ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ ΦΟΡΕΩΝΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΣΕΩΣ ΦΟΡΕΩΝ

Επίπεδα ΠλαίσιαΕπίπεδα Πλαίσια

1

Επίπεδα Πλαίσια

Φορέας: EEπίπεδοςπίπεδος

ΦόΦό ∆ ά∆ ά ί δ έ ί δ έ ((FF FF ))ΦόρτισηΦόρτιση:: ∆υνάμεις∆υνάμεις στο επίπεδο του φορέα στο επίπεδο του φορέα ((FF11,F,F22))ΡοπέςΡοπές κάθετες στο επίπεδοκάθετες στο επίπεδο (M(M33))

x2

x1

x3

2

x3

Στοιχείο P2 Τ ό ύ ξόΤοπικό σύστημα αξόνων

F1 ik

ik

ikkx2

x1

F1 F2 ik

M3 ik

u1 ik

u2 ik

θ3 ik( i )

j

kx2

F1 ij

F2 ij

u1 ij

u2 ij

θ ij

jx3M3 ij

θ3

Τοπικό Σύστημα

x1

F1 ik

F2 ikΣτοιχείο P2

Τ ό ύ ξό

kx2

x1

F1 ij

ij

M3 ik

u1 ik

ik

Τοπικό σύστημα αξόνων

( i )

jx3

F1 F2 ij

M3 ij

u ij

u2

θ3 ik

u1 u2 ij

θ3 ij

Τοπικό Σύστημα

Dj Dk

Aj

Akk

k k u1 = 1

ik

k k u1 = 1

ijΥπολογισμός δεικτών στιβαρότητας στoιχείου P2

k11 k41

4

k14 k44

1

k22 k32 k52 k25

k55

k65

u2 = 1ij k62

5

u2 = 1ikk35

2

θ 1ij k53

5

θikk26

3θ3 = 1

k23

k53

k63 6

θ3 = 1k

k56

k26

k36

k33 k66 Συμμετρία

Betti MaxwellΙσορροπία Betti‐Maxwell Ισορροπία

Υπολογισμός δεικτών ενδοσιμότητας στοιχείου P2 ‐ Επιλογή προβόλου

2 5

x2 ( i )13

2

46

5

x1

x3

( )

j kL

P4 = 1

F44

P

F65

P5 = 1

F55 k44 = 1/ F44k55 = F66/Hk = F /H

Υπενθύμιση !!! K 0 & K KP5 1

F56 F66

k56 = ‐F56/Hk66 = F55/H H = F55 F66 – F56

2

Kii > 0 & Kij = Kji

P6 = 1

{Δk} = [FKK] {Pk}      {Pk} = [FKK]‐1 {Δk} {Pk} = [kKK] {Δk}

F55 F65

Από Αρχή των ∆υνατών Έργων ισχύουν:

P5 = 1

[M5]P5 = 1

L

F F66

Επομένως με αντικατάσταση προκύπτουν:

P6 = 1

F56

[M6] P6 = 11

Ισορροπία4    5 6

Δείκτες στιβαρότητας στοιχείου P2

2

k44 = 1/ F44 , k55 = F66/H,   k56 = ‐F56/Hk66 = F55/H ,   H = F55 F66 – F56

2

2

Συμμετρία

65 k25 = ‐ k55 = ‐12EI/L3

k35 = ‐ k65 – k55L = ‐6EI/L2

k26 = ‐ k56 = 6EI/L2

k36 = ‐ k66 – k56L = 2EI/L

k25 k55

k65 θ3 = 1ikk26

5

u2 = 1ikk35 6 k56

k66

k36

Ισορροπία4    5 6

Ισορροπία1    2 3

Δείκτες στιβαρότητας στοιχείου P2

245

k25 = ‐ k55 = ‐12EI/L3

k35 = ‐ k65 – k55L = ‐6EI/L2

2

3

4

6

35 65 55

k26 = ‐ k56 = 6EI/L2

k36 = ‐ k66 – k56L = 2EI/L36 66 56

k = k k = k Συμμετρία

3

2k62 = k26 ,  k52 = k25k22 = ‐ k52 = 12EI/L

3

k32 = ‐ k62 – k52L = 6EI/L2

k63 = k36 ,  k53 = k35

ΣυμμετρίαΣυμμετρίαkkj=kjk

3 k23 = ‐ k53 = 6EI/L2

k33 = ‐ k63 – k53L = 4EI/Lk22

k32 k52

k ij

3θ3 = 1

ijk62

2

u2 = 1ij

k23

k53

k63

k33

Μητρώο στιβαρότητας στoιχείου P2

EA/L 0 0 -EA/L 0 0

3 2 3 20 12EI3/L3 6EI3/L2 0 -12EI3/L3 6EI3/L2

0 6EI /L2 4EI /L 0 6EI /L2 2EI /L

[k (P2) ]=0 6EI3/L2 4EI3/L 0 -6EI3/L2 2EI3/L

-EA/L 0 0 EA/L 0 0-EA/L 0 0 EA/L 0 0

0 -12EI3/L3 -6EI3/L2 0 12EI3/L3 -6EI3/L20 EI3/L 6EI3/L 0 EI3/L 6EI3/L

0 6EI3/L2 2EI3/L 0 -6EI3/L2 4EI3/L

10

Στοιχείο Επίπεδου Πλαισίου (P2)Συμβ λ μ ί

F2 ik F1

ik

F2 ik

Συμβολισμοί

F1 ijF2

ijF1

ikF2

M3 ik

kx2

x1

ij

F2

M3 ik

ikx2 k

ij

u1 iku2

ik

F1

M3 ij

( i )

j

kx2

F1 ij

F2 ij

M ij

u1 ik

u2 ik

θ3 ikx1

x2

( i )

j

k

x3

u1 iju2

ij

θ ij

θ3 ik

jx3M3 u1

ij

u2 ij

θ ij

j

θ3

Τοπικό Σύστημαθ3

Καθολικό Σύστημα

Καθολικό Σύστημα Τοπικό Σύστημα

Μετασχηματισμός διανυσμάτων {Α} , {D} από το τοπικό στο καθολικό σύστημα αξόνων

Μητρώο Περιστροφής

x

 

x2x1 (i) x2 (i) F1 (i)

F2

 

x

φ11φ12

F1  x1F1

 

13/30

Συνημίτονα κατεύθυνσης λij

x2 x1x2

(i) kx2 ik

φ12

φ11

jx2 ij

x11ij

1ik

 

14/30

Μητρώο Περιστροφής

x2F2

x2 (i)

F x1 (i) F1 (i) F2 (i)

x1F1

[ΛPF]

F ij λ λ 0 F ij

ήή

Μητρώο Περιστροφής

F1ij λ11 λ12 0

[0]

F1ij

F2ij λ21 λ22 0 F2

ij

ήή

=M3

ij 0 0 1 M3ij

ik ik

{Aij}=

[ΛiPF] [0] {Aij}

{Aik} [0] [Λi ] {Aik}F1ik

[0]

λ11 λ12 0 F1ik

F2ik λ21 λ22 0 F2

ik

{A } [0] [Λ PF] {A }

[ ]

M3ik 0 0 1 M3

ik

Επομένως Καθολικό Μητρώο Στιβαρότητας

Μέλους :Επομένως έχουμε:

Μέλους :

Παράδειγμα Σχηματισμού Μητρώου Στιβαρότητας [Κ] φορέα

6Για κάθε στοιχείο του φορέα ισχύει

3 46

j k

jk11 k12 k13 k14 k15 k16

k21 k22 k23 k24 k25 k26

2 5

2 3

5 [ki] = j k21 k22 k23 k24 k25 k26

k31 k32 k33 k34 k35 k36

kk41 k42 k43 k44 k45 k46

k k k k k k2 5 k k51 k52 k53 k54 k55 k56

k61 k62 k63 k64 k65 k66

ή δύ1 4 j k

j kjj kjk

ή ισοδύναμα

1 6[ki] =

j kjj kjk

k kkj kkkk kkj kkk

1 2 2 3

k

Παράδειγμα Σχηματισμού Μητρώου Στιβαρότητας [Κ] φορέα

1 kjj kjk

2 kkj kkk

2 Kjj kjk

3 kkj kkk3 46

2 kkj kkk 3 kkj kkk

Στοιχείο 1 Στοιχείο 2

3 4

2 3 4 5

4 kjj kjk

5 6

5 kjj kjk2 5

2 3

5

5 kkj kkk 6 kkj kkk

2

1 4

2 5 3 4

Στοιχείο 4Στοιχείο 3

1 6

1 4

2 kjj kjk

5 k k

3 kjj kjk

4 k k

1 6

5 kkj kkk 4 kkj kkk

Στοιχείο 5 Στοιχείο 6

Μόρφωση Μητρώου Δυσκαμψίας [Κ] Φορέα3 4

2 3

6

5

1 2 3 4 5 6

(1) (1)

1 2 3 4 5 6

( ) ( )

1 2 3 4 5 6

( ) ( )

1 2 3 4 5 6

( ) ( )

1 2 3 4 5 6

1 k (1) k (1)

1 2 3 4 5 6

( ) ( )

1 2 3 4 5 6

( ) ( )1

2 5

6

1 4

1 kjj(1) kjk

(1)

k (1) k (1)

1 kjj(1) kjk

(1)

(1)kkk

(1) + k (2)

1 kjj(1) kjk

(1)

(1) (1) (2) (2)

1 kjj(1) kjk

(1)

(1) (1) (2) (2)

1 kjj(1) kjk

(1)

2 k (1)kkk

(1) + kjj(2)

(5) k (2) k (5)

1 kjj(1) kjk

(1)

(1) kkk(1) + kjj

(2)(2) (5)

1 kjj(1) kjk

(1) 0 0 0 0

(1) kkk(1) + kjj

(2)(2) (5)

1 6

2 kkj(1) kkk

(1)

3

2 kkj(1) kk

kjj(2) kjk

(2)

k (2) k (2)

2 kkj(1) kkk

(1) + kjj(2) kjk

(2)

(2) (2)

2 kkj(1) kkk

(1) + kjj(2) kjk

(2)

(2) (2)

2 kkj(1)

+ kjj(5) kjk

(2) kjk(5)

3 k (2) k (2)

2 kkj(1) kkk + kjj

+ kjj(5) kjk

(2) kjk(5)

(2)kkk

(2) + k (6)

2 kkj(1) kkk + kjj

+ kjj(5) kjk

(2) 0 kjk(5) 0

(2) kkk(2) + (6)3

4

3 kkj(2) kkk

(2)

4

3 kkj(2) kkk

(2)

4 k (3) k (3)

3 kkj(2) kkk

(2)

4 k (3) k (3)

3 kkj(2) kkk

(2)

4 k (3) k k(3)

3 kkj(2)

kjj(6) kjk

(6)

4 k (6) kjj(3) +

k (3)

3 0 kkj(2) kkk +

kjj(6) kjk

(6) 0 0

4 0 0 k (6) kjj(3) + k (3) 04

5

4

5

4 kjj(3) kjk

(3)

5 k (3) k (3)

4 kjj(3) kjk

(3)

5 k (3)kkk

(3) + ( ) k (4)

4 kjj( ) kjk

( )

k (5) (3)kkk

(3) + k (4) + (4)

4 kkj(6) jj

kkk(6) kjk

(3)

(5) (3)kkk

(3) + (4) (4)

4 0 0 kkj(6) kjj +

kkk(6) kjk

(3) 0

(5) (3)kkk

(3) + (4) (4)5

6

5

6

5 kkj(3) kkk

(3)

6

5 kkj(3)

kjj(4) kjk

(4)

6 k (4) k (4)

5 kkj(5) kkj

(3) kjj(4) +

kkk(5) kjk

(4)5 kkj(5) kkj

(3) kjj(4) +

kkk(5)

kjk(4)

(4) (4)

5 0 kkj(5) 0 kkj

(3) kjj(4) +

kkk(5)

kjk(4)

(4) (4)6666 kkj(4) kkk

(4)6 kkj

(4) kkk(4)6 kkj

(4) kkk(4)6 0 0 0 0 kkj

(4) kkk(4)

““ΚατανεμημέναΚατανεμημένα”” ΦορτίαΦορτία

Κατανεμημένες δράσεις (δυνάμειςΚατανεμημένες δράσεις (δυνάμεις--ροπές)ροπές)Θερμοκρασιακές μεταβολέςΘερμοκρασιακές μεταβολέςΘερμοκρασιακές μεταβολέςΘερμοκρασιακές μεταβολέςΕλλατωματικά μέληΕλλατωματικά μέληΥποχωρήσεις στηρίξεωνΥποχωρήσεις στηρίξεων

20

Η Αρχή της ΕπαλληλίαςΗ Αρχή της Επαλληλίας--Ισοδύναμος ΦορέαςΙσοδύναμος ΦορέαςΑρχικός ΦορέαςΑρχικός ΦορέαςΑρχικός ΦορέαςΑρχικός Φορέας

{{DDΑΦΑΦ}= {}= {DDΠΦΠΦ}+ {}+ {DDΙΦΙΦ}}{{DDΑΦΑΦ}= {}= {DDΠΦΠΦ}+ {}+ {DDΙΦΙΦ}}{Α{ΑΑΦΑΦ}= {Α}= {ΑΠΦΠΦ}+ {Α}+ {ΑΙΦΙΦ}}

21

Παγιωμένος ΦορέαςΠαγιωμένος Φορέας Ισοδύναμος ΦορέαςΙσοδύναμος Φορέας

Ακραίες δράσεις παγιώσεως στοιχείου P2Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.

∆Τ, δΤ,∆ράσεις παγιώσεως κόμβου

 

 

 

 

 

 

Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων22

Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών                                                                           Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.

Ακραίες δράσεις παγιώσεως στοιχείου P2

= +{D } 0 {D } {D }

{AS}

{DS}=0

{AR}

{DR}

{AX}

{DX}

 

   

 

 

 

 

Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων23

Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών                                                                           Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.

Ακραίες δράσεις παγιώσεως στοιχείου P2

 

 

Οι μετατοπίσεις d1, d2, d3, υπολογίζονται με την α.δ.ε.-μέθοδο μοναδιαίου φορτίου:μέθοδο μοναδιαίου φορτίου:

 

 

 

Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων24

Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών                                                                           Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.

∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή∆ράσεις παγιώσεως για θερμοκρασιακή μεταβολή

 

  

 

 

ΔΤ, δΤ > 0

  ΔΤ> 0

Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων25

Εργαστήριο Στατικής & Αντισεισμικών Ερευνών                                                                           Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Ε.Μ.Π.

∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων∆ράσεις παγιώσεως για υποχωρήσεις στηρίξεων

∆ράσεις παγιώσεως για ελαττωματική κατασκευή μελών∆ράσεις παγιώσεως για ελαττωματική κατασκευή μελών

d4, d5, d6, είναι οι θετικές μετατοπίσεις που θετικές μετατοπίσεις που πρέπει να επιβληθούν για να παγιωθεί το άκρο.

Μ. Παπαδρακάκης Στατική ΙΙΙ : Σύγχρονες Μέθοδοι Αναλύσεως Φορέων26