เฉลย Quiz 4 : คณตศาสตร

1.ตอบ ก.

วธทา จาก 𝐴𝐴𝐴𝐴����� เราจะไดวา 𝐴𝐴𝐴𝐴 ������ = 3𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗

และจากสตร เวกเตอร = จดสนสด - จดเรมตน

จดสนสด = เวกเตอร + จดเรมตน

= 3𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 − 3𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 = 4𝑗𝑗=�04�

2. ตอบ ก.

วธทาทาไดหลายวธ แตวธทสนสดคอ

𝑢𝑢� + 2��𝑣 = (𝑖𝑖 + 3𝑗𝑗) + 2(4𝑖𝑖 + 𝑗𝑗) = 9𝑖𝑖 + 5𝑗𝑗

𝑢𝑢� + 5��𝑣 = (𝑖𝑖 + 3𝑗𝑗) + 5(4𝑖𝑖 + 𝑗𝑗) = 21𝑖𝑖 + 8𝑗𝑗

จากสตร 𝑢𝑢� ∙ ��𝑣 = 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦1𝑦𝑦2

ดงนน (𝑢𝑢� + 2��𝑣)∙ (𝑢𝑢� + 5��𝑣) =(9)(21) +(5)(8) = 189+40=229

3. ตอบ ก.

วธทา

เนองจาก Aเปนเมทรกซ จตรส ดงนน สามารถหาคณสมบตตอไปนได

1. det(AB) = det (A) * det (B) 2. det(𝐴𝐴−1) = 1

det (A)

3.det(cA) = 𝑐𝑐𝑛𝑛 det(𝐴𝐴) ; เมอ𝑐𝑐เปนคาคงตว 4.det(adj (A)) = (det𝐴𝐴)𝑛𝑛−1

เมอกาหนดให A เปนเมทรกซทมขนาด nxn จาก det(A) = 8

det(A) = �−𝑥𝑥 5 60 2 70 0 −𝑥𝑥

� = 8

นนคอ det(A) = (-x)*(-x)*2 = 8

∴ 2𝑥𝑥2 = 8 → 𝑥𝑥 = 2

จะไดเมทรกซ A คอ �−2 5 60 2 70 0 −2

� และ เมทรกซ 𝐴𝐴𝑡𝑡คอ �−2 0 05 2 06 7 −2

�

ซง det (A) = det (𝐴𝐴𝑡𝑡 ) = 8

จาก det(2𝐴𝐴𝑡𝑡 ) สามารถจดรปโดยใชคณสมบตตางๆได คอ

=23 * det(𝐴𝐴𝑡𝑡 ) = 23 * det(A) = 8*8 = 64

4. คอบ ก.

วธทา เนองจาก A และ B เปนเมทรกซ จตรส ดงนน สามารถหาคณสมบตตอไปนได

1. det(AB) = det (A) * det (B) 2. det(𝐴𝐴−1) = 1

det (A)

3.det(cA) = 𝑐𝑐𝑛𝑛 det(𝐴𝐴) ; เมอ𝑐𝑐เปนคาคงตว 4.det(adj (A)) = (det𝐴𝐴)𝑛𝑛−1

เมอกาหนดให Aและ B เปนเมทรกซทมขนาด nxn

2.1) จากคณสมบตตางๆ สามารถจดรปงายๆไดดงน

= 32 ∗ det (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑗𝑗 (𝐴𝐴))det (𝐴𝐴)

=9 ∗ det(𝐴𝐴)2−1

det (𝐴𝐴)= 9

2.2) จากคณสมบตตางๆ สามารถจดรปงายๆไดดงน

= 23 ∗ det (𝑎𝑎𝑎𝑎𝑗𝑗 (𝐴𝐴))det (𝐴𝐴)2 = 8 ∗ det(𝐴𝐴)3−1

det (𝐴𝐴)2 = 8

2.3)ไมสามารถหาคา AxBได

เนองจาก 𝐴𝐴2𝑥𝑥2 𝑥𝑥 𝐴𝐴3𝑥𝑥3สงเกตไดวา จานวนแถวของ A ไมเทา จานวนหลกของ B จากกฏการคณ

เมทรกซจงทาใหไมสามารถคณกนได ทาใหหาคาไมได

5. ตอบ ก.

วธทานาขอมลมาเรยงลาดบจากนอยไปหามากได

0, 2, 5, 6, 11, 12, 23, 41

ตาแหนงของ 𝑄𝑄3 = 34

(8 + 1) = 6.75

คาของขอมลจะอยระหวางขอมลท 6 และ 7 นนคอคะแนนของ อน และ ด นนเอง

6. ตอบ ก.

วธทา𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 41+56+63+67+73

5=

3005

= 60

SD2 =∑(𝑥𝑥1− 𝑥𝑥𝑥)2

n =

(41−60)2+(56−60)2+(63−60)2+(67−60)2+(73−60)2

5

= 192+42+32+72+132

5 =

361+16+9+49+1695

= 604

5 = 120.8

7. ตอบ ก.

วธทาจาก𝑍𝑍𝑖𝑖 = 𝑥𝑥𝑖𝑖−𝑥𝑥𝑥𝑆𝑆𝑆𝑆

= 6−82

= −1จะไดโคงปกตดงน

นนคอ นอง A มคะแนนสงกวาผเขาสอบคนอนๆคดเปน P15.87หรอ คะแนนมากกวาคนอน 0.1587 x 100 =

15.87 คน (นอง A เปนคนท 16)แสดงวา นอง A สอบไดลาดบท 100-16 = 84

Z=0 Z=-1

0.3413

0.5-0.3413=0.1587

8. ตอบ ก.

วธทาขนแรก : เขยนสมการจดประสงคและอสมการเงอนไขจากโจทย จากโจทยจดประสงคหลกของขอน

คอตองการหากาไร นนคอ P = 10x + 50y เปนสมการจดประสงคนนเอง สาหรบอสมการเงอนไขทเรา

สนใจในขอน เราสนใจประเดน 2 อยาง คอ ปรมาณน าเสยทใชในการผลต กบ ปรมาณสารเหนยวนาความ

รอนทเตมเขาไป นามาเขยนเปนอสมการเงอนไขจะไดวา

ปรมาณน าเสยทใชในการผลต : 20x + 40y < 1200 ...........(1)

ปรมาณสารเหนยวนาความรอน: 50x + 40y >1800..........(2)

ขนสอง : เขยนกราฟอสมการเงอนไข โดยสรางกราฟจากเสนตรง (1) และ (2)

จากเสนตรง (1): 20x + 40y = 1200 ทาการหาจดตดแกน x และ y จะไดวา (60,0) และ (0,30)

จากเสนตรง (2): 50x + 40y =1800 ทาการหาจดตดแกน x และ y จะไดวา (36,0) และ (0,45)

หมายเหต : จดมมทเราสนใจคอ จดทอยภายใตขอบเขตพนทแรเงาทเราสนใจจากอสมการเงอนไข ซงในทน

มจดมมทงหมด 3 จดทเราจะนามาพจารณา

(2)

(1)

ให 20x + 40y = 1200 ...........(1)

50x + 40y =1800 ..........(2)

โดยทx> 0 และ y> 0

C(60,0)

(0,45)

B(36,0)

(0,30)

A(20,20)

y

x

ขนสาม: หาจดมมและจดตด โดยทเราสามารถหาจดตด A ระหวางเสนตรง (1) และ (2) จาก

20x + 40y = 1200...........(1)

50x + 40y =1800 ..........(2)

(2)-(1) ;30x = 600 x = 20 แทนคา x = 20 ลงในสมการ (1) จะไดวา

∴ 20(20) + 40𝑦𝑦 = 1200 → 𝑦𝑦 = 1200 − 400

40= 20

นนคอ จดตด A คอ A(20,20)

ขนส : นาจดมมและจดตดทไดไปแทนคาลงในสมการจดประสงค

จดมม P = 10x + 50y

A(20,20) 10(20)+50(20) = 1200

B(36,0) 10(36)+50(0) = 360

C(60,0) 10(60)+50(0) = 600

ขนหา : ตอบคาถามตามโจทย จากตารางขางบนพบวาจดมม (20,20) ทาใหไดกาไรมากทสด(นนคอ ได

กาไรทงหมด 1200 บาท ) เราจงสามารถสรปไดวา

นนคอ โรงงานนควรผลตกระแสไฟฟาทปอนเขาทางครวเรอน 20 หนวย และควรผลตกระแสไฟฟาท

ปอนเขาทางนคมอตสาหกรรม 20 หนวย จงจะไดกาไรมากทสด

ดงนน โรงงานนควรผลตกระแสไฟฟารวมเทากบ 20+20 = 40 หนวย นนเอง จงจะไดกาไรมากทสด

เฉลย Quiz 4 : ฟสกส

1.ให v = 16√2sin(6t+30) จงบอกคา 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 ,f

ก. 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 16 V และ f= 3𝜋𝜋

Hz

ข. 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =16 √2 V และ f= 3𝜋𝜋

Hz

ค. 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 16 V และ f= 6 Hz

ง. 𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 16√2 V และ f= 6 Hz

เฉลย ข.𝑉𝑉𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 =𝑉𝑉𝑟𝑟√2

= 16√2√2

= 16 V

หา f : จาก ω =6 rad/s

ω = 2πf

f = 6

2𝜋𝜋 =

3𝜋𝜋

Hz

2. จากแผนภาพเฟสเซอร จงบอกวาเวกเตอรของกระแส และ ความตางศกย มความสมพนธกนอยางไร

ก. I นา V อย 𝜋𝜋4

ข. V นา I อย 𝜋𝜋4

ค. V ตาม I อย 𝜋𝜋4

ง. ถกทง ก. และ ค.

เฉลย ง.อธบาย ใชหลกของทวนเขมนาฬกา เวกเตอร I นาเวกเตอร V อย 𝜋𝜋4

องศา หรออกนย คอวา

เวกเตอ V ตามเวกเตอร I อย 𝜋𝜋4

เชนเดยวกน

3.แผนโลหะบางมากรปวงกลมมเสนผานศนยกลาง 7 เซนตเมตร นาไปลอยอยบนผวน า ถาการทแผนโลหะ

นสามารถลอยน าอยไดเปนผลจากแรงตงผวอยางเดยว จงหาวา โลหะแผนนมมวลอยางมากทสดเทาไร

กาหนดใหความตงผวมคาเทากบ0.072 นวตน/ตารางเมตร

1. 2.26กรม 2.1.58กรม

3. 3.16กรม 4. 4.52กรม

เฉลย ข.

จากแรงตงผว F = 𝛾𝛾𝛾𝛾 = 𝛾𝛾(2𝜋𝜋𝜋𝜋)แผนโลหะลอยอยได แสดงวาสมดลMg = 𝛾𝛾(2𝜋𝜋𝜋𝜋)

แทนคา; M(10) = (0.072)(2 × 227

× 0.072

)

M = 1.58 กรม

V

I

45˚

4. ถงน าใบหนงเตมน าสงจากพน Hถาเจาะใหมรรวทระดบสงจากพน hจงหาความเรวของน าทพงออกมา

จากรรว

1.�2𝑔𝑔 2. �2𝑔𝑔(H − h)

3. �2𝑔𝑔(ℎ − 𝐻𝐻) 4.�2𝑔𝑔𝐻𝐻

เฉลย ข.

วธทา

จากสมการแบรนล จะได

�𝑝𝑝 + 12𝜌𝜌𝑣𝑣2 + 𝜌𝜌𝑔𝑔𝐻𝐻� ทผว = �𝑝𝑝 +

12𝜌𝜌𝑣𝑣2 + 𝜌𝜌𝑔𝑔ℎ� ทรรว

[𝑝𝑝 + 0 + 𝜌𝜌𝑔𝑔𝐻𝐻] = �𝑝𝑝 + 12𝜌𝜌𝑣𝑣2 + 0�

𝜌𝜌𝑔𝑔(𝐻𝐻 − ℎ) = 12𝜌𝜌𝑣𝑣2

V = �2𝑔𝑔(H − h)

5.ถานาเอาน าเดอด 400 g ผสมกบ น าแขง 100 g อณหภม -40 C° จงหาอณหภมผสม

(กาหนด ความรอนแฝงจาเพาะของน าแขงเปน 80 cal/g และความจาความรอนจาเพาะขอน าและน าแขงเปน

1 และ 0.5 cal/g • C° ตามลาดบ)

ก) 50 C° ข) 60 C° ค) 70 C° ง) 80 C°

เฉลย ข.

วธทา

∆Qให = ∆Qรบ

∆Qน า =∆Qน าเขง

mc∆ t = mc∆ t + mL + mc∆ t

(400)(1)(100 - x) = (100)(0.5)(40) + (100)(80) + (100)(1)(x)

40000 – 400x = 2000 + 8000 + 100x

30000 = 500x

X = 60 C° #

6.ระบบประกอบไปดวยน าซงอยในสถานะของเหลวบรรจอยในกระบอกสบ ดงรป เรมตนมน าอณหภม

และความดนเทากบ 100 และ 10 2 N/M 2 ตามลาดบ ถาใหความรอนแกน าจนเปลยนสถานะเปนไอหมด

โดยอณหภมและความดนคงท และลกสบสามารถเคลอนทไดอยางอสระ ขอใดตอไปนถกตอง

ก) การเปลยนแปลงพลงงานภายในระบบเกดจากการกลายเปนไอของน าและจากงานทใหกบระบบ

ข) เกดงานทกระทาโดยระบบ

ค) การเปลยนแปลงพลงงานความรอนมเครองหมายเปนลบ

ง) การเปลยนแปลงพลงงานภายในระบบเกดจากการกลายเปนไอ โดยไมมงานเกดขน

วธทา จากโจทย ใหพลงงานความรอนแกระบบ ∆Q จงเปนบวก

และโจทยไมไดบอกวาอณหภมภายในระบบเพมหรอลด ซงจะถอวาคงท ทาให พลงงานภายในระบบมคา

เปน 0

เฉลย ข.เกดงานทกระทาโดยระบบ

เพราะ เมอน ากลายเปนไอ ความสงของลกสบจากกนกระบอกสบจะลดลง ทาใหปรมาตรลดลงดวย เมอ

ปรมาตรลดลงจะเกดงานทกระทาโดยระบบ

7. ในการทดลองหาอตราสวน q/ mของทอมสน ถาใชสนามแมเหลกซงมความเขม 2.1 x 10-3 เทสลา รศม

ความโคงของลารงสแคโธดจะเทากบ 9.13 เซนตเมตร ในการวดความเรวของรวสแคโธด พบวาตองตอแผน

โลหะทงสองซงมระยะหาง 1.0 เซนตเมตร เขากบความตางศกย 322 โวลต จะทาใหรงสแคโธดวงเปน

เสนตรง จงหาความเรวของรงสแคโธด

ก. 2.3 x 107 m/s ข. 1.53 x 107 m/s ค. 2.7 x 107 m/s ง. 1.33 x 107 m/s

เฉลย ข.

วธทา

𝐸𝐸 = 𝑣𝑣𝐴𝐴

𝑣𝑣 =𝐸𝐸𝐴𝐴

𝑣𝑣 =322

0.1 × 2.1 × 10−3

𝑣𝑣 = 1.53 × 107 𝑟𝑟/𝑟𝑟

8.จากการวเคราะหพเฟรนพบวามการแผกมมนตภาพรงสตอนทพงเกดตอกมมนตภาพรงสทวดไดใน

ปจจบนเทากบ𝑒𝑒Bqถาพเฟรนมครงชวตเทากบ𝑇𝑇=2.0×109ปจงหาอายทอยมาของพเฟรน

ก) 4.16×109ป

ข) 2.88×109ป

ค) 2.00×109ป

ง) 1.39×109ป

เฉลย ข.

เฉลย Quiz 4 : เคม

1. เมอนาไฮโดรคารบอน 3 ชนด คอ C6H14 , C8H18และ C10H22อยางละ 1 โมล มาเผาไหม ปรมาณ

ออกซเจนทตองใชในการเผาไหมเรยงตามละดบจากมากไปนอย จะเปนไปตามขอ -ใด

ก. C6H14> C8H18> C10H22ค.C10H22> C8H18> C6H14

ข. C8H18> C6H14> C10H22ง.C8H18> C10H22> C6H14

เฉลยขอ ค.

แนวคดสารประกอบใดมจานวนอะตอมของ C และ H มาก จานวนโมลของ O2ทใชจะมาก

ขนดวย และหากสารประกอบมจานวนอะตอมของ C และ H นอย จานวนโมลของ O2ท

ใชจะนอยลง

2. โครงสรางของสารตอไปน โครงสรางใด ถกตอง

ก. CH3 CH2 CH3 CH3CH CH2 CH C O O H

ข. CH3

CH3 CHCHCH CH3

ค. ง.

เฉลย ขอ ค.

แนวคดก. C ทหมคารบอกซลไมครบ4แขน

ข. C พนธะสามแขนเกน

ง. N แขนเกน

3.สารประกอบคารบอน มสตร C6H14Oนามาผสมกบกรดอนทรยมาใส ไดสารทมกลนหอม อยากทราบวา

ถานาสารทไดนไปใสในสารละลายกรดจะเกดอะไรขน

ก.เกดระเบดอยางรนแรงค.เกดกรดอนทรยและ Alcohol

ข.เกดระเบดแตไมรนแรงง.ไมมขอถก

เฉลย ขอ ค.

แนวคด C6H14O เมอนามาผสมกบกรดอนทรยจะได Ester แลวเมอเรานาไปใสในสารละลาย

กรด แสดงวาเกดการ Hydrolysis ซงเปกการตดหม ester ออก ไดกรดอนทรยและ Alcohol

4.ขอใดถกตอง

ก. ethanolมาผสมกบbutanoic acid ไดสารผลตภณฑคอ ethylbutanoic acid

ข. ethanolมาผสมกบbutanoic acid ไดสารผลตภณฑคอ ethylpropanoate

ค. ethanolมาผสมกบbutanoic acid ไดสารผลตภณฑคอ ethylbutanoate

ง.ethanolมาผสมกบ butanoic acid ไดสารผลตภณฑคอ ethylpropanoic acid

เฉลย ขอ ค.

แนวคดเมอนา ethanol มาผสมกบ butanoic acid จะได ester เปนสารผลตภณฑ ดงนนการ

อานชอตองอานแบบ IUPAC ของหมฟงกชน ester วา ethylbutanoate

5. สาหรบผลตภณฑทไดจากการกลนลาดบสวนของน ามนดบ เมอเรยงลาดบจดเดอดจากตาไปสง ขอใด

ถกตอง

ก. แกสหงตม น ามนเบนซน น ามนดเซล น ามนกาด

ข. แกสหงตม น ามนกาด น ามนดเซล น ามนเบนซน

ค. แกสหงตม น ามนเบนซน น ามนกาด น ามนดเซล

ง. น ามนดเซล น ามนกาด น ามนเบนซน แกสหงตม

เฉลย ขอ ค.

แนวคด เมอนานามนดบมากลนลาดบสวน จะไดผลตภณฑเรยงตามจดเดอดจากตาไป

สงไดดงน

แกสหงตม< แนฟทาเบา < แนฟทาหนก < น ามนกาด < น ามนดเซล <

นามนหลอลน < พาราฟน(เทยนไข) < น ามนเตา< บทเมน(ยางมะตอย)

6. สตรโครงสรางตอไปนประกอบดวยพนธะเพปไทดจานวนเทาใด

ก. 2 พนธะ ข. 3 พนธะ ค. 4 พนธะ ง. 5 พนธะ

เฉลย ขอ ค.

แนวคด

7.การปองกนการผกรอนของตะปเหลกวธใดไมถกตอง

ก. นาตะปไปทาแคโทดก ค.นาตะปไปชบทองแดง

ข. นาตะปไปทาอะโนไดซ ง. นาตะปไปทารมดา

เฉลย ขอ ค.

แนวคด การผกรอนของเหลกคอการทเหลกเสยอเลกตรอนเมอนาตะปเหลกไปชบทองแดง จะไมได

เปนการปองกน การปองกนทถกตองกคอตองนาตะปไปชบสงกะส

8. พๆ ชมนมวชาการตองการทาสงของท มคาคอ ชอนทองคา เพอเปนของขวญแกนองโครงการทสอบ Quiz

ทง 4 ครงรวมแลวไดคะแนนสงสด พๆ ตองการทราบวาการตอวงจรการชบแบบใดสามารถทจะชบชอน

ทองคาได

ก. ข.

ค. ง.

เฉลย ขอ ค.

แนวคด สงทตองทาการชบใหอยทข วแคโทด สวนโลหะทใชในการชบจะอยข วแอโนด และสารละลาย

กตองม Au เปนองคประกอบกคอ AuCl3

** เครองหมายลบ ในไฟฟาเคม 2 คอ ขว แคโทด สวนเครองหมายบวก คอ ขว แอโนด

+ -

Au(s)

AuCl3(aq)

Au(s)

AgNO3(aq)

- +

Au(s)

AuCl3(aq)

- +

Au(s)

FeCl3(aq)

+ -