- 1 -

수학사와 수학실험 - 쌓기 나무 (2시간)

초등학교 2학년 수학에서부터 쌓기 나무가 도입되고 있습니다. 이러한 쌓기 나무는 중고등

학교 수학에서도 사용될 수 있으며, 특별히, 미분과 적분, 증명과 논리, 그리고 이산수학 교

육에 사용될 수 있습니다.

본 사전연수에서는 쌓기나무를 이용하여

과

의 증명을 할 것입니다. 이 목적을 달성하기 위하여 쌓기 나무를 이용한 수열의 합을 직관

적으로 살펴보기로 하겠습니다. ‘수학사와 수학실험 - 쌓기 나무 (2시간)’ 은 두 개의 탐구문

제와 한 개의 탐구과제로 구성되어 있으며

[사전연수 탐구문제 1, 탐구문제2 그리고 제출할 탐구과제] 먼저 2개의 탐구문

제를 풀고 익히세요. 따로 숙제를 제출할 필요는 없지만, 나중에 연수 기간중에 있을 시험의

범위에 들어갑니다. 2개의 탐구문제는 연수 기간 중에 “수학사와 수학실험” 강의 시간에 다

시 다루어지는데, 사전연수의 내용이기에 간단하게 설명될 예정입니다.

이 후, 9 페이지에 있는 [탐구과제] 과제를 설명에 따라 게시판에 쌓기나무 작품을 만

들어 게시판에서 제출해야 합니다. 과제 제출을 위해, 쌓기나무 그리는 법과 게시판 쓰는 방

법을 잘 읽고 설명에 따라 하도록 하세요.

- 2 -

▶수학사와 쌓기나무

피타고라스는 수를 별자리와 같은 점의 집합으로 생각하여 수론과 기하학은 같은 종이의 앞

뒷면과 같은 관계가 잇는 것이라고 여겼습니다. 이 생각은 "별자리가 그 고유의 수를 갖는

것처럼 모든 것은 " 수 "를 갖는다." 라고 믿었고 그래서 "만물은 수이다." 라고 생각하게 되

었습니다. 이처럼 피타고라스 학파는 수와 도형 사이의 관계를 매우 중요시 하였습니다. 따

라서, 수 가운데에서도 점을 아름다운 형태로 배열하여 나타낼 수 있는 수 (형상수, 形象數)

에 대하여 매우 큰 관심을 갖게 되었습니다.

피타고라스가 도형을 수로 생각한 것을 쌓기 나무로 바꾸어 생각해봅시다. 즉 위의 그림에

서의 점을 쌓기 나무로 바꾸어 생각하겠습니다.

- 3 -

▶ 쌓기 나무 탐구를 통한 수열의 합 구하기

[탐구문제 1]

를 쌓기 나무를 이용하여 증명합니다.

컴퓨터로 실험해봅시다.

http://www.javamath.com 주소로 갑니다. 이 때 나타나는 화면 오른쪽의 메뉴에

서 [ 마이크로월드 수학실험실 ]을 눌러 들어갑니다. 이때, 화면에 다음이 보입니다.

화면의 설명대로, 왼쪽에 나타나는 거북이 아이콘을 눌러 거북명령 자바말을 실행

시킵니다. 만일 컴퓨터에 자바말 화면이 회색으로만 나온다면, 위의 설명과 같이 그

곳을 클릭하여 자바 프로그램을 다운받아 설치하고 다시 거북 아이콘을 누릅니다.

거북이 자바말 화면이 나타나면, 화면 아래에 있는 M> 뒤의 명령 입력창에 다음과

같이 쓰고 엔터키를 누릅니다. 이 때, 오른쪽에 수학실험 게시판이 나타납니다.

http 쌓기나무탐구

http 쌓기나무탐구 [엔터] 로 나타나는 오른

쪽의 쌓기나무탐구 게시판을 먼저 읽어본다. 이

제 게시판 파란글씨로 적힌 [자바말 3 실행]을

누르면 오른쪽과 같은 쌓기나무 그림을 거북이

가 그려준다.

- 4 -

위에 나타난 쌓기 나무의 개수를 다음과 같이 세는 방법을 생각해봅시다.

이 쌓기 나무를 맨 왼쪽에서부터 첫 번째 행, 두 번째 행, 세

번째 행 ... 이렇게 차례로 아래에서 위쪽으로 세어보면 1, 3,

6, 10, 15 이고 이 수열은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이므로

이를 일반화 하면 n 번째 행에 있는 쌓기나무 개수는

임을 알 수 있습니다.

즉, 은 n에 관한 이차식입니다. 후에 이것은 이차함수, 미적분과 연관됩니다.

다른 방법으로, 이 쌓기 나무를 이번에는 행을 따라

다음과 같이 같은 색의 쌓기나무만 세어보면

(노란색 쌓기 나무의 개수) = 1+3+5+7+9

(빨간색 쌓기 나무의 개수) = 1+3+5+7

(초록색 쌓기 나무의 개수) = 1+3+5

(파란색 쌓기 나무의 개수) = 1+3

(까만색 쌓기 나무의 개수) = 1

(쌓기 나무의 총 개수)=1 + (1+3) + (1+3+5) + (1+3+5+7) + (1+3+5+7+9)

1부터 처음 n 개의 홀수의 합은 [자바말 2 실행] 의 실험에서도 알 수 있듯이 과 같으므

로1) 쌓기나무의 총 개수는 다음과 같다.

(쌓기 나무의 총 개수)=

1) 부록 참고

- 5 -

컴퓨터로 실험해봅시다.

http 쌓기나무탐구 [엔터] 로 나타나는 수학

탐구실험실에서 [자바말 3 실행]을 누르면 앞에

서와 같은 그림이 나타난다. 화면 오른쪽 아래

에 있는 빨간 단추를 마우스로 클릭하면 오른

쪽과 같은 화면이 나타난다.

위의 그림에서, 왼쪽에 있는 5개의 파란 정사각형의 넓이의 합은 노란 쌓기나무 개수와 같

다. 같은 이유로, 이것들의 개수는 오른쪽에 그려진 5개의 파란 정사각형의 넓이의 합도 모

두 으로 같다. 그런데, 전체 큰 사각형의 넓이가 (1+2+3+4+5) 곱하기

11 이므로, × × 이고, 이것을 일반화하면

이 된다. 따라서, 다음과 같은 일반적인 사실을 얻게 된다.

⋯

- 6 -

[탐구문제 2]

임을 쌓기 나무를 이용하여 증명합니다.

컴퓨터로 실험해봅시다.

http 쌓기나무탐구 [엔터]로 나타나는 [쌓기나

무탐구 수학실험실]에서 파랗게 쓰인 [자바말

4 실행]을 클릭하면 오른쪽과 같은 화면이 나

타난다.

위의 그림에서, 4개의 L 자 모양의 관찰하면, 각각의 모양에 있는 쌓기나무의 개수는

이다.

4개의 L 자 모양 그림에서, 각각에 있는 쌓기 나무들이 왜 , , , 개 일까요? 세

어보면 맞는데, 그렇다면 다음에 그려질 5번째 L 자 모양에 있는 쌓기나무의 개수는 왜

이 될까? 고등학교의 수학적 귀납법으로 증명할 수 있을까? 나중에 그 이유를 알아보자.

이제, 쉬프트키를 누른 상태에서 마우스 오른쪽을 드래그하면 L 자 모양이 접어지며 한 변

의 길이가 (1+2+3+4+5) 인 정사각형 모양의 쌓기 나무 그림으로 바뀐다. 따라서 화면에 그

려진 노란 쌓기나무의 총 개수는 다음과 같다. 이를 일반화화면 다음과 같다.

(쌓기 나무의 총 개수) =

(쌓기나무의 총 개수) = ⋯ ⋯

에서 각각의 쌓기 나무들이 왜 , , , 개 일까요? 그 이유를 알아보자.

- 7 -

컴퓨터로 실험해봅시다.

http 쌓기나무탐구 [엔터]로 나타나는 [쌓기

나무탐구 수학실험실]에서 파랗게 쓰인 [자

바말 4 실행]을 클릭하면 거북이가 앞에서

와 같은 화면을 그려준다. 이제, 화면 오른

쪽 아래에 있는 원리 설명을 보세요 빨간

단추를 마우스로 클릭한다. 이 때, 오른쪽과

같은 화면이 나타난다.

위의 그림은 은 13을 시작으로 4개의 홀수의 합 (13+15+17+19) 과 같음을 설명합니다.

여기서 13은 (1+2+3) 번째 홀수인 11 바로 다음의 홀수입니다. 화면에 있는 그림을 다음과

같이 두 가지 색으로 칠하여 생각해봅시다.

(노란색 쌓기 나무의 총 개수) =

(하늘색 쌓기 나무의 총 개수) =

(화면에 나타난 쌓기 나무의 총 개수) = (노란색 쌓기 나무의 총 개수) +

(하늘색 쌓기 나무의 총 개수) = + =

수학사를 보면, 그리이스 후기의 Nichomachus 정리는 다음과 같은 사실을 말합니다.

“임의의 은 개의 연속된 홀수의 합과 같다”

구체적으로 , 그리고 앞에서 보았듯이 이다.

일반적으로 입니다. n 번째 홀수는 2n -1입니다. 그리고 앞에서도

보았듯이 입니다. 따라서,

=

- 8 -

따라서, 은 바로 다음에 나열되어 있는 n 개의 홀수의 합과 같습니다.

은 바로 다음에 나열되어 있는 n 개의 홀수의 합과 같습니다. 이제 수

학적 귀납법으로 은 (1+2+3..+ (n-1)) 번 홀수 다음에 있는 n 개의 홀수의 합임을 설명

해 보세요. n =1, n=2, n=3 은 금방 체크할 수 있습니다. n=3 이 된다면 n=4 인 경우를

어떻게 체크할 수 있나요?

은 (1+2+3..+ (n-1)) 번 홀수 다음에 있는 n 개의 홀수의 합입니다. 따라서, 이러한 사실

로부터 다음과 같은 사실을 관찰 할 수 있습니다.

⋯ ⋯

우리는 앞에서 1부터 연속된 개의 홀수의 합은 임을 알 수 있었습니다.2) 즉,

이고 이다. 따라서 다음이 성립합니다.

⋯ ⋯ ⋯

이러한 정수론적 탐구를 통해

은 에 관한 2차식,

은 에 관한 3차식,

은

에 관한 4차식임을 알 수 있습니다. 이것이 적분과 무슨 상관이 있습니까? 이 식들은 일

차, 이차, 삼차 함수를 각각 0부터 까지 적분한 값과 관계가 있습니다. 즉, 단위 길이 1로

나눈 구분구적법의 경우 이 값은 쌓기 나무 막대기의 면적(체적)을 다 더한 것이 됩니다.

2) 부록 참고

- 9 -

▶ 자유롭게 쌓기 나무 작품 만들기 ( 실험실습 게시판에 제출합니다 )

▶ [탐구과제]

제출하는 과제

쌓기나무 명령을 익혀 자유롭게 작품을 만들어 봅시다. s, u, d, L, R 만을 이용해도 좋고 부

록에 쌓기나무명령을 참고해도 좋습니다. 작품을 만들어 게시판에 제출하도록 합니다.

다음의 오른쪽 2개는 작년에 만들어진 과제들입니다.

쌓기나무 만드는 방법

M> http 쌓기나무탐구 [엔터] 로 오른쪽에 나오는 수학실험 게시판에서 파란 글씨로 쓰

인 [자바말 5 실험]을 눌러 보자. 이 때, 다음 그림이 아래 명령에 의해 그려진다 (거북이의

모습은 따로 명령을 해야 한다). 그 곳에 쓰인 설명을 잘 읽고 실습을 해본다.

쌓기나무준비 ㄱ do omsRssuussLssuussRss ㄴ

- 10 -

쌓기 나무

거북 명령 s s Rs Ls u

설명

거북이가 한

발자국 걸어

가면서 쌓기

나무를 놓는

다.

거북이가 한

발자국 걸어

가면서 쌓기

나무를 하나

더 놓는다.

오 른 쪽 으 로

90도 회전한

뒤 한발자국

걸어가서 쌓

기 나무 하

나를 놓는다.

왼쪽으로 90

도 회전한

뒤 한발자국

걸어가서 쌓

기 나무 하

나를 놓는다.

거북이가 한

층 위로 올

라가서 쌓기

나무를 하나

놓는다.

s s d

거북이가 한발

자국 걸어가면

서 쌓기 나무를

하나 더 놓는

다.

거북이가 한발

자국 걸어가면

서 쌓기 나무를

하나 더 놓는

다.

거북이가 한 층

아래로 내려가

서 쌓기나무를

하나 놓는다.

쌓기나무 명령을 익혀 자유롭게 작품을 만들어 봅시다. s, u, d, L, R 만을 이용해도 좋고 부

록에 쌓기나무명령을 참고해도 좋습니다. 작품을 만들어 게시판에 제출하도록 합니다.

거북명령을 이용하여 쌓기 나무를 만들어봅시다.

먼저 거북이가 쌓기 나무 안에 들어 있다고 생각하고 명령을 따라가며 만들어보자.

이 명령을 하나로 쓰면 do ssRsLussd 가 된다.

do ssRsLussd 라는 거북 명령은 라는 쌓기나무를 의미합니다.

- 11 -

거북 명령 완전하게 하기 위해서는 다음과 같은 형식이 필요합니다.

(예)

쌓기나무 만드는 방법 실습

M> http 쌓기나무탐구 [엔터] 하여 나타나는 오른쪽 게시판에서

파랗게 쓰인 [자바말 5 실행]부터 [자바말 10 실행] 까지 단추를 눌러 나타나는 그림과 아래

에 쓰인 명령 설명을 보며 쌓기나무 명령을 익히자. 그리고 명령을 익힌 후, 자유로운 그림

을 그려보자. 수학 교과서에 나오는 그림이 아닌 자유 그림을 그려도 된다. 레고 장난감 조

각을 이어 작품을 만들 듯이, 쌓기나무를 이어 작품을 만드는 것이다. 단, 여기에서는 심볼

s, u, d, L, R 등을 쓰며, 수학적인 대칭과 공간 지각력 그리고 창의력 등을 사용하여 숨어있

는 수학교육과정 (hidden mathematics curriculum) 에 의해 수학 학습을 하게 된다.

쌓기나무 과제를 제출하는 방법

(1) 먼저 회원에 가입하고, 실험실습게시판에 가서, 글쓰기를 누른다.

(2) 나타난 [자바말 1] 등의 글쓰기 공간에 명령을 쓰고

그 아래의 [내용 1] 등에 설명과 하고 싶은 말을 쓴다.

(3) 글을 더 쓰려면 아래에 있는 [내용 추가] 단추를 여러번

누른다. 이 때, 하나를 더 쓸 수 있는 입력 공간이 나온다.

(4) 마지막에 반드시 [비밀글] 에 체크를 한 후,

[저장하기]를 클릭하고 확인을 해주면 글이 저장된다.

(5) 나중에 글을 수정할 때를 위해 비밀번호를 잘 쓰고 기억한다.

쌓기나무준비; : 거북이에게 쌓기 나무를 만들 준비를 시킨다.

ㄱ : 거북이에게 명령이 시작됨을 알린다.

do : 거북이에게 쌓기 나무를 만들도록 명령을 내린다.

ㄴ : 거북이에게 명령이 끝났음을 알린다.

- 12 -

쌓기

나무

명령어

전개도준비명령;

ㄱ

do

ㄴ

전개도준비명령: 거북이가 쌓기 나무 만들 준비를 한다.

ㄱ: 거북에게 명령이 시작함을 알린다.

do : 밑줄 친 부분에 쌓기 나무 명령어를 쓴다.

ㄴ: 거북에게 명령이 끝났음을 알린다.

쌓기 나무

만들기

기본 명령

o: 시작하는 위치에 부채꼴모양의 발판을 그린다.

s : 한 칸 앞으로 이동하며 쌓기 나무를 만든다.

u : 한 층 위로 이동하며 쌓기 나무를 만든다.

d : 한 층 아래로 이동하며 쌓기 나무를 만든다.

거북 방향을

바꾸는

거북명령

L : 진행방향에서 거북이가 왼쪽으로 90도 회전한다.

R : 진행방향에서 거북이가 오른쪽으로 90도 회전하다.

쌓기 나무

색을 바꾸는

기본 명령

V : 이후로 투명한 쌓기 나무를 만들면서 이동

(즉, 투명한 쌓기 나무를 만들면서 이동)

C : 이후로 노란색 쌓기 나무를 만들면서 이동

c : 이후로 하늘색 쌓기 나무를 만들면서 이동

v : 이후로 프레임만 있는 쌓기 나무를 만들면서 이동

※ 주의

소문자 s, u, d 명령어를 하나씩 추가할 때마다 쌓기 나무를 한 개씩 만든다.

대문자 L, R 은 거북이의 진행방향 바꿀 뿐 쌓기 나무를 만들지 않는다.

따라서 L, R 이후 s 를 같이 써줘야 바꾼 방향으로 쌓기 나무를 만든다.

(예) do Rs 또는 do Ls

마우스 조작 설명

오른쪽 클릭+드래그 자바말에 의해 만들어진 물체가 제자리에서 회전한다.

shift 키+오른쪽 클릭+드래그 자바말에 의해 만들어진 물체의 전개도를 접고 편다.

shift 키+왼쪽 클릭+드래그 자바말에 의해 만들어진 물체를 다른 곳으로 이동시킨다.

쌓기나무준비명령 익히기

※ 참고 - 마우스 조작 방법

- 13 -

o, s, L, R 명령어 익히기 (거북이가 앞으로, 왼쪽으로, 오른쪽으로 나아간다)

예제 1

쌓기나무준비

ㄱ

do o

ㄴ

거북이가 시작하는 지점에 부채꼴 모

양의 발판을 만든다.

쌓기나무준비

ㄱ

do o

do s

ㄴ

발판을 통과 후, 앞으로 나가며 쌓기

나무를 한 개 만든다.

쌓기나무준비;

ㄱ

do o

do s

do s

ㄴ

거북이의 진행방향으로 쌓기 나무를

한 개 더 만든다.

쌓기나무준비

ㄱ

do o

do s

do s

do Rs

ㄴ

거북이가 진행방향에서 오른쪽으로 90

도 회전 한 후, 새로운 진행방향으로

쌓기 나무를 한 개 만든다.

쌓기나무준비

ㄱ

do o

do s

do s

do Rs

do s Ls

ㄴ

거북이가 진행방향으로 진행하며 쌓기

나무를 한 개 만들고, 왼쪽으로 90도

회전한 후, 쌓기 나무를 다시 한 개 만

든다.

※ 참고

do o

do s

do s ⇒ do o s s Rs s Ls

do Rs

do s Ls

do

do

... 의 각각의 명령은

do 로 한 번에 쓸 수 있다.

- 14 -

u, d 명령 익히기 (거북이가 엘리베이터를 타고 up, down 방향으로 이동한다)

예제2

쌓기나무준비

ㄱ

do o s s u

ㄴ

거북이가 발판을 만들고, 쌓기 나무 2개

를 만든 후, 방향을 유지한 채 위에 쌓기

나무 한 개를 더 만든다.

쌓기나무준비

ㄱ

do o s s u

do Rs s s d d

ㄴ

오른쪽으로 90도 회전하여 쌓기 나무를

만든 후, 쌓기 나무 2개를 만들고, 방향을

유지한 채 아래로 내려가며 쌓기 나무 두

개를 만든다.

C, V, c, v 명령 익히기 (투명, 반투명 또는 여러 색으로 쌓기 나무를 만든다)

예제3

쌓기나무준비

ㄱ

do o s Vs Cs

ㄴ

발판과 쌓기 나무 한 개, 투명 쌓기 나무

한 개, 다시 노란색 쌓기 나무 한 개를

차례로 만든다.

쌓기나무준비

ㄱ

do o s Vs Cs

do cu Rs

ㄴ

파란색 쌓기 나무를 위로 올라가며 만든

후, 오른쪽으로 90도 회전하고 앞으로 나

가며 쌓기 나무를 만든다.

쌓기나무준비

ㄱ

do o s Vs Cs

do cu Rs

do vRs Ls

ㄴ

오른쪽으로 90도 회전하여 진행방향으로

프레임 쌓기 나무를 만들고, 왼쪽으로 90

도 회전하여 프레임 쌓기 나무를 한 개

더 만든다.

쌓기나무준비

ㄱ

do o s Ts Cs

do cu Rs

do tRs Ls

do Ts u Rcs s s

ㄴ

투명한 쌓기 나무를 한 개 만든 후 계속

하여 투명한 쌓기 나무를 위로 올라가며

만들고 오른쪽으로 90도 회전한 후, 파란

색 쌓기 나무를 3개 연속하여 만든다.

- 15 -

▶ 부록

를 쌓기 나무를 이용하여 증명해봅시다.

컴퓨터로 실험해봅시다.

[수학 탐구실험실]에 [수학사와 수학실험 (쌓기나무)]

라는 게시물을 클릭합니다. [자바말 2 실행]을 눌러

봅시다. shift키를 누르고 마우스 오른쪽 클릭을 누

른 뒤 드래그하면 옆의 그림이 접힙니다.

위의 그림로부터 (1+2+3+4+5)+(1+2+3+4)=× 임을 알 수 있습니다. 이 식을 정리해 보

면 × 가 되고 이것을 일반화 하면

이 됨을 증명

할 수 있습니다.

- 16 -

를 쌓기 나무를 이용하여 증명해봅시다.

컴퓨터로 실험해봅시다.

[수학 탐구실험실]에 [수학사와 수학실험 (쌓기나

무)]라는 게시물을 클릭합니다. [자바말 3 실행]을

눌러봅시다. shift키를 누르고 마우스 오른쪽 클릭

을 누른 뒤 드래그하면 옆의 그림이 접힙니다.

이 쌓기 나무로부터 (쌓기나무의 총 개수) = 1+3+5+7+9=5×5 임을 알 수 있습니다. 이

사실을 일반화하면

이 됨을 증명 할 수 있습니다.