HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ · 2018-12-23 · HOC360.NET -TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: Từ (4) và (5) suy ra: (6) Tóm lại …

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

Từ (4) và (5) suy ra: (6)

Tóm lại có: IK BC'

IK AB'

ì ^í

^î, mà

Þ PQ vuông góc với cả hai đường thẳng BC' và AB'.

Vậy: PQ là đoạn vuông góc chung của AB' và BC'.

Có IJ // A'B' mà

Tam giác B'IJ vuông ở I có đường cao IK:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 3 a 3 IJ

3IK IB' IJ a a a= + = + = Þ = .

Theo cách dựng thì IKPQ là hình chữ nhật a 3

PQ IK3

Þ = = .

Câu 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên

(SAD) là tam giác đều và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Gọi I, M, F lần

lượt trung điểm của AD, AB, SB và K là giao điểm của BI và CM.

a) Chứng minh mp(CMF) vuông góc với mp(SIB).

b) Tính BK và KF.

c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD.

d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA.

LỜI GIẢI

a) Chứng minh mp(CMF) vuông góc với mp(SIB)

Ta có: 1 1IAB MBC c.g.c C BD = D Þ =

Ta có: 0 011 1 1C M 90 B M 90+ = Þ + = 0MKB 90 CM IBÞ = Þ ^ .

Vậy có: CM ^ IB; CM ^ SI (SI ^ (ABCD))

Mà: CM Ì mp (CMF) .

b) Tính BK và KF.

Trong vuông tại B:

22 2 2 a a 5

CM BC BM a .4 2

= + = + =

Và = Û =a 5 a

BK.MC BM.BC BK. .a2 2



Þ =a 5

BK5

.

Trong vuông tại I:

2 22 2 3a 5a

SB SI BI a 24 4

= + = + = ;

a 5BI 102cosSBISI 4a 2

= = = .

Trong BKFD : 2 2 2FK BK BF 2BK.BFcosFBK= + -

2 2 2a a a 5 a 2 10 a a 52. . . FK

5 2 5 2 4 5 5= + - = Þ =

c) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD.

AB ADAB mp SAD

AB SI

ì ^Þ ^í

^î.Trong mặt phẳng (SAD) kẻ .

Vậy AE là đoạn vuông góc chung của AB và SD.

Kết luận a 3

d AB,SD AE2

= = ( vì AE là đường cao đều ).

d). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và SA.

Gọi N trung điểm của CD.

Ta có: (Vì AN Ì mp (SAN))

Nên .

Gọi . Ta có ( vì AN // CM).

Vậy: AN mp SIP^ . Từ I kẻ IQ SP IQ d I,mp SAN^ Þ = .

Thật vậy, vì IQ vuông góc với cả hai đường thẳng SP và AN cùng thuộc mp

(SAN).

2 2BM a a 5 a 5IAP MBK IP MK :

MC 4 2 10D = D Þ = = = = .

Trong vuông tại A : 2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 20 64 a 3IQ

8IQ IS IP 3a a 3a= + = + = Þ = .



Vậy: I,mp SAN

a 3d IQ

8= =

Ta có: IK mp SAN PÇ = nên:

= = Þ = =d(k,mp(SAN)) KP a 3

2 d(K,mp(SAN)) 2d(I,mp(SAN))d(I,mp(SAN)) IP 4

.

Câu 38: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O cạnh a, góc

0BAD 60= . Đường thẳng SO vuông góc với đáy và 3a

SO4

= . Gọi E , F lần lượt

là trung điểm của BC và BE.

a). Chứng minh mp(SOF) vuông góc mp(SBC).

b). Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

c). Gọi a là mặt phẳng qua AD và vuông góc với mặt phẳng (SBC). Xác định

thiết diện của hình chóp với mặt phẳng a . Tính diện tích của thiết diện này.

d). Tính góc giữa mặt phẳng a và mặt phẳng (ABCD).

LỜI GIẢI

a). Chứng minh mp(SOF) vuông góc mp(SBC).

Vì đều nên:

(OF đường trung bình BDED )

BC SOBC mp SOF

BC OF

ì ^Þ ^í

^î

(vì BC Ì (SBC)).

b). Tính khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).

Trong mặt phẳng (SOF), dựng thì:

OH mp SBC d O,mp SBC OH^ Þ = .

Trong vuông tại O:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 16 16 64 3a 3aOH d O,mp SBC

8 8OH OS OF 9a 3a 9a= + = + = Þ = Þ = .

Gọi .



Trong mặt phẳng (SIF) dựng tại K thì (Vì IK // OH).

Vì (Vì BC Ì mp (SBC)).

Nên A,mp SBC I,mp SBC

3ad d IK 2OH

4= = = = (Vì I Î AD).

c). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng a .

Ta có nên mặt phẳng a chính là mặt phẳng (ADK).

Ta có: K SBC ADK

SBC ADK Kx Kx // AD // BCAD // BC

ì Î ÇïÞ Ç =í

ïî.

Gọi M Kx SB,N Kx SD= Ç = Ç .

Kết luận: thiết diện cần tìm là hình thang ADNM.

Tính diện tích hình thang ADNM: ADNM

1S AD MN .IK

2= +

Tính MN:

Trong vuông tại O: 2 2

2 2 9a 3a a 3SF OS OF

16 16 2= + = + = .

Trong vuông tại K:2 2

2 2 3a 9a a 3SK SI IK

4 16 4= - = - = .

Do đó SK 1

SF 2= .

Vậy: K là trung điểm SF. Suy ra MN là đường trung bình :

BC aMN

2 2= = .

2

ADNM

1 1 a 3a 9aS AD MN .IK a .

2 2 2 4 16

æ ö= + = + =ç ÷

è ø.

d). Tính góc giữa mặt phẳng a và mặt phẳng (ABCD).

Ta có:

ABCD AD

FI AD,KI AD , ABCD FIK

FI ABCD ,KI

ì a Ç =ï

^ ^ Þ a =íï Ì Ì aî

.



Trong FIKD vuông tại K: 0IK 3a a 3 3cosFIK : FIK 30

IF 4 2 2= = = Þ = .

Câu 39: Cho tam giác đều SAB và hình vuông ABCD cạnh a nằm trong hai mặt

phẳng vuông góc với nhau. Gọi H, K lần lượt trung điểm AB, CD và E, F lần lượt

trung điểm của SA và SB.

a). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) . Tính tan của góc giữa hai mặt

phẳng (SAB) và (SCD) .

b). Gọi G là giao điểm của CE và DF. Chứng minh CE SA,DF SB^ ^ .Tính tan

của góc giữa hai mặt phẳng (GEF) và (SAB) .

c). Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK .Tính khoảng cách từ G đến

mặt phẳng (SCD).

d). Gọi M là điểm di động trên đoạn SA. Tìm tập hợp những điểm là hình chiếu

vuông góc của S trên mặt phẳng (CDM).

LỜI GIẢI

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt

phẳng (SCD).

Ta có DC HK,DC SH^ ^

nên .

Trong mặt phẳng (SHK) dựng

d H,mp SCD HQÞ = .

Trong vuông tại K:

2 2 2 2 2 2

1 1 1 4 1 7

HQ HS HK 3a a 3a= + = + =

a 21HQ

7Þ =

a 21d H,mp SCD

7Þ = .

Vì

(Vì CD Ìmp (SCD)).



Nên = =a 21

d A,mp ACD d H,mp SCD7

.

Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD):

Ta có: .

Và

SH AB,SK CDSH Sx

SH SAB ,SK SCD SAB , SCD KSHSK Sx

Sx // AB // CD

ì ^ ^ì ^ï

Ì Ì Þ Þ =í í^îï

î

.

Xét vuông tại H: HK a 2 3

tanHSKHS 3a 3

2

= = = .

b) Chứng minh CE SA,DF SB^ ^ .

Xét vuông tại B: 2

2 2 2a a 5HC HB BC a

4 2= + = + = .

Xét vuông tại H :2 2

2 2 3a 5aSC HS HC a 2

4 4= + = + = .

Xét có CA CS a 2= = nên tam giác SAC cân tại C và có CE là đường

trung tuyến, suy ra CE cũng là đường cao. Kết luận .

Chứng minh tương tự thì .

Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (GEF) và (SAB):

Gọi Þ I trung điểm EF.

Ta có CDEF là hình thang cân và I, F lần lượt là trung điểm của hai đáy EF và

CD nên .

SAB CDEF EF

SH EF,KI EF SAB , CDEF HIK

SH SAB ,KI CDEF

ì Ç =ï

^ ^ Þ =íï Ì Ìî

.

Xét HIKD vuông tại H : HK a 4 3

tanHIKHI 3a 3

4

= = = .

c) Chứng minh G là trọng tâm của tam giác SHK.

Vì CDEF là hình thang cân nên , mà KI là đường trung tuyến của tam giác

SHK (1)

Trong hình thang cân CDEF ta có tỉ lệ đồng dạng:



GF GE GI EF 1

GD GC GK DC 2= = = = (Vì

1EF= AB,AB CD

2= )

2GK 2GI KG KI

3Þ = Û = (2)

Từ (1) và (2) Þ G là trọng tâm của tam giác SHK.

Trong mặt phẳng (SHK) gọi L giao điểm của HG và SK.

= = Þ = =d G,mp SCD GL 1 1 a 21

d G,mp SCD d H,mp SCDHL 3 3 21d H,mp SCD

d) Tìm tập hợp những điểm là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (CDM).

Ta có:

Dựng .

Ta được .

Dựng .

Do đó P là hình chiếu của S trên mp(CDM).

Ta có: 0SPK 90= .

Do đó P thuộc đường tròn đường kính SK trong mặt phẳng (SHK). Mặt khác: M di động trên đoạn SA nên N di động trên đoạn SH.

Ta suy ra điểm P chạy trên cung SH .

Câu 40: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, các cạnh bên

đều bằng a 3 .

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD).

b) Gọi a là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC. Hãy xác định thiết diện của

hình chóp với mặt phẳng a . Tính diện tích của thiết diện này.

c) Gọi j là góc giữa AB và mặt phẳng a . Tính sinj .

LỜI GIẢIGọi O là tâm của hình vuông thì SO

là khoảng cách từ S đến ( ).Ta có:

2 22 2 2 2 2a 10a

SO SC OC 3a4 4

= - = - =

a 10SO

2Þ =

Vì BD (SAC)^ nên .



Trong (SAC) dựng .

AC' cắt SO tại H và cắt SC tại C' . Trong (SBD) , đường thẳng qua H và song song với BD cắt SB và SD lần lượt

tại B' và D' .Ta có: . Vậy và ( )a là mặt phẳng (AB'C'D') .

BD (SAC)^ .

Do đó : AB'C'D'1

S AC'.B'D'2

=

Ta có:

a 10.a 2

SO.AC a 5 a 152AC'SC 3a 3 3

= = = = ;

2 22 2 2 5a 4a 2a

SC' SA AC' 3a SC'3 3 3

= - = - = Þ =

Từ hai tam giác vuông đồng dạng SOC và , ta có:

2a.a 3

SC'.SC 4a3SHSO a 10 10

2

= = =

Vì nên: B'D' SH 4a 2 8 4 4

. B'D' a 2BD SO 10 5 510 a 10

= = = = Þ =

Vậy: 2 2

AB'C'D'1 a 5 4 2a 10 2a 30

S . . a 22 5 153 5 3

= = = .

Gọi j là góc (AB,( ))a .

Ta có: 2a a 3

CC' SC SC' a 33 3

= - = - = .

Dựng với , thì OK ( )^ a và 1 a 3

OK CC'2 6

= = .

Dựng BF OK= thì BF ( )^ a và a 3

BF6

= .

Ta có: góc (AB,( )) BAFa = = j ;

a 3BF 3 36sinBAF sinBA a 6 6

= = = Þ j = .

Câu 41: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều. Gọi E, F là trung điểm của AB và CD.a) Cho biết tam giác SCD vuông cân tại S. Chứng minh: SE ^ (SCD) và SF ^ (SAB).



b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên EF. Chứng minh: SH ^ ACc) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD).

LỜI GIẢIa) Chứng minh SE ^ (SCD) và SF ^ (SAB).

Chứng minh SE ^ (SCD):Do cân tại S có F là trung điểm của

CD ÞMà (theo tính chất của hình

vuông) CD SEFÞ ^ .

Mà (1)

Ta chứng minh SEFD vuông tại S bằng

cách sử dụng định lý Pytago như sau:

vuông tại S có SF là đường trung tuyến nên 1 a

SF CD2 2

= = .

đều cạnh a có SE là trung tuyến nên a 3

SE2

= ; EF = a.

Có :

2 22 2 2 2a 3 a

SE SF a EF2 2

æ ö æ ö+ = + = =ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø

.

Vậy : DSEF vuông tại S Þ SE ^ SF (2)

Từ (1) và (2) Þ SE ^ (SCD).

Chứng minh SF (SAB):

Theo chứng minh trên : SE ^ SF (3)

CD ^ (SEF), mà AB // CD Þ AB ^ (SEF) Þ SF ^ AB (4)

Từ (3) và (4) Þ SF ^ (SAB).

b) Chứng minh SH AC

Ta có: CD ^ (SEF) (theo chứng minh trên), mà SH Ì (SEF) Þ SH ^ CD.

Hơn nữa, SH ^ EF (gt) Þ SH ^ (ABCD)

Mà AC Ì (ABCD) Þ SH ^ AC.c) Tính góc giữa đường thẳng BD và mặt phẳng (SAD).

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.Theo tính chất của hình vuông ABCD, ta có : AC, BD và EF đồng quy tại O.Vì SE > SF nên H thuộc đoạn OF. Trong mặt phẳng (ABCD), qua H vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD, OD

lần lượt tại M và K.Vậy : góc giữa BD và mặt phẳng (SAD) là góc giữa KD và (SAD). Ta đi tìm hình chiếu của K lên (SAD).

Ta có: AD ^ MH, AD ^ SH (do SH ^ (ABCD))

^

^



Þ AD ^ (SHM) Þ (SAD) ^ (SHM).

(SAD) Ç (SHM) = SM. Vẽ KP ^ SM (P Î SM) Þ KP ^ (SAD) tại P.

Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Þ Hình chiếu của K lên (SAD) là P ÞHình chiếu của KD lên (SAD) là PD.

Þ BD, SAD KD, SAD KD,PD KDP= = = .

Để tìm góc , ta đi tìm KD và KP.

DSEF vuông tại S có SH là đường cao nên ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 16 a 3SH

4SH SE SF 3a a 3aaa 34 422

= + = + = + = Þ =æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø

DSEH vuông tại H nên ta có: 2 2

2 2 3a 3a 3aEH SE SH

4 16 4= - = - = .

3a a a a a aOH EH OE HF OF OH

4 2 4 2 4 4= - = - = Þ = - = - = .

ÞH là trung điểm của OF, mà HK // DF nên HK là đường trung bình của

DFOD.

Þ K là trung điểm của OD Þ1 1 a 2 a 2

KD OD .2 2 2 4

= = =

(Do BD = a 2 ).

1 1 a a a a aHK DF . ; MK MH HK

2 2 2 4 2 4 4= = = = - = - =

Þ K là trung điểm của MH.

Trong (SHM), vẽ HQ ^ SM (Q Î SM), mà KP ^ SM Þ KP // HQ

Mà K là trung điểm của MH nên KP là đường trung bình của DMHQ

Þ1

KP HQ.2

=

DSHM vuông tại H có HQ là đường cao, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 28 a 21HQ

14HQ HS HM 3a a 3aaa 316 424

= + = + = + = Þ =æ ö æ öç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø



Þ1 a 21

KP HQ2 28

= =

Trong DKPD vuông tại P, ta có:

a 3

KP 42 424 7sinKDP KDP arcsinKD 14 14a 2

4

= = = Þ =

Vậy: 42

BD, SAD KDP arcsin14

= = .

Câu 42: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

SA ^ (ABCD) và SA = 2a.

a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD); (SCD) ^ (SAD).

b) Tính góc giữa SD và (ABCD) , SB và (SAD) , SB và (SAC) .

c) Tính d(A, (SCD)), d(B,(SAC)).

LỜI GIẢI

a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD); (SCD) ^ (SAD).

Chứng minh (SAC) ^ (SBD);

Ta có: BD ^ AC (Hai đường chéo của

hình vuông ABCD); BD ^ SA

(do SA ^ (ABCD)).

Þ BD ^ (SAC). Mà BD Ì (SBD).

Þ (SAC) ^ (SBD).

Chứng minh (SCD) ^ (SAD):

Ta có: CD ^ AD (Hai cạnh kề của hình

vuông ABCD) và CD ̂ SA (do SA ̂ (ABCD)

Þ CD ^ (SAD). Mà CD Ì (SCD) Þ (SCD) ^ (SAD).

b) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC).

Tính góc giữa SD và (ABCD).

Ta có: SA ^ (ABCD) tại A nên hình chiếu của S lên mp (ABCD) là A.

Þ Hình chiếu của SD lên mặt phẳng (ABCD) là AD.

Þ SD, ABCD SD,AD SDA= = .

Trong DSAD vuông tại A, SA 2a

tanSDA 2 SDA arctan2AD a

= = = Þ = .



Vậy: SD, ABCD = SDA arctan2= .

Tính góc giữa SB và (SAD):

Ta có: BA ^ SA, BA ^ AD Þ BA ^ (SAD) tại A nên hình chiếu của B lên

(SAD) là A.

Þ Hình chiếu của SB lên mặt phẳng (SAD) là SA.

Þ .

Trong DSAB vuông tại A: AB a 1 1

tanBSA BSA arctanSA 2a 2 2

= = = Þ =

Vậy: 1

SB, SAD BSA arctan2

= = .

Tính góc giữa SB và (SAC):

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Theo chứng minh trên: BD ^ (SAC) tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là

O.

Þ Hình chiếu của SB lên (SAC) là SO

.

1 a 2BD a 2 BO BD

2 2= Þ = = .

DSAB vuông tại A nên:22 2 2SB SA AD 2a a a 5= + = + = .

Trong DSOB vuông tại O, ta có: .

Vậy: 1

SB, SAC BSO arcsin10

= = .

c). Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)).

Tính d(A, (SCD)).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SD.

Ta có: AH ^ SD.

Theo chứng minh ở câu a, CD ^ (SAD)

Mà AH Ì (SAD) Þ AH ^ CD Þ AH ^ (SCD) Þ d(A, (SCD)) = AH.

DSAD vuông tại A có AH là đường cao.

Ta có: = + = + Þ =2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2aAH

5AH AD AS a 4a.

, ,SB SAD SB SA BSA= =

, ,SB SAC SB SO BSOÞ = =



Vậy: = =2a

d A, SCD AH5

.

Nhận xét: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong

mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

Trong ý trên, do (SAD) (SCD) và có giao tuyến là SD nên khi kẻ AH ^ SD

thì AH ^ (SCD).

Tính d(B,(SAC)).

Theo chứng minh trên BD ^ (SAC) tại O nên hình chiếu của B lên (SAC) là O.

Þ d(B, (SAC)) = BO = a 2

2.

Câu 43: Hình chóp S.ABC. DABC vuông tại A, góc = 600, AB = a, hai mặt bên

(SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = 2a. Hạ BH ^ SA (H Î SA); BK ^ SC (K

Î SC).

a). Chứng minh: SB ^ (ABC)

b). Chứng minh: mp(BHK) ^ SC.

c). Chứng minh: DBHK vuông.

d). Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK).

LỜI GIẢI

Nhận xét: Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của

chúng (nếu có) vuông góc với mặt phẳng đó, tức là:

dd

;

üa Ç b = ïÞ ^ gý

a ^ g b ^ g ïþ

.

a) SB ^ (ABC):

Ta có : SAB SBC SB

SAB ABC ; SBC ABC

üÇ = ïý

^ ^ ïþ

SB ABCÞ ^ .

b) CM (BHK) ^ SC:

SC ^ BK (gt) (1)

AC ^ AB (DABC vuông tại A) và AC ^ SB

(do SB ^ (ABC))

Þ AC ^ (SAB).

Mà BH Ì (SAB) Þ BH ^ AC. Mặc khác: BH ^ SA (gt)

Þ BH ^ (SAC). Mà SC Ì (SAC) Þ SC ^ BH (2)

Từ (1) và (2) Þ SC ^ (BHK).

^

B



c) CM DBHK vuông:

Theo chứng minh ở câu b, BH ^ (SAC). Mà HK Ì (SAC) Þ BH ^ HK.

Vậy: DBHK vuông tại H.

d) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK) :

Vì H Î SA nên SA, BHK SH, BHK .=

Theo chứng minh ở câu b, SC ^ (BHK) tại K nên hình chiếu của S lên (BHK) là K.

Þ Hình chiếu của SH lên (BHK) là KH.

Þ SA, BHK SH, BHK SH,KH SHK.= = =

DSHK vuông tại K nên HK

cosSHKSH

= .

Ta có: DSHK ∽ DSCA ÞHK AC

SH SC= .

DBAC vuông tại A, 0

0

AB AB acos60 BC 2a

1BC cos602

= Þ = = = .

DSBC vuông tại B nên .

ÞHK AC a 7 14

cosSHKSH SC 42 2a

= = = = .

Vậy: cos SA, BHK = cosSHK14

4= .

Câu 44: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 5

2

. Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Và M là trung điểm của SC.

a). Chứng minh: (MBD) (SAC).

b). Tính góc giữa SA và mp(ABCD) .

c). Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD).

d). Tính góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (ABCD).

LỜI GIẢI

Nhắc lại: Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và có đáy là đa

giác đều. Do đó, trong hình chóp đều, tâm của đa giác đáy trùng với hình chiếu của

đỉnh S lên mặt đáy.

a) Chứng minh: (MBD) (SAC):

Vì hình chóp S.ABCD đều nên

^

^



SO ^ (ABCD).

Mà BD Ì (ABCD) Þ BD ^ SO.

Hơn nữa có: BD ^ AC Þ BD ^ (SAC).

Mà BD Ì (MBD) Þ (MBD) ^ (SAC).

Tính góc giữa SA và mp(ABCD):

Ta có: SO ^ (ABCD) nên hình chiếu của S lên

(ABCD) là O Þ Hình chiếu của SA lên (ABCD)

là OA.

Þ SA, ABCD SA,OA SAO= = .

a 5 a 2SA ; AC a 2 AO

2 2= = Þ = ;

Trong DSOA vuông tại O, ta có:

AO a 2 a 5 10 10cosSAO : SAO arccos

SA 2 2 5 5= = = Þ = .

Vậy: = =10

SA, ABCD SAO arcos5

.

Tính góc giữa hai mặt phẳng ( MBD) và (ABCD):

Ta có: MBD Ç (ABCD) = BD; BD ^ (SAC); (SAC) Ç (ABCD) = AC;

SAC MBD MO MBD , ABCD AC,MO COMÇ = Þ = =

(Vì COM là góc nhọn).

Trong DSOC vuông tại O có OM là đường trung tuyến nên:

1 1 a 5 a 5OM SC .

2 2 2 4= = = .

a 2 1 a 5OC ; MC SC

2 2 4= = = .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác COM, ta có: 2 2 2CM OM OC 2OM.OC.cosCOM= + - .

2 2 2

2 2 2

a 5 a 2 a 5

4 2 4OM OC CM 10cosCOM

2OM.OC 5a 5 a 22 .

4 2

æ ö æ ö æ ö+ -ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷+ - è ø è ø è ø= = =

Þ10

COM arccos5

= .

5

2

aSA =

Documents

HOC360.NET - TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ · 2018-12-23 · HOC360.NET -TÀI LIỆU HỌC TẬP MIỄN PHÍ Group: Từ (4) và (5) suy ra: (6) Tóm lại …