НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО -МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

2 Математика и компьютеры: проблемы и перспективы.Р.Грэхем

10 Радуга Декарта–Ньютона–Юнга. А.Панов

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

15 Задачи М2421–М2428, Ф2428–Ф243417 Решения задач М2405–М2413, Ф2413–Ф241921 От подстановки корня до трансцендентного числа.

С.Дориченко, П.Кожевников

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В

24 Задачи25 Коровы Исаака Ньютона. И.Акулич27 Буратино и его качели. С.Дворянинов

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

29 Аналогии – всюду. А.Стасенко

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

30 Закон Гука и коэффициент Пуассона, или Чем резинаотличается от воды. П.Суровин

К А Л Е Й Д О С К О П « К В А Н Т А »

32 Конденсатор

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

34 Аплодисменты здесь тихие. В.Ильичев, А.Маринин35 О двух классах треугольников, или Откуда берутся задачи.

А.Заславский39 Еще одно доказательство теоремы об изогональном

сопряжении. В.Дубровский

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

40 Уравнения связей в механике. К.Рыб

О Л И М П И А Д Ы

44 XXXVII Турнир городов45 LXXIX Московская математическая олимпиада47 Московская физическая олимпиада 2016 года53 XXIV Международная олимпиада «Интеллектуальный марафон»

И Н Ф О Р М А Ц И Я

57 Заочная школа СУНЦ НГУ

60 Ответы, указания, решения

Н А О Б Л О Ж К Е

I Иллюстрация к статье А.Панова

II Коллекция головоломок

III Шахматная страничка

IV Прогулки с физикой

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

А.Л.Семенов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

Н.Н.Андреев, А.Я.Белов, Ю.М.Брук, А.А.Варламов, С.Д.Варламов,

А.Н.Виленкин, В.И.Голубев,Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко,

В.Н.Дубровский,А.А.Егоров, А.А.Заславский,

П.А.Кожевников (заместитель главногоредактора), С.П.Коновалов, А.А.Леонович,Ю.П.Лысов, В.В.Произволов, В.Ю.Протасов,

А.М.Райгородский, Н.Х.Розов, А.Б.Сосинский,А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин, В.М.Тихомиров,

В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

(заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник,

В.Г.Болтянский, А.А.Боровой,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин, С.П.Новиков,Л.Д.Фаддеев

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков,В.Г.Болтянский, И.Н.Бронштейн,

Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, В.Г.Зубов,П.Л.Капица, В.А.Кириллин, Г.И.Косоуров,

В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский,Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант,

Я.Е.Шнайдер

УЧРЕДИТЕЛИ

Российская академия наук

Математический институт им.В.А.Стеклова Российской академии наук

Физический институт им. П.Н.ЛебедеваРоссийской академии наук

МАЙ

ИЮНЬ Ю№320

16

Математика и компьютеры:проблемы и перспективы

Р.ГРЭХЕМ

ЯХОТЕЛ БЫ ДАТЬ ОБЗОР НЕКОТОРЫХ РЕ-зультатов, относящихся к взаимодействиюматематики и компьютеров. Вы понимаете,

что компьютеры есть и будут, и они были чрезвы-чайно эффективны при работе с самыми разнымизадачами. Если смотреть с точки зрения матема-тических проблем, то вопрос в том, насколькохорошо компьютеры делают то, что они делают,и каковы перспективы на будущее.

Представляется правильным вспомнить на этойконференции о вели-ком математике Да-виде Гильберте. Каквы, наверное, знаете,Гильберт в 1900 годуна математическомконгрессе сформули-ровал 23 проблемы,решением которых,по его мнению (и оноказался более илименее прав), матема-тики будут заняты внаступавшем столе-тии. В этой связи онтакже сделал несколь-ко замечаний о роли

задач в математике. Он сказал: «Пока в некото-ром разделе математики наблюдается изобилиезадач, это жизнь; когда задачи кончаются, этоначало конца». Он также отметил, что именнонеобходимость решать задачи вынуждает людейизобретать новые методы. Он говорил, что «вамприходится проверять закалку своей стали, вамнужны новые методы и новые подходы». И еще:«Одна из проблем в том, как понять, что такоехорошая задача. Задача должна быть достаточнотрудной, чтобы она привлекла ваше внимание, ноона не должна быть полностью безнадежной.Часто очень трудно сказать заранее, в какуюкатегорию попадает задача, так что никто вам нескажет «Давай!».

Итак, я собираюсь дать представление о неко-торых задачах, с которыми я давно или относи-тельно недавно сталкивался, и сказать, как ком-пьютеры могут помочь в решении этих задач.Как вы увидите, в некоторых случаях компьюте-ры оказались очень полезны, в некоторых – онимогут принести пользу, но пока что этого непроизошло, а применительно к некоторым зада-чам я сомневаюсь, что от компьютеров можетбыть хоть какая-нибудь польза – да, это сильноеутверждение!

Давайте начнем с начала. У нас есть целые

В этом году исполняется 80 лет замечательному математикуРональду Грэхему. Он широко известен как крупнейший специалист покомбинаторике, идеи и методы которой используются во всех безисключения областях математики. Наверное, многие знают знаменитуюкнигу «Конкретная математика», написанную им в соавторстве сДональдом Кнутом и Ореном Паташником (около 10 лет назад вышелее перевод на русский язык).

Книга Рональда Грэхема «Начала теории Рамсея» была переведенана русский язык и издана еще в 1984 году, а в «Кванте» №4 за 1988год опубликовано интервью с ним.

С разрешения автора мы публикуем статью по материалам егодоклада, сделанного летом 2014 на конференции Международнойфедерации математических соревнований в Баранкийе (Колумбия), впереводе С. Львовского.

Рональд Грэхем

Давид Гильберт (1862–1943)

М А Т Е М А Т И К А И К О М П Ь Ю Т Е Р Ы : П Р О Б Л Е М Ы И П Е Р С П Е К Т И В Ы 3

положительные числа, и число p называется про-стым, если у него нет делителей, кроме 1 и p.Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 и так далее –простые, а у чисел 14, 15 и 100 есть делители,отличные от единицы и их самих, так что этичисла составные. Простые числа – это «кирпичи-ки», из которых собраны все целые числа: всякоецелое положительное число единственным обра-зом представляется в виде произведения неубыва-ющей последовательности простых. А скольковсего простых чисел? Бесконечно много. Частоговорят, что в идеальном математическом докла-де должно содержаться ровно одно доказатель-ство и ровно одна шутка. Итак, вот знаменитоедоказательство, принадлежащее, возможно, Евк-лиду: если существует лишь конечное число про-стых 1, , np p… , то надо посмотреть на число N,равное произведению всех этих 1, , np p… плюсединица. По основной теореме арифметики, N –произведение простых чисел, но так как N неделится ни на одно из чисел 1, , np p… , оно должноделиться на новое простое число, и получаемпротиворечие. Надо думать, все это доказатель-ство видели. Но большинство слушателей, веро-ятно, не знакомы с другим результатом, малоиз-вестным, являющимся предшественником этогорезультата Евклида, а именно, с тем, что количе-ство составных чисел тоже бесконечно. Доказа-тельство такое: пусть числа 1, , kc c… составные,берете их произведение, единицу не прибавляете.(В зале смех.) Эта шутка, кстати, принадлежитХендрику Ленстре.

Наибольшее из известных на сегодняшний деньпростых чисел равно 2 в степени 57 миллионов счем-то минус единица. В его десятичной записи 17миллионов цифр; оно получило премию как пер-вое простое число, содержащее более 10 милли-онов десятичных знаков. Его открыли в прошломгоду в рамках проекта «Поиск простых чиселМерсенна». Участники этого проекта устанавли-вали на свои компьютеры специальную програм-му, и она в фоновом режиме проверяла различ-ные показатели. Вы знаете, что показатель в этомпримере (57885161) является простым числом,это одно из простых чисел Мерсенна, и что длятого чтобы 2 1p - было простым числом, само pдолжно быть простым числом; при проверке этойпростоты работало около 32 миллионов процес-сов; для проверки каждого показателя нуженпримерно час. Electronic Frontier Foundation пред-ложило премию в 150 тысяч долларов за первоепростое число, в котором будет более ста милли-онов десятичных знаков. Вот в этой областикомпьютеры точно могут кое-что сделать; дальшемы увидим, зачем люди интересуются простымичислами.

Ну хорошо, вернемся к простым числам. Еслина них внимательно посмотреть, то можно уви-деть, что, похоже, все четные числа, большие 2,являются суммой двух простых, причем видно,что чем число больше, тем больше способов его втаком виде представить. Имеется гипотеза, сфор-мулированная в 1742 году, согласно которойвсякое четное число, большее 2, является суммойдвух простых. Компьютеры могут в некоторомроде заняться этой проблемой; с их помощьюгипотеза была проверена для четных чисел, мень-ших 1810 , – выглядит неплохо! Одно британскоеиздательство (Faber & Faber) предложило пре-мию в миллион долларов тому, кто докажет этугипотезу Гольдбаха к определенному сроку. Нооно наложило дополнительные условия: претен-дент на премию должен был быть гражданиномСША или Великобритании в возрасте не ниже 18лет. Я бы сказал, что если кто-то, кому еще нетвосемнадцати, такое докажет, то он заслуживаетеще большей премии, но так или иначе эта премияникому не досталась, и довольно об этом.

Более 40 лет назад китайский математик ЧэньЦзинжунь доказал, что всякое достаточно боль-шое четное число можно представить в видесуммы двух слагаемых, одно из которых простое,а другое разлагается в произведение не более двухпростых. Ближе к нашим дням, в 2013 годуХелфготт показал, что всякое нечетное число,большее 5, можно представить в виде суммы трехпростых. Я подчеркиваю: не «достаточно боль-шое», а любое! Предыдущей границей было

13462 10◊ , так что он ее основательно снизил! И вего доказательстве использовались некоторыекомпьютерные вычисления.

Посмотрим на простые числа еще раз. Можнозаметить, что в начале их последовательностиочень часто встречаются пары простых чисел,отличающиеся на 2. Такие простые числа называ-ются близнецами, и существует проблема: дока-зать, что число пар простых чисел-близнецов

Чжан Итан

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 34

бесконечно. Наибольшая известная пара близне-цов содержит порядка 200000 десятичных знаков(а именно, это 6666693756801695685 2 1◊ ± ), и опятьона была найдена с помощью компьютеров: суще-ствуют критерии, с помощью которых проверя-ют, является ли число простым. В 2013 году ЧжанИтан, который работал преподавателем в Нью-Хемпшире, доказал теорему, согласно которойсуществует такое число N, меньшее 70000000, чтобесконечно много пар простых чисел отличаютсяменьше чем на N. Это было серьезное достиже-ние, использующее новые идеи. Кстати, послеэтого результата Чжана повысили в должности сассистента до профессора, так что доказательствопошло ему на пользу. После этого развернуласьборьба за то, чтоб это число уменьшить. Ее успехиотмечаются на специальном сайте. Например,несколько недель назад это число удалось снизитьс семидесяти миллионов до 246. Я не думаю, чтотак удастся добраться до разности 2, но покрайней мере доказано, что существует бесконеч-но много пар простых чисел, отличающихся неболее чем на 246.

Основная теорема арифметики гласит, что вся-кое число можно представить в виде произведе-ния простых, но тогда возникает вопрос, какконкретно это можно сделать. Например, 11 –простое число, 111 разлагается как 3 37◊ , а какобстоят дела с числом 1111 – оно простое? Нет,оно равно 11 101◊ . Ну а если мы выпишем пятьединиц подряд? Давайте посмотрим. На три неделится, на пять тоже. На семь?.. В итоге оказы-вается, что оно равно 41 271◊ . Как видите, чемчисло больше, тем труднее разложить его напростые множители. Например, если взять шестьединиц подряд. Это простое число? Нет, оно ввысшей степени составное, и теперь разлагатьчисла уже труднее. Существует очень симпатич-ное приложение для айфона, которое достаточнобыстро разлагает на простые множители любое неболее чем тридцатипятизначное число. Но вотвозьмем число, записываемое 71 единицей. Онопростое? А если нет, как его разложить? Оказы-вается, это число является произведением двухпростых (обычно множителей бывает больше).На эту тему была опубликована статья в «USAtoday», лет тридцать тому назад. Разложениебыло найдено на компьютере Cray в Лос-Аламос-ской лаборатории. Если внимательно посмотретьна эту статью, то можно заметить, что последняяцифра одного из множителей равна 8, что вызы-вает определенные подозрения. Так что когдачитаете газеты, будьте начеку.

Но с какой же целью люди интересуются раз-ложением больших чисел на простые множите-ли? Дело в том, что возникло новое направление

в криптографии – шифрование с открытым клю-чом, надежность которого основывается на том,что, как считается, разлагать большие числа впроизведение простых трудно. На фото рядом –Рон Ривест, фамилия которого входит в аббре-виатуру RSA, являющуюся названием для однойиз систем шифрования с открытым ключом. Одиниз способов раскрыть такой шифр – разложитьна простые множители большое число. Ривестопубликовал 129-значное число и предложил всемжелающим разложить его на множители. Онбыл уверен, что при использовании известных вто время методов для этого потребуется около

164 10◊ лет. Это число было опубликовано встатье в газете «Таймс» около 20 лет тому назад.На самом деле разложение нашли примерно за20 лет, так что оценка в 1610 оказалась, скажемтак, излишне пессимистической. В наши дни вочень многих ситуациях, когда требуется соблю-сти конфиденциальность (например, при работес банковскими картами), надежность шифрова-ния зависит от трудности разложения большихчисел. Если обнаружится эффективный способнаходить такие разложения, то очень многоеизменится.

Оказывается, что число, записываемое 1031последовательной единицей, является простым.Последнее ли это простое число такого вида? ПолЭрдёш сказал бы, что всякий широко мыслящийчеловек знает, что простых чисел такого видабесконечно много, только он не может это дока-зать. Похоже, что число, записанное 270343 пос-ледовательными единицами, может быть про-стым: это пока не доказано, но оно очень похожесебя ведет, оно удовлетворяет многим необходи-мым условиям простоты.

Вырезка из газеты «USA today»

М А Т Е М А Т И К А И К О М П Ь Ю Т Е Р Ы : П Р О Б Л Е М Ы И П Е Р С П Е К Т И В Ы 5

Вот пример. Кажется, в этом году мы праздну-ем сороковую годовщину изобретения кубикаРубика, в связи с которым компьютеры сделаликое-что из того, что людям недоступно. Поста-

вим вопрос: сколькоходов требуется, что-бы «собрать» кубик,если пользоватьсяидеальным алгорит-мом, идущим, таксказать, от Бога?Оказывается, 43 хо-дов достаточно потривиальным причи-нам. Возможных по-зиций у кубика Ру-бика много. Сотруд-ники Гугла попробо-

вали проверить каждую из них и выяснить, какбыстрее всего собрать кубик из этой позиции.Оказалось, что это всегда можно сделать неболее чем за 20 ходов. Раньше было известно,что всегда достаточно 26 или 27 ходов, но у

Гугла есть большая сеть серверов по всему миру,и эти компьютеры занимались проблемой кубикаРубика в то время, когда нагрузка была невысо-кой. Так что вот еще один пример того, чтокомпьютеры могут сделать в математике.

Возможно, вы видели и кубики побольше:4 4 4¥ ¥ или 5 5 5¥ ¥ ; у меня есть чудесныйкубик размером 8 8 8¥ ¥ китайского производ-ства – этой задачей Гугл пока не занимался.

А вот еще неожиданный пример – сейчас выувидите, в чем его неожиданность. Это четырнад-цать чудесных частных. Вот список из четыр-надцати несократимых дробей:

17 78 19 23 29 77 95 77 1 11 13 15 15 55, , , , , , , , , , , , , .

91 85 51 38 33 29 23 19 17 13 11 14 2 1

С этими дробями можно делать следующее. Нач-нем с числа 2 и будем повторять следующуюоперацию. Умножаем число на первую из дробей,для которой произведение будет целым числом. Внашем случае, например, мы будем пробовать,

пока не дойдем до дроби 152

. Если 2 умножить на152

, то получится 15. Теперь повторяем этот

процесс с числом 15. Если умножить 15 на какое-нибудь из этих чисел, получится целое? Нет, нет,нет... к счастью, последнее число уже само целое,так что нам придется дойти до самого конца, до551

. Если продолжать этот процесс, то очень

скоро вы дойдете до числа 68, которое можно

умножить на 117

и получить 24 2= . Это степень

двойки. Продолжим. Вскоре мы получим 38 2= .Следующей степенью двойки будет 52 , затем 72 ,затем 112 :

152 2

2Æ ◊ =

55 2915 15 825 825 725 ...

1 33= Æ ◊ = Æ ◊ = Æ

17... 364 364 68

91= Æ ◊ = Æ

21 1568 4 2 4 30 ...

17 2Æ ◊ = = Æ ◊ = Æ

3 5 11... 8 2 2 2Æ = Æ Æ Æ Æ Æ…… …… …

Если записать показатели степени, то получит-ся 2, 3, 5, 7, 11, 13... поразительно! Это вточности последовательность простых чисел. Вотэтот набор из четырнадцати дробей дает намалгоритм, с помощью которого можно породитьвсе простые числа и только их. Когда я говорюоб этом факте... знаете, кстати, кто его открыл?Джон Хортон Конвей, у него есть об этом ста-тья, которая называется «Фрактран», по анало-

На фото – Рональд Ривест

Кубик Рубика

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 36

гии с названиемязыка программи-рования «Форт-ран». Это потому,что в статье пока-зано: всякая рекур-сивная функция,любое множество,допускающее ре-курсивное опреде-ление, можно за-дать с помощьюаналогичного набо-ра дробей. Такойнабор эмулируетмашину Тьюринга,а в качестве регис-

тров используются показатели простых чисел вразложениях. На самом деле тут происходитпроцесс, аналогичный проверке числа на про-стоту с помощью решета Эратосфена. В однойиз публикаций Американской математической ас-социации есть интересная статья (ее писал Ри-чард Гай, но Конвей там является соавтором)под названием «Четырнадцать чудесных част-ных». Так что получилась такая связь с теориейавтоматов. Правда, этот алгоритм порожденияпростых чисел является очень медленным.

Теперь, с вашего позволения, немного геомет-рии. Вот знаменитый «египетский» прямоуголь-ный треугольник: 2 2 23 4 5+ = – помните теоремуПифагора? Есть и множество других примеров,когда катеты целые, но и гипотенуза тоже целая,например, 2 2 25 12 13+ = и так далее. Великаятеорема Ферма утверждает, что со степенями,большими двойки, так не бывает: n nx y+ неможет равняться nz , если целое 3n ≥ и ни одноиз целых чисел x, y и z не равно нулю. Ферма

доказал, что4 4 4x y z+ π , и на-

писал, что полякниги Диофантаслишком малы идоказательство дляобщего случая непомещается. Эйлервысказал гипотезу,что и сумма трехчетвертых степе-ней не может яв-ляться четвертойстепенью; матема-тики над этой ги-потезой напряжен-но размышляли ипытались ее дока-

зать, но у них ничего не вышло, причем причинанеудачи была в высшей степени естественной: этагипотеза неверна, а когда ты пытаешься доказатьчто-то неверное, то работа частенько замедляется.Вот минимальный контрпример; он был приведенгарвардским профессором Ноамом Элкисом:

4 4 4 495800 217519 414560 422481 .+ + =Существует замечательная история, гласящая,

что он и еще один математик, Дон Загье, работалинад этой задачей, пытаясь доказать, что решенийдействительно нет, или, наоборот, найти реше-ние. В теоретической части они оба дошли доодного и того же места, но Элкис еще и оченьхороший хакер; он стал проводить компьютерныевычисления с целью получить эксперименталь-ный материал, и в конце концов это привело егок прорыву в задаче: он нашел бесконечно многорешений, так что Загье говорит, что теперь онвсегда берет в поездки свой компьютер, чтоббольше ничего не упустить. В этой истории ком-пьютер математикам серьезно помог.

Как вы знаете, великую теорему Ферма доказа-ли, это сделал Эндрю Уайлс: видите, какой онсчастливый на этой фотографии 1994 года.

В доказательстве Уайлса был небольшой про-бел. Знаете, кстати, как пишут в рефератах? «Этастатья заполняет очень нужный пробел в литера-туре». В 1995 году этот пробел был заполнен; чтоже дальше?

Чтобы решить эту задачу, Уайлсу пришлосьразработать новые технические средства, и те-перь мы можем гордиться тем, что доказанагипотеза Таниямы-Шимуры-Вейля. Конечно, этиновые технические средства дали возможностьматематикам, таким, как Ричард Тейлор, про-двигать исследования дальше, но я на эту темураспространяться не буду.

Теперь заметим, что есть еще одна гипотеза,выдвинутая Энди Билом (A. Beal), которая выг-лядит как обобщение теоремы Ферма. Именно,если a b cx y z+ = , где целые , , 3a b c ≥ (но они

Джон Хортон Конвей

Ноам Элкис

Эндрю Уайлс

М А Т Е М А Т И К А И К О М П Ь Ю Т Е Р Ы : П Р О Б Л Е М Ы И П Е Р С П Е К Т И В Ы 7

могут быть разными числами), то x, y и z име-ют общий делитель, отличный от единицы. На-пример, 3 3 53 6 3+ = , или вот пример с бульши-ми числами: 5 7 485683 2197 1485172+ = . ЭндиБил объявил через Американское математичес-кое общество премию в миллион долларов задоказательство или опровержение этой гипоте-зы. Кто же такой Энди Бил? Это богатый техас-ский банкир, миллиардер, он владеет одним изкрупнейших частных банков в Далласе. Крометого, он очень хорошо играет в техасский по-кер1 . У него возникла мысль, что было быинтересно поехать в Лас-Вегас и сразиться там случшими мастерами техасского покера. Дело втом, что у этих профессионалов из Лас-Вегасаесть следующее преимущество перед обычнымигроком, даже если он играет хорошо: ставкимогут быть очень высокими – скажем, двадцатьили пятьдесят тысяч долларов, – и если у тебянет таких свободных денег, то при такой ставкеты не сможешь убедительно блефовать. Но Билбыл гораздо богаче, чем они: он мог делатьстоль высокие ставки, что уже его противникиоказались бы в худшем положении! И до како-го-то момента такая тактика работала. Когдадошло до 30 миллионов долларов, игра прекра-тилась, но, по словам Энди Била, «оно тогостоило». Майкл Крейг рассказывает эту исто-рию в своей книге «Профессор, банкир и ко-роль червей».

Энди Бил является математиком-любителем.Он предложил элементарное доказательство те-оремы Ферма, но оно, как и все прочие такиедоказательства, оказалось неверным.

В математике, и особенно в теории чисел, однаиз, вероятно, самых основных структур – этоарифметическая прогрессия. Арифметическаяпрогрессия – это числа, расположенные черезравные промежутки, например, так: 53, 72, 91...или 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669,1879, 2089. Заметим, что во втором примере всечисла оказались простыми: это пример десятипростых чисел, образующих арифметическуюпрогрессию. Возникает следующий вопрос, о ко-тором любил напоминать Пол Эрдёш: можно линайти арифметическую прогрессию произволь-ной длины, состоящую из простых чисел? Этотвопрос оставался открытым в течение несколь-ких сотен лет, и лишь совсем недавно, не болеедесяти лет тому назад, Бен Грин и Терри Таопоказали, что действительно существуют ариф-метические прогрессии какой угодно длины, вкоторых все элементы – простые числа. В боль-

шой степени их работа основывалась на болееранней работе Семереди. Они показали, что су-ществует арифметическая прогрессия длины k,состоящая из простых чисел, не превосходящих

100222222

k

. Это, конечно, очень большое число,сейчас известны гораздо лучшие оценки. А вот иболее трудная задача: показать, что существуютдлинные прогрессии из последовательных про-стых чисел. На сегодняшний день рекорд – про-грессия длины 10 с шагом 210 и 93-значнымпервым членом, запись которого не помещается встроке:

100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 8403295093 24689 19004 18036 03417 75890 43417 0334888215 90672 29719.

Этот пример был найден с помощью оченьдлинного компьютерного вычисления; открыва-тели этого примера считают, что прогрессиюдлины 11 таким способом не найти. Я спрашивалТао и Грина, что они об этом думают, и ониответили, что у них нет средств для решениятакой задачи.

Теперь на совершенно другую тему – о комби-наторике. Надо полагать, все знают, что граф –это множество V вершин плюс множество Eребер. Если вершины x и y соединены ребром, мыбудем писать это так: ~x y . Вот некоторыепримеры графов. На рисунке 1 вы видите 5-цикл,

а также полный граф на пяти вершинах: всевоз-можные пары точек соединены ребром, у этогографа 10 ребер.

На рисунке 2 – граф Мозера и граф Петерсена.Эти графы часто встречаются в комбинаторике.

1 Это карточная игра, разновидность покера. По-англий-ски она называется Texas hold’em. – Прим. ред.

Рис. 1

Бен Грин и Терри Тао

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 38

На рисунке 3 – три графа, которые выглядят по-разному, но на самом деле все они одинаковы: это

три разных способа изобразить граф Петерсена.В теории графов неважно, как вы изображаете

граф, важно только, кто с кем соединен. Еслиможно пометить вершины на двух изображенияхграфов так, чтобы одни и те же пары вершин былисоединены, то графы называются изоморфными.Имеется вычислительная задача, решение кото-рой неизвестно: даны два изображения графов,требуется выяснить, изоморфны ли они. Неизве-стно, является ли эта задача NP-полной, и эффек-тивный алгоритм для ее решения тоже неизвес-тен.

Будем говорить, что отображение множествавершин в множество из r цветов является r-раскраской, если соседние вершины всегда окра-шены в разные цвета. Эта проблема возникла приизготовлении географических карт: если две стра-ны граничат, они должны быть раскрашены вразные цвета, чтобы их можно было различить.Число ( )Gχ , называемое хроматическим числомграфа G – это наименьшее r, для которого суще-ствует r-раскраска графа. Можно каждую верши-ну покрасить в свой цвет, но, возможно, этослишком расточительно: может быть, можно обой-тись меньшим количеством цветов?

Например, хроматическое число графа Петер-сена равно трем: можно раскрасить его в три цвета(рис.4), но не в два. Для графа Мозера хромати-

ческое число равно четырем (рис.5): трех красокнедостаточно. А как обстоят дела с графом нарисунке 6?

Я не знаю, это сложный вопрос. Хроматическоечисло не превосходит двух, если в графе нетцикла нечетной длины. А когда оно равно трем?Никто не знает алгоритма, работающего за поли-номиальное время и дающего ответ на этот воп-рос. Кажется, на данный момент непонятно, какза такую задачу взяться. Итак, мы переходим кcomputer science, или информатике.

Граф называется планарным, если его можноизобразить на плоскости так, чтобы ребра непересекались. Например, граф Мозера планарен:если растянуть нижнее ребро, то пересеченияостальных ребер пропадут (рис.7).

А вот граф Петерсена не планарен: как его нирисуй, какие-то ребра пересекутся. Гипотеза очетырех красках, выдвинутая в 1852 году, гласит,что для раскраски вершин планарного графавсегда достаточно четырех красок. Ее доказали вконце XIX века, но через 12 лет в ее доказатель-стве нашли ошибку, это доказательство былоопровергнуто. И только в более недавнее время,в 1976 году, Аппель и Хакен доказали гипотезу очетырех красках, она стала теоремой о четырехкрасках. Не все знают, как это доказательствоустроено. На самом деле это не одна статья, а две.С помощью красивой идеи доказательство былосведено к конечному перебору, потребовавшему15 тысяч часов машинного времени на самыхмощных из тогдашних больших компьютеров.Без них бы в этом доказательстве ничего не

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4 Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

М А Т Е М А Т И К А И К О М П Ь Ю Т Е Р Ы : П Р О Б Л Е М Ы И П Е Р С П Е К Т И В Ы 9

получилось. Теперь возникает вопрос: можно линайти более алгебраическое доказательство, вкотором все эти вычисления не нужны? Роберт-сон, Сандерс, Симур и Томас начали в свое времяпроект, целью которого было передоказать теоре-му о четырех красках, не используя компьютеров,но воспользоваться компьютерами им все равнопришлось. Им понадобилось три с половинойчаса на компьютере Sparc-20, это миллиардывычислительных операций. Так что теорема очетырех красках по-прежнему верна, но, можетбыть, у нее можно найти доказательство, котороечеловек сможет прочесть? Вот Хакен в такое неверит. Он верит в то, что теорема верна, посколь-ку она проверена для ста миллиардов частныхслучаев.

У проблемы четырех красок есть частный слу-чай – гипотеза Хадвигера. Эта гипотеза утверж-дает следующее. Будем говорить, что граф Hминор графа G (обозначение: G > H), если Hможно получить из G с помощью последователь-ности удалений вершин или ребер и стягиванийребер. На рисунке 8 видно, как из графа M

получается его минор 4K : сначала мы стягиваемребро, затем соединяем в одно возникающиедвойные ребра, затем убираем возникающую лиш-нюю вершину.

Так вот, гипотеза Хадвигера утверждает, чтоесли хроматическое число графа равно k, тоэтот граф обязан содержать в качестве минораполный граф с k вершинами (если такой миноресть, то хроматическое число не может бытьменьше чем k – это свидетельство в пользугипотезы). Такую гипотезу конкретно для хро-матического числа k обозначают ( )H k . Эта ги-потеза оставалась открытым вопросом в течениедлительного времени – может быть, 70 лет. Чтоже известно? Гипотеза ( )5H равносильна теоре-ме о четырех красках. Симур, Робертсон и То-мас доказали гипотезу ( )6H , но дальше у нихдело не пошло. Я хотел бы дожить до доказа-тельства гипотезы ( )H k для произвольного k,но вы все-таки поторопитесь, ждать двадцать-тридцать лет мне неохота!

В применении компьютеров к математике естьодна пугающая тенденция. Именно, в связномграфе (это граф, в котором любые две вершиныможно соединить путем) можно определить рас-стояние между вершинами – это просто количе-

ство ребер в соединяющем их кратчайшем пути.Например, в графе Петерсена расстояние междувершинами u и v равно ( ), 2d u v = , потому чтоесть соединяющий их путь длины 2, а болеекороткого нету. Можно также определить сред-нее расстояние между вершинами в графе G,

оно обозначается ( ) ( )2,

1,G

x y

d G d x yn

= Â : мы скла-

дываем все попарные расстояния между верши-нами и делим на квадрат числа вершин. Дляграфа Петерсена это число равно 1,5. Другаячисленная характеристика графа – это его числонезависимости, которое обозначается ( )ind G .Это наибольшее количество вершин, котороеможно выбрать так, чтоб никакие две не былисоединены ребром. Например, для графа Петер-сена это число равно четырем. Существует кра-сивая гипотеза, принадлежащая Graffiti, соглас-но которой для всякого связного графа его чис-ло независимости не меньше среднего расстоя-ния: если среднее расстояние большое, то долж-но найтись много независимых точек. Эта гипо-теза доказана моим любимым соавтором ФаньЧун. Так вот, это доказательство непростое, ноинтересно тут то, что Graffiti – это не человек,а компьютерная программа, созданная Симео-ном Файтовичем из Хьюстонского университе-та. Эта программа сформулировала около 6000гипотез в теории графов и геометрии. Создательэтой программы – специалист в области искус-ственного интеллекта. По его словам, самое слож-ное в этих гипотезах, сгенерированных компью-тером, – понять, интересна ли та или иная гипо-теза. Он взял 50–60 различных инвариантовграфа (ну, например: собственные числа матри-цы инцидентности), и дальше он с помощьюкомпьютерной программы ищет соотношениямежду этими инвариантами. Он их проверяет наразличных графах, на графах, которые счита-ются особенно трудными, и если при этих про-верках не находится контрпримера, он форму-лирует гипотезу. Многие из этих гипотез былиизучены. Некоторые оказались ложными – былнайден «большой» контрпример, некоторые былидоказаны или оказались тривиальными, но промногие мы не знаем, верны они или нет. Такчто, хотя компьютеры плохо умеют доказыватьтеоремы, они хорошо умеют формулировать ги-потезы. Угонимся ли мы когда-нибудь за ними?

(Окончание следует)

Рис. 8

Радуга Декарта–Ньютона–ЮнгаА.ПАНОВ

РАДУГА – ЭТО ГИГАНТСКИЙ ОПТИЧЕСКИЙ ЭКС-перимент, который природа демонстрируетнам всякий раз, как только складываются

подходящие условия: уходящая стена дождя ос-вещается низко стоящим солнцем, и в небе вспы-хивают огненные дуги. В Библии радуга явиласьНою в момент окончания всемирного потопа какзнамение завета между Богом и людьми. Но насвсе-таки больше интересует физическая сторонаэтого явления, и здесь самый важный результатпринадлежит Декарту.

Декартова радуга

В 1637 году появился знаменитый трактат Де-карта «Рассуждение о методе, чтобы хорошонаправлять свой разум и отыскивать истину внауках». В многочисленных приложениях к трак-тату Декарт продемонстрировал мощь своего ме-тода, и одна из этих демонстраций – это описаниемеханизма образования радуги.

Эксперимент. С помощью своего метода Де-карт быстро устанавливает, что для пониманиярадуги сначала нужно изучить взаимодействиепучка солнечных лучей с отдельной каплей. Вкачестве такой гигантской капли он берет круг-лый стеклянный сосуд, наполненный водой, инаблюдает за сосудом, освещенным солнцем. Онобходит вокруг сосуда, обносит его вокруг своей

головы и выясняет, чтов направлении к солн-цу эта освещенная ги-гантская «капля» излу-чает целый конус све-товых лучей с угломполураствора 42∞ (рис.1). Уже этого одногофакта достаточно, что-бы понять механизм об-разования радуги.

Механизм образова-ния радуги. Итак, уходящая стена дождя освеща-ется появившимся солнцем. Давайте начнем ссамой простой картинки и посмотрим, что проис-ходит в вертикальной плоскости, проходящейчерез солнце и глаз наблюдателя (рис. 2).

Согласно Декарту, каждая капля излучает внаправлении солнца целый конус световых лу-чей. Для капель, лежащих в плоскости рисунка,

этот конус представ-лен двумя лучами:один идет вверх откапли, другой –вниз, оба под углом42∞ . Из всех этихлучей в глаз наблю-дателя попадаютлучи только от двухкапель.

Если же говоритьобо всем простран-стве в целом, то вглаз наблюдателяпопадают лучи от тех капель, которые он самвидит под углом 42∞ относительно оси солнце–глаз. Эти лучи лежат на конусе с углом полура-створа 42∞ . Наблюдатель воспринимает их какяркую окружность с угловым радиусом 42∞ ,удаленную от него на некоторое расстояние. Этои есть радуга, пока еще не цветная и не обладаю-щая шириной, но тем не менее радуга. Рисунок 2– самый важный в теории радуги, и с ним нужнохорошенько разобраться.

Упражнение 11) Убедитесь, что вид радуги (ее угловой размер) не

зависит от расстояния между наблюдателем и стенойдождя.

2) Убедитесь, что капли, не лежащие в одной плос-кости, а заполняющие некоторую область в простран-стве, все равно будут создавать видимую наблюдателюрадугу тех же размеров.

На рисунке 2 не хватает еще одной существен-ной детали – поверхности земли, ограничиваю-щей обзор реального наблюдателя. Посмотритена рисунок 3, где добавлена эта поверхность, иответьте еще на несколько вопросов.

Упражнение 21) Какое время суток представлено на рисунке 3?

Какую часть радугивидит наблюдатель?

2) Как будет ме-няться вид радуги,если наблюдатель бу-дет плавно поднимать-ся вверх на аэроста-те?

3) Как будет выгля-

Рис. 1. От солнца на каплюприходит пучок параллельныхлучей, в ответ капля излучаетцелый конус лучей с полурас-твором 42 ∞

Рис. 2. Стена дождя, лежащая вплоскости, перпендикулярнойплоскости рисунка, освещаетсяпучком параллельных лучей, при-ходящим от солнца

Рис. 3. Поверхность земли огра-ничивает обзор наблюдателя

Р А Д У Г А Д Е К А Р Т А – Н Ь Ю Т О Н А – Ю Н Г А 11

деть радуга, если изменится высота солнца над гори-зонтом? Будет ли видна радуга, если солнце поднимет-ся достаточно высоко?

Лучи, отвечающие за образование радуги.Солнечные лучи могут по-разному взаимодей-ствовать с каплей. Одни отражаются от переднейповерхности капли. Другие, преломляясь, входятв каплю, несколько раз отражаются внутри нее итолько потом выходят наружу.

С помощью дополнительных экспериментов, аименно с помощью экранирования световых лу-

чей, Декарт установил, чтоза образование радуги от-вечают те лучи, которыевходят в каплю, отражают-ся от ее задней поверхностии затем выходят из нее(рис.4). Но дальше Декартпишет, что он так и не по-нял, почему выходящие изкапли лучи образуют конусс углом в 42∞ . Не понял,«пока не взялся за перо и невычислил ход всех лучей,которые падают на раз-личные точки водяной кап-

ли, чтобы узнать, под каким углом они могутпопасть в глаз после двух преломлений и одногоотражения».

Чтобы произвести расчет траектории таких све-товых лучей, нужно знать закон преломления,ведь световой луч преломляется два раза – одинраз на входе в каплю и другой раз на выходе.

Закон преломления. Декарт был одним из тех,кто открыл закон преломления. Во всяком слу-чае, он опубликовал его в том же самом трактате«Рассуждение о методе». И вне всяких сомненийон был первым, кто применил его для объяснениярадуги.

Закон преломления, сформулированный Де-картом, можно записать в виде

1 2sin sinn i n r= .

Здесь 1n – это показатель преломления среды, изкоторой приходит световой луч, а 2n – показательпреломления среды, в которую он преломляется.Угол i, угол между направлением приходящегосветового луча и перпендикуляром к поверхности

преломления, – уголпадения, а r, угол меж-ду преломленным лу-чом и тем же самымперпендикуляром, –угол преломления(рис.5). При этом па-дающий луч, перпен-

дикуляр и преломленный луч лежат в однойплоскости.

Преломление на капле. В нашем случае каплярасположена в воздухе, показатель преломлениякоторого с большой точ-ностью можно считатьравным единице:

воздуха 1n = , и пока при-мем, что воды 4 3n = .Перпендикулярами кповерхности капли слу-жат ее радиусы, а всенеобходимые углы обо-значены на рисунке 6.Угол между выходящимиз капли лучом и перво-начальным направлени-ем падающего на каплюсветового луча обозна-чен θ , будем называть его углом выхода.

В этих обозначениях закон преломления навходе в каплю записывается в виде

4sin sin

3i r= ,

а на выходе имеем4

sin sin3

r i= ,

что по сути одно и то же. И еще, в точкеотражения на рисунке 6 учтено, что угол паденияравен углу отражения.

Вот несколько фактов, полезных при расчететраектории светового луча.

Упражнение 3

1) Убедитесь, что из закона преломления для каплиследует

3arcsin sin

4r i

Ê ˆ= Á ˜Ë ¯ .

2) Используя рисунок 6, докажите следующую фор-мулу для угла выхода θ :

4 2r iθ = - .

«Взялся за перо и вычислил». Используязакон преломления, Декарт рассчитал ход 27световых лучей, и этого ему оказалось достаточ-но, чтобы понять, почему капля излучает в на-правлении к солнцу конус с углом полураствора42∞ . Посмотрим, что именно вычислял Декарт икак он интерпретировал свои вычисления.

Будем считать, что капля единичного радиусаосвещается пучком параллельных солнечных лу-чей, где есть центральный луч, который направ-лен в центр капли. Для любого луча расстояниеот него до центрального обозначим h и назовемвысотой входа в каплю.

Рис. 4. Луч однократноотражается внутри кап-ли, именно такие лучиотвечают за образованиерадуги

Рис. 5. Преломление световоголуча при переходе из однойоптической среду в другую

Рис. 6. Два преломления иодно отражение, θ – уголвыхода луча

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 312

Упражнение 4. Проверьте, что для капли единично-го радиуса высота входа луча h и угол его падения iсвязаны соотношением sinh i= .

Для заданной высоты входа h Декарт вычислялугол выхода θ . Сначала он провел вычислениядля высот от 0,1 до 1 с шагом 0,1. После этого длявысот от 0,81 до 0,98 он проделал те же вычисле-ния с уменьшенным шагом 0,01. Таким образом,Декарт установил, что максимальный угол выхо-да θ достигается у луча с высотой h = 0,86 и этотугол как раз составляет 42∞ .

Посмотрим, как Декарт геометрически интер-претировал этот результат. Компьютер позволяетне экономить на вычислениях, так что запустимсразу 101 луч и поглядим, что с ними происходитпри выходе из капли. Сделаем это в два приема.Сначала на каплю единичного радиуса запустим87 параллельных лучей, при этом начальный лучпроходит через центр капли, а последний входитв нее на высоте 0,86. На рисунке 7 входящие лучислились в короткую горизонтальную полоску.Внутри капли каждый луч один раз отражается,как на рисунке 4. Это здесь не нарисовано, а вотвсе выходящие лучи изображены. Мы видим, чтокогда высота входа луча растет от 0 до 0,86, уголвыхода луча θ возрастает от 0∞ до 42∞ . При этомсначала угол выхода растет равномерно, потом

угол между соседними лучами начинается умень-шаться и при приближении к 42∞ становитсянулевым – выходящий луч останавливается. Ос-танавливается и начинает двигаться в обратномнаправлении, что видно на рисунке 8, где высотавхода лучей увеличивается от 0,86 до 1, а уголвыхода уменьшается в три раза, от 42∞ до 14∞ . Влюбой случае вблизи крайнего луча, идущего подмаксимальным углом 42∞ , наблюдается высокаяконцентрация выходящих из капли световыхлучей.

Уберем входящие лучи на рисунках 7 и 8, послеэтого наложим рисунки друг на друга. Получимвсе лучи, выходящие из нижней половины капли,а затем дополним их еще лучами, выходящими

из верхней половины(рис.9). И теперь можносказать, что концентрациялучей, выходящих из кап-ли, мала вблизи централь-ного луча и чрезвычайновысока на границах пуч-ка. Эти границы почтипрямолинейны и практи-чески совпадают с край-ними лучами, наклонен-ными под максимальнымуглом в 42∞ .

Чтобы получить про-странственное распреде-ление лучей, необходимопровернуть весь рисунок8 вокруг центрального луча. И мы увидим, чтоэкспериментальное представление о капле, из-лучающей конус в направлении солнца, зафикси-рованное на рисунке 1, нуждается в уточнении.На самом деле, внутренность конуса целикомзаполнена выходящими из капли лучами. Наповерхности конуса с полураствором 42∞ наблю-дается лишь повышенная концентрация световыхлучей. Это существенное уточнение реальнойкартины взаимодействия солнечных лучей с кап-лей дождя. Тем не менее, глаз наблюдателярегистрирует именно эту повышенную концент-рацию световых лучей. Поэтому предложенныйранее механизм образования радуги безусловноостается в силе.

Вычисления Декарта, которые мы обсудили, иего интерпретация этих вычислений составляютоснову теории радуги.

Упражнение 5. Используя упражнения 3 и 4, пока-жите, что для капли единичного радиуса

( ) 34arcsin 2arcsin

4h h hθ = - .

Постройте график этой функции. Докажите, что еемаксимум достигается при 2 15 9h = , а максималь-ное значение этой функции равно 42 2∞ ¢ .

Как она выглядит на самом деле? Пора взгля-нуть на настоящую радугу. В отличие от радуги

Рис. 7. По мере роста высотывхода лучей от 0 до 0,86 уголвыхода увеличивается от 0 ∞до 42 ∞

Рис. 8. Высота входа лучейрастет от 0,86 до 1, а уголвыхода уменьшается от 42 ∞до 14 ∞

Рис. 9. Все лучи, выходя-щие из капли после одно-го внутреннего отражения

Рис. 10. Настоящая природная радуга

Р А Д У Г А Д Е К А Р Т А – Н Ь Ю Т О Н А – Ю Н Г А 13

Декарта, она широкая и цветная (рис.10), но этомы обсудим чуть позже. А пока обратим вниманиена тени от деревьев. На земле они параллельны итак же, как параллельные рельсы, сходятся водной точке – благодаря перспективе. Эта точкарасположена на горизонте под самой вершинойрадуги. И если для каждого дерева провести лучот его вершины к вершине тени, то все эти лучисойдутся в самом центре радуги.

А теперь представьте себе, что вы находитесьвнутри этой картины. Посмотрите сначала на теньсвоей головы, а потом на любую точку радуги.Угол между этими двумя направлениями как разсоставит 42∞ , вычисленные Декартом. Посмотри-те еще на верхние уголки рисунка 10 – может, выразглядите там неяркие цветные полосы. Еслинет, взгляните на рисунок 11.

И тут нужно сказать, что почти всегда вместе спервой, основной дугой, которую мы обсуждалии которая видна под углом 42∞ , появляется менееяркая, внешняя вторая дуга, видная под углом51∞ . На рисунке 11 также заметна темная полоса,расположенная между дугами. Она называетсятемным пространством Александра, по имениописавшего ее греческого философа-перипатети-ка Александра Афродисийского.

Вторая дуга. Вторая дуга идеально вписыва-ется в теорию Декарта. Уже в процессе экспери-мента с колбой Декарт отмечает наличие второ-го, менее яркого конуса с углом полураствора51∞ , излучаемого каплей в направлении к солн-

цу. Иными словами,рисунок 1 на самомделе нужно заменитьрисунком 12 с дву-мя конусами. Еслитеперь вернуться крисунку 2 и поме-нять там угол 42∞на угол 51∞ , то ста-новится ясно, отку-да берется втораядуга. Опять же экс-

периментально Декарт ус-тановил, что за образова-ние второй дуги отвечаютлучи, дважды отразивши-еся внутри капли (рис.13).Декарт рассчитал траекто-рию таких лучей. Он вы-яснил, что выходящие изкапли лучи заполняют вне-шнюю часть конуса с уг-лом полураствора 51∞ , приэтом на поверхности кону-са наблюдается повышен-

ная концентрация световых лучей (рис.14). Такчто после некоторой корректировки рисунок 12остается в силе. Остается в силе и объяснениевторой дуги, основанное на рассмотрении ри-сунка 2, только опять же там угол 42∞ нужнопоменять на угол 51∞ .

Упражнение 6. Докажите, что для дважды отражен-ных внутри капли единичного радиуса световых лучей(см. рис.13) зависимость угла выхода θ от высотывхода h имеет вид

( ) 32arcsin 6arcsin

4h h hθ π= - + .

Постройте график этой функции. Докажите, что ееминимум достигается при 130 12h = , а само мини-мальное значение в градусах равно 50 59∞ ¢ .

Пространство Александра. Теперь наложимдруг на друга рисунки 9 и 13. Рисунок 15 показы-вает, что на большом удалении от капли перваядуга лежит внутри второй. Их разделяет про-странство, куда не попадает ни один из лучей,однократно или двукратно отраженных внутрикапли. С точки зрения наблюдателя, это означает,в его глаз не будут попадать лучи от капель,расположенных между первой дугой и второй.Именно за счет этого пространство между дугами

Рис. 11. Двойная радуга

Рис. 12. В направлении к солнцукапля излучает два конуса: одинс углом полураствора 42 ∞ , дру-гой с углом 51 ∞

Рис. 13. Лучи, дваждыотражающиеся внутрикапли, отвечают за об-разование второй дуги,θ – угол выхода

Рис. 14. Все лучи, выходящие из капли после двух внутреннихотражений

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 314

выглядит более темным (еще раз посмотрите нарисунок 11).

Упражнение 7. Оцените угловую ширину темногопространства Александра в градусах.

Сделаем небольшое дополнение. Судя по рисун-ку 9, вершина конуса с углом полураствора 42∞лежит вблизи задней поверхности капли. А рису-нок 14 показывает, что вершина конуса с угломполураствора 51∞ находится вблизи переднейповерхности капли. Это приводит к тому, чтовблизи капли больший конус расположен внутрименьшего конуса, что также подтверждается ри-сунком 15.

Эксперимент с колбой. Мы почти что закончи-ли с теорией Декарта. Попытаемся еще воспроиз-вести его эксперимент. «Каплей» послужит круг-лодонная колба объемом 250 мл. На компьютеренарисован белый круг на черном фоне – изобра-жение солнца, и это изображение запускаетсячерез проектор. Для наблюдения радуги в каче-стве экрана использовался лист ватмана с круго-вым отверстием посередине. На рисунке 16 видныколба и экран, а проектор, вместе с компьютером,находится за экраном и через отверстие освещаетколбу.

Колба – это, конечно, не сферический сосуд, унее есть горло, так что водой была заполненатолько ее сферическая часть. Поэтому круговыедуги на рисунке 16 видны лишь частично, приэтом нижняя и верхняя части изображения наэкране формируются горизонтальной поверхнос-тью воды в колбе.

Где здесь первая дуга, а где вторая? Вот призна-ки, по которым мы можем их отличить. Вторая –менее яркая, за счет того что формирующие еелучи испытывают внутри капли дополнительноеотражение. Кроме того, в первой дуге цветаизнутри снаружи идут от фиолетового к красно-

му, а во второй – в обратном порядке. Судя поэтим признакам, внутри находится вторая дуга. Иэто соответствует теории Декарта, с помощьюкоторой был построен рисунок 15. Дуги обраще-ны друг к другу фиолетовыми сторонами, ипространство между ними заполнено фиолетовымцветом. Это пространство, расположенное вблизикапли, по аналогии можно назвать фиолетовымпространством Александра.

Судя по рисунку 15, стандартное взаимноерасположение дуг, когда первая лежит внутривторой, восстанавливается, если расстояние откапли до экрана будет больше десяти радиусовкапли. И, конечно, при наблюдении обычнойприродной радуги расстояние от капель дождя доглаза наблюдателя многократно превышает этотпредел.

(Окончание следует)

Рис. 15. Два конуса и пространство Александра

Рис. 16. Эксперимент с колбой, вторая дуга внутри первой

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачинестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки школьной программы. Наиболее трудныезадачи отмечаются звездочкой. После формулировки задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется,не все эти задачи публикуются впервые.

Решения задач из этого номера следует отправлять по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант».Решения задач из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присылайте в разныхконвертах. На конверте в графе «Кому» напишите: «Задачник «Кванта» №3–2016» и номера задач, решения которыхВы посылаете, например «М2421» или «Ф2428». В графе «От кого» фамилию и имя просим писать разборчиво. В письмовложите конверт с написанным на нем Вашим адресом и необходимый набор марок (в этом конверте Вы получитерезультаты проверки решений). Решения задач по математике и физике можно присылать также по электроннымадресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно.

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, присылайте в отдельном конверте в двухэкземплярах вместе с Вашим решением этой задачи (на конверте пометьте: «Задачник «Кванта», новая задача пофизике» или «Задачник «Кванта», новая задача по математике»).

В начале каждого письма просим указывать номер школы и класс, в котором Вы учитесь.Задачи М2421, М2422а, М2426, М2427, М2428а,б предлагались на XXXVII Турнире городов, задача М2423 предлагалась

на V Европейской математической олимпиаде для девушек, задача Ф2432 – на Московской физической олимпиаде 2016года.

Задачипо математике и физике

Задачи М2421–М2428, Ф2428–Ф2434

M2421. Фирма записала свои расходы в рублях по 100статьям бюджета, получив список из 100 чисел (укаждого числа не более двух знаков после запятой).Каждый счетовод взял копию списка и находит при-ближенную сумму расходов, действуя следующим об-разом. Вначале он выбирает из списка любые двачисла, складывает их, отбрасывает у суммы знакипосле запятой (если они есть) и записывает результатвместо выбранных двух чисел. С полученным спискомиз 99 чисел он делает то же самое и так далее, пока всписке не останется одно целое число. Оказалось, чтов итоге все счетоводы получили разные результаты.Какое наибольшее число счетоводов могло работать вфирме?

М.Евдокимов

M2422. Прямоугольник p q¥ , где p, q – натуральныевзаимно простые числа, p < q, разбит на единичныеквадратики. Из левого нижнего угла прямоугольникав его правый верхний угол проведена диагональ. Онаотсекает треугольники от некоторых квадратиков.Найдите: а) суммарный периметр; б) суммарную пло-щадь всех этих треугольников.

А.Толпыго

M2423. Окружности 1ω и 2ω одинакового радиусапересекаются в точках 1X и 2X (рис. 1). Окружностьω касается окружности 1ω внешним образом в точке 1Tи окружности 2ω внутренним образом в точке 2T .Докажите, что прямые 1 1X T и 2 2X T пересекаются наокружности ω .

Ч.Лейтем (Люксембург)

M2424. На плоскости дано несколько прямых, имею-щих общую точку O. Докажите, что каждую из этих

прямых можно раскрасить красным или синим так,чтобы на плоскости нашлась точка, отличная от O,сумма расстояний от которой до всех красных прямыхбыла равна сумме расстояний от нее до всех синихпрямых.

И.Вайнштейн

M2425. Прямоугольный параллелепипед 2 2 100¥ ¥нужно разбить на кирпичи 1 1 2¥ ¥ . Докажите, чтоколичество способов сделать это является точным квад-ратом. (При подсчете параллелипипед не вращаем и непереворачиваем.)

В.Расторгуев

M2426. В стране 64 города, некоторые пары из нихсоединены дорогой, но нам неизвестно, какие именно.Мы можем выбрать любую пару городов и получитьответ на вопрос, есть ли дорога между ними. Мы хотимузнать, можно ли в этой стране добраться от любогогорода до любого другого, двигаясь по дорогам. Дока-жите, что не существует алгоритма, позволяющегосделать это менее чем за 2016 вопросов.

К.Кноп

Рис. 1

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 316

M2427. На доске написано N чисел, все они различны,и одно из них равно 0. Можно взять любой многочлен,каждый коэффициент которого равен одному из напи-санных чисел (среди коэффициентов могут быть рав-ные), и дописать на доску все корни этого многочлена.За несколько таких операций на доске оказались всецелые числа от –2016 до 2016 (и, возможно, еще какие-то числа). Найдите наименьшее возможное значениеN.

Г.Жуков

M2428. На сферической планете с длиной экватора 1планируют проложить N кольцевых дорог, каждая изкоторых будет идти по окружности длины 1. Затем покаждой дороге запустят несколько поездов. Все поездабудут ездить по дорогам с одной и той же положитель-ной постоянной скоростью, никогда не останавливаясьи не сталкиваясь. (Поезда считайте дугами нулевойтолщины, из которых выброшены концевые точки.)Какова в таких условиях максимально возможнаясуммарная длина всех поездов: а) при N = 3; б) приN = 4? в*) Может ли при некотором N суммарнаядлина поездов быть больше 1000?

А.Бердников

Ф2428. Группа из трех туристов должна перебратьсяиз пункта А в пункт В по дороге длиной s = 45 км.Стартуют все одновременно. На всю группу туристовесть только два велосипеда, причем если на велосипедеедут двое, то их скорость равна 3v, а если на велосипедеедет один человек, то его скорость равна 4v. Если жетурист идет пешком, то его скорость равна v == 5 км/ч. За какое минимальное время все туристымогут оказаться в пункте назначения?

В.Сергеев

Ф2429. Ковбой привязал мячик для бейсбола, мm == 150 г и D = 7,3 см, к суровой (нерастяжимой илегкой) нитке длиной L = 1 м, которая другим концомбыла закреплена на круглой горизонтальной перекла-дине диаметром d = 6 см. Затем он отошел на 10 шаговв направлении, перпендикулярном перекладине, и вы-стрелил из кольта по мячу. Мяч стал быстро двигаться,накручивая нитку на перекладину, а потом оторвался.При осмотре оказалось, что пуля застряла в мяче, анитка обернулась вокруг перекладины n = 2 раза.Оцените, какой была скорость пули перед столкнове-нием с мячом, если масса пули пm = 10 г, а ниткавыдерживает груз массой не больше грm = 10 кг.

Д.Бограчев

Ф2430. Вася решил взвесить с помощью железныхгирь найденный им недалеко от озера Чебаркульнебольшой кусок челябинского метеорита. Для этогоон использовал симметричные равноплечные весы,сделанные из железа. В воздухе взвешивание далорезультат M = 2,1 кг. Когда весы были полностьюпогружены в воду озера, результат был другим – дляуравновешивания весов потребовалось положить наних гири, суммарная масса которых оказалась равнойm = 1,8 кг. При этом и взвешиваемое вещество, игири также были полностью погружены в воду. Чему

равна плотность материала метеорита? Плотность же-леза 3

ж 7,9 г смρ = , плотность воды 3в 1,0 г смρ = .

В.Статиков

Ф2431. Три конденсатора с электрическими емкостя-ми С, 2С и 3С соединены в замкнутую цепочкупоследовательно друг за другом. С помощью специаль-ного прибора, подключенного к трем местам соедине-ний конденсаторов, этим самым местам были сообщены(переданы) электрические заряды +Q, +Q и –2Q.Прибор отключили. Какая максимальная (минималь-ная) энергия может быть запасена в системе заряжен-ных конденсаторов?

С.Варламов

Ф2432. Бесконечная сетка с ромбовидными ячейками,показанная на рисунке 2, состоит из одинаковых рези-

сторов сопротивлением r. Найдите сопротивление меж-ду точками А и В.

А.Бычков

Ф2433. В электрической схе-ме, изображенной на рисунке3, все элементы идеальные,ток в катушке индуктивнос-тью L равен нулю. Ключ за-мыкают, а размыкают его че-рез промежуток времени 0t ,когда скорость измененияэнергии, запасаемой в катуш-ке индуктивности, достигаетмаксимума. Известно, что ( )0 2ln 2t L R= ◊ . Найдите:1) мощность P, которую развивал источник тока вмомент размыкания ключа;2) количество теплоты 1Q , которое выделилось в схемепосле размыкания ключа;3) количество теплоты 2Q , которое выделилось в схемепри замкнутом ключе.

А.Шеронов

Ф2434. Над плоской горизонтальной поверхностью навысоте H = 10 м находится точечный изотропныйисточник света интенсивностью 0W = 1000 К. (тысячакандел). В ближайшей к источнику света точке поверх-ности установлен маленький плоский датчик освещен-ности, его плоскость перпендикулярна лучам света.Площадь чувствительного элемента датчика

20,1 смS = . Какую освещенность 1E (в люксах) реги-стрирует датчик? Затем прямо под источником света на

Рис. 2

Рис. 3

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 17

поверхность поставили вертикальную цилиндричес-кую трубу с внутренним диаметром d = 10 см. Высотатрубы равна H. Источник света и датчик освещенностинаходятся на оси симметрии трубы. Внутренние стенкитрубы гладкие, зеркальные и отражают 100% света.Какую теперь освещенность 2E регистрирует датчик?Что покажет датчик, если стенки при любом углепадения света отражают 99% падающего света? (Чис-ленные расчеты можно провести с помощью компью-тера.)

М.Светлов

Решения задач М2405–М2413,Ф2413–Ф2419

M2405. Прямая, соединяющая центры описанной ивписанной окружностей треугольника, пересекаетодну из его сторон в основании высоты, а другую – вточке ее касания с соответствующей вневписаннойокружностью. Найдите угол между этими сторона-ми треугольника.

Решение см. в статье А.Заславского «О двух классахтреугольников, или Откуда берутся задачи» в этомномере журнала.

M2406. Из целых чисел от 1 до 100 удалили k чисел.Обязательно ли среди оставшихся чисел можно выб-рать k различных чисел с суммой 100, если:а) k = 9; б) k = 8?

а) Ответ. Необязательно.Удалим числа 1, 2, ..., 9. Тогда сумма даже девятинаименьших из оставшихся чисел (10 + 11 + ... + 18 == 126) больше 100.б) Ответ. Обязательно.Рассмотрим 12 пар чисел, дающих в сумме 25: (1, 24),(2, 23), ..., (12, 13). После удаления 8 чисел останетсяне меньше четырех нетронутых пар. Они и дадут всумме 100.

А.Шаповалов

M2407. Все коэффициенты некоторого многочленацелые и по модулю не превосходят 2015. Докажите,что любой положительный корень этого многочленабольше чем 1/2016.

Решение см. в статье С.Дориченко, П.Кожевникова«От подстановки корня до трансцедентного числа» вэтом номере журнала.

M2408. В треугольнике ABC медианы 0AA , 0BB ,

0CC пересекаются в точке M. Докажите, что цент-ры описанных окружностей треугольников 0 0MA B ,

0MCB , 0 0MA C , 0MBC и точка M лежат на однойокружности.

Пусть 1 2 3 4, , ,O O O O – центры описанных окружностейтреугольников 0 0MA B , 0MCB , 0 0MA C , 0MBC соот-ветственно. Проведем рассуждения для расположенияточек, показанного на рисунке (для других случаеврасположения центров рассуждения аналогичны; что-бы избежать разбора случаев, можно считать все углыориентированными).

Докажем, что 4O лежитна окружности ( 1 3MOO ).Прямая 1 3OO – середин-ный перпендикуляр к

0MA . Угол 1 3MOO ра-вен половине централь-ного угла 1 0MO A окруж-ности ( 0 0MA B ), т.е. впи-санному в нее углу

0 0MB A . Прямая 4 3O O –серединный перпендику-ляр к отрезку 0MC , по-этому угол между прямы-ми 4MO и 3MO равенполовине центральногоугла 4 0MO C окружности( 0MBC ), т.е. вписанному в нее углу 0MBC . А углы

0 0MB A и 0MBC равны из параллельности 0 0B A и

0BC . Поэтому 1 3 4 3 180MO O MO O– + – = ∞ , т.е. 4Oлежит на окружности ( 1 3MO O ). Аналогично, 2Oлежит на окружности ( 1 3MOO ).

П.Кожевников

M2409. Из спичек сложен клетчатый квадрат 9 9¥ ,сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Васяпо очереди убирают по спичке, начинает Петя.Выиграет тот, после чьего хода не останется целыхквадратиков 1 1¥ . Кто может действовать так,чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл егосоперник?

Ответ. Вася.Заметим, что перед Васиным ходом всегда будет оста-ваться нечетное число спичек. Понятно, что выиграеттот, кому достанется позиция, когда квадратиков одинили два смежных (по стороне). Поэтому Васе достаточ-но не оставлять после себя такой позиции, и тогда онвыиграет, поскольку ничья невозможна. Покажем, какон может делать это в разных случаях.1) Осталось больше трех квадратиков. Он возьметкрайнюю спичку, испортив не более одного квадратика.2) Осталось три квадратика. Он возьмет спичку не изних, а если таких спичек нет, то из-за нечетности числаспичек ясно, что два квадратика смежны, а третийнесмежен с ними, тогда он испортит один из смежныхквадратиков.3) Осталось два квадратика и они несмежны. Из-занечетности есть спичка, в них не входящая, которую ивозьмет Вася.Все позиции рассмотрены.

А.Шаповалов

M2410. Дан вписанный четырехугольник АВСD. Про-должения его противоположных сторон пересекают-ся в точках P и Q. Пусть K и N – серединыдиагоналей. Докажите, что сумма углов PKQ и PNQравна 180∞ .

Пусть точки расположены так, как на рисунке. Тре-угольники ACP и BDP подобны, поскольку у них углыC и D опираются на одну дугу, а угол P общий.Поэтому соответственные медианы в них отсекают

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 318

подобные треугольники ANP и BKP. Следовательно,углы ANP и BKP равны. Аналогично, подобие тре-угольников ACQ и DBQ влечет равенство углов ANQи DKQ. Следовательно,

PKQ PNQ– + – =

= 180PKQ BKP DKQ BKD– + – + – = – = ∞ .

Л.Медников, А.Семенов, А.Шаповалов

M2411. Петя увидел на доске несколько различныхчисел и решил составить выражение, среди значенийкоторого все эти числа есть, а других нет. Состав-ляя выражение, Петя может использовать какиеугодно числа, особый знак « ± », а также обычныезнаки «+», «–», « ¥ » и скобки. Значения составленно-го выражения он вычисляет, выбирая для каждогознака « ± » либо «+», либо «–» во всех возможныхкомбинациях. Например, если на доске были числа 4и 6, подойдет выражение 5 1± , а если на доске быличисла 1, 2 и 3, то подойдет выражение ( )2 0,5 0,5± ± .Возможно ли составить необходимое выражение,если на доске были написаны:а) числа 1, 2, 4;б) любые 100 различных действительных чисел?

Ответ. Возможно (в общем случае б).Пусть имеется некоторое выражение T. Покажем, как«надстроить» имеющееся выражение, чтобы к множе-ству его значений добавилось заданное число a. Дляэтого подойдет выражение ( ) ( )0,5 0,5a T a+ ± - (привыборе знака «+» получаются значения выражения T,а при выборе знака «–» получается значение a). Такможно, стартуя с некоторого числа, выполнять после-довательно «надстройки» и за 99 шагов добиться того,чтобы множество значений выражения совпало с задан-ным множеством из 100 действительных чисел.

Ко Бон Гюн

M2412. Нетрудно проверить, что объем правильногооктаэдра, описанного около сферы радиуса 1, равен4 3 . Выясните, верно ли следующее утверждение:«объем любого восьмигранника, описанного около сфе-ры радиуса 1, не меньше 4 3 ».

Ответ: неверно.Приведем пример. Правильный октаэдр составлен издвух пирамид (на рисунке 1 это пирамиды EABCD и

1E ABCD ). Если повернуть верхнюю пирамиду отно-

сительно ее высоты на 45∞ ,получится многогранник,изображенный на рисунке 2.При этом боковые грани бу-дут по-прежнему касатьсясферы, вписанной в исход-ный октаэдр.Теперь продолжим граниверхней пирамиды вниз, анижней – вверх, отрезая темсамым от этого многогран-ника восемь маленьких пи-рамид с вершинами A, B, C,D, 1A , 1B , 1C , 1D . Тогда впересечении восьми полу-пространств, ограниченныхплоскостями EAB, EBC,ECD, EDA, 1 1 1E A B , 1 1 1E BC ,

1 1 1E C D , 1 1 1E D A , получимвосьмигранник (рис.3) – этои есть нужный пример.Замечания. Объем полученногомногогранника примерно на 2,94%меньше объема исходного правиль-ного октаэдра. Оказывается, этотобъем можно еще уменьшить при-мерно на 0,07%: среди всех описан-ных около сферы радиуса 1 вось-мигранников минимум объема до-стигается на некотором многогран-нике с четырьмя пятиугольными и четырьмя четырех-угольными гранями. Интересно выяснить, является липостроенный нами многогранник минимальным пообъему хотя бы среди всех описанных восьмигранниковтого же комбинаторного типа (т.е. имеющих 8 четырех-угольных граней с таким же принципом склейки).

А.Меркулова

M2413*. Шеренга состоит из N ребят попарно раз-личного роста. Ее разбили на наименьшее возможноеколичество групп стоящих подряд ребят, в каждой изкоторых ребята стоят по возрастанию роста слеванаправо (возможны группы из одного человека). По-том в каждой группе переставили ребят по убываниюроста слева направо. Докажите, что после N – 1такой операции ребята будут стоять по убываниюроста слева направо.

Выберем любое число h, и всех ребят ростом меньше hназовем карликами, а остальных – великанами. Местомежду соседями, левый из которых карлик, а правый– великан, назовем стыком. Весом стыка назовемколичество карликов слева и великанов справа от него(не обязательно подряд). Вес может принимать значе-ния от 2 до N. До операции всякий стык мог бытьтолько внутри группы, причем не более одного вгруппе. А после операции – только на границе бывшейгруппы, которая содержала стык. Веса обоих возмож-ных стыков на границах группы будут меньше весабывшего стыка этой группы. Поэтому максимум весовуменьшается при операции (если, конечно, стыки еще

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 19

появляются). Значит, после N – 1 операции стыков неостанется. Тем самым, все великаны будут стоять левеевсех карликов.Рассматривая нужные h, получим, что первый будетвыше всех, первые двое – выше всех остальных и т.д.Таким образом, ребята выстроятся по убыванию.

Л.Медников, А.Семенов, А.Шаповалов

Ф2413. В Новогоднюю ночь в безветренную погоду саэродрома Санкт-Петербурга (60° северной широ-ты) стартует самолет и летит на постояннойвысоте h = 5 км с постоянной по величине скоростьюv = 1000 км/ч, держа все время курс на северо-восток (по звездам). С каким ускорением относи-тельно Земли (система Птолемея) движется само-лет ровно через T = 4 ч полета? Землю можно считатьшаром радиусом R = 6400 км.

За четыре часа полета самолет пролетел s = vT == 4000 км и сместился вдоль поверхности Земли внаправлении на север на расстояние ( )c 2s v T= == 2828 км. Это соответствует новой широте

180 282860 85,32

6400

°ϕ = ° + ≈ °

π(северной широты). Расстояние от самолета до север-ного полюса в этот момент равно

522,6 км2 180

l Rπ πϕÊ ˆ= - =Á ˜Ë ¯∞

.

За 1 ct∆ = самолет смещается в направлении на восток

на расстояние ( )в 2 0,196s v t= ∆ = км. Следователь-но, за это время скорость самолета повернется на угол

4в 0,196 км3,76 10

522,6 км

s

l−α = = = ⋅ рад.

Это означает, что ускорение самолета в указанныймомент времени равно

20,1 м сv

at

α= ≈

∆.

Высота полета h много меньше радиуса Земли R,поэтому от нее ответ не зависит.

В.Чкалов

Ф2414. Маленький брусок массой m находится нагладкой горизонтальной поверхности на расстоянии

0L от вертикального столба, на котором на высотеh закреплен маленький невесомый блок с неподвижнойгоризонтальной осью. Невесомая нерастяжимая длин-ная нить одним концом прикреплена к бруску, переки-нута через блок и натянута с постоянной силойF > mg. Трения в оси блока нет. В начальный моментбрусок скользит по поверхности и имеет скорость

0v , направленную от столба. Каким будет расстоя-ние от столба до бруска в тот момент, когда брусокна мгновение остановится? Какой будет скоростьбруска в тот момент, когда брусок перестанетдавить на поверхность?

Из условия задачи ясно, что в начальный моментбрусок давит на горизонтальную поверхность, поэтому«оторваться» от поверхности он сможет только наобратном пути к столбу, когда расстояние 2L станет

меньше 0L . Кинетическая энергия бруска изменяется,так как сила F совершает работу. Работа силы, с учетомзнака, равна произведению величины силы на измене-ние (укорочение) длины участка нити между брускоми блоком.Для ответа на первый вопрос задачи нужно решитьуравнение

( )22 2 2 20

0 1 02

mvF h L h L+ + − + = ,

откуда находим искомое расстояние от столба до брус-ка:

222 2 20

1 02

mvL h L h

F

= + + −

.

Когда расстояние 2L станет меньше 0L , скоростьбруска 2v найдем из соотношения

( )2 22 2 2 20 2

0 22 2

mv mvF h L h L+ + − + = .

Так как в момент отрыва брусок перестает давить наповерхность, то выполняется условие

2 22

hF mg

h L=

+.

Отсюда можно получить ответ на второй вопрос зада-чи, т.е. найти скорость бруска в момент отрыва отповерхности:

2 2 22 0 0

2F Fhv v h L

m mg

= + + −

.

А.Старов

Ф2415. Длинный, L = 1 м, прямоугольный брусокквадратного сечения a a 10 10 см× = × имеет плот-ность 3500 кг мρ = . Брусок опустили в воду озера иудерживали его в таком неустойчивом положенииравновесия, что одна из длинных граней бруска быласухой и горизонтальной, при этом половина объемабруска была погружена в воду. Брусок отпустили, ион занял устойчивое положение, повернувшись вокругоси симметрии на угол 45α = ° . На сколько уменьши-лась потенциальная энергия системы «вода–брусок»?

Центр масс бруска свое положение не изменил. Объем

вытесненной бруском воды, равный 22 2V a L= , ос-тался после поворота прежним, однако положениецентра масс вытесненной воды изменилось. Изменениепотенциальной энергии системы можно вычислить какрезультат такой, проведенной мысленно, процедуры:1) сначала с поверхности озера снимается тонкий слойводы объемом 2V и заливается в объем, занимаемыйнижней половиной бруска в начальном положении, 2)затем то же самое количество воды достается из выемкитакого же объема 2V , но занимающей новое положе-ние, и распределяется вновь тонким слоем по поверх-ности озера. Плотность воды вдвое больше плотностиматериала бруска. На первом этапе силами тяжестисовершается положительная работа

1 22 4 4

V a a VgA g

ρ= ρ = ,

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 320

а на втором этапе – отрицательная работа

22 2

22 6 6

V a a VgA g

ρρ= - = - .

В результате суммарная работа сил тяжести оказаласьположительной, т.е. потенциальная энергия системыуменьшилась на величину

п 1 21 2

4 6E A A a Vg

∆ = + = − ρ =

3 31 271,5 10 Дж

4 6a L g −

= − ρ = ⋅

.

С.Дмитриев

Ф2416. Вася выдувает через длинную трубку мыль-ный пузырь. Надув пузырь, он выпускает трубку изорта, при этом воздух из пузыря выходит черезтрубку наружу. Окончательно пузырь исчезает,так и не лопнув, через время τ . За какое времясдуется надутый таким же образом мыльный пу-зырь вдвое большего радиуса? Считайте, что воздухпо трубке движется достаточно медленно, а свой-ства мыльной пленки у обоих пузырей одинаковы.

Поверхностное натяжение мыльной пленки создаетвнутри пузыря добавочное давление (давление Лапла-

са) доб2

pR

σ= , где σ – коэффициент поверхностного

натяжения мыльной пленки, а R – радиус пузыря. Этодобавочное давление для пузырей «разумных» разме-ров (радиус которых значительно больше размеровмолекул воды и мыла) существенно меньше внешнегоатмосферного давления. При медленном течении воз-духа в трубке силы трения воздуха о стенки трубкипропорциональны величине средней скорости движе-ния воздуха в трубке. Следовательно, средняя ско-рость пропорциональна избыточному давлению в пу-зыре, т.е. обратно пропорциональна радиусу пузыря:

cp1

vR∼ .

Объем пузыря убывает со скоростью, пропорциональ-ной скорости движения воздуха в трубке:

( )3

cp1d R

vdt R

∼ ∼ .

Из этого дифференциального соотношения следует,что время «сдувания» пузыря пропорционально 4R .Таким образом, пузырь вдвое большего радиуса сду-ется за время, равное 16τ .

В.Пузырев

Ф2417. Газ фотонов,для которого внут-ренняя энергия U про-порциональна объемуV и абсолютнойтемпературе T в чет-вертой степени:

4U VT= α , а давле-ние газа р равно однойтретьей отношениявнутренней энергии к

объему: 4p T 3= α , участвует в процессе, изображен-ном на рисунке. Каков КПД этого процесса? Каковмаксимально возможный КПД теплового двигателяпри температурах нагревателя и холодильника, рав-ных максимальной и минимальной температурам врассматриваемом процессе?

Работа, совершенная за цикл, равна

( )( )2 2A p p V V pV= − − = .

Газ фотонов получает тепло на участках 1–2 и 2–3 иотдает тепло на участках 3–4 и 4–1. Полученное коли-чество теплоты равно

( ) ( )4 4пол 3 1 2 12 2 2 11Q pV U U pV VT VT pV= + − = + α − = .

Коэффициент полезного действия процесса, следова-тельно, равен

пол

19,09%

11

A

Qη = = = .

Температура газа максимальна в точке 3, а минимальнав точке 1. Отношение этих температур равно

3 4max4

min 1

2pT

T p= = .

КПД цикла Карно, т.е. максимально возможный КПДтеплового двигателя при заданных температурах нагре-вателя и холодильника, равен

minmax 4

max

11 1 0,1591 15,91%

2

T

Tη = − = − = = .

А.Газов

Ф2418. Два одинаковых проводящих шара 1 и 2 сдиаметрами d = 10 см каждый установлены на непро-водящих подставках в воздухе так, что расстояниемежду их центрами L = 1 м. Сначала шары подключи-ли к высоковольтному источнику и зарядили макси-мально возможными одинаковыми зарядами Q. Затемотключили шары от источника и длинным тонкимпроводом стали по очереди заземлять шары и отклю-чать от заземления. После первого заземления шара 1на нем был заряд 1q , после заземления шара 2 на нембыл заряд 2q и так далее. Иными словами, нечетныезаземления проводились для шара 1, а четные – дляшара 2. Найдите Q, 1 2 3, , ,q q q … вплоть до максималь-ного номера операции заземления, когда еще получает-ся «разумный» ответ. «Пробивная» напряженностьэлектрического поля в воздухе 6

0E 3 10 В м= ⋅ .

Сначала нужно найти максимальные заряды шаров Q.Если учесть перераспределение зарядов на шаре, выз-ванное наличием соседнего шара, то понятно, что мак-симальное по напряженности электрическое поле будетсоздаваться шарами в точках их поверхностей, находя-щихся на максимальном расстоянии друг от друга.Расстояние L = 1 м значительно больше D = 10 см,поэтому при вычислениях можно пользоваться мало-стью величины D L и считать, что каждый шар нахо-дится в почти однородном поле, созданном другимшаром. Внешнее поле равно 2

внешE kQ L= . Перерасп-ределение зарядов на шаре создает поле, компенсирую-щее внешнее поле таким образом, что внутри шара

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 21

напряженность электрического поля равна нулю. Соб-ственное поля шара, созданное его зарядом на поверх-ности, равно 2

собст 4E kQ D= . Отношение величин

этих полей имеет порядок 2 2собст внеш 4 400E E L D≈ = .

Значит, действительно можно при расчете Q перерас-пределение зарядов не учитывать. Тогда первоначаль-ные заряды шаров будут равны

260 0,83 10 Кл

4

E DQ

k−= ≈ ⋅ .

При заземлении одного из шаров заряд другого шараq остается прежним, а заряд заземленного шара приоб-ретает противоположный знак и по модулю становитсяменьше заряда другого шара в N (определенное коли-чество) раз. Потенциал заземленного шара равен нулю,поэтому выполняется условие

1 20kq

L ND

+ =

, откуда 2

20L

ND

≈ − = − .

После выполнения операции заземления в n-й раззаряд шара, заземленного последним, станет равным

( )nQ N− . Разумным будет величина заряда во многораз большая единичного заряда электрона

191,6 10 Клe −= ⋅ . Получается, что всего операций за-земления нужно провести столько, чтобы все ещевыполнялось неравенство

21202

5,2 10 204

nnD EL

D ke

< = ⋅ >

.

Число операций заземления, после которого получают-ся еще «разумные» величины зарядов на шарах, равноn = 9 (см. табл.). После десятого заземления (пятогодля второго шарика) заряд на заземленном шарике 2должен быть равен примерно 2e , чего, естественно,быть не может. Казалось бы, что в последние триклеточки таблицы надо поставить нули.На самом деле заряды шариков не могут быть равными

нулю. Есть, например, такое условие:за счет теплового движения энергиязаряженного шарика 22kq D не может

быть меньше чем Б 2k T (здесь Бk –постоянная Больцмана). Эта энергиядля шарика диаметром 10 см при темпе-ратуре 300 К соответствует заряду

175 10 Клq −≈ ⋅ . Таким образом, ужевосьмое по счету заземление дает «нера-зумное» значение заряда на одном изшариков.

С.Зарядов

Ф2419. Известно, что масса Солнцаравна 30 M 2 10 кг= ⋅ . Примерно 73% массы Солнца –это водород, 25% массы – гелий, а на остальноеприходится всего-то 2% массы Солнца. Источникомэнергии Солнца являются ядерные реакции превраще-ния водорода в гелий, которые идут в небольшой (всравнении с размерами самого Солнца) области вбли-зи его центра. Другие реакции, в частности реакциипревращения гелия в углерод и т.д., по расчетамученых начнут происходить в Солнце только нафинальной стадии эволюции. Через какое время доляводорода в массе Солнца станет равной 72%?Для справки:солнечная постоянная вблизи Земли 2W 1370 Вт м= ,масса протона пm = 1,0072765 а.е.м., протон массив-нее электрона в 1836,1527 раз, масса ядра гелия-4

гm = 4,00260325415 а.е.м.

Чтобы образовалось одно ядро гелия, нужно соединить4 ядра водорода (4 протона) и 2 электрона, и при этоммасса ядра гелия будет меньше исходной суммарноймассы составляющих частиц на m∆ = 0,0276 а.е.м.Энергия, «сброшенная» в результате такого превраще-ния, равна 2mc∆ . За то время пока масса водорода вСолнце уменьшится с 73% до 72%, т.е. 1% массыводорода превратится в гелий, будет выделена энергия

2 4 2 43

п

0,010,685 10 1,23 10 Дж

4 2 e

ME mc Mc

m m−= ∆ ≈ ⋅ = ⋅

+.

Солнечная постоянная на расстоянии от Солнца, рав-ном расстоянию от Земли до Солнца, равна

21370 Вт мW = . Среднее расстояние от Солнца доЗемли L = 150 млн км. Следовательно, Солнце излу-чает мощность, равную 2 264 3,85 10 ВтW L⋅ π = ⋅ . От-сюда получаем оценку искомого времени:

162

3,2 10 c 1 млрд лет4

Et

W L= = ⋅ ≈

⋅ π.

М.Солнцев

От подстановки корня

до трансцендентного числа

В этой статье мы начнем с решения одной олимпиад-ной задачи об оценке корня многочлена, а в концепостроим явный пример трансцендентного числа.

Осенью этого года на Турнире городов школьникампредлагалась такая задача (она же – задача М2407«Задачника «Кванта», автор – А.Храбров).

Задача. Все коэффициенты некоторого непостоян-ного многочлена целые и по модулю не превосходят2015. Докажите, что любой положительный кореньэтого многочлена больше чем 1/2016.

Жюри турнира обсуждало вариант – дать ее дляквадратного трехчлена, но побоялось, что школьникибросятся выписывать формулу корней через дискрими-нант и погрязнут в вычислениях. В итоговой формули-ровке многочлен имеет произвольную степень, так что

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 322

тами, причем f A£ . Пусть p

q – рациональное число

(с целым p и натуральным q), а α – корень f, отличный

от p

q. Наша задача – оценить снизу модуль числа

p

qβ α= - .

Согласно упражнению 2, 1Aα < + . Если число p

qдостаточно велико – скажем, больше A + 2, то и

p

qβ = α − не слишком маленькое – больше 1. Нам же

интересно, насколько близко к α может находитьсяp

q , так что далее рассматриваем случай 2p

Aq

≤ + .

(Забегая вперед, скажем, что в этом случае мы оценимβ снизу числом, меньшим 1, т.е. доказанная далее

оценка будет верна для всех p

q, отличных от α .)

Чтобы свести ситуацию к разобраной в упражне-

нии 1, сделаем сдвиг на p

q , т.е. рассмотрим многочлен

pf x

q

+

. Его коэффициенты могут быть не целыми,

но это легко исправить домножением на nq . Поэтомурассмотрим многочлен

( ) n pg x q f x

q

= + =

= 1 0

nn

np p

q a x a x aq q

+ + + + + … .

Тогда g имеет целые коэффициенты и ( ) 0g β = . Чтобы

оценить β , осталось оценить норму многочлена g, адля этого достаточно оценить нормы многочленов,суммой которых является g.

Упражнение 3. а) Найдите норму многочлена ( )51x − .

б) Докажите, что ( )1 2n nx − ≤ .

в) Докажите, что ( )100 501001x C- = .

г) Докажите, что ( )3 6n nx − ≤ .

У многочлена k

px

q

+

каждый коэффициент имеет

вид

mmk

pC

q

. Поскольку 2 2m k nkC < ≤ , а

mp

q≤

( ) ( )2 2m n

A A≤ + ≤ + , то норма у

kp

xq

+

не превосхо-

дит числа ( )2 2nn A + . Каждый коэффициент у g скла-

дывается из не более чем ( )1n + таких чисел, умножен-ных на nq , откуда

( ) ( )1 2 2nn ng n A q≤ + ⋅ + .

Тогда, по упражнению 1 и учитывая, что 1g ≥ ,можем написать

( ) ( )1

1 1 1 1

1 2 1 2 2n nng g qn A+

β > ≥ ≥ ⋅+ + ⋅ + .

(к счастью!) никаких формул для корня у нас нет. Какже тогда решать задачу? Остается только предполо-жить противное, что у многочлена есть положительныйкорень α , меньший 1/2016, подставить его в много-член и посмотреть, что получится.

Введем обозначения. Пусть ( ) 1n

nf x a x a x= + + +…

0a+ – наш многочлен. Можно считать, что его свобод-ный член 0a ненулевой (иначе найдем 0ia π с наи-меньшим индексом i и разделим f на ix ) и дажеположительный (иначе домножим f на –1).

Тогда значение ( )f α не меньше чем самое маленькоевозможное – когда все коэффициенты от na до 1aравны –2015, а коэффициент 0a равен 1 (он ведьцелый и больше нуля). Воспользовавшись формулойдля суммы геометрической прогрессии, получаем

( ) 22015 2015 2015 1nf α α α α≥ - - - - + =…

= ( )11

2015 1 2016 2015 20161

nn α

α αα

+-- + + + + = - ◊ + >

-…

> 1 1

2015 2016 2015 2016 01 1 1 2016α

- ◊ + ≥ - ◊ + =- -

,

т.е. ( ) 0f α > . Противоречие.

Простая идея – подставить число в многочлен –помогла решить задачу. Жалко на этом останавливать-ся – поищем еще какие-нибудь интересные применениянашей идеи. Для удобства договоримся наибольший измодулей коэффициентов у многочлена f называть нор-мой многочлена f и обозначать f . Только что мыдоказали: если у непостоянного многочлена с целымикоэффициентами норма не превосходит 2015, то поло-жительный корень многочлена больше 1/2016. Первоеобобщение очевидно напрашивается.

Упражнение 1. Пусть α – ненулевой корень непос-тоянного многочлена с целыми коэффициентами и

f A£ . Докажите, что 1

1Aα >

+.

Небольшой трюк позволяет теми же рассуждениемоценить корень сверху.

Упражнение 2. Пусть α – корень непостоянногомногочлена с целыми коэффициентами и f A£ .Докажите, что α < A + 1.

Указание. Если 0α π – корень многочлена

1 0n

na x a x a+ + +… , то 1

α – корень многочлена

0 1n

n na x a x a-+ + +… .

Но это еще далеко не все. Попробуем вместо рассто-яния от корня до нуля рассмотреть расстояние от корнядо другого какого-нибудь числа – скажем, до фиксиро-

ванного рационального числа p

q. Конечно,

p

q может

просто совпасть с корнем. А если не совпадет –насколько близко сможет подобраться? Давайте оце-ним. Ответ будет зависеть уже не только от нормы

многочлена, но и от самого p

q и приведет нас к

замечательной теореме Лиувилля о приближениях и кявному построению примеров трансцендентных чисел!

Итак, пусть ( ) 1 0n

nf x a x a x a= + + +… – ненулевоймногочлен степени не выше n, с целыми коэффициен-

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А » 23

Первый сомножитель в правой части этого неравенстваобозначим ( ),C n A . Константа ( ),C n A зависит толькоот n и A (ограничений на степень и норму f). Итак:

( ) 1,

n

pC n A

q qα − > . (∗ )

Пора перевести дух и понять, что можно извлечь изполученного результата.

Определение. Вещественное число α называется n-неприближаемым, если найдется такое положительноечисло c, что при любом целом p и натуральном qвыполнено одно из двух условий:

p

qα = или

n

p c

q qα − > .

Упражнение 4. Покажите, что из доказанной намиоценки следует теорема Лиувилля: корень многочленас целыми коэффициентами и степенью, не превосходя-щей n, является n-неприближаемым.

Поясним смысл данного определения и теоремыЛиувилля. Пусть мы хотим приблизить некотороеположительное число α отличным от него рациональ-

ным числом p

q. Выбрав знаменатель q, двинемся по

числовой прямой из нуля шагами длины 1

q в сторону

α и найдем число шагов p, чтобы оказаться на стольмалом расстоянии от α , насколько это возможно привыбранном q. Далее можем уменьшить q так, чтобынаши шаги стали меньше уже достигнутого расстояниядо α : такими шагами мы сможем подобраться к α ещеближе, и так далее. Но при этом возрастет q. Хорошо

иметь приближения p

q, в которых и знаменатель не

слишком большой, и расстояние до корня маленькое.Можно даже ввести понятие n-коэффициента каче-

ства приближения: это расстояние от p

q до корня,

умноженное на знаменатель в степени n (т.е. npq

qα − ).

Чем больше n и чем ближе к нулю коэффициенткачества, тем лучше приближение. Так вот, теоремаЛиувилля говорит: к корню многочлена степени n мыне сможем подобрать приближение со сколь угодномаленьким положительным n-коэффициентом каче-ства. Найдется такая положительная константа c, чтоn-коэффициент качества всегда будет больше нее.

Это подсказывает идею, как построить трансценден-тное число, т.е. такое число, которое не являетсякорнем никакого ненулевого многочлена с целымикоэффициентами: у него для любого n должно найтисьприближение со сколь угодно маленьким положитель-ным n-коэффициентом качества.

Изготовить такое число непросто, но мы применимнебольшую хитрость: построим такое α , что при

каждом n найдется приближение p

q, для которого

( ) 1,

n

pC n n

q qα − < . Здесь ( ),C n n – та самая опреде-

ленная выше константа ( ),C n A , в которой взято A = n.

Построенное таким образом число α ни для какого nне может быть корнем ненулевого многочлена с целымикоэффициентами, у которого и степень, и норма невыше n. А тогда оно вообще не может быть корнемникакого ненулевого многочлена ( )P x с целыми коэф-фициентами: иначе рассмотрим n, равное максимумуиз нормы и степени ( )P x , и получим противоречие.

Будем строить положительное трансцендентное чис-ло α в виде бесконечной десятичной дроби, записькоторой содержит лишь нули и единицы, причемединицы встречаются все реже и реже. Более точно,

1 2 3

1 1 1

10 10 10n n nα = + + +… , (∗ ∗ )

где 1 2n n< <…– последовательность номеров 1 2, , ,n n …

где у нас после запятой стоят единицы и которую нампредстоит правильно подобрать.

Возьмем 1 1n = и заметим, что число 0,1α = …

заведомо меньше чем 0,2 и не может быть корнемненулевого многочлена с целыми коэффициентами,степени не выше 1 и нормы не выше 1 (докажите!).

Будем подбирать каждое следующее kn так, чтобы αне являлось корнем никакого многочлена с целымикоэффициентами, у которого степень и норма не пре-восходят k (как бы в дальнейшем ни выбиралисьпоказатели 1 2, ,k kn n+ + …).

Пусть мы уже выбрали номера 1 1, , kn n −… . Суммупервых k – 1 слагаемых в правой части (∗ ∗ ) обозначим

1k−α – это будет очередное приближение к α . Суммаостальных слагаемых (хвост дроби) – это расстояниемежду α и 1k−α .

Число 1k−α можно записать в виде 1kp

q−α = , где

110 knq −= . Заметим, что хвост 11

10 kk n−α − α = +

1

1

10 kn ++ +… положителен и заведомо меньше 1

1

10 kn − .

Тогда выберем kn , большее 1kn − , так, чтобы 1

1

10 kn −

оказалось меньше фиксированного числа

( ) ( )1

, ,

10 kk kn

C k k C k k

q −= . Разумеется, это возможно, посколь-

ку kn можно взять сколь угодно большим.

Тогда получим, что ( )

1

,k k

C k k

q−α − α < , что и тре-

бовалось (оценка (∗ ) не выполняется).

Последовательно выбирая kn , определяем α форму-лой (∗ ∗ ). Трансцендентное число построено.

Подходящие последовательности kn можно, конеч-но, указать и явно.

Упражнение 5. Докажите, что число 1! 2!

1 1

10 10+ +

3!

1

10+ +… трансцендентно.

Заинтересовавшимся этой темой рекомендуем прочи-тать статью Н.Фельдмана «Алгебраические и транс-цендентные числа» в «Кванте» №7 за 1983 год.

С.Дориченко, П.Кожевников

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В

Задачи

Эти задачи предназначены прежде всего учащимся 6–8классов.

Эти задачи предлагались на XXVII Математическом праз-днике. И

ллю

страции Д

.Гриш

уковой

1. У Незнайки есть пять карточек с цифрами: 1, 2, 3, 4и 5 . Помогите ему составить из этих карточек два числа– трехзначное и двузначное – так, чтобы первое числоделилось на второе.

А.Шаповалов

2. По поверхности планеты, имеющей форму бубли-ка, проползли, оставляя за собой следы, две улитки:одна по красной линии, а другая по синей (как нарисунке). На сколько частей разделили поверхностьпланеты следы улиток?

С.Смирнов, И.Ященко

3. Аня захотела вписать в каждую клетку таблицы

5 8¥ по одной цифре так, чтобы каждая цифравстречалась ровно в четырех рядах. (Рядами мы счита-ем как столбцы, так и строчки таблицы.) Докажите, чтоу нее ничего не получится.

Е.Бакаев

4. Один угол треугольника равен 60∞ , а лежащаяпротив этого угла сторона равна трети периметратреугольника. Докажите, что этот треугольник равно-сторонний.

М.Волчкевич

5. На конкурсе «А ну-ка, чудища!» стоят в ряд 15драконов. У соседей число голов отличается на 1. Еслиу дракона больше голов, чем у обоих его соседей, егосчитают хитрым, если меньше, чем у обоих соседей, –сильным, а остальных (в том числе стоящих с краю)считают обычными. В ряду есть ровно четыре хитрыхдракона – с 4, 6, 7 и 7 головами и ровно три сильных– с 3, 3 и 6 головами. У первого и последнего драконовголов поровну.а) Приведите пример того, как такое могло быть.б) Докажите, что число голов у первого дракона вовсех примерах одно и то же.

А.Шаповалов, И.Ященко

25« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В

КАК ПИШЕТ Я.И.ПЕРЕЛЬМАН В КНИГЕ «ЗА-нимательная алгебра» (глава II, статья «Ко-

ровы на лугу»), по некоторым сведениям, этусельскохозяйственную задачу предложил самИсаак Ньютон или, по крайней мере, кто-то из егосовременников:

Трава на всем лугу растет одинаково густо ибыстро. Известно, что 70 коров поели бы ее в 24дня, а 30 коров – в 60 дней. Сколько коров поелибы всю траву луга в 96 дней?

Прямой и с виду естественный подход наталки-вается на непреодолимые трудности. В самомделе, 96 дней больше, чем 24 дня, ровно в 4 раза.Поэтому если 70 коров съедят траву в 24 дня, то,чтобы трапеза продолжалась вчетверо дольше,количество коров надо во столько же раз умень-шить, и оно становится равным 70 : 4 = 17,5. Притаком ответе сразу вспоминаются знаменитыеполтора землекопа Виктора Перестукина1 , ноэто еще полбеды. Хуже другое: если опираться надругие данные условия, а именно не на 70 коров,а на 30, слопавших траву за 60 дней, то 96 : 60 == 1,6, и потому потребное число коров становитсяравным 30 : 1,6 = 18,75. В результате возникаетмрачное ощущение безысходности, слегка смяг-ченное надеждой, что условие просто-напростосодержит ошибку, а значит, и браться за такуюзадачу не имеет смысла.

Между тем, ошибок в задаче нет, и болеевнимательные сразу обратят внимание на первоепредложение – о растущей траве. Вот где зарытасобака2 – оказывается, пока коровы едят, травауспевает подрасти, и запас кормов на лугу увели-чивается (хотя и не может обеспечить животнымбесконечно долгое питание).

Как же решать такую задачу? Возможный под-ход предлагает сам Я.И.Перельман в той жекниге. Процитируем его рассуждения.

Введем вспомогательное неизвестное, котороебудет обозначать суточный прирост травы в до-лях ее запаса на лугу. В одни сутки прирастает y,в 24 дня – 24y; если общий запас принять за 1, тов течение 24 дней коровы съедают 1 + 24y. В сутки

Коровы Исаака НьютонаИ.АКУЛИЧ

1 См. сказочную повесть Л.Б.Гераскиной «В стране невыу-ченных уроков».

2 В данном случае верней было бы сказать «зарыта корова».

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 326

все стадо (из 70 коров) съедает 1 24

24

y+, а одна

корова съедает 1 24

24 70

y+⋅

. Подобным же образом из

того, что 30 коров поели бы траву того же луга в60 суток, выводим, что одна корова съедает в

сутки 1 60

30 60

y+⋅

. Но количество травы, съедаемое

коровой в сутки, для обоих стад одинаково.Поэтому

1 24 1 60

24 70 30 60

y y+ +=

⋅ ⋅,

откуда 1

480y = . Найдя y (величину прироста),

легко уже определить, какую долю первоначаль-ного запаса травы съедает одна корова в сутки:

11 24

1 24 148024 70 24 70 1600

y+ ⋅+

= =⋅ ⋅

.

Наконец, составляем уравнение для окончатель-ного решения задачи: если искомое число коров x,то

11 96

148096 1600x

+ ⋅= ,

откуда x = 20. Двадцать коров поели бы всю травув 96 дней.

Вот и все решение. Ничего не скажешь – доброт-но и основательно. Но уж очень громоздко. Покадо конца дочитаешь – уже и начало позабудешь.Нельзя ли как-нибудь короче?

Можно. И главной опорой в этом послужат негерои сюжета – коровы, а… сам автор задачи!Исаак Ньютон был не только гениальным матема-тиком, но и не менее гениальным физиком (зако-ны Ньютона говорят сами за себя!). Великийученый поставил на строгие математические рель-сы принцип относительности движения и умелоего использовал в решении многих проблем. Такдавайте и мы так переформулируем задачу, чтобына передний план вышла ее физическая сущность.Для этого заменим луг с коровами рекой с кате-ром. И вот что у нас выходит.

Назовем собственной скоростью катера егоскорость при движении в стоячей воде. Есликатер поплывет вверх по течению реки с соб-ственной скоростью 70 км/ч, то он доберется допункта назначения за 24 часа, а если он поплы-вет с собственной скоростью 30 км/ч, то ондоберется до пункта назначения за 60 часов. Скакой собственной скоростью ему надо плыть,чтобы достичь цели за 96 часов?

3 А тому, кто все-таки не сообразил, подскажем: значение1

480 появляется при обозначении всего пути (либо же его

эквивалента – исходного запаса травы на лугу) через единицу,как это сделал Перельман. Мы же обошлись без этого и дажевообще длину пути не вычисляли – зачем нам лишняя работа?

Между прочим, скорость течения реки, равная 1

33

, свидетель-

ствует о том, что будь скорость катера не больше этой величины– и он никогда не доберется до пункта назначения. В переводе

на коровий язык это означает: если коров не больше 1

33

, то они

могут сколь угодно долго питаться на лугу, в противном случаепродовольственная проблема неизбежна.

Здесь количество коров преобразовалось в ско-рость катера, а растущая трава – во встречноетечение (правда, сами числовые значения получа-ются далекими от реальных, но кого это волнует).Далее, не слишком отклоняясь от Перельмана,обозначим собственную скорость катера через x,а скорость течения через y. Тогда одно и то жерасстояние, которое проплыл (бы) катер, можнозаписать тремя способами, что порождает воттакую систему уравнений:

( ) ( ) ( )70 24 30 60 96y y x y− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ .

Решается она проще пареной репы, а главное –проста и наглядна. Ответ, естественно, совпадаетс тем, что был получен ранее: x = 20 (значение жеy нас вообще-то не интересует, но если полюбо-пытствовать и вычислить его, оно оказывается

равным 1

33

; сами сообразите, почему оно не

совпадает с вычисленным ранее значением 1

480).3

Как видим, знаменитое театральное восклица-ние: «Автора!» можно с успехом применять прирешении математических задач. Чего и нашимчитателям желаем. А в заключение, чтобы убе-диться, что описанный прием освоен прочно инадежно, попробуйте решить другую, более слож-ную задачу, приведенную Перельманом в той же«Занимательной алгебре»:

Три луга, покрытые травой одинаковой густо-

ты и скорости роста, имеют площади: 1

33

 га,

10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков впродолжение 4 недель; второй – 21 быка втечение 9 недель. Сколько быков может прокор-мить третий луг в течение 18 недель?

Как и следовало ожидать, решение, приведен-ное в книге Перельмана, заняло без малого двестраницы текста (не будем его даже приводить).Но вы, конечно, обойдетесь меньшими затратами.Вперед!

27« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В

Буратино и его качелиС.ДВОРЯНИНОВ

–ТЕБЕ, НАВЕРНОЕ, ТРУДНАЯ ЗАДАЧА ПО-палась? – обратился к Буратино с вопро-

сом Папа Карло, оторвавшись от своего верстака.– Почему ты так решил? – удивился Буратино.– Да все очень просто. Перед тобой книга, но ты

уже давно ее не перелистываешь и не открываешьновую страницу. Так бывает, когда ты обдумыва-ешь сложную математическую задачу.

Моя книга вовсе не по математике, я читаю проприключения барона Мюнхгаузена. А задумалсяя вот над чем. Однажды этот барон будто бы самсебя за волосы вытащил из болота. Каждомупонятно, что это невозможно по всем законамфизики и что так никогда не бывает. Но я вот чтовспомнил.

Когда я был совсем маленьким, ты качал меняна качелях. Я усаживался в креслице, и ты времяот времени в такт его подталкивал. Я еще тебяпросил: « Сильнее! Выше! Еще выше!» Тут всепонятно – не мог же я сам себя толкнуть. Но вотвчера мы с ребятами качались на качелях, и тутситуация была совсем другая. Заскочил я накачели и потом сам, без какой-либо помощи,раскачался очень даже сильно. Если бы ты в этовремя был рядом, то наверняка попросил бы менябыть осторожнее. Но дело не в этом. Мне кажет-ся, что это раскачивание сродни вытаскиваниюсамого себя из болота. Но последнее никто неможет сделать, а вот на качелях каждый можетраскачаться. Почему так?

Наверное, тут скрыто какое-то противоречие иесть какая-то тайна. Мне хочется разобраться сэтим вопросом. И это так интересно, что я готовпрервать чтение увлекательной книжки о при-ключениях Мюнхгаузена. Так как же мы раскачи-ваемся на качелях?

– Что ж, будем разбираться, – Папа Карлостряхнул стружки с фартука и подсел к столу. –Давай бумагу. Вначале мы должны вспомнитьпро энергию. А именно, энергию механическую.Такая энергия бывает двух видов...

– Да, знаю, – уверенно подхватил Буратино.Энергия бывает кинетическая и потенциальная.Когда я разгоняюсь на самокате, то совершаюработу. И самокат, и я на нем движемся с нарас-тающей скоростью. Чем больше скорость, тембольше кинетическая энергия. Потом какое-товремя я по инерции могу катиться с постояннойскоростью. Если при этом моя дорога пойдетвверх, то за счет накопленной кинетической энер-гии я могу и на горку закатиться. При движениивверх скорость уменьшается, кинетическая энер-гия тоже уменьшается. В конце концов я останов-люсь, кинетическая энергия станет равной нулю.Но энергия не исчезнет, она перейдет в энергиюпотенциальную. Эта энергия связана с высотой. Яже оказался на горке, и потому обладаю потенци-альной энергией. Теперь я могу развернуться ипокатиться вниз. При этом потенциальная энер-гия будет убывать – она будет переходить вкинетическую энергию движения.

– Ну что ж, я вижу, ты хорошо знаешь физикуи тебе понятно, что так же меняется и твояэнергия, когда ты качаешься на качелях. Оказал-ся ты на самом верху и на миг остановился – твояпотенциальная энергия самая большая, кинети-ческая же равна нулю. В самой нижней точкетвоей траектории потенциальная энергия равнанулю, а кинетическая оказывается самой боль-шой. Важно, что при таких твоих колебаниях –так называют качания маятника, а твои качели этотот же маятник – выполняется закон сохраненияэнергии

К + П = С,

где К – это кинетическая энергия, П – потенци-альная энергия, С – постоянная величина дляколебаний с данной амплитудой. Да, поясню:амплитуда – это размах колебаний.

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 328

– Следовательно, если хочу раскачиваться всесильнее и сильнее, т.е. подниматься все выше ивыше, я должен увеличивать значение этой кон-станты С. А этого можно добиться, увеличив либозначение К, либо значение П. Ясно! Когда тыраньше подталкивал мои детские качели, то тыувеличивал мою кинетическую энергию. Так жетеперь могут действовать мои товарищи, если онирядом. Но даже если их и нет, я сам, один, могураскачиваться все сильнее и сильнее. Как же этодостигается? Вот это и есть мой главный вопрос!– с воодушевлением произнес Буратино.

– Давай выясним: какую энергию – кинетичес-кую или потенциальную – ты можешь увеличить,находясь на качающихся качелях. Подтолкнутьсам себя ты не можешь, стало быть, вся надеждаостается на увеличение потенциальной энергии. Авот увеличить ее действительно можно. И что тыдля этого делаешь, находясь на качелях?.. А?..Вспомнил?..

– Да, – обрадовался Буратино. Вспомнил! Стояна дощечке, я попеременно то сгибаю ноги вколенях, то их распрямляю, т.е. по очередиприседаю и распрямляюсь. И когда я распрямля-юсь, т.е. встаю в полный рост, то я совершаюработу по подъему своего центра масс (или центратяжести), и эта работа переходит в потенциаль-ную энергию качелей. Но потом, когда я присе-даю, потенциальная энергия, – тут Буратинозамолчал и на его лице появилось выражениеразочарования.

– Так что там потенциальная энергия делает? –подбодрил его Папа Карло.

– Потенциальная энергия убывает, и, сталобыть, никакого прироста полная энергия рассмат-риваемой механической системы не получает.Раскачаться сильнее не получается, – заключилБуратино с разочарованием.

– Давай не будем торопиться, а будем внима-тельными. Ведь эксперименты, т.е. твой опыт,говорят, что раскачивание происходит! Не опус-кай руки и не унывай, ищи теоретическое объяс-нение этого явления.

– Это грибы в лесу ищут, а объяснение гдеискать? – приуныл Буратино.

– Как где? В твоих рассуждениях! Бывает, чторешил ты уравнение, сверил ответ и видишь, чтоошибся. Начинаешь решать заново, аккуратнопроводя все выкладки. Так и сейчас. Вот я тебенемного подскажу. Начнем с самого начала. Ка-чаешься ты на качелях туда-сюда с постояннойамплитудой на согнутых в коленях ногах. И вотв самой нижней точке ты мгновенно встал вполный рост. Как ты думаешь, после этого ампли-туда (т.е. размах) увеличится?

– Конечно. Я ведь поднял себя, совершилработу, увеличил потенциальную энергию, а зна-чит, и общую энергию системы.

– Итак, есть способ увеличить потенциальнуюэнергию. Может быть, и не на много, но увели-чить. Хочется этот прием повторить. Верно?Иными словами, желательно опять встать в пол-ный рост. Но сейчас ты уже стоишь и повторитьэтот прием невозможно. Как же быть?..

– Встать в полный рост можно только из состо-яния, в котором ноги согнуты в коленях. Ипоэтому теперь я должен присесть, – согласилсяБуратино.

Самое главное – выбрать момент, когда этоследует сделать. Если согнуть ноги в коленях всамой нижней точке траектории, то убыль потен-циальной энергии будет такой же, каким былперед этим ее прирост. Суммарный эффект отдвух действий будет нулевым, мы вернемся наисходный режим колебания. Лучше всего при-сесть… Подумай, когда.

А чтобы дать правильный ответ, посмотри надве одинаковые лестницы. Только одна из нихстоит вертикально (как пожарная лестница удома), а другая – наклонно. Если по каждойлестнице подняться, скажем, на 10 ступенек, то вкаком случае ты поднимешься на бульшую высо-ту – по вертикальной лестнице или по наклонной?Здесь уместно вспомнить, что катет прямоуголь-ного треугольника меньше гипотенузы.

Все мне ясно! – весело произнес Буратино.Оказавшись в самой верхней точке траектории, ядолжен мгновенно присесть, согнуть ноги в коле-нях. При этом мое смещение по вертикали ока-жется меньше моего подъема по вертикали, кото-рый был в нижней точке траектории. Поэтомуубыль потенциальной энергии будет меньше ееприроста. В результате двух действий – распрям-ление в нижней точке и приседание в верхнейточке – качели получат прирост энергии, ампли-туда колебаний увеличится.

Можно такие действия повторять, накачивая,тем самым, энергию в нашу механическую систе-му. При этом наши качели оказываются маятни-ком переменной длины. Согнули ноги в коленях– получили длинный маятник длиной L, встали вполный рост – получили короткий маятник дли-ной l.

– Ну что же, с физикой разобрались. Ты мо-жешь продолжить свое чтение, а я – свою работу.Но надо заметить, что мы дали простейшее объяс-нение того, как раскачиваются качели. Мы неучли всех обстоятельств.

Но это уже тема для другого разговора.

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

Аналогии – всюдуА.СТАСЕНКО

Зачем крутится ветр в овраге,Подъемлет лист и пыль несет,Когда корабль в недвижной влагеЕго дыханья жадно ждет?

Зачем от гор и мимо башенЛетит орел, тяжел и страшен,На чахлый пень? Спроси его.Зачем арапа своегоМладая любит Дездемона,Как месяц любит ночи мглу?

Затем, что ветру и орлуИ сердцу девы нет закона...

А.С.Пушкин

НЕСОМНЕННО, В ЭТИХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СОПОСТАВ-лениях Поэт намекает на некоторые аналогии. При-

ступим и мы к их поиску.Например, какую аналогию можно провести, сопостав-

ляя механику грузика на пружинке и движение зарядовв электрическом контуре, содержащем емкость и индук-

тивность (см. рисунок)? Преждевсего, в обеих системах могутпроисходить колебания, и еслинет потерь механической энер-гии на трение или на омическоесопротивление (оно отсутствуетв идеализированной системе), токолебания, однажды возникнув,будут продолжаться вечно. Авозникнуть они могут, если де-формировать пружину, откло-нив груз от положения равнове-сия, или замкнуть контур с пред-

варительно заряженным конденсатором. И потенциаль-ная энергия деформированной пружины

2

2m

mkx

П =

будет вечно через каждые четверть периода переходить вкинетическую энергию движущейся массы

2

2m

mmv

K = .

Здесь и далее m (от maximum) в индексе означаетнаибольшую величину. Точно так же потенциальнаяэнергия конденсатора

( ) 21

2m

m

C qП =

перейдет в кинетическую энергию катушки индуктивнос-ти

2

2m

mLI

K = .

Причем в любой момент времени сумма обоих видов

энергии сохраняется:2 2 2 2

const2 2 2 2

m mkx mv kx mv+ = + =

и

( ) ( )2 22 21 1

2 2 2 2m mC q C qLI LI

+ = + = const.

Уже отсюда видно, что смещение грузика на пружинеаналогично заряду конденсатора, скорость смещения ана-логична электрическому току, масса грузика – индуктив-ности, а жескость пружины – величине, обратной емкостиконденсатора. Все это можно записать так:

, ,x q m L↔ ↔

1,v I k

C↔ ↔ .

Полученные соотношения свидетельствуют о так назы-ваемой электромеханической аналогии. Об этом свиде-тельствуют и выражения для важнейшей характеристикиколебательного процесса – круговой частоты. Для грузи-ка на пружине она равна

k

mω = ,

для электрического контура –

1 C

Lω = .

Заметим, что в последней записи мы уже учли только чтосделанное «открытие» об аналогии характеристик двухрассматриваемых схем.

Теперь можно сделать общий вывод: во всякой системе,обладающей инертным элементом («инертностью») ивозвращающей силой («жесткостью»), могут возникнутьколебания с частотой

« »

« »

жесткость

инертностьω = .

«Жесткость» стремится вернуть систему в положениеравновесия, а «инертность» приводит к тому, что система«проскакивает мимо» этого положения. И происходитпериодическое превращение потенциальной энергии (внашем случае соответствующей mx и mq ) в кинетическуюэнергию ( mv и mI ). Получается, что мы можем оценитьи частоту колебаний капли, и – даже страшно сказать –частоту колебаний Вселенной.

Действительно, в случае капли жесткость определяетсякоэффициентом поверхностного натяжения σ( [ ] Н мσ = ), стремящимся вернуть деформированнуюкаплю к сферической форме, а инертность связана с еемассой m, так что

m

σω ∼

(проверьте размерность).А Вселенная является громадным конденсатором потен-

циальной энергии тяготения, связанной с фундаменталь-ной константой G ( [ ] 2 2Н м кгG = ⋅ ). Эту энергию можно

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 330

оценить как 2M

П GR

∼ , где М и R – масса и радиус

Вселенной. Уподобив эту энергию потенциальной энер-гии сжатой пружины, запишем

2

2kR

П ∼ ,

откуда получим «жесткость» Вселенной 2

3

GMk

R= ∼

G Mρ∼ , где ρ – средняя плотность. Теперь ясно, чтоесли уж Вселенной придется колебаться, то частота этихколебаний будет порядка

kG

Mω ρ∼ ∼ .

Принимая, согласно астрофизическим данным, ρ ∼

26 310 кг м−∼ , получим 11 26 16 10 10 с− − −ω ⋅ ⋅ ≈∼

18 110 с− −≈ . Значит, период колебаний Вселенной соста-вит

1826 10 c 200 млрд летT

π= ≈ ⋅ ≈

ω.

(Здесь учтено, что 71 год 3 10 секунд≈ ⋅ .) А с моментаБольшого взрыва прошло уже порядка 10 миллиардовлет. Так что недолго осталось ждать, чтобы определитьэти колебания: есть они или нет.

Впрочем, в поэтической аналогии, приведенной в эпиг-рафе, тоже можно найти «законы». Ветер предсказываетметеорология; орел, возможно, проводит обязательныетренировки высшего пилотажа; а Дездемоны всегда спе-шат замуж – хоть за арапа.

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

Закон Гука икоэффициент

Пуассона, или Чемрезина отличается

от водыП.СУРОВИН

КАКАЯ СИЛА БУДЕТ ДЕЙСТВОВАТЬ НА СТЕНКИ АБ-солютно жесткого (при любых воздействиях размеры

и форма не изменяются) сосуда, имеющего форму куба сребром a, если налить в него воду и на поверхность водыположить невесомый поршень, к которому приложитьсилу F, как показано на рисунке 1? Ответ очевиден – всоответствии с законом Паскаля, давление воды будетвезде одинаково и равно 2p F a= . Иными словами, кстенкам сосуда будет приложена сила 2

стF pa F= = .Уберем теперь поршень и добавим в воду заранее

приготовленный цемент.1 Дождемся его затвердевания ивновь приложим силу F. Какие силы будут приложены кстенкам сосуда теперь? Может быть, по аналогии с пре-дыдущим примером, получится F? Но закон Паскаляприменим к жидкостям, он ничего не говорит о твердых

телах. Может быть, ноль? Но и это сомнительно. Всевидели, что происходит с пластилиновым кубиком, кото-рый хотят раздавить, – он увеличивается в поперечныхразмерах. Вполне вероятно, что цемент будет вести себяаналогичным образом. Но в нашем случае такое увеличе-ние невозможно, так как стенки сосуда препятствуютпоперечному расширению. Ясно только одно – давлениекубика на дно сосуда равно 2p F a= , иначе не будет рав-новесия. Но чему равно давление на стенки, неизвестно.

Для того чтобы разобраться в этом, рассмотрим дефор-мирование полоски длиной l, шириной b и толщиной t.Растянем ее некоторой силой F и измерим длину 1l иширину 1b после деформации (рис.2). Длина полоскипри этом изменится на 1l l l∆ = − , а ширина изменится на

1b b b∆ = − . Удобнее, однако, пользоваться безразмерны-

1 Считаем, что объем получившегося цементного кубика вточности равен объему воды. На самом деле во время химичес-кой реакции между водой и цементом объем уменьшится, но этойусадкой мы пренебрежем.

Рис. 1

Рис. 2

31Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

ми величинами l

l

∆ε = и

b

b

∆′ε = . Эти величины называют

относительной продольной деформацией и относитель-ной поперечной деформацией соответственно. Для крат-кости в дальнейшем слово «относительная» будем опус-кать. Кроме того, будем считать, что деформация положи-тельна, если размер увеличивается, и отрицательна – еслиуменьшается. Это означает, что для полоски ε и ′ε имеютразные знаки.

Как зависит продольная деформация от силы F?Чтобы не зависеть от размеров полоски, перейдем котносительной силе, которую получим, разделив силу на

площадь поперечного сечения полоски: F

btσ = . Эту вели-

чину называют напряжением. Будем считать напряжениеположительным, если оно растягивающее, и отрицатель-ным, если сжимающее. Многочисленные опыты показа-ли, что зависимость между напряжением и продольной

деформацией линейна, т.е. E

σε = , где E – модуль упру-

гости или модуль Юнга, который зависит только от

материала. Те же опыты показали, что величина ′ε

ν = −ε

также постоянна и зависит только от материала. Этувеличину называют коэффициентом Пуассона. Теперь

мы можем получить поперечную деформацию: E

σ′ε = −ν .

Однако какое отношение растяжение полоски имеет кнашей задаче? Оказывается, самое непосредственное.Вернемся к цементному кубику. Возьмем систему коорди-нат, в которой оси x, y и z направлены вдоль ребер кубика.Обозначим напряжения на гранях кубика xσ , yσ и zσсоответственно (рис.3). Попробуем найти деформацииребер, которые обозначим xε – деформация вдоль оси x,

yε – вдоль оси y и zε – вдоль оси z. Деформация xεвызывается тремя причинами. Первая – напряжение xσ ,и соответствующая деформация является продольной.Вторая причина – напряжение yσ , и в этом случаедеформация будет поперечной. Третья причина – напря-жение zσ , и деформация также поперечная. Складываявсе три деформации, получим

( )1x x y z

Eε = σ − νσ − νσ .

Аналогичные рассуждения приводят к формулам

( )1y y x z

Eε = σ − νσ − νσ

Рис. 3

2 Более общее рассмотрение приводит к соотношению

x y zV

V

∆ε ε ε= + + , где

V

V

∆ – относительное изменение объема.

Таким образом, для неизменности объема достаточно выполне-ния условия 0x y zε ε ε+ + = . При этом совсем необязательноравенство нулю каждой из деформаций в отдельности.

и

( )1z z x y

Eε = σ − νσ − νσ .

Эти три формулы есть обобщенный закон Гука.Теперь посмотрим, в каком состоянии находится наш

цементный кубик. Для него напряжение 2yF

aσ = − , де-

формации 0x zε = ε = (не забыли, что сосуд абсолютножесткий?). Получаем систему трех уравнений с тремянеизвестными:

2

10 x z

F

E a

= σ + ν − νσ

,

2

1y x z

F

E a

ε = − − νσ − νσ

,

2

10 z x

F

E a

= σ − νσ + ν

.

Решая эту систему, находим

2 1x zF

a

νσ = σ = −

− ν,

2

2

21

1yF

Ea

νε = − − ν

.

Для цемента коэффициент Пуассона 0,2ν = . В такомслучае

24x z

F

aσ = σ = − , а 20,9y

F

Eaε = − .

При этом сила давления на стенки сосуда равна

2ст 4x

FF a= σ = .

Пора перейти к вопросу, вынесенному в заголовок. Чемже отличается резина от воды? Для резины коэффициент

Пуассона 0,5ν = . В этом случае 2x zF

aσ = σ = − и 0yε = .

Как истолковать полученный результат? Так как дефор-мации по всем трем осям координат равны нулю, торазмеры кубика не изменились. А неизменность размеровозначает и неизменность объема.2 Резина несжимаема!При этом сила давления на стенки сосуда равна

2ст xF a F= σ = .

А что же вода? При приложении давления 100 атмотносительное изменение объема воды составит 1/200,т.е. вода все-таки сжимается.

В правой руке я держал… сосуд, другою же рукойпробовал извлечь искры из наэлектризованного ствола.Вдруг моя правая рука была поражена с такой силой, чтовсе тело содрогнулось как от удара молнии… я думал, чтопришел конец.

Питер ван Мушенбрук

При проведении экспериментов лейденская банка, по-крытая станиолем, соединялась с проводом, через кото-рый наэлектризовывались полусферы…

Генри Кавендиш

конденсатор?А так ли хорошо знаком вам

Моя первая попытка отклонить пучок катодных лучейсостояла в пропускании его между двумя металлическимипластинками… и в создании электрического поля междупластинками.

Джозеф Джон Томсон

…разность потенциалов двух проводников пропорцио-нальна их зарядам …коэффициент пропорциональностиназвали емкостью, а систему двух проводников – конден-сатором.

Ричард Фейнман

Не слишком ли много чести одному прибору в рубри-ке, традиционно посвященной фундаментальным зако-нам, явлениям и понятиям?

Во-первых, уже более двух с половиной столетий он– непременный участник множества важнейших иссле-дований. Открытие «лейденской банки» просто произ-вело революцию в опытах с электричеством, а в дальней-шем конденсаторы применялись во всех решающихэкспериментах, в которых рождалась современная на-ука, вплоть до подтверждения теории относительности.

Во-вторых, конденсаторы до сих пор крайне важныдля практики. Разрядка конденсатора в лампе-вспыш-ке, возбуждение лазеров и люминесцентных ламп,действие дефибрилляторов, возвращающих пациента кжизни пропусканием через сердце импульсов тока, –лишь немногие области их применения. А что говоритьо телевизорах и радиоприемниках, карманных кальку-ляторах и больших вычислительных машинах, микро-фонах и телефонах и о многих других средстввахкоммуникации! Везде, где используются интегральныесхемы, можно найти конденсаторы. Правда, они уженичем не напоминают первые устройства для накопле-ния зарядов – миниатюризация литровой «лейденскойбанки» позволила бы уместить ее в элементе, елеразличимом на булавочной головке.

Ну, и в-третьих, вы не раз столкнетесь с конденсато-рами в школьном курсе физики. Какое поле в нихобразуется, какие возможны варианты их соединения,как они накапливают и отдают энергию, как ведут себяв цепях постоянного или переменного тока, как проле-тают через них заряженные частицы, как с их помощьюпринимают и передают информацию – вот вопросы, накоторые надо уметь отвечать. Надеемся, этот выпуск«Калейдоскопа» поможет вам с ними справиться.

Вопросы и задачи

1. Можно ли зарядить «лейденскую банку», не зазем-ляя одну из ее обкладок?

2. Как изменится напряженность поля между обклад-ками уединенного плоского конденсатора, если на од-ной из обкладок заряд будет увеличен в два раза?

3. В каком случае сила взаимодействия между обклад-ками помещенного в жидкий диэлектрик заряженногоконденсатора: а) прямо пропорциональна диэлектри-ческой проницаемости среды; б) обратно пропорцио-нальна ей?

4. Плоский воздушный конденсатор, пластины кото-рого расположены горизонтально, наполовину залитжидким диэлектриком с проницаемостью ε . Какуючасть конденсатора надо залить этим же диэлектрикомпри вертикальном расположении пластин, чтобы емко-сти в обоих случаях были одинаковы?

5. Найдите емкость батареи конденсаторов, изобра-женной на рисунке 1, если емкость каждого конденса-тора равна С.

6. Чему равна емкость xC , если общая емкостьпредставленной на рисунке 2 схемы равна 2С?

7. Четыре одинаковые металлические пластины рас-положены в воздухе на одинаковых рас-стояниях друг от друга и соединены про-водником, как указано на рисунке 3. Оп-ределите емкость такой системы, еслиемкость каждой отдельно взятой парыпластин равна 0C .

8. Заряженный конденсатор подключи-ли параллельно к такому же, но незаря-женному. Во сколько раз изменилась энер-гия поля первого конденсатора?

9. В заряженный конденсатор вставля-ют край пластины из диэлектрика. Что

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3

произойдет, если пластину предоставить самой себе?Трением пренебречь.

10. Плоский конденсатор зарядили и отключили отисточника тока. Как изменится объемная плотностьэнергии электрического поля внутри конденсатора,если увеличить в 2 раза расстояние между его обклад-ками?

11. Батарея из двух последовательно соединенныхконденсаторов емкостями 1C и 2C подключена к источ-нику тока напряжением E . Возможно ли, чтобы напря-жение на конденсаторе емкостью 1C равнялось нулю, ана конденсаторе емкостью 2C равнялось E ?

12. Переменный ток прекращается, если цепь в каком-либо месте разорвать, в то время как включение в цепьконденсатора не приводит к такому же результату.Почему?

13. Электрическая лампа последовательно с диодом,к которому параллельно присоединены конденсатор и

ключ, подключена к сетипеременного напряжения(рис.4). Почему при замк-нутом ключе лампа горитярче, чем при разомкнутом?

14. Что произойдет с соб-ственными колебаниями вэлектрическом контуре, ак-тивным сопротивлением ко-

торого можно пренебречь, если его емкость в 3 разаувеличить, а индуктивность в 3 раза уменьшить?

15. Через какую долю периода после подключениязаряженного конденсатора к катушке индуктивностиэнергия в контуре распределяется между конденсато-ром и катушкой поровну?

Микроопыт

Пустите из водопроводного крана как можно болеетонкую струйку. Натерев лист сухой бумаги о пласти-ковую поверхность, например о разделочную доску,поднесите их в вертикальном положении с разныхсторон к струйке. Как она будет себя вести?

Любопытно, что…

…название первому электрическому конденсаторупосле опытов 1745 года, проведенных профессоромуниверситета голландского города Лейдена Питеромван Мушенбруком, дал французский физик Жан-Анту-ан Нолле. С тех пор «лейденская банка» вошла в обиходфизиков как мощный и надежный источник электриче-ства. Но полное понимание процессов зарядки и разряд-ки «банки» было достигнуто лишь в начале ХХ века.

…термин «конденсатор» (от латинского сгущать)ввел Алессандро Вольта в 1782 году. Первый жеплоский конденсатор был изобретен еще в 1748 году.Плоские конденсаторы изготавливали также такие уче-ные, как Бенджамин Франклин, Франц Эпинус иДжамбаттиста Беккариа, разделяя их обкладки различ-ными диэлектриками и соединяя их в батареи.

…использование сферического конденсатора позво-лило Генри Кавендишу установить закон взаимодей-ствия электрических зарядов еще до Шарля Кулона; с

помощью такого конденсатора Майкл Фарадей изучалвлияние среды на электризацию тел; развитие опытовФарадея привело к созданию электростатических гене-раторов – так, американский физик Роберт Ван деГрааф в 1933 году достиг в них напряжения 15 милли-онов вольт.

…первым экспериментальным доказательством суще-ствования максвелловских токов смещения были опытыотечественного физика Николая Шиллера, наблюдав-шего в 1875 году действие электромагнита на заряжен-ный конденсатор.

…из различных экспериментов с разрядами «лейден-ских банок», проводившихся не одно десятилетие,Герман Гельмгольц сделал вывод о колебательном ха-рактере разряда. В 1853 году Уильям Томсон (лордКельвин) дал математическую теорию этого явления,выведя формулу для периода колебаний. К концу ХIХвека одним из первых нобелевских лауреатов немецкимфизиком Карлом Брауном был изобретен колебатель-ный контур значительной емкости и с малым затухани-ем, что было существенно для развития радиотехники.

…конденсатор на рубеже ХIХ-ХХ веков оказалсянеобходимым элементом в приборах, с помощью кото-рых совершались эпохальные открытия. Например, в«трубке Томсона», использованной при открытии элек-трона и ставшей прообразом электронно-лучевой труб-ки. Или в опытах супругов Кюри по обнаружениюрадиоактивных элементов и весьма точному измерениюрадиоактивности, а также в установке Роберта Милли-кена по определению величины заряда электрона.

…заряды, располагающиеся в ионосфере, образуютсовместно с Землей «природный конденсатор» емкос-тью несколько сотых фарада. Подобным естественнымпримером служит молния, представляющая собой раз-ряд конденсатора, «обкладками» которого являютсялибо два облака, либо облако и поверхность Земли.

…для создания малогабаритных конденсаторов оченьбольшой емкости используют сегнетокерамику на осно-ве титаната бария с высокой, в несколько тысяч единиц,диэлектрической проницаемостью. В многослойныхструктурах из параллельно соединенных тонких слоевудается добиться емкости в несколько микрофарад.

…конденсатор остается значимым участником важ-ных современных опытов. Так, с его помощью пыталисьобнаружить свободные кварки, обладающие дробнымизарядами.

Что читать в «Кванте» о конденсаторах

(публикации последних лет)

1. «Перезарядка конденсаторов» – 2013, Приложение№1, с.140;

2.«Задачи на изменение энергии системы» – 2014,№2, с.38;

3. «Колебательный контур и законы сохранения» –2014, №5/6, с.56;

4. «Конденсатор в коробке и потенциальность куло-новского поля» – 2015, Приложение №3, с.123;

5. «Электростатика для умных школьников» – 2016,№2, с.44.

Материал подготовил А. Леонович

Рис. 4

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

Аплодисментыздесь тихиеВ.ИЛЬИЧЕВ, А.МАРИНИН

Главная проблема экологии человека – бескон-фликтное существование рядом с другими.

В.А.Долинский. Невольник свободы

ПРИ СООРУЖЕНИИ БОЛЬШИХ АУДИТОРИЙ, ТЕАТ-ральных залов и тому подобного организаторам и

строителям необходимо эффективно решить следующиедве задачи.

1) Видео-проблема: каждый зритель вправе рассчиты-вать на полноценный обзор действия, происходящего насцене. В принципе эта проблема была решена еще вдалеком прошлом, когда зрительские места стали распо-лагаться амфитеатром (рис.1).

2) Аудио-проблема, которая подразумевает «чистую»доставку звуков сцены (голоса певцов, драматическихартистов и т.д.) до слушателей.

Вторая проблема оказалась сложнее первой. Причинаэтого в том, что свет ведет себя довольно просто – он не«любит» отражаться (конечно, кроме зеркальной поверх-ности), а звук не столь привередлив и отражаться «лю-бит» (вспомните многократное эхо в горах). И тогда из-за процессов интерференции (наложения) волн страда-ет качество звучания. 1

Гипотетически, идеальная акустическая ситуация зак-лючается в точечной доставке сценического голоса каж-дому конкретному слушателю. В этом случае интерфе-ренции не возникает. Однако можно ли такого добить-ся? Оказывается, можно, опираясь на некоторые заме-чательные свойства эллипса.

Для их обоснования понадобится решение известнойзадачи поиска минимума длины ломаного пути. А имен-

но, такой. Почтальон из деревни A идет в деревню B,которые лежат по одну сторону реки. Требуется найтикратчайший путь из А в B, если по дороге почтальонрешил обязательно искупаться в реке (рис.2).

Решение основано на замене одного (сложного)ломаного пути на другой равновеликий, но болеепростой путь. Так, построим «виртуальную» де-ревню b, расположенную симметрично B относи-тельно реки. Тогда, очевидно, длина пути AD ++ DB равна длине ломаной AD + Db. Разумеется,из всех таких ломаных, соединяющих деревни Aи b, наименьшую длину имеет сам отрезок Ab.Точку пересечения Ab с рекой обозначим через C,тогда ломаная AC + CB и есть искомый опти-мальный путь.

Отметим, что острые углы отрезков AC и CB сгоризонталью равны. А поскольку для волн (све-та или звука) угол падения равен углу отраже-ния, то можно сказать, что луч света, а такжезвуковая волна успешно решают данную задачупоиска минимума (принцип наименьшего пути). 2

Теперь напом-ним определение эллип-са. Пусть на плоскостизафиксированы две точ-ки S и P (так называе-мые фокусы) и заданпараметр R > SP. Тог-да эллипс – это множе-ство точек плоскости C(рис.3), для которыхвыполняется равенствоSC + СP = R.

Очевидно, при совпа-дении фокусов эллипспревращается в окруж-

1 Звуковой хаос вызывает сильные негативные эмоции. Так,наблюдая за развлечениями в одном из заведений общепита,С.Есенин печально заметил: «Шум и гам в этом логове жутком».

Рис. 1. Древний Колизей изнутри: чем дальше от арены, тем выше ряд

Рис. 2. Равенство углов в кратчайшем ломаном пути из А в В

Рис. 3. Равенство углов фокусныхотрезков с касательной

2 Естественно-научные дисциплины буквально наводненывсякими принципами: Ле Шателье–Брауна, Дирихле и др. Да ив обыденной жизни их немало. Так, в одной восточной притчеаксакал раскрыл внуку секрет своей долгой и успешной жизни.Оказывается, достаточно соблюдать лишь два принципа. Пер-вый – если ты что-то кому-то пообещал, то выполни этообязательно. Второй – никогда никому ничего не обещай.

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 35

ность. А если точке С разрешается «бегать» по трехмер-ному пространству, то возникает замкнутая двумернаяповерхность, напоминающая куриное яйцо.

Пусть на границе эллипса выбрана произвольная точ-ка С, в которой проведена касательная. Далее, соеди-ним точку С с каждым фокусом. Тогда оказывается, чтоотрезки SС и PС составляют с касательной одинаковыеуглы. Покажем это.

Наряду с путем SCP рассмотрим ломаную SDP, вкоторой точка D тоже находится на данной касательной(D не совпадает с C). Обозначим через E точку пересе-чения отрезка SD с границей эллипса. Очевидно, имеютместо соотношения

SE + EP = SC + CP и SD + DP > SE + EP.

Поэтому путь SCP является самым коротким. В силупредыдущего, углы данной ломаной с касательной пря-мой равны между собой. Значит, звук, выходящий изодного фокуса, после отражения обязательно входит вдругой фокус. Разумеется, такое «правильное» движе-ние звука будет иметь место как при сплошном, так ипри частичном покрытии границы эллипса.

Теперь все готово, чтобы предъявить идеальную фор-му концертного зала.

Для простоты будем считать, что певец (P) и слуша-тели { }1 2, ,S S … находятся в одной плоскости. Далее вседело в конструкции крыши. Так, для каждой пары{ }, iP S мысленно проведем эллипс и на его верхнейчасти оставим небольшую площадку, соответствующуюфрагменту его границы (рис. 4). В силу свойства «пра-вильного» отражения, голос певца будет благополучнодостигать «своего» слушателя. Осталось только подо-брать «хорошие» параметры эллипсов, чтобы крыша(своеобразный панцирь черепахи) в целом выгляделане слишком бугристой.

Последнее. Если певецоказался очень хоро-шим, то ему необходи-мо позаботиться и о сво-ей безопасности. Так,бурные и продолжитель-ные аплодисменты вы-зовут, по сути, обраще-ние всех стрелок на ри-сунке 4. Это может трав-мировать слух и дажепривести к нежелатель-ному для певца исходу.Здесь можно предло-жить две меры безопас-ности. Первая: певецможет в конце выступления выйти из своего фокуса(войти в акустическую тень). Вторая: все фрагментыкрыши поворачиваются на небольшой угол, и тогдаисчезают губительные резонансные свойства акустики.

В заключение хочется порекомендовать читателям на-учно-популярную книгу Г.А.Гальперина и А.Н.Земля-кова «Математические бильярды», в которой содержит-ся много интересных и неожиданных геометрическихсвойств эллипса и их приложений. 3

3 Среди множества математических дисциплин большинствоученых отдают явное предпочтение геометрии. В частности,Ю.П.Соловьев констатирует: «Виноват конкретно Пифагор,который сказал, что «ВСЕ есть число»! Большую неправдудля математики трудно придумать и сегодня! Хотя к пифа-горовым штанам претензий нет…Скроены на века» («Диск-ретная математика без формул»).

Рис. 4. Индивидуальная достав-ка голоса певца слушателям

О двух классахтреугольников,

или Откудаберутся задачи

А.ЗАСЛАВСКИЙ

Когда б вы знали, из какого сораРастут стихи, не ведая стыда…

А.Ахматова

МАТЕМАТИКОВ ЧАСТО СПРАШИВАЮТ, ОТКУДА БЕ-рутся задачи. Возможно, эта статья даст частич-

ный ответ на этот вопрос. Для начала мы рассмотримнесколько задач, предлагавшихся в разные годы на

олимпиадах, затем исследуем некоторые свойства тре-угольников, о которых идет речь в этих задачах, и врезультате придумаем еще две задачи, одна из которых– это задача М2405 (см. «Задачник «Кванта» №5–6 за2015 г.).

Задача 1. Две окружности радиуса 1 пересекаются вточках P, Q, расстояние между которыми также равно1. Из точки C одной окружности проведены касатель-ные CX, CY к другой (X, Y – точки касания). ПрямаяCX вторично пересекает первую окружность в точке A.Найдите расстояние AY.

Эта задача предлагалась на Первой олимпиаде погеометрии имени И.Ф.Шарыгина и не была решена ниодним из участников. Хотя, если знать историю ее воз-никновения, она совсем несложная. Дело в том, что впроцессе подготовки олимпиады у одного из членовжюри возник вопрос: существуют ли треугольники, укоторых радиус описанной окружности равен радиусуодной из вневписанных? Разумеется, сам по себе этотвопрос большого интереса не представляет, так как по-ложительный ответ на него более-менее очевиден, но онестественным образом влечет другой вопрос о свойствахтаких треугольников. И прежде всего, хочется выяс-

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 336

нить, как такие треугольники строить. Ответ дает хоро-шо известная формула Эйлера, точнее, ее модификациядля вневписанных окружностей.

Упражнения

1. Докажите, что, если O, I – центры описанной ивписанной окружностей треугольника, а R, r – их ради-усы, то 2 2 2OI R Rr= − .

2. Докажите, что если O, I′ – центры описанной ивневписанной окружностей треугольника, а R, r′ – ихрадиусы, то 2 2 2OI R Rr′ ′= − .

(Доказательства формул из упражнений 1, 2 можнонайти, например, в статье «Эйлер и геометрия» в «Кван-те» №3 за 2007 г.)

3 (Л.Емельянов, Т.Емельянова). Окружности ω и 1ωпересекаются в точках P и Q. Докажите, что эти окруж-ности являются соответственно описанной и вневписан-ной окружностями некоторого треугольника тогда и толь-ко тогда, когда касательная к 1ω в точке P и одна изобщих касательных к окружностям пересекаются на ω .

Теперь нетрудно понять, откуда взялась задача 1. Еслирадиусы описанной и вневписанной окружностей треу-гольника равны 1, то по формуле Эйлера расстояниемежду их центрами равно 3 , а тогда легко видеть, чтообщая хорда этих окружностей тоже равна 1. Отсюдаполучаем решение.

Решение. Пусть O – центр окружности, на которойлежит точка C, O′ – центр другой окружности. Так как

3OO′ = , прямая AB касается второй окружности внекоторой точке C′ (рис.1). Следовательно,

AO Y AO C C O Y′ ′ ′ ′ ′∠ = ∠ + ∠ =

= 1 12 2

XO C C O Y CAB ABC′ ′ ′ ′∠ + ∠ = ∠ + ∠ .

Далее,

2 2O AO BAO OAB C O A BCA

π π′ ′ ′ ′∠ = ∠ + ∠ = − ∠ + − ∠ =

= 1 12 2

BCA CAB CAB ABCπ − ∠ − ∠ = ∠ + ∠ .

Получаем, что углы AO Y′ и O AO′ равны. Так какYO OA′ = , то AO YO′ – равнобокая трапеция, поэтому

3AY OO′= = .Изучим подробнее свойства треугольников с равными

описанной и вневписанной окружностями. Будем счи-тать, что описанная окружность треугольника ABC равнаего вневписанной окружности, касающейся стороны AB.Воспользуемся следующей формулой, верной для любоготреугольника.

Упражнение 4. Докажите, что радиус вневписанной

окружности 4 cos cos sin2 2 2cA B C

r R∠ ∠ ∠

= .

Из упражнения 3 следует, что в наших треугольниках1

cos cos sin2 2 2 4A B C∠ ∠ ∠

= . Используя формулы преобра-

зования произведений тригонометрических функций всуммы, этому равенству можно придать более изящныйвид.

Упражнение 5. Докажите эквивалентность равенств1

cos cos sin2 2 2 4A B C∠ ∠ ∠

= и cos cos cosC A B∠ = ∠ + ∠ .

Последнему равенству нетрудно придать геометричес-кий смысл. Так как расстояния от центра O описаннойокружности остроугольного треугольника до его сторонравны cosR A∠ , cosR B∠ , cosR C∠ (для тупоугольногоэто тоже верно, если расстояния считать ориентированны-ми), то расстояние от O до прямой AB равно суммерасстояний до двух прямых AC и BC. Легко назвать ещедве точки, обладающие этим свойством, – это основаниябиссектрис aAL , bBL треугольника (подробнее о прямой

a bL L можно прочитать в статье Г.Филипповского иА.Карлюченко «Лемма биссектрального треугольника» в«Кванте» №2 за 2016 г.). Отсюда сразу получаем, что Oлежит на прямой a bL L .

Пусть теперь aAH , bBH , cCH – высоты треугольника.Рассмотрев подобие (композицию симметрии относитель-но биссектрисы угла C и гомотетии с центром C икоэффициентом cos C∠ ), переводящее треугольник ABCв a bH H C , получим, что прямая a bH H делит биссектрисуиз вершины C в отношении cos C∠ :(1 – cos C∠ ), считаяот вершины. С другой стороны, используя теорему обиссектрисе, несложно получить (сделайте это!), чтоцентр I вписанной окружности делит биссектрису вотношении ( ) :a b c+ , считая от вершины (здесь и далееa = BC, b = CA, c = AB – длины сторон треугольника).Нетрудно видеть (для проверки «в лоб» можно использо-вать теорему косинусов), что равенство cos cosC A∠ = ∠ +

cos B+ ∠ равносильно равенству этих отношений, т.е.тому, что I лежит на a bH H .

Наконец, заметим, что биссектриса угла C являетсятакже биссектрисой угла cOCH (докажите это). Значит,она пересекает отрезок cOH в точке I′ , делящей его вотношении : cR h , где c ch CH= . Отсюда расстояние от I′до AB равно

cos cosс с

c с

I H hR C R C

OH h R

′∠ ⋅ = ∠ ⋅

+ .

Поскольку расстояние от H до стороны BC равноcosch B∠ , расстояние от I′ до BC равно

cos cosсc

c c

I H I OR A h B

OH OH

′ ′∠ ⋅ + ∠ ⋅ =

= cos cosсс

с с

h RR A h B

h R h R∠ ⋅ + ∠ ⋅ =

+ +

= ( )cos cos с

с

hR A B

h R∠ + ∠ ⋅

+.

Получаем, что cos cos cosC A B∠ = ∠ + ∠ тогда и толькотогда, когда I′ равноудалена от сторон AB и CB, т.е.совпадает с I.

Рис. 1

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 37

Мы связали условие cR r= равенства описанной ивневписанной окружностей с другими интересными свой-ствами треугольника. Сведем все полученные результатыв одно утверждение.

Утверждение 1. Для неравнобедренного треугольникаABC следующие условия равносильны (внимательнопроследив за рассуждениями выше, убедитесь в равно-сильности условий!) (рис.2):

• cR r= ;• cos cos cosC A B∠ = ∠ + ∠ ;• O лежит на прямой a bL L ;• I лежит на прямой a bH H ;• прямая OI проходит через cH .Рассмотренные треугольники обладают еще многими

интересными свойствами, но не будем лишать читателейудовольствия обнаружить их самостоятельно. Также оних можно прочитать в материалах XXVII Летней конфе-ренции Турнира городов (http://www.turgor.ru/lktg/2015/3/index.htm).

А мы перейдем к изучению другого класса треугольни-ков. Начнем со следующей задачи.

Задача 2 (Ф.Ивлев, IX Олимпиада имени И.Ф.Шары-гина). Пусть bT и cT – точки касания вписаннойокружности треугольника ABC со сторонами AC и ABсоответственно, а K – точка касания вневписаннойокружности треугольника, вписанной в угол A, с продол-жением стороны AC (рис.3). Докажите, что ортоцентр

H треугольника ABC лежит на прямой b cT T тогда итолько тогда, когда cKT AB⊥ .

Решение. В отличие от задачи 1, эта задача решаетсясравнительно просто. Действительно, пусть cKT BA⊥ .Тогда по теореме Фалеса высота, проведенная из C, делитотрезок b cT T в отношении ( ) ( ): :bT C CK p c p b= − − , гдеp – полупериметр. Аналогичная выкладка показывает,что через ту же точку проходит и высота, опущенная извершины B.

Обратное утверждение предлагаем читателям доказатьсамостоятельно.

Задача 3 (И.Яковлев, XI Олимпиада имени И.Ф.Ша-рыгина). В остроугольном неравнобедренном треуголь-нике ABC проведены высоты aAH , bBH , cCH и отме-чены точки aS , bS , cS , в которых вневписанныеокружности касаются сторон BC, CA, AB соответ-ственно. Прямая b cH H касается вписанной окружнос-ти треугольника. Докажите, что точка aH лежит наокружности a b cS S S .

Решение. Пусть вписанная окружность ω касается сто-рон AB, BC, CA в точках cT , aT , bT соответственно, авневписанная окружность aω касается прямой AB в точкеM (рис.4). Подобие с коэффициентом cos A∠ , переводя-

щее треугольник ABC в c cAH H , переводит окружность

aω в ω . Значит, bAT : cosAM A= ∠ , т.е. bMT AC⊥ , и

bMT проходит через I. (Можно уже понять, что в задачах2 и 3 речь идет об одном и том же классе треугольников!Заметить это можно и по-другому, с использованиемизвестного свойства описанного четырехугольника: пря-мая, соединяющая точки касания противоположных сто-рон с вписанной окружностью, – в нашем случае это b cT T– проходит через точку пересечения диагоналей.) Теперьв прямоугольном треугольнике cMT I имеем cMIT A∠ = ∠и c c a a aMT MB BT MB BT BS CS BC a= + = + = + = = ,откуда MI = a : sin 2A R∠ = . Значит, cos сA IT IM∠ = == r : ( )2R . Из подобия b cABC AH H∆ ∆∼ с коэффициен-том cos A∠ получаем, что AH (диаметр окружности,описанной около b cAH H ) равен r.

При гомотетии с центром aS и коэффициентом 1/2точка I переходит в точку, лежащую по одну сторону с Iот стороны BC, проецирующуюся в середину aM этойстороны и удаленную от нее на 2 2r AH= (здесь исполь-зуем известное равенство 2 aAH OM= , верное для любо-го треугольника); такая точка одна, и это O. Значит, O –середина aS I .

Так как точки cT и cS симметричны относительносередины AB, то перпендикуляр к AB, проведенный через

cS , симметричен прямой cIT относительно O, значит, онпроходит через точку, симметричную точке I относитель-но O, т.е. через aS . Тем самым, 90a c a aS S A AH S∠ = ° = ∠ .Аналогично, 90a bS S A∠ = ° . Это значит, что все пятьточек A, aS , bS , cS , aH лежат на окружности сдиаметром aAH .

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 2

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 338

Заметим, что в процессе решения из подобия ABC∆ ∼

b cAH H∆∼ мы получили равенства 2 cosr AH R A= = ∠и cosar r A= ∠ , т.е. радиус вневписанной окружности,касающейся стороны BC, вдвое больше радиуса описан-ной окружности. Применив формулу Эйлера, получаем,что расстояние между центрами этих окружностей равно

5R , а значит, они пересекаются под прямым углом.Кроме того, по утверждению упражнения 4 мы имеем

равенство 1

cos cos sin2 2 2 2C B A∠ ∠ ∠

= , которое после пре-

образований приводится к виду cos cosB C∠ + ∠ =cos 1A= ∠ + .Также заметим, что четырехугольник c bBH H C описан

около окружности, а также вписан в окружность с диамет-ром BC. Вспомним известный факт (задача М1154, см.«Задачник «Кванта» №3 за 1989 г.): во вписанно-описан-ном четырехугольнике точки пересечения диагоналей,центры вписанной и описанной окружностей лежат наодной прямой. Таким образом, точки H, I, aM лежат наодной прямой.

Задача 4 (П.Кожевников, Всероссийская олимпиада,2003 г.). В треугольнике ABC через O, I обозначеныцентры описанной и вписанной окружностей соответ-ственно. Вневписанная окружность aω касается про-должений сторон AB и AC в точках K и M соответ-ственно, а стороны BC – в точке aS . Известно, чтосередина P отрезка KM лежит на описанной окружно-сти треугольника ABC. Докажите, что точки O, aS иI лежат на одной прямой.

Решение. Пусть aI – центр окружности aω . Треуголь-ник AKM – равнобедренный, поэтому середина P егооснования KM лежит на биссектрисе угла A, а значит, наотрезке aII . С другой стороны, P – это точка пересеченияотрезка, соединяющего центры вписанной и вневписан-ной окружностей треугольника, с описанной окружнос-тью этого треугольника, т.е. P – середина дуги BC,значит, по теореме о трилистнике aBP IP I P= = (рис.5).

Пусть R – радиус описанной окружности треугольникаABC, ar – радиус окружности aω , 2A∠ = α . Из прямо-угольного треугольника aKPI находим, что

sin sina a a aPI KI PKI r= ∠ = α . С другой стороны,

2 sinaPI PB R= = α , значит, 2ar R= . Заметим, что

a aOP I SP (оба этих отрезка перпендикулярны BC) и

Рис. 5

Рис. 6

2 2a a aOP R r I S= = = . Следовательно, OP – средняялиния треугольника a aS II , т.е. точки O, aS и I лежат наодной прямой.

Соберем все обнаруженные факты в одно утверждение.Утверждение 2. Следующие условия для неравнобед-

ренного треугольника ABC равносильны (опять-такиубедитесь в равносильности!) (рис.6):

• вневписанная окружность aω перпендикулярна опи-санной окружности;

• ar = 2R;• cos cos cosB C A∠ + ∠ = ∠ + 1;• ортоцентр H лежит на прямой b cT T ;• вписанная окружность касается прямой b cH H ;• прямая IH делит сторону BC пополам;• прямая OI проходит через aS ;• точка aH лежит на окружности a b bS S S ;• середина отрезка, соединяющего точки касания aω

с прямыми AB и AC, лежит на описанной окружности.В заключение исследуем пересечение рассмотренных

классов треугольников. Очевидно, что из равенств cos C∠ =cos cosA B= ∠ + ∠ и cos cos cos 1B C A∠ + ∠ = ∠ + следует

cos cos cos 1 2B C A∠ = ∠ − ∠ = , что позволяет найти углытреугольника. Оформим этот результат в виде задачи.

Задача 5. Одна из вневписанных окружностей треу-гольника равна описанной, а другая пересекает ее подпрямым углом. Найдите угол между соответствующи-ми сторонами треугольника.

Ответ: 60° . (Два других угла равны 1

60 arcsin2 3

° ± .)

Используя утверждения 1 и 2, можно эту же задачусформулировать по-другому.

Задача 6 (М2405). Прямая, соединяющая центрыописанной и вписанной окружностей треугольника, пе-ресекает одну из его сторон в основании высоты, адругую – в точке ее касания с соответствующей вневпи-санной окружностью. Найдите угол между этими сто-ронами.

Интересно, можно ли решить эту задачу, не зная,откуда она взялась?..

Автор благодарен П.Кожевникову и Л.Емельянову зазамечания и дополнения.

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К 39

Еще однодоказательство

теоремы обизогональномсопряжении

В.ДУБРОВСКИЙ

ВДОПОЛНЕНИЕ К СТАТЬЕ П.КОЖЕВНИКОВА «ИЗОГО-нально сопряженные точки» («Квант» №1 за 2016 г.)

приведем еще одно замечательное доказательство теоре-мы об изогональном сопряжении. Это доказательство непохоже ни на одно из приведенных в статье – оноиспользует композицию преобразований плоскости (по-этому это доказательство можно назвать «теоретико-групповым»).

Для доказательства нам понадобится лемма.Лемма. Если среди трех прямых l, m, n есть пересека-

ющиеся, то все они пересекаются в одной точке тогдаи только тогда, когда композиция трех симметрийотносительно этих прямых имеет хотя бы одну непод-вижную точку.

Доказательство. Одна часть утверждения очевидна:если прямые имеют общую точку, то эта точка неподвиж-на относительно всех трех симметрий.

Докажем обратное утверждение. В дальнейшем усло-вимся обозначать симметрию относительно прямой p тойже буквой p. Пусть композиция симметрий n m lo o имеетнеподвижную точку A (напомним, что преобразования вкомпозиции выполняются справа налево – симметрияотносительно l первой, относительно n – последней).Среди осей этих симметрий есть пересекающиеся, поэто-му ось m пересекается или с l, или с n. Допустим сначала,что m пересекается с l в некоторой точке O. Обозначимчерез L и M образы точки A при последовательныхсимметриях относительно l и m: ( )L l A= , ( )M m L= ,тогда ( )n M A= (рис.1). Поскольку точки A и M равно-удалены от точки O, ось n должна проходить через O.

Если изначально известно, что пересекаются прямые mи n, то рассмотрим композицию l m no o . Это преобразо-

вание является обратным к n m lo o (проверьте!) и пото-му тоже имеет неподвижную точку, а отсюда, как и впервом случае, следует, что все три прямые имеют общуюточку. Лемма доказана.

Обратимся к теореме.Теорема. Пусть дан треугольник ABC и точка P.

Через a, b, c обозначим прямые BC, CA, AB, через

1 1 1, ,a b c – прямые AP, BP, CP и через 2 2 2, ,a b c – прямые,симметричные прямым 1 1 1, ,a b c относительно соответ-ствующих биссектрис (рис.2). Теорема утверждает,

что прямые 2 2 2, ,a b c пересекаются в одной точке илипараллельны. (Совпадающие прямые мы считаем парал-лельными.)

Доказательство. Допустим, что среди прямых 2 2 2, ,a b cесть пересекающиеся (в противном случае доказыватьнечего). Тогда, в силу леммы, достаточно доказать, чтокомпозиция 2 2 2a b co o имеет неподвижную точку.

По условию, ( ) ( )1 2, ,b a a c∠ = ∠ (см. рис. 2). Компози-ция двух симметрий с пересекающимися осями – этоповорот вокруг точки пересе-чения осей на удвоенный уголмежду осями (рис.3). Поэто-му композиции симметрий

1b ao и 2a co – одно и то жепреобразование (поворот наугол величиной ( )12 ,a b∠ =

( )22 ,c a= ∠ вокруг A). Ана-логично доказываются ра-венства 1 2c b b a=o o и

1 2a c c b=o . Пользуясь этими равенствами и полагая

1 1 1 1f a b c= o o , 2 2 2 2f a b c= o o , получим

1 1 1 2 1 1b f b b a c b a c b c b= = =o o o o o o o o o

= 2 2 1 2 2 2a b a c b a b c b b= =o o o o o o o o 2 2 2 2a b c f=o o ,

откуда ( )( ) ( )( ) ( )2 1f b P b f P b P= =o , так как ( )1f P P= .Следовательно, 2f оставляет на месте точку ( )b P , что итребовалось доказать.

Использованную нами лемму можно уточнить.

Упражнение. Докажите, что если композиция f трех осевыхсимметрий имеет хотя бы одну неподвижную точку, то онаявляется осевой симметрией (и, тем самым, имеет бесконечномного неподвижных точек), причем это условие выполняетсятогда и только тогда, когда оси симметрий проходят через однуточку или попарно параллельны (в частности, совпадают). Востальных случаях f является скользящей симметрией, т.е.композицией осевой симметрии и параллельного переноса наненулевой вектор, параллельный ее оси.Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Уравнения связейв механике

К.РЫБ

ТРАДИЦИОННЫЙ ПОДХОД К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ МЕ-ханики предполагает использование формул кинема-

тики, уравнений динамики, законов сохранения. Приэтом возможны ситуации, когда эти уравнения составля-ют систему, не дающую однозначного решения проблемы.Нужны дополнительные уравнения, учитывающие огра-ничения и связи, налагаемые на движение. Ограничениямогут быть связаны с жесткостью тела, нерастяжимостьюнити, движением по поверхности, наличием особых точектраектории. Выразить эти ограничения специальным урав-нением, которое называют уравнением связи, – задача,требующая дополнительного внимания и опыта. Такиеуравнения конкретизируют ситуацию и позволяют полу-чить однозначный ответ.

Рассмотрим конкретные задачи, решение которых тре-бует составления уравнений связей.

Задача 1. Стержень длиной l одним концом опираетсяо вертикальную стену, а другим – о горизонтальную

поверхность пола (рис.1).Нижний конец стержня дви-жется горизонтально со ско-ростью 0v . Для момента,когда стержень образует сгоризонтом угол α , найди-те точку стержня, движу-щуюся относительно пола сминимальной скоростью.Чему равна эта скорость?

Решение. Стержень жест-кий, значит, расстояние меж-

ду его концами неизменно. Проекции скоростей концовстержня на направление стержня разными быть не могут(условие жесткости), поэтому

cos sinA Bv vα = α .

Движение стержня можно представить суммой поступа-тельного движения и вращательного движения относи-тельно мгновенного центра вращения, который удален отконца А стержня на расстояние х. Тогда для проекцийскоростей концов стержня на направление, перпендику-лярное стержню, можно записать

sinA Cv xα = ω , ( )cosB Cv l xα = ω − ,

где Cx – удаленность мгновенного центра вращения С отконца А, ω – угловая скорость вращения стержня.Причем этот центр будет иметь только скорость поступа-тельного движения, равную

cosx Av v= α .

И эта скорость будет минимальной.

Из записанных уравнений следует

tgA C

B C

v x

v l xα =

−, откуда 2sinCx l= α .

Скорость этой точки С минимальна и равна

min 0 cosv v= α .

Задача 2. По гладкому горизонтальному столу свобод-но скользит однородная прямая палочка длиной l. Внекоторый момент скорость ее конца А равна Av иобразует прямой угол с палочкой, а скорость конца Вравна 2 Av . За какое время палочка сделает полныйоборот? На сколько сместится ее центр при этом?

Решение. Скорость точки В также перпендикулярнапалочке (условие жесткости стержня), но для нее возмож-ны два направления. Представим движение палочкисуперпозицией поступательного движения ее центра С ивращательного движения относительно этого центра ирассмотрим оба случая.

1) Пусть скорости точек А и В сонаправлены. Тогдаполучаем

2A Cl

v v= − ω ,

2B Cl

v v= + ω ,

2B Av v= .

Отсюда находим угловую скорость вращения палочки:Av

lω = и время полного оборота:

2 2

A

lT

v

π π= =

ω.

Смещение центра палочки за это время равно

3C Cs v T l= = π .

2) Пусть теперь направления скоростей концов палочкипротивоположны. В этом случае для соотношения скоро-стей можно записать

2A Cl

v v= − ω ,

2B Cl

v v= + ω ,

2B Av v= − .

Отсюда для угловой скорости, периода вращения и сме-щения центра палочки получим

3 Av

lω = − ,

23 A

lT

v

π= и

3Cl

sπ

= .

Задача 3. Гантелька длиной l стоит в углу, образован-ном гладкими плоскостями. При малом смещении ниж-него шарика A гантелька начинает двигаться. Найдитескорость нижнего шарика в тот момент, когда верхнийшарик В оторвется от вертикальной плоскости.

Решение. Скорости шариков гантельки связаны усло-вием ее жесткости: проекции их скоростей на направлениеl разными быть не могут. Пусть α – угол, образованныйосью l с вертикалью. Тогда

cos sinB Av vα = α .

При скольжении гантельки ее центр масс понижается, иубыль потенциальной энергии идет на прирост кинетичес-

Рис. 1

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 41

кой энергии шариков, поскольку стенки гладкие:

( )2 2

1 cos2 2

B Amv mvmgl+ = − α .

Сила реакции вертикальной стенки увеличивает скоростьнижнего шарика до момента отрыва, когда эта силастановится равной нулю. Таким образом, в момент отрыва

Av максимальна. Из энергетического соотношения полу-чаем

( )2 2 2 1 cosB Av v gl+ = − α ,

или, с учетом условия жесткости,

( )2 2 32 cos cosAv gl= α − α .

Экстремальное значение выражения в скобках определя-ет максимум скорости Av , т.е. скорость в момент отрыва.Приравнивая производную этого выражения к нулю,

находим отр2

cos3

α = . Тогда

max2 23 3Av gl= .

Задача 4. Жесткие стержни длиной 1L и 2L соедине-ны шарнирно в точке А (рис.2). Их свободные концы Ви С разъезжаются со скоростями 1v и 2v , направленны-

ми вдоль одной прямой. Найдите ускорение точки А втот момент, когда стержни образуют прямой угол.Движение стержней происходит в одной плоскости.

Решение. Перейдем в систему отчета, связанную сточкой В. В этой системе скорость точки С равна 1 2v v+ ,а ее проекция на направление стержня длиной 2L состав-

ляет ( )1 2 cosv v+ α , где 2

2 21 2

cosL

L Lα =

+. Из условия

жесткости стержня проекции скоростей точек B и C нанаправление стержня 2L одинаковы. Тогда составляю-щая ускорения точки А вдоль направления 1L , т.е. еецентростремительное ускорение, будет

( )2 21 2

11

cosv va

L

+ α= .

Перейдем теперь в систему отчета, связанную с точкойС. В этой системе проекции скоростей точек В и А нанаправление стержня 1L равны ( )1 2 sinv v+ α , так как уголВАС по условию прямой. Это определит вторую состав-ляющую ускорения точки А – вдоль направления 2L :

( )2 21 2

22

sinv va

L

+ α= .

Составляющие ускорения во всех инерциальных систе-мах отсчета одинаковы и взаимно перпендикулярны.

Поэтому модуль искомого полного ускорения равен

( )4 4

22 20 1 2 1 2 2 2

1 2

cos sina a a v v

L L

α α= + = + + .

С учетом выражений для тригонометрических функцийокончательно получим

( )( )

2 6 61 2 1 2

0 2 21 2 1 2

v v L La

L L LL

+ +=

+.

Задача 5. Шток А выдавливает клин В под действиемсобственного веса (рис.3). Соприкасающиеся поверхно-сти гладкие. Клин образует с горизонтальной поверхно-стью угол α , а отношение его массы к массе штокаравно η . Найдите ускорения штока и клина.

Решение. Шток иклин взаимодейству-ют с силами, равны-ми по модулю и про-тивоположными пон а п р а в л е н и ю :

A BN N= −uur uur

. Причемобе эти силы перпен-дикулярны соответ-ствующей поверхно-сти клина.

Запишем уравнения динамики для штока в проекцияхна вертикальную ось и для клина в проекциях на горизон-тальную ось:

cos ,

sin ,A A A A

B B B

m g N m a

N m a

− α =α =

или

( ),

cos

.sin

A AA

B BB

m g aN

m aN

−=

α

=α

Учитывая равенство модулей сил взаимодействия, а так-же соотношение масс, получим

tgB

A

a

g a

η= α

−.

Соотношение между перемещениями штока и клинаопределяет связь между их ускорениями:

tgA A

B B

s a

s a= = α .

Последние два равенства образует систему с искомыминеизвестными. Из нее получим

2

2

tg

tgAa g

α=

α + η, 2

tg

tgBa g

α=

α + η.

Задача 6. Стержень, шарнирно закрепленный в точкеО на горизонтальной плоскости, лежит на цилиндре(рис.4). В результате прокатывания цилиндра по плос-кости без проскальзывания стержень поворачивается сугловой скоростью стω . Найдите зависимость угловой

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

42 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

скорости цилиндра 0ω от угла α между стержнем иплоскостью.

Решение. Соединим ось цилиндра С с шарниром О.Пусть ОС = L. Отметим, что

sin2

R

L

α= ,

где R – радиус цилиндра. Угловая скорость стержня ОАв два раза больше угловой скорости радиуса-вектора OC

uuuur:

cтp 2

ωω = .

При отсутствии проскальзывания цилиндра по плоскостилинейная скорость его оси равна 0 0v R= ω . Проекциялинейной скорости оси на направление, перпендикуляр-ное стержню, и линейная скорость конца радиуса-вектораодинаковы. Отсюда получаем уравнение связи:

ст 01

sin2 2

L vα

ω = , или ст 01

sin2 2sin

2

RR

αω = ωα .

Это и дает искомую зависимость:ст

022sin

2

ωω = α .

Задача 7. Беспечный заяц бежал по тропинке с посто-янной по величине и направлению скоростью v

r. Лиса

сидела в засаде, сбоку от тропинки. Когда заяц оказалсяна ближайшем от лисы расстоянии L, она пустилась впогоню со скоростью u (u > v), держа курс все время назайца (рис.5). За какое время лиса догонит зайца?

Решение. Пусть в некоторый момент времени лисаокажется в точке iB , а заяц – в точке iA . Через малыйпромежуток времени t∆ дистанция «лиса–заяц» сокра-тится на ( )cos id u v t∆ = − α ∆ , а проекция перемещениялисы на направление оси х, т.е. вдоль тропинки, будетравна cos ix u t∆ = α ⋅ ∆ . При суммировании по всемувремени движения учтем, что общее сокращение дистан-ции «лиса–заяц» равно i

i

d L∆ =∑ , а сумма проекций

перемещения на ось x равна дистанции, которую пробе-жал заяц за все время преследования 0τ . Тогда присуммировании получим

0 cos i ii

L u v t= τ − α ⋅ ∆∑ ,

0cos i ii

u t vα ⋅ ∆ = τ∑ .

Отсюда находим искомое время:

0 2 2

Lu

u vτ =

−.

Задача 8. На наклонной плоскости, составляющейугол 30α = ° с горизонтом, покоится монета. Коэффи-

циент трения монеты о плоскость 3 3µ = . Монетесообщили начальную скорость 0v так, что векторначальной скорости параллелен наклонной плоскости инаклонен под углом 30β = ° вниз от горизонтали (рис.6).

Спустя достаточно большое время монета приобреласкорость v = 3 см/с. Найдите начальную скорость 0v .

Решение. Рассмотрим силы, действующие на монету.Сила тяжести и сила реакции опоры в сумме дают«скатывающую» силу, направленную вниз по наклоннойплоскости и равную ск sinF mg= α . Сила трения направ-лена против скорости, равна тр cosF mg= µ α и образуетугол ϕ с горизонталью, причем ϕ меняется от 30β = o до90° . Для установившегося движения эти силы противо-положны и компенсируют друг друга. В самом деле, если

ск трF F F= = , или sin cosmg mgα = µ α , то tgµ = α – чтосоответствует условию.

Пусть в произвольный момент мгновенная скоростьобразует угол ϕ с горизонтом. Направим координатнуюось х по направлению мгновенной скорости, а ось y – понаправлению скатывающей силы и определим проекцииускорений на эти оси, учитывая, что силы равны помодулю:

( )1 cosx

Fa

m

− − ϕ= ,

( )1 cosy

Fa

m

− ϕ= , y xa a= − .

Проекции ускорения для каждого момента времени оди-наковы по значению, т.е. разгоняющее ускорение вдольоси y равно тормозящему ускорению вдоль оси х длялюбого момента времени. Это и есть уравнение связи.Тогда для конечного временнуго отрезка одинаковымибудут и общие изменения проекций скоростей yv∆ и

xv−∆ :

0 cosyv v v∆ = − β , 0xv v v−∆ = − , 0 0cosv v v v− β = − .

Отсюда находим искомую начальную скорость:

02

3,2 см с1 cos

vv = =

+ β.

Задача 9. На гладкий горизонтальный стержень наде-ли две одинаковые шайбы массой M каждая и связали ихлегкой нерастяжимой ни-тью длиной 2L. К середи-не нити привязали грузмассой 2M. Груз отпуска-ют, и система без рывкаприходит в движение(рис.7). Каково макси-мальное значение скорос-тей шайб и груза в про-цессе движения? Вначаленить не провисала.

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

П Р А К Т И К У М А Б И Т У Р И Е Н Т А 43

Решение. Шайбы массой M движутся горизонтально смгновенным ускорением гa , а груз массой 2M движетсявертикально с ускорением вa . Нить нерастяжима, поэто-му проекции ускорений шайбы и груза на направлениенити одинаковы: г вcos sina aα = α . Тогда для проекцийскоростей выполняется равенство г в tgv v= α . Из уравне-ний динамики для шайбы и груза:

гcosT Maα = ,

в2 2 sin 2Mg T Ma− α = ,

где Т – сила натяжения нити, получим

в г tga g a= − α .

Пусть груз сместился по вертикали на x∆ . По законусохранения энергии,

2 2г в2

2 22 2

Mv MvMg x+ = ∆ .

Отсюда, с учетом связи между скоростями, получаем

2 2в 2 cosv g x= α ⋅ ∆ , 2

г 2

11 2

tgv g x

+ = ∆

α .

При x L∆ = vг max 2gL= , следовательно, скоростьгруза в нижнем положении равна нулю: в 0v = .

Для нахождения максимума скорости груза вv восполь-зуемся тем, что sinx L∆ = α . Тогда 2 2

в 2 cos sinv gL= α α .Чтобы найти экстремум этой функции, продифференци-руем ее и производную приравниваем к нулю:

( )2 2 3cos sin 2cos sin cos 0′α α = − α α + α = .

Отсюда получаем

2экс

1tg

2α = , экс

1sin

3α = , экс

2cos

3α = ,

вmax4

3 3v gL= , гmax

2

3 3v gL= .

Задача 10. Из точки, находящейся над вершинойполусферы радиусом R, бросают горизонтально шарик

(рис.8). Какую минималь-ную скорость он можетиметь при приземлении?

Решение. Траекторияшарика – это ветвь пара-болы, которая может иметьс полусферой одну точкукасания А. Радиус, прове-денный в точку касания,

образует с вертикалью угол ϕ . Для последующего анали-за искомой скорости попробуем выразить ее функциейодной переменной, например угла ϕ .

Пусть скорость в точке касания Av , а время движенияот вершины до этой точки 1τ . Для горизонтальной осипроекция скорости неизменна, а по вертикали она меня-ется с ускорением g. Тогда

1

1

sin cos ,

sin ,A

A

R v

v g

ϕ = ϕ ⋅ τϕ = τ

откуда находим

1sincosA

R

v

ϕτ =

ϕ , 2

cosAgR

v =ϕ .

Рис. 8

Для двух состояний шарика запишем закон сохранениямеханической энергии:

2 2

cos2 2

B Amv mvmgR= + ϕ .

С учетом выражения для 2Av получим

2 12 cos

2cosBv gR

= ϕ + ϕ .

Мы выразили искомую скорость как функцию однойпеременной ϕ . Это и есть уравнение связи, отвечающееусловиям задачи. Экстремальное значение выражения вскобках определит искомую минимальную скорость. Наоснове неравенства Буняковского–Коши,

1 coscos 2

2cos 2cosϕ

ϕ + ≥ϕ ϕ

,

причем равенство определяет минимальное значение:

min

1cos 2

2cos

ϕ + = ϕ

.

Тогда минимальная скорость тела при приземлении равна

min 2 2Bv gR= .

Упражнения

1. Из четырех одинаковых тонких стержней длиной L каждойсделали ромб, скрепив шарнирно их концы. Шарнир А закреп-лен, а противоположныйшарнир С двигают вдольдиагонали ромба с постоян-ным ускорением a (рис.9).Вначале вершины А и С рас-полагаются близко друг кдругу, а скорость точки Сравна нулю. Какое ускоре-ние будет иметь шарнир В втот момент, когда стержни АВ и ВС составят угол 2α ? Считатьдвижение всех точек плоским.

2. На два катка разного радиуса положили тяжелую плиту.Она образует угол α с горизонтом. Найдите ускорение этойплиты. Проскальзывания нет. Массой катков пренебречь.

3. Бревно, упираясь нижним своим концом в угол междустеной и землей, касается края кузова грузовика на высоте Н отземли. Грузовик отъезжает отстены со скоростью v, и бревнопроскальзывает относительнокрая кузова. Как при этом ме-няется угловая скорость бревнав зависимости от угла междуним и горизонталью?

4. Цилиндр с намотанной нанего нитью, второй конец кото-рой закреплен, скатывается сгладкой наклонной плоскости,образующей угол α с горизон-том (рис.10). Зная, что в мо-мент, когда нить вертикальна,угловая скорость вращения ци-линдра равна ω , найдите: а) скорость движения его оси; б)скорость точки его касания с наклонной плоскостью. Радиусцилиндра R.

Рис. 9

Рис. 10

О Л И М П И А Д Ы

XXXVII Турнир городовЗАДАЧИ ВЕСЕННЕГО ТУРА

БАЗОВЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

1 (3)1. По кругу стоят мальчики и девочки (есть и те, идругие), всего 20 детей. Известно, что у каждого мальчикасосед по часовой стрелке – ребенок в синей футболке, а укаждой девочки сосед против часовой стрелки – ребенок вкрасной футболке. Можно ли однозначно установить, сколь-ко в круге мальчиков?

Е.Бакаев

2 (4). В остроугольном треугольнике ABC угол C равен60° . Пусть H – точка пересечения высот этого треугольника.Окружность с центром H и радиусом HC второй раз пересе-кает прямые CA и CB в точках M и N соответственно.Докажите, что AN и BM параллельны (или совпадают).

Е.Бакаев

3 (5). Существуют ли 2016 целых чисел, сумма и произве-дение которых равны 2016?

Фольклор, предложил М.Евдокимов

4 (5). В квадрате 10 10× все клетки левого верхнегоквадрата 5 5× закрашены черным цветом, а остальныеклетки – белым. На какое наибольшее количество много-угольников можно разрезать (по границам клеток) этотквадрат так, чтобы в каждом многоугольнике черных клетокбыло в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники необязаны быть равными или даже равновеликими.)

Е.Бакаев

5 (5). На листе бумаги синим карандашом нарисовалитреугольник, а затем провели в нем красным карандашоммедиану, биссектрису и высоту (возможно, не все из разныхвершин), лежащие внутри треугольника. Получили разбие-ние треугольника на части. Мог ли среди этих частейоказаться равносторонний треугольник с красными сторона-ми?

М.Евдокимов

10–11 классы

1 (4). Точку внутри выпуклого четырехугольника соеди-нили со всеми вершинами и с четырьмя точками на сторонах(по одной на стороне). Четырехугольник оказался разделенна восемь треугольников с одинаковыми радиусами описан-ных окружностей. Докажите, что исходный четырехуголь-ник – вписанный.

Е.Бакаев

2 (4). См. задачу 3 для 8–9 классов.

3 (4). См. задачу 4 для 8–9 классов.

4 (6). См. задачу М2421 «Задачника «Кванта».

5. На каждом из 12 ребер куба отметили его середину.Обязательно ли сфера проходит через все отмеченные точки,если известно, что она проходит:

а) (3) через какие-то 6 из отмеченных точек;б) (3) через какие-то 7 из отмеченных точек?

М.Евдокимов

СЛОЖНЫЙ ВАРИАНТ

8–9 классы

1. На длинной ленте бумаги выписали все числа от 1 домиллиона включительно (в некотором произвольном поряд-ке). Затем ленту разрезали на кусочки по две цифры вкаждом кусочке. Докажите, что в каком бы порядке нивыписывались числа, на кусочках встретятся все двузначныечисла.

А.Толпыго

2. Существуют ли такие целые числа a и b, что:a) (2) уравнение 2 0x ax b+ + = не имеет корней, а урав-

нение 2 0x ax bÈ ˘ + + =Î ˚ имеет?

б) (3) уравнение 2 2 0x ax b+ + = не имеет корней, а

уравнение 2 2 0x ax bÈ ˘ + + =Î ˚ имеет?(Знаком [k] обозначается целая часть числа k, т.е. наи-

большее целое число, не превосходящее k.)А.Храбров

3 (6). Дан квадрат со стороной 10. Разрежьте его на 100равных четырехугольников, каждый из которых вписан вокружность диаметра 3 .

И.Богданов

4 (8). Художник-абстракционист взял деревянный куб5 5 5× × , разбил каждую грань на единичные квадраты иокрасил каждый из них в один из трех цветов – черный,белый или красный – так, что нет соседних по сторонеквадратов одного цвета. Какое наименьшее число черныхквадратов могло при этом получиться? (Квадраты, имеющиеобщую сторону, считаются соседними и в случае, если онилежат на одной грани куба, и в случае, если они лежат наразных гранях куба.)

М.Евдокимов

5 (8). Пусть p – простое число, большее 10k . Взяли число,делящееся на p, и вставили между какими-то двумя егососедними цифрами k-значное число A. Получили число,делящееся на p. В него вставили k-значное число B – междудвумя соседними цифрами числа A, – и результат сноваоказался делящимся на p. Докажите, что число B получаетсяиз числа A перестановкой цифр.

И.Богданов

6 (9). Робот-пылесос, имеющий форму круга, проехал поплоскому полу. Для каждой точки граничной окружностиробота можно указать прямую, на которой эта точка остава-лась в течение всего времени движения. Обязательно ли ицентр робота оставался на некоторой прямой в течение всеговремени движения?

И.Вайнштейн

7. а) (5) Есть 2n + 1 батареек (n > 2). Известно, чтохороших среди них на одну больше, чем плохих, но какиеименно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. Вфонарик вставляются две батарейки, при этом он светит,только если обе – хорошие. За какое наименьшее число таких

1 В скобках после номера задачи указано максимальное числобаллов, присуждавшихся за ее решение. Итог подводится по тремзадачам, по которым достигнуты наилучшие результаты; баллы запункты одной задачи суммируются.

О Л И М П И А Д Ы 45

попыток можно гарантированно добиться, чтобы фонариксветил?

б) (5) Та же задача, но батареек 2n (n > 2), причемхороших и плохих поровну.

А.Шаповалов

10–11 классы

1 (4). См. задачу 1 для 8–9 классов.

2 (5). См. задачу 3 для 8–9 классов.

3 (6). Пусть M – середина основания AC равнобедренноготреугольника ABC. На сторонах AB и BC отмечены соответ-ственно точки E и F так, что AE CFπ и FMC MEF– = – =

α= . Найдите AEM– .М.Прасолов

4 (8). См. задачу М2426 «Задачника «Кванта».

5 (8). На доске написано несколько приведенных много-членов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрица-тельны. (Многочлен называется приведенным, если егостарший коэффициент равен 1.) Разрешается выбрать лю-бые два выписанных многочлена f и g и заменить их налюбые два приведенных многочлена 37-й степени 1f и 1gтакие, что 1 1f g f g+ = + или 1 1fg f g= . Докажите, что послеприменения любого конечного числа таких операций неможет оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37различных положительных корней.

А.Кузнецов

6. Напомним, что палиндром – это слово, которое одина-ково читается слева направо и справа налево.

а) (4) Есть неограниченный набор карточек со словами«abc», «bca», «cab». Из них составляют слово по такомуправилу. В качестве начального слова выбирается любаякарточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся словуможно либо приклеить карточку слева или справа, либоразрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеитькарточку туда. Можно ли так составить палиндром?

(б) (6) Есть неограниченный набор красных карточек сословами «abc», «bca», «cab» и синих карточек со словами«cba», «acb», «bac». Из них по тем же правилам составили

палиндром. Верно ли, что было использовано одинаковоеколичество красных и синих карточек?

А.Грибалко, И.Митрофанов

7. См. задачу М2428, а, б «Задачника «Кванта».

УСТНЫЙ ТУР ДЛЯ 11 КЛАССА

1. На доске написано произведение log log⋅ ⋅○ ○□ … □ ,всего 50 множителей. У Васи есть 100 карточек: 2 , , 51…и 52 ,..., 101 . Вася выкладывает круглые карточки на местакружочков и квадратные – на места квадратиков. Найдитеразность между наибольшим и наименьшим значениями,которые может получить Вася.

Г.Жуков

2. На плоскости зафиксированы луч с вершиной A и точкаP вне прямой, содержащей этот луч. На луче выбираютпеременную точку K, затем на продолжении AK за точку Kотмечают точку N так, что NK = 1, а на прямой PK отмечаютточку M (отличную от K) так, что NM = 1. Докажите, чтовсе прямые NM, полученные таким образом, касаются однойокружности.

Е.Бакаев

3. См. задачу М2422,а «Задачника «Кванта».

4. На сборах теннисистов было 30 мастеров и 30 юниоров.Каждый мастер сыграл с одним мастером и пятнадцатьююниорами, а каждый юниор – с одним юниором и пятнадца-тью мастерами. Докажите, что найдутся такие два мастера идва юниора, что эти мастера сыграли между собой, юниоры– между собой, каждый из двух мастеров – хотя бы с однимиз двух юниоров, а каждый из двух юниоров – хотя бы содним из двух мастеров.

А.Грибалко

5. В выпуклой шестиугольной пирамиде длины одиннад-цати ребер равны 1. Чему может быть равна длина двенад-цатого ребра?

М.Евдокимов

6. См. задачу М2427 «Задачника «Кванта».Публикацию подготовили

С.Дориченко, Л.Медников, А.Семенов

8 класс

1. Можно ли число 1

10 представить в виде произведения

десяти положительных правильных дробей (т.е. выражений

вида p

q, где p и q – натуральные числа и p < q)?

И.Митрофанов

2. За круглым столом сидят 10 человек, каждый из которыхлибо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец,который всегда лжет. Двое из них заявили: «Оба моих соседа– лжецы», а остальные восемь заявили: «Оба моих соседа –рыцари». Сколько рыцарей могло быть среди этих 10 чело-век? (Перечислите все варианты и докажите, что других нет.)

А.Меньщиков

3. На медиане AM треугольника ABC нашлась такая точкаK, что AK = BM. Кроме того, 60ABC∠ = ° . Докажите, чтоAC = BK.

Е.Бакаев

4. Найдите наименьшее натуральное число, кратное 99,в десятичной записи которого участвуют только четныецифры.

Р.Женодаров

5. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE, все стороныкоторого равны между собой. Известно, что угол A равен120° , угол C равен 135° , а угол D равен n° . Найдите всевозможные целые значения n.

Б.Обухов

LXXIX Московская математическаяолимпиада

46 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

6. Четное число орехов разложено на три кучки. За однуоперацию можно переложить половину орехов из кучки счетным числом орехов в любую другую кучку. Докажите,что, как бы орехи ни были разложены изначально, такимиоперациями можно в какой-нибудь кучке собрать ровнополовину всех орехов.

А.Шаповалов

9 класс

1. Сумма трех положительных чисел равна их произведе-нию. Докажите, что хотя бы два из них больше единицы.

Б.Френкин

2. В треугольнике ABC на продолжении медианы CM заточку C отметили точку K так, что AM = CK. Известно, чтоугол BMC равен 60° . Докажите, что AC = BK.

Е.Бакаев

3. Васе задали на дом уравнение 21 1 0x p x q+ + = , где 1p

и 1q – целые числа. Он нашел его корни 2p и 2q и написалновое уравнение 2

22 0x p x q+ + = . Повторив операцию еще

трижды, Вася заметил, что он решал 4 квадратных уравне-ния и каждое имело два различных целых корня (если издвух возможных уравнений два различных корня имелоровно одно, то Вася всегда выбирал его, а если оба – любое).Однако, как ни старался Вася, у него не получилось соста-вить пятое уравнение так, чтобы оно имело два различныхвещественных корня, и Вася сильно расстроился. Какоеуравнение Васе задали на дом?

М.Евдокимов

4. Точка O – центр описанной окружности остроугольноготреугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC,пересекает отрезок BC и прямую AB в точках Q и Pсоответственно. Докажите, что точки B, O и серединыотрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

Е.Бакаев

5. Есть ли 2016-значное число, перестановкой цифр кото-рого можно получить 2016 разных 2016-значных полныхквадратов?

М.Евдокимов

6. В стране лингвистов существует n языков. Там живет mлюдей, каждый из которых знает ровно 3 языка, причем дляразных людей эти наборы различны. Известно, что макси-мальное число людей, любые два из которых могут погово-

рить без посредников, равно k. Оказалось, что 112

mn k≤ ≤ .

Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы mn пар

людей, которые не смогут поговорить без посредников.А.Райгородский

10 класс

1. См. задачу 1 для 8 класса.

2. Внутри выпуклого четырехугольника 1 2 2 1A A B B на-шлась такая точка C, что треугольники 1 2CA A и 1 2CB Bправильные. Точки 1C и 2C симметричны точке C относи-тельно прямых 2 2A B и 1 1A B соответственно. Докажите, чтотреугольники 1 1 1A BC и 2 2 2A B C подобны.

А.Заславский

3. Уравнение с целыми коэффициентами 4 3 2x ax bx+ + +0cx d+ + = имеет 4 положительных корня с учетом кратно-

сти (т.е. сумма кратностей всех положительных корней этогоуравнения равна 4). Найдите наименьшее возможное значе-ние коэффициента b при этих условиях.

М.Евдокимов

4. Бесконечную клетчатую доску раскрасили шахматнымобразом и в каждую белую клетку вписали по отличному отнуля целому числу. После этого для каждой черной клеткипосчитали разность: произведение того, что написано всоседних по горизонтали клетках, минус произведение того,что написано в соседних по вертикали. Могут ли все такиеразности равняться 1?

В.Клепцын

5. В куб с ребром 1 поместили 8 непересекающихся шаров(возможно, разного размера). Может ли сумма диаметровэтих шаров быть больше 4?

М.Евдокимов

6. В однокруговом хоккейном турнире принимало участие2016 команд. По регламенту турнира за победу дается 3 очка,за поражение 0 очков, а в случае ничьей играется дополни-тельное время, победитель которого получает 2 очка, апроигравший – 1 очко. По окончании турнира ОстапуБендеру сообщили количество очков, набранных каждойкомандой, на основании чего он сделал вывод, что не менееN матчей закончились дополнительным временем. Найдитенаибольшее возможное значение N.

Л.Шабанов

11 класс (1-й день)

1. На шахматном турнире для 12 участников каждыйсыграл ровно по одной партии с каждым из остальных. За

выигрыш давали 1 очко, за ничью 1

2, за проигрыш 0. Вася

проиграл только одну партию, но занял последнее место,

набрав меньше всех очков. Петя занял первое место, набравбольше всех очков. На сколько очков Вася отстал от Пети?

А.Галочкин

2. Существует ли такое значение x, что выполняетсяравенство 2 2arcsin arccos 1x x+ = ?

Д.Горяшин

3. Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BCотмечены точки M и N так, что AM = CN и BM = DN, ачетырехугольники AMND и BMNC вписанные. Докажите,что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

М.Васильев

4. В английском клубе вечером собрались n его членов( 3n > ). По традициям клуба каждый принес с собой соктого вида, который он предпочитает, в том количестве,которое он планирует выпить в течение вечера. Согласноправилам клуба, в любой момент любые три его члена могутприсесть за столик и выпить сока (каждый – своего) в любомколичестве, но обязательно все трое поровну. Докажите, что,для того чтобы все члены могли в течение вечера полностьювыпить принесенный с собой сок, необходимо и достаточно,чтобы доля сока, принесенного любым членом клуба, непревосходила одной трети от общего количества.

А.Клячко

5. Можно ли четырьмя плоскостями разрезать куб сребром 1 на части так, чтобы для каждой из частей рассто-

яние между любыми двумя ее точками было: а) меньше 4

5;

б) меньше 4

7? Предполагается, что все плоскости проводят-

ся одновременно, куб и его части не двигаются.

О.Косухин

6. С левого берега реки на правый с помощью одной лодкипереправились N туземцев, каждый раз плавая направовдвоем, а обратно – в одиночку. Изначально каждый знал по

О Л И М П И А Д Ы 47

одному анекдоту, каждый – свой. На берегах они анекдотовне рассказывали, но в лодке каждый рассказывал попутчикувсе известные ему на данный момент анекдоты. Для каждогонатурального k найдите наименьшее возможное значение N,при котором могло случиться так, что в конце каждыйтуземец знал, кроме своего, еще не менее чем k анекдотов.

А.Шаповалов

11 класс (2-й день)

1. Найдите наименьшее натуральное число, десятичнаязапись квадрата которого оканчивается на 2016.

О.Косухин

2. Имеются чашечные весы, которые находятся в равнове-сии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, атакже гири массами ln 3 , ln 4 ,..., ln 79 г. Можно лиразложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весынаходились в равновесии?

И.Сергеев

3. Можно ли отметить k вершин правильного 14-угольникатак, что любой четырехугольник с вершинами в отмеченныхточках, имеющий две параллельные стороны, является пря-моугольником, если:

а) k = 6; б) k > 7?А.Бегунц, С.Гашков

4. За некоторое время мальчик проехал на велосипедецелое число раз по периметру квадратной школы в одномнаправлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч.В это же время по периметру школы прогуливался его папасо скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направлениедвижения. Папа видел мальчика в те и только те моменты,когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папавидеть мальчика больше половины указанного времени?

П.Бородин

5. Про приведенный многочлен ( ) 11 ...n n

nP x x a x −−= + +

1 0... a x a+ + с действительными коэффициентами известно,что при некотором натуральном m > 2 многочлен

раз

( (... ( )...))m

P P P x14243 имеет действительные корни, причем толь-

ко положительные. Обязательно ли сам многочлен ( )P xимеет действительные корни, причем только положитель-ные?

О.Косухин

Публикацию подготовили С.Дориченко, Е.Епифанов

ПЕРВЫЙ ТЕОРЕТИЧЕСКЙ ТУР

7 класс

1. Горизонтальный канал соединяет две судоходные рекиА и Б. Иногда в нем возникает слабое течение, которое можетбыть направлено либо в одну, либо в другую сторону. Отодной реки к другой по каналу курсирует катер, скоростькоторого относительно воды постоянна. Капитан катеразаметил, что за много лет ему никогда не удавалось совер-шить рейс туда и обратно быстрее чем за 1t = 2 ч, а самыйнеудачный рейс длился 2t = 3 ч (время разворота катера иостановок не учитывается). Однажды мотор катера сломал-ся, но из-за стечения обстоятельств рейс от А к Б и обратновсе-таки был выполнен. Какое минимальное время для этогомогло понадобиться катеру? После ремонта катер сталразвивать в два раза большую скорость относительно воды.Как долго теперь может длиться рейс туда и обратно?

М.Замятнин

2. Семья Петровых ехала на машине из города в деревню.Весь путь занял у них 2,5 часа. Известно, что средняяскорость машины за первые 2 часа пути равна 60 км/ч, асредняя скорость за последние 2 часа пути равна 80 км/ч.Отец попросил сына, зная это, вычислить среднюю ско-рость машины на всем пути. Подумав, сын справедливосказал, что для этого недостаточно данных, но можновычислить наименьшее и наибольшее возможные значениясредней скорости, зная, что семья никогда не нарушаетправила дорожного движения, а машина едет только впе-ред. Согласно правилам, скорость машины везде на пути отгорода к деревне не должна превышать 90 км/ч. Найдитенаименьшее и наибольшее возможные значения среднейскорости машины Петровых.

М.Ромашка

3. В тексте одной из задач задачника Григория Остера«Ненаглядное пособие по математике» написано следующее:«В специальный ящик можно уложить 68 куриных яиц. Еслиуминать их ногами, то поместится в 100 раз больше». С точкизрения физики, это может показаться странным. Жидкости(в частности, белок и желток куриных яиц) трудно поддаютсясжатию. Поэтому плотности белка и желтка практическиневозможно изменить, уминая яйца ногами. То же самоесправедливо и в отношении яичной скорлупы. Поэтому еслияйца в ящике лежат вплотную друг к другу, то объемсодержимого ящика нельзя изменить в такое большое число(100) раз. Однако, в задаче сказано, что ящик – специальный.Можно предположить, что в ящике были специальныеперегородки, за счет которых яйца укладывались не вплот-ную, а на некотором расстоянии друг от друга, и большуючасть объема ящика занимал воздух. Предположим, что этиперегородки были легкими и тонкими: масса и объем всехперегородок пренебрежимо малы по сравнению с массой иобъемом всех яиц. Будем считать также, что при уминаниияиц ногами белок и желток не выплескиваются из ящика.Известно, что средняя плотность одного куриного яйца равна

31060 кг м . Зная это, ответьте на следующие вопросы.1) Чему равна средняя плотность содержимого специаль-

ного ящика с 68 куриными яйцами?2) Чему равна средняя плотность содержимого ящика,

если в него положили только 40 яиц?М.Ромашка

4. Вася взвесил на очень точных электронных весах(которые «чувствуют» изменение массы 0,01 г) два чистыхбелых листа бумаги формата А4 (плотность бумаги 280 г м ,размеры листа 297 × 210 мм). Массы листов были совершен-но одинаковыми. На одном из листов на двух его сторонахВася напечатал на принтере текст, в котором было 6500

Московская физическая олимпиада2016 года

48 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

символов. После взвешивания листа с текстом оказалось, чтоего масса увеличилась на 1,6%. Сколько в среднем весит одинсимвол?

С.Варламов

8 класс

1. Две группы туристов одновременно вышли из турбазыв двух противоположных направлениях. Группы поддер-живают между собой связь по рации, радиус действиякоторой R = 10 км. Первая группа, пройдя путь 1s = 2 кмпо лесу, вышла из леса и увеличила свою скорость на v∆ == 1,5 км/ч, и спустя 1t = 40 мин после этого связь порации прервалась. Вторая группа после 2t = 30 мин ходь-бы уменьшила свою скорость в n = 1,2 раза, и, после тогокак она прошла еще 2s = 3 км, связь по рации прерва-лась. Найдите скорость каждой группы сразу после выхо-да из турбазы. Туристы движутся все время по однойпрямой, не меняя направления своего движения. Ответыдайте в численном виде, округлив до десятых долей км/ч.

М.Ромашка

2. Однородная линейка подвешена к потолку на нити,привязанной к середине линейки. К линейке прикрепленыгруз и однородная цепочка так, как показано на рисунке 1,а.

При этом линейка горизонтальна инаходится в равновесии. Затем грузполностью погрузили в воду так,что он не касался дна и стенокстакана. Для того чтобы сохранитьравновесие системы, пришлось пе-реместить точку прикрепления клинейке одного из концов цепочкина 1/4 длины линейки – как пока-зано на рисунке 1,б. Какова сред-няя плотность материала, из кото-рого сделан груз?

С.Варламов

3. На кухне стоят две включен-ные (прогревшиеся) электроплит-ки мощностями 1 кВт и 2 кВт, а

также есть один кипятильник мощностью 0,5 кВт (время егопрогревания мало). Хозяйка заполняет водой три кастрюли,налив в них 1, 2 и 3 литра воды соответственно, и планируеткак можно быстрее получить 6 литров кипятка. Начальнаятемпература воды во всех кастрюлях одинакова и равна20 C° . Удельная теплоемкость воды ( )4200 Дж кг С⋅ ° .Чему равно минимальное время, необходимое для получениякипятка? Опишите одну из возможных процедур манипуля-ций с кастрюлями, плитками и кипятильником, при которойэто рекордное время достигается. Считайте, что все теплопередается только воде. Временами, которые хозяйка тратитна перестановку кастрюль и перемещение кипятильника,можно пренебречь.

С.Варламов

4. Два длинных куска проволоки изготовлены из разныхметаллов A и B. В первом опыте от проволоки из металла Aотрезали кусок длиной 1l и нагрели его, увеличив еготемпературу на 1t∆ . При этом длина куска увеличилась на

1l∆ . Во втором опыте от проволоки из металла B отрезаликусок длиной 2l и нагрели его, увеличив его температуру на

2t∆ , и длина этого куска увеличилась на 2l∆ . В третьемопыте от проволоки из металла A отрезали кусок длиной а,а от проволоки из металла B отрезали кусок длиной b исоединили эти куски друг с другом последовательно. Насколько нужно нагреть получившийся составной кусок про-

волоки для того, чтобы его длина увеличилась на L∆ ?Считайте, что для обоих металлов выполняется линейныйзакон теплового расширения, при котором относительноеувеличение длины каждого куска проволоки пропорцио-нально абсолютному увеличению его температуры.

М.Ромашка

9 класс

1. Группа из трех туристов должна перебраться из пунктаА в пункт В по дороге длиной s = 45 км. Стартуют всетуристы одновременно. На всю группу туристов есть толькодва велосипеда, причем если на велосипеде едут двое, то ихскорость равна 3v, а если на велосипеде едет один человек,то его скорость равна 4v. Если же турист идет пешком, то егоскорость движения равна v = 5 км/ч. За какое минималь-ное время все туристы могут оказаться в пункте назначения?Временем посадки туристов на велосипед, а также времена-ми разгона и торможения можно пренебречь.

С.Варламов

2. С момента написания писателем Григорием Остеромновелл про четверых друзей – Мартышку, Слоненка, Удаваи Попугая – прошло уже почти 40 лет. За это время Слоненоквырос и превратился в Слона, Удав стал еще длиннее,Попугай состарился и сгорбился, а Мартышка служит те-перь чучелом в зоологическом музее. На очередном собраниидрузья вспомнили, как они измеряли длину удава, и решилитряхнуть стариной. Удав, лежа на горизонтальном полу,вычислил расстояние от пола до своего центра масс, иоказалось, что оно равно 10 см. Центр масс Слона оказалсяна высоте 2 м над полом. Центр масс Удава и Слона вместевзятых находился на высоте 1,7 м. Когда на голову слона навысоте 3,5 м над полом сел Попугай, центр масс всех троихоказался выше еще на 0,5 мм. Какова масса Удава вПопугаях, если высота Попугая намного меньше толщиныУдава?

С.Варламов

3. Невесомая нерастяжимая нить перекинута через идеаль-ный блок. К одному концу нити прикреплен груз массой 2m ,а другой конец нити наматывается наневесомую катушку радиусом r, располо-женную внутри ящика массой 1m (рис.2).Катушка вращается электродвигателем спостоянной угловой скоростью ω .Участ-ки нити, не прилегающие к блоку и катуш-ке, в процессе движения вертикальны,система крепления катушки к ящику иэлектродвигатель очень легкие. Найдитемодуль ускорения груза массой 2m .

А.Бычков

4. В широком цилиндрическом калориметре (рис.3), ча-стично заполненном льдом при температуре 0 0 Ct = ° , вольду имеется цилиндрическая полость радиусом R = 10 см,

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

О Л И М П И А Д Ы 49

которая сначала ничем не заполнена. В эту полость черезнебольшое отверстие сверху быстро залили воду, имевшуютемпературу 10 Ct = ° . Лед начал таять, и, поскольку плот-ность льда меньше плотности воды, уровень воды началопускаться. Но через отверстие сверху сразу стали доливатьводу так, чтобы полость в калориметре все время былаполностью заполнена водой. Температура доливаемой водытакже равна t. Воду внутри калориметра постоянно переме-шивают так, чтобы лед во всех точках таял с одинаковойскоростью. В некоторый момент температура воды в калори-метре опустилась до 0 0 Ct = ° , и лед таять перестал. Найди-те радиус полости, заполненной водой, в этот момент.

Плотность воды 3в 1000 кг мρ = , плотность льда

3л 900 кг мρ = , удельная теплоемкость воды

( )4200 Дж кг Сc = ⋅ ° , удельная теплота плавления льда

330 кДж кгλ = .М.Ромашка

10 класс

1. На горизонтальном полу стоит табуретка массой M == 4,5 кг. Высота табуретки h = 45 см, а расстояние междуее ножками d = 30 см. Коэффициент трения между ножка-ми и полом µ  = 0,4. Экспериментатор Глюк привязал ксередине стороны сиденья табуретки невесомую нерастяжи-мую нить, перекинутую через блок (рис.4). На втором конце

нити висит ведерко с водой. Масса ведерка вместе с водойm = 0,6 кг. Экспериментатор Глюк опустил в ведерко тон-кую трубку с внутренним диаметром D = 4 мм, по которойв ведерко стала доливаться вода с постоянной скоростью v == 0,2 м/с. Плотность воды 31000 кг мρ = , ускорение сво-бодного падения можно считать равным 210 м сg = . Черезкакое время после этого табуретка придет в движение? Какначнет двигаться табуретка: скользить, двигаясь поступа-тельно, или опрокидываться, поворачиваясь вокруг некото-рой оси?

М.Ромашка

2. По наклонной плоскости, образующей угол 30α = ° сгоризонтом, едет с постоянной скоростью v = 1 м/с игру-шечный автомобиль, масса которого M = 300 г (рис.5).

Автомобиль связанлегкой нитью, пере-кинутой через неве-сомый блок, с гру-зом массойm = 200 г, которыйдвижется вертикаль-но. Автомобиль при-водится в движениеэлектромотором, ко-торый питается от

батарейки. При таком движении КПД электромотораη  = 60%. Найдите количество теплоты, выделяющееся припротекании тока через обмотки электромотора за время

t = 2,5 c. Автомобиль движется без проскальзывания, тре-нием в осях и сопротивлением воздуха можно пренебречь,ускорение свободного падения можно считать равным

210 м сg = .М.Ромашка

3. Десятиклассник Вася проводит домашний эксперимент.Он наливает в кружку 200 мл воды (до краев) при темпера-туре 20 C+ ° . Затем он отпивает один маленький глоток(5 мл), тут же доливает в кружку кипяток до краев, аккурат-но перемешивает содержимое очень легкой пластиковойложечкой (не расплескивая содержимого) и повторяет опи-санную процедуру много раз. Максимальная температураводы, которую Вася еще может проглотить, не рискуяобжечься, равна 60 C+ ° . Сколько воды выпьет Вася доконца своего эксперимента?

С.Варламов

4. В колбе объемом V = 2 л при комнатной температуренаходится ν  = 0,1 моль гелия. Горлышко колбы (рис.6)имеет длину l = 2 см и сече-ние 210 смS = . Это горлышкозакрыто цилиндрической проб-кой массой m = 10 г, могу-щей скользить по нему без тре-ния. В начальный момент проб-ка удерживается у основаниягорлышка, и гелий не выходитнаружу. Пробку отпускают, иона вылетает из горлышка со скоростью v = 10 м/с. Най-дите изменение температуры гелия в колбе к моменту вылетапробки из горлышка. Давление воздуха в комнате 0p == 1 атм, теплообменом гелия в колбе с окружающимителами за время вылета пробки можно пренебречь.

А.Бычков

5. На закрепленные неподвижно клеммы A и B (рис.7),расстояние между которыми 40 см, может подаваться посто-янное напряжение 0,3 В. К клем-мам прикреплены две медныепроволоки без изоляции, всюдуимеющие круглое поперечноесечение. Одна из проволок натя-нута и имеет длину 40 см, а другая имеет длину 70 см.Диаметр обеих проволок 0,6 мм. Как сделать так, чтобытепловая мощность, выделяющаяся в этой системе, быламаксимальной? Чему равна эта мощность? Проволоки мож-но приводить в электрический контакт друг с другом всемивозможными способами, но нельзя обрывать их и отсоеди-нять концы проволок от клемм. Удельное сопротивлениемеди 81,7 10 Ом м−⋅ ⋅ .

М.Ромашка

11 класс

1. Школьник летом был в Крыму и с высоты h = 4 мнад уровнем моря увидел на линии горизонта ракетныйкрейсер «Москва», который шел вдоль берега и был виден«во весь рост», от ватерлинии до верха надстроек. Школь-ник прикрыл один глаз, вытянул перед собой руку и боль-шим пальцем, поднятым вверх, «закрыл» весь крейсер относа до кормы корабля (для открытого глаза). Ширинапальца a = 2 см, расстояние от глаза до большого пальцапри вытянутой руке l = 70 см. День был солнечным, по-этому диаметр зрачка открытого глаза был небольшим –всего 1 мм. Затем школьник через свой смартфон нашелсправку о параметрах крейсера, где обнаружил, что длинакорабля составляет L = 186,5 м. Каков радиус Земли,

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

50 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

вычисленный школьником на основании всех имеющихсяданных?

М.Семенов

2. На краю табуретки массой M = 4,5 кг сидит кошкамассой m = 1,5 кг (рис.8). Высота табуретки h = 45 см, а

расстояние между ножкамиd = 30 см. Коэффициент тре-ния между ножками и поломµ  = 0,5. Кошка прыгает с та-буретки в направлении, пока-занном стрелкой. При этом ус-корение центра масс кошкинаправлено горизонтально. Прикаком максимальном значениимодуля этого ускорения табу-ретка будет оставаться непод-вижной? Если модуль ускоре-ния превысит это значение наочень малую величину, то какначнет двигаться табуретка:

скользить по полу или опрокидываться, поворачиваясь вок-руг некоторой оси? Ускорение свободного падения можносчитать равным 210 м сg = .

М.Ромашка

3. См. задачу Ф2416 «Задачника «Кванта».

4. В бесконечную проволочную сетку, состоящую из шес-тиугольников с сопротивлениями каждого ребра r (рис.9,а),

добавили проводники с такими же сопротивлениями – так,как показано на рисунке 9,б (каждую шестиугольную ячейкуразделили тремя отрезками проволоки сопротивлением rкаждый на три одинаковых ромба). Найдите сопротивлениемежду точками А и В.

А.Бычков

5. На рисунке 10 изображена механическая система, вкоторой через невесомый блок с прикрепленной к потолку

горизонтальной осью перекинутаневесомая нерастяжимая нить. Кконцам нити прикреплены неболь-шие грузы массами m и 2m. Грузмассой 2m лежит на горизонталь-ной опоре, груз массой m висит. Кгрузу массой m через невесомуюидеальную пружину с жесткос-тью k, расположенную вертикаль-но и имеющую небольшую длину

0L , прикреплен второй такой жегруз. В начальный момент пружи-на не деформирована и этот вто-рой груз лежит на той же опоре,что и груз массой 2m. Расстояниеот верхнего груза до блока равно

0l . Свободные участки нити, не лежащие на шкиве блока,вертикальны. В момент времени t = 0 опора исчезает (еебыстро убирают вниз). Через время τ после этого один из

грузов коснулся блока. Какой это груз? При каком значении

0l время τ максимально? Чему равно это максимальноезначение?

С.Варламов

ВТОРОЙ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ ТУР

7 класс

1. См. задачу Ф2420 «Задачника «Кванта».

2. Турист переходил узкий железнодорожный мост внаправлении от точки A к точке B (рис.11). Находясь на

расстоянии d = 50 м от середины моста, ближе к точке B,он увидел поезд, движущийся ему навстречу со скоростьюV = 54 км/ч, который в этот момент находился на рассто-янии s = 300 м от туриста. Турист побежал вперед, навстре-чу поезду, с постоянной скоростью v = 5 м/с и успелдостигнуть точки B в момент, когда поезд находился нарасстоянии l = 60 м от этой точки. Успел бы турист добе-жать до точки A, если бы он, увидев поезд, мгновенноразвернулся и побежал с такой же скоростью назад? Если да,то на каком расстоянии от точки A находился бы поезд в этотмомент? Если нет, то на каком расстоянии от точки A поездмог бы догнать туриста? Скорость поезда постоянна.

М.Ромашка

3. В цилиндрический стакан до половины налили зеленуюжидкость, которая не смешивается и никак не реагирует сводой, после чего отметили на стенке уровень жидкости.Затем в стакан опустили маленький кусочек льда (объемкусочка гораздо меньше объема жидкости). При этом уро-вень зеленой жидкости в стакане поднялся на величину x.После того как весь лед растаял, уровень зеленой жидкостинад начальной отметкой составил y. Постройте графикзависимости отношения y/x от плотности ρ зеленой жидко-сти.

А.Фролов

4. К правому концу A стержня, масса которого пренебре-жимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый ша-рик. Стержень положилина край сосуда с машин-ным маслом, как показа-но на рисунке 12, а к точ-ке B, находящейся на рас-стоянии 1l  = 50 см сле-ва от точки опоры O, под-весили груз массой

1m  = 2,3 кг. При этомшарик оказался погруженв масло на половину сво-его объема. Затем грузсняли, а стержень с шаром перенесли и положили на крайсосуда с водой так, что точка опоры O осталась прежней.Груз какой массой 2m надо подвесить к другому концу

Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

О Л И М П И А Д Ы 51

стержня C, находящемуся на расстоянии 2l  = 110 см отточки O, чтобы алюминиевый шарик снова оказался по-груженным на половину своего объема? Плотности алюми-ния, машинного масла и воды равны 3

a 2700 кг мρ = ,3

м 800 кг мρ = и 3в 1000 кг мρ = соответственно. Перед

погружением шарика в воду его тщательно протерли отмасла.

Е.Якута

8 класс

1. Автомобиль часть пути ехал с постоянной скоростью 1vпо грунтовой дороге, а затем, выехав на хороший асфальт,поехал быстрее с другой постоянной скоростью 2v . Нарисунке 13 приведен график зависимости средней скорости

cpv автомобиля от пройденного им пути s. К сожалению,большая часть графика от времени выцвела, и на немостались лишь отдельные фрагменты. Определите значенияскоростей 1v и 2v . Сколько времени длилось движение погрунтовой дороге? Какого значения достигла средняя ско-рость автомобиля к сотому километру пути?

М.Замятнин

2. К правому концу A стержня, масса которого пренебре-жимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик(см. рис.12). Стержень положили на край сосуда с водой, ак точке B, находящейся на расстоянии 1l  = 50 см слева отточки опоры O, подвесили груз такой массой m, что шарикоказался погруженным в воду на половину своего объема. Накакую часть своего объема окажется погруженным в водуэтот шарик, если груз перевесить из точки B в точку C,находящуюся на расстоянии 2l  = 60 см слева от точки O?Плотность алюминия 3

a 2700 кг мρ = , плотность воды3

в 1000 кг мρ = .Е.Якута

3. См. задачу Ф2422 «Задачника «Кванта».

4. Папа решил взять с собой Васю на зимнюю рыбалку.В инвентаре папы оказались два лишних свинцовых грузи-ла с одинаковой массой. Первое представляло собой ку-бик, а второе – цилиндр, высота которого равна длинеребра кубика. К середине одной из граней кубика и кцентру одного из оснований цилиндра были прикрепленымаленькие крючки. В какой-то момент Васе стало скучно,и он начал экспериментировать с этими грузилами. Васяпривязал к крючкам нитки, подвесил грузила за эти ниткии заклеил верхние и нижние поверхности грузил изоляци-онной лентой, которая плохо проводит тепло. После этогоВася нагрел на походной газовой горелке воду в миске,опустил в нее свинцовый кубик, дождался его полногопрогревания до 80 С° и после этого погрузил кубик впрорубь. Оказалось, что кубик охладился до температуры36,6 С° за 30 секунд. Затем Вася нагрел тем же способомдо той же температуры цилиндрическое грузило и тоже

погрузил его в прорубь. За какое время оно охладится дотемпературы 36,6 С° ?

Справка: объем цилиндра равен произведению площадиего основания на высоту.

А.Бычков

9 класс

1. На планете системы звезды Шедар один из пунктовзарядки роботов-исполнителей обслуживает по одному робо-ту со скоростью 60 роботов в час (р/ч). В один из днейроботы приходили на пункт в течение 8 часов. Первый часони приходили со скоростью 70 р/ч. В течение второго часаскорость поступления роботов равномерно увеличивалась,составив к его концу 80 р/ч. Потом в течение третьего часаскорость поступления роботов равномерно уменьшалась иупала к его концу обратно до 70 р/ч. На четвертом часускорость прихода роботов равномерно падала, составив кконцу часа 20 р/ч и потом оставалась такой в течение пятогои шестого часов. На седьмом часу опять был равномерныйподъем скорости поступления роботов – до 100 р/ч в концечаса, а на восьмом часу наблюдалось равномерное убываниескорости поступления до 60 р/ч. Роботы строго соблюдаюточередность, а после зарядки сразу покидают пункт.

1) Сколько времени работал пункт в этот день, если былизаряжены все роботы?

2) Какова наибольшая продолжительность пребыванияробота на пункте зарядки (в очереди и на самой зарядке) вэтот день?

А.Фролов

2. См. задачу Ф2423 «Задачника «Кванта».

3. Клин массой М = 5 кг с углом при основании 45α = °расположен на гладком горизонтальном столе (рис.14). Нанаклонной поверхности клиналежит брусок массой m = 1 кг.На брусок начинает действо-вать сила, направленная гори-зонтально в сторону клина.Модуль этой силы возрастает стечением времени t по законуF t= δ , где коэффициент про-порциональности 1Н сδ = .Коэффициент трения междуклином и бруском 1,2µ = .Найдите модуль силы трения,действующей со стороны клина на брусок через времяT = 12 с после начала действия силы, если клин к этомумоменту еще не начал опрокидываться. Ускорение свободно-

го падения можно считать равным 210 м сg = .А.Бычков

4. Алиса и Василиса играют в игру «Постоянный ток».Они соединили последовательно два реостата и идеальныйамперметр и подключили полученную цепь к источникунапряжения. Амперметр показал ток 0I  = 100 мА. Школь-ницы «ходят» по очереди. Одна двигает ползунок своегореостата, и показания амперметра меняются. Другая должнатоже подвинуть ползунок своего реостата, как можно быст-рее вернув ток к прежнему значению. После этого «ход»переходит к ней. Реостаты у девушек разные, но на каждомиз них ползунок перемещается прямолинейно и в началеигры находится в среднем положении. У Алисы расстояниемежду крайними возможными положениями ползунка равно

AL  = 36 см, а у Василисы – BL  = 40 см.1) Первой «ходит» Алиса. Она сдвинула свой ползунок на

4 см вправо, и амперметр стал показывать ток 1I  = 90 мА.

Рис. 13

Рис. 14

52 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

Василиса сдвинула свой ползунок на 5 см влево, и токвернулся к прежнему значению. Теперь «ходит» Василиса.Она двигает ползунок на 6 см влево. На сколько и в какомнаправлении должна сдвинуть ползунок Алиса, отвечая на«ход» Василисы?

2) Может ли в течение игры возникнуть ситуация, когдаАлиса не сможет ответить на «ход» Василисы?

3) Может ли в течение игры возникнуть ситуация, когдаВасилиса не сможет ответить на «ход» Алисы?

4) Чему равно напряжение источника, если его внутреннеесопротивление r = 4 Ом?

М.Ромашка

10 класс

1. См. задачу Ф2413 «Задачника» «Кванта».

2. См. задачу 3 для 9 класса. Дополнительный вопрос:найдите ускорения клина и бруска через время 5T = 1 минпосле начала действия силы F.

3. См. задачу Ф2424 «Задачника «Кванта».

4. Две покоящиеся в космосе вдали от других тел матери-альные точки, имеющие одинаковые массы m и электричес-кие заряды q, скреплены невесомой нерастяжимой и непроводящей электрический ток прочной гибкой нитью дли-ной L. Незаряженное тело малых размеров массой 2mдвижется поступательно в направлении средней точки нитисо скоростью v, направленной перпендикулярно нити. Присоприкосновении тела и нити они друг относительно друга непроскальзывают, но и не прилипают друг к другу. Какимибудут модули скоростей материальных точек и тела черезочень большое время? На каком минимальном расстояниидруг от друга будут находиться материальные точки впроцессе движения?

С.Варламов

5. Участок AD электрической цепи, схема которого пока-зана на рисунке 15, состоит из четырех постоянных резисто-ров с сопротивлениями 1R  = 20 Ом, 2R  = 40 Ом,

3R  = 80 Ом, 4R  = 25 Ом и одного переменного резисто-ра °R , сопротивление которого может изменяться от нуля до

maxR  = 10 кОм. Сила тока, текущего через участок AD,поддерживается постоянной и равной I = 1,2 А. 1) Прикаких значениях сопротивления переменного резистора токчерез резистор сопротивлением 2R будет течь в направленииот точки B к точке C, а при каких – в обратном направлении?2) При каком значении сопротивления переменного резисто-ра напряжение на резисторе сопротивлением 2R будетмаксимальным и чему равно это напряжение?

М.Ромашка

11 класс

1. Тонкий однородный жесткий стержень S скользит погладкой наклонной плоскости, составляющей угол α сгоризонтом (рис.16). В начальный момент времени нижнийконец стержня движется вниз вдоль наклонной плоскости

(по линии L «паде-ния воды», как ука-зано красной стрел-кой на рисунке), аверхний конец стер-жня движется гори-зонтально, причеммодуль скоростиверхнего конца вдва раза больше, чем нижнего. По прошествии некоторогопромежутка времени оказалось, что середина стержня смес-тилась на одинаковые расстояния по горизонтали и вдольлинии «падения воды». Во сколько раз изменился модульскорости середины стержня за этот промежуток времени?

К.Парфенов

2. Вдоль гладкой горизонтальной поверхности скользитшар неизвестной массы в направлении другого покоящегосяшара массой 120 г. В некоторый момент времени происходитабсолютно упругое лобовое соударение этих шаров, в резуль-тате которого первый шар передает второму 64% своейкинетической энергии. Опыт повторяют, заменив движу-щийся шар шаром другой массы, но не изменив его началь-ной скорости. Оказалось, что в результате второго опытадоля переданной покоящемуся шару кинетической энергиине изменилась. Определите, на какую величину отличалисьмассы движущихся шаров в двух опытах.

Е.Вишнякова

3. Две тепловые машины используют в качестве рабочеготела постоянное количество одноатомного идеального газа.Циклы, по которым рабо-тают эти машины, при изоб-ражении в координатах«давление–объем» при не-котором выборе масштабовявляются двумя половина-ми одной окружности: пер-вая машина работает поциклу ACBA, а вторая – поциклу ABDA (рис.17). Ди-аметр AB этой окружностилежит на прямой, проходя-щей через начало коорди-нат, и обладает тем свойством, что на участке ACB газ толькополучает тепло от нагревателя, а на участке BDA – толькоотдает тепло холодильнику. Центр окружности соответству-ет объему 0V , радиус окружности при выбранном масштабе

равен 1

10r = . Во сколько раз максимально возможный

КПД второй машины отличается от максимально возможно-го КПД первой машины?

К.Парфенов

4. В точке А, расположен-ной на расстоянии r от цент-ра О незаряженной проводя-щей сферы радиусом R, на-ходится точечный заряд q(рис.18). Сферу заземляютдлинным тонким проводни-ком. На сколько изменится(после заземления) потенци-ал точки В, являющейся вер-шиной равностороннего тре-угольника АВО?

А.Бычков

Рис. 15

Рис. 16

Рис. 17

Рис. 18

О Л И М П И А Д Ы 53

5. Незаряженный металли-ческий шар радиусомR = 10 см движется в одно-родном магнитном поле пер-пендикулярно вектору магнит-ной индукции B

ur с постоянной

скоростью v = 1 м/с (рис.19).Поверхностная плотность за-рядов на «полюсе» шара в точ-ке А оказалась равной 0σ .Определите поверхностную

плотность зарядов в точке С, направление на которую изцентра шара составляет угол 60α = ° с направлением ОА.Чему равна разность потенциалов точек А и С? Модульвектора индукции магнитного поля B = 2 Тл.

А.Бычков

Публикацию подготовилиМ.Семенов, А.Якута

Рис. 19

Международный интеллект-клуб (МИК) «Глюон» в рам-ках международной программы «Дети. Интеллект. Творче-ство» при участии МГУ имени М.В.Ломоносова, Институтапедагогических исследований одаренности РАО (г. Новоси-бирск) и при поддержке Международной ассоциации «Пе-дагогика одаренности и таланта», Фонда «1С», Издательско-го Дома «Первое сентября» и журналов «Квант», «Потенци-ал» и «Физика для школьников» провел очередную между-народную тест-рейтинговую олимпиаду «Интеллектуальныймарафон» для учащихся 9–11 классов.

Олимпиада проходила с 4 по 11 октября 2015 года в городеСочи (Россия), на территории уютного санатория«Белыеночи», который расположен на берегу Черного моря. Наолимпиаду приехали участники из разных регионов Россиии дистанционно участвовали команды Казахстана и Бело-руссии. В качестве наблюдателей были представители Изра-иля. Одаренные школьники, проявившие интерес к фунда-ментальным наукам, соревновались в командных и индиви-дуальных турах по математике, физике, истории научныхидей и открытий. В двенадцатый раз участвовали в олимпи-аде школьники, интересующиеся экологией и биологией,соревнуясь в индивидуальных турах по биологии и эколо-гии. Педагоги и психологи собрались на свою научнуюсессию в седьмой раз.

Абсолютным победителем олимпиады «Интеллектуаль-ный марафон-2015» по фундаментальным наукам в коман-дном зачете стала команда лицея 1 «Классический» изРостова-на-Дону. Ей был вручен главный приз соревнова-ний – суперкубок и призы от спонсоров. Команда былатакже лучшей в турах по математике и физике, а по историинаучных идей и открытий – была призером. Второе место вобщем зачете заняла команда лицея 2 из Альметьевска. Онатакже заняла первое место по истории научных идей иоткрытий и второе место по математике и физике. Командебыл вручен большой кубок за второе место в общем зачетеи соответствующие дипломы за успехи в командных сорев-нованиях. На третье место вышла вторая команда лицея 1 изРостова-на-Дону. Она также заняла призовые места во всехтурах олимпиады, ей были вручены кубок и дипломы.

В индивидуальных соревнованиях абсолютным победите-лем стал Дмитрий Финагеев, ему были вручены большиезолотые медали по математике и физике. Вторым призеромв общем зачете стал Роман Зудин. Большую бронзовуюмедаль в общем зачете завоевал Никита Коломоец. ДенисШеремет получил малую серебряную медаль по математи-

ке, Сергей Гладченко – малую бронзовую медаль по ма-тематике. Антон Переплетчиков получил малую серебрянуюмедаль по физике, Даниил Тяпкин – малую бронзовуюмедаль по физике. Все победители и призеры – ученикилицея 1 «Классический» из Ростова-на-Дону.

Уже четвертый раз встречаются на Международном мате-матическом турнире имени М.В.Ломоносова младшие школь-ники (5–8 классы), являясь олимпийским резервом олим-пиады «Интеллектуальный марафон». Число участниковтурнира растет, что усиливает накал интеллектуальных со-ревнований среди младших школьников.

Командные соревнования «Математический биатлон» для7–8 классов завершились победой команды лицея 1 «Клас-сический» из Ростова-на-Дону. Победителем в индивиду-альных соревнованиях среди учащихся 7–8 классов сталДмитрий Виноградский (лицей 1 «Классический», Ростов-на-Дону). Призерами стали Альберт Рафиков, Эдуард Саби-ров и Камиль Самигуллин (лицей 2, Альметьевск). Средиучащихся 5–6 классов победителем стал Вячеслав Баталь-щиков, призерами стали Валерий Радченков и Никита Бой-ков (все – из лицея 1, Ростов-на-Дону). Традиционный приз«Берестяная тарелка» был вручен Ивану Ежову (лицей 1,Ростов-на-Дону) и Кариму Терегулову (лицей 2, Альметь-евск).

Все победители и призеры получили подарки и призы оторганизаторов и спонсоров олимпиады.

XXIV Международная олимпиада«Интеллектуальный марафон»

Кубки, кубки ...

54 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

Международный интеллект-клуб (МИК) «Глюон» пригла-шает региональные центры, школы, лицеи и гимназии,работающие с одаренными детьми, принять участие в юби-лейной XXV Международной олимпиаде «Интеллектуаль-ный марафон», которая пройдет в октябре 2016 года вИзраиле.

Заявки на участие присылайте по адресу: 115522 Россия,Москва, Пролетарский проспект, д.15/6, корп.2, МИК «Глю-он»

Телефон: +7(925)517-8014, факс: (495)396-8227E-mail:gluon@yandex.ru (см. также сайт http:www.gluon.ru)

ОЛИМПИАДА ПО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ НАУКАМ

МАТЕМАТИКА

Устный командный тур

1. Сколько дней (суток) может быть в 11 месяцах, идущихподряд? Укажите все возможные варианты.

2. Вася на несколько лет моложе Пети. В 2015 году возрасткаждого из них равен сумме цифр его года рождения. Вкаком году родился Вася и в каком Петя?

3. При каких простых значениях p число 2 11p + имеет

ровно 6 делителей?4. Можно ли числа 1, 2, …, 20 расставить в вершинах и

серединах ребер куба так, чтобы каждое число, стоящее в

середине ребра, было равно среднему арифметическомучисел, стоящих на концах этого ребра?

5. Известно, что все цифры десятичной записи числа 292различны. Есть ли среди этих цифр 0?

6. Разрежьте произвольный треугольник на 4 выпуклыефигуры: шестиугольник, пятиугольник, четырехугольник итреугольник.

7. Набор из 100 чисел таков, что 2015 попарных произве-дений этих чисел отрицательны. Сколько в этом наборенулей?

8. Пусть М – точка внутри параллелограмма ABCD. Чтобольше: сумма расстояний от точки М до вершин паралле-лограмма или его периметр?

9. Решите систему уравнений

2

2

1 1,

1 3.

x y

y x

+ − = + − =

10. Числа 0 1ix< < , i = 1, 2, …, n, удовлетворяютсоотношению

( )( ) ( )1 2 1 21 1 1n nx x x x x x⋅ ⋅ ⋅ = − − −… … .

Найдите наибольшее возможное значение произведения

1 2 nx x x⋅ ⋅ ⋅… .

Письменный индивидуальный тур

1. В какой системе счисления число 31 делится на 13?2. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC

построен во внешнюю сторону квадрат ABDE. В какомотношении биссектриса угла C делит отрезок DE, если AC == b, BC = a?

3. Назовем месяц трудным, если в нем лишь четыревоскресенья. Могут ли: а) три; б) четыре месяца подряд бытьтрудными?

4. Представьте число 2015 в виде суммы наименьшеговозможного количества четвертых степеней натуральныхчисел.

5. Известно, что среди членов арифметической прогрессии

1 2 3, , , ,na a a a… … есть числа 2 2 21 2 3, ,a a a . Верно ли, что все

члены прогрессии – целые числа?6. Периметр четырехугольника равен 2016, а одна из его

диагоналей равна 1007. Может ли вторая диагональ бытьравной: а) 1; б) 2; в) 1007?

7. Назовем два натуральных числа соседними, если ихдесятичные записи отличаются только одной цифрой в одномиз разрядов (например, числа 23578 и 23478 – соседние).Какое наибольшее количество n-значных чисел можно выб-рать так, чтобы среди них не было соседних?

История научных идей и открытий

1. В 1948 году один знаменитый математик в соавторствес известным физиологом А.Розенблатом опубликовал фун-даментальный труд, в котором были сформулированы основ-ные положения новой науки. Важнейшим понятием этойнауки является обратная связь – воздействие процесса илиобъекта на самого себя.

Кто этот математик и как называется созданная имнаука?

2. Великий французский математик, физик, философ иписатель XVI века впервые точно сформулировал и впервыеприменил метод математической индукции.

Назовите имя этого человека.3. Пьер Ферма (1601–1665) – автор выдающихся работ по

теории чисел и другим разделам математики – сформулиро-

Мал, да удал

Жюри отдыхает

О Л И М П И А Д Ы 55

вал и доказал утверждение о том, что всякое нечетноепростое число однозначно представимо в виде разности двухквадратов натуральных чисел.

Докажите это утверждение.4. Две фигуры одинаковой площади называются равносо-

ставленными, если одну из них можно разрезать на части, изкоторых можно сложить другую. В первой половине XIXвека была совершенно элементарно доказана теорема Бойаи–Гервина: любые два многоугольника одинаковой площадиравносоставлены. В одном из доказательств этой теоремыиспользуются такие леммы:

а) любой треугольник равносоставлен с некоторым прямо-угольником;

б) любой параллелограмм равносоставлен с прямоуголь-ником, одна из сторон которого равна стороне параллелог-рамма;

в) любой многоугольник можно разрезать на треуголь-ники.

Докажите эти леммы.5. Выдающийся немецкий математик XIX века Петер

Густав Лежен Дирихле (1805–1859) доказал одну из важней-ших теорем теории чисел: во всякой бесконечной арифмети-ческой прогрессии, первый член которой и разность –взаимно простые натуральные числа, содержится бесконеч-но много простых чисел.

Пользуясь теоремой Дирихле, докажите, что существу-ет бесконечно много простых чисел p таких, что оба числаp + 2 и p – 2 составные.

ФИЗИКА

Устный командный тур

1. Может ли спортсмен на водных лыжах двигатьсябыстрее катера?

2. На столбе на высоте Н = 10 м укреплен тревожныйзвонок. Начался ураган, скорость ветра в урагане 20 м/с. Вкаком месте на земле звук тревоги будет слышен громчевсего? Скорость звука 330 м/с.

3. С какой минимальной горизонтальной силой надодействовать на брусок массой 2 кг, находящийся на на-клонной плоскости с углом наклона 30o , чтобы он покоил-ся? Коэффициент трения бруска о наклонную плоскость0,3.

4. Деревянный шарик, вмороженный в кусок льда, удер-живается внутри цилиндрического стакана с помощью нити,прикрепленной к дну. Лед с шариком целиком погружен вводу и не касается стенок и дна сосуда. После того как ледрастаял, шарик остался плавать внутри стакана, целикомпогруженный в воду. Сила натяжения нити во время таянияльда уменьшилась в n раз (n > 1), уровень воды в стаканеуменьшился на H∆ ( 0H∆ > ). Чему равен объем шарика,если плотность воды вρ , плотность дерева ρ , площадьвнутреннего сечения стакана S?

5. Три одинаковых шара, связанных двумя одинаковымипружинами, подвешены вертикально на нити, привязаннойк верхнему шару. Какими будут ускорения шаров сразупосле пережигания нити?

6. Один из участников олимпиады заблудился в лесу.Стемнело. Вдруг он обо что-то споткнулся. При свете спичкион увидел металлическую водопроводную трубу. Как онможет определить, в какую сторону течет вода по трубе?

7. Будет ли происходить смена дня и ночи на Земле, еслиона перестанет вращаться вокруг своей оси?

8. Как измерить температуру тела человека в Сахареобычным медицинским ртутным термометром, если темпера-тура воздуха в тени больше 42 C° ?

Экспериментальные задания

9. Демонстрируется странное стеклышко. Объясните на-блюдаемое явление, приведите примеры применения такихсвойств.

10. Демонстрируется модель вечного двигателя. Объясни-те физику наблюдаемого явления.

Письменный индивидуальный тур

Задача 1. Переправа ... переправаЧеловек на лодке дол-

жен попасть из пунктаА, расположенного наодном берегу реки, впункт В на противопо-ложном берегу ниже потечению (рис.1). Рассто-яние ВС = s = 150 м.Ширина реки АС = d == 200 м. С какой наи-меньшей скоростью лvотносительно воды и под каким углом α к берегу должнаплыть лодка, чтобы приплыть в пункт В, не меняя курса?Скорость течения реки pv = 2 м/с. Сколько временипонадобится на переправу?

Задача 2. Нерастяжимая нитьНа столе примерно в одном месте находятся шарики

массами M = 400 г и m = 100 г, связанные исходно ненатя-нутой нитью. Шарику массой m сооб-щают скорость v = 10 м/с (рис.2). Вмомент когда нить оказывается натя-нутой, она образует угол 60α = ° снаправлением первоначального дви-жения шарика массой m. Найдите ско-рость шарика массой M сразу, какнить натянется. Нить нерастяжима.Трения нет.

Задача 3. Молекула водородаНильс Бор в 1913 году дал описание модели молекулы

водорода. Согласно Бору, два внешних электрона двухатомов водорода, образующих молекулу, вращаются поодной и той же круговой орбите вокруг линии, проходящейчерез ядра обоих атомов, и удерживают последние на опре-деленном расстоянии друг от друга (рис.3). Боровская

модель химической связи давала четкую картину образова-ния молекулярного водорода как динамическое равновесиесистемы, содержащей два протона, удерживающихся наопределенном расстоянии d друг от друга притяжениемкольца из двух электронов. Исходя из того что для атомаводорода известен первый боровский радиус орбиты элект-рона 0a = 53 пм, найдите радиус обобщенной орбитыэлектронов er . Какова орбитальная скорость электронов?Чему равно d?

Задача 4. Хитрый цилиндрПоршень массой m = 20 кг и сечением 2100 смS = в

исходном горизонтальном положении цилиндра находится

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

56 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

посередине (рис.4,а).Слева и справа от порш-ня – воздух при атмос-ферном давлении

510 Паp = . Клапан вторце цилиндра открыттолько тогда, когда то-рец обращен строго вниз.Цилиндр поворачивают

на 90° , приведя его в вертикальное положение (рис.4,б).Какая доля воздуха выйдет из цилиндра? При какой массепоршня он опустится на нижний торец? Трения нет. Темпе-ратура неизменна. Ускорение свободного падения

210 м сg = .Задача 5. Гравитационное взаимодействие светаКак известно, свет обладает корпускулярными свойствами

и, следовательно, как частица – гравитационными свойства-ми. Эйнштейн в своей формуле указал на связь энергии имассы: 2E mc= . С другой стороны, по гипотезе Планка,энергия кванта света (фотона) равна E h= ν , где h –постоянная Планка, ν – частота излучения. Иными слова-ми, если измерить частоты фотонов в двух точках на разныхрасстояниях от поверхности Земли: в точке испускания и вточке поглощения, то за счет гравитационного взаимодей-ствия измеренные частоты в околоземных условиях будутблизкими, но разными. Поэтому оценивают только относи-тельное смещение этих частот.

Оцените, относительное гравитационное смещение часто-ты излучения водородного лазера, установленного на спут-нике, вращающемся на стационарной орбите, относительночастоты излучения лазера, принятого наземным наблюдате-лем. Радиус Земли R = 6400 км, ускорение свободногопадения 29,8 м сg = .

Задача 6. Тепловая машинаТепловая машина, рабочим телом которой является одно-

атомный идеальный газ, работает по циклу, состоящему издвух изохор и двух участков, на которых давление пропор-ционально объему. Определите КПД этой машины, еслиотношение объемов на изохорных процессах равно 3, акоэффициенты пропорциональности относятся как 1 : 2.

Задача 7. Шар и кубТяжелый шар привязан

нитью к кубу массой M == 4 кг (рис.5). За другуюнить шар тянут горизонталь-но так, что он и куб движут-ся с постоянной скоростью.Наклонная нить образуетугол 45α = ° с вертикалью.

Найдите массу шара, если коэффициент трения куба о пол0,5µ = .

История научных идей и открытий

1. Нобелевская премия 1915 года была вручена «за заслугив исследовании структуры кристаллов с помощью рентгено-вских лучей». Премию получили английские ученые – отеци сын, ставший самым молодым лауреатом за всю историюпремии. Однако у этого открытия был еще один автор –русский кристаллограф. Эти исследования положили нача-ло очень важному научно-техническому направлению –рентгеноструктурному анализу, поскольку позволили свя-зать в единое уравнение длину волны рентгеновского излу-чения, расстояние между кристаллографическими плоско-стями и угол, под которым наблюдается дифракционныймаксимум. Помимо уравнения, описывающего закон диф-

ракции, английский физик создал первый прибор для реги-страции дифракционной картины и вместе с сыном разрабо-тал основы метода определения структуры кристаллов подифракционной картине рентгеновских лучей. Использова-ние этого прибора позволило им установить структуру мно-гих простых кристаллов, первым из которых был NaCl. Обаанглийских физика, и отец и сын, долго и плодотворноработали и внесли большой вклад в развитие мировой науки.

1) Назовите лауреатов Нобелевской премии по физике1915 года.

2) Назовите русского ученого, независимо от английскихфизиков получившего упомянутое уравнение.

2. В предыдущем вопросе речь шла об отце и сыне,получивших Нобелевскую премию по физике одновременно.Однако история науки знает и другие случаи, когда физики,отец и сын, получали этот высший знак признания научныхзаслуг с разницей во времени, каждый за свои работы.

Назовите этих ученых и направления работ, за которыебыли получены Нобелевские премии.

3. В предыдущем вопросе говорилось об открытии НильсаБора, приведшем к созданию атомной физики и квантовоймеханики, – о разработке планетарной модели атома. Дляпроверки этой тогда еще гипотезы двумя немецкими физика-ми были поставлены опыты по соударению электронов сатомами. Некоторые историки утверждают, что эти опытыставили своей целью опровержение гипотезы Бора, другие –что работа велась для подтверждения этой гипотезы. Как быто ни было, экспериментальные результаты подтвердилисправедливость постулатов Бора.

1) Кто эти ученые?2) Какие именно результаты экспериментов показали

справедливость постулатов Бора?4. Кавказское побережье Черного моря – это не только

курортная зона, не только олимпийские и другие спортивныеи туристские объекты, не только важные в экономическомотношении порты, но и серьезная научная база. В столицеАбхазии городе Сухуми в середине XX века был создануникальный институт, занимавшийся первоочередной в товремя физической проблемой. Там работали многие выдаю-щиеся немецкие физики, специалисты в области квантовоймеханики, лабораториями заведовали Нобелевский лауреатГустав Людвиг Герц и «немецкий Эдисон» Манфред фонАрденне. Здесь был установлен первый в Закавказье циклот-рон, разработан первый в Советском Союзе масс-спектро-метр.

1) Как называется этот институт?2) Какие проблемы являлись главными в его работе в

середине XX века?5. В первой трети XX века была известна только одна

ядерная частица – протон. Однако к началу 30-х годов сталоясно, что в составе атомного ядра должны быть еще инейтральные частицы. Советские физики В.А.Амбарцумян иД.Д.Иваненко, немецкие физики В.Боте и Г.Бекер, фран-цузские ученые Ирен и Фредерик Жолио-Кюри в разныхэкспериментах показали необходимость наличия такой час-тицы. Английскому физику, ученику Э. Резерфорда, уда-лось экспериментально установить ее существование. В 1935году за эту работу ему была присуждена Нобелевская премияпо физике.

1) Кто этот ученый?2) Какую частицу он открыл и каковы ее основные

свойства?

Рис. 4

Рис. 5

И Н Ф О Р М А Ц И Я 57

IV МЕЖДУНАРОДНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТУРНИРИМЕНИ М.В.ЛОМОНОСОВА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ

5–8 КЛАССОВ

Устный командный тур

5–6 классы

1. Разрежьте прямоугольник ABCD на три равные поплощади части двумя прямыми, проходящими через точку A.

2. Имеется 6 одинаковых с виду монет: 3 настоящих и 3фальшивых, которые легче настоящих и имеют одинаковыйвес. Можно ли за два взвешивания на чашечных весах безгирь найти две настоящие монеты?

3. Можно ли таблицу 7 7× клеток заполнить числами 1,2, 3 так, чтобы сумма чисел в каждой строке была четной, ав каждом столбце нечетной?

4. Будет ли простым число 4 22016 2016 1+ + ?

7–8 классы

1. Чему равно произведение 1 1 1

1 1 1 ...4 9 16

− − −

1... 1

2025

−

?

2. Дано 2016 чисел. Известно, что сумма любых пяти изних положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положи-тельна? Ответ обоснуйте.

3. В треугольнике ABC точки K и L – основания высот,опущенных на стороны AB и BC cоответственно. Докажите,что отрезок, соединяющий середину отрезка KL с серединойотрезка AC, перпендикулярен отрезку KL.

4. Представьте число

22 217 19

2

+

в виде суммы двух

квадратов натуральных чисел.

5. Окружность касается сторон угла с вершиной M вточках A и B, отрезок AC – диаметр окружности. Прямая,проходящая через точку B параллельно стороне MA угла,пересекает диаметр AC в точке D и отрезок MC – в точке N.Докажите, что BN = ND.

6. Решите систему

1 225,

1 144.

xx

y

yy

x

+ =

+ =

Письменный индивидуальный тур

5–6 классы

1. Какой длины получится полоса, если кубический кило-метр разрезать на кубические метры и выложить их в однулинию?

2. Можно ли в квадрат со стороной 1 поместить нескольконепересекающихся квадратиков так, чтобы сумма перимет-ров этих квадратиков оказалась больше 2015?

3. Может ли число, записанное с помощью одних толькоцифр 8, делиться на число, записанное с помощью несколь-ких цифр 9? А наоборот?

4. На клетчатой бумаге дан квадрат ABCD размером

6 6×

клеток. На стороне AB взята точка M так, что 2AM = MB.Где на диагонали AC выбрать точку N так, чтобы угол MNDбыл прямым?

5. На плоскости дан прямоугольник, в котором располо-жен круг. Как провести линию, которая разрезает пополами прямоугольник, и круг?

7–8 классы

1. Даны две дроби 200...01

200...02 и

200...03

200...04, в числителях и

знаменателях которых записаны 100-значные числа, а вмес-то точек в записи стоят нули. Определите, какая из этихдробей больше другой. Ответ обоснуйте.

2. Начиная с числа 1, записали подряд все натуральныечисла до числа 2015 включительно и получили записьнатурального числа М. Найдите остаток, который получитсяпри делении М на 9.

3. В квадрате ABCD на стороне AB взята точка M так, что

AM = MB, а на диагонали AC – точка N так, что отрезок NCравен одной четвертой диагонали. Докажите, что угол MNDпрямой.

4. Докажите, что число 42015 4+ не является простым.5. В равнобедренном треугольнике ABC со сторонами

AB = BC = 8, AC = 4 на стороне BC выбрана точка K так, чтоокружности, вписанные в треугольники ABK и ACK, касают-ся друг друга. Найдите отношение BK : KC.

Публикацию подготовили А.Альминдеров, В.Дубровский,А.Егоров, А.Кравцов, В.Крыштоп, А.Марковичев

И Н Ф О Р М А Ц И Я

Заочная школа СУНЦ НГУВ новосибирском Академгородке в составе Специализи-

рованного учебно-научного центра Новосибирского госу-дарственного университета (СУНЦ НГУ) уже более 50 летработает Заочная физико-математическая школа (ЗШ) дляучащихся 5–11 классов общеобразовательных школ.

Учащиеся ЗШ, успешно выполнившие все задания, поокончании одиннадцатого класса получают удостоверениевыпускников Заочной школы СУНЦ НГУ.

Преподаватели общеобразовательных учреждений могутработать по программам ЗШ в форме факультативныхзанятий с группой учащихся.

Ежегодно лучшие ученики 8–10 классов ЗШ приглашаютсяв Летнюю школу, которая проводится в новосибирском

Академгородке с 1 по 23 августа, для участия в конкурсе вСУНЦ НГУ.

В ЗШ СУНЦ НГУ принимаются все желающие, без вступи-тельных экзаменов. Прием в школу ведется круглогодично.Чтобы стать учеником ЗШ, необходимо прислать заявление,указав класс и отделения, на которых вы хотите учиться, своифамилию, имя и отчество (печатными буквами), свой под-робный адрес с индексом и выполненное первое задание.Задание выполняется в обычной ученической тетради ивысылается простой или заказной бандеролью. Необходимоприсылать решенное задание того класса, в котором выбудете учиться в Заочной школе.

Можно присылать работы и по электронной почте. Требо-вания к оформлению работ в электронном виде, необходи-

58 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

мые документы и подробную информацию о ЗШ можнонайти на сайте заочной школы: http://zfmsh.nsu.ru

Наш почтовый адрес: 630090 Новосибирск, ул. Пирогова,11, Заочная школа СУНЦ НГУ

Телефон/факс: (383) 363-40-66E-mail: distant@sesc.nsu.ru или zfmsh@yandex.ru

ПЕРВЫЕ ЗАДАНИЯ НА 2016/17 УЧЕБНЫЙ ГОД

Математическое отделение

МАТЕМАТИКА

5 класс

1. Каждую из сторон прямоугольника, периметр которогоравен 26,8 см, увеличили на 1 см. Найдите, на сколько приэтом увеличилась площадь прямоугольника.

2. Представьте дробь 17

4620 в виде суммы двух дробей с

меньшими знаменателями.3. Из спичек составили неправильное равенство V –

– I = IX. Покажите, как можно переложить только однуспичку, чтобы получилось правильное равенство.

4. Шестиугольник составлен из шести одинаковых треу-гольников, имеющих равные стороны (рис.1). Разделите

этот шестиугольник на восемь оди-наковых частей.

5. Найдите, на какую цифру впримере 864 68*− нужно заменитьзвездочку, чтобы полученная раз-ность делилась на 9.

6. В ящике находится 140 каранда-шей, которые разложены по тремкоробкам, причем известно, что вкакой-то из коробок в 2 раза большекарандашей, чем в какой-то другой

коробке, и в какой-то из коробок в 3 раза больше каранда-шей, чем в какой-то другой коробке. Определите числокарандашей в каждой коробке.

6 класс

1. См. задачу 3 для 5 класса.2. На числовой прямой вычисляется сумма расстояний от

точки, изображающей число х, до пяти точек, изображаю-щих числа 1, 2, 3, 5, 7. Найдите,какое наименьшее значение можетпринимать эта сумма.

3. Изображенную на рисунке 2фигуру разрежьте на части, из кото-рых можно составить квадрат.

4. Найдите, на какую цифру впримере 98765 4321∗− нужно заме-нить звездочку, чтобы полученнаяразность делилась на 9.

5. Найдите количество всех дву-значных чисел, в десятичной записи которых не встречаетсяцифра 5.

6. В ящике находятся 153 карандаша, которые разложеныпо трем коробкам, причем известно, что в какой-то изкоробок в 2 раза больше карандашей, чем в какой-то другойкоробке, и в какой-то из коробок в 3 раза больше каранда-шей, чем в какой-то другой коробке. Определите числокарандашей в каждой коробке.

7 класс

1. За контрольную работу каждый из 25 учащихся получилодну из оценок 3, 4, 5. Когда вычислили сумму всех оценок,

то получили число 106. Найдите,на сколько больше было поставле-но «пятерок», чем «троек».

2. На клетчатой бумаге заданчетырехугольник ABCD (рис. 3),и для каждой точки M плоскостивычисляется сумма расстоянийAM, BM, CM, DM. Найдите, ка-кое наименьшее значение можетпринимать эта сумма, если стороны квадратов сетки равны0,4 см.

3. Найдите два последовательных натуральных числа,произведение которых на 250 меньше, чем произведениедвух следующих за ними натуральныхчисел.

4. Изображенную на рисунке 4 фигу-ру разрежьте на части, из которыхможно составить квадрат.

5. Найдите вероятность того, что слу-чайно выбранное трехзначное число неимеет в своей десятичной записи циф-ры 5.

6. Бригада из нескольких рабочих засемь полных дней может выполнитьтакое задание, какое может выполнитьэта бригада без двух человек за несколько полных дней.Найдите, какое наибольшее число рабочих могло быть в этойбригаде первоначально (предполагается, что производитель-ность рабочих одинакова).

8 класс

1. При 0a ≥ , 0b ≥ , 0c ≥ , 0d ≥ упростите выражение

2a b c d ac ad bc bd+ + + + + + + +

+ 2a b c d ac ad bc bd+ + + − + + + .

2. Найдите четыре последовательных натуральных числа,сумма квадратов которых равна сумме квадратов трех следу-ющих за ними натуральных чисел.

3. Решите уравнение ( ) ( )3 22 1 7 1x x+ = − .

4. В остроугольном треугольнике ABC высоты AK, BL,CM пересекаются в точке H, точки E и F – середины отрезковAH и BH соответственно, прямые ME и AC пересекаются вточке P, прямые MF и BC пересекаются в точке Q. Докажи-те, что PQ ABP .

5. Найдите сумму 1 2 na a a+ + +… , если 3 24 6 4ka k k k= − +при каждом натуральном k.

6. Бригада из нескольких рабочих за семь полных днейможет выполнить такое задание, какое может выполнить этабригада без двух человек за несколько полных дней и безшести человек за несколько полных дней. Найдите, какоечисло рабочих было в этой бригаде первоначально (предпо-лагается, что производительность рабочих одинакова).

9 класс

1. Решите уравнение 3 4 3 3x x+ = + .2. В треугольнике ABC, площадь которого равна 24, точка

K – середина стороны BC, точки L и M расположены напродолжениях сторон AB и AC соответственно так, что BL =

1

3AB= ,

1

4CM AC= . Найдите площадь треугольника KLM.

3. При 0a ≥ , 0b ≥ , 0c ≥ упростите выражение

22 2a b c a ab ac bc+ + + + + + −

– 22 2a b c a ab ac bc+ + − + + + .

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

И Н Ф О Р М А Ц И Я 59

4. См. задачу 4 для 8 класса.

5. Найдите сумму 1 2 na a a+ + +… , если 3 22 3 2ka k k k= − +при каждом натуральном k.

6. Докажите, что из любых 11 целых чисел всегда можновыбрать ровно шесть, сумма которых делится на 6.

10 класс

1. Найдите количество всех четырехзначных чисел, укоторых только одна из цифр делится на 3.

2. Стартовав на стадионе в разных направлениях, дваспортсмена поравнялись через 30 секунд. Если бы онистартовали в одном направлении, то впервые поравнялисьбы через 30 минут. Найдите, за какое время быстрейший изэтих спортсменов пробежит полный круг.

3. Найдите сумму всех действительных корней уравнения4 3 26 13 12 3 0x x x x− + − + = .4. В остроугольном треугольнике ABC высоты AK, BL,

CM пересекаются в точке H. На продолжении высоты CMоткладывается отрезок MN, равный отрезку MH, и прово-дится перпендикуляр NP к прямой AC. Докажите, чтоPM KLP .5. Найдите два последовательных натуральных числа,

произведение которых на 100 меньше произведения двухдругих последовательных натуральных чисел (рассмотритевсе возможные случаи).

6. Бригада из нескольких рабочих за 14 полных днейможет выполнить такое задание, какое может выполнить этабригада без трех человек за несколько полных дней и безпяти человек за несколько полных дней. Найдите, сколькорабочих было в этой бригаде первоначально (предполагает-ся, что производительность рабочих одинакова).

11 класс

1. Определите, при каких целых значениях x функция

( )2 17

2

x xf x

x

− −=

−принимает наименьшее целое значение.

2. В одном барабане находится 8 шаров, из которых 3шара красного цвета, в другом барабане – 7 шаров, изкоторых 4 красного цвета. С равной вероятностью выбира-ют один из барабанов, а затем из него вынимают одиншар. Найдите вероятность того, что этот шар будет красно-го цвета.

3. Найдите сумму всех действительных корней уравнения4 3 2 4 2 0x x x x− − + − = .4. См. задачу 4 для 10 класса.5. Найдите два последовательных натуральных числа,

произведение которых на 1000 меньше произведения двухдругих последовательных натуральных чисел (рассмотритевсе возможные случаи).

6. В правильной четырехугольной пирамиде ребро основа-ния равно 6, высота равна 4. Найдите площадь перпендику-лярной проекции этой пирамиды на плоскость боковойграни.

Физическое отделение

ФИЗИКА

7 класс

1. Измерьте длину своего шага. Пользуясь этой «мерой»,определите расстояние между двумя соседними домами.Оцените погрешность измерения.

2. Измерьте размеры комнаты, например класса, рулеткой– длину, ширину, высоту. Определите площадь в квадрат-ных метрах, объем в кубических метрах. Оцените разницурезультатов.

3. Попробуйте оценить ошибку каждого из определяемыхвыше параметров.

4. Попытайтесь с помощью обычной линейки измеритьтолщину отдельного листа бумаги вашего учебника.

5. Пассажир поезда заметил, что встречный поезд длинойL = 200 м прошел мимо него за время t = 10 c. Каковыскорости поездов, если известно, что в момент встречи поездашли с одинаковыми скоростями?

8 класс

1. До какой высоты H надо налить воду в сосуд, днокоторого квадрат со стороной a = 5 см, а стенки вертикаль-ны, чтобы сила давления на дно была равна силе давленияна одну из стенок?

2. Вес куска стекла в воздухе 1 2,1 HP = , а в воде

2 1,26 HP = . Найдите плотность стекла.3. Велосипедист первую треть пути проехал со скоростью

1 30 км чv = , а оставшиеся две трети – со скоростью

2 30 км чv = . Найдите среднюю скорость на всем пути.4. Тело массой m = 1 кг с начальной скоростью 14 м сv =

падает с высоты Н = 240 м и углубляется в песок на глубинуh = 0,3 м. Найдите среднюю силу сопротивления песка F.

5. Два поезда одинаковой длины L = 800 м движутсянавстречу друг другу со скоростями 1 72 км чv = и

2 108 км чv = . Сколько времени они будут проходить другмимо друга?

9 класс

1. Из подручных средствделаются рычажные весы(рис.5). Используются двелинейки, два спичечных ко-робка и немного ниток. Одналинейка ставится вертикаль-но, на нее серединой накла-дывается вторая линейка и кее концам прикрепляютсяспичечные коробки. В ле-вую коробку кладут гирюмассой М = 50 г.Определи-те, при какой массе в правойкоробке весы будут сохра-нять равновесие. Размер линейки 30 3 0,3 смa b c× × = × × .Масса линейки m = 10 г, массой остальных предметовможно пренебречь.

2. Два туриста вышли одновременно из пунктов A и B вмомент времени 1 10 чt = и двигались прямолинейным мар-шрутом с одинаковой скоростью, намереваясь прийти впункт сбора C в момент 2 14 чt = , но встретились в момент

3 13 ч 30 минt = вне пункта С, обнаружив, что идут вперпендикулярных направлениях. Когда, двигаясь с пре-жней скоростью, туристы придут в пункт сбора после пра-вильной коррекции маршрута?

3. В заполненную водой цилиндрическую колбу насыпалинекоторое количество мелких пластиковых шариков – ониобразовали слой высотой Н = 10 см, затем сверху началиаккуратно насыпать свинцовые дробинки. Когда свинцовыешарики образовали слой высотой h = 2,9 мм, оба слояпогрузились в воду. Определите плотность пластика. Плот-ность воды 31000 кг м , плотность свинца 311340 кг м .

4. На электроплитку поставили кастрюлю с водой. Послетого как вода нагрелась до 1 70 Ct = ° плитку выключили.Оставаясь на выключенной плитке, кастрюля нагрелась до

2 80 Ct = ° . После этого горячую воду из кастрюли вылили,заменили ее вдвое меньшим количеством воды из-под кранас температурой 3 20 Ct = ° и вновь поставили на теплую

Рис. 5

60 К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 3

электроконфорку – вода нагрелась на 5 Ct∆ = ° . Определи-те температуру включенной электроконфорки. Теплоемкос-

тью кастрюли и поте-рей тепла можно пре-небречь.

5. В изображеннойна рисунке 6 схеме из-вестны сопротивлениярезисторов 1 1 ОмR =и 4 2 ОмR = и указа-ны напряжения неко-торых точек относи-

тельно отрицательного полюса батарейки. Определите со-противления резисторов 2R и 3R .

10 класс

1. С одинаковой начальной скоростью v одновременнобросили два мяча: один вверх, второй вниз с высоты h. Мячистолкнулись в воздухе, прежде чем какой-либо из них упална землю. На какой высоте они столкнулись? При какойминимальной скорости v это было возможно?

2. Мальчик бросил камень перпендикулярно берегу реки.Камень упал в воду на расстоянии L от берега, на которомстоял мальчик. От места падения камня пошла волна,которая впервые достигла этого берега через время 1t послепадения камня, а через время 2t она плеснула у ногмальчика. Определите скорость течения реки.

3. Ракета массой m стартует под углом к горизонту ипопадает в точку на крутом склоне горы, удаленную от местастарта на L по горизонтали и на H по вертикали. Определитесилу тяги двигателя ракеты, если она во время полета неменялась и была направлена под углом α к горизонту.

Изменением массы ра-кеты пренебречь. Уско-рение свободного паде-ния равно g.

4. Брусок массой mлежит на плоскости, на-клоненной под углом αк горизонту (рис.7). Нанего действует горизон-

Рис. 6

тальная сила F, направ-ленная по склону. Опре-делите ускорение брус-ка. Коэффициент трениябруска о плоскость ра-вен µ .

5. Цилиндрическийсосуд с площадью сече-ния S закрыт подвиж-ным поршнем, в кото-рый смонтирована трубка высотой 1h малого сечения (рис.8).Под поршнем в равновесном состоянии находятся два слояжидкостей одинаковой высоты H. Плотности жидкостей 1ρи 2ρ , причем 2 1ρ > ρ . В трубке жидкость образует столбиквысотой h. Какую силу нужно приложить к поршню, чтобыон опустился на дно?

11 класс

1. Из точки, расположенной на расстоянии L от дома,мальчик вертикально бросает мяч со скоростью u. Одновре-менно другой мальчик с расположенного на высоте h балконаэтого дома горизонтально бросает другой мяч, и мячи стал-киваются в воздухе. На какой высоте они столкнулись?

2. Решите задачу 4 для 10 класса.3. Решите задачу 5 для 10 класса.4. Банджи-джампер (англ. bungee jumping — широко

распространенный в мире аттракцион, часто называемый вРоссии «тарзанка») прыгает с высокого моста на упругомканате длиной L. Какую максимальную скорость он разовьетво время прыжка, если низшая точка падения находится наh ниже моста? Ускорение свободного падения равно g.

5. Половину закрытого цилиндрического сосуда высотой2h заполняет жидкость плотностью ρ , в которой плаваеттонкий поршень. Верхняя часть сосуда содержит воздух придавлении 0p . После того как сосуд перевернули и заполнен-ная жидкостью половина сосуда оказалась наверху, воздухчерез зазор между поршнем и стенками цилиндра началмедленно просачиваться. Определите давление в нижнейчасти сосуда, когда там останется столб воздуха высотой x.Температура не меняется. Ускорение свободного паденияравно g.Рис. 7

Рис. 8

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

ЗАДАЧИ

(см. «Квант» №2)

1. Таких примеров очень много, вот некоторые из них: 11 и 22(11 + 22 = 33, 11 · 22 = 242), 12 и 21 (12 + 21 = 33, 12 · 21 == 252), 18 и 37 (18 + 37 = 55, 18 · 37 = 666).2. Один из возможных ответов приведен на рисунке 1.

3. По условию, на всех клетках лежитразное число зерен. Каким может бытьнаименьшее возможное число зерен надоске? Самое маленькое число зерен наклетке – это 0, следующее – 1 и такдалее, т.е. всего зерен не меньше0 + 1 + 2 + … + 62 + 63 = (0 + 63) ++ (1 + 62) + … + (31 + 32) = 63 · 32 == 2016. Значит, впервые история моглапроизойти в 2016 году. Но в каждый

следующий год зерна тоже можно разложить, как требуется –например, добавляя по зернышку на клетку с наибольшимчислом зерен. Поэтому про следующие годы нельзя сказать«наконец-то настал такой год, что...», и история произошла в2016 году.4. Соединив середины противополож-ных сторон прямоугольника, мы разо-бьем его на 4 одинаковых прямоуголь-ничка меньшего размера. Стороны ром-ба будут диагоналями этих прямоу-гольничков. Но диагональ исходногопрямоугольника складывается из двухдиагоналей прямоугольничков (рис.2),т.е. сторона ромба равна половине ди-агонали исходного прямоугольника.Поскольку центр описанной окружности прямоугольника –точка пересечения его диагоналей, сторона ромба равна радиу-су описанной окружности исходного прямоугольника, т.е.5 см.Рис. 1

Рис. 2

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 61

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

(см. «Квант» №1)

11. а) 2016 252 2 2 2= ◊ ◊ ◊ ;б) ( )2016 252 2 5 2= ◊ ◊ - .12. Не могло.Предположим противное, и пусть суммы оказались равны a,a + 1, …, a + 13. Так как сумма Петиных чисел равна суммеВасиных чисел (и то и другое – сумма всех чисел в таблице),то числа a, a + 1, …, a + 13 можно разбить на две группы по7 чисел с равными суммами. Но тогда сумма всех чисел

( )14 1 2 13S a …= + + + + четна, что неверно.Замечание. Утверждение задачи можно усилить: 14 сумм изусловия задачи не могут являться даже последовательными14-ю членами арифметической прогрессии. Предположимпротивное, и пусть суммы оказались равны a, a + d, …, a ++ 13d. Числа a, a + d, …, a + 13d можно разбить на две груп-пы по 7 чисел с равными суммами. Но тогда (вычитаем изсумм по 7a и сокращаем на d) то же верно для чисел 0, 1,2, …, 13. Далее используем соображение четности, как в ре-шении задачи.13. 4.Пусть для определенности x y≥ , тогда наше выражение рав-

но ( )22 4

4x x

xy y= ≥ . Равенство достигается при x = y.

14. Для n = 4, 6, 8, 10, 12.Отложим от начала координат всевозможные векторы длины5, имеющие целые координаты, таких векторов 12 штук (рис.3). Пусть дан выпуклый n-угольник, удовлетворяющий усло-вию задачи. При обходе его контура по часовой стрелке каж-дый из данных 12 векторов может встретиться не более одно-го раза, значит, 12n £ . Окрасим все целочисленные верши-ны в «шахматном» порядке (точки, у которых абсцисса и ор-дината одинаковой четности, окрашены черным, а точки, укоторых абсцисса и ордината разной четности, окрашены бе-лым). Как видим, каждый из наших векторов соединяет точ-ки разных цветов, поэтому при обходе контура нашегоn-угольника цвета чередуются, значит, n – четно. Остаетсяпривести примеры для n, указанных в ответе. Для n = 12 дос-таточно отложить последовательно друг за другом все 12 век-торов 1 2 6 1 2 6, , , , , , ,a a a a a a… …- - - . Для n = 10 аналогично от-кладываем векторы 1 2 5 1 2 5, , , , , , ,a a a a a a… …- - - и т.д., дляn = 4 откладываем векторы 1 2 1 2, , ,a a a a- - .15. Предположим, что ученый не ошибся. Возьмем пару уче-

Рис. 3

5. Будем обозначать принадлежность к первому клану буквойА, а ко второму – буквой Б. Каждому рыцарю сопоставимпару – сам этот рыцарь и следующий за ним против часовойстрелки. Пары бывают четырех типов: АА, ББ, АБ и БА, авсего пар столько же, сколько всего рыцарей. По условию,пар типа АА и ББ столько же, сколько пар АБ и БА, обозна-чим это количество за x. Тогда общее число рыцарей будетравно 2x.Теперь разобьем сидящих за столом на группы рыцарей одно-го клана, сидящих подряд (в группе может быть и один ры-царь), так, чтобы группы разных кланов чередовались. Таккак рыцари сидят по кругу, число групп первого клана будетравняться числу групп второго клана. Но в каждой группенайдется ровно один рыцарь, справа от которого сидит ры-царь другого клана (самый правый в группе). Значит, числогрупп первого клана равно числу пар вида АБ, а число группвторого клана равно числу пар вида БА. Получается, что парвида АБ столько же, сколько пар вида БА, но суммарное ихчисло равно х – значит, х четно. Тогда общее число рыцарей,равное 2x, делится на 4.

ных A, B. У них есть пара общих знакомых C и D. Но тогдадля пары C, D пара A, B является единственной парой общихзнакомых. Сопоставим паре A, B пару C, D. Как видим, этосоответствие взаимно однозначно, поэтому количество парученых должно быть четно. С другой стороны, это количе-

ство пар равно 2015 2014

2015 10072

◊= ◊ – нечетное число.

Противоречие.

КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. Нельзя. Заряд на «лейденской банке» будет очень малым.На изолированной обкладке вследствие индукции возникнути будут удерживаться на ней заряды обоих знаков. Приборне будет конденсатором.2. Увеличится в полтора раза.3. а) При постоянстве напряжения между обкладками; б) припостоянстве зарядов.

4. 1

1k =

ε +.

5. Эквивалентная схема представ-лена на рисунке 4. Разность потен-циалов между точками А и В равнанулю. Общая емкость батареи рав-на 2С.6. xC C= .7. Образовавшийся сложныйконденсатор можно рассматри-вать как батарею, состоящую изтрех одинаковых конденсаторовемкостью 0C (рис.5). Общаяемкость системы равна 02 3C .8. Уменьшилась в 4 раза. Послеподключения у двух конденсаторов останется только полови-на начальной энергии заряженного конденсатора, котораяраспределится между конденсаторами поровну.9. Пластина втянется внутрь конденсатора (краевой эффект).10. Не изменится.11. Возможно, если до подключения конденсатор емкостью

2C зарядить до разности потенциалов E .12. Емкость места разрыва очень мала и емкостное сопротивле-ние в связи с этим очень велико, поэтому ток прекращается.13. При замкнутом ключе переменный ток протекает черезлампу в течение каждого полупериода.

Рис. 4

Рис. 5

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 362

Рис. 7

XXIV МЕЖДУНАРОДНАЯ ОЛИМПИАДА«ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ МАРАФОН»

ОЛИМПИАДА ПО ФУНДАМЕНТАЛЬНЫМ НАУКАМ

Математика

Устный командный тур

1. 334, 335, 336 или 337. 2. 2011, 1993. 3. p = 3.4. Нельзя.Указание. Числа в вершинах имеют одинаковую четность, но1 и 20 могут стоять только в вершинах.

5. Есть.Указание. Число

29 2 82 1024 ·512 10= > и пото-му состоит не менее чем из 9цифр. Если среди них нет 0,то это все цифры от 1 до 9.Но тогда их сумма, а значит,и само число кратны 3.6. См. рис.6. 7. 4.

8. Периметр больше.Указание. Пусть, для определенности, точка M лежит внутритреугольника OAB, где O – точка пересечения диагоналей па-раллелограмма, т.е. внутри каждого из треугольников ABC иBAD. Тогда AM + MC £ AB + BC (равенство только приM = B) и BM + MD £ BA + AD (равенство при M = D).Остается сложить эти неравенства.

9. 1

2x = ,

3

2y = . 10. 2 n- .

Письменный индивидуальный тур

1. В системе по основанию 5.Искомое основание b системы больше 3, так как среди цифрв этой системе есть 3. Условие делимости числа 3b + 1 на

b + 3 равносильно тому, что 3 1 8

33 +3

b

b b

+= -

+ – целое число,

т.е. b + 3 – делитель 8. Единствен-

ное число, удовлетворяющее этимусловиям, это b = 5.2. :b a .Заметим, что биссектриса угла Cпроходит через центр O квадрата(рис.7). Действительно, точка Oлежит на описанной окружноститреугольника ABC, так как

90ACB AOB– = – = ∞ . Теперь ра-венство углов ACO и BCO следует

14. Собственные колебания в контуре не изменятся.15. Через одну восьмую периода: колебания энергии в катуш-ке и в конденсаторе происходят в противофазе с частотой, вдва раза большей собственной частоты контура.

МИКРООПЫТ

Натерев друг о друга бумагу и пластик, вы сообщили им раз-ноименные заряды. Поднеся эти предметы к струйке воды,вы образовали плоский конденсатор, в поле которого струйкаэлектризуется и отклоняется к одной из его пластин.

из того, что они вписаны в эту окружность и опираются наравные хорды AO и OB. Поскольку O – центр симметрииквадрата, прямая CO делит стороны AB и CD на соответ-ственно равные отрезки: AL = DM, LB = ME. По свойствубиссектрисы треугольника, AL : LB = AC : AB = :b a , а зна-чит, DM : ME = AL : LB = :b a .3. а) Могут; б) не могут.а) Пример трех трудных месяцев подряд – февраль, март иапрель 2016 года.б) Четыре трудных месяца содержат 16 воскресений. Но наи-меньшее число дней в 4 месяцах подряд, очевидно, равно31 + 28 + 31 + 30 = 120 (январь – апрель невисокосногогода), а любые 120 дней содержат 17 полных недель ( 7 17¥ == 119), а значит, 17 воскресений. Поэтому все такие месяцытрудными быть не могут.4. 2015 = 4 4 4 46 5 3 13 1+ + + ◊ (16 слагаемых).Заметим, что если число a нечетно, a = 2n + 1, то 4a дает ос-таток 1 при делении на 16. (Действительно, поскольку

( )1n n + четно, то ( ) ( )22 1 4 1 1 8 1n n n k+ = + + = + , где k – це-

лое; поэтому ( ) ( )24 28 1 16 4 1a k k k= + = + + .) С другой сторо-

ны, остаток числа 2015 при делении на 16 равен 15. Следова-тельно, в искомой сумме не менее 15 нечетных слагаемых.

Поскольку 47 2401 2015= > , такая сумма может содержать

только члены вида 45 625= (не более трех), 43 81= и 41 .Наибольшие суммы, содержащие 3, 2 и 1 слагаемое вида 45

и не превосходящие 2015, равны 4 4 43 5 3 11 1   1967◊ + + ◊ = ,4 4 42 5 9 3 4 1 1983◊ + ◊ + ◊ = и 4 45 14 3 1759+ ◊ = . Все они мень-

ше 2015, а суммы, не содержащие 45 , очевидно, меньше пос-ледней из указанных. Значит, требуется не менее 16 слагае-мых; соответствующий пример приведен в ответе.5. Верно.Пусть d – разность данной прогрессии. Числа

( ) ( ) ( )2 12 12 2

1 2 1 2a a a a a a d a d- = - + = + и ( )2 23 12 2 3a a d a d- = +

как разности членов этой прогрессии кратны d, значит,

12a d+ и 12 3a d+ – целые. Поэтому ( )12 2 3d a d= + -( )12a d- + – целое число, т.е. d – полуцелое (кратно 1 2 ).

Значит, число ( )1 14 2 2 2n a a d d= = + - – целое, т.е. 1a , а сним и все члены прогрессии кратны 1 4 . Если n нечетно, то

221 16

na = не кратно 1 4 , поэтому n – четно. Но тогда 1 1 4a =

– полуцелое число; значит, и все члены прогрессии полуце-лые. Поэтому 12m a= и ( )12d a d m= + - – целые. В частно-

сти, число 2

21 4

ma = – полуцелое. Следовательно, m четно, а

1 2a m= – целое. Итак, доказано, что первый член прогрес-

сии и ее разность – целые числа. Следовательно, все членыпрогрессии целые.6. а) Не может; б), в) может.Пусть ABCD – данный четырехугольник, P – его периметр,O – точка пересечения его диагоналей.а) По неравенству треугольника, AB < AO + OB. Аналогич-ные неравенства выполняются и для трех других сторон че-тырехугольника. Складывая все четыре неравенства, получимP < 2(AC + BD), что неверно при P = 2016 и AC + BD = = 1007 + 1 = 1008.б) Указание. Рассмотрите вырожденные четырехугольники сB = C и с D на AC или на продолжении.в) Покажем, что существует прямоугольник с периметром2016 и диагоналями длины 1007. Это можно сделать из сооб-ражений непрерывности, как в п. б), или непосредственно ре-шив систему уравнений для его сторон a и b: a + b = 1008,

2 2 21007a b+ = . Легко видеть, что ее решения – это корниквадратного уравнения 22 2016 2015 0x x- + = , имеющего по-ложительный дискриминант.

УРАВНЕНИЯ СВЯЗЕЙ В МЕХАНИКЕ

1. 2 21 3tg tg

4 2Ba a α αÊ ˆ= + +Á ˜Ë ¯

. 2. sin2

a gα

= .

3. 2sinv

Hω α= . 4. а) оси

sin

Rv

ωα

= ; б) кас1 sin

sinv R

αω

α-

= .

Рис. 6

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я 63

Письменный индивидуальный тур

1. л p cos 1,2 м сv v α= = , л

208,3 c 3 мин 28,3 csin

dt

v α= = = .

2. Сила натяжения нити направлена вдоль нити, поэтому ша-рик массой М приобретет импульс по направлению нити. Изсохранения импульса вдоль нити имеем ( ) cosM m u mv α+ = ,

и cos

1 м сmv

uM m

α= =

+.

3. Такая система зарядов образует ромб со стороной 0a ,большая диагональ соединяет неподвижные протоны и равнаd, а меньшая – это диаметрокружности вращения двухэлектронов, равный 2 er(рис. 9), причем

02 cosd a α= и 0 siner a α= .На каждый протон действу-ют три силы – сила куло-новского отталкивания дру-гого протона и две силы ку-лоновского притяженияэлектронов, причем сумма всех сил равна нулю.Отсюда находим

1cos

2α = , 60α = ∞ , 0

346 пм

2er a= = , 0 53 пмd a= = .

На каждый электрон действуют две силы притяжения прото-нов и одна сила отталкивания второго электрона. Для нахож-дения скорости электронов запишем второй закон Ньютона иполучим

( )2

38sin 1 2404 км с4 e

kev

mrα= - = .

4. Искомая доля составит

( )1

2 8

mg

pS mg=

-.

Заметим, что при ( )2 50 кгm pS g= = поршень выдавит весьгаз из нижней части цилиндра, т.е. выйдет ровно половинагаза.5. Если мы говорим о гравитационном взаимодействии света,то необходимо ввести понятие эффективной гравитационной

массы: m2

E

c= . Тогда, в соответствии с законом сохранения

энергии, в гравитационном поле Земли

2 2op

Mm MmE G E G

R R

¢- = -¢ , или 2 2 2

op

Mh Mhh G h G

R c R c

ν νν ν

¢- = -¢ ,

где М – масса Земли, opR – радиус стационарной орбиты, накоторой находится испускающий лазер, E¢ и m¢ – энергия иэффективная масса фотона на поверхности Земли.По второму закону Ньютона для вращательного движения,

2c op2

op

сMmG m R

Rω= , где cm – масса спутника, 2 Tω π= =

( )2 24 чπ= – угловая скорость вращения спутника. Отсюда

3op 2

MR G

ω= =

2 233 42,3 10 км

4

gR T

πª ◊ , и 2 2

op

gR R gR

Rc c≪ .

Тогда закон сохранения энергии примет вид h hν ν= -¢

2

gRh

cν- ¢ , откуда

102

7,1 10gR

c

∆ν ν νν ν

--¢= = ª ◊ .

6. Цикл тепловой машины изображен на рисунке 10. В про-цессе 1–2–3 газ получил от нагревателя тепло нQ , а в про-цессе 3–4–1 отдал холодильнику тепло xQ . КПД тепловой

Рис. 8

7. 29 10n-◊ .Ясно, что в каждом десятке последовательных чисел, т.е. сре-ди чисел от 10N + 1 до 11N, можно выбрать не более одного

числа. Количество n-значных чисел равно 110 10n n-- =19 10n-= ◊ , они разбиваются на 29 10n-◊ десятков. Это дает

верхнюю оценку для искомого количества попарно несосед-них n-значных чисел. Выбрать из каждого десятка одно чис-ло так, чтобы среди выбранных чисел не оказалось соседних,можно, например, так: суммы цифр всех чисел в одном де-сятке при делении на 10 дают по разу все остатки от 0 до 9;выберем среди них число с суммой цифр, кратной 10.

История научных идей и открытий

1. Норберт Винер, кибернетика.2. Блез Паскаль.3. Указание. Простое число p имеет единственное разложениена натуральные множители: 1p p= ◊ . Если 2 2p n m= - =

( ) ( )n m n m= + - , то n + m = p, n – m = 1.4. Указание. а), б) И в треугольнике, и в параллелограммевысота проводится к наибольшей стороне, чтобы ее основаниепадало на саму эту сторону, а не на ее продолжение (рис.8).

в) Разрежем многоугольник по всем прямым, соединяющимпары его вершин. Тогда он распадется на выпуклые много-угольники, которые разрезаются на треугольники диагоналя-ми, выходящими из одной вершины.5. Достаточно указать какую-нибудь арифметическую про-грессию na , удовлетворяющую условиям теоремы Дирихле,для которой все числа, отличающиеся от ее членов на 2, со-ставные. По этой теореме в ней бесконечно много простыхчисел; они и будут искомыми. Такой прогрессией является,например, na = 15n + 7. Действительно, na + 2 = 15n + 9 де-лится на 3 (и не равно 3), а na – 2 = 15n + 5 делится на 5 (ине равно 5 при n > 0).

Физика

Устный командный тур

1. Может. 2. На расстоянии в

зв

0,61 мv

l Hv

= ≈ .

3. sin cos4,7 H

cos sinF mg

α − µ α= ≈

α + µ α. 4.

( )( )в

в1

S HV

n

ρ ∆=

− ρ − ρ.

5. Нижний шар будет иметь нулевое ускорение, средний шарбудет двигаться с ускорением g, верхний – с ускорением 2g.6. Нужно на ощупь оценить температуру трубы в двух доста-точно разнесенных точках. Если температура трубы нижетемпературы окружающего воздуха, то вода течет от болеехолодной к более теплой точке, если же температура трубывыше температуры окружающего воздуха, то наоборот. Вслучае равенства температур трубы и воздуха определить на-правление течения таким способом невозможно.7. Смена дня и ночи будет происходить с периодом 1 год.8. Нужно обеспечить теплоизоляцию тела человека от окру-жающей среды, например с помощью плотной белой одежды.Тогда внутри одежды температура будет равна температуречеловеческого тела.

Рис. 9

К В А Н T $ 2 0 1 6 / № 364

IV МЕЖДУНАРОДНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ТУРНИР ИМЕНИМ.В.ЛОМОНОСОВА ДЛЯ УЧАЩИХСЯ 5–8 КЛАССОВ

Устный командный тур

5–6 классы

1. Площадь треугольника ABK равна площади четырехуголь-ника AKCL и равна площади треугольника ADL.2. Можно. 3. Нельзя.

4. Число 4 22016 2016 1+ + = ( ) (2 22016 2016 1 2016 2016- + + +

)1+ – составное.

7–8 классы

1. 23

45.2. Верно.

3. Указание. Медиана прямоугольного треугольника равнаполовине его гипотенузы.

4. 2 2260 195+ .

5. Через точку C параллельно MA проведем прямую, пересе-кающую сторону угла MB в точке P. Обозначим AM = MB =

= x, PB = PC = y. Из соотношения BN MB

PC MP= следует, что

машины равен

x

н

1 0,119 11,9%Q

Q- = = .

7. Так как куб движется с по-стоянной скоростью, то век-торная сумма сил, действую-щих на каждое из тел, равнанулю . Отсюда находим массу

шара: 4 кгtg

m Mµ

α µ= =

-.

История научных идей и открытий

1. 1) Уильям Генри Брэгг и Уильям Лоренс Брэгг. 2) Геор-гий (Юрий) Викторович Вульф.2. Джозеф Джон Томсон, 1906 г., «в знак признания его тео-ретических и экспериментальных исследований, посвященныхпроводимости электричества газами» и Джордж ПаджеттТомсон (совместно с Джозефом Дэвиссоном), 1937 г., «за эк-спериментальное открытие дифракции электронов на крис-таллах»; Нильс Хенрик Давид Бор, 1922 г., «за заслуги в ис-следовании строения атомов и испускаемого ими излучения»и Оге Нильс Бор (в содружестве с Беном Роем Моттельсономи Лео Джеймсом Рейнуотером), 1975 г., «за открытие взаи-мосвязи между коллективным движением и движением от-дельной частицы в атомном ядре и развитие теории строенияатомного ядра, основанной на этой взаимосвязи». Интереснозаметить, что Бор-младший родился в год получения Бором-старшим Нобелевской премии.3. 1) Густав Людвиг Герц и Джеймс Франк. 2) Опыт Франкаи Герца показал, что спектр поглощаемой атомом энергии ненепрерывен, а дискретен и что минимальная порция поглоща-емой энергии может быть рассчитана по теории Бора.4. 1) Сухумский физико-технический институт. 2) Основны-ми направлениями работы были разделение радиоактивныхизотопов в целях разработки ядерного оружия и работы в об-ласти управляемого термоядерного синтеза.5. 1) Джейм Чедвик. 2) Эта частица – нейтрон. Масса нейт-рона почти равна массе протона и составляет примерно 1839масс электрона. Суммарный электрический заряд нейтронаравен нулю.

Журнал «Квант» зарегистрирован в Комитете РФпо печати. Рег. св-во №0110473

Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ №

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант»Тел.: (495) 930-56-48

Е-mail: math@kvant.ras.ru, phys@kvant.ras.ru

Отпечатанов соответствии с предоставленными материалами

в ООО «ИПК Парето-Принт», г.Тверьwww.Pareto-print.ru

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

C.А.Дориченко, А.А.Егоров, Е.М.Епифанов,П.А.Кожевников, А.Ю.Котова, В.А.Тихомирова,

А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИД.Н.Гришукова, А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина,

В.М.Хлебникова

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙ РЕДАКТОРЕ.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППАМ.Н.Грицук, Е.А.Митченко

КВАНТ

MB xBN PC y

MP x y= ◊ = ◊

+, из соотношения

DN CN BP

AM CM MP= =

следует, что BP y

DN AM xMP x y

= ◊ = ◊+

. Таким образом,

xyBN ND

x y= =

+.

6. x = 100, y = 80; x = –900, y = 720.

Письменный индивидуальный тур

5–6 классы

1. 1000000 км. 2. Можно.3. Число, запись которого состоит из 27 восьмерок, делитсяна 999. Число, записанное с помощью одних только цифр 9,нечетно и не может делиться на четное число 8.4. Точку N нужно взять на диагонали AC так, чтобы AN == 2CN.5. Нужно провести прямую, проходящую через центры и пря-моугольника, и круга.

7–8 классы

1. Первая из данных дробей меньше второй.2. Остаток равен 0.3. Из точки N опустим перпендикуляры NK и NL на сторо-ны AB и AD соответственно. Прямоугольные треугольникиKMN и LDN равны, поэтому равны их углы при вершине N.Величина угла MND равна 90 90KNM LND- – + – =∞ ∞ .

4. ( ) ( )2 24 4 2 2 24 4 4 4 2 2n n n n n n+ = + + - = + - =

= ( ) ( )2 22 2 2 2n n n n- + + + .

5. : 3 : 1BK KC = .

Рис. 10