ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΜΗΜΑ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΕ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

κ. ΜΟΣΧΙΔΗΣ

ΣΕΡΡΕΣ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2015

Άδειες Χρήσης

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η

άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Το έργο αυτό αδειοδοτείται από την Creative Commons Αναφορά Δημιουργού -

Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές Άδεια. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής,

επισκεφτείτε http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.el.

Χρηματοδότηση

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου

του διδάσκοντα.

Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Κεντρικής Μακεδονίας» έχει

χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση

και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση

(Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Κεφ. 3. ΕΙΔΗ ΦΟΡΤΙΣΕΩΝ 3. 1. Εφελκυσμός Τάση λόγω εφελκυσμού: Ν σz = ----- (3-1) Αόπου Ν = η εφελκυστική δύναμη Α = το εμβαδό της διατομής του σώματος («διατομή» είναι το σχήμα που έχει το σώμα σε μία κάθετη τομή του). Συντεταγμένες του κέντρου βάρους G σύνθετης διατομής που αποτε-λείται από δύο τμήματα με εμβαδά Α1, Α2: z1A1+z2A2 y1A1+y2A2 zG = ------------ yG = ------------ (3-2) A1+A2 A1+A2

3.2. Διάτμηση Mέση διατμητική τάση: Q τδ = ----- (3-3) A'όπου Q = η διατμητική δύναμη, Α' = το εμβαδό της διατομής, αν η διατομή έχει μεγάλο πάχος, ή Α' = το εμβαδό μερικών μόνο από τα τοιχώματα της διατομής, και συγκεκριμένα των τοιχωμάτων που είναι παράλληλα με τη δύναμη Q, αν η διατομή αποτελείται από λεπτά τοιχώματα.

3.3 Κάμψη

Ροπή αντίστασης της διατομής σε κάμψη: Wx = Ιxx / yμεγ (3-5)

εφελκυόμενη περιοχή

θλιβόμενη περιοχή

καθ. τομή

α)

β)

G

Μ

Q Q

καθ. τομή

z x

y

σμεγ

σ(y)

yμεγ y

Σχ. 3.3.1 Δοκοί που δέχονται κάμψηα) Κάμψη που προέρχεται από τη ροπή Μ. Εφελκυσμός στο επάνω μισό και θλίψη στο κάτω μισό της δοκού.β) Κάμψη που προέρχεται από τη δύναμη Q. Θέσεις των αξόνων x, y, z

όπου Ιxx = ροπή αδράνειας για περιστροφή γύρω από τον άξονα x yμεγ: βλ. σχήμα παραπάνω Τάση λόγω κάμψης (δηλ. η σμεγ του παραπάνω σχήματος): M σb = ---- (3-6) Wxόπου Μ = η καμπτική ροπή Wx = ροπή αντίστασης της διατομής σε κάμψη 3.4 Στρέψη Tάση λόγω στρέψης: Τ τt = ------ (3-8) Wtόπου Τ = η στρεπτική ροπή Wt = ροπή αντίστασης της διατομής σε στρέψη 3.5 Λυγισμός

Σχήμα 3.5.3 Ελεύθερο μήκος λυγισμού Lκ για ράβδους με διάφορους τρόπους στήριξης: Ι) Πάκτωση στο ένα άκρο (πρόβολος), ΙΙ) Άρθρωση στο ένα άκρο και κύλιση στο άλλο (αμφιέρειστη δοκός), ΙΙΙ) Πάκτωση στο ένα άκρο και κύλιση στο άλλο, IV) Πάκτωση στο ένα άκρο, ολι-σθαίνουσα πάκτωση στο άλλο

Σχήμα 6.25 Ελεύθερο μήκος λυγισμού lκ (ίδιο με το Lκ) για κοχλίες με διάφορους τρόπους στήριξης (Οι περιπτώσεις 1, 2, 3, 4 δείχνουν πώς κατασκευάζονται οι στηρίξεις των τρόπων Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, IV αντίστοι-χα του προηγούμενου σχήματος )Πίνακας 3.3 Αντοχή υλικών σε λυγισμόΥλικό σda

[N/mm2]σs

[N/mm2]Ε

[N/mm2]λε λs σκ (Tetmajer)

[N/mm2]St37 205 240 210 000 100 60 310 - 1,14 λSt60 240 340 210 000 93 0 335 - 0,62 λΧαλ. ελατηρ. (1) 575 1000 210 000 60 0 335 - 0,62 λΦαιός χυτοσιδ (2) 154 600 100 000 80 16 776-12λ+0,053λ2

Ντουραλουμ.(3) 200 250 70 000 59 - -St50 225 300 210 000 96 56 335 – 0,62 λΣημασίες συμβόλων του πίνακα:σda = όριο αναλογίας σε θλίψη, σs = όριο ροής, Ε = μέτρο ελαστικό-τηταςλε = τιμή του βαθμού λυγηρότητας από την οποία και πάνω ισχύει ο τύ-πος του Eulerλs = τιμή του βαθμού λυγηρότητας από την οποία και κάτω δεν ισχύει ο τύπος του Tetmajer διότι αρχίζει η πλαστική παραμόρφωσησκ = κρίσιμη τάση λυγισμού κατά TetmajerΠαρατηρήσεις:(1) Τα σs, λs ισχύουν για χάλυβα ελατηρίων τύπου 38Si7.(2) Τα σs, λs αφορούν αντοχή σε θραύση, σε θλιπτική καταπόνηση (ο φαιός χυτοσίδηρος δεν έχει πλαστική παραμόρφωση) και ισχύουν για χυτοσίδηρο τύπου GG15.(³)Το σs ισχύει για ντουραλουμίνιο τύπου AlCuMg1 F37. Η κρίσιμη τάση λυγισμού κατά Tetmajer δεν αναφέρεται στη βιβλιογραφία. Μπορεί ως δυσμενέστερη περίπτωση να λαμβάνεται σκ = σda, όταν λ<λε

Υπολογιστική διαδικασία για τον έλεγχο της αντοχής σε λυγισμό:1. Υπολογίζονται τα βοηθητικά μεγέθη : Τάση: σ=Ν/A Ακτίνα αδράνειας διατομής: i=√Imin/A (*) Βαθμός λυγηρότητας: λ=Lκ/i. όπου Ν = η θλιπτική δύναμη που προκαλεί τον λυγισμό Α = το εμβαδό της διατομής της ράβδου Imin = η μικρότερη από τις δύο ροπές αδράνειας της διατομής

της ράβδου Lκ : βλ. σχ. 3.5.3 παραπάνω2. Διαβάζουμε από τον πίνακα 3.3 τις οριακές τιμές λε, λs, σs και υπολογίζουμε την κρίσιμη τάση λυγισμού π2E/λ2 (τύπος Εuler) αν λ>λεσκ= ....... (τύπος Τetmajer, βλ. πίν. 3.3) αν λs<λ<λε (3-11) σs (έναρξη πλαστικής παραμόρφωσης) αν λ<λs3. Εκλέγεται ο επιθυμητός συντελεστής ασφάλειας 3 έως 6 αν λ>λε Sκ = 1,75 έως 4 αν λs<λ<λε (3-12) 1,3 αν λ<λs(οι μεγάλες τιμές του λ απαιτούν μεγάλες τιμές του Sκ, στην συνι-στώμενη περιοχή κάθε φορά)4. Αν ισχύει η ανισότητα σ < (σκ/Sκ) (3-13)τότε η αντοχή σε λυγισμό είναι ικανοποιητική.

(*) Για μερικά σχήματα η ακτίνα αδράνειας i δίνεται έτοιμη σε πίνακες. Βλ. π.χ. πιν. 3.1, καθώς και πίνακες με τυποποιημένες δια-στάσεις χαλύβδινων δοκών. Για ράβδο κυκλικής διατομής με διάμετρο d: i = d/4 Για κοχλία: i = d3/4

Πίνακας 3.1 Ροπές αδράνειας και άλλα γεωμετρικά στοιχείαΑ=εμβαδό διατομής, Ixx=ροπή αδράνειας, Wxx=ροπή αντίστασης σε κάμψη, imin=ακτίνα αδράνειας (η μικρότερη ακτίνα, για υπολογισμό λυγισμού)

1)Α=(π/4)*d²≈0,785 d², Ix=(π/64)*d4 ≈0,05 d4

W=(π/32)*d3 ≈0,1 d3, imin=d/42)Α ≈ 0,785(D²-d²), Ix ≈ 0,05(D4-d4)W ≈ 0,1(D4-d4)/D, imin=√D²+d²/4

3)A=b h, Ix=b h3/12Wx=b h²/6, Αν b<h τότε imin=b/√12 = b/3,464

4)A=2 α h, Ix=2 α h3/12Wx=2 α h²/6, Αν Imin=min(Ix,Iy) τότε imin= √Imin/A

5)A=b(H-h), Ix=b(H3-h3)/12

b(H3-h3) Αν Imin=min(Ix,Iy) τότε imin= √Imin/AWx=--------, 6H

6)A=BH-bh, Ix=(BH3-bh3)/12

BH3-bh3 Αν Imin=min(Ix,Iy) τότε imin= √Imin/AWx=--------, 6H

7) Όπως στην περίπτωση 6 παραπάνω

Πίνακας 3.2 Ροπές αντίστασης σε στρέψη για διάφορες διατομές

1) Wt = (π/16)*d3 ≈ 0,2 d3

2) Wt ≈ 0,2 (D4-d4)/D

3)(Πρέπει h>b)Wt = η2b2h, όπου το η2 υπολογίζεται από τον πίνακα:αν h/b = 1 1,5 2 3 4τότε η2 = 0,208 0,231 0,246 0,267 0,282αν h/b = 6 8 10 ∞τότε η2 = 0,299 0,307 0,313 0,333

4) s13l1 + s23l2 + ...

Wt = —————————————————— 3 sμεγ

5) Wt = 2 Am sελαχ

Πίνα

κας 4.1 Χημική σύσ

ταση

και

μηχ

ανικ

ές ι

διότ

ητες

μερ

ικών

συν

ηθισ

μένω

ν χα

λύβω

ν

(Εξηγή

σεις

βλ.

πίσ

ω)Ονομ

ασία

σ Β

σ s

δ 5

C

Si

Mn S<

... N

<...

P<..

.

N/mm

²

N/mm

²

%

%

%

%

%

%

%

Α’ Κ

οινοί χάλυβες κατασκ

ευών

κατ

ά DI

N 17

100,

συγ

κολλ

ήσιμ

οιR St

34-2

340-420

210

28 (

20)

0,17

0,

30

0,35

0,

05

0,0

07

0,05

0R St

37-2

370-450

240

25 (

18)

0,20

0,

30

0,35

0,

05

0,0

07

0,05

0R St

42-2

420-500

260

22 (

16)

0,25

0,

30

0,35

0,

05

0,0

07

0,05

0R St

46-2

440-540

290

22 (

16)

0,20

0,

30

1,00

0,

05

0,0

07

0,05

0R St

52-3

520-620

360

22 (

16)

0,20

0,

55

1,50

0,

045

0,0

09

0,04

5Β’ Κ

οινοί χάλυβες κατασκ

ευών

κατ

ά DI

N 17

100,

μή

συγκ

ολλή

σιμο

ι

St33-2

330-500

190

18 (

14)

<0,3

0,

30

0,35

0,

05

0,0

07

0,08

0

St50-2

500-600

300

20 (

14)

0,30

0,

30

0,35

0,

05

0,0

07

0,05

0

St60-2

600-720

340

15 (

10)

0,40

0,

30

0,50

0,

05

0,0

07

0,05

0

St70-2

700-850

370

10 (

5)0,

50

0,30

0,

50

0,05

0,0

07

0,05

0Γ’ Χ

άλυβες λεβητοποιίας

κατά

DIN

171

55, συ

γκολ

λήσι

μοι

Cr

Ni

Η Ι 360-480

235

24

<0

,16 <

0,35

0,

8

0,025

-

0,0

30 0

,30

0,3

0 Η

ΙΙ

410-530

265

22

<0

,20 <

0,40

1,

0

0,025

-

0,0

30 0

,30

0,3

0 1

7 Mn 4

460-580

290

21 0,1

0-0,

22 <

0,60

1,

4

0,025

-

0,0

30 0

,30

0,3

0 1

9 Mn 6

510-650

355

20 0

,08-

0,20

<0,

40

1,2

0,

025

-

0,0

30 0

,30

0,3

0Δ’ Χ

άλυβες επιβελτιώσεως

κατ

ά DI

N 17

200,

μή

συγκ

ολλή

σιμο

ι (*

)

Cr

Άλ

λα C

k22

500-650

300

22

0

,22

0,25

0,

450,

035

-

0,0

35 C

k35

590-740

370

19

0

,35

0,25

0,

650,

035

-

0,0

35 C

k45

670-820

420

16

0

,45

0,25

0,

650,

035

-

0,0

35 C

k55

750-900

470

14

0

,55

0,25

0,

750,

035

-

0,0

35 C

k60

800-950

500

13

0

,60

0,25

0,

750,

035

-

0,0

35 4

0 Mn 4

800-950

550

14

0

,40

0,40

1,

00,

035

-

0,0

35 4

1 Cr 4

900-1100

680

12

0

,41

0,30

0,

650,

035

-

0,0

35 1

,050 C

rMo4

1000-120080

010

0,5

0

0,30

0,

650,

035

-

0,0

35 1

,0Μο

=0,2

530Cr

NiMo81250-145010

50 9

0,3

0

0,30

0,

450,

035

-

0,0

35 2

,0Μο

=0,4

Νi=

2,0

(*)

Εξαίρεση: Ο

Ck22 έ

χει

μικρ

ή πε

ριεκ

τικό

τητα

σε

άνθρ

ακα,

και

μπο

ρεί

να σ

υγκο

λλήθ

εί.

Πίνα

κας

4.1

συν

έχει

αΟνομ

ασία

σ Β

σ s

δ 5

C

S

i

Mn

S

<...

N

<...

P<..

.

N/mm

²

N/mm

²

%

%

%

%

%

%

%

E’ Χ

άλυβ

ες ε

λατηρί

ων κ

ατά

DIN

1722

1 κα

ι 1722

2, μ

η συ

γκολ

λήσι

μοι

38 S

i 7

1200-1

40010

50

>6

0,

38

1,65

0,

650,

045

-0,

045

Ck 5

312

00-1

45010

50

7

0,

53

0,40

0,

550,

035

-0,

035

55 S

i 7

1600

-200

015

00

6

0,

55

1,65

0,

90,

050

-0,

050

Σημα

σίες

συμ

βόλω

ν το

υ πί

νακα

4.1

:σ Β=ό

ριο

θραύ

σης,

σ s=ό

ριο

ροής

,

δ 5=π

λαστ

ική

παρα

μόρφ

ωση

μέχρ

ι τη

θρα

ύση, μ

ετρη

μένη

σε

δοκί

μιο

που

έχει

μήκ

ος π

εντα

πλάσ

ιο τ

ης δ

ιαμέ

τρου

. Οι

τι

μές

μέσα

στι

ς πα

ρενθ

έσει

ς ισ

χύου

ν γι

α μι

κρά

πάχη

(θε

ρμηλ

ασμέ

νο φ

ύλλο

3mm

).C,

Si,

Mn

κτλ=

περι

εκτι

κότη

τα τ

ου χ

άλυβ

α (%

κατ

ά βά

ρος)

στο

χημ

ικό

στοι

χείο

.-

= Δε

ν ορ

ίζετ

αι μ

έχρι

πόσ

η να

είν

αι η

περ

ιεκτ

ικότ

ητα

του

χάλυ

βα σ

’ αυ

τό τ

ο χη

μικό

στο

ιχεί

ο. Π

ρέπε

ι όμ

ως ν

α χρ

ησιμ

οποι

ηθεί

μια

μέθ

οδος

παρ

αγωγ

ής π

ου ν

α κρ

ατά

την

περι

εκτι

κότη

τα ό

σο τ

ο δυ

νατό

ν μι

κρότ

ερη.

Για

τους χ

άλυβ

ες λ

εβητ

οποι

ίας

ενδι

αφέρ

ει κ

αι η

αντ

οχή

τους

σε

υψηλ

ή θε

ρμοκ

ρασί

α. Δ

ίνετ

αι σ

τον

πίνα

κα 4

.2.

Οι α

ναφε

ρόμε

νες

μηχα

νικέ

ς ιδ

ιότη

τες

των

χαλύ

βων

επιβ

ελτι

ώσεω

ς κα

ι τω

ν χαλύ

βων

ελατ

ηρίω

ν ισ

χύου

ν με

τά τ

ην

επιβ

ελτί

ωση.

Πίνα

κας

4.2

Ό

ριο

ροής τ

ων χ

αλύβ

ων γ

ια λ

έβητ

ες (

DIN

1715

5) σ

ε υψ

ηλή

θερμ

οκρα

σία

Είδο

ς χά

λυβα

Όριο

θρα

ύσης

Όριο

ροή

ς σε

N/mm²

για

θερ

μοκρ

ασία

σε N

/mm²

20º

C

20

0ºC

25

0ºC

30

0ºC

350

ºC

400º

C 4

50ºC

και

πάχο

ς ελ

άσμα

τος

s σε

mm

<=

16

1

6<s<

=40

40

<s<=

60HI

3

50 έ

ως 4

50

2

30

2

20 2

10

1

80

170

140

1

2010

0

80

HII

4

10 έ

ως 5

00

2

60

2

50 2

40

2

10

190

160

14

012

0

100

17 M

n4

470

έως

560

290

280

280

250

2

3021

0

180

160

14

019

Mn5

5

20 έ

ως 6

20

3

30

3

20 3

20

2

70

250

230

21

0

18

0

160

Σχ. 3.7 Διαγράμματα αρχικής δυναμικής αντοχής για δοκίμια σταθερής κυκλικής διατομής χωρίς εγκοπές με διάμετρο d = 10mm και επιφανειακή τραχύτητα Rt ≈ 1μm από κοινούς χάλυβες κατασκευών κατά DIN 17100. α) Για εφελκυστική – θλιπτική καταπόνηση β) Για καμπτική καταπόνηση γ) Για στρεπτική ή διατμητική καταπόνηση Ισοδύναμοι συμβολισμοί υλικών: St 34 → 1.0100 St 37 → 1.0110 St 42 → 1.0130 St 50 → 1.0530 St 60 → 1.0540 St 70 → 1.0632