РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В …toe.osu.ru/wp-content/uploads/2013/11/rasch_per_proc...2 УДК 621.3.01(076.5) ББК 31.211я7 Д 56 Рецензент

1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Оренбургский государственный университет»

Кафедра теоретической и общей электротехники

Н. И. Доброжанова, А. Т. Раимова

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С

СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Часть 2

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального

государственного бюджетного образовательного учреждения высшего

профессионального образования «Оренбургский государственный

университет» в качестве методических указаний для студентов, обучающихся

по программам высшего профессионального образования по инженерно-

техническим неэлектротехническим направлениям подготовки

Оренбург

2014

2

УДК 621.3.01(076.5)

ББК 31.211я7

Д 56

Рецензент – доцент, кандидат технических наук Н. Ю. Ушакова

Доброжанова, Н. И.

Д-56 Расчет переходных процессов в электрических цепях с сосредото-

ченными параметрами: методические указания для практических

занятий по электротехнике: в 2 ч. / Н. И. Доброжанова, А. Т. Раимова;

Оренбургский гос. ун-т – Оренбург: ОГУ, 2014. – Ч. 2. – 43 с.

Методические указания для практических занятий по

электротехнике предназначены для решения задач по разделу

«Переходные процессы» курсов «Теоретические основы электротехники»

и «Электротехника».

Методические указания для практических занятий необходимы для

студентов, обучающихся по направлениям подготовки 140400.62 –

Электроэнергетика и электротехника и 090900 – Информационная

безопасность.

В данных методических указаниях изложены основные

теоретические сведения, примеры решений типовых задач, задачи для

самостоятельного решения и контрольные вопросы.

УДК 621.3.01(076.5)

ББК 31.211я7

Доброжанова Н. И.,

Раимова А.Т., 2014

ОГУ, 2014

3

Содержание

Введение ……………………………………………………………………… 4

1 Анализ переходных процессов в линейных электрических цепях…….. 6

1.1 Возникновение переходных процессов………………………………….. 6

1.2 Операторный метод расчета переходных процессов.

Преобразование Лапласа ………………………………………………...

7

1.3 Изображение простейших функций …………...………………............... 10

1.4 Уравнения электрических цепей в операторной форме ......................... 13

1.5 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторы

сопротивления ……………………………………………………………

14

1.6 Эквивалентные операторные схемы ……………………………………. 15

1.7 Определение оригинала функции по ее изображению ……………… 16

2 Примеры расчета задач операторным методом …………………............ 21

3 Задачи для самостоятельного решения…...……………………………... 36

4 Контрольные вопросы …………………………………………………….. 42

Список использованных источников ……………………………………….. 43

4

Введение

Физическое действие электрического тока проявляется в нагреве и

механическом воздействии на токоведущие элементы электротехнического

устройства. В конечном итоге это влияет на долговечность и надежность его

работы.

Перегрев токоведущих элементов устройства в первую очередь вызывает

интенсивный износ изоляции, что, в конечном счете, приводит к короткому

замыканию сопровождаемому, как правило, электрической дугой. Превышение

механических усилий своего допустимого значения приводит к разрушению

устройства, затем – к короткому замыканию. Поэтому первым этапом расчета

электротехнического устройства, ставится задача определения величин токов в

элементах устройства.

В установившемся режиме напряжения и токи на всех участках

электрической цепи остаются неизменными в течение сколь угодно большого

промежутка времени. В понятия неизменных напряжений и токов в данном

случае включаются не только постоянные, но и синусоидальные напряжения и

токи с постоянными амплитудой и частотой.

По условиям эксплуатации и характеру работы электроустановок, или по

другим (в том числе случайным) причинам изменяются режимы в

электрических цепях.

Для перехода от одного установившегося режима к другому требуется

некоторый переходный период, в течение которого изменяются величины токов

и напряжений в электрической цепи. С большей или меньшей скоростью эти

величины приходят в соответствие с условиями нового режима. Во время

переходного процесса могут возникать сверхтоки и перенапряжения. В

теоретических основах электротехники студенты изучают основные законы

коммутации и методы расчета переходных процессов, который является одним

из основных для специальных предметов, таких как «Электрические сети»,

«Переходные процессы в системах электроснабжения», «Релейная защита».

5

В данном практикуме по теоретическим основам электротехники

рассмотрены примеры расчета переходных процессов, а также задачи для

самостоятельного решения.

Практикум предназначен для глубокой самостоятельной проработки и

самоконтроля усвоения курса ТОЭ. Материал подобран и расположен таким

образом, что позволяет студентам эффективно и с минимальными затратами

времени усвоить все вопросы, рассматриваемые на лекциях и лабораторно-

практических занятиях.

6

1 Анализ переходных процессов в линейных электрических

цепях

1.1 Возникновение переходных процессов

Переходный или неустановившийся процесс в электрической цепи – это

процесс перехода из одного установившегося состояния в другое.Причинами

возникновения переходных процессов являются – включения, переключения

цепи, то есть любая коммутация (или изменение параметров).

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, представленную на

рисунке 1.1.

Рисунок 1.1 – Электрическая цепь

Представим график изменения тока в цепи как функцию времени, как

показано на рисунке 1.2.

Рисунок 1.2 – График изменения тока

L

1

2

Е

R

R

1 1

1

2

2

Е ЕR R

R

R

Rt=0

i= i=

i(0-)Установившийся режим Установившийся режим

до коммутации после коммутации

Переходный процесс

i

t

.

+

7

Пусть замыкание ключа произошло в момент времениt=0.

Отрезок времени nntt .0 это и есть переходный процесс.

Кривая тока при переходном процессе зависит от вида цепи в нашем

случае это экспонента.

Вводят понятия:

– время до коммутации t );0(

– время после коммутации )0( t ;

– время момента коммутации t(0).

Для расчета переходного процесса могут быть использованы законы

Кирхгофа. Формулировка законов не меняется, только в уравнения входят

падения напряжений на элементах в дифференциальной форме записи:

– напряжение на активном элементе – iRuR ;

– напряжение на индуктивном элементе – dt

diLuL ;

– напряжение на емкостном элементе – dtiC

uC

1.

В этом случае переходные процессы рассчитываются по законам

Кирхгофа в дифференциальной форме. При расчете электрических цепей

используют различные методы расчета. Одним из основных является

операторный метод расчета.

1.2 Операторный метод расчёта переходных процессов.

Преобразование Лапласа

Классический метод расчёта переходных процессов требует в общем

случае многократного решения систем алгебраических уравнений для

определения постоянных интегрирования по начальным условиям и для

нахождения начальных значений функции и её производных, что и

представляет собой основную трудность расчёта этим методом.

8

Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных

цепях с сосредоточенными параметрами представляют собой линейные

уравнения с постоянными коэффициентами, то их можно интегрировать также

операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа.

Операторный метод применим не только к обыкновенным линейным

дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами и их

системами, но также к линейным уравнениям с переменными коэффициентами

и к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами в частных

производных, т.е. к расчёту переходных процессов в цепях с распределёнными

параметрами.

Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой

заданной однозначной ограниченной функции f(t) вещественной переменной

(например, времени t) , называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям

Дирихле на любом конечном промежутке времени и равной нулю при t< 0,

сопоставляется другая функция F(p) комплексного переменного jp

называемой изображением. Условие Дирихле заключается в том, что на

любом конечном промежутке функцияf(t) должна быть или непрерывной, или

иметь конечное число разрывов непрерывности первого рода, и, кроме того,

должна иметь на этом же промежутке конечное число максимумов и

минимумов. Пусть задана функция f(t)– оригинал, приведенная на рисунке 1.3.

f(t)

u(t); i(t); e(t)

t

Рисунок 1.3 – Функция времениf(t)

9

Данной функции времени с помощью прямого преобразования Лапласа

соответствует изображение:

0

)()( dtetfpF pt , (1.1)

где jp – комплексная переменная.

Обратно, если нужно по имеющемуся изображениюF(p)найти оригинал

f(t), то это может быть выполнено в общем случае при помощи обратного

преобразованияЛапласа:

j

j

pt dppFej

tf0

0

)(2

1)(

, (1.2)

которое представляет собой решение интегрального уравнения (1.1)

относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами

теории функции комплексного переменного. Интеграл (1.2) вычисляется по

прямой на плоскости комплексного переменного jp ,параллельной

мнимой оси и расположенной правее всех особенностей функцииF(p),

рассмотренной на рисунке 1.4

j j0

0

j0

Рисунок 1.4 – Функция комплексно-переменной

Переходные процессы, рассмотренные классическим методом в 1части,

описываются системой интегродифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами. Для преобразования их по Лапласу в соответствии с

формулой (1.2) приходится находить изображения производных и интегралов

10

от оригиналов. При этом оказывается, что изображения производных и

интегралов от оригинала выражаются алгебраическими функциями от

изображения и начальных значений самой функции, её производных и

интегралов. Поэтому система интегро-дифференциальных уравнений

относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений

относительно их изображений, т.е. производится алгебраизация исходной

системы интегро-дифференциальных уравнений.

При решении полученной системы алгебраических уравнений

определяются изображения искомых функций, а затем при помощи обратного

преобразования Лапласа, вытекающих из него формул или специальных таблиц

– оригиналы, т.е. искомые функции времени. Таким образом, между

оригиналом, т.е. функцией времени и её изображением всегда существует

взаимооднозначная связь. При этом система дифференциальных уравнений

переходит в систему алгебраических уравнений. В чём и заключается главное

преимущество операторного метода, т.е. не надо искать зависимые начальные

условия и постоянные интегрирования.

1.3 Изображение простейших функций

1. Пусть дана функция времени оригинал:

n

k

k tftf1

)()( (1.3)

0 1 1 0

)()()(n

k

n

k

pt

k

pt

k dtetfdtetfpF

Изображение данной функции:

n

k

k pFpF1

)()( (1.4)

2. Пусть дана функция f(t)=A=const (1.5)

11

p

Ae

p

AdtAepF ptpt

00

)( . (1.6)

Изображением постоянной величины является сама постоянная величина,

величина, деленная на ρ:

A )(; pUp

A

)(; pEP

U

P

E

.

3. Изображение показательной функции:

tetf )(

0 0

)()( dtedteepF tрptt

te

p

1 (1.7)

te 1 )(

11

pppp(1.8)

4. Изображение f(t)=еjωt, если j , то эта формула даёт возможность

найти изображение комплекса синусоидального тока:

tjSintCose tj

tje 2222)(

)(1

pj

p

p

jp

jp

jp. (1.9)

tCos 22 p

p (1.10)

tSin 22

p (1.11)

5. Изображение синусоиды с начальной фазой:

SintCosACostSinAtSinA mmm )(

2222

p

SinpA

p

CosA mm

22

)(

p

CosSinpAm

.

12

)( tSinAm 22

cos

p

tSinpAm

.

(1.12)

6. Изображение производной:

dt

tdft

)()( , если известна функция f(t) и её операторное изображение

f(t) F(ρ), то:

dt

df

)0()( fppF , (1.13)

где f(0) – значение функции в момент времени t= 0.

Напряжение на индуктивном элементе в операторной форме:

dt

diLuL

)0()( iLpIpL . (1.14)

7. Изображение интеграла t

dttf0

)( , если известно, что изображение

функции f(t) равно F(ρ) t

dttf0

)(

p

pF )(, то напряжение на ёмкости будет:

t

cc uidtC

u0

)0(1

.

Изображение напряжения на ёмкости:

)(pUc p

U

Cp

pI c )0()( , (1.15)

где Uc(0) – если конденсатор был заряжен;

Uc(0)=0 – если конденсатор не заряжен.

13

1.4 Уравнения электрических цепей в операторной форме

Таблица 1.1 – Операторные схемы замещения

Оригинал Операторные изображения

1 2

1 Резистор R

i(t) uR

ЗаконОма: uR=u(t) = R·i

R

I(р) )( pU R

ЗаконОма: )()( pIRpUR (1.16)

2 Индуктивный элемент

i(t) L

uL(t)

dt

diLuL

I(p) Lp Li(0)

UL(p)

)0()()( LipIpLpUL (1.17)

В операторной схеме появляется

дополнительный источник ЭДС – Li(0) ,

совпадающий по направлению с током,

зависящий от независимых начальных условий.

3 Емкостный элемент

i(t) С

uС(t)

)0(

1)( cc Uidt

Ctu

I(p) Cp

1

p

UC )0(

UL(p)

p

U

Cp

pIpU c

c

)0()()( (1.18)

Если в цепи имеются источники тока или ЭДС

4 Источник ЭДС

e(t)

E(p)

(1.19)

5 Источник тока

i(t)

J(p)

(1.20)

14

1.5 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Операторы

сопротивления

Рассмотрим ветвь, содержащую резистор R, индуктивность L и емкость C.

Таблица 1.2 – Операторные сопротивления

Оригинал Операторные изображения

i(t) R L C

u(t)

cLRuuutu )(

R Lp Li(0) Cp

1

p

UC )0(

I(p)

U(p)

.)0(

)0()1

()(

)0()(

1)0()()(

)()()()(

p

ULi

СppLRpI

p

UpI

CpLipLpIpIR

pUpUpUpU

С

С

СLR

,

)0()0()()()(

p

ULipIpzpU С

где )1

()(Сp

pLRpz – операторное сопротивление

В таблицах 1.1 и 1.2 представлены оригиналы и соответствующие им

операторные изображения.

Уравнение p

ULipIpzpU c )0(

)0()()()( – есть второй закон Кирхгофа в

операторной форме, если начальные условия нулевые i(0)=0 и uc(0)=0, то

).()()( pIpzpU

Для замкнутого контура второй закон Кирхгофа в операторной форме

запишется:

n

k

n

k

внутрkkk epEpIpz1 1

)()()( , (1.21)

где )( рEk – операторная ЭДС источника;

15

n

k

C

kkвнутрp

UiLe K

1

))0(

)0(( представляют собой внутренние ЭДС,

обусловленные законом энергии до коммутации в магнитных полях

катушки и электрических полях конденсатора.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме для узла запишется:

n

k

k pI1

0)(

(1.22)

1.6 Эквивалентные операторные схемы

При расчёте переходного процесса операторным методом полезно

составить для заданной цепи эквивалентную операторную схему. Для заданной

электрической схемы,приведенной на рисунке 1.5, составим эквивалентную

L1 R3

E L2 C

R1 J(t)

Рисунок 1.5 – Электрическая схема

L1 pL1i1(0) R1

E/p I1(p) L2(p) I3(p) Cp

1

R1 L2i2(0) J(t)

I2(p) p

UC )0(

Рисунок 1.6 – Операторная схема

16

операторную схему, представленную на рисунке 1.6, для после

коммутационного режима, с учётом начальных условий.

Для данной схемы составим уравнения по законам Кирхгофа для

изображений:

Так как все методы расчёта цепей выводятся из уравнений Кирхгофа, то

для расчёта изображений какого-либо тока или напряжения в схеме 1.6 можно

пользоваться методами контурных токов, узловых потенциалов, активного

двухполюсника, эквивалентных преобразований и т.д.

Решая уравнения цепи в операторной форме, всегда можно найти

изображения искомых величин токов и напряжений, а затем от изображений

перейти к оригиналам, т.е. найти действительные токи и напряжения. При этом

независимые начальные условия входят непосредственно в систему уравнений

и нет необходимости определять какие-либо постоянные интегрирования.

1.7 Определение оригинала функции по ее изображению

Расчёт операторным методом осуществляется в основном в 2 этапа –

запись изображения заданной функции времени и переход от изображения к её

оригиналу, при котором применяют различные приёмы.

Первый – с помощью формул соответствия (обратное преобразование

Лапласа). Переход от изображения к оригиналу осуществляется по формулам

(1.3 – 1.15). Для многих функций решения имеются в справочной литературе по

операционному исчислению.

p

UiLpI

CppIRppIL

iLiLp

EppILpIRppIL

pIpJpIpI

C )0()0()(

1)()(

)0()0()()()(

0)()()()(

2233322

2211221111

321

17

Например, имеем схему, приведенную на рисунке 1.7, а. Данной схеме

соответствует операторная схема, приведенная на рисунке 1.7, б.

R R

+ i + I(p)

U L U pL

Li(0)

– –

а) б)

Рисунок 1.7 – Расчетная (а) и операторная (б) схемы

Определяем начальные условия. Т.к. ток до коммутации был равен нулю,

то i(0)=0 и ЭДС источника (евн=Li(0)=0) не будет, то операторная схема примет

вид, приведенный на рисунке 1.8.

R

+ I(p)

U(p) Lp

–

Рисунок 1.8 – Операторная схема без внутреннего источника

По закону Ома значение тока определится как:

)()()(

)()(

LpRp

U

LpR

p

U

pZ

pUpI

. (1.23)

Данное изображение нужно привести к виду, которое есть в таблице

соответствия. Для этого данное уравнение умножаем на L

R, выносим L и

получим операторное изображение тока:

)(

)(

L

Rpp

L

R

R

UpI

. (1.24)

18

Из таблицы соответствия имеем )1( te )(

pp, т.е. определим

оригинал:

)1()(t

L

R

eR

Uti

. (1.25)

Переход от изображения к оригиналу с помощью таблиц соответствия

трудный метод, поэтому применяется второй метод. В этом методе

применяется формула разложения, получаемая в результате доказательства

теоремы разложения сложных дробей на простейшие.

Если операторное изображение искомого переходного тока или

напряжения можно представить в виде рациональной несократимой дроби:

n

nnn

m

mmm

вpвpвpв

apapapa

pF

pFpF

...

...

)(

)()(

2

2

1

10

2

2

1

10

2

1

, (1.26)

где m

mmm apapapapF ...)( 2

2

1

101

– многочлен числителя;

n

nnn вpвpвpвpF ...)( 2

2

1

102

– многочлен знаменателя.

При этом дробь будет рациональная и несократимая только при

выполнении следующих трёх условий:

1) n <m, степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в

знаменателе;

2) многочлены числителя и знаменателя не имеют одинаковых корней;

3) не имеют кранных корней.

В этом случае для определения оригинала можно пользоваться формулой

разложения:

n

k k

tp

k

pF

epFtf

k

1'

2

1

)(

)()( , (1.27)

где 1p , 2p , 3p , kp – корни многочлена F2 (p),

n– число корней

19

Уравнение 0)(2 pF называют характеристическим. В зависимости от типа

его корней возможны различные виды разложения, приведенные в таблице 1.3.

Таблица 1.3 – Виды разложения

Вид корней

характеристического уравнения

Формула разложения

1.Корень один, вещественный tpe

pF

pFtf 1

)(

)()(

1

'

2

11

2.Два корня, один из корней равен

нулю )(

)(

)(

)0()(

1

'

2

11

'

2

11

pF

epF

pF

Ftf

tp

3.Имеется пара комплексно-

сопряжённых корней

tp

k

k kepF

pFtf

)(

)(Re2)(

'

2

1

Порядок расчёта переходных процессов операторным методом:

1. Определяются независимые начальные условия.

2. Составляется операторная схема замещения (после коммутации).

3. Рассчитывается операторная схема замещения относительно

изображений искомых функций.

4. Определяются оригиналы искомых функций (обратный переход) одним

из двух методов:

- с помощью таблиц соответствия;

- с помощью теоремы разложения с помощью теоремы разложения.

Терема разложения

Любое искомое изображение всегда можно получить в виде

рациональной дроби:

)(

)()(

2

1

pF

pFpF ,

где F1(p) и F2(p) – полиномы числителя и знаменателя соответственно.

20

План пользования теоремой разложения

1. Найти изображение в виде рациональной (не имеющей

многоэтажности) дроби: )(

)()(

2

1

pF

pFpF .

2. Знаменатель полинома (характеристическое уравнение)

приравнивается к нулю: 0)(2 pF .

3. Определяем корни характеристического уравнения –рк .

4. В зависимости от вида корней характеристического уравнения

определяем оригинал по таблице 1.3.

5. Далее находим производную от знаменателя.

6. Используя теорему разложения, согласно таблице 1.3 определяем токи.

В том случае, если операторным методом ведётся расчёт только

свободной составляющей, то в операторных схемах замещения внешние

источники исключаются, а в выражения для внутренних источников

записываются начальные значения свободных составляющих токов через

индуктивность, а напряжений – через ёмкость

21

2 Примеры расчёта задач операторным методом

В данном разделе рассмотрены некоторые примеры и предложены

варианты их решения.

Пример 1. В цепи, приведенной на рисунке 2.1, определить все

переходные токи и переходное напряжение на индуктивности после

коммутации, если известны: R0=25 Ом; R1=25 Ом; R2= R3=30 Ом; L=1 Гн;

U=100 В. Расчёт переходного процесса произвести операторным методом при

замкнутом ключе.

Рисунок 2.1

Решение:

1. Составляем операторную схему замещения (после коммутации),

приведенную на рисунке 2.2 для переходных токов.

Рисунок 2.2

1 R

i k1

i

i

3

k2

2 R

3 R i

i 2

1

L

U

1 R

U p

I

I

I

i

2 2

1 R

R

L L

3 3

3

(p)

(p)

p

(p)

(0)

22

2. В операторной схеме определяем независимые начальные условия. До

коммутации ключ был разомкнут. По первому закону коммутации имеем:

1

3030

30301025

100

2

1

2

1)0(

32

32

10

3

RR

RRRR

Ui А.

В операторной схемеi3 (0) = 1 – независимое начальное условие.

3. Для данной схемы определяем операторные изображения токов по

законам Кирхгофа.

Уравнение по законам Кирхгофа для операторной схемы:

0)()()(

)0()()()(

)()(

321

32233

2211

pIpIpI

LipIRpILpR

P

UpIRpIR

.

0)()()(

1)()30()(30

100)(30)(10

321

32

21

pIpIpI

pIppI

ppIpI

.

).()150040(

6000130

1030030900300

1003000

303000

111

30300

03010

110

30301

030100

)(1 cApp

p

pp

pp

p

p

p

pI

).()150040(

300090

1030030900300

1003000

10

111

30300

03010

101

3010

0100

10

)(2 cApp

p

pp

p

p

p

p

pI

23

).()150040(

600040

1030030900300

103000

30

111

30300

03010

011

1300

1003010

)(2 cApp

p

pp

p

p

p

pI

Операторное изображение напряжения на индуктивности:

)(150040

1500

150040

1500403000401

300040

300040)0()()( 33 cB

pp

pp

p

pLipLpIpU L

.

4. Оригиналы токов находим по формуле разложения, приведенной в

таблице1.3:

tpn

k k

k kepF

pF

F

Ftf

1'

2

1

'

1

1

)(

)(

)0(

)0()(

).()150040(

6000130)(1 cA

pp

ppI

Находим корень характеристического уравнении:

)150040()(

.0)(

2

2

pppF

pF.

Отсюда:

)/1(5,37

0

0150040

0

2

1

2

1

cp

p

p

p

.

Выражение для производной многочлена F'2 (p) имеет вид:

.801500)(2 ppF

Находим значение числителя и производной знаменателя при найденных

корня:

24

.150)5,37(801500)(

.15000801500)(

.1126000)5,37(130)(

.600060000130)(

22

12

21

11

pF

pF

pF

pF

.)75,04(1500

1125

1500

6000 5.375.37

1 Aeei tt

Аналогично определяем токи i2,i3, ur:

.5,37

.)2(

.)25.02(

5,37

5,37

3

5,37

2

Beu

Aei

Aei

t

r

t

t

Пример 2. В схеме, приведенной на рисунке 2.3, заданы параметры:

R1=R3=200Ом; С2=25 мкФ; U =√2·311 sin( 200t - 18025').Определить переходные

токи и переходное напряжение на ёмкости после коммутации для свободного

процесса операторным методом.

Рисунок 2.3

Решение:

1. Определяем независимые начальные условия по второму закону

коммутации. Напряжение на ёмкости скачком измениться не может, т.е.:

uc(0) = uc(- 0).

Ключ до коммутации был разомкнут. Напряжение на ёмкости до

коммутации:

3 3

i

i

2 2

1

R

R

C U

25

).(311200200200

3112)

25200

101(

25200

101200

3112)

1(

1

25,639025,186

6

25,18

1

..

Beej

ej

j

e

cj

cjR

UU jj

jjm

cm

).(278)25,63(311)0( BSinUc

).0(278)0()0()0( прcпрccсвc UUUU

Чтобы определить принужденное напряжение Ucпр(0) , необходимо найти

ток mI 2

.

:

).(2311

3112

200200

)200(200200

311225,18

25,1825,18

1

.

Ae

e

j

j

eI

j

jj

прm

).(200200

2002 452

.

Aej

I jmпр

).(200200)( 4590452

..

ВeeejXIU jjj

cmcmпр

Вtu прс )45200sin(200. .

Вuс 141)45sin(200)0(пр. .

Вu свс 137)141(278)0(. .

2.Cоставляем операторную схему замещения, как на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4

3. По методу контурных токов определяем изображения искомых

функций. Т.к. мы определяем свободные токи, то напряжения источника не

учитываются.

1 R

I

I I 2

2 1 R

C

U 3

3

(p)

(p) (p)

p

p

(0)

cв

c

cв

cв

1

-

26

p

UpI

pcRpIR

pIRpIRR

cвc

cвcв

cвcв

)0()(

1)(

0)()()(

2

2

313

23131

.

pC

RRpRR

UR

RpC

RRRRR

p

UR

pCRR

RRR

pCR

p

U

R

pIcвc

cвccвc

cв

2

2131

3

2

3

2

212

331

3

2

33

331

2

3

3

1

)0(

)0(

1

1)0(

0

)(

).(8002

37,1

200200

137200

25

10400 6cA

pp

pRR

URR

pC

RRRR

p

URR

RR

RRR

p

UR

RR

pIcвc

cвc

pc

cвc

cв

31

31

2

21

31

31

133

331

3

31

2

)0(

)0()(

)0(

0

)(

2

).(400

37,1

200200

137400

2510400 6

cApp

).(4002

137

400

37,1

8002

37,1)()()( 213 cA

ppppIpIpI cвcвcв

)400(

)400(13737,1137

)400(

37,1)0()(

1)( 2

1

2

2

2 pp

p

pPрCp

UpI

рCpU

Ccвc

cвcвc

).(400

137

)400(

137cB

ppp

p

4.Оригиналы токов и напряжения на ёмкости находим по формуле:

tPn

k

к keF

рF

рF

рF

1 2

1

2

1 )(

)(

)(.

Из уравнения р+ 400 = 0 определяем р = – 400

c

1.

27

),(37,11

37,1

),(685,02

37,1

400400

2

400400

1

Aeei

Aeei

tt

cв

tt

cв

),(685,02

37,1 400400

3 Aeei tt

cв

)(1371

137 400400 BeеU tt

ccв

.

Пример 3. В цепи, приведенной на рисунке 2.5, параметры которой

C=104 мкФ; R1=R2=R3=200 Ом и приложенное напряжение U=120 В, определить

переходные токи и переходное напряжение на ёмкости после коммутации.

Расчёт произвести операторным методом.

Рисунок 2.5

Решение:

1. Определяем независимые начальные условия по второму закону

коммутации:

Uc(0)=Uc(-0).

Ключ до коммутации был разомкнут. Так как напряжения постоянные, то

всё напряжение приложено к конденсатору:

Uc(0)=Uc(-0)=U=120 В.

2. Составляем операторную схему замещения, как на рисунке 2.6, для

переходных токов.

3

3

R

i

i

i

2 2

1

1

R R

C

U

28

Рисунок 2.6

3. По методу контурных токов определяем изображения токов:

p

UpI

pСRpIR

р

UpIRpIRR

cкк

кк

)0()(

1)(

)()()(

23213

23131

.

2

3

312

313231

332

323

331

32

3

1

)(

)0(1

1

1)0(

)(

RpC

RRRRRRRR

p

UR

pCRR

p

U

pCRRR

RRR

pCRR

p

U

Rp

U

pI

CC

к

4

6

4

6

31

31231

332

10

104020202040

10

10120)2012040120(

)(

)0()(

pp

p

C

RRрRRRRRр

C

UрRURRU c

).(

)103(

306

)40001200(

120002400

10

104020202040

10

10120)2012040120(

4

6

4

6

cApp

p

pp

p

pp

p

pC

RRRRRRR

p

URRR

p

U

pCRRR

RRR

p

UR

p

URR

pI

cc

к

3123231

331

323

331

3

32

2

)(

)0(

1

)0(

)(

p 3

3

I 1 (p)

I I

2 (p) (p)

U

p

(0) c -

C p

1

2

1

R

R

R

U

29

4

631

23231

332

10

104020202040

1202012040

)(

)0()(

ppC

RRpRRRRR

URURR c

).(103

6

40001200

2400cA

pp

).()103(

3012

)103(

6306)()()( 213 cA

pp

p

pp

pppIpIpI кк

).()103(

600360

)103(

1200360600120

)103(10

106)0()(

1)(

4

6

2 cBpp

p

pp

p

pppp

UpI

СppU c

c

Оригиналы находятся по формулам разложения

В этом случае имеем:

0)(2 pF , т.е.р(3р+10)=0.

Тогда значения корней будут равны:

0103

0

2

1

p

p, отсюда

)/1(3,33

10

0

2

1

cp

p

.

Тогда токи примут значения:

).)(6060(3

600360

10

600

);(33

3012

10

30

);(23

6

);(33

306

10

30

3,33,3

310

310

3,33,3

310

310

3

3,33,3

2

3,33,3

310

310

1

Beeu

Aeei

Aeei

Aeei

tt

c

tt

tt

tt

Пример 4. В цепи, приведенной на рисунке 2.7, параметры которой равны

R0=30 Ом, R1=43 Ом; R2=200 Ом; L2=1 Гн и приложенное напряжение

)30200sin(2002 tu В, определить свободные токи и напряжение на

индуктивности после коммутации операторным методом.

30

Рисунок 2.7

Решение:

1. Определяем в данной схеме независимые начальные условияпо

первому закону коммутации. Ток на индуктивности скачком измениться не

может. Ключ разомкнут до коммутации, поэтому ток будет равен:

)0()0( 22 ii .

).(2200

2002

200200

2002004330

2002200230

30

.

30

2

3

10

30

32

32

1

.

1 Ae

e

j

j

e

LjR

LjRRR

e

ZZ

ZZZ

UI

j

jjjm

m

).(200200

2002 45

32

3

12 AejZZ

ZII j

mm

).)(45200(2 AtSini

).(707,0)45()0()0( 22 ASinii

Определим ток mI 2 после коммутации:

).(15,12174

2002

200200

20020043

2002 5

35

30

.

30

32

32

1

.

1 Aee

e

j

j

e

ZZ

ZZZ

UI j

j

jj

m

прm

).(15,1200200

20015,12 505

32

3

12 Aej

eZZ

ZII jj

mnpm

).)(50200(15,12 AtSini пр

).(88,0)50(15,1)0(2 ASini пр

3

R

R

i 1

2 i i 3

U

2

1

R0

L

31

Определяем свободный ток:

).(174,0)881,0(707.0)0()0()0( 222 Aiii прсв

2. Составляем операторную схему замещения для после

коммутационного режима, учитывая, что ЭДС источника равна нулю. Схема

приведена на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8

3. В операторной схеме 174,0)0(2 cвi А – независимое начальное условие.

По методу контурных токов имеем:

)0()()()(

0)()(

22313

23131

cвcвcв

cвcв

LipILpRpIR

pIRpIRR.

2

331

2

331

23

33

331

32

3

1)(

)0()0(

0

)(RLpRRRRR

LiR

LpRR

RRR

LpRLi

R

pI cвcв

cв

).(43215,1

174,0

124320043

174,01200cA

pp

).(4,35

174,0

124320043

174,01243

)(

)0()()0(

0

)(3131

231

33

331

23

31

2 cAppLpRRRR

LiRR

LpRR

RRR

LiR

RR

pI cвcв

cв

R

i

I I I

2

2

1

1

R 3

3 (p) (p)

(p)

cв

cв

cв cв

L

L

p

(0)

32

4,35

174,0

431215

174,0)()()( 213

pppIpIpI cвcвcв

).(20064,5

174,0

43215,1

)215,11(174,0

43215,1

174,0215,1174,0cA

ppp

).)(0()()( 22 ВLipLpIpU cвcвLcв

).(4,35

16,6

4,35

4,35174,0174,0174,0174,01

4,35

174,01)( cB

pp

pp

p

ppU Lcв

Оригиналы свободных токов и напряжения на индуктивности находятся

по формулам разложения:

.04.35)(

.0)(

2

2

pрF

рF

Определим корень характеристического уравнения:

.1

4,35c

P

Вычислим мгновенные значения токов по теореме Разложения:

;143,0215,1

174,0 4,354,35

1 Aeei tt

cв

;174,01

174,0 4,354,35

2 Aeei tt

cв

;031,064,5

174,0 4,354,35

3 Aeei tt

cв

.16,61

16,6 4,354,35 BeeU tt

Lcв

Пример 5. В заданной цепи, приведенной на рисунке 2.9, с параметрами

ОмС

ОмLОмLОмRОмRОмR 31

;5;7;3;1;22

31321

и напряжением

BtU )45314sin(2

260 0 включается ветвь с емкостью. Составить операторные

схемы для расчета переходного процесса и для расчета свободного процесса.

Найти величины операторных ЭДС.

33

Рисунок 2.9

Решение:

Операторная схема для переходных токов приведена на рисунке 2.10.

Рисунок 2.10

Операторное изображение приложенного напряжения:

).(314

45cos31445sin

2

260)(

22

00

cBp

ppU

1. Для определения величины операторных ЭДС пользуются 1 и 2

законами коммутации. В режиме до коммутации имеем:

).(13,14

132

260

57322

260 2222

2267

4545

3311

31

0

0

00

Aee

e

j

e

LjRLjR

UII j

j

jjm

mm

.)2222314sin(13,14 0

31 Atii

На основании первого закона коммутации:

)0()0()0()0( 3311 iiиii .

i

i

i

2

1

1 1

R R2

L

L

U

3

3 3

2

R

C

R

3

3 3

2 C

3

p

I 1 (p)

I

I

2

(p)

(p)

(p)

U p (0)

(0)

c -

p 1

i L

2

1

3

1 1

R R

L U

(0)

i L

34

).(38,5)2222sin(13,14)0()0( 0

31 Aii

Имеем:

).(085,0)38,5(314

5)0(

).(12,0)38,5(314

7)0(

33

11

cBtiL

cBiL

2. На основании второго закона коммутации:

0)0()0( 22 cc UU .

Следовательно 0)0(

р

U c .

Операторная схема для свободных токов приведена на рисунке 2.11. Для

определения величины операторных ЭДС необходимо найти принуждённые

токи в первой и третьей ветви и напряжения на ёмкости.

Рисунок 2.11

В принуждённом режиме после коммутации имеем:

)35(31

)53)(31(72

2

260

1

1

045

2

332

33

2

2

11

1

j

jjj

e

cijRR

LjRc

jR

LjR

UI

j

m

m

L R p

(0) i

i

L

L

2

1

1

1 1 1

R R

L

3

3 3

2 C

3

p

I 1 (p)

I

I

2 (p)

(p)

(0)

p 1

U

p

(0)

cв

cв

cв

cв

c cв

cв

-

35

);(8,2686,6

2

260

47,4

73,516,372

2

260

344

7140

45

4326

20594371

45

0

0

0

0

00

0

Aee

e

e

eej

ej

j

j

j

jj

j

);(35,3447,4

73,58,26

1

1137

4326

434344

2

332

33

12

0

0

0

0

Aee

ee

cLjRR

LjRII j

j

j

mm

);(93,1893,1847,4

16,38,26

1

1

53865293

4326

344434

3

332

2

2

13

00

0

0

0

Aeee

ee

cLjRR

cjR

II jj

j

jj

mm

).(103335,341 945290113790

2

22

0000

Beeeec

IU jjjj

mmc

Далее имеем:

.)9452314sin(103

;)5386314sin(93,18

;)344314sin(8,26

0

2

0

3

0

1

BtU

Ati

Ati

npc

np

np

Для определения величин операторных ЭДС имеем:

).(82)9452sin(1030)0()0()0(

);(49,135386sin)93,18(38,5)0()0()0(

);(61,7344sin8,2638,5)0()0()0(

0

222

0

333

0

111

BUUU

Aiii

Aiii

npcccвc

npcв

npcв

Операторные ЭДС в схеме для свободных токов согласно рисунку 2.11:

).(82)0(

);(214,049,13314

5)0(

);(169,0)61,7(314

7)0(

.

33

11

cBPP

U

cBiL

cBiL

свc

cв

cв

36

3 Задачи для самостоятельного решения

В данном разделе предложены варианты заданий для решения с целью

самопроверки.

Вариант 1. Определить операторное изображение тока I1, если U=160 В;

81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.

Вариант 2. Составить операторную схему замещения по Лапласу, если

I=1 A; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR L = 60 мГн.


21 R Ом; 82 R Ом; 63 R Ом; С = 90 мкФ.

R

L

3 R

R 1 1 1

2

U

3

3

i

i

L L

J

R R

R

R

2

3 U

0 i

1

1

3 C

R

R

R

2

2 i 1

U

37


I=10 A; 10R Ом; С = 31 мкФ.


101 R Ом; 52 R Ом; 53 R Ом; С = 51 мкФ.

Вариант 6. Составить операторную схему замещения по Лапласу,

если 045sin200 tu В; 10R Ом; С = 39 мкФ; f=50 Гц.


045314sin200 tu В; 10R Ом; С = 40 мкФ; L= 66 мГн.

2 i J

C

R R

R

R

3 R

R

R 1 1

2 2

U

i

i

C

R

1

U

i

2 i

C C

R

uL R

R

i

i

C

C

U

38


090314sin100 tu В; 4031 RR Ом; 852 R Ом;

L = 51 мГн; С = 80 мкФ.


090314sin100 tu В; 41 R Ом; 82 R Ом; L = 28 мГн;

С = 31 мкФ.


045sin200 tu В; 10R Ом; С = 319 мкФ; f = 50 Гц.


045314sin200 tu В; 10R Ом; С = 49 мкФ; L= 63 мГн.

R

1

U

i

2 i

C C

R

uL R

R

i

i

C

C

U

L

R R

1 1

u

u

2

C

3

3 L R i i

C

L

R

1 1

u

i i

2

2 i

3 R

39


81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.


I = 1 A; L1=56 мГн; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR

Вариант 14. Определить операторное изображение тока I3, если U = 80 В;

21 R Ом; 82 R Ом; 63 r Ом; С = 60 мкФ.


81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.

R

L

3 R

R 1 1 1

2

U

3

3

i

i

R

L

3 R

R 1 1 1

2

U

3

3

i

i

L L

J

R R

R

R

2

3 U

0 i

1

1

3 C

R

R

R

2

2 i 1

U

40


I=1 A; L=56 мГн; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR


21 R Ом; 82 R Ом; 63 R Ом; С = 60 мкФ.


81 R Ом; 32 R Ом; 63 R Ом; L1=56 мГн.

R

L

3 R

R 1 1 1

2

U

3

3

i

i

L L

J

R R

R

R

2

3 U

0 i

1

1

3

C

R

R

R

2

2 i 1

U

41


I=1 A; L=50 мГн; .Ом90Ом;8Ом;2 3120 RRRR


21 R Ом; 82 R Ом; 63 R Ом; С = 50 мкФ; f=50 Гц.

L L

J

R R

R

R

2

3 U

0 i

1

1

3 C

R

R

R

2

2 i 1

U

42

4 Контрольные вопросы

1. Что такое переходной процесс?

2. Что называется коммутацией?

3. В чем заключаются причины возникновения переходных процессов?

4. Как читаются законы коммутации?

5. Чем опасны переходные процессы?

6. Сущность операторного метода расчета переходных процессов.

7. Как определить операторное сопротивление цепи?

8. Записать закон Ома в операторной форме.

9. Записать второй закон Кирхгофа в операторной форме.

10. Что характеризует с физической точки зрения внутренний источник

катушки индуктивности в операторной схеме замещения?

11. Что характеризует с физической точки зрения внутренний источник

конденсатора в операторной схеме замещения?

12. Как определить оригинал с помощью таблицы соответствия?

13. Как определить оригинал с помощью теоремы разложения?

14. Зарисовать операторную схему замещения для катушки

индуктивности.

15. Зарисовать операторную схему замещения для конденсатора.

16. Как составить операторную схему замещения для свободного

процесса?

17. Как составить операторную схему замещения для переходного

процесса?

43

Список использованных источников

1 Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические

цепи: учебник для вузов / Л. А. Бессонов. – 11-е изд., испр. и доп. - М. :

Гардарики, 2006. – 701 с.

2 Глотов, А. Ф. Практикум по методам анализа и расчета электронных

схем / А. Ф. Глотов. – Томск :Изд-во ТПУ, 2008. – 138 с.

3 Ганский, П. Н. Методические указания к выполнению расчетно-

графического задания по курсу «Методы анализа и расчета электронных

схем / П. Н. Ганский, А. Т. Раимова. – Оренбург :ОГУ,2003. – 28 с.

4 Семенова, Н. Г. Переходные процессы в линейных целях с

сосредоточенными параметрами: Задания и методические указания к

выполнению расчетно-графического задания № 6 по ТОЭ / Н. Г. Семенова,

Н. Ю. Ушакова.– Оренбург: ГОУ ОГУ, 2009. – 27 с.

5 Чернышова, Т. И. Моделирование электронных схем / Т. И. Чернышова,

Н. Г. Чернышов. – Таганрог : ТГТУ, 2010. – 80 с.

Documents

РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В …toe.osu.ru/wp-content/uploads/2013/11/rasch_per_proc...2 УДК 621.3.01(076.5) ББК 31.211я7 Д 56 Рецензент