Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
1/63
ЗАКОН ОМАВ КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
2
2/63
Закон Ома в комплексной формеоснован на символическом методеи справедлив для линейных цепейс гармоническими напряжениями
и токамиЭтот закон следует из
физической взаимосвязимежду током и напряжениемотдельных элементов цепи
3
3/63
Синусоидальный ток в резисторе
)sin(2
)sin(2
α+ω=⋅=
α+ω=
tURiu
Омазаконупо
tIiпри
Для действующих значений:
RIU ⋅=
4
4/63
Резистивный
элемент
Комплекс
напряжения
Векторы
напряжения и
тока
RI&
IRUR&& ⋅=
RU&I&
+j
+1
RU&
5
5/63
На комплексной плоскостивектор напряжения
резистивного элементасовпадает по направлению
с вектором своего тока
6
6/63
Мгновенная мощность:
( )( )
2 2
2
2 sin
1 2
p u i I R t
I R cos t
ω α
ω α
= ⋅ = ⋅ + =
= − +
Средняя мощность за период Т
( ) 2
0
1,
T
P p t dt I R BтT
= =∫
7
7/63
Р - называется активной мощностью и
используется в балансе активных мощностей
mI&
ωt
α = 0
i(t)U(t)
P(t)
P
mU&
8
8/63
Синусоидальный ток в индуктивности
)90sin(2
)cos(2
:
)sin(2
0++⋅⋅=
=+⋅⋅==
+=
αω
αωω
αω
tU
tLIdt
diLu
индукции
нитнойэлектромагзаконупо
tIiпри
9
9/63
Индуктивный
элемент
Комплекс
напряжения
Векторы
напряжения и
тока
+j
+1
I&
LU&
LjX
IjXILjU LL&&& == ω
I&LU&
10
10/63
На комплексной плоскостивектор напряжения
индуктивного элементаопережает по направлению
вектор своего токана 90°
11
11/63
Для действующих значений:
LXILIU ⋅=⋅= ω
где LXL ⋅= ωиндуктивное реактивное сопротивление
В индуктивности напряжение
опережает ток на 090
12
12/63
)(2sin
)cos()sin(2 2
αω
αωαω
+⋅=
=+⋅+⋅⋅=
=⋅=
tQ
ttXI
iuр
L
L
Мгновенная мощность равна:
где −⋅= варXIQ LL ,2
реактивная индуктивная мощность
13
13/63
14
14/63
Когда 0≥p индуктивность потребляет
энергию, которая запасается в магнитном
поле;
Когда 0≤p запасенная энергия
возвращается в сеть.
Средняя за период Т активная мощность Р=0.
15
15/63
Синусоидальный ток в ёмкости
)90sin(2
)cos(2)(1
:
)sin(2
0−+⋅⋅=
=+⋅⋅
⋅−=⋅=
+⋅⋅=
∫αω
αωω
αω
tU
tC
Idtti
Сu
получимнапряжениядля
tIiпри
Сi
16
16/63
Для действующих значений:
CXIC
IU ⋅=
⋅=ω
ниесопротивле
емкостноереактивное
СXгде С −
⋅=ω
1
17
17/63
Емкостный
элемент
Комплекс
напряжения
Векторы
напряжения и
тока
IjXIC
jU CC
&&& −=−=ω
I& CjX−
CU&
I&
CU&+1
+j
18
18/63
На комплексной плоскостивектор напряженияемкостного элемента
отстает по направлениюот вектора своего тока
на 90 градусов
19
19/63
В ёмкости напряжение отстаёт от тока
на090
Мгновенная мощность равна:
)(2sin
)cos()sin(2 2
αω
αωαω
+⋅=
=+⋅+⋅⋅−=
=⋅=
tQ
ttXI
iuр
C
C
20
20/63
ВарXIQ CC ,⋅−= 2где
реактивная емкостная мощность
21
21/63
Когда 0≥p ёмкость потребляет
энергию, которая запасается в электрическом
поле;
Когда 0≤p запасенная энергия
возвращается в сеть.
Средняя за период Т мощность Р=0.
22
22/63
LXL ω= - индуктивноесопротивление (Ом)
CXC ω
1= - емкостноесопротивление (Ом)
23
23/63
Закон Ома в комплексной формедля отдельных элементов аналогичен
закону Ома для резистивного элементана постоянном токе
24
24/63
Комплексная схема
замещения цепи
R
LjX
CjX−−−−E&I&
25
25/63
C
CL
jXR
jXRjXZ
−−
+=)(&
Z
EI
&
&& =
26
26/63
эквивалентное комплексноесопротивление цепи (Ом)
ϕjЭЭ eZjXRZ ⋅=+=&
2Э
2Э XRZ +=
модуль сопротивления (Ом)
Э
Э
R
Xarctg=ϕ
фаза сопротивления (град)
27
27/63
ЗАКОНЫ КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
28
28/63
Сложению и вычитаниюгармонических токов и напряжений
с одинаковой угловой частотойв законах Кирхгофа
соответствует сложение и вычитаниеих комплексных величин
ω
29
29/63
1. ПЕРВЫЙЗАКОН КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
30
30/63
Для любого узла комплексной схемызамещения цепи алгебраическая
сумма комплексных значений токовравна нулю
∑ =± 0Ik&
31
31/63
Например:
0III 321 =++− &&&
а1I&
3I&
2I&
32
32/63
2. ВТОРОЙЗАКОН КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
33
33/63
Для любого контура комплексной схемызамещения цепи алгебраическаясумма комплексов напряженийна пассивных элементах равна
алгебраической сумме комплексовЭДС и напряжений на
источниках тока
∑ ∑ ∑ ∑±+±+±=± pqJkn UUEU &&&&
34
34/63
Например:
U&
CU&JU&CI&+
RU&
LU&
E&
RI&
LI&
J& +
+
+
R
LjX
CjX−−−−
35
35/63
UUEUUU JCLR&&&&&& +−=+−
или
UUEIjXIjXIR JCCLLR&&&&&& +−=−+− )(
36
36/63
3. МЕТОД ЗАКОНОВКИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙФОРМЕ
37
37/63
Решая комплексные алгебраическиеуравнения, составленныепо законам Кирхгофа в
комплексной форме, можноопределить комплексы токов и
напряжений в комплекснойсхеме замещения цепи
38
38/63
Например:
a
+1 к. 2 к.
LjX
CjX−−−−
R
E&
в
J&
JU&2I&
1I&
39
39/63
11nn y1 ====−−−−====
2nnn 1в2 ====−−−−====
2n y ==== 3nв ====
40
40/63
021 =−+− JIIa &&&:
EIjXIjXRк CL&&& =⋅−+⋅+ 211 )()(:
JC UIjXк && −=⋅−− 22 )(:
41
41/63
1−−−− 1 01I&
1 00 CjX JU&
J&
0)jXR( L++++ )( CjX−2I& E&====××××
42
42/63
ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФАВ КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
ИМЕЮТ ТАКОЙ ЖЕ ВИД КАКИ ДЛЯ ЦЕПЕЙ С ПОСТОЯННЫМИ
ТОКАМИ, ПОЭТОМУ ККОМПЛЕКСНЫМ СХЕМАМ
ПРИМЕНИМЫ ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕМЕТОДЫ РАСЧЕТА,
НО В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
43
43/63
Мощностьпри гармонических
напряженияхи токах
44
44/63
u(t)
+а i(t)
в
)B(),tsin(U2)t(u αααα++++ωωωω====
)A(),tsin(I2)t(i ββββ++++ωωωω====
45
45/63
+
Z&U&
)(,α ВUeU j=&
)(, AIeI βj=&
)(, ОмjXRZeZ φj +==&
I&
Пусть задано:
а
в
46
βjIeI −=*
При находим
)(,*
ВАjQPIUS +=⋅= &&
- комплекс полной мощности
βjIeI −=*
-сопряженноезначение тока
где
47
47/63
)(,
)(**
ВАXjIRIIZ
IIZIUS
222 +==
===
&
&&&&
Т.к. IZU &&& ⋅= , то
48
48/63
)Вт(,RIcosUIP 2====ϕϕϕϕ====
- это мощность тепловойэнергии
Таким образомактивная мощность:
49
49/63
)вар(,XIsinUIQ 2== ϕϕϕϕ
- пропорциональнамаксимальной энергии,
запасаемой в электромагнитномполе
Реактивная мощность:
50
50/63
)ВА(,cos
PUIS
ϕϕϕϕ========
-это максимальновозможная активная
мощность
при 1cos ====ϕϕϕϕ
Полная мощность:
51
51/63
а) треугольник сопротивлений
ϕϕϕϕ
Z
R
Х
22 XRZ ++++====
Z
Rcos ====ϕϕϕϕ
Можно изобразить:
52
52/63
б) треугольник напряжений
ϕϕϕϕ
U
RU
2x
2R UUU ++++====
U
Ucos R====ϕϕϕϕ
ХU
IXU;IRU XR ========
53
53/63
в) треугольник мощностей
ϕϕϕϕ
S
P
22 QPS ++++====
S
Pcos ====ϕϕϕϕ
Q
54
54/63
Топографическиеи лучевыевекторныедиаграммы
55
55/63
Топографические и лучевыевекторные диаграммы
используются при анализеи расчете цепей с синусоидаль-ными напряжениями и токами
Эти диаграммы строятсясовмещенными на комплексной
плоскости в масштабахнапряжения и тока
56
56/63
Лучевые векторные диаграммыстроятся для комплексов
действующихзначений токов, когда их
вектора выходят из началакоординат каждый под своим
угломЭти диаграммы используются
для графической проверкипервого закона Кирхгофа
57
57/63
Топографические векторныедиаграммы строятся длякомплексов действующих
значений напряжений, когдаих вектора подстраиваются
один к другому, образуязамкнутые контуры
Эти диаграммы используютсядля графической проверкивторого закона Кирхгофа
58
58/63
Пример 1
d
CjX−−−−E&
I&
U& LjX
LI&
СI&
с
R
RI&
59
59/63
СI&
E&
+1
+j
U&
с
d
LI&
LI&
RI&
RI&
I&
ммВ...mU ====
ммA...mI ====
60
60/63
Пример 2
dCjX−−−−
E&
RU&
LjX
I&
сR
LU&
а
СU&
b
61
61/63
I
dRU&
E&
+1
+j
LU&
с
а
CU&
b
ммВ...mU ====
ммA...mI ====
62
62/63
Пример 3
а
CjX−−−−E&
I&
RU&
LjX
RLI&
СI&с
R
LU&
b СU&
63
63/63
СI&
+1
+j
СU&
aRLI&
I&
bRU&
c
LU&
ммВ...mU ====
ммA...mI ====
E&