МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУ ВПО «СИБИРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ»

В.В. Чесноков

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗМЕРЕНИЙ

Утверждено Редакционно-издательским советом академии в качестве учебного пособия

Новосибирск СГГА 2008

УДК 53.08 Ч512

Рецензенты: Доктор технических наук, профессор

Сибирской государственной геодезической академии В.Я. Черепанов

Доктор технических наук, профессор

Новосибирского государственного технического университета А.А. Величко

Чесноков, В.В. Ч512 Физические основы измерений [Текст] : учеб. пособие / В.В.

Чесноков. – Новосибирск : СГГА, 2008. – 101 с. ISBN 978-5-87693-284-6 Настоящее учебное пособие представляет собой курс лекций,

разработанный в соответствии с требованиями, предъявляемыми Государственными образовательными стандартами 2000 г. к подготовке инженеров приборостроения в области стандартизации, сертификации и метрологии. В пособии рассматриваются физические основы измерений, то есть изучаются самые общие принципы методов измерений физических величин, причины возникающих при измерениях погрешностей, фундаментальные пределы достижимой точности измерений. В пособии уделено место для ознакомления как с физико-техническим обеспечением инженерных решений проблемы передачи стабильности объектов микромира измерительным устройствам, так и с физическими принципами создания современной эталонной базы, использующей эффекты квантовой физики.

Для понимания вопросов, обсуждаемых в пособии, необходимо знание курса общей физики, преподаваемого в технических вузах.

Пособие может представлять интерес для студентов приборостроительных и оптотехнических направлений подготовки, а также для инженеров и научных работников.

Печатается по решению Редакционно-издательского совета СГГА

УДК 53.08

© ГОУ ВПО «Сибирская государственная ISBN 978-5-87693-284-6 геодезическая академия» (СГГА), 2008

СОДЕРЖАНИЕ Введение Измерения в технике и при научных исследованиях ..................... 5 1. Методы экспериментальных исследований .............................................. 6

1.1. Изучение объектов по их моделям и теория подобия........................ 6 1.2. Измерения при помощи аналогий. Аналогия между разными

потенциальными полями ...................................................................... 8 1.3. Классические измерительные системы ............................................... 9

2. Погрешности при измерениях .................................................................. 11 3. Элементы теории размерностей ............................................................... 16

3.1. Размерности физических величин ..................................................... 16

3.2. Размерные и безразмерные величины ............................................... 17

3.3. Метод анализа размерностей ............................................................. 17 4. Стабильность – условие точности измерений ........................................ 19

4.1. Элементы современной физической картины мира. Изменчивость окружающего мира ............................................................................. 19

4.1.1. Пространство и время .................................................................. 19 4.1.2. Структура пространства ............................................................... 20 4.1.3. Элементы эволюции Вселенной .................................................. 21

4.1.4. Атомистическое строение материи.Элементарные частицы .... 22 4.1.5. Типы взаимодействий в природе ................................................. 23

4.1.6. Представление о полевой форме материи .................................. 24

4.1.7. Корпускулярно-волновой дуализм вещества. Вероятностное понимание микромира .................................................................. 25

4.1.8. Квантование физических величин .............................................. 26

4.1.9. Фундаментальные физические постоянные .............................. 28

4.1.10. Стабильность фундаментальных физических констант ........... 29 4.2. Адиабатические инварианты ............................................................. 29

5. Естественные пределы точности измерений .......................................... 32

5.1. Возможности органов чувств человека ............................................. 32

5.2. Фундаментальные источники погрешностей измерения ................ 33 5.2.1. Введение......................................................................................... 33

5.2.2. Самодвижение материи – фундаментальный источник погрешностей измерений ............................................................. 33

5.2.3. Необратимость и инертность процессов в природе .................. 34 5.2.4. Явления переноса в термодинамических неравновесных

системах ......................................................................................... 34

5.2.5. Флуктуации .................................................................................... 36

5.3. Принципиальная невозможность полного устранения неопределенности результатов измерения ....................................... 46

5.3.1. Изменение состояния объекта под действием средства измерения ....................................................................................... 46

5.3.2. Принцип неопределенности ........................................................ 47 5.3.3. Принцип дополнительности ........................................................ 48

6. Проблема передачи стабильности объектов микромира

макроскопическим объектам измерительных приборов и систем ....... 50 7. Физические принципы создания современной эталонной базы ........... 51

7.1. Понятие о теории сверхпроводимости .............................................. 51

7.2. Эффект Джозефсона и эталон напряжения ...................................... 53

7.3. Квантование магнитного потока ........................................................ 53 7.4. Квантовый эффект Холла ................................................................... 56 7.5. Эффект Ааронова – Бома .................................................................... 59 7.6. Магнитные резонансы ........................................................................ 61 7.7. Эффект зеемана ................................................................................... 64

7.8.Equation Chapter 1 Section 1 Эффект Мёссбауэра (резонансное поглощение γ -излучения) 67

7.9. Стабильность частоты лазерного излучения .................................... 70

7.9.1. Лазерные измерения длин ............................................................ 70 7.9.2. Обеспечение стабильности частоты лазерного излучения ....... 72

7.10. Цезиевый эталон частоты ................................................................... 75 Заключение ......................................................................................................... 78

Библиографический список рекомендуемых источников ............................. 79

ВВЕДЕНИЕ. ИЗМЕРЕНИЯ В ТЕХНИКЕ И ПРИ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

В основе получения точных знаний об окружающем мире лежат наблюдение природных и других явлений и проведение количественных измерений. Каждое измерение проводится в виде эксперимента.

Свойства физических объектов и процессов, которые можно измерить, называют физическими величинами.

Измерение физической величины сводится к экспериментальному сравнению её с другой однородной величиной, точно определенной и условно принятой за единицу при измерениях всех таких же величин.

Измерения принято делить на прямые и косвенные. Прямые измерения можно проделать путем непосредственного сравнения

измеряемых величин с единицей измерения, например, измерение длины путем сравнения её с единицей длины – метром, отложенным на эталоне (градуированной линейке); измерение массы путем сравнения её на весах с единицами массы (разновесами).

При косвенных измерениях результат получается путем комбинирования прямых измерений, например, измерение расстояния между атомами в кристалле можно выполнить, измеряя параметры полученной дифракционной картины рассеяния рентгеновских лучей. Косвенные измерения являются спецификой современных исследований, особенно при изучении микромира. Для косвенных измерений характерно то, что мы измеряем одно, а хотим получить сведения о совершенно другом. Так, при измерении расстояния между атомами измеряют фактически расстояние между следами на фотографической пластинке, полученными при действии на неё дифрагировавших на кристалле рентгеновских лучей.

Использование косвенных измерений является неизбежным и отражает тот факт, что органы чувств человека ограничены по своим возможностям. В процессе развития цивилизации человек создал разнообразные приборы, с помощью которых изучаемая особенность какого-либо объекта переводится в такие проявления, которые человек воспринимает с помощью органов чувств.

Возникает вопрос: как можно быть уверенным в правильности результатов, полученных при косвенных измерениях, если измерения не имеют непосредственного характера? Очевидно, необходимо располагать сведениями о связи параметров объекта с их проявлениями при эксперименте, т. е. иметь теорию процесса измерения, связывающую свойства объекта измерений и наблюдаемые проявления, основанную на физических знаниях; необходим предварительный качественно-теоретический анализ.

Далее, основываясь на известных теориях и результатах, необходимо выбрать способы и методы измерений, то есть провести планирование измерительного эксперимента.

1. МЕТОДЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Существует множество различных методов измерений физических величин. Из них необходимо выделить:

− измерения параметров объектов по их моделям; − изучение физических процессов по их аналогам; − измерения физических величин с помощью измерительных устройств

(классические измерения), чтобы получить численные значения нужной физической величины.

1.1. Изучение объектов по их моделям и теория подобия

Если непосредственное изучение физических явлений и процессов связано с большими трудностями, то измерения проводятся на уменьшенной или увеличенной масштабной модели исследуемого объекта. При этом необходимо быть уверенным, что модель явления или изучаемой системы подобна этому явлению или системе. Теория подобия и изучает условия подобия физических явлений, устанавливает критерии подобия различных физических явлений.

Физические явления, процессы или системы подобны, если они подчиняются одним и тем же физическим законам, и все физические величины, характеризующие один процесс, можно преобразовать в величины другого простым умножением на постоянные коэффициенты – коэффициенты подобия (или пропорциональности).

Наиболее простыми являются случаи подобия только длины l объекта и модели или времен t :

1 2l l= λ ; (1.1)

1 2t t= τ . (1.2) Первая формула относится к геометрическому подобию, вторая –

к временному подобию. При геометрическом подобии пропорциональны сходственные геометрические элементы модели и объекта.

Физическое подобие является обобщением геометрического (пространственного) подобия.

При физическом подобии двух систем поля (области) соответствующих (одноименных) физических величин систем подобны в пространстве и времени, то есть подобны пространственные картины распределения физических величин и подобны их изменения во времени. Примером физического подобия является кинематическое подобие, когда существует подобие полей скорости для двух рассматриваемых явлений, например, падение тела на Земле и на Луне; при динамическом подобии реализуется подобие систем действующих сил или силовых полей различной физической природы (сил тяжести, сил давления, сил вязкости); механическое подобие (подобие двух потоков жидкости или газа, например, двух фонтанов разной мощности, и др.) предполагает наличие геометрического, кинематического и динамического подобий и т. д.

При механическом моделировании необходимым условием является подобие сил:

1 2F F= φ . (1.3) Все силы, приложенные к аналогичным точкам модели и оригинала,

подчиняются этому соотношению. При движении тела подчиняются

ньютоновскому уравнению движения 2

2d l

F mdt

= , где m – масса. В общем

случае массы модели и оригинала не равны, относятся друг к другу как

1

2

m

m=µ , (1.4)

где µ – коэффициент подобия масс. Используя приведенные уравнения, можно найти ньютоновский закон

подобия. Для геометрически подобных тел с плотностями 1ρ и 2ρ этот закон имеет форму:

41

22

= =ρ λφρ τ

. (1.5)

Количественное условие подобия заключается в попарном равенстве друг другу критериев подобия, описывающих эти процессы.

Критерий подобия – это математическое выражение в виде безразмерной комбинации определяющих (важнейших) параметров процесса. Для разных физических явлений эти критерии разные.

Рассмотрим, например, движение тела в несжимаемой вязкой жидкости (движение самолета, подводной лодки) и возможность изучения движения тела с помощью его модели. Экспериментально было установлено, что характер обтекания тела жидкостью зависит, в основном, от характерного размера тела l (м), скорости тела V (м/с), кинематического коэффициента вязкости ν (м2/с). Видим, что размерность вязкости выражается через размерности размера и скорости тела, т. е. из трёх размерностей определяющих параметров лишь две независимы. В случае двух независимых величин можно составить лишь один безразмерный критерий подобия – число Рейнольдса /Re Vl= ν .

Если мы хотим с помощью уменьшенной модели изучать движение самолёта, обтекание его газом, сопротивление движению или подъемную силу, необходимо, чтобы значения критерия подобия (числа Рейнольдса) для самолёта и для модели были равны друг другу. Причина такого требования в том, что определенному характеру течения жидкости соответствует определенное значение числа Рейнольдса. При малых значениях числа (Re ≤ 1 000) наблюдается ламинарное течение, при Re ≥ 2 300 – турбулентное.

Если критерии подобия для модели и для натурного объекта равны, движения среды вблизи модели и вблизи натурного объекта будут подобны и к параметрам модели от параметров объекта можно перейти масштабным пересчетом, т. е. с помощью коэффициента подобия (пропорциональности). При этом физические параметры, входящие в критерии подобия, могут иметь для модели и объекта существенно различающиеся значения.

Для механического динамического модельного эксперимента справедлив критерий подобия, который называют числом Ньютона Ne:

2

2Ft Fl

Neml mV

= = . (1.6)

Здесь l – перемещение тел. Теория подобия – основа для правильной постановки экспериментов и

обработки их результатов.

1.2. Измерения при помощи аналогий. Аналогия между разными потенциальными полями

При изучении физических процессов с использованием моделей физические явления в натурном процессе и при моделировании одни и те же. Однако, возможно проведение измерений путем сравнения физических явлений разной природы. Физические явления, которые имеют разную природу, но описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями (при соответствующих начальных и граничных условиях), называют аналоговыми. Аналогия между физическими явлениями различного типа позволяет изучать сложные физические системы и явления в них с помощью других явлений, более удобных для экспериментатора. Характерный пример – аналогия между потенциальными электрическими полями в диэлектрике и потенциальными электрическими полями в проводящей среде; другой пример – аналогия между процессами переноса (теплопроводностью, диффузией, переносом зарядов).

Пространственные распределения основных физических величин в таких полях подобны, хотя природа этих величин различна. Подтвердим это, рассмотрев распределение электрического поля в диэлектрической среде и поля в проводящей среде при одинаковой конфигурации электродов, создающих поля.

Если в проводящей среде создать с помощью электродов, на которые поданы электрические потенциалы, электрическое поле E , то в среде потечет электрический ток с плотностью j E= γ (закон Ома в дифференциальной форме). Здесь γ – проводимость среды. Распределение поля в среде можно представить в виде картины силовых линий напряженности поля. Из формулы видно, что векторы j и E имеют одинаковое направление и по величине отличаются постоянным коэффициентом γ . Это значит, что распределение электрического тока в среде повторяет распределение поля, Картины распределения поля и тока пространственно подобны друг другу, даже совпадают; это подобие не зависит от значения γ вплоть до ее очень малых величин, соответствующих диэлектрику.

Можно сделать вывод, что и картины распределения электрических полей в диэлектрике и проводящей среде подобны, и мы можем изучать распределение поля в диэлектрической среде, что сделать непосредственно технически сложно, по распределению электрического поля в проводящей

среде. Необходимо только окоторые подаются электрические

На рассмотренной аналогииванны».

В ванну с проводящейподобные электродам изучаемподают электрические напряженияэлектрических потенциаловкартину электрического поляэлектростатики положениемповерхностей и линий напряженности

1.3. Классические измерительные

При любых методахизмерение численных значенийизмерений обычно используютвместе образуют измерительное

Рис. 1.1. Блок

Измеряемая величина поступаетназначение которого – преобразованиеможет быть самой различнойэлектрический её аналог, такизмерительной системе вподвергаясь воздействию физическойвходной сигнал, выдает эквивалентный

( ).S F m= Отношение приращения

величины m называется чувствительностью

.S

Sm

=

Преобразование проводитсявеличины с единицей измерения

Необходимо только обеспечить геометрическое подобиеподаются электрические потенциалы. рассмотренной аналогии полей основан метод «электролитической

проводящей жидкостью помещают электродыэлектродам изучаемого технического устройстваэлектрические напряжения и изучают картину

потенциалов в жидкости; по этой картине восстанавливаютэлектрического поля между электродами, руководствуясь

положением о перпендикулярности эквипотенциальныхлиний напряженности электрического поля.

Классические измерительные системы

методах экспериментальных исследованийчисленных значений физической величины. Дляобычно используют приборы и передаточные элементы

измерительное устройство (рис. 1.1).

1. Блок-схема измерительного устройства

величина поступает на вход измерительного преобразопреобразование измеряемой величины, природа

самой различной – механической, химической, электрическойаналог, так как электрический сигнал удобнеесистеме в дальнейшем. Измерительный преобразователь

воздействию физической измеряемой величины mвыдает эквивалентный ему выходной сигнал S

приращения выходного сигнала S к приращениюназывается чувствительностью S преобразователя

(1.7)

Преобразование проводится с одновременным сравнениемединицей измерения с помощью эталона единицы

геометрическое подобие электродов, на

метод «электролитической

электроды, геометрически устройства. На электроды картину распределения картине восстанавливают

руководствуясь известным из перпендикулярности эквипотенциальных

исследований необходимо величины. Для проведения

передаточные элементы, которые

устройства

измерительного преобразователя, величины, природа которой

химической, электрической – в сигнал удобнее использовать в

Измерительный преобразователь, m, то есть, получая S:

к приращению измеряемой преобразователя:

сравнением измеряемой эталона единицы измерения,

который может быть заложен в конструкцию самого преобразователя (например, в стрелочном приборе эталоном является шкала прибора), или быть в виде отдельного блока. Далее электрический сигнал усиливается в усилителе и может быть преобразован в форму, удобную для передачи с помощью передающей линии в устройство вывода информации, которое может представлять собой показывающее цифровое табло, монитор, стрелочный прибор и др.

Функциональное назначение измерительной системы – проведение измерения путем сравнения измеряемой величины с единицей измерения и представление полученной информации пользователю в удобном виде.

Примерами таких измерений являются измерение температуры объекта, силы тока в проводнике, скорости потока, массы тела и т. д.

2. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ

Результатом того, что измерения физических величин принципиально не могут быть абсолютно точными, при каждом отдельном измерении одной и той же физической величины получаются разные значения. Получение того или иного значения величины происходит случайно, но имеет место в некотором предпочтительном интервале значений.

Погрешность результата наблюдения или измерения есть отклонение результата измерения X физической величины от ее истинного значения гX .

Погрешность гd X X= − можно представлять или в единицах измеряемой

величины – получим абсолютную погрешность, или в долях от значения

измеряемой величины – получим относительную погрешность г

d

X=γ .

Погрешности бывают: − систематическими, возникающими вследствие особенностей

измерительного устройства; при повторных измерениях они обычно повторяются;

− случайными, значения которых могут меняться произвольным, случайным образом при повторениях измерений одной и той же физической величины. Случайные погрешности возникают, например, из-за неодинакового раз от раза считывания наблюдателем показаний по шкале измерительного прибора; из-за влияния окружающей среды (например, вследствие изменения температуры); при возникновении случайных сигналов, генерируемых самим измерительным прибором, например, шумов;

− промахами. Такие погрешности возникают в результате небрежности при измерениях и должны исключаться из результатов наблюдения.

Подробнее рассмотрим случайные погрешности. Оказывается, в случайном появлении значений при повторных измерениях

имеется своя закономерность, знание которой позволяет улучшить точность получаемого при измерениях результата.

Если многократно измерять одну и ту же физическую величину, то некоторые полученные значения появляются часто, другие – реже. Для выявления зависимости частоты появления некоторого значения измеряемой величины от самого значения измеряемой величины, строят график частотного распределения.

График зависимости обычно выполняют в виде гистограммы (рис. 2.1), где nm – количество значений величины X, попавших в интервал X∆ значений этой величины; N – общее число измерений. Форма гистограммы является проявлением как особенностей процесса измерений, обусловленных взаимодействием объекта и измерительного устройства в ходе измерения, так и особенностей метода измерения.

Рис. 2.1.

При обработке результатов1. Среднее арифметическое

измерения, деленная на количество

1

1.

N

mm

X XN =

= ∑

Среднее арифметическоевеличине гX .

2. Вероятность попаданияномером (m) при одном измеренииизмерений по интервалам.

Если при построении гистограммык бесконечности, то можноизмерения в интервал (m):

( ) lim .→∞

=∆m

mN

nP X

N XЕсли при этом интервал

гистограмма переходит в гладкуюодного измерения X в интервал

Функцию p(X) называют

1. Гистограмма для серии измерений

обработке результатов важными являются следующие понятияарифметическое значение X . Это сумма

деленная на количество измерений N:

(2.1)

арифметическое является наилучшим приближением

попадания измеряемого значения в интервалодном измерении и распределение этих вероятностей

построении гистограммы на рис. 2.1 устремить число

то можно найти вероятность попадания

( ) lim .∆m

N X (2.2)

этом интервал принять бесконечно малымпереходит в гладкую кривую, и вероятность попадания

в интервал dX равна ( )p X dX⋅ . называют плотностью вероятности.

следующие понятия: всех результатов

приближением к истинной

значения в интервал значений с этих вероятностей в серии

устремить число измерений попадания исхода одного

бесконечно малым 0X∆ → , то вероятность попадания исхода

Вероятность ( )mP X попадания результата измерения в интервал 1 2[ , ]X X

вычисляется как определенный интеграл по этому интервалу от плотности вероятности:

( ) ( )2

1

1 2 .X

XP X X X p X dX≤ ≤ = ∫ (2.3)

Необходимо учитывать условие нормировки:

( ) 1,p X dX∞

−∞=∫

которое означает, что вся площадь под кривой p(X) равна единице. Если сравнивать результаты нескольких серий измерений одной и той же

физической величины, то наиболее точное значение будет получено в той серии, в которой кривая распределения вероятностей будет самой узкой. Чем уже кривая распределения, тем меньше погрешность гd X X= − отдельного

измерения, отсюда вытекает необходимость характеризовать результат измерений не только средним значением X , но и шириной кривой распределения.

Для количественной оценки ширины кривой распределения используют среднее квадратическое отклонение измеренного значения от среднего арифметического (стандартное отклонение распределения).

3. Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) . Позволяет оценить точность измерений или разброс частотного распределения (частоты появления некоторого значения измеряемой величины):

2

1

1,

N

mm

dN =

= ∑σ (2.4)

где m md X X= − – разность между полученным значением и средним

арифметическим. Величину 2 называют дисперсией распределения. Из уравнения (2.4) видно, что стандартное отклонение от среднего,

полученное по N измерениям, в раз отличается от стандартного

отклонения отдельного измерения, то есть точность измерений растет с увеличением числа измерений.

Функция p(X) плотности вероятностей может иметь различный вид для различных случаев измерений.

В измерительной практике часто встречается равномерный закон распределения случайной погрешности (рис. 2.2, а).

σσ

σ

1

N

а) б)

Рис. 2.2. Законы распределения: а) равномерный; б) нормальный

Такое распределение характерно для погрешности, вызванной трением в стрелочных приборах. Значения погрешности от трения равномерно распределены в интервале значений /X σ от – до + .

Другим наиболее часто встречающимся законом распределения является нормальный закон распределения (рис. 2.2, б). Для такого закона характерно следующее:

а) чаще всего встречаются меньшие погрешности, а большие погрешности встречаются тем реже, чем они больше;

б) случайные погрешности, равные по величине, но разные по знаку, встречаются одинаково часто, то есть распределение погрешностей симметрично относительно центра распределения.

Нормальный закон распределения плотности вероятностей записывается в виде функции:

( )2

221.

2

d

p X e−

= σσ π

(2.5)

Величину вероятности P, выраженную в процентах, называют также статистической достоверностью (а также доверительной вероятностью).

Результат измерений может быть представлен в виде:

гX X= ± σ (вероятность Р = 68,3 %),

2гX X= ± σ (вероятность Р = 95,5 %),

3гX X= ± σ (вероятность Р = 99,7 %).

Здесь σ , 2σ , 3σ выражают собой заданный интервал измеренных значений величины X. Приведенные результаты справедливы при достаточно большом значении числа измерений N. При малом числе измерений необходимо

a a

вводить поправки, называемыепренебрегаем с целью упрощения

Указанная запись результатафизической величины находитсяуказанными в записи отклонениями«наверняка», а с некоторой вероятностью

На рис. 2.3 отмечены штриховкойраспределения плотности вероятностей

Рис. 2.3. Интервалы

называемые коэффициентами Стьюдента, которымицелью упрощения изложения. запись результата означает, что истинное значениевеличины находится в диапазоне значенийзаписи отклонениями от среднего арифметическогонекоторой вероятностью. отмечены штриховкой области и плотности вероятностей.

и распределения

σ± 2σ±

0x x xσ σ− ≤ ≤ + 0 02 2x x xσ σ− ≤ ≤ +

Стьюдента, которыми мы здесь

истинное значение измеряемой значений, ограниченном арифметического, но не

для нормального

нормального 2 2σ σ− ≤ ≤ +

3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ

3.1. Размерности физических величин

Все величины в физике характеризуются числами, которым приписывают определенный смысл, или размерность. Например, расстояние между предметами составляет 100 м. Бессмысленно написать число 100, не указав, к чему оно относится. Сравнивать между собой можно только числа, отражающие одинаковые физические величины, имеющие одинаковую размерность, например, длину с длиной и т. д. Физические величины связаны математическими уравнениями. Среди множества физических величин можно выделить несколько независимых величин, которые называют основными, их выбор определен соображениями удобства и узаконен международными соглашениями. Размерность показывает, как связана данная величина с основными физическими величинами.

Большое число различных физических понятий и величин приводит к большому разнообразию размерностей.

Среди размерностей различают основные и производные. Существует несколько различных систем единиц измерения,

отличающихся выбором основных физических величин. Основной сейчас считается система СИ (система интернациональная), в которой основными физическими величинами и их размерностями считаются следующие: длина (метр), время (секунда), масса (кг), сила электрического тока (ампер), термодинамическая температура (кельвин), количество вещества (моль) и сила света (кандела).

Примерами производных размерностей являются размерности скорости, ускорения, силы, энергии и др.

Для скорости: [ ]

[ ] .[ ]

= =L длинаV

T время (3.1)

Для ускорения:

2

[ ][ ] .

[ ]= = =

⋅L скорость длина

aвремя время времяT

(3.2)

Для силы на основании второго закона Ньютона: 2[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] /[ ] .= ⋅ = ⋅F M a M L T (3.3)

При записи равенства необходимым является одинаковость размерностей в его правой и левой частях. Чтобы выполнить это требование, иногда приходится вводить коэффициенты размерности.

Ниже представим правило, позволяющее определить, как изменяется численное значение физической величины при переходе от основных единиц измерения к производным единицам, отличающихся масштабом, или наоборот:

Необходимо вместо заменяемой единицы измерения записать её значение в желаемых единицах измерения.

Рассмотрим в качестве примера перевод измеряемой величины ускорения в систему единиц, где длина измеряется в метрах, время – в секундах из системы, где длина и время измеряются в километрах и минутах:

32

2 210 10

1 1 / .36(60 )

км мa м с

мин с= = =

3.2. Размерные и безразмерные величины

Величины, численное значение которых зависит от выбранной единицы измерения, называются размерными, или именованными.

Величины, численное значение которых не зависит от величин, принятых при измерениях единиц измерения, называются безразмерными, или отвлеченными.

Размерные – длина, время, сила, энергия, масса и др. Безразмерные – отношение двух длин, углы, отношение квадрата длины к

площади и др. Однако разделение величин на размерные и безразмерные до некоторой

степени условное, так как зависит от выбора единиц измерения. Например, ускорение обычно рассматривается как размерная величина, размерность которой есть длина, деленная на квадрат времени. Однако, ускорение можно определять отношением его величины к ускорению свободного падения g. Это отношение называется перегрузкой, оно не меняется с изменением выбора единиц измерения длины (сантиметр, километр, вместо метра) или времени (час, сутки вместо секунд). Следовательно, перегрузка является величиной безразмерной.

3.3. Метод анализа размерностей

Метод используется для установления связи между физическими величинами, важными для изучаемого физического явления, основан на рассмотрении размерностей единиц этих величин.

Устанавливаемая связь выражается в виде уравнения, в которое входят некоторые физические величины. Если искомое уравнение верное, то размерности левой и правой его частей должны совпадать. Неравенство размерностей левой и правой частей уравнения может означать, что не учтена какая-либо физическая величина, существенная для данного уравнения, или должна присутствовать какая-либо размерная константа. Для примера выведем, используя метод анализа размерностей, уравнение для периода τ колебаний математического маятника.

Основные параметры маятника – длина l и масса m; маятник колеблется в поле тяготения Земли, т. е. значение ускорения движения маятника равно ускорению свободного падения g.

Связь между величинами можно предварительно записать в виде уравнения:

.x y zl m g= ⋅ ⋅τ (3.4)

Учитывая размерности входящих в уравнение физических величин, получим:

2.

zx y L

T L MT

= ⋅ ⋅

(3.5)

Составим уравнения для показателей степеней размерностей: − для времени – T : 1 = –2z; − для длины – L : 0 = x + z; − для массы – М : 0 = y. Получим: z = – 21 ; x = 21 ; y = 0. Подставим полученные результаты в уравнение для τ

1/2 0 1/2 .l

l m gg

−= ⋅ ⋅ =τ (3.6)

Из физики известно уравнение периода колебаний математического маятника:

2 .= l

gτ π (3.7)

Видим, что полученное методом анализа размерностей выражение (3.6) совпадает с известным с точностью до постоянного множителя.

4. СТАБИЛЬНОСТЬ – УСЛОВИЕ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Достоверность и точность результатов измерения могут быть достигнуты только при условии неизменности и стабильности как измеряемой величины, так и всех элементов измерительной системы и, в особенности, эталонов измеряемой величины. Однако окружающий нас мир устроен таким образом, что все его элементы находятся под влиянием постоянно изменяющихся условий.

4.1. Элементы современной физической картины мира. Изменчивость окружающего мира

Окружающий нас мир, частью которого является измерительная система, не является застывшим и стабильным, находится в состоянии постоянного изменения.

Рассмотрим современные физические представления о мире, в котором мы живем.

4.1.1. Пространство и время

Всё, что существует во Вселенной, живое и неживое, имеет пространственно-временное измерение. Пространство и время – формы существования материи, связаны с её движением и друг с другом, количественно и качественно бесконечны.

В обыденной жизни под пространством понимают некую протяженную пустоту, в которой могут находится какие-либо предметы.

Однако современная наука пространство рассматривает не как вместилище материи, а как физическую сущность, обладающую конкретными свойствами и структурой.

В физике пространство определяется как система отношений, отображающая координацию (взаиморасположение) сосуществующих материальных объектов (расстояния, ориентацию и т. д.); время – система отношений, отображающая координацию сменяющих друг друга состояний или явлений (последовательность, длительность и т. д.).

В соответствии с представлениями классической, ньютоновой физики, время и пространство являются абсолютными, однородными и изотропными. Законы Ньютона связаны со свойствами пространства и времени. С однородностью времени оказался связан закон сохранения энергии. Так, если бы при движении тела по инерции длительность промежутков времени, за которые тело проходит одинаковые расстояния, была различной (это наблюдалось бы при неоднородности времени), то нарушался бы закон

сохранения кинетической энергии 2

2

mυ (без видимых воздействий изменялась

скорость движения υ ). С однородностью пространства связан закон сохранения импульса, с изотропией – закон сохранения момента импульса.

В соответствии с теорией относительности Эйнштейна, не имеет смысла раздельно рассматривать пространство и время; для описания события всегда

надо использовать четыре числа: три – для указания положения в пространстве и одно – указание момента события. Свойства пространства – времени, т. е. расстояние между телами и временные промежутки между событиями, зависят от распределения тяготеющих масс и от скорости движения тел.

Время характеризуется направленностью и необратимостью. Для определения момента события достаточно указать только одно число на временной оси, так как все события происходят в определенной последовательности – от прошлого к будущему. И в этом отличие временной координаты от пространственной.

По теории Эйнштейна, для инерциальных систем, движущихся друг относительно друга с релятивистским скоростями, понятие одновременности не является абсолютным: промежуток времени между двумя событиями и расстояние между точками тела зависят от состояния движения системы отсчета.

Для координаты положения тела нет смысла говорить о ее направленности. Так, если вблизи наблюдателя одновременно происходят два события – слева и справа, и можно говорить о направлении «слева направо», то стоит развернуться, как левое событие станет правым, и направление «слева направо» изменится. Это значит, что понятия «левое» и «правое» – относительны. Понятия же «прошлое» и «будущее» – в данной точке пространства – абсолютны. Направленность времени тесно связана с причинностью: причина должна предшествовать следствию.

4.1.2. Структура пространства

Древнегреческий математик Евклид предложил строгую систему теорем, которая сейчас называется евклидовой геометрией и изучается до сих пор в школьных курсах. В настоящее время считается, что многие положения Евклида таковы потому, что отражают физические свойства пространства. Например, постулат: любые две точки можно соединить одной и только одной прямой – означает, что две прямые не могут замкнуть между собой часть поверхности. Однако, если прямые проводятся на сферической поверхности, то между двумя точками можно провести две и более прямых линий, и они могут замкнуть часть поверхности. Можно увидеть, что приведенный постулат Евклида справедлив только для плоской поверхности. Современная наука считает, что мы живем в искривленном пространстве. Прямую нельзя представлять как траекторию светового луча, так как траектория оказывается искривленной. Сумма углов треугольника на сфере на самом деле больше 1800 (у Евклида в точности 1800), но радиус кривизны поверхности сферы в нашем мире настолько велик, что нам не обязательно считать пространство неевклидовым. Количественные соотношения, определяющие кривизну и степень неевклидовости пространства, заложены в общей теории относительности Эйнштейна. Кривизна пространства в данном месте определяется величиной и распределением тяготеющих масс.

В соответствии с общей теорией относительности, картина пространства – времени в космосе неимоверно сложна: материя во Вселенной сосредоточена

преимущественно в звездах и их скоплениях, которые распределены неравномерно и искривляют вблизи себя пространство – время, которое оказывается неоднородным и неизотропным. Однако, рассматривая Вселенную в целом, можно считать распределение галактик в ней равномерным, и мировое пространство – время однородным и изотропным, но, в отличие от представлений Ньютона, имеющим постоянную кривизну.

Важным является вопрос о количестве измерений пространства. Показано, что тот факт, что силы, действующие между тяготеющими или заряженными точечными телами, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними, обусловлен трехмерностью пространства. В пространстве с другим числом измерений Солнечная система была бы неустойчивой, планеты двигались бы по спиралям.

Рассмотренные представления считаются справедливыми при изучении явлений в «макромире», при расстояниях между объектами, соответствующих молекулярно-атомным явлениям (10 11− см) и большим. Сейчас существуют предположения о неприменимости самих понятий пространства и времени в физике микромира при расстояниях меньше некоторой граничной величины, где вообще нет ни пространства, ни времени.

4.1.3. Элементы эволюции Вселенной

Астрономические наблюдения звездного неба с помощью оптических телескопов и радиотелескопов фиксируют некоторые состояния звездных объектов – туманностей, галактик, звезд. В связи с конечным значением скорости света и разным удалением объектов от Земли мы одновременно наблюдаем звезды, испустившие свет как несколько лет, так и многие миллиарды лет тому назад, т. е. наблюдаем их в прошлом состоянии. Звездные объекты развиваются, и статичная картина неба, практически не изменившаяся за время существования человечества, несет информацию об эволюции Вселенной за миллиарды лет.

Сейчас считается установленным фактом, что вся наблюдаемая Вселенная расширяется, причем не существует одного центра, от которого галактики бы разбегались. Скорость V изменения расстояний между галактиками пропорциональна расстоянию r до них от наблюдателя:

,= ⋅V H r (4.1) где H = 50–100 км/(с ⋅Мпк) – постоянная Хаббла, (1 парсек (пк) = 3.26

светового года). «Разбегание» галактик приводит к тому, что спектр их излучения, дошедшего до нас, сдвинут в более длинноволновую область – это так называемое красное смещение. Это смещение тем больше, чем галактика дальше от нас, и по красному смещению и постоянной Хаббла оценивают расстояние до галактик и до края наблюдаемой Вселенной – Метагалактики.

В соответствии с теорией Эйнштейна, это явление является результатом расширения пространства, а не разлетом галактик в неизменном пространстве. Гипотеза расширения Вселенной приводит к мысли, что когда-то вся материя Вселенной находилась в одной точке, т. е. что история Вселенной имеет начало. Расчет показывает значение времени жизни Вселенной – 16 – 17 млрд. лет.

При расширении температура вещества уменьшается, поэтому считают, что в самом начале расширения плотность материи и её температура были очень большими.

Сейчас наиболее признанной считается модель «горячей Вселенной» Гамова, по которой современный мир произошел в результате «Большого взрыва». Имеются экспериментальные результаты, подтверждающие эту гипотезу. По законам термодинамики при высоких плотностях и температурах в разогретом веществе всегда должно находиться в равновесии с ним и излучение. По окончании процессов синтеза ядерных частиц, длившихся несколько минут после момента «начала» (или «взрыва»), излучение должно остаться, продолжить движение вместе с веществом в расширяющейся Вселенной и сохраниться до нашего времени, только его температура понизится из-за расширения. Это излучение («реликтовое» излучение) было обнаружено в 1978 г. с помощью радиотелескопа. На сантиметровых длинах волн температура реликтового излучения равна 2,7 К и примерно соответствует расчетам по модели «Большого взрыва».

Теория процессов, происходивших во время «Большого взрыва», находится в развитии. Она показывает, что к моменту t ≈ 0,01 с после взрыва вещество состояло, в основном, из протонов и нейтронов в равных пропорциях. Благодаря присутствию электронов, позитронов и других частиц происходили постоянные взаимные превращения протонов и нейтронов. При охлаждении за первые 10 с число протонов увеличилось за счет нейтронов, поскольку реакции с образованием протонов оказываются энергетически более выгодными. Число нейтронов уменьшилось до 15 % от первоначального значения.

По мере уменьшения температуры образовывались ядра атомов элементов. Приблизительно через 1 млн лет температура уменьшается до ≈ 3 000 К, начинается процесс образования протозвезд и протогалактик, постепенно формируется наблюдаемая в настоящее время Вселенная.

4.1.4. Атомистическое строение материи.Элементарные частицы

Вещество не распределено непрерывно в пространстве, а существует в виде отделенных друг от друга сгустков – кварков, ядерных частиц, атомов и т. д. Дискретный характер имеет также и распределение электрических зарядов.

По модели Бора, атом имеет плотное положительно заряженное ядро и расположенные вокруг него в виде облака электроны, каждый из которых является носителем одного элементарного отрицательного заряда. Атом вещества представляет собой исключительно стабильное образование, хотя и имеет сложную структуру; атомы сохраняются неизменными в течение времени существования Вселенной. Стабильность обусловлена значительной величиной сил взаимодействия между элементарными частицами, из которых атом состоит. Ядро атома состоит из протонов, носителей элементарного положительного заряда, и нейтронов. Эти частицы названы элементарными частицами, хотя и могут превращаться друг в друга.

В настоящее время в космических лучах и при экспериментах на ускорителях обнаружено множество видов частиц. Все частицы делятся на два

класса: фермионы, составляющие вещество, и бозоны, которые переносят взаимодействие. Фермионы, в свою очередь, делятся на два класса – лептоны (легкие) и кварки. Кварки входят в состав протонов, нейтронов; лептоны, к которым относятся и электроны, могут входить в состав атомов.

Взаимодействие между частицами обеспечивается несколькими типами бозонов. К ним относятся фотон, гравитон, глюоны. Фотон переносит электромагнитное взаимодействие, гравитон – силу тяготения, восемь глюонов переносят сильные ядерные взаимодействия.

Из всего множества элементарных частиц выделяют двенадцать фундаментальных частиц и столько же античастиц. Шесть фундаментальных частиц – это шесть различных видов кварков; остальные шесть – лептоны: электрон, мюон, тау-частица и три типа нейтрино.

Протон, как и нейтрон, состоит из трех разных кварков. Элементарные частицы могут взаимно превращаться, т. е. их нельзя считать «последними кирпичиками» мироздания.

4.1.5. Типы взаимодействий в природе

Взаимодействие частиц и тел на расстоянии не является магическим, мгновенным, оно имеет материальную природу.

В настоящее время известны четыре типа фундаментальных взаимодействий: гравитационные, слабые, электромагнитные и сильные. Каждый вид взаимодействий обеспечивается частицами – носителями взаимодействия.

Гравитационные силы пропорциональны произведению взаимодействующих масс и квадрату обратного расстояния между ними. Гравитация не очень существенна при взаимодействии между малыми частицами, но она удерживает планеты, всю Солнечную систему, галактики.

Величина силы гравитационного притяжения двух тел равна:

1 22

.⋅= ⋅гр

m mF G

r (4.2)

Здесь 1m и 2m – массы взаимодействующих тел; r – расстояние между центрами тел; G – фундаментальная постоянная, определяющая значение гравитационной силы, она одинакова в любом месте Вселенной.

Носителями гравитационного взаимодействия считаются гравитоны. Электромагнитное взаимодействие (электрические и магнитные силы)

обусловлено электрическими зарядами тел, их величиной, положением и движением. Для неподвижных точечных зарядов е сила их взаимодействия определяется законом Кулона:

1 22

0

,4

⋅=элe e

Frπε

(4.3)

где 0ε – электрическая постоянная, фундаментальная константа; 1e и 2e –

заряды тел.

Носителями электрического заряда являются элементарные частицы: электроны и протоны. Заряд тела определяется количеством содержащихся в нем частиц – носителей заряда. Численные величины зарядов протона и электрона одинаковы: это фундаментальная константа, равная 1,6 × 10-19 Кл.

Магнитные силы порождаются электрическими токами – движением электрических зарядов.

Электромагнитное взаимодействие определяет характер таких явлений, как свет, рентгеновское излучение, определяет структуру и поведение атомов, отвечает за связь атомов внутри молекулы и связь между молекулами, т. е. определяет прочность тел, их химические свойства.

Носителями электромагнитного взаимодействия являются фотоны. Гравитация и электромагнетизм – дальнодействующие силы,

распространяющиеся на всю Вселенную. Электрические силы в природе больше гравитационных на много порядков величин.

Сильные и слабые взаимодействия – короткодействующие и проявляются только на расстояниях, сравнимых с размерами ядра.

Слабое взаимодействие ответственно за многие ядерные процессы, такие, как превращение нейтронов в протоны, и сильнее сказывается на превращениях частиц. Слабое взаимодействие характеризуется универсальной постоянной связи g(w), определяющей скорость протекания процессов типа распада нейтрона.

Сильное ядерное взаимодействие препятствует распаду ядер, действует между частицами ядра атома. Внутри ядра между положительно заряженными протонами существуют силы электрического отталкивания, и не будь сильного ядерного взаимодействия, ядра бы распались. С этим типом взаимодействия связана энергия, выделяемая Солнцем и звездами в виде энергии излучения и при взрывах атомных бомб. Сила сильного взаимодействия резко спадает при расстояниях более 10-15 м.

Перечисленные типы взаимодействий имеют разную физическую природу.

4.1.6. Представление о полевой форме материи

Одновременно с концепцией о взаимодействии материальных частиц друг с другом на расстоянии за счет особых частиц, переносящих взаимодействие, в физике существует альтернативное представление о взаимодействии материальных тел на расстоянии за счет существования физических полей.

Тела действуют друг на друга с некоторой силой, сообщают друг другу при взаимодействии энергию, при этом материальные тела (обладающие массой) создают в окружающем пространстве гравитационное поле, электрически заряженные тела – электромагнитное поле. Поля распространяются со скоростью света, и только при достижении полем второго тела происходит действие первого тела на второе. Поле, распространяясь, существует независимо от источника поля.

Рассмотрим для примера гравитационное поле. Оно создается любым телом, имеющим массу. Напряженность гравитационного поля в некоторой точке пространства, создаваемая телом с массой М, находящимся в другой

точке, определяется как сила, действующая на помещенную в первую точку единичную массу. Используя уравнение (4.3), можно найти:

2

.= =грF Mg G

m r (4.4)

Здесь грF – сила, действующая на пробную массу m.

Сила, действуя на тело, ускоряет его. В соответствии со вторым законом Ньютона, ускорение тела массой m под действием силы грF равно

.= грFa

m (4.5)

Сравнивая уравнения (4.4) и (4.5), видим, что ускорение тела и напряженность гравитационного поля равны между собой: =a g.

Картину гравитационного поля характеризуют линиями напряженности – силовыми линиями. Для сферического тела силовые линии представляют собой радиально расходящиеся от тела прямые.

Тело массой m, находясь в гравитационном поле тела с массой М, обладает гравитационной потенциальной энергией:

,⋅ ⋅= −гр

G M mW

r (4.6)

где r – расстояние между центрами тел.

4.1.7. Корпускулярно-волновой дуализм вещества. Вероятностное понимание микромира

Свет, как экспериментально установлено, обладает как свойствами волны, т. е. характеристиками физического поля, так и свойствами частицы, является потоком фотонов. Фотон, как частица, обладает импульсом /=p E c и энергией

= ⋅E h ν , а как волна – характеризуется частотой ν и длиной волны λ . Длина волны (характеристика волновых свойств) и импульс (характеристика частицы) связаны функцией:

.= h

pλ (4.7)

Аналогичные двойственные свойства выявлены и у частиц вещества. Любой частице, имеющей определенную массу и скорость, соответствует своя длина волны:

,= =⋅h h

m V pλ (4.8)

где h – постоянная Планка. Эти волны назвали волнами де Бройля. Волновые свойства частиц позволяют в их потоках наблюдать

дифракционную картину в виде максимумов и минимумов интенсивности волн де Бройля.

Вначале считали, что волновым свойствам частиц соответствует некое реальное физическое поле, подобное электромагнитному полю в световой волне. Из этого должно было следовать, что одна частица способна, как волна, дифрагировать на щели и давать на экране дифракционную картину. Однако в эксперименте одна частица давала на экране всегда только одно пятнышко. Дифракционную картину дает только множество прошедших через щель частиц. Картина имеет статистический характер, а попадание частицы в некоторое место картины – случайное, вероятностное. Отсюда следует, что волна де Бройля не является физической волной, например, волной материи, а волновая функция не отражает природу какого-либо физического поля, а показывает вероятность нахождения частицы в некоторой точке пространства в данный момент. Для вычисления этой вероятности была введена волновая функция Ψ, которая изменяется по волновому закону, как световая волна в оптике. Сама вероятность W пропорциональна квадрату модуля волновой функции

( )2~ , , , .W x y z tΨ (4.9)

Не следует забывать, что указанная вероятность является параметром состояния частицы; значение параметра – результат взаимодействия частицы с окружающим миром.

Законы микромира имеют вероятностный характер.

4.1.8. Квантование физических величин

Шредингер сформулировал уравнение, позволяющее вычислять волновую функцию Ψ частиц, находящихся в силовых полях. Это основное уравнение квантовой механики для стационарных силовых полей (стационарных состояний). Уравнение Шредингера имеет вид:

( )22

0.∆ + − =mE Uψ ψ

h

(4.10)

Здесь т – масса частицы; Е – полная энергия частицы; U – ее потенциальная энергия; функция ψ является не меняющейся во времени частью волновой функции Ψ:

( ) ( ), , , , , .

− = ⋅

Ei t

x y z t x y z eΨ ψ h (4.11)

Как видим, волновая функция содержит также сомножитель

−

Ei t

e h , представляющий собой периодическую функцию времени. Уравнение Шредингера не выводится, а постулируется; оно подтверждено согласием с экспериментом, что придает ему характер закона природы.

Это уравнение справедливо для любой частицы, двигающейся с нерелятивистской скоростью.

Рассмотрим с помощью уравнения Шредингера для стационарных состояний поведение линейного гармонического осциллятора. Такой

осциллятор – система, в которойдвижение под действием квазиупругойпроцессов, происходящих придвижений частиц в атомах вещества

Потенциальная энергия гармонического2 20

1,

2=U m xω (4.12)

где 0ω – собственная частота

х – отклонение частицы от положенияпараболы (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Потенциальная

Подставим (4.12) вгармонического осциллятораквантовым осциллятором:

2

2 22 ∂ + − = ∂

m xmE

x

Ψh

Это уравнение решаетсяэнергии:

01

,2

= +

nE n ωh

которые называются собственнымиФормула (4.14) показывает

иметь только дискретные значенияМинимальная энергия

называется энергией нулевых

01

.2

=минE ωh (4.15)

В соответствии с классическимиколебаний должна быть равна

система в которой материальная точка совершаетдействием квазиупругой силы. Осциллятор является

происходящих при колебании атомов в кристаллическомв атомах вещества и т. д.

Потенциальная энергия гармонического осциллятора равна

(4.12)

собственная частота колебаний осциллятора; т

частицы от положения равновесия. Зависимость

Потенциальная энергия линейного осциллятора

в (4.10), получим уравнение Шредингераосциллятора, который в квантовой механике

осциллятором: 2 20 0.2

+ − =

m xω ψ (4.13)

уравнение решается только при следующих значениях

(4.14)

собственными. показывает, что энергия квантового осциллятора

значения, т. е. квантуется. Минимальная энергия квантового осциллятора не равна

нулевых колебаний

(4.15)

с классическими представлениями, минимальнаядолжна быть равна нулю, однако эксперименты по рассеянию

точка совершает одномерное Осциллятор является моделью кристаллическом веществе,

осциллятора равна

т – масса частицы;

Зависимость (4.12) имеет вид

линейного осциллятора

уравнение Шредингера для овой механике называется

следующих значениях полной

квантового осциллятора может

осциллятора не равна нулю – она

минимальная энергия эксперименты по рассеянию света

на атомах подтверждают наличие колебаний даже при понижении температуры до значений, близких к абсолютному нулю.

Используя уравнение Шредингера, можно показать, что полная энергия электрона в атоме также квантуется, и спектр энергий атома состоит из дискретных энергетических уровней. Квантуются и другие физические величины атома: момент импульса электрона, ориентация вектора момента импульса в пространстве, собственный механический момент импульса электрона (спин) – и др.

Дискретные значения, которые имеют физические величины, относящиеся к атомам и атомным частицам, являются практически неизменными, не меняющимися самопроизвольно во времени. Изменения их могут происходить только при внешнем воздействии на частицы; при этом значение величины, например, энергии частицы, переходит на другой уровень скачком. Величина такого скачка – значение кванта – также является практически неизменным. В основе наиболее точных измерений различных параметров сред, устройств, процессов лежит сравнение измеряемых величин со значениями квантов, как с эталонными значениями.

4.1.9. Фундаментальные физические постоянные

Фундаментальными физическими постоянными являются константы, дающие информацию о наиболее общих, основополагающих свойствах материи.

В настоящее время к фундаментальным постоянным относят следующие.

Гравитационная постоянная G = 11 2 26.67 10 Н м / кг−⋅ ⋅ : количественная характеристика универсального, присущего всем объектам Вселенной взаимодействия – тяготения.

Скорость света с = 83 10 м / с⋅ : максимально возможная скорость распространения любых взаимодействий в природе.

Элементарный заряд е 191,6 10 Кл−= ⋅ : минимально возможное значение электрического заряда, существующего в природе в свободном состоянии.

Постоянная Планка h = 6,63 3410 Дж с−⋅ ⋅ : определяет минимальное изменение физической величины, называемой действием, и играет фундаментальную роль в физике микромира.

Масса покоя электрона me = 319,1 10 кг−⋅ : характеристика инерционных свойств легчайшей стабильной заряженной элементарной частицы.

Кроме электронов, основными структурными элементами вещества Вселенной являются протоны и нейтроны, поэтому их характеристики – массы покоя mp и mn, магнитные моменты µp и µn, время жизни нейтрона nτ

≈103 с, также считаются фундаментальными физическими постоянными. Постоянная Хаббла Н = 50 100км /(с Мпк)− ⋅ : характеристика всей

Вселенной, скорости её расширения.

Постоянная Авогадро NA = 23 16,02 10 моль−⋅ : число структурных элементов (атомов, молекул, ионов) в единице количества вещества – в моле, характеризует структуризацию вещества, его дискретную атомную структуру.

Постоянная Больцмана k = 231,38 10 Дж / K−⋅ : связывает макрохарактеристику системы частиц – её температуру Т – с микрохарактеристикой движения составляющих её микрочастиц – их средней кинетической энергией Е. Так, средняя кинетическая энергия движения

частицы, приходящаяся на одну степень свободы, 1

=2iE kT.

Константы сильного αs и слабого αw взаимодействий: характеризуют взаимодействие микрочастиц.

Фундаментальные постоянные не выводятся из физических теорий, а определяются исключительно путем эксперимента. Хотя делаются попытки их теоретического определения, положительного результата пока нет.

Эйнштейн считал, что в идеальной научной картине мира не должно быть произвольных постоянных, не определенных теоретически.

4.1.10. Стабильность фундаментальных физических констант

Имеется громадное число экспериментальных фактов, свидетельствующих о неизменности фундаментальных физических постоянных во времени. Однако существуют предположения ряда ученых о пределах степени неизменности постоянных.

Так, в 1937 г. П. Дирак высказал гипотезу о том, что развитие и расширение Вселенной сопровождаются уменьшением гравитационной

постоянной G во времени. По расчетам, это уменьшение составляет 10~10− гравитационной постоянной за год. Гипотезу Дирака пока проверить прямыми измерениями невозможно, так как достигнутые точности измерений существенно ниже необходимых.

Проводятся экспериментальные исследования стабильности протона, масса которого принята за фундаментальную постоянную. Имеются данные,

что его время полураспада 3110>Pτ лет. Очевидно, что степень стабильности фундаментальных констант очень

велика. Можно сделать вывод, что наблюдаемые постоянные необратимые

изменения Вселенной происходят в рамках, определяемых значениями стабильных фундаментальных физических констант.

4.2. Адиабатические инварианты

Как показано выше, некоторые физические величины могут принимать только дискретные значения; такие величины называют квантованными. Эти величины остаются неизменными, когда воздействие изменяющихся условий нарастает медленно, а затем скачком изменяются. Такие величины называются адиабатически инвариантными.

Адиабатические инварианты – физические величины, остающиеся практически неизменными при медленном (адиабатическом), но не обязательно малом изменении внешних условий, в которых находится система, либо самих характеристик системы (внутреннее состояние, масса, электрический заряд и пр.). Отмеченное изменение должно происходить за времена τ , значительно превышающие характерные периоды движения системы (T).

Рассмотрим, например, систему в виде математического маятника, грузик которого подвешен на нити, перекинутой через блок.

В отсутствие внешних воздействий он совершает гармонические колебания, имея некоторую колебательную энергию и частоту колебаний. Если тянуть за перекинутый через блок конец нити, поднимая или опуская груз, то над маятником совершается внешняя работа, и его энергия и частота колебаний изменяются.

Если перемещение груза производить медленно, адиабатически, то энергия и частота колебаний изменяются, но существуют физические величины системы, которые остаются постоянными или приблизительно постоянными даже при значительных изменениях параметров исследуемой системы – из-за медленности изменений.

В случае математического маятника длина нити l и ускорение свободного падения g определяют энергию колебаний и круговую частоту колебания

маятника 2 /g lω = . Можно найти, что если значения g или l изменяются очень медленно и

монотонно, то, несмотря на изменения частоты ω , величины E T⋅ и /E ω остаются постоянными:

;

/ ,

E T const

E constω⋅ =

= (4.16)

где E – полная энергия колебаний маятника; Т – период его колебаний. Величины E T⋅ и /E ω для математического маятника являются

адиабатическими инвариантами. Это значит, что если, например, медленно укорачивать нить маятника, то период его колебаний медленно уменьшается от колебания к колебанию. Так как совершается работа внешних сил, одновременно возрастает энергия колебаний, причем таким образом, что произведение периода на энергию остается постоянным.

Если же изменение длины l произвести резко, с большой скоростью изменения, то инвариантность указанных выше произведений нарушится.

Если изменение длины адиабатическое, то при изменении длины на большую величину значение адиабатического инварианта, конечно, изменится, но скачком.

Введем обозначение / .E Jω = (4.17)

Для энергии можно записать

0 ,E J nJω ω= = (4.18)

где n – целое число; 0J – некоторое начальное значение величины J .

Вытекающий из (4.18) вывод – энергия математического маятника при адиабатическом изменении длины нити квантуется.

Можно видеть, что даже в условиях, когда на изучаемую систему оказывает влияние внешняя среда, т. е. система не замкнута, существуют неизменные во времени, стабильные ее параметры, однако обеспечение стабильности этих параметров требует адиабатического характера влияния среды.

Основная идея, которую иллюстрирует приведенный пример с математическим маятником, обладающим адиабатически инвариантными физическими величинами, заключается в следующем. Квантуемые физические величины, к которым относится ряд основных параметров микрочастиц – атомов, молекул, элементарных частиц, – обладают большей способностью «противостоять» воздействию изменений окружающей среды, то есть большей стабильностью.

5. ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ

5.1. Возможности органов чувств

Развитие техники измеренийустановки, что органы чувствиспользуются для целей измерениязрение может конкурировать

Человеческий глаз пооптические детекторы.

Так, чувствительностьнаблюдатель должен пробыть15 Дж/с (на длине волны, соответствующейглаза). Такая чувствительностьдолжны попасть на одно местовыход аналогичного по чувствительностичувствительность глаза соответствуетприборов.

Относительная спектральнаяу разных людей. Поэтому принятидеализированную кривую спектральнойнаблюдателя. Функция v(λ(рис. 5.1) нормирована в максимуме

Необходимо такженевооруженного глаза при наблюдениизрения, под которым можнозависит от структуры глазасоставляет примерно до объекта глаз в состоянии различить

d = α H 60 мкм. На рис. 5.2 показана схема

Рис. 5.1.

1 2,9 10α = = ⋅

≈

ЕСТЕСТВЕННЫЕ ПРЕДЕЛЫ ТОЧНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

Возможности органов чувств человека

техники измерений позволяет создать такиеорганы чувств человека: слух, обоняние, зрениедля целей измерения. Из всех возможностей человекаконкурировать с искусственными измерительными

Человеческий глаз по чувствительности превосходит многие

чувствительность глаза, адаптированного к темнотедолжен пробыть в темном помещении 30 мин), составляетдлине волны, соответствующей максимальной чувствительчувствительность соответствует примерно 5 квантамна одно место сетчатки глаза за одну миллисекунду

аналогичного по чувствительности фотокатода равенглаза соответствует чувствительности самых

носительная спектральная чувствительность глаза сильноПоэтому принят международный стандарт, который

идеализированную кривую спектральной чувствительности дляλ) спектральной чувствительности глаза

нормирована в максимуме на 1. также учитывать разрешающую

глаза при наблюдении мелких объектов. Наименьшийкоторым можно уверенно различать соседние точкиструктуры глаза, от размеров чувствительных клеток

рад. При расстоянии Нсостоянии различить объекты размером d:

показана схема хода лучей внутри глаза.

1. Спектральная чувствительность глаза

41 2,9 10−′= = ⋅

ИЗМЕРЕНИЙ

создать такие измерительные обоняние зрение – все меньше возможностей человека только измерительными устройствами. превосходит многие другие

адаптированного к темноте (для этого мин), составляет 2 10-

максимальной чувствительности квантам света, которые

миллисекунду; квантовый фотокатода равен 20 %; т. е.

чувствительности самых лучших

глаза сильно различается стандарт который определяет

чувствительности для усредненного чувствительности глаза на графике

разрешающую способность объектов. Наименьший угол соседние точки на объекте,

чувствительных клеток глаза, и Н = 20 см от глаза

чувствительность глаза

⋅

Рис. 5.2. Образование изображения глазом

Очевидно, что человек не в состоянии увидеть без использования оптических приборов такие объекты окружающего мира, как атомы и молекулы, клетки организмов, микробы и вирусы и т. д.

Для определения многих параметров окружающей среды у человека просто нет соответствующих органов чувств, например, для непосредственного обнаружения электрического и магнитного полей, гравитации и т. д.

5.2. Фундаментальные источники погрешностей измерения

5.2.1. Введение

Важнейшая особенность любых измерений – принципиальная невозможность получения результатов измерений, в точности равных истинному значению измеряемой величины, – является следствием невозможности абсолютного познания мира. Важнейшими, фундаментальными причинами указанной невозможности являются следующие:

− самопроизвольные изменения во времени и пространстве измеряемых величин, вызванные самодвижением материи;

− при прямых измерениях исследователь неизбежно изменяет измеряемый объект, воздействуя на него средствами измерения; это проявляется, в особенности, при измерениях параметров микрообъектов;

− вероятностный характер проявления ряда свойств микрочастиц (атомных и элементарных частиц).

5.2.2. Самодвижение материи – фундаментальный источник погрешностей измерений

Постоянные изменения окружающего мира, его «самодвижение», приводят к невозможности абсолютно точного измерения характеристик наблюдаемого объекта или области среды. Одна причина этого состоит в том, что для измерения требуется промежуток времени, но за этот промежуток объект несколько изменится, и в начале процесса измерения и в конце процесса измеряемая характеристика будет иметь разные значения.

Другая причина: измерения всегда захватывают некоторый объем пространства. Так как измерительное устройство не может быть бесконечно малым, самодвижение материи приводит к тому, что в пределах этого объема в разных его точках значение измеряемой характеристики также различно. Результатом измерения может быть только некоторое усредненное по

мерительному объему значение характеристики. Точно такого значения этой характеристики может и не быть ни в одной точке объема.

5.2.3. Необратимость и инертность процессов в природе

Характерной особенностью изменений окружающего мира является необратимость этих изменений.

Материальный мир является сложной системой взаимосвязанных материальных образований. Мир существует в постоянном развитии и изменчивости, которые можно описать как череду сменяющихся состояний этих материальных образований. Переход образований в новые состояния называется процессом. Реальные процессы, которые протекают самопроизвольно и только в одном определенном направлении, являются необратимыми. Необратимость процессов заключается в том, что систему нельзя вернуть в исходное состояние без того, чтобы в окружающей среде не осталось каких-либо изменений. Процессы в обособленной, замкнутой системе происходят всегда в сторону установления в ней состояния равновесия.

Примером может быть процесс выравнивания температуры между отдельными частями теплоизолированной системы, которое происходит самопроизвольно и в одном направлении – от горячих областей к холодным. Обратный переход тепла – от холодных областей к горячим – самопроизвольно не может происходить.

Сутью необратимого процесса является самопроизвольный направленный пространственный перенос вещества, энергии, импульса или заряда.

Ещё одной особенностью изменений в окружающем мире является тот факт, что если на тело или систему тел начинает оказываться воздействие со стороны других тел, например, сила, то изменение состояния первого тела (состояния покоя или движения) происходит постепенно, а не мгновенно – проявляется инертность тел и систем тел.

В принципе система может перейти в равновесное состояние через достаточно большой промежуток времени, если она полностью изолирована от окружающей среды, однако, в реальности равновесие не достижимо, так как системы всегда связаны с окружающим миром.

5.2.4. Явления переноса в термодинамических неравновесных системах

К явлениям переноса относятся: теплопроводность (перенос тепловой энергии), диффузия (перенос массы), внутреннее трение (перенос количества движения – импульса), электрический ток (перенос зарядов).

Теплопроводность. Если привести в соприкосновение холодное и нагретое тела или две области среды нагреть до разных температур, то в более нагретых телах средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в менее нагретых, и с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит выравнивание средних кинетических энергий молекул, то есть выравнивание температур.

Процесс передачи энергии в форме теплоты подчиняется закону теплопроводности Фурье: количество теплоты q, которое переносится за единицу времени через единицу площади, прямо пропорционально градиенту температуры:

(5.1)

где – градиент температуры в среде по направлению ; λ –

теплопроводность. Знак «минус» показывает, что энергия переносится в сторону убывания температуры.

Теплопроводность – свойство вещества, у различных веществ она разная. Из закона Фурье вытекает, что в реальных системах, процессы в которых

неравновесны, всегда сохраняется градиент температуры. Абсолютно точное измерение температуры в системе тел или одного тела невозможно, потому что температуры в разных точках тела различны.

Диффузия. Явление диффузии заключается в том, что происходит самопроизвольное взаимопроникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся газов, жидкостей, твердых тел; диффузия сводится к обмену тел своими частицами, возникает и продолжается вследствие существования градиента концентрации частиц данного вещества. В ходе диффузии имеет место диффузионный поток вещества из одной части системы в другую. Диффузионный поток – это количество частиц рассматриваемого типа, например, атомов, проходящих через единицу площади, перпендикулярную к градиенту, за единицу времени. Процесс диффузии подчиняется закону Фика: диффузионный поток пропорционален градиенту концентрации:

(5.2)

где Г – диффузионный поток частиц; – градиент концентрации частиц

в среде по направлению х; D – коэффициент диффузии. Знак «минус» означает, что частицы при диффузии перемещаются в сторону уменьшения концентрации n частиц в среде.

Из закона Фика вытекает, что в реальных системах установление однородного распределения концентрации частиц по системе невозможно, так

как по мере выравнивания концентраций (уменьшается ) уменьшается

диффузионный поток Г и процесс выравнивания концентраций замедляется. К тому же, системы не изолированы от внешней среды. Отсюда следует, что абсолютно точное измерение концентраций частиц в системе, например, точное определение химического состава вещества, является невозможным, так как не может быть равномерного распределения частиц в системе.

Аналогичное утверждение справедливо и для установления абсолютно равномерного распределения температуры тел и систем – такое распределение

,dT

qdx

= −λ

dT

dxx

,dn

Г Ddx

= −

dn

dx

dn

dx

невозможно, так как по мере приближения к равномерному распределению скорость выравнивания температуры замедляется и в пределе стремится к нулю.

5.2.5. Флуктуации

При исследовании макроскопических объектов максимальная точность измерений ограничена также статистическими флуктуациями измеряемых величин возле среднего значения даже в равновесных условиях. Эти флуктуации называют шумами. Причинами появления шумов являются:

− тепловые колебания в нагретых телах; − корпускулярная, дискретная природа вещества и электричества. Влияние броуновского движения на показания гальванометра Рассмотрим физическую природу ограничений чувствительности

зеркального гальванометра, который является прибором для измерения малых электрических токов. Прибор имеет рамку Р с током, помещенную в магнитное поле и скрепленную с зеркальцем Зер (рис. 5.3). При пропускании тока через рамку она вместе с зеркальцем может поворачиваться на своих осях, изменяя величину угла отклонения зеркальцем луча света. Луч света падает на экран Э, и по перемещению светового зайчика на экране судят о величине тока. Пружина (Пр) возвращает отклоненную рамку и зеркальце в равновесное положение.

На первый взгляд кажется, что чувствительность прибора, то есть величину перемещения зайчика по экрану при заданном изменении тока в рамке, можно увеличивать безгранично, стоит только увеличить расстояние между зеркальцем и экраном. Однако, эксперимент показал, что при очень большом расстоянии от зеркальца до экрана существенно увеличивается дрожание зайчика, картина на экране размывается и точность измерения тока не улучшается.

Причиной является то, что молекулы газа окружающей атмосферы бомбардируют, участвуя в тепловом движении, детали гальванометра и вызывают случайные (броуновские) вращательные колебания

подвижных частей механизма и зеркальца. Усредненный во времени вращающий момент таких воздействий равен нулю.

Br

Рис. 5.3. Схема измерений тока

зеркальным гальванометром

Так как гальванометр находится в тепловом равновесии с окружающей атмосферой, то для его подвижной системы, которая имеет одну степень свободы (вращательную), выполняется известный из статистической механики закон равнораспределения энергии по степеням свободы:

(5.3)

где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура атмосферы; Еi – кинетическая энергия, приходящаяся в среднем на элемент системы. В

нашем случае эта кинетическая энергия равна энергии колебаний механизма и зеркальца гальванометра:

.

При колебательных движениях среднее значение кинетической энергии элемента равно среднему значению его колебательной потенциальной энергии

:

(5.4)

Средняя потенциальная энергия колебательно-вращательных случайных движений подвижной части гальванометра равна:

(5.5)

где С – крутильная жесткость пружины; (ϕ 2)ср – средний квадрат флуктуирующего угла отклонения зеркальца от

нулевого положения. Приравнивая Ек = Ер, найдем:

(5.6)

Полученное выражение позволяет рассчитать угол крутильных колебаний зеркальца, совершаемых под действием теплового движения молекул газа. Понятно, что минимальная сила тока, которую можно измерить гальванометром, не может быть меньше среднего квадратичного значения флуктуаций отклонения зеркала. Так как угол отклонения ϕ зеркальца линейно связан с величиной тока i через рамку, можно записать:

(5.7)

где S – чувствительность гальванометра. Принимая в качестве предельно малого различимого угла отклонения ϕmin

рамки с измеряемым током среднее квадратичное флуктуационное отклонение

, получим, комбинируя (5.6) и (5.7), для соответствующего

минимального обнаруживаемого тока выражение:

(5.8)

1,

2iE k T= ⋅ ⋅

i kE E=

pE

.к pE E=

( )21,

2pcp

E C= ⋅ ⋅ ϕ

( )2 .cp

kT

C=ϕ

= ,S i⋅ϕ

( )2

cpϕ

min1

.kT

iS C

= ⋅

Таким образом, минимальнопропорциональна корню квадратномугальванометр среды.

Представляет интерес тотглубокий вакуум, где исключаютсяне прекратится, так как тепловоесохраняется, оно такженеуравновешенность воздействий

Тепловой шум Неупорядоченное тепловое

вызывает статистические колебанияпроводниках. Поэтому междунапряжение UR – напряжение

на напряжение полезного сигналасигнала (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Флуктуирующее напряжение

Напряжение минимальногоизмерить, должно быть не менее

Найдем значение эффективногоРассмотрим проводник

которому с двух концов подсоединеныхарактеристическому (волновомупроводник может, напримеринформационных системахв виде бегущей волны, без затухания

Рис. 5.

образом минимально измеряемая гальванометроморню квадратному из значения температуры

Представляет интерес тот факт, что если механизм и зеркальцегде исключаются удары молекул газа, броуновскоетак как тепловое движение молекул деталейоно также имеет случайный характер

неуравновешенность воздействий на зеркальце в данный момент

Неупорядоченное тепловое движение атомных заряженныхеские колебания плотности заряда в

Поэтому между концами проводника возникает флуктуирующеенапряжение теплового шума. Это напряжениеполезного сигнала и не позволяет точно измерить

Флуктуирующее напряжение шума и напряжение

минимального полезного сигнала Uс, котороебыть не менее величины напряжения шума.

значение эффективного напряжения шума UR эф. проводник большой длины L с нулевым сопротивлениемконцов подсоединены резисторы R, равные

характеристическому волновому) сопротивлению Zo проводникаможет например, служить для передачи

системах. Сигнал в таком проводнике распространяетсябез затухания.

.5. Схема к выводу теоремы Найквиста

RU

гальванометром сила тока температуры окружающей

механизм и зеркальце поместить в газа броуновское движение

молекул деталей гальванометра , имеет место

данный момент времени.

атомных заряженных частиц заряда в электрических возникает флуктуирующее напряжение накладывается точно измерить величину

напряжение сигнала

, которое удается

нулевым сопротивлением, к равные по величине

проводника (рис. 5.5). Такой передачи сигналов в

проводнике распространяется

Найквиста

CU

Каждый резистор является источником электромагнитного теплового излучения; напряжение теплового шума характеризует электрическое напряжение электромагнитных колебаний этого излучения. Излучение, генерируемое данным резистором, распространяется к противоположному резистору без потерь таким образом, что в проводнике имеет место бегущая электромагнитная волна. Излучение называют шумовым, так как колебания полей электромагнитной волны излучения совершаются хаотично, беспорядочно. Вся система находится при температуре Т в термодинамическом равновесии со своим окружением. Скорость перемещения волны равна ; достигнув противоположного конца линии, энергия волны поглощается полностью в резисторе: каждый из резисторов служит для приходящих к нему электромагнитных волн подобием абсолютно черного тела. Каждую флуктуацию напряжения можно разложить в ряд Фурье – представить в виде совокупности множества гармонических колебаний, частоты которых различны и занимают значительную полосу спектра частот. Обозначим спектральную плотность мощности электромагнитных гармонических колебаний волны шума (мощность на единицу полосы частот) Рν, тогда мощность P0 теплового шума в диапазоне частот ∆ν равна:

(5.9)

Каждый из двух источников R шумовой волны за время t = прохождения волной проводника выделяет Р0 t = Pν ∆νL/ энергии; поэтому общая энергия волны Е0, содержащаяся в частотном интервале ∆ν по всей длине проводника, равна удвоенному значению энергии, выделяемой одним резистором:

(5.10)

Замкнем накоротко оба резистора переключателями. При отсутствии потерь суммарная энергия электромагнитных волн

окажется «запертой» в проводнике, будет оставаться постоянной. Так как волны будут отражаться от замкнутых концов, в проводнике установятся стоячие электромагнитные волны. У стоячей волны должно укладываться в проводнике целое число полуволн:

n = 1, 2, 3.

Здесь – длина стоячей волны. Частоты этих волн равны:

(5.11)

Подставим в последнее уравнение значение :

(5.12)

Между соседними частотами, на которых возникли в проводнике стоячие волны, существует частотный промежуток

RU

V

0 .P P= ⋅ ∆ν ν/L V

V

0 2 / .E P L V= ⋅ ∆ ⋅ν ν

,2nL n= ⋅ λ

nλ

.nn

V=νλ

nλ

.2nV

nL

= ⋅ν

(5.13)

Количество стоячих волн, частоты которых располагаются в диапазоне частот ∆ν, равно

(5.14)

Вся шумовая энергия Е0 электромагнитных волн, «запертая» в проводнике, распределяется поровну между стоячими волнами, каждая стоячая волна имеет энергию Еn.

Энергия всех стоячих волн в диапазоне частот равна:

(5.15)

В соответствии с принципом равнораспределения энергии между степенями свободы, энергия Еi, приходящаяся в среднем на одну степень свободы, равна:

(5.16)

Каждая стоячая волна имеет две степени свободы (имеет потенциальную и кинетическую энергию), поэтому

(5.17) Подставим последнее выражение в уравнение (5.15), получим:

Сравнивая это выражение с уравнением (5.10), найдем: . (5.18)

Мы нашли, что спектральная плотность мощности шума, генерируемого одним резистором, равна

Полученное выражение справедливо только для случаев, когда энергия фотона теплового излучения резисторов hν << kT, что на практике выполняется.

Для мощности шума, генерируемого резистором в частотном диапазоне ∆ν, получим:

(5.19) Последнее выражение является одной из форм теоремы Найквиста. Мы видим, что мощность теплового шума в диапазоне частот не

зависит от электрических характеристик самой цепи, от величины резистора R.

Член Рν = kT имеет смысл спектральной плотности шумовой мощности, обусловленной тепловым шумом.

1 .2n nV

L+ − =ν ν

1

2.

n n

Ln

V+

∆∆ = = ∆−ν ν

ν ν

ν∆

02

.n nL

E E n EV

= ⋅ ∆ = ∆ν

1.

2iE kT=

2 .n iE E kT= =

02

.L

E kTV

= ∆ν

P kT=ν

.kT

0 .vP P kT= ∆ = ∆ν ν

Если переключатели у резисторов (рис. 5.5) разомкнуть, то в соответствии с законом Ома эффективное напряжение шума URэф в одном резисторе создаёт эффективный шумовой ток в цепи, включающей два последовательно соединенных резистора:

(5.20)

По закону Джоуля – Ленца мощность, выделяющаяся на сопротивлении при прохождении тока, равна:

,

(5.21)

Выражение носит название формулы Найквиста. Численный пример: Входное сопротивление осциллографа равно R = 1 МОм. При полосе

частот ∆ν = 100 МГц эффективное напряжение шума на этом сопротивлении составит для комнатной температуры URэф = 1,3 мВ. Это значит, что не удается измерить сигналы, напряжение которых меньше или равно 1,3 мВ.

Дробовой эффект Дискретность заряда носителей тока в электрических цепях приводит к

появлению флуктуаций тока. Хотя среднее число носителей заряда, протекающее в цепи в единицу времени, постоянно, но число носителей в каждый момент времени статистически изменяется. Явление называется дробовым эффектом по аналогии с ударами дроби, падающей на металлическую пластину. В наиболее простом виде этот эффект наблюдается в вакуумном диоде с плоскими электродами (рис. 5.6).

Причиной флуктуаций тока в цепи является случайность вылета электронов из катода. Вылет электрона из катода диода является случайным независимым событием, если электрон сразу же удаляется от катода и не влияет своим полем на

вылет последующих электронов. Такое случайное распределение событий описывается распределением Пуассона, для которого справедливо соотношение:

(5.22)

где – стандартное отклонение числа событий в единицу времени от

среднего; Nср – среднее число событий в единицу времени.

R

.RэфRэф

UI

R R=

+

R2 2

0 / 4эф эфR RP I R U R kT= ⋅ = = ∆ν

( )2 4 .RэфU kTR h kT= ∆ <<ν ν

,N cpN=σ

Nσ

Рис. 5.6. Вакуумный диод с плоскими электродами

Будем считать таким событием прохождение одного электрона через диод. Обозначим через длительность произвольного промежутка времени

прохождения тока через диод. Рассмотрим закономерности флуктуационных изменений тока за этот

промежуток. Среднее число электронов, прошедших в диоде за время t, равно:

(5.23)

где iа – анодный ток; – заряд, прошедший через диод за

рассматриваемый промежуток времени; е – заряд электрона. Получим:

(5.24)

где σN – количество электронов, являющееся отклонением от среднего числа электронов, проходящих через диод за время t.

Эти электроны переносят с собой флуктуационный заряд qф = σN e, и через диод протекает флуктуационный ток iф, среднее квадратичное значение

которого за импульс обозначим .

Получим:

.

После сокращений и возведения в квадрат имеем:

(5.25)

Последнее уравнение показывает, что средний квадрат флуктуаций тока с увеличением промежутка времени t измерений уменьшается.

Наряду с временным описанием флуктуаций, как в только что полученном выражении, широко применяется альтернативный – спектральный метод. Этот метод базируется на Фурье-представлении некоторой функции в виде суммы гармонических колебаний разных частот.

Флуктуационный ток с течением времени меняется случайным образом, является последовательностью множества отдельных флуктуаций– кратковременных импульсов тока разнообразной формы и различных длительностей. Каждый импульс в соответствии с Фурье-методом можно представить в виде совокупности синусоидальных колебаний с различными частотами , значения которых занимают некоторую полосу частот. На рис. 5.7, а показана зависимость тока флуктуации от времени, на рис. 5.7, б – частотный спектр этих колебаний.

t

,aср

i tqN

e e

⋅= =

aq i t= ⋅

,aN

i t

e

⋅=σ

( )2ф

срi

( )2 ф N aф

ср

q e i tei

t t t e

⋅= = =σ

( )2 .aф

cp

i ei

t

⋅=

ν

а)

Рис. 5.7. Флук

– ток флуктуационного

Колебания с различнымиРезультат интерференции и дает

Рассмотрим этот эффект

(рис. 5.7, б) два колебания отличающихся

амплитуды этих колебаний равны

Разность фаз колебаний

Рассмотрим зависимостьнекоторой длительности

частот разность фаз мала(вблизи начала координат на

то колебания окажутсярис. 5.7, б). Также будет вести

отличающихся по частоте на

рассматриваемой полосе частотдруг друга полностью, так как

Таким образом, существуетимпульсов и шириной спектраспектральном рассмотрении процесса

i

1 cos 2 ;A t= πν

2 cos 2 ( ) .2

A t∆= + νπ ν

2 ( ) 2 .2

t t t∆∆ = + − = ∆νϕ π ν πν π ν

t

,иt= ∆π π ν

. Флуктуационный импульс и его спектр

флуктуационного импульса; – спектральная

с различными частотами интерферируютинтерференции и дает форму огибающей отдельной флуктуации

этот эффект подробнее. Выделим в полосе

колебания, отличающихся по частоте на

колебаний равны единице, и запишем уравнения (5.26)

(5.27)

колебаний равна:

(5.28)

зависимость разности фаз от разницы частот флуктуационного импульса. При

фаз мала, и результирующая амплитуда колебанийкоординат на рис. 5.7, б) Когда разность фаз

(5.29)

окажутся в противофазе, погасят друг другаТакже будет вести себя любая пара колебаний в

по частоте на , то есть, вся совокупность

полосе частот . Внутри полосы частот колебанак как разность фаз колебаний меньше

образом существует связь между длительностями флуктуацишириной спектра, которым этот импульс отображаетсярассмотрении процесса. Из уравнения (5.29) вытекает

A

1

2∆

cos 2 ( ) .2

A tν

2 ( ) 2 .t t t∆ = + − = ∆ϕ π ν πν π ν

иt

∆ =

1

2ν∆

ν∆

б)

и его спектр:

спектральная амплитуда

интерферируют между собой. отдельной флуктуации тока.

полосе частот

. Примем, что

уравнения колебаний:

разницы частот при импульса При малой разнице

амплитуда колебаний велика , то есть

погасят друг друга (стрелка на колебаний в полосе ,

совокупность колебаний в

частот колебания не гасят колебаний меньше . длительностями флуктуационных

импульс отображается при вытекает:

ν∆1

2ν∆

ν∆

ϕ π∆ =

ν∆

π

. (5.30)

Аналогичные рассуждения справедливы и для левой стороны рис. 5.7, б, поэтому получим более точное значение этого выражения:

. (5.31)

Флуктуационный ток содержит множество импульсов с различными значениями длительности , поэтому спектр этого тока можно представить имеющим безграничную ширину на шкале частот.

Учтем полученное соотношение (5.31) в выражении для тока флуктуаций (5.25):

. (5.32)

Это уравнение известно как теорема Шоттки. Уравнение указывает, что, измерив ширину полосы частот флуктуационного сигнала, мы получим информацию о длительностях отдельных флуктуаций; если же ограничивать полосу частот специальным полосовым фильтром частот, можно уменьшить интенсивность шумового сигнала. Данное выражение справедливо при условии, что время пролета электрона в лампе до анода намного меньше периода колебаний Т возбуждаемых колебаний: ; тогда частота:

(5.33)

Выражение (5.32) показывает, что флуктуационный шумовой ток

дробового эффекта не зависит при условии от частоты (так

называемый белый шум). Если измерения шумового тока производить, уменьшая полосу ∆ν частот

до нуля, то и шумовой ток уменьшится до нуля. Физическое объяснение этому: при полосе ∆ν → 0 флуктуации будут усредняться в течение бесконечно большого промежутка времени, отклонения от среднего будут отсутствовать.

Численный пример расчета шумового тока: ток в диоде iа = 1 мА; ∆ν =

1 кГц. Получим: = 0,6 нА.

Необходимым условием правильности найденных выражений является работа вакуумного диода в режиме насыщения характеристики анодного тока.

Статистические флуктуации тока могут быть вызваны целым рядом других физических эффектов в электронных приборах: фликкер-эффектом в электронных лампах, обусловленным флуктуациями локальной работы выхода электронов в катоде; генерационно-рекомбинационным шумом в полупроводниковых приборах, являющимся вариантом дробового шума и определяющимся скоростями генерации и рекомбинации носителей заряда; другими эффектами. Дробовой шум обычно имеет место при прохождении

1иt =

∆ν

12иt =

∆ν

иt

( )2 2ф acp

i i e= ∆ν

τTτ <<

1.

2<<ν

πτ

1

2ν

πτ<<

2( )ф срi

носителей заряда через границу между областями твердого тела, отличающимися по типу проводимости.

Квантовый шум Представим электромагнитное излучение в виде потока квантов. При

измерениях в течение одинаковых промежутков времени t мы будем ожидать при постоянной мощности излучения Ро, что на вход фотоприемника попадает одно и то же среднее число фотонов Nср:

(5.34)

Здесь – энергия, переносимая потоком квантов за время ; – энергия одного кванта.

Однако наблюдаемое число фотонов флуктуирует в соответствии с распределением Пуассона, так как фотоны представляют собой не взаимодействующие друг с другом частицы и распределены в потоке беспорядочным образом, случайно. Стандартное отклонение числа фотонов от среднего значения равно

(5.35) Минимально обнаруживаемое значение полезного сигнала имеет место,

когда за время наблюдения наблюдается всего 1 фотон, т. е. = 1 и

. Подставим эти значения в уравнение (5.35) и найдем минимальную

обнаруживаемую мощность светового сигнала:

. (5.36) Как показано выше, эта мощность соответствует, в среднем, одному кванту

на с. Найденное выражение для минимальной обнаруживаемой мощности

справедливо только в случае идеального фотоприемника, который не вносит потерь при счете квантов и не имеет собственных шумов. Если принимаемый сигнал является минимальным обнаруживаемым сигналом, то его мощность равна мощности шума:

, (5.37)

где – мощность шумового сигнала. Природа этого шумового сигнала – флуктуации плотности самого потока

фотонов, являющегося носителем сигнала, то есть источник шума содержится в световом потоке.

Чтобы найти спектральную плотность мощности фотонного шума, воспользуемся тем, что шум, создаваемый потоком квантов, во многом похож на шум, создаваемый потоком электронов в вакуумном диоде (дробовой шум),

0 .cpP t

Nh

⋅ ∆=ν

0P t⋅ ∆ t∆ hν

.oN cp

P tN

hv

⋅ ∆= =σ

t∆ срN

1Nσ =

0minhv

Pt

=∆

t∆

0min RэффP P=

RэффP

поэтому по аналогии с полученным там решением, используем связь полосы спектра частот с длительностью ∆t времени наблюдения:

∆ν ∼ 1/2∆t, и из уравнения (5.36) получим:

. (5.38)

Член представляет собой спектральную плотность фотонного шума. В отличие от теплового шума, уровень которого в области низких частот не зависит от частоты, фотонный шум линейно возрастает с частотой света .

При оптическом приеме сигналов важно уметь сравнивать относительную роль теплового шума фотоприемника и фотонного шума излучения. Фотонный шум начинает преобладать, когда 2h > kT. Фотонный шум называют также квантовым шумом.

Вводится понятие шумовой температуры. При этой температуре мощность теплового шума в проводниках фотоприемника равна мощности квантового шума:

(5.39)

где k – постоянная Больцмана. Численный пример: в оптической области квантовый шум при

λ = 500 нм соответствует шумовой температуре ТR = 70 000 К.

5.3. Принципиальная невозможность полного устранения неопределенности результатов измерения

5.3.1. Изменение состояния объекта под действием средства измерения

Гейзенберг провёл анализ мысленного эксперимента по измерению положения и скорости микрочастицы, например, электрона. Обычно для измерения положения микрообъектов используют макроскопический прибор – микроскоп. В микроскопе объект освещается светом, т. е. пучком фотонов.

Электрон столкнется с фотоном, и его положение будет определено с точностью до длины волны используемого фотона. Фотон имеет точечные размеры, но его действие распространяется в области с поперечником порядка длины волны.

Для максимальной точности определения координаты электрона нужно использовать фотоны наименьшей длины волны, но такие фотоны обладают

большей частотой ν, большими энергией Е = hν и импульсом , и

потому сильнее изменится импульс электрона в процессе измерения – столкновения, возникнет ошибка в измерении импульса электрона. Если необходимо определить точно импульс электрона, то нужно уменьшать импульс фотона, но при этом придем к увеличению неопределенности в определении

положения электрона, так как при малом импульсе длина волны фотона

станет очень большой.

ν∆

2RэфP hv v= ∆2hv

( ) ,ln 3/ 2R

h vT

k

⋅=⋅

E hp

c c

ν= =

h

pλ =

Из анализа Гейзенберга следует, что существует принципиальная неустранимость погрешности измерений, обусловленная тем, что в процессе измерений мы вынуждено изменяем состояние измеряемого объекта.

5.3.2. Принцип неопределенности

Дальнейший анализ проблемы влияния процесса измерения на состояние исследуемого объекта привел Гейзенберга к формулировке принципа неопределенности. Принцип неопределенности Гейзенберга налагает фундаментальные ограничения на предельную точность, с которой можно определить ряд параметров микроскопической системы – координату, импульс, энергию и другие. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Информацию о микрочастицах мы получаем, наблюдая их взаимодействие с приборами, представляющими собой макроскопические тела, поэтому результаты выражаются в терминах, разработанных для характеристик макротел, т. е. через значения динамических переменных. В соответствии с этим, измеренные значения динамических переменных условно приписываются микрочастицам, что, строго говоря, неверно – классические приборы не адекватны квантовым измерениям.

Существует и другое, более глубокое толкование ограничений достижимой точности измерений квантовых объектов, когда учитывается также корпускулярно-волновой дуализм квантовых объектов, их особое внутреннее устройство, отражающее неразделимое сочетание волновых и корпускулярных свойств. Положение микрочастицы в пространстве не может быть определено точно не потому, что измерения не точны, а потому, что точного положения частицы не существует. Частица находится в заданной области с некоторой вероятностью, не равной 100 %, и эта вероятность равна произведению квадрата особой функции от координаты и времени – волновой функции – на объём области. Точно также и импульс частицы не определен однозначно, имеет вероятностный характер.

Эти вероятностные свойства микрочастиц отражает соотношение неопределенностей:

(5.40)

где – неопределенность координаты частицы; –

неопределенность проекции ее импульса на ось . Подобные соотношения справедливы и по другим осям координат.

В соответствии с соотношениями неопределенностей, микрочастица не может иметь одновременно точные значения координаты и компоненты импульса по этой координатной оси.

Измеряя, например, импульс микрочастицы с помощью макроскопических средств измерения, будем получать данные, которые принципиально имеют статистический характер. Повторение измерений в одних и тех же условиях будет давать разные значения измеряемой величины.

,2xx p∆ ⋅ ∆ ≥ h

x∆ xp∆X

Соотношения неопределенностей имеют место для канонически сопряженных пар физических величин: координаты х и компоненты импульса

, энергии Е и времени t, и других.

Для пары величин – энергия и время – форма соотношения неопределенностей следующая:

(5.41) Это соотношение означает, что определение энергии микрочастицы с

погрешностью должно занять интервал времени, не меньший В атомной физике – неопределенность значения энергии квантовой

системы, меняющейся во времени; время – временной интервал изменения. Рассмотрим, используя соотношение неопределенностей, вопрос – почему

одинаковые атомы испускают свет, отличающийся по частоте. Пусть при спонтанном излучении возбужденный атом испускает квант света

с энергией E = hν. Время жизни τ атома в возбужденном состоянии (время, за которое число атомов, находящихся в возбужденном состоянии, уменьшается в е раз) связано с неопределенностью энергии атома в возбужденном состоянии соотношением неопределенностей:

(5.42) В результате энергии квантов, излученных системой одинаковых атомов,

отличаются на

(5.43)

Неоднозначность энергий испускаемых квантов говорит о том, что соответствующие частоты излучения атомов также не одинаковы, находятся в диапазоне частот:

(5.44)

Таким образом, спектральная линия излучения имеет определенную ширину ∆ν. Выразим ширину линии через неопределенность времени жизни τ атома в возбужденном состоянии:

(5.45)

здесь учтена зависимость .

Эта ширина линии спектра называется естественной шириной линии. Для атомов в разреженном газе время τ ∼ 10-8

– 10-9 c, ширина линии,

выраженная через длину волны, δλo ∼ 10-4–10-3 A (здесь с – скорость

света).

5.3.3. Принцип дополнительности

Принцип неопределенности является примером более общего принципа дополнительности Бора. Принцип дополнительности – важнейшее положение квантовой механики, согласно которому получение экспериментальной

xp

.E t∆ ∆ ≥ h

E∆ .t∆E∆ E

t∆

E∆

.E∆ ≥τ h

E∆

.E∆ ≈τh

.Eh

∆∆ =ν

1;

2E

h h

∆∆ = = =⋅

ντ πτh

2h = π h

2с

∆= νν

информации об одних физических величинах, описывающих микрообъект, например, элементарную частицу, неизбежно связано с потерей информации о некоторых других величинах, «дополнительных» к первым. Такими взаимно дополнительными величинами являются, например, координата и импульс частицы. Роль измерительного прибора заключается в «приготовлении» некоторого состояния квантовой системы (например, чтобы у частицы была более точно определена одна из «дополнительных» величин – импульс). Состояния, в которых взаимно дополнительные величины имели бы одновременно точно определенные значения, принципиально невозможны, причем, если одна из таковых величин точно определяется, то значения другой полностью неопределенны. Принцип дополнительности отражает объективные свойства квантовых систем. Другие примеры взаимно дополнительных описаний состояния микрообъекта – пространственно-временная и импульсно-энергетические картины.

Выводы: двойственность природы микрочастиц, их вероятностный характер, отраженный в соотношении неопределенностей, приводит к ограничениям принципиально достижимой точности измерений ряда физических величин микрочастиц: местоположения, импульса, энергии, частоты излучаемого света и др.

6. ПРОБЛЕМА ПЕРЕДАЧИ СТАБИЛЬНОСТИ ОБЪЕКТОВ МИКРОМИРА МАКРОСКОПИЧЕСКИМ ОБЪЕКТАМ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРОВ И СИСТЕМ

В изменяющемся мире наибольшую стабильность во времени имеют параметры микрочастиц и квантовых систем. Поэтому наиболее точные и важные измерения необходимо проводить, сравнивая измеряемую величину с параметром квантовой системы, считая этот параметр точным, используя его как эталон сравнения.

В метрологии для обеспечения точности измерений разработана и используется система эталонов основных измеряемых величин.

Эталон – измерительное устройство, предназначенное и утвержденное для воспроизведения и (или) хранения и передачи шкалы измерений или размера единицы измерения средствам измерений.

Первые эталоны (длины, массы) появились одновременно с древними цивилизациями (в Древнем Египте, Ассирии, Вавилоне). Современные эталоны начали создаваться с 1799 г., когда были изготовлены эталоны метра (платиновый стержень) и эталоны массы (платиновый цилиндр). Эти эталоны хранились в архиве Французской республики.

В настоящее время создан комплекс эталонов, утвержденный Международными соглашениями. Первые эталоны, представляющие собой объекты макромира, уже не удовлетворяют современным требованиям точности измерений. Принятая сейчас система эталонов базируется, в основном, на квантовых явлениях, ее основной элемент – эталон времени – частоты; с применением этого эталона разрабатываются почти все другие эталоны.

Так, единицей длины метра стало расстояние, проходимое в вакууме плоской электромагнитной волной за долю секунды, численно равную 1/скорость света, то есть единица длины стала связанной с единицей времени. За эталон секунды принят интервал, в течение которого совершается 9 192 631 770 периодов излучения, соответствующего переходу между уровнями сверхтонкой структуры основного состояния атома цезия-133 в отсутствие возмущения полями.

7. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ СОЗДАНИЯ СОВРЕМЕННОЙ ЭТАЛОННОЙ БАЗЫ

Выше показано, что наиболее стабильными образованиями являются атомные частицы, поведение которых имеет квантовый характер.

Квантовые явления в окружающем нас мире маскируются тепловыми неупорядоченными движениями составляющих реальные объекты частиц. Для устранения тепловых помех при точных измерениях, основанных на использовании квантовых эффектов, часто прибегают к охлаждению измерительного устройства до очень низких температур. При глубоком охлаждении уменьшается тепловое движение атомов и молекул вещества, резко изменяются многие его свойства, в том числе, теплоемкость, теплопроводность и др., проявляются коллективные – синхронизированные – движения множества частиц.

Другим путем является использование коллективной реакции множества атомных частиц на такие воздействия внешних силовых – магнитных, электрических – полей, которые изменяют энергетическое состояние частиц. Примерами являются магнито-резонансные эффекты, эффект Зеемана и др., рассматриваемые ниже.

7.1. Понятие о теории сверхпроводимости

В 1911 г. голландский ученый Х. Камерлинг-Оннес провел экспериментальное исследование удельного сопротивления ртути при низких температурах. Он обнаружил, что при термодинамической температуре ~4,2 К сопротивление ртути уменьшалось практически до нуля, ослаблялось в сравнении с сопротивлением при обычных условиях на много порядков величины и не могло быть измерено. Ток в охлажденном образце, не затухая, мог существовать годами без подачи к образцу питающего напряжения. Явление названо сверхпроводимостью.

Температура, при которой проводник становится сверхпроводящим, названа критической. Среди химических элементов наиболее высокая критическая температура у ниобия (9,22 К). Обнаружено, что разные кристаллические модификации элементов могут иметь разные критические температуры перехода.

Сплавы и соединения часто обладают более высокой температурой перехода, так, у соединения Nb3Ge температура перехода 23,2 К.

В 1986 г. учеными Мюллером и Беднорецем из Швейцарии открыта сверхпроводимость нового класса соединений – керамики из окислов лантана – бария – меди – с температурой перехода более 30 К. Широкие исследования различных по составу керамик привели к созданию веществ с критической температурой более 100 К (для азота температура кипения равна 77 К).

У сверхпроводников найдены особые магнитные свойства. Мейснер обнаружил, что магнитное поле не проникает в сверхпроводник (эффект Мейснера). Если поместить вещество во внешнее магнитное поле и, не выключая поле, медленно охлаждать образец, то в момент перехода в сверхпроводящее состояние магнитное поле вытолкнется из образца, и индукция магнитного

поля в нем станет равной нулю. Если сверхпроводник, охлажденный ниже критической температуры, поместить в магнитное поле, то в поверхностном слое металла появится стационарный электрический ток сверхпроводимости, собственное магнитное поле которого направлено противоположно внешнему. В результате внутри сверхпроводника магнитное поле отсутствует, существуя в его поверхностном слое; в этом слое индукция магнитного поля не равна нулю, и в слое протекают незатухающие токи электронов, магнитные поля которых экранируют объем от внешнего магнитного поля. Глубина проникновения магнитного поля в сверхпроводник составляет несколько сотен межатомных расстояний. При увеличении магнитного поля выше критического значения сверхпроводимость разрушается, образец переходит в нормальное состояние. Критическое магнитное поле зависит от температуры образца, оно возрастает при понижении температуры.

Экспериментальное изучение сверхпроводников показало, что сверхпроводимость – это особое состояние вещества. Роль термодинамических параметров такого состояния играют индукция магнитного поля и температура. Величина магнитного поля и температуры однозначно характеризуют состояние сверхпроводника. На рис. 7.1 показана фазовая диаграмма сверхпроводника. На границе сверхпроводящего и нормального состояний сосуществуют обе фазы, которые находятся при температурах точек границы в равновесном состоянии.

Рис. 7.1. Фазовая диаграмма сверхпроводника

Само явление сверхпроводимости объясняют тем, что в некоторых металлах при температуре, близкой к абсолютному нулю, электроны, несмотря на отталкивание, вызванное их электрическими зарядами, объединяются в пары. Создание пар обусловлено особыми свойствами среды, в которой находятся электроны в металле. Металлы имеют кристаллическую структуру; в узлах кристаллической решетки расположены положительные ионы. Электроны искажают своим электрическим полем решетку таким образом, что коллективное действие положительных ионов на электроны заставляет электроны, несмотря на их взаимное отталкивание, объединяться в пары. Такая пара электронов, называемая куперовской парой, не имеет спина, т. е. является

бозе-частицей, поэтому может перемещаться в веществе, не испытывая сопротивления. В отличие от вещества-проводника, где электроны, обладающие полуцелым спином (ферми-частицы), должны только по два занимать имеющиеся в веществе энергетические уровни, куперовские пары все могут располагаться на одном, самом низком уровне. Это означает отсутствие взаимодействия электронов куперовских пар с веществом, т. е. отсутствие электрического сопротивления.

7.2. Эффект Джозефсона и эталон напряжения

Эффект Джозефсона – протекание тока сверхпроводимости через тонкую изолирующую прослойку или несверхпроводящую прослойку между двумя сверхпроводниками. Эффект теоретически предсказан в 1962 г. Джозефсоном.

При пропускании через прослойку достаточно слабого тока, меньше критического Iкр, напряжение на контакте отсутствует, т. е. прослойка ведет себя как сверхпроводящая. Это так называемый стационарный эффект Джозефсона. Существование тока обусловлено тем, что куперовские пары электронов не разрушаются, проходя через тонкий слой благодаря квантовому эффекту – туннелированию. Туннелирование облегчается тем, что размер куперовской пары больше толщины прослойки.

При пропускании тока больше критического I > I кр наблюдается нестационарный эффект – на контакте возникает падение напряжения U, и контакт излучает электромагнитные волны. Когда куперовские пары электронов проходят через прослойку, на которой есть разность потенциалов, их энергия увеличивается на величину 2еU в расчете на каждую пару, и на эту величину становится больше, чем в основном состоянии сверхпроводника. Единственная возможность для пары электронов вернуться в основное состояние сверхпроводника – это излучить фотон с энергией hν = 2eU. Поэтому частота излучения равна:

Частота и приложенное напряжение связаны между собой только через фундаментальные константы и , поэтому частота определяется только напряжением на контакте.

Указанное соотношение используется для создания эталона напряжения с погрешностью ~10 –9 В.

7.3. Квантование магнитного потока

Как уже отмечалось, в соответствии с важнейшими положениями квантовой физики, ряд физических величин: энергия, импульс и др. – квантуются. Считалось, что квантование характерно только для микромира, свойственно процессам в атомах, молекулах, ядрах и т. д. В макроскопических объектах, состоящих из колоссального количества частиц, квантовые свойства отдельных частиц не проявляются из-за их хаотического теплового движения, которое «смазывает» квантовые закономерности.

2.

eU

h=ν

e h

Однако при охлаждении до температур, близких к нулю по шкале Кельвина, возможно макроскопическое квантование, т. е. квантование величин, характеризующих макроскопические тела.

Рассмотрим протекание электрического тока по сверхпроводящему кольцу. Опыт показал, что ток не затухает, что объясняется отсутствием в сверхпроводнике сопротивления и потерь энергии электронов. Однако, с точки зрения классической электродинамики, остается необъяснимым противоречие: движение электронов в кольце криволинейное, электроны двигаются, испытывая нормальное ускорение, поэтому должны терять энергию движения на излучение. Ток в сверхпроводящем кольце должен был бы затухнуть.

Аналогичная ситуация имеет место при движении электронов в атоме водорода по орбитам. Бор ввел квантовые постулаты – квантование момента импульса и энергии электронов в атоме: электроны на орбитах не излучают, если их моменты импульса и энергия кратны определенным значениям этих величин – квантам.

Оказывается, подобно квантованию в атоме, имеет место квантование силы тока в сверхпроводящем кольце – квантование макроскопической величины. Сила тока в сверхпроводящем кольце может принимать только дискретные значения, квантуется. Для электронов в кольце возникает гигантская боровская орбита, и квантовые закономерности в атоме можно перенести на электроны в сверхпроводящем кольце.

Так как любой ток создает магнитное поле, то и индукция магнитного поля в кольце, и магнитный поток Ф, пронизывающий площадь πr2, ограниченную кольцом, также квантуются.

Поэтому (7.1)

где n = 1, 2, 3, … (целое число); Ф0 – минимальная порция потока, квант магнитного потока.

Энергия тока, текущего по контуру с индуктивностью L, равна:

(7.2)

Магнитный поток .

Отсюда следует:

(7.3)

Сила тока в кольце, создаваемая потоком электронов:

(7.4)

где – заряд, проходящий через поперечное сечение кольца за время

– время одного прохождения электрона по кольцу; – заряд

0,Ф nФ=

21.

2iW Li=

Ф Li=

1.

2iW Ф i= ⋅

,2

q Nei

t r= = υ

πq Ne=

2= rt

πυ

e

электрона; – число электронов в кольце; – радиус кольца; – скорость электрона.

Подставим значение тока в уравнение (7.3):

(7.5)

В то же время, кинетическая энергия всех электронов:

(7.6)

где – импульс электрона; – его масса.

Считая, что энергия электрического тока в кольце равна кинетической энергии электронов, создающих этот ток, приравняем формулы (7.5) и (7.6) и найдем связь между импульсом электрона и магнитным потоком, создаваемым кольцом с электронами:

; (7.7)

(7.8)

В сверхпроводнике электроны движутся парами; импульс пары в два раза больше импульса электрона:

.

Получим:

(7.9)

Здесь – момент импульса пары электронов в кольце радиусом . Применим условие квантования Бора в атоме к моменту импульса пары

электронов в кольце:

, n = 1, 2, 3, … (7.10)

Подставим (7.10) в (7.9), получим:

(7.11)

Здесь Вб – квант магнитного потока.

Приведенный анализ показал, что при охлаждении, когда интенсивность теплового движения частиц мала, в сверхпроводящем кольце квантуются электрический ток и магнитный поток. Значение кванта магнитного потока зависит только от фундаментальных величин и может быть рассчитано очень точно, поэтому рассмотренный эффект используется при создании эталона магнитного поля.

N r υ

i

.4

=iNe Ф

Wr

υπ

2 1,

2 2= =k e

mW N Np

υ υ

=ep mυ m

14 2

= eФNe

Npr

υ υπ

.2eФe

pr

=π

2 eФe

p pr

= =π

.pr

Фe

= π

pr r

2h

pr n n= =π

h

0.2

hФ n nФ

e= =

150 2,068 10

2h

Фe

−= = ⋅

7.4. Квантовый эффект Холла

Названный эффект проявляется в квантовании Холловского сопротивления полупроводниковых пластин, наблюдается при низких температурах в инверсионном слое носителей заряда полупроводника, помещенного в магнитное поле; при этом исчезает продольное сопротивление инверсионного слоя.

Схема наблюдения квантового эффекта Холла такая же, как при наблюдении обычного эффекта Холла. Эффект Холла наблюдают, помещая в магнитное поле прямоугольную пластину из полупроводника (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Схема измерения эффекта Холла

Пластина имеет длину L, толщину b и ширину a, помещена в магнитное поле В, направленное перпендикулярно плоскости пластины. При движении в пластине носителей тока на них действует сила Лоренца FЛ, отклоняющая их к одной боковой стороне пластинки. Если носители – электроны, на нижней боковой стороне накапливается отрицательный заряд, на верхней – положительный (недостаток отрицательного заряда). В пластине возникает электрическое поле , направленное в её плоскости поперек пластины по оси

y, а между верхней и нижней сторонами – разность потенциалов ,

называемая напряжением Холла. Существует также продольное поле вдоль оси

, которое создается внешним источником ЭДС Vх и вызывает прохождение тока i по пластине. В результате действия эффекта Холла удельное сопротивление материала пластины различно по разным направлениям:

по оси – xХоллаρ ;

по оси – yХоллаρ .

nE

yV

x

x

y

Для наблюдения квантового эффекта Холла необходимо создание в полупроводнике двумерного слоя носителей заряда, слоя, не имеющего толщины, и охлаждение его до низких температур. Этот слой получают на поверхности полупроводника, знак носителей в нем противоположен знаку основных носителей в объеме полупроводника. Образование инверсионного слоя обусловлено воздействием на поверхность нормального к ней электрического поля, создаваемого специальным электродом.

На рис. 7.3 показан пример структуры, в которой на границе между полупроводником -типа и диэлектриком может при подаче напряжения на слой металла образоваться инверсионный слой, содержащий электроны. В таком двумерном инверсионном слое, помещенном в магнитное поле, также наблюдается эффект Холла. Компоненты удельного сопротивления равны следующим величинам:

(7.12)

где Vx и Vy – разность потенциалов вдоль образца и поперек образца.

Рис. 7.3. Полупроводниковая пластина с инверсионным слоем

В случае квантового эффекта Холла (при охлаждении) продольная компонента удельного сопротивления уменьшается до нуля ( →0), а

поперечная компонента yХоллаρ может принимать дискретные значения

(7.13)

где е – заряд электрона; – отношение целых чисел p и , может

быть целым или дробным. Рассмотрим причину дискретности значений удельного сопротивления. В двумерном газе инверсионного слоя электроны могут двигаться только в

плоскости слоя. Охлаждение образца до температуры сверхпроводимости уменьшает роль теплового беспорядочного движения в общем поведении электронов, их движение становится коллективизированным, все электроны

p

,XxХолла

Va

L i=ρ ,y

yХоллаV

i=ρ

xХоллаρ

22

,yХоллаe

= πρν

h

p

qν = q

слоя представляют собой единую квантовую систему, имеющую свой энергетический спектр.

Картина движения электронов в инверсионном слое следующая. В результате наложения перпендикулярно плоскости слоя магнитного поля с напряженностью Н каждый электрон в слое движется по круговой орбите, и энергетический спектр носителей заряда из непрерывного становится дискретным, состоит из отдельных не перекрывающихся уровней Ландау с энергиями εi:

(7.14)

Здесь

(7.15)

– циклотронная частота электронов; и – заряд и масса электрона. На каждом уровне Ландау может быть число электронов, определяющееся

плотностью разрешенных состояний , которая равна плотности квантов

магнитного потока, пронизывающего двумерный газ:

(7.16)

где S – площадь, занимаемая инверсионным слоем; – квант

магнитного потока; – плотность магнитного потока (индукция

магнитного поля). Схема заполнения электронами двумерного слоя показана на рис. 7.4;

окружности – области расположения электронов, имеющих энергии основного уровня Ландау (j = 0).

Рис. 7.4. Схема заполнения электронами двумерного слоя (окружностями показаны области, принадлежащие отдельным электронам, находящимся на

основном уровне Ландау)

Радиус орбиты r0 – порядка 70 (для основного уровня Ландау). Каждому квантовому состоянию на уровне Ландау соответствует в инверсионном слое

( )1/ 2 ,i cj= +ε ωh 0,1, 2, ...j =

0c

eH

m= µω

e m

нη

0 0

0 0

2,

/(2 )н

H e HФ B

SФ Ф h e h= = = =µ µη

0 2

hФ

e=

0Ф

B HS

= = µ

A&

площадь 2 , в два раза большая площади, занятой одной орбитой. Занятые отдельными электронами двумерного газа площадки при максимальном заполнении плоскости располагаются упорядоченно, занимая всю плоскость без просветов.

Одним из важнейших условий проявления квантового эффекта Холла является глубокое охлаждение образцов, такое, что энергия теплового движения одного электрона была бы намного меньше энергии электрона на орбите (энергии уровня Ландау):

к Т << ћ ωC. Практическое применение квантового эффекта Холла для целей измерений

облегчается тем, что в двумерном случае значения полного сопротивления образца и удельного сопротивления совпадают, т. е. в значения удельного сопротивления не входят геометрические параметры образца, значение удельного сопротивления получается сразу из измерений тока и напряжения (7.12):

.

Важно также, что квантованное значение сопротивления

воспроизводится в эксперименте очень точно, с относительной погрешностью

не хуже . Поэтому можно некоторое эталонное сопротивление калибровать по значению также очень точно. Воспроизводимость размера единицы

сопротивления определяется стабильностью только фундаментальных величин – постоянной Планка, заряда электрона.

Устройство с квантовым эффектом Холла способно, таким образом, воспроизводить эталон единицы сопротивления – Ома.

7.5. Эффект Ааронова – Бома

Это квантово-механический эффект, характеризующий влияние внешнего электромагнитного поля, сосредоточенного в области, недоступной для заряженной частицы, на ее квантовое состояние. При этом изменяется фаза волновой функции частицы. Схема эксперимента показана на рис. 7.5.

Рис. 7.5. Схема экспериментов по обнаружению эффекта Ааронова – Бома

20rπ

yyХолла

V

i=ρ

yХоллаρ

710−

yХоллаρ

Электроны испускаются из источника, и монохроматический электронный луч расщепляется таким образом, чтобы он огибал с двух сторон магнитный поток Ф, создаваемый бесконечно-длинным соленоидом, заключенным в непроницаемый для частиц цилиндрический экран. Диаметр соленоида очень мал, порядка 10 мкм.

Затем оба луча сходятся на экране в одном месте и волновые функции электронов могут интерферировать. Результат интерференции зависит от тока в соленоиде, т. е. от величины магнитного потока, создаваемого внутри соленоида. Удивительным кажется тот факт, что фазы волновых функций электронов изменяются, несмотря на то, что путь электронов лежит в области, где нет никаких электрических или магнитных полей, т. е. в области, где не может возникнуть сила Лоренца, действующая на заряды при их движении в магнитном поле. Волновая функция электрона целиком сосредоточена там, где нет никаких полей, могущих оказывать силовое воздействие на заряженные частицы.

Состояние каждого электрона схематически можно описать волновой

функцией где – амплитуда вероятности нахождения электрона в данной точке пространства (или волновая функция); – фаза волновой

функции; – гармоническая функция. Плотность вероятности обнаружения

частицы в некоторой точке равна . На экране, где пучки сходятся и

интерферируют, происходит наложение волновых функций двух электронов ; распределение плотности вероятности нахождения электрона можно

найти, вычислив квадрат модуля этой волновой функции:

(7.17)

где – разность фаз волновых функций. Из последнего выражения следует зависимость вероятности нахождения электрона в месте наложения волновых функций от их разности фаз.

В соответствии с квантовой теорией, для случая на рис. 7.5:

(7.18)

где – заряд электрона; dt – элемент времени; – элемент пути; V – скорость электрона; – векторный магнитный потенциал, интегрирование ведется по пути , пройденному электроном. Векторный магнитный потенциал зависит от магнитного потока Ф соленоида:

(7.19)

Здесь левая часть – циркуляция вектора по контуру L, охватывающему соленоид.

Таким образом, разность фаз волновых функций зависит от магнитного потока соленоида: .

,iAeΨ = ϕ Ψϕ

ieϕ

2Ψ

1 2Ψ + Ψ

2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 2 1cos( ) ,A A A A A AΨ + Ψ = + = + + −ϕ ϕ

2 1− =ϕ ϕ ϕ

( ),= ⋅ − ⋅∫e

V dt A dSϕπ

e dSA

S

.L

A dl Ф⋅ =∫

A

( )f Фϕ∆ =

Изменение потока Ф и векторного потенциала вследствие интерференции волновых функций электронов приводит к изменению распределения электронов по экрану, ток в месте схождения пучков изменяется. Если поток Ф изменяется линейно в больших пределах, ток периодически осциллирует, проходя через максимумы и минимумы. Один цикл осцилляций происходит при изменении магнитного потока Ф соленоида на величину кванта магнитного потока.

Интенсивность соединенных пучков электронов на рис. 7.5 равна сумме их интенсивностей, если магнитный поток в соленоиде равен целому числу квантов магнитного потока:

(7.20)

где – величина кванта магнитного потока.

Таким образом, эффект Аронова – Бома позволяет регистрировать изменения магнитного потока с высочайшей точностью, до значения кванта магнитного потока.

Эффект является ещё одним примером возможности наблюдения квантовых явлений в макросистемах, содержащих множество микрочастиц.

7.6. Магнитные резонансы

Если поместить парамагнитное или ферромагнитное вещество в постоянное магнитное поле, то, вследствие взаимодействия дипольных магнитных моментов атомных частиц с внешним полем, частицы начнут совершать вращательное прецессионное движение вокруг направлений силовых линий поля. Постепенно это движение из-за взаимодействий частиц друг с другом затухает, и вещество поляризуется, становится намагниченным. Достижению полной поляризации препятствует тепловое движение частиц вещества.

Рассмотрим поведение одиночной частицы с магнитным моментом в

постоянном магнитном поле с индукцией . Пусть частица располагается в пространстве произвольно (рис. 7.6, а), и между векторами и имеется

угол .

A

0,Ф nФ=

0 2

hФ

e=

mP

BB mP

ϕ

а) б)

Рис. 7.6. Прецессия частицы с магнитным моментом в магнитном поле

На частицу при этом со стороны магнитного поля действует вращающий момент М:

(7.21)

Вращающий момент направлен перпендикулярно векторам и

(рис. 7.6, б). Конец вектора под действием вращающего момента будет описывать

окружность (пунктирная линия на рис. 7.6, б), то есть вектор будет

прецессировать относительно направления вектора . Для ядер и сферически симметричных атомов их моменты импульса и

магнитные моменты коллинеарны:

(7.22)

где – магнитомеханическое отношение, которое зависит от отношения заряда частицы к его массе, от отношения e/m. Для электрона:

(7.23)

где g = 1, если в прецессии участвуют только орбитальные электроны, и g = 2, если прецессируют только собственные (спиновые) магнитные моменты электронов.

Используя уравнение динамики вращательного движения, можно для движения частицы записать:

(7.24)

Умножим обе части равенства на , получим:

(7.25)

.mM P B = ⋅ B mP

mP

mP

BL

mP

,mP L= γγ

,2

eg

m=γ

.mdL

M P Bdt

= = ⋅

γ

.mm

dPP B

dt = ⋅ γ

Если магнитное поле направлено вдоль оси Z прямоугольной системы координат, то составляющие магнитного поля по осям координат имеют следующие значения:

; . (7.26) Для составляющих магнитного момента по осям координат можно записать

уравнения:

; (7.27)

(7.28)

Из (7.27) получим уравнение относительно :

(7.29)

Обозначим . Получим уравнение:

,

решение которого: (7.30)

описывает гармонические колебания составляющей магнитного момента )(tPmX с частотой:

(7.31)

Эта частота называется ларморовой частотой.

Аналогичные гармонические колебания испытывает составляющая магнитного момента по оси , но со сдвигом по фазе. Можно сделать

вывод, что вектор (на рис. 7.6, б) с угловой скоростью совершает

круговое вращение вокруг вертикальной оси Z с центром вращения в начале координат; вектор прецессирует по образующей конуса с неизменным углом

его раствора. В реальных системах колебания всегда затухающие, поэтому с течением

времени амплитуда колебаний и угол уменьшаются при неизменной угловой частоте вращения. Для поддержания незатухающих колебаний на частицу необходимо воздействовать внешней переменной возмущающей силой.

Поместим вещество, находящееся в постоянном магнитном поле В, в дополнительное переменное магнитное поле , направленное силовыми линиями в плоскости , т. е. перпендикулярно полю В. Если частота дополнительного поля равна ларморовой, то наступает резонансное увеличение амплитуды колебаний; эти колебания совершаются за счет энергии источника

B

0X YB B= = ZB B=

;mXmY

dPB P

dt= ⋅ ⋅γ mY

mXdP

B Pdt

= − ⋅ ⋅γ

0.mZdP

dt=

mXP2

2 22

0.mXmX

d PB P

dt+ ⋅ ⋅ =γ

2 2 20B =γ ω

2202

0mXd PB

dt+ =ω

0( ) cos( )mXP t A t= +ω α

0 .B= ⋅ω γ0ω

Y mYP

mP 0ω

mPϕ

A ϕ

Bxy

переменного поля. В моментувеличивается, что отмечается

В магнитном поле В

составляют 42,57 МГц, длярадиодиапазону, и методырадиоспектроскопическими

Различают методы ядерногопарамагнитного резонанса (ЭПР

Используя уравнения можно записать:

Мы видим, что коэффициентфундаментальных константмагниторезонансные эффектыРазработанные для этой цели

7.7. Эффект зеемана

Эффект Зеемана – расщеплениеатомов и молекул в магнитномлиниях испускания и поглощения

Для наблюдения эффект

Рис. 7.7. Схема наблюдения

Источник света U с линейчатымвакуумно-дуговая лампа, помещаетсясоздающего однородное магнитноеспектрального прибора интерференционный монохроматорнаблюдения, расположенныхмагнитного поля электромагнитасодержит анализаторы поляризации

0 .2

eg B

m= ⋅ω

В момент резонанса потребление энергии от этогочто отмечается измерительной схемой.

В = 1 Тл резонансные частоты

МГц, для электронов 27,99 ГГц. Эти частотыи методы магнитного резонанса

радиоспектроскопическими. методы ядерного магнитного резонанса (ЯМР ирезонанса (ЭПР). уравнения (7.23) и (7.31), для значения резонансной

(7.32)

что коэффициент пропорциональности при В констант материи. Это позволяет

магниторезонансные эффекты для точного измерения индукции магнитногодля этой цели приборы называются магнитометрами

расщепление спектральных линий и уровнейв магнитном поле. Эффект наблюдается на

испускания и поглощения. наблюдения эффекта применяется следующая схема (рис

Схема наблюдения и исследования эффекта Зеемана

с линейчатым спектром, например, газоразряднаялампа, помещается между полюсами электромагнита

ородное магнитное поле. Исследуемый свет попадаетприбора Sp, содержащего дифракционную

интерференционный монохроматор. Схема предусматриваетрасположенных один – вдоль, другой – поперекэлектромагнита. Каждый канал, кроме спектрального

анализаторы поляризации (николи N1 и N2) и четвертьволновую

ν =

энергии от этого источника

для протонов

Эти частоты принадлежат резонанса называются

резонанса ЯМР) и электронного

значения резонансной частоты

зависит только от позволяет использовать индукции магнитного поля. магнитометрами.

линий и уровней энергии наблюдается на спектральных

следующая схема (рис. 7.7).

исследования эффекта Зеемана

например, газоразрядная или полюсами электромагнита N и S,

Исследуемый свет попадает на щель дифракционную решетку или предусматривает два канала

поперек относительно кроме спектрального прибора,

и четвертьволновую

0

2

ωπ

=

пластинку. Линзы нужны для собирания расходящегося света от источника U и концентрации его на входных щелях спектрометров.

Зееман обнаружил, что при наблюдении спектра поперек магнитного поля спектральная линия расщепляется на три линейно-поляризованные компоненты. Средняя компонента не смещается при включении магнитного поля, крайние смещаются от средней в противоположные стороны на одинаковые расстояния (по шкале частот). Смещение пропорционально индукции В внешнего магнитного поля. В средней компоненте электрический вектор светового излучения направлен параллельно магнитному полю (π-компонента), в крайних – перпендикулярно магнитному полю (σ-компоненты). Интенсивность π-компоненты вдвое, а каждой из σ-компоненты – в четыре раза меньше интенсивности исходной линии.

При наблюдении спектра вдоль магнитного поля так же видны смещения линий, что и при наблюдении поперек, но несмещенная компонента отсутствует. Интенсивность каждой компоненты вдвое меньше интенсивности исходной линии (без магнитного поля). Обе компоненты поляризованы по кругу в противоположных направлениях (это также σ-компоненты). При изменении направления магнитного поля на противоположную изменяется круговая поляризация обеих компонент.

Картина, наблюдаемая поперек и вдоль магнитного поля, показана схематически на рис. 7.8. Сдвиг линий спектра в спектральной картине означает изменение частоты излучения на этих линиях. В соответствии с теорией Лоренца, излучающими центрами являются гармонические осцилляторы в виде квазиупруго связанных в атоме электронов. В отсутствие внешнего магнитного поля движение такого электрона можно наглядно представить (рис. 7.9) как два движения: гармоническое колебание по оси и круговое движение в плоскости . На рис. 7.9 направления колебательного движения обозначаются горизонтальной обоюдоострой стрелкой, круговое – окружностью; стрелка – направление движения электрона на орбите в

атоме при угловой скорости вращения . Второе движение разложим на два

круговых вращения с одной и той же угловой скоростью , но в

противоположных направлениях.

ZXY

0ω0ω

0ω

Рис. 7.8. Картина расщепления

Рис. 7.9. Схематическое изображение

При наложении на движущийсяоси Z колебание вдоль осиЧастоты же обеих круговыхно для вращения против часовой

а для вращения по часовой.

1 0 ,= + Ωω ω

2 0= − Ωω ω

Картина расщепления спектральных линий излучения

Схематическое изображение разложения движения электронана два простых движения

наложении на движущийся электрон внешнего магнитноговдоль оси Z останется неизменным (нет

обеих круговых вращений изменяются на одну и тупротив часовой стрелки угловая частота увеличивается

(7.33)

по часовой стрелке – уменьшается: (7.34)

спектральных линий излучения

движения электрона в атоме

внешнего магнитного поля вдоль неизменным нет силы Лоренца).

на одну и ту же частоту Ω, частота увеличивается:

Здесь – ларморова частота для орбитального электрона.

Рассмотрим теперь оптические проявления рассмотренных эффектов. Колеблющийся электрон излучает электромагнитные волны света, частота которых совпадает с частотой его колебаний. При включении магнитного поля изменяется и частота колебаний электрона, и частота излучаемого света.

При наблюдении вдоль магнитного поля излучение создается только круговыми движениями – вращением – электрона. Таких вращений два – левостороннее и правостороннее, и поэтому наблюдаются два вида излучения с левой и правой круговыми поляризациями и частотами и (σ-

компоненты). Так как частоты компонент различны, соответствующие им линии спектра сдвинуты относительно положения в отсутствие магнитного поля.

При наблюдении поперек магнитного поля орбиты электронов видны сбоку, выглядят как перпендикулярные магнитным силовым линиям поля штрихи. Эти штрихи излучают как колеблющийся электрический диполь, т. е. электрический вектор излучаемой волны параллелен оси диполя (штриху) и перпендикулярен постоянному магнитному полю В. Излучение происходит на двух частотах и и дает две спектральных линии σ-

компоненты, обе линейно поляризованные. Кроме этих двух линий, в спектре наблюдается -компонента с частотой , в которой электрический вектор

параллелен В и которая вызвана колебательными движениями электрона вдоль магнитного поля В.

Таково объяснение расщепления спектральных линий в эффекте Зеемана. Измерение положения спектральных линий позволяет судить как о величине

магнитного поля, так и об энергетической структуре излучающей частицы.

7.8. Эффект Мёссбауэра (резонансное поглощение γ -излучения)

Эффект Мёссбауэра – испускание или поглощение -квантов ядрами атомов в твердом теле, не сопровождающееся импульсом отдачи.

Атомные ядра могут поглощать или излучать электромагнитное излучение при переходе из одного состояния в другое. Кванты этого излучения – -кванты – имеют энергию, превышающую 6 кэВ, что намного больше энергии световых фотонов (1–5 эВ), испускаемых при изменениях атомами энергетических состояний. Спектр -излучения, как и спектр излучения атомов, дискретный, что обусловлено дискретностью энергетических уровней ядер атомов. Наиболее глубоколежащие ядерные состояния имеют относительно большое время жизни. В соответствии с соотношением неопределенностей для энергии-времени, можно для возбужденных состояний ядер записать:

(7.35) где – время жизни ядра в возбужденном состоянии; –

неопределенность значения энергии возбужденного состояния. Видим, что чем больше время жизни состояния, тем меньше неопределенность энергии

2eB

mΩ =

0 + Ωω 0 − Ωω

E

0 + Ωω 0 − Ωω

π 0ω

γ

γ

γ

,E t∆ ⋅ ∆ ≥ h

t∆ E∆

возбужденного состояния. В основном состоянии стабильного атома , и .

Неопределенность энергии квантово-механической системы (например, атома) называется естественной шириной энергетического уровня (Г).

Относительная ширина уровня равна , где – энергия

излучаемого или поглощаемого кванта при переходах между состояниями ядра,

– частота излучения, составляет . Неопределенность в значении энергии кванта приводит к

немонохроматичности -излучения, испускаемого ядром при переходе из возбужденного состояния в основное. Эта немонохроматичность называется естественной шириной линии -излучения.

Если ядро облучить -квантами с энергией, равной энергии перехода между состояниями ядра, то может иметь место резонансное поглощение -излучения ядрами: ядро поглощает -квант той же частоты излучения, что и частота излучаемого ядром -кванта при внутриядерных переходах между состояниями.

Однако, когда в качестве источника и поглотителя -излучения использовали одно и то же вещество, содержащее, естественно, одинаковые атомы, поглощение

-излучения не произошло. Причина, как оказалось, заключалась в следующем. Рассмотрим

покоящееся атомное ядро, которое испускает квант электромагнитного

излучения. В момент испускания кванта с энергией и импульсом , в

соответствии с законом сохранения импульса, ядро испытывает отдачу в направлении, противоположном вылету кванта, приобретает импульс такой же величины, как импульс испущенного кванта, но противоположного направления.

Ядро придет в движение, кинетическая энергия этого движения составит:

(7.36)

где М – масса ядра. Таким образом, энергия Е, которая высвобождается при переходе ядра из

возбужденного в основное состояние, расходуется на ускорение движения ядра, поэтому энергия излученного кванта меньше, чем энергия Е:

(7.37)

Получаем, что действительная частота испущенного излучения будет на

величину меньше значения частоты без учета отдачи:

(7.38)

t∆ → ∞0E∆ =

/Г hν h E= γν

ν 8 1510 10− −−E∆

γ

γγ

γγ

γ

γ

γ

EγE

pc

= γ

2,

2яp

EM

=

Eγ.яE E E= −γ

νя

яE

h=ν 0ν

0 .я= −ν ν ν

При поглощении -линия поглощения смещается

На рис. 7.10 показаны профилипокоящихся атомных ядер (пунктирныепод действием импульса кванта

а)

Рис. 7.10. Спектры испусканияиспытывающих отдачу атомных

излучения

На рис. 7.10 по вертикалиизлучения (а) и коэффициент

Линии испускания и поглощения, они очень узкие, не перекрывают

испущенного таким же атонаблюдается.

Резонансное поглощениекомпенсации энергии на отдачу(Нобелевская премия за 1961

При охлаждении до низкихотдачи передаются не одномукристаллической решеткебольшей массой по сравнениюуравнения (7.36), потери энергииПоэтому процессы излученияэнергии.

Кроме того, при понижениитепловое движение атомоввызванное этим движениемполосы излучения. Поэтомуизлучения с очень узкими спектральными

γ

2 яν

-квантов ядро, наоборот, приобретаетпоглощения смещается на величину в сторону более высоких

показаны профили линий испускания и поглощенияатомных ядер (пунктирные линии) и изменяющихимпульса кванта (сплошные линии).

Спектры испускания (а) и поглощения (б) -испытывающих отдачу атомных ядер (сплошные линии);

излучения при переходе без учета отдачи

по вертикали показаны интенсивностькоэффициент поглощения (б).

испускания и поглощения смещены относительноузкие не перекрывают друг друга, поэтому и нет

таким же атомом излучения; резонансное поглощение

поглощение -излучения может быть полученоэнергии на отдачу ядра. Эту задачу решил Мёссбауэрпремия за 1961 г.).

охлаждении до низких температур твердого тела импульспередаются не одному ядру, излучающему

решетке в целом. Так как кристалл обладаетпо сравнению с массой отдельного ядра, то, какпотери энергии на отдачу становятся исчезающее

процессы излучения и поглощения -квантов происходят

при понижении температуры кристалладвижение атомов кристалла становится малым, уменьшается

движением изменение частоты излученияизлучения Поэтому атомы в охлажденном кристаллеочень узкими спектральными уровнями, ширина которых

яν

γ

α

γ

γ

γ

приобретает импульс, и сторону более высоких частот.

поглощения излучения для изменяющих свое состояние

б)

-переходов, ; – частота

интенсивность падающего

относительно друг друга на поэтому и нет поглощения

резонансное поглощение не

быть получено только при решил Мёссбауэр в 1958 г.

твердого тела импульс и энергия -квант, а всей

кристалл обладает гораздо ядра то, как очевидно из

становятся исчезающее малыми. квантов происходят без потерь

кристалла колебательное малым, уменьшается и

излучения, т. е. уширение охлажденном кристалле испускают

ширина которых близка к

0ν

I

естественной ширине линии, обусловленной соотношением неопределенностей.

Для исследования спектров -поглощения веществ необходимо иметь источник излучения с изменяющейся частотой линии -излучения. Эта проблема решается путем перемещения источника (удаления или приближения к исследуемому образцу) с некоторой скоростью. За счет эффекта Доплера частота излучения, воспринимаемого атомами поглотителя, отличается от частоты, излучаемой атомами источника.

На рис. 7.11 показана типичная схема экспериментальной установки, реализующей метод ядерного гамма-резонанса, как называют метод исследования, основанный на эффекте Мёссбауэра.

Рис. 7.11. Схема мёссбауэровского эксперимента

Испускаемое источником -излучение частично проходит через исследуемый поглотитель, прошедшее излучение регистрируется детектором. Источник перемещают со скоростью , характерные скорости перемещения – от 1 мм/с до 1 см/с.

Мёссбауэровская спектроскопия в настоящее время является наиболее точным из всех физических экспериментальных методов, так как позволяет

проводить измерения с относительной погрешностью . На практике в качестве источника -излучения используют радиоактивные

элементы с большим периодом полураспада или атомы этих элементов, введенные в твердотельную матрицу. Такими элементами могут быть , , и др. С помощью мёссбауэровской спектроскопии получают сведения о среднеквадратичных смещениях и скоростях атомов, изучают колебания кристаллической решетки, измеряют малые скорости (~0,1 мм/с) макроскопических объектов, например, при стыковке космических кораблей.

Наиболее важные применения – изучение магнитных и электрических полей внутри ядра атома.

7.9. Стабильность частоты лазерного излучения

7.9.1. Лазерные измерения длин

В настоящее время особо точные измерения временных промежутков и длины производятся с использованием квантовых генераторов излучений – мазеров (в радиодиапазоне) и лазеров (в оптическом диапазоне излучений). И в том и другом случаях основой достигаемой точности измерений является

γγ

γ

υ

15 1710 10− −−γ

191Os 40K 57Fe

использование квантовых переходов атомов или молекул с одного энергетического уровня на другой, при которых излучается или поглощается квант излучения – фотон. Точность измерений обеспечивается тем, что значения энергий квантовых переходов остаются стабильными в течение промежутков времени, сравнимых со временем существования Вселенной, одинаковыми у всех атомов данного сорта (атомов одного химического элемента), и практически не зависят от изменений окружающей среды. Лазерное излучение при использовании особых мер при конструировании лазерного излучателя поэтому может иметь высокостабильное значение частоты и длины волны.

Рассмотрим, как эти свойства лазерного излучения используются, например, при прецизионных измерениях длины.

На рис. 7.12 показана схема измерения длины – расстояния между штрихами измерительной линейки.

Рис. 7.12. Схема лазерного измерения длины

Используется метод измерения, основанный на использовании интерферометра Майкельсона. Лазерное излучение светоделителем делится на два пучка, один из которых направляется к неподвижному зеркалу, другой – к подвижному, которое закреплено вместе с микроскопом на движущейся по направляющим каретке. Пучки от зеркал отражаются и с помощью того же светоделителя направляются к фотоприемнику и интерферируют между собой. Максимум интенсивности результирующего пучка наблюдается, когда фазы интерферирующих пучков одинаковы; если фазы противоположны (разность фаз ), интенсивность равна нулю.

Вначале микроскоп наводится на штрих неподвижной линейки, затем зеркало перемещают и микроскоп наводят на следующий штрих. Расстояние между штрихами характеризуется числом максимумов (минимумов), зафиксированных при этом фотоприемником; перемещению на один период

изменений сигнала на выходе фотоприемника соответствует (четверть

длины волны лазерного излучения).

ϕ π∆ =

4x

λ∆ =

Для обеспечения точности измерений необходимо, чтобы длина волны лазера была стабильной и точно известной, что обеспечивается стабильностью частоты f генерации, так как , где с – скорость света в данной среде.

7.9.2. Обеспечение стабильности частоты лазерного излучения

Лазерный излучатель содержит оптический резонатор в виде параллельных друг другу зеркал, расположенных с зазором, который заполняет рабочее вещество. Рабочее вещество тем или иным способом возбуждается, и атомы переходят на более высокие энергетические уровни и становятся способными излучать свет.

Спектр излучения лазера определяется спектром энергий квантовых переходов рабочего вещества (активной среды) лазера, а также резонансными явлениями в лазерном резонаторе, которые за счет положительной обратной связи вынуждают происходить только такие квантовые переходы, при которых частота излучения соответствует параметрам резонатора лазера – на промежутке между зеркалами должно укладываться целое число полуволн электромагнитной волны излучения.

При излучении кванта света, как известно, происходит переход энергии излучателя (атома) с одного уровня (возбужденного) на другой уровень . Энергия кванта равна:

, (7.39) где h – постоянная Планка; – частота излучения; – энергия перехода. Уровни энергии не могут иметь точно определенного значения и как бы

размываются. Неопределенность значения энергии уровня связана со временем жизни атома в данном возбужденном состоянии и подчиняется соотношению неопределенностей

(7.40)

Неопределенность значения энергии обратно пропорциональна времени жизни :

Оказываясь в возбужденном состоянии, атом сразу же начинает излучать и отдает избыточную энергию за время жизни состояния; в отсутствие внешних воздействий время жизни состояния определяется самопроизвольным, спонтанным излучением атома.

Внешние воздействия могут сокращать время жизни излучающих частиц на уровнях.

Неопределенность значения энергии квантового перехода приводит, в соответствии с уравнением (7.39), к неопределенности энергии

излученного кванта и уширению линии излучения на :

/c fλ =

2E 1E

2 1h E E E= − =νν E

E∆τ

.2h

E∆ ⋅ ≥τπ

E∆τ

.2h

E∆ ≥πτ

τ

E∆ 1E

h ν∆ E∆ν

(7.41)

где – ширина контура линии спонтанного излучения на полувысоте контура. Эта так называемая естественная ширина спектральной линии излучения.

Контур линии спонтанного излучения имеет так называемую лоренцеву форму – в виде резонансной кривой с максимумом на частоте (рис. 7.13). Выразим ширину линии, используя соотношение неопределенностей:

(7.42)

где – время жизни состояния, определяемое спонтанными переходами. Время жизни атомов в разреженном газе в возбужденном состоянии (в отсутствие внешних воздействий на атомы)

составляет с, чему соответствует

ширина линии спектра Гц. В газоразрядных лазерах могут

происходить процессы, приводящие к уширению линий излучения.

Уширение линий из-за столкновений. В газе частицы в процессе теплового хаотичного движения непрерывно сталкиваются между собой и со стенками. При столкновениях энергетическое состояние частицы может измениться, что эквивалентно сокращению времени жизни частицы на данном уровне; в соответствии с соотношением неопределенностей это приводит к уширению спектральной линии за счет столкновений. Это уширение зависит от частоты столкновений частиц в газе, то есть от давления газа. Так, при давлении ~0,3 мм рт. ст. уширение линий из-за столкновений может составлять ~106 Гц.

Доплеровское уширение. Излучающие частицы двигаются относительно приемника излучения, и частота излучения, воспринимаемая приемником, вследствие эффекта Доплера зависит от величины и направления скорости их движения относительно приемника.

Хаотичность теплового движения приводит к тому, что вместо одной частоты (при неподвижных частицах), приемник воспринимает спектр частот.

В газоразрядных лазерах вызванный эффектом Доплера разброс частот

может иметь значение Гц и определять результирующую форму контура линии.

,EE

h

∆∆ =ν

E∆ν

0ν ν=

0

1,

2E

E

hν

πτ∆∆ = =

0τ

810−≈τ710∆ ≈ν

D∆ν 8 910 10−

Рис. 7.13. Контур линии спектра излучения

Влияние резонатора на спектр излучения лазера Оптический резонатор лазера выделяет в пределах контура линии

излучения активной среды набор резонансных длин волн (резонансных

частот ). Условием резонанса является требование, чтобы по длине

резонатора укладывалось целое число полуволн электромагнитной волны излучения:

, q = 1, 2, 3, ... (7.43)

Учтем, что длина волны связана с частотой соотношением:

(7.44)

где – скорость света в среде резонатора; с – скорость света в вакууме;

– показатель преломления среды. Преобразуем уравнение (7.43):

(7.45)

Отсюда найдем выражение для резонансных частот оптического резонатора:

(7.46)

У соседних резонансных частот отличается на единицу, и из этого уравнения получим, что при длине резонатора 1 м соседние частоты могут

отличаться на Гц. Ширина отдельной резонансной линии спектра меньше расстояния между линиями.

Отношение частоты излучения к ширине линии излучения, обусловленной влиянием резонатора,

rv

v

∆ (7.47)

называют добротностью резонатора. Чем меньше потери в резонаторе, тем выше его добротность. На практике достижимы значения добротности

, чему соответствует в видимом диапазоне спектра ширина линии

Гц. При работе лазера его частота генерации может изменяться под действием

ряда внутренних причин и под влиянием внешних воздействий. Возвращение частоты на прежний уровень (т. е. стабилизация частоты) производится изменением геометрической длины резонатора по сигналу рассогласования в цепи обратной связи. Сигнал рассогласования должен вырабатываться путем сравнения частоты генерируемого в данный момент излучения с характерной остающейся всегда постоянной частотой – реперной частотой, репером. К внутренним реперам относятся характерные точки контура линии излучения.

qλ

qω L

2qL q= ⋅

λ

,св c

n= =υλ

ν νсвυ

n

.2 q

qcL

n=

ν

.2qqc

nL=ν

q≈

810

r∆ν

Q =

610Q >710r∆ ≈ν

Наиболее эффективно стабилизацию частоты реализуют, используя линии поглощения в некоторых газообразных средах. Поглощающие ячейки с таким заполнением и прозрачными окнами располагают по ходу лазерного излучения, или внутри резонатора лазера, или вне резонатора. Линия поглощения заполняющей среды должна иметь частоту, близкую к стабилизируемой частоте генерации; частота линии является реперной частотой.

В поглощающих ячейках для стабилизации частоты может использоваться эффект насыщения среды. В ходе резонансного поглощения квантов излучения двухуровневой средой происходит переход частиц на более высокий уровень энергии, уменьшается населенность частицами нижнего уровня и увеличивается населенность верхнего уровня. По мере уменьшения населенности нижнего уровня разность населенностей уровней уменьшается, и энергия, поглощаемая средой, уменьшается, наступает эффект насыщения.

Эффект насыщения – выравнивание населенностей двух уровней энергии квантовой системы под действием резонансного электромагнитного излучения.

В пределе, когда интенсивность падающего на среду излучения так велика, что вероятность индуцированных переходов «вверх» превышает вероятность релаксационных переходов «вниз» с верхнего уровня, наступает полное насыщение, система просветляется; она прозрачна для резонансного излучения – нет ни поглощения, ни усиления, коэффициент поглощения равен нулю. Степень насыщения убывает с увеличением отстройки частоты излучения от резонанса, это может приводить к деформации контура спектральной линии поглощения – в её середине возникает провал. На линии излучения при этом возникает узкий пик, который и является репером для регулирования частоты излучения.

Узкой линии поглощения добиваются малым давлением газа в поглощающих ячейках, при этом столкновительное уширение линии мало.

В случае стабилизации частоты гелий-неонового лазера на длине волны излучения мкм в качестве среды поглощающей ячейки используется метан (СН4) при давлении Па и температуре от комнатной до температуры жидкого азота. Условное обозначение такого лазера –

лазер. При использовании ряда особых мероприятий (стабилизация температуры

ячейки, увеличение пути излучения в метане за счет применения многопроходной ячейки поглощения, расширение пучка и др.) удалось получить погрешность воспроизводимости частоты менее 1 Гц (относительная нестабильность частоты за время τ = 100 с).

7.10. Цезиевый эталон частоты

Близким к лазерам по физическим принципам работы является цезиевый эталон частоты. Он является пассивным (т. е. не излучающим) квантовым устройством.

3,39≈λ0,13 1,3−

4/He Ne CH−

151 10−⋅

Главной частью цезиевого эталона является вакуумированная атомно-лучевая трубка, в которой при ее работе создается пучок атомов цезия, проходящий вдоль оси трубки от источника атомов к коллектору, измеряющему интенсивность этого пучка. Вдоль пучка последовательно расположены первый постоянный магнит, создающий поперечное к пучку неоднородное магнитное поле (как на рис. 7.14), затем резонатор и второй магнит, аналогичный первому.

Рис. 7.14. Поперечное сечение области первого магнита атомной трубки: N и S – полюсные наконечники магнита; 1 – сечение пучка атомов цезия; 2 – силовые

линии магнитного поля

В поле первого магнита пучок атомов расщепляется на 16 пучков, в которых летят атомы, находящиеся на разных энергетических уровнях, так как основной уровень цезия расщепляется в магнитном поле на 16 магнитных подуровней в соответствии с эффектом Зеемана.

В резонатор попадают два пучка с энергиями атомов и , остальные отклоняются в стороны и отсеиваются.

В резонаторе от внешнего источника возбуждаются электромагнитные

колебания СВЧ диапазона ( Гц). Частота колебаний соответствует переходам в атоме от к или обратно. Если атомы под действием электромагнитного поля резонатора совершат переход между уровнями энергии, поле второго магнита направит их в сторону от коллектора атомов, и ток коллектора уменьшится.

Число атомов, совершающих переход в единицу времени под действием поля, максимально, если частота действующего на атом электромагнитного поля точно совпадает с частотой перехода. По мере расстройки частот число атомов, совершающих вынужденные переходы, уменьшается, поэтому, меняя частоту поля, можно определить контур спектральной линии, соответствующей переходам и . Частота вершины контура спектральной линии является опорной точкой на шкале частот (репером), а соответствующий ей период колебаний принят равным 1/9 192 631 777 с.

Острота вершины контура линии и точность настройки на нее увеличиваются с уменьшением ширины линии.

В цезиевом эталоне частоты ширина линии обусловлена соотношением неопределенностей, поэтому она является естественной шириной линии.

В соответствии с соотношением неопределенностей:

1E 2E

9~ 9 10⋅1E 2E

1 2E E→ 2 1E E→

где – неопределенность значения энергии на уровне Е; – время

взаимодействия с электромагнитным полем резонатора, оно совпадает со временем пролета атома через резонатор.

В отличие от лазеров, в атомном стандарте частоты причины, приводящие к уширению спектральной линии: эффект Доплера, столкновение возбужденных атомов с другими атомами – отсутствуют, так как пучок проходит в трубке в высоком вакууме.

Благодаря этому достигается относительная погрешность измерения частоты и времени менее .

Цезиевые стандарты частоты выпускаются серийно, и все они имеют точность, не уступающую точности первичного эталона.

,E∆ ⋅ ≥τ h

E∆ τ

1410−

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем учебном пособии проведено краткое рассмотрение физических основ измерений, то есть самых общих принципов, на которых построены методы измерений физических величин. Показано, что для инженера-метролога необходимым является как умение разбираться в основах физических явлений и процессов, подвергаемых измерениям, так и понимание зависимости ограничений, присущих всякому измерению, от принципов функционирования окружающего мира. Мир по своей природе изменчив, однако стабилен в своих фундаментальных основах, что и позволяет создавать приборы и методы измерений, обеспечивающие минимальные погрешности, близкие к фундаментальным естественным пределам.

В основе современной эталонной базы измерений лежит использование эффектов квантовой физики и лазерной физики и отыскание инженерных решений проблемы передачи стабильности объектов микромира измерительным устройствам.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Кунце, Х.-И. Методы физических измерений / Х.-И. Кунце; пер. с нем. – М.: Мир, 1989. – 216 с.

2. Левшина, Е.Р. Электрические измерения неэлектрических величин (Измерительные преобразователи): учеб. пособие для вузов / Е.Р. Левшина, П.В. Новицкий. – Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1983. – 320 с.

3. Информационно-измерительная техника и технологии: учеб. для вузов / В.И. Калашников, С.В. Нефедов, А.Б. Путилин и др.; под ред. Г.Г. Раннева. – М.: Высш. шк., 2002. – 454 с.

4. Сивухин, Д.В. Механика: учеб. пособие для вузов / Д.В. Сивухин. – М.: Наука, 1989. – Т. 1: Общий курс физики.

5. Борн, М. Атомная физика / М. Борн; пер. с англ. – М.: Мир, 1967. – 493 с.

6. Фейнман, Р. Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, Р. Лейтон, М. Сэндс. – М.: Мир. Т. 1, 1977. – 439 с.

7. Физическая энциклопедия / гл. ред. А.М. Прохоров; ред. Д.М. Алексеев, А.М. Балдин, А.М. Бонч-Бруевич, А.С. Боровик-Романов и др. – В 5-ти т. – М.: Большая Российская энциклопедия. – 1988-1998. – 3500 с.

8. Савельев, И.В. Курс физики: В 3-х т. / И.В. Савельев. – М.: Наука, 1989. – 1620 с.