ОБРАЗЕЦ ТИПОВОЙ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ (ОТ 23mif.bspu.by/Matherials/Mathem/Шилинец Владимир Адамович...Формула Ньютона

ТЛУМАЧАЛЬНАЯ ЗАПІСКА

Матэматычны аналіз – гэта галіна матэматыкі з характэрным аб’ектам

вывучэння – зменнай велічынёй, своеасаблівым метадам даследавання – аналізам пры

дапамозе бясконца малых ці пры дапамозе лімітавых пераходаў, вызначанай сістэмай

асноўных паняццяў – функцыя, ліміт, вытворная, інтэграл, шэраг. Апарат

дыферэнцыяльнага і інтэгральнага злічэння, які складае аснову матэматычнага аналізу

з’яўляецца, бадай што, матэматычнай асновай усяго сучаснага прыродазнаўства.

Першачарговыя і найбольш важныя праблемы, якія будуць разглядацца ў I і II

семестрах наступныя:

1. Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай.

2. Шэрагі.

3. Асноўныя структуры матэматычнага аналізу.

У першым семестры разглядаецца задача аднаўлення функцыi па яе вытворнай,

азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла і першаіснай, табліца асноўных

інтэгралаў, метады інтэгравання. Паняцце вызначанага інтэграла для абмежаванай на

сегменце функцыі ўводзіцца пры дапамозе інтэгральных сум. Рашэнне геаметрычных

задач пачынаецца з аналізу праблем, што паяўляюцца пры абагульненні паняцця

плошчы плоскай фігуры адвольнай формы, азначэнняў даўжыні адрэзка крывой лініі,

аб’ёма цела абароту і плошчы паверхні абароту. Гэта дазваляе лагічна абгрунтаваць

вывад формул для вылічэння работы зменнай сілы, цэнтраў мас крывых.

У другім семестры тэорыя лікавых шэрагаў выкладаецца па класічнай схеме.

Раўнамерная збежнасць функцыйных паслядоўнасцей і шэрагаў уводзіцца ў тэрмінах

чэбышоўскай адлегласці паміж функцыямі. Гэта аблягчае студэнтам асэнсаванне

зместу асноўных паняццяў функцыйнага аналізу.

Пры планаванні практычных заняткаў у канцы кожнага семестра адводзіцца

некалькі заняткаў на паўтарэнне. Акрамя таго ў кожным семестры плануецца па

тры(дзве) кантрольныя работы.

Для самастойнай работы прапануюцца пытанні, якія абмяркоўваліся на лекцыі

або на практычным занятку, але студэнты павінны даць больш глыбокае абмеркаванне

гэтых пытанняў, прывесці іншыя доказы некаторых тэарэм або іншыя прыкладанні

некаторых пытанняў тэорыі. Для самастойнай працы прапануецца кожнаму студэнту

індывідуальныя заданні, а ў якасці заліку па кожнаму раздзелу тэорыі cтудэнты

праходзяць тэсціраванне i здаюць калоквiўм.

Мэты і задачы курса

Мэта выкладання дысцыпліны — навуковае абгрунтаванне паняццяў

матэматычнага аналізу, першыя звесткі аб якіх даюцца ў сярэдняй школе, авалоданне

асноўнымі метадамі і прыёмамі матэматычнага аналізу. Падрыхтоўка навуковай базы

для выканання курсавых і дыпломных работ.

Патрабаванні да ўзроўню засваення зместу вучэбнай дысцыпліны

У выніку вывучэння курса студэнт павінен авалодаць наступнымі ведамі і

ўменнямі:

Студэнт павінен

знаць: сістэму асноўных паняццяў дадзенага раздзелу матэматычнага аналізу;

метады інтэгравання і формулы для знаходжання даўжынь, плошчаў і аб’ёмаў;

дынаміку развіцця паняцця ліміту і збежнасці, уключаючы шэрагі і вызначаныя

інтэгралы; элементы тэорыі функцыйных шэрагаў; уласцівасці аператараў у

метрычных і лінейных унармаваных прасторах.

умець: праводзіць доказ асноўных тэарэм курса; інтэграваць; параўноўваць

паняцці выпрастальнасці, квадравальнасці, кубавальнасці на школьным і вузаўскім

узроўні; выкарыстоўваць аналітычныя метады пры рашэнні ілюстрацыйных

практыкаванняў; карыстацца вучэбна-метадычнай і даведачнай літаратурай.

Cтруктура зместу вучэбнай дысцыпліны

Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай. Нявызначаны інтэграл.

Вызначаны інтэграл. Дадатак вызначанага інтэграла. Няўласны інтэграл.

Шэрагі. Лікавыя шэрагі. Функцыянальныя паслядоўнасці і шэрагі. Ступеневыя

шэрагі. Раскладанне функцыі ў ступеневы шэраг.

Асноўныя структуры матэматычнага аналізу. Метрычныя прасторы.

Кампактнасць. Нарміраваныя прасторы.

Усяго праграма па матэматычнаму аналiзу на другім курсе разлiчана на 134

аўдыторныя гадзіны. У першым семестры 68 гадзін: лекцый 32 гадзіны, практычных

заняткаў 34 гадзіны. У другім семестры 66 гадзіны: 34 гадзін лекцый, 32 гадзін

практычных заняткаў.

ЗМЕСТ ДЫСЦЫПЛIНЫ

РАЗДЗЕЛ I. Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной зменнай

Тэма 1. Нявызначаны інтэграл.

Задача аднаўлення функцыі па яе вытворнай. Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага

інтэграла і першаіснай. Табліца асноўных інтэгралаў.

Тэма 2. Метады інтэгравання.

Інтэграванне падстаноўкай, замена зменных, інтэграванне часткамі.

Тэма 3. Рацыянальныя дробы. Інтэграванне рацыянальных функцый.

Дзяленне мнагаскладу на мнагаскладу. Правільныя і няправільныя дробы. Тэарэма аб

раскладу правільнага рацыянальнага дробу на прасцейшыя.

Тэма 4. Інтэграванне трыганаметрычных функцый.

Азначэнне функцыі рацыянальнай ад дзвюх зменных. Інтэгралы выгляду

(sin ;cos )R x x dx і іх інтэграванне з дапамогай падстаноўкі tg / 2 ;tgx t x t .

Тэма 5. Інтэграванне прасцейшых ірацыянальных функцый. Інтэгралы ад

дыферэнцыяльнага бінома.

Інтэгралы ад дробна-лінейных ірацыянальнасцей. Падстаноўкі Эйлера. Паняцце

дыферэнцыяльнага бінома. Тэарэма П.Л.Чэбышава.

Тэма 6. Рэкурэнтныя формулы. Элементарныя і неэлементарныя

інтэгралы. Метад Астраградскага.

Інтэгралы тыпу 2

( );

P xdx

ax bx c

2( )k

Adx

x ax bx c . Прыклады элементарных і

неэлементарных інтэгралаў. Элептычныя інтэгралы. Метад Астрагардскага.

Вылучэнне рацыянальнай часткі інтэграла ад правільнага рацыянальнага дроба ( )

( )

P x

Q x.

Тэма 7. Сумы Дарбу і вызначаны інтэграл.

Задачы, якія прыводзяць да паняцця вызначанага інтэграла. Паняцце вызначанага

інтэграла. Інтэгральная сума. Вызначаны інтэграл, як ліміт інтэгральных сум. Сумы

Дарбу і іх ўласцівасці. Крытэрый існавання вызначанага інтэграла.

Тэма 8. Класы інтэгравальных функцый.

Інтэгравальнасць непарыўных і манатонных функцый. Дастатковая прыкмета

інтэгравальнасці разрыўнай функцыі.

Тэма 9. Уласцівасці вызначанага інтэграла. Інтэграл са зменнай верхняй

мяжой.

Геаметрычны сэнс вызначанага інтэграла. Уласцівасці вызначанага інтэграла. Ацэнкі

інтэгралаў. Тэарэма аб сярэднім значэнні інтэграла. Азначэнне інтэграла са зменнай

верхняй мяжой. Непарыўнасць інтэграла па зменнай верхняй мяжы.

Дыферэнцавальнасць інтэграла па зменнай верхняй мяжы. Існаванне першаіснай

непарыўнай функцыі. Формула Ньютона – Лейбніца. Інтэгральнае азначэнне

лагарыфмічнай функцыі.

Тэма 10. Квадравальнасць плоскіх фігур.

Праблема вызначэння плошчы плоскай фігуры адвольнай формы. Нутраная і вонкавая

плошчы. Квадравальнасць круга. Крытэрый квадравальнасці. Уласцівасці плошчаў.

Тэма 11. Вылічэнне плошчаў плоскіх фігур.

Дастатковая ўмова квадравальнасці. Формула плошчы плоскай фігуры з мяжой, якая

зададзена яўна ў дэкартавых каардынатах. Прынцып Кавальеры для плошчаў.

Формула плошчы крывалінейнага сектара ў палярных каардынатах.

Тэма 12. Кубавальнасць целаў.

Кубавальнасць целаў. Вылічэнне аб’ёма цела праз плошчу папярочнага сечыва. Аб’ём

цела авароту.

Тэма 13. Вылічэнне даўжыні гладкай крывой.

Паняцце выпрастальнай дугі і яе даўжыня. Формулы даўжыні плоскай крывой.

Дыферэнцыял дугі.

Тэма 14. Прыкладаннi вызначанага iнтэграла.

Паняцце квадравальнай паверхні. Плошча паверхні авароту. Статычны момант і

цэнтры цяжару сістэмы матэрыяльных пунктаў гладкай матэрыяльнай дугі і плоскай

матэрыяльнай фігуры. Работа зменнай сілы.

Тэма 15. Няўласныя інтэгралы.

Няўласныя інтэгралы па неабмежаванаму прамежку і ад неабмежаванай у канечным

інтэрвале функцыі. Абсалютная збежнасць і яе прыкметы.

РАЗДЗЕЛ II. Шэрагі

Тэма 1. Паслядоўнасці і лікавыя шэрагі.

Паняцці лікавага шэрагу і яго сумы. Збежныя, разбежныя шэрагі. Крытэрый Кашы

збежнасці лікавага шэрагу.

Тэма 2. Збежнасць шэрагаў з дадатнымі складнікамі.

Крытэрый збежнасці шэрагаў з дадатнымі складнікамі. Прыкметы збежнасці

знакададатных лікавых шэрагаў: параўнання, Даламбера, Кашы і інтэгральная.

Тэма 3. Знакачаргавальныя шэрагі.

Знакачаргавальныя шэрагі. Тэарэма Лейбніца.

Тэма 4. Абсалютна і ўмоўна збежныя шэрагі.

Абсалютная і ўмоўная збежнасці. Перастаноўка складнікаў абсалютна збежнага

шэрагу. Тэарэма Рымана.

Тэма 5. Функцыйныя паслядоўнасці і шэрагі.

Чэбышоўская адлегласць паміж функцыямі. Функцыйныя паслядоўнасці і шэрагі.

Папунктавая і раўнамерная збежнасці. Крытэрый Кашы раўнамернай збежнасці

шэрагаў.

Тэма 6. Раўнамерна збежныя паслядоўнасці і шэрагі.

Умова непарыўнасці ліміту раўнамерна збежнай паслядоўнасці. Умова непарыўнасці

сумы раўнамерна збежнага шэрагу.

Тэма 7. Паскладовае інтэграванне і дыферэнцаванне функцыйных

паслядоўнасцей і шэрагаў.

Інтэграванне і дыферэнцаванне функцыйных паслядоўнасцей і шэрагаў.

Тэма 8. Ступенныя шэрагі.

Ступенныя шэрагі. Тэарэма Абеля. Інтэрвал і радыус збежнасці. Раўнамерная

збежнасць. Інтэграванне і дыферэнцаванне ступенных шэрагаў.

Тэма 9. Шэраг Тэйлара і яго астача.

Шэраг Тэйлара і яго астача. Умовы выявы функцый шэрагамі Тэйлара.

РАЗДЗЕЛ III. Асноўныя структуры матэматычнага аналізу

Тэма 1. Паняцце метрычнай прасторы.

Азначэнне і прыклады метрычных прастораў. Наваколле пункта. Лімітавы пункт

мноства. Унутранасць, замыканне і граніца мноства. Адкрытыя і замкнутыя мноствы.

Збежныя паслядоўнасці. Поўныя метрычныя прасторы.

Тэма 2. Адлюстраванні метрычных прастораў. Сціскальныя адлюстраванні.

Тэарэма Банаха.

Адлюстраванні метрычных прастораў. Ліміт, непарыўнасць і раўнамерная

непарыўнасць адлюстраванняў. Тэарэма Банаха аб сціскальным адлюстраванні.

Тэма 3. Паняцце кампактнасці.

Паняцце кампактнасці. Кампакт у Rn. Асноўныя ўласцівасці непарыўных

адлюстраванняў кампактаў.

Тэма 4. Унармаваныя прасторы.

Лінейныя мнагастайнасці. Унармаваныя прасторы. Непарыўныя лінейныя аператары.

Тэма 5. Гільбертавы прасторы.

Лінейныя прасторы са скалярным здабыткам. Гільбертавыя прасторы

ВУЧЭБНА-МЕТАДЫЧНАЯ КАРТА

№ Назвы раздзелаў, тэмы заняткаў, пералік

вывучаемых пытанняў.

Колькасць аўдыторных

гадзiн

Матэрыяльнае

забеспячэнне

занятка

Літаратура

Формы

кантролю

ведаў

Лек

цы

і

Прак

тыч

ны

я з

анятк

і

Лаб

арат

орн

ыя з

анятк

і

Кір

авал

ьн

ая с

амас

той

ная

раб

ота

сту

дэн

та

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1. Інтэгральнае злічэнне для функцыі адной

зменнай. 32 32

2(л)

2(пр)

1.1 Нявызначаны інтэграл.

1.Задача аднаўлення функцыі па яе вытворнай.

2.Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага

інтэграла і першаіснай.

3.Табліца асноўных інтэгралаў.

2

Лекцыi (электронныя

носьбiты )

[1], [2],

[3],[13],[21]

Калоквiум

1.2 Нявызначаны інтэграл.

1.Задача аднаўлення функцыі па яе вытворнай.

2.Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага

інтэграла і першаіснай.

3.Табліца асноўных інтэгралаў.

1

Метадычны

дапаможнiк(электронн

ыя носьбiты)

[22]

1.3 Метады інтэгравання.

1.Інтэграванне падстаноўкай.

2.Замена зменных.

3. Iнтэграванне часткамі.

2

Лекцыi(электронныя

носьбiты)

[1], [2],

[3],[13],[21]

Калоквiум

1.4 Метады інтэгравання.

1.Інтэграванне падстаноўкай.

2.Замена зменных.

3. Iнтэграванне часткамі.

1

1.Метадычны



2.Метадычныя ўказаннi

[22],[23] Самастойная

работа

да лабараторных работ

(л.р.№5).

1.5 Рацыянальныя дробы. Інтэграванне

рацыянальных функцый.

1.Дзяленне мнагасклада на мнагасклад.

2.Правільныя і няправільныя дробы.

3.Тэарэма аб раскладу правільнага

рацыянальнага дробу на прасцейшыя.

2


носьбiты)

[1], [2],

[3],[13],[21]

Калоквiум

1.6 Рацыянальныя дробы. Інтэграванне

рацыянальных функцый.

1.Дзяленне мнагасклада на мнагасклад.

2.Правільныя і няправільныя дробы.

3.Тэарэма аб раскладу правільнага

рацыянальнага дробу на прасцейшыя.

2






(л.р.№5).


работа

1.7 Інтэграванне трыганаметрычных функцый.

1.Азначэнне функцыі рацыянальнай ад дзвюх

зменных.

2.Інтэгралы выгляду (sin ;cos )R x x dx і іх

інтэграванне з дапамогай падстаноўкі

tg / 2 ;tgx t x t .

2


дапаможнiк(электроныя

носьбiты)



(л.р.№7).

[1], [2],

[3],[13],[21]

Калоквiум

1.8 Інтэграванне трыганаметрычных функцый.

1.Азначэнне функцыі рацыянальнай ад дзвюх

зменных.

2.Інтэгралы выгляду (sin ;cos )R x x dx і іх

інтэграванне з дапамогай падстаноўкі

tg / 2 ;tgx t x t .

1


дапаможнiк(электроныя

носьбiты)



(л.р.№7).


работа

1.9 Інтэграванне прасцейшых ірацыянальных

функцый. Інтэгралы ад дыферэнцыяльнага

бінома.

1.Інтэгралы ад дробна-лінейных

ірацыянальнасцей.

2


носьбiты)

[1], [2],

[3],[13],[21]

Калоквiум

2.Падстаноўкі Эйлера.

3.Паняцце дыферэнцыяльнага бінома.

4.Тэарэма П.Л. Чэбышава.

1.10 Інтэграванне прасцейшых ірацыянальных

функцый. Інтэгралы ад дыферэнцыяльнага

бінома.

1.Інтэгралы ад дробна-лінейных

ірацыянальнасцей.

2.Падстаноўкі Эйлера.

3.Паняцце дыферэнцыяльнага бінома.

2






(л.р.№6).


работа

1.11 Рэкурэнтныя формулы. Элементарныя і

неэлементарныя інтэгралы. Метад

Астраградскага.

1.Інтэгралы тыпу 2

( );

P xdx

ax bx c

2( )k

Adx

x ax bx c .

2.Прыклады элементарных і неэлементарных

інтэгралаў.

3.Элептычныя інтэгралы.

4.Метад Астрагардскага.

5.Вылучэнне рацыянальнай часткі інтэграла ад

правільнага рацыянальнага дробу ( )

( )

P x

Q x.

2


носьбiты)

[1], [2],

[3],[13],[21]

Калоквiум

1.12 Рэкурэнтныя формулы. Элементарныя і

неэлементарныя інтэгралы. Метад

Астраградскага.

1.Інтэгралы тыпу 2

( );

P xdx

ax bx c

1






(л.р.№6).

[22],[23] Абарона

справаздачы

па

лабараторным

работам

№5,6,7.

2( )k

Adx

x ax bx c .

2.Прыклады элементарных і неэлементарных

інтэгралаў.

3.Элептычныя інтэгралы.

4.Метад Астрагардскага.

5.Вылучэнне рацыянальнай часткі інтэграла ад

правільнага рацыянальнага дробу ( )

( )

P x

Q x.

1.13 Кантрольная работа №1 па тэме: “Вылiчэнне

нявызначаных iнтэгралаў”.

2

1.Заданнi для

выканання кантрольнай

работы.

2.Iндывiдуальныя

заданнi.

1.14 Сумы Дарбу і вызначаны інтэграл.

1.Задачы, якія прыводзяць да паняцця

вызначанага інтэграла.

2.Iнтэгральная сума.

3.Паняцце вызначанага інтэграла, як ліміту

інтэгральнай сумы.

4.Геаметрычны сэнс вызначанага інтэграла.

Іншыя задачы, якія прыводзяць да паняцця

вызначанага інтэграла. Неабходная ўмова

інтэгравальнасці функцыі.

5.Сумы Дарбу. Іх сувязь з інтэгральнай сумай.

6.Лемы: аб змяненні колькасці сум Дарбу пры

павелічэнні колькасці пунктаў падзелу; аб

параўнанні ніжняй і верхняй сум Дарбу нават

іншага падзелу.

7.Крытэрый інтэгравальнасці функцыі.

8.Лема аб змяненні колькасці ніжніх сум Дарбу

пры павелічэнні колькасці пунктаў падзелу.

2


носьбiты)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Калоквiум


1.Іншыя задачы, якія прыводзяць да паняцця 2

[1],[2],[3],

[13],[24]

Вуснае

апытанне

вызначанага інтэграла.

2.Неабходная ўмова інтэгравальнасці функцыі.


1.Інтэгральная сума.

2.Вылічэнне лімітаў метадам інтэгральных сум.

3.Ацэнка інтэграла. 2






(л.р.№1).

[25] Самастойная

работа

1.17 Класы інтэгравальных функцый.

1.Інтэгравальнасць непарыўных і манатонных

функцый.

2.Дастатковая прыкмета інтэгравальнасці

разрыўнай функцыі.

2


носьбiты)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Калоквiум

1.18 Прыкладанне тэарэмы аб пасярэднім значэнні

інтэграла. 2(п.з.)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Вуснае

апытанне

1.19 Уласцівасці вызначанага інтэграла. Інтэграл са

зменнай верхняй мяжой.

1.Геаметрычны сэнс вызначанага інтэграла.

Уласцівасці вызначанага інтэграла.

2Асноўныя ўласцівасці вызначанага інтэграла:

адытыўнасць, лінейнасць, аднароднасць.

3.Ацэнкі інтэгралаў.

4.Тэарэма аб сярэднім значэнні інтэграла.

5.Азначэнне інтэграла са зменнай верхняй

мяжой.

6.Уласцівасці інтэграла са зменнай верхняй

мяжой.

7.Непарыўнасць інтэграла па зменнай верхняй

мяжы.

8.Дыферэнцавальнасць інтэграла па зменнай

верхняй мяжы.

9.Існаванне першаіснай непарыўнай функцыі.

10.Формула Ньютона-Лейбніца.

11.Метады інтэгравання часткамі і

падстаноўкай у вызначаным інтэграле.

2

1.Лекцыi(электронныя

носьбiты)






(л.р.№2,3).

[1],[2],[3],

[13],[24]

1.Тэсціраванн

е па тэме:

“Вызначаны

iнтэграл”.

2. Абарона


па


работам

№1,2,3.

1.20 Вызначаны інтэграл і яго вылічэнне.

1.Вылічэнне вызначаных інтэгралаў па

формуле Ньютона-Лейбніца. 2






(л.р.№2,3).

[25]

1.21 Вызначаны інтэграл і яго вылічэнне.

1.Замена зменнай у вызначаным інтэграле.

2.Інтэграванне часткамі ў вызначаным

інтэграле. 2






(л.р.№2,3).

[25] Абарона


па


работам

№1,2,3.

1.22 Інтэгральнае азначэнне лагарыфмічнай

функцыі. 1(л)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Вуснае

апытанне

1.23 Кантрольная работа №2 па тэме: “Вылiчэнне

вызначаных iнтэгралаў”.

2



работы.


заданнi.

1.24 Квадравальнасць плоскіх фігур.

1. Паняцце квадравальнай фігуры і яе плошчы.

Вылічэнне плошчаў плоскіх фігур у дэкартавай

сістэме каардынат:, плошча фігуры, якая

абмежавана крывой, зададзенай параметрычна.

2.Нутраная і вонкавая плошчы.

3.Уласцівасці плошчаў.

4.Крытэрый квадравальнасці плоскіх фігур.

5.Квадравальнасць круга.

6.Прыклады квадравальных і неквадравальных

фігур.

2


носьбiты)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Калоквiум

1.25 Вылічэнне плошчаў плоскіх фігур.

1.Дастатковая ўмова квадравальнасці.

2.Формула плошчы плоскай фігуры з мяжой,

якая зададзена яўна ў дэкартавых каардынатах:

плошча крывалінейнай трапецыі.

3.Прынцып Кавальеры для плошчаў.

2


носьбiты)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Калоквiум

4.Вылiчэнне плошчаў фiгур пры

параметрычным заданнi контура фiгуры.

5.Плошча кругавога сектара. Плошча фігуры ў

палярнай сістэме каардынат.


1.Вылічэнне плошчаў у дэкартавых

каардынатах. 2






(л.р.№5).

[25] Самастой-ная

работа


1.Вылічэнне плошчаў фігур пры

параметрычным заданні контура фігуры. 2






(л.р.№5).


работа


1.Вылічэнне плошчаў у палярных каардынатах.

2.Змешаныя задачы на вылічэнне плошчаў. 2






(л.р.№5).


работа

1.29 Кубавальнасць целаў.

1.Кубавальнасць целаў.

2.Вылічэнне аб’ёма цела праз плошчу

папярочнага сячэння.

3.Аб’ём цела абароту.

2


носьбiты)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Калоквiум

1.30 Вылічэнне аб’ёмаў цел.

1.Вылічэнне аб’ёма цела праз плошчу

папярочнага сячэння.

2.Вылічэнне аб’ёмаў цел авароту. 2






(л.р.№7).

[25]

1.31 Вылічэнне даўжыні гладкай крывой.

1.Паняцце выпрастальнай дугі і яе даўжыня.

2.Формула даўжыні плоскай крывой ў

2


носьбiты)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Калоквiум

дэкартавых каардынатах.

3. Формула даўжыні плоскай крывой,якая

зададзена параметрычна.

4.Вылiчэнне даўжынь дуг, якiя зададзены ў

палярных каардынатах.

5.Дыферэнцыял дугі.

1.32 Вылічэнне даўжыні гладкай крывой.

1.Вылічэнне даўжынь дуг, зададзеных у

дэкартавых каардынатах.

2.Вылічэнне даўжынь дуг, якія зададзены

параметрычна.

3.Вылічэнне даўжынь дуг, якія зададзены ў

палярных каардынатах.

2






(л.р.№6).


работа

1.33 Прыкладаннi вызначанага iнтэграла.

1.Паняцце квадравальнай паверхні.

2.Плошча паверхні абароту.

3.Статычны момант і цэнтры цяжару сістэмы

матэрыяльных пунктаў гладкай матэрыяльнай

дугі і плоскай матэрыяльнай фігуры.

4.Работа зменнай сілы.

2


носьбiты)

[1],[2],[3],

[13],[24]

Калоквiум

1.34 Прыкладаннi вызначанага iнтэграла.

1.Прынцып Кавальеры.

2. Вылічэнне ціску і работы.

1(л)

[1],[2],[3],

[13],[24], [25]

Вуснае

апытанне

1.35 Вылічэнне плошчы паверхні авароту.

2






(л.р.№7,8).

[25]

1.36 Няўласныя інтэгралы

1.Няўласныя інтэгралы па неабмежаванаму

прамежку і ад неабмежаванай у канечным

інтэрвале функцыі.

2.Абсалютная збежнасць і яе прыкметы.

2

1.Лекцыi(электронныя

носьбiты)






[1],[2],[3],

[13],[24], [25]

1.Тэсціраванн

е па тэме:

“Прыкладаннi

вызначанага

iнтэграла”

2. Абарона


(л.р.№4). па


работам

№4,5,6,7,8.

1.37 Няўласныя інтэгралы па неабмежаванаму

прамежку і ад неабмежаванай у канечным

інтэрвале функцыі.

1.Абсалютная збежнасць і яе прыкметы.

2



работы.


заданнi.

2 Шэрагі. 18 26 2(л)

2.1 Паслядоўнасці і лікавыя шэрагі.

1.Паняцці лікавага шэрагу і яго сумы.

2. Непасрэднае вылiчэнне сумы шэрагу.

3.Збежныя, разбежныя шэрагі.

4. Асноўныя ўласцівасці.

5.Крытэрый Кашы збежнасці лікавых шэрагаў.

6.Неабходная ўмова збежнасці.

7.Гарманічны шэраг.

2


дапаможнiк



(л.р.№1).

[1], [2],

[3],[14],[19],

[26]

Калоквiум

2.2 Збежнасць шэрагаў з дадатнымі складнікамі.

1.Крытэрый збежнасці шэрагаў з дадатнымі

складнікамі.

2.Прыкметы збежнасці знакададатных лікавых

шэрагаў: параўнання, Даламбера, Кашы і

інтэгральная.

2

[1], [2],

[3],[14],[19]

Калоквiум


1.Непасрэднае вылічэнне сумы шэрагу.

2.Прыкметы параўнання. 2


дапаможнiк



(л.р.№2).

[26], [27] Самастой-ная

работа


1.Прыкметы Даламбера і Кашы збежнасці

шэрагаў. 2


дапаможнiк



(л.р.№2).

[26], [27] Самастой-ная

работа

2.5 Збежнасць шэрагаў з дадатнымі складнікамі. 2 1.Метадычны [26], [27] Самастой-ная

1.Інтэгральная прыкмета збежнасці. дапаможнiк



(л.р.№2).

работа

2.6 Знакачаргавальныя шэрагі.

1.Знакачаргавальныя шэрагі.

2.Тэарэма Лейбніца.

2

[1], [2],

[3],[14],[19]

Калоквiум

2.7 Знакачаргавальныя шэрагі.

1.Знакачаргавальныя шэрагі.

2.Тэарэма Лейбніца. 2


дапаможнiк



(л.р.№3).


работа

2.8 Абсалютна і ўмоўна збежныя шэрагі.

1.Абсалютная і ўмоўная збежнасці.

2.Перастаноўка складнікаў абсалютна збежнага

шэрагу.

3. Тэарэма Рымана.

4.Здабытак шэрагаў. 2


дапаможнiк



(л.р.№3).

[1], [2],

[3],[14],[19],

[26],[27]

1.Тэсцiраванн

е па

тэме:”Паслядо

ўнасцi i

лiкавыя

шэрагi”.

2. Абарона


па


работам

№1,2,3.

2.9 Збежнасць лікавых шэрагаў.

1.Іншыя прыкметы збежнасці лікавых шэрагаў.

2.Тэарэма Рымана (доказ).

1(л)

[1], [2],

[3],[14],[19]

Вуснае

апытанне

2.10 Кантрольная работа №3 па тэме:

“Паслядоўнасці і лікавыя шэрагі”.

2



работы.


заданнi.

2.11 Функцыйныя паслядоўнасці і шэрагі.

1.Чэбышоўская адлегласць паміж функцыямі.

2.Функцыйныя паслядоўнасці і шэрагі.

2

[1], [2],

[3],[14],[19],

[26]

Калоквiум

3.Папунктавая і раўнамерная збежнасці.

4.Крытэрый Кашы раўнамернай збежнасці

шэрагаў.

2.12 Функцыйныя паслядоўнасці і шэрагі.

1.Чэбышоўская адлегласць паміж функцыямі.

2.Папунктавая і раўнамерная збежнасці

функцыйных паслядоўнасцей.

3.Крытэрый раўнамернай збежнасці

функцыйнай паслядоўнасці.

2

2.13 Раўнамерна збежныя паслядоўнасці і шэрагі.

1.Умова непарыўнасці ліміту раўнамерна

збежнай паслядоўнасці.

2.Умова непарыўнасці сумы раўнамерна

збежнага шэрагу.

2

[1], [2],

[3],[14],[19]

Калоквiум

2.14 Раўнамерная збежнасць функцыйных шэрагаў.

1. Абсяг збежнасці функцыйных шэрагаў.

2. Раўнамерная збежнасць шэрагаў. 4


дапаможнiк



(л.р.№6).

[26],[27] Самастой-ная

работа

2.15 Паскладовае інтэграванне і дыферэнцаванне

функцыйных паслядоўнасцей і шэрагаў.

1.Інтэграванне і дыферэнцаванне функцыйных

паслядоўнасцей і шэрагаў.

2.Прыкмета Вейерштраса раўнамернай i

абсалютнай збежнасцi функцыйных шэрагаў.

3.Iншыя прыкметы збежнасцi функцыйных

шэрагаў.

2


дапаможнiк



(л.р.№7).

[1], [2],

[3],[14],[19],

[26],[27]

Калоквiум

2.16 Ступенныя шэрагі.

1.Ступенныя шэрагі.

2.Тэарэма Абеля.

3.Інтэрвал і радыус збежнасці.

4.Раўнамерная збежнасць.

5.Паскладовае iнтэграванне і дыферэнцаванне

ступенных шэрагаў.

2

[1], [2],

[3],[14],[19]

Калоквiум

2.17 Ступенныя шэрагі. 2 1.Метадычны [26],[27] Самастой-ная

1.Вызначэнне абсягу збежнасці ступенных

шэрагаў.

дапаможнiк



(л.р.№4,6).

работа

2.18 Ступенныя шэрагі.

1. Раўнамерная і абсалютная збежнасць


2

2.19 Паскладовае інтэграванне і дыферэнцаванне

функцыйных паслядоўнасцей і шэрагаў.

1.Знаходжанне сумы шэрага паўторным

дыферэнцаваннем або інтэграваннем


2


дапаможнiк



(л.р.№4,6).

[26],[27] Самастой-ная

работа

2.20 Шэраг Тэйлара і яго астача.

1.Шэраг Тэйлара і яго астача.

2.Умовы выявы функцый шэрагамі Тэйлара.

3.Розныя вылiчэннi з дапамогай шэрагу

Тэйлара.

2

[1], [2],

[3],[14],[19]

Калоквiум


1.Пабудова шэрагаў Тэйлара.

2.Прыблізнае вылічэнне значэнняў функцыі і

інтэгралаў з дапамогай шэрагаў Тэйлара.

2


1.Прыкладанне шэрага Тэйлара. 1(л)

[1], [2],

[3],[14],[19]

Вуснае

апытанне

2.23 Кантрольная работа №4 па тэме: “Функцыйныя

шэрагi”.

2



работы.


заданнi.

3 Асноўныя структуры матэматычнага

аналізу.

14 6

3.1 Паняцце метрычнай прасторы.

1.Паняцце метрычнай прасторы.

2.Аксiёмы метрыкi.

2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне

3.Прыклады метрычных прастораў.

3.2. Паняцце метрычнай прасторы.

1.Наваколле пункта.

2.Лімітавы пункт мноства.

3.Унутранасць, замыканне і граніца мноства.

4.Адкрытыя і замкнутыя мноствы.

5.Збежныя паслядоўнасці.

6.Фундаментальная паслядоўнасць у

метрычнай прасторы.

7.Поўныя метрычныя прасторы.

2

3.3 Паняцце метрычнай прасторы.

1.Метрычныя прасторы.

2.Класіфікацыя пунктаў і мностваў у

метрычных прасторах.

3.Прыклады метрычных прастораў.

2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне

3.4 Адлюстраванні метрычных прастораў.

1.Сціскальныя адлюстраванні.

3.Адлюстраванні метрычных прастораў.

3.Ліміт, непарыўнасць і раўнамерная

непарыўнасць адлюстраванняў.

4. Адлюстраваннi прастораў у сябе.

2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне


1.Тэарэма Банаха аб сціскальным

адлюстраванні.

2.Метад паслядоўных наблiжэнняў.

3. Прыкладанні тэарэмы Банаха.

2


1.Сціскальныя адлюстраванні.

2.Тэарэма Банаха.

3.Адлюстраванні метрычных прастораў.

4.Ліміт, непарыўнасць і раўнамерная

непарыўнасць адлюстраванняў.

5. Адлюстраваннi прастораў у сябе.

6.Тэарэма Банаха аб сціскальным

адлюстраванні.

2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне

7.Метад паслядоўных наблiжэнняў.

3.7 Паняцце кампактнасці.

1.Паняцце кампактнасці.

2.Тэарэма Бальцана — Вейерштраса ў прасторы

Rn.

3.Кампакт у Rn.

4.Асноўныя ўласцівасці непарыўных


2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне

3.8 Паняцце кампактнасці.

1.Паняцце кампактнасці.

2.Тэарэма Бальцана — Вейерштраса ў прасторы

Rn.

3.Кампакт у Rn.

4.Асноўныя ўласцівасці непарыўных


2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне

3.9 Унармаваныя прасторы.

1.Лінейныя мнагастайнасці.

2.Унармаваныя прасторы.

3.Прастора C[a,b].

4.Непарыўныя лінейныя аператары.

2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне

3.10 Гільбертавы прасторы.

1.Лінейныя прасторы са скалярным здабыткам.

2. Гільбертавы прасторы.

3.Прыклады гільбертавых прастораў.

2

Метадычны

дапаможнiк

[11],[28], [29]

Вуснае

апытанне

IНФАРМАЦЫЙНАЯ ЧАСТКА

ЛІТАРАТУРА АСНОЎНАЯ

1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ. - М.:

Наука, 1979.-662 с.

2. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа: В 2Т.-М.: Наука,

1968.- 440 с., 464 с.

3. Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа: В 2Т.-М.:

ФИЗМАТЛИТ., 2002.-648 с., 464 с.

4. Бохан К.А., Егоров И.А., Лащенков К.В. Курс математического анализа: В

2Т.- М.: Просвещение, 1972.-511 с., 439 с.

5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и

функционального анализа.- М.: Наука, 1972.- 496 с.

6. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому

анализу.- М.: АСТ: Астрель., 2003.-560 с.

7. Давыдов Н.А., Коровкин П.П., Никольский В.Н. Сборник задач по

математическому анализу.- М.: Просвещение, 1973.-255 с.

8. Задачник по курсу математического анализа: В 2ч./Под ред.

Н.Я.Виленкина. - М.: Просвещение, 1971.-350 с., 336 с.

9. Русак В.М. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі.- Мн: Выш. Шк., 1994.-431 с.

10. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по

математическому анализу. - М.: Высш. шк., 1999. -694 с.

11. Аксень М. Б. Основные структуры математического анализа. Мн. 1988.

12. Никольский С.М. Курс математического анализа т.1.,М.,1972.

13. Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и

задачах функции одной переменной. - М.:Наука,1973. – 400с.

14. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Математический

анализ в задачах и упражнениях. – М.:Факториал, 1996. – 480с.

ЛІТАРАТУРА ДАПАМОЖНАЯ

15. Зорич В.А. Математический анализ. - М.: Наука, 1981.-544 с.

16. Райков Д.А.Одномерный математический анализ.- М.:Выш.шк.,1982.-

415с.

17. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 2Т. - М.: Высш. шк.,

1981.-687 с., 584 с.

18. Уваренков И.М., Малер М.З. Курс математического анализа.- М.:

Просвещение, 1976.-640 с.

19. Воробьёв Н.Н. Теория рядов. – М.: Наука, 1986. – 408с.

20. Рябушко А.П. и др. Сборник индивидуальных заданий по высшей

математике: В 3ч. – Мн. : Выcш. шк., 1991. – 288с.

ТЭСТАВЫЯ ЗАДАННІ

1. Вызначаны iнтэграл.

2. Прыкладаннi вызначанага iнтэграла.

3. Паслядоўнасцi i лiкавыя шэрагi.

КАНТРОЛЬНЫЯ РАБОТЫ

1. Вылiчэнне нявызначаных iнтыгралаў.

2. Вылiчэнне вызначаных iнтэгралаў.

3. Дастасаваннi вызначанага iнтэграла.

4. Паслядоўнасці і лікавыя шэрагі.

5. Функцыйныя шэрагi.

МАТЭРЫЯЛЬНАЕ ЗАБЕСПЯЧЭННЕ

1. Электронны вырыянт лекцый па тэме “Нявызначаны iнтэграл”.

2. Электронны варыянт лекцый па тэме “Вызначаны iнтэграл”.

3. Электронны варыянт лекцыi па тэме “Няўласны iнтэграл”.

4. Электронны варыянт метадычнага дапаможніка “Нявызначаны

iнтэграл”.

5. Электронны варыянт метадычнага дапаможніка “Вызначаны

iнтэграл”.

6. Электронны варыянт метадычнага дапаможніка “Шэрагi”.

ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Название

дисциплины,

с которой

требуется

согласование

Название

кафедры

Предложения

об изменениях в содержании

учебной программы

по изучаемой учебной

дисциплине

Решение, принятое

кафедрой, разработавшей

учебную программу (с

указанием даты и номера

протокола)

1. Дифференциальные

уравнения

Кафедра математического

анализа

Согласовано на уровне

разработки типовых программ

Протокол № 10 от 16 мая

2011 года

2. Теория функции

Кафедра математического

анализа

Согласовано на уровне



2011 года

3. Алгебра Кафедра алгебры и геометрии Согласовано на уровне



2011 года

4. Геометрия Кафедра алгебры и геометрии Согласовано на уровне



2011 года

5. Введение в

специальность

Кафедра алгебры и геометрии Согласовано на уровне



2011 года

Заведующий кафедрой математического анализа А.Н. Ковальчук

Заведующий кафедрой алгебры и геометрии В.В. Шлыков

Documents

ОБРАЗЕЦ ТИПОВОЙ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ (ОТ 23mif.bspu.by/Matherials/Mathem/Шилинец Владимир Адамович...Формула Ньютона