ÌÈÍÎÁ�ÍÀÓÊÈ �ÎÑÑÈÈÔÅÄÅ�ÀËÜÍÎÅ �ÎÑÓÄÀ�ÑÒÂÅÍÍÎÅ ÁÞÄÆÅÒÍÎÅÎÁ�ÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ Ó×�ÅÆÄÅÍÈÅÂÛÑØÅ�Î Ï�ÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎ�Î ÎÁ�ÀÇÎÂÀÍÈß¾ÑÀÌÀ�ÑÊÈÉ �ÎÑÓÄÀ�ÑÒÂÅÍÍÛÉ ÒÅÕÍÈ×ÅÑÊÈÉÓÍÈÂÅ�ÑÈÒÅÒ¿Êà�åä ð à ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èí�îðìàòèêèÈÍÔÎ�ÌÀÒÈÊÀMATLAB (Ìàòðè÷íàÿ ëàáîðàòîðèÿ)Ó÷åáíîå ïîñîáèå

ÑàìàðàÑàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò2013

ÓÄÊ 681.3.06.800Èí�îðìàòèêà. MATLAB (Ìàòðè÷íàÿ ëàáîðàòîðèÿ): ó÷åáíîåïîñîáèå / Î.Ñ. À�àíàñüåâà, Å.Â. Áàøêèíîâà, �.Ô. Åãîðîâà; Ñàìàð.ãîñ. òåõí. óí-ò. Ñàìàðà, 2013, 100 ñ.Ó÷åáíîå ïîñîáèå ñîäåðæèò ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿè ó÷åáíûå çàäàíèÿ ïî ïðèìåíåíèþ ïðîãðàììû MATLAB, çàäà÷èè óïðàæíåíèÿ ïî ðàçäåëó êóðñà èí�îðìàòèêè: ¾MATLAB (Ìàò-ðè÷íàÿ ëàáîðàòîðèÿ)¿.Ïîñîáèå ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ íàïðàâëåíèÿ ïîäãîòîâêèìàøèíîñòðîèòåëüíîãî, �èçèêî-òåõíîëîãè÷åñêîãî �àêóëüòåòîâ è �à-êóëüòåòà ïèùåâûõ ïðîèçâîäñòâ Ñàì�ÒÓ.Áèáëèîãð.: 2 íàçâ.Ïå÷àòàåòñÿ ïî ðåøåíèþ ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî ñîâåòà Ñàì�ÒÓ�åöåíçåíò: ê.�.-ì.í., äîöåíò Â.Í. Ìàêëàêîâ

Î.Ñ. À�àíàñüåâàÅ.Â. Áàøêèíîâà,�.Ô. Åãîðîâà, 2013 Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûéòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò, 2013

ÏðåäèñëîâèåÏðåäëàãàåìûé ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì ñîäåðæèò ìåòîäè-÷åñêèå óêàçàíèÿ è ó÷åáíûå çàäàíèÿ ïî ïðèìåíåíèþ ïðîãðàì-ìû MATLABr (ñîêðàùåíèå îò ¾Matrix Laboratory¿, ïðîèçâîä-ñòâî MathWorks, In .) äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàñ÷åòîâ [1℄.Öåëüþ âûïîëíåíèÿ ëàáîðàòîðíûõ ðàáîò ÿâëÿåòñÿ ïðèîá-ðåòåíèå è çàêðåïëåíèå ïðàêòè÷åñêèõ íàâûêîâ èñïîëüçîâàíèÿñòóäåíòàìè ñîâðåìåííûõ âûñîêîóðîâíåâûõ ÿçûêîâ ïðîãðàì-ìèðîâàíèÿ. Ïðàêòèêóì ïðåäíàçíà÷åí äëÿ ñòóäåíòîâ ïåðâîãîêóðñà ìàøèíîñòðîèòåëüíîãî, �èçèêî-òåõíîëîãè÷åñêîãî �à-êóëüòåòîâ è �àêóëüòåòà ïèùåâûõ ïðîèçâîäñòâ. Ïðåäïîëàãà-åòñÿ, ÷òî íàáîð çàäàíèé äëÿ ðàçíûõ �àêóëüòåòîâ áóäåò âûáè-ðàòüñÿ ïðåïîäàâàòåëÿìè â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåáîâàíèÿìè Ô�ÎÑÂÏÎ.

3

ÂâåäåíèåÏðîãðàììà MATLAB (ñîêðàùåíèå îò ¾Matrix Laboratory¿,ïðîèçâîäñòâî MathWorks, In .) îáëàäàåò øèðîêèìè âû÷èñëè-òåëüíûìè âîçìîæíîñòÿìè â îáëàñòè ìàòåìàòèêè, ÿâëÿåòñÿ óäîá-íîé èíòåðàêòèâíîé ñðåäîé äëÿ ðàçðàáîòêè àëãîðèòìîâ, âèçó-àëèçàöèè è àíàëèçà äàííûõ, ÷èñëîâûõ ðàñ÷åòîâ [2℄.MATLAB ñîäåðæèò ïÿòü îñíîâíûõ ÷àñòåé:� ÿçûêMATLAB� ÿçûê ìàòðèö è ìàññèâîâ âûñîêîãî óðîâ-íÿ ñ óïðàâëåíèåì ïîòîêàìè, �óíêöèÿìè, ñòðóêòóðàìèäàííûõ, îñîáåííîñòÿìè îáúåêòíî-îðèåíòèðîâàííîãî ïðî-ãðàììèðîâàíèÿ;� ñðåäà MATLAB�âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñðåäñòâà äëÿ óïðàâëå-íèÿ ïåðåìåííûìè, ââîäîì è âûâîäîì äàííûõ, ñîçäàíèÿè îòëàäêè M-�àéëîâ è ïðèëîæåíèé MATLAB;� óïðàâëÿåìàÿ ãðà�èêà � ãðà�è÷åñêàÿ ñèñòåìà MATLAB,êîòîðàÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ êîìàíäû âûñîêîãî óðîâíÿ äëÿâèçóàëèçàöèè äâóõ- è òðåõìåðíûõ äàííûõ, îáðàáîòêè èçîá-ðàæåíèé, àíèìàöèè è èëëþñòðèðîâàííîé ãðà�èêè;� áèáëèîòåêà ìàòåìàòè÷åñêèõ �óíêöèé;� ïðîãðàììíûé èíòåð�åéñ ïîçâîëÿåò ïèñàòü ïðîãðàììûíà Ñ++ è Fortran, êîòîðûå âçàèìîäåéñòâóþò ñ MATLAB.Äîïîëíèòåëüíûå âîçìîæíîñòè îáåñïå÷èâàþòñÿ ïàêåòàìè:� Symboli Math Toolbox � èíñòðóìåíòàðèé ñèìâîëüíîé ìà-òåìàòèêè, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñèìâîëüíûõ âûðà-æåíèé;� Optimization Toolbox, Statisti s Toolbox, Wavelet Toolboxè äðóãèå ïàêåòû, ïîêóïàåìûå ïîëüçîâàòåëÿìè îòäåëüíî,4

äëÿ ðåøåíèè çàäà÷ îïòèìèçàöèè, ñòàòèñòè÷åñêîé îáðà-áîòêè äàííûõ èëè Âåéâëåò àíàëèçà è äðóãèõ ïðîáëåì,òðåáóþùèõ áîëåå øèðîêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ìàòåìàòè÷å-ñêîãî àïïàðàòà;� Simulink � èíòåðàêòèâíàÿ ñèñòåìà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ íå-ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, êîòîðàÿ ðàáîòàåò ñ ëè-íåéíûìè, íåëèíåéíûìè, íåïðåðûâíûìè, äèñêðåòíûìè èìíîãîìåðíûìè ñèñòåìàìè;� Blo ksets � ýòî äîïîëíåíèÿ ê Simulink, êîòîðûå îáåñïå÷è-âàþò áèáëèîòåêè áëîêîâ äëÿ ñïåöèàëèçèðîâàííûõ ïðè-ëîæåíèé, òàêèõ êàê ñâÿçü, îáðàáîòêà ñèãíàëîâ, ýíåðãå-òè÷åñêèå ñèñòåìû;� Real-Time Workshop� ýòî ïðîãðàììà, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåòãåíåðèðîâàòü Ñ++ êîä èç áëîêîâ äèàãðàìì è çàïóñêàòü èõíà âûïîëíåíèå â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ ðåàëüíîãî âðåìåíè.Ëàáîðàòîðíûé ïðàêòèêóì ïî ïðèìåíåíèþ ïàêåòà ïðèêëàä-íûõ ïðîãðàìì MATLAB âêëþ÷àåò â ñåáÿ ñëåäóþùèå òåìû:âû÷èñëåíèå àðè�ìåòè÷åñêèõ âûðàæåíèé, ýëåìåíòàðíûõ è ñî-ñòàâíûõ �óíêöèé, òàáóëèðîâàíèå �óíêöèé; çàäà÷è ëèíåéíîéè âåêòîðíîé àëãåáðû; ïîñòðîåíèå ãðà�èêîâ �óíêöèé îäíîé èäâóõ ïåðåìåííûõ; âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ, ïðîèçâîäíûõ, ïåðâî-îáðàçíûõ è îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ, ðåøåíèå íåëèíåéíûõóðàâíåíèé, àïïðîêñèìàöèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé(èíòåðïîëèðîâàíèå, ÌÍÊ), ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå è ïðè-áëèæåííîå ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâ-íåíèé, à òàêæå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ, îïèñûâàåìûõ îäíî-ðîäíûìè äè��åðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêàñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè ñ ïîìîùüþ èíòåðàêòèâíîéñèñòåìûSimulink.5

×àñòü 1.Îñíîâû ðàáîòû â ñðåäå MATLAB1.1. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �1.Çíàêîìñòâî ñî ñðåäîé ïàêåòà MATLABÖåëü: îñâîåíèå îñíîâ ðàáîòû â ñðåäå ïàêåòà MATLAB èïðèîáðåòåíèå íàâûêîâ âû÷èñëåíèé â ýòîé ñðåäå.Ïðîãðàììà MATLAB, íà÷èíàÿ ñ 6 âåðñèè èìååò èíòåð�åéñðèñ. 1, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ �àáî÷èé ñòîë. Ïî óìîë÷àíèþ �à-áî÷èé ñòîë (èëè ðàáî÷àÿ îáëàñòü) âêëþ÷àåò â ñåáÿ ÷åòûðåîêíà: Command Window (Êîìàíäíîå îêíî), Current Dire tory(Òåêóùèé êàòàëîã), Workspa e (�àáî÷àÿ îáëàñòü) è CommandHistory (Èñòîðèÿ êîìàíä). Command Window (Êîìàíäíîå îê-íî) ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ââîäà êîìàíä è èíñòðóêöèé, ðåçóëüòà-òû âûïîëíåíèÿ êîòîðûõ îòîáðàæàþòñÿ â òîì æå îêíå. Ïðèýòîì â îêíå Command History ïîÿâëÿþòñÿ óæå ðàíåå ââåäåí-íûå è ñîõðàíåííûå êîìàíäû. Ïðè íåîáõîäèìîñòè èõ ìîæíî êî-ïèðîâàòü â Command Window. Îêíî Workspa e ñîäåðæèò ñïè-ñîê ïåðåìåííûõ è èõ ðàçìåðû, íî íå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ.Îòîáðàçèòü ýòî îêíî âû ìîæåòå, ââåäÿ êîìàíäó workspa e âCommand Window.Êàæäîå îêíî ñîäåðæèò â ïðàâîì âåðõíåì óãëó äâå ìàëåíü-êèå êíîïêè. Îäíà èç íèõ ïîçâîëÿåò çàêðûòü îêíî, âòîðàÿ �îòêðåïèòü îêíî îò �àáî÷åãî ñòîëà. Âåðíóòü îêíî îáðàòíî íà�àáî÷èé ñòîë ìîæíî, âûáðàâ êîìàíäó ìåíþ Desktop-Do k (�à-áî÷èé ñòîë - Çàêðåïèòü) íà îòêðåïëåííîì îêíå.Ïðè çàïóñêå MATLAB îòêðûâàåòñÿ èíòåð�åéñ ïðîãðàììûïî óìîë÷àíèþ ñ ÷åòûðüìÿ îêíàìè. Îêíî Command Windowïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàíäàðòíîå îñíîâíîå îêíî Windows-ïðè-ëîæåíèÿ è ñîäåðæèò:� ñòðîêó çàãîëîâêà ñ êíîïêàìè óïðàâëåíèÿ îêíîì;� ñòðîêó ìåíþ (îñíîâíîå ìåíþ ïðèëîæåíèÿ);� ïàíåëü èíñòðóìåíòîâ; 6

�èñ. 1.�àáî÷èé ñòîë ïàêåòà MATLAB� ðàáî÷åå ïîëå;� ñòðîêó ñîñòîÿíèÿ;� âåðòèêàëüíóþ è ãîðèçîíòàëüíóþ ïîëîñû ïðîêðóòêè.Îñíîâíûå êîìàíäû ìåíþ:File (�àéë) � êîìàíäû äëÿ ðàáîòû ñ �àéëàìè è íàñòðîéêèñèñòåìû;Edit (ïðàâêà) � êîìàíäû ðåäàêòèðîâàíèÿ èí�îðìàöèè,îòîáðàæåííîé â ðàáî÷åì ïîëå îêíà;View (âèä) � êîìàíäû óïðàâëåíèÿ �îðìàòîì îêíà;Window (îêíî) � ñïèñîê îòêðûòûõ îêîí ïðèëîæåíèÿ;Help (ñïðàâêà) � êîìàíäû âûçîâà ñðåäñòâ ïîääåðæêè ïîëü-çîâàòåëÿ.�àññìîòðèì ïîäðîáíåå êîìàíäû ìåíþ.File ñîäåðæèò êîìàíäû: 7

� New ïîçâîëÿåò ñîçäàòü íîâûé îáúåêò èç ïåðå÷èñëåííûõ:� M-File (M-�àéë) ��àéë ñ ðàñøèðåíèåì .m, â êîòî-ðûé çàïèñûâàþòñÿ ïðîãðàììû;� Figure (�èãóðà) � ñïåöèàëüíîå îêíî äëÿ âûâîäà ãðà-�è÷åñêîé èí�îðìàöèè;� Model (ìîäåëü) � ìîäåëü Simulink;� GUI� ãðà�è÷åñêèé èíòåð�åéñ ïîëüçîâàòåëÿ (Gra-phi al User Interfa e), èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ñîçäàíèÿñîáñòâåííûõ ïðèëîæåíèé.� Open (îòêðûòü);� Close Current Dire tory (çàêðûòü òåêóùèé êàòàëîã) çà-êðûâàåò îêíî òåêóùåãî êàòàëîãà;� Import Data (èìïîðòèðîâàòü äàííûå) ïðîèçâîäèò èìïîðòâ ñðåäó MATLAB ðàçíîðîäíûõ äàííûõ (àíèìàöèîííûåðîëèêè, çâóêîâûå �àéëû, ÷èñëîâûå è ò.ä.);� Save Workspa e As (ñîõðàíèòü ðàáî÷óþ îáëàñòü êàê);� Set Path (çàäàòü ïóòü);� Preferen es (ïðåäïî÷òåíèÿ) èçìåíÿåò íåêîòîðûå ñâîéñòâàðàáî÷åé ñðåäû;� Page Setup (ïàðàìåòðû ñòðàíèöû);� Print (ïå÷àòü);� Print Sele tion (ïå÷àòü âûäåëåííîãî);� Ñïèñîê �àéëîâ, îòêðûâàâøèõñÿ â òåêóùåì ñåàíñå ðàáî-òû ñ MATLAB (â íà÷àëå ñåàíñà ýòîò ñïèñîê ïóñò).� Exit MATLAB (âûõîä èç MATLAB).8

Ïàíåëü èíñòðóìåíòîâ îáåñïå÷èâàåò áûñòðûé äîñòóï ê íàè-áîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûì êîìàíäàì ìåíþ. Ïðè íàâåäåíèèóêàçàòåëÿ ìûøè íà êíîïêó ïàíåëè èíñòðóìåíòîâ ïîÿâëÿåòñÿâñïëûâàþùàÿ ïîäñêàçêà (tooltip):� New M-�le (ñîçäàòü M-�àéë);� Open M-�le (îòêðûòü M-�àéë);� Cut (âûðåçàòü);� Copy (êîïèðîâàòü);� Paste (âñòàâèòü);� Undo (îòìåíèòü);� Redo (ïîâòîðèòü) âîññòàíàâëèâàåò ïîñëåäíþþ îòìåíåí-íóþ îïåðàöèþ;� Workspa e Browser (ïðîñìîòð ðàáî÷åé îáëàñòè);� Path Browser (ïðîñìîòð �àéëîâîé ñèñòåìû);� Simulink (ïðîñìîòð áèáëèîòåêè Simulink);� Guide ñðåäà äëÿ ñîçäàíèÿ ïðèëîæåíèé ñ ãðà�è÷åñêèì èí-òåð�åéñîì;� Help (îêíî ñïðàâêè).Ìåíþ Edit ñîäåðæèò ñëåäóþùèå êîìàíäû: Undo (îòìåíèòü),Redo (ïîâòîðèòü), Cut (âûðåçàòü), Copy (êîïèðîâàòü), Paste(âñòàâèòü), Sele t All (âûäåëèòü âñå) è Find (íàéòè) ïîëíîñòüþñîîòâåòñòâóþò ñâîåìó ñòàíäàðòíîìó ïðåäíàçíà÷åíèþ.Paste Spe ial (ñïåöèàëüíàÿ âñòàâêà) èñïîëüçóåòñÿ äëÿ îá-ìåíà ñ âíåøíèìè ïðîãðàììàìè, ÷èñëîâûìè äàííûìè ïîñðåä-ñòâîì áó�åðà îáìåíà.Clear Command Window (î÷èñòèòü îêíî êîìàíä) � î÷èùà-åò êîìàíäíîå îêíî.Clear Command History (î÷èñòèòü èñòîðèþ êîìàíä) � î÷è-ùàåò îêíî ïðåäûñòîðèè.Clear Workspa e (î÷èñòèòü ðàáî÷óþ îáëàñòü) � î÷èùàåò ðà-áî÷óþ îáëàñòü îò õðàíÿùèõñÿ â íåé ïåðåìåííûõ.9

ÌåíþView ñîäåðæèò ñëåäóþùèå êîìàíäû: Desktop Layout(ðàçìåòêà ðàáî÷åãî ñòîëà) ïîìîãàåò çàäàòü êîëè÷åñòâî è ðàñ-ïîëîæåíèå îêîí ïóòåì èñïîëíåíèÿ ïóíêòîâ ïîäìåíþ; Undo k(îòñòûêîâàòü) ïîçâîëÿåò ñäåëàòü àâòîíîìíûì, îòäåëèòü îò îê-íà ñèñòåìû, âûäåëåííîå â äàííûé ìîìåíò àêòèâíîå îêíî. Ïî-ñëå âûáîðà äàííîãî ïóíêòà íàäïèñü ìåíÿåòñÿ íà Do k (ïðè-ñòûêîâàòü) ñ íàçâàíèåì àêòèâíîãî îêíà. Ìåíÿåòñÿ òàêæå íàïðîòèâîïîëîæíóþ è �óíêöèÿ ïóíêòà ìåíþ. Òåïåðü ïðè åãîâûáîðå àâòîíîìíîå îêíî ñíîâà ïðèêðåïëÿåòñÿ ê îáùåìó îêíóñèñòåìû.Ñëåäóþùàÿ ãðóïïà ïóíêòîâ ìåíþ îïöèè View ñ íàçâàíè-ÿìè îêîí ÿâëÿåòñÿ ãðóïïîé ïåðåêëþ÷àòåëåé. Êàæäûé èç ýòèõïóíêòîâ ìîæåò ñäåëàòü âèäèìûì èëè íåâèäèìûì ñîîòâåòñòâó-þùåå îêíî.Current Dire tory Filter (�èëüòð òåêóùåãî êàòàëîãà) èìååòïîäìåíþ ïóíêòîâ-ïåðåêëþ÷àòåëåé. Ñ ïîìîùüþ ýòèõ ïåðåêëþ-÷àòåëåé ìîæíî âûâîäèòü â îêíî Current Dire tory (òåêóùèéêàòàëîã) îïðåäåë¼ííûå òèïû �àéëîâ.Workspa e View Options (ïàðàìåòðû îòîáðàæåíèÿ ðàáî÷åéîáëàñòè) ïîçâîëÿåò ìåíÿòü ñîñòàâ èí�îðìàöèè î ïåðåìåííûõ âñïèñêå îêíà Workspa e (ðàáî÷àÿ îáëàñòü). çäåñü ìîæíî òàêæåîòñîðòèðîâàòü ñïèñîê ïåðåìåííûõ ïî ðàçëè÷íûì êðèòåðèÿì.Çàäàíèå 1.1. Âû÷èñëåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ âûðàæåíèé.Öåëü: íàó÷èòüñÿ âûïîëíÿòü ýëåìåíòàðíûå âû÷èñëåíèÿâ ïàêåòå MATLAB, ðàáîòàòü ñ îêíàìè.Ïðè âûïîëíåíèè çàäàíèÿ èñïîëüçóþòñÿ �óíêöèè âèäà:inf�ìàøèííàÿ áåñêîíå÷íîñòü; ans�èìÿ ïåðåìåííîé, õðàíÿ-ùåé ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ; NaN�íå÷èñëîâîé õàðàêòåð äàí-íûõ; se (x), s (x)� òðèãîíîìåòðè÷åñêèå �óíêöèè se x, ose x; a ot(x), ase (x), a s (x) � îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå�óíêöèèar tgx, ar se x, ar ose x; sinh(x), osh(x), tanh(x), oth(x),se h(x), s h(x)� ãèïåðáîëè÷åñêèå �óíêöèè shx, hx, thx, thx, s hx, s hx; asinh(x), a osh(x), atanh(x), a oth(x),ase h(x), a s h(x)� îáðàòíûå ãèïåðáîëè÷åñêèå �óíêöèè10

arshx, ar hx, arthx, ar thx, ars hx, ar s hx è îñíîâíûå ìàòå-ìàòè÷åñêèå �óíêöèè è êîíñòàíòû (ñì. òàáë. 1).Òàáëèöà 1. Îñíîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå �óíêöèèè êîíñòàíòûÊîìàíäû Matlab Ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè+, -, *, / ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå,äåëåíèå^ âîçâåäåíèå â ñòåïåíüabs(x) âû÷èñëåíèå ìîäóëÿ ÷èñëàsqrt(x) âû÷èñëåíèå êâàäðàòíîãî êîðíÿexp(x) âîçâåäåíèå â ñòåïåíü ÷èñëà e� expow2(x) âîçâåäåíèå â ñòåïåíü ÷èñëà 2log(x) âû÷èñëåíèå íàòóðàëüíîãî ëîãàðè�ìàlog10(x) âû÷èñëåíèå äåñÿòè÷íîãî ëîãàðè�ìàlog2(x) âû÷èñëåíèå ëîãàðè�ìà ïî îñíîâàíèþ 2sin(x) ñèíóñ óãëà x, çàäàííîãî â ðàäèàíàõ os(x) êîñèíóñ óãëà x, çàäàííîãî â ðàäèàíàõtan(x) òàíãåíñ óãëà x, çàäàííîãî â ðàäèàíàõ ot(x) êîòàíãåíñ óãëà x, çàäàííîãî â ðàäèàíàõasin(x) àðêñèíóña os(x) àðêêîñèíóñatan(x) àðêòàíãåíñpi ÷èñëî ïèround(x) îêðóãëåíèå äî áëèæàéøåãî öåëîãîfloor(x) îêðóãëåíèå äî ìåíüøåãî öåëîãî eil(x) îêðóãëåíèå äî áîëüøåãî öåëîãîmod(x) îñòàòîê îò äåëåíèÿ ñ ó÷¼òîì çíàêàsign(x) çíàê ÷èñëàfix(x) óñå÷åíèå äðîáíîé ÷àñòè ÷èñëàfa tor(x) ðàçëîæåíèå ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëèisprime(x) èñòèííî, åñëè ÷èñëî ïðîñòîårand ãåíåðàöèÿ ïñåâäîñëó÷àéíîãî ÷èñëàñ ðàâíîìåðíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿrandn ãåíåðàöèÿ ïñåâäîñëó÷àéíîãî ÷èñëàñ íîðìàëüíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ11

Äëÿ âûïîëíåíèÿ çàäàíèé äîñòàòî÷íî íàáðàòü ïðåäñòàâëåí-íûå â òàáëèöå 1 îïåðàòîðû â êîìàíäíîì îêíå ïàêåòà MATLAB.Îïåðàòîð (:) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ ïîëåçíûõ, òàê êàêñ åãî ïîìîùüþ â MATLAB ìîæíî ñîçäàâàòü âåêòîðû, ìàò-ðèöû è öèêëè÷åñêèå âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåññû. Ïðàâèëà åãîèñïîëüçîâàíèÿ:j:k îçíà÷àåò òîæå ñàìîå, ÷òî [j; j + 1; : : : ; k℄;j:k íàáîð ïóñò, åñëè j > k;j:i:k îçíà÷àåò òîæå ñàìîå, ÷òî [j; j + i; j + 2i; : : : ; k℄;j:i:k íàáîð ïóñò, åñëè i = 0, åñëè i > 0 è j > k, èëè åñëèi < 0, åñëè j < k;A(:,j) j�òûé ñòîëáåö ìàòðèöû A;A(i,:) i�òàÿ ñòðîêà ìàòðèöû A;A(:,:) îáîçíà÷àåò äâóìåðíûé ìàññèâ;A(j:k) ýòî A(j), A(j + 1), : : :, A(k);A(:,j:k) ýòî A(:,j), A(:,j+1), : : :, A(:,k). Çäåñü i, j, è kâñå ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè. Îïåðàòîð sym ïîçâîëÿåò êîíñòðó-èðîâàòü ñèìâîëè÷åñêèå ïåðåìåííûå è âûðàæåíèÿ, íàïðèìåðêîìàíäû:>> x = sym('x')>> a = sym('alpha')ñîçäàþò ñèìâîëüíûå ïåðåìåííûå, êîòîðûå ìîãóò áûòü èñïîëü-çîâàíû â îïåðàöèÿõ äè��åðåíöèðîâàíèÿ èëè èíòåãðèðîâàíèÿ.Äðóãîé ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ ñèìâîëüíûõ ïåðåìåííûõ:>> rho = sym('(1 + sqrt(5))/2')òåïåðü ïåðåìåííóþ � ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ âû÷èñëåíèÿ �îð-ìóë:>> f = rho^2 - rho - 1>> f = (1/2+1/2*5^(1/2))^2-3/2-1/2*5^(1/2)Ýòîò îòâåò ìîæíî óïðîñòèòü:> simplify(f)>> ans = 0 12

Âíèìàíèå! Çíàê % ïåðåä çàïèñüþ îçíà÷àåò, ÷òî ýòà çàïèñüíå ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíîé è ñëóæèò äëÿ îïèñàíèÿ ïðîèçâîäè-ìûõ äåéñòâèé, òî åñòü, ïîñëå % ðàñïîëàãàþòñÿ êîììåíòàðèè êîïåðàòîðàì. Öåëàÿ è äðîáíàÿ ÷àñòè ÷èñåë â MATLAB ðàçäåëÿ-þòñÿ òî÷êîé.Ïðîãðàììà MATLAB ðàçëè÷àåò íàïèñàíèåñòðî÷íûõ è çàãëàâíûõ áóêâ!Ïðèìåð 1.1. Âû÷èñëèòü:1) 6; 56 � 8; 973; 2) y = x � 3px, åñëè = 3:4; 3) a +pa � 3a,åñëè = 5:4. îêíå Command Window ðÿäîì ñî çíàêîì >> íàáðàòü>> 6.56*8.973 % Ïîñëå íàæàòèÿ êëàâèøè Enter,â êîìàíäíîì îêíå ïîÿâèòñÿ çàïèñüîòâåòà:ans =58.8629Ïðîãðàììà MATLAB âû÷èñëèëà âûðàæåíèå, çàòåì çàïè-ñàëà ðåçóëüòàò â ñïåöèàëüíóþ ïåðåìåííóþ ans è âûâåëà å¼çíà÷åíèå, ðàâíîå 58.8629, â êîìàíäíîå îêíî. Íèæå îòâåòà ðàñ-ïîëàãàåòñÿ êîìàíäíàÿ ñòðîêà ñî çíàêîì >> è ìèãàþùèì êóð-ñîðîì, îáîçíà÷àþùàÿ, ÷òî ìîæíî ïðîäîëæèòü âû÷èñëåíèÿ.Ïîâòîðèòå íàáîð, èñïîëüçóÿ âìåñòî òî÷åê çàïÿòûå>> 6,56*8,973Ïðîãðàììà íå âûäà¼ò ñîîáùåíèå îá îøèáêå, íî èíòåðïðå-òèðóåò ðåçóëüòàò êàê òðè çàäàííûõ ÷èñëà:>> 6,56*8,973ans =6 % ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî 6ans =448 % âòîðîå ÷èñëî ðàâíî 56*8=448ans =973 % òðåòüå ÷èñëî ðàâíî 97313

Âíèìàíèå!!! Åñëè ïðîãðàììà âûäàëà ñîîáùåíèå îá îøèá-êå, òî âûðàæåíèå ñëåäóåò ââåñòè â íîâîé ñòðîêå ñ ïîìîùüþêíîïêè ¾Pg Up¿ (êíîïêà ñî ñòðåëêîé "), èñïðàâèòü îøèáêóè ñíîâà âûïîëíèòü èëè íàéòè íóæíóþ îïåðàöèþ â îêíå Com-mand History, ãäå ñîõðàíÿþòñÿ âñå âûïîëíåííûå êîìàíäû, è ïå-ðåíåñòè å¼ â îêíî Command Window äâîéíûì ùåë÷êîì ìûøè.>> x=3.4x = 3.4000Ïîñëå ââåäåííîãî çíà÷åíèÿ x=3.4 íå áûë ïîñòàâëåí çíàê¾;¿ ïîýòîìó ïðîãðàììà âûïîëíèëà è ïîêàçàëà çàäàííîå äåé-ñòâèå, ò.å ïðèñâîèëà ïåðåìåííîé õ çíà÷åíèå 3.4000. Ïî óìîë-÷àíèþ îêðóãëåíèå âåäåòñÿ äî ÷åòûð¼õ çíàêîâ ïîñëå çàïÿòîé.>> y=x*x^(1/3)y = % âû÷èñëåíèÿ áóäóò ñîõðàíåíû5.1126 â ïåðåìåííîé y>> a=5.4; % ñèìâîë <<;>> ïîçâîëÿåò íå ïîêàçûâàòüðåçóëüòàò âûïîëíåíèÿ äàííîãî äåéñòâèÿ>> a+a^0.5-3*a % âû÷èñëåíèÿ áóäóò ñîõðàíåíûïî óìîë÷àíèþ â ïåðåìåííîé ansans =-8.4762Ïðèìåð 1.2. Âû÷èñëèòü âûðàæåíèå1; 7343 � p2; 33 + (7; 45 � 5p32; 6)1; 53 � 3p1; 122 :>> (1.734^3*2.33^(1/2)+(7.45-32.6^(1/5)))/(1.53-1.12^(2/3)) % ââîä âûðàæåíèÿans =29.6796 14

Ïðèìåð 1.3. Âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðèìåðà 1.2,ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:1; 7343 � p2; 33 + (7; 45 � 5p32; 6)1; 53 � 3p1; 122 + 11:5p1:4 + 7:35 :Âîñïîëüçóåìñÿ óæå èìåþùèìñÿ ðåçóëüòàòîì, êîòîðûé õðà-íèòñÿ â ïåðåìåííîé ans. Íàáåð¼ì>> ans+11.5/(1.4^(1/2)+7.35)ans =31.0273Ïî óìîë÷àíèþ ðåçóëüòàò çàïèñûâàåòñÿ â ïåðåìåííóþ ans,ïîýòîìó, åñëè äàííîå çíà÷åíèå ïðåäñòîèò èñïîëüçîâàòü äàëåå,ñëåäóåò çàäàòü äëÿ íåãî èìÿ.Ïðèìåð 1.4. Âû÷èñëèòüz = 1:3 � 3p5:87 +q4:896:481:3 � 3p5:87 �q4:896:48 :Ïðåäñòàâèì çàäàííóþ �óíêöèþ â âèäå z = x+ yx� y, çàäàâèìåíà çíà÷åíèÿì x = 1:3 � 3p5:87 è y =q4:896:48 . MATLAB èìååòñÿ âîçìîæíîñòü çàïèñûâàòü èñïîëíÿå-ìûå êîìàíäû è ðåçóëüòàòû â òåêñòîâûé �àéë, êîòîðûé ïîòîììîæíî ïðîñìîòðåòü â òåêñòîâîì ðåäàêòîðå. Ïåðâîå, ÷òî íàäîñäåëàòü ýòî óêàçàòü ïóòü, ïî êîòîðîìó äîëæåí çàïèñûâàòüñÿ�àéë� íà ïàíåëè èíñòðóìåíòîâ â îêíå, ãäå îòîáðàæàåòñÿ òå-êóùàÿ ïàïêà âûáðàòü ïóòü ê ñâîé ïàïêå.Äëÿ çàïèñè â òåêñòîâûé �àéë ñëóæèò êîìàíäà diary.  êà-÷åñòâå àðãóìåíòà êîìàíäû diary ñëåäóåò çàäàòü èìÿ �àéëà,â êîòîðîì áóäåò õðàíèòüñÿ æóðíàë ðàáîòû. Íàáèðàåìûå äà-ëåå êîìàíäû è ðåçóëüòàòû èõ èñïîëíåíèÿ áóäóò çàïèñûâàòüñÿâ ýòîò �àéë. 15

>> diary èìÿ �àéëà.txt>> x=1.3*5.87^(1/3);>> y=(4.89/6.48)^(1/2);>> z=(x+y)/(x-y)z = 2.1768Åñëè ïîñëå çàïèñè ïåðåìåííûõ õ è ó óáðàòü òî÷êó ñ çàïÿ-òîé, òî çàïèñàííûå âûðàæåíèÿ áóäóò âû÷èñëåíû è ïîÿâÿòñÿèõ çíà÷åíèÿ.  íîâîé ñòðîêå âûçîâèòå âûðàæåíèå äëÿ õ ñ ïî-ìîùüþ êíîïêè ¾Pg Up¿ (êíîïêà ñî ñòðåëêîé ", êîòîðàÿ ïðèêàæäîì íàæàòèè âûâîäèò â ñòðîêå íàáðàííûå ðàíåå �îðìó-ëû), óäàëèâ ñèìâîë ¾;¿ íàéäèòå çíà÷åíèå äëÿ x.Òàêæå ÷àñòî èñïîëüçóåìûå êîìàíäû:>> save èìÿ �àéëà.mat % ñîõðàíåíèå â �àéëå Matlab>> quit % âûõîä èç ïðîãðàììû ñëåäóþùèõ çàäàíèÿõ ìåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿè òåîðèÿ â ïðèìåðàõ.Çàäàíèå 1.2. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ýëåìåíòàðíûõ �óíê-öèé ïðîãðàììå MATLAB èìååòñÿ áîëüøîé íàáîð âñòðîåííûõ�óíêöèé ïîëíûé ñïèñîê ýëåìåíòàðíûõ �óíêöèé ìîæíî ïîëó-÷èòü, íàáðàâ êîìàíäó:>> help elfunÏðèìåð 1.5. Âû÷èñëèòü �óíêöèè:e2;345; sin 23Æ; y = os ax1 + (ln(1 + bx2))2 ;a = 3; b = 2; 3; x = 5; 3:>> exp(2.345) % ââîä �óíêöèèans = 16

10.4333>> sin(23/180*pi) % ââîä �óíêöèè è ïåðåâîä ãðàäóñîââ ðàäèàíûans =0.3907>> a=3;b=2.3;x=5.3; % ââîä çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâè àðãóìåíòà õ>> y= os(a*x)/(1+(log(1+b*x^2))^2) % ââîä �óíêöèèy =-0.0531Ïðèìåð 1.6. Ïîëó÷èòü ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ y â íåñêîëü-êèõ �îðìàòàõ.Ôîðìàòû ÷èñåë:format short�êîðîòêîå ïðåäñòàâëåíèå (5 çíàêîâ ÷èñëà);format short å�êîðîòêîå ïðåäñòàâëåíèå â ýêñïîíåíöèàëü-íîé �îðìå (5 çíàêîâ ìàíòèññû, 3 çíàêà ïîðÿäêà);format lonq�äëèííîå ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëà (15 çíàêîâ);format lonq å�äëèííîå ïðåäñòàâëåíèå â ýêñïîíåíöèàëü-íîé �îðìå (15 çíàêîâ ìàíòèññû, 3 çíàêà ïîðÿäêà).Ïðèìåíèòü ðàññìîòðåííûå �îðìàòû>> format long e>> a=3;b=2.3;x=5.3;>> y= os(a*x)/(1+(log(1+b*x^2))^2)y =-5.305123590990746e-002Ñàìîñòîÿòåëüíî ïðèìåíèòü �îðìàòû: format longè format short.Çàäàíèå 1.3. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ñîñòàâíûõ �óíêöèéÖåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ ñîñòàâíûõ �óíêöèéâ ïàêåòå MATLAB. 17

Ïðèìåð 1.7. Âû÷èñëèòü çíà÷åíèå �óíêöèè:y = 8><>:ea�bx; x < 0;10; x = 0;�ln(1 + bx2)�2 ; x > 0:Àëãîðèòì âåòâëåíèÿ èìååò âèäif óñëîâèå 1 îïåðàòîð 1elseif óñëîâèå 2 îïåðàòîð 2else îïåðàòîð 3endendÊîìàíäà if îòêðûâàåò âåòâëåíèå, à êîìàíäà end çàêðûâà-åò. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî êîìàíäû if è else è end íåëüçÿçàïèñûâàòü â îäíîé ñòðîêå.  ñîêðàùåííîì âèäå â àëãîðèòìåâåòâëåíèÿ êîìàíäà else îòñóòñòâóåò.>> a=3; b=2.3; x=-0.34;>> if x<0 y=exp(a-b*x)elseif x<0 y=exp(a-b*x)else y=(log(1+b*x^2))^2endendy =43.9038Äëÿ òîãî, ÷òîáû ïðèìåíèòü çàäàííóþ �óíêöèþ ê äðóãîìóçíà÷åíèþ õ, íåîáõîäèìî çàäàòü íîâîå çíà÷åíèå õ â êîìàíäíîìîêíå, è ñêîïèðîâàâ âñòàâèòü íàáðàííóþ ïðîãðàììó.Ïðèìåð 1.8. Ñîñòàâèòü òàáëèöó çíà÷åíèé �óíêöèèy = os ax1 + ln2(1 + bx2)îò = 0 ñ øàãîì 0,1 äî x = 0:6.18

>> n=7; x=0; h=0.1; a=3; b=2.3; % ââîä ÷èñëà òî÷åê,íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ õè øàãà ïî õ>> for i=1:n % íà÷àëî öèêëàd(i)= os(a*x)/(1+(log(1+b*x.^2))^2);x=x+h;end % êîíåö öèêëà>> i=1:7;>> d(i)Òàê êàê, íå áûëà ïîñòàâëåíà òî÷êà ñ çàïÿòîé ïîñëå d(i), òîâ êîìàíäíîì îêíå ïîÿâëÿåòñÿ çàïèñü çíà÷åíèé ýòîãî âåêòîðà:ans =1.0000 0.9548 0.8190 0.6004 0.3300 0.0586 -0.1666Áîëüøîå ïðåèìóùåñòâî ïðîãðàììû Matlab ñîñòîèò â òîì,÷òî íåîáÿçàòåëüíî èñïîëüçîâàòü îïåðàòîð öèêëà äëÿ òàáóëèðî-âàíèÿ �óíêöèè, îñîáåííî åñëè òðåáóåòñÿ âû÷èñëåíèå �óíêöèèâî âïîëíå îïðåäåëåííûõ òî÷êàõ.>> x=[0 0.2 0.33 0.5 0.7 0.9 1℄;>> x=x'x = 00.20000.33000.50000.70000.90001.0000>> y=�(x) os(a*x)./(1+(log(1+b*x.^2)).^2);% îáðàòèòå âíèìàíèå íà íàëè÷èå òî÷åê ïåðåäçíàêàìè äåëåíèÿ è âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü>> u=[x,y(x)℄u = 19

0 1.00000.2000 0.81900.3300 0.52260.5000 0.05860.7000 -0.32160.9000 -0.42921.0000 -0.4082Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûÂûïîëíèòü ñâîé âàðèàíò èç òàáëèöû 1 ïðèëîæåíèÿ 1è î�îðìèòü îò÷¼ò (òàáëèöà 2).Òàáëèöà 2. Ïðèìåð î�îðìëåíèÿ îò÷¼òàÎò÷åò ïî ë.ð. �1 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû1 Âû÷èñëèòü 10.4333e2;345, sin 23Æ 0.39072 Âû÷èñëèòüy = osax1 + (ln(1 + bx2))2 y = -0.0531a = 3; b = 2; 3; x = 5; 33 Âû÷èñëèòüy =8><>:ea�bx; x < 0;10; x = 0;�ln(1 + bx2)�2 ; x > 0: y = 43.9038a = 3; b = 2; 3; x = �0; 34;4 Âû÷èñëèòü y =y = osax1 + ln2(1 + bx2) 0 1.0000îò x = 0 ñ øàãîì 0,1 äî x = 0; 6 0.2000 0.81900.3300 0.52260.5000 0.05860.7000 -0.32160.9000 -0.42921.0000 -0.408220

Êîíòðîëüíûå âîïðîñû1. Êàê â Matlab çàïèñûâàåòñÿ ñòåïåíü ÷èñëà, äåëåíèå è óì-íîæåíèå ÷èñåë?2. Äëÿ ÷åãî ñëóæèò êîìàíäà Workspa e?3. Ñ êàêîé öåëüþ ñòàâèòñÿ òî÷êà ïåðåä çíàêàìè äåëåíèÿè âîçâåäåíèÿ â ñòåïåíü â Matlab?1.2. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �2.Ìàòðè÷íîå èñ÷èñëåíèå â ïàêåòå MATLABÖåëü: íàó÷èòüñÿ âûïîëíÿòü äåéñòâèÿ ñ ìàòðèöàìè è âåê-òîðàìè â ïàêåòå MATLAB. ïðîãðàììå MATLAB èìååòñÿ áîëüøîé íàáîð âñòðîåííûõ�óíêöèé äëÿ ðàáîòû ñ ìàññèâàìè. Âåêòîðîì íàçûâàþò ëþáîéîäíîìåðíûé ìàññèâ ðàñïîëîæåííûé â âèäå ñòðîêè èëè ñòîëá-öà, òî åñòü âåêòîð � ýòî óïîðÿäî÷åííûé ïåðå÷åíü ÷èñåë, ìàò-ðèöà ýòî ïðÿìîóãîëüíûé íàáîð ÷èñåë. Ñòðî÷íûå èëè ñòîëáöî-âûå âåêòîðû ÿâëÿþòñÿ ïðèìåðàìè ìàòðèö.Ôîðìèðîâàíèå ìàññèâîâ ñïåöèàëüíîãî âèäà:ZEROS��îðìèðîâàíèå ìàññèâà íóëåé;ONES��îðìèðîâàíèå ìàññèâà åäèíèö;EYE��îðìèðîâàíèå åäèíè÷íîé ìàòðèöû;RAND��îðìèðîâàíèå ìàññèâà ýëåìåíòîâ, ðàñïðåäåëåííûõïî ðàâíîìåðíîìó çàêîíó;RANDN��îðìèðîâàíèå ìàññèâà ýëåìåíòîâ, ðàñïðåäåëåííûõïî íîðìàëüíîìó çàêîíó;CROSS�âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå;KRON��îðìèðîâàíèå òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ;LINSPACE}��îðìèðîâàíèå ëèíåéíîãî ìàññèâà ðàâíîîòñòî-ÿùèõ óçëîâ;LOGSPACE��îðìèðîâàíèå óçëîâ ëîãàðè�ìè÷åñêîé ñåòêè;MESHGRID��îðìèðîâàíèå óçëîâ äâóìåðíîé è òðåõìåðíîéñåòîê;:��îðìèðîâàíèå âåêòîðîâ è ïîäìàòðèö.21

Îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè:DIAG��îðìèðîâàíèå èëè èçâëå÷åíèå äèàãîíàëåé ìàòðè-öû;TRIL��îðìèðîâàíèå íèæíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû (ìàññè-âà);TRIU��îðìèðîâàíèå âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû (ìàññè-âà);FLIPLR�ïîâîðîò ìàòðèöû îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè;FLIPUD�ïîâîðîò ìàòðèöû îòíîñèòåëüíî ãîðèçîíòàëüíîéîñè;ROT90�ïîâîðîò ìàòðèöû íà 90 ãðàäóñîâ;RESHAPE�ïðåîáðàçîâàíèå ðàçìåðîâ ìàòðèöû.Ïðèìåð 1.9. Ââåñòè ìàññèâ ñòðîêóz = [�9 � 4 0 12 10 5 1 � 3℄:Íàéòè ïðîèçâåäåíèå âñåõ ýëåìåíòîâ, ñóììó, ñðåäíåå àðè�ìå-òè÷åñêîå, P z3i , ìèíèìàëüíûé è ìàêñèìàëüíûé ýëåìåíòû, ïî-ñòðîèòü ìàññèâ ïî âîçðàñòàíèþ è óáûâàíèþ, ñëîæèòü òîëüêîçíà÷åíèÿ ñòîÿùèå íà ÷åòíûõ ìåñòàõ.Äàëåå �óíêöèè ïðèâîäÿòñÿ áåç îòâåòà>> z = [-9 -4 0 12 10 5 1 -3℄;>> ð = prod(z) % Ôóíêöèÿ prod ïåðåìíîæàåò âñå çíà÷åíèÿâåêòîðà>> q=sum(z) % Ôóíêöèÿ sum ïðåäíàçíà÷åíà äëÿñóììèðîâàíèÿ ýëåìåíòîâ âåêòîðà>> k=length(z) % Ôóíêöèÿ length îïðåäåëÿåò êîëè÷åñòâîýëåìåíòîâ âåêòîðà>> s=sum(z^3) % Ôóíêöèÿ sum ïðåäíàçíà÷åíàäëÿ ñóììèðîâàíèÿ ýëåìåíòîâ âåêòîðàâîçâåäåííûõ â òðåòüþ ñòåïåíü>> mean(z) % Ôóíêöèÿ mean íàõîäèò ñðåäíåå çíà÷åíèå>> [m, k℄ = min(z) % äàííàÿ �óíêöèÿ îïðåäåëèòìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå âåêòîðà mè íîìåð ýòîãî ýëåìåíòà â âåêòîðå êàê k22

>> h= z(2)+ z(4)+ z(6)+ z(8) % â ñêîáêàõ óêàçûâàåòñÿíîìåð ýëåìåíòà, ò.å. ñêëàäûâàåì òîëüêîýëåìåíòû ñòîÿùèå ïîä ÷åòíûìè íîìåðàìè>> m1 = max(z)>> m2 = min(z)>> R = sort(z) % �óíêöèÿ sort ñîðòèðóåò ïî âîçðàñòàíèþ>> R1 = -sort(-z) % �óíêöèÿ ñîðòèðóåò ïî óáûâàíèþ>> R2 = sort(abs(z))% ñîðòèðóåò ïî âîçðàñòàíèþ ìîäóëåé>> [rs, ind℄ = sort(z) % sort ñ äâóìÿ âûõîäíûìèàðãóìåíòàìè ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþâåêòîðà rs ïî âîçðàñòàíèþ è ìàññèâàind, ãäå óêàçàíû íîìåðà ïåðåñòàâëåííûõýëåìåíòîâ>> z(2:4)=0 % çàìåíÿåò â âåêòîðå z ýëåìåíòû ñî 2-ãîïî 9-ûé íà íóëè>> z1=z./2+5 % äåëèò êàæäûé ýëåìåíò âåêòîðà z íà 2è äîáàâëÿåò ê êàæäîìó èç íèõ ÷èñëî 5>> U=[z z1℄ % îáúåäèíÿåò äâà âåêòîðà â îäèí âåêòîðU ñòðîêó>> V=[z(1) z(3) z(5) z(7)℄ % ñîçäàåò íîâûé âåêòîðèç çàäàííûõ ýëåìåíòîâÇàäàíèå 1.4. Äåéñòâèÿ ñ âåêòîðàìè.Öåëü: íàó÷èòñÿ âûïîëíÿòü îñíîâíûå àðè�ìåòè÷åñêèå äåé-ñòâèÿ ñ âåêòîðàìè, âû÷èñëÿòü ìîäóëè âåêòîðîâ, óãëû ìåæäóíèìè, èõ ñêàëÿðíûå, âåêòîðíûå è ñìåøàííûå ïðîèçâåäåíèÿ.Ïóñòü äàíû òðè âåêòîðà ~a(xa; ya; za);~b(xb; yb; zb); d(xd; yd; zd),íåîáõîäèìî íàéòè = a+ b; u = ab = [a1b1; a2b2; a3b3℄; p = a3 = [a31; a32; a33℄;v = ba = [ba11 ; ba22 ; ba33 ℄ ; s = ba = � b1a1 ; b2a2 ; b3a3� ;m = 3b� 2a+ 1; 2 == [3b1 � 2a1 + 1; 2; 3b2 � 2a2 + 12; 3b3 � 2a3 + 1:2℄;n=pb� sin(a)= hpb1 � sin(a1);pb2 � sin(a2);pb3 � sin(a3)i ;23

îáúåäèíåíèå âåêòîðîâ è b â îäèí âåêòîð-ñòîëáåö h; ìîäóëèâåêòîðîâ ~a(xa; ya; za),~b(xb; yb; zb); óãîë ìåæäó íèìè, à òàêæå èõñêàëÿðíîå è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå. Äëÿ âåêòîðîâ ~a(xa; ya; za),~b(xb; yb; zb) è d(xd; yd; zd) íàéòè ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå è îò-âåòèòü íà âîïðîñ ìîæåò ëè ñèñòåìà ýòèõ âåêòîðîâ îáðàçîâû-âàòü áàçèñ.Ïðèìåð 1.10.>> a = [1 2 3℄; % ââîä êîîðäèíàò âåêòîðîâ>> b = [4 5 6℄; % â âåêòîðå ýëåìåíòû ââîäÿòñÿ ÷åðåçòî÷êó ñ çàïÿòîé>> =a+b =5 7 9>> [i,j℄=size(a) % ðàçìåð ìàññèâà, i - êîëè÷åñòâîñòîëáöîâ, j - ñòðîêi=1 j=3>> length(a) % ðàçìåð ìàññèâà ñòîëáöàans =3>> u=a.*b % ïîýëåìåíòíîå óìíîæåíèå âåêòîðîâu =4 10 18>> p=a.^3 % ïîýëåìåíòíîå âîçâåäåíèå â òðåòüþñòåïåíü êîîðäèíàò âåêòîðàp =1 8 27>> v=b.^a % âîçâåäåíèå êîîðäèíàò âåêòîðà bâ ñòåïåíè ðàâíûå êîîðäèíàòàìâåêòîðà $a$v =4 25 216>> s=b./a % ïîýëåìåíòíîå äåëåíèå êîîðäèíàòâåêòîðà b íà êîîðäèíàòûâåêòîðà as = 24

4.0000 2.5000 2.0000>> s1=a.\b % îáðàòíîå ïîýëåìåíòíîå äåëåíèå,ðåçóëüòàò äîëæåí ñîâïàñòü ñ ss1 =4.0000 2.5000 2.0000>> m=3*b-2*a+1.2 % âû÷èñëåíèå êîîðäèíàò âåêòîðà mm =11.2000 12.2000 13.2000>> n=sqrt(b)-sin(a) % âû÷èñëåíèå êîîðäèíàò âåêòîðà nn =1.1585 1.3268 2.3084>> h=[a;b℄ % îáúåäèíåíèå íåñêîëüêèõ âåêòîðîââ îäèí âåêòîðh =1 2 34 5 6>> = dot(a,b) % âû÷èñëåíèå èõ ñêàëÿðíîãîïðîèçâåäåíèÿ =32>> norm(a) % âû÷èñëåíèå ìîäóëÿ âåêòîðà a;(àíàëîãè÷íî äëÿ b>> norm(b) ans = 8.7750)ans =3.7417 8.7750)>> osfi=dot(a,b)/(norm(a)*norm(b)); % âû÷èñëåíèåêîñèíóñà óãëà ìåæäó âåêòîðàìè>> angle=a os( osfi) % âû÷èñëåíèå óãëà ìåæäóâåêòîðàìè â ðàäèàíàõ(ïåðåâîä â ãðàäóñû>> fideg=angle*180/pifideg = 12.9332)angle =0.2257>> =norm(a)*norm(b)* osfi % âû÷èñëåíèå25

ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿïî äðóãîé �îðìóëå =32>> ve prod= ross(a,b) % âû÷èñëåíèå âåêòîðíîãîïðîèçâåäåíèÿve prod =-3 6 -3>> d=[3 2 -1℄; % ââîä êîîðäèíàò âåêòîðà d>> v=dot(d, ross(a,b)) % âû÷èñëåíèå ñìåøàííîãîïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâa, b è dv =6Çàäàíèå 1.5. �åøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (ÑËÓ)ìåòîäîì îáðàòíîé ìàòðèöû.Öåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ðàíãè, îïðåäåëèòåëè, òðàíñïî-íèðîâàííûå è îáðàòíûå ìàòðèöû, ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö è íà-õîäèòü ðåøåíèå ÑËÓ ìåòîäîì îáðàòíîé ìàòðèöû.Äàíà ÑËÓ:8><>:3; 21x1 � 4; 25x2 + 2; 13x3 = 5; 06;7; 09x1 + 1; 17x2 � 2; 23x3 = 4; 75;0; 43x1 � 1; 4x2 � 0; 62x3 = �1; 05: MATLAB ìàòðèöà êîý��èöèåíòîâ ÑËÓ î�îðìëÿåòñÿñëåäóþùèì îáðàçîì, ñòðîêè ðàçäåëÿþòñÿ òî÷êîé ñ çàïÿòîé,ýëåìåíòû ñòðîê ðàçäåëÿþòñÿ ïðîáåëàìè:>> A=[3.21 -4.25 2.13;7.09 1.17 -2.23;0.43 -1.4 -0.62℄Åñëè âû íå ñòàâèòå â êîíöå îïåðàòîðà òî÷êè ñ çàïÿòîé, òîïîñëå íàæàòèÿ íà êëàâèøó Enter â êîìàíäíîì îêíå MATLABïîÿâëÿåòñÿ ¾ìàòëàáîâñêàÿ¿ èíòåðïðåòàöèÿ ââåäåííîé âàìè èí-�îðìàöèè, â äàííîì ñëó÷àå îíà áóäåò èìåòü âèä:26

A =3.2100 -4.2500 2.13007.0900 1.1700 -2.23000.4300 -1.4000 -0.6200>> rank(A) % âû÷èñëåíèå ðàíãà ìàòðèöû (åñëè ðàíãðàâåí íóëþ, òî äàííûé ìåòîä íåïðèìåíèì)ans =3>> det(A) % âû÷èñëåíèå îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöûans =-49.1710>> b1=[5.06 4.75 -1.05℄ % ââîä âåêòîðà ñâîáîäíûõ÷ëåíîâ ÑËÓb1 =5.0600 4.7500 -1.0500>> b=b1' % òðàíñïîíèðîâàíèå âåêòîðà-ñòðîêèâ âåêòîð-ñòîëáåöb =5.06004.7500-1.0500>> C=inv(A) % âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû;C = 0.0782 0.1142 -0.1421-0.0699 0.0591 -0.45270.2121 -0.0542 -0.6892>> x=A\b % âû÷èñëåíèå âåêòîðà ðåøåíèé ÑËÓ>> x=C*b % âû÷èñëåíèå âåêòîðà ðåøåíèé ÑËÓñ ïîìîùüþ äðóãîé êîìàíäû îáîèõ ñëó÷àÿõ â êîìàíäíîì îêíå ïîÿâëÿåòñÿ çàïèñü ðå-øåíèÿ ÑËÓ:x =1.08770.40241.5393 27

Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûÂûïîëíèòü ñâîé âàðèàíò èç òàáëèö 2 è 3 ïðèëîæåíèÿ 1è î�îðìèòü îò÷¼ò (òàáëèöà 3).Êîíòðîëüíûå âîïðîñû1. Êàê �îðìèðóåòñÿ ìàññèâ èç íóëåâûõ çíà÷åíèé?2. Êàê íàéòè îáðàòíóþ �óíêöèþ?3. Ñïîñîáû ðåøåíèÿ ÑËÓ?

28

Òàáëèöà 3. Ïðèìåð î�îðìëåíèÿ îò÷¼òàÎò÷åò ïî ë.ð. �2 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû1 Âûïîëíèòü îñíîâíûå ans = 3; u = 4 10 18;àðè�ìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ p =1 8 27;ñ âåêòîðàìèa = [1 2 3℄; b = [4 5 6℄: v = 4 25 216; = a+ b; s =4.0 2.5 2.0;u = ab = [a1b1; a2b2; a3b3℄;p = a3 = [a31; a32; a33℄; s1 =4.0 2.5 2.0;v = ba = [ba11 ; ba22 ; ba33 ℄;s = ba = " b1a1; b2a2; b3a3#; m =11.2 12.2 13.2;m=3b�2a+1; 2= n =1.16 1.33 2.31;243b1�2a1+1; 23b2�2a2+1; 23b3�2a3+1; 235T ; h = 1 2 3n = pb� sin(a) = 4 5 624pb1 � sin(a1)pb2 � sin(a2)pb3 � sin(a3)35T2 Íàéòè ìîäóëè âåêòîðîâ ìîäóëè:a = [1 2 3℄; b = [4 5 6℄, à = 3.7417,óãîë ìåæäó íèìè, b = 8.7750,à òàêæå èõ ñêàëÿðíîå ñêàëÿð. ïðîèçâ. = 32,è âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå. âåêò. ïðîèçâ.Äëÿ âåêòîðîâ a = [1 2 3℄; = [-3 6 -3℄,b = [4 5 6℄ è d = [3 2 � 1℄íàéòè ñìåøàííîå ïðîèçâåäåíèå ñìåø. ïðîèçâ.(àbd)=63 Âû÷èñëèòü ðàíã ðàíã = 3è îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû îïðåä-ëü = -49.174 Âû÷èñëèòü îáðàòíóþ 0.08 0.11 -0.14ê A ìàòðèöó -0.07 0.06 -0.450.21 -0.05 -0.695 �åøèòü ÑËÓ x =8><>:3; 21x1 � 4; 25x2 + 2; 13x3 = 5; 06;7; 09x1 + 1; 17x2 � 2; 23x3 = 4; 75;0; 43x1 � 1; 4x2 � 0; 62x3 = �1; 05: 1.08770.40241.539329

1.3. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �3.Çàäà÷è äè��åðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñ-ëåíèÿ â ïàêåòå MATLABÖåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ïðåäåëû, ïðîèçâîäíûå, ïåðâî-îáðàçíûå, îïðåäåëåííûå è íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû â ïàêåòåMatlab.Çàäàíèå 1.6. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ �óíêöèé.Öåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ïðåäåëû �óíêöèé.Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ �óíêöèé îñóùåñòâëÿåòñÿ â ïðîãðàì-ìå MATLAB ñ ïîìîùüþ êîìàíäû syms x, êîòîðàÿ ñîîáùàåòMATLAB, ÷òî x ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé è êîìàíäûlimit(f(x), x , x0), â äàííîì ñëó÷àå x0� çíà÷åíèå, ê êîòî-ðîìó ñòðåìèòñÿ ïåðåìåííàÿ x.Ïðèìåð 1.11. Íàéòè ïðåäåë limx!1(x+ 2x)1=x.>> syms x;>> limit((1+2^x)^(1/x),x,inf) \% inf îçíà÷àåòáåñêîíå÷íîñòüans =2Çàäàíèå 1.7.Äè��åðåíöèðîâàíèå �óíêöèé.Öåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ïðîèçâîäíûå �óíêöèé îäíîéïåðåìåííîé è ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå �óíêöèé íåñêîëüêèõ ïå-ðåìåííûõ.Âû÷èñëåíèå ïðîèçâîäíûõ îò �óíêöèé îñóùåñòâëÿåòñÿ âïðîãðàììå MATLAB ñ ïîìîùüþ êîìàíäû syms x; êîìàíäûdiff(y(x)) äëÿ íàõîæäåíèÿ ïåðâîé ïðîèçâîäíîé; êîìàíäûdiff(y,x,n) äëÿ íàõîæäåíèÿ n-îé ïðîèçâîäíîé. (Òàê êàê, âïðåäûäóùåì ïðèìåðå êîìàíäà syms x óæå áûëà ïðîèçâåäåíà,òî ïîâòîðÿòü å¼ ââîä íå îáÿçàòåëüíî).Ïðèìåð 1.12. 1. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ y = os(3x+ 2).>> syms x>> diff( os(3*x+2)) 30

ans =-3*sin(3*x+2)2. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ y = os(3ax + 2b), ãäå a è b�íåêî-òîðûå êîíñòàíòû.>> syms x>> syms a>> syms b>> diff( os(3*a*x+2*b))ans =-3*sin(3*a*x+2*b)*a3. Íàéòè òðåòüþ ïðîèçâîäíóþ y = xpx2 + 1.>> y=x./sqrt(x.^2+1);>> diff(y,x,3)ans =18/(x^2+1)^(5/2)*x^2-3/(x^2+1)^(3/2)-15*x^4/(x^2+1)^(7/2)Ýòó æå êîìàíäó ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ íàõîæäåíèÿ ÷àñò-íûõ ïðîèçâîäíûõ.Ïðèìåð 1.13. 1. Íàéòè ïðîèçâîäíóþ z = os(3xy) + 2y ïîïåðåìåííîé x.>> syms x>> syms y>> diff(( os(3*x*y)+2*y))ans =-3*sin(3*x*y)*yÅñëè âû õîòèòå íàéòè ïðîèçâîäíóþ ïî y, òî â âûðàæåíèådiff(y(x)) äîáàâëÿåòå ïåðåìåííóþ, ïî êîòîðîé ïðîèçâîäèòñÿäè��åðåíöèðîâàíèå �óíêöèè.31

>> diff(( os(3*x*y)+2*y),y)ans =-3*sin(3*y*x)*x+2Çàäàíèå 1.8. Ïåðâîîáðàçíûå è îïðåäåëåííûå èíòåãðàëû.Öåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ïåðâîîáðàçíûå è îïðåäåëåí-íûå èíòåãðàëû äëÿ �óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé.Ïåðâîîáðàçíûå â ïðîãðàììå MATLAB âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïî-ìîùüþ êîìàíäû ñèìâîëè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ int(f(x)),êàê è â ñëó÷àå ñèìâîëè÷åñêîãî äè��åðåíöèðîâàíèÿ íåîáõîäè-ìî ñíà÷àëà çàïèñàòü îïåðàòîð syms x. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îïðå-äåëåííûõ èíòåãðàëîâ èñïîëüçóåòñÿ îïåðàòîð int(f(x),a,b),ïðè÷åì çíà÷åíèå èíòåãðàëà ìîæåò áûòü âû÷èñëåíî êàê äëÿ÷èñëîâûõ ïðåäåëîâ èíòåãðèðîâàíèÿ, òàê è äëÿ ñèìâîëè÷åñêèõa è b, åñëè ïðåäâàðèòåëüíî çàïèñàòü syms a è syms b.Ïðèìåð 1.14. 1. Íàéòè Z � 2xdx(1 + x2)2.>> syms x>> int(-2*x/(1+x^2)^2)ans =1/(1+x^2)2. Íàéòè 1Z0 � 2xdx(1 + x2)2.>> y=-2*x/(1+x^2)^2>> int(y,0,1)ans =-1/23. Íàéòè bZa � 2xdx(1 + x2)2.>> syms a>> syms b 32

>> int(-2*x/(1+x^2)^2,a,b)ans =(a^2-b^2)/(1+b^2)/(1+a^2)Çàäàíèå 1.9. Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû.Öåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ñõîäÿùèåñÿ íåñîáñòâåííûå èí-òåãðàëû äëÿ �óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé.Íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû â ïðîãðàììå MATLAB âû÷èñ-ëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ òîé æå êîìàíäû, ÷òî è îïðåäåëåííûå èí-òåãðàëû èç çàäàíèÿ �1, òîëüêî â êà÷åñòâå âåðõíåãî ïðåäåëàèíòåãðèðîâàíèÿ èñïîëüçóåòñÿ inf, òî åñòü int(f(x),a, inf).Ïðèìåð 1.15. Íàéòè 1Za � 2xdx(1 + x2)2.>> syms x>> syms a>> int(y,a,inf)ans =-1/(1+a^2)Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûÂûïîëíèòü ñâîé âàðèàíò èç òàáëèö 4, 5, 6, 7, 8 ïðèëîæåíèÿ1 è î�îðìèòü îò÷åò.Êîíòðîëüíûå âîïðîñû1. Äëÿ ÷åãî èñïîëüçóåòñÿ êîìàíäà syms x?2. Êàê äè��åðåíöèðóåòñÿ �óíêöèÿ, ñîäåðæàùàÿ ïðîèç-âîëüíûå êîíñòàíòû?3. Êàê ïðîèçâîäèòñÿ èíòåãðèðîâàíèå �óíêöèé ñîäåðæàùèõïðîèçâîëüíûå êîíñòàíòû?33

Òàáëèöà 4. Ïðèìåð î�îðìëåíèÿ îò÷¼òàÎò÷åò ïî ë.ð. �3 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû1 Íàéòè ïðåäåë �óíêöèèlimx!1(x+ 2x)1=x ans = 22 Íàéòè ïðîèçâîäíóþ�óíêöèèy = os(3ax+ 2b), ans =-3*sin(3*a*x+2*b)*aãäå a è b� êîíñòàíòû3 Íàéòè ÷àñòíóþïðîèçâîäíóþ �óíêöèè 1) ans =-3*sin(3*x*y)*yz = os(3xy) + 2y 2) ans = -3*sin(3*y*x)*x+2ïî ïåðåìåííîé x è y4 Íàéòè òðåòüþ ans = 18/(x^2+1)^(5/2)*x^2-ïðîèçâîäíóþ 3/(x^2+1)^(3/2)-y = xpx2 + 1 15*x^4/(x^2+1)^(7/2)5 Íàéòè Z �2xdx(1 + x2)2 ans = 1/(1+x^2)6 Íàéòè 1Z0 �2xdx(1 + x2)2 ans = -1/27 Íàéòè 1Za �2xdx(1 + x2)2 ans =-1/(1+a^2)34

1.4. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �4.�ðà�è÷åñêèå âîçìîæíîñòè ïàêåòà MATLABÖåëü: íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ãðà�èêè �óíêöèé îäíîé è äâóõïåðåìåííûõ, à òàêæå �óíêöèé, çàäàííûõ â ïîëÿðíîé ñèñòåìåêîîðäèíàò.Çàäàíèå 1.10. �ðà�èêè �óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé.Öåëü: íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ãðà�èêè �óíêöèé îäíîé ïåðå-ìåííîé.�àññìîòðèì â íà÷àëå ïîñòðîåíèå ïðîñòåéøåãî ãðà�èêà�óíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé íà ïðèìåðå �óíêöèè îïðåäåëåí-íîé íà îòðåçêå [a; b℄. Âûâîä �óíêöèè â âèäå ãðà�èêà ñîñòîèòèç ñëåäóþùèõ ýòàïîâ:1) çàäàíèå âåêòîðà çíà÷åíèé àðãóìåíòà ;2) âû÷èñëåíèå âåêòîðà çíà÷åíèé �óíêöèè y().3) âûçîâ êîìàíäû plot äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðà�èêà.Ïðèìåð 1.16. Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè y = x3 � 3x + 1íà îòðåçêå [�2; 2℄ ñ øàãîì 0; 1.>> x=-2:0.1:2; % ââîä äèàïàçîíà è øàãà ïåðåìåííîé õ>> y=x.^3-3*x+1; % âûðàæåíèå äëÿ �óíêöèè, òî÷êà ïîñëåõ îçíà÷àåò ïîýëåìåíòíîå âîçâåäåíèåâ ñòåïåíü, à íå ìàòðè÷íîå óìíîæåíèå>> plot(x,y)�ðà�èê �óíêöèè áóäåò ðàñïîëàãàòüñÿ â îòäåëüíîì îêíåFigure (ðèñ. 2, à). �ðà�èêè ñîõðàíÿþòñÿ â �àéëàõ ñ ðàñøèðå-íèåì .fig. Êîïèðîâàíèå äèàãðàììû ïðîèçâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþîïöèè ìåíþ Edit! Copy Figure è ýòó êîïèþ ìîæíî âñòàâëÿòüâ ëþáîå ïðèëîæåíèå Windows (ðèñ. 2, á).�àññìîòðèì âòîðîé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ãðà�èêîâ.>> plot(x,õ.^3) % ââîä �óíêöèè íåïîñðåäñòâåííîâ îïåðàòîðå ïîñòðîåíèÿ ãðà�èêàÄîïîëíèòåëüíûå ãðà�è÷åñêèå âîçìîæíîñòè.35

à

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

á�èñ. 2.>> plot(x,õ.^3, 'm') % ðèñóåò ãðà�èê �èîëåòîâûì>> plot(x,õ.^3, ':') % ðèñóåò ãðà�èê ïóíêòèðîì>> plot(x,õ.^3, '*') % îòìå÷àåò íàéäåííûå òî÷êèìàðêåðîì *>> plot(x,õ.^3,'- .r') % ðèñóåò ãðà�èê êðàñíîé36

øòðèõîâêîé>> plot(x,õ.^3,'+-ó') % ðèñóåò æåëòûé ãðà�èêñ ìàðêåðàìè â �îðìå +>> plot(x, f,'- .r', x, g,'k') % çàäàåì äðóãèå öâåòàãðà�èêóÄëÿ îïèñàíèÿ ëåãåíäû èñïîëüçóþòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷å-íèÿ: �1� âíå ãðà�èêà â ïðàâîì âåðõíåì óãëó; 0 � âûáèðàåòñÿëó÷øåå ïîëîæåíèå â ïðåäåëàõ ãðà�èêà òàê, ÷òîáû íå ïåðåêðû-âàòü ñàìè ãðà�èêè; 1 � â âåðõíåì ïðàâîì óãëó; 2 � â âåðõíåìëåâîì óãëó; 3 � â íèæíåì ëåâîì óãëó ãðà�èêà; 4 � â íèæíåìïðàâîì óãëó. Íàïðèìåð,>> legend('sin(x)',' os(x)',-1)>> xlabel('îñü Õ'); % ïîäïèñü ïîä îñüþ õ>> ylabel('îñü Y'); % ïîäïèñü ïîä îñüþ ó>> title('ïîñòðîåíèå äâóõ �óíêöèé'); % çàãîëîâîêíà ãðà�èêå MATLAB ìîæíî ïîñòðîèòü íåñêîëüêî ãðà�èêîâ â îäíîìîêíå.Ïðèìåð 1.17. Ïîñòðîèòü ãðà�èêè �óíêöèé y = sinxpx+ 1,y = sin(x=2)px+ 1 , y = sin(x=3)px+ 1 îò x = 0 äî x = 20 ñ øàãîì 0,2.>> x = [0:.2:20℄;>> y = sin(x)./sqrt(x+1);>> y(2,:) = sin(x/2)./sqrt(x+1);>> y(3,:) = sin(x/3)./sqrt(x+1);>> plot(x,y)Ïîëó÷àþùèåñÿ ãðà�èêè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3. MATLAB ìîæíî èñïîëüçîâàòü îïåðàòîð öèêëà äëÿ âû-÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé �óíêöèé è ïîñòðîåíèÿ å¼ ãðà�èêà.Ïðèìåð 1.18. Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèèy = os ax1 + ln2(1 + bx2)37

ïî 7 òî÷êàì îò = 0 ñ øàãîì 0,1 ïðè a = 3, b = 2.

0 5 10 15 20−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

�èñ. 3.>> n=7; x=0; h=0.1; % ââîä ÷èñëà òî÷åê, íà÷àëüíîãîçíà÷åíèÿ õ è øàãà ïî õ>> a=3;b=2;>> d=zeros(n); % ñîçäàíèå íóëåâîãî âåêòîðà>> for i=1:n % íà÷àëî öèêëà;d(i)= os(a*x)/(1+(log(1+b*x.^2))^2);x=x+h;end % êîíåö öèêëà>> i=1:7;>> d(i)>> plot(i,d(i))Òàê êàê, íå áûëà ïîñòàâëåíà òî÷êà ñ çàïÿòîé ïîñëå d(i), òîâ êîìàíäíîì îêíå ïîÿâëÿåòñÿ çàïèñü çíà÷åíèé ýòîãî âåêòîðà:ans =1.0000 0.9548 0.8190 0.6004 0.3300 0.0586 -0.1666.�ðà�èê �óíêöèè â îêíå Figure áóäåò èìåòü âèä, ïðåäñòàâ-ëåííûé íà ðèñ. 4. 38

1 2 3 4 5 6 7−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

�èñ. 4.Çàäàíèå 1.11.�ðà�èêè �óíêöèé, çàäàííûõ â ïîëÿðíîé ñè-ñòåìå êîîðäèíàò.Öåëü: íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ãðà�èêè �óíêöèé â ïîëÿðíîéñèñòåìå êîîðäèíàò.Ïðèìåð 1.19. Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè � = sin 2� � os 2�â ñåêòîðå [0; 2;�℄ ñ øàãîì 0,01.>> t = 0:.01:2*pi;>> polar(t,sin(2*t).* os(2*t),'-.r')�ðà�èê �óíêöèè â îêíå Figure áóäåò èìåòü âèä, ïðåäñòàâ-ëåííûé íà ðèñ. 5Çàäàíèå 1.12. Òðåõìåðíûå ãðà�èêè �óíêöèé.Öåëü: íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ãðà�èêè �óíêöèé äâóõ ïåðåìåí-íûõ.Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òðåõìåðíîãî ãðà�èêà �óíêöèè äâóõ ïå-ðåìåííûõ íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ñîçäàòü ìàññèâû ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííûõ çíà÷åíèé ýòèõ ïåðåìåííûõ ñ ïîìîùüþ îïåðà-òîðà [X,Y℄ = meshgrid(x,y), çàòåì çàïèñàòü âûðàæåíèå äëÿ�óíêöèè Z = f(X;Y ) è âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíîé èç êîìàíä ïî-ñòðîåíèÿ òðåõìåðíûõ ãðà�èêîâ: plot3(X,Y,Z), surf(X,Y,Z), ontour3(X,Y,Z) è ò.ä. 39

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

�èñ. 5.Ïðèìåð 1.20. Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè z = xe�x2�y2 âêâàäðàòå x 2 [�2; 2℄, y 2 [�2; 2℄.>> [X,Y℄ = meshgrid(-2:.2:2,-2:.2:2);>> Z = X.*exp(-X.^2 - Y.^2);>> surf(X,Y,Z)�ðà�èê �óíêöèè â îêíå Figure áóäåò èìåòü âèä, ïðåäñòàâ-ëåííûé íà ðèñ. 6.

−2−1

01

2

−2

−1

0

1

2−0.5

0

0.5

�èñ. 6.40

Çàäàíèå 1.13. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèÿ �óíêöèè ñ èñïîëüçî-âàíèåì Ì-�àéëà.Öåëü: íàó÷èòüñÿ èñïîëüçîâàòü Ì-�àéëû äëÿ âû÷èñëåíèÿçíà÷åíèé �óíêöèé â ïàêåòå MATLAB.Ñàìûì óäîáíûì ñïîñîáîì âûïîëíåíèÿ êîìàíä MATLABÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå Ì-�àéëîâ, â êîòîðûõ ìîæíî íàáèðàòüêîìàíäû, âûïîëíÿòü èõ âñå ñðàçó èëè ÷àñòÿìè, ñîõðàíÿòü ýòèêîìàíäû â �àéëå è èñïîëüçîâàòü â äàëüíåéøåì. Äëÿ ðàáîòûñ Ì-�àéëàìè ïðåäíàçíà÷åí ðåäàêòîð Ì-�àéëîâ. Ïðè ïîìîùèýòîãî ðåäàêòîðà ìîæíî ñîçäàâàòü ñîáñòâåííûå �óíêöèè è âû-çûâàòü èõ, â òîì ÷èñëå è èç êîìàíäíîé ñòðîêè. �àñêðîéòå ìå-íþ File îñíîâíîãî îêíà MATLAB è â ïóíêòå New âûáåðèòåïîäïóíêò M-file. Íîâûé �àéë îòêðûâàåòñÿ â îêíå ðåäàêòîðàÌ-�àéëîâ.Ôîðìàò çàãîëîâêà Ì-�óíêöèè:fun tion [ñïèñîê âûõîä. ïåðåìåííûõ℄ =<èìÿ �óíêöèè>(<ñïèñîê âõîä. ïåðåìåííûõ>).Âíèìàíèå!!! Ñîõðàíåíèå Ì-�àéëà êàê Ì-�óíêöèè äîëæ-íî áûòü ñ èìåíåì, êîòîðîå óêàçûâàåòñÿ â ïîëå çàãîëîâêà Ì-�óíêöèè.Ïðèìåð 1.21. Íàáðàòü ïðîãðàììó äëÿ âû÷èñëåíèÿ è ïî-ñòðîåíèÿ ãðà�èêà �óíêöèè.Ñîçäàòü Ì-�àéë (File ! New ! M-File). Çàïèñàòü â í¼ìïðîãðàììó äëÿ âû÷èñëåíèÿ çàäàííîé �óíêöèè. Çàìå÷àíèå �åñëè ïðè íàáîðå ïðîãðàììû áûëè äîïóùåíû îøèáêè, òî ¾áåãó-íîê¿ íà ïîëîñå ïðîêðóòêè ñ ïðàâîé ñòîðîíû áóäåò îðàíæåâîãîöâåòà, åñëè îøèáîê íåò, òî îí áóäåò çåëåíûì.fun tion y=f(x,a,b) % y - âûõîäíàÿ ïåðåìåííàÿ,f - èìÿ �óíêöèè (x,a,b -âõîäíûå ïåðåìåííûå)y=(bx-sin(a*x))./sqrt(x.^2+exp(x)); % òî÷êà îçíà÷àåò,ïîýëåìåíòíîå äåëåíèåè âîçâåäåíèå â ñòåïåíüend 41

Ñîõðàíèòå �àéë ñ èìåíåì f.m â ïàïêå Publi , íàïðèìåð:C:nMîè äîêóìåíòûnPubli n1-ÔÒ-3nâàðèàíò_1nÈâàíîânf.mçàêðîéòå åãî, çàòåì âíîâü îòêðîéòå è çàïóñòèòå íà âûïîëíå-íèå: Debug ! Run îòêðîåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî, â êîòîðîì âûäîëæíû âûáðàòü îïöèþ Add to path, òàêèì îáðàçîì, âû óêà-æåòå ïðîãðàììå MATLAB â êàêîé ïàïêå íàõîäèòñÿ âàø �àéëf.m. Ïîñëå ýòîãî âû ìîæåòå ñâåðíóòü èëè çàêðûòü ýòîò �àéë èïðèñòóïàòü ê âûïîëíåíèþ çàäàíèÿ, äëÿ ýòîãî â ïîëå êîìàíä-íîãî îêíà (Command Window) íàáåðèòå êîìàíäó äëÿ ïîñòðîåíèÿãðà�èêà:>> fplot('f(x,3,2)',[-1 1℄)Ïîñëå íàæàòèÿ íà Enter ïîÿâèòñÿ ãðà�èê. Äëÿ åãî ñîõðà-íåíèÿ â îò÷¼ò, âîéäèòå â ìåíþ: Edit ! Copy Figure, çàòåì ñî-çäàéòå íîâûé �àéë â ðåäàêòîðå Word, íàïðèìåð, C:nMîè äîêó-ìåíòûnPubli n1-ÔÒ-3nâàðèàíò_1nÈâàíîânÎò÷åò.do è ÷åðåçîïöèè Ïðàâêà!Âñòàâêà èëè ñ ïîìîùüþ ïðàâîé êíîïêè ìûøèâñòàâüòå ãðà�èê â ñîçäàííûé âàìè �àéë.Ïðèìåð 1.22. Íàáðàòü ïðîãðàììó äëÿ âû÷èñëåíèÿ è ïî-ñòðîåíèÿ ãðà�èêà �óíêöèèy = 8><>:ea�bx; x < 0;10; x = 0;(ln(1 + bx2)2; x > 0;ãäå a = 3, b = 2; 3.Ñîçäàòü Ì-�àéë (File!New!M-File). Çàïèñàòü â íåì ïðî-ãðàììó äëÿ âû÷èñëåíèÿ çàäàííîé �óíêöèè.fun tion y=f1(x,a,b) % y - âûõîäíàÿ ïåðåìåííàÿ,f1 - èìÿ �óíêöèèx,a,b - âõîäíûå ïåðåìåííûåif x<0y=exp(a-b*x)else if x==0 42

y=10elsey=(log(1+b*x^2))^2endendÑîõðàíèòå �àéë ñ èìåíåì f1.m â ïàïêå Publi , íàïðèìåð:C:nMîè äîêóìåíòûnPubli n1-ÔÒ-3nâàðèàíò_1nÈâàíîânf1.m çà-êðîéòå åãî, çàòåì âíîâü îòêðîéòå è çàïóñòèòå íà âûïîëíåíèåDebug!Run, îòêðîåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî, â êîòîðîì âû äîëæíûâûáðàòü îïöèþ Add to path, òàêèì îáðàçîì, âû óêàæåòå ïðî-ãðàììå MATLAB â êàêîé ïàïêå íàõîäèòñÿ âàø �àéë. Ïîñëåýòîãî âû ìîæåòå ïðèñòóïàòü ê âûïîëíåíèþ çàäàíèÿ. Âû÷èñ-ëèòå çíà÷åíèå �óíêöèè ïðè x = �0:34, a = 3, b = 2:3; äëÿýòîãî ââåäèòå â êîìàíäíîì îêíå ñëåäóþùèå îïåðàòîðû:>> x=-0.34; a=3; b=2.3;>> y=f1(x,a,b)y =43.9038Âû÷èñëèòå �óíêöèþ ïðè x = 0, a = 1, b = 1.>> y=f1(1,1,1)y =1.3863Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûÂûïîëíèòü ñâîé âàðèàíò èç òàáëèö 9, 10, 11 ïðèëîæåíèÿ 1è î�îðìèòü îò÷åò.Êîíòðîëüíûå âîïðîñû1. Ñ ïîìîùüþ êàêèõ êîìàíä ìîæíî ïîäïèñàòü îñè êîîðäè-íàò íà ãðà�èêå?2. Ñ ïîìîùüþ êàêîãî îïåðàòîðà ñîçäà¼òñÿ ìàññèâ ðàâíî-ìåðíî ðàñïðåäåë¼ííûõ çíà÷åíèé íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ?43

Òàáëèöà 5. Ïðèìåð î�îðìëåíèÿ îò÷¼òàÎò÷åò ïî ë.ð. �4 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû1 Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè �ðà�èê (ñõåìàòè÷íûéy = osax1 + ln2(1 + bx2) îò ðóêè èëè ðàñïå÷àòàííûéïî 7 òî÷êàì îò x = 0 èç ñîõðàíåííîãîñ øàãîì 0; 1, a = 3, b = 2. �àéëà íà ïðèíòåðå2 Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè �ðà�èê (ñõåìàòè÷íûé� = sin2' � os 2' îò ðóêè èëè ðàñïå÷àòàííûéâ ñåêòîðå [0; 2�℄ èç ñîõðàíåííîãîñ øàãîì 0,01. �àéëà íà ïðèíòåðå3 Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè �ðà�èê (ñõåìàòè÷íûéz = xe�x2�y2 â êâàäðàòå îò ðóêè èëè ðàñïå÷àòàííûéx 2 [�2; 2℄, y 2 [�2; 2℄. èç ñîõðàíåííîãî�àéëà íà ïðèíòåðå1.5. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �5.×èñëåííûå ìåòîäû ïàêåòà MATLABÖåëü: íàó÷èòüñÿ èñïîëüçîâàòü ïàêåò MATLAB äëÿ ðåà-ëèçàöèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, òàêèõ êàê ðåøåíèå íåëèíåéíûõóðàâíåíèé, àïïðîêñèìàöèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé(èíòåðïîëèðîâàíèå è ÌÍÊ), ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðå-äåëåííûõ èíòåãðàëîâ, ÷èñëåííîå ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ äè�-�åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.Çàäàíèå 1.14. �åøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþïàêåòà MATLAB.Öåëü: íàó÷èòüñÿ âû÷èñëÿòü ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ íåëè-íåéíûõ óðàâíåíèé.Ïðîãðàììà MATLAB ñîäåðæèò êîìàíäó solve äëÿ ðåøå-íèÿ íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé.Ïðèìåð 1.23. �åøèòü óðàâíåíèå px+ 1� 2x = 0.>> solve('sqrt(x+1)-2*x=0') % óðàâíåíèåçàïèñûâàåòñÿ â àïîñòðî�àõ44

ans =1/8+1/8*17^(1/2)Åñëè âàñ íå óñòðàèâàåò îòâåò â òàêîì âèäå, òî âû ïðîñòîåù¼ ðàç åãî çàïèñûâàåòå è ïîëó÷àåòå îòâåò â âèäå äåñÿòè÷íîéäðîáè.>> 1/8+1/8\ast 17^(1/2)ans =0.6404Çàìå÷àíèå: åñëè óðàâíåíèå èìååò êîìïëåêñíûå êîðíè, àâàñ èíòåðåñóþò òîëüêî äåéñòâèòåëüíûå, òî íåîáõîäèìî èñïîëü-çîâàòü êîìàíäó fzero, êîòîðàÿ èùåò íóëåâîå çíà÷åíèå äàííîé�óíêöèè â ïðåäåëàõ çàäàííûõ çíà÷åíèé x.Ïðèìåð 1.24.>> h=�(x)(x-1)^2-exp(-(x+1)); % çíàê �(x) ïîçâîëÿåòñîçäàâàòü ññûëêóäëÿ âû÷èñëåíèÿëþáîé �óíêöèè>> fzero(h,3) % â äàííîì ñëó÷àå, äëÿ âû÷èñëåíèéâûáèðàþòñÿ çíà÷åíèÿ õ èç (0,3)ans =1.3144Çàäàíèå 1.15. Èíòåðïîëÿöèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñè-ìîñòåé.Öåëü: íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííîå ïðèáëèæåíèåýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííîé �óíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòèäëÿ âîçìîæíîñòè âû÷èñëåíèÿ å¼ â ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ èñ-ñëåäóåìîãî èíòåðâàëà.Ïóñòü â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà áûëà ïîëó÷åíà òàáëèöàçíà÷åíèé íåèçâåñòíîé �óíêöèè â çàâèñèìîñòè îò íåêîòîðûõçíà÷åíèé àðãóìåíòà èç çàäàííîãî èíòåðâàëà (íàïðèìåð, íàéäå-íû çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ áàëêè îò âåñà ãðóçà íà íåé). Íåîáõî-äèìî íàéòè çíà÷åíèÿ ýòîé �óíêöèè â ëþáûõ ïðîìåæóòî÷íûõòî÷êàõ ýòîãî èíòåðâàëà. 45

 ïðîãðàììå MATLAB äëÿ ýòèõ öåëåé ñëóæèò êîìàíäàinterp1(x,y,xi,method), çäåñü õ� âåêòîð çíà÷åíèé àðãóìåí-òà, ó� âåêòîð ñîîòâåòñòâóþùèõ, íàéäåííûõ â ðåçóëüòàòå ýêñ-ïåðèìåíòà, çíà÷åíèé �óíêöèè, xi� âåêòîð ïðîìåæóòî÷íûõçíà÷åíèé àðãóìåíòà, äëÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìî íàéòè çíà÷åíèÿ�óíêöèè.Ïðèìåð 1.25. Âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïî-ëó÷åííîé �óíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè â çàäàííûõ ïðîìåæó-òî÷íûõ òî÷êàõ èíòåðâàëà çíà÷åíèé àðãóìåíòà ñ ïîìîùüþ èí-òåðïîëÿöèè.>> x=[1 2.2 2.4 2.7 3.1 3.5 4.5 5℄; % ââîä çíà÷åíèéàðãóìåíòà>> y=[9.05 15.08 15.75 18.3 17.98 15.85 1.77 -13.04℄;% ââîä çíà÷åíèé �óíêöèè>> xi=1.09:0.5:4.99; % ââîä 8 çíà÷åíèé âåêòîðààðãóìåíòîâ, äëÿ êîòîðûõíåîáõîäèìî âû÷èñëèòü �óíêöèþñ ïîìîùüþ èíòåðïîëèðîâàíèÿ>> y1 = interp1(x,y,xi,'linear') % âûçîâ ïðîöåäóðû,îñóùåñòâëÿþùåé ëèíåéíóþèíòåðïîëÿöèþy1 =9.5023 12.0147 14.5272 17.3650 17.988014.5828 7.5428 -0.8958>> plot(x,y,'ok',xi,y1,'-*')>> grid % ñåòêà äàííîì ñëó÷àå àïïðîêñèìàöèÿ áûëà îñóùåñòâëåíà ñ ïî-ìîùüþ ëèíåéíîé èíòåðïîëÿöèè, êîãäà òî÷êè ãðà�èêà íàéäåí-íîé çàâèñèìîñòè ñîåäèíÿþòñÿ îòðåçêàìè ïðÿìûõ. Ìîæíî óëó÷-øèòü ýòîò ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ ñïëàéíîâóþ èíòåðïîëÿöèþ,êîãäà òî÷êè ãðà�èêà íàéäåííîé çàâèñèìîñòè ñîåäèíÿþòñÿ êðè-âûìè òðåòüåãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî íå íóæíî çàíîâî ââîäèòü èñ-õîäíûå äàííûå, äîñòàòî÷íî ââåñòè ñëåäóþùóþ êîìàíäó(ñì. ðèñ. 7). 46

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−15

−10

−5

0

5

10

15

20

�èñ. 7.>> y1 = interp1(x,y,xi,'spline') % âûçîâ ïðîöåäóðû,îñóùåñòâëÿþùåé ñïëàéíîâóþ èíòåðïîëÿöèþy1 =11.3708 16.3415 15.1675 17.4448 18.023015.1898 9.5885 -0.4294>> plot(x,y,'ok',xi,y1,'-*') % Ïîñòðîåíèåãðà�èêîâ ñïëàéíîâîé èíòåðïîëÿöèè(òèï ëèíèè "--- (-*))è çíà÷åíèé �óíêöèè â ýêñïåðèìåíòàëüíûõòî÷êàõ (òèï ëèíèè "--- ($\ ir $)â îäíîé ãðà�è÷åñêîé îáëàñòè>> gridÇàäàíèå 1.16. Ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ (ÌÍÊ).Öåëü: íàó÷èòüñÿ ñòðîèòü ïðèáëèæåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíîïîëó÷åííîé �óíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè äëÿ âîçìîæíîñòèâû÷èñëåíèÿ åå â ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ èññëåäóåìîãî èíòåð-âàëà ìåòîäîì íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ.ÌÍÊ ïîçâîëÿåò ïîäîáðàòü òàêóþ àíàëèòè÷åñêóþ �óíê-öèþ, êîòîðàÿ ïðèáëèæàåò ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ, íàè-ëó÷øèì îáðàçîì, â ñìûñëå ñðåäíå-êâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíå-47

íèÿ. Èäåÿ ÌÍÊ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïàðàìåòðû(a0; a1; : : : ; ak) íåêîòîðîé �óíêöèè Y = f(x; a0; a1; : : : ; ak) íåîá-õîäèìî ïîäîáðàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñóììà êâàäðàòîâ îò-êëîíåíèé ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çíà÷åíèé yi îò ðàñ÷åòíûõ Y áû-ëà áû íàèìåíüøåé. ×àùå âñåãî äëÿ ïðèáëèæåíèÿ �óíêöèé ïîìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ èñïîëüçóþòñÿ ñòåïåííûå �óíê-öèè � ïîëèíîìû.Ïðèìåð 1.26. Íàéòè ïîëèíîì òðåòüåé ñòåïåíè (êóáè÷åñêóþïàðàáîëó), òî åñòü âû÷èñëèòü âåêòîð åãî êîý��èöèåíòîâ y == a1x3 + a2x2 + a3x+ a4 äëÿ çàäàííîé òàáëè÷íî �óíêöèè.x=[1 2.2 2.4 2.7 3.1 3.5 4.5 5℄; % Ââîä çíà÷åíèéàðãóìåíòày=[9.054 15.077 15.754 18.3 17.98415.852 1.772 -13.042℄; % Ââîä çíà÷åíèé�óíêöèèa=polyfit(x,y,3) % Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèéêîý��èöèåíòîâ ïîëèíîìàa =-1.3534 7.2260 -6.9278 10.0354>> xi=1.09:0.5:4.99; % Ââîä çíà÷åíèé àðãóìåíòà,äëÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìîâû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ �óíêöèèy1=polyval(a,xi) % Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ïîëèíîìàâ çàäàííûõ òî÷êàõy1= 9.3167 11.8482 14.7649 17.0518 17.693915.6761 9.9835 -0.3991plot(xi,y1,'-k',x,y,'ok') % Ïîñòðîåíèå ãðà�èêàïîëèíîìà (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è çíà÷åíèé�óíêöèè â ýêñïåðèìåíòàëüíûõ òî÷êàõ(òèï ëèíèè "--- ($\ ir $))â îäíîéãðà�è÷åñêîé îáëàñòègrid 48

Ïîëó÷èâøèåñÿ ãðà�èêè ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ.8

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5−15

−10

−5

0

5

10

15

20

�èñ. 8.Êàê âèäíî èç ãðà�èêîâ, ñïëàéíîâàÿ èíòåðïîëÿöèÿ è ïðè-áëèæåíèå, ïîëó÷åííîå ïî ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, äàþòïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû, ñóùåñòâåííîå îòëè÷èå îòíèõ íàáëþäàåòñÿ äëÿ ñïëàéíîâîé èíòåðïîëÿöèè, îáåñïå÷èâàþ-ùåé íàèáîëüøóþ òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè.Çàäàíèå 1.17.Ïðèáëèæåííîå âû÷èñëåíèå îïðåäåëåííûõ èí-òåãðàëîâ.Öåëü: íàó÷èòüñÿ íàõîäèòü ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå îïðå-äåëåííîãî èíòåãðàëà ñ ïîìîùüþ ïàêåòà MATLAB. ïðîãðàììå MATLAB äëÿ ýòèõ öåëåé ñëóæèò êîìàíäàq = quad(f,a,b), çäåñü �óíêöèÿ îïèñûâàåòñÿ êàê àíîíèìíàÿ(ññûëî÷íàÿ) ñ ïîìîùüþ ñèìâîëà �(x), ÷èñëåííîå èíòåãðèðî-âàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî �îðìóëå Ñèìïñîíà.Ïðèìåð 1.27. Âû÷èñëèòü èíòåãðàë �óíêöèè sinxpx3 + 1.>> f=�(x)(sin(x)./sqrt(x.^3+1)) % ââîä èíòåãðèðóåìîé�óíêöèè>> quad(f, 0.4, 1.2) % âûçîâ êîìàíäû èíòåãðèðîâàíèÿans =0.4357 49

Çàäàíèå 1.18.×èñëåííîå ðåøåíèå äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâ-íåíèé.Öåëü: íàó÷èòüñÿ íàõîäèòü ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå çàäà÷èÊîøè äëÿ îáûêíîâåííîãî äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïî-ìîùüþ ïàêåòà MATLAB.Äëÿ ðåøåíèÿ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåìâ MATLAB ïðåäóñìîòðåíû ñëåäóþùèå �óíêöèèode45(f, interval, X0[, options℄),ode23(f, interval, X0[, options℄),ode113(f, interval, X0[, options℄),odel5s(f, interval, X0[, options℄),ode23s(f, interval, X0[, options℄),ode23t(f, interval, X0[,options℄) èode23tb(f, interval, X0[, options℄).Âõîäíûìè ïàðàìåòðàìè ýòèõ �óíêöèé ÿâëÿþòñÿ:f� âåêòîð-�óíêöèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíå-íèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé;interval�ìàññèâ èç äâóõ ÷èñåë, îïðåäåëÿþùèé èíòåðâàë[a; b℄ èíòåãðèðîâàíèÿ äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èëè ñè-ñòåìû;Õ0� âåêòîð íà÷àëüíûõ óñëîâèé ñèñòåìû äè��åðåíöèàëü-íûõ ñèñòåì;options�ïàðàìåòðû óïðàâëåíèÿ õîäîì ðåøåíèÿ äè��å-ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ èëè ñèñòåìû.Âñå �óíêöèè âîçâðàùàþò:ìàññèâ T �êîîðäèíàòû óçëîâ ñåòêè, â êîòîðûõ èùåòñÿ ðå-øåíèå;ìàòðèöó X, i-òûé ñòîëáåö êîòîðîé, ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåìâåêòîð-�óíêöèè ðåøåíèÿ â óçëå Ti.Ïðèìåð 1.28. Íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè íà îòðåçêå[a; b℄ = [�2;�1℄äëÿ óðàâíåíèÿy0 = 3 sin2(xy)x � y; y(�2) = �2:50

Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿíåîáõîäèìî ñîçäàòü �àéë, â êîòîðîì áóäåò õðàíèòüñÿ ïðàâàÿ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ. Äëÿ ýòîãî â ãëàâíîì, âåðõíåì ìåíþâûçûâàåòñÿ ðåäàêòîð Ì-�àéëîâ: File!New!M-file. Ïîñëå ÷å-ãî ïîÿâëÿåòñÿ îòäåëüíîå îêíî ñ èìåíåì Editor-Untitled. Äëÿçàïèñè â íåì ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ïåðåä èìåíåì �óíêöèèíåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ñëóæåáíîå ñëîâî fun tion:fun tion dy=duf1(x,y)dy=3*sin(x*y)*sin(x*y)/x-y;endÏîñëå çàâåðøåíèÿ íàáîðà, íåîáõîäèìî óêàçàòü â îêíå òåêó-ùåé ïàïêè íà ïàíåëè èíñòðóìåíòîâ íóæíûé ïóòü (íàïðèìåð,C:nMîè äîêóìåíòûnPubli n1-ÔÒ-3nâàðèàíò_1nÈâàíîâ) è ñîõðà-íèòü �àéë ïîä èìåíåì duf1.m, ïîñëå ýòîãî çàêðûâàåòå Ì-�àéëEditor-duf1 (ïðîöåäóðà ñîõðàíåíèÿ Ì-�àéëà îïèñàíà â ëàáî-ðàòîðíîé ðàáîòå � 2).  êîìàíäíîì îêíå ïå÷àòàåòå êîìàíäûâûçîâà �óíêöèè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè (â äàííîìñëó÷àå �óíêöèè ode45, â êîòîðîé ðåàëèçîâàí ìåòîä �óíãå�Êóòòà 4�5 ïîðÿäêà òî÷íîñòè) è ïîñòðîåíèÿ ãðà�èêà èñêîìîé�óíêöèè:>> [x,y℄=ode45(�duf1,[-2:0.1:-1℄,-2);>> plot(x,y)�ðà�èê �óíêöèè, êîòîðûé ïîñëå âûïîëíåíèÿ ýòèõ äåé-ñòâèé äîëæåí ïîÿâèòñÿ â îêíå Figure ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 9.Ïðè æåëàíèè ìîæíî ðàñïå÷àòàòü íàéäåííûå çíà÷åíèÿ èñ-êîìîé �óíêöèè ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùåé êîìàíäû:>> u=[x,y℄u =-2.0000 -2.0000-1.9000 -1.8608-1.8000 -1.6897-1.7000 -1.5470 51

-1.6000 -1.4664-1.5000 -1.4394-1.4000 -1.4509-1.3000 -1.4908-1.2000 -1.5537-1.1000 -1.6379-1.0000 -1.7434

−2 −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1−2

−1.9

−1.8

−1.7

−1.6

−1.5

−1.4

−1.3

�èñ. 9.Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûÂûïîëíèòü ñâîé âàðèàíò èç òàáëèö 12�15 ïðèëîæåíèÿ 1 èî�îðìèòü îò÷åò.Êîíòðîëüíûå âîïðîñû1.  ÷¼ì çàêëþ÷àåòñÿ èäåÿ ãðà�è÷åñêîãî îòäåëåíèÿ äåé-ñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ?2. Ñêîëüêî ëèíåéíûõ èíòåðïîëÿöèé ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿçàäàííîãî ìíîæåñòâà ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ?3.  ÷¼ì çàêëþ÷àåòñÿ èäåÿ ìåòîäà íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ?52

Ïðèìåð î�îðìëåíèÿ îò÷¼òàÎò÷åò ïî ë.ð. �5 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû1 �åøèòü óðàâíåíèå px+ 1� 2x = 0 ans = 0.64042 Âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî Çíà÷åíèÿ ëèíåéíîé èíòåðïîëèðóþùåéïîëó÷åííîé �óíêöèîíàëüíîé çàâèñèìîñòè �óíêöèè â òî÷êàõ xi:â ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ çàäàííîãî 9.5057 12.0153 14.5249 17.3665èíòåðâàëà ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîé 17.9919 14.5848 7.5448 -0.8945è ñïëàéíîâîé èíòåðïîëÿöèè. Çíà÷åíèÿ ñïëàéíîâîé èíòåðïîëèðóþùåéÂû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ êóáè÷åñêîãî ïîëèíîìà, �óíêöèè â òî÷êàõ xi:ïîëó÷åííîãî ñ ïîìîùüþ ÌÍÊ è ïðèáëèæàþùåãî 11.3561 16.2975 15.1573 17.4466ýìïèðè÷åñêóþ �óíêöèîíàëüíóþ çàâèñèìîñòü, 18.0269 15.1912 9.5899 -0.4276â òåõ æå ïðîìåæóòî÷íûõ òî÷êàõ. Çíà÷åíèÿ êóáè÷åñêîãî ïîëèíîìàÇíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, äëÿ êîòîðûõ èçâåñòíû ñ âåêòîðîì êîý��èöèåíòîââåëè÷èíû èññëåäóåìîé �óíêöèè: a =[1 2.2 2.4 2.7 3.1 3.5 4.5 5℄; -1.3534 7.2257 -6.9270 10.0393èíòåðâàë äëÿ x =[1 5℄. â òî÷êàõ xi:Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ �óíêöèè: 9.3211 11.8525 14.7691 17.0556[9.054 15.077 15.754 18.3 17.984 15.852 17.6971 15.6785 9.9849 -0.39891.772 -13.042℄;Çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà x=1.09:0.5:4.99,çàäàþùåãî ïðîìåæóòî÷íûå òî÷êè xièç çàäàííîãî èíòåðâàëà.

53

Îò÷åò ïî ë.ð. �5 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû3 Ïîñòðîèòü è ïðîâåñòè ñðàâíèòåëüíûé �ðà�èêè (ñõåìàòè÷íûå îò ðóêèàíàëèç ãðà�èêîâ ëèíåéíîé, ñïëàéíîâîé èëè ðàñïå÷àòàííûå èç ñîõðàíåííîãîèíòåðïîëèðóþùèõ �óíêöèé è êóáè÷åñêîãî �àéëà íà ïðèíòåðå)ïîëèíîìà, ïðèáëèæàþùåãî èñõîäíóþýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííóþ çàâèñèìîñòü4 Âû÷èñëèòü èíòåãðàë �óíêöèèsinxpx3 + 1 ans = 0.4357ïî �îðìóëå Ñèìïñîíà5 Íàéòè ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè [õ,ó℄ = -2.0000 -2.0000íà îòðåçêå (�2;�1) äëÿ óðàâíåíèÿ -1.9000 -1.8608y0 = 3 sin2(xy)x � y, -1.8000 -1.6897y(�2) = �2: -1.7000 -1.5470ìåòîäîì �óíãå�Êóòòà 4-5 ïîðÿäêà -1.6000 -1.4664òî÷íîñòè -1.5000 -1.4394(ode45(f,interval,X0[,options℄)) -1.4000 -1.4509-1.3000 -1.4908-1.2000 -1.5537-1.1000 -1.6379-1.0000 -1.74346 Ïîñòðîèòü ãðà�èê èñêîìîé �óíêöèè �ðà�èê (ñõåìàòè÷íûé îò ðóêèèëè ðàñïå÷àòàííûé èç ñîõðàíåííîãî�àéëà íà ïðèíòåðå)

54

×àñòü 2.Ïðîãðàììà Simulink2.1. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà � 6.Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ â ïàêåòå MATLAB ñ èñ-ïîëüçîâàíèåì èíòåðàêòèâíîé ñèñòåìû SimulinkÖåëü: íàó÷èòüñÿ ñîçäàâàòü ìîäåëè ïðîöåññîâ, îïèñûâàå-ìûõ îäíîðîäíûìè è íåîäíîðîäíûìè äè��åðåíöèàëüíûìè óðàâ-íåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè èñ èõ ïîìîùüþ èìèòèðîâàòü ýòè ïðîöåññû.Çàäàíèå 2.1.Ñîçäàòü ìîäåëü â ïðîãðàììå Simulink íà ïðè-ìåðå äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: y00 + 2y0 + 5y = 0 ñ íà-÷àëüíûìè óñëîâèÿìè y(0) = 1, y0(0) = 5.Öåëü: íàó÷èòüñÿ ñîçäàâàòü ìîäåëè è ðàáîòàòü ñ íèìè â ñè-ñòåìå Simulink ïàêåòà MATLAB.Çàïóñòèòü ïðîãðàììó ìîæíî ùåëêíóâ ìûøüþ ïî êíîïêåSimulink íà ïàíåëè èíñòðóìåíòîâ èëè ïðîñòî ââåäÿ êîìàí-äó Simulink â êîìàíäíîì îêíå. Ïðè ýòîì îòêðûâàåòñÿ îêíîSimulink Library Browser (ñì. ðèñ. 10), ñîäåðæàùåå áèáëèî-òåêè èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ ýòîé ïðîãðàììû.×òîáû íà÷àòü èñïîëüçîâàíèå ïðîãðàììû Simulink, âûáå-ðèòå êîìàíäó File!New!Model (Ôàéë-Ñîçäàòü-Ìîäåëü) Ïðèýòîì îòêðîåòñÿ ïóñòîå îêíî ìîäåëè Untitled. Ìîäåëü â ïðî-ãðàììå Simulink ñîçäà¼òñÿ ïóò¼ì êîïèðîâàíèÿ ýëåìåíòîâ, íà-çûâàåìûõ áëîêàìè, èç ðàçëè÷íûõ áèáëèîòåê â îêíî ìîäåëè.�àññìîòðèì ñîçäàíèå ìîäåëè íà ïðèìåðå ïðîñòîãî äè��åðåí-öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: y00+2y0+5y = 0 ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèy(0) = 1, y0(0) = 5.Ýòî óðàâíåíèå ñ çàäàííûìè íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè èìååòòî÷íîå ðåøåíèå:y(t) = 3e�t sin(2t) + e�t os(2t):Ïîñêîëüêó äàííàÿ ìîäåëü ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé (àðãóìåíòèñêîìîé �óíêöèè èçìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî), òî ñíà÷àëà íåîá-õîäèìî îòêðûòü áèáëèîòåêó Continious. Ïîñëå ýòîãî ïîÿâèò-55

�èñ. 10. Áèáëèîòåêè èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ Simulinkñÿ îêíî, ïðåäñòàâëåííîå íà ðèñ. 11, â ïðàâîé êîëîíêå êîòî-ðîãî íàõîäÿòñÿ áëîêè îïèñûâàþùèå íåïðåðûâíûå îïåðàöèèíàä �óíêöèÿìè, â ÷àñòíîñòè Integrator, îòâå÷àþùèé çà èí-òåãðèðîâàíèå �óíêöèé. Ïîñêîëüêó y ïîëó÷àåòñÿ èç y0 (òàê-56

æå êàê è y0 èç y00) ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ, òî ïåðåòàñêèâàåì ñïîìîùüþ ìûøè äâå êîïèè áëîêà Integrator â îêíî ìîäåëè.Ïðîãðàììà Simulink àâòîìàòè÷åñêè ïðèñâîèò âòîðîìó áëî-êó èìÿ Integrator1. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ÷òî êàæäûé áëîêIntegrator èìååò âõîäíîé è âûõîäíîé ïîðòû. Ïîäðîâíÿéòåâûõîäíîé ïîðò áëîêà Integrator ñ âõîäíûì áëîêîì Integrator1è ñîåäèíèòå èõ ñòðåëêîé, èñïîëüçóÿ ëåâóþ êíîïêó ìûøè. Ñòðåë-êà, ñîåäèíÿþùàÿ äâà áëîêà, íàçûâàåòñÿ ñèãíàëîì. Äâàæäûù¼ëêíèòå ìûøüþ íà ýòîé ñòðåëêå, è ïîÿâèòñÿ íåáîëüøîå òåê-ñòîâîå ïîëå, â êîòîðîå âû ìîæåòå ââåñòè íàçâàíèå y0. Ñïî-ñîáîì, îïèñàííûì âûøå, äîáàâüòå ñòðåëêó, âõîäÿùóþ â áëîêIntegrator (ïðåäñòàâëÿåò y00), è ñòðåëêó, âûõîäÿùóþ èç áëî-êà Integrator1 (ïðåäñòàâëÿåò y). Ýòè ñòðåëêè åù¼ íå îáåñ-ïå÷èâàþò ñîåäèíåíèå ñ äðóãèìè áëîêàìè, ïîýòîìó ïðîãðàììàSimulink îòìå÷àåò èõ ïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè, ÷òîáû íàïîì-íèòü âàì, ÷òî îíè íå ÿâëÿþòñÿ ïîëíîñòüþ ðàáîòîñïîñîáíûìè.Òåïåðü íàì íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü äè��åðåíöèàëüíîåóðàâíåíèå, êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü y00 = �5y�2y0, ÷òîáû ñâÿ-çàòü y00, ââîä ïåðâîãî áëîêà Integrator, ñ y è y0 ñîîòâåòñòâåííîýòîìó óðàâíåíèþ. Äëÿ ýòîé öåëè äîáàâëÿåì äâà áëîêà Gain(Óâåëè÷åíèå), êîòîðûå âûïîëíÿþò óìíîæåíèå íà êîíñòàíòó,è îäèí áëîê Sum (Ñóììà), èñïîëüçóåìûé äëÿ ñëîæåíèÿ. Âñåîíè âûáèðàþòñÿ èç áèáëèîòåêè Math Operations (Ìàòåìàòè-÷åñêèå îïåðàöèè) (ñåäüìàÿ ñâåðõó íà ðèñ. 11). Äëÿ òîãî ÷òîáûèçìåíèòü êîíñòàíòû, íà êîòîðûå ïðîèçâîäèòñÿ óìíîæåíèå, (ñîçíà÷åíèÿ 1 íà �5 â ïåðâîì áëîêå Gain,è íà �2 âî âòîðîì áëîêåGain1), íåîáõîäèìî ñíà÷àëà ùåëêíóòü ëåâîé êíîïêîé ìûøè ïîáëîêó, ÷òîáû åãî âûäåëèòü, çàòåì ïðàâîé êíîïêîé. Ïîñëå ýòî-ãî ïîÿâèòñÿ íèñïàäàþùåå ìåíþ, â êîòîðîì âûáèðàåòñÿ ïóíêòGain Parameters (Ïàðàìåòðû óâåëè÷åíèÿ), ïîñëå ùåë÷êà ìû-øüþ ïî íåìó ïîÿâëÿåòñÿ äèàëîãîâîå îêíî, ïðåäñòàâëåííîå íàðèñ. 12, â êîòîðîì ìîæíî èçìåíÿòü ïàðàìåòðû, êàê âàì òðå-áóåòñÿ.Ïîñëå ïðîèçâåäåííûõ äåéñòâèé â îêíå ìîäåëè ïîëó÷àåòñÿñõåìà, ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 13. Äàëåå, íåîáõîäèìî íàïðà-57

�èñ. 11. Áèáëèîòåêà Continious

�èñ. 12. Äèàëîãîâîå îêíî áëîêà ïàðàìåòðîâ Simulink58

âèòü y0, âûâîä ïåðâîãî áëîêà Integrator, ê ïîðòó ââîäà áëîêàGain1, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîäâåñòè ìûøü êî âõîäó áëîêàGain1 è íå îòïóñêàÿ ëåâóþ êíîïêó ìûøè ïðîòàùèòü ñòðåëêóäî ñîåäèíåíèÿ å¼ ñî ñòðåëêîé, ñîåäèíÿþùåé áëîêè Integratorè Integrator1. Äëÿ ïðîñìîòðà ðåçóëüòàòîâ ðàáîòû ìîäåëè íàìïîòðåáóåòñÿ áëîê âûâîäà S ope (Ýêðàí, êîòîðûé ìîæíî âû-áðàòü â áèáëèîòåêå Sinks (Ïðèåìíèêè)) (òðèíàäöàòàÿ ñâåðõóíà ðèñ. 11). Äëÿ çàïóñêà ðàáîòû ìîäåëè íåîáõîäèìî çàäàòü íà-÷àëüíûå óñëîâèÿ y(0) = 1, y0(0) = 5. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü äâà-æäû ùåëêíóâ ìûøüþ íà áëîêàõ Integrator è Integrator1 èèçìåíèâ ñòðîêó Initial Conditions (Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ) âäèàëîãå Blo k Parameters (ñì. ðèñ. 14).�èñ. 13. Íåçàêîí÷åííàÿ ìîäåëü â ïðîãðàììå

�èñ. 14. Äèàëîãîâîå îêíî Blo k Parameters äëÿ áëîêàIntegrator 59

Ïîñëå âñåõ ýòèõ äåéñòâèé äîëæíà ïîëó÷èòñÿ ìîäåëü ïðåä-ñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 15.�èñ. 15. �îòîâàÿ ê ðàáîòå ìîäåëü äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâ-íåíèÿÒåïåðü âñå ãîòîâî äëÿ çàïóñêà ïðîöåññà ñèìóëÿöèè, äëÿýòîãî ïåðåéäèòå â ìåíþ Simulation (Ñèìóëÿöèÿ) è âûáåðèòåêîìàíäó Start. ×òîáû ïîñìîòðåòü ðåçóëüòàò ðàáîòû äâàæäûù¼ëêíèòå ìûøüþ ïî S ope (Ýêðàí), åñëè íà í¼ì íè÷åãî íåáóäåò âèäíî, ù¼ëêíèòå ïî èçîáðàæåíèþ áèíîêëÿ, ïðè ýòîìïðîèñõîäèò ïåðåìàñøòàáèðîâàíèå è äîëæåí ïîÿâèòñÿ ýêðàí¾îñöèëëîãðà�à¿ ñ ãðà�èêîì ðåøåíèÿ(ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà):y(t) = 3e�t sin(2t) + e�t os(2t). Íà ðèñ. 16 èçîáðàæåí ãðà�èê�óíêöèè y(t).

�èñ. 16. Ôóíêöèÿ y(t)60

Åñëè íåîáõîäèìî, ëåãêî ìîæíî âåðíóòüñÿ íàçàä, èçìåíèòüïàðàìåòðû è ñíîâà çàïóñòèòü ñèìóëÿöèþ.Çàäàíèå 2.2.Ñîçäàòü ìîäåëü â ïðîãðàììå Simulink íà ïðè-ìåðå äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: y00 + 2y0 + 5y = g(t), ãäåg(t) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì âîçìóùàþùèì âîçäåéñòâèåì ñ íà-÷àëüíûìè óñëîâèÿìè y(0) = 1, y0(0) = 5.Öåëü: íàó÷èòüñÿ ñîçäàâàòü ìîäåëè íåîäíîðîäíûõ äè��å-ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ðàçíûìè âîçìóùàþùèìè âîçäåé-ñòâèÿìè è ðàáîòàòü ñ íèìè â ñèñòåìå Simulink ïàêåòà MATLAB.Íà ïðàêòèêå âàæíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à èçó÷åíèÿ íåîäíîðîä-íîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïðèíóäèòåëüíûõ êîëåáàíèé y00+2y0+5y == g(t), ãäå g(t) ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðûì âîçìóùàþùèì âîçäåéñòâè-åì, íàïðèìåð áåëûì øóìîì ñ îãðàíè÷åííîé ïîëîñîé ïðîïóñ-êàíèÿ. Äëÿ ðåøåíèÿ òàêîé çàäà÷è íåîáõîäèìî äîáàâèòü â íà-øó ìîäåëü áëîê èç áèáëèîòåêè Sour es (Èñòî÷íèêè), ñèìóëè-ðóþùèé áåëûé øóì. Ù¼ëêíèòå ìûøüþ íà îñíîâàíèå ñòðåë-êè ââåðõó ìîäåëè, ïåðåìåùàÿñü ê ïåðâîìó áëîêó Integrator(Èíòåãðàòîð), è âûáåðèòå êîìàíäó ìåíþ Edit!Cut (�åäàêòè-ðîâàòü-Âûðåçàòü), ÷òîáû óäàëèòü å¼. Çàòåì ïåðåòàùèòå åù¼îäèí áëîê Sum (Ñóììà) èç áèáëèîòåêè Math Operations (Ìà-òåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè), ïîìåñòèòå åãî ïåðåä ïåðâûì áëîêîìIntegrator (Èíòåãðàòîð) è ïîäâåäèòå ïîäõîäÿùèé èñòî÷íèêBand-Limited White Noise (Áåëûé øóì ñ îãðàíè÷åííîé ïîëî-ñîé ïðîïóñêàíèÿ) ê ïîðòó ââîäà áëîêà Sum (Ñóììà) è ïîäêëþ-÷èòå âñå òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 17.�èñ. 17. �îòîâàÿ ê ðàáîòå ìîäåëü íåîäíîðîäíîãî äè��åðåí-öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 61

Ïîñëå çàïóñêà ïðîöåññà ñèìóëÿöèè íà ýêðàíå äîëæåí ïî-ÿâèòñÿ ãðà�èê ðåøåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 18.

�èñ. 18. Ôóíêöèÿ y(t)�àññìîòðèì íåîäíîðîäíîå óðàâíåíèå ñ äðóãèì âîçìóùàþ-ùèì âîçäåéñòâèåì.  êà÷åñòâå èñòî÷íèêà âûáèðàåì áëîê SineWave (�àðìîíè÷åñêèå Êîëåáàíèÿ) èç áèáëèîòåêè Sour es (Èñ-òî÷íèêè) (ðèñ. 19) è óñòàíàâëèâàåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ ïà-ðàìåòðîâ: àìïëèòóäà ðàâíà 5 è ÷àñòîòà êîëåáàíèé ðàâíà 5(ðèñ. 20).�èñ. 19. �îòîâàÿ ê ðàáîòå ìîäåëü äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâ-íåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ â âèäå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéÏîñëå çàïóñêà ïðîöåññà ñèìóëÿöèè íà ýêðàíå äîëæåí ïî-ÿâèòñÿ ãðà�èê ðåøåíèÿ, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 21.62

�èñ. 20. Äèàëîãîâîå îêíî Sour e Blo k Parameters äëÿ áëî-êà Sine Wave�èñ. 21. Ýêðàí ¾îñöèëëîãðà�à¿ äëÿ äè��åðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ ñ ïðàâîé ÷àñòüþ â âèäå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèéÇàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûÂûïîëíèòü ñâîé âàðèàíò èç òàáëèöû 16 ïðèëîæåíèÿ 1 ñðàçëè÷íûìè âèäàìè âîçìóùàþùèõ âîçäåéñòâèé, âûáèðàÿ èõèç áèáëèîòåêè Sour es è î�îðìèòü îò÷åò.

63

Ïðèìåð î�îðìëåíèÿ îò÷¼òàÎò÷åò ïî ë.ð. �6 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû1 Ñîçäàòü ìîäåëü â ïðîãðàììå Simulinkíà ïðèìåðå äè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ: ñì. ðèñ. 15y00 + 2y0 + 5y = 0 ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìèy(0) = 1, y0(0) = 52 Äåìîíñòðàöèÿ ïðîöåññà ñèìóëÿöèè ñì. ðèñ. 16è ãðà�èêà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ3 Èçó÷åíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿäëÿ ïðèíóäèòåëüíûõ êîëåáàíèéy00 + 2y0 + 5y = g(t), ãäå g(t) ÿâëÿåòñÿ ñì. ðèñ. 19âîçìóùàþùèì âîçäåéñòâèåì(â âèäå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé)4 Äåìîíñòðàöèÿ ïðîöåññà ñèìóëÿöèè è ãðà�èêà ñì. ðèñ. 21ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿÊîíòðîëüíûå âîïðîñû1. Ñ ïîìîùüþ êàêèõ áëîêîâ ìîæíî ïðåäñòàâèòü äè��åðåí-öèðîâàíèå â Simulink?2. Êàêèå ïðåèìóùåñòâà ïðåäîñòàâëÿåò èíòåðàêòèâíàÿ ñðå-äà Simulink ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðàáîòû äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì?

64

×àñòü 3.Äîïîëíèòåëüíàÿ òåìû. Îäíîìåðíàÿ èìíîãîìåðíàÿ îïòèìèçàöèè3.1. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà � 7.Ïîèñê ìèíèìóìà äëÿ �óíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðå-ìåííûõ â ïàêåòå MATLABÇàäàíèå 3.1.Íàéòè ëîêàëüíûå ìèíèìóì è ìàêñèìóì �óíê-öèè îäíîé ïåðåìåííîé(http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_ al /�les/matlab6.shtm).Öåëü: íàó÷èòüñÿ ðåøàòü çàäà÷è íà ïîèñê ýêñòðåìóìîâ �óíê-öèé îäíîé ïåðåìåííîé â ïàêåòå MATLAB.Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïîèñêà ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà �óíê-öèè y = f(x) îäíîé ïåðåìåííîé âûäåëÿþò çàäà÷è ëîêàëüíîãî(íà êàêîì-ëèáî èíòåðâàëå) è ãëîáàëüíîãî (íà âñåé ÷èñëîâîéîñè) ýêñòðåìóìà.  MATLAB ïîèñê ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà îñó-ùåñòâëÿåò �óíêöèÿ:[õ, ó℄= fminbnd(name, a, b [, options℄),äëÿ êîòîðîé:name�èìÿ Ì-�óíêöèè, âû÷èñëÿþùåé çíà÷åíèå f(x);à, b� ãðàíèöû èíòåðâàëà, íà êîòîðîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïî-èñê ìèíèìóìà;options�ïàðàìåòðû, óïðàâëÿþùèå õîäîì ðåøåíèÿ;õ, ó�êîîðäèíàòû òî÷êè, â êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì�óíêöèè íà çàäàííîì èíòåðâàëå.Ôóíêöèþ fminbnd ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äëÿ âû÷èñëåíèÿëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âçÿòü �óíêöèþname ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì.Ïðèìåð 3.29. Íàéòè ìèíèìóì è ìàêñèìóì �óíêöèè:y = 3 sin(ax)px2 + 2íà îòðåçêå [3; 5℄ ïðè = 4; 5. Ì-�àéëå ñ èìåíåì mf.m çàïèñûâàåì äàííóþ �óíêöèþ:65

fun tion y=mf(x)a=4.5;y=3*sin(a*x)./(x.^2+2).^2; % òî÷êè ïîñëå ñêîáîêè ïîñëå x îáîçíà÷àþòïîýëåìåíòíîåâîçâåäåíèå â ñòåïåíüendÄëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðà�èêà �óíêöèè â êîìàíäíîì îêíå íà-ïèøåì:>> x=3:0.1:5;>> a=4.5;>> y=3*sin(a*x)./(x.^2+2).^2; % ââîä �óíêöèè, òî÷êèïîñëå ñêîáîê è ïîñëå xîáîçíà÷àþò ïîýëåìåíòíîåâîçâåäåíèå â ñòåïåíü>> plot(x,y,'-k'), grid % ïîñòðîåíèå ãðà�èêà�óíêöèè�ðà�èê, èññëåäóåìîé �óíêöèè íà ðèñ. 22.

3 3.5 4 4.5 5−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

�èñ. 22.Êàê âèäíî èç ãðà�èêà �óíêöèè (ðèñ. 22), íà îòðåçêå [3; 5℄66

ñóùåñòâóåò òðè ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìà. Íàéä¼ì ñíà÷àëà ìè-íèìóì �óíêöèè íà èññëåäóåìîì îòðåçêå.>> [x,y℄=fminbnd(�mf,3,5) ìèíèìóì �óíêöèèíà îòðåçêå [3,5℄x =3.7947 % çíà÷åíèå àðãóìåíòà õ, ïðè êîòîðîì �óíêöèÿäîñòèãàåò ìèíèìóìày =-0.0109 % çíà÷åíèå ìèíèìóìà �óíêöèèíà îòðåçêå [3,5℄Òàê êàê íà îòðåçêå [3; 5℄ ñóùåñòâóåò äâà ëîêàëüíûõ ìàêñè-ìóìà, òî çàäàâàÿ ìåíüøèé îòðåçîê, ñîäåðæàùèé ãëîáàëüíûéìàêñèìóì (ñì. ðèñ. 23), â Ì-�àéëå ñ èìåíåì mf.m ìåíÿåì çíàê�óíêöèè íà ïðîòèâîïîëîæíûé è â êîìàíäíîì îêíå âûçûâàåì�óíêöèþ fminbnd.  ðåçóëüòàòå ÷åãî íàõîäèì çíà÷åíèå ãëî-áàëüíîãî ìàêñèìóìà ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì.>> [x,y℄=fminbnd(�mf,3,4)x =3.0897 % çíà÷åíèå àðãóìåíòà õ, ïðè êîòîðîì �óíêöèÿäîñòèãàåò ìàêñèìóìày =-0.0219 % çíà÷åíèå ìàêñèìóìà �óíêöèè óíà îòðåçêå [3,5℄ ñ ïðîòèâîïîëîæíûìçíàêîìÇàäàíèå 3.2.Íàéòè ëîêàëüíûé ìèíèìóì �óíêöèè äâóõ ïå-ðåìåííûõ.Öåëü: íàó÷èòüñÿ ðåøàòü çàäà÷è íà ïîèñê ýêñòðåìóìîâ�óíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ â ïàêåòå MATLAB.Âû÷èñëåíèå ýêñòðåìóìà �óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ z == f(x1; x2; : : : ; xn) îñóùåñòâëÿåò êîìàíäà:[x,z℄ = fminsear h(name,x0[,options℄)67

ãäå name�èìÿ Ì-�óíêöèè, âû÷èñëÿþùåé çíà÷åíèåz = f(x1; x2; : : : ; xn), çàâèñÿùåé îò n ïåðåìåííûõ; x0� âåê-òîð èç n ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàùèé êîîðäèíàòû òî÷êè íà÷àëüíî-ãî ïðèáëèæåíèÿ; options�ïàðàìåòðû, óïðàâëÿþùèå õîäîìðåøåíèÿ; x�èç n ýëåìåíòîâ, ñîäåðæàùèé êîîðäèíàòû òî÷êè,â êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ìèíèìóì �óíêöèè; z� çíà÷åíèå �óíê-öèè â òî÷êå ñ êîîðäèíàòàìè x.Çàäàíèå 3.3. Íàéòè ìèíèìóì �óíêöèèz(x; y) = (x+ 0; 8)2 + (y � 0; 4)2 + x� 3; 6â ïðÿìîóãîëüíèêå x 2 [�3; 0; 85℄, y 2 [�1; 5; 2; 35℄.>> banana=�(x)(x(1)+0.8)^2+(x(2)-0.4)^2+x(1)-3.6;% ñîçäàíèå èìåíè èëè ññûëêè íà çàäàííóþ �óíêöèþ,õ(1)=õ, õ(2)=ó>> [x,fval℄ = fminsear h(banana,[-3,2.35℄)% âûçîâ ïðîöåäóðû ïîèñêà ìèíèìóìà �óíêöèèx =-1.3000 0.4000fval =-4.6500>> [x y℄=meshgrid(-3:0.3:3,-3:0.3:3); % çàäàíèå ñåòêèäëÿ ãðà�èêà �óíêöèè>> z=(x+0.8).^2+(y-0.4).^2+x-3.6; % òî÷êè îêîëî ñêîáîêîáîçíà÷àþò ïîýëåìåíòíîå âîçâåäåíèå â ñòåïåíü>> surf(x,y,z); % ïîñòðîåíèå ãðà�èêà (ñì. ðèñ. 23)

68

−4−2

02

4

−4

−2

0

2

4−5

0

5

10

15

20

25

30

�èñ. 23.Çàäàíèå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòûÂûïîëíèòü ñâîé âàðèàíò èç òàáëèöû 1 ïóíêòà 4 (äëÿ �óíê-öèé îäíîé ïåðåìåííîé) èç òàáëèöû 11 (äëÿ �óíêöèé äâóõ ïå-ðåìåííûõ) ïðèëîæåíèÿ 1 è î�îðìèòü îò÷åò.Êîíòðîëüíûå âîïðîñû1. Êàêèå ñóùåñòâóþò ìåòîäû (êðîìå ïðîñòîãî ïåðåáîðà)ïîèñêà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìóìà �óíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé?2. Êàêèå ñóùåñòâóþò ìåòîäû ïîèñêà ëîêàëüíîãî ýêñòðåìó-ìà �óíêöèè ìíîãèõ ïåðåìåííûõ?

69

Ïðèìåð î�îðìëåíèÿ îò÷¼òàÎò÷åò ïî ë.ð. �7 ñòóäåíòà Èâàíîâà È.È. 1-ÔÒ-3, âàðèàíò 1� Çàäàíèå �åçóëüòàòû1 Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè �ðà�èê (ñõåìàòè÷íûé îò ðóêèy = 3 sin(ax)px2 + 2 èëè ðàñïå÷àòàííûé èçíà îòðåçêå [3; 5℄ ïðè = 4:5. ñîõðàíåííîãî �àéëà íà ïðèíòåðå)2 Íàéòè ìèíèìóì äëÿ òîé æå x =3.7947 çíà÷åíèå�óíêöèè íà îòðåçêå [3; 5℄ àðãóìåíòà , ïðè êîòîðîì �óíêöèÿïðè = 4:5. äîñòèãàåò ìèíèìóìà;y = -0.0109 çíà÷åíèå ìèíèìóìà�óíêöèè íà îòðåçêå [3; 5℄3 Íàéòè ìàêñèìóì òîé æå �óíêöèè x = 3.0897 çíà÷åíèå àðãóìåíòà ,íà îòðåçêå [3; 5℄ ïðè =4.5. ïðè êîòîðîì �óíêöèÿ äîñòèãàåòìàêñèìóìà; y = 0.0219çíà÷åíèå ìàêñèìóìà �óíêöèèíà îòðåçêå [3; 5℄4 Ïîñòðîèòü ãðà�èê �óíêöèè �ðà�èê (ñõåìàòè÷íûé îò ðóêèz(x; y) = (x+ 0; 8)2 + (y � 0; 4)2 + x� 3; 6 èëè ðàñïå÷àòàííûé èçâ êâàäðàòå [�3; 3℄, [�3; 3℄. ñîõðàíåííîãî �àéëà íà ïðèíòåðå)5 Íàéòè ìèíèìóì òîé æå õ=-1.3000, ó=0.4000�óíêöèè ïðè x 2 [�3; 0; 85℄, min =-4.6500y 2 [�1; 5; 2; 35℄.

70

3.2. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà � 8.Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ �óíêöèé ode113 è ode45 ïà-êåòà MATLAB äëÿ ðåøåíèÿ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâ-íåíèé è ñèñòåì äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéÖåëü: íàó÷èòüñÿ ðåøàòü çàäà÷è Êîøè äëÿ äè��åðåíöè-àëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñïîìîùüþ �óíêöèé ode113 è ode45 ïàêåòà MATLAB.Çàäàíèå 3.4. �åøèòü çàäà÷ó Êîøè ìåòîäîì Àäàìñà äëÿäè��åðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ(http://solidbase.karelia.ru/edu/meth_ al /�les/matlab4.shtm):y0 = os(x+ y) + 3(x� y)2 ; (0) = 0: Ì-�àéëå ñ èìåíåì pr7.m ïèøåì:fun tion f=pr7(x,y)f= os(x+y)+(3/2)*(x-y);endÏîòîì â êîìàíäíîì îêíå âûçûâàåì �óíêöèþ ode113:>> ode113(�pr7,[0 20℄,0) % Ìåòîä Àäàìñà:�pr7 - ññûëêà íà Ì-�óíêöèþ,[0 20℄ - èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ,0 - íà÷àëüíîå óñëîâèå: y(0)=0�åçóëüòàòîì áóäåò ãðà�èê (ðèñ. 24).Çàäàíèå 3.5. �åøèòü çàäà÷ó Êîøè ìåòîäîì �óíãå�Êóòòàäëÿ ñèñòåìû äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:8>>><>>>: ddxy1 = y2;ddxy2 = y1x � y2! 1x� y1;y1(0) = 0; 1; y2(0) = 0; 5: Ì-�àéëå ñ èìåíåì pr8.m çàïèøåì:71

0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

�èñ. 24.fun tion dy=pr8(x,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=y(2);dy(2)=((y(1)/x)-y(2))*(1/x)-y(1);endÏîòîì â êîìàíäíîì îêíå âûçûâàåì �óíêöèþ ode45.>> [x,y℄=ode45(�pr8,[1 10℄,[0.1 0.5℄);% Ìåòîä �óíãå-Êóòòà:�pr8 - ññûëêà íà Ì-�óíêöèþ, [1 10℄,èíòåðâàëû èíòåãðèðîâàíèÿ,[0.1 0.5℄- íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:y1(0) = 0.1; y2(0) = 0.5>> plot(x,y,'-k') % ïîñòðîåíèå ãðà�èêîâ ðåøåíèéñèñòåìû>> grid72

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

�èñ. 25.

73

×àñòü 4.Ïðèëîæåíèå. Èíäèâèäóàëüíûå çàäàíèÿê ëàáîðàòîðíûì ðàáîòàìÒàáëèöà 1Çàäàíèÿ Èñõîäíûå äàííûåÂàðèàíò 11) y = p x+ 62; 7exax2 + 7x+ b lnx, a = 7; 2; b = 14; 3;y =s2x3 + ar tg(x)x+ 2j ln(x)j . = 13; 4; x = 5; 6; x = 7; 2.2) y = 8<:b+ 2 ln jxj; ïðè x � 3;x2x2 + a; ïðè x > 3: a = 10; 2; b = 13; 4;1) x = 4; 5; 2) x = 1; 72.3) y = 8><>:x3 + 2a; ïðè x < �2;ln j os bxj; ïðè � 2 � x � 5;x2e�ax; ïðè x > 3: a = 2; 1; b = 6; 7;1) x = �2; 38; 2) x = �0; 49;3) x = 7; 51.4) y = paxb+ axpx: x1 = 1; xn = 2; �x = 0; 2;a = 3; 5; b = 1; 2.Âàðèàíò 21) y = ax+ 3; 8 tg xpbx3 + , a = 1; 23; b = 5; 14;y = p13x+ e�x7x2 + 7x+ 14 ln(x). = 3; 97; x = 7; 1; x = 3; 1.2) y = 8<:a+ 12e�x; ïðè x > 0; os(bx+ 1); ïðè x � 0: a = 8; 53; b = 17; 1;1) x = 2; 5; 2) x = �3; 1.3) y = 8>><>>:a+ 12e�x; ïðè x � 0;sin(b2x); ïðè 0 < x < 4;px2 + 2a; ïðè x � 4: a = 7; 1; b = 3; 2;1) x = �3; 04; 2) x = 2; 16;3) x = 5; 37.4) y = sin(ax) + 3 os2(bx2 + 1): x1 = 0; xn = 5; �x = 0; 5;a = 0; 5; b = 0; 7.74

Âàðèàíò 31) y = abx2 + 1 + x3 + b sin2 x!2, a = 2; 27; b = 1; 18;y = ln(4x2 + 2) + sin2(x)e2x�3 . = 3; 92; x = 0; 78; x = 1; 1.2) y = 8<: 1a2 + x2; ïðè x � 1;b ln jxj; ïðè x > 1: a = 7; 2; b = 5; 7;1) x = 2; 92; 2) x = �3; 57.3) y = 8>><>>:sin(ln jxj); ïðè x � 1;(4x+ b)2; ïðè 1 < x � 3;1x2 + a2; ïðè x > 3: a = 2; 73; b = 1; 68;1) x = �0; 37; 2) x = 1; 9;3) x = 4; 58.4) y = 1 + a(x+ b)3 + os(ax) : x1 = 1; xn = 3; �x = 0; 2;a = 3; 9; b = 2; 3.Âàðèàíò 41) y = �ap4; 19x3 � 1�pb lnx+ ��1, a = 9; 2; b = 3; 5;y = (4x2 + 2)3 + tg xpj2x� 3j . = 12; 3; x = 3; 2; x = 7; 1.2) y = 8><>: a+ x2b+ ln(jxj+ 1); ïðè x � 2;ex + x2; ïðè x > 2: a = 9; 1; b = 3; 6;1) x = 5; 41; 2) x = �0; 71.3) y = 8>>>><>>>>:x+ os axx2 + 1; ïðè 3 < x � 5;b sin ax; ïðè x > 5;ex + ln jxj; ïðè x < 0: a = 3; 9; b = 4; 6;1) x = 3; 57; 2) x = 7; 49;3) x = �1; 73.4) y = bxp1 + a2 lnx: x1 = 2; xn = 3; �x = 0; 1;a = 4; b = 7.Âàðèàíò 51) y = ln ��a sinx+ b os(x2)��, a = 1; 2; b = 2; 3;y = lnpx2 + 7 + x4e2x + tg 2x . x = 5; 6; x = 0; 1.2) y = (a sin2 x+px; ïðè x � 1;bex2 ; ïðè x > 1: a = 1; 1; b = 3; 2;1) x = 4; 23; 2) x = 0; 93.3) y = 8><>:2 os2(ax2 � b); ïðè x � �2;3x2 + b; ïðè x > 3;px2 + eax; ïðè � 2 < x � 3: a = 1; 3; b = 2; 5;1) x = �3; 16; 2) x = 4; 16;3) x = 1; 78.75

4) y = b os x1 + a2 sin3 x: x1 = 1; xn = 6; �x = 0; 5;a = 0; 57; b = 9.Âàðèàíò 61) y =sax3 + ar tg x x+ bj lnxj , a = 2; 71; b = 1; 63;y = sinp2x+ e�xln jxj+ x4 . = 0; 81; x = 0; 51; x = 2; 1.2) y = 8<:a tg(x2); ïðè x � �1;b+ x2x2 + a; ïðè x > �1: a = 9; 5; b = 3; 8;1) x = �4; 52; 2) x = 1; 83.3) y = 8><>:b� x2 � 1; ïðè x � 3;pln(x+ a); ïðè x � 8; os2(ax2 + 3); ïðè 3 < x < 8: a = 7; 1; b = 4; 2;1) x = 1; 48; 2) x = 9; 17;3) x = 6; 23.4) y = a bx� ln axb2 ! : x1 = 2; xn = 5; �x = 0; 5;a = 1; 5; b = 4; 8.Âàðèàíò 71) y = axpb2 + 2ex � bx, a = 6; 32; b = 3; 704;y = x3 + 4 tg xp5x3 + 4 . x = 7; 15; x = 2; 1.2) y = ((a+ x) ar tg(ax); ïðè x > 3; os2(b+ x2); ïðè x � 3: a = 4; 1; b = 2; 9;1) x = 6; 81; 2) x = �4; 17.3) y = 8><>:a os2 x� b sinx2; ïðè x � 1;b lnx+ x3; ïðè 1 < x � 4;px2 + ab; ïðè x > 4: a = 2; 6; b = 5; 1;1) x = 0; 44; 2) x = 3; 67;3) x = 5; 38.4) y = p1 + ax+ b os x: x1 = 2; xn = 8; �x = 0; 6;a = 4; 2; b = 1; 5.Âàðèàíò 81) y = os(ax) + b ln(1 + bx+ ex), a = 7; 1; b = 1; 8;y = sin(x3)� e2xp4x3 + 1 . x = 0; 9; x = 2; 1.2) y = (sin3(a+ x); ïðè x < 5;lnpjb� xj; ïðè x � 5: a = 1; 9; b = 3; 4;1) x = 7; 39; 2) x = 0; 62.76

3) y = 8>><>>: os3(ax2); ïðè x > 2;sin2 x+ bx; ïðè x � �1;(2� x2)3; ïðè � 1 < x � 2: a = 2; 7; b = �3; 59;1) x = 4; 27;2) x = �2; 63; 3) x = 1; 39.4) y = bx(1 + ae�x): x1 = 2; xn = 7; �x = 0; 5;a = 3; 5; b = 2; 3.Âàðèàíò 91) y = peax + x2 ln(x2 + bx+ 10)sin( x) + 4; 2 , a = 5; 7; b = 6; 4;y = (4x2 + 2)3 + tg xpj2x� 3j . = 3; 1; x = 2; 8; x = 4; 1.2) y = (p1 + xpax; ïðè x � 2;sin(bx) + 3; ïðè x < 2: a = 4; 6; b = 3; 2;1) x = 3; 78; 2) x = 1; 54.3) y = 8>><>>:(ax+ 1)4; ïðè x � 3;12x2 + b lnx; ïðè3 < x � 5;a os(b+ x)2; ïðè x > 5: a = 1; 8; b = 3; 3;1) x = 2; 46; 2) x = 4; 3;3) x = 6; 82.4) y = b ln(ax2) + b ln2 x: x1 = 1; xn = 4; �x = 0; 3;a = 4; 3; b = 5; 4.Âàðèàíò 101) y = pe2x+b � 1; 7 os( x)ln(x2 + a) + x3, a = 2; 1; b = 5; 3;y = 3esin x + x3lnx+ 2 os(2x). = 1; 4; x = 1; 2; x = 0; 1.2) y = 8<:pe2x�b � 1; ïðè x � 0;1x2 + a; ïðè x > 0: a = 6; 7; b = 1; 8;1) x = �0; 24; 2) x = 2; 13.3) y = 8><>:1 +pa+ jxj; ïðè x � 1;2 + (ax)2 + ex; ïðè x > 6;xp1 + b ln(a2x); ïðè 1 < x � 6: a = 6; 72; b = 4; 85;1) x = 0; 4; 2) x = 7; 5;3) x = 4; 45.4) y = ln(ax2 + b)ax+ 1 : x1 = 2; xn = 6; �x = 0; 4;a = 1; 4; b = 2; 5.77

Âàðèàíò 111) y = lnpx2 + b+ x3ex + a , a = 4; 7; b = 7; 21;y = esin(4+x) sin(x2 + 9)pj4x3 + 3j . = 1; 72; x = �0; 91;x = 2; 1.2) y = (pa+ j sinxj; ïðè x > 4;tg(bx); ïðè x � 4: a = 3; 9; b = 4; 8;1) x = 5; 17; 2) x = �2; 35.3) y = 8>><>>:x2 � ax; ïðè x � �1;1x2 + b; ïðèx > 4;3p(x+ 1)2; ïðè � 1 < x � 4: a = 1; 7; b = 6; 6;1) x = �2; 61; 2) x = 1; 49;3) x = 5; 56.4) y = os(ax2)1 + tg3(bx): x1 = 0; xn = 1; �x = 0; 1;a = 2; 1; b = 0; 3.Âàðèàíò 121) y = sinpex + ax2 + b lnxax2 + x+ 13; 7 , a = 3; 7; b = 4; 9;y = sinpx2 + 9esin(4+x)(4x3 + 3). = 2; 5; x = 2; 5; x = 1; 1.2) y = (2x2 + a os(bx); ïðè x � 1;ex + tg x3; ïðè x > 1: a = 1; 71; b = 0; 83;1) x = �2; 16; 2) x = 3; 37.3) y = 8>>><>>>: 11 + ajxj; ïðè � 2 < x � 0; os(bx2) + 0; 5x; ïðè x � �2;p1 + eax; ïðè x > 0: a = 2; 1; b = 0; 7;1) x = �1; 47; 2) x = �4; 28;3) x = 5; 07.4) y = a ln xbx2 + 2: x1 = 3; xn = 6; �x = 0; 3;a = 1; 9; b = 1; 1.Âàðèàíò 131) y =s a1 + bx2 + b tg x+ e x, a = 4; 5; b = 2; 2;y = a tg x+ x os xb+ e� x . = �1; 5; x = 0; 85;x = 2; 1.2) y = (ln(a+ x2); ïðè x � 2;esinx + 2b; ïðè x < 2: a = 5; 9; b = 6; 1;1) x = 6; 72; 2) x = 1; 23.78

3) y = 8>><>>:ln �jxj+pax2 + 1� ; ïðè x � �2;ar sin bx2 + 1; ïðè x > 5;pa2 + x2; ïðè � 2 < x � 5: a = 4; 8; b = 0; 51;1) x = �3; 24; 2) x = 7; 62;3) x = 0; 28.4) y = axb+ os2 x: x1 = 3; xn = 5; �x = 0; 2;a = 1; 9; b = 1; 1.Âàðèàíò 141) y = ( x)2 � ebxpx+ os(ax), a = 4; 5; b = 2; 2;y = ln(ax2 + ) + sin2(bx)e2x�4 . = 1; 67; x = 2; 36; x = 1; 1.2) y = (0; 2x3 + a; ïðè x > �1;bx2 + ln jx+ 3j; ïðè x � �1: a = 2; 9; b = 1; 6;1) x = 3; 18; 2) x = �1; 17.3) y = 8><>:esinx; ïðè x � �1;ln2 jbxj; ïðè x > 5;p1 + (ax)2; ïðè � 1 < x � 5: a = 0; 19; b = 6; 1;1) x = �4; 38; 2) x = 8; 2;3) x = 3; 74.4) y =s ln(a2)x+ a + os2 a: x1 = 5; xn = 8; �x = 0; 6;a = 5; 3.Âàðèàíò 151) y = sin(x2 + a2)eb+xpax3 + , a = 4; 26; b = 1; 71;y = tg( + x2)�pex + bxa2 + x . = 3; 86; x = 2; 73;x = 0; 57.2) y = (sin(x+ a2); ïðè x < 2;ln(x2 + 2x+ b); ïðè x � 2: a = 1; 39; b = 2; 76;1) x = 3; 68; 2) x = 0; 91.3) y = 8>><>>:ex + 1; ïðè x � 1; os2pax; ïðè 0 < x < 1;ln�b+pjxj� ; ïðè x � 0: a = 5; 5; b = 3; 1;1) x = 2; 61; 2) x = 0; 53;3) x = �4; 39.4) y = bx2eax + x: x1 = 0; xn = 6; �x = 0; 6;a = 1; 9; b = 1; 1.79

Âàðèàíò 161) y = pln2(ax+ 2) + sin(bx2 � 1)x2 , a = 4; 3; b = 2; 9;y = a2 + x2 + e�b+x2sin( x) + 4; 79 . x = 1; 8; x = 2; 57.2) y = 8<:a� b2x; ïðè x � �3;1x2 + ebx; ïðè x > �3: a = 7; 5; b = 1; 4;1) x = �4; 13; 2) x = 0; 77.3) y = 8><>:ax+ bx2; ïðè x � 3;ex + x2; ïðè3 < x � 6;sin2 bx; ïðè x > 6: a = 7; 2; b = 3; 9;1) x = �0; 38; 2) x = 4; 19;3) x = 9; 13.4) y = ln�x+pb sin2(bx) + 1� : x1 = 1; xn = 5; �x = 0; 4;b = 5; 7.Âàðèàíò 171) y = px+ eax ln bx2 � 1 x2 + 3, a = 2; 44; b = 1; 39;y = pa+ x+ lnxjax2 + x+ bj . = 6; 21; x = 3; 10;x = 0; 87.2) y = (pj sin axj; ïðè x < �1;lnp1 + (bx)2; ïðè x � �1: a = 1; 57; b = 2; 38;1) x = �0; 51; 2) x = �4; 25.3) y = 8>>><>>>: 1(1 + x)2; ïðè x � �1;x2 + os a; ïðè x > 1;sin(ax+ b); ïðè � 1 < x � 1: a = 2; 7; b = 1; 5;1) x = �4; 5; 2) x = �0; 33;3) x = 2; 53.4) y = �1� e�ax� ln ax2 � 1ax2 + 2: x1 = 4; xn = 7; �x = 0; 3;a = 3; 8.Âàðèàíò 181) y = 2psin(ax3 + 3) + bx2e�x + 3; 2 , a = 4; 17; b = 3; 69;y = a osx+ besinxlnx+ x4 . x = 1; 2; x = 3; 5.2) y = (p(a+ x)3; ïðè x � 1;ebx�2; ïðè x < 1: a = 4; 92; b = 5; 18;1) x = 5; 13; 2) x = �1; 32.80

3) y = 8>><>>:x+ os ax; ïðè 2 � x � 5;ln jx+paxj ; ïðè x > 5;ar tg bx2 + 1; ïðè x < 2: a = 4; 8; b = 0; 64;1) x = 3; 68; 2) x = 6; 7;3) x = �4; 51.4) y = sin(ax+ ex)pax2 + 3 : x1 = 3; xn = 9;�x = 0; 6; a = 2; 7.Âàðèàíò 191) y =pax2 + bx3 + 9; 2 ln(x+ os x), a = 6; 27; b = 2; 73;y = ar tg(e�ax) + ln(b+ x)x3 . x = 2; 83; x = 1; 57.2) y = (p2jxj+ os2 x; ïðè x � 6;b sin3(ax); ïðè x > 6: a = 4; 49; b = 5; 18;1) x = 4; 41; 2) x = 7; 69.3) y = 8>>><>>>: a+ x1 +pjxj; ïðè x � 3;ebx; ïðè x > 5;ln(ax+ bx2); ïðè 3 < x � 5: a = 3; 9; b = 2; 4;1) x = 1; 38; 2) x = 5; 47;3) x = 3; 2.4) y =p(1 + ax) ln(a+ x): x1 = 1; xn = 5;�x = 0; 4; a = 5; 3.Âàðèàíò 201) y = ep os(bx)+x sin pax+ 1 !, a = 2; 13; b = 4; 7;y = ax2 +plnx+ a2b os x+ 4; 7 . = 2; 6; x = 1; 2;x = 3; 57.2) y = (p2 + jxj+ os(b+ x); ïðè x � �3;a sin(x2); ïðè x > �3: a = 1; 89; b = 2; 7;1) x = �2; 37;2) x = �5; 72.3) y = 8>>><>>>:pax2 + 1; ïðè x � �2;ar os 11 +pajxj; ïðè � 2 < x � 4;ln jx+ sin bxj; ïðè x > 4: a = 4; 27; b = 1; 39;1) x = �4; 51;2) x = 2; 75; 3) x = 5; 32.4) y = x2 + os(ax)pax+ ex : x1 = 2; xn = 3;�x = 0; 1; a = 4; 5.81

Òàáëèöà 2. �åøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé� Çàäàíèÿ1 8><>:0; 42x1 � 1; 13x2 + 7; 05x3 = 6; 15;1; 14x1 � 2; 15x2 + 5; 11x3 = �4; 16;�0; 71x1 + 0; 81x2 � 0; 02x3 = �0; 17:2 8><>:2; 5x1 � 3; 12x2 � 4; 03x3 = �7; 5;0; 61x1 + 0; 71x2 � 0; 05x3 = 0; 44;�1; 03x1 � 2; 05x2 � 0; 877x3 = �1:3 8><>:7; 09x1 + 1; 17x2 � 2; 23x3 = �4; 75;0; 43x1 � 1; 4x2 � 0; 62x3 = �1; 05;3; 21x1 � 4; 25x2 + 2; 13x3 = 5; 06:4 8><>:0; 61x1 + 0; 71x2 � 0; 05x3 = 0; 44;�1; 03x1 � 2; 05x2 + 0; 87x3 = 1; 16;2; 5x1 � 3; 12x2 � 5; 03x3 = �7; 5:5 8><>:1; 14x1 � 2; 15x2 � 5; 11x3 = �4; 16;�0; 71x1 + 0; 81x2 � 0; 02x3 = �0; 17;0; 42x1 � 1; 13x2 + 7; 05x3 = 6; 15:6 8><>:0; 1x1 + 1; 2x2 � 0; 13x3 = 0; 1;0; 12x1 + 0; 71x2 + 0; 15x3 = 0; 26;�0; 13x1 + 0; 15x2 + 0; 63x3 = 0; 38:7 8><>:3; 11x1 � 1; 66x2 � 0; 6x3 = �0; 22;�1; 65x1 + 3; 51x2 � 0; 78x3 = 2; 57;0; 6x1 + 0; 78x2 � 1; 87x3 = 1; 65:8 8><>:0; 71x1 + 0; 1x2 + 0; 12x3 = 0; 29;0; 1x1 + 0; 34x2 � 0; 04x3 = 0; 32;0; 12x1 � 0; 04x2 + 0; 1x3 = 0; 1:9 8><>:0; 34x1 � 0; 04x2 + 0; 1x3 = 0; 33;�0; 04x1 + 0; 1x2 + 0; 12x3 = �0; 05;0; 1x1 + 0; 12x2 + 0; 71x3 = 0; 28:10 8><>:1; 17x1 + 0; 53x2 � 0; 84x3 = 1; 15;0; 64x1 � 0; 72x2 � 0; 43x3 = 0; 15;0; 32x1 + 0; 43x2 � 0; 98x3 = �0; 48:11 8><>:0; 82x1 + 0; 43x2 � 0; 57x3 = 0; 48;�0; 35x1 + 1; 12x2 � 0; 48x3 = 0; 52;0; 48x1 + 0; 23x2 + 0; 37x3 = 1; 44:82

Ïðîäîëæåíèå òàáë. 2� Çàäàíèÿ12 8><>:0; 12x1 � 0; 43x2 + 0; 14x3 = �0; 17;�0; 07x1 + 0; 34x2 + 0; 72x3 = 0; 62;1; 18x1 � 0; 08x2 � 0; 25x3 = 1; 12:13 8><>:0; 66x1 � 1; 44x2 � 0; 18x3 = 1; 18;0; 48x1 � 0; 24x2 + 0; 37x3 = �0; 84;0; 86x1 + 0; 43x2 + 0; 64x3 = 0; 64:14 8><>:1; 2x1 � 0; 2x2 + 0; 3x3 = �0; 6;�0; 2x1 + 1; 6x2 � 0; 1x3 = 0; 3;�0; 3x1 + 0; 1x2 � 1; 5x3 = 0; 4:15 8><>:0; 3x1 + 1; 2x2 � 0; 2x3 = �0; 6;�0; 1x1 � 0; 2x2 + 1; 6x3 = 0; 3;�1; 5x1 � 0; 3x2 + 0; 1x3 = 0; 4:16 8><>:1; 6x1 + 0; 12x2 + 0; 57x3 = 0; 18;0; 38x1 + 0; 25x2 � 0; 54x3 = 0; 63;0; 28x1 + 0; 46x2 � 1; 12x3 = 0; 88:17 8><>:1; 16x1 + 1; 3x2 � 1; 14x3 = 0; 43;0; 83x1 � 0; 48x2 � 2; 44x3 = �0; 15;2x1 � 0; 16x2 + 1; 3x3 = 1; 5:18 8><>:0; 1x1 � 0; 04x2 � 0; 13x3 = �0; 15;�0; 04x1 + 0; 34x2 + 0; 05x3 = 0; 31;�0; 13x1 + 0; 05x2 + 0; 63x3 = �0; 37:19 8><>:0; 32x1 � 0; 25x2 + 0; 37x3 = 0; 65;0; 05x1 + 0; 34x2 + 0; 17x3 = �0; 024;0; 16x1 + 0; 23x2 � 0; 15x3 = 0; 43:20 8><>:0; 36x1 + 0; 18x2 � 0; 47x3 = 0; 38;0; 27x1 � 0; 36x2 + 0; 19x3 = 0; 04;0; 15x1 + 0; 45x2 + 0; 33x3 = �0; 16:83

Òàáëèöà 3. Äåéñòâèÿ ñ âåêòîðàìè� ~a(xa; ya; za) ~b(xb; yb; zb) ~d(xd; yd; zd)1 (�6; 4; 1) (2;�1; 5) (2; 3;�1)2 (3;�1; 4) (1; 2; 1) (4;�2; 1)3 (2; 2; 1) (1;�3; 1) (1; 1;�1)4 (3;�2; 8) (3;�1; 7) (5;�7; 4)5 (5; 1; 2) (0;�3; 1) (�2; 2; 1)6 (3;�3; 3) (1;�3; 2) (4; 1; 6)7 (1;�7; 2) (3; 5; 7) (�6;�5; 3)8 (2;�1; 5) (1;�1; 8) (3; 2;�2)9 (7;�1;�3) (3; 1;�2) (4; 1;�2)10 (2;�4; 3) (�1; 2; 0) (4; 4;�3)11 (�2; 3; 1) (5; 1; 2) (3; 7; 4)12 (1; 1; 1) (1; 0; 1) (4;�2; 3)13 (�2; 3; 0) (�1; 1; 2) (1; 3;�1)14 (�3; 7; 1) (5; 3; 1) (�3;�1;�2)15 (�3; 1;�1) (2; 3; 1) (4; 2; 3)16 (1;�1; 1) (�1; 0; 1) (1;�3; 1)17 (�1;�1; 1) (0; 1;�1) (6;�6; 8)18 (�5; 7; 4) (2;�2; 1) (0;�3; 9)19 (1; 3; 1) (�1; 0; 1) (5;�9; 7)20 (2;�1;�1) (�1;�2; 4) (6; 0; 5)

84

Òàáëèöà 4. Âû÷èñëåíèå ïðåäåëîâ �óíêöèé� Çàäàíèÿ � Çàäàíèÿ1 limx!0 1� osx5x2 2 limx!0 x tg 2x1� os 4x3 limx!0 ar sin 3x5x 4 limx!0 ar tg 5x3x5 limx!0 1� os 2xx2 6 limx!0 os x� os3 xx27 limx!0 7xar tg x 8 limx!0 x2 tg 2xsin 3x9 limx!0 1� os 6x1� os 2x 10 limx!0 tg2 x=2x211 limx!1 x+ 3x� 2!x 12 limx!1 x+ 3x !x13 limx!1 2x� 12x+ 2!x 14 limx!1 4x+ 14x !2x15 limx!+1x(ln(x+ 1)� lnx) 16 limx!+1(2x+ 1)(ln(x+ 3)� lnx)17 limx!+1(x� 5)(ln(x� 3)� lnx) 18 limx!+1(2x+ 1)(ln(x� 3)� lnx)19 limx!1 x� 3x+ 2!x 20 limx!1 x+ 3x !3x

85

Òàáëèöà 5. Äè��åðåíöèðîâàíèå �óíêöèé îäíîé è äâóõïåðåìåííûõ� y = f(x) z(x; y)1 y = pax+ 1ax2 + os 3x e(x�0;1y)2 + (y � x)2 � 3; 62 y = ln �ax+p os ax+ x2� x2 � 2xy + 5y2 + 3; 9ex+y3 y = 1lnx+ 3pax2 + ex (x+ 1; 5y)2 + (y � 1; 2x)2 � 9; 7xy4 y = epx + ar sin(a=x)ax2 + 4 ex2 + ey4 � 2xy � 3; 55 y = ex2pax+ 3 x4 � 2x2y2 � 2x+ 0; 5y6 y = 1px2 + 2 ln(jxj+ os ax) x2 + 3xy + 7y2 + 3 ln(x+ y)7 y = lnpax2 + os x+ ex x2 + (y � 1; 6x)2 � 0; 1xy + 28 y = 1pax+ sinx os(ax) (x+ 0; 8y)2 + (xy � 0; 4)2 + x� 3; 69 y = pax+ px+ 5px+ sin ax x2 � 4; 2xy + y2 + 0; 7 sin(xy)11 y = e os(ax)plnx+ ax2 e(x2�y) + ey2 � y + 4; 612 y = 1lnxsex + sinxx2 + a2 3; 4x2y + 6; 7y2 � 1; 7xey � 1213 y = 1sinx+ ax2 ln a+ x2ex 2y(x� 0; 4)2 + 3x2(y � 2; 5)214 y = ax2 +px+ os(ax)pex + sinx yx2 + 0; 1x(9y � 1)2 � 12; 615 y = a2 sin2 xp1 + a2 os2 x y sin4 x+ x os4 y16 y = p x+ e2�xx2 + ax+ lg x ex3 + ey3 � xy + 4; 617 y = tg � � x2��pex�5 + bxa2 + x3 3; 4x2y3 + 6; 7y2 � 1; 7x� 12y18 y = ep os(bx)+x sin �pax+1 � 2(x� 0; 4y)2 + 3(yx� 2; 5)419 y = ax2 +plnx+ a2b os x+ 4; 7 x5 + 0; 1xy3 + (9y5 � 1)2 � 12; 620 y =p(1 + ax) ln(a+ x) 6 sin(x2 � x) + y2 � 3486

Òàáëèöà 6. Âû÷èñëåíèå ïåðâîîáðàçíîé� y = f(x) � y = f(x)1 Z dxx lnx ln lnx 2 Z xdx os2 x3 Z (2x+ 11)dxx2 + 6x+ 13 4 Z (x2 + 2)dx(x� 1)(x+ 1)25 Z dx3 sinx+ 4 os x+ 5 6 Z 5p(8� 3x)6dx7 Z x3dx3px4 + 1 8 Z e2xdxe2x + a29 Z (6x� 5)dx2p3x2 � 5x+ 6 10 Z esinx os xdx11 Z esinx osxdx 12 Z (lnx)mdxx13 Z os xdx3psin2 x 14 Z xdxpa2 � x415 Z (ex + 1)3dx 16 Z (1 + x)dxp1� x217 Z 2xdxp1� 4x 18 Z dxp4x� 3� x219 Z (x+ 1)px2 + 2xdx 20 Z (1� tg 3x)2dx

87

Òàáëèöà 7. Âû÷èñëåíèå îïðåäåë¼ííûõ èíòåãðàëîâ� y = f(x) � y = f(x)1 �Z�� 3psinx osxdx 2 �=2Z��=2 ( os2 x+ x2 sin x)dx3 �Z�� ex sinxdx 4 1Z�1 os5 xdx5 1Z�1 (ex + e�x)(x+ 5)dx 6 �=3Z��=3 x2 sin 5x+ os x3 + tg3 xdx!dx7 2Z0 ex2xdx 8 2Z0 2x7 � x5 + 2x3 � x+ 1px+ 1 dx9 1Z0 x2p1� x2dx 10 ln 2Z0 e2xpex � 1dx11 ln 2Z0 xe�xdx 12 �Z0 x sinxdx13 �=4Z0 x sin 2xdx 14 2�Z0 x2 os xdx15 1Z0 ar os xdx 16 3Z1 ar tgpxdx17 eZ1 dxxp1 + lnx 18 Z 10 e2x + 2exe2x + 1 dx19 �=2Z0 dx2� sinx 20 �=2Z�=3 dx3 + os x88

Òàáëèöà 8. Âû÷èñëåíèå íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ� y = f(x) � y = f(x)1 +1Z1 dx(1 + x)px 2 +1Z1 x4dx(x5 + 1)43 �2Z�1 dxxpx2 � 1 4 +1Z0 shxsh2xdx5 +1Z0 e2xdxex +pex 6 +1Z2 xdxx3 � 17 +1Z1 x2 + 1x4 + 1dx 8 +1Z0 dx(x2 + 9)px2 + 99 +1Z0 e�pxdx 10 +1Z1 x+ ear tg x(1 + x2) dx11 +1Z0 dxpx2 + 1 � x2 12 +1Z2 dxxpx2 + x� 113 +1Z0 dx(4x2 + 1)px2 + 1 14 +1Z0 x2 + 12(x2 + 1)2dx15 +1Z0 e�x sin 5xdx 16 +1Z0 e�3x os 2xdx17 +1Z0 e�2x sin2 bxdx 18 Z +1p2 dx(x2 � 1)px2 � 219 +1Z1 dx(2x2 � 1)px2 � 1 20 +1Z0 (1� x)3p(x� 1)4dx89

Òàáëèöà 9. Ïîñòðîåíèå ãðà�èêîâ �óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîéñ ïîìîùüþ öèêëà è ïåðå÷èñëåíèåì çíà÷åíèé àðãóìåíòà� y = f(x) Çàäàíèÿê ëàáî-ðàòîðíîéðàáîòå� 2 Çàäàíèÿ ê ëàáîðàòîðíîé ðà-áîòå � 41 y = pax+ 1ax2 + os 3x [2; 20℄�x = 1; 8 x = f2; 4; 9; 10; 11; 13; 19ga = 7; 22 y = ln �ax+p os ax+ x2� [4; 24℄�x = 2 x = f4; 5; 17; 20; 21; 23ga = 5; 73 y = 1lnx+ 3pax2 + ex [1; 19℄�x = 1; 8 = f1; 3; 7; 13; 16; 19; 20ga = 1; 34 y = epx + ar sin(a=x)ax2 + 4 [3; 23℄�x = 2 x = f3; 8; 11; 12; 24ga = 2; 75 y = expax+ 3 [�1; 11℄�x = 1; 2 x = f�1; 0; 2; 3; 4; 7; 8; 10ga = 1; 96 y = 1px2 + 2 ln(jxj+ os ax) [2; 24℄�x = 2; 2 x=f2; 4; 11; 12; 14; 16; 21; 23ga = 7; 47 y = lnpax2 + osx+ ex [�3; 13℄�x = 1; 6 x = f�3;�1; 2; 4; 9; 11; 18ga = 3; 18 y = 1pax+ sinx os(ax) [1; 17℄�x = 1; 6 x=f1; 2; 4; 8; 9; 10; 13; 15; 17ga = 4; 59 y = pax+ px+ 5px+ sin ax [3; 23℄�x = 2 x = f3; 5; 6; 9; 13; 17; 20ga = 1; 910 y = e os(ax)plnx+ ax2 [1; 17℄�x = 1; 6 x = f1; 3; 4; 8; 9; 10; 16ga = 2; 511 y = 1lnxsex + sinxx2 + a2 [3; 23℄�x = 2 x = f3; 7; 8; 9; 12; 19; 21ga = 7; 312 y = 1sinx+ ax2 ln a+ x2ex [1; 17℄�x = 1; 6 x = f1; 4; 5; 7; 10; 15; 16ga = 1; 113 y = ax2 +px+ os(ax)pex + sinx [2; 20℄�x = 1; 8 x = f2; 3; 4; 6; 7; 10; 13; 19ga = 2; 390

Ïðîäîëæåíèå òàáë. 914 y = a2 sin2 xp1 + a2 os2 x [3; 23℄�x = 2 x = f3; 5; 10; 20; 21; 25ga = 5; 915 y = ln(x+ a) + 23px+ a2 [1; 17℄�x = 1; 6 x = f1; 3; 7; 9; 12; 13; 16ga = 4; 716 y = sin(x� 0; 3) + axea + x2 [3; 19℄�x = 1; 6 x = f3; 5; 9; 12; 17; 19ga = 1; 717 y = 12ax+ ax2 + a os x2(x+ 1)2 [�2; 14℄�x = 1; 6 x = f�2; 1; 3; 5; 10; 11; 12; 17ga = 6; 318 y = ln(a+ x2) + x22 + sin(a� x) [2; 20℄�x = 1; 8 x = f2; 5; 6; 7; 10; 11; 13; 19ga = 7; 519 y = pax+ x2x3 + tgx [1; 16℄�x = 1; 5 x = f1; 2; 5; 6; 7; 14; 15ga = 3; 820 y = sin x+ 101 + x2 + ax4 [�3; 12℄�x = 1; 5 x = f�3;�2; 0; 3; 4; 5; 9; 11ga = 5; 1Òàáëèöà 10. Ïîñòðîåíèå ãðà�èêîâ �óíêöèé îäíîé ïåðåìåííîéâ ïîëÿðíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò� Ôóíêöèÿ � Ôóíêöèÿ1 � = 4(1 � os'), 0 � ' � � 2 � = 2(1 � os'), 0 � ' � �3 � = 3 sin', 0 � ' � 2� 4 � = sin 2', 0 � ' � 2�5 � = 2p os 2', 0 � ' � �4 6 � = os 5', 0 � ' � 2�7 � = 3 sin 4', 0 � ' � 2� 8 � = e2 os', 0 � ' � 2�9 � = 3', 0 � ' � 2� 10 � = 4', 0 � ' � 2�11 � = 4(1 + os'), 0 � ' � � 12 � = 3(1 + os'), 0 � ' � �13 � = 2psin 2', 0 � ' � �2 14 � = 4psin 2', 0 � ' � �215 � = 3 sin 2', 0 � ' � 2� 16 � = sin 3', 0 � ' � 2�17 � = 3 os 2', 0 � ' � 2� 18 � = os 3', 0 � ' � 2�19 � = e3 sin', 0 � ' � 2� 20 � = 3p os 2', 0 � ' � �491

Òàáëèöà 11. �ðà�èêè �óíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ (òðåõìåðíàÿãðà�èêà)� Ôóíêöèÿ z(x; y) a b d h1 x2 + y2 � 0; 3x� 7; 4 �1; 5 1; 65 �1; 5 1; 65 0; 452 (x+ 2)2 + 5y2 � 0; 05 �3; 5 �0; 35 �1; 55 1; 6 0; 453 ex2 + (y � 1; 3)2 � x� 3; 5 �1 1; 1 �0; 1 2 0; 34 3x2 + x+ y2 + 5; 4 �1; 5 1; 65 �1; 5 1; 65 0; 455 2x2 + 3y2 � 5; 6x+ 1; 2 �0; 5 2; 65 �1; 5 1; 65 0; 456 x2 + 5x+ y2 � 1; 3 �3; 5 �0; 35 �1; 5 1; 65 0; 457 e(x�0;1)2 + (y � 1)2 � 3; 6 �1; 5 1; 65 �1 2; 15 0; 458 x2 � 2x+ 5y2 + 3; 9 �1 2; 15 �1; 5 1; 65 0; 459 (x+ 1; 5)2 + (y � 1; 2)2 � 9; 7 �3 0; 85 �1; 5 2; 35 0; 5510 ex4 + ey4 � x� 2y � 3; 5 �0; 5 1; 25 �0; 5 1; 25 0; 2511 x4 � 2x2 + y2 � 2x+ 0; 5 �1 2; 15 �1; 5 1; 65 0; 4512 x2 + 3x� y + 7y2 + 3 �2; 65 0; 5 �1; 5 1; 65 0; 4513 x2 + (y � 1; 6)2 � 0; 1x+ 2 �2 2; 2 �1 3; 2 0; 614 (x+ 0; 8)2 + (y � 0; 4)2+ �3 0; 85 �1; 5 2; 35 0; 55+x� 3; 615 x2 � 4; 2x+ y2 + 0; 7y 0; 5 3; 65 �1; 5 1; 65 0; 4516 e(x2�x) + ey2 � y + 4; 6 �1; 2 2; 3 �2; 2 1; 3 0; 517 3; 4x2 + 6; 7y2 � 1; 7x� 12 �1; 5 1; 65 �1; 5 1; 65 0; 4518 2(x� 0; 4)2 + 3(y � 2; 5)2 �1 2; 5 0; 75 4; 25 0; 519 x2 + 0; 1x+ (9y � 1)2 � 12; 6 �1; 5 1; 65 �2; 5 0; 65 0; 4520 6x2 � x+ y2 � 34 �1; 6 1; 9 �2 1; 5 0; 5Òàáëèöà 12. �åøåíèå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé� Óðàâíåíèå � Óðàâíåíèå1 x3 � 3x2 + 3 = 0 2 2� x = lnx3 2x3 + 9x2 � 21 = 0 4 x+ lg x = 0; 55 x3 + 3x2 � 2 = 0 6 (x� 1)2 = 12ex7 x3 + x2 � 1 = 0 8 (2� x)ex = 19 x3 � 12x� 5 = 0 10 x2 + 4 sinx = 011 1; 21x3 + 8; 36x� 3; 9 = 0 12 lnx+ (x+ 1)3 = 013 2; 2x3 + 4; 18x� 1; 4 = 0 14 6; 1x3 � 4; 3e�0;2x = 015 x� os x = 0 16 x3 � 12x� 10 = 017 4; 5x+ 8e0;3x = 0 18 3x+ osx+ 1 = 019 x3 � 3x2 + 3; 5 = 0 20 1; 5e0;2x + 5; 3x = 092

Òàáëèöà 13. Àïïðîêñèìàöèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé1 x 0,43 0,48 0,55 0,62 0,70y 1,63 1,73 1,87 2,03 2,222 x 0,02 0,08 0,12 0,17 0,23y 1,02 1,09 1,14 1,21 1,303 x 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35y 6,61 6,39 6,19 6,00 5,824 x 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22y 5,61 5,46 5,32 5,19 5,065 x 1,37 1,38 1,39 1,4 1,42y 5,04 5,17 5,27 5,35 5,516 x 0,18 0,19 0,20 0,22 0,24y 5,61 5,46 5,32 5,19 5,067 x 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41y 5,04 5,17 5,32 5,47 5,628 x 1,2 7,5 13,3 19,1 25,2y 1,38 1,39 1,37 1,4 1,99 x 1,2 7,5 13,3 19,1 25,2y 1,38 1,19 1,17 1,4 1,911 x 0,11 0,15 0,21 0,29 0,35y 9,05 6,61 4,69 3,35 2,7312 x 1,23 1,4 1,71 1,8 1,85y 5,04 5,17 5,43 5,53 5,6213 x 2,5 8,3 14,1 20,5 26,1y 0,17 0,13 0,1 0,13 0,2214 x 0,12 0,13 0,14 0,16 0,19y 8,65 8,29 7,95 7,64 7,3615 x 1,35 1,41 1,47 1,51 1,56y 2,73 2,30 1,96 1,78 1,5916 x 1,43 1,48 1,55 1,62 1,7y 1,92 1,85 1,79 1,81 2,117 x 0,4 0,47 0,51 0,6 0,67y 0,21 0,19 0,18 0,16 0,1518 x 0,15 1,20 1,25 1,30 1,35y 8,7 8,2 7,9 7,6 7,319 x 3,75 3,8 3,85 3,9 3,95y 5,14 5,35 5,52 5,57 5,6220 x 6,81 7,31 8,03 8,81 9,30y 8,08 8,94 10,2 12,3 13,493

Òàáëèöà 14. ×èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå bRa f(x)dx� f(x) a b1 os x=(x+ 2) 0,2 12 1=p1 + 2x2 0,6 1,53 tg2 x=(x+ 1) 0,5 1,34 1=px2 + 3 0,4 1,25 sin(x2 � 1)=px 1,3 2,16 px+ 1 os2 x �0; 2 0,027 1=p2x2 + 0; 3 0,8 1,78 tg2 x=(x+ 1) 0,5 1,29 sin(x2 � 1)=(2px) 1,3 2,110 px+ 1 lg(x+ 3) 0,15 0,6511 px+ 1= lg(x+ 3) 0,15 0,6312 1=p2x2 + 3 0,8 1,413 os x=(x2 + 1) 0,8 1,214 px os2 x 0,4 1,215 (2x+ 0; 5)= sinx 0,4 1,216 1=px2 + 0; 6 2,2 317 exp(�px) 0 0,1618 lg(x2 + 3)=(2x) 1,2 219 sin 2x=x 0,01 0,2520 1=p0; 2x2 + 1 1,3 2,594

Òàáëèöà 15. �åøåíèå äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé y0 = f(x; y)� f(x; y) a b y(a)1 0; 5xy 0 1 12 x2 + y2 0 1 03 1 + xy2 0 1 04 yx+ 1� y2 0 1 15 0; 4x�1 � y2 1 2 16 1 + 0; 8y osx� 2y2 0 1 07 x+ y2 0 1 0,58 �y2 + x�2 1 2 19 2x+ y2 0 1 0,310 x2 + 2y2 0 1 0,711 0; 1x+ 0; 5y2 0 1 0,212 x2 + 0; 5xy 0 1 0,313 x+ 0; 2y2 0 1 0,414 0; 5x+ 2y2 0 1 0,515 (0; 2� y)x�1 � 0; 8y2 1 2 116 0; 5x+ 2y2 0 1 0,617 2x� yx+ 1 � y2 1 2 118 2 + 0; 1x2y2 1 2 119 0; 5x�2 � 2y2 1 2 120 x2 + xy 0 1 0,2Òàáëèöà 16. �åøåíèå îäíîðîäíûõ äè��åðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîý��èöèåíòàìè� Óðàâíåíèå Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ1 y00 + 1; 4y0 + 3y = 0 y0(0) = 1, y(0) = 32 y00 + 2y0 + 3y = 0 y0(0) = 2, y(0) = 13 y00 + y0 + 3y = 0 y0(0) = 3, y(0) = 34 y00 + 1; 1y0 + 3; 1y = 0 y0(0) = 1, y(0) = 25 y00 + 2y0 + 2y = 0 y0(0) = 3, y(0) = 46 y00 + 1; 3y0 + 2y = 0 y0(0) = 1, y(0) = 37 y00 + 1; 5y0 + 4y = 0 y0(0) = 2, y(0) = 38 y00 + 1; 4y0 + 5y = 0 y0(0) = 1, y(0) = 59 y00 + 2y0 + 6y = 0 y0(0) = 1; 5, y(0) = 310 y00 + y0 + 2y = 0 y0(0) = 1, y(0) = 2; 495

Çàêëþ÷åíèåÂîçìîæíîñòè ïàêåòà ïðîãðàìì MATLAB çíà÷èòåëüíî øè-ðå òåõ, ÷òî ïðåäñòàâëåíû â äàííîì ïîñîáèè. Ñóùåñòâóåò áîëü-øîå êîëè÷åñòâî ëèòåðàòóðû ïî åãî âû÷èñëèòåëüíûì âîçìîæ-íîñòÿì è ñïðàâî÷íûå ìàòåðèàëû íåïîñðåäñòâåííî â ïðîãðàìì-íîé ñðåäå �MATLAB R2006b�Help. Êðîìå òîãî, ïðè æåëà-íèè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïëàòíûìè óñëóãàìè è äîïîëíè-òåëüíûìè ïàêåòàìè, ïðåäëàãàåìûìè �èðìîé MathWorks, In .Ýëåêòðîííûé àäðåñ �èðìû Mathworks:http://www.mathworks. om/produ ts/.Àâòîðû íàäåþòñÿ, ÷òî ïðåäëàãàåìîå ïîñîáèå ïîìîæåò ñòó-äåíòàì è äàñò èì ñòèìóë äëÿ äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿMATLAB� âûñîêîóðîâíåâîãî òåõíè÷åñêîãî âû÷èñëèòåëüíîãîÿçûêà è èíòåðàêòèâíîé ñðåäû äëÿ ðàçðàáîòêè àëãîðèòìîâ, âè-çóàëèçàöèè è àíàëèçà äàííûõ, ÷èñëîâûõ ðàñ÷åòîâ.

96

Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû1. Êåòêîâ Þ., Êåòêîâ À., Øóëüö Ì. Matlab6.õ. Ïðîãðàììè-ðîâàíèå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. ÑÏá.: ÁÕÂ-Ïèòåðáóðã, 2004.2. Hunt, Brian R. è äð. MatlabR2007 ñ íóëÿ! Êíèãà + Âè-äåîêóðñ.: [ïåð. ñ àíãë.℄. Ì.: Ëó÷øèå êíèãè, 2008. 352 ñ.

97

Äëÿ çàìåòîê

98

ÑîäåðæàíèåÏðåäèñëîâèå 3Ââåäåíèå 4×àñòü 1. Îñíîâû ðàáîòû â ñðåäå MATLAB 61.1. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �1.Çíàêîìñòâî ñî ñðåäîé ïàêåòà MATLAB . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �2.Ìàòðè÷íîå èñ÷èñëåíèå â ïàêåòå MATLAB . . . . . . . . . . 211.3. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �3.Çàäà÷è äè��åðåíöèàëüíîãî è èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëå-íèÿ â ïàêåòå MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �4.�ðà�è÷åñêèå âîçìîæíîñòè ïàêåòà MATLAB . . . . . . . . 351.5. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà �5.×èñëåííûå ìåòîäû ïàêåòà MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . 44×àñòü 2. Ïðîãðàììà Simulink 552.1. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà � 6.Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ â ïàêåòå MATLAB ñ èñïîëü-çîâàíèåì èíòåðàêòèâíîé ñèñòåìû Simulink . . . . . . . . . . . . . 55×àñòü 3. Äîïîëíèòåëüíàÿ òåìû. Îäíîìåðíàÿ è ìíîãîìåð-íàÿ îïòèìèçàöèè 653.1. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà � 7.Ïîèñê ìèíèìóìà äëÿ �óíêöèé îäíîé è äâóõ ïåðåìåí-íûõ â ïàêåòå MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.2. Ëàáîðàòîðíàÿ ðàáîòà � 8.Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ �óíêöèé ode113 è ode45 ïàêå-òà MATLAB äëÿ ðåøåíèÿ äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé èñèñòåì äè��åðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . 71×àñòü 4. Ïðèëîæåíèå. Èíäèâèäóàëüíûå çàäàíèÿ ê ëàáîðà-òîðíûì ðàáîòàì 74Çàêëþ÷åíèå 96Ñïèñîê èñïîëüçóåìîé ëèòåðàòóðû 9799

Èí�îðìàòèêà. MATLAB (Ìàòðè÷íàÿ ëàáîðàòîðèÿ):ó÷åáíîå ïîñîáèåÑîñòàâèòåëè ÀÔÀÍÀÑÜÅÂÀ Îëüãà ÑåðãååâíàÁÀØÊÈÍÎÂÀ Åëåíà ÂèêòîðîâíàÅ�Î�ÎÂÀ �àëèíà ÔåäîðîâíàÏå÷àòàåòñÿ â àâòîðñêîé ðåäàêöèèÊîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Î.Ñ. À�àí à ñ ü å â àÎðèãèíàë-ìàêåò ïîäãîòîâëåí ñ ïîìîùüþèçäàòåëüñêîé ñèñòåìû LATEX 2"Ïîäï. â ïå÷àòü 04.09.2013.Ôîðìàò 60�84 1/16. Áóìàãà î�ñåòíàÿ.Óñë. ï. ë. 5,81. Ó÷. èçä. ë. 5,72.Òèðàæ 150 ýêç. �åã. � 205/13. Çàêàç .Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðî�åññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ¾Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò¿443100 ã. Ñàìàðà, óë. Ìîëîäîãâàðäåéñêàÿ, 244. �ëàâíûé êîðïóñ.Îòïå÷àòàíî â òèïîãðà�èèÑàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà443100 ã. Ñàìàðà, óë. Ìîëîäîãâàðäåéñêàÿ, 244. Êîðïóñ 8.