выполнить на основе ка-нонического анализа эл-липсоида (4.13). Эта ме-

тодика, во-первых, существенно более сложная, чем изложенная выше, а сами СДО не являются наглядными.

Поэтому при 2r > , по нашему мнению, необходимо обращаться к построению упрощенных характеристик — совместных доверительных интервалов (СДИ) для оценок вектора ˆ

lQ , в которые попадают его состав-ляющие с заданной вероятностью ν . 4.3.2 СДИ оценок составляющих ,ˆa lq и ,ˆb lq вектора искомых параметров

Известны два подхода к построению СДИ: 4.3.2.1 Первый из них, в котором используется матрица Грама, со-

стоит в нахождении проекций СДО на оси координат двухмерного про-странства составляющих aq и bq вектора искомых параметров Q . Его описание можно найти, например, в работе [172].

В качестве иллюстрации можно привести пример получения из фор-мулы (4.17) величин проекций эллипса на оси ( )aqΔ и ( )bqΔ , которые яв-ляются границами СДИ по каждой из искомых оценок ,ˆa lq и ,ˆb lq (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Доверительный эллипс и границы до-верительных интервалов в пространстве двух идентифицируемых параметров aq и bq

ˆ( )a грqΔ

2ˆ( )аq ∗Δ

ˆ( )a грq− Δ

ˆ( )b грq− Δ ˆ( )b грqΔ

1ˆ( )аq ∗Δ

ˆ( )bq ∗Δ

Δqb

Δqa

145

Эти проекции получаются, исходя из следующих условий существования одинаковых корней уравнения (4.16), сводящихся к равенству нулю подко-ренных выражений в формуле (4.17)

( ) ( )2 2212 22 11[ ] 0a aгр грa q a a q B∗⋅ Δ − ⋅ ⋅ Δ − = ,

( ) ( )2 2212 11 22[ ] 0b bгр грa q a a q B∗⋅ Δ − ⋅ ⋅ Δ − = .

Отсюда следуют выражения для границ доверительных интервалов

( ) 22 22212 11 22 deta гр

a В a ВqAa а а

∗ ∗− ⋅ ⋅Δ = ± = ±

− ⋅, (4.18)

( ) 11 11212 11 22 detb гр

a В a ВqAa а а

∗ ∗− ⋅ ⋅Δ = ± = ±

− ⋅. (4.19)

Их расположение показано на рис. 4.2. 4.3.2.2 В основу второго подхода положено использование формулы

(1.17) из раздела 1.6.5.4, которая в рассматриваемом случае имеет вид

( ) 11a грq a B∗ ∗Δ = ± ⋅ , (4.20)

( ) 22b грq a B∗ ∗Δ = ± ⋅ , (4.21)

где 11a∗ и 22a∗ — диагональные элементы обращенной матрицы Гра-ма, которые в соответствии с формулой (4.10) являются также диагональ-ными элементами характеристической ковариационной матрицы lP .

В связи с существенно более простой методикой построения СДИ они рекомендуются для практического использования. При этом могут возникнуть вычислительные проблемы с обращением матрицы Грама, элементы которой могут значительно отличаться числовыми порядками, а матрица из-за этого быть недостаточно обусловленной. Известны методы повышения точности обращения подобных матриц, наиболее простым из которых является их масштабирование [194].

4.4 СДО И СДИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ В ЗАДАЧЕ ЕЕ ПЛАНИРОВАНИЯ (ОРГАНИЗАЦИИ) 4.4.1 Постановка задачи

Выше был представлен метод апостериорных (после проведения эксперимента) исследований погрешностей полученных оценок ˆ

lQ . Учи-тывая, что получаемые СДО и СДИ зависят от всех значимых факторов ор-ганизации и проведения теплометрии (раздел 1.6.5.4 и 4.2.3), этот метод может быть приспособлен для априорных исследований влияния указан-

146

ных факторов на СДО и СДИ, т. е. фактически, для оптимального, или, по крайней мере, рационального планирования (организации) нестацио-нарной теплометрии.

Как показано в разделах 1.6.5 и 1.6.7 эти зависимости осуществляют-ся через функции чувствительности jrkU . Критерием оптимальности пла-нирования является условие получения оптимальных в смысле минимума среднеквадратичной функции невязки (1.8) оценок идентифицируемых па-раметров на каждом z -м участке сплайн-аппроксимации ( )q τ , обладаю-щих свойствами несмещенности, достоверности и состоятельности [194] или близкими к ним.

Выбранный метод оптимального планирования, как показано в раз-деле 1.6.7, основан на построении СДО или СДИ, в которые при заданной доверительной вероятности ν могут попасть оценки ˆ

lQ . В соответствии с [194] выражение для СДО имеет вид:

( ) ( ) ( ) ( )1 20 0 0

ˆ ˆP rΤ −

ν− ⋅ − = χQ Q Q Q Q , (4.22)

где ( )2 rχ — квантиль 2χ -распределения для r параметров (в рас-сматриваемом случае r = 2); 0Q — задаваемые априорно «истинные» зна-чения вектора параметров.

В соответствии с формулой (4.11) уравнение (4.22) может быть пре-образовано к виду

( ) ( ) ( )2 20 0

ˆ ˆlA r

Τν− − = σ χQ Q Q Q . (4.23)

Уравнение (4.23) отличается от (4.12) значениями правых частей. Очевидно, что с учетом этих отличий для построения СДО или СДИ при оптимальном планировании могут быть использованы все результаты раз-дела 4.3. При этом эллипс (4.23) отвечает случаям как единичного, так и векторного измерения температур ПТП.

В формуле (4.23) вместо выборочных дисперсий 20S и 2

lS , которые априори неизвестны, обычно используется дисперсия 2σ , соответствую-щая паспортным или экспериментальным данным средств измерения тем-пературы ПТП.

Для построения СДО можно воспользоваться формулами (4.17)–(4.19), подставляя в них вместо B∗ величину ( )2 2 2νσ χ , а для расчета СДИ — следующими формулами, аналогичными (4.20) и (4.21):

( ) ( )2 211 2a грq a∗ νΔ = ± ⋅σ χ , (4.24)

( ) ( )2 222 2b грq a∗ νΔ = ± ⋅σ χ . (4.25)

147

Такая постановка, как показано в разделе 1.6.7, отличается от подхо-да к оптимальному планированию тепловых экспериментов, который ис-пользуется научной школой акад. О. М. Алифанова применительно к ОЗТ. Этот подход заключается в применении различных критериев оптимально-сти к информационной матрице Фишера (она же матрица Грама), которая зависит от факторов проведения экспериментов, результаты которых будут основой решения ОЗТ. Это отвечает специфике рассматриваемых ими за-дач — организации комплексных экспериментальных исследований по на-турной или стендовой отработке теплового состояния сложных объектов ракетно-космической отрасли. В то же время для тепломеров как средства измерений СДО или СДИ являются более органическими с позиций зако-нодательной метрологии характеристиками точности конечных результа-тов. В частности, в работах [169, 172, 173] априорные исследования СДО и СДИ предлагалось положить в основу метрологического обеспечения ме-тодов восстановления q(τ), так как они являются разновидностью, причем одной из наиболее сложных, косвенных измерений.

4.4.2 Порядок планирования параметрической идентификации q(τ) В соответствии с изложенным в разделе 4.1, использование СДИ в

качестве целевых функций, минимизируемых по параметрам различных факторов, должно являться заключительным этапом оптимального плани-рования конкретной нестационарной теплометрии.

Предварительно должны быть выполнены следующие этапы ее пла-нирования.

1. Исходя из априорной информации об объекте и условиях проведе-ния теплометрических исследований:

1.1. Выбрать тип и параметры ПТП. 1.2. Путем сравнительного анализа динамических характеристик

ПТП (раздел 2) и характера теплообмена объекта со средой убедиться в необходимости решения граничной ОЗТ по восстановлению ( )q τ .

1.3. На основе априорных представлений о ( )q τ обосновать принци-пиальную возможность его кусочно-линейной сплайн-аппроксимации и выбрать вектор искомых параметров Q .

2. Путем проведения имитационного моделирования с использова-нием ДРМ ПТП, априорных сведений о ( )q τ и выбранного алгоритма па-раметрической идентификации убедиться в возможности получения оце-нок ˆ

lQ , близких априорно задаваемым «истинным» значениям 0=Q Q . После выполнения этих этапов можно приступать к оптимальному

планированию (организации) параметрической идентификации, а именно: 3. Задаться требуемыми характеристиками точности идентифика-

ции — значением СДИ для каждой составляющей Q или формы их СДО

148

(в случае 2r ≤ ). 4. Задаться априорными эталонными значениями 0Q вектора иден-

тифицируемых параметров Q . Положительным фактором при этом, как указано в ряде исследований [130, 169, 194], является то, что априорная неопределенность в 0Q несущественно сказывается на результатах плани-рования в части принципиальных, качественных выводов.

5. Задаться комбинацией перечисленных в разделе 4.2.2 значимых факторов эксперимента и их числовыми выражениями. По ДРМ ПТП с учетом указанных факторов и величины 0Q вычислить функции чувстви-тельности jikU ( 1, ,j m= K ; 1, ,i r= K 1, ,k N= K ), а далее по форму-ле (4.5) — матрицу чувствительности kН . В указанных формулах вместо ˆ

kQ подставлять 0Q̂ . 6. По формуле (4.9) на основе полученных матриц kН и количества

измерений l на рассматриваемом z -м участке рассмотреть матрицу Грама. 7. Для случая 2r ≤ можно ограничиться полученной матрицей Грама

и на ее основе построить СДО и СДИ для оценок Q̂ , аналогичные описы-ваемым формулами (4.17)–(4.19).

8. Для случая 2r ≥ , как это рекомендовано в разделе 4.3.2, в качестве характеристик априорной точности оценок ˆ

lQ следует использовать СДИ. Для их определения необходимо: 1) выполнить обращение построенной для 0Q матрицы Грама (п.6); 2) задаться доверительной вероятностью ν и определить значение

правой части уравнения (4.23); 3) по формулам (4.24) и (4.25) определить СДИ для составляющих

искомого вектора параметров Q , в рассматриваемом случае aq и bq . 9. Путем сравнения полученных значений СДИ для всех составляю-

щих Q (при 2r ≤ возможно также и СДО) с заданными (п.3) произвести вывод о правильности выбора значимых факторов эксперимента. При от-рицательном результате процедуру планирования следует повторить до удовлетворения заданных требований.

4.5 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОЛОГИИ ОЦЕНИВАНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ Q(τ) И ЕЕ ПЛАНИРОВАНИЕ (ОРГАНИЗАЦИЯ) 4.5.1 Постановка задач

4.5.1.1 В подразделах 4.2–4.4 предложена общая для различных ПТП методология оценивания погрешностей результатов восстановления q(τ), выполненного путем параметрической идентификации теплопереноса

149

в ПТП, которая заключается в получении оптимальных оценок параметров кусочно-линейной В-сплайн аппроксимации q(τ) на каждом из z ее участ-ков. Эти параметры объединены в вектор искомых параметров

a bq q Τ=Q , который при необходимости уточнения значений коэффици-ентов теплопроводности λ или других теплофизических характеристик материала ПТП принимает вид a bq q Τ= λQ .

Названная методология используется либо апостериорно — в про-цессе или после проведения теплометрии, либо априорно — при постанов-ках ОЗТ по восстановлению q(τ) в классе выбранной разновидности ПТП и особенностей теплообмена объекта теплометрии с окружающей средой.

При постановке задач настоящего подраздела необходимо учитывать следующие противоречивые обстоятельства:

1) большое разнообразие как разновидностей ПТП, так и, особенно, условий проведения нестационарной теплометрии;

2) методология оценивания погрешностей результатов восстановле-ния q(τ) является лишь решением одной из основных задач.

Поэтому не представляется возможным в ее рамках выполнить уг-лубленный детальный анализ значительного количества типовых случаев нестационарной теплометрии, а приходится ограничиться отдельными случаями. При этом, по-нашему мнению, достаточно полное представле-ние может быть получено при рассмотрении вопросов постановки различ-ных ОЗТ и оптимальной организации их решения, изложенных в разделе 4.4.

4.5.1.2 Рассмотрим с указанных позиций некоторые типовые ОЗТ, в которых используются ряд распространенных ПТП из числа представлен-ных в разделах 2 и 3. Целью рассмотрения является анализ влияния раз-личных факторов как теплоизмерительных схем ПТП, так и процесса про-ведения теплометрии.

Общим элементом этого рассмотрения является построение СДО или СДИ, в которые с заданной вероятностью попадают оценки ,ˆa lq , ,ˆb lq , ˆ

lλ ,… на каждом из z участков сплайн-аппроксимации q(τ), которые включают по l моментов времени измерения вектора ( 1,2, , )k k l=Y K .

В основе построения как СДО, так и СДИ лежит вычисление мат-рицы Грама (4.9), составляющими которой являются функции чувстви-тельности измерений к искомым параметрам. Как указано в п. 2 разде-ла 4.4.2, матрица Грама рассчитывается для априорно задаваемых выбран-ных значений (истинных, эталонных и др.) составляющих искомого векто-ра параметров 0Q .

Построение СДО рекомендуется выполнять по формулам (4.17), в

150

которые величину B ∗, определяемую формулой (4.13), необходимо под-ставлять равной 2 2 (2)B ν∗ = σ χ , что вытекает из уравнения (4.23) для СДО.

Для получения более доступных и простых характеристик — СДИ оценок ,ˆa lq , ,ˆb lq , ˆ

lλ ,… будем использовать два способа: либо изложенный в разделе 4.3.2.1 на базе матрицы Грама Al по формулам, аналогичным (4.15) с указанной выше подстановкой B ∗, либо по формулам (4.24) и (4.25) на базе диагональных элементов aii обращенной матрицы Грама

1lA− (формула (4.10)). Значения СДИ могут быть получены в размерном

виде aq±Δ и bq±Δ или в относительных значениях aq±δ или bq±δ [%]. При этом в них в качестве сомножителя имеет место дисперсия 2σ слу-чайных погрешностей kε в измерениях.

Ниже приведем некоторые результаты указанных исследований и выводы по ним. 4.5.2 Однородный градиентный ПТП, теплоизолированный с тыльной стороны (q2 = 0)

ДРМ ПТП этого типа приведена в подразделе 2.1.2. 4.5.2.1 Для случая 34 10h −= ⋅ м, 11n = , 18λ = Вт/(м⋅К),

64,0 10a −= ⋅ м2/c, 0,02Δτ = с, 0 0=T , 5 5

0 0 0 2 10 6 10a bq qΤΤ= = ⋅ ⋅Q Вт/м2, при измерении температуры t1

проведено исследование влияния количества измерений l на участке сплайн-аппроксимации.

Таблица 4.1 k 1 2 3 4 5

t1k, °C 3,28 6,28 9,50 12,98 16,73 6

, 10qa kU ⋅ , (К⋅м2)/Вт 16,38 21,63 22,78 20,59 18,72 6

, 10qb kU ⋅ , (К⋅м2)/Вт 0 3,21 8,24 14,44 21,64

В таблице 4.1 приведены значения измеряемой температуры t1k и

функции чувствительности ,qa kU и ,qb kU ( 1,2, , )k l= K , а на рис. 4.3 — вид функций чувствительности.

151

Для случаев 5l = и 3l = матрицы Грама Al имеют вид

9 10

5 10 10

2,03 10 9,59 10

9,59 10 7,55 10A

− −

− −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅;

10 10

3 10 10

9,19 10 3,09 10

3,09 10 2,08 10A

− −

− −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅.

На базе матриц Грама A5 и A3 по формулам (4.18) и (4.19) для 2 2

0,95(2) 5,99B∗ = σ χ = полу-чены СДИ в абсолютных и от-носительных выражениях. По-следние определялись по фор-мулам

0

aa

a

qqqΔ

δ = , 0

bb

b

qqqΔ

δ = . (4.26)

Значения СДИ приведены в таблице 4.2. Таблица 4.2

l ±Δqa, Вт/м2 ±Δqb, Вт/м2 ±δqa, % ±δqb, % 5 4,30 ⋅ 104 ⋅ σ 7,05 ⋅ 104 ⋅ σ 21,5 ⋅ σ 11,7 ⋅ σ

3* 11,44 ⋅ 104 ⋅ σ 24,07 ⋅ 104 ⋅ σ 57,2 ⋅ σ 54,7 ⋅ σ * Для случая l = 3 в качестве qb0 взята величина

5 5 532 10 (6 2) 10 4,4 105

⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅ Вт/м2

Таким образом, погрешность оценок qa и qb зависит от уровня сред-неквадратичного отклонения σ погрешности в измерениях температур и в умеренной степени от количества измерений l. В приведенном в таблице 4.1. диапазоне измеряемых температур реальные значения σ не должны превысить, по нашим оценкам, (0,2 0,3)− °С, то для заданных условий ре-зультаты теплометрии не могут быть удовлетворительными, следовательно необходимо увеличивать количество измерений на участке аппроксима-ции.

4.5.2.2 Для случая 35 10h −= ⋅ м, 11n = , 15λ = Вт/(м⋅К), 63,8 10a −= ⋅ м2/c, 16τ = с, 0 0=T , 5 5

0 1 10 2 10Τ

= ⋅ ⋅Q Вт/м2, приведем ре-

зультаты исследований влияния количества измерений l на участке сплайн-аппроксимации. Рассматривались варианты: 16l = при 1Δτ = с; 8l = при

Рис. 4.3. Значения функции чувствительно-

сти однородного ПТП

152

2Δτ = с; 4l = при 4Δτ = с; в которых измеряемые температуры t1k по-верхности ПТП находились в пределах от 0,65 до 71,05 °С. Значения СДИ приведены в таблице 4.3, которые определялись на базе 1

lA− по формулам (4.24)–(4.25)

6 61

16 6 6

1,26 10 1,37 10

1,37 10 2,41 10A− ⋅ − ⋅

=− ⋅ ⋅

; 6 6

18 6 6

1,63 10 1,69 10

1,69 10 2,10 10A− ⋅ − ⋅

=− ⋅ ⋅

;

6 61

4 6 6

1,79 10 0,55 10

0,55 10 1,74 10A− ⋅ − ⋅

=− ⋅ ⋅

.

Таблица 4.3 l ±Δqa, Вт/м2 ±Δqb, Вт/м2 ±δqa, % ±δqb, %

16 2,74 ⋅ 103 ⋅ σ 3,80 ⋅ 103 ⋅ σ 2,74 ⋅ σ 1,90 ⋅ σ 8 3,13 ⋅ 103 ⋅ σ 3,46 ⋅ 103 ⋅ σ 3,13 ⋅ σ 1,73 ⋅ σ 4 3,28 ⋅ 103 ⋅ σ 3,23 ⋅ 104 ⋅ σ 3,28 ⋅ σ 1,62 ⋅ σ В этом случай, учитывая, что в указанном диапазоне изменения тем-

ператур t1k можно принять 1σ ≤ °С, точность восстановления q(τ) вполне удовлетворительно и не существенно зависит от количества измерений l на участке аппроксимации, в связи с более высоким уровнем измеряемых температур.

4.5.2.3 Для условий теплометрии, принятых в подразделе 4.5.2.2 при 8l = можно привести основные результаты оценки влияния структуры

вектора измерения kY ПТП, а именно: количества m и местоположения то-чек измерения температуры в ПТП. Полученные по принятой методике на базе 1

lA− значения СДИ оценок для некоторых характерных вариантов приведены в таблице 4.4.

Таблица 4.4 Структура вектора из-

мерений ±Δqa, Вт/м2 ±Δqb, Вт/м2 ±δqa, % ±δqb, %

измеряется t1k (m = 1) 3,13 ⋅ 103 ⋅ σ 3,46 ⋅ 103 ⋅ σ 3,13 ⋅ σ 1,73 ⋅ σизмеряется t2k (m = 1) 6,23 ⋅ 103 ⋅ σ 6,02 ⋅ 103 ⋅ σ 6,23 ⋅ σ 3,01 ⋅ σизмеряются t1k и

t2k (m = 2) 2,96 ⋅ 103 ⋅ σ 3,04 ⋅ 104 ⋅ σ 2,96 ⋅ σ 1,52 ⋅ σ

Можно сделать вывод, что заглубление точки измерения температу-ры существенно (примерно вдвое) увеличивают погрешности оценок qa и qb, а удвоение количества измеряемых температур в ПТП незначительно снижают эти погрешности.

153

4.5.3 Исследование возможностей определения теплопроводности материала градиентного ПТП, теплоизолированного с тыльной стороны (q2 = 0)

4.5.3.1 Для случая 34 10h −= ⋅ м, 11n = , 60,6 10a −= ⋅ м2/c, 0,02Δτ = с,

0,2τ = с, 10l = , 0 0=T , 5 20 0 0 1 10 Вт/м 1,2 Вт/(м К)q

ΤΤ= λ = ⋅ ⋅Q , при

измерении температуры t1 оценены возможные погрешности оценок Q . Значения измеряемых температур t1k изменялось в пределах от 7,85

до 31,6 °С, а функции чувствительности рассчитанных по принятой мето-дике, в пределах: 4 4(0,748 10 3,02 10 )qkU − −= ⋅ − ⋅ (К⋅м2)/Вт и

(1 1,04)kUλ = − (К2⋅м)/Вт. Матрица Грама была получена в виде

8 4

10 4 2

48,70 10 1,785 10

1,785 10 6,51 10A

− −

−

⋅ − ⋅=− ⋅ ⋅

,

что позволило определить по формулам (4.18)–(4.19) СДИ оценок q и λ: 33,51 10qΔ = ± ⋅ ⋅σ Вт/м2; 3,51qδ = ± ⋅σ %, 29,4 10−Δλ = ± ⋅ ⋅σ Вт/(м⋅К); 7,83δλ = ± ⋅σ %.

Таким образом, определение q и λ вполне возможно, а его точность зависит от величины σ. Причем погрешность в определении λ примерно вдвое выше, чем для q.

4.5.3.2 Для случая, соответствующего условиям подраздела 4.5.2.2 рассматривались возможности и уровни погрешностей одновременного определения параметров qa, qb и λ. Их истинные значения были приняты

равными 5 2 5 20 1 10 Вт/м 2 10 Вт/м 15Вт/(м К)

Τ= ⋅ ⋅ ⋅Q . Рассматривались

следующие варианты количества измерений l на участке сплайн-аппроксимации: 16l = при 1Δτ = с; 8l = при 2Δτ = с; 4l = при 4Δτ = с. Для них были получены следующие значения обращенных матриц Грама:

6 6 2

1 6 6 216

2 2 2

1,80 10 0,54 10 0,7 10

0,54 10 4,17 10 1,57 10

0,7 10 1,57 10 1,4 10

A−

−

⋅ − ⋅ − ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

;

6 6 2

1 6 6 28

2 2 2

4,84 10 10,19 10 2,88 10

10,19 10 30,74 10 11,52 10

2,88 10 11,52 10 5,6 10

A−

−

⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅ ⋅

;

154

6 6 2

1 6 6 24

2 2 2

17,49 10 9,31 10 3,75 10

9,31 10 140,36 10 49,4 10

3,75 10 49,4 10 160 10

A−

−

⋅ ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅

− ⋅ − ⋅ ⋅

.

На основе обращенных матриц Грама 1lA− по формулам, аналогич-

ным (4.24) и (4.25) для значения 2 20,95(3) 7,815B∗ = σ χ = были получены

СДИ искомых оценок, приведенные в таблице 4.5. Таблица 4.5

l ±Δqa, Вт/м2 ±δqa, % ±Δqb, Вт/м2 ±δqb, % ±Δλ, Вт/(м⋅К)

±δλ, %

16

3,75 ⋅ 103 ⋅ σ 3,75 ⋅ σ 5,71 ⋅ 103 ⋅ σ 2,76 ⋅ σ 0,33 ⋅ σ 2,20 ⋅ σ

8 6,15 ⋅ 103 ⋅ σ 6,15 ⋅ σ 15,0 ⋅ 103 ⋅ σ 7,5 ⋅ σ 0,66 ⋅ σ 4,07 ⋅ σ 4 11,69 ⋅ 103 ⋅ σ 11,69 ⋅ σ 33,12 ⋅ 103 ⋅ σ 16,56 ⋅ σ 3,53 ⋅ σ 23,5 ⋅ σ

Полеченные результаты вскрывают ряд важных закономерностей, а именно:

1. Поставленная комбинированная ОЗТ, по нашему мнению, при достаточных значениях 8l ≥ вполне разрешима, так как в диапазоне изме-няемых температур от 0,65 до 71,05 °С величина среднеквадратического отклонения может быть удержана в пределах до 1 °С, что ограничивает СДИ результатов значениями (2 5)± − %.

2. При достаточных величинах 8l ≥ величина λ может определять более точно, чем qa и qb.

3. При уменьшении l погрешность определения всех параметров, особенно λ, быстро возрастают, а при 4l < становятся, по нашему мнению, недопустимой.

Как видно из таблицы 4.5, погрешность восстановления теплового потока растет при уменьшении количества измерений. 4.5.4 ПТП с поперечным градиентом типа Гардона

ДРМ ПТП этого приведена в подразделе 2.4.2. Для случая 32,5 10R −= ⋅ м, 11n = , 41 10h −= ⋅ м, 23,3λ = Вт/(м⋅К),

66,15 10a −= ⋅ м2/c, 0,025τ = с, 0 0=T , 5 50 1 10 6 10

Τ= ⋅ ⋅Q Вт/м2, при из-

мерении перепада температур t1k – tвт = t1k проведено исследование СДО и СДИ оценок ˆalq и ˆblq при двух вариантах количества измерений l на уча-стке сплайн-аппроксимации: 20l = при 51,25 10−Δτ = ⋅ с; 5l = при

55 10−Δτ = ⋅ с.

155

Для случая 5l = зна-чения измеряемых темпера-тур t1k и функций чувстви-тельности ,qa kU и ,qb kU приведены в таблице 4.6, а движение функций чувстви-тельности — на рис. 4.4.

Таблица 4.6 k 1 2 3 4 5

t1k, °C 1,315 3,945 7,890 13,150 19,725 5

, 10qa kU ⋅ , (К⋅м2)/Вт 1,33 2,31 3,09 3,69 3,89 5

, 10qb kU ⋅ , (К⋅м2)/Вт 0 0,25 0,78 1,56 2,61

В соответствии с принятой методикой для 5 50 1 10 6 10

Τ= ⋅ ⋅Q были

получены следующие матрицы Грама Al: 9 9

20 9 9

12,9 10 6,82 10

6,82 10 4,304 10А

− −

− −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅;

9 9

5 9 9

4,47 10 1,886 10

1,886 10 1,01 10А

− −

− −

⋅ ⋅=

⋅ ⋅.

Для 2 2

0,95(2)B∗ = σ χ по формулам (4.15) и (4.19) были рассчитаны СДИ оценок, при-веденные в таблице 4.7, а по формулам (4.17) — их СДО для 0,5σ = °С (рис. 4.5).

Рис. 4.5. СДО ПТП Гардона

Рис. 4.4. Значения функции чувствитель-ности ПТП Гардона

156

Таблица 4.7 l ±Δqa, Вт/м2 ±Δqb, Вт/м2 ±δqa, % ±δqb, %

20 0,524 ⋅ 105 ⋅ σ 0,910 ⋅ 105 ⋅ σ 0,524 ⋅ σ 0,152 ⋅ σ 5 0,806 ⋅ 105 ⋅ σ 1,54 ⋅ 105 ⋅ σ 0,806 ⋅ σ 0,257 ⋅ σ Таким образом, при завышенных значениях среднеквадратичного

отклонения σ, например, 1σ = °С, погрешности оценок ˆalq и ˆblq представ-ляются допустимыми. Причем, существенное уменьшение l не изменяет этот вывод.

В заключение главы отметим следующее: Рассмотрен общий для различных типов ПТП приближенный метод

учета и априорного анализа основных методических погрешностей не-стационарной теплометрии, при использовании для восстановления q(τ) метода параметрической идентификации ДРМ ПТП, для чего:

1. Выполнено структурирование указанной погрешности с предвари-тельным выделением ее общих составляющих, вызываемых возможной неодномерностью теплопереноса в ПТП и влиянием последнего на по-ле температуры в объекте. Для оценки предлагается привлекать извест-ные методики.

2. Значимой составляющей, предложенного метода восстановления q(τ), является погрешность кусочно-линейной сплайн-аппроксимации q(τ), которую необходимо априори анализировать и оце-нивать с учетом природы и динамических свойств теплогенерирующей среды, дискретности Δτ и количества измерений l на участке аппроксима-ции.

3. Наиболее проблемной и недостаточно изученной является по-грешность восстановления q(τ) путем решения потенциально неустой-чивой граничной ОЗТ. Выделен и рассмотрен ряд составляющих погреш-ностей:

– погрешности расчета модельного вектора измерений ( )ˆzY Q . По

ряду составляющих, таких как структурная неадекватность и погреш-ность решения ДРМ ПТП, методики изложены во второй главе.

– погрешности минимизации функции невязки ( )zΦ Q по вектору искомых параметров zQ , связанные с алгоритмами минимизации — рассмотрены в третьей главе.

4. Основное внимание в четвертой главе уделено методологии, по-зволяющей учесть определяющую погрешность параметрической иденти-фикации, вызываемую взаимным влиянием шума в исходных измере-ниях и топологией функции невязки ( )Φ Q в пространстве искомых па-раметров. Для решения задачи использованы известные результаты теории

157

метода наименьших квадратов и анализа процессов статистическими мето-дами.

Показано, что для линейной по искомым параметрам функции ( )zΦ Q точно, а для нелинейной — приблизительно (при обычно прини-

маемой зависимости ковариационной матрицы случайных погрешностей в пределах температур ПТП от среднеквадратичного отклонения σ) кова-риационная матрица ошибок оценок составляющих вектора искомых па-раметров ,ˆaz lq и ,ˆbz lq имеет вид ( ) 2 1

, ,ˆ

z l z lP A−= σ ⋅Q , где ,z lA — ( )2 2× -

матрица Грама для полной системы векторов функций чувствительности всех m составляющих вектора измерений к каждой из двух составляющих вектора искомых параметров zQ .

Таким образом, ковариационная матрица ошибок оценок учитывает, причем раздельно, уровень погрешностей в измерениях и через обратную матрицу Грама 1

,z lA− — все значимые факторы процесса нестационарной теплометрии: особенности устройства и тепловой схемы ПТП; вид, коли-чество и характер размещения измерителей температур или их разностей; закон изменения восстанавливаемого теплового потока q(τ); количество измерений l вектора измерений kY на участке ( 1,2, , )k l= K .

5. Показано, что на основе матрицы Грама можно построить совме-стные доверительные области (СДО) или интервалы (СДИ), в которые с заданной доверительной вероятностью попадают получаемые на каждом участке оценки, аппроксимирующие q(τ) и которые, как известно, являют-ся нормативными показателями погрешностей косвенных измерений.

6. Предложено использовать метод априорных исследований СДИ для оптимального проектирования нестационарной теплометрии путем выбора ее значимых факторов. Критерием выбора являются величины ап-риорных СДИ оценок идентифицируемых параметров. Для построения та-ких СДИ необходимо априорно выбрать эталонные (предполагаемые) зна-чения 0Q .

7. Предложенный метод принципиально отличается от известного подхода к оптимальному планированию эксперимента, результаты которо-го приведены в работах Е. А. Артюхина, О. М. Алифанова. Их подход за-ключается в использовании информационной матрицы Фишера для выбора оптимальных планов проведения экспериментов по натурной или стендо-вой отработке теплового состояния объектов методами ОЗТ.

8. В качестве иллюстраций возможностей предложенной методоло-гии и ее применимости к нестационарной теплометрии приведены резуль-таты построений СДО и СДИ при постановке граничных и комбинирован-ных ОЗТ для различных типов ПТП.

158

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. А. с. 355551 СССР. Динамический биокалориметр / Г. Н. Дульнев, Н. В. Пилипенко, Е. С. Платунов. Опубл. в Б.И., 1972. № 31.

2. Айвазян С. А., Енюков Н. С., Мешалкин Л. Д. Прикладная статистика. Восста-новление зависимостей // М.: Финансы и статистика, 1985. 487 с.

3. Алгоритмы диагностики тепловых нагрузок летательных аппаратов / О. М. Алифанов, В. К. Зануев, Б. М. Панкратов, Е. А. Артюхин, В. П. Мишин, В. И. Жук, А. С. Голосов. Под ред. В.П. Мишина // М.: Машиностроение, 1983. 168 с.

4. Алексахин А. А., Ена С. В. Влияние погрешностей в измерении температур на точность определения граничных условий теплообмена // ИФЖ, 1989. Т.56. № 3. С. 400–403.

5. Алексашенко А. А. Исследование погрешностей решений некоторых обрат-ных задач // ТВТ, 1975. Т.13. № 5. С. 1023–1029.

6. Алексашенко А. А. Ошибки неучета многомерности при решении некоторых прямых и обратных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энерг. и трансп. 1990. № 3. С. 161–164.

7. Алифанов О. М. Диагностика и идентификация процессов тепломассообмена // Тепломассообмен-VII. Проблемные докл. VII Всесоюз. конф. по тепломассообмену. ч.2. Минск, 1985. С. 117–127.

8. Алифанов О. М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппа-ратов. Введение в теорию обратных задач теплообмена. M.: Машиностроение, 1979. 216 с.

9. Алифанов О. М. Об идентификации физических процессов в обратных зада-чах // ИФЖ, 1985. № 6. С. 889–897.

10. Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

11. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Логинов С. Н., Малоземов В. В. К вопросу решения обратной задачи теплопроводности методом динамической фильтрации // ИФЖ, 1981. Т.41. № 5. С. 906–911.

12. Алифанов О. М., Артюхин Е. А., Румянцев С. В. Экстремальные методы ре-шения некорректных задач и их приложение к обратным задачам теплообмена. М.: Наука, 1988. 288 с.

13. Алифанов О. М., Балаковский С. Л., Клибанов М. В. Восстановление причин-ных характеристик процесса теплопроводности из решения комбинированной обратной задачи // ИФЖ, 1987. Т.52. № 5. С. 839–844.

14. Алифанов О. М., Зайцев В. К., Гусев В. И., Карпов В. М. Комплексное опреде-ление параметров теплообмена // Тезисы докладов «Аналитические методы расчета процессов тепло– и массопереноса». Душанбе, 1986. С. 79–80.

15. Алифанов О. М., Нагога Г. П., Сапожников В. М. О задачах определения внутренних граничных условий при термометрировании охлаждаемых лопаток турбин // ИФЖ, 1986. Т. 51. № 3. С. 403–409.

16. Алифанов О. М., Ненарокомов А. Влияние различных факторов на точность решения параметризованной обратной задачи теплопроводности // ИФЖ, 1989. Т. 56. № 3. С. 441–446.

17. Алкидис, Майерс. Измерение переменой плотности теплового потока в каме-ре сгорания карбюраторного двигателя // Теплопередача, 1982. № 1. C. 68.

159

18. Аппроксимация интегралом Лапласа решения обратной задачи определения температуры недоступной поверхности / Ю. С. Шаталов, О. В. Трушин, К. М. Искаков // Краевые задачи. Пермь, 1989. С. 170–173.

19. Артюхин Е. А. Анализ чувствительности и планирование эксперимента в за-дачах идентификации процессов обобщенной теплопроводности // Тепломассообмен–VII. Минск, ИТМО АН БССР, 1984. T. 9. С. 81–84.

20. Артюхин Е. А. Оптимальное планирование измерений при идентификации процессов теплопереноса в разлагающихся материалах // Тр. Минского международно-го форума, секц. 8. Минск, 1988. С. 10–20.

21. Артюхин Е. А. Оптимальное планирование эксперимента при идентифика-ции процессов теплообмена // ИФЖ, 1989. Т. 56. № 3. С. 378–382.

22. Артюхин Е. А. Оптимальное планирование эксперимента при идентифика-ции процессов теплообмена // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук, 1987. № 7/2. С. 28–32.

23. Артюхин Е. А. Охапкин А. В. Параметрический анализ точности решения не-линейной обратной задачи по восстановлению коэффициента теплопроводности ком-позиционного материала // ИФЖ, 1983. Т. 45. № 5. С. 781–783.

24. Артюхин Е. А. Планирование измерений для решения коэффициентных об-ратных задач теплопроводности // ИФЖ, 1985. Т. 48. № 3. С. 490–495.

25. Артюхин Е. А., Баранов В. В., Ганчев Б. Г., Ненарокомов А. В. Исследование нестационарного теплообмена при смачивании нагретых поверхностей // Теплофиз. вы-сок. температур, 1987. Т. 25. № 5. С. 975–989.

26. Артюхин Е. А., Будник С. А. Оптимальное планирование измерений при рас-четно-экспериментальном определении характеристик теплового потока нагружения // ИФЖ, 1986. № 6. C. 971–977.

27. Артюхин Е. А., Гусева Л. И., Трянин А. П., Шибин А. Г. Обработка данных и планирование нестационарных теплофизических экспериментов // ИФЖ, 1989. Т.56. № 3. С. 114–119.

28. Артюхин Е. А., Мамолов В. А., Ненарокомов А. В. Оценка влияния усадки на эффективный коэффициент теплопроводности стеклопластика // ИФЖ, 1989. Т. 56. № 6. С. 1001–1008.

29. Ассанис, Бадилло. Исследование тепловых потоков в дизельных двигателях с помощью малоинерционных термопар // Современ. машиностроение, 1990. № 1: Сер. А. С. 137–145.

30. Афанасьев В. П., Дубко Е. Б., Козловский Р. А., Пилипенко Н. В. Динамиче-ские характеристики комбинированных преобразователей тепловых потоков // Научно-технический вестник ИТМО. Исследования в области физики и оптики. 2005. № 18. С. 32–37.

31. Бабенков В. И., Кучиненков Е. Е., Прядко Б. И. Определение потерь тепла в тепловых сетях // Энергетик, 1989. № 12. С. 12–13.

32. Балаковский С. Л. Влияние неопределенности координаты положения тер-мопары на качество решения граничной обратной задач теплообмена // ИФЖ, 1987. Т. 52. № 4. С. 650–654.

33. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио связь, 1988. 128 с. 34. Баскин И. М., Шулев Ю. Г., Кириленко Г. В., Падерин Л. Я. Метод выбора оп-

тимальных параметров датчиков тепловых потоков. Киев: Наукова думка, 1980. С. 210–215.

160

35. Батура Н. И. Степень неустойчивости численных решений обратных задач теплопроводности и погрешность экспериментальных данных // ИФЖ, 1989. Т. 56. № 3. С. 446–450.

36. Бек Д., Блакуэлл Б., Сент-Клер Ч,мл. Некорректные обратные задачи тепло-проводности. М.: Мир, 1989. 312 c.

37. Берт, Алтан, Семятин. Измерения и расчеты теплообмена и трения при го-рячей штамповке // Современное машиностроение, 1991. № 4: Сер. Б. С. 131–140.

38. Беспалов А. М., Жданов В. В., Майоров А. И., Плешакова Л. А. Погрешность из-за неодномерности теплопереноса в тонкой стенке // ИФЖ, 1980. Т. 39. № 2. С. 246–249.

39. Беспалов А. М., Майоров А. И., Рудометкин Л. А. О применении метода тон-кой стенки повышенной точности при исследовании теплообмена в гиперзвуковой аэ-родинамической трубе // ИФЖ, 1988. Т. 54. № 1. С. 9–13.

40. Блох А. Г., Геращенко О. А. Диагностика и управление топочным процессом на основе данных о распределении потоков падающего излучения // Промышленная теплотехника, 1987. Т. 9. № 1. С. 84–85.

41. Богданов В. В., Килочинский Ю. Ю., Плешакова Л. А. Приборы для измере-ния плотности тепловых потоков в аэродинамических установках кратковременного действия // Труды ЦАГИ, 1979. С. 27–35.

42. Богданов В. В., Плешакова И. А. Микротермопарный преобразователь тепло-вых потоков // Труды ЦАГИ, 1977. Вып. 1847. С. 15–21.

43. Богданов В. В., Плешакова Л. А. Погрешность термопарного преобразователя теплового потока, обусловленная теплопроводностью по его поверхности // Сб. работ по измерительным и вычислительным системам для исследования аэродинамики, ди-намики и прочности летательных аппаратов: Тр. ЦАГИ. Вып. 1847. 1977. С. 3–5.

44. Богданов В. В., Похвалинский С. М., Фалько И. И. Датчики теплового потока с диэлектрическими пленочными калориметрами // Приборы и системы упр., 1989. № 3. С. 23–25.

45. Богданов В. В., Плешакова Л. А. Погрешности воспроизведения теплового потока калориметрическими преобразователями // Сб.работ по измерительным и вы-числительным системам для исследования аэродинамики, динамики и прочности лета-тельных аппаратов: Тр. ЦАГИ. Вып. 1847. М., 1977. С. 21–33.

46. Богданов В. Г., Епифанов С. В. Оптимальное планирование эксперимента по определению граничных условий теплообмена // Тепломассообмен. Методы экспери-ментальных исследований и измерений. Минск, 1976. С. 120–125.

47. Борелл, Дилер. Метод калибровки датчиков местной плотности теплового по-тока в условиях конвективного нагрева // Теплопередача, 1987. № 1. С. 82–90.

48. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982. 200 с. 49. Будник С. А., Ненарокомов А. В. Оптимальное планирование измерений при

определении характеристик теплового нагружения тел с подвижными границами // ТВТ, 1997. Т. 35. № 3.

50. Будник С. А., Гусева Л. И., Шибин А. Т. Анализ схемы измерения температу-ры для определения комплекса характеристик теплозащитного покрытия // ИФЖ, 1989. Т. 56. № 3. С. 432–441.

51. Бут Е. Н. Сплайн-идентификация как метод решения некорректно постав-ленных обратных задач теплопроводности общего вида // Материалы VI Всесоюзной конф. по тепломассообмену, 1980. Т.9. С. 128–131.

52. Бут Е. Н. Сплайн-идентификация тепловых потоков // ИФЖ, 1977. Т.33. № 6. С. 1085–1089.

161

53. Бут Е. Н., Симбирский Д. Ф. Определение тепловых потоков в динамическом режиме методом параметрической идентификации // Промышленная теплотехника, 1983. Т. 4. № 5. С. 27–35.

54. Веклейтис Г., Рейвиндран А., Регсдел К. Оптимизация в технике / пер. с англ.: В 2 т. М.: Т. 1, 1986. 347 с.

55. Воробьев А. М., Жук В. И. и др. Идентификация нестационарных тепловых потоков с использованием выходных сигналов тонкомембранных датчиков (типа дат-чика Гардона) // ИФЖ, 1993. Т. 65. C. 718–724.

56. Воробьев А. М., Жук В. И., и др. Анализ нестационарной тепловой модели тонкомембранного датчика плотности теплового потока // ИФЖ, 1996. Т.58. № 2. C. 264–270.

57. Воскобойников Ю. Е., Преображенский Н. Г. Седельников А. И. Математиче-ская обработка эксперимента в молекулярной газодинамике. Новосибирск.: Наука, 1984. 237 с.

58. Геращенко О. А. Основы теплометрии. Киев: Наукова думка, 1971. 191 с. 59. Геращенко О. А. Современное состояние теплометрии в СССР // ИФЖ, 1990.

T. 59. № 3. C. 516–522. 60. Геращенко О. А., Черинько В. Н. Измерение нестационарных тепловых пото-

ков градиентными тепломерами // Методы экспериментальных исследований. Киев: Наукова Думка, 1980. С. 165–168.

61. Геращенко О. А., Черинько В. Н. Коррекция инерционности датчиков тепло-вого потока по методу Дородницына // Теплофизика и теплотехника, 1979. Вып. 37. С. 12–15.

62. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. 510 с.

63. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: Издат. МГУ, 1984. 112 с.

64. Гольцов А. С., Симбирский Д. Ф., Кудряшов С. В. Динамический метод изме-рения тепловых потоков батарейными тепломерами с применением фильтра Калмана // ИФЖ, 1977. Т. 33. № 6. С. 1070–1077.

65. Гордеев А. В. О распределении тепловых потоков в зоне шлифования // Фи-зика и химия обраб. материалов, 1979. № 1. С. 132–134.

66. Гортышев Ю. Ф. и др. К исследованию теплоотдачи с помощью датчика ло-кальных тепловых потоков // Изв. вузов. Авиационная техника, 1978. № 3. С. 38–41.

67. Гортышов Ю. Ф., Варфоломеев И. М., Щукин В. К., Волков Л. Я. Датчик для измерения локальных тепловых потоков тонкого диска // Приборы и техн. эксперимен-та, 1979. № 6. 154 с.

68. Гортышов Ю. Ф., Маратканов В. И., Щукин В. К., Геращенко О. А., Грищен-ко Т. Г. Об особенностях датчика тепловых потоков высокой интенсивности // Изв. ву-зов. Приборостроение, 1980. Т. 23. № 2. С. 87–90.

69. Грановский В. А., Сирая Т. Н. Проблема адекватности моделей в измерениях // Датчики и системы, 2007. № 10. С. 52–62.

70. Григорьев В. А. Импульсный нагрев излучением. М.: Наука, 1974. 71. Григорьев В. А., Клименко А. В., Павлов Ю. М. Экспериментальное исследо-

вание зависимости теплоотдачи при пузырьковом кипении от толщины греющей стен-ки и металлических покрытий // ТВТ, 1978. Т. 16. № 1. С. 117–122.

72. Грищенко Т. Г., Декуша Л. В., Менделеева Т. В. Теоретические основы мет-рологии теплопоточных измерений // Пром. теплотехника, 2006. Т. 26. № 4–5. С. 175–180.

162

73. Гродзовский Г. Л. Оптимальные оценки параметров тепловых потоков при использовании калориметрических методов // Методы экспериментальных исследова-ний. Наукова думка, 1980. С. 175–180.

74. Данильченко В. П., Егошин Р. А. Метрологическое обеспечение промышлен-ного производства: Справ // К.: Техника, 1982. 151 с.

75. Данн, Стодарт. Измерение тепловых потоков в сопловом аппарате газовой турбины // Энергетические машины и установки. Издательство Мир, 1979. № 2. С. 72–78.

76. Декуша Л. В., Грищенко Т. Г., Менделеева Т. В. Теоретическое обоснование прибора для экспресс-определения коэффициентов теплопроводности твердых мате-риалов // Пром. теплотехника, 2004. Т. 26. № 4. С. 76–82.

77. Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессии. М.: Финансы и статисти-ка, 1981. 302 с.

78. Деруссо П., Рой Р., Клоуз Ч. Пространство состояний в теории управления. М.: Наука, 1970. 620 с.

79. Дилс, Фоллансби. Локальные коэффициенты теплоотдачи к цилиндру, поме-щенному в поперечный поток продуктов сгорания // Тр. амер. общ. инх.-мех. Сер. А. Энергетические машины и установки, 1977. Т. 99. № 4. С. 1–14.

80. Дульнев Г. Н., Пилипенко Н. В. Об измерении нестационарных тепловых по-токов с помощью тепломеров // ИФЖ, 1975. Т. 29. № 5. С. 814–820.

81. Дульнев Г.Н., Завгородний В.И., Кузьмин В.А., Пилипенко Н.В. Измерение не-стационарных тепловых потоков датчикам «вспомогательная стенка» // ИФЖ, 1979, Т.37. № 1. С. 99–103.

82. Дульнев Г. Н., Кузьмин В. А., Пилипенко Н. В., Тихонов С. В. Особенности из-мерения нестационарных тепловых потоков тепломерами, реализующими метод вспо-могательной стенки // ИФЖ, 1977. Т. 32. № 5. С. 772–778.

83. Дульнев Г. Н., Пилипенко Н. В. Инерционность динамических биокалоримет-ров // Изв. вузов. Приборостроение, 1974. № 8. С. 107–109.

84. Дульнев Г. Н., Пилипенко Н. В., Кузьмин В. А. Об инерционности измерений с помощью тепломеров «вспомогательная стенка» // ИФЖ, 1980. № 2. Т. 39. С. 298 – 305.

85. Дульнев Г. Н., Тихонов С. В. Об одном приближенном методе решения задач теплопроводности // ИФЖ, 1979. Т. 36. № 2. С. 357–363.

86. Дьяконов В. П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 + Simulink 5/6 в математике и модели-ровании. М.: Солон-Пресс, 2005. 567 с.

87. Епифанов С. В., Симбирский Д. Ф., Каплун С. И. Оптимальный выбор изме-ряемых параметров при идентификации ГТД. Совместные доверительные области и интервалы результатов идентификации // Изв. ВУЗов, Авиационная техника, 1990. № 1. С. 57–62.

88. Жук В. И., Голосов А. С. Инженерные методы определения тепловых гранич-ных условий по данным температурных измерений // ИФЖ, 1957. Т. 29. № 1. С. 45–50.

89. Забродский С. С. Высокотемпературные установки с псевдоожиженным сло-ем. Энергия, 1971. 328 с.

90. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных не корректных за-дач и её приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

91. Ивин В. И., Чайнов Н. Д. Опыт использования поверхностных термоприем-ников. Двигателестроение, 1981. № 10. С. 66.

92. Искаков К. М., Трушин В. А. К определению граничных условий теплообмена на быстровращающихся элементах воздушного тракта лопаток турбин // Высокотемпе-

163

ратурные охлаждаемые газовые турбины ДЛА: Межвуз.сб. Казань, 1979. Вып. 3. С. 41–45.

93. Искаков К. М., Трушин О. В., Шаталов Ю. С. О достоверности определения коэффициента теплоотдачи во вращающихся модельных каналах элементов ГТД при наличии утечек теплоты // Испытания авиационных двигателей. Уфимск. авиац. инст. Уфа, 1989. Вып. 17. С. 146–151.

94. Карслоу У., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 488 с. 95. Квасов Е. Е., Костин А. К. и др. Исследование теплового потока в головку

цилиндров при пуске быстроходных дизелей. Двигателеcтроение, 1979. № 4. C. 5–7. 96. Коздоба Л. А., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теплопере-

носа. Киев: Наукова Думка, 1982. 358 с. 97. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функционального анализа.

М.: Наука, 1976. 542 с. 98. Консиньи, Ричардс. Изучение интенсивности теплоотдачи к лопатке ротора

турбины методом импульсных измерений // Энергетические машины и установки, 1982. № 3. С. 12–22.

99. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

100. Коротков П. А., Лондон Г. Е. Динамические контактные измерения тепло-вых величин. Л.: Машиностроение, 1974. 224 с.

101. Костин А. К., Степанов В. Н., Руднев Б. И. Исследование рабочего процес-са и теплообмена при пуске высокооборотного дизеля // Двигателестроение, 1979. № 8. С. 6–9.

102. Круковский П. Г. Обратные задачи тепломассообмена (общий инженерный подход). К.: Инст. технич. теплофизики НАН Украины, 1998. 224 с.

103. Круковский П. Г., Халатов А. А., Флока В. Ф. Планирование одного тепло-физического эксперимента на основе параметрического анализа его модели // Пром. теплотехника, 1991. Т. 13. № 2. С. 10–104.

104. Кузовков Н. Т., Карабанов С. В., Салычев О. С. Непрерывные и дискретные системы управления и методы идентификации. М.: Машиностроение, 1978. 222 с.

105. Кузовков Н. Т., Салычев О. С. Инерциальная навигация и оптимальная фильтрация. М.: Машиностроение, 1982. 216 с.

106. Кук. Определение удельных тепловых потоков по измерениям неустано-вившейся температуры поверхности. Изд-во Мир, 1970. № 7. С. 212–214.

107. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической фи-зики. Новосибирск: Из–во Сиб. Отд. АН СССР. С. 1962–1992.

108. Лаврентьев М. М., Романов В.Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 288 с.

109. Лазуренко Н. В., Пилипенко Н. В. Исследования теплового состояния по-мещений больших размеров // Научно-технический вестник ИТМО. Актуальные про-блемы анализа и синтеза сложных технических систем. 2003. № 11. С. 158–161.

110. Локай В. И., Бодунов М. Н., Шуйков В. В., Щукин А. В. Теплопередача в ох-лаждаемых деталях газотурбинных двигателей летательных аппатаров. М.: Машино-строение, 1986. 216 с.

111. Лоусон Ч., Хенсон Р. Численное решение задачи метода наименьших квад-ратов. М.: Наука, 1986. 237 с.

112. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

164

113. Макаренко Г. В. Оптимальное планирование эксперимента при идентифи-кации параметров теплопереноса в элементах теплоэнергетического оборудования // Сб.научн.тр. ХАИ, 1998. С. 360–363.

114. Маковский В. А. Динамика металлургических объектов с распределенными параметрами. М.: Металлургия, 1971. 384 с.

115. Максимов Е.Н., Страдомский М.В. Измерение теплового потока в деталях тепловых двигателей с периодическими повторяющимися циклами // Пром. теплотех-ника, 1979. Т.1. С. 96–99.

116. Математическая теория планирования эксперимента / Под ред. Е. С. Ермакова. М.: Наука, 1983. 392 с.

117. Мацевитый Ю. М., Мултановский А. В. Идентификация в задачах тепло-проводимости // Киев:Наукова думка, 1982. 237 с.

118. Мацевитый Ю. М. Обратные задачи теплопроводности в 2-х томах // Киев: Наукова Думка, 2002. 408 с.

119. Медич Дж. Статистические оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. 440 с.

120. Методы тории чувствительности в автоматическом управлении / Под ред. Е. Н. Розенвассера, Р. М. Юсупова. Л.: Энергия, 1971. 260 с.

121. Метрологическое обеспечение измерительных систем. Основные положе-ния по ГОСТ Р 8.596-2002: Справ. // Инженерный журнал, 2003. № 5. С. 2–7.

122. Миллер Н.Г., Гнофро П.А., Уилдер С.Э. Экспериментальные и расчетные распределения плотности теплового потока на биконическом теле при числе Маха 10 //Аэрокосмическая техника, 1987. № 3. С. 121–132.

123. Михайлов В. В. Размещение точек измерений температуры и обусловлен-ность обратных задач теплопроводности // ИФЖ, 1989. Т. 57. № 5. С. 825–829.

124. Мишин В.П., Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена – области при-менения при проектировании и испытании технических объектов // ИФЖ, 1982, Т.42. № 2. С. 181-192.

125. Музылев Н. В. О единственности одновременного определения коэффици-ентов теплопроводности и объемной теплоемкости // ЖВМ и МФ, 1983. Т.23. № 1. С. 102–108.

126. Налимов В.В., Голикова Т.Н. Логические основания планирования экспе-римента // М.: Металлургия, 1980. 152 с.

127. Никитенко Н. И. Исследование процессов тепло- и массообмена методом сеток. Киев: Наукова думка, 1978. 212 с.

128. Орлин А.С., Чайнов И.Д., Поляков Ю.А.,Сазонов Ю.И. Экспериментальное исследование между газом и крышкой цилиндра вихрекамерного дизеля 148,5/11 пле-ночными термометрами сопротивления // Энергомашиностроение, 1975. № 6.С. 20–22.

129. Основные термины в области метрологии / М. Ф. Юдин, М. Н. Селиванов и др., Под ред. Ю. В. Тарбеева. М.: Изд-во стандартов, 1989. 113 с.

130. Основы идентификации и проектирования тепловых процессов и систем: Учебное пособие / О.М. Алифанов и др. М.: Логос, 2001. 400 с.

131. Панов О.М., Баскаков А.П., Годобин Ю.М. Экспериментальное исследова-ние лучистой и кондуктивно-конвективной составляющих внешнего теплообмена в вы-сокотемпературном кипящем слое // ИФЖ, 1979. Т. 36. № 3. С. 409–415.

132. Пантелеев А.А., Трушин В.А., Федоров В.Н. Экспериментальное определе-ние локальных коэффициентов теплоотдачи к турбинным лопаткам нестационарным методом // Вопросы теории и расчета рабочих процессов тепловых двигателей, 1977. № 1. С. 100–106.

165

133. Пилипенко Н. В., Польщиков Г. В., Шевнина Е. И. Диагностика дисперсных потоков энергетических установок // Труды I Российской национальной конференции по теплообмену. М. 1994. Т. 7. С. 162–166.

134. Пилипенко Н. В. Методические погрешности определения нестационарных условий теплообмена при параметрической идентификации // Измерительная техника, 2007. № 8. С. 54–59.

135. Пилипенко Н. В. Методические погрешности параметрической идентифи-кации моделей теплопереноса в нестационарной теплометрии // Научно-технический вестник ИТМО. Современные технологии, 2007. № 44. С. 21–29.

136. Пилипенко Н. В. Методы параметрической идентификации в нестационар-ной теплометрии. Ч. 1 // Известия ВУЗов. Приборостроение, 2003. № 8. Т.46. С. 50–54.

137. Пилипенко Н. В. Методы параметрической идентификации в нестационар-ной теплометрии. Ч. 2 // Изв. вузов. Приборостроение, 2003. № 10. Т.46. С. 67–71.

138. Пилипенко Н. В. Мониторинг дисперсных потоков и энергосбережения // Труды III Минского Международного форума. Минск, 1996. Т. 6.

139. Пилипенко Н. В. Параметрическая идентификация процессов теплоперено-са в нестационарной теплометрии: Учеб. пособие. СПб.: Из–во ИТМО, 2006. 96 с.

140. Пилипенко Н. В., Афанасьев В. П. Уточнение теплофизических свойств ма-териалов в процессе параметрической идентификации // Научно-технический вестник ИТМО. Исследования и разработки в области физики и приборостроения, 2006. № 31. С. 78–80.

141. Пилипенко Н. В., Гладских Д. А. Астатические датчики для определения не-стационарного теплообмена // Научно-технический вестник ИТМО. Исследования и разработки в области физики и приборостроения, 2006. № 31. С. 87–90.

142. Пилипенко Н. В., Гладских Д. А. Решение прямых и обратных задач тепло-проводности на основе дифференциально-разностных моделей теплопереноса // Изв. вузов. Приборостроение, 2007. Т. 50. № 3. C. 69–74.

143. Пилипенко Н. В., Гладских Д. А., Зеленская М. Г. Моделирование динамики теплопереноса в астатических преобразователях тепловых потоков и тепломере Гардо-на // Научно-технический вестник ИТМО. Исследования в области физики и оптики, 2005. № 18. С. 26–30.

144. Пилипенко Н. В., Зеленская М. Г. Методика восстановления нестационар-ного теплового потока и коэффициентов теплоотдачи с помощью тепломеров Гардона // Научно-технический вестник ИТМО. Исследования и разработки в области физики и приборостроения. 2006. № 31. С. 81–87.

145. Пилипенко Н. В., Зеленская М. Г. Параметрическая идентификация неста-ционарных тепловых потоков с помощью тепломеров «тонкого диска» // Измеритель-ная техника, 2006. № 7. С. 46–49.

146. Пилипенко Н. В., Ключев В. М. Измерение пульсаций теплового потока на теплонагруженных поверхностях // ИФЖ, 1982. Т. 43. № 5. С. 808–811.

147. Пилипенко Н. В., Ключев В. М. Исследование эффективности охлаждения радиатора мощного полупроводникового прибора псевдоожиженным слоем // Изв. ву-зов. Приборостроение, 1982. № 11. С. 90–93.

148. Пилипенко Н. В., Ключев В. М. Методы и устройства нестационарной теп-лометрии при криогенных температурах // Изв. вузов. Приборостроение, 1983. № 5. Т.26. С. 87–92.

149. Пилипенко Н. В., Лазуренко Н. В. Методика определения сопротивления теплопередачи ограждающих конструкций различного назначения // Научно-

166

технический вестник ИТМО. Исследования и разработки в области физики и приборо-строения, 2006. № 31. С. 73–77.

150. Пилипенко Н. В., Лазуренко Н. В., Лебедев П. В. Параметрическая иденти-фикация нестационарных потоков с помощью тепломеров «вспомогательная стенка» // Изв. вузов. Приборостроение, 2005. № 9. Т. 48. С. 47–50.

151. Пилипенко Н. В., Лазуренко Н. В., Соколов А. Н. Тепловой режим воздухо-опорных сооружений // Приборы, 2004. № 12. С. 34–37.

152. Пилипенко Н. В., Ходунков В. П. Устройство для измерения скорости двух-фазного потока // Изв. вузов. Приборостроение, 1989. № 3. Т. 22 С. 91–93.

153. Пилипко А. М., Геращенко О. А. Рабочие характеристики приемников теп-лового излучения для топочных камер // Методы экспериментальных исследований. Киев: Наукова думка, 1980. C. 202–207.

154. Полежаев Ю. В., Нарожный Ю. Г., Сафонов В. Е. Метод определения ко-эффициента теплопроводности высокотемпературных материалов при их нестационар-ном нагреве // ТВТ, 1973. Т. 11. № 3. С. 587–592.

155. Поляков Ю. А., Баутин А. В. Диагностика быстропеременных газодинами-ческих процессов // Методы экспериментальных исследований. Киев: Наукова думка, 1980. С. 180-185.

156. Почуев В. П., Щербаков В. Ф. Экспериментальное исследование теплооб-мена на поверхности рабочих лопаток турбины // Изв. вузов. Авиационная техника, 1981. № 1. С. 37–41.

157. Приборы для теплофизических измерений: Каталог. Ин-т техн. теплофизи-ки АН УССР, Киев, 1986. 73 с.

158. Розенблит Г. Б. Теплопередача в дизелях. М.: Машиностроение, 1977. 216 с.

159. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. 656 с. 160. Сапожников С. З., Митяков В. Ю., Митяков А. В. Градиентные датчики

теплового потока. СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. 168 с. 161. Сапожников С. З., Митяков В. Ю., Митяков А. В. Градиентные датчики

теплового потока: возможности и перспективы применения // Теплоэнергитика, 2006. № 4. С. 23–30.

162. Сапожников С. З., Митяков В. Ю., Митяков А. В. Градиентные датчики теплового потока в теплотехническом эксперименте. СПб.:Изд-во СПбГПУ, 2007. 203 с.

163. Сергеев В. А., Шур А. А. К вопросу об измерении нестационарных тепло-вых потоков // ИФЖ, 1989. Т. 57. № 1.

164. Сергеев В. Л., Строгий А. С. Применение метода обратной задачи для из-мерения распределений параметров в плазменной струе // Весцi АН БССР. Сер. фiз. энерг. наук, 1988. № 4. С. 69–71.

165. Сергеева Л. А., Сергеев В. А. Простой метод измерения переменного тепло-вого потока // ИФЖ, 1977. Т. 33. № 1. С. 111–114.

166. Симбирский Д. Ф. Температурная дианостика двигателей. Киев: Техника, 1976. 208 с.

167. Симбирский Д. Ф., Богданов В. Г. Оптимальное проектирование теплофи-зических измерительных систем // Пром. теплотехника, 1983. Т. 5. № 1. С. 18–25.

168. Симбирский Д. Ф. Гулей А. Оптимальное планирование экспериментально-расчетного определения теплопроводности твердых тел в режиме нестационарного на-грева // ИФЖ, 1983. Т. 45. № 5. С. 732–737.

167

169. Симбирский Д. Ф. Метрология косвенных измерений // Измер. техника, 1983. № 1. С. 12–14.

170. Симбирский Д. Ф., Бут Е. Н. Измерение тепловых потоков одномерными теплоприемниками с применением фильтра Калмана и сплайн-аппроксимации // Экспе-риментальные методы термопрочности газотурбинных двигателей. Сб. науч. трудов ХАИ, 1975. Вып. 2. С. 33–43.

171. Симбирский Д. Ф., Олейник А. В. Динамические измерения лучистой энер-гии с применением фильтра Калмана // Измер. техника, 1975. № 12. С. 20–21.

172. Симбирский Д. Ф., Олейник А. В., Епифанов С. В. Метрологические аспек-ты обратных задач теплопроводности // Тезисы докладов Минского межд. Форума. Минск, 1988. С. 25–27.

173. Симбирский Д. Ф., Олейник А. В., Макаренко Г. В. Планирование и оценка погрешности косвенных измерений. Ленинград, 1989. С 47–49.

174. Симбирский Д. Ф., Чайка Э. Г., Дабагян А. В., Жильцова Л. И. Приложение теории оптимальной фильтрации к задачам оцeнки состояния и идентификации гра-ничных условий одномерных тепловых систем // Экспериментальные методы термо-прочности газотурбинных двигателей. Сб. научн. трудов Харьковск. аэрокосмич. ун-та, 1973. Вып. 1. С. 86–105.

175. Симбирский Е. Ф., Гольцов А. С., Бут Е. Н. О погрешности дифференци-ально-разностной аппроксимации одномерного уравнения теплопроводности // Тепло-физика и теплотехника, 1977. Вып. 33. С. 92–96.

176. Смольский Б. М., Сергеева Л. А., Сергеев В. Л. Нестационарный теплооб-мен. Минск: Наука и техника, 1974. 160 с.

177. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

178. Степанов В.Н., Лоскутов А.С. Экспериментальное определение тепловых потоков на поверхностях камеры сгорания ДВС при переходных процессах // Двигате-лестроение, 1981. № 6. С. 9–11.

179. Стригл, Дилер. Анализ влияния температуры подмешивающейся жидкости на теплообмен при натекании струй на пластину // Теплопередача, 1984. № 1. С. 25–33.

180. Сурков Г. А. К вопросу определения тепловых потоков на поверхности пластины конечной толщины // Изв. АН БССР. Сер. физ-энерг. наук, 1977. № 3. С. 99–103.

181. Сурков Г. А., Ланин Ю. И. Инженерный метод определения теплового по-тока по данным температурных измерений // Сер. физ.-энерг. наук, 1990. № 2. С. 97–101.

182. Температурные измерения: Справ. / О. А. Геращенко, А. Н. Гордов, А. К. Еремина и др. Киев: Наукова думка, 1989. 704 с.

183. Теория автоматического управления. Ч. 1 / Под ред. А. А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986. 367 с.

184. Теплицкий Ю. С., Ноготов Е. Ф. Перемешивание частиц в циркулирующем кипящем слое // ИФЖ, 2002. № 3, Т. 75.

185. Теплофизические измерения и приборы / Е. С. Платунов, С.Е. Буравой, В. В. Курепин, Г. С. Петров. Л.: Машиностроение, 1986. 256 с.

186. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

187. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

168

188. Тодес О. Н., Цитович О. Б., Пилипенко Н. В., Ключев В. М., Ходунков В. П. Теплообмен в заторможенном псевдоожиженном слое // ИФЖ, 1986. Т. 50. № 3. С. 445–451.

189. Точность контактных методов измерения температуры / А. Н. Гордов, Я. В. Малков, Н. Н. Эргардт, Н. А. Ярышев. М.: Изд-во Стандартов, 1976. 232 с.

190. Успенский А. Б. Обратные задачи математической физики — анализ и пла-нирование эксперимента. Математические методы планирования эксперимента. Ново-сибирск, 1981. С. 193–242.

191. Успенский А. Б., Федоров В. В. Вычислительные аспекты метода наимень-ших квадратов при анализе и планировании регрессионных экспериментов. М.: МГУ, 1975. 120 с.

192. Филипповский Н. Ф., Жарков А. А., Баскаков А. П. Термоанемометрические измерения пульсаций коэффициента теплоотдачи в псевдоожиженном слое // ИФЖ, 1980. Т. 38. № 1. С. 49–54.

193. Хейджер, Лэнгли, Смит, Онаси, Дилер. Экспериментальные характеристи-ки микродатчика теплового потока // Современное машиностроение, 1991, сер. А. № 7. С. 74–79.

194. Химельблау Д. Т. Анализ процессов статистическими методами (Пер. с англ.). М.: Мир, 1973. 957 с.

195. Ходж Дж. К., Одли Д. Р. Оценка аэротермодинамических параметров по показаниям термопар, полученным в условиях неустановившихся маневров орбиталь-ной ступени «Спейс Шаттл» // Аэрокосмическая тех-ка, 1987. № 8. С. 37–47.

196. Ходж Дж. К., Чжэнь Э. Дж., Хей Дж. Р. Метод определения коэффициен-та теплоотдачи в нестационарных условиях при больших временах измерения // Аэро-космическая техника, 1989. № 4. С. 146–158.

197. Черинько В. Н. Методы нестационарной теплометрии: Автореф. дисс. … канд. техн. наук. Киев, 1982.

198. Шашков А. Г. Динамические методы измерения тепловых потоков // Изме-рит. техн., 1980. № 5. С. 35–39.

199. Шашков А. Г. Системно-структурный анализ процесса теплообмена и его применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 280 с.

200. Шевченко Т. Е., Кочо В. С., Гончаров А. Н. Устройство для раздельного оп-ределения конвективной и лучистой составляющих процесса теплопередачи // Метал-лургия и коксохимия, 1982. № 77. С. 125–128.

201. Шумаков Н. В. Метод последовательных интервалов в теплометрии неста-ционарных процессов. М.: Атомиздат, 1979. 216 с.

202. Эльясберг П. Е. Определение движений по результатам измерений. М.: Наука, 1976. 416 с.

203. Ярышев Н. А. Теоретические основы измерения нестационарной темпера-туры. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 256 с.

204. Ярышев Н. А., Заровная Н.Н., Шугаева Т. В. Динамика теплообмена естест-венного тепломера // Изв. вузов. Приборостроение, 1986. Т. 29. № 8. С. 85–90.

205. Ярышев Н. А., Смирнова Т. В., Заровная Н. Н., Васильев Г. А. Динамика те-плообмена комбинированного тепломера // Измер. техника, 1990. № 2. С. 15–16.

206. Ярышев Н. А., Уточкин Н. А. Динамические свойства измерителя теплово-го потока типа вспомогательной стенки // Изв. вузов. Приборостроение, 1978. № 7. С. 113–118.

169

207. Ярышев Н. А., Уточкин С. В. Восстановление входного воздействия для операционной модели измерительного преобразователя теплового потока // Промыш-ленная теплотехника, 1983. Т. 5. № 1. С. 3–9.

208. Assanis Dennis N., Badillo Edward. Evaluation of Alternative Thermocouple Designs for Transient Heat Transfer Measurements in Metal and Ceramic Engines // SAE Techn. Pap. Ser., 1989. № 890571. P. 169–184.

209. Assanis D. N., Friedman E. A. A prototype thin-film thermocouple for transient heat transfer measurements in ceramic-coated combustion chambers.

210. Atkinson W. H., Strange R. R., Moffat R. J. Development of Porous Plug Radiometers for Use in Advanced Gas Turbirte Engine Programs // AIAA Pap., 1988. № 3040. P. 1–4.

211. Ben-Haim Yakov, Elias Ezra. Indirect Measurement of Surface Temperature and Heat Flux: Optimal Design Using Convexity Analysis // Int. J. Heat and Mass Transfer, 1987, 30. № 8. P. 1673–1683.

212. Byrne J. E., Yu L. S. L. Calculation of Transient Heat Flux and Temperature at a Solid-fluid Interface. «2nd UK Nat. Conf. Heat Transfer, Glasgow, 14–16 Sept., 1988. Vol. 2 Sess. 4 A–6 C.». London, 1988. P. 1075–1086.

213. COSMOS/M. Structural Research and Analysis Corporation. Santa Monica, CA, 1993.

214. Fort C., Kageyama Т., Saulnier J. B. Identification of Heat Flux in the Wall of a Combustion Chamber by Solving an Inverse Conduction Problem. «Heat Transfer, 1990 Proc. 9th Int. Heat Transfer Conf., Jerusalem, 1990. Vol. 5.». New York etc., 1990. P. 473–478.

215. Grossin R. Sensibilite des Fluxmetres Thermiques a Lame // Rev. gen. therm., 1981, 20. № 238. P. 733-741, 693, 695, 697–698.

216. Guеrnigou М. J. Fluxmetres a Court Temps de Reponse // «Congr. Mesucora 79. Sess. № 7». Sevres, s.a., 1979. P. 39–46.

217. Hayashi Masanоri, Sakurai Akira, Aso Shigeru. An Investigation of a Milti-layered Thin Film Heat Transfer Gauge // Меm. Fac:.Eng. Kyushu Univ., 1984, 44. № 1. P. 113–124.

218. Hsieh С. К., Lin Jeou-feng. Solution of inverse heat-conduction problems with unknown initial conditions // «Heat Transfer 1986: Proc. 8th Int. Conf». Washington, D. C, 1986. P. 609–614.

219. Hummer E., Fricke L. Thermal Loss Coefficients of Walls From Non-stationary in-situ Temperature- and Heat Flux-measurements // Int. Commun. Heat and Mass Transfer, 1986, 13. № 4. P. 475–482.

220. Imber M. Nonlinear Heat Transfer in Planar Solids: Direct and Inverse Application // AIAAJ, 1979. № 17. P. 204–212.

221. Kalman R. Busy R. New results in linear filtering and prediction theory // J. Basic Engr. (ASME Trans.), 1961. V. 83. P. 95–108.

222. Kidd C. T. Thin-skin Technique Heat-Transfer Measurement Errors due to Heat Conduction into Thermocouple Wires // ISA Trans., 1985, 24. № 2. P. 1–9

223. Malсоrps Н. Frequency-response of Heat Fluxmeters // J. Phys. E: I — Sci. Instrum, 1981, 14. № 10. P. 1054–1060.

224. Malсоrрs H. Influence of Convection, Conduction, and Radiation on the Frequency Response of Heat Fluxmeters // Rev. Sci. Instrum., 1982, 53. № 3. P. 362–365.

225. Ortliche Wiesmestrommessungmit Hilfswand-Warmesrfromanfnehmern in Materialen unbeckannfer Warmeleitfahigreit // E. Kaiser — Messstenern — Regeln, 1983, v.26. № 2. P. 92–94.

170

226. Osman A. M., Beck J. V. Nonlinear Inverse Problem for the Estimation of Time-and-space-Dependent Heat-Transfer Coefficients // J. Thermophys. Heat transfer, 1989, 3. № 2. P.146–152.

227. Pilipenko N. Parametrical Identification of Differential-difference Heat Transfer Models in Non-stationary Thermal Measurements // Advances in heat transfer: Proceedings of the Baltic heat transfer conference, 2007. Vol. 2. P. 598–602.

228. Pilipenko N. Parametrical Identification of Differential-difference Heat Transfer Models in Non-stationary Thermal Measurements // Heat Transfer Research, 2008. Vol. 39. №. 4. pp. 311–315.

229. Raynaud M., Beck J. V. Methodology for Comparison of Inverse Heat Conduction Methods // Trans. ASME: J. Heat Transfer, 1988. Vol. 110. № 1. P. 30–37.

230. Raynaud M., Bransier J. A New Finite-difference Method for the Nonlinear Inverse Heat Conduction Problem // Numer. Heat Transfer, 1986. Vol. 9. № 1. P. 27–42.

231. Raynaud M. Combination of Methods for the Inverse Heat Conduction Problem with Smoothing Filters // AIAA Pap., 1986. № 1243. pp. 9–11.

232. Shallcross D. C., Wood D. G. The Accurate Measurement of Heat Flux Using a Film Heat Flux Sensor with Application to Axisymmetric Bodies «Heat Transfer 1986; Proc. 8th Int. Conf., San Francisco, Calif., 1986. Vol. 2.». Washington, D.C., 1986. P. 477–482.

233. Spalding D. B. A General Purpose of Computer Program for Multidimensional One- and twophase Flow // Mathematics and computers in Simulation, 1981, XXIII. P. 267–276.

234. Таher Jan. Sonda do Pomiaru Gestosci Strumienia Ciepta // Pomiary, autom., kontr., 1982, 28. № 8–9. P. 266–268, 288.

235. Tervola Pekka. A Method to Determine the Thermal Conductivity from Measured Temperature Profiles // Int. J. Heat. and Mass Transfer., 1989, 32. № 8. P. 1425–1430. 236. Trujillo D. M., Wallis R. A. Determination of Heat Transfer from Components During Quenching // Ind. Heat, 1989, 56. № 7. P. 22–24.

237. Wesley D. A. Thin disk on a convectively cooled plate-application to heat flux measurement errors // Trans. ASME. J. Heat Transf., 1979, 101. № 2. P. 346–352.

238. Wong H. Y. The measurement of convective heat loss from a solid surface to an airstream // J. Phys., 1979, E12. № 4. P. 270–271.

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в ре-зультате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утвер-ждена Программа развития государственного образовательного учрежде-ния высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский го-сударственный университет информационных технологий, механики и оп-тики» на 2009–2018 годы.

КАФЕДРА КОМПЬЮТЕРНОЙ ТЕПЛОФИЗИКИ И ЭНЕРГОФИЗИЧЕСКОГО МОНИТОРИНГА

Начало теплофизической научной школы в университете было по-ложено организацией в 1938 году кафедры приборов теплосилового кон-троля, заведующим которой стал профессор, доктор технических наук Г.М.Кондратьев (1887-1958). В 1954 году вышла в свет его монография «Регулярный тепловой режим». Изложенные в ней идеи впоследствии бы-ли успешно применены в различных областях, например, при создании но-вого типа приборов для исследования теплофизических свойств веществ и параметров теплообмена. В начале 50-х годов началась разработка мето-дов теплового расчета радиоэлектронных устройств, а в дальнейшем и других приборов – оптических, оптико-электронных, гироскопических. Серия этих работ была выполнена под руководством Заслуженного деяте-ля науки и техники РСФСР, профессора, доктора технических наук Дуль-нева Г.Н., возглавлявшего кафедру с 1958 года по 1995 год. В результате был создан новый математический аппарат анализа теплового режима сложных технических систем и приборов, разработаны методы проектиро-вания приборов с заданным тепловым режимом. Комплекс этих работ при-знается и в нашей стране, и за рубежом как новое научное направление в теплофизике. Кафедра приборов теплосилового контроля за свою много-летнюю историю не раз изменяла свое название. Так, с 1947 года она име-новалась кафедрой тепловых и контрольно-измерительных приборов, с 1965 года – кафедрой теплофизики, с 1991 года – кафедрой компьютерной теплофизики и энергофизического мониторинга. Однако основным на-правлением ее научной и педагогической деятельности оставалось приме-нение учения о теплообмене в физике и приборостроении. С 1995 года за-

ведующим кафедрой является профессор, доктор технических наук А.В.Шарков.

Многолетняя деятельность кафедры привела к созданию научной и педагогической школы теплофизиков-приборостроителей, из которой вы-шли доктора наук А.Н.Гордов, А.И.Лазарев, Г.Н.Дульнев, Б.Н.Олейник, Е.С.Платунов, Н.А.Ярышев, В.Н.Васильев, Ю.П.Заричняк, А.В.Шарков и другие ученые-теплофизики.

Сотрудники кафедры принимали участие в разработке нового поко-ления вычислительных машин, исследовании термооптических явлений в космических комплексах, в реализации международных программ косми-ческих исследований. Так, предложенные на кафедре методы были ис-пользованы при проектировании телевизионных камер космических аппа-ратов в проекте «ВЕГА», при создании лазерного устройства в проекте «ФОБОС». Возможности разработанных на кафедре методов математиче-ского моделирования тепловых процессов в сложных системах и технике теплофизического эксперимента были продемонстрированы при анализе процессов теплообмена в организме человека; при создании электрогене-раторов, работа которых использует явления сверхпроводимости; при соз-дании оригинальных образцов оборонной, медицинской и измерительной техники.

В рамках традиционных направлений развиваются работы по созда-нию методов и приборов для измерения температуры, тепловых потоков, теплофизических свойств веществ, исследования коэффициентов переноса в неоднородных средах, а также работы по созданию принципиально но-вых композиционных материалов – особо прочных, термостойких, тепло-изоляционных и т.д.

В последние годы наряду с традиционными научными направле-ниями появился ряд новых направлений, связанных с экологическим мо-ниторингом, энергосберегающими технологиями, биологией и медицин-ским теплофизическим приборостроением. На базе ведущихся на кафедре научных исследований осуществляется обучение молодых специалистов, первый выпуск которых по специальности «Теплофизика» состоялся в 1969 году. В 1998 году кафедра получила также право обучения по новому для нашего университета направлению – «Техническая физика». В июне 1998 года состоялся первый выпуск бакалавров, а в 2000 году – магистров.

На кафедре ведется подготовка научных кадров высшей квалифика-ции в аспирантуре и докторантуре по специальностям 01.04.14 – «Тепло-физика и теоретическая теплотехника» и 05.11.01 «Приборы и методы из-мерения тепловых величин». Сейчас коллектив кафедры продолжает раз-витие как ставших уже традиционными научных направлений и направле-ний подготовки специалистов, так и ведет поиск в новых областях науки и техники.

Николай Васильевич Пилипенко

МЕТОДЫ И ПРИБОРЫ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОМЕТРИИ НА ОСНОВЕ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Учебное пособие

В авторской редакции Дизайн И.А. Сиваков Верстка О.В. Ключка Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики Зав. РИО Н.Ф. Гусарова Лицензия ИД № 00408 от 05.11.99 Подписано к печати Заказ № Тираж Отпечатано на ризографе

Редакционно-издательский отдел Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49