ПРОГРАММА КУРСА «ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА»

Теория множеств.

Основные понятия

элементы

Под множеством S будем понимать любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются

элементами множества S.

Под множеством понимают объединение в единое целое определенных вполне различаемых предметов (объектов), которые при этом называются элементами

образуемого ими множества.

подмн-ва

Мн-во А, каждый элемент которого является элементом другого мн-ва М, называ-ется подмножеством данного мн-ва М.

Булеан

Булеан — множество всех подмножеств данного множества, обозначается

или (так как соответствует множеству отображений из в ).

Мощность

Мощность конечного множества А - это число его элементов.

Мощность множества обозначают |A|.

Упорядоченное

в котором для любых двух элементов и имеет место или .

Разбиения

это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств

Множество из трех элементов может быть разбито пятью способами:

, , , ,

способы задания

перечислением элементов: М={a1, a2, …, ak}, т. е. списком своих элементов;

характеристическим предикатом: М={x | P(x)}(описанием характеристических

свойств, которыми должны обладать его элементы);

порождающей процедурой: M={ x | x=f}, которая описывает способ получения

элементов множества из уже полученных элементов либо других объектов. В та-

ком случае элементами множества являются все объекты, которые могут быть по-

строены с помощью такой процедуры. Например, множество всех целых чисел,

являющихся степенями двойки.

Парадоксы теории множеств.

Пусть — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве свое-го элемента. Содержит ли само себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с "не содержат себя в качестве свое-го элемента". Если предположить, что не содержит себя, как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь — множество всех множеств, а значит, должно

содержать все возможные элементы, включая и себя.

основные операции над множествами.

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение

диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляю-

щего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других

замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в

наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим

образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, мо-

гут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную

диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь

образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из

уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множе-

ство, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя

бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Определе- ние. Пересечением множеств А и В называется мно-

жество, состо- ящее из всех тех и только тех элементов, которые

принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В

(рис. 2):

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех

тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Определение. Симметрической разностью множеств

А и В называ- ется множество элементов этих множеств, которые

принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В

(рис. 4):

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется

множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А

(рис. 5):

Пример 5. С помощью диаграмм Эйлера – Венна проиллюстрируем справедливость

соотношения (рис. 6).

3) фундаментальные алгебры. алгебра Кантора.

4) Отношения, бинарные отношения. Отношение эквивалентности.

пределение. Упорядоченная пара <x, y> интуитивно определяется как совокуп-

ность, состоящая из двух элементов х и у, расположенных в определенном поряд-

ке. Две пары <x,y>, <u, v> считаются равными тогда и только тогда, ко-

гда x=u, y=v.

Упорядоченная n-ка элементов х1, …, хn обозначается <x1, …, xn>.

Определение. Прямым произведением множеств X и Y называется множе-

ство , элементами которого являются все возможные упорядоченные пары

<x, y>, такие, что .

Определение. Прямым произведением множеств Х1, Х2, …, Хn называется сово-

купность всех упорядоченных n-ок <x1, …, xn> таких, что . Если

Х1=Х2=…Хn, то пишут .

Пример 7.

Пусть X={1, 2, 3}, Y={0, 1}. Тогда

; .

Пусть Х – множество точек отрезка [0, 1], а Y – множество точек отрезка [1, 2]. То-

гда - множество точек квадрата с вершинами в точках (0, 1), (0,

2), (1, 1), (1,2).

Определение. Бинарным (или двуместным) отношением r называется множество

упорядоченных пар.

Если r есть отношение и пара <x, y> принадлежит этому отношению, то наряду с

записью <x, y>Оr употребляется запись xry. Элементы х и у называются координа-

тами (или компонентами) отношения r.

Определение. Отношение r на множестве Х называется рефлексивным, если для

любого элемента хОХ выполняется хr х.

Определение. Отношение r на множестве Х называется симметричным, если для

любых х, уОХ из хr у следует уr х.

Определение. Отношение r на множестве Х называется транзитивным, если для

любых х, у, zОХ из хr у и уr z следует хr z.

Определение. Рефлексивное, симметричное, транзитивное отношение на множе-

стве Х называется отношением эквивалентности на множестве Х.

Пример 11.

Отношение равенства на множестве целых чисел есть отношение эквивалентно-

сти.

Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентно-

сти.

Отношение «строго меньше» на множестве действительных чисел не рефлексив-

но, не симметрично и транзитивно на этом множестве.

Отношение перпендикулярности прямых не рефлексивно, симметрично, не тран-

зитивно.

Пусть r - отношение эквивалентности на множестве Х.

5) Отображения и функции. Гомоморфизм. Изоморфизм.

Определение. Функция f называется инъективной, если для любых х1, х2, y

из y=f(x1) и y=f(x2) следует, что x1=x2, то есть каждому значению функции соот-

ветствует единственное значение аргумента.

Определение. Функция f называется сюръективной, если для любого элемен-

та yОY существует элемент хОХ такой, что y=f(x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюръек-

тивна и инъективна.

Рисунок 9 иллюстрирует понятия отношения, функции, инъекции, сюръекции и

биекции.

Определение. Гомоморфизм, который является биекцией, называет-

ся изоморфизмом.

Это отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и

основные соотношения.

Отображение называется гомоморфизмом групп , ,

если оно одну групповую операцию переводит в другую: .

6) упорядоченные множества и решетки. Основные понятия.

7) принцип математической индукции.

Пусть A(n) — некоторое утверждение, зависящее от натурального

параметра n и имеющее смысл для всех натуральных чисел n. Если A(1)

выполняется (база индукции) и для любого натурального числа n из того,

что A(n) выполняется, следует, что A(n+1) выполняется (шаг индукции),

то A(m) справедливо для всех натуральных чисел m.

8) особенности бесконечных множеств. Основные понятия. Счетность. Кардинальная эк-

вивалентность. кардинальные числа.

Бесконечное множество — множество, не являющееся конечным. Можно дать

ещё несколько эквивалентных определений бесконечного множества:

Множество, в котором для любого натурального числа найдётся конеч-

ное подмножество из элементов.

Множество, в котором найдётся счётное подмножество.

Яблонский1) сущ-ет функция fi принадлежащая S, не сохр. константу 0; 2)сущ-ет ф-ия fi принадл. S, не сохр. конст.1; 3)сущ-ет хотя бы 1 нелинейная ф-ия 4) сущ-ет несамодвойственная ф-ия 5) сущ-ет немонотонная ф-ия в S

Множество, для которого существует биекция с некоторым его собствен-

ным подмножеством.

Всякое бесконечное множество M равномощно некоторому собственному подмножеству.

Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

В теории множеств, сч тное мно жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формаль-

но: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное мно-

жество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или

счётно).[1]

Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.[1]

Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.

Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.

Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не

является счётным.

9) система аксиом Цермело-Френкеля (ZF). Система аксиом теории множеств (ZFC).

Аксиомы ZFC

Аксиомами ZFC называется следующая совокупность высказываний теории мно-

жеств:

Комбинаторная математика.

Основные понятия

Комбинато рика Комбинаторный анализ — раздел элементарной математики, связан-

ный с изучением количества комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, которые

можно составить из заданного конечного множества объектов (безразлично, какой приро-

ды; это могут быть буквы, цифры, какие-либо предметы и т.п.).

комбинаторная конфигурация

Теория конфигураций рассматривает задачи выбора и расположения элементов некоторо-

го, обычно конечного, множества, в соответствии с заданными правилами.

Элементарными комбинаторными конфигурациями являются сочетания, размеще-

ния, перестановки. Для подсчёта числа этих конфигураций используются правила сум-

мы и произведения.

комбинаторные объекты

Элементы из которым составляются комбинации

комбинаторные числа

биноминальные коэфиценты???

2) размещения и сочетания постановка задач выбора и расположения.

Пусть у нас есть множество из трех элементов . Какими способами

мы можем выбрать из этих элементов два? .

Определение. Размещениями множества из различных элементов

по элементов называются комбинации, которые составлены из

данных элементов по элементов и отличаются либо самими элемен-

тами, либо порядком элементов.

Комбинаторные числа определяют кол-во комбинаторных объектов, выбранных из заданного мн-ва.

Число всех размещений множества из элементов по элементов обо-

значается через (от начальной буквы французского слова

“arrangement”, что означает размещение), где и .

Теорема. Число размещений множества из элементов по элементов

равно

Определение. Сочетаниями из различных элементов по элементов

называются комбинации, которые составлены из данных элементов

по элементов и отличаются хотя бы одним элементом (иначе говоря, -

элементные подмножества данного множества из элементов).

Как видим, в сочетаниях в отличие от размещений не учитывается поря-

док элементов. Число всех сочетаний из элементов по элементов в

каждом обозначается (от начальной буквы французского слова

“combinasion”, что значит “сочетание”).

Числа

Все сочетания из множества по два —

.

.

Свойства чисел

1. .

Действительно, каждому -элементному подмножеству данного эле-

ментного множества соответствует одно и только одно -элементное

подмножество того же множества.

2. .

Действительно, мы можем выбирать подмножества из элементов сле-

дующим образом: фиксируем один элемент; число -элементных под-

множеств, содержащих этот элемент, равно ; число -элементных

подмножеств, не содержащих этот элемент, равно .

Пример. Сколькими способами можно в игре “Спортлото” выбрать 5 но-

меров из 36?

Искомое число способов

3) размещения, размещения с повторениями.

По правилу умножения количество размещений с повторениями из n по k, обозна-

чаемое , равно:[5][1][4]

Например, количество вариантов 3-значного кода, в котором каждый знак являет-

ся цифрой от 0 до 9 и может повторяться, равно:

4) сочетания, сочетания с повторениями. Биномиальные и полиномиальные коэффициен-

ты.

биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в разложении бинома

Ньютона по степеням x. Коэффициент при обозначается или и

читается «биномиальный коэффициент из n по k» (или «це из n по k»):

Число сочетаний с повторениями из по равно биномиальному коэффициенту

Значение мультиномиального коэффициента определено для всех

целых неотрицательных чисел n и таких,

что :

Биномиальный коэффициент для неотрицательных целых чисел n, k является

частным случаем мультиномиального коэффициента (для m = 2), а именно

Математическая логика.

Логика высказываний.

Основные понятия

пропозициональные переменные

пропозициональная переменная — переменная, значением которой может быть

логическое высказывание, и (пропозициональная) формула, определяе-

мой индуктивноследующим образом[2]:

Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.

Если A — формула, то — формула.

Если A и B — формулы, то , и — формулы.

Других формул нет.

Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества

называются символами данного алфавита. Словом в данном алфавите называется

произвольная конечная последовательность символов (возможно пустая).

Алфавит логики высказываний содержит следующие символы:

высказывательные переменные;

логические символы;

символы скобок.

Определение. Слово в алфавите логики высказываний называется формулой, ес-

ли оно удовлетворяет следующему определению:

Если P — пропозициональная переменная, то P — формула.

Если A — формула, то — формула.

Если A и B — формулы, то , и — формулы.

Других формул нет.

Логические связки и кванторы.

Конъюнкция (логическое И) &

Дизъюнкция (логическое ИЛИ) ∨

Отрицание (логическое НЕ) ¬

Импликация (логическое ЕСЛИ-ТО) →.

Квантор всеобщности («для каждого») ∀

Квантор существования («хотя бы один») ∃

интерпретация формул

Интерпретацией в узком смысле (или просто интерпретацией) называет-ся функция

A{0,1}

такая, что (0)=0, (1)=1.

Выполнимость Противоречивость

Противоречивая формула (невыполнимая, тождественно ложная) —

ложная в любой интерпретации (всегда ложная, при любых наборах значе-

ний).

Выполнимая формула (непротиворечивая, опровержимая) — не являю-

щаяся противоречивой (не всегда ложная, не всегда истинная).

общезначимость

Общезначимая формула (тавтология, тождественно истинная) — истин-

ная в любой интерпретации (всегда истинная, при любых наборах значе-

ний). Обозначается |=а. Пример: формула при любых

значениях и .

Равносильность

Равносильность формул. Формулы

и равносильны, если при любых значениях вхо-

дящих в них пропозициональных переменных логические значения,

получающиеся из формул и , совпадают. Обозначается:

( ).

Эквивалентные преобразования

.

простые логические функции. Тавтологии.

а) закон исключенного третьего ;

б) закон отрицания противоречия ; в) закон двойного отрицания ;

г) закон тождества ;

д) закон контрапозиции ; е) закон силлогизма (правило цепного заключе-

ния) ;

ж) закон противоположности ; з) правило добавления антецедента ("истина из чего угод-

но") ;

и) правило "из ложного что угодно" ; к) правило "модус поненс" (лат. modus

ponens) ; л) правило "модус толленс" (лат. modus

tollens) ; м) правило перестановки посы-

лок ; н) правило объединения (и разъединения) посы-

лок ; о) правило разбора случа-

ев ; п) правило приведения к абсур-

ду .

Булевы функции

Булевой функцией f(x1, x2, …, xn) называется n-местная функция, аргументы кото-

рой принимают значения во множестве {0, 1} и сама функция принимает значения в

этом же множестве.

Всякую булеву функцию от nпеременных можно задать таблицей из 2n строк, в кото-

рой в каждой строке записывают одну из оценок списка переменных, принимающих

значение 0 или 1.

Основные понятия остаточная, единичная, нулевая,

ульарные функции [править]

При n = 0 количество булевых функций сводится к двум 220 = 21 = 2, первая из них

тождественно равна 0, а вторая 1. Их называют булевыми константами — тожде-

ственный нуль и тождественная единица.

Таблица значений и названий нульарных булевых функций:

Значение Обозначение Название

0 F0,0 = 0 тождественный ноль

1 F0,1 = 1 тождественная единица, тавтология

Унарные функции [править]

При n = 1 число булевых функций равно 221 = 22 = 4. Определение этих функций со-

держится в следующей таблице.

Таблица значений и названий булевых функций от одной переменной:

x0=x 1 0 Обозначение Название

0 0 0 F1,0 = 0 тождественный ноль

1 0 1 F1,1 = x = ¬x = x' =

NOT(x)

отрицание, логическое "НЕТ", "НЕ", "НИ", инвертор,

SWAP (обмен)

2 1 0 F1,2 = x тождественная функция, логическое "ДА", повтори-

тель

3 1 1 F1,3 = 1 тождественная единица, тавтология

существенные и фиктивные переменные,

еменная xi называется фиктивной (несущественной) переменной функции f(x1,···,xn), если

f(x1,···,xi-1,0,xi+1,···,xn) = f(x1,···,xi-1,1,xi+1,···,xn)

для любых значений x1,···,xi-1,xi+1,···,xn. Иначе переменная xi называется существенной.

IV. Теория графов.

Основные понятия

Мультиграф

Мультиграф — граф, в котором может быть пара вершин, которая соединена более

чем одним ребром (ненаправленным), либо более чем двумя дугами противополож-

ных направлений.

Псевдограф

Псевдограф — граф, который может содержать петли и/или кратные рёбра.

Орграф

G = (V,E) есть пара множеств, где V — множество вершин (узлов), E — множество дуг (ориентированных рёбер). Дуга — это упорядоченная пара вершин (v, w), где вершину v называют началом, а w — концом дуги. Можно сказать, что дуга v → w

ведет от вершины v к вершине w, при этом вершина w смежная с вершиной v.

подграф

Подграф исходного графа — граф, содержащий некое подмножество вершин данного графа и некое подмножество инцидентных им рёбер

Смежность

понятие, используемое в отношении только двух рёбер либо только двух вершин: Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными; две верши-

ны, инцидентные одному ребру, также называютсясмежными

изоморфизм графов

Два графа называются изоморфными, если существует перестановка вершин, при которой они совпадают. Иначе говоря, два графа называются изоморфными, если существует взаимно-однозначное соответствие между их вершинами и рёб-рами, которое сохраняет смежность и инцидентность (графы отличаются только

названиями своих вершин).

. Удаление и добавление вершин ребер .

Матричные представления графов.

Граф Матрица ин-

цидентности

Ориентирован-

ный граф Матрица инцидентности

Матрицей инцидентности (инциденций) неориентированного графа называется

матрица , для которой , если вершина инцидентна ребру , в

противном случае .

Определение:

Матрицей инцидентности (инциденций) ориентированного графа называется мат-

рица , для которой , если вершина является началом дуги

, , если является концом дуги , в остальных случаях .

Граф Матрица смежности

Маршруты и связность.

Маршрут в графе — это чередующаяся последовательность вершин и рё-

бер , в которой любые два соседних элемен-

та инцидентны. Если , то маршрут замкнут, иначе открыт.

Связность. Две вершины в графе связаны, если существует соединяющая их

(простая) цепь.

Понятия: цепь

Цепь в графе — маршрут, все рёбра которого различны. Если все вершины (а тем самым и рёбра) различны, то такая цепь называется простой (элементарной). В цепи вершины и называются концамицепи. Цепь с конца-

ми u и v соединяет вершины u и v. Цепь, соединяющая верши-

ны u и v обозначается . Для орграфов цепь называется орцепью.

цикл, простой цикл

Цикл — замкнутая цепь. Для орграфов цикл называется контуром.

Цикл (простой цикл) в орграфе — это простой путь длины не менее 1, кото-

рый начинается и заканчивается в одной и той же вершине.

компонента связности

некоторое подмножество вершин графа такое, что для любых двух вершин из это-го множества существует путь из одной в другую, и не существует пути из верши-

ны этого множества в вершину не из этого множества.

обхват, окружение

Обхват (англ.) — длина наименьшего цикла в графе.

Окружение — множество вершин, смежных с заданной.

Фактор. Степень вершины.

Степень вершины — количество рёбер графа G, инцидентных вершине x.

Обозначается . Минимальная степень вершины графа G обозначается .

а максимальная — .

n-Фактор графа — регулярный остовный подграф степени .

Остовный подграф — подграф, содержащий все вершины.

Двудольный граф.

Двудольный граф или бигра ф — это математический термин теории графов, обозначающий граф, множество вершин которого можно разбить на две части та-ким образом, что каждое ребро графа соединяет какую-то вершину из одной части

с какой-то вершиной другой части, то есть не существует ребра, соединяющего две вершины из одной и той же части.

Точка сочленения.

вершина графа, в результате удаления которой вместе со все-ми инцидентными ей рёбрами количество компонент связности в графе возраста-

ет.

Блок.

Разрез.

множество ребер, удаление которого делает граф несвязным. Деревья.

Дерево — связный граф, не содержащий циклов.

Сеть.

Граф в котором вершины как то помечены

Т. Менгера-Уитни.

3) Обходы графов. Эйлеровы графы. Гамильтоновы графы.

Эйлеров путь (эйлерова цепь) в графе — это путь, проходящий по всем рёб-

рам графа и притом только по одному разу. (ср. Гамильтонов путь)

Эйлеров цикл — это эйлеров путь, являющийся циклом.

Эйлеров граф — граф, содержащий эйлеров цикл.

Кроме того, согласно теореме, доказанной Эйлером, эйлеров цикл существу-ет тогда и только тогда, когда граф связный и в нём отсутствуют вершины нечёт-

ной степени.

Гамильтонов граф — в теории графов это граф, содержащий гамильтонову

цепь или гамильтонов цикл.

Гамильтонов путь (или гамильтонова цепь) — путь (цепь), содержащий каждую

вершину графа ровно один раз. Гамильтонов путь, начальная и конечная вершины

которого совпадают, называется гамильтоновым циклом. Гамильтонов цикл явля-

ется простым остовным циклом (см. Словарь терминов теории графов). Задача опре-

деления содержит ли данный граф гамильтонов цикл является NP-полной.

Если неориентированный граф G содержит гамильтонов цикл, тогда в нём не су-ществует ни одной вершины x(i) с локальной степенью p(x(i)) < 2. Доказательство

следует из определения.

5) Планарность. Основные понятия.

Планарный граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пере-сечения ребер.

Граф называется планарным, если он изоморфен некоторому плоскому графу. Т. Понтрягина-Куратовского.

Формула Эйлера

Для связного плоского графа справедливо следующее соотношение между количе-

ством вершин , ребер и граней (включая внешнюю грань):

Оно было найдено Эйлером в 1736 г.[1] при изучении свойств выпук-

лых многогранников. Это соотношение справедливо и для других поверхностей с

точностью до коэффициента, называемого эйлеровой характеристикой.

Это инвариантповерхности, для плоскости или сферы он равен двум. Формула

имеет множество полезных следствий. Если каждая грань ограничена не менее

чем тремя ребрами (при условии, что в графе больше двух ребер), а каждое

ребро разделяет две грани, то

следовательно,

то есть, при большем числе ребер такой граф заведомо непланарен. Об-

ратное утверждение не верно, например, граф Петерсена. Отсюда следует,

что в планарном графе всегда можно найти вершину степени не более 5.

Общая формула также легко обобщается на случай несвязного графа:

где — количество компонент связности в графе.

[править]Два примера непланарных графов

[править]Полный граф с пятью вершинами

K5, полный граф с 5 вершинами

Лемма. Полный граф с пятью вершинами (К5) нельзя уложить на плос-

кость.

Доказательство. Для него не выполняется .

[править]«Домики и колодцы»

Граф «домики и колодцы» (K3,3)

Задача о тр х колодцах. Есть три дома и три колодца. Можно ли так

проложить дорожки между домами и колодцами, чтобы от каждого дома

к каждому колодцу вела дорожка, и никакие две дорожки не пересека-

лись бы. Мосты строить нельзя.

Лемма. Полный двудольный граф с тремя вершинами в каждой из до-

лей (К3,3) нельзя уложить на плоскость.

Доказательство. По формуле Эйлера граф имеет 5 граней.

С другой стороны: любая грань (включая внешнюю) содержит не менее

4 рёбер. Поскольку каждое ребро включается в ровно две грани, полу-

чается соотношение , F — количество граней, E — количество

рёбер. Подставляем в это неравенство F=5 и E=9 и видим, что оно не

выполняется.

Теорема Понтрягина-Куратовского

В общем случае найти K5 или K3,3 довольно сложно. На первый взгляд

кажется, что граф Петерсена содержит K5. Оказывается, нет — в нём

есть подграф, стягивающийся в K3,3.

Очевидно утверждение: если граф G содержит под-

граф, гомеоморфный K5 или K3,3, его невозможно разложить на плоско-

сти. Оказывается, верно и обратное.

Граф планарен тогда и только тогда, когда он не содержит под-

графов, гомеоморфных полному графу из пяти вершин (K5) или

графу «домики и колодцы» (K3,3).

Теорему также можно сформулировать в следующем варианте (иногда

его называют «теорема Вагнера»).

Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подгра-

фов, стягивающихся в K5 или K3,3.

6 Раскраски. Основные понятия.

Хроматическое число

графа называется отображение множества вершин графа на конечное множество (множество цве-

тов); n-раскраска графа - раскраска с использованием n цветов. Раскраска называется правиль-

ной, если никакие две вершины одного цвета не смежны. Очевидно, что для графа без петель все-гда существует правильная раскраска в |V| цветов.

Хроматическим числом графа G называется минимальное число n=c(G), такое, что существует правильная n-раскраска.

. Т. о пяти красках. Теорема о пяти красках.

Каждый планарный граф без петель и кратных ребер является не более чем 5-

хроматическим.

Гипотеза четырех красок. Теорема о четырех красках.

Каждый планарный граф без петель и кратных ребер является не более чем 4-

хроматическим.

7 Критические графы.