МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования «УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В. К. Манжосов

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА.

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ПЛОСКИЕ РАМЫ (СТАТИКА, ДИНАМИКА)

Учебное пособие

Ульяновск, УлГТУ

2016

УДК 624.04(075) ББК 38.112я7 М 23

Рецензенты: зав. кафедрой «Проектирование и сервис автомобилей» УлГУ, д-р техн. наук А. Ш. Хусаинов; доцент кафедры ОПД УВАУГА (И) И. Н. Карпунина

Утверждено редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Манжосов, В. К. Строительная механика. Статически неопределимые плоские рамы (статика, динамика) : учебное пособие / В. К. Манжосов. – Ульяновск : УлГТУ, 2016. – 156 с.

ISBN 978-5-9795-1573-1

Составлено в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Учебное пособие предназначено для изучения методов расчета статически неопределимых плоских рам, выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине.

Работа подготовлена на кафедре «Теоретическая и прикладная механика и строительные конструкции».

Учебное электронное издание

МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ ПЛОСКИЕ РАМЫ

(СТАТИКА, ДИНАМИКА) Учебное пособие

ЭИ № 776. Объем данных 2,87 Мб. Редактор Ю. С. Лесняк ЛР № 020640 от 22.10.97.

Печатное издание Подписано в печать 27.10.2016. Формат 6084/16.

Усл. печ. л. 9,06. Тираж 75 экз. Заказ № 966. Ульяновский государственный технический университет,

432027, г. Ульяновск, Сев. Венец, 32. ИПК «Венец» УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, Сев. Венец, 32.

Тел.: (8422) 778-113 E-mail: venec@ulstu.ru

http://www.venec.ulstu.ru

© Манжосов В. К., 2016 ISBN 978-5-9795-1573-1 © Оформление. УлГТУ, 2016

УДК 624.04(075) ББК 38.112я7

М23

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………… 5 1. СТАТИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ……………………………………………………………… 1.1. Основные понятия…………………………………………………………............. 1.2. Статическая неопределимость плоской стержневой системы …………………. 1.3. Основная и эквивалентная системы при расчете статически неопределимой системы методом сил…………………………………………………………………… 1.4. Канонические уравнения метода сил…………………………………………….. 1.5. Определение коэффициентов при неизвестных силах и перемещений точек приложения неизвестных сил…………………………………………………………... 1.6. Пример. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил……… 1.7. Контрольные вопросы по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»……………………………………………………………………… 1.8. Тестовые задания по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»…………………………………………………………………………….. 2. СТАТИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ……………………………………………… 2.1. Основные понятия………………………………………………………………….. 2.2. Кинематический анализ …………………………………………………………… 2.3. Построение основной системы……………………………………………………. 2.4. Схемы нагружения однопролетных статически неопределимых балок………… 2.5. Канонические уравнения метода перемещений………………………………….. 2.6. Определение коэффициентов и свободных членов канонических уравнений…. 2.6.1. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице…………………………………………………………………………………… 2.6.2. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум……………………………………………………………………………………….. 2.7. Определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержневых участков заданной системы……………………………………………….. 2.7.1. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице…………………………………………………………………………………… 2.7.2. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум……………………………………………………………………………………….. 2.8. Пример. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений……………………………………………………………………………... 2.8.1. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна единице…………………………………………………………………………………… 2.8.2. Плоская рама, степень кинематической неопределимости которой равна двум……………………………………………………………………………………….. 2.9. Контрольные вопросы по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений».......................................................................................... 2.10. Тестовые задания по теме «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений»..................................................................................................... 3. ДИНАМИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ ……………………………………………………………… 3.1. Основные понятия…………………………………………………………...............

8 8 9

13 15

17 21

38

39

41 41 41 44 46 56 58

58

64

71

71

75

80

80

91

102

103

105 105

3

3.2. Кинематический анализ ……………………………………………………………. 3.3. Определение круговых частот собственных колебаний упругой стержневой системы…………………………………………………………………………………… 3.4. Вынужденные колебания упругой системы……………………………………… 3.5. Пример. Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил………………………………………………………………………………. 3.6. Контрольные вопросы по теме «Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»………………………………………….. 3.7. Тестовые задания по теме «Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»……………………………………………………………..

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………………. ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ……………………………………………………....... ГЛОССАРИЙ………………………………………………………………………......... СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ….……………………………….. ПРИЛОЖЕНИЕ ………………………………………………………………………...

П1. Задание «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»….

П2. Задание «Расчет статически неопределимой плоской рамы методом перемещений»…………………………………………………………………………….

П3. Задание «Динамический расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил»………………………………………………………………………...……

106

109 116

119

135

136

137

140

143

146

147

147

150

153

4

ВВЕДЕНИЕ

Строительная механика как учебная дисциплина должна познакомить изучающего этот предмет с методами статических и динамических расчетов сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. Причем изучаются не сами сооружения, а идеализированные представления о них в виде расчетных схем. Важнейшей частью строительной механики, в которой формируются ее основные понятия, является строительная механика стержневых систем.

Статика сооружений изучает их функционирование при статическом действии нагрузки, когда полагают, что эта нагрузка постоянна или мало изменяется во времени.

Динамика сооружений изучает их функционирование, когда нагрузка так интенсивно изменяется во времени, что необходимо учитывать силы инерции.

Одна из основных задач строительной механики стержневых систем связана с определением внутренних сил в поперечных сечениях стержней, составляющих рассматриваемую систему. Их определение позволяет в дальнейшем, используя методы сопротивления материалов, переходить к расчету на прочность, определять перемещения и оценивать жесткость сооружения, решать задачу устойчивости.

Расчетные схемы стержневых систем можно разделить на статически определимые и статически неопределимые системы. В статически определимых системах для решения поставленных задач вполне достаточно использовать соответствующие уравнения равновесия.

Для решения задач в статически неопределимых системах расчет производится с использованием дополнительных уравнений, учитыва-ющих особенности деформирования объекта.

В данном пособии изложены основные положения расчета плоских статически неопределимых рам. Для расчета статически неопределимых стержневых систем широко используется метод сил и метод перемещений.

При использовании метода сил расчет статически неопределимых систем основывается на том, что определяется степень статической неопределимости, отбрасываются «лишние» связи и их действие заменяется неизвестными реакциями связей. Далее составляются канонические уравнения метода сил, определяются коэффициенты и свободные члены канонических уравнений. Решение канонических уравнений позволяет найти неизвестные реакции отброшенных лишних связей и уже традиционным методом перейти к расчету эквивалентной статически определимой системы.

При использовании метода перемещений задача решается иначе: в заданную систему для построения основной системы вводятся дополнительные угловые и линейные связи, которые компенсируются

5

соответствующими, пока неизвестными, угловыми и линейными переме-щениями. Далее составляются уравнения, из которых определяются неизвестные угловые и линейные перемещения. Затем по установленным угловым и линейным перемещениям определяются соответствующее им распределение внутренних сил. Принимая перемещения за неизвестные, пренебрегают влиянием продольных и поперечных сил на деформацию стержней, учитывая лишь деформацию изгиба.

Изложена последовательность динамического расчета статически неопределимой плоской рамы методом сил. Рассматриваются дискретные модели стержневой системы, когда учитываются лишь упругие свойства стержней, а масса технологических объектов и стержневой системы представлена точечными массами, размещенными в определенных точках стержневой системы.

Сформированы основные понятия об этих системах, изложены методы кинематического анализа стержневой системы, обеспечивающие возмож-ность сделать вывод, что рассматриваемая система является геометрически неизменяемой. Представлена последовательность расчета рассматри-ваемых стержневых систем, связанных с определением внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стрежней, составляющих рассматриваемую систему.

Методические рекомендации студенту Изучение теоретического курса предполагает самостоятельную работу

над учебным материалом. При самостоятельной подготовке необходимо руководствоваться рекомендациями преподавателя, основной и дополнительной литературой, методическими указаниями, контрольными вопросами и заданиями.

Изучая материал по учебнику, учебному пособию или конспекту, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделывая самостоятельно все вычисления (в том числе и те, которые ради краткости опущены в учебных материалах) и воспроизводя имеющиеся в учебных материалах расчетные схемы.

При изучении материала по учебному пособию полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулы, уравнения и т. п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя.

Чтение учебного пособия должно сопровождаться решением задач. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения, исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения задачи, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший.

6

Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны).

Полученный ответ следует проверять способами, вытекающими из существа данной задачи. Если, например, решалась задача с конкретным физическим и геометрическим содержанием, то полезно прежде всего проверить размерность полученного ответа. Полезно также, если возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

Решения задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

После изучения определенной темы и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, выводы формул, последовательность решения задачи. Контрольные вопросы поставлены для того, чтобы помочь студенту в повторении, закреплении и проверке прочности освоения изученного материала. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебного пособия и повторить решение задачи.

Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Однако здесь следует предостеречь студента от весьма распространенной ошибки, заключающейся в том, что благополучное решение задач воспринимается им как признак усвоения теории. Часто правильное решение задачи получается в результате применения механически заученных формул, без понимания существа дела. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но недостаточным условием хорошего знания теории.

Если в процессе работы над изучением теоретического материала или при решении задач у студента возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается (неясность терминов, формулировок отдельных задач и др.), то он может обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации.

В своих запросах студент должен точно указывать, в чем он испытывает затруднение. Если студент испытывает затруднение при решении задачи, то следует указать характер этого затруднения, привести предполагаемый план решения.

За консультацией следует обращаться и в случае, если возникнут сомнения в правильности ответов на вопросы для самопроверок.

В процессе изучения предмета студент выполняет ряд расчетных заданий, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе.

7

1. СТАТИКА. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ ПЛОСКОЙ РАМЫ МЕТОДОМ СИЛ

1.1. Основные понятия Статически неопределимыми называются системы, силовые факто-

ры в которых невозможно определить только на основе уравнений равновесия твердого тела. В таких системах имеется большее число связей, чем это необходимо для равновесия тела. Некоторые связи в этом смысле являются как бы лишними, а усилия от этих связей при их отбрасывании являются лишними неизвестными в уравнениях равновесия.

По числу лишних связей или лишних неизвестных усилий уста-навливают степень статической неопределимости системы. На рис. 1.1, а показана балка на шарнирных опорах. Система является статически определимой.

При отбрасывании внешних связей (рис. 1.1, б) три неизвестные реакции AX , AY , BY определяются из трех уравнений равновесия для плоской системы сил:

0iA PM , 0iB PM , 0iX . (1.1)

Используя метод сечений, несложно найти внутренние силовые факторы: изгибающий момент zM , поперечную силу Q и продольную силу N в любом поперечном сечении балки.

а) б)

в) г)

д) е) Рис. 1.1. Статически определимые (схемы а и б) и статически

неопределимые балки (схемы в, г, д, е)

Добавим еще одну связь, например, шарнирно-подвижную опору в точке С (рис. 1.1, в). Хотя в результате этого система стала более прочной

8

и жесткой, однако с позиций расчета эта связь является уже лишней. Теперь для определения четырех неизвестных реакций AX , AY , BY , CY (рис. 1.1, г) трех уравнений равновесия типа (1.1) уже недостаточно. Система стала статически неопределимой.

На рис. 1.1, д, е показана дважды статически неопределимая балка, т. е. система содержит уже две лишние связи. Степень статической неопределимости равна числу лишних связей, удаление которых оставляет систему геометрически неизменяемой, но превращает ее в статически определимую систему. Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно только в результате деформации ее элементов.

Связи в механических системах делят на связи внешние и связи внутренние. Под внешними связями понимаются материальные тела, ограничивающие перемещения тех или иных точек рассматриваемой системы, но не входящие в эту систему (например, опоры балки).

Под внутренними связями понимаются ограничения, которые не позволяют элементам системы произвольно смещаться относительно друг друга. Так, при определении внутренних силовых факторов методом сечений отбрасывается внутренняя связь между сопряженными матери-альными частицами в сечении, а их действие заменяется неизвестными реакциями связей внутренними силовыми факторами.

1.2. Статическая неопределимость плоской стержневой системы Статическая неопределимость может быть результатом не только

введения дополнительных внешних связей, но также и условий обра-зования самой системы. Так, например, в конструкциях часто встречается балка с ломаной осью (рис. 1.2), которую называют рамой.

а) в)

б) г)

Рис. 1.2. Статически неопределимая плоская рама с замкнутым контуром

9

Рассмотрим раму, представленную на рис. 1.2, а. Хотя из условий равновесия несложно определить опорные реакции AX , AY , BY (рис. 1.2, б), однако определение внутренних силовых факторов в поперечных сечениях рамы на участках, образующих замкнутый контур, из статических уравнений равновесия невозможно. Обусловлено это тем, что по методу сечений, если рассечь стержень на любом участке контура (например, на рис. 1.2 это участок 4), то отбросить часть стержневой системы невозможно, так как имеется связь в виде участка 2. Поэтому в сечении разреза как к одной, так и к другой стороне должны быть приложены равные по величине и противоположно направленные друг другу неизвестные силовые факторы (рис. 1.2, в).

Определить эти силы из уравнений равновесия не представляется возможным, так как равные и противоположно направленные силы в уравнениях равновесия приведут к образованию равных по модулю и противоположных по знаку слагаемых. Следовательно, необходимо искать другие уравнения, из которых можно было бы найти три неизвестных силовых фактора в сечении.

Если же рассечь контур так, что можно отбросить часть стержневой системы до или после сечения (рис. 1.2, г), то каждый рассеченный участок контура даст в сечении по три неизвестных силовых фактора. И хотя в этом случае и можно использовать три уравнения равновесия, однако, число неизвестных возрастает уже до шести. Число неизвестных больше трех определяет для плоской системы количество лишних неизвестных и, следовательно, определяет степень статической неопределимости системы.

Заметим, если один замкнутый контур при его рассечении обуслов-ливает шесть неизвестных реакций для плоской системы (из них три реакции являются как бы лишними), то два замкнутых контура (рис. 1.3, а) при их рассечении (рис. 1.3, б) обусловливают уже девять неизвестных реакций (из них шесть реакций являются лишними).

Установка шарнира на оси стержня рамы (рис. 1.3, в) обращает в нуль изгибающий момент в данном сечении, что снижает степень статической неопределимости на единицу (данная рама пять раз статически неопределима). Такой шарнир называется одиночным шарниром. В одиночном шарнире сходятся два стержня. Если в шарнире сходится

10

более двух стержней (рис. 1.3, г), то такой шарнир называется общим и его можно представлять как (р) одиночных шарниров, причем

р = n 1, (1.2) где n число стержней, сходящихся в общем шарнире.

Каждый одиночный шарнир, установленный в стержневой системе, снижает степень статической неопределимости на единицу. Для рамы, изображенной на рис. 1.3, г, общий шарнир в точке С представляется двумя одиночными шарнирами, и степень статической неопределимости рамы равна четырем.

а) б)

в) г)

Рис. 1.3. Статически неопределимая плоская рама с двумя замкнутыми контурами

Для плоской системы (рис. 1.4, а) внешняя связь типа «заделка» при ее отбрасывании (рис. 1.4, б) заменяется тремя неизвестными реакциями

AX , AY , AM ; шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.4, в) заменяется двумя неизвестными реакциями CX , CY , а шарнирно-подвижная опора (рис. 1.4, г) заменяется одной неизвестной реакцией BY .

11

а) б)

в) г )

Рис. 1.4. Схемы замены внешних связей неизвестными реакциями

Для определения степени статической неопределимости плоской стержневой системы может быть предложена следующая формула:

3323 pkOOOs Pnz , (1.3)

где zO число опор типа «заделка»; On число шарнирно-неподвижных опор; Ор число шарнирно-подвижных опор; k число замкнутых контуров; р число одиночных шарниров в стержневой системе.

Для рамы, изображенной на рис. 1.3, а,

zO = 0, 1nO , 1PO , k = 2, р = 0. Следовательно, 2 1 1 3 2 3 6s .

Для рамы, изображенной на рис. 1.3, в,

zO = 0, 1nO , 1PO , k = 2, р = 1. Следовательно, 2 1 1 3 2 1 3 5s .

Для рамы, изображенной на рис. 1.3, г,

zO = 0, 1nO , 1PO , k = 2, p = 2. Следовательно, 2 1 1 3 2 2 3 4s .

Для рамы, изображенной на рис. 1.4, а,

zO = 1, 1nO , 1PO , k = 1, p = 0. Следовательно, 3 1 2 1 1 3 1 3 6s .

12

1.3. Основная и эквивалентная системы при расчете статически неопределимой системы методом сил Для расчета статически неопределимых стержневых систем широко

используется метод сил. Суть метода заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных (лишних) связей как внешних, так и внутренних, а их действие заменяется неизвестными пока силами и моментами сил. Система, освобожденная от лишних связей, становится статически определимой. Она называется основной системой. При образовании основной системы путем отбрасывания лишних связей необходимо следить за тем, чтобы система оставалась геометрически неизменяемой.

Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать большое разнообразие основных систем, вид которых будет зависеть от того, какие связи будут отброшены. Например, рама, изображенная на рис. 1.5, а, семь раз статически неопределимая, т. е. имеет семь лишних связей. В зависимости от того, какие лишние связи будут отброшены, будут получены основные системы, изображенные на рис. 1.5, б, в, г, д, е. Все полученные основные системы являются геометрически неизменяемыми.

а) б) в)

г) д) е)

Рис. 1.5. Статически неопределимая плоская рама (схема а) и разнообразные схемы представления основной системы без лишних связей (схемы б, в, г, д, е)

Если же при отбрасывании лишних связей не следить за обеспечением геометрической неизменяемости, то ее можно нарушить. Например, если в раме (рис. 1.5, а) отбросить семь связей, как показано на рис. 1.6, то увидим, что сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не

13

обеспечивают геометрической неизменяемости с одной стороны, и статической определимости – с другой стороны.

а) б) в)

Рис. 1.6. Схемы неправильного удаления лишних связей, когда возникает геометрическая изменяемость плоской рамы

После того, как лишние связи отброшены и система преобразована в статически определимую, необходимо ввести вместо отброшенных связей неизвестные силовые факторы. Причем там, где связи препятствовали в сечениях линейным перемещениям, вводятся силы. А там, где связи препятствовали угловым перемещениям, вводятся моменты сил. Неизвестные силовые факторы обозначаются как 1 2, ,..., iX X X (где i – номер неизвестного). Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы.

Если в каком-либо сечении стержень разрезан, то равные и противоположно направленные друг к другу силы и моменты сил прикладываются как к одной, так и к другой частям системы (на рис. 1.7 показаны возможные способы приложения неизвестных сил).

а) б) в)

г) д) е)

Рис. 1.7. Возможные способы приложения неизвестных сил

14

Расчет статически неопределимых систем методом сил сводится к следующим этапам:

- устанавливаем степень статической неопределимости, т. е. число лишних связей; - удаляя лишние связи, заменяем исходную систему статически определимой, которая называется основной системой; - загружаем основную систему заданной нагрузкой и неизвестными силовыми факторами, заменяющими действие удаленных лишних связей (такая система называется эквивалентной системой); - для эквивалентности основной системы с исходной неизвестные силовые факторы должны быть подобраны таким образом, чтобы деформация основной системы не отличалась от деформации исходной статически неопределимой системы. Для этого прирав-ниваем к нулю перемещения точек приложения неизвестных сил по направлению их действия. Из полученных таким образом уравнений определяются значения лишних неизвестных; - после определения неизвестных сил и моментов сил обычным способом для эквивалентной системы определяются внутренние силовые факторы, строятся их эпюры, определяются опасные сечения и осуществляется расчет на прочность. 1.4. Канонические уравнения метода сил Условие равенства нулю перемещения по направлению любой из

отброшенных связей можно записать в виде 1 2 30, 0, 0,..., 0n , (1.4)

где 1 2 3, , ,..., n перемещения точек приложения неизвестных сил 1 2 3, , ,..., nX X X X по направлению действия каждой из сил. Уравнение (1.4) можно записать в виде

0, 1,2,3,...,i i n . (1.5) Индекс i означает, что речь идет о перемещении точки приложения

силового фактора iX по направлению действия этого фактора. Так как перемещение любой точки зависит от действия всех сил,

приложенных к системе, то, используя принцип независимости действия сил, можно записать, что

1 2 3 ...i i i i i n ipX X X X , (1.6) где ip перемещение точки приложения силы iX по направлению этой силы от действия на основную систему заданных сил (сосредоточенных сил, моментов сил, распределенных сил).

Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, то их можно выразить с помощью равенств:

15

1 1 1 2 2 2, , ...,i i i i i n in nX X X X X X , (1.7) где inii ...,,, 21 коэффициенты пропорциональности.

Учитывая равенства (1.7) в (1.6) с учетом (1.5), получим 1 1 2 2 ... 0i i in n iX X X P , 1, 2, 3, ...,i n ,

или 11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

31 1 32 2 3 3

1 1 2 2

... 0,

... 0,

... 0,

. . . . . . . . . . . . . . . . . .... 0.

n n p

n n p

n n p

n n nn n np

X X XX X XX X X

X X X

(1.8)

Уравнения (1.8) называются каноническими уравнениями метода сил. Число уравнений равно числу неизвестных реакций 1 2, , ..., nX X X , которые мы получили, отбросив лишние связи (т. е. число уравнений равно степени статической неопределимости исходной системы).

Если исходная система один раз статически неопределима, то из (1.8) имеем всего одно уравнение:

11 1 1 0pX , (1.9) из которого находим 1X

1 1 11/pX . (1.10) Если система два раза статически неопределима, то из (1.8)

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0,

0,p

p

X XX X

(1.11)

откуда находим 1X и 2X : 21 22 1 12 2 12 11 22 ,p pX (1.12) 22 11 2 12 1 12 11 22p pX . (1.13)

Если система три раза статически неопределима, то из (1.8) 11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

0,

0,

0,

p

p

p

X X XX X XX X X

(1.14)

откуда находим 1X , 2X и 3X . Систему уравнений большой размерности (три и более) можно решать

матричным методом. Например, систему уравнений (1.14) можно представить как

X , (1.15)

16

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

1

2

3

,X

X XX

1

2

3

p

p

p

, (1.16)

где матрица коэффициентов ik ; Х матрица неизвестных сил; матрица перемещений точек приложения неизвестных сил от заданной нагрузки по направлениям этих сил.

Решение матричного уравнения (1.15) имеет вид 1X , (1.17)

где 1 обратная матрица для матрицы .

1.5. Определение коэффициентов при неизвестных силах и перемещений точек приложения неизвестных сил

Как можно заметить, для решения систем уравнений необходимо вначале найти значения коэффициентов ik , а также перемещений точек приложения неизвестных сил ip от заданной нагрузки по направлениям этих сил.

Известно, что любое перемещение i kX от действия некоторой силы kX по направлению силы iX зависит от внутренних силовых факторов в поперечных сечениях стержневой системы, вызванных действием силы kX . В общем случае для стержневой системы с учетом всех внутренних силовых факторов

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ],i k i z k i y k i x k i y k

i z k i k

X M X M X M X Q X

Q X N X

(1.18)

где z kM X , y kM X изгибающие моменты от действия силы kX относительно осей z и у, лежащих в плоскости поперечного сечения стержня; x kM X крутящий момент в поперечном сечении; y kQ X ,

z kQ X – поперечные силы в сечении; kN X продольная сила в поперечном сечении стержня.

Перемещения точек по соответствующим направлениям в зависи-мости от внутренних силовых факторов можно определить с помощью интегралов Мора, т. е.

,z k zii z kzL

M X MM X dx

EJ

,y k yii y k

yL

M X MM X dx

EJ (1.19)

x k xii x kpL

M X MM X dx

GJ ,

,y y k yii y k

L

k Q X QQ X dx

GА (1.20)

17

,z z k zii z kL

k Q X QQ X dx

GА

k ii k

L

N X NN X dx

EА , (1.21)

где ziM , yiM , xiM изгибающие ( ziM , yiM ) и крутящие моменты ( xiM ) в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора (единичной силы или единичного момента), приложенного в точке действия силы iX и направленного по направлению этой силы; yiQ , ziQ поперечные силы от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного в точке действия силы iX и направленного по направлению этой силы; iN продольная сила в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного в точке действия силы iX и направленного по направлению этой силы; Е, G модули упругости материала соответственно первого и второго рода; zJ , yJ осевые моменты инерции сечения; А площадь поперечного сечения стержня; pJ полярный момент инерции сечения; ky, kz коэффициенты, зависящие от геометрической формы поперечного сечения; L суммарная длина участков стержневой системы.

Если силовой фактор kX стремится к единице ( 1kX ), то (1.18) с учетом (1.19), (1.20), (1.21) преобразуется к виду

yk yizk zi xk xiik

z yL L L

M MM M M Mdx dx dxEJ EJ GJ

,y yk yi z zk zi k iL L L

k Q Q k Q Q N Ndx dx dxGА GА EА

(1.22) где zkM , ykM изгибающие моменты в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного в точке действия силы kX и направленного по линии действия этой силы; xkM крутящий момент в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного вместо силы kX ; ykQ , zkQ поперечные силы в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного вместо силы kX ; kN продольная сила в поперечных сечениях от действия безразмерного единичного силового фактора, приложенного вместо силы kX .

При нагружении плоской рамы или балки крутящий момент в поперечных сечениях отсутствует и, если пренебречь влиянием на перемещения поперечных и продольных сил, то при нагружении стержневой системы в главной плоскости х у из (1.22)

18

zk ziik

zL

M M dxEJ

, (1.23) при нагружении в главной плоскости х – z из (1.22)

yk yiik

yL

M Mdx

EJ . (1.24)

Если стержень испытывает растяжение сжатие, то из (1.22)

k iik

L

N N dxEА

. (1.25) Если стержень испытывает только кручение, то из (1.22)

xk xiik

pL

M M dxGJ

. (1.26) Перемещение ip аналогично можно определить как

y yiz zi x xiip

z y pL L L

M MM M M Mdx dx dxEJ EJ GJ

,y y yi z z zi iL L L

k Q Q k Q Q NNdx dx dxGА GА EА

(1.27)

где zM , yM изгибающие моменты в поперечных сечениях стержневой системы от действия заданных сил, приложенных к основной системе;

xM крутящий момент в поперечных сечениях от действия заданных сил; yQ , zQ поперечные силы в поперечных сечениях стержневой системы

от действия заданных сил; N продольные силы в поперечных сечениях стержневой системы от действия заданных сил, приложенных к основной системе.

При нагружении плоской рамы или балки крутящий момент в поперечных сечениях отсутствует и, если пренебречь влиянием на перемещения поперечных и продольных сил, то при нагружении стержневой системы в главной плоскости х у из (1.27)

z ziip

zL

M M dxEJ

, (1.28)

при нагружении в главной плоскости x z из (1.27) y yi

ipyL

M Mdx

EJ . (1.29)

Если стержень испытывает растяжение-сжатие, то из (1.27)

19

iip

L

NN dxEА

. (1.30)

Если стержень испытывает кручение, то из (1.27) x xi

ippL

M M dxGJ

. (1.31) Обратим внимание на то, что в интегральных выражениях типа

zk ziik

zL

M M dxEJ

функции zkM и ziM , описывающие внутренние силовые факторы от действия единичных сил, для стержневых систем с прямолинейными осями на участках являются линейными. Следовательно, операция перемножения обладает свойством коммутативности, т. е.

zk zi zi zk

z zL L

M M M Mdx dxEJ EJ

, откуда следует, что

ik ki , (1.32) т. е. 12 21 , 13 31 и т. д.

Вычисление интегралов Мора может быть осуществлено либо по способу Верещагина, либо другими известными методами. По способу Верещагина вычисление интеграла Мора осуществляется следующим образом:

1

) (

( )z

r M i cz zi i

z z iL

А MM M dxEJ EJ

, (1.33)

где (zM

А ) i площадь эпюры изгибающего момента zM на i-м участке стержня; ( сM ) i ордината эпюры ziM , расположенная под центром тяжести эпюры zM на этом участке; r число участков стержневой системы.

Может быть использована формула, основанная на параболическом интерполировании подынтегральной функции, в соответствии с которой вычисление интеграла Мора осуществляется следующим образом:

1

[ ) 4( ) ( ) ]6 ,i

r zi н н zi c c zi к кz zi

z zL

l M m M m M mM M dxEJ EJ

(1.34)

где нziM )( , сziM )( , кziM )( ординаты эпюры zM соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il ; нm , cm , кm ординаты

20

эпюры ziM соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il ; r число участков стержневой системы.

1.6. Пример. Расчет статически неопределимой плоской рамы методом сил

Техническое задание Плоская статически неопределимая рама (рис. 1.8, а) нагружена

плоской системой внешних сил: кН10P , 30 кН/мq , 20 кН мМ . Длина участков стержневой системы определяется долей от размеров

м3h и м2L и показана на рис. 1.8.

а) б)

Рис. 1.8. Плоская статически неопределимая рама: а – расчетная схема, б – эквивалентная схема

Требуется: - определить степень статической неопределимости рамы; - построить основную и эквивалентную системы; - определить неизвестные реакции лишних связей; - определить внутренние силовые факторы (изгибающие моменты, поперечные и продольные силы) в поперечных сечениях рамы и построить соответствующие эпюры; - из условия прочности при 160 МПа подобрать двутавровое сечение рамы.

Решение: Кинематический анализ метода сил Степень статической неопределимости плоской рамы равна

3 2 3 3z n ps O O O k p ,

где zO число опор типа «заделка»; On число шарнирно-неподвижных

21

опор; Ор число шарнирно-подвижных опор; k число замкнутых контуров; р число одиночных шарниров в стержневой системе. Так как для рассматриваемой схемы 1,zO 1, 0, 0, 0,n pO O k p

то 3 1 2 1 3 2,s т. е. рама дважды статически неопределима. Образуем основную статически определимую систему, отбросив связи

в виде шарнирно-подвижной опоры. Построим также эквивалентную систему, заменив действие отброшенных связей неизвестными пока реакциями связей 1X и 2X (рис. 1.8, б). Неизвестные реакции связей 1X и 2X определяются из канонических уравнений

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0,

0,p

p

X XX X

где коэффициенты 11 12 21 22, , , и перемещения 1 2,p p определяются как

1 111

zL

M M dxEJ

, 1 212zL

M M dxEJ

, 2 121zL

M M dxEJ

,

2 222zL

M M dxEJ

, 11 ppzL

M Mdx

EJ , 22 pp

zL

M Mdx

EJ ,

где 1M изгибающий момент в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы, приложенной к основной системе в точке приложения силы 1X вместо этой силы; 2M изгибающий момент в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы, приложенной к основной системе в точке приложения силы 2X вместо этой силы; pM изгибающий момент в поперечных сечениях рамы от действия заданных сил, приложенных к основной системе; 1p перемещение точки приложения силы 1X по направлению этой силы от действия на основную систему заданных сил (сосредоточенных сил, моментов сил, распределенных сил); 2 p перемещение точки приложения силы 2X по направлению этой силы от действия на основную систему заданных сил.

Для вычисления интегралов Мора необходимо определить функции

1M , 2M , pM . Для определения 1M приложим к основной системе безразмерную единичную силу вместо неизвестной силы 1X (рис. 1.9, а).

22

а) б)

Рис. 1.9. Схема нагружения статически определимой рамы единичной силой 1 1X (схема а) и эпюра изгибающего момента 1М от действия единичной силы (схема б)

В основной системе будем рассматривать те же участки, которые были в исходной системе. Начало каждого участка показано на рисунке 1.9, а. Положение секущей плоскости на каждом участке определяем координатами 10 ,x h 20 / 4,x L 30 / 4,x L 40 / 2,x h

50 / 2,x h 60 / 2,x L 70 / 2.x h Используя метод сечений, можно составить выражения для

определения изгибающего момента 1M в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы

1

2 21

3 3

4

0, 0 ,1 , 0 / 4,1 / 4 , 0 / 4,1 / 2, 0 / 2,

x hx x L

Mx L x L

L x h

5

1 6

7

0, 0 /2,0, 0 /2,

1 /2, 0 /2.

x hM x L

L x h

Вычислим значения 1M в начале и конце каждого участка:

11 0xM = 0, 11 x hM = 0; 21 0xM = 0, 21 /4x LM = / 4L ;

31 0xM = / 4L , 31 /4x LM = / 2L ; 41 0xM = / 2L , 41 /2x hM = / 2L ;

51 0xM = 0, 51 /2x hM = 0; 61 0xM = 0, 61 /2x LM = 0;

71 0xM = / 2L , 71 /2x hM = / 2L .

Построим эпюру изгибающего момента 1M (рис. 1.9, б). Для определения 2M приложим к основной системе безразмерную

единичную силу вместо неизвестной силы 2X (рис. 1.10, а). Используя метод сечений, можно составить выражения для опреде-

ления изгибающего момента 2M в поперечных сечениях рамы от действия безразмерной единичной силы:

23

1 1

22

3

4 4

1 , 0 ,1 , 0 / 4,1 , 0 / 4,1 , 0 / 2,

x x hh x L

Mh x Lh x x h

5

2 6

7 7

0, 0 / 2,0, 0 / 2,

1 / 2 , 0 / 2.

x hM x L

h x x h

а) б) Рис. 1.10. Схема нагружения статически определимой рамы единичной силой 2 1X (схема а) и эпюра изгибающего момента 2М от действия единичной силы (схема б)

Вычислим значения 2M в начале и конце каждого участка:

12 0xM = 0, 12 x hM = h ; 22 0xM = h , 21 /4x LM = h ;

32 0xM = h , 32 /4x LM = h ; 42 0xM = h , 42 /2x hM = / 2h ;

52 0xM = 0, 52 /2x hM = 0; 62 0xM = 0, 62 /2x LM = 0;

72 0xM = / 2h , 72 /2x hM = 0.

Построим эпюру изгибающего момента 2M (рис. 1.10, б). Для определения изгибающего момента pM приложим к основной

системе заданные внешние силы (рис. 1.11, а).

а) б)

Рис. 1.11. Схема нагружения статически определимой рамы заданными силами (схема а) и эпюра изгибающего момента pМ от действия этих сил (схема б)

24

Используя метод сечений, можно составить выражения для определения изгибающего момента pM в поперечных сечениях рамы от действия этих сил

1

2

3

4 425 5

26

7 7 7

0, 0 ,0, 0 / 4,

, 0 / 4,, 0 / 2,

/ 2, 0 / 2,

/ 2 / 2, 0 / 2,

/ 2 / 4 / 2, 0 / 2.

p

x hx L

M x LM M P x x h

q x x h

q h x L

M P h x q h x h x h

Вычислим значения pM в начале и конце каждого участка:

1 0p xM = 0, 1p x hM = 0; 2 0p xM = 0, 2 /4p x LM = 0;

3 0p xM = 20M кНм, 3 /4р x LM = 20M кНм;

4 0p xM = 20M кНм, 4 /2p x hM = / 2M Ph = 20 кНм;

5 0p xM = 0, 5 /4p x hM =

2( / 4) / 2q h = 8,437 кНм; 5 /2p x h

M = 33,75 кНм;

6 0p xM = 33,75 кНм, 6 /2p x LM = 33,75 кНм;

7 0p xM = / 2 / 2 / 4M P h qh h = 28,75 кНм,

7 /2p x hM = / 2 / 2 / 4 / 2 / 2M P h h q h h h = 23,75 кНм. Построим эпюру изгибающего момента pM (рис. 1.11, б). Для вычисления интегралов Мора при определении коэффициентов

21122211 ,,, воспользуемся формулой:

72 2 21 1

11 1 1 11

( ) 4( ) ( ) /6

0 4 / 8 / 8 / 4 / 4/ 406

ii н i с i к

L

M M ldx M M M EJEJ

L L L LLEJ

/ 4 / 4 4 3 / 8 3 / 8 / 2 / 2/ 46

/ 2 / 2 4 / 2 / 2 / 2 / 2/ 2 0 06

/ 2 / 2 4 / 2 / 2 / 2 / 2/ 2 ,6

L L L L L LLEJ

L L L L L LhEJ

L L L L L LhEJ

25

где нiM )( 1 , сiМ )( 1 , кiM )( 1 ординаты эпюры 1M соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il ; 7 число участков стержневой системы.

После подстановки численных значений м2L и м3h получим

1110

3EJ . Соответственно,

72 2 22 2

22 2 2 21

( ) 4( ) ( ) /6

0 4 / 2 / 2 / 4 46 6

ii н i с i к

L

M M ldx M M M EJEJ

h h h hh L h h h h h hEJ EJ

4 0,75 0,75 / 2 / 2/ 4 4 / 26 6

/ 2 / 2 4 / 4 / 4 0/ 20 0 ,6

h h h h h hh h h h h h h hEJ EJh h h hh

EJ

где нiM )( 2 , сiM )( 2 , кiM )( 2 ординаты эпюры 2M соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il ; 7 число участков стержневой системы.

Подставив численные значения м2L и м3h , получим 2227EJ

.

Далее находим 12 :

71 2

12 1 2 1 2 1 21

( ) ( ) 4( ) ( ) ( ) ( ) /6

0 4 / 8 / 4 / 4 4 3 / 8 / 2/ 4 / 406 6

/ 2 4 / 2 0,75 / 2 / 2/ 2 0 06

/ 2 / 2 4 / 2 / 4 0/ 2 .6

ii н i н i c i c i к i к

L

M M ldx M M M М M M EJEJ

L h L h L h L h L hL LEJ EJ

L h L h L hhEJ

L h L hhEJ

После подстановки численных значений м2L и м3h получим

126

EJ . Учитываем, что 2112 .

26

Для вычисления перемещений 1p и 2 p воспользуемся формулой

1

11

( ) 4( ) ( )6i

r pi н н pi c c pi к кp

pL

l M m M m M mM Mdx

EJ EJ

3

3

3

[20 / 4 4 20 3 / 8 20 / 2 ] 10/ 40 06

[20 / 2 4 12,5 / 2 5 / 2 ] 10/ 2 0 06

[( 28,75) / 2 4 2,5 / 4 0] 10/ 2 ,6

L L LLEJ

L L LhEJ

L hhEJ

где ( )pi нM , ( )pi сM , кpiM )( ординаты эпюры pM соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il ; нm , cm , кm ординаты эпюры iM1 соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il , r число участков стержневой системы.

Заметим, что сомножитель 103 появился в равенствах вследствие того, что в единицах СИ 1 кН·м = 103 Н·м. Знак «минус» при перемножении ординат ставится тогда, когда ординаты на эпюрах находятся по разные стороны от продольной оси участка. После подстановки численных

значений м2L и м3h получим 3

122,5 10

p EJ

.

Далее вычислим 2 p :

н н c c к к2

21

( ) 4( ) ( )6i

r pi pi pip

pL

l M m M m M mM Mdx

EJ EJ

3

3

3

/ 4 [20 4 20 20 ] 100 06

[20 4 12,5 0,75 5 / 2 ] 10/ 2 0 06

[( 28,75) / 2 4 2,5 0,25 0] 10/ 2 ,6

L h h hEJ

h h hhEJ

h hhEJ

где н( )piM , с( )piM , к( )piM ординаты эпюры pM соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il ; нm , cm , кm ординаты эпюры iM 2 соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il ; r число участков стержневой системы.

27

Подставив значения 2 мL и м3h , получим 32 62,35 10 /p EJ . Так как система два раза статически неопределима, то имеем

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

0,

0,p

p

X XX X

откуда находим 1X и 2X :

21 22 1 12 2 12 11 22 ,р рX 22 11 2 12 1 12 11 22 .р рX

Подставляя числовые значения, получим

2 31

2 32

27 22,5 6 62,35 6 (10 3) 27 10 4320 Н,

(10 3) 62,35 6 22,35 6 (10 3) 27 10 1350 Н.

X

X

Итак, 1 4,32 кНX , 2 1,35 кНX . Рассмотрим эквивалентную систему (рис. 1.12).

Рис. 1.12. Схема нагружения эквивалентной системы

Определим внутренние силовые факторы в эквивалентной системе

(изгибающие моменты zM , поперечные Q и продольные N силы) и построим соответствующие эпюры.

Составим расчетные зависимости для определения изгибающих моментов zM в поперечных сечениях на различных участках стержневой системы:

28

2 1 1

2 1 2 2

2 1 3 3

4 2 4 1 4

25 5

26

7 7

2 7 1 7

, 0 ,, 0 / 4,

/ 4 , 0 / 4,

/ 2, 0 / 2,

/ 2, 0 / 2,

/ 2 / 2, 0 / 2,

/ 2 / 4 / 2

/ 2 / 2, 0 / 2.

z

X x x hX h X x x LM X h X x L x L

M P x X h x X L x hM qx x h

q h x L

M P h x q h x h

X h x X L x h

Подставляя числовые значения, находим zM :

на 1-м участке 01xzM = 0; hxzM 1 = 2X h = 1,35 · 3 = 4,05 кН·м;

на 2-м участке 02xzM = 2X h = 1,35 · 3 = 4,05 кН·м;

2 /4z x LM = 2X h − 4/1 LX = 1,35 · 3 + 4,32 · 0,5 = 6,21 кН·м;

на 3-м участке

3 0z xM = −М − hX 2 − 4/1 LX = − 20 + 1,35 · 3 + 4,32 · 0,5 = −13,79 кН·м;

3 /4z x LM = −М − hX 2 − 2/1 LX = − 20 +1,35 · 3 + 4,32 · 1 = −11,63 кН·м;

на 4-м участке

4 0z xM = −М − hX 2 − 2/1 LX = −20 + 1,35 · 3 + 4,32 · 1 = −11,63 кН·м;

4 /2z x hM = −М + 2/hP − 2/2 hX − 2/1 LX =

= −20 + 10 · 1,5 +1,35 · 1,5 + 4,32 · 1 = 1,34 кН·м; на 5-м участке

5 0z xM = 0; 5 /4z x hM =

2( / 4) / 2q h = 30 · 0,752/2 = 8,437 кН·м;

5 /2z x hM =

2( / 2) / 2q h = 30 · 1,52/2 = 33,75 кН·м;

на 6-м участке 6 0z x

M = 2( / 2) / 2q h = 30 · 1,52/2 = 33,75 кН·м;

6 /2z x LM =

2( / 2) / 2q h = 30 · 1,52/2 = 33,75 кН·м;

29

на 7-м участке

7 0z xM = −М + 2/hP − 2/2 hX − 2/1 LX + ( / 4) / 2q h h =

= −20 + 10 · 1,5 +1,35 · 1,5 + 4,32 · 1 + 30 · 0,75 · 1,5 = 35,09 кН·м;

7 /2z x hM = −М + hP − 2/1 LX + ( / 4) / 2q h h = −20 + 10 · 3 +

+ 4,32 · 1 – 30· 0,75 · 1,5 = −19,43 кН·м.

Составим расчетные зависимости для определения продольной силы N в поперечных сечениях на различных участках стержневой системы:

1 1

2 2

2 3

1 4

5

6

1 7

4,32кН; 0 ,8,65 кН; 0 / 4,8,65 кН; 0 / 4,

4,32 кН; 0 / 2,0, 0 / 2,

/ 2 30 1,5 45 кН; 0 / 2,4,32 кН; 0 / 2.

X x hP X x LP X x L

N X x hx h

qh x LX x h

Составим расчетные зависимости для определения поперечной силы

Q в поперечных сечениях на различных участках стержневой системы:

5 0 5

2 1

1 2

1 3

2 4

5 5

/2

6

2 7

1,35 кН; 0 ,4,32 кН; 0 / 4,4,32 кН; 0 / 4,

10 1,35 8,65 кН; 0 / 2,, 0 / 2,

0; / 2 30 1,5 45 кН;

0, 0 / 2,/ 2 10 30 1,5 1,35 36,35; 0 / 2.

x x h

X x hX x LX x L

P X x hQ q x x h

Q Q q h

x LP q h X x h

30

Определив числовые значения изгибающих моментов zM , поперечных Q и продольных N сил на каждом участке, построим их эпюры (рис. 1.13, б, в, г).

а) б)

в) г)

Рис. 1.13. Схема нагружения эквивалентной системы (схема а) и эпюры изгибающего момента zM (схема б), поперечной силы Q (схема в), продольной силы N (схема г)

Анализируя эпюры, устанавливаем, что для рамы опасные сечения находятся на участках 60 / 2x L и 70 / 2x h в сечении 7х = 0, где внутренние силовые факторы имеют следующие значения:

на участке 60 / 2x L 33,75 кН мzM , 45 кН,N 0Q ; на 7-м участке при 7х = 0 35,09 кН м,zM 4,32 кН,N 36,35Q кН.

31

Проверка результатов расчета Вернемся вновь к расчетной схеме статически неопределимой плоской

рамы (рис. 1.14, а) и ее эквивалентной схеме (рис. 1.14, б).

а) б)

Рис. 1.14. Плоская статически неопределимая рама: а – расчетная схема, б – эквивалентная схема

Реакции лишних связей 1X и 2X должны быть такими, чтобы перемещения точек приложения 1X и 2X по направлениям их действия были бы равны нулю:

1 = 1zL

M M dxEJ = 0, 2 =

2z

L

M M dxEJ = 0,

где 1 и 2 – перемещение точек приложения 1X и 2X по направлениям их действия.

Значения 1 и 2 определим на основе вычислений интегралов Мора:

н 1н c 1c к 1к1

11

( ) 4( ) ( )6i

r z z z iz

L

l M M M M M MM M dxEJ EJ

,

н 2н c 2c к 2к2

21

( ) 4( ) ( )6i

r z z z iz

L

l M M M M M MM M dxEJ EJ

,

где н( )zM , с( )zM , к( )zM ординаты эпюры zM соответственно в начале, середине и конце на участке длиной il .

На рисунке 1.15 представлены эпюры zM (схемы 1.15, а, в), 1M (схема 1.15, б) и 2M (схема 1.15, г).

32

а) б)

в) г)

Рис. 1.15. Эпюры изгибающих моментов zM (схемы а, в), 1M (схема б), 2M (схема г)

Далее вычислим 1 :

н 1н c 1c к 1к1

11

( ) 4( ) ( )6i

r z z z iz

L

l M M M M M MM M dxEJ EJ

=

1-й участок

[0 0 4 2,025 0 4,05(0)]6h

EJ

2-й участок

[0 4 5,13 / 8 6,21 / 4 ]/ 46

L LLEJ

3-й участок

[13,79 / 4 4 12,68 3 / 8 11,63 / 2 ]/ 46

L L LLEJ

33

4-й участок

[11,63 / 2 4 5,145 / 2 1,34 / 2 ]/ 26

L L LhEJ

5-й участок 6-й участок(0) (0)

7-й участок

[ 35,09 / 2 4 7,83 / 2 19,43( / 2)]/ 26

L L LhEJ

.

При перемножении ординат знак минус ставится в случае, если перемножаемые ординаты на эпюрах расположены по разные стороны от продольной оси участка.

Учитывая, что м3h и м2L , получим

1-й участок1(0)

2-й участок

0,5 [ 8,235]6 EJ

3-й участок

0,5 [6,895 38 11,63]6 EJ

4-й участок

1,5 [11,63 20,58 1,34]6 EJ

5-й участок 6-й участок(0) (0)

7-й участок

[ 35,09 4 7,83 19,43]1,56 EJ

=

= 1-й участок 2-й участок 3-й участок 4-й участок[(0) 4,117 28,28 46,305