لوا لصف لیسنافی تلااعم - Kebriaeekebriaee.com/.../2017/10/Lecture-Notes-Chapter-No-1.pdf · 2017. 10. 9. · هتفشیپ تایضای dM 6 sin 3 12y x y xy 22

فصل اول

معادالت دیفرانسیل

1 شرفتهیپ اتیاضیر 2

معادالت دیفرانسیل مرتبه اول -1

شود. یک معادله دیفرانسیل های فیزیکی استفاده میسازی پدیدهبرای مدل به طور کلی از معادالت دیفرانسیل

شود.عمومی به صورت زیر نمایش داده می

(1-1) 1, , ,..., 0

nF x y y y

که دراین معادله، n

n

n

ydx

yd دیفرانسیل از مرتبهn باشد. می

های آن ضرب تابع در مشتقات یک نوع خاص، معادله دیفرانسیل، معادله دیفرانسیل خطی است که در هر یک از ترم

شود که شکل کلی این معادله به صورت زیر است.آن ظاهر نمی

(1-2) xfxyxaxyxaxyxa n

nn ...1

10

به طور مثال معادله زیر یک معادله دیفرانسیل خطی است.

(1-3) 2

2

2sin

d yx y wx Linear ODE

dx

و معادله زیر مثالی از یک معادله دیفرانسیل غیرخطی است.

(1-4) 2

2sin 0

dNon linear ODE

dx

کند. خاص آن را شرایط اولیه مسئله مشخص می حلباشد که می 1حل عمومیمعادالت دیفرانسیل خطی دارای یک

0به طور مثال برای معادله دیفرانسیل خطی dy

ydt

فرم کلی معادله به صورتty Ae است. که برای

شرط اولیه 0 1y 1مقدارA باشد. می

1 General Solution

3 لیفرانسدی معادالت

نداشته باشد و یا یک جواب حل عمومیتواند برخالف معادالت دیفرانسیل خطی، معادالت دیفرانسیل غیرخطی می

عمومی باشد. معادله دیفرانسیل غیر خطی حلخاص، مستقل از 2

2 1dy

ydx

های را در نظر بگیرید. جواب

این معادله دیفرانسیل به صورت زیر خواهد بود.

(1-5) sin

1

y n A General Sol

y Singular Sol

باشد و این دو جواب مستقل خطی از هم تکین می جوابمستقل از جواب عمومیشود که همانطور که مالحظه می

هستند.

های حل معادالت دیفرانسیل مرتبه اولروش -1-1

به طور اجمالی در این بخش در مورد حل معادالت دیفرانسیل مرتبه اول توضیحاتی ارائه خواهد شد.

2معادالت جدایش پذیر

باز نویسی باشد به آن یک معادله جدایش پذیر گفته در صورتی که یک معادله دیفرانسیل به صورت زیر قابل

شود.می

(1-6)

,dy dy

f x y F x G y F x dxdx G y

گیری ساده تبدیل خواهد شد.که حل آن به یک انتگرال

مثال زیر نحوه حل یک معادله جدایش پذیر است.

1-1مثال

2 2 21

2 2 2

1tan

1 1

dy x y dy xdx x x c

dx yx y x

2 Separable Equations


3معادالت دیفرانسیل همگن

اگر یک معادله دیفرانسیل به صورت زیر بازنویسی گردد.

(1-7) yxQ

yxPyxf

dx

dy

,

,,

شود.باشند به معادله همگن گفته می nهمگن از مرتبه Qو Pو توابع

است، اگر: nهمگن از مرتبه Pتعریف: تابع , ,nP tx ty t P x y

uبرای یک معادله همگن از تغییر متغیر x

y شود.استفاده می

: معادله دیفرانسیل زیر را حل کنید.2-1مثال

2

2

2dy y xy

dx x

هستند. بنابراین نحوه حل این معادله به صورت زیر است. 2مخرج توابع همگن از مرتبه صورت و

2 2 22

2

2

122

1 1

1 1

ln ln 1 ln1 1

dy duy u x x x u

dx dx

u uu x x u duu x u u u

x dx x

du dx dxdu

u u x u u x

u x cu u x k xc y

u xc

4معادالت دیفرانسیل شبه همگن

معادله دیفرانسیلی زیر یک معادله شبه همگن است.

(1-8) dy ax by c

dx Px qy r

3 Homogeneous ODE 4 Near Homogeneous


که با تغییر متغیر زیر تبدیل به یک معادله همگن می گردد.

(1-9) 0

0 0

0

0,

0

x X Xax by cX Y

Px qy r y Y Y

: معادله دیفرانسیل شبه همگن زیر را حل کنید.3-1مثال

0 0

1

2

1 0 2, 2, 1

2 0 1

1 1

2 2 2 2

dy y

dx x y

y x XX Y

x y y Y

dY Y dY Y

dX X Y dx X Y

5معادالت کامل

یک معادله دیفرانسیل به شکل

(1-11) , , 0M x y dy N x y dx

باشد.کامل است اگر رابطه زیر برقرار

(1-11) M N

x y

بوده است که Fزیرا این رابطه مشتق گرفته تابع

(1-12) ,F F

N Mx y

: معادله دیفرانسیل کامل زیر را حل کنید..4-1مثال

2 3 2 2 2cos 3 4 6 cos 3 6 2 0x y xy dx y x y x y y dy

از آنجا که برای این معادله روابط زیر برقرار است.

5 Exact Equations


2 26 sin 3 12dM

y x y xydx

2 26 sin 3 12dN

y x y xydy

بنابراین یک معادله کامل است و خواهیم داشت.

2322 23sin ydyy

fygygyxyxF

6معادالت خطی مرتبه اول

فرم استاندارد معادله خطی مرتبه اول به صورت زیر است.

(1-13)

0

(0)

x t

b xdx

a x

b x b xdx dx

a x a x

b x bxdx d

a x a

dya x b x y f x

dx

b x f xdyy e

dx a x a x

f xye e

a x

f ty e e dt y

a t

7معادله برنولی

یک معادله دیفرانسیل با صورت زیر به معادله برنولی معروف است.

(1-14) ndyP x y Q x y

dx

1برای حل معادله برنولی از تغییر متغیر nu y گیریم و خواهیم داشت.کمک می

(1-15) 1 ndu dyn y

dx dx

6 Linear First Order Equations 7 Bernoulli’s Equation


: معادله برنولی زیر را حل کنید.5-1مثال

2

21

2 2

2

1 1 1:

1

daa ta n

dt

da a du duu a t

dx dx u dt u u

( ) 1

( ) 1 ( 1 )

te t t t t t

t

t

du du duu t u t e ue te e u te dt c

dt dt dt

u t ce t

a t ce t

8معادله ریکاتی

معادله به فرم کلی زیر ریکاتی نامیده می شود.

(1-16) 2dyP x y R x y Q x

dx

اگر در حالی که 0Q x باشد معادله به فرم برنولی و اگر 0R x آید.خطی در می مباشد معادله به فر

( معلوم باشد، جواب دوم آن با یکی از تغییر متغیرهای زیر 1yهای مسئله )برای حل این معادله، اگر یکی از جواب

آید.به دست می

(1-17) 1

1y y

u 1یاy y u

: معادله ریکاتی زیر را حل کنید.6-1مثال

1y x 2 2 1dy

x y xydx

که به این ترتیب از تغییر متغیر 1

y xy

وy x u توان به ترتیب استفاده نمود. می

8 Riccati Equation


2

2 2

dux u x linear

dx

dux u xu Bernoulli

dx

را می توان به صورت زیر بیان کرد. 9جواب کلی ریکاتیدرمعادله

(1-18) 1 du

yRu dx

شود.همگن خطی مرتبه دوم تبدیل می ODE، معادله ریکاتی به یک جایگذاری این عبارت در معادلهبا

(1-19)

2

20

d u R duP RQu

dx R dx

به اولدر معادالت دیفرانسیل مرت11بررسی وجود و یکتایی جواب -1-2

که آیا معادالت مرتبه اول با شرایط آن استباشد بحث دیگری که در زمینه معادالت دیفرانسیل حائز اهمیت می

برای مثال ؟یکتا هستند یا نهها نه؟ یا اینکه در صورت وجود جواب، جواب اولیه مشخص دارای جواب هستند یا

معادله زیر را در نظر بگیرید.

:7-1مثال

1 3

4 4

3

4

4

3

0 1 1

General Soldyy y x c

dx

y c

جواب ندارد، اما همین معادله برای شرط مرزی بنابراین معادله با این شرط اولیه 0 1y 41به ازای c دارای

باشد.جواب می

ی وجود جواب است. به مثال دیگری توجه کنید.بررسی شرایط مرزی تعیین کننده دهداین مثال نشان می

9 General substitution 10 Existence and Uniqueness of Solutions


2/33برای معادله دیفرانسیل غیرخطی :8-1مثال dy

ydx

جواب عمومی به صورت 3

y x c باشد که به می

ازای شرط اولیه 0 0y 3، پاسخ معادله دیفرانسیل به صورتy x جواب توان پذیرفت باشد ولیکن میمی

باشد.به صورت زیر نیز تواند مییفرانسیل داین معادله

3

0 x ay

x a x a

بنابراین جواب وجود دارد اما یکتا نیست.

اگر تابع قضیه: yxf در بازه ، تابعی پیوسته و محدود, 0 0x a x a x و

0 0y b y b y 0شامل نقطه 0( , )x y و ماکزیمم تابع باشد yxf ، باشد kدر این بازه مقدار ,

)minآنگاه به ازای مقادیر مثبت کوچک , )b

ak

،y 0در همسایگی 0x x x حداقل یک جواب

.دارد. )شرط کافی و نه الزم است(

از لحاظ امکان وجود جواب بررسی کنید. : معادله زیر را9-1مثال

1

44

, 0 13

y y y

در این معادله با توجه به تعریف 1

44

,3

f x y y ، 4عبارت

1

y 1درy اما به ازای است. تعریف نشده

شرایط اولیه 10 y، 1این عبارت در همسایگیy .پیوسته است و معادله جواب دارد

اگر در این نقطه در ادامه،y

f

خواهد بود.یکتا نیز تابعی پیوسته و محدود باشد، جواب

در مثال قبل،


3

41

3

fy

y

.محدود و پیوسته نیست y=0این معادله در نقطه

بررسی وجود: yxf نقطه در نزدیکی , 0,0 .محدود و پیوسته است، پس حداقل یک جواب دارد

بررسی یکتایی: y

f

در نزدیکی نقطه 0,0 .محدود و پیوسته نیست، پس جواب یکتا نیست

، ولی معادالت دارای جواب هستند و یا یکتایی برای تری داشتهشرایط متفاوتشود که هایی آورده میدر ادامه مثال

آنها وجود دارد.

مسئله زیر را از نظر وجود و یکتایی بررسی کنید.: 11-1مثال

1

2 2

0 1 2 1

dyx y x c

dx

y y x

است، بنابراین جواب دارد. معادله زیر نیز شرایط مشابهی دارد. ( پیوسته و محدود ,0 این معادله در بازه)

مسئله زیر را از نظر وجود و یکتایی بررسی کنید. : 11-1مثال

tan 1

0 1 ,2 2

1 sin,

cos 2 2

y y x

y x

xy x

x

معادالت دیفرانسیل مرتبه دوم -2

طور کلی یک معادله دیفرانسیل خطی با اپراتور خطی هب L y شود.به صورت زیر تعریف می

(1-21) L y f x


که ترم f x باشند. بخش غیرهمگن معادله می

معادله دیفرانسیل خطی همگن با اپراتور خطی L y با مرتبهn دارای ،n جواب مستقل خطی است که پاسخ

نهایی معادله همگن با توجه به خطی بودن و اصل برهمنهی به صورت زیر است.

(1-21) H i iy c y x

با توجه به جواب همگن معادله، فرم کلی یک معادله دیفرانسیل خطی غیرهمگن به صورت زیر است.

(1-22) PH yyy

معادالت دیفرانسیل بر حسب شرایطی که فرم کلی معادله دیفرانسیل بر دسته بندی خطی و غیرخطی بودن، عالوه

بندی شامل معادالت دیفرانسیل با گردند. این دستهبندی میتقسیم آورد نیزمنحصر به فرد آن در میرا به فرم

باشد.می 12و معادالت دیفرانسیل با شرایط مرزی 11شرایط اولیه

عادالت دیفرانسیل شرایط اولیه تابع در م y x اند و در واقع مقادیر و مشتقات آن در ابتدای بازه مشخص شده

ayayay n 1,...,, .مشخص هستند

در معادالت دیفرانسیل با شرایط مرزی تابع y x هستند و به طور و مشتقات آن در بیشتر از یک نقطه مشخص

)مثال برای تعیین جواب منحصر به فرد معادله )y a ،( )y b و( )y b .مشخص هستند

معادله زیر یک معادله خطی غیرهمگن شرط اولیه است.

2

21

0 0, 0 2

d yy

dx

y y

معادله شرط مرزی است.و معادله زیر مثالی از یک

2

20

0 1, (1) 0

d yy

dx

y y

11 Initial value problem (IVP) 12 Boundary Value Problem (BVP)


فرانسیل مرتبه باالییکتایی و وجود معادالت د -2-1

تر از یک مسئله شرط مرزی است. زیرا در مسائل شرط به طور کلی بررسی یک مسئله مقدار اولیه به مراتب ساده

اولیه، بررسی به صورت محلی و در مسائل شرط مرزی به صورت کلی است.

را به صورت زیر در نظر بگیرید 13مسئله مقدار اولیه

(1-23)

1

1

0 0 0 0

... 0

,

n n

n

n n

y x a x y x a x y x

y x y y x y

کلی به صورت زیر خواهد بود. های همگن معادله باشد، جوابجواب iyدانیم اگر همانطور که می

(1-24) j jy c y x

شرط الزم برای وجود جواب، غیر صفر بودن عبارت به این ترتیب،

1

1

1 1

1

...

...

...

n

n

n n

n

y x y x

y x y xW x

y x y x

.است

رده و در صورت غیر صفر بودن آن در این را در دامنه مشخص بررسی کمعادله 14بایست رونسکینبه این منظور می

باشد.داده شده دارای جواب می اولیهبازه، مسئله به ازای شرایط

ی برای خوب اولیهاگر جواب دستگاه در یک نقطه صفر باشد، به این معنی است که آن نقطه شرط الزم به ذکر است

مساله نیست.

صفر می شود و در سایر نقاط مخالف صفراست. x=0تنها در نقطه نسکینروزیر در معادلهبه طور مثال

: 12-1مثال

11

2

110 0x

x

y xx yy y w x xe x

x x y e

داده شود مسئله جواب نخواهد داشت. x=0لذا در صورتی که شرایط مرزی در نقطه

13 Initial value problem 14 Wronskian

https://www.google.com/search?espv=2&biw=1366&bih=681&q=wronskian&spell=1&sa=X&ved=0ahUKEwjd7pb-nYjPAhWrJsAKHVATBZgQBQgZKAA


بررسی رفتار معادالت -2-2

-wellشرط شود. ( تقسیم بندی میill-posedبدرفتار )( و well-posedرفتار معادالت به دو دسته خوش رفتار )

posed بودن یک معادله، منحصر بفرد بودن جواب )وضعیت غیر صفر بودن رونسکین( است. برای تعیین خوش

توان از فرمول آبل استفاده نمود. های معادله مییک معادله خطی قبل از تعیین جوابرفتار بودن

یک معادله خطی رابطه زیر برقرار است.سین رونک بر حسب فرمول آبل برای

(1-25) 1( ) ( ) ( )W x a x W x

بررسی شود. Singularity 1a)طبق معادله آبل کافیست ناپیوستگی ) لذا و

بودن تابع برای وجود جواب الزم است اما کافی نیست. به مثال زیر توجه کنید.رفتار شرط خوش

: 13-1مثال

1 02

60 0 0cy

y a x w e cx

که شرط الزم را دارد. اما جواب را با شرایط مرزی زیر در نظر بگیرید:

3 2

1 2

0 6

0 6

yy c x c x

y

بررسی کنیم. Singularجواب ندارد. بنابراین حتما باید مسئله را در نقاط ناپیوستگی یا اولیهمعادله با این شرایط

ای مقدار رونکسین بی نهایت شود، بدون در نظر گرفتن شرایط مرزی و اولیه در مورد رفتار اگر در نقطههمچنین

توان اظهار نظر کرد .آن نمی


کنید.: رفتار معادله زیر را تعیین 14-1مثال

2 2 12

2

2 2 0

10

0 0 0 1

0 1 0 1

x

x

cx x y x y x y y c e

x

e xw x w

x

y y No Solution ill Posed

y y Well Posed

فرانسیل مرتبه دومیحل معادالت د -2-3

معادالت دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب ثابت ساده ترین معادالت مرتبه بیشتر از یک هستند و کاربردهای

بهطی مرتیک معادله دیفرانسیل خفرم کلی متعددی دارند که در ادامه در مورد حل آنها توضیح داده خواهد شد.

.است (26-1معادله )دوم به صورت

(1-26) ( ) ( ) ( )y A x y B x y F x

نامیده می شود. 15، ترم غیر همگن F(x) که

معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی همگن با ضرایب ثابت -2-3-1

ب ثابت است.ضرائیک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم با ( فرم کلی 27-1)معادله

(1-27) 0y Ay By

xyکه جواب کلی این معادله به صورت e معادله 16شخصهممعادله ( 27-1باشد و با جایگذاری در معادله )می

آید.به صورت زیر به دست میدیفرانسیل

(1-28) 2 0A B

شوند.واب های معادله همگن به صورت زیر تعیین میکه با بررسی ریشه های این معادله، ج

15 Nonhomogeneous term 16 Characteristic equation


(1-29) 2 4

2

A A B

شرایط مختلفی برای جواب همگن وجود دارد. Bو Aکه بسته به شرایط

(1-31)

1 22

2

2

4 0 ,

4 0 ,

4 0 sin , cos

x x

j

x x

j

x x

j

A B y e e

if A B y e xe

A B y e x e x

در هر سه حالت جواب نهایی معادله دیفرانسیل به صورت زیر بیان می شود.که

(1-31) 2

1

j j

j

y c y x

( با توجه به شرایط مرزی و اولیه مشخص می شوند.𝑐𝑗هاضرایب ثابت معادله ).که

17اویلر -معادله کوشی -2-3-2

یکی از ساده ترین معادالت خطی با ضرایب متغیر، معادله کوشی اویلر است. فرم کلی این معادله به صورت زیر است.

(1-32) 2

1 2 0x y a xy a y

myدر صورتی که پاسخ این معادله را به فرم کلی x ( 34-1در نظر بگیریم، به معادله جبری )خواهیم رسید.

(1-33) 1 21 0m m a m a

.های معادله جبری، جواب معادله تعیین می شوددر این حالت مجددا با بررسی ریشه

(1-34)

1 2

1 2

1 2

1 2

, ,

, ln

, cos ln , sin ln

m m

j

m m

j

j

m m real y x x

m m real y x x x

m m i imaginary y x x x x

17 Cauchy-Euler equation


18تغییرات پارامترها -2-3-3

( ثابت نبوده 26-1از معادله ) Bو Aتر معادالت مرتبه دوم را در نظر بگیرید، به طوری که ضرایب اکنون حالت کلی

و معادله همگن نباشد.

(1-35) xfyxayxay 21

های همگن و ناهمگن معاله هستند.این معادالت به صورت جمع خطی پاسخجواب کلی همانطور که گفته شد

(1-36) ( ) ( )j j py c y x y x

)که )py x .پاسخ بخش غیر همگن معادله است

شود جواب غیرهمگن مترها فرض میاهای همگن معادله باشند، در روش تغییرات پارپاسخ 2yو 1yاگر فرض کنیم

به صورت زیر باشد.

(1-37) 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )py u x y x u x y x

)ه این ترتیب مشتقات اول و دوم که ب )py x .به صورت زیر خواهد بود

(1-38) 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

p

p

y u y u y u y u y

y u y u y u y u y

)( به ازای یک مجهول 37-1با توجه به آنکه در معادله ) )py x 1، دو مجهول( )u x 2و ( )u x معرفی شده است

شود.توان تعریف میشرط زیر برای اضافه کردن یک قید می

(1-39) 1 1 2 2 0u y u y

( خواهیم داشت.35-1( در رابطه )39-1( و )38-1که با جایگذاری روابط )

(1-41) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2u y a y a y u y a y y u y u y f x

,𝑢2هایی که مضارب هستند، عبارت f(x)=0های معادله به ازای جواب 2yو 1yاز آنجایی که 𝑢1 هستند صفر

و بنابراین خواهیم داشت. شوندمی

18 Variation of parameters


(1-41) 1 1 2 2u y u y f x

یر مقدار دستگاه معادالت ز و از حل1 2,u u آید.به دست می

(1-42) 1 1 2 2

1 1 2 0

u y u y f x

u y u y

و خواهیم داشت.

(1-43) 1 2

1 2

y yw x

y y

و

2 1

1 2,y x f x y x f x

u uw x w x

خواهیم داشت.( و انتگرال گیری 37-1جایگذاری در معادله )با

(1-44)

2 1

1 1 2 2 1 2p

y x f x y x f xy u y u y y x dx y x dx

w x w x

جواب به شکل زیر تبدیل می شود.تر کردن جواب، با تعریف پارامتر هها و سادکه برای تلفیق انتگرال

(1-45)

1 2 2 1

p

y f y x y f y xy d

w

)) الزم به ذکر است اگر شرایط اولیه معادله دیفرانسیل مرتبه دو همگن باشد ) 0, ( ) 0y a y a جواب نهایی ،)

معادله به صورت زیر خواهد بود.

(1-46)

1 2 2 1

x

a

y f y x y f y xy d

w

)که کامال مشخص است رابطه فوق هم در شرط مرزی همگن ) 0y a کند. از طرفی خواهیم داشت:صدق می

(1-47)

1 2

2 1

1 2 2 1

x x

a a

y f y fy y x d y x d

w w

y x f x y x y x f x y x

w x

)که با جایگذاری ) 0y a .خواهد بود


: معادله ناهمگن زیر را به کمک روش تغییر پارامترها حل کنید.15-1مثال

2 3 4 lnx y xy y x

2

1 23 4 0 1 3 4 0 , 2,2my xx y xy y m m m m m

xxyxy ln, 2

2

2

1

2 1

1 2

2 22 2 2

3 2 3 2

2 21 2 3

1 2

2 2

1 2

ln lnln

1 1ln

4 4

ln

2 2 ln

1 1ln ln

4 4

x x

P

x x

P

y f y fy y x d y x d

w w

x d x x d

y x

y y x x xw x x

y y x x x x

y C x C x x x

راهنمایی:

2 2

3 3 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

ln ln 1 1 2 1 1 2ln ln

2 2

ln1 1 1 1 1 1 1 1 1ln

2 2 2

ln1 ln 1 1 1

2 2 2

ln1 ln 1 1

2 2 4

x x

x

x

d d

xd

x

x xd

x x

x x

x x x

3 3 2 2

2 3 2 2

ln ln 1 1 1 1 1 1

2 2

1 ln 1 1 ln 1

2 2 2 4

x x

x

d d

x xd

x x x


19تابع گرین -2-3-4

𝑎این روش برای حل معادالت غیرهمگن با شرایط مرزی در بازه محدود ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 .کاربرد دارد

( با شرایط مرزی همگن زیر هستیم.35-1فرض کنید به دنبال پاسخ معادله )

(1-48)

1 1

2 2

0

0

k y a K y a

k y b K y b

( محدود باشد و به صورت زیر تغییر کند.21-1در این حالت باید بازه انتگرال معادله )

(1-49)

1 2

2 1

x b

a x

y f y fy x y x d y x d

w w

اگر این معادله را به صورت زیر بنویسیم، تابع گرین معرفی می شود.

(1-51) ,

b

a

y x G x f d

به این ترتیب تابع ,G x شود. تعریف می، تابع گرین معادله دیفرانسیل

(1-51)

1 2

2 1

,

y y xa x

wG x

y y xx b

w

𝑎این تابع در بازه ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 پیوسته بوده و مشتق پذیر می باشد. مشتق آن بر حسبx برابر است با

(1-52)

1 2

2 1

,x

y y xa x

wG x

y y xx b

w

xمشتق تابع در نقطه دارد. بنابراین 21پیوسته نبوده و به اصطالح پرشG مشتق پذیر نبوده اما پیوسته

است.

19 The Green Function 20 Jump


(1-53)

2 1 1 2

, , 1x x

y x y x y x y x w xG x x G x x

w x w x

اکنون باید بررسی کنیم که در چه صورت شرایط مرزی برقرار خواهد بود.

1 1 2 2

2 2 1 1

2 2

1 1 1 1 1 10 0

x b

a x

b b

a a

y f y x f x y f y x f xy x y x d y y x d y x

w w x w w x

y f y fk y a K y a k y a d K y a d

w w

خواهیم داشت. بنابراین

(1-54) 1 1 1 1 2 2 2 20 , 0k y a K y a k y b K y b

: معادله غیرهمگن با شرایط مرزی زیر را حل کنید. 16-1مثال

2 4(1) 0

3(2) 0

yx y xy x

y

30y y

x

1

4

2

1030 1 3 0

4

h

h

ymy y m m m

y xmx

: جواب همگن معادله کوشی

1

2

2 1

2

1 2

441 2 1 2 11 1 2

4 42 3 4 23 4 3 4

1

, , ,

2

1 0 0 1

162 0 16 0 16

b

a

y

y

y x yx

wy x G x d G x

y x yx

w

y c c c c y xy c c x

y c c x y xy c c c c

4 4

3

3 3

4 4

3

4 4

3

1 1660

4 4

16 11

60,

1 162

60

x xw x x

x x

xx

G xx

x


22 2 2

2 2 2 2

1 1

1 16 1 11 16

60 60

xx

x x

y x G d G d x x

تابع گرینبررسی رفتار -2-3-4-1

محاسبه می کنیم تا رفتار تابع بهتر مشخص شود. اکنون مشتق دوم تابع گرین را

1 2

1 1 2

2 1

1 2 1 2 1 2

1 2

0

0

xx

y y xa x

wG y a y a y

y y xx b

w

y y x y y x y y xa x a x

w w w

همانطور که مشخص است تابع گرین در معادله زیر صدق می کند.

(1-55)

022121 ayay

w

y

.(,, b x=a آنها ممکن است تابع گرین صدق نکند، نقاط مرزی بازه هستند ) بنابراین نقاط محتملی که در

(1-56)

1 1

1 1 2 2

,

,

, , 0

, , 0, , , 0

b

a

b

a

b b

a a

y G x f d

y G x f d

k G a f d K G a f d

k G a K G a k G b K G b

بنابراین تابع گرین حتی در شرایط مرزی همگن نیز صادق است.

تابع دلتا -2-3-4-1-1

برابر صفر می باشد. خواص آن در معادالت زیر آمده x=0تابع دلتا، تابعی است که مقدار آن در تمام نقاط به غیر از

است.


(1-57) 0 0x for x

باشد.عالوه بر این روابط انتگرالی زیر در مورد آن صادق می

(1-58) 0

0

1 1x dx or x dx

و به این ترتیب رابطه زیر نیز برای این تابع قابل بازنویسی است.

(1-59) f x x c dx f c

یک اپراتور دیفرانسیلی باشد، پاسخ سیستم به تابع ضربه تابع Lبا این تعاریف در ادامه توضیح خواهیم داد، اگر

گرین آن اپراتور خواهد بود.

و یا همان تابع گرین G، تابع معادله دیفرانسیل خطی غیر همگن زیر با محرک تابع دلتااگر پاسخ به این منظور

باشد.

(1-61) LG x

کند. که شرایط مرزی زیر در آن صدق می

(1-61)

1 1

2 2

, , 0

, , 0

k G a K G a

k G b K G b

)آنگاه جواب معادله )Ly f x .به صورت زیر خواهد بود

(1-62) ,

b

a

y x G x f d

که در شرایط مرزی همگن زیر نیز صدق می کند.

(1-63)

1 1

2 2

0

0

k y a K y a

k y b K y b

کنیم.را اعمال می L( در دو طرف این معادله اپراتور دیفرانسیل خطی 61-1برای اثبات رابطه )

(1-64) ( )

( ) ,

b

ax

L y x LG x f d f x


توان به نکات زیر نیز اشاره داشت.از دیگر خواص تابع گرین می

کند.در معادله همگن صدق می -1

(1-65) xLG 0

کند.ارضا مینیز شرایط مرزی را و البته -2

یعنی رابطه زیر برقرار است. .رین در تمام میدان حل پیوسته استتابع گ -3

(1-66) , , & , ,G G G x x G x x

باشد.برای یک اپراتور دیفرانسیل خطی مرتبه تابع گرین دارای خاصیت زیر می -4

(1-67) 1,, xxGxxG xx

اپراتور از طرفی 2

2

d G dGL x x x G

dx dx 1گیری از رابطه )را در نظر بگیرید. با انتگرال-

( خواهیم داشت.58

(1-68) dxxGdxxdxdx

dGxdx

dx

Gdx

2

2

هر دو پیوسته هستند ترم سوم از چپ معادله حذف می شود. سمت راست Gو در این رابطه از آنجایی که که

هم برابر یک خواهد بود. به این ترتیب معادله به صورت زیر ساده می شود.

(1-69) 0 1x x

x x

dGG

dx

ستگی تابع گرین خواهیم داشت.وکه با فرض پی

(1-71) 1

( )x xx x

G G


پاسخ معادله زیر را با شرایط مرزی داده شده بیابید. -17-1 مثال

0 1 0y y f x y y

از آنجایی که تابع گرین معادله همگن را ارضا می کند خواهیم داشت

2

2

0

0, 0 (1, ) 0

1

G G x

G G

dL

dx

باشد.که جواب همگن این معادله دیفرانسیل به صورت زیر می

sin cosG A x B x

که برای شرط مرزی سمت چپ 0, 0G .خواهیم داشت

1 2

1 2 2

1

sin cos

0 1 0 0

sin

left

left

G c x c x

c c c

G c x

و به همین ترتیب برای شرط مرزی سمت راست 1, 0G .خواهیم داشت

3 4

3 4 3 4

4

4

sin cos

cos 1sin 1 cos 1 0

sin 1

cos 1 sin sin 1 cos sin 1sin 1

right

right

G c x c x

c c c c

cG x x c x

برای یافتن که 1c و 4c ،قیود زیر بر روی تابع گرین اعمال گردد.

1) G ( در نقطه ناپیوستگیx .پیوسته باشد ) ( , ) ( , )left rightG G

1 4sin sin 1c c

.صدق کند( 68-1رابطه )تابع گرین در (2

1 4

1, , cos cos 1 1x xG x G x c c

x

دو ضریب مجهول) اکنون می توان 1c و 4c .را تعیین کرده و تابع گرین را مشخص نمود )


1

4

sin sin 1sin 10

sin 1sin 1,

sin 1 sinsin1

sin 1 sin 1

xxc

G xx

c x

(( بسیار 49-1روش اول ) معادله )اگرچه استفاده از برای محاسبه تابع گرین بیان شد: به این ترتیب دو روش

باشد. تر می( است، لیکن در روش دوم فیزیک و نحوه حل ملموس17-1ارائه شده در مثال ساده تر از روش دوم )

به حل مثال قبل با روش اول توجه کنید.حال

1 2

1 2

1 2

0

,

1

sin sin 1left right

y y xx

wG x

y x yx

w

y x G x y x G x

الزم به ذکر است نحوه محاسبه تابع گرین برای اپراتورهای دیفرانسیل مرتبه باالتر نیز کامال مشابه انچه در مثال

باشد.( ارائه شد، می1-17)

هردو پیوسته بوده و GوGاگر معادله دیفرانسیل مرتبه سوم باشد، تابع به طور مثال

1 lr GG.است

)*(اثبات

1 lr GG ( می68-1کامال مشابه رابطه ).باشد

نیروی متغیر با زمان وارد می شود. ،فرض کنید به جسمی =18-1مثال

2

20 0 0 0

d xm f t x x

dt

برای به دست آوردن تابع گرین با حل معادله دیفرانسیل 2

20

d Gm t

dt .خواهیم داشت

( , ) ( ) ( )G t a t b

,0)که با اعمال شرایط اولیه ) 0G 0)و, ) 0G .خواهیم داشت


( ) ( ) 0left lefta b

0leftGکه به معنی باشد.می

از طرفی برای محاسبه rightG از فرض پیوستگی( , ) ( , )left rightG G .خواهیم داشت

( ) ( ) 0right righta b

باشد.زیر نیز برقرار میهمچنین رابطه

1 1

, ,x x rightG x G x x am

و بنابراین خواهیم داشت.

1

rightG tm

توان گفت تابع گرین برای اپراتور و می2

2

dL

dt .به صورت زیر قابل بازنویسی است

0

, ,1

t

G x or G x u t tt t

m

21روش کاهش مرتبه 2-3-5

همگن زیر را در نظر بگیرید. 2دیفرانسیل خطی مرتبه معادله

(1-71) ( ) ( ) 0y a x y b x y

یهافرض می کنیم یکی از جوابدر این صورت اگر xy1. معادله دیفرانسیل زیر به را بدانیم جواب دیگر این

صورت زیر قابل معرفی است.

(1-72) 2 1y x y x u x

ق مرتبه اول و دوم آن به صورت زیر خواهد بود. تکه به این ترتیب مش

21 The reduction of order method


(1-73) 2 1 1

2 1 1 12

y y u y u

y y u u y y u

( خواهیم داشت.69-1( در رابطه )71-1که با جایگذاری رابطه )

(1-74) 1 1 1 1

0

2 0y u y ay u y ay by u

)که با در نظر گرفتن ) ( )u x v x ( به صورت زیر در می72-1معادله ).آید

(1-75) 1 1 12 0y v y ay v

باشد.که حل معادله فوق به صورت زیر می

(1-76) 1

1

2 ( )( )

( )

y xdva x dx

v y x

و بنابراین خواهیم داشت.

(1-77) 11

1

2ln 2ln ( )

yv a dx y x a x dx

y

آید.که در نهایت رابطه زیر به دست می

(1-78)

1 22

1

a x dx

eu C dx C

y

معادله زیر را حل کنید. -19-1مثال

2

10, ( )x y xy y y x x

اویلر بوده و لذا داریم.-دانیم این معادله یک معادله کوشیالبته به طور کلی می

1 1 0 1,1m m m m

خواهیم داشت.از طرفی از روش کاهش مرتبه

1

22

1ln ln

d

eu dx dx x y x x

x x


22روش تبدیل به فرم استاندارد -2-3-6

دوم دیفرانسیل مرتبه گاهی اوقات بهتر است معادله مرتبه 0y a x y b x y به فرم استاندارد زیر

در آید.

(1-79) 0u f x u

کنیم.را اینگونه تعریف می u(x)برای حل این معادله تابع

(1-81) ( ) ( ) ( )y x u x v x

خواهند بود.که به این ترتیب مشتقات مرتبه اول و دوم تابع به صورت زیر

(1-81) 2

y u v v u

y u v u v uv

که با جایگذاری در معادله دیفرانسیل اولیه خواهیم داشت.

(1-82) 2 0u v u v av u v av bv

2( الزم است رابطه 81-1( و )77-1که با مقایسه رابطه ) 0v av برقرار باشد. الزم به ذکر است از آنجا که

2( تغییر متغیر منجر به تعریف دو تابع مجهول شده است استفاده از قید 78-1در رابطه ) 0v av بالمانع

است.

از قید معرفی شده داریم. گیریهمچنین از مشتق

(1-83) 2 2

2 2 2 4

av a v a v a av av bv bv b v

که در نهایت فرم استاندارد معادله به صورت زیر خواهد بود.

(1-84) 2

02 4

a au b u

22 Reduction to standard form


فرم استاندارد حل کنید.معادله مرتبه دوم زیر را به روش تبدیل به -21-1مثال

2 24 4 16 1 0x y xy x y

کنیم.زنویسی میبرای حل این معادله به روش فرم استاندارد ابتدا آن را به شکل زیر با

2

1 14 0

4y y y

x x

که به این ترتیب خواهیم داشت.

1 11 1

22 2dxa x dx

xv e e x

زیر خواهد بود.و بنابراین معادله فرم استاندارد به صورت

2 2 2

1 1 14 0 4 0

2 4 4u u u u

x x x

sinکه جواب این معادله به صورت 2 cos2u A x B x باشد و جواب معادله برابر است با: می

1

2

sin 2

cos 2

xyx

y uvxy

x

23حل معادالت دیفرانسیل خطی به روش تبدیل الپالس -3

با متغیر مختلط f(s) را به تابع f(t)به طورکلی تبدیل الپالس، نوعی تبدیل انتگرالی است که تابع حقیقی متغیر

s .تبدیل می کند

(1-85) 0

stf s e f t dt

-1در رابطه ) .با معادالت دیفرانسیل خطی ضرایب ثابت است 24اهمیت تبدیل الپالس در حل مسائل مقدار اولیه

کنیم.را اینگونه تعریف می fتبدیل الپالس تابع شود.نامیده می fتابع 25کرنلste( عبارت 83

23 Laplace transform 24 Initial value problem(IVP) 25 Kernel


(1-86) 0

stL f t F s e f t dt

مساله مقدار اولیه زیر را به کمک روش تبدیل الپالس حل کنید. -21-1مثال

3 2 1 2y y y t t (0) 0

(0) 0

y

y

تبدیل الپالس را اعمال می کنیم.

2123 tLtLLyyLyL

2

2

2

1 1( )

3 2 1 2

s ss se e

Y s e es s s s

2 1 1 2 2 21 2

t t t ty t u t e e u t e e

** چند نکته:

ای به صورت زیر قابل محاسبه است.تبدیل الپالس یک چند جملهدانیم همانطور که می

2

1

0

1

.

.

.

!n n st

n

L ts

nL t t e dt

s

در نظر بگیریم، خواهیم داشت. s=1که اگر در رابطه آخر

(1-87) 0 0

( 1) ! !n t x tif s n t e dt x t e dt

به این صورت تعریف می شود. ()26به کمک این رابطه تابعی به نام گاما

(1-88) 0

1 x tx t e dt

26 Gama function


به این ترتیب که 1

0

x tx t e dt

.خواهد بود و خواهیم داشت

(1-89) 1x x x

.اینگونه تعریف شود fحال فرض کنید تابع

(1-91) 1

0

, 1

nn

ztf z n t dt

n

از تعریف تابع نمایی خواهیم داشت. در این صورت

(1-91) 1 1

0 0

lim 1

nn

z t z

n

tt dt e t dt z

n

جز گرفته شود، داریم: به انتگرال رابطه فوق به روش جز اگر

(1-92)

!

, lim1 ...

z

n

nf z n z

z z z n

te( اگر از تغییر متغیر 89-1همچنین در رابطه ) x .استفاده شود، خواهیم داشت

(1-93) 11

0 1

1 0

1 1ln ln

zzdx

z x dxx x x

روابط زیر برای تابع گاما برقرار است.همچنین

(1-94) 1 1sin

zz z

z

(1-95) 1

21

1sin 2

zzz z z

z

(1-96) 1

1 1 11 lim 1 ... ln(n)

2

z

whilez m

nm

zze e

z m n

تعریف مشتق کسری**

است را در نظر بگیرید. انتگرال که عملگر J تبدیل


(1-97) 0

x

J f x f t dt

و به همین ترتیب خواهیم داشت

(1-98)

2

0 0 0

1 1

0 0

.

.

.

1 1

1 ! 1 !

x x t

x xnn

J f Jfdt f s dsdt

J f x t f t dt J f x t f t dtn

شود.اینگونه تعریف می Dبا عملگر مشتق fام تابع 𝛼مشتق مرتبه بنابراین

(1-99)

0

1

1

x f xdD f x dt

dx x t

شوند.های مهم و کاربردی معرفی میدر ادامه برخی از انتگرال

(1-111) 2

0

2 xuerf x e du

Error function

(1-111) u

ix

eE x du

u

Exponential integral

(1-112) u

ix

eE x du

u

Exponential integral

(1-113) 0

sinx

i

uS x du

u Sine Integral

(1-114) duu

uxC

xi

cos

Cosine Integral

(1-115) 2

0

2sin

x

S x u du

Fresnel Sine Integral

(1-116) 2

0

2cos

x

C x u du

Fresnel Cosine Integral


27های توانیایده سری -4

است و در هر دو نوع ODEهای توانی، بسیار کاربردی و قابل استفاده حتی برای پیچیده ترین معادالت روش سری

در این روش با توجه به این نکته که پاسخ بسیاری از معادالت دیفرانسیل مساله شرط مرزی و مقدار اولیه کاربرد دارد.

ها بیان شود، راه حلی کلی برای حل انواع معادالت در هر ایملههای توابع ابتدایی مثل چند جتواند به کمک ترممی

دهد.شرایطی ارائه می

معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با شرایط اولیه به فرم کلی زیر را در نظر بگیرید.

(1-117) 0 00 ,y P x y Q x y y x a y x b

زمانی که توابع xP و xQ 0در نقطهx x تحلیلی باشند ) نقطه منفرد برای xP و xQ ،)نباشد

( استفاده کرد. 115-1توان از سری توانی به فرم زیر برای حل معادله )می

(1-118) ( ) n

ny x a x

را به (na( به کمک شرایط مرزی و اولیه ضرایب مجهول)115-1این ترتیب با جایگذاری این تابع در معادله ) به

نویسیم.دست آورده و پاسخ نهایی را به فرم زیر می

(1-119)

2

0 00 0 0 0 0

( )... ( )

2! !

nn

x x x xy x y x y x x x y x y x

n

زیر را به دست آورید. چند جمله اول جواب معاد -22-1ال مث

21 sin 0 1y x y x y

0 1 0 sin 0 0 1y y

1 ( 1) ...y x

تابع لژاندر -4-1

های توانی، حل معادالت لژاندر است.یکی از کاربردهای مهم روش سری

27 Power series solution


(1-111) 21 2 1 0 0x y xy y

توانی توجه کنید. در ادامه به حل این معادله با روش سری

(1-111)

2 2 1

0 2 1 0

2

2 2 1 0

1 1 2 1 0

1 1 2 1 0

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

y a x x a n n x x a nx a x

a n n x a n n x a nx a x

تبدیل می کنیم. nxدر این مرحله با تغییر متغیر تمام جمالت را به ضرایب

(1-112) 2

0 2 1 0

2 1 1 2 1 0n n n n

n n n n

n n n n

a n n x a n n x a nx a x

یابیم.ضرایب مجهول را می xهای یکسان از در این حالت با برابر صفر قرار دادن ضرایب توان

(1-113)

2 0

3 1 1

2

0 : 2 1 1 0

1: 3 2 2 1 0

2 : 2 1 1 2 1 0n n n n

n a a

n a a a

n a n n a n n a n a

در این صورت

(1-114)

2 0

3 1

2

1

2

1 2

6

1

2 1n n

a a

a a

n na a

n n

0a 1وa آیند.از شرایط مرزی به دست می

به این ترتیب خواهیم داشت.

0 0

1 1

2 2 2

2 2 0 2 0 0 0

3

3 3 1

0 1

1

2 3 1 3

53

3

y P

y x P

if P y a a x a a x a x

P y a x x

که با توجه به تعریف 1 1nP .روابط زیر برقرار است


(1-115)

0

1

2

2

3

3

1

1

13 1

2

15 3

2

P x

P x

P x x

P x x x

تابع لژاندر 28تابع تولید -4-1-1

لژاندر نام دارد.تولید ابع تضرایبش بر حسب توابع لژاندر باشد، 0tتابعی که در بسط تیلورش حول

(1-116) 0

, n

n

t

G x t P x t

با این توضیحات تابع زیر و مشتق آن را در نطر بگیرید.

(1-117)

3 22

2 2

1 2 2

1 21 2 2 1 2

G x t x tG G

t xt txt t xt t

خواهیم داشت.که پس از بازنویسی رابطه فوق

(1-118) 21 2 0G

xt t x t Gt

( و مشتق مستقیم از رابطه 114-1با توجه به تعریف ) 1

1

n

n

t

Gnt P t

t

( و 116-1و جایگذاری در رابطه )

داریم. ntبرابر صفر قرار دادن ضرائب

(1-119) 1 11 2 1 0n n nn P x n xP x nP x

را محاسبه کرد. سایر جمالتتوان می 𝑝1 و𝑝0که به این ترتیب در یک رابطه بازگشتی با دانستن

است 29شود، رابطه رودریگرزای لژاندر استفاده میدیگر روابطی که برای محاسبه چندجملهاز

(1-121) 211

2 !

nn

n n n

dP x x

n dx

28 Generating Function 29 Rodrigues Formula


در داریم. لژانتولید تابع همچنین از تعریف

(1-121) 1

2 2 202 21 2 1 2 1 1

2 2

2 2

1 1 1 1cos

2 cos1 2 cos

n

n

n

rP

r r rr r r r r rr

r r

های توانیدر سرینقاط تکین -4-2

امکان نوشتن بسط تیلور حول آن نقطه برای تابع وجودگوییم تابعی در نقطه مشخص تحلیلی است یعنی وقتی می

داشته باشد. و یک معادله تحلیلی است اگر جواب آن را بتوان تحلیلی نوشت.

(1-122) 0

0

0n

n

n

y P x y Q x y y a x x

0xدر 𝑄(𝑥) و𝑃(𝑥) در معادله فوق اگرکه x

تحلیلی باشند، نقطه𝑥0 نام دارد. 31تقطه معمولی

تحلیلی نباشند ولی توابع 2

0Q x x x و 0P x x x نقطه تحلیلی باشند𝑥0 تقطه تکین

نام دارد 31رفع شدنی

تحلیلی نباشند و توابع 2

0Q x x x و 0P x x x نیز تحلیلی نباشند نقطه𝑥0 تقطه

نام دارد 32تکین رفع نشدنی

ماهیت نقاط تکین معادله زیر را مشخص کنید. -23-1 مثال

2 2 2( ) 0x y xy x n y

)ام است. در این معادله توابع nاین معادله، معادله بسل مرتبه دانید همانطور که می ) 1p x x و

2 2 2( ) ( )Q x x n x در مبدا تحلیلی نیستند. بنابراین مبدا برای معادله بسل یک نقطه تکین محسوب

30 Regular Point 31 Regular Singular Point 32 Irregular Singular Point


)شود. اما توابعمی ) 1xp x 2و 2 2( ) ( )x Q x x n هر دو در مبدا تحلیلی هستند، بنابراین نقطهx=0،

رفع شدنی است. نقطه تکین

33روش فروبنیوس -4-2-1

( ارائه داد، برای حل معادالت خطی 1849-1917های )روشی که فروبنیوس بر مبنای روش سری های توانی در سال

کاربرد دارد.تکین رفع شدنی همگن در نقاط

به صورت زیر خواهد بود. 0xهای معادله حول نقطه تکین رفع شدنی در این روش حداقل یکی از جواب

(1-123) 2

0 0 1 0 2 0 0 0

0

( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )c c n

n

n

y x x x a a x x a x x x x a x x

توان به صورت زیر نوشت.که در فرم فشرده آن را می

(1-124) 000

0

axxaycn

n

n

)معادله در ) ( ) ( ) 0a x y b x y c x y ، 2اگر( )a x x 0باشد نقطه 0x در این بوده و ، نقطه تکین

)2حالت ) ( )P x b x x2و( ) ( )Q x c x x بنابراین فرم جواب این معادله به صورت خواهند بود و

0 0

( ) ( )c n n c

n n

n n

y x a x a x

.به این ترتیب با جایگذاری این فرم در معادله تعریف شود و خواهد بود

خواهیم داشت. 0aبرابر صفر قرار دادن ضریب

(1-125) 0 0( 1) 0c c p c q

شوند.شود و پارامترهای این معادله به صورت زیر تعریف میگفته می 34که به این معادله، معادله مشخصه

(1-126) 2

0 00 0

lim ( ), lim ( )x x

p xp x q x q x

متفاوت خواهد بود: cپاسخ معادله به ازای حالت های مختلف به دست آمده برای

1 2

1 2 1 2

0 0

:n c n c

n n

n n

c c Integer y a x y b x

33 Frobenius Method 34 Indicial Equation


1 1

1 2 1 2 1

0 0

: lnn c n c

n n

n n

c c y a x y y x b x

1 2

1 2 1 2 1

0 1

: lnn c n c

n n

n n

c c Integer y a x y ky x b x

35تابع بسل نوع اول -4-2-1-1

هستند، ظاهر 37و غیر متقارن 36ایبسل معموالً در معادالت انتقال حرارت و پتانسیلی که در دستگاه استوانهمعادله

شود. و فرم کلی آن به صورت زیر است.می

(1-127) 2 2 2 0x y xy x v y

شود.که به صورت زیر نیز نوشته می

(1-128) 2 2 2 2 0x y xy x v y

0vدر این معادله عدد حقیقی بوده و نقطهx=0 .زیرا: از نقاط تکین رفع شدنی است

2

02

22 2 2 2

0 2

1 11 0 1

1

vy y y P x x x x

x x x

vQ x x x x x v

x

به این ترتیب اگر سری فروبینیوس 0

r C

r

r

y a x

( جایگذاری کنیم، خواهیم داشت.125-1را در معادله )

(1-129)

2 2 1 2 2

0 0 0

2 2

0 0 0 0

2

2

0 0 2

( )( 1) ( ) ( )

( )( 1) ( )

( )( 1) ( )

r c r c r c

r r r

r r r

r c r c r c r c

r r r r

r r r r

r c r c r c r c

r r r r

r r r r

x a r c r c x x a r c x x v a x

a r c r c x a r c x a x v a x

a r c r c x a r c x a x v a x

0

22 2 2 1

0 1 2

2

1 [( )( ) ] 0c c r c

r r

r

a c v x a c v x r c v r c v a a x

35 Bessel Function of the First Kind 36 Cylindrical 37 Nonsymmetrical


داریم: xهای با صفر قرار دادن ضرایب توان

(1-131) 2 2

0: 0cx a c v c v

(1-131) 21 2

1 1: 1 0 0cx a c v a

(1-132) 2 2

2: 0c r

r rx a r c v a

های زوج به rفرد تمام ضرائب همیشه صفر است و به ازای rتوان نتیجه گرفت که به ازای که از روابط فوق می

آید.کمک رابطه بازگشتی ضریب به دست می

(1-133)

2 222

4

mm

ar m a

m m v

گردد.مقداری دلخواه است، پاسخ را با تعریف زیر نرمالیزه می0aاز آنجایی که

(1-134) 0

1

2 1va

v

بدین ترتیب تعریف خواهد شد. 2maکه در این صورت ضریب

(1-135)

2 2

1

2 ! 1

m

m v ma

m v m

آید.به این ترتیب با کمک نتایج روابط فروبنیوس جواب عمومی معادله بسل به دست می

(1-136)

2

20

1

2 ! 1

m

v m

v m vm

J x xm v m

vمی گویند و اگر v رابطه تابع بسل نوع اول از مرتبهبه این n .عدد طبیعی باشد، خواهیم داشت

(1-137)

2

20

1

2 ! !

m

m n

n m vm

J xm n m

نهایت صفر دارد و صفرهای آن در بی نهایت به سمت الزم به ذکر است این تابع بی Jدر زمینه معرفی خواص تابع

کنید.های مختلف مشاهده می n( رفتار تابع بسل را به ازای 1-1صفر میل کرده و رفتار شبه تناوبی دارد. در شکل )


نوع اول رفتار توابع بسل -1-1 شکل

برای این توابع شرایط کنیدهمانطور که مالحظه می 0 00 1, (0) 0nJ J و 1 0 0nJ برقرار

همچنین در همسایگی صفر خواهیم داشت. است.

(1-138)

0lim ( )

2 !

n

n nx

xJ x

n

cاز طرفی ترم دوم جواب عمومی به ازای v شود.اینگونه محاسبه می

(1-139)

2

20

1( )

2 ! 1

m

v m

v m vm

J x x xm m v

.شودمیاینگونه تعیین ولبنابراین جواب عمومی معادله بسل نوع ا

(1-141) 1 2( ) ( ) ( )v vy x C J x C J x

این صورت خواهد بود.( به 126-1و به همین ترتیب پاسخ معادله )

)برخی از روابط بین ترم های همچنین )vJ x و( )vJ x.به صورت زیر است

(1-141) 1

vvv

v

dx Jx J

dx

(1-142) 1

vvv

v

dx Jx J

dx


(1-143) 1 1

2( ) ( ) ( )v v v

vJ x J x J x

x

(1-144) 1 1( ) ( ) 2 ( )v v vJ x J x J x

را حساب کنید. زیرانتگرال -24-1مثال

3

0x J dx

3 2 3 2 3 2 3 2

0 0 0 1 1 1 1 1 2( 2 2 ) 2 2x J dx x xJ dx x J xxJ x J dx x J x J dx x J x J

های معادله بسل، وجود نقطه تکین رفع نشدنی در بی نهایت است. این تابع در بی نهایت رفتار تناوبی از دیگر ویژگی

اش با ضریب دامنهدهد و از خود نشان میx

1نهایت صفر دارد و رابطه زیر برای تعداد صفر های کم شده و بی

تابع برقرار است.

اش با ضریب رفتار تناوبی دارد که دامنه است و Irregularمعادله بسل در بی نهایت، نقطه تکینx

1کم شده

نهایت صفر دارد و رابطه زیر برای تعداد صفر های تابع برقرار است.و بی

(1-145) 1 ( )m mz z m

در معادله بسل )اکنون 2 2 2 0x y xy x v y ) 1حالتی را که

2v .در این حالت را در نظر بگیرید

2های معادله مشخصه در شرایط ریشه 1c c Integer 1توان برای به دست آوردن میکنند و صدق می2

J و

12

J .به گونه دیگری عمل کرد

به روش فرم استاندارد جواب معادله را به صورت 2همانطور که به خاطر دارید در حل معادله دیفرانسیل مرتبه

y uv گیرند. در این حالت برای در نظر میv وu آید.معادالت زیر به دست می


(1-146)

1

2

2

12 0

2

0 0 sin cos4 2

v av v v v xx

a au b u u u u A x B x

بنابراین خواهیم داشت.

(1-147) 1 1

2 2

sin cosA B

y x x AJ BJx x

از طرفی از تعریف تابع بسل داریم.

(1-148) 2 2 11

21 11 1

2 20 02 22 2

1 11

1 12 ! 1 2 ! 1

2 2

m mm m

x

m mx x

x xJ x J

xm m m m

همچنین داریم.

(1-149)

1

1 1 1 1Eliminating

1

1 1 1 1

2

2

v

v v v v v

v v v v v v v vJ

v v v v v

v v v v v n n n

d vx J x J x J vx J x J J J J

dx x

d nx J x J x J vx J x J J J J

dx x

با جایگذاری1

2v و

1

2v

.به ترتیب در روابط فوق خواهیم داشت

(1-151)

3 1 1

2 2 2

3 1 1

2 2 2

1 1:

2

1 1:

2

v J J Jx

v J J Jx

vهمچنین برای n .داریم

(1-151)

2

20

1( )

2 ! !

m m n

n m nm

xJ x

t n m

mکه با تغییر متغیر t n .خواهیم داشت

(1-152)

2

2

1( ) 1

2 ! !

t t nn

n t nt

xJ x

t n t

یعنی ( ) 1 ( )n

n nJ x J x


)تابع بسل نوع دوم -4-2-1-2 )vY x

0xyهمانطور که توضیح داده شد معادله y xy معادله بسل مرتبه صفر بوده و با توجه به ظاهر شدن

مشتق دوم دارای دو جواب همگن مستقل از هم می باشد که این پاسخ را به فرم زیر می توان نوشت.

(1-153) 1

2 0

1

ln m

m

m

y J x b x

ابط ریاضی، ضرایب مجهول جایگذاری کنیم، به کمک روبسل مرتبه صفرم را در معادله اصلیفرم چنانچه این nb

به دست می آیند.به صورت زیر

(1-154) 2

2 2 22 1 0m mm b b

0که 0b .می باشند و خواهیم داشت

(1-155)

1

2 1 22

1 1 11 ...

22 !

m

m mb

mm

حالت کلی پاسخ معادله به صورت زیر خواهد بود.بنابراین در و

(1-156)

1 2

2 0 221

1 1 1ln 1 ...

22 !

m m

mm

xy J x

mm

گردد. می یکه عموما این رابطه به صورت زیر خالصه نویس

(1-157)

1 2

2 0 221

1ln

2 !

m m

m

mm

h xy J x

m

که 1 1

1 ...2

mhm

می باشد.

تابع بسل مرتبه اول نوع دوم می شناسیم به صورت زیر مقدار دهی می گردد.و آنچه که ما آن را به عنوان

(1-158)

1 2

0 0 221

12ln

2 2 !

m m

m

mm

h xxY J

m

اینگونه تعریف می شود. بهبسل نوع دوم از مرتبه های باالتر تابع به طور کلی


(1-159) 1

cossin

v v vY J v Jv

های طبیعی خواهیم داشت. nکه به ازای

(1-161) limn vv n

Y Y

و می توان نشان داد.

(1-161)

1 2 1

2

2 20 0

1 1 !2 1ln

2 2 ! ! 2 !

m mn nm m n m

n n m n n m nm m

h h x n mx xY J x

m m n x m

ک روابط زیر برقرار است.های کوچ xبه این ترتیب مشاهده می شود به ازای

(1-162) 0

2~ lnY x

(1-163) ( ) 2

~

v

v

vY

x

.های بزرگتر خواهیم داشت xبه ازای همچنین و

(1-164) 2 2 1

~ sin4

v

vY x

x

.در نهایت ویژگی این تابع را می توان به این صورت بیان کردو

(1-165) 0

lim 0

lim

vm

vm

Y

Y

شده است.رفتار نابع بسل نوع دوم نمایش داده 2-1در شکل

38تابع بسل اصالح شده -4-2-1-3

ه ای به فرم زیر را در نظر بگیرید.معادل

(1-166) 2 2 2 0x y xy x v y

38 Modified Bessel Function


نوع دوم رفتار توابع بسل -2-1 شکل

این معادله دو جواب مختلط مستقل خطی vI x و vK x دارد که تحت عنوان تابع بسل اصالح یافته مرتبه

v ند.نوع اول و دوم شناخته می شو

ix( با تغییر متغیر 164-1در معادله )مالحظه می شود معادله به صورت 2 2 2 0x y xy x v y

در می آید و لذا خواهیم داشت.

(1-167)

2 2

2 20

1( )

2 ! 1 2 ! 1

m m v m vv v

v v m v m vx

ix xI x J ix x i

m m v m m v

و لذا در واقع جواب عمومی این مسئله به صورت زیر می باشد.

(1-168) 1 2v vy C I x C I x

تابع که می توان vK x کرد.را اینگونه تعریف

(1-169)

( )2 sin

v v

v

I x I xK x

v

بارتند ازاین تابع عخواص مهم

(1-171) 0(0) 1, (0) 1, (0)n nI I K

(1-171) lim ( ) 0nx

K x


0xو در واقع در شرایط مجانبی .داریم

(1-172) 1 ( ) 2

~ ( ) , ~ ( )(1 ) 2 2

v v

v v

x vI k

v x

داریم. های بزرگ xو به ازای

(1-173) 1

~ ~22

x x

v vI e k exx

رفتار تابع بسل اصالح شده نشان داده شده است. 3-1در شکل

اصالح شدهرفتار توابع بسل -3-1 شکل

تابع بسل تابع تولید -4-2-1-4

برای تابع بسل تابع تولید آن به صورت زیر می باشد.

(1-174) 1

2

xt

nt

n

n

e J x t

itکه به ازای e .خواهیم داشت

(1-175) sinn

ix i

n

n

e J x e

از طرفی داریم.


(1-176)

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 sin

2 cos 2

i i i i

i i i i

J e J e J e e iJ

J e J e J e e J

( داریم.173-1)که با جایگذاری رابطه فوق در معادله

(1-177) sin

0 2 2 1

1 1

2 cos 2 2 sin 2ix

n n

n n

e J J x n i J x n

از طرفی با وجود رابطه sincos sin sin sin ixx i x e قسمت های موهومی و و متناظر قرار دادن

( روابط زیر به دست می آید.175-1معادله )حقیقی

(1-178) 0 2

1

cos sin 2 cos 2n

n

x J J x n

(1-179) 2 1

1

sin sin 2 sin 2n

n

x J x n

تابع بسل مرتبه صفر تبدیل الپالس -4-2-1-4

0xyاز انجا که تابع بسل مرتبه صفر به صورت y xy بوده و از طرفی برای تبدیل الپالس رابطه

1

nnn

n

d F sL x f x

ds .وجود دارد، خواهیم داشت

(1-181)

2 0 01

0

1

d s X sy yL xy

ds

L y sX x

dXL xy

ds

الپالس تابع بسل نوع صفر به دست می آید.که با جایگذاری تبدیل

(1-181) 2

2

02

1ln ln 1

1 2

1( ( ))

1

dX sds X s

X s

L J xs


های توانی در نقاط تکین رفع نشدنیسری -4-2-2

ط چند توان به صورت بسنشدنی دارد. یعنی آن را نمی ط تکین از نوع رفعدر نقاط تکین رفع نشدنی جواب نیز شرای

ها و یا سری فروبینیوس نوشت.ایجمله

xنقطه گیرد در همسایگیقرار مییکی از شرایطی که مکررا معادله در آن دارای شرایط تکین رفع نشدنی

باشد که برای بررسی این نقطه الزم است تغییر متغیر می1

xt

.انجام گیرد که به این ترتیب خواهیم داشت

(1-182) 21. .

dy dy dt dy dyt

dxdx dt dx dt dt

dt

(1-183) 2 2

2 2 3 4

2 2. . 2

d y d dy dt d dy dy d yt t t t

dx dt dx dx dt dt dt dt

به مثال زیر توجه کنید.

x: در همسایگی نقطه 24-1مثال .ماهیت معادله را شناسایی کنید

3

24 3 3 3

2

2 24 3 3

2 2

30

2 4

3 12 0

2 4

1 1 1 10 0

2 4 2 4

y yy

x x

d y dy dyt t t t y

dt dt dt

d y dy d y dyt t t y y

dt dt dt t dt t

xبنابراین معادله در همسایگی باشد.نقطه تکین منظم و یا رفع شدنی می

در ادامه نحوه به دست آوردن جواب تکین یک معادله در همسایگی نقطه تکین رفع نشدنی، در قالب یک مثال

خواهد شد. توضیح داده

به دست آورید x=0جواب تکین معادله زیر را در همسایگی نقطه :25-1مثال

3x y y


نقطه تکین رفع نشدنی از نوع x=0نقطه در همسایگی این معادله کنید مشخص است همانطور که مشاهده می

است.

)برای حل این دسته از معادالت جواب معادله را به صورت )s xy e کنیم گیریم و به طور کلی فرض میدر نظر می

1~

nS

x توان گفت:. بنابراین در مورد این تابع می

2

1 2

( 1),

n n

n n nS S S S

x x

و از طرفی خواهیم داشت.

2,s S Sy S e y S e S e

داریم.با جایگذاری رابطه فوق در معادله تعریف شده

3 2 3 2 1S S Sx S e S e e x S S

و از آنجا که 2

S S باشد، معادله به صورت زیر قابل بازنویسی است.می

2

3 2

3 1

2 2

1 21

C xxx S S S y e

x x

دانیم:که در واقع می

2 1

( )S C x C xx x

)حال برای به دست آوردن مقدار )C x توانیم مجددا مشابه قبل عمل کنیم. بنابراین روابط زیر برای این تابع می

برقرار است.

1 3 5

2 2 2

1 1 1, ,C C C

x x x

از طرفی با جاگذاری 2

S C xx

آید.در معادله اصلی دیفرانسیل معادله زیر به دست می


3

2 25

2

5 3

3 2 22 23

1 2 02

C C x

x C

x S S x C C C x


5 3

2 23 3

2 0 ( ) ln2 4

x C x C x x

و در واقع روند فوق را با تعریف 1

23

2 ln4

S x x D x

که در آن ( ) lnD x x توان ادامه می

داد.

39مسئله اشتروم لیوویل -5

.به فرم کلی زیر را در نظر بگیریدخطی معادله مرتبه دوم

(1-184) 0y P x y Q x R x y

با ضرب این معادله در

( )P x dx

p x eشود.، امکان نوشتن معادله به فرم زیر امکان پذیر می

(1-185) ( ) 0p x y q x r x y x

که

( ) , ( )P x dx P x dx

q x Q x e r x R x e .

.را در تظر بگیریدزیر ط مرزیایشراز طرفی برای این معادله

(1-186) 1 1 2 20, 0k y a K y a k y b K y b

با شرط آنکه 0p x ، p xو xq و 0r x ی مورد بررسی در بازه ba, اند و معادله اشتروم پیوسته

ها دارای جواب غیر بدیهی صفر باشد، به این ( به ازای برخی 184-1( به همراه شرایط مرزی )182-1لیوویل )

39 Strum-Liouville problem


)مقدار مشخصه معادله و 41و به شودمسئله، مسئله اشتروم لیوویل گفته می )y x متناظر با 41تابع مشخصه

شود.مسئله اشتروم لیوویل گفته می

به موارد شوند.بسیاری از معادالتی که تا اینجا با آنها آشنا شده ایم در گروه مسائل اشتروم لیوویل دسته بندی می

زیر توجه کنید.

1. Simple harmonic motion equation

1

0 0

1

p

y y q

r

2. The Legendre equation

2

2

1

1 1 0 0 1

1

p x

x y n n y q n n

r

3. Bessel’s equation

2 2

2 2 2

2

0

0 0

p x

r xv v

xy y k x y xy k x vx x q

x

k

42مسئله اشتروم لیوویلبندی تقسیم -5-1

)اشتروم لیوویل بر حسب شرایط به طورکلی مسئله )p x د.گیرقرار میبندی تقسیمدر سه دسته آن و شرایط مرزی

43مسئله اشتروم لیوویل معمولی

)اگر در بازه , )a b 0p ( باشند به این مسئله 184-1باشد و شرایط مرزی به صورت تعریف شده در معادله )

شود. اشتروم لیوویل معمولی گفته می

40 Eigenvalue Characteristic 41 Eigen function 42 Strum-Liouville problem 43 Regular S.L


44لیوویل تناوبیمسئله اشتروم

)اگر در بازه , )a b p a p b باشد و شرایط مرزی به صورت زیر تعریف شده باشند به این مسئله اشتروم

شود. گفته می تناوبیلیوویل

(1-187) ,y a y b y b y b

45تکینمسئله اشتروم لیوویل

)اگر در بازه , )a b p یاr به ود. شمیتکین گفته به این مسئله اشتروم لیوویل در یکی از دو انتها صفر شوند

مثال زیر توجه کنید.

(1-188) 2

2 0v

xy k x yx

و یک مسئله اشتروم لیوویل تکین است البته الزم به ذکر است در اینگونه از معادالت از آنجا که معادله بسل بوده

کند.که الزم است جواب متناهی باشد تنها یک شرط مرزی کفایت می

هایی از مسئله اشتروم لیویول توجه کنید.به مثال

: مسئله اشتروم لیوویل معمولی زیر را حل کنید.26-1 مثال

0 0 0

0

y y y

y

مقدار مشخصه مسئله نیست زیرا 0دانیم ن مسئله میبرای ای

0 0y ax b y

است.جواب صفر جواب بدیهی

0از طرفی برای .داریم

1 2

1 2 1 2

1 2

00

0

x xC C

y C e C e C CC e C e

44Periodic S.L

45 Singular S.L


بدیهی صفر مسئله است.جواب که برای این شرایط نیز

0اما برای :داریم

2

1 2 2

1

0sin cos

sin 0

Cy C x C xx

C n n

2که

n n مسئله و همقادیر مشخصsinny n هر ضریبی از توابع مشخصه مسئله هستند وny ،هم

ست.اتابع مشخصه خودش

مسئله اشتروم لیوویل تناوبی زیر را حل کنید.: 27-1مثال

د و جهش داشته باشدر یک نقطه تواند انتقال حرارتی، مثال در یک جسم دایروی دما نمی غیر متقارنرای مسائلی ب

شود.در نظر گرفته می تناوبیبیشتر شرایط

مسئله زیر را در نظر بگیرید.

0 0 , 0y y y y L y y L

جواب عمومی این معادله به صورت زیر خواهد بود.که

1 2sin cosy C vx C vx where v

و به ازای ارضای شرایط مرزی خواهیم داشت.

2 1 2 1 2

1 1 2 1 2

1 sin cos sin 1 cos 0

2 cos sin 1 cos sin 0

C C vL C vL C vL C vL

v C C vL C vL C vL C vL

الزم است دترمینان ضرائب غیر صفر باشد. بنابراین خواهیم، )صفر( داشته باشد جواب غیر بدیهیمسئله برای اینکه و

داشت.

2 22 2sin 1 cos 0 1 cos 1 cos 0 1 cosvL vL vL vL vL

آید.بنابراین مقدار مشخصه مسئله به صورت زیر در می

2 22

2

2 4cos 1 2 n n n

n nvL vL n v v

L L

آید.تابع مشخصه مسئله به صورت زیر به دست میآن و متناظر


1 2

2 2sin cosn

n x n xy x C C

L L

کنیم.منظور مسئله زیر را مرور میالبته گاهی به دست آوردن مقادیر مشخصه به سادگی مثال قبل نیست. به این

: مسئله اشتروم لیوویل معمولی زیر را حل کنید.28-1مثال

0 0 0 0

1 1 0

y y y y

y y

آید.پس از حل این مسئله رابطه زیر برای به دست آوردن مقادیر مشخصه این مسئله به دست می

2

2

2tan

1

vv v

v

شود.طرف معادله و از طریق بررسی نقاط تقاطع آنها مقادیر ویژه تعیین میدر این حالت با رسم نمودار دو

این دو نمودار بینهایت بار همدیگر را قطع کرده و مسئله بینهایت مقدار ویژه دارد. حالتدر این

: مسئله اشتروم لیوویل تکین زیر را حل کنید.29-1مثال

22 2 2 2 20 0

1 0

d dy nx y xy k x n y x k x y

dx dx x

y

دانیم جواب این معادله در بازه همانطور که می 0,1x باشد به صورت زیر می

1 2 2ny C J kx C Y kx

2که با توجه به محدود بودن جواب در همسایگی نقطه صفر 0C باشد و لذا خواهیم داشت.می

1 ny C J kx

که با ارضای شرایط مرزی الزم است 0nJ k .بوده و در واقع رابطه زیر برقرار است

2

,2

, 21

n m

m n m m m

zk z k

n,که در این رابطه mz صفرm تابع بسل مرتبه امn باشد.می


و بنابراین جواب نهایی به صورت زیر قابل بازنویسی است.

, 1,2,....m n n my x J z x m

به طور مثال در شکل صفرهای تابع بسل مرتبه صفر آورده شده است.

صفرهای تابع بسل مرتبه صفر -4-1 شکل

اشتروم لیوویل سئلههای مویژگی -5-2

به طوری که مقدار مشخصه داردنهایت لیوویل بی -ممسئله اشترو -1

(1-189) 1 2 ... limn n

n

یابند.ها از یک مقدار مشخصی شروع شده و همواره افزایش می یعنی

منحصر بفرد دارد. ny، یک nبه ازای هر -2

ود.نخواهند باگر به ازای هر مقدار مشخصه دوتابع مشخصه وجود داشته باشد، رونسکین صفر شده و مستقل زیرا

n برای حالتی که -3 m :باشد، خواهیم داشت

(1-191) 0b

n n

n ma

m m

yry y dx

y


)لیوویل به ازای دو مقدار ویژه مختلف در بازه -دو تابع ویژه مسئله اشترومبه عبارت دیگر , )a b 46با کرنل ( )r x

شود.بر همدیگر عمودند و اندازه تابع مشخصه به صورت زیر تعریف می

(1-191) 22 2 1

nn

n

yb by

n n na a

ry dx y ry dx

:کنیمبرای اثبات ادعای فوق به صورت زیر عمل می

توان اینگونه نوشت.ا میمسئله اشتروم لیوویل ر ،در حالت کلی

(1-192) ( ) 0L y r y where L y py qy

)که با ضرب تابع )u x گیری از آن در بازه در معادله فوق و انتگرال( , )a b .خواهیم داشت

(1-193) b b

a a

b bb

aa a

uL v dx u pv quv u pv u pv dx

upv Pu v dx quvdx

گردد.که از رابطه باال نتیجه زیر استنتاج می

(1-194) b b b

aaauL v vL u dx uv p u vp p uv u v

کنند: شرایط مرزی صدقدر vو uاگر و

(1-195)

1 1 1 1

1 2 2 2

0 0

0 0

k u a K u a k v a K v a

k u b K u b k v b K v b

خواهیم داشت:

(1-196)

2

2

0b

KP uv vu P b u b v b u b v b P b u b v b v b

k

توان نشان داد:به این ترتیب به سادگی می

(1-197)

0

0

0

n m m m

m n n n

b

n m m n m m n n n ma

L r

L r

L r L r dx

46 Weight function


هستند و در شرایط مرزی صدق می کنند. SLجواب های معادله ی nو mکه

از طرفی معادله فوق به صورت زیر قابل بازنویسی است:

(1-198) 0b b

n m m n m n m na a

L L dx r dx

از آنجا که همواره 0b

n m m na

L L dx باشد برای می m n بایست رابطه زیر برقرار می

باشد:

(1-199) 0b

m na

r dx

بر هم عمودند. تابع،ی مشخص، این دو پس در این بازه

اگر و nm :باشد در حالت کلی خواهیم داشت

(1-211) 22

b

na

r dx

4- n .هاحقیقی هستند

iلذا ان خلف(هحقیقی نیست )بر فرض می کنیم برای اثبات خواهد بود و بنابراین توابع مشخصه

خواهند بود. نیز به ازای این دو مقدار مشخصه مزدوج هم

(1-211)

1

1 2

0

0

i P i q i i i r

i P i q i i i r

زیرا به ازای دو تابع مشخصه مختلف داریم:است اما چنین چیزی غیر ممکن

(1-212) 0b

ar dx

در حالیکه 2 2 0b

ar dx باشد.بوده و اثبات با توجه به فرض غلط، غلط می

برای مسئله اشتروم لیوویل صادق است. 47رایلی رابطه خارج قسمت -5

47 Rayleigh quotient


(1-213)

2 2

2

b bb

n n n na a an b

na

Py y P y dx q y dx

ry dx

برای اثبات اگر در 0n n nL r تابعn را ضرب کرده و در بازه( , )a b گیری کنیم، داریم: انتگرال

(1-214) 2 0b b

n n n na a

L dx r dx

سازی معادله فوق خواهیم داشت:که با مرتب

(1-215) 2 2

2

b bb

n n a n na a

n b

na

p p dx q dx

r dx

6- اگر اندها غیر منفیb

n n ap 0وq .

دارد. bو aصفر بین 1nام، nمشخصه تابع -7

0b رابطه متفاوتمعمولی لیوویل -اگر در دو معادله اشتروم -8

n n ap در بازه( , )a b برقرار بوده و

) تنها در )p x 1با هم متفاوت باشند. به طوریکه به ازای( )p x مقادیر مشخصه

(1) (1) (1)

1 2 3, , ,... 2و به ازای ( )p x (2)مقادیر مشخصه (2) (2)

1 2 3, , ,... باشند. در می

این صورت خواهیم داشت.

(1-216) 1 2

1 2( ) ( ) n np x p x

)معادله اشتروم لیوویل معمولی در بازه -9 , )a b فرض کنید( ) 0q x 0و از طرفیb

n n ap .

)به این ترتیب اگر بازه , )a b یابد.کم شود، هیچ یک از مقادیر مشخصه کاهش نمی

از مسئله اشتروم لیوویل آورده شده است:هایی در ادامه مثال

معادله لژاندر -1

) ی لژاندر، در بازهعادلهمبه طور کلی 1,1) شود به طوری که:تعریف می

(1-217)

2

2

1

1 0 0

1

P x

x y y q

r


در حالیکه

(1-218)

1

1

12

1

0

2

2 1

n m

n n

P P dx m n

P dx P m nn

از رابطه بازگشتی رابطه فوق، برای اثبات 1 22 1 1 0n n nnP n P x n P و ضرب آن درnP و

)گیری در بازه انتگرال 1,1) داریم.

(1-219)

1 11 22

1 1

11

1

2 1 1

2 1

n n

n n n

n

n

n P x n PP dx P P dx

n n

n P xP dx

n

از طرفی با ضرب رابطه بازگشتی 1 11 2 1 0n n nn P n P x nP 1درnP گیری در بازه و انتگرال

( 1,1) .داریم

(1-211) 1 1 1

2

1 1 1 1 1 11 1 1

1

2 1 2 1 2 1n n n n n n n

n n nP P x dx P P P P dx P dx

n n n


(1-211) 2 2 2

1 0

2 1 2 1 2 3 2 5 2...

2 1 2 1 2 1 2 3 2 1n n

n n n nP P P

n n n n n

معادله بسل -2

شود.شناخته میدانیم معادله بسل با شرایط مرزی زیر همانطور که می

(1-212) 2

2 0 ( ) 0n

xy x y y ax

که جواب عمومی این مسئله به صورت زیر است.

(1-213) 1 2n ny x a J x a Y x


است و برای داشتن حل محدود، باید Singular، معادله 0xدر نقطهکه همانطور که توضیح داده شده

02 a.باشد و از طرفی خواهیم داشت

(1-214) 0

1 0 0y a

n ny x a J x J a

آید.رابطه زیر به دست میترتیب که به این

(1-215) ,

,

n r

r n r r

za z

a

و جواب کلی مسئله به صورت زیر خواهد بود.

(1-216) ,r n n r

xJ z

a

شود.و شرط تعامد توابع بسل به صورت زیر تعریف می

(1-217) , ,

00

a

n n r n n q

x xxJ z J z dx r q

a a

rو برای شرایط q .خواهیم داشت

(1-218) 2 2

2

, 1 ,2

n n r n n r

x aJ z J z

a

یل نوشته واستاندارد اشتروم لیوی بسل به فرم و دو معادلهبوده 1aفرض می کنیم ، رابطهاین برای اثبات

)مسئله دو های این اند و پاسخشده , )u v 10در بازه x و شرایط مرزی بودهکراندار 011 vu را

.کنندمیارضا نیز

(1-219) 2 2

2 2

, 0 1 0n r

n nxu z x u and xv k x v

x x

)لذا , )u v شوند.به صورت زیر تعریف می

(1-221)

, , ,,

( )

n n r n r n n r

n

u x J z x u x z J z x

v x J kx

بنابراین داریم.


(1-221) 2 2

12 2

,0

0n r

n nu xv k x v v xu z x u dx

x x

که این معادله به فرم زیر قابل بازنویسی است.

(1-222)

1 ,,

, ,0

, ,

n n n rn r

n n r n n n r

n r n r

J k J zzxJ z x J kx dx J z

k z k z


(1-223) ,

2 21

, ,0

1lim , 1,2,...

2n rn n r n n r

k zx J z x dx J z r

از طرفی از رابطه بازگشتی تابع بسل داریم:

(1-224) rnnrnn

zx

nnn zJzJxxJxnJxJx rn

,1,1,

که در نهایت خواهیم داشت.

(1-225) 2 2 21

, , 1 ,0

1

2n n r n n r n n rJ z x x J z x dx J z

Documents

لوا لصف لیسنافی تلااعم - Kebriaeekebriaee.com/.../2017/10/Lecture-Notes-Chapter-No-1.pdf · 2017. 10. 9. · هتفشیپ تایضای dM 6 sin 3 12y x y xy 22