2251-8088شاپا چاپی: DOI: 10.22055/JAMM.2020.29209.1705

سازي پیشرفته ریاضیمجله مدل157-135، ص 1، شماره 10 ، دوره1399سال

اي هي نوع دو از توزیع رایلی با برداشتطرح بهینه در سانسور فزاینده اي بیزي و تابع هزینهبینی دونمونهاي براساس پیشدوجمله

**، سکینه بیگی1*الهام بصیري

گروه آمار، دانشگاه کوثر بجنورد* گروه مهندسی صنایع، دانشگاه کوثر بجنورد**

9/9/1398تاریخ پذیرش: 29/1/1398 تاریخ دریافت:هاي سانسور است که در مطالعات طول عمر یکی از روشنوع دو ي فزایندهطرح سانسور چکیده:

دهد تا در از اهمیت زیادي برخوردار است. این روش از سانسور به آزمایشگر این امکان را مییکی از سؤاالتی که در مراحل مختلف آزمایش برخی از واحدهاي تحت آزمایش را کنار گذاشت.

توان تصمیم گرفت که در هر شود این است که چطور میطراحی مدل سانسور فزاینده مطرح میمرحله چند واحد را از آزمایش حذف کرد؟ براي پاسخ به این سؤال با در نظر گرفتن معیارهاي

فی سور متغیري تصادبا فرض اینکه طرح ساندر این مقاله هاي متفاوتی داد. توان جوابمختلف میرگاه ي نوع دو هي توزیع طرح سانسور فزایندهپارامتر بهینهقصد داریم اي باشد، از توزیع دوجمله

دوم میانگین تواني آزمایش و توزیع موردبررسی توزیع رایلی باشد را با توجه به دو معیار هزینه کارایی براي نشان دادنآوریم. دست ، بهاي بیزيبینی دونمونهي پیشبینی در مسئلهخطاي پیش

اند.شدهارائه MATLABافزار سازي و مثال واقعی با نرمي شبیهمطالعهنتایج،

نی، تابع بیاي بیزي، توزیع رایلی، میانگین دوم خطاي پیشبینی دونمونهپیشهاي کلیدي: واژه .ي سانسورهزینه، طرح بهینه

15F62 ،01N62): 2010بندي ریاضی (رده

دمهمق -1

هاي مختلف از جمله تحلیل بقا زمینهاست که در هاي آماريتوزیع ترینمهم رایلی یکی ازتوزیع با رایلیاراي توزیع د X گوییم متغیر تصادفیو قابلیت اطمینان داراي کاربرد زیادي است.

زیر باشند. صورتبه ترتیب بهاحتمال و تابع توزیع آن است هرگاه تابع چگالی θ پارامتر

elham_basiri2000@yahoo.comآدرس الکترونیکی نویسنده مسئول مقاله: -1

136 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

)1( ( ) ( ), , ,θ θθ θθ θ− −= = − > >

2 22 1 0 0x xf x xe F x e x

تا با استها در بازارهاي رقابتی، جلب رضایت مشتریان هاي مدیران کارخانهاز سیاست یکی .ي محصوالت خود نقش بیشتري در گرداندن چرخ صنعت و سود حاصل از آن داشته باشندعرضه

ات پس ي خدممنظور بهبود کیفیت محصوالت، ارائههاي گسترده بهدر این راستا، عالوه بر فعالیتهاي ها با پرداخت هزینهناپذیر و ضروري است. خدماتی که کارخانهاز فروش نیز امري اجتناب

ي ائهار گیرند. با توجه به پیچیدگی شرایطها را بر عهده میي آنتوجه آن، مسئولیت ارائهقابلها، استفاده از دستورالعمل اجرایی این خدمات این خدمات و لزوم توجه در دقت و صحت انجام آن

ي . تمامی خدماتی که در دورهاستویژه نوع خاص آن یعنی خدمات گارانتی بسیار ضروري بهن گارانتی آ ي وارانتی نیز وجود دارد و تنها تفاوت آن باشود در دورهگارانتی به مشتري داده می

شود و در ازاي ي خدمات انجام شده توسط مشتري پرداخت میي وارانتی هزینهاست که در دورهگارانتی و بینی زمانبنابراین، تعیین پیش ؛تواند از فضاي تعمیرگاه استفاده نمایدآن مشتري می

ش بحث باشد. بخبلتواند موضوعی قایا وارانتی محصوالت و تعداد دفعات موردنیاز به تعمیر، مییا ايهنمون یکصورت تواند بهکه می استبینی زیادي از این تحقیقات مرتبط به موضوع پیش

آیند که روش انجام آزمایش براي اي مواردي پیش میالت دونمونهد. در حاي انجام شودونمونهایج ن حالتی نیازمند نت، در چنیبنابراین است؛شده ي مشاهدهي آینده، متفاوت با طرح نمونهنمونه

اي آن هبینی و روشمورد پیش براي کسب اطالعات بیشتر درهستیم. مسئلهنظري مرتبط با مراجعه نمود. ]2و 1[توان به مراجع می

ل شناسی، تحلیهاي طول عمر، تحقیقات زیستبسیاري از اوقات در مباحث قابلیت اعتماد، آزمون يا به دالیلی از جمله زمان محدود، عدم دسترسی به همههاي کاربردي بنبقا و دیگر زمینه

تواند زمان دقیق ازکارافتادگی قطعات و یا گران بودن واحدهاي تحت آزمایش، آزمایشگر نمی واحدهاي تحت آزمایش را مشاهده کند. در چنین حالتی اصطالحا گویند سانسور رخ داده است.

شوند. بعضی از انواع سانسورها عبارتند فی اعمال میهاي مختلها به شیوهطورمعمول سانسوربهر د از: سانسور نوع یک، سانسور نوع دو، سانسور تصادفی، سانسور فزاینده و سانسور هیبرید.

؛که واحدها فقط در انتهاي آزمایش حذف شوند رد، این امکان وجود داسانسور نوع دو از راستد، شوي نوع دو از راست نامیده میت که سانسور فزایندهدر تعمیمی از سانسور نوع دو از راساما

هر واحد، ازکارافتادگیعنوان مثال در زمان این امکان وجود دارد که در هر مرحله از آزمایش بهي در سانسور فزایندهبا توجه به اینکه توان واحدهایی را از آزمایش کنار گذاشت. همچنین، می

عنوان قطعاتها بهتوان از آنمیاند هنوز دچار شکست نشدهشده نوع دو از راست، قطعات سانسور اقتصادي حائز اهمیت است. ازنظرهاي بعدي استفاده کرد که دوم در آزمایشدست

الهام بصیري، سکینه بیگی 137

,n هاي شکست متناظر باواحد مستقل از هم با زمان n فرض کنید ,X X1 L زیع داراي تابع تو) مشترك ).F ك و تابع چگالی احتمال مشتر( ).f بالفاصله بعد اندقرارگرفته، مورد آزمایش .

) واحد از R1 ، تعدادي اولین شکستاز مشاهده )n از طور تصادفیواحد باقیمانده به 1−, شوند که در آنآزمایش حذف می ,R n m= −1 0L. ي دومین شکست تعدادبعد از مشاهده

R2 واحد از ( )n R− −1 شوند که در آنطور تصادفی از آزمایش حذف میواحد باقیمانده به 2, ,R n m R= − −2 10 L يزمان مشاهدهدر درنهایتو mامین شکست تعداد mR واحد

iکه طوريشوند، باقیمانده از آزمایش کنار گذاشته می

m

mi

R n m R−

=

= − −∑1

1در این روش از .

i ها،iR سانسور m≤ هاي ، زمانبراینوه شده هستند. عالت و از قبل تعیین، مقادیري ثاب1≥ده ي نوع دو از راست نامیهاي مرتب سانسور فزایندهشکست که متغیرهاي تصادفی هستند و آماره

: ، باشوندمی : : :, ,R Rm n m m nX X1% %L ي نوع دو بنابراین، طرح سانسور فزاینده ؛شوندنشان داده می

) و بردار mس براسا ) ( ), , mR m R R= 1 L% در ادامه براي سادگی شود.مشخص می:iنمادگذاري از نماد :m nX جاي بهR

i:m:nX % ،i m≤ ي کنیم. براي مطالعهاستفاده می ،1≥ ارجاع داد. ]6[-]3[توان به ي نوع دو و کاربردهاي آن میندهمورد سانسور فزای جزئیات بیشتر در

هاي مرتب سانسور فزاینده را با در نظر گرفتنبینی آمارهي پیشگر مسئلهپژوهشتاکنون، چندین یبینگرانی پیش، پژوهشعنوان مثالبهاند. دو رویکرد کالسیک و بیزي موردمطالعه قرار داده

، به دست ي نوع دوي فزایندههاي سانسور شدهنمایی براساس داده توزیعدر خطی را هايکنندهي کننده بینیهاي مختلفی از جمله بهترین پیشبینی کنندهدیگري پیش در پژوهش .]7[ آوردند

ي نوع دو از توزیع پارتو تعیین نااریب خطی و درستنمایی ماکسیمم در مدل سانسور فزایندههاي مختلفی مانند بینی کنندهپیشگرانی پژوهشنرخ خطر متناسب، در مدل با. ]8[شدند ي ي میانههکنندبینیي درستنمایی ماکسیمم و پیشکنندهبینیي نااریب، پیشکننده بینیپیش

رکوردها -kي بینی بیزپیش .]10 و 9[ ي نوع دو تعیین کردندشرطی را در مدل سانسور فزایندهگران دیگري توسط پژوهشي نوع دو در توزیع نمایی سانسور فزاینده هاي مرتببراساس آماره

پارامتري آمارهاي مرتب ناینی بپیش يمسئله. در پژوهشی دیگر ]11[موردمطالعه قرار گرفت آینده یک متغیر تصادفی است، موردبررسی قرار ينمونه اندازه آینده با فرض اینکه يیافتهتعمیم هاندازي نوع دو با هاي مرتب سانسور فزایندهبینی آمارهپیشژوهش، این پ همچنین در. گرفت .]12[موردمطالعه قرار گرفت تصادفی ينمونه

تعیین ينوع دو همواره موردتوجه بوده است مسئله ياز مسائلی که در سانسور فزاینده دیگر یکی ار گرفت. بعدازآنموردبررسی قر ]3[در سانسور است. این مسئله در ابتدا يطرح بهینهبراي . داناین مسئله پرداخته يگران زیادي با در نظر گرفتن معیارهاي مختلف به مطالعهپژوهش

138 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

با مینیمم کردن واریانس ي نوع دو از راستسانسور فزاینده يطرح بهینههایی در پژوهشمثال، .]15-13[ تعیین شد مقیاس-هاي مکاني توزیعدر خانواده بهترین برآوردگرهاي خطی نااریب

12 در توزیع بر نوعسانسور براساس معیار اطالع فیشر يبه تعیین طرح بهینهپژوهشی دیگر دیگر در پژوهشیسانسور فزاینده يبا در نظر گرفتن معیار پیتمن نیز طرح بهینه .]16[ پرداختدگر درستنمایی گران بعد از به دست آوردن برآوردر پژوهشی دیگر پژوهش .]17[مد به دست آ

نوع يهاي مرتب سانسور فزایندهساندرز براساس آماره-ماکزیمم براي پارامترهاي توزیع بیرنبامبا در .]18[ ي دو طرح سانسور مختلف پرداختند و طرح بهینه را تعیین نمودنددو، به مقایسه

ي رح بهینهعیین طمنظور تگران دیگري به معرفی یک الگوریتم بهنظر گرفتن تابع هزینه پژوهشنوع يسانسور فزاینده يطرح بهینه .]19[ مقیاس پرداختند-هاي مکانسانسور در خانواده توزیع

با در .]20 [است آمدهدستبهگر دیگري نیز توسط پژوهشدو با در نظر گرفتن معیار آنتروپی یز نگر خطی نااریب نظر گرفتن معیار واریانس برآوردگر درستنمایی ماکزیمم و بهترین برآورد

.]21[شده است تعیین از توزیع نرمال ي نوع دوسانسور فزاینده يطرح بهینهتعیین شده در نظر گرفته شده طرح سانسور مقداري از پیش ی مقاالت ذکر شده در باالتمامدر

این برحال تغییر است و بنا هاي بالینی تعداد بیماران دراما در برخی مواقع مانند آزمایش است؛دیگر طرح عبارتشوند تصادفی هستند. بهتعداد واحدهایی که در هر مرحله از آزمایش خارج می

راي طرح اي بسانسور یک متغیر تصادفی است. با در نظر گرفتن توزیع یکنواخت و توزیع دوجمله 22[ت گرف ي برآورد پارامترهاي توزیع وایبل در دو مقاله موردبررسی قرارسانسور فزاینده، مسئله

ها گران دیگري نیز مسائل مشابهی را در سایر توزیع. بعد از این دو پژوهش، پژوهش]23و نوع يفزایندهتحت سانسور پارتو برآورد پارامترهاي توزیع عنوان مثال، موردبررسی قرار دادند. به

پارامترهاي . برآورد بیزي]24[دو با طرح تصادفی از توزیع یکنواخت در یک پژوهش انجام شد ي نوع دو با طرح فزایندهتحت سانسور نمایی -شده و پواسنهاي پارتو، گاماي نمایشیتوزیع

. برآورد پارامتري ]27-25[گران دیگري بررسی شد اي توسط پژوهشتصادفی از توزیع دوجملهرح اي براي طاي دیگر انجام شد. در این مقاله نیز توزیع دوجملهتوزیع نمایی موزون نیز در مقاله

هاي ترتیبی نیز چندین بینی دادهي پیش. درزمینه]28[سانسور فزاینده نوع دو در نظر گرفته شد . اخیرا ]31-29[ي نوع دو در نظر گرفتند گر طرح تصادفی را براي سانسور فزایندهپژوهشن پارامتر به تعییهاي تصادفی ي نوع دو با برداشتگرانی با در نظر گرفتن سانسور فزایندهپژوهشح ي توزیع طري توزیع طرح سانسور فزاینده پرداختند. براي این منظور، پارامتر بهینهبهینه

ي برآوردگرهاي درستنمایی ماکزیمم برايیافتهسانسور با مینیمم نمودن واریانس مجانبی تعمیم .]33و 32 [یافته به دست آمد هاي فرشه و پارتوي تعمیمپارامترهاي توزیع

ي نوع دو از راست است. براي این منظور ي سانسور فزایندههدف این پژوهش تعیین طرح بهینهبینی ، میانگین توان دوم خطاي پیشین معیاردهیم. اولدو معیار را مورد استفاده قرار می

الهام بصیري، سکینه بیگی 139

)1MSPEزي از اي بیبینی دونمونهي پیشاي در مسئلهي بیزي نقطهکنندهبینی) براي پیشي طراحی مدل است. در ادامه، طرح نیز تابع هزینه ر دیگراي با توزیع رایلی است. معیاهجامعي هزینه بینی و تابعیابیم که دو معیار میانگین توان دوم خطاي پیشي سانسور را طوري میبهینه

ي اتر باشند. در اینجا توزیع دوجملهاي کوچکشدهطراحی مدل از مقادیر مشخص و از قبل تعییننسور، ي سابراي توزیع طرح سانسور فزاینده در نظر گرفته شده است. براي تعیین طرح بهینه

آوریم. ي توزیع آن را به دست میپارامتر بهینه

اي نقطه ي بیزيکنندهبینیتعیین پیشبه در بخش دوم : در ابتدا استساختار مقاله به شرح زیر میانگین توان دوم پردازیم. سپس، و از توزیع رایلی میي نوع دي مرتب سانسور فزایندهآماره

ییم. در نماآمده، محاسبه میدستاي بهي بیزي نقطهکنندهبینیرا براي پیشبینی خطاي پیشپرداخته نوع دو يیک تابع هزینه در مدل سانسور فزایندهادامه و در بخش سوم به معرفی

شده، در بخش چهارم به تعیین توزیع بهینه براي طرح با در نظر گرفتن دو معیار معرفی شود.میار افزسازي و مثال واقعی با نرمي شبیهمطالعه پردازیم. در انتها،ي نوع دو میسانسور فزاینده

MATLAB اندرائه شدهبراي بررسی کارایی نتایج ا .

ايي بیزي نقطهکنندهبینیپیش -2

:فرض کنید : : :, ,m n m m nX X1 1 1 1 11 L ي نوع دو از راست مشاهده هاي مرتب سانسور فزایندهارهآم

)و با طرح سانسور n1ي اندازهي تصادفی بهشده از یک نمونه ) ( ), , mR m R R=11 1 L% و از

براین، فرض کنید ) باشند. عالوه1ي (توزیع رایلی با تابع چگالی احتمال تعریف شده در رابطهs: :m nY

2 2ي تصادفی مستقل ي نوع دو از یک نمونهي مرتب سانسور فزایندهامین آمارهsنمایانگر

±و با طرح سانسور n2ي اندازهتوزیع آینده بهو هم ( ) ( ), , 'mR m R R′ ′=22 1 L ،باشد. همچنین

)فرض کنید ) ( ), , mR m R R=11 1 L% و± ( ) ( ), , 'mR m R R′ ′=

22 1 L متغیرهاي هممستقل از اي با تابع احتمال زیر باشندتصادفی دوجمله

( ) ( ) , , , ,n m rrn mP R r p p r n m

r− −−

= = − = −

1 1 111 11 1 1 1 1

11 0 L

, و به ازاي , , , ,i

i kk

r n m r i m−

=

= − − = −∑1

1 1 11

0 2 1L L ،

1- Mean Squared Prediction Error

140 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

( ) ( )| , , ,i

kik

i

n m rk ri i i i k

i

n m rP R r R r R r p p

r=

−

− −− − =

− −

= = = = −

∑∑ 1 11

1

1 11 1 1 1 1 1L

امین شکست با احتمال یک از آزمایش m1و تمام واحدهاي باقیمانده درصورت وجود، در زمان )بنابراین، تابع احتمال توأم ؛شوندکنار گذاشته می ) ( ), , mR m R R=

11 1 L% صورت زیر به شودنوشته می

)2( ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ), , , ,

( | ) ( | , , )

, , , ,

m m m m

R m R m n m

P R r P R r P R r R r P R r R r R r

A R m n m p pµ µ

− − − −= = = = = × = =

−=

=1 1 1 1

1 1 2 1 1 1

1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1% %

%

%

L%

که در آن

)3( ( ) ( )

( )( )!

, , , j ,! !

j ji ii i

n mA R m n

r n m r− −

= =

−=

− −∏ ∑1 1

1 1

%

)4( ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , , , .j j

ii i

R j r R m n j j n m j i rµ µ− −

= =

= = − − − −∑ ∑1 1

1 21 1

1% %

:اي براي ي بیزي نقطهکنندهبینیدر این بخش به دنبال تعیین پیش :s m nY2 2

. تابع میهست :در اختیار داشتن شرطبه θدرستنمایی شرطی : : :( , , )m m m nX X X=

1 1 1 11 1 L% و( ) ( ), , mR m R R=

11 1 L% را ببینید) ]3[مرجع (برابر است با

( ) *| , ,m

m Ti

iL X x R r C x e θθ θ −

=

= = =

∏

11

1

% % %%

)که در آن )m

i ii

T r x=

= +∑1

2

1*mو 1 CC = برابر است با C سازثابت نرمالو 12

, .11 0

1 1 11 1 0

jm

i ij i i

C n r j r−−

= = =

= − − − + ≡

∏ ∑ ∑

شودصورت زیر نوشته میلذا تابع درستنمایی توأم به( ) ( )

( ) ( )

( , | , ) | ,

,

L p X x R r L X x R r P R r

A L L p

θ θ

θ

= ==

=

= = =

1 2

% % % % %% % %% %

)هرگاه )* , , ,m

ii

A C x A R m n m=

=

∏

1

1 1 11

pو θمقداري ثابت است که به پارامترهاي %

بستگی ندارد و

الهام بصیري، سکینه بیگی 141

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , ,, .R m R m n mm TL e L p p pµ µθθ θ −= = −1 1 2 1 1 111 2 1

% %

)صورت را به pو θتابع پیشین ) ( ) ( ), ,p pπ θ π θ π= 1 که در آن گیریمدر نظر می 2

( ) ( )abπ θ , θ , a,b ,

Γ aa be θθ − −= > >1

1 0 0

( ) ( ) ( ) , p , a, ,,

1 11 1 0 1 02dcp p p b

c dπ

β−−= − <

)هرگاه، )Γ a و( ),c dβ باشند. الزم به ي توابع گاما و بتاي کامل میدهندهترتیب نمایشبهپارامترهاي توزیع رایلی در ي برآورد بیزيدر مسئله ]28[ذکر است که این توزیع پیشین توسط

اي، مورد استفاده قرار هاي تصادفی از توزیع دوجملهي نوع دو با برداشتمدل سانسور فزاینده صورت زیر به دست آوردتوان بهرا می pو θدر نهایت تابع پسین گرفت.

)5(

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, |

,

(

)

c R m d R m n mb Ta m

c R m d R m n mb Ta m

c R m d R m n mb Ta m a m

p X x R r

e p p

e p p dp d

b T e p p

µ µθ

µ µθ

µ µθ

π θ

θ

θ θ

θ

+ − + −− ++ −

∞ + − + −− ++ −

+ − + −− ++ + −

= =

−

−

+ −

=

=

∫ ∫

1 1 2 1 1 11

1 1 2 1 1 11

1 1 2 1 1 11 1

1 11

1 1 110 0

1 11

1

1

1

% %

% %

% %

% % %%

( ) ( ) ( )( ) .

Γ , , , , ,a m c R m d R m n mβ µ µ+ + +1 1 1 2 1 1 1% %

±شرط ثابت بودن براین، بهعالوه °' 'R r=اي ، تابع چگالی حاشیهs: :m nY2 2

صورت زیر نوشته به را ببینید) ]3[شود (مرجع می

( ) ( )( ) ( )'

' ' ' 's: :

'

,| , ,

,

' '

' ' , ,

i

m n s s

i

s

s i sY R r R ri

sy

s i si

f y c a F y f y

yc a e y

γθ θ

θγθ

− −

−

−= ==

−−

=

=

= >

∑

∑

1 1 1 12 2

2

11

1

11

2 0

L

هرگاه

,γ ' , , , .i s s

i k s j i sl l ik jl i

n i R c a i s mγγ γ

−

−== =≠

= − + − = = ≤ ≤ ≤−

′ ′ ′ ′∑ ∏ ∏1

2 1 211 1

11 1

:sاي بنابراین تابع چگالی حاشیه :m nY2 2

آیداز رابطه زیر به دست می

142 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

)6( ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )±( ) ±( ) ( )

±( )

' ' ' 's: : s: :

'

| , ,

, , , ,,

, , '

, , ,

1 2 1

2 2 1 1 1 12 21 2 1

1 2 12 1 2 2 2

1 2 1

1 1 1 10 0 0

2 2 10 0 0 1

2 1

s

m n m n s ss

s

i

s

g r g r g r

Y s sY R r R rr r r

g r g r g r sR s R m n sy

s i sr r r i

f y f y P R r R r

A R m n s yc a e p pµ µθγθ

−

− −−

−

−

′ ′ ′

′ ′ ′′ ′ ′

′ ′

′ ′

− −= == = =

−−

= = =′ =

′ ′ ′

′ ′ ′

= = =

= −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

LL L

L .

:sبینی ) تابع چگالی پیش6) و (5با توجه به روابط ( :m nY2 2

برابر است با

( )( ) ( ) ( ) ±( )

( ) ( ) ( )( )( ) ±( ) ( ) ( )

±( )

s: :

'

,*

, , , , ,

, , , ( )| ,

Γ , , , , ,

11 2 1

2 21 2 1

21 1 1 2 2 21

2 2 1

0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 11

1

0 0

2

1

s

m n

s

i

a mg r g r g r s s i sY

r r r i

b T y c R s R m d R m n sa m

A R m n s yc a b Tf y x r

a m c R m d R m n m

e d p pθ γ µ µ µ µ

β µ µ

θ θ

−

−

+−

= = = =

∞− + + + +

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′− + ++

+=

+ +

′ ′ ′

+

× −

∑ ∑ ∑ ∑

∫ ∫%

L%%% %

( )

( ) ( ) ( )±( ) ( )

±( ) ( ) ±( ) ( )( )( ) ( )( )

, , ,

, , , ( )

, , ,

, , , , , ,

, , , , ,

2 1 1 1

1 2 11

1 2 1

1

2 2 1 10 0 0

1 1 1 2 2 2 2 1 1 1

1 1 2 1 1 1

2s

s

R m n m

g r g r g ra m

sr r r

dp

y A R m n s c a m b T

c R s R m d R m n s R m n m

c R m d R m n m

β µ µ µ µ

β µ µ

−

−

−

+−

= = =

′ ′ ′

′ ′ ′

= + +

+ + + +×

′ ′

′

+

′

+

×

∑ ∑ ∑

%

% %

% %

L

( ),

'.

1 121

si s

a mi i

a

b T yγ+ +

= + +

′∑

:sاي اي بري بیزي نقطهکنندهبینیتوان پیشبینی فوق میبه تابع چگالی پیش توجه با :m nY

2 2

صورت را به )1SELتحت تابع زیان مربع خطا (( ) ( ) ( ) ±( )

( ) ( ) ( )( )( )

±( ) ( ) ( )±( )

'

,s: :

, , , , , ,

, , , ( )

Γ , ,ˆ

, , ,

11 2 1

2 2

1 2 1

21

1 1 1 2 2 2 2

2 2 1

0 0 0 1 1 1 1 2 1 1 1

2

0 01

1

0

2

1

s

s

i

a mg r g r g r s s i sm n

r r r i

b T ya m

c R s R m d R m n s R

A R m n s c a b TY

a m c R m d R m n m

y e dy d

p p

θ γ

µ µ µ µ

β µ µ

θ θ

−

−

+−

= = = =

∞∞− + ++

+ + − + +

′ ′ ′

′ ′ ′

′ ′

′ ′ +

+ + +

×

−

=

×

′∑ ∑ ∑ ∑

∫∫

∫% %

%L

%

( ), , .1 1 1 1m n m dp−

خواهیم داشتنتیجه در به دست آورد.

1- Squared Error Loss Function

الهام بصیري، سکینه بیگی 143

( ) ( ) ( )±( ) ( )

±( ) ( ) ±( ) ( )( )( ) ( )( )

s: :

, /' /

ˆ

,

( ), , , ΓΓ

, , , , , , , ,

, , , , ,

1 2 1 1

2 2

1 2 1

1

2 2 110 0 0

1 1 1 2 2 2 2 1 1 1

1 1 2 1 1 1

3 23 2

1 0

32

s

s

g r g r g r a m

m n sr r r

si s a m

ii

b TY A R m n s ca m

c R s R m d R m n s R m n m

c R m d R m n m

ae

β µ µ µ µ

β µ µ

θγ

−

−′

+

−= = =

−

′ ′

+

′

∞−

=

′ ′

′ ′=

′ ′

′

+ +

+ + + +×

+ +

×

∑ ∑ ∑

∑ ∫

%

% %

L

%

( ) .b T dθ θ+

:sاي براي ي بیزي نقطهکنندهبینیپیش لذا :m nY2 2

برابر )، SELتحت تابع زیان مربع خطا (

)7( ( ) ±( ): : , ,ˆ , , , , ,s m nY b T Q R R m m n n s= + ′2 2

12 1 2 1 2

% هرگاهاست،

)8(

±( )( ) ( ) ( )

±( )±( ) ( ) ±( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

, , , , , , , , , ,

, , , , , , , , ,, , ,

, , , , ,

1 2 1

1 2 1

1 2 1 2 1 2 20 0 0

1 1 1 2 2 2 2 1 1 12 2

1 1 2 1 1 1

1 12 2

s

s

g r g r g r

r r rQ R R m m n n s a m A R m n s

c R s R m d R m n s R m n mk s m n

c R m d R m n m

β

β µ µ µ µ

β µ µ

−

−′= = =

′ ′ ′

′ ′

= + ′ ′

′ ′

−

+ + + +× ×

+ +

∑∑ ∑% %

% %

L%

که در آن

)9( ( )( )

,/'

, , .s

i ss

i i

ak s m n c

γ−

=

=′

′ ∑2 2 1 3 21

12

bکنیم در ادامه براي سادگی محاسبات فرض می = به اینکه با فرض معلوم . حال، با توجه 0Rبودن r=% %،T داراي توزیع گاما با پارامترهايm است. لذا θو 1

( )±( )

( ): :

, , , , , , ,

s m n

mQ R R m m n n sE Y

mθ

Γ ′ +

=Γ2 2

11 2 1 21

12

12%

و

( )±( )

: :

, , , , , ,( ) ,

s m n

Q R R m m n n sE Y m

θ

′=

2 2

21 2 1 22

1

%

دهدکه نتیجه می

144 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

)10( ±( )

( ), , , , , ,

. : :ˆ

mQ R R m m n n sVar Y ms m n mθ

Γ + = − Γ

′

2121 21 2 1 2

12 2 1

%

) داریم6همچنین، با توجه به (

)11( ( )±( )

s: :

Ψ , , , ,,

m n

R m n s pE Y

θ

′=

2 2

1 2 212

هرگاه

)12( ±( )

( ) ( ) ( )±( )

±( ) ( )±( ) ( ), , , ,

, , , , , , ,

, , ,

1 2 1

1 2 1

1 2 2 2

1 2 2 2 20 0 0

2 2

12

1

s

s

g r g r g r

r r r

R s R m n s

R m n s p A R m n s

p p k s m nµ µ

−

−= =

′ ′ ′

′ ′ ′

′

=

′

Ψ = Γ

′

× −

′∑ ∑ ∑L

)که ), ,k s m n2 است. ) تعریف شده9ي (در رابطه 2

,از طرف دیگر، با فرض اینکه , nZ Z1 L ي تصادفی یک نمونهn تایی از توزیع نمایی استاندارد:باشد و :j m nW ي نوع دو از این نمونه با طرح ي مرتب سانسور فزایندهامین آماره�ي دهندهنشان

)سانسور ), , mr r r= 1% L را ببینید) ]3[(مرجع باشد، داریم

: : ,j

d lj m n l

l kk

ZWn r l

= −=

=− − +

∑∑ 1

10

1

Rتوزیع بودن است و نمایانگر هم dکه در آن =0 )بنابراین ؛0 ) ( ): : , ,j m nE W g j m n= که

)13( ( ), , .j

ll kk

g j m nn r l

−=

=

=− − +

∑∑ 1

10

11

) داریم13) و (6حال با توجه به (

)14( ( )±( )

s: :

Ψ , , , ,( ) ,

m n

R m n s pE Y

θ=

′2 2

2 2 22 هرگاه

)15( ±( )

( ) ( ) ( )±( )

±( ) ( )±( ) ( ), , , ,

, , , , , , ,

, , ,

s

s

g r g r g r

r r r

R s R m n s

R m n s p A R m n s

p p g s m nµ µ

−

−

′ ′ ′

′ ′ ′

′

= = =

′

′Ψ = ′

× −

∑ ∑ ∑1 2 1

1 2 1

1 2 2 2

2 2 2 2 20 0 0

2 21

L

الهام بصیري، سکینه بیگی 145

)که ), ,g s m n2 توان نوشت ) می14) و (11لذا از روابط () است. 13ي (صورت رابطهبه 2

)16( ( ) ±( ) ±( )s: : , , , , , , , , . m nVar Y R m n s p R m n s p

θ = Ψ − Ψ

′ ′2 2

22 2 2 1 2 2

1 - بینی) براي پیشMSPE( بینی) مقدار میانگین توان دوم خطاي پیش16) و (10روابط ( حال از:اي ي بیزي نقطهکننده :s m nY

2 2 شودي زیر محاسبه میاز رابطه

)17( ( ) ( )

±( ) ±( ){±( ) ±( ) ( )

: : : : : :

, , , , , , , , , ,

ˆ ˆ

, ,

, , , , , , , , ,

s m n s m n s m nMSPE Y E Y Y

m Q R R m m n n s R m n s p

mQ R R m m n n s R m n s p

m

θ

= −

+ Ψ

Γ + − Ψ Γ

′ ′=

′

′

2 2 2 2 2 2

2

21 1 2 1 2 2 2 2

1

1 2 1 2 1 2 21

1

122

%

%

بنابراین، باشند؛) می15) و (12)، (8صورت روابط (ترتیب بههب Ψ2و Q ،Ψ1که در آن توابع ورت صبینی است و بهشده در این مقاله میانگین توان دوم خطاي پیشاولین معیار در نظر گرفته

نیم.ک) تعریف شده است. در بخش بعد معیار دیگري با عنوان تابع هزینه را معرفی می17ي (رابطه

تابع هزینه -3

ه است. گیریم، تابع هزینري که در این مقاله براي تعیین طرح سانسور بهینه در نظر میمعیار دیگي هر واحد هزینه ucي زمان آزمایش و هزینه tcاندازي آزمایش، ي راههزینه c0با فرض اینکه

کنیمصورت زیر تعریف میرا بهمتوسط تابع هزینه تحت آزمایش باشد،

)18( ( ) ( )

( ): :

, , , , ,

t m m n u

t u

E TC c c E X c n

R m n m pc c c n

θ

= + +

Ψ= + +

1 1 10 1

1 1 1 10 11

2

%

) تعریف شده باشد. در بخش بعدي با در نظر گرفتن دو معیار 12ي (صورت رابطهبه Ψ1هرگاه ردازیم.پي نوع دو از راست میي توزیع طرح سانسور فزایندهینهشده، به تعیین پارامتر بهمعرفی

ي سانسور طرح بهینه -4

-هینهدیگر، باید مقدار بعبارتي سانسور باید توزیع آن را مشخص نمود. بهبراي تعیین طرح بهینه)یابیم که را طوري می pرا به دست آورد. براي این منظور pي ) *E TC c≤ و

146 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

( ) *s: :ˆ

m nMSPE Y m≤2 2

)و MSPE، هرگاه )E TC 18) و (17ترتیب در روابط (به (توان ) می17ي (از رابطهشده هستند. و از قبل تعیینمقادیر ثابت m*و c*اند و تعریف شده

)نتیجه گرفت که ) *s: :ˆ

m nMSPE Y m≤2 2

معادل این است که

±( ) ±( ) ±( ) ( )±( )*

, , , , , , , , , , , , , ,

, , , , , ,,

1

2 2 2 1 2 1 2 1 2 21

21 1 2 1 2

122

mR m n s p Q R R m m n n s R m n s p

mm m Q R R m m n n sθ

Γ + Ψ −′ ′ ′Ψ

≤ − ′

Γ%

%

دیگر عبارتبه

)19(

( ) ( ) ( )±( ) ±( ) ( )

±( )

( ) ±( ) ( )±( )

, , , ,

*

, , ,

, , , , , , , , , , ,

, , , , , , .

1 2 11 2 2 2

1 2 1

2 20 0 0

2 2 1 2 1 2 2 2 1 1

21 1 2 1 2

1

1 122 2

s

s

g r g r g rR s R m n s

r r rA R m n s p p

g s m n Q R R m m n n s k s m n m m

m m Q R R m m n n s

µ µ

β

θ

−

−

′ ′ ′′ ′

′ ′= ′= =

−

− +

′

′

′

≤ −

∑ ∑ ∑%

%

L

)شود که ) نتیجه می18ي (همچنین از رابطه ) *E TC c≤ معادل است با

)20( ( )*

, , , , .u

t

c c c nR m n m pc

θ − −

Ψ ≤

10 12

1 1 1 1%

کند.) صدق می20) و (19ي (در دو رابطه optpي توزیع طرح سانسور یعنی بنابراین پارامتر بهینه

aنمودار تابع هزینه را با در نظر گرفتن 1شکل b c d= = = =0 ،θ =1، m =1 10 ،n =1 15 ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = c*و 35 = نیز نمودار تابع هزینه را به 2دهد. شکل نشان می 600

aازاي b c d= = = =0 ،θ =1، m =1 5 ،n =1 10 ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = و 35*c = ینه یک تابع توان مشاهده کرد تابع هزها میشکلاین طور که از دهد. هماننشان می 430

)است که به ازاي آن شرط pمقداري از optpمقدار است. pصعودي از ) *E TC c≤ برقرار وان یافت که چنین شرطی برقرار شود. تمی pاي را براي بازه 2و 1هاي است. با توجه به شکل

aرا به ازاي MSPE نیز نمودار 3 شکل b c d= = = =0 ،θ =1، m m= =1 2 10 ،n n= =1 2 15 ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = c*و 35 = نمایش sو همچنین مقادیر مختلف 600

θبه ازاي MSPE دهد. نمودارمی =1، m m= =1 2 5 ،n n= =1 2 10 ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = c*و 35 = نمایش داده شده است. از 4در شکل sو همچنین مقادیر مختلف 430 optpمقدار است. pصعودي از نیز یک تابع MSPE توان مشاهده کردمی 4و 3هاي شکل

الهام بصیري، سکینه بیگی 147

)است که به ازاي آن شرط pمقداري از ) *s: :ˆ

m nMSPE Y m≤2 2

برقرار است. با توجه به توان یافت که چنین شرطی برقرار شود.اي را میبازه 4و 3هاي شکل

1θ تابع هزینه به ازاي نمودار ):1( شکل = ،m =1 10 ،n =1 15 ،=0 50c ،= 30uc ،= 35tc و= 600*c.

θ ه ازايتابع هزینه ب نمودار ):2شکل ( =1 ،m =1 5 ،n =1 10،=0 50c ،= 30uc ،= 35tc و *c = 430.

)حال با در نظر گرفتن هر دو شرط ) *E TC c≤ و( ) *s: :ˆ

m nMSPE Y m≤2 2

و با فرض a b c d= = = =0 ،θ =1، m m= =1 2 10 ،n n= =1 2 15 ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = 35

c*و = پردازیم. نتایج در می optpبه محاسبه مقادیر m*و sو همچنین مقادیر مختلف 600c*نیز اطالعات مشابه را به ازاي 2گزارش شده است. جدول 1جدول = 430 ،m m= =1 2 5

nو n= =1 2 صورت میانگین هاي مختلف بهsبراي m*دهد. الزم به ذکر است که ارائه می 10 گرفته شده است. در نظر MSPE ترین مقدارترین و کوچکبزرگ

148 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

θ براي MSPEنمودار ): 3شکل ( =1 ،m m= =1 2 5 ،n n= =1 2 و 15

.sهمچنین مقادیر مختلف

θ براي MSPEنمودار ):4شکل ( =1 ،m m= =1 2 5 ،n n= =1 2 sو همچنین مقادیر مختلف 10

θبه ازاي optpمقادیر ):1جدول ( =1 ،m m= =1 2 5 ،n n= =1 2 15 ،=0 50c ،= 30uc ،= 35tc و= 600*c و همچنین مقادیر مختلفs.

s *m optp 1 015/0 )19/0 ،0( 3 027/0 )19/0 ،0( 5 039/0 )19/0 ،0( 7 056/0 )15/0، 0( 10 153/0 )15/0 ،0(

الهام بصیري، سکینه بیگی 149

θبه ازاي optpمقادیر ): 2جدول ( =1 ،m m= =1 2 5 ،n n= =1 2 10 ،=0 50c ،= 30uc ،= 35tc و*c = sو همچنین مقادیر مختلف 430

s *m optp 1 026/0 )35/0 ،0( 3 073/0 )26/0 ،0( 5 186/0 )27/0 ،0(

سازي ي شبیهمطالعه -5

ده ش انجام سازيشبیه يمطالعه یک نتایج بخش قبل، ملکردع ارزیابی منظوربه بخش، این در دهیم.است. براي این منظور الگوریتم زیر را مورد استفاده قرار می

s و a ،c،d ،θ ،m1 ،m2 ،n1 ،n2 ،c0 ،uc ،tc ،*c ،*mفرض کنید :1الگوریتم صورت: همگی معلوم باشند. در این

) بیابید.20) و (19را از روابط ( optpمقدار )1

,، iRمقادیر )2 ,i m= 11L و' jR ،, ,j m= 21L پارامتر اي بارا از توزیع دوجملهoptp یعنی تولید کنید؛

~ ( , ), , , , ,mi

opti k m k

k kR Bin n m R p i m R n m R

−−

= =

− − = − = − −∑ ∑1

1

11

1 1 1 1 11 1

1 1L

' ~ ( ' , ), , , , ' .mj

optj k m k

k kR Bin n m R p j m R n m R

−−

= =

− − = − = − −∑ ∑2

2

11

2 2 2 2 21 1

1 1L

,متغیر تصادفی مستقل m2و m1تعداد )3 , mW W11 L و' , , 'mW W

21 L ع را از توزی)یکنواخت پیوسته ),U 0 تولید کنید. 1

,, قرار دهید )4 ,m

kk m ii R

i iV W i m= − ++

= =∑ 111

1

11L ،و '' , , ' ,

mkk m j

j Rj jV W j m= − +

+= =∑ 2

12

1

21L .

, قرار دهید )5 ,, m

i kk m i

U V i m= − +

= − =∏1

1

11

1 1L ، و' ' ,, ,m

j kk m j

U V j m= − +

= − =∏2

2

21

1 1L.

:صورت ي نوع دو را بههاي مرتب سانسور فزایندهآماره )6 : ( )i m n iX F U−=1 1

1 ،, ,i m= 11L :و : ( )s m n sY F U−=

2 2

F، به دست آورید، هرگاه 1 است. تابع چندك توزیع رایلی 1−

:اي بیزي ي نقطهکنندهبینیمقدار پیش )7 :s m nY2 2

) محاسبه کنید. 7ي (را از رابطه

150 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

Kرا به تعداد 7تا 1مراحل )8 )بار تکرار نمایید و فرض کنید که 10000= ): :i m nX l1 1

،( ): :s m nY l

2 2)و ): :s m nY l

2 2-ي نوع دو و پیشهاي مرتب سانسور فزایندهترتیب مقدار آمارهبه

,ام باشند (lآمده در تکرار دستاي بهي نقطهکنندهبینی ,l K= 1 L( .

:، optpمقادیر ): 3جدول ( :2 2s m nY)

،: :( )2 2s m nEMSPE Y

)،EECT و: :( )s m nEB Y

2 2

)به

aازاي b c d= = = =0 ،m m= =1 2 5 ،n n= =1 2 10 ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = θو sمقادیر مختلف و 35

θ *c s s optp : :2 2s m nY)

EMSPE EECT EB

75/0 84/404 1 052/0 32/0 342/0 035/0 660/401 019/0 3 096/0 22/0 746/0 078/0 32/396 047/0 5 229/0 16/0 156/1 177/0 28/393 083/0

1 78/388 1 026/0 32/0 296/0 025/0 69/388 015/0 3 072/0 32/0 657/0 060/0 04/386 044/0 5 171/0 20/0 047/1 153/0 95/383 079/0

2 42/377 1 013/0 32/0 209/0 013/0 11/372 010/0 3 036/0 32/0 479/0 033/0 43/369 032/0 5 085/0 18/0 727/0 073/0 64/366 052/0

- یشن دوم خطاي پمیانگین توااي بیزي، متوسط ي نقطهکنندهبینیمقادیر متوسط پیش )9یب از روابط ترتاي بیزي را بهي نقطهکنندهبینی، متوسط تابع هزینه و متوسط اریبی پیشبینی

زیر به دست آورید

( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )

: : : :

: : : : : :

: :

: : : : : :

,

,

,

.

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ ˆ

K

s m n s m nl

K

s m n s m n s m nlK

t m m n ul

K

s m n s m n s m nl

Y Y lK

EMSPE Y Y l Y lK

EECT c c X l c nK

EB Y Y l Y lK

θ

=

=

=

=

=

= −

= + +

= −

∑

∑

∑

∑

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1

2 2 2 2 2 2

12

1

0 112

1

1

1

1 1

1

mو با فرض 1کارگیري الگوریتم با به m= =1 2 5 ،n n= =1 2 10 ،c =0 50 ،uc = و 30tc = و EMSPE،EECTقادیر م m*و a ،c ،d ،θ ،sو همچنین مقادیر مختلف 35

الهام بصیري، سکینه بیگی 151

EB مقادیر 5و 4، 3اند. در جداول ارائه شده 5و 4، 3محاسبه و در جداول*c و*m ترتیب به اند. در نظر گرفته شده EMSPEو EECT ترین مقدارترین و کوچکمیانگین بزرگ

:، optpمقادیر ): 4جدول ( :2 2s m nY)

،( ): :s m nEMSPE Y2 2

، EECT و( ): :s m nEB Y2 2

0bبه ازاي = ،1θ = ،1 2 5m m= = ،1 2 10n n= = ،0 50c = ،30uc = ،35tc dو s ،a ،cو مقادیر مختلف =

acd*c s *m

optp : :2 2s m nY)

EMSPEEECT EB

1 5/0 2 78/388 1 025/0 32/0 280/0 025/0 57/388 002/0- 3 034/0 32/0 601/0 060/0 71/388 032/0- 5 159/0 18/0 920/0 122/0 21/383 025/0-

5/0 1 2 78/388 1 025/0 32/0 280/0 025/0 62/388 000/0 3 067/0 32/0 637/0 061/0 83/388 008/0 5 159/0 17/0 978/0 127/0 75/382 041/0

5/0 2 1 78/388 1 255/0 32/0 279/0 024/0 68/388 002/0- 3 068/0 32/0 653/0 061/0 70/388 023/0 5 163/0 14/0 010/1 132/0 85/381 009/0

1 2 5/0 78/388 1 025/0 32/0 266/0 025/0 68/388 013/0- 3 067/0 32/0 623/0 058/0 46/388 003/0- 5 159/0 17/0 993/0 132/0 87/382 055/0

2 5/0 1 78/388 1 025/0 32/0 244/0 025/0 67/388 034/0- 3 074/0 32/0 554/0 608/0 66/388 079/0- 5 166/0 25/0 917/0 155/0 10/386 009/-

2 1 5/0 78/388 1 025/0 32/0 243/0 026/0 56/388 036/- 3 070/0 32/0 564/0 061/0 68/388 067/- 5 166/0 30/0 887/0 130/0 48/383 068/0

اي هستند که هاي باالي بازهشده درواقع کرانگزارش optpمقادیر 5و 4، 3همچنین در جداول دیگر، با توجه به ارتعب) برقرار هستند. به20) و (19ي مقادیر آن بازه دو شرط (به ازاي کلیه

)صورت ي اصلی بهدر جداول بازه optpمقدار , )optp0 توان مشاهده می 5و 4، 3. از جداول است کرد که:

: :( )s m nEB Y2 2

)

152 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

EMSPE*در تمامی حاالت دو شرط )1 m≤ و*EECT c≤ .برقرار است :رود ه انتظار میطور کهمان )2 :s m nY

2 2 است. sتابعی صعودي از

.استصعودي sنیز برحسب EMSPE هرگاه همه مقادیر ثابت باشند، تابع )3و EMSPE یابد ولی مقادیرنیز افزایش می optpمقدار θبا افزایش مقادیر )4

EECT یابند.کاهش می

)، ، مقادیر ): 5جدول ( ): :s m nEMSPE Y2 2

)و ، ): :s m nEB Y2 2

به ازاي a b c d= = = =0 ،θ =1 ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = ، s ،m1و همچنین مقادیر مختلف 35

m2 ،n1 و n2

m1 m2n1n2*c

s *m optp : :s m nY

2 2

)

EMSPEEECTEB

5 5 10 10 78/388 1 026/0 32/0 295/0 025/0 62/388 015/0 3 072/0 32/0 676/0 066/0 71/388 044/0 5 171/0 20/0 047/1 152/0 75/383 079/0

10 10 20 20 47/693 1 011/0 19/0 203/0 011/0 36/693 005/0 5 034/0 19/0 604/0 029/0 42/693 020/0 10 116/0 15/0 180/1 114/0 31/689 060/0

5 10 10 20 78/388 1 012/0 32/0 209/0 013/0 78/388 011/0 5 047/0 24/0 637/0 045/0 30/385 034/0 10 172/0 14/0 184/1 132/0 76/381 118/0

10 5 20 10 47/693 1 023/0 19/0 287/0 023/0 23/693 008/0 3 057/0 19/0 617/0 043/0 42/693 022/0 5 127/0 19/0 00/1 108/0 45/693 041/0

مثال واقعی -6

هاي شکست که این زمان .گیریممی در نظر را بلبرینگ 23مربوط به هاي شکستزمان ااینج در هایی از توزیع رایلی مورد استفاده قرار گرفتند، عبارتند از:عنوان دادهبه ]28[توسط

1788/0 ،2892/0 ،33/0 ،4152/0 ،4212/0 ،4560/0 ،4848/0 ،5184/0 ،5196/0 ،5412/0 ،5556/0 ،6780/0 ،4686/0 ،6888/0 ،8412/0 ،9312/0 ،9864/0 ،

0512/1 ،0584/0 ،2792/1 ،2804/1 ،7340/1

optp: :2 2s m nY)

EECT

الهام بصیري، سکینه بیگی 153

mبه ازاي pهاي سانسور مختلف به ازاي مقادیر مختلف طرح): 6جدول ( =1 15 ،n =1 23

طرح سانسور p شماره طرح1 2/0 )0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 3( 2 5/0 )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4( 3 7/0 )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 7( 4 9/0 )0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5(

)مقادیر ): 7جدول ( )E TC وs: :ˆ( )

2 2m nMSPE Y به ازايm =2 5 ،m =1 15 ،n =2 10 ،1 23n = ،0a b c d= = = = ،1θ = ،c =0 50 ،uc = 30 ،tc = pلف و مقادیر مخت 35

s شماره طرح s: :2 2m nY)

( )E TC s: :ˆ( )

2 2m nMSPE Y

1 1 283/0 015/740 022/0 3 646/0 427/0 5 143/1 340/1

2 1 282/0 594/741 022/0 3 665/0 445/0 5 214/1 482/1

3 1 278/0 588/742 022/0 3 660/0 401/0 5 214/1 345/1

4 1 281/0 450/740 022/0 3 668/0 238/0 5 226/1 764/0

اي که پارامتر توزیع طرح سانسور از توزیع دوجمله pبه ازاي مقادیر متفاوت ]28[در مرجع mاست و به ازاي =1 15 ،n =1 به 6صورت جدول ي نوع دو بههاي سانسور فزایندهطرح 23mکه حال با فرض این . دست آمدند =2 5 ،n =2 10 ،a b c d= = = =0 ،θ =1 ،c =0 50

،uc = tcو 30 = )مقادیر 35 )E TC وs: :ˆ( )m nMSPE Y

2 2-هاي سانسور ارائهبه ازاي طرح

اند.گزارش شده 7و در جدول محاسبه 6شده در جدول

154 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

گیرينتیجه

-نوع دو از جمله مسائلی است که تاکنون توسط پژوهش يي سانسور فزایندهتعیین طرح بهینهشده که مقادیر سانسورگران زیادي موردمطالعه قرار گرفته است. در برخی موارد امکان این

شده باشند وجود ندارد. به عبارتی طرح سانسور متغیري تصادفی مقادیري ثابت و از قبل تعیینه اي باشد بور متغیري تصادفی از توزیع دوجملهکه طرح سانساست. در این مقاله با فرض این

ریم. بکار میپردازیم. در این راستا دو معیار را بهي توزیع طرح سانسور میتعیین پارامتر بهینهدر اي بیزيي نقطهکنندهبینیبینی براي پیشاولین معیار میانگین توان دوم خطاي پیش

نوع يي طراحی سانسور فزایندهدیگر نیز تابع هزینه اي است. معیاربینی دو نمونهي پیشمسئلهشود که این دو معیار ي توزیع طرح سانسور طوري تعیین میباشد. در ادامه پارامتر بهینهدو می

اي کمتر باشند. نتایج مقاله نشان داد که این دو معیار توابعی شده تعیین از مقادیر مشخص از قبلشود. منجر به نتایج بهتري می pتر براي هستند و بنابراین مقادیر کوچک pصعودي برحسب

هاي یا فاصله HPDبینی هاي پیشدر این مطالعه معیارهاي دیگري نظیر متوسط طول فاصله ر گیرند. توانند موردبررسی قراي آینده نیز میهاي برابر براي مشاهدهبینی با دمپیش

گزاريسپاس

شان در بهبود این مقاله تشکر نویسندگان مقاله از داوران محترم براي ارائه پیشنهادهاي سازنده نمایند.و قدردانی می

منابع[1] Aitchison, J and Dunsmore, I. R. (1975). Statistical Prediction

Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, England. [2] Geisser, S. (1993). Predictive Inference: An Introduction. Chapman and

Hall, New York. [3] Balakrishnan, N. and Aggarwala, R. (2000). Progressive

Censoring: Theory, Methods and Applications. Birkhauser, Boston. [4] Balakrishnan, N. (2007). Progressive censoring methodology: an

appraisal. Test. 16, 211-259. [5] Balakrishnan, N. and Cramer, E. (2014). The Art of Progressive

Censoring. Birkhauser, New York.

کارشناسی ارشد، نامهطرح بهینه در سانسور فزاینده نوع دو. پایان). 1389الهام ( ي،بصیر ]6[ علوم ریاضی، دانشگاه فردوسی مشهد. دانشکده

[7] Balakrishnan, N. and Lin, C. T. (2002). Exact linear inference and prediction for exponential distributions based on general progressively

الهام بصیري، سکینه بیگی 155

type-II censored samples. Journal of Statistical Computational and Simulation. 72, 677-686.

[8] Raqab, M. Z., Asgharzadeh, A. and Valiollahi, R. (2010). Prediction for Pareto distribution based on progressively type-II censored samples. Computational Statistics and Data Analysis. 54, 1732-1743.

[9] Asgharzadeh, A. and Valiollahi, R. (2009). Inference for the proportional hazards family under progressive type-II censoring. Journal of the Iranian Statistical Society. 8, 35-53.

[10] Asgharzadeh, A. and Valiollahi, R. (2010). Point prediction for the proportional hazards family under progressive type-II censoring. Journal of the Iranian Statistical Society. 9, 127-148.

[11] Ahmadi, J., MirMostafaee, S. M. T. K. and Balakrishnan, N. (2012). Bayesian prediction of k-record values based on progressively censored data from exponential distribution. Journal of Statistical Computation and Simulation. 82, 51-62.

[12] Basiri, E., and Ahmadi, J. (2015). Prediction intervals for generalized-order statistics with random sample size. Journal of Statistical Computation and Simulation. 85(9), 1725-1741.

[13] Burkschat, M., Cramer, E., and Kamps, U. (2006). On optimal schemes in progressive censoring. Statistics and probability letters , 76(10), 1032-1036.

[14] Burkschat, M., Cramer, E., and Kamps, U. (2007). Linear estimation of location and scale parameters based on generalized order statistics from generalized Pareto distributions. Recent Developments in Ordered Random Variables. 253-261.

[15] Burkschat, M., Cramer, E., & Kamps, U. (2007). Optimality criteria and optimal schemes in progressive censoring. Communications in Statistics—Theory and Methods. 36(7), 1419-1431.

بر 12طرح بهینه سانسور فزاینده در توزیع بر نوع ). 1389، الهام؛ احمدي، جعفر (بصیري ]61[ .ایران آمار کنفرانس دهمین اساس اطالع فیشر.

[17] Volterman W., Davies F.K. and Balakrishnan N. (2012). Pitman closeness as a criterion for the determination of the optimal progressive censoring scheme. Statistical Methodology, 9(6), 563-572.

[18] Pradhan, B. and Kundu, D. (2013). Inference and optimal censoring schemes for progressively censored Birnbaum–Saunders distribution. Journal of Statistical Planning and Inference , 143(6), 1098-1108.

156 ي نوع دو از توزیع رایلی...طرح بهینه در سانسور فزاینده

[19] Bhattacharya, R., Pradhan, B., and Dewanji, A. (2016). On optimum life-testing plans under Type-II progressive censoring scheme using variable neighborhood search algorithm. Test, 25(2), 309-330.

[20] Mishra, N. (2018). Optimal one-step censoring schemes under entropy criterion. Communications in Statistics-Simulation and Computation. 1-14.

[21] Salemi, U. H., Rezaei, S., Si, Y., and Nadarajah, S. (2018). On Optimal Progressive Censoring Schemes for Normal Distribution. Annals of Data Science, 5(4), 637-658.

[22] Tse, S. K. and Yuen, H. K. (1998). Expected experiment times for the Weibull distribution under progressive censoring with random removals. Journal of Applied Statistics. 25(1), 75-83.

[23] Tse, S. K., Yang, C. and Yuen, H. K. (2000). Statistical analysis of Weibull distributed lifetime data under Type II progressive censoring with binomial removals. Journal of Applied statistics. 27(8), 1033-1043.

[24] Wu, S. J. (2003). Estimation for the two-parameter Pareto distribution under progressive censoring with uniform removals. Journal of Statistical Computation and Simulation. 73(2), 125-134.

[25] Amin, Z. H. (2008). Bayesian inference for the Pareto lifetime model under progressive censoring with binomial removals. Journal of Applied Statistics. 35(11), 1203-1217.

[26] Kumar, D., Singh, U., Singh, S. K., and Bhattacharyya, G. (2015). Bayesian Estimation of Exponentiated Gamma Parameter for Progressive Type II Censored Data With Binomial Removals. Journal of Statistics Applications and Probability, 4(2), 265-273.

[27] Singh, S. K., Singh, U., and Kumar, M. (2016). Bayesian Estimation for Poisson-exponential Model under Progressive Type-II Censoring Data with Binomial Removal and Its Application to Ovarian Cancer Data. Communications in Statistics-Simulation and Computation . 45(9), 3457-3475.

[28] Dey, S. and Dey, T. (2014). Statistical inference for the Rayleigh distribution under progressively Type-II censoring with binomial removal. Applied Mathematical Modelling. 38(3), 974-982.

[29] Soliman, A. A., Ellah, A. H. A., Abou-Elheggag, N. A., and El-Sagheer, R. M. (2013). Bayesian and frequentist prediction using progressive Type-II censored with binomial removals. Intelligent Information Management. 5(5), 162-170.

[30] Dey, S., Kayal, T., and Tripathi, Y. M. (2017). Statistical Inference for the Weighted Exponential Distribution under Progressive Type-II

الهام بصیري، سکینه بیگی 157

Censoring with Binomial Removal. American Journal of Mathematical and Management Sciences, 37(2), 188-208.

[31] Meshkat, R., and Dehqani, N. (2018). Point prediction for the proportional hazards family based on progressive Type-II censoring with binomial removals. Journal of Statistical Modelling: Theory and Applications (JSMTA). 1(1), 19-35.

[32] Shahab, S., Anwar, S., and Islam, A. U. (2015). Optimal design of step stress partially accelerated life test under progressive type-II censored data with random removal for Frechet distribution. Reliability: Theory & Applications, 2(37), 12-26.

[33] Anwar, S., Shahab, S. S., and Islam, A. U. I. (2016). Optimum Step Stress Partially Accelerated Life Test under Progressive Failure Censoring with Random Removals for Generalized Pareto Distribution. International Journal of Trend in Research and Development, 4(1), 62-71.

JAMM (2020) 10(1) 135-157 DOI: 10.22055/JAMM.2020.29209.1705

ISSN: 2251-8088Jamm.Scu.ac.ir

Journal of Advanced Mathematical Modeling, Vol. 10, No. 1, (2020), 135-157

The Optima Scheme in Type II Progressive Censoring with Random Removals for the Rayleigh Distribution Based on Two-Sample Bayesian Prediction and Cost Function

Elham Basiri*, Sakine Beigi**

*Department of Statistics, Kosar University of Bojnord, Bojnord, Iran

**Department of Industrial Engineering, Kosar University of Bojnord, Bojnord, Iran

Received: April 18 2019 Accepted for publication: November 30 2019 Corresponding author: Elham_basiri2000@yahoo.com © 2018 Published by Shahid Chamran University of Ahvaz, Ahvaz, Iran

Abstract A type II progressive censoring scheme is one of the censoring methods that is important in life-testing studies. This method of censoring allows the experimenter to withdraw some of the tested units at different stages of testing. One question that arises when designing a type II progressive censoring is how we can decide to remove several units from the test at each step? Different answers can be made to answer this question by considering different criteria. In this paper, assuming the censoring scheme is a random variable from Binomial distribution, we intend to obtain the optimal parameter for the distribution of censoring scheme when the distribution is the Rayleigh distribution by considering two criteria, the cost of testing and the Mean squared prediction error in the two-sample prediction problem. To illustrate the effectiveness of the results, a simulation study and a real data example are presented with the help of MATLAB software.

Keywords: Two-sample Bayesian prediction, Rayleigh distribution, Mean squared prediction error, Cost function, Optimal censoring scheme

Mathematics Subject Classification (2010): 62F15, 62N01.

© 2018 by the authors. Licensee SCU, Ahvaz, Iran. This article is an open access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-Noncommercial 4.0 International (CC

BY-NC 4.0 license) (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/) .