Reazioni Vincolari

si consideri un corpo, schematizzabile in un elemento Eh, a contatto con un altro corpo S

che presenta una faccia piana π . Sull'elemento agiscono le forze interne al sistema S-Eh.

A causa del contatto tra l'elemento del corpo la superficie π si deforma in conseguenza del

moto dell'elemento. L'equazione fondamentale della dinamica ( ) Diviene del

tipo: ∑

Dove le Sono le forze che

intervengono nella deformazione del corpo. È piuttosto laborioso tenerne conto, per cui si

introduce un nuovo schema: vincolo rigido. Si suppone la superficieπ rigida e quindi

indeformabile rappresentabile con un vincolo olonomo. Assegnato il moto possibile per

l'elemento in contatto con il solido S, in un determinato istante rimane individuata la forza:

∑ Che viene esercitata da S su Eh e tale forza è

chiamata reazioni vincolare. Si indica con L'insieme delle reazioni vincolari

che al variare del moto l'elemento si mantiene in contatto con S.

Nel caso di un unico elemento per l'equazione fondamentale della dinamica dell'elemento

vincolato è: Con In questo modo vengono introdotte

delle incognite ausiliarie cioè le componenti della reazione vincolare. Il numero di tali

incognite eguaglia quello dei grandi di libertà eliminati dal vincolo.

Allo stesso modo partendo dall'equazione fondamentale della statica ( ) Si

ottiene l'equazione fondamentale della statica dell'elemento vincolato:

: Sono posizioni di equilibrio tutte e sole quelle per le quali

l'opposto della forza attiva totale calcolato in quelle posizioni in corrispondenza valore

nullo di v e per ogni t è una reazione che il vincolo può esplicare.

In maniera analoga si calcola, dal sistema fondamentale della dinamica

(

)) Si ottiene:

Mentre per quello della statica (

) Si ottiene analogamente:

Anche nelle equazioni globali della statica {

e della dinamica

{

compariranno le reazioni vincolare per il tramite della loro somma E

del loro momento totale rispetto al baricentro Introducendo sei incognite ausiliarie.

Forze e sollecitazioni conservative, energia potenziale Per determinare il valore del lavoro esplicato da una forza su un elemento durante un

moto bisogna conoscere la rappresentazione del moto cioè la: ( ) ( ( ) ( ) ) Il lavoro dipenderà dalla particolare traiettoria e dalla legge oraria. Se la forza è posizionale

il lavoro elementare si esprime con una forma differenziale lineare ( ) ( ) ( ) ( ) In questo caso il lavoro non dipende dalla

particolare parametrizzazione della traiettoria. Quando la forza è rappresentabile con un

campo scalare ( ) tale che il suo gradiente eguagli l'opposto della forza in

ogni punto: ( ) ( ) il lavoro elementare coincide con l'opposto del

differenziale: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Alle forze di questo tipo si dà il nome di conservative e alla funzione U quella di energia potenziale. Il carattere conservativo di una forza è legato allo spazio di riferimento infatti se si considera una sua immagine in RΓ generalmente essa dipende dal tempo e quindi sicuramente non è conservativa. Per il calcolo del lavoro basta conoscere la posizione

occupata agli istanti t0 e t poiché valgono le relazioni: ∫

∫

( )

( ) e in particolare da quest'ultima si deduce che il lavoro di una forza conservativa lungo una linea chiusa è uguale a zero.

Una sollecitazione si dice conservativa se esiste un campo scalare ( )

Per i = 1,2,

… N per le sollecitazioni conservative il lavoro dipende soltanto dalle configurazioni assunte agli istanti t0 e t.

Un criterio sufficiente per verificare se una forza posizionale ( ) è conservativa deve soddisfare:

1. sia di classe C1 ed è finita in un campo connesso

2. verifiche le condizioni di Schwartz:

3. Il campo C sia a connessione lineare semplice

Sollecitazioni conservative in senso lagrangiano

il concetto di sollecitazione conservativa può essere generalizzato per un sistema a vincoli

regolari descritto dalle coordinate lagrangiane q1,q2,……,qn . Il lavoro virtuale di una

sollecitazione

∑

∑

∑ ∑

∑

Con ∑

Che sono le componenti lagrangiane della sollecitazione e sono

tanti quanti sono i gradi di libertà n. per la sollecitazione attiva: le forze attive ( )

Agenti su un elemento di un sistema olonomo si osserva che dipendono dalla

configurazione e dall'atto di moto che possono essere espresse in coordinate lagrangiane.

Le componenti lagrangiane della sollecitazione attiva Qha sono funzioni delle e delle

E ovviamente dal tempo: ( )

[ ( ) ( ) ]

( )

∑ ( )

( )

Affinché il lavoro virtuale sia nullo in corrispondenza a ogni spostamento virtuale è

necessario che risulti Q1=0 ,… , Qn=0 dunque un sistema si dice e a vincoli perfetti se tali

vincoli possono esplicare tutte le sollecitazioni vincolari tali che ∑

per

h=0,…,n.

se la sollecitazione è conservativa, per le componenti lagrangiane valgono le espressioni

analoghe alle sollecitazioni per componenti cartesiane. Il potenziale infatti è del tipo:

( ) [ ( ) ( ) ( ) Da cui si ottiene:

∑ [

∑ *

+ ∑

( ) L'esistenza di una funzione U le cui derivate parziali coincidono con

l'opposto delle componenti lagrangiane della sollecitazione è una conseguenza

dell'esistenza dell'energia potenziale della sollecitazione. Le componenti lagrangiane sono

delle particolari combinazioni delle forze che costituiscono la sollecitazione, e se tengono

conto soltanto dei valori che queste forze hanno in corrispondenza alle sole configurazioni

compatibili con i vincoli. Una sollecitazione { } Agente su un sistema con

vincoli regolari è conservativa se le sue componenti lagrangiane sono funzione

delle coordinate lagrangiane e ammettono un potenziale lagrangiano U, cioè se

esiste una funzione U( ) Tale che risulti:

Energia cinetica e il teorema del lavoro

energia cinetica: in un riferimento RC un elemento si muove con

velocità ( )

Che, per un sistema di

elementi diviene: ∑ Che ha una notevole importanza se si considera una

terna di riferimento RC’ del moto relativo al baricentro che, rispetto alla terna principale RC

ha moto rotatorio con velocità di traslazione uguale a quella del baricentro cioè .

Utilizzando il teorema dei modi relativi ( ) Dunque l'energia cinetica assume la

forma: ∑ ( ) ( )

∑

∑

.

L'ultimo termine è sempre nullo poiché il prodotto scalare tra la massa totale e la velocità

del baricentro è nulla, il primo termine corrisponde all'energia cinetica del moto del sistema

riferito al baricentro TG. Dunque si ottiene:

Che esprime il teorema di

König: in un riferimento RC(OXYZ) l'energia cinetica di un sistema particellare è la

somma del semi prodotto della massa totale del sistema per il quadrato della

velocità del baricentro e dell'energia cinetica corrispondente al moto relativo al

baricentro.

Teorema del lavoro: dalle definizioni di energia cinetica ( ∑ ) e di lavoro

( ∑ ) applicate al secondo principio della dinamica(

( )

( ) ) Moltiplicata scalarmente per lo spostamento elementare dello i-esimo

elemento, si ottiene dT=dLi+dLe cioè il lavoro della sollecitazione interna più il lavoro della

sollecitazione esterna, integrando si ottiene: T-T0=Li0,t+Le

0,t che rappresenta il teorema del

lavoro dell'energia cinetica: la variazione di energia cinetica subita da uno schema

particellare in un qualunque intervallo di tempo eguaglia il lavoro della

sollecitazione totale, interna ed esterna, agente sul sistema che compie nel

medesimo intervallo. Da quest'equazione si può trarre solo alcuni aspetti del moto ma

non le funzioni che lo rappresentano, poiché è diretta conseguenza del sistema

fondamentale della dinamica.

Teoremi di conservazione

Quando, sotto particolari condizioni nelle relazioni fondamentali ce ne sono alcune che

coinvolgono caratteri non differenziali queste sono del tipo: φ(P,υ,t)= cost dove φ è una

grandezza meccanica qualunque. Poiché il valore di questa grandezza meccanica rimane

costante (si conserva ) tali relazioni prendono il nome di teoremi di conservazione.

Conservazione della quantità di moto: 1)quando accade che la somma della sollecitazione

esterna ( ) ha una componente nulla secondo un qualunque orientamento per ogni

valore assunto dal tempo, dalla posizione e dall'atto di moto dalla prima equazione globale

si ottiene ( ) ( ) cioè si conserva la componente della

quantità di moto secondo l'orientamento u cioè secondo la componente u della velocità del

baricentro. 2) quando accade che ( ) è ortogonale ad un piano si hanno due

teoremi di conservazione secondo due orientamenti ortogonali e paralleli a tale piano. Un

esempio di tale forza è la forza peso che è sempre ortogonale a qualunque piano

orizzontale, dunque la componente della quantità di moto si conserva in ogni direzione

orizzontale. 3) se si ha che ( ) è nulla allora si conserva l'intera quantità di moto e

quindi anche la velocità del baricentro. Il moto sarà rettilineo e uniforme come se il sistema

fosse isolato. Un esempio di tale forza è il fenomeno del rinculo delle armi poiché

all'istante dello sparo l'arma carica è in quiete.

Conservazione del momento della quantità di moto: sia r una qualunque retta passante

per il punto O, 1)se il momento totale ( ) ha la componente nulla secondo la retta r

per ogni valore assunto dal tempo, dalla posizione dell'atto di moto per la seconda

equazione globale si ottiene Kr =cost si conserva il momento assiale rispetto a tale retta

della quantità di moto dello schema particellare. 2) se ( ) sia costantemente

ortogonale ad un piano si hanno due teoremi di conservazione indipendenti secondo i due

orientamenti paralleli a tale piano. 3) se ( ) è nullo allora si conserva il momento

polare della quantità di moto del sistema Originando tre teoremi indipendenti.

Conservazione dell'energia: se la sollecitazione totale interna ed esterna agente sul

sistema è conservativa il teorema del lavoro diviene: T-T0=Li0,t+Le

0,t =UO-U cioè:

T+U= T0 +UO = cost =E dove E è l'energia totale meccanica del sistema. Quest'ultima

relazione esprime il teorema di conservazione dell'energia: l'energia totale di uno

schema particellare soggetto ad una sollecitazione totale conservativa si mantiene

costante durante il moto. Se si aggiungono forze dissipative queste producono lavoro

negativo e quindi T+U≤T0 +UO =E che fornisce un limite superiore che sussiste durante

tutto il moto.

Quiete e posizioni in equilibrio

Le equazioni della dinamica non individuano un particolare moto ma la classe dei moti

compatibili con le forze attive e i vincoli assegnati, le equazioni della statica non

consentono di decidere se un elemento sia in quiete oppure no, ma individuano l'insieme

delle posizioni l'equilibrio nei quali l'elemento può rimanere in quiete. Si consideri un

elemento libero soggetto ad una forza posizionale, l'equazione fondamentale della statica

( ( ) ) assume la forma ( ) cioè se Pe è una soluzione di tale equazione essa

risulta tale qualunque sia la velocità cioè anche quando l'elemento occupa tale posizione

non in quiete. Se l'elemento è soggetto a un vincolo privo d'attrito e ad una forza attiva

posizionale ogni punto del vincolo risulta posizione di equilibrio, in questo caso tutti i moti

possibili sono uniformi. Il teorema del lavoro assume sempre la forma particolare: T=T0

che esprime la costanza dell'energia cinetica e quindi della velocità scalare. Se tutti i moti

possibili sono uniformi qualunque sia la posizione P0 dell'elemento occupata nell'istante

iniziale e la velocità iniziale resta nulla in ogni istante successivo la posizione P0 si dice

d'equilibrio.

Stabilità delle posizioni di equilibrio

Una posizione Pe si dice stabile se per ogni coppia di numeri reali positivi ε1, ε2 è

possibile determinare altri due numeri reali positivi δ1, δ2 tale che se |P0Pe|< δ1 e v0<

δ2 per il moto ( ) Corrispondente alle condizioni iniziali Risulti:

{| ( )|

( )

La definizione richiede che, imponendo le limitazioni alle condizioni iniziali, si realizzi un

moto che si discosti dalla quiete nella posizione di equilibrio meno di quanto prefissato

cioè, la stabilità può essere espressa nelle richieste:

( )

( )

Teorema di Dirichlet

Se la forza dotale agente sull'elemento materiale è sostanzialmente conservativa,

ogni punto di minimo relativo proprio dell'energia potenziale è posizione di

equilibrio stabile.

Tale teorema fornisce una condizione sufficiente per la stabilità e sussiste se la forza

totale e sull'elemento è sostanzialmente conservativa cioè per esempio ( ) Che, con

l'equazione fondamentale della statica assume la forma ( ) in particolare ogni

punto Pe di minimo relativo proprio dell'energia potenziale è sicuramente l'equilibrio.

Teorema di Liapounov

La condizione di Dirichlet è una condizione sufficiente ma non necessaria poiché sussiste

una parziale inversione di tale teorema che vale se e solo se la forza è conservativa in

senso stretto.

Per un elemento materiale soggetto d'una forza conservativa, sia Pe un punto di

stazionarietà dell'energia potenziale U. Se Pe NON è un punto di minimo relativo

proprio e se ciò risulta dall'esame dei valori che le derivate seconde assumono in

Pe, la posizione Pe è di equilibrio instabile.

Anche nel caso in cui la forza è conservativa il teorema di Liapounov non costituisce una

totale inversione del teorema di Dirichlet poiché si riconosce dall'esame della forma

quadratica dell'energia potenziale(con Pe punto che annulla la derivata prima) che se è

positiva (Q>0) per il teorema di Dirichlet in Pe è una posizione di equilibrio stabile

altrimenti, se la forma quadratica è negativa (Q<0) opera il teorema di Liapounov e Pe è

posizione di equilibrio instabile. Se la forma quadratica è semidefinita allora si procede con

un'analisi più raffinata fino alla derivata del quarto ordine. Se invece Pe non è punto di

minimo proprio non si può concludere nulla.

Baricentro

La relazione vettoriale che definisce il baricentro G di uno schema particellare, proiettata

sugli assi di una terna avente origine in O, fornisce un sistema equivalente costituito da tre

relazioni scalari che consentono di calcolare le coordinate xG ,yG ,zG del baricentro quando

siano note le masse delle posizioni dei singoli elementi dello schema (oppure quando noto

la densità volumetrica µV e l'area della figura C)

∑

(

∫

)

{

∑

∑

∑

(

{

∫

∫

∫

)

Che se la densità è un valore costante, cioè il corpo è omogeneo può essere semplificata

dunque si può parlare di baricentro di una figura omogenea indipendentemente dal valore

della sua densità.

Proprietà di ubicazione:

1. il baricentro di due elementi materiali si trova sul segmento congiunge, tale

segmento è diviso dal baricentro in parti di lunghezza inversamente proporzionale

alle masse

2. se si suddivide un corpo in parti aventi rispettivamente masse e baricentri propri, il

baricentro totale di tale schema di particellare si ottiene attribuendo a ciascuna

massa il proprio baricentro e applicando la formula precedente con la sommatoria

3. se gli elementi di un corpo si trovano su di un piano il baricentro si trova sul

medesimo piano o retta

4. se un corpo possiede un piano o un asse di simmetria il baricentro si trova lì

5. se un corpo appartiene ad una figura convessa anche il baricentro appartiene a tale

figura

6. se gli elementi di un corpo subiscono spostamenti di lunghezza e verso differenti

ma tutti paralleli ad un medesimo piano la distanza del baricentro da tale piano non

muta

7. se un corpo tridimensionale, continuo, omogeneo con densità volumetrica presenta

delle cavità il suo baricentro coincide con quello che si otterrebbe attribuendo al

corpo pieno l'intera densità volumetrica e considerando la cavità di densità

negativa.

Momenti di inerzia

si definisce momento di inerzia Ja di un corpo rispetto ad una retta a la grandezza:

∑ ∫

La sua misura non è mai negativa e si annulla soltanto se tutti gli

elementi appartengono all'asse dei momenti a. Il momento di inerzia individua una

caratteristica strutturale del corpo nel caso in cui il corpo rigido con asse solidale al corpo.

Se si ipotizza che uno degli assi coordinati della terna RΓ esempio ζ’ sovrapposto ad a

∑ (

) ∫ ( )

e alla grandezza √

si dà il nome di

raggio di girazione: è la distanza da a a cui deve essere posto un elemento di massa M

affinché il suo momento di inerzia risulti uguale a quello del corpo.

Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli: teorema di Huyghens

il momento di inerzia di un corpo rispetto a un asse a si ottiene aggiungendo al

momento di inerzia rispetto all'asse baricentrale aG parallelo ad a, il prodotto della

massa totale del corpo per il quadrato della distanza di a dal baricentro

∑ [( )

∑ (

)

∑

il termine ∑ È sempre uguale a zero poiché l'asse ζ’ Passa per G e il momento di

inerzia rispetto a ζ’ Coincide con il momento di inerzia del corpo rispetto ad aG.

tale teorema implica:

1. tra tutte le rette che hanno una medesima direzione, quella cui corrisponde il minimo

momento d’inerzia è la retta baricentrale

2. un corpo ha il medesimo momento d’inerzia rispetto a tutte le generatrici di un cilindro

rotondo il cui asse passa per G.

Considerazioni sulla seconda equazione della stereodinamica

Unendo le equazioni ottenute dal sistema precedente rispetto a θ(t) ψ(t) ϕ(t) a

quelle che si ottengono proiettando la prima equazione cardinale sugli assi di RC, si

ottiene un sistema di sei equazioni differenziali scalari del secondo ordine, di forma

normale e completo. Tale sistema differenziale ammette una e una sola soluzione

soddisfacente ad assegnate condizioni iniziali. Per il teorema di Cauchy risulta così

dimostrato che, nel caso di un corpo rigido libero, le equazioni cardinali sono

sufficienti ad individuare tutti e soli i moti compatibili con la sollecitazione attiva

(data). La soluzione generale dell'equazioni cardinali per il corpo libero è costituita

dalla totalità delle soluzioni particolari nelle quali compaiono 12 costanti arbitrarie

e, per determinarle, occorrono altrettante condizioni iniziali. In conseguenza

dell'elevato numero di equazioni differenziali in generale la risoluzione dei problemi

stereo dinamici offre notevoli difficoltà. Per semplificarle si utilizzerà il concetto

delle sollecitazioni equivalenti in modo tale che le sollecitazioni agenti equivalenti

sul corpo rigido siano in numero minore rispetto alle totali.

Teorema del lavoro: conservazione dell'energia

grazie all'equazioni cardinali possiamo esprimere il teorema del lavoro per uno schema di

corpo rigido libero, ricordandoci l'espressione per un generico schema particellare

(dT=dLint+dLext). Osserviamo che: il lavoro della sollecitazione interna è nullo per ogni

spostamento rigido e quindi il lavoro delle sollecitazioni interne è uguale a zero; il lavoro della

sollecitazione esterna si riduce a quello effettuato dalla sollecitazione attiva che si esprime in

funzione della somma del momento baricentrale totale di tale sollecitazione:

In base al teorema di König (

) L’ Energia

cinetica di uno schema particellare è espressa dal primo termine contenente la velocità del

baricentro che non richiede adattamenti rispetto allo schema del corpo rigido, mentre per

quanto riguarda il secondo termine TG esso corrisponde al moto relativo all'baricentro nel caso

in cui vi sia un atto di moto rotatorio con asse passante per G. Indicando con JG il momento di

inerzia del corpo rispetto ad una retta baricentrale parallela a Sì ha:

Poiché al

variare nel tempo l'orientamento di ω Muta sia rispetto allo spazio di riferimento sia rispetto al

corpo rigido il momento di inerzia rispetto ad una retta baricentrale è espresso come:

(

) che, sostituendo si ha:

(

). Un'altra espressione può essere

.

Andando ad applicare tali considerazioni al lavoro della sollecitazione esterna in funzione

della somma e del momento baricentrale totale per un elemento disposto a distanza d dal

baricentro si ottiene:

(

)

Si

esprime il teorema di lavoro nel caso di corpo rigido libero. Tale teorema è conseguenza delle

equazioni cardinali.

Moti alla Poinsot

nei moti di un corpo rigido, in cui un elemento Ω del corpo resta fisso in un punto O

dello spazio di riferimento, e la sollecitazione esterna ha momento nullo rispetto a Ω,

l'ellissoide d'inerzia, relativo a Ω, si mantiene in contatto, senza strisciare, con due

piani fissi, equidistanti da Ω, e ortogonali a ; inoltre la velocità angolare del corpo è

proporzionale alla distanza di Ω dai punti di contatto.

si chiamano moti alla Poinsot di un corpo rigido, i moti nei quali un elemento Ω del corpo resta

fisso in un punto O dello spazio di riferimento e la sollecitazione totale ha un momento

rispetto a Ω =O. Sono di questo tipo i moti relativi al baricentro di un corpo rigido

soggetto solo al peso, infatti in tali moti la forza peso al momento nullo rispetto al baricentro.

Per valutarli a livello geometrico si introduce l’ ellissoide di inerzia relativo a Ω, l'ellissoide è

solidale al corpo e per caratterizzare i moti di quest'ultimo basta caratterizzare quelli del suo

ellissoide relativo al punto fisso. In base alla seconda equazione cardinale i moti sferici di un

corpo rigido sono caratterizzati dall’equazione: ⟺

cioè, nei modi alla Poinsot il momento della

quantità di moto si mantiene costante nello spazio di riferimento. Anche l'energia cinetica si

mantiene costante poiché Sono nulli e quindi:

(

)

cioè tra gli ∞1 piani dello spazio di riferimento ce ne sono in ogni istante 2 ( π e π’) ortogonali

alla direzione costante di e tangenti alle ellissoide d'inerzia relativo a Ω . Nei punti di

contatto, la normale al piano tangente coincide con la normale all'ellissoide Che ha direzione

di , si vede che i punti di contatto dell'ellissoide con i due piani coincidono con i punti Pt e

Pt’ in cui l'asse istantaneo di rotazione interseca l'ellissoide. Sia è inoltre π il piano tangente in

Pt e siano ξt , ηt , ζt le coordinate di Pt rispetto alla terna principale di inerzia terna

R. Durante il moto tale punto Descrive una curva appartenente a π a cui si dà il

nome di erpolodia ed una appartenente all'ellissoide chiamata polodia. Dato che

Hanno lo stesso orientamento indicando con k un coefficiente di proporzionalità positivo si

ottiene: {

⟺ E k lo si ottiene dall'equazione delle ellissoide:

si ottiene: √

E quindi durante il moto alla Poinsot il coefficiente

k si mantiene costante. L'angolo che forma con È acuto o addirittura nullo, dunque per

ricavare la distanza δ >0 di π da Ω valendosi del sistema precedente e del valore di k e

ricordando che Si ottiene √

cioè δ si mantiene costante e quindi il

piano π risulta fisso nello spazio di riferimento. La velocità di strisciamento del ellissoide sul

piano π eguaglia la velocità assoluta dell'elemento del corpo che in quell'istante occupa il

punto di contatto e, tale velocità è nulla poiché il punto di contatto appartiene all'asse

istantaneo di rotazione, cioè non vi è strisciamento ne con il piano π ne con π’ . Sebbene non

vi sia strisciamento, i moti alla Poinsot non sono di puro rotolamento poiché l'asse istantaneo

di rotazione passa per il centro dell'ellissoide che non appartiene al piano tangente ad esso.

Vincoli

i vincoli sono fissi rispetto al riferimento e sono privi di attrito, il numero dei gradi di libertà che

esso lascia al corpo sono il numero delle incognite cinematiche inerenti ai moti e alle posizioni

di equilibrio. Il sistema di equazioni statiche ricavati per ciascun vincolo è sufficiente ad

individuare tutte e sole le posizioni di equilibrio del corpo compatibili con il vincolo stesso e con

la sollecitazione attiva assegnata. Anche per un corpo rigido vincolato è opportuno rilevare che

le equazioni della statica non consentono di decidere se il corpo sia in quiete o no, ma

individuano tutte le posizioni in cui il corpo può rimanere in quiete. Le equazioni della dinamica

non determinano un particolare moto, ma tutti i moti compatibili con la sollecitazione e il

vincolo.

Corpo con un elemento fisso: Snodo Sferico

Si consideri un corpo rigido R1 avente un'appendice

sferica alloggiata in una cavità anch'essa sferica e di

diametro appena superiore, praticata in un altro corpo

rigido R2 solidale allo spazio di riferimento. Il centro Ω

dell'appendice è coincidente con quello O della cavità.

Un vincolo di questo tipo si chiama snodo sferico e

consente al corpo di assumere ogni possibile

orientamento lasciando quindi 3 gradi di libertà e tutti i

moti possibili sono sferici con centro Ω. Si hanno

dunque tre incognite cinematiche che, servendoci di

una terna principale di inerzia RΓ (Ωξηζ) E di una terna

appartenente allo spazio di riferimento RC (0xyz) con

O ≡ Ω, e si scelgono come parametri scalari indipendenti gli angoli di Eulero θ , ψ , φ dunque

le tre incognite sono le funzioni θ(t), ψ(t), φ(t). Poiché rispetto al Polo Ω risultano nulli momenti

di tutte le reazioni della sollecitazione vincolare ( ) lo snodo è capace di esplicare, sul

corpo vincolato, ogni sollecitazione equivalente ad un'unica forza applicata nel centro dello

snodo, dunque le tre incognite dinamiche ausiliarie sono costituite dalle componenti di . È

possibile esprimere valendosi delle componenti di . Il momento totale

Della

sollecitazione attiva dipende in generale dai due gruppi di variabili che individuano la posizione

e atto di moto di un corpo rigido con elemento fisso cioè da θ , ψ , φ e La seconda

equazione globale diviene del tipo

( ) Da

cui si ricava il sistema equivalente

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Che rappresentano le particolari forme assunte dalla seconda equazione della stereodinamica

e dalle equazioni di Eulero. Tali equazioni consentono di trattare tutti i problemi in cui

Dipende dallo Stato cinetico del corpo soltanto per il tramite di ωξ , ωη , ωζ . Tale sistema è

sufficiente ad individuare tutti e soli i moti di un corpo rigido, vincolato da uno snodo, e

soggetto ad un assegnata sollecitazione attiva nelle tre incognite cinematiche θ(t), ψ(t), φ(t).

Inoltre il precedente sistema unito alla seconda equazione globale (sempre precedente)

mostrano che i possibili moti di un corpo rigido non mutano quando alla sollecitazione è

assegnata se ne sostituisce un'altra avente il medesimo momento totale rispetto a Ω, si ha

cioè che le sollecitazioni sono dinamicamente equivalenti se hanno eguali in momenti rispetto

al centro dello snodo espressi in funzione di E tale proprietà sussiste anche se le due

sollecitazioni hanno somme diverse, cioè non sono equivalenti dal loro. Per determinare le

componenti di Ci si serve delle tre equazioni scalari che si ricavano proiettando la prima

equazione cardinale della dinamica sugli assi di RC oppure si può procedere in forma

vettoriale. Affinché la forza vincolare non dipenda direttamente dal moto è necessario

sufficiente che, in ogni istante, risulti: e quindi che l'elemento fisso Ω coincida con il

baricentro. Scelto Ω come il polo dei momenti poiché la per il teorema del lavoro

( ) Si ottiene

Cioè il lavoro della sollecitazione agente

sul corpo coincide con quello della parte attiva della sollecitazione. Per l'energia cinetica T non

conviene usare il teorema di König basta osservare che ogni atto di moto è rotatorio con asse

istantaneo passante per Ω cioè:

( )

(

) che unendo le

espressioni si ottiene il teorema del lavoro:

(

) .

Per individuare tutte e sole le posizioni di equilibrio di un corpo rigido, vincolato ad uno snodo,

e soggetto a un’assegnata sollecitazione attiva si ha un’equazione vettoriale pura

( ) dunque sono di equilibrio tutte e sole le posizioni nelle quali, in

corrispondenza a un atto di moto nullo, la sollecitazione attiva è equivalente a un’unica forza

applicata al centro dello snodo. Se quest'ultima è assegnata la condizione è sufficiente ad

individuare tutte e sole le posizioni di equilibrio. Infine per determinare le tre incognite

ausiliarie, cioè le componenti della somma Rispetto agli assi di RC si può procedere in

forma vettoriale oppure con gli angoli di Eulero nella posizione di equilibrio θe ψe φe. L'ultima

equazione mostra che le posizioni di equilibrio non mutano quando, alla sollecitazione

assegnata, se ne sostituisca un'altra avente il medesimo momento totale rispetto a Ω e

sussiste anche quando l'uguaglianza dei momenti si verifica soltanto in corrispondenza ad un

atto di moto nullo.

Corpo con un asse fisso: Cerniera Cilindrica

Si consideri un corpo rigido R1 avente un'appendice di riforma di cilindro rotondo, alloggiata in

una cavità, anch'essa cilindrica e il diametro appena superiore, praticata in un altro corpo

rigido R2 solidale nello spazio di riferimento, è impedito lo scorrimento mutuo delle due

superfici cilindriche nella direzione delle loro generatrici. Ogni elemento dell'asse del cilindro è

sovrapposto a un medesimo punto dell'asse della cavità, ha quindi un asse costituito da

elementi fissi e cioè un asse fisso. La cerniera cilindrica consente ad un semipiano π di

formare qualsiasi angolo con un semipiano π0 solidale al riferimento. Sia una terna RC (0xyz)

appartenente al riferimento con un asse x sovrapposto all'asse della cerniera: per individuare

la posizione del corpo non è necessario servirsi dei tre angoli di Eulero ma basta

assegnare l'anomalia θ Formata da π0 e da π. Le posizioni del corpo sono in corrispondenza

biunivoca con i valori assunti dall'unico parametro θ, La cerniera lascia al corpo un solo grado

di libertà e tutti i possibili moti sono rotatori attorno all'asse x. Si ha quindi una sola incognita

cinematica costituita dalla funzione θ(t). Siano P1,P2….. I punti in cui il corpo e in contatto con

il vincolo e siano

…. Le reazioni che quest'ultimo esplica in tali punti. Le rette individuate

da

; …. Sono incidenti, o parallele, all'asse x. Risultano nulli i momenti assiali delle

singole reazioni, è nullo quindi il momento assiale totale della sollecitazione vincolare

caratterizzata dall'unica relazione scalare . Una cerniera può quindi esplicare anche

sollecitazioni che non siano equivalenti ad un'unica forza o ad un'unica coppia. La cerniera

introduce quindi cinque incognite dinamiche ausiliarie costituite dalle tre componenti di

Della somma della sollecitazione vincolare e dai due momenti assiali

Della

stessa sollecitazione.

Se si sceglie come Polo dei momenti l'elemento Ω del corpo, appartenente all'asse e

coincidente con l'origine O della terna di riferimento RC, proiettando sull'asse x la seconda

equazione cardinale della dinamica ottenendo così l'equazione scalare pura .

L'espressione di Può essere ricavata dalla definizione . Poiché l'asse di

rotazione è fisso rispetto al corpo il momento di inerzia costante e derivando rispetto al tempo

si ottiene ( ) Che è un'equazione differenziale ed è sufficiente ad individuare

tutti e soli i moti di un corpo rigido, vincolato da una cerniera, e soggetto ad una assegnata

sollecitazione attiva. Essa inoltre mostra che i possibili moti di un corpo rigido con tale vincolo

non mutano quando alla sollecitazione assegnata se ne sostituisce un'altra avente il

medesimo momento totale, rispetto all'asse x, si ha cioè che le sollecitazioni sono

dinamicamente equivalenti se hanno uguali i momenti assiali rispetto all'asse della cerniera

espressi in funzione di θ, ,t.

Individuato il particolare moto che soddisfa le condizioni iniziali occorre determinare le cinque

incognite ausiliarie, cioè le tre componenti della somma Della sollecitazione cioè i momenti

della sollecitazione stessa

. Il procedimento consiste nel sostituire in ciascuna

equazione le variabili θ, che figurano nelle leggi

oppure nelle espressioni di

rispettivamente con la funzione θ(t). Si dice che un corpo rigido vincolato con una

cerniera è bilanciato staticamente se la somma non dipende direttamente dal moto, si dice

bilanciato dinamicamente rispetto ad un punto Ω dell'asse della cerniera se non dipende

direttamente dal moto, se dice bilanciato se lo è sia staticamente che dinamicamente.

Il teorema del lavoro nel caso di un corpo rigido vincolato da una cerniera assume una forma

più semplificata poiché il corpo possiede un asse fisso passante per Ω, infatti la funzione J(t) si

riduce alla semplice costante Jx mentre il lavoro elementare assume la forma

Si ottiene dunque:

( )

.

Quando la sollecitazione è sostanzialmente conservativa e il secondo membro dell'equazione

precedente è uguale al differenziale dell'energia potenziale U che è funzione della sola

variabile θ Ed integrando si ottiene:

( )

( ) Che esprime il

teorema di conservazione dell'energia per un corpo rigido vincolato da una cerniera. Al variare

di E nel campo reale tale equazione individua le equazioni orarie rispetto al tempo di tutti e soli

i moti compatibili con la sollecitazione e il vincolo. Tale equazione è valida anche quando la

sollecitazione attiva non è sostanzialmente conservativa.

Tenendo ben presente la caratterizzazione del vincolo ( ) dalla seconda equazione

cardinale della statica, proiettata sull'asse x, si ottiene l'equazione scalare pura:

( ) essa è sufficiente ad individuare tutte sole le posizioni di equilibrio di un

corpo rigido. In base a tale formula per un corpo rigido, vincolato da una cerniera, sono di

equilibrio tutte sole le posizioni nelle quali, in corrispondenza ad un atto di moto nullo e per

ogni t, la sollecitazione attiva ha momento nullo rispetto all'asse della cerniera. Le posizioni di

equilibrio di un corpo rigido, vincolato da una cerniera, non mutano quando, alla sollecitazione

assegnata, se ne sostituisce un'altra avente il medesimo momento totale rispetto all'asse della

cerniera in corrispondenza ad un atto di moto nullo.

Corpo con asse scorrente: Collare Cilindrico

Se si eliminano i risalti che in una cerniera cilindrica impediscono lo scorrimento assiale della

superficie a contatto si ottiene un vincolo chiamato collare cilindrico. L'asse dell'appendice

cilindrica solidale al corpo, anche se è costantemente sovrapposto ad una retta fissa, non è

costituito da elementi fissi. Nello spazio di riferimento costituito da una terna RC (0xyz) avente

l'asse x sovrapposto all'asse del collare, la posizione del corpo è individuato dall'angolo θ E

dalla ascissa xG del baricentro. Il vincolo lascia cioè 2 gradi di libertà il che implica due

incognite cinematiche del tipo xG e θ(t). Un elemento Ω che si trova sull'asse x del collare ha in

ogni istante una velocità parallela a tale asse e ogni atto di moto è la somma di un moto

traslatorio e di un moto rotatorio con velocità angolare ω Parallela all'asse x. La velocità di

traslazione non dà contributo rispetto al momento della quantità di moto che assume la

forma Come se ogni atto di moto fosse rotatorio attorno all'asse del collare.

Ogni relazione Applicata nel punto P in cui il corpo è a contatto con il vincolo individua una

retta incidente sull'asse x ortogonale ad esso. La sollecitazione vincolare deve soddisfare le

relazioni scalari: e

cioè la somma della sollecitazione vincolare è

ortogonale all'asse x ed in generale, la sollecitazione vincolare non equivale ad un'unica forza

o a una coppia pur essendo ortogonali all'asse del collare.

Il vincolo introduce 4 incognite dinamiche ausiliarie cioè:

.

Se si prende come il polo dei momenti un punto fisso dell'asse ad esempio l'origine O della

terna RC (0xyz) e si proiettano le equazioni cardinali della dinamica sull'asse x si ottengono le

equazioni: {

( )

( )

Che costituiscono un sistema di due equazioni

differenziali completo e puro nelle incognite cinematiche xG(t) e θ (t). Tale sistema è sufficiente

ad individuare tutti e soli i moti di un corpo rigido vincolato da un collare e soggetto ad una

assegnata sollecitazione attiva. Infine per determinare le incognite ausiliarie, dopo aver

determinato i moti del corpo, si sostituiscono le quattro conseguenze scalari delle equazioni

cardinali della dinamica che rappresentano il particolare moto e si risolvono nelle incognite

.

Il lavoro elementare della sollecitazione esterna agente sul corpo si riduce al lavoro della

sollecitazione attiva (

) Mentre per l'energia cinetica non conviene usare

il teorema di König ma basta sostituire alla definizione di T l'espressione della velocità rispetto

al baricentro dunque si ha:

(

) . Da cui si ricava il teorema del lavoro nel

caso di un corpo rigido vincolato da un collare:

(

) (

) .

Dalle equazioni e

e dalle equazioni cardinali della statica, proiettate

sull'asse x si ottiene sistema di equazioni scalari pure: {

( )

( )

Che è sufficiente

ad individuare tutte le sole le posizioni di equilibrio di un corpo rigido vincolato da un collare e

soggetto ad una assegnata sollecitazione attiva.

Si usa talvolta un collare sottile per indicare un collare avente uno spessore piccolo rispetto al

diametro ed si può ammettere che le relazioni esplicate dal collare siano equivalenti ad

un'unica forza applicata ad un punto dell'asse chiamato centro del collare sottile, tale collare

sottile introduce solamente 2 incognite dinamiche ausiliarie.

In base a tale sistema precedente , per un corpo rigido vincolato da un collare sono di

equilibrio tutte e sole le posizioni nelle quali, in corrispondenza ad un atto di moto nullo e per

ogni istante di tempo, la sollecitazione attiva ha somma ortogonale all'asse e momento nullo

rispetto ad esso.

Corpo con orientamento fisso: Guida Prismatica

si chiama guida prismatica il vincolo a cui è soggetto un corpo rigido quando una sua

appendice cilindrica di sezione non circolare ma quadrata o rettangolare, è alloggiata in una

cavità praticata in un corpo rigido solidale allo spazio di riferimento contenenti la terna RC

(Oxyz). La sezione della cavità ha forma tale da consentire al corpo vincolato di scorrere

parallelamente alle generatrici della guida, ma non di cambiare il proprio orientamento.

Rispetto ad una terna RC (0xyz) avente l'asse x parallelo alle generatrici, la posizione del

corpo è individuata dalla ascissa xG del baricentro. Il vincolo lascia quindi 1 grado di libertà e

quindi una sola incognita cinematica espressa da xG(t). Poiché tutte le reazioni sono ortogonali

all'asse x la sollecitazione vincolare deve soddisfare l'unica relazione scalare e il

vincolo introduce 5 incognite dinamiche ausiliarie del tipo:

esse si ricavano

valendosi delle cinque conseguenze scalari delle equazioni cardinali della dinamica. Poiché

è costantemente ortogonale alla direzione comune e osservando che il carattere del moto è

puramente traslatorio si ottengono le equazioni:

.

Dall’ equazione e dalla prima equazione cardinale della statica, proiettata sull'asse x, si

ottiene un equazioni scalare pura sufficiente ad individuare tutte e sole le posizioni di equilibrio

di un corpo rigido vincolato da una guida prismatica e soggetto ad una assegnata

sollecitazione attiva. Sono di equilibrio, quindi, tutte e sole le posizioni nelle quali, in

corrispondenza ad un atto di moto nullo e per ogni istante di tempo, la somma della

sollecitazione attiva è ortogonale alle generatrici della guida.

Le 5 incognite ausiliarie riguardanti la somma e il momento totale della sollecitazione esplicata

dal vincolo con il corpo avente atto di moto nullo si determinano valendosi delle cinque

conseguenze delle equazioni cardinali della statica.