w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

1

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

• Γραµµική ταχύτητα : dt

dsυ = . Γωνιακή ταχύτητα :

dt

dθω =

• ωRυ =

• Οµαλή κυκλική κίνηση : σταθερόυ = και σταθερόω = . Επίσης : ωtθθ 0 +=

• Γωνιακή επιτάχυνση : dt

dωαγων = . Μονάδα µέτρησης της γωνα στο S.I. είναι το 1 rad/s

2.

• Όταν γωνα

=σταθ. τότε : tαωω γωνο += και 2

γων0 tα2

1tωθ +=

• Γραµµική επιτάχυνση (ή επιτρόχια επιτάχυνση αε ) : dt

dυα =

• ⇔=⇔=⇔=⇔=dt

dωR

dt

dυRdωdυd(ωR)dυωRυ γωνRαα =

• Κεντροµόλος επιτάχυνση : R

υα

2

κ = ή Rωα 2

κ =

ΦΦΦΥΥΥΣΣΣΙΙΙΚΚΚΗΗΗ ΓΓΓ´ ΛΛΛΥΥΥΚΚΚΕΕΕΙΙΙΟΟΟΥΥΥ ΘΘΘΕΕΕΤΤΤΙΙΙΚΚΚΗΗΗΣΣΣ ΚΚΚΑΑΑΙΙΙ

ΤΤΤΕΕΕΧΧΧΝΝΝΟΟΟΛΛΛΟΟΟΓΓΓΙΙΙΚΚΚΗΗΗΣΣΣ ΚΚΚΑΑΑΤΤΤΕΕΕΥΥΥΘΘΘΥΥΥΝΝΝΣΣΣΗΗΗΣΣΣ

w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

2

ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

• Ένα σώµα κάνει µεταφορική κίνηση, όταν κάθε στιγµή όλα τα σηµεία του σώµατος έχουν την

ίδια ταχύτητα (ίδια διεύθυνση φορά και µέτρο).

• Στη µεταφορική κίνηση των στερεών ισχύουν οι ίδιες σχέσεις που ισχύουν στην κίνηση των υλικών

σηµείων.

ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

• Ένα σώµα κάνει στροφική κίνηση, όταν αλλάζει προσανατολισµό.

• Όλα τα σηµεία ενός σώµατος που κάνει στροφική κίνηση έχουν κάθε στιγµή την ίδια γωνιακή

ταχύτητα ω, αλλά διαφορετικές γραµµικές ταχύτητες που δίνονται από τη σχέση υ=ωr.

11 ωrυ = , 22 ωrυ = , … , vv ωrυ = .

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Μεταφορική κίνηση Στροφική κίνηση

Ταχύτητα υ

Γωνιακή ταχύτητα ω

Μετατόπιση s

Γωνία στροφής θ

υts = (ευθύγραµµη οµαλή κίνηση) ωtθ = (οµαλή στροφική κίνηση)

Επιτάχυνση dt

υdα

= Γωνιακή επιτάχυνση

dt

ωdαγων

=

Αν α=σταθ. τότε : ∆t

∆υα = Αν αγων=σταθ. τότε :

∆t

∆ωαγων =

αtυυ ο += (ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση)

tαωω γωνο += (στροφική κίνηση µε σταθερή

γωνιακή επιτάχυνση)

2

0 αt2

1tυs += (ευθύγραµµη οµαλά επιταχυνόµενη

κίνηση)

2

γων0 tα2

1tωθ += (στροφική κίνηση µε σταθερή

γωνιακή επιτάχυνση)

w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

3

ΚΕΝΤΡΟ ΜΑΖΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

• Κέντρο µάζας (cm) ενός στερεού σώµατος ονοµάζεται το σηµείο εκείνο το οποίο κινείται όπως

ένα υλικό σηµείο µε µάζα ίση µε τη µάζα του σώµατος, αν ασκούνται σε αυτό όλες οι δυνάµεις που

ασκούνται στο σώµα.

ΚΥΛΙΣΗ ΤΡΟΧΟΥ

• Η κύλιση ενός τροχού είναι σύνθετη κίνηση και µπορεί να µελετηθεί ως το αποτέλεσµα της

επαλληλίας (σύνθεσης) µιας µεταφορικής και µιας στροφικής κίνησης.

ωRυcm =

• cmκ υυ =

• ⇔+=⇔+=

==⇔+= cmcm∆cm∆

cmcm∆ υυυ

υυυυωRυ

υυυ ]cm∆ υ2υ =

• ⇔−=⇔−=

==⇔+= cmcmΓcmΓ

cmcmΓ υυυ

υυυυωRυ

υυυ ]0υΓ =

• ⇔+=+=2

cmcm22

cm2

Β υυυυυ cmΒ υ2υ =

Επίσης : 1υ

υ

υ

υεφφ

cm

cm

cm

=== . Άρα 045φ = . Οµοίως προκύπτει ότι ΒΑ υυ = .

• ⇔=⇔= Rdt

dω

dt

dυωRυ cm

cmRαα γωνcm =

w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

4

ΡΟΠΗ ∆ΥΝΑΜΗΣ

• Ονοµάζουµε ροπή τ

της δύναµης F

, ως προς τον άξονα περιστροφής z,z’, το φυσικό

διανυσµατικό µέγεθος τ, το οποίο έχει µέτρο ίσο µε το γινόµενο του µέτρου F της δύναµης επί την

κάθετη απόσταση ℓ της δύναµης από τον άξονα περιστροφής. ∆ηλαδή : ℓFτ =

• Ο ροπή τ

έχει διεύθυνση πάνω στον άξονα περιστροφής, και φορά που καθορίζεται από τον κανόνα

του δεξιού χεριού. Για να βρούµε τη φορά της ροπής κλείνουµε τα τέσσερα δάχτυλα του δεξιού χεριού

γύρω από τον άξονα περιστροφής, έτσι ώστε να δείχνουν τη φορά κατά την οποία η δύναµη τείνει να

περιστρέψει το σώµα. Ο τεντωµένος αντίχειρας δείχνει τότε τη φορά του διανύσµατος της ροπής.

• Στον υπολογισµό της αλγεβρικής τιµής της ροπής θα θεωρούµε θετική τη ροπή της δύναµης που

τείνει να περιστρέψει το σώµα αντίθετα από τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού και αρνητική τη

ροπή της δύναµης που τείνει να περιστρέψει το σώµα κατά τη φορά κίνησης των δεικτών του ρολογιού.

• Η ροπή µιας δύναµης ως προς άξονα είναι ίση µε µηδέν όταν :

α) η δύναµη έχει το σηµείο εφαρµογής της πάνω στον άξονα.

β) ο φορέας της δύναµης τέµνει τον άξονα.

γ) ο φορέας της δύναµης είναι παράλληλος προς τον άξονα.

ΡΟΠΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ∆ΥΝΑΜΕΩΝ

• Ζεύγος δυνάµεων ονοµάζουµε ένα σύστηµα δύο δυνάµεων F1 και F2, οι οποίες ασκούνται σε δύο

διαφορετικά σηµεία ενός σώµατος, είναι αντίρροπες και έχουν ίσα µέτρα.

• Η ροπή ζεύγους, ως προς κάποιο τυχαίο σηµείο Α του στερεού σώµατος, δύο δυνάµεων που

απέχουν απόσταση d, δίνεται από την σχέση : dFτ 1(Α) =

• H ροπή του ζεύγους δυνάµεων ως προς οποιοδήποτε σηµείο δίνεται από την σχέση: dFτ 1= .

w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

5

ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

• Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώµα, στο οποίο ασκούνται πολλές οµοεπίπεδες

δυνάµεις, θα πρέπει:

A) Η συνισταµένη δύναµη να είναι µηδέν. ⇔=

==

0FΣ

0FΣ0FΣ

x

y

Β) Το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών ως προς οποιοδήποτε σηµείο είναι µηδέν. 0Στ =

• Όταν σε ένα σώµα ισχύουν :

α) 0FΣ =

και 0Στ ≠ , τότε το σώµα κάνει στροφική κίνηση.

β) 0FΣ ≠

και 0Στ = , τότε το σώµα κάνει µεταφορική κίνηση.

γ) 0FΣ ≠

και 0Στ ≠ , τότε το σώµα κάνει και µεταφορική και στροφική κίνηση.

δ) 0FΣ =

και 0Στ = , τότε το σώµα ισορροπεί.

ΡΟΠΗ Α∆ΡΑΝΕΙΑΣ

• Ροπή αδράνειας Ι ενός στερεού σώµατος ως προς τον άξονα zz’ ονοµάζεται το άθροισµα των

γινοµένων των στοιχειωδών µαζών από τις οποίες αποτελείται το σώµα επί τα τετράγωνα των

αποστάσεων τους από τον άξονα περιστροφής.

2

νν

2

22

2

11 rm...rmrmI +++=

• Η ροπής αδράνειας είναι µονόµετρο µέγεθος. Μονάδα µέτρησης της στο (S.I.) είναι το 1 Kg·m2.

• Ροπή αδράνειας υλικού σηµείου : Έστω υλικό σηµείο µάζας m, το οποίο κάνει κυκλική

κίνηση ακτίνας r, ως προς άξονα 'zz που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος

στο επίπεδο της. Η ροπή αδράνειας του υλικού σηµείου ως προς τον άξονα 'zz είναι : 2mrI =

w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

6

ΘΕΩΡΗΜΑ STEINER (ΣΤΑΙΝΕΡ)

2

cmp MdIΙ +=

Παράδειγµα : Να βρείτε την ροπή αδράνειας µιας λεπτής ράβδου, µάζας Μ και µήκους L, ως προς

άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κάθετος σε αυτήν.

∆ίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που περνά από το κέντρο µάζας της και

είναι κάθετος σε αυτήν είναι 2

cm ML12

1I = .

• Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Steiner έχουµε :

⇔=+=+=

+=

12

ML4

4

MLML

12

1

4

MLI

2

LMII

222

2

cm

2

cmA

2

A ML3

1I =

• Η ροπή αδράνειας ενός σώµατος που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα εξαρτάται:

Α) από την ολική µάζα του σώµατος.

Β) από την κατανοµή της µάζας του σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής του. Η ροπή

αδράνειας του σώµατος είναι µεγαλύτερη, όσο µακρύτερα από τον άξονα περιστροφής κατανέµεται

η µάζα του.

Γ) από την απόσταση του άξονα περιστροφής από το κέντρο µάζας του σώµατος. Η ροπή

αδράνειας του σώµατος γίνεται µεγαλύτερη, όσο αυξάνεται η απόσταση του άξονα περιστροφής

από το κέντρο µάζας (Θεώρηµα Steiner).

w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

7

ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

• Το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών που δρουν πάνω σε ένα στερεό σώµα, το οποίο

περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο µε το γινόµενο της ροπής αδράνειας του

σώµατος ως προς τον άξονα περιστροφής και της γωνιακής επιτάχυνσης του σώµατος.

γωνΙαΣτ =

• Η ροπή αδράνειας εκφράζει την αδράνεια του σώµατος στην στροφική κίνηση, ότι δηλαδή

εκφράζει ότι και η µάζα στη µεταφορική κίνηση ενός σώµατος.

• Προσοχή !! Η µάζα ενός σώµατος είναι σταθερή ενώ η ροπή αδράνειας εξαρτάται από την

απόσταση του άξονα περιστροφής από το κέντρο µάζας του.

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ

• Ονοµάζουµε στροφορµή ενός υλικού σηµείου, ως προς έναν άξονα z´z που διέρχεται από

το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδο της, το φυσικό διανυσµατικό

µέγεθος L

που έχει:

• µέτρο ίσο µε το γινόµενο του µέτρου ρ της ορµής του υλικού σηµείου επί την ακτίνα Γ της

κυκλικής τροχιάς. ∆ηλαδή: mυrLprL =⇔=

• διεύθυνση, τη διεύθυνση του άξονα z´z.

• Φορά, τη φορά που καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού.

• ⇔⋅⋅=⇔== rωrmLmυrL

ωrυ ] 2mωrL =

Στροφορµή στερεού σώµατος : IωL =

w w w

.k z a

c h

a r i a

d i s

.g r

8

ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΗ ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΘΕΜΕΛΙΩ∆ΟΥΣ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ

ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

• ⇔=⇔=⇔=dt

dωI

dt

dLIdωdLIωL ⇔= γωνIα

dt

dL

dt

dLΣτ =

• Σε σύστηµα σωµάτων η ολική ροπή των εσωτερικών δυνάµεων είναι µηδενική. Άρα : dt

dLτεξ =Σ

ΑΡΧΗ ∆ΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ

• Αν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστηµα σωµάτων (ως προς κάποιον άξονα) είναι µηδέν,

η ολική στροφορµή του συστήµατος (ως προς τον ίδιο άξονα) παραµένει σταθερή ( σταθ.L = ).

ολ(τελ))ολ(αρχ LL

=

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΛΟΓΩ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ

2Ιω2

1Κ =

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΕΚΤΕΛΕΙ ΣΥΝΘΕΤΗ

ΚΙΝΗΣΗ (ΚΥΛΙΣΗ)

⇔+Κ= στροφ.µετ. ΚΚ 2

cm

2

cm ωΙ2

1mυ

2

1Κ +=

ΕΡΓΟ ΚΑΤΑ ΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

• Όταν µια σταθερή δύναµη περιστρέφει ένα σώµα κατά γωνία θ, τότε, το έργο της δύναµης είναι :

τθW =

• Ισχύς δύναµης στη στροφική κίνηση : τωP =

ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΡΓΟΥ - ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

• Το αλγεβρικό άθροισµα των έργων των ροπών που ασκούνται σε ένα σώµα είναι ίσο µε τη

µεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώµατος.

2

αρχ

2

τελ Ιω2

1Ιω

2

1ΣW −=