Теорема Пифагора,история и способы доказательства.

Работу выполнили ученики 8 класса МКОУ «Дуровская СОШ»Иванова Жанна и Торопова ЕлизаветаУчитель: Матвеева Татьяна Александровна

2016 год

Немного о Пифагоре

Пифагор (570 – 490 года до н.э.) –древнегреческий математик, философ. Родился Пифагор в Сидоне Финикийском. Как математик Пифагор достиг больших успехов. Ему приписывают открытие и доказательство теоремы Пифагора, создание таблицы Пифагора. В 20 лет Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время было далеко за 80. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки.

Перед Пифагором открылась неизвестная страна Когда

Пифагор постиг науку египетских жрецов, он решилсоздать школу у себя на родине. Жрецы, не желавшиераспространения своих знаний за пределы храмов, нехотели его отпускать. С большим трудом ему удалосьпреодолеть эту преграду. Пифагор прожил в Вавилонеоколо десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулсяна родину. Но на острове Самос он оставался недолго.

В знак протеста против тирана

Поликрата, который тогда правил

островом, поселился в одной из

греческих колоний Южной Италии

в городе Кротоне, где и умер

спустя 30 лет.

Рассмотрим самые популярные из них.

Всего в литературе встречается около 257 доказательств «золотой теоремы»

5

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

222 bac

Теорема Пифагора (формулировка)

Доказательство из учебника Атанасяна

Дано: прямоугольный треугольник с

катетами а, b и гипотенузой с

Доказать:

Доказательство: достроим треугольник до

квадрата со стороной a+b

S=

S= =

= =>

2)( ba

22 221

4 cabcab 2)( ba

222 22 cabbaba 222 cba

222 cba

222 bac

a

a b

b

b

b

a

a

с с

сс

Доказательство ЕвклидаВсе доказательство теоремы сводится к доказательству равенства площадей квадрата ABFH и прямоугольника BDJL (или квадрата ACKG и прямоугольника CJLE).Треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними:FB = AB, BC = BD, <FBC = <D + <ABC = <ABD.SABD = 1/2 S BJLD ,SFBC=1/2 S ABFH

Тогда SABD=SFBC, SBJLD=SABFH.

Также доказывается и SJCEL=SACKG

А затем SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL= SBCED

т.е. a2+b2=c2 , что и требовалось доказать

Через подобные треугольникиПусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введем обозначения : | BC | = a, | AC | = b, | AB | = c

Получаем

что эквивалентно

сложив, получаем

или

a2 + b2 = c2

Доказательство через равнодополняемость

Доказательства методом разложения

Доказательство Эпштейна

Доказательство Нильсена

Доказательство Перигаля

Доказательство Басхары

Одно из самых простых доказательств теоремы - доказательство индийского математика Басхары . В пояснение к нему он написал только одну строчку: "Смотри!". Ученые считают, что он выражал площадь квадрата ,построенного на гипотенузе, как сумму площадей треугольников (4ab/2) и площадь квадрата (a-b)². Следовательно:c²=4ab/2+(a-b)²c=2ab+a²-2ab+b²c²=a²+b²Что и требовалось доказать.

«Мозаичное» доказательство

А здесь приведено доказательство, где и доказывать-то ничего и не надо. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC – равнобедренный.

Практическое применение

Теорема Пифагора используется практически везде: в строительстве: для проектирования чертежа крыши дома, создания некоторых видов окон; в астрономии, в работе мобильной связи и в других

вещах, которыми мы пользуемся ежедневно.

Землемеры и строители Древнего Египта размечали прямые углы с помощью веревки, разделенной узлами на 12 равных кусков.

КрышаВ доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки

Мобильная связьВ настоящее время при строительстве

вышки (антенны) часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе

МолниеотводМолниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.

В зданиях готического и ромaнского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром.

Если дан нам треугольник,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим-

И таким простым путем

К результату мы придем.