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XAPP552 (v1.0) 2012 年 6 月 1 日 japan.xilinx.com 1
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はじめに こ のアプ リ ケーシ ョ ン ノ ー ト では、 CORDIC (coordinate rotational digital computer) アルゴ リ ズム [参
照 1] に基づ く 三角関数、 指数関数、 対数関数の演算に使用する、 パラ メ ーター指定可能な浮動小数点ラ
イブラ リ によ る計算方法を、ザイ リ ン ク スの System Generator ツールを用いて構築する設計手法につい
て解説し ます。 こ の設計手法は、 固定小数点 CORDIC LogiCORE™ IP v5.0 ブロ ッ ク と、 加算器、 乗
算器、 コ ンパレータ、 ROM、 FIFO などの浮動小数点構築ブロ ッ ク を組み合わせて使用し、 アプ リ ケー
シ ョ ンの構築ブロ ッ ク と し て使用でき る一連の浮動小数点 CORDIC 関数を作成し ます。 これらは、 三
角関数または指数関数の演算を大量に効率よ く 処理する必要があ る、 画像処理、 マニピ ュ レーター運動
学、 レーダー信号処理、 ロボ ッ ト 工学、 最適化プロセスなど、 広範なエンジニア リ ング アプ リ ケーシ ョ
ンに と って不可欠な関数です。 ラ イブラ リ は、System Generator for DSP バージ ョ ン 13.4 を使用し て設
計され、 IEEE 754 浮動小数点規格 [参照 2] で規定された単精度および倍精度の入力をサポー ト し ます。
概要 演算ユニ ッ ト は CPU 設計におけ る重要な要素の 1 つです。 複雑な算術関数をハード ウ ェ アで計算する
場合、 CORDIC は魅力的な固定小数点アルゴ リ ズムです。 このアルゴ リ ズムは、 単純なシフ ト 演算およ
び加算演算のシーケン スだけで、 幅広い算術関数を計算でき ます。 ただし、 多 く のアプ リ ケーシ ョ ンの
動作には、 高い精度だけでな く 、 大き なダ イナ ミ ッ ク レ ンジ も求め られます。 浮動小数点によ る計算
は、 実数を表現するダ イナ ミ ッ ク レ ンジ と分解能や精度を保つ能力を併せ持った、 高性能システムを実
現でき る ソ リ ューシ ョ ンです。
ザイ リ ン クス FPGA 向けの浮動小数点ソ リ ューシ ョ ン
ザイ リ ン ク スの FPGA は、固定小数点 DSP およびビデオ アルゴ リ ズムをハード ウ ェアにイ ンプ リ メ ン
ト する ために、長年にわたって使用されてき ま し た。プロ グ ラ ム可能な ロ ジ ッ ク が持つ柔軟性によ って、
固定小数点プロセ ッ サの 8、 16、 32 ビ ッ ト と い う 境界に縛られないカス タ ムのビ ッ ト 幅によ る、 固定小
数点の計算が可能にな り ます。大き なダ イナ ミ ッ ク レンジを必要とする アプ リ ケーシ ョ ンに対応するた
めに、 必要に応じ て固定小数点のビ ッ ト 幅を増やすこ と もでき ます。 ただし、 ダ イナ ミ ッ ク レンジに対
す る ニーズの増加に伴い、 固定小数点の イ ン プ リ メ ン テーシ ョ ン コ ス ト は ますます高 く な り ます。
FPGA 上の浮動小数点ソ リ ューシ ョ ンは、 現在のプロセ ッ サに比べて低速であ る ものの、 このアルゴ リ
ズム固有の大規模な並列性によ り 、 等価のソ フ ト ウ ェ ア ソ リ ューシ ョ ンに匹敵する性能は得られます。
そのよ う な理由から、 浮動小数点ア ク セラ レータ と し て、 FPGA の適用が拡大しつつあ り ます。 並列性
の利点を生かすために、FPGA にはハード ウ ェ ア効率のよいアルゴ リ ズムの使用が求められます。FPGA 上のよ り 複雑な浮動小数点システムには、 対数、 指数、 三角関数などの初等関数を適切にイ ンプ リ メ ン
ト する必要があ り ます。System Generator ツールは、Simulink モデ リ ング環境内からの浮動小数点アル
ゴ リ ズ ム の設計 と イ ン プ リ メ ン テーシ ョ ン を サポー ト す る こ と で、 こ の要求に応え ま す。 SystemGenerator は、 初期モデルに対し てビ ッ ト 精度およびサイ クル精度を保ちながら イ ンプ リ メ ンテーシ ョ
ンを最適化する柔軟性も備えています。 こ のラ イブラ リ は、 System Generator ツールのフ ローに精通し
ているユーザー向けの拡張機能と し て設計された ものです。
アプ リ ケーシ ョ ン ノ ー ト : Spartan-6、 Virtex-6、 7 シ リーズおよび Zynq-7000 デバイス
XAPP552 (v1.0) 2012 年 6 月 1 日
パラ メ ーター指定可能な CORDIC ベースの浮動小数点ラ イブ ラ リ演算著者 : Nikhil Dhume、 Ramakrishnan Srinivasakannan
固定小数点 CORDIC アルゴ リズム
XAPP552 (v1.0) 2012 年 6 月 1 日 japan.xilinx.com 2
固定小数点 CORDIC アルゴ リズム
CORDIC アルゴ リ ズムは、三角関数やその他の超越関数を、 シフ ト および加算の反復演算だけで計算す
る ソ リ ューシ ョ ンの集合です。 三角関数は、 ベク ター回転に基づいて イ ンプ リ メ ン ト されます。 対数や
指数などの増分関数は、 ハード ウ ェ ア アーキテ クチャの単純な拡張のみで実行されます。 厳密な意味で
は CORDIC アルゴ リ ズム と はいえないものの、その類似性から多 く の場合 CORDIC の一部と見な され
ます。 アルゴ リ ズムの詳細は、 「固定小数点 CORDIC アルゴ リ ズム」 で説明し ます。
設計手法
固定小数点 CORDIC ブロ ッ ク と その他の基本ブロ ッ ク を用いて、 CORDIC 三角関数用の浮動小数点ラ
イブ ラ リ を開発し ま し た。 選択し た手法は、 固定小数点 CORDIC アルゴ リ ズムの範囲を拡張する ため
に、 基本と な る三角関数の関係を使用する ものです。 入力する浮動小数点の数値は、 範囲縮小ステ ッ プ
を経た後、 固定小数点 CORDIC ブロ ッ ク で処理されます。 範囲縮小ステ ッ プは、 入力の範囲を固定小
数点 CORDIC アルゴ リ ズムで処理可能な ものに縮小し ます。 後処理ステ ッ プでは、 固定小数点の計算
後、 範囲縮小ステ ッ プ と は逆の処理を実行し ます。 図 1 に、 こ の手法の詳細を示し ます。 柔軟性を最大
限に高める ために、 ラ イブラ リ はパラ メ ーターを変更でき る よ う に作成し ま し た。 このアプ リ ケーシ ョ
ン ノ ー ト で紹介する浮動小数点 CORDIC ラ イブ ラ リ は、 ザイ リ ン ク スの IP ポー ト フ ォ リ オを使用し
て イ ンプ リ メ ン ト さ れま し た。 フ ローの イ ンプ リ メ ン ト には、 System Generator for DSP バージ ョ ン
13.4 を使用し ま し た。
固定小数点 CORDIC アルゴリズム
CORDIC と は、 ベク ター回転を実行する ために設計されたアルゴ リ ズムです。 こ の操作は、 ベク ター
(X, Y) を角度 だけ回転させて新しいベク ター (X', Y') を得る ものです。 ベク ター回転は次の式で表さ
れます。
式 1
式 2
式 3
CORDIC アルゴ リ ズムは、 微小回転 と 呼ばれる atan(2-i) の角度のよ り 細かい回転を連続し て実行する
シーケン スによ ってベク ターを回転させます。 式 4 ～式 6 に、 i 番目の反復操作に対する式を示し ます。
こ こ で、 i は 0 ～ n の値を取る反復のイ ンデッ ク スです。 i 番目の微小回転を表す式は次の とお り です。
式 4
式 5
式 6
i は回転方向を表し、 その値は ±1 のいずれかです。
CORDIC アルゴ リ ズムの詳細な説明は、 「浮動小数点アルゴ リ ズム」 と 10 ページの 「ラ イブラ リ イ ン
ターフ ェ イ スの仕様」 に記載されています。
X-Ref Target - Figure 1
図 1 : 浮動小数点 CORDIC ラ イブ ラ リ向けに選択し た手法
Input Floating-Point Number
Output Floating-Point Number
RangeReduction
Fixed-PointAlgorithm
ExceptionHandling
X552_01_042612
RangeExtension
X cos X sin– Y =
Y cos Y sin+ X =
0=
Xi 1+ xi i– yi 2i–=
yi 1+ yi i xi 2i–+=
i 1+ i i– 2i– atanh=
浮動小数点アルゴ リズム
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浮動小数点アルゴリズム
浮動小数点 CORDIC Sin-cos
固定小数点 CORDIC の回転モード を使用し て、 入力角度に対する正弦 (sin) と余弦 (cos) を同時に計算
でき ます。 入力ベク ターの y 成分をゼロにする こ と で回転モード は次の式に簡約化でき ます。
式 7
式 8
こ こ で、 An は i 番目の微小回転に対する利得係数です。
範囲の縮小/拡張
固定小数点 CORDIC アルゴ リ ズムのための範囲縮小ステ ッ プは、 入力に対し て角度回転を実行する こ
と で実現でき ます。 入力を、 - ～ + の間の値へ と 回転し ます。 回転後の値を固定小数点 CORDIC に
入力し ます。 こ のステ ッ プが必要と な るのは、 固定小数点 CORDIC が - ～ + の範囲でしか収束し な
いためです。 回転後の角度は次式で求められます。
式 9
剰余から を差し引 く ため、 このステ ッ プには鏡映演算が組み込まれている こ と にな り ます。 し たがっ
て、 後処理でこれを補正する必要があ り ます。
アルゴ リズム
アルゴ リ ズムのステ ッ プは次の とお り です。
1. 範囲縮小 : 入力を - ～ + の範囲に回転し ます。
2. 固定小数点 CORDIC ブロ ッ ク によ って、 数値の正弦と余弦を前述のよ う に計算し ます。
3. 後処理 : 固定小数点 CORDIC ブロ ッ ク の出力に対し て鏡映演算を実行し ます。
浮動小数点 CORDIC sinh-cosh
三角関数と双曲線関数の間の密接な関係は、 双曲線関数の計算にも同じ アーキテ クチャ を適用でき る可
能性を示唆し ています。 双曲線回転の CORDIC 式は、 式 4、 式 5、 式 6 の係数 i を式 10 で表される
値に設定する こ と で導出でき ます。
式 10\
これによ って、 回転モード の CORDIC 出力は、 式 11 と式 12 のよ う に簡略化されます。
式 11
式 12
式 13
y0 を 0 に設定すれば、 双曲線正弦 (sinh) と双曲線余弦 (cosh) の値がわか り ます。
範囲の縮小/拡張
双曲線関数の範囲縮小は、 入力を小数部分と整数部分に分ける こ と で実現でき ます。 整数部分は、 保存
されたルッ ク ア ッ プ テーブル (LUT) を使用し て処理でき ます。小数部分は、保存された LUT の使用と
は別に処理でき ます。
アルゴ リズム
アルゴ リ ズムのステ ッ プは次の とお り です。
1. 範囲縮小 : 入力は、 まずその数値の絶対値を求め、 次にそれを整数部分 (int) と小数部分 (frac) に分
ける こ と で範囲を狭めます。
Xn An x0 cos=
Yn An x0 sin=
回転後の角度 (x) 剰余 (x, 2 –=
i –1 if i 0, +1 otherwise<=
xn An x0 0 cosh y0 0 sinh+ =
yn An x0 0 cosh y0 0 sinh+ =
An 1 22i–
– 0.80=
浮動小数点アルゴ リズム
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2. int 部分は保存された LUT で処理する一方、 frac 部分は固定小数点 CORDIC アルゴ リ ズムを使用
し て処理し ます。
3. 後処理 : int および frac 部分の出力を、 式 14 と式 15 を利用し て結合し ます。
式 14
式 15
4. 最終段階 : 入力が負の場合は、 鏡映演算を実行し ます。
浮動小数点 CORDIC Power
指数関数 (ex) の値は、 「浮動小数点 CORDIC sinh-cosh」 で計算し た sinh と cosh か ら求めます。 こ の
ラ イブラ リ は、 指数関数に加えて 10 および 2 のべき乗もサポー ト し ています。
アルゴ リズム
1. 指数関数の値は、 式 16 の sinh と cosh から計算でき ます。
式 16
2. 10 および 2 のべき乗は、 式 17 と式 18 を使用し てコ アが計算し ます。
式 17
式 18
浮動小数点 CORDIC Atan
浮動小数点 CORDIC は、角度が 0 で初期化された場合、CORDIC 回転演算子のベク ター モード によ っ
て逆正接 (atan(y/x)) を直接計算し ます。 引数は x/y の比 と し て与え る必要があ り ます。 角度アキ ュ ム
レータの出力は式 19 によ って求められます。
式 19
範囲の縮小/拡張
範囲縮小のステ ップでは、 入力の符号部分を取 り 除 く と共に、 虚数部が常に実数部よ り も大き く なる よ う
に入力を調整し ます。 この調整は、 出力角が常に第 1 象限に現れる よ う にするために行います。
アルゴ リズム
アルゴ リ ズムのステ ッ プは次の とお り です。
1. 入力の絶対値を求め、 実数部が虚数部よ り も大き く な る よ う に両者を調整し ます。
2. 固定小数点 CORDIC の atan を使用し て出力を計算し ます。
3. 出力を、 入力の符号および数値の実数部が虚数部よ り も大きいかど う かに基づいて、 適切な象限ま
で回転させます。
浮動小数点 CORDIC Log
CORDIC によ る自然対数関数 (ln) は、CORDIC の双曲線ベク ター モード でイ ンプ リ メ ン ト されていま
す。 双曲線逆正接関数 (atanh) と式 20 を使用し て log を計算でき ます。 10 および 2 を底とする対数に
も対応し ています。
式 20
int frac+ cosh int cosh frac cosh int sinh frac sinh+=
int frac+ sinh int cosh frac sinh frac cosh int sinh+=
ex
x sinh x cosh+=
10x
ex ln(10)
=
2x
ex ln(2)
=
n 0
x0
y0-----
1–tan+=
w ln 2w 1–w 1+------------- atanh=
System Generator による イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン
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範囲の縮小/拡張
前のステ ッ プは本来、 範囲縮小を伴います。 w-1 と w+1 を使用する こ と で、 実数部が常に虚数部よ り も
小さ く 、 実数部が虚数部に等し く な る こ と は決し てないこ と が保証されます。 実数部と虚数部が等し く
な る と、 atanh の出力は無限大にな り ます (固定小数点 CORDIC ブロ ッ ク では無限大を表現でき ない)。
別の範囲縮小アルゴ リ ズムでは、 入力を仮数部と指数部に分け、 それぞれ独立し て処理し ます。 仮数部
は固定小数点 CORDIC で処理され、 指数部は乗算器で処理されます。
アルゴ リズム
アルゴ リ ズムのステ ッ プは次の とお り です。
1. 入力を指数部と仮数部に分けます。 指数部は、 最後のステ ッ プで処理が完了し た仮数部に再び足す
こ と ができ ます。
2. 仮数部を上記の固定小数点 CORDIC アルゴ リ ズムで処理し ます。
3. log10 と log2 は、 式 21 を使用し て CORDIC コ ア内で求められます。
式 21
System Generator によるイ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン
ラ イブ ラ リの設定
System Generator ツール内で ラ イ ブ ラ リ を使用する ために、 リ フ ァ レ ン ス デザ イ ンに含まれる TAR フ ァ イル内にパ ッ チが作成されています (16 ページの 「 リ フ ァ レ ン ス デザイ ン」 参照)。 オーバーレ イ
のイ ン ス ト ール後、 ラ イブラ リ は図 2 のよ う に表示されるはずです。 パッチは、 nt、 nt64、 lin、 lin64 向
けビル ド の System Generator ツール バージ ョ ン 13.4 に適用されます。
ラ イブラ リ を設定するには、 次の手順に従います。
1. xlCache ('clear all') コマン ド を用いて、 MATLAB および System Generator ツールの
キ ャ ッ シ ュ を ク リ ア し ます。
2. WinZip または tar -xvf コマン ド を用いて、 IDS ビル ド の上にパッチを抽出し ます。
3. 該当する IDS ビル ド に対し て System Generator ツールを起動し ます。
4. これによ って、 浮動小数点ブロ ッ ク が、 リ フ ァ レ ン ス ブロ ッ ク セ ッ ト の一部、 「Floating Point」 ラ
イブラ リ と し て表示される よ う にな り ます。
5. ラ イブラ リ の一部と し て提供されるのは、 Absolute、 Conditional Negate、 Floor-ceil、 Split、 Merge、
Remainder、 Cordic Sin-cos、 Cordic Sinh-cosh、 Cordic Atan、 Cordic Log、 Cordic Power ブロ ッ ク
です。
6. こ のラ イブラ リ は、 単精度および倍精度の浮動小数点データ型に対し て動作し ます。
ラ イブ ラ リの使用法
図 2 に示すとお り 、 ラ イブラ リ は リ フ ァ レン ス ブロ ッ ク セ ッ ト の [Floating point] (浮動小数点) のセ ク
シ ョ ンから使用でき ます。 このラ イブラ リ を使用する場合は、 任意のブロ ッ ク を新しいモデル フ ァ イル
に ド ラ ッ グ アン ド ド ロ ッ プし ます。
w blog w logb log
-----------------=
System Generator による イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン
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イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ンの説明
こ こ では System Generator ツール固有のイ ンプ リ メ ンテーシ ョ ンに関する詳細情報と、ラ イブラ リ に含
まれるその他のブロ ッ ク の用途について解説し ます。
ブロ ッ クのパラ メ ーターを変更可能にする
ラ イブラ リ 内の個々のブロ ッ クはサブシステム と し て作成されます。 GUI はブロ ッ ク マス ク ウ ィ ン ド
ウの [Parametes] タブによ ってカス タマイ ズ されます。 さ らに、 単精度と倍精度、 LUT のサイ ズなどの
ユーザー プ リ フ ァ レン スは、 ブロ ッ ク マス ク編集ウ ィ ン ド ウの [Initialization] タブで処理し ます。 図 3 は、 sin-cos のパラ メ ーターを表示し たブロ ッ ク マス ク ウ ィ ン ド ウです。 [Initialization] のセ ク シ ョ ン
は、 レ イ テンシの調整に も対応し ます。 ブロ ッ ク マス ク の作成方法に関する詳細な手順は、 13 ページ
の 「現在の手法におけ る ト レード オフ」 に記載されています。
X-Ref Target - Figure 2
図 2 : ザイ リ ン クス リ フ ァ レンス ブロ ッ クセ ッ ト の浮動小数点ブロ ッ ク
X552_02_042612
System Generator による イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン
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AXI ブロ ッ クのレ イテンシ処理
CORDIC LogiCORE IP v5.0 ブロ ッ クは AXI-Stream イ ン ターフ ェ イ ス を備えています。 一方、 基本ブ
ロ ッ ク には、 こ のイ ン ターフ ェ イ スがあ り ません。 このため、 入力パラ メ ーターの中には、 レ イ テンシ
を調整する ために出力側に伝播し なければな ら ないものがあ り ます。 これを目的と し て、 デザイ ン内で
は FIFO を使用し ています。 図 4 に、 AXI ブロ ッ クのレ イ テンシ調整に対応する FIFO ブロ ッ ク の適用
例を示し ます。 た と えば、 sin-cos ブロ ッ ク の出力側では符号の情報が有効になっている必要があ り ま
す。 FIFO の リ ード イネーブル信号は、 CORDIC ブロ ッ ク の TVALID 出力で駆動されます。
X-Ref Target - Figure 3
図 3 : Mask Editor : CORDIC Sin-cos のパラ メ ーター
X552_03_021612
System Generator による イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン
XAPP552 (v1.0) 2012 年 6 月 1 日 japan.xilinx.com 8
分割と結合
ラ イブラ リ 内の一部のブロ ッ ク では、 入力の指数部と仮数部を固定小数点の数値と し て別々に処理し た
後、 これら を再結合し て意味のあ る浮動小数点出力を構成でき ます (例 : log、 atan)。 このよ う な動作に
便利なブロ ッ ク が、 split と merge です。 split ブロ ッ クは、 入力が非数値信号 (NaN) であったかど う か
の情報を提供する と共に、入力された浮動小数点の数値を、指数部と仮数部に分割し ます。merge ブロ ッ
クは、 これ と逆の動作を し ます。 正規化された仮数部と指数部を再結合し て出力の浮動小数点の数値を
構成し ます。
剰余
一部のアルゴ リ ズムの範囲縮小ステ ッ プには数値の剰余計算が含まれます (例 : sin-cos、 sinh-cosh)。 こ
れには剰余ブロ ッ ク を使用でき ます。 こ のブロ ッ クは、 浮動小数点の除算と床関数の計算によ って イ ン
プ リ メ ン ト されています。 剰余ブロ ッ クは、 ラ イブラ リ の一部と し てユーザーも使用でき ます。
X-Ref Target - Figure 4
図 4 : CORDIC LogiCORE IP v5.0 ブロ ッ ク内のレ イテンシ調整のために Sin-cos ブロ ッ ク内で FIFO を使用する方法
phase_tdata_phase
Convert
4In4
phase_tvalid
phase_tlast
dout_treadydout_tlast
dout
empty
full
din
we
re
CORDIC_5_0
FIFO
dout_tdata_real
dout_tdata_imag
dout_tvalid
phase_tready
z-4cast
Convert3
z-4cast
Convert1
Conditional-negate
Negate
inout
sign
z-4cast
Convert2
Delay5
z-4cast
z-1
float
z-1
x(-1)
z-4cast
From
[A]
Goto2Delay3
z-5
Delay2
2Out2
[A]
Goto
[C]
From2
3
Out3
4
Out4
z-5 5
Out5
1Out1
Convert4
Terminator1
Terminator
[C]
X552_04_021612
System Generator による イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン
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LUT
sinh-cosh と Power ブロ ッ ク は、 処理の一部を内部 LUT を使用し て イ ンプ リ メ ン ト し ています。 上記
のブロ ッ ク の出力範囲は急激に無限大へと増加する傾向があ り 、 ユーザーは入力範囲全体を必要 と し な
い可能性も あ り ます。 し たがって、 ユーザーが入力範囲に応じ て LUT サイ ズを選択でき る制御機能が
提供されています。ユーザー設定可能な LUT のイ ンプ リ メ ンテーシ ョ ンには、ROM ブロ ッ ク を使用し
ま し た (図 5 参照)。 このオプシ ョ ンによ り 、 ユーザーは リ ソース使用率を改善する ために、 ブロ ッ ク の
イ ン ス タ ン ス を最適化でき ます。
レ イテンシの調整
サブシステム内の各ブロ ッ ク のレ イ テンシは、 単精度浮動小数点データ型の場合は約 280MHz、 倍精度
浮動小数点データ型の場合は 240MHz になる よ う に調整されます。
X-Ref Target - Figure 5
図 5 : ユーザー定義の入力範囲をサポー ト するために構成された ROM ブロ ッ ク
X552_05_022912
ラ イブラ リ イ ン ターフ ェ イスの仕様
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ラ イブ ラ リ イ ンターフ ェ イスの仕様
こ こ では、 各種ブロ ッ ク に使用されるブロ ッ ク イ ン ターフ ェ イ スの用語について説明し ます。 図 6 に、
MATLAB で生成し た sinh と cosh のユーザー イ ン ターフ ェ イ スの例を示し ます。
表 1 は、 CORDIC ラ イブラ リ の各種ブロ ッ ク で使用されるパラ メ ーター イ ン ターフ ェ イ ス を説明し て
います。
X-Ref Target - Figure 6
図 6 : CORDIC Sinh-cosh ブロ ッ クのブロ ッ ク マスク
表 1 : CORDIC ラ イブ ラ リのパラ メ ーター イ ン ターフ ェ イス
パラ メ ーター名 説明
Iterations 加算 - 減算の反復回数。0 に設定し た場合、反復回数は出力に必要 と さ
れる精度によ って決ま り ます。 Iterations のデフ ォル ト 値は 0 です。
Precision 固定小数点 CORDIC の内部精度を設定し ます。 0 に設定し た場合、 内
部精度は自動的に決ま り ます。
Data type こ のラ イブラ リ がサポー ト するデータ型は、IEEE 754 規格が規定する
Single (単精度) と Double (倍精度) です。 カ ス タ ムのデータ型または
パラ メ ーター推論はサポー ト し ていません。
X552_06_021612
結果と検討
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表 2 は、CORDIC ラ イブラ リ の各種ブロ ッ ク で使用されるポー ト イ ン ターフ ェ イ ス を説明し た表です。
結果と検討 アーキテ クチャ レベルでの比較を行 う ために、 ラ イブラ リ 内の各種ブロ ッ クについて、 ス ピード、 エ リ
ア、 レ イ テンシ、 スループ ッ ト を見積も り ま し た。 こ こ に示し た結果は、 Virtex- 7 デバイ スによ る もの
です。 ス ピード の情報は、 ス ピード グレード -1、 -2、 -3 に対する値を示し ます。 デバイ スの使用率は、
-2 デバイ スの数値です。 表 3 に、 単精度データ型のパフ ォーマン ス を ま と めます。
Pipeline mode サポー ト し ているパイプラ イ ン モード は次の とお り です。
• Maximum : CORDIC コ アは、 すべてのシフ ト - 加算サブステージ
の後にパイプラ イ ンを備えた イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ンにな り ます。
• Optimal : CORDIC コ アは、 使用する LUT が増えない範囲で、 で
き るだけ多 く のステージでパイプラ イ ン処理が行われる よ う にイ
ンプ リ メ ン ト されます。
Architectural configuration サポー ト されている アーキテ クチャ設定は、 次の とお り です。
• Parallel : CORDIC コ アのデータ スループ ッ ト が 1 サイ クルになる
ものの、 シ リ コ ン エ リ アは大き く な り ます。
• Word-serial : CORDIC コ アは、データ スループ ッ ト が複数サイ ク
ルになる ものの、 シ リ コ ン エ リ アは小さ く な る よ う にイ ンプ リ メ
ン ト されます。
Maximum input value LUT のサイ ズを最適化し てエ リ アを節約する ために、 sinh、 cosh、 指
数関数に対し て設定し ます。 指数関数の演算はすぐに無限大へ と 増大
する傾向があ る ため、 こ の設定が役に立ちます。
表 2 : CORDIC ラ イブ ラ リのポー ト イ ン ターフ ェ イス
ポー ト 名 方向 説明
Cartesian_tvalid IAXI-Stream の入力 tvalid ハン ド シェ イ ク信号
Phase_tvalid I
Tdata_imag I 入力データの虚数部
Tdata_real I 入力データの実数部
Tdata_phase I sin-cos および sinh-cosh モード に使用する角度入力
Cartesian_tlast I ス ト リ ーム内の最後のデータ を指定する ために使用
Dout_tready I AXI-Stream のハン ド シェ イ ク信号
Cartesian_tready OAXI-Stream のハン ド シェ イ ク と し て使用する出力 tready 信号
Phase_tready O
Dout_tvalid O 出力データが有効であ る こ と を示す信号
Dout_tlast O 出力の最後のデータ を示す信号
表 1 : CORDIC ラ イブ ラ リのパラ メ ーター イ ン ターフ ェ イス
パラ メ ーター名 説明
結果と検討
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表 4 に、 倍精度データ型のパフ ォーマン ス を ま と めます。
表 3 : 単精度データ型のブロ ッ ク パフ ォーマンスのま とめ
ブロ ッ ク名 モー ド
-3 スピー ド グレー ド
-2 スピー ド グレー ド
-1 スピー ド グレー ド
レ イテンシ スループ ッ ト
LUT と フ リ ッ プ
フ ロ ッ プ
スラ イス レジス タ
スラ イス LUT ブロ ッ ク RAMDSP48E1
スラ イス
Sin-cos
Word Serial302 281 223 130 24
6,514 4,725 4,898 1 9
Parallel302 281 223 130 1
8,605 6,905 6,937 1 9
Sinh-cosh
Word Serial302 281 223 138 28
10,020 7,306 7,560 3 27
Parallel302 281 223 138 1
12,453 9,804 9,940 3 27
Power
Word Serial302 281 223 171 28
11,049 8,091 8,198 3 40
Parallel302 281 223 171 1
13,489 10,589 10,578 3 40
Log
Word Serial302 279 223 64 28
2,460 1,625 1,856 1 8
Parallel302 281 223 64 1
4,944 4,132 4,290 1 8
Atan
Word Serial302 279 223 67 26
2,682 1,834 2,025 2 5
Parallel302 281 223 67 1
4,935 4,152 4,257 2 5
表 4 : 倍精度データ型のブロ ッ ク パフ ォーマンスのま とめ
ブロ ッ ク名 モー ド
-3 スピー ド グレー ド
-2 スピー ド グレー ド
-1 スピー ド グレー ド
レ イテンシ スループ ッ ト
LUT と フ リ ッ プ
フ ロ ッ プ
スラ イス
レジス タスラ イス LUT ブロ ッ ク RAM
DSP48E1
スラ イス
Sin-cos
Word Serial282 246 215 171 45
16,598 12,504 12,060 1 20
Parallel297 258 222 171 1
23,437 19,542 18,811 1 20
Sinh-cosh
Word Serial285 251 217 179 49
24,183 17,898 18,219 5 73
Parallel297 258 222 179 1
31,607 25,498 25,553 5 73
現在の手法における ト レー ド オフ
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現在の手法における ト レー ド オフ
現在の手法では、 単純な範囲拡張アルゴ リ ズムを固定小数点 CORDIC アルゴ リ ズム と共に使用し てい
ます。 得られる結果はハー ド ウ ェ ア効率に優れ、 固定小数点 CORDIC ブロ ッ ク に匹敵する性能を期待
でき ます。 た と えば、 下位の 32 ビ ッ ト モード CORDIC ブロ ッ クは、 固定小数点の sin および cos を計
算する場合、 パラ レル モー ド では 345MHz、 ワー ド -シ リ アル アーキテ ク チャでは 222MHz で動作す
る もの と予想されます。これに対し て、単精度モード の浮動小数点 CORDIC アルゴ リ ズムでは、280MHz と い う 互角の性能が得られま し た。 誤差のパーセンテージは、 よ り 低い入力範囲で増大する傾向があ る
一方、 絶対誤差はよ り 高い入力範囲で大き く な る傾向があ り ます。
図 7 ～図 9 に、 各種ブロ ッ ク の詳細な誤差プロ フ ァ イルを示し ます。 誤差プロ フ ァ イルの単位は ULP (Units in Last Place) です。図 7 は、単精度モード の sin-cos および sinh-cosh の誤差プロ フ ァ イルです。
誤差プ ロ フ ァ イ ルは、 浮動小数点 リ フ ァ レ ン ス ブ ロ ッ ク の入力 と し て ラ ン プ信号を与え、 こ れを
Simulink の出力と比較する こ と で求めま し た。 このグ ラ フから、入力値が 0 に最も近い と きに誤差が最
大になる こ と がわか り ます。
Power
Word Serial285 229 217 212 49
26,257 19,438 19,663 5 101
Parallel297 229 222 212 1
33,681 27,038 27,997 5 101
Log
Word Serial283 248 216 85 49
3,075 2,787 3,575 1 25
Parallel297 258 222 85 1
12,045 10,463 11,020 1 25
Atan
Word Serial283 247 216 88 47
5,140 3,319 4,100 3 14
Parallel297 258 222 88 1
12,399 10,636 11,271 3 14
表 4 : 倍精度データ型のブロ ッ ク パフ ォーマンスのま とめ (続き)
ブロ ッ ク名 モー ド
-3 スピー ド グレー ド
-2 スピー ド グレー ド
-1 スピー ド グレー ド
レ イテンシ スループ ッ ト
LUT と フ リ ッ プ
フ ロ ッ プ
スラ イス
レジス タスラ イス LUT ブロ ッ ク RAM
DSP48E1
スラ イス
現在の手法における ト レー ド オフ
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X-Ref Target - Figure 7
図 7 : sin-cos および sinh-cosh の誤差プロ フ ァ イル
sin-cos Single
X552_07_042712
sinh-cosh Single
Input
Err
or in
ULP
-5
12
10
8
6
4
2
0
Err
or in
ULP
6
5
4
3
2
1
0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Input-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
sin
cos
sinh
cosh
現在の手法における ト レー ド オフ
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図 8 に、 指数および対数関数の誤差プロ フ ァ イルを示し ます。
X-Ref Target - Figure 8
図 8 : Log および Power の誤差プロ フ ァ イル
Log Single
X552_08_042712
Power Single
Input
Err
or in
ULP
0
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
Err
or in
ULP
4
3
2
1
0
200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Input0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Log
Power
リ フ ァ レンス デザイ ン
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図 9 に、 入力 1 にラ ンプ、 入力 2 に反転ラ ンプを与えた場合の atan の誤差プロ フ ァ イルを示し ます。
リ フ ァ レンス デザイ ン
こ のアプ リ ケーシ ョ ン ノー ト の リ フ ァ レ ン ス デザイ ンは、 次のサイ ト から ダウ ン ロード でき ます。
https://secure.xilinx.com/webreg/clickthrough.do?cid=185372
表 5 に、 リ フ ァ レ ン ス デザイ ンの詳細を示し ます。
X-Ref Target - Figure 9
図 9 : atan の誤差プロ フ ァ イル
atan Single
Input
Err
or in
ULP
0 20 40 60 80 100 120 1400
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
atan
X552_08_042712
表 5 : リ フ ァ レンス デザイ ンの詳細
パラ メ ーター 説明
全般
開発者 Nikhil Dhume、 Ramakrishnan Srinivasakannan
ターゲ ッ ト デバイ ス ( ステ ッ ピング レベル、
ES、 プロ ダ ク シ ョ ン、 ス ピード グレード )Spartan-6、 Virtex-6、 7 シ リ ーズ、 および Zynq-7000 デバイ ス
ソース コード の提供 あ り
ソース コード の形式 System Generator MDL ラ イブラ リ
既存のザイ リ ン ク ス アプ リ ケーシ ョ ン ノー ト
/ リ フ ァ レ ン ス デザイ ン、 CORE Generator ツール、 サード パーテ ィ からデザイ ンへの
コード /IP の使用
あ り
ま とめ
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ま とめ 三角関数、 指数関数、 対数関数を計算する浮動小数点ラ イブラ リ を、 下位の固定小数点ブロ ッ ク に対し
て範囲拡張アルゴ リ ズムを適用する こ と で設計し ま し た。 この手法によ って、 下位の固定小数点ブロ ッ
ク に匹敵する性能が得られる こ と が実証されま し た。 ラ イブラ リ 内の全ブロ ッ ク に対するデバイ ス使用
率、 レ イ テンシ、 最大動作周波数を示し ま し た。
参考資料 こ のアプ リ ケーシ ョ ン ノー ト では、 次の参考資料が使用されています。
1. Volder, Jack E., The CORDIC trigonometric computing technique. IRE Transactions on Electronic Computers, vol. EC-8, September 1959, pp. 330-334http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=5222693
2. IEEE Std.754-2008, IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic, August 2008. http://ieeexplore.ieee.org/servlet/opac?punumber=4610933
3. WP409 : 『ザイ リ ン ク ス FPGA を使用し た、 ビ ッ ト およびサイ クル精度の浮動小数点アルゴ リ ズムの実装』
4. Andraka, Ray. A survey of CORDIC algorithms for FPGA based computers, Proceedings of the 1998 ACM/SIGDA sixth international symposium on Field programmable gate arrays, Feb 22–24, 1998. pp. 191–200http://www.andraka.com/files/crdcsrvy.pdf
5. Lang, T. and E. Antelo, High-throughput CORDIC-based geometry operations for 3D computer graphics, IEEE Transactions on Computers, vol. 54, no. 3, March 2005, pp. 347–361http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1388199
6. DS858 : 『LogiCORE IP CORDIC 製品仕様』
7. UG638 : 『System Generator for DSP リ フ ァ レ ン ス ガイ ド』
8. Creating a Block Mask (in MATLAB)http://www.mathworks.com/help/toolbox/simulink/ug/brx7xj4.html
シ ミ ュ レーシ ョ ン
機能シ ミ ュ レーシ ョ ンの実施 あ り
タ イ ミ ング シ ミ ュ レーシ ョ ンの実施 あ り
機能およびタ イ ミ ング シ ミ ュ レーシ ョ ンでの
テス ト ベンチの利用
あ り
テス ト ベンチの形式 System Generator MDL フ ァ イル
使用し たシ ミ ュ レータ ツール / バージ ョ ン System Generator for DSP バージ ョ ン 13.4
SPICE/IBIS シ ミ ュ レーシ ョ ンの実施 な し
イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン
使用し た合成ツール / バージ ョ ン Xilinx Synthesis Technology (XST) 13.4
使用し た イ ンプ リ メ ンテーシ ョ ン ツール /バージ ョ ン
System Generator for DSP バージ ョ ン 13.4
ス タ テ ィ ッ ク タ イ ミ ング解析の実施 あ り
ハー ド ウ ェ ア検証
ハード ウ ェア検証の実施 な し
検証に使用し たハード ウ ェア N/A
表 5 : リ フ ァ レンス デザイ ンの詳細 (続き)
パラ メ ーター 説明
改訂履歴
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改訂履歴 次の表に、 こ の文書の改訂履歴を示し ます。
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こ の資料に関する フ ィ ード バッ クおよび リ ン ク などの問題につき ま し ては、
[email protected] までお知らせ く だ さ い。 いただき ま し たご意見を参考に早急に対応さ
せていただき ます。 なお、 この メ ール ア ド レ スへのお問い合わせは受け付けてお り ません。 あ らかじめ
ご了承 く ださ い。
日付 バージ ョ ン 内容
2012 年 6 月 1 日 1.0 初版 リ リ ース
