Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

Διπλωματική Εργασία

Αντωνιάδης Παναγιώτης – Δημήτριος ΑΕΜ 10568

Ιανουάριος 2006

2

3

Υπεύθυνος καθηγητής Γ. Βουγιατζής

4

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή...............................................................................................................................7 2. Το Σύστημα Γη – Σελήνη.......................................................................................................9 2.1 Παραδοχές..............................................................................................................9 2.2 Συστήματα Συντεταγμένων.....................................................................................9 2.2α Αδρανειακό Σύστημα Συντεταγμένων......................................................9 2.2β Περιστρεφόμενο Σύστημα Συντεταγμένων.............................................11 2.2γ Βαθμοί Ελευθερίας.................................................................................12 2.2δ Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων..........................................................13 2.3 Εξισώσεις Κίνησης................................................................................................14 2.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες.................................................................14 2.3β Εξισώσεις Κίνησης Στο Αδρανειακό Σύστημα Συντεταγμένων..............15 2.3γ Εξισώσεις Κίνησης Στο Περιστρεφόμενο Σύστημα Συντεταγμένων.......16 3. Ποιοτική Ανάλυση…………..............................................................................................…19 3.1 Το Ολοκλήρωμα Jacobi........................................................................................19 3.2 Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας....................................................20 3.3 Σημεία Ισορροπίας................................................................................................24 3.4 Η Τομή Poincare...................................................................................................27 3.4α Τι Είναι Η Τομή Poincare.......................................................................27 3.4β Βασικές Κατηγορίες Τροχιών.................................................................27 3.4γ Οι Τομές Poincare Στο Σύστημα Γη – Σελήνη........................................30 3.5 Περιοδικές Τροχιές Υψηλών Ενεργειών................................................................37 3.5α Τρόπος Εύρεσης Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής...................................37 3.5β Αποτελέσματα........................................................................................38 4. Τροχιές Από Την Γη Στη Σελήνη..........................................................................................41 5. Προσέγγιση Στη Σελήνη.......................................................................................................53 5.1 Η Μεταβατική Ταχύτητα........................................................................................53 5.2 Παραδείγματα Προσεγγίσεων...............................................................................56 Παράρτημα 1............................................................................................................................63 Παράρτημα 2............................................................................................................................65 Παράρτημα 3............................................................................................................................69 Βιβλιογραφία............................................................................................................................73

6

1. Εισαγωγή Όπως είναι γνωστό, βασικός παράγοντας που καθορίζει τη δυσκολία στη μελέτη ενός συστήματος αλληλεπιδρώντων σωμάτων, είναι ο αριθμός των σωμάτων που το συνιστούν. Μέχρι σήμερα, αναλυτική λύση έχει βρεθεί για το πρόβλημα δύο αλληλεπιδρώντων, με αμοιβαίες βαρυντικές δυνάμεις, σωμάτων – που είναι και το απλούστερο – ενώ το πρόβλημα των τριών σωμάτων, που εδώ και αιώνες κεντρίζει το ενδιαφέρoν μεγάλων μαθηματικών και φυσικών, έχει λυθεί μόνον αριθμητικά. Το θέμα της εργασίας αυτής είναι μία απλοποιημένη μορφή του προβλήματος των τριών σωμάτων, που στη διεθνή βιβλιογραφία είναι γνωστό ως Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων. Γίνεται δε εφαρμογή του προβλήματος στο σύστημα Γη – Σελήνη. Στην απλουστευμένη αυτή περίπτωση το τρίτο σώμα, η κίνηση του οποίου μελετάται, θεωρείται ότι έχει αμελητέα μάζα σε σχέση με αυτή των άλλων δύο· έτσι, ενώ κινείται στο πεδίο τους δεν επηρεάζει την κίνησή τους. Αυτό σημαίνει ότι κατά τη μελέτη του συστήματος, τα δύο σώματα θα έχουν καθορισμένες τροχιές (που υπαγορεύονται από την μεταξύ τους αλληλεπίδραση), ενώ η κίνηση του τρίτου θα δίνεται από τη λύση της διαφορικής εξίσωσης του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα 21 FFγm

rrr+=⋅ (όπου 1F

r και 2F

r οι δυνάμεις που

δέχεται το 3ο σώμα από το 1ο και το 2ο αντίστοιχα). Παρά όμως την εισαγωγή της παραδοχής αυτής και αρκετών άλλων που καθιστούν το πρόβλημα αρκετά απλό, η λύση των διαφορικών εξισώσεων της κίνησης του τρίτου σώματος συνεχίζει να δίνεται αριθμητικά. Σε πολλές περιπτώσεις παρουσιάζεται ευαίσθητη εξάρτηση της εξέλιξης των τροχιών από τις αρχικές συνθήκες και εμφανίζεται χάος. Όλα αυτά θα αναπτυχθούν στο κεφάλαιο 3 όπου και γίνεται η ποιοτική μελέτη του προβλήματος για το σύστημα Γης – Σελήνης. Προηγουμένως όμως, στο κεφάλαιο 2 γίνεται λεπτομερής περιγραφή του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο πεδίο Γης – Σελήνης· ορίζονται το αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επίλυσή του, όπως και οι μετασχηματισμοί από το ένα σύστημα στο άλλο. Τέλος δίνονται και οι εξισώσεις της κίνησης σύμφωνα με τις οποίες εξελίσσονται οι τροχιές του τρίτου σώματος. Η εισαγωγή στο κεφάλαιο 3 γίνεται με τον ορισμό του ολοκληρώματος Jacobi και την περιγραφή της χρησιμότητάς του στη μελέτη του προβλήματος. Κάνοντας χρήση του ολοκληρώματος αυτού κατασκευάζονται οι ισοδυναμικές καμπύλες του συστήματος για αντιπροσωπευτικές ενέργειες και με τη βοήθεια αυτών βρίσκονται οι περιοχές στις οποίες μπορεί να κινείται το σώμα. Στη συνέχεια γίνεται μελέτη των σημείων ισορροπίας, τα οποία έχουν καθοριστικό ρόλο στην διαμόρφωση των ισοδυναμικών καμπύλων στις διάφορες ενεργειακές περιοχές. Στην παράγραφο 3.4 ορίζεται η τομή Poincare έτσι όπως χρησιμοποιείται για την επεξεργασία του προβλήματος και για

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

8

χαρακτηριστικές ενέργειες κατασκευάζονται οι τομές Poincare του περιορισμένου προβλήματος των τριών σωμάτων στο σύστημα Γη – Σελήνη. Παράλληλα, γίνεται ποιοτική μελέτη των τομών· περιγράφεται, δηλαδή, το είδος των τροχιών που αναμένεται στις αντίστοιχες ενέργειες, σε συνάρτηση με τις αρχικές τους συνθήκες. Τέλος, η παράγραφος 3.5 αφιερώνεται σε μία οικογένεια περιοδικών τροχιών που βρέθηκε κατά την κατασκευή των τομών Poincare για υψηλές ενέργειες. Στο κεφάλαιο 4 γίνεται λεπτομερής ανάλυση τροχιών με αντιπροσωπευτικές ενέργειες. Οι τροχιές αυτές εκκινούν από την γειτονιά της Γης και η πλειοψηφία τους πλησιάζει σε πολύ μικρές αποστάσεις από τη Σελήνη· έμφαση δίνεται στους χρόνους που το σώμα προσεγγίζει τη Σελήνη από τη στιγμή που θα ξεκινήσει την τροχιά του και στην ελάχιστη απόσταση που θα επιτύχει κατά την προσέγγιση. Παρατίθενται δε σχήματα με απεικονίσεις των τροχιών και στα δύο συστήματα συντεταγμένων που χρησιμοποιούνται για την επεξεργασία του προβλήματος. Τέλος, οι προσεγγίσεις στη Σελήνη αποτελούν αντικείμενο του 5ου κεφαλαίου. Στόχος της ανάλυσης που γίνεται είναι να τεθεί το τρίτο σώμα σε περιστροφική τροχιά γύρω από τη Σελήνη τη στιγμή που θα απαιτείται η ελάχιστη δυνατή μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητάς του. Δίνονται σχήματα με την τροχιά του σώματος πριν και μετά την μεταβολή της ταχύτητάς του, όπως και αναλυτικοί πίνακες με τα αποτελέσματα της επεξεργασίας για κάθε χρονική στιγμή της προσέγγισης.

2. Το Σύστημα Γη – Σελήνη

2.1 Παραδοχές Από το σημείο αυτό και έπειτα, όλη η ανάλυση που ακολουθεί αφορά την κίνηση σώματος στο πεδίο του συστήματος Γης – Σελήνης. Για τη μελέτη του συστήματος αυτού, εισάγονται δύο παραδοχές. Θα θεωρηθεί, λοιπόν, ότι το σύστημα είναι απομονωμένο. Αυτό σημαίνει ότι δεν λαμβάνονται υπόψη οι αλληλεπιδράσεις, των τριών σωμάτων, με το υπόλοιπο ηλιακό σύστημα (ήλιος και πλανήτες), όπως επίσης αγνοούνται και οι –σαφώς ασθενέστερες– αλληλεπιδράσεις με τους γειτονικούς γαλαξίες. Η δεύτερη παραδοχή αφορά την κίνηση της Σελήνης γύρω από τη Γη. Ενώ λοιπόν είναι γνωστό ότι η κίνηση αυτή είναι –σχεδόν– ελλειπτική, για τη λύση του προβλήματος θεωρείται ότι Γη και Σελήνη περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους σε κυκλικές τροχιές και με σταθερή γωνιακή ταχύτητα.

2.2 Συστήματα Συντεταγμένων Βασικό ρόλο, στη διευκόλυνση της επεξεργασίας και της κατανόησης ενός φυσικού προβλήματος, έχει η επιλογή του κατάλληλου συστήματος συντεταγμένων. Θεωρώντας το σύστημα των σωμάτων απομονωμένο, αδρανειακό σύστημα αναφοράς θα θεωρείται το ακίνητο ως προς το κέντρο μάζας των σωμάτων. Το δε περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς θα έχει κέντρο το κέντρο μάζας των σωμάτων και άξονα τετμημένων, τον περιστρεφόμενο, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα, άξονα που συνδέει τη Γη και τη Σελήνη.

2.2α Αδρανειακό Σύστημα Συντεταγμένων Σε αυτό το σύστημα συντεταγμένων η Γη και η Σελήνη κινούνται και επομένως η απεικόνιση της τροχιάς του τρίτου σώματος δεν βοηθάει στην κατανόηση της σχετικής του θέσης με τα δύο άλλα. Παρά το γεγονός αυτό όμως, επειδή η Γη κινείται πολύ κοντά στο κέντρο βάρους, οι ταχύτητες του τρίτου σώματος, ως προς το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, είναι πολύ κοντά σε αυτές που θα μετρούσε ένας παρατηρητής της επιφάνεια της Γης (που όμως δεν ακολουθεί την ιδιοπεριστροφή της). Στο σχήμα 2.1α φαίνεται η τροχιά ενός σώματος έτσι όπως αυτή αναπαρίσταται στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων. Η μπλε χρώματος

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

10

κουκκίδα κοντά στην αρχή των αξόνων δείχνει τη θέση της Γης, ενώ η μαύρη κουκκίδα τη θέση της Σελήνης.

Στο χρονικό διάστημα για το οποίο έχει σχεδιαστεί η τροχιά το σώμα περνά σε πολύ μικρή απόσταση από τη Σελήνη. Αυτό όμως δε γίνεται αντιληπτό γιατί συνέβη σε μία χρονική στιγμή που η Σελήνη δεν ήταν στη θέση που φαίνεται στο σχήμα. Πιο συγκεκριμένα, η τροχιά που έχει σχεδιαστεί είναι διάρκειας

21.5 ημερών, ενώ το σώμα είχε ελάχιστη απόσταση από την Σελήνη 34.2 ημέρες περίπου από την εκκίνηση της τροχιάς του. Προφανώς, σε μία απεικόνιση της τροχιάς από την στιγμή της εκκίνησης μέχρι και 34.2 ημέρες μετά, η κουκκίδα της Σελήνης θα είναι πολύ κοντά στην γραμμή της τροχιάς (σχήμα 2.1β) αλλά μόνο με την συγκεκριμένη απεικόνιση φαίνεται ότι το σώμα πέρασε κοντά από τη Σελήνη. Παρερμηνεία της τροχιάς μπορεί επίσης να γίνει και σε μία περίπτωση σαν αυτή του σχήματος 2.1γ, στο οποίο η τροχιά του σώματος τέμνει τη Σελήνη και κάποιος μπορεί να θεωρήσει ότι το σώμα προσκρούει σε αυτή. Τη χρονική στιγμή όμως που απεικονίζεται στο σχήμα ( 6.2 ημέρες μετά την εκκίνηση του σώματος), η Σελήνη βρίσκεται σε μία θέση από την οποία έχει ήδη περάσει το σώμα και επομένως δε συμβαίνει σύγκρουση.

Σχήμα 2.1 5.21dt = 2.34dt =

0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

2.1α 2.1β

d6.2t =

0.2 0.4 0.6 0.8

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

2.1γ

Κεφάλαιο 2 : Το Σύστημα Γη – Σελήνη

11

2.2β Περιστρεφόμενο Σύστημα Συντεταγμένων Όλες αυτές οι δυσκολίες στην κατανόηση μιας τροχιάς μπορούν να ξεπεραστούν με την προβολή της στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτό το σύστημα συντεταγμένων «ακολουθεί» την περιστροφική – με σταθερή γωνιακή ταχύτητα – κίνηση της Γης και της Σελήνης γύρω από το κέντρο μάζας τους με αποτέλεσμα οι περιστρεφόμενες συντεταγμένες τους να παραμένουν πάντα σταθερές. Αυτό βοηθάει κυρίως στην άμεση εποπτεία των αποστάσεων από τις οποίες έχει διέλθει το σώμα σε σχέση με τη Σελήνη. Όσον αφορά τις αποστάσεις από την Γη, και αυτές γίνονται άμεσα αντιληπτές, αλλά η διαφορά από το αδρανειακό σύστημα δεν είναι τόσο μεγάλη, αφού και εκεί η Γη παραμένει πολύ κοντά στο κέντρο μάζας και επομένως είναι σχεδόν ακίνητη. Στο σχήμα 2.2 φαίνεται η τροχιά του σχήματος 2.1 όπως αυτή αναπαρίσταται στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων.

Σχήμα 2.2 d21.5t =

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-1.25

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

Παρά το γεγονός ότι έχει σχεδιαστεί η εξέλιξη της τροχιάς μέχρι και 21.5 ημέρες μετά την εκκίνησή της, φαίνεται ότι το σώμα, μέσα στο χρονικό διάστημα αυτό, πλησίασε κάποια στιγμή αρκετά κοντά στη Σελήνη. Όσο μεγάλο και να είναι, λοιπόν, το διάστημα για το οποίο σχεδιάζεται μία τροχιά στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων, δεν χάνεται η πληροφορία μιας ενδεχόμενης προσέγγισης στη Σελήνη που συνέβη εντός του διαστήματος αυτού.

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

12

2.2γ Βαθμοί Ελευθερίας Πέρα από την εποπτική διευκόλυνση που προσφέρει το περιστροφικό σύστημα συντεταγμένων, ο λόγος για τον οποίο ορίζεται είναι για να μειώσει τις παραμέτρους του συστήματος των τριών σωμάτων.

Σχήμα 2.3

Αρχικά, στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων (βλ. σχήμα 2.3) χρειάζονται τρία ζεύγη συντεταγμένων για την πλήρη περιγραφή του συστήματος· το ( )ΓΓ η,ξ για τη Γη, το ( )ΣΣ η,ξ για τη Σελήνη και το ( )ηξ, για το τρίτο σώμα. Η Γη και η Σελήνη όμως, περιστρέφονται γύρω από το κέντρο μάζας τους, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων, και επομένως εισάγονται δύο σκληρόνομοι δεσμοί που περιγράφονται από τις εξισώσεις

sinωtrηcosωtrξ

ΓΓ

ΓΓ

⋅=⋅=

ή sinωtrηcosωtrξ

ΣΣ

ΣΣ

⋅=⋅=

(2.1)

και οι παράμετροι του συστήματος μειώνονται σε τέσσερις. Ένας ακόμη δεσμός είναι αυτός που περιγράφεται στην δεύτερη παραδοχή της παραγράφου 2.1, ο σταθω = . Τέλος, η απόσταση Γης – Σελήνης είναι γνωστή (τέταρτος δεσμός)· επομένως, ένα από τα δύο ζεύγη εξισώσεων (2.1) μαζί με τις εξισώσεις

( )( ) ΚΣΓΣΣΓΓ

ΚΣΓΣΣΓΓ

ηmmηmηmξmmξmξm⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅

(2.2)

θα δίνει τις συντεταγμένες της Γης και της Σελήνης. Δηλαδή, οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος μειώνονται στους δύο και αυτό που απομένει είναι η επιλογή των γενικευμένων συντεταγμένων που θα περιγράφουν τη θέση του τρίτου σώματος. Αυτές θα είναι οι ( )ηξ, για το αδρανειακό ή οι ( )yx, για το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων. Η

Κεφάλαιο 2 : Το Σύστημα Γη – Σελήνη

13

διαφορά είναι ότι στην περίπτωση του αδρανειακού συστήματος συντεταγμένων, πέρα της θέσης του τρίτου σώματος θα πρέπει να δίνονται και οι θέσεις της Γης και της Σελήνης οι οποίες, παρόλο που είναι γνωστές, θα μεταβάλλονται· αντίθετα, στο περιστρεφόμενο σύστημα θα παραμένουν σταθερές:

0yrx

Γ

ΓΓ

==

και 0yrx

Σ

ΣΣ

==

όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.4.

Σχήμα 2.4

2.2δ Μετασχηματισμοί Συντεταγμένων Πριν γίνει η περιγραφή των εξισώσεων κίνησης στα δύο συστήματα συντεταγμένων, κρίνεται χρήσιμο να δοθούν οι μετασχηματισμοί θέσης και ταχύτητας από το ένα σύστημα στο άλλο για να υπάρχει η δυνατότητα να λύνεται και να σχεδιάζεται η ίδια τροχιά και στις δύο περιπτώσεις. Από το σχήμα 2.3 προκύπτει ο μετασχηματισμός των συντεταγμένων θέσης για τη μετάβαση από το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων στο αδρανειακό:

ycosωtxsinωtηysinωtxcosωtξ⋅+⋅=⋅−⋅=

(2.3)

Παραγωγίζοντας τις σχέσεις αυτές ως προς το χρόνο, και λαμβάνοντας υπόψη ότι σταθω = , προκύπτει ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων:

( ) ( )( ) ( ) sinωtxωycosωtωxyη

sinωtωxycosωtωyxξ⋅−⋅−⋅⋅+=⋅⋅+−⋅⋅−=

&&&

&&& (2.4)

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

14

Από το σχήμα 2.3 προκύπτει και ο αντίστροφος του μετασχηματισμού που περιγράφεται από τις σχέσεις (2.3), αυτός δηλαδή που χρησιμοποιείται για την μετάπτωση από το αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων στο περιστρεφόμενο:

ηcosωtξsinωtyηsinωtξcosωtx⋅+⋅−=

⋅+⋅= (2.5)

Με την παραγώγιση των σχέσεων (2.5) και για σταθωθ ==& , προκύπτει ο αντίστοιχος μετασχηματισμός ταχυτήτων:

( ) ( )( ) ( ) sinωtωηξcosωtωξηy

sinωtηωξcosωtωηξx

⋅⋅+−⋅⋅−=

⋅−⋅−⋅⋅+=&&&

&&& (2.6)

Όπως, όμως θα αναφερθεί και στην παράγραφο 2.3α για τις κανονικοποιημένες συντεταγμένες, στη λύση και την επεξεργασία του προβλήματος θα θεωρηθούν κατάλληλες μονάδες ώστε να είναι 1ω = και επομένως τα ζεύγη εξισώσεων (2.4) και (2.6) γίνονται αντίστοιχα

( ) ( )( ) ( ) sintxycostxyη

sintxycostyxξ⋅−−⋅+=⋅+−⋅−=

&&&

&&& (2.7)

και

( ) ( )( ) ( ) sintηξcostξηy

sintηξcostηξx

⋅+−⋅−=

⋅−−⋅+=&&&

&&& (2.8)

2.3 Εξισώσεις Κίνησης

2.3α Κανονικοποιημένες Μονάδες Σε αυτό το σημείο γίνεται μία σύντομη περιγραφή του συστήματος Γης – Σελήνης με αριθμούς. Σήμερα, είναι γνωστό ότι η διάμετρος της Γης είναι

km 12756.3 , ενώ η μάζα της είναι g105.977 27× . Για τη Σελήνη είναι γνωστό ότι έχει διάμετρο km 3476 και μάζα g107.35 25× ( Γ⋅M0.0123 )· η τροχιά της γύρω από τη Γη γίνεται σε ακτίνα km 384400 και έχει περίοδο 27.32d . Οι αριθμοί αυτοί εμφανίζουν μεταξύ τους διαφορές πολλών τάξεων μεγέθους και επομένως εάν εισαχθούν σαν δεδομένα για τις ίδιες εξισώσεις σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, θα φέρουν αποτελέσματα με αρκετά σημαντικά

Κεφάλαιο 2 : Το Σύστημα Γη – Σελήνη

15

σφάλματα. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιούνται κανονικοποιημένες μονάδες μήκους, μάζας και χρόνου στις εξισώσεις κίνησης. Κανονικοποιημένη μονάδα μήκους ορίζεται ως η απόσταση Γης – Σελήνης ( km 384400 ). Όσον αφορά τις μάζες, κανονικοποιημένη μονάδα ορίζεται το άθροισμα των μαζών της Γης και της Σελήνης.

1μμ ΣΓ =+ (2.9) Τέλος, για τον ορισμό της κανονικοποιημένης μονάδας χρόνου, θεωρείται ότι για την παγκόσμια σταθερά έλξης ισχύει

1G = (2.10) και επομένως η σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος Γης – Σελήνης γύρω από το κέντρο βάρους ισούται με τη μονάδα 1ωθ ==& . Αυτό έχει σαν άμεση συνέπεια την αντιστοίχηση της περιόδου περιστροφής της Σελήνης 27.32d σε τόξο 2π . Τελικά, η κανονικοποιημένη μονάδα χρόνου προκύπτει να είναι 4.34811d

2.3β Εξισώσεις Κίνησης Στο Αδρανειακό Σύστημα Συντεταγμένων Ξεκινώντας από τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα για την κίνηση του τρίτου σώματος στο πεδίο της Γης και της Σελήνης, θα είναι:

21 FFγmrrr

+=⋅ (2.11) Όπου 1F

r η δύναμη που δέχεται από τη Γη και 2F

r η δύναμη που δέχεται από

τη Σελήνη. Δηλαδή,

131

Γ12

1

Γ1 rr

mmGr

rmm

GF v)r ⋅

−=⋅

−= και (2.12)

232

Σ22

2

Σ2 rr

mmGrr

mmGF r)r ⋅

−=⋅

−= (2.13)

Όπου

( ) ( ) jηηiξξr ΓΓ1))r⋅−+⋅−= και (2.14)

( ) ( ) jηηiξξr ΣΣ2))r⋅−+⋅−= (2.15)

Τελικά

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

16

( ) 232

Σ13

1

Γ rr

mGrr

mGγ2.11 rvr −−=⇒ (2.16)

Για τις κανονικοποιημένες μάζες της Γης και της Σελήνης Γμ και Σμ θα ισχύει:

( ) 0.01215050.01231mm

mmmμ

Γ

Σ

ΣΓ

ΣΣ =+⋅

=+

= (2.17)

και επομένως ( ) 0.987849 μ1μ2.9 ΣΓ =−=⇒ (2.18) Αναλύοντας την (2.16) στις συνιστώσες της, λαμβάνοντας υπόψη την (2.10) και εισάγοντας τις μάζες Γμ και Σμ , προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης του τρίτου σώματος στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων:

⇒−

⋅+−

⋅= 32

ΣΣ3

1

ΓΓ r

ξξμr

ξξμξ&&

32

Σ3

1

Γ

rξξ0121505.0

rξξ987849.0ξ −⋅+−⋅=&& (2.19)

⇒−

⋅+−

⋅= 32

ΣΣ3

1

ΓΓ r

ηημr

ηημη&&

32

Σ3

1

Γ

rηη0121505.0

rηη987849.0η −⋅+−⋅=&& (2.20)

Όπου, τα ( )ΓΓ η,ξ και ( )ΣΣ η,ξ δεν είναι σταθερά, αλλά δίνονται από την λύση του συστήματος των σχέσεων (2.1), (2.2) και με αντικατάσταση των κανονικοποιημένων μαζών από τις (2.17) και (2.18):

cost0.0121505ξΓ ⋅−= (2.21) sint0.0121505ηΓ ⋅−= (2.22)

cost0.987849ξΣ ⋅= (2.23) sint0.987849ηΣ ⋅= (2.24)

2.3γ Εξισώσεις Κίνησης Στο Περιστρεφόμενο Σύστημα Συντεταγμένων Μετασχηματίζοντας τις σχέσεις (2.19) και (2.20) προκύπτουν οι εξισώσεις κίνησης στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων.

xy2Rμx

μRμx

μx 32

ΓΣ3

1

ΣΓ +⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+

+−= &&& (2.25)

Κεφάλαιο 2 : Το Σύστημα Γη – Σελήνη

17

yx2yRμ

Rμ

y 32

Σ31

Γ +⋅−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= &&& (2.26)

Όπου τώρα τα 1R και 2R δίνονται από τις σχέσεις

( ) ( )( ) ( )2Σ2Σ2

2Γ

2Γ1

yyxxR

yyxxR

−+−=

−+−= και (2.27)

Οι δε συντεταγμένες της Γης και της Σελήνη στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων θα είναι σταθερές και ίσες με ( ) ( )0,0121505.0y,x ΓΓ −= (2.28) ( ) ( )0,987849.0y,x ΣΣ = (2.29)

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

18

3. Ποιοτική Ανάλυση

3.1 Το Ολοκλήρωμα Jacobi Έχοντας περιγράψει τις εξισώσεις κίνησης του προβλήματος, επόμενος στόχος είναι να βρεθούν τα όρια της κίνησης για διάφορες ενέργειες· αυτό επιτυγχάνεται με τη βοήθεια του ολοκληρώματος Jacobi. Οι συνιστώσες της επιτάχυνσης του τρίτου σώματος που δίνονται από τις διαφορικές εξισώσεις (2.25) και (2.26), μπορούν να γραφούν και σαν μερικές παράγωγοι μίας βαθμωτής συνάρτησης U:

xUy2x∂∂

=⋅− &&& (3.1)

yUx2y∂∂

=⋅+ &&& (3.2)

Όπου η U δίνεται από τη σχέση

( )2

Σ

1

Γ22

Rμ

Rμ

2yxU +++= (3.3)

Πολλαπλασιάζοντας τη σχέση (3.1) επί x& και τη σχέση (3.2) επί y& και προσθέτοντας, προκύπτει η σχέση

dtdUy

yUx

xUyyxx =⋅

∂∂

+⋅∂∂

=⋅+⋅ &&&&&&&& (3.4)

η οποία μετά από ολοκλήρωση γίνεται

CU2yx 22 −⋅=+ && (3.5) όπου C η σταθερά ολοκλήρωσης. Η (3.5) μέσω της (3.3) δίνει

( )222

Σ

1

Γ22 yxRμ

Rμ

2yxC && +−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅++= (3.6)

Στην προσπάθεια να έρθει ο όρος με τις γενικευμένες ταχύτητες σε μία μορφή που να μοιάζει με κινητική ενέργεια, πολλαπλασιάζεται η σταθερά C επί

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

21 :

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

20

( ) ( ) J222

Σ

1

Γ22 Cyx21

Rμ

Rμ

yx21

21C =+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅ && (3.7)

Η παράσταση αυτή έχει σταθερή τιμή κατά μήκος μιας τροχιάς και ονομάζεται ολοκλήρωμα Jacobi. Το ολοκλήρωμα αυτό, όπως είναι γραμμένο στη σχέση (3.7) έχει τη μορφή VTCJ += , όπου V το υποθετικό δυναμικό,

( )222

Σ

1

Γ yx21

Rμ

RμV +−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= (3.8)

επομένως, μπορεί να αποκαλείται και ολοκλήρωμα ενέργειας.

3.2 Ισοδυναμικές Καμπύλες Μηδενικής Ταχύτητας Όπως στις μονοδιάστατες κινήσεις χρησιμοποιείται το ολοκλήρωμα της ενέργειας για να βρεθούν τα όρια της κίνησης, έτσι και εδώ θα χρησιμοποιηθεί η σχέση (3.7):

( ) ( ) ( ) 0yx21

Rμ

Rμ

Cyx217.3 22

2

Σ

1

ΓJ

22 ≥++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+⇒ && (3.9)

Η σχέση αυτή ορίζει τις επιτρεπτές περιοχές κίνησης. Θεωρώντας την ισότητα με το μηδέν και δίνοντας στη σταθερά JC διάφορες τιμές, προκύπτουν καμπύλες που δείχνουν τις περιοχές στις οποίες μπορεί να κινηθεί το τρίτο σώμα με την ανάλογη ενέργεια. Οι καμπύλες αυτές ονομάζονται ισοδυναμικές καμπύλες μηδενικής ταχύτητας. Στο σχήμα 3.1 φαίνεται η ισοδυναμική καμπύλη για 63343.1CJ −= και μία τροχιά με αντίστοιχη ενέργεια η οποία περιορίζεται από τα όρια που θέτει η καμπύλη. Γίνεται δε σαφές ότι το τρίτο σώμα δεν πρόκειται να φτάσει ποτέ αρκετά κοντά στη Σελήνη ώστε να επηρεάζεται κατά κύριο λόγο από το πεδίο της. Η χρησιμότητα των ισοδυναμικών καμπύλων είναι προφανής και γι’ αυτό στο σχήμα 3.2 δίνονται οι διάφορες μορφές που παίρνουν με τη μεταβολή του

JC . Στο σχήμα 3.2α έχει σχεδιαστεί η ισοδυναμική καμπύλη του σχήματος 3.1 που είναι αντιπροσωπευτική μορφή για χαμηλές ενέργειες. Η αμέσως επόμενη, ενεργειακά, οικογένεια ισοδυναμικών καμπύλων έχει τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα 3.2β· αυτές οι ενέργειες είναι οι χαμηλότερες για τις οποίες υπάρχει η δυνατότητα μετάβασης από τη Γη στη Σελήνη, αλλά δεν είναι αρκετές για τη διαφυγή από το σύστημα Γης – Σελήνης. Στο επόμενο ενεργειακό στάδιο οι ισοδυναμικές καμπύλες παίρνουν τη μορφή του σχήματος 3.2γ και το τρίτο σώμα έχει τη δυνατότητα να μεταβεί από τη Γη στη Σελήνη, αλλά και να διαφύγει από το πεδίο τους μόνον όμως από την

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

21

Σχήμα 3.1 63343.1CJ −=

πλευρά της Σελήνης. Τέλος, στην ενεργειακή κατάσταση που περιγράφεται από τις καμπύλες του σχήματος 3.2δ το σώμα έχει τη δυνατότητα να διαφύγει από το πεδίο Γης – Σελήνης και από την πλευρά της Γης· όπως φαίνεται και από το σχήμα, όμως, υπάρχουν δύο περιοχές στις οποίες το σώμα δεν μπορεί να κινηθεί. Προφανώς οι περιοχές αυτές όσο αυξάνεται η ενέργεια μικραίνουν και όταν η σταθερά JC πάρει την τιμή 438-1.4939985CJ = εξαφανίζονται· από την ενέργεια που αντιστοιχεί σε αυτή την τιμή της σταθεράς Jacobi και για υψηλότερες ενέργειες, το σώμα μπορεί να κινείται οπουδήποτε στο χώρο. Οι τιμές 671.50607355- CJ = , 83-1.5860800CJ = και 866-1.5941703CJ = είναι αυτές στις οποίες γίνεται η αλλαγή της μορφής των ισοδυναμικών καμπύλων και τα αντίστοιχα σχέδια φαίνονται στο σχήμα 3.3. Τα σημεία που τονίζονται με πράσινο χρώμα (στο ίδιο σχήμα) είναι αυτά στα οποία ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες κατά την αλλαγή της μορφής τους και αποτελούν τα σημεία ισορροπίας της κίνησης για τα οποία γίνεται λόγος στην επόμενη παράγραφο. Για να υπάρχει εποπτεία της συνεχής μεταβολής των ισοδυναμικών καμπύλων συναρτήσει του JC , κατασκευάζεται το τρισδιάστατο σχήμα 3.4.

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

22

Σχήμα 3.2

63343.1CJ −= 589.1CJ −=

3.2α 3.2β

526.1CJ −= 505.1CJ −=

3.2γ 3.2 δ

Το δεύτερο μέλος της σχέσης (3.9) πρέπει να είναι θετικό. Αυτό σημαίνει ότι η κίνηση επιτρέπεται εκεί που τα επίπεδα σταθερής JC έχουν μεγαλύτερη τιμή από αυτή της γραφικής παράστασης του σχήματος 3.4. Στην ουσία, η τομή ενός επιπέδου σταθερής JC με τη γραφική παράσταση δίνει μία ισοδυναμική καμπύλη που θα έχει μία από τις μορφές που παρατέθηκαν στο σχήμα 3.2.

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

23

Σχήμα 3.3

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Σχήμα 3.4

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

24

3.3 Σημεία Ισορροπίας Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της κίνησης σε ένα πεδίο είναι τα σημεία ισορροπίας. Η θέση των σημείων αυτών για το υπό μελέτη πρόβλημα φαίνεται στο σχήμα 3.3 με πράσινες τονισμένες τελείες, ενώ η ονομασία τους προκύπτει από τη σειρά με την οποία ανοίγουν σε αυτά οι ισοδυναμικές καμπύλες. Έτσι, καθώς αυξάνεται η ενέργεια του τρίτου σώματος, οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν όταν 866-1.5941703CJ = στο σημείο L1 που βρίσκεται μεταξύ Γης – Σελήνης· αυτή είναι η χαμηλότερη ενεργειακή κατάσταση για την οποία το σώμα μπορεί να μεταβεί από τη Γη στη Σελήνη. Το L2 σημείο ισορροπίας βρίσκεται πάνω στον άξονα Γης – Σελήνης και από την εξωτερική πλευρά της Σελήνης· στο σημείο αυτό ανοίγουν οι ισοδυναμικές καμπύλες όταν 31.58608008- CJ = . Για 567-1.5060735CJ = οι ισοδυναμικές καμπύλες ανοίγουν στο σημείο L3 που βρίσκεται πάνω στον άξονα των ξ και από την εξωτερική πλευρά της Γης. Τα σημεία L4 και L5 είναι αυτά στα οποία εξαφανίζονται οι απαγορευμένες περιοχές του σχήματος 3.2δ όταν

438-1.4939985CJ = . Οι θέσεις των σημείων ισορροπίας, όπως φαίνεται και από το σχήμα 3.3, είναι σταθερές στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων· ακολουθούν, δηλαδή, την περιστροφή της Σελήνης γύρω από τη Γη. Προκύπτουν δε από το μηδενισμό των μερικών παραγώγων της συνάρτησης υποθετικού δυναμικού (βλ. σχέση (3.8)), λύνοντας, δηλαδή, το σύστημα εξισώσεων

0xV=

∂∂ (3.10α)

0yV=

∂∂ (3.10β)

Οι συντεταγμένες των πέντε σημείων ισορροπίας με ακρίβεια μέχρι και 6ου δεκαδικού* στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων είναι οι ακόλουθες: Για το L1 ( ) ( )0.836915,0y,x 11 = (3.11α) Για το L2 ( ) ( )1.155682,0y,x 22 = (3.11β) Για το L3 ( ) ( )1.005062,0y,x 33 −= (3.11γ) Για το L4 ( ) ( )0.8660250.487849,y,x 44 −= (3.11δ) Για το L5 ( ) ( ).8660250.487849,0y,x 55 = (3.11ε) Εύκολα διαπιστώνεται ότι οι θέσεις των L4 και L5 είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα των ξ, και είναι τέτοιες ώστε να σχηματίζονται δύο ισόπλευρα τρίγωνα με τη Γη και τη Σελήνη. Είναι επίσης οι θέσεις που φιλοξενούν τα ευσταθή σημεία ισορροπίας του συστήματος· τα υπόλοιπα L1, L2 και L3 σημεία ισορροπίας είναι ασταθή.

* Ο τρόπος εύρεσης των σ.ι. αλλά και μεγαλύτερη ακρίβεια δίνονται στο παράρτημα 1

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

25

Μία απλή μελέτη της ευστάθειας μπορεί να γίνει αφήνοντας το τρίτο σώμα σε περιοχές κοντά στις θέσεις ισορροπίας με μηδενική ταχύτητα και καταγράφοντας την τροχιά του. Για τα ευσταθή L4 και L5, ακόμα και για αρκετά μεγάλες αποστάσεις από την ακριβή θέση ισορροπίας το σώμα θα κινείται στην ίδια περιοχή όπως και στο σχήμα 3.5. Στην περίπτωση αυτή, το τρίτο σώμα έχει τοποθετηθεί σε απόσταση km 3017.33 από το L4 με μηδενική ταχύτητα· ακόμα και 217 μέρες μετά (τόσος είναι ο χρόνος της τροχιάς του σχήματος) κινείται στην ίδια περιοχή. Αντίθετα, για τα ασταθή L1, L2 και L3 με όσο μεγαλύτερη ακρίβεια τοποθετηθεί το σώμα στη θέση ισορροπίας, για τόσο μεγαλύτερο διάστημα θα παραμείνει σε εκείνη την περιοχή. Στο σχήμα 3.6 φαίνεται η τροχιά ενός σώματος που τοποθετήθηκε σε απόσταση m 8.34 από το L2 με μηδενική σχετική ταχύτητα. Για τις πρώτες 26.1 μέρες το σώμα παραμένει σε πολύ μικρές αποστάσεις από το L2 (σχήμα 3.6α). Μέσα στις 43.5 πρώτες μέρες διαγράφει την τροχιά του σχήματος 3.6β, ενώ στις 87 πρώτες μέρες έχει ξεφύγει τελείως από την περιοχή που αρχικά τοποθετήθηκε διαγράφοντας την τροχιά του σχήματος 3.6γ. Εάν το σώμα είχε τοποθετηθεί σε απόσταση

m 392 από το L2, μετατοπισμένο κατά την ίδια διεύθυνση, θα είχε αρχίσει να διαφεύγει από την περιοχή αυτή ήδη μετά τις πρώτες 21.7 μέρες.

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

26

Σχήμα 3.5

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

Σχήμα 3.6

-0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-0.4

-0.2

0.2

0.4

3.6α

-0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5

-0.4

-0.2

0.2

0.4

3.6β

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

3.6γ

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

27

3.4 Η Τομή Poincare

3.4α Τι Είναι Η Τομή Poincare Έχοντας ολοκληρώσει την έρευνα γύρω από τη δυναμική του τρίτου σώματος στο πεδίο Γης – Σελήνης, από το σημείο αυτό και έπειτα βασικό θέμα είναι η περιγραφή τροχιών. Στην περίπτωση που δεν ενδιαφέρει τόσο η παρακολούθηση της τροχιάς κάθε χρονική στιγμή όσο η ποιοτική της μελέτη, ένας τρόπος απεικόνισης είναι οι τομές Poincare για τις οποίες γίνεται λόγος σε αυτή την παράγραφο. Θεωρώντας κινήσεις που αντιστοιχούν σε μία σταθερή τιμή του ολοκληρώματος Jacobi – κινήσεις δηλαδή, σταθερής ενέργειας – και επιλέγοντας επιπλέον την συνθήκη 0y = , κατασκευάζεται μία διδιάστατη επιφάνεια που ονομάζεται επιφάνεια τομής. Από την σχέση (3.7) φαίνεται ότι κάθε σημείο της επιφάνειας αυτής προσδιορίζει πλήρως την κατάσταση του συστήματος, αφού τα x , x& προσδιορίζονται σαν συντεταγμένες του σημείου, το JC είναι σταθερό και 0y = . Τέλος, θα είναι:

( ) ( )

22

2

Σ

1

ΓJ

222

2

Σ

1

ΓJ

2

xxRμ

Rμ2C2y

xyxRμ

Rμ

2C2y7.3

&&

&&

−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+±=⇒

⇒−++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅+=⇒

και η αβεβαιότητα στο πρόσημο του y& , μπορεί να ξεπεραστεί κατασκευάζοντας την επιφάνεια τομής με σημεία για τα οποία είναι π.χ. 0y

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

28

τομής με πλήθος αντιπροσωπευτικών τροχιών η οποία παρέχει πλήρη εποπτεία της δυναμικής του συστήματος. Για να γίνεται όμως αντιληπτή η συμπεριφορά μιας τροχιάς από την απεικόνισή της στην τομή Poincare, στο σημείο αυτό παρατίθενται τα χαρακτηριστικά των τριών βασικών κατηγοριών τροχιών όπως αυτά παρουσιάζονται στις επιφάνειες τομής. Έτσι, μία τροχιά που στην τομή Poincare απεικονίζεται ως ένας πεπερασμένος αριθμός k – για παράδειγμα – σημείων θα είναι περιοδική, με περίοδο k. Μία τροχιά που στην τομή Poincare αποτελείται από άπειρα σημεία τα οποία για ∞→t σχηματίζουν κλειστή καμπύλη, θα αποκαλείται ημιπεριοδική τροχιά· η δε κλειστή καμπύλη ονομάζεται αναλλοίωτος κύκλος. Τέλος, τροχιές που απεικονίζονται με άτακτα διασκορπισμένα σημεία, ονομάζονται χαοτικές τροχιές. Οι τροχιές αυτού του είδους έχουν απρόβλεπτη συμπεριφορά με το πέρασμα του χρόνου και εμφανίζουν εξαιρετική ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες.

Σχήμα 3.7

Τ1

Τ3

Τ2

Τ2

Τ2

Τ2

Τ3

Το σχήμα 3.7 δείχνει την τομή Poincare του συστήματος για 6.1CJ −= , ενώ οι δείκτες που έχουν τοποθετηθεί υποδεικνύουν τη θέση των σημείων που απεικονίζουν τις τροχιές τ1, τ2 και τ3. Σύμφωνα με την παραπάνω περιγραφή, εύκολα γίνεται αντιληπτό ότι η τ1 τροχιά είναι περιοδική, η τ2 ημιπεριοδική και

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

29

η τ3 χαοτική. Για τις τρεις αυτές τροχιές κατασκευάζεται το σχήμα 3.8 στο οποίο φαίνεται η 130 ημερών εξέλιξή τους στο αδρανειακό και το περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων.

Σχήμα 3.8 Σύστημα Συντεταγμένων Τροχιά Αδρανειακό Περιστρεφόμενο

Τ1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Τ2 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Τ3 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

30

3.4γ Οι Τομές Poincare Στο Σύστημα Γη – Σελήνη Όπως αναφέρθηκε και στην παράγραφο 3.2, η περιοχή κίνησης αλλά και το είδος των τροχιών του τρίτου σώματος εξαρτώνται από την ενέργειά του. Για αυτό τον λόγο, εξετάζονται παρακάτω οι τομές Poincare για τις χαρακτηριστικές περιοχές τιμών του ολοκληρώματος JC . Στα διαγράμματα αυτά, η Γη βρίσκεται στην θέση 0x ≅ , ενώ η Σελήνη στην 1x ≅ · η μιλλιμετρέ περιοχή είναι αυτή στην οποία δεν έχει την δυνατότητα να εισέλθει το σώμα λόγω της ενέργειάς του. Επίσης υπενθυμίζεται ότι στις αρχικές συνθήκες που χρησιμοποιούνται παρακάτω, η y& συνιστώσα είναι αρνητική. Αρχικά παρατίθεται στο σχήμα 3.9 η τομή Poincare για 9.1CJ −= . Η ενέργεια αυτή είναι αρκετά χαμηλή και πρακτικά δεν υπάρχουν χαοτικές τροχιές.

Σχήμα 3.9

9.1CJ −=

Παρατηρώντας την επιφάνεια τομής εύκολα μπορεί κανείς να χωρίσει τις τροχιές σε τέσσερις κατηγορίες, με βάση την περιοχή στην οποία εμφανίζονται τα σημεία που την απεικονίζουν. Έτσι προκύπτουν οι τροχιές που δίνουν σημεία αριστερά της Γης, στις οποίες το τρίτο σώμα κινείται σύμφωνα με τη φορά περιστροφής της Σελήνης και οι οποίες αποκαλούνται direct (σχήμα 3.10α). Αντίστροφα τώρα, στις τροχιές που δίνουν σημεία δεξιά

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

31

της Γης το τρίτο σώμα κινείται με αντίθετη φορά από αυτήν της κίνησης της Σελήνης· οι τροχιές αυτές αποκαλούνται indirect (σχήμα 3.10β). Με τον ίδιο τρόπο διαχωρίζονται και οι τροχιές που στην επιφάνεια τομής δίνουν σημεία στις περιοχές αριστερά και δεξιά της Σελήνης. Αντίστοιχα λοιπόν, direct τροχιές είναι αυτές που εντοπίζονται αριστερά της Σελήνης (σχήμα 3.10γ), ενώ οι indirect εντοπίζονται δεξιά της (σχήμα 3.10δ). Παρατηρώντας δε την τομή Poincare, εύκολα φαίνεται ότι οι τροχιές με αρχικές συνθήκες αριστερά της Γης ή της Σελήνης δεν δίνουν σημεία δεξιά της και αντίστροφα.

Σχήμα 3.10 Σύστημα Συντεταγμένων Αδρανειακό Περιστρεφόμενο

3.10α

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

3.10β -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

3.10γ 0.95 1 1.05 1.1 1.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.95 1 1.05 1.1 1.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

3.10δ 0.95 1 1.05 1.1 1.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

0.95 1 1.05 1.1 1.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

32

Λόγω της μικρής έκτασης της περιοχής της Σελήνης σε σχέση με αυτή της Γης, έχει γίνει μεγέθυνση στα σχήματα 3.10γ και 3.10δ εκεί που αναπτύσσονται οι τροχιές, προκειμένου να φανούν οι διαφορές μεταξύ τους. Πρέπει επίσης, για τις τροχιές του σχήματος 3.10, να σημειωθεί ότι καθεμία σχεδιάζεται μέχρι τη χρονική στιγμή που εξυπηρετεί ώστε να φαίνονται καθαρά οι σχετικές φορές περιστροφής της Σελήνης και του τρίτου σώματος. Για 7.1CJ −= η τομή Poincare του συστήματος είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 3.11. Είναι προφανές ότι η μετάβαση από τη Γη στη Σελήνη ή και το αντίστροφο, παραμένει αδύνατη. Οι τροχιές παρουσιάζονται να είναι περιοδικές ή ημιπεριοδικές.

Σχήμα 3.11

7.1CJ −=

γύρω από τα δύο σώματα, παραμένοντας η καθεμία στο πεδίο του σώματος από το οποίο εκκίνησε. Η μορφή των αναλλοίωτων καμπύλων στην περιοχή αριστερά της Γης έχει αλλάξει σε σχέση με την προηγούμενη επιφάνεια τομής που εξετάστηκε, ενώ στις περιοχές της Σελήνης δεν παρατηρείται κάποια αλλαγή. Για λίγο υψηλότερη ενέργεια και για 6.1CJ −= , η τομή Poincare είναι αυτή του σχήματος 3.12. Κάποιοι από τους αναλλοίωτους κύκλους αριστερά της Γης ανοίγουν με ταυτόχρονη εμφάνιση των πρώτων χαοτικών τροχιών. Παράλληλα, οι αναλλοίωτες καμπύλες που αντιστοιχούν στις direct τροχιές

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

33

της Σελήνης παίρνουν τώρα τη μορφή των καμπύλων που είχαν οι direct τροχιές της Γης για 7.1CJ −= (σχήμα 3.11).

Σχήμα 3.12

6.1CJ −=

Αυξάνοντας λίγο την ενέργεια και για 59.1CJ −= , η τομή Poincare είναι αυτή του σχήματος 3.13. Η μορφή των τροχιών στην περιοχή της Γης παραμένει σε γενικές γραμμές η ίδια. Η σημαντική αλλαγή που παρατηρείται είναι ότι οι ισοδυναμικές καμπύλες μηδενικής ταχύτητας του συστήματος έχουν ανοίξει στο σημείο L1 και το τρίτο σώμα, με τις κατάλληλες αρχικές συνθήκες, μπορεί ξεκινώντας από μία περιοχή κοντά στη Γη, να βρεθεί κοντά στη Σελήνη. Ταυτόχρονα, στην περιοχή αριστερά της Σελήνης εξαφανίζονται οι καμπύλες που αντιστοιχούν σε περιοδικές και ημιπεριοδικές τροχιές και τη θέση τους παίρνουν άτακτα κατανεμημένα σημεία χαοτικών τροχιών. Η περιοχή των indirect τροχιών της Σελήνης δεν παρουσιάζει καμία αξιοσημείωτη αλλαγή. Στο σχήμα 3.14 φαίνεται η τομή Poincare για 585.1CJ −= . Στην αντίστοιχη ενέργεια οι ισοδυναμικές καμπύλες έχουν ανοίξει και στο σημείο ισορροπίας L2. Το σώμα έχει τη δυνατότητα όχι μόνο να μεταβεί από τη Γη στη Σελήνη αλλά και να ξεφύγει από το πεδίο έλξης των δύο από την περιοχή του L2. Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο έχουν ανοίξει κάποιες από τις αναλλοίωτες καμπύλες δεξιά της Σελήνης. Η ενεργειακή διαφορά πάντως από το προηγούμενο διάγραμμα δεν είναι πολύ μεγάλη και γι’ αυτό η μορφή τους φαίνεται παρόμοια.

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

34

Σχήμα 3.13

59.1CJ −=

Σχήμα 3.14

585.1CJ −=

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

35

Η επόμενη ενεργειακή περιοχή που παρουσιάζει ενδιαφέρον είναι αυτή στην οποία οι ισοδυναμικές καμπύλες είναι ανοιχτές στο L3 σημείο ισορροπίας και το τρίτο σώμα μπορεί να διαφεύγει από το πεδίο του συστήματος Γη – Σελήνη και από την πλευρά της Γης. Αντιπροσωπευτικά κατασκευάζεται η τομή Poincare για 5.1CJ −= και παρουσιάζεται στο σχήμα 3.15. Οι χαοτικές τροχιές πλέον καταλαμβάνουν ένα μεγάλο μέρος στην περιοχή αριστερά της Γης, παραμένουν όμως περιοδικές και ημιπεριοδικές τροχιές που απεικονίζονται στην επιφάνεια τομής με τους λοβούς 1, 2 και τις ελλείψεις 3, 4 οι οποίες έχουν πλησιάσει αρκετά στη Γη. Όσον αφορά την περιοχή της Σελήνης, έχουν εξαφανιστεί τελείως οι αναλλοίωτοι κύκλοι και τη θέση τους έχουν πάρει σημεία χαοτικών τροχιών. Για ακόμα μεγαλύτερη ενέργεια και 3.1CJ −= , η επιφάνεια τομής είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα 3.16. Οι χαοτικές τροχιές κυριαρχούν στο διάγραμμα, ενώ οι περισσότερες κλειστές περιοδικές τροχιές που φαίνονται στις χαμηλότερες ενέργειες δεν υπάρχουν. Έχουν τοποθετηθεί και σε αυτό το διάγραμμα οι δείκτες 1,2,3 και 4 για να φανεί η μετατόπιση των αντίστοιχων σημείων σε σχέση με το προηγούμενο χαμηλότερης ενέργειας διάγραμμα. Παράλληλα, έχουν εμφανιστεί νέοι αναλλοίωτοι κύκλοι σε μία περιοχή πολύ δεξιότερα της Σελήνης (δείκτης 5).

Σχήμα 3.15

5.1CJ −=

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

36

Σχήμα 3.16

3.1CJ −=

Τέλος, παρατίθεται το διάγραμμα της τομής Poincare για 1.1CJ −= (σχήμα 3.17). Αυτό το διάγραμμα παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι, ενώ αυξάνεται η ενέργεια και κάποιες από τις προηγούμενες περιοδικές και ημιπεριοδικές τροχιές εξαφανίζονται, τη θέση τους παίρνουν κάποιες νέες. Πιο συγκεκριμένα, από το χαμηλότερης ενέργειας διάγραμμα του σχήματος 3.16, δεν υπάρχουν πλέον οι ελλείψεις και οι λοβοί που υποδεικνύονται με τους δείκτες 1, 2, 3 και 4, ενώ παραμένουν οι αναλλοίωτοι κύκλοι της περιοχής 5, οι οποίοι μετατοπίζονται ακόμα δεξιότερα της Σελήνης (στο νέο σχήμα 3.17 περιοχή αυτή αντιστοιχίζεται στο δείκτη 8). Παράλληλα, στην τομή του σχήματος 3.17 εμφανίζονται νέες τροχιές που δίνουν σημεία στις περιοχές 1, 2, 3 και 7. Από αυτές, οι περιοδικές δίνουν σημεία κοντά στα κέντρα των περιοχών και οι ημιπεριοδικές δίνουν σημεία προς το εξωτερικό. Αυτό ισχύει και για τις τροχιές που απεικονίζονται στις περιοχές 4, 5 και 6. Οι τελευταίες, παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον διότι παρά την υψηλή ενέργειά τους διέρχονται σε μικρές αποστάσεις από Γη και Σελήνη και – το κυριότερο – είναι ευσταθείς. Τα χαρακτηριστικά αυτά τις καθιστούν αντικείμενο διεξοδικής μελέτης για την επόμενη παράγραφο.

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

37

Σχήμα 3.17

1.1CJ −=

3.5 Περιοδικές Τροχιές Υψηλών Ενεργειών Λόγω του ιδιαίτερου ενδιαφέροντος για τις τροχιές από τη Γη στη Σελήνη και του ασυνήθιστου των περιοδικών τροχιών στις υψηλές ενέργειες, η παράγραφος αυτή διαπραγματεύεται τροχιές που φέρουν και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά. Ο λόγος γίνεται για τις τροχιές που βρέθηκαν να δίνουν σημεία στις περιοχές 4, 5 και 6 της τομής Poincare του σχήματος 3.17. Πιο συγκεκριμένα, στόχος είναι να υπολογιστεί το εύρος των τιμών JC για το οποίο αυτές υφίστανται, και να βρεθεί τι συμβαίνει όταν ξεπεραστεί το μέγιστο ή το ελάχιστο και παύουν να έχουν τα επιθυμητά χαρακτηριστικά.

3.5α Τρόπος Εύρεσης Μέγιστης και Ελάχιστης Τιμής JC Για να θεωρηθεί ότι μια τροχιά ανήκει στην οικογένεια των υπό μελέτη τροχιών θα πρέπει κατά την απεικόνισή της στην επιφάνεια να δίνει σημεία στις περιοχές 4, 5 και 6. Ως εκ τούτου, ο αλγόριθμος που χρησιμοποιήθηκε

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

38

για την εύρεση του ενεργειακού εύρους των τροχιών αυτών, αυξάνει ή μειώνει την τιμή JC με κάποιον κανόνα, και παρακολουθεί κατά πόσο οι τροχιές με τις νέες αρχικές συνθήκες παραμένουν στις περιοχές που πρέπει. Παρατηρώντας το σχήμα 3.17, εύκολα φαίνεται ότι η περιοχή 6 τέμνει τον άξονα 0x =& της επιφάνειας τομής. Από τα σημεία αυτά (επί του άξονα) δίνονται αρχικές συνθήκες για να ξεκινήσουν οι νέες τροχιές, περιορίζοντας έτσι τις παραμέτρους προσδιορισμού της JC στις x και y& , αφού θα είναι

σταθ0y == και σταθ0x ==& (βλ. σχέση (3.7)). Τελικά, έχοντας σαν αρχική τιμή της JC αυτή στην οποία αρχικά βρέθηκαν οι τροχιές που ενδιαφέρουν ( 1.1CJ −= ) και μειώνοντας, βρίσκεται η ελάχιστη τιμή της για την οποία οι τροχιές παραμένουν ευσταθείς. Αντιθέτως, αυξάνοντας προκύπτει η μέγιστη τιμή. Αξίζει να αναφερθεί ότι για να έχουν οι νέες τροχιές τα ίδια χαρακτηριστικά, καθώς μειώνεται ή αυξάνεται η JC , μειώνεται ή αυξάνεται αντίστοιχα το x στις αρχικές συνθήκες, με εξαίρεση μια μικρή περιοχή πολύ κοντά στη Σελήνη. Δηλαδή, με την μείωση της JC οι τροχιές εκκινούν σε αποστάσεις όλο και μικρότερες από την Σελήνη, ενώ αντίστροφα, με την αύξηση εκκινούν όλο και πιο απομακρυσμένα από αυτήν. Τα σχήματα 3.18α και 3.18β έχουν κατασκευαστεί για να φανεί ο τρόπος με τον οποίο μεταβάλλεται η μορφή των τροχιών στην πρώτη και τη δεύτερη περίπτωση αντίστοιχα.

3.5β Αποτελέσματα Τα αποτελέσματα της μελέτης για την ευστάθεια των υπό μελέτη τροχιών απεικονίζονται στο διάγραμμα του σχήματος 3.19. Στο σχήμα αυτό φαίνεται η μεταβολή της JC συναρτήσει του x · η σταθερά Jacobi μεταβάλλεται από

1.35- έως 0.85- , ενώ το x από την περιοχή της Σελήνης ( 1x ≅ ) έως 1.24x = . Πρέπει να σημειωθεί επίσης ότι η παχιά μαύρη γραμμή συμβολίζει ευσταθείς τροχιές, η λεπτή μαύρη γραμμή τις ασταθείς τροχιές και τα κόκκινα σημεία δείχνουν ασταθής τροχιές που καταλήγουν σε κρούση. Φαίνεται επομένως από το διάγραμμα, ότι ξεκινώντας από 1.1CJ −= και μειώνοντας την ενέργεια, οι τροχιές παραμένουν ευσταθείς έως και

-1.23232CJ = . Μειώνοντας ακόμα περισσότερο την ενέργεια οι τροχιές που προκύπτουν για ένα μεγάλο διάστημα τιμών JC είναι ασταθής. Επανέρχονται όμως οι ευσταθείς τροχιές στο μικρό αλλά υπολογίσιμο διάστημα

[ ]1.3328- 1.33388,-CJ ∈ . Από το σημείο αυτό και έπειτα οι αρχικές συνθήκες δίνονται πολύ κοντά στη Σελήνη (βλ. σχήμα 3.18α) με αποτέλεσμα οι τροχιές να είναι ασταθής και μερικές από αυτές να καταλήγουν σε κρούση με αυτήν.

Κεφάλαιο 3 : Ποιοτική Ανάλυση

39

Σχήμα 3.18

3.18α ↓JC

3.18β ↑JC

Στην περιοχή του διαγράμματος που οι JC αυξάνονται πέρα από την τιμή

1.1- , εύκολα φαίνεται ότι οι τροχιές παραμένουν ευσταθείς. Όσο αυξάνεται η ενέργεια, όμως, οι αποστάσεις από τις οποίες διέρχεται το σώμα σε σχέση με τη Γη μειώνονται (σχήμα 3.18β) με αποτέλεσμα μετά από κάποιο σημείο να καταλήγει σε κρούση. Συμπερασματικά επομένως, όταν το σώμα ξεπεράσει το φάσμα των τιμών JC για το οποίο οι τροχιές που προκύπτουν είναι ευσταθείς, καταλήγει σε κρούση. Στην περίπτωση που η JC είναι μικρότερη της ελάχιστης τιμής του φάσματος η κρούση γίνεται με τη Σελήνη, ενώ όταν είναι μεγαλύτερη της μέγιστης τιμής η κρούση γίνεται με τη Γη. Οι τροχιές αυτές που ερευνήθηκαν ανήκουν σε μία οικογένεια περιοδικών τροχιών F. Περισσότερο ενδιαφέρον δε απ’ όλες έχουν οι τροχιές που

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

40

Σχήμα 3.19

1,00 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,16 1,18 1,20 1,22 1,24

-1,35

-1,30

-1,25

-1,20

-1,15

-1,10

-1,05

-1,00

-0,95

-0,90

-0,85

CJ

X

εντοπίζονται στο πολύ μικρό ενεργειακό εύρος με [ ]1.3328- 1.33388,-CJ ∈ , διότι ενώ είναι ευσταθής έχουν πολύ μικρότερη ενέργεια από όλες τις υπόλοιπες τροχιές της οικογένειας. Μία τέτοια τροχιά έχει επιλεγεί και παρουσιάζεται στο κεφάλαιο 4, ενώ η προσέγγισή της στη Σελήνη εξετάζεται στην παράγραφο 5.2.

4. Τροχιές Από Τη Γη Στη Σελήνη Στο προηγούμενο κεφάλαιο, έγινε περιγραφή της συμπεριφοράς του τρίτου σώματος στο σύστημα Γης – Σελήνης για κάποιες αντιπροσωπευτικές ενέργειες με τη βοήθεια της τομής Poincare. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται και σχολιάζονται κάποιες τροχιές από τις χαρακτηριστικές αυτές περιοχές ενεργειών με έμφαση σε αυτές που περνούν σε μικρή απόσταση από τη Γη αλλά και τη Σελήνη. Οι αρχικές συνθήκες της κάθε τροχιάς δίνονται στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων και περιγράφουν την κατάσταση του τρίτου σώματος τη στιγμή 0t = · αυτό σημαίνει ότι τη στιγμή εκείνη 0tω =⋅ και επομένως ο άξονας που συνδέει τα δύο μεγάλα σώματα συμπίπτει με τον άξονα των ξ . Επιλέγοντας να ξεκινήσει η περιγραφή από τις χαμηλές ενέργειες, πρώτη παρουσιάζεται μία τροχιά για την οποία η τιμή του ολοκληρώματος Jacobi έχει την τιμή 1.6C j −= . Οι αρχικές συνθήκες, σε κανονικοποιημένες μονάδες, της θέσης είναι ( ) ( )0.178654,0-η,ξ 00 = ενώ της ταχύτητας ( ) ( )3.0628630.639535,-η,ξ 00 =&& . Σε μονάδες S.I. οι αρχικές συνθήκες είναι ( ) ( )km km,0 68674-η,ξ 00 = και ( ) ( )m/s 98m/s,-3133. 654η,ξ 00 =&& Η τροχιά αυτή, κρίνοντας από την τιμή της σταθεράς jC και σύμφωνα με όσα έχουν αναφερθεί στις παραγράφους 3.2 και 3.4γ, δεν έχει τη δυνατότητα να προσεγγίσει τη Σελήνη. Η αναπαράστασή της, για τις πρώτες 48.43 μέρες της εξέλιξής της στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, φαίνεται στο σχήμα 4.1α, ενώ η προβολή της στο περιστρεφόμενο σύστημα συντεταγμένων γίνεται στο σχήμα 4.1β. Μία τροχιά με λίγο περισσότερη ενέργεια δίνεται στο σχήμα 4.2. Το ολοκλήρωμα Jacobi έχει την τιμή 1.59C j −= και η μετάβαση από τη Γη στη Σελήνη είναι δυνατή και συμβαίνει. Οι αρχικές συνθήκες θέσης σε κανονικοποιημένες μονάδες είναι ( ) ( )0.277108,0-η,ξ 00 = ενώ της ταχύτητας είναι ( ) ( )2.286570.581395,-η,ξ 00 =&& . Σε μονάδες S.I. οι αρχικές συνθήκες είναι ( ) ( )km 0 km, 10652-η,ξ 00 = και ( ) ( )m/s ,-2339.67594.895m/sη,ξ 00 =&&

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

42

Σχήμα 4.1

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

4.1α

-1 -0.5 0.5 1

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

4.1β

Στο σχήμα 4.2α η τροχιά έχει σχεδιαστεί μέχρι και 26.78 μέρες μετά την εκκίνησή της στο αδρανειακό σύστημα συντεταγμένων, ενώ στο σχήμα 4.2β έχει σχεδιαστεί στο περιστρεφόμενο σύστημα για τον ίδιο χρόνο. Παρατηρώντας κανείς το σχήμα 4.2β μπορεί να καταλήξει στο συμπέρασμα ότι το σώμα προσκρούει στη Σελήνη μέσα στο διάστημα των 26.78 ημερών και επομένως από τη στιγμή αυτή και μετά η τροχιά που φαίνεται δεν είναι σωστή. Στην πραγματικότητα όμως, το ελάχιστο της απόστασης από την επιφάνεια της Σελήνης είναι km 971.65 και επιτυγχάνεται 98.63 μέρες μετά την εκκίνηση της τροχιάς. Η απόσταση αυτή είναι πολύ μικρή και το πεδίο της Σελήνης αλλάζει τελείως την εξέλιξη της τροχιάς μετά την προσέγγιση. Αυτό φαίνεται και από το σχήμα 4.2α· στο δεύτερο τεταρτημόριο του σχήματος η τροχιά κάνει –σχεδόν– γωνία λόγω της έντονης αυτής αλληλεπίδρασης. Μετά, το σώμα επιστρέφει στην περιστροφή του γύρω από την Γη, μέχρι που επανέρχεται στην περιοχή της Σελήνης 251 ημέρες μετά την εκκίνηση της τροχιάς (σχήμα 4.2γ). Οι χρόνοι ολοκλήρωσης αυτοί, βέβαια, είναι πολύ μεγάλοι και η εξέλιξη της τροχιάς είναι υπερευαίσθητη στις αρχικές συνθήκες.

Κεφάλαιο 4 : Τροχιές Από Τη Γη Στη Σελήνη

43

Σχήμα 4.2

-1 -0.75 -0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

4.2α

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

4.2β

-1 -0.5 0.5 1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

4.2γ

Το Περιορισμένο Πρόβλημα Των Τριών Σωμάτων Στο Σύστημα Γη – Σελήνη

44

Σχήμα 4.3

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

4.3α 4.3β

-0.5 0.5 1

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

-0.5 0.5 1

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

4.3γ 4.3δ

0.85 0.9 0.95 1.05 1.1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.85 0.9 0.95 1.05 1.1

-0.2

-0.1

0.1

0.2

4.3ε 4.3ζ

Μία ακόμα τροχιά για την ίδια ενέργεια ( 1.59C j −= ) φαίνεται στο σχήμα 4.3. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό σε αυτή την περίπτωση είναι ότι το σώμα πλησιάζει σε πολύ κοντινές αποστάσεις από τη Σελήνη και παραμένει στην άμεση γειτονιά της για αρκετό χρονικό διάστημα. Οι αρχικές συνθήκες θέσης της τροχιάς σε κανονικοποιημενες μονάδες είναι ( ) ( )0.292599,0-η,ξ 00 = και οι αρχικές συνθήκες της ταχύτητας είναι ( ) ( )2.246060.395349,-η,ξ 00 =&& .

Κεφάλαιο 4 : Τροχιές Από Τη Γη Στη Σελήνη

45

Σε μονάδες S.I. οι αρχικές συνθήκες είναι ( ) ( )km 0 km, 112475-η,ξ 00 = και ( ) ( )m/s ,-2298.21404.529m/sη,ξ 00 =&& Το σώμα, αφού εκτελέσει αρκετές περιφορές γύρω από τη Γη, 35.149 ημέρες μετά προσεγγίζει τη Σελήνη για πρώτη φορά και πραγματοποιεί τέσσερις περιφορές γύρω από αυτή μέσα σε 78.24 μέρες. Κατά τη διάρκεια της 157ης ημέρας πλησιάζει στα km 739.9 από την επιφάνειά της, ενώ κατά τη διάρκεια της 172ης ημέρας στα km 295.07 . Η δεύτερη και τελευταία προσέγγιση της Σελήνης γίνεται 97.236 ημέρες μετά την εκκίνηση της τροχιάς και το σώμα παραμένει στη γειτονιά της για 46.62 ημέρες πραγματοποιών�