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Lecture note 9: Nyquistの安定判別法
電子情報通信工学科 奥宏史
制御工学 I
Osaka Institute of Technology
参考文献
• G. C. Goodwin, et al., Control System Design, Prentice Hall, 2001.
• 木村英紀, H∞ 制御,現代制御シリーズ,コロナ社,2000.
• 嘉納秀明他,動的システムの解析と制御,コロナ社,1991.
• 山本稔編,解析学要論 (II)–複素解析とフーリエ変換–,裳華房,1989.
• 木村英紀,制御工学 I · II,講義ノート.
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 2
ベクトル軌跡
• G(s) を伝達関数としたとき,G(jω)の実部を横軸,虚部を縦軸にとり,各 ωに対してプロットした曲線を G(s)のベクトル軌跡 (または,Nyquist線図)と呼ぶ.
0
G(0)
Re
Im
G( )
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 3
偏角の原理
• sの関数 f :– 単一閉曲線 C の内部の極を除いて C の内部および C 上で正則とする.
– C 上では零点をもたないとする.
• 閉曲線 Γ:– Γは w = f(s)による C の像とする.
⇒ Γは w平面上で閉曲線となる.
• 偏角の原理C 内にある f(s)の極と零点の数をそれぞれP , Z とする.sが C 上を一周するとき,f(s)は w平面の原点の周りを (Z −P )回まわる.
0s
CC s
w Γ
0
w
Γ
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 4
Nyquistの安定判別法
• 特徴– グラフィカル(トポロジカル,幾何的)な安定判別法.
– 伝達関数の数式表現を必要としない.
– 例えば「むだ時間」のような,有理関数ではない伝達関数をもつ制御対象にも適用可能.
G(s)eLs, L: むだ時間
– 複素関数論における,「偏角の原理」に基づく.
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 5
Nyquistの安定判別法 (続き)
• 最もシンプルな閉ループ系を考える.• G(s) =
N(s)D(s)
は安定で lims→∞G(s) = 0.
• 閉ループ伝達関数T (s) =
G(s)1 + G(s)
=N(s)
D(s) + N(s).
• 積分経路 C に Nyquist閉路を選択.
• f(s) = 1 + G(s) =D(s) + N(s)
D(s)を選択.
⇒ f(s)は不安定な極をもたない,かつ,
#(T (s)の不安定極) = #(f(s)の不安定零点)
G(s)r y
0 Re
Im
Cc
iC
i cC = C + COsaka Institute of Technology 制御工学 I 6
Nyquistの安定判別法 (続き)
• Cc上では lims→∞ f(s) = lim
s→∞ (1 + G(s)) = 1
と一点に収束.⇒ Ci(虚軸,s = jω)上の −∞ < ω < ∞で考えればよい.
• 偏角の原理 (Z − P )に対照すると,• f(s) = 1 + G(s)の極は安定⇒ P = 0.
• Nyquist閉路は時計回り.
0 Re
Im
Cc
iC
i cC = C + C
#(T (s)の不安定極) = (f(jω)が原点を時計回りに回る回数)
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 7
Nyquistの安定判別法 (続き)
• 複素平面上の並行移動 f(s) = 1 + G(s)
0 1
f ( )
Re
Im
0−1+j0
G( )
Re
Im
f (jω) G(jω)#(T (s)の不安定極)
= (G(jω)が−1 + j · 0を時計回りに回る回数)
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 8
Nyquistの安定判別法 (続き)
• G(jω) → 0 as ω → ∞.
G(s) の Nyquist 線図が左側に −1 + j · 0 を見るとき,閉ループ伝達関数
T (s) =G(s)
1 + G(s)
は安定.
0−1+j0
G( )Re
Im
G(jω)
開ループ伝達関数からフィードバック系の安定性を判定できる.
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 9
Lecture note 10: 相対安定性 (Relative stability)
電子情報通信工学科 奥宏史
制御工学 I
Osaka Institute of Technology
問題設定
G(s): 制御対象
C(s): 制御器
G(s)と C(s)の間には不安定な極零相殺はないとする.
C(s) G(s)+ −
U(s)R(s) Y(s)
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 2
安定性の定量的評価
• 前回までの話システムが安定か不安定かの判別−→定性的
• 今回は · · ·– システムがどれくらい安定か?– 不安定になるまでどれくらいの余裕があるか?
−→定量的な評価
0−1+j0 Re
Im
G(jω)C(jω)
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 3
2つの指標
• 安定余裕 (Stability margins)
– ゲイン余裕 (Gain margin)– 位相余裕 (Phase margin)
0−1+j0 Re
Im
φ
|a|
0−j1
ω = ωp
G(jω)C(jω)
• Nominal sensitivity peak
0−1+j0 Re
Im
ω = ωs
G(jω)C(jω)
η
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 4
安定余裕
• ゲイン余裕 (Gain margin) Mg
Mg := −20 log10 |a|虚軸上で −1 + j0に達するまでのゲインに関する余裕.
• 位相余裕 (Phase margin) Mf
Mf := φ
−1 + j0 に達するまでの位相遅れの余裕
0−1+j0 Re
Im
φ
|a|
0−j1
ω = ωp
G(jω)C(jω)
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 5
ゲイン余裕Mg := −20 log10 |a|
0 < |a| < 1に注意すると,1 <1|a|
1|a|
小さいとき: 余裕が小さい
大きいとき: 余裕が大きい
デシベル (dB)で評価する.
Mg := 20 log10
1|a|
= 20 log10 1 − 20 log10 |a|= 0 − 20 log10 |a|
0−1+j0 Re
Im
φ
|a|
0−j1
ω = ωp
G(jω)C(jω)
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 6
安定余裕とBode線図
10-2
10-1
100
101
-60
-40
-20
0
20
Mag
nitu
de (
dB)
Bode Diagrams
10-2
10-1
100
101
-250
-200
-150
-100
-50
Pha
se (
deg)
Mf
ωp
gM
ωg
0 dB
-180 deg
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 7
Nominal sensitivity peak
η: −1 + j0を中心とする円がベクトル軌
跡 G(jω)と接する最小の半径
η = |1 + G(jωs)C(jωs)|= |S(jωs)|−1
感度関数 (Sensitivity function)
S(s) :=1
1 + G(s)C(s)
−→ ηは感度のピーク値の逆数
0−1 Re
Im
ω = ωs
η
G(jω)C(jω)
G(jω )C(jω )s s
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 8
Nominal sensitivity peak
1(感度のピーク値)
= ηに注意!
Sensitivity peak: |S(jωs)|
感度のピーク値が大↓
ηが小↓
閉ループ系が不安定に近づく
0−1 Re
Im
ω = ωs
η
G(jω)C(jω)
G(jω )C(jω )s s
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 9
安定余裕と感度のピーク値の関係
• ゲイン余裕や位相余裕が十分あった場合でも,感度のピーク値が大きく,閉ループ系が安定限界に近いという事が起こり得る.−→安定余裕は感度のピーク値に関する情報を与えない.
0−1+j0 Re
Im
φ
0−j1G(jω)C(jω)
|a|
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 10
安定余裕と感度のピーク値の関係
• ゲイン余裕と ηの間の関係式
Mg ≥ −20 log10(1 − η)
(1 − η ≥ |a|に注意せよ.)
• 位相余裕 (Mf = φ)と ηとの間
の関係式
Mf
2≥ arc sin
η
2
(sin θ =η
2に注意せよ.)
0−1+j0 Re
Im
φηθ
|a|
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 11
演習問題
• ゲイン余裕と ηの間の関係式を
導出せよ.
Mg ≥ −20 log10(1 − η)
(1 − η ≥ |a|に注意せよ.)
• 位相余裕 (Mf = φ)と ηとの間
の関係式を導出せよ.
Mf
2≥ arc sin
η
2
(sin θ =η
2に注意せよ.)
0−1+j0 Re
Im
φηθ
|a|
Osaka Institute of Technology 制御工学 I 12