ФРАКТАЛЫКротова А.П.

Содержание

Определение фрактала Классификация фракталов Построение кривой Коха Построение снежинки Коха Построение салфетки Серпинского Построение ковра Серпинского Алгебраические фракталы Процесс Мандельброта Построение фракталов Мандельброта и Жюлиа Другие алгебраические фракталы

Определение фрактала

Фрактал – это геометрическая фигура, состоящая из малых частей, подобных большой фигуре.

Классификация фракталов

Геометрические фракталы (кривая и снежинка Коха, треугольник и ковер Серпинского, дракон Хартера-Хейтуэя);

Алгебраические фракталы (фрактал Мандельброта, фрактал Жюлиа);

Стохастические фракталы.

Построение кривой Коха

Кривая Коха 1-го порядка

Кривая Коха 2-го порядка

Построение снежинки Коха

Построение салфетки Серпинского

Построение ковра Серпинского

Алгебраические фракталы

К алгебраическим фракталам относятся фракталы Мандельброта и Жюлиа.

Процесс Мандельброта

– это процесс с обратной связью, в котором одна и та же операция, а именно

zn+1 = f(zn,c) = zn2 + c, выполняется снова и снова. При этом результат одной итерации является начальным значением для следующей:

Построение фракталовМандельброта и ЖюлиаПри построении множеств Жюлиа и Мандельброта комплексное число

zn = Rezn + i·Imzn

возводится в квадрат, затем к этому квадрату прибавляется комплексное число

c = Rec + i·Imc.

Для множества Жюлиа комплексный параметр с выбирается один раз и никогда не изменяется.

Для множества Мандельброта параметр с меняется для каждой начальной точки.

Построение фракталов Мандельброта и ЖюлиаДля (n+1)-ой итерации необходимо найти формулы вычисления действительной и мнимой составляющих числа

zn+1 = Rezn+1 + i·Imzn+1:

zn+1= f(zn,c)= zn2+ c = (Rezn+ i·Imzn)2+ Rec + i·Imc =

= (Rezn)2 + 2·Rezn·i·Imzn + (i·Imzn)2 + Rec + i·Imc =

=[(Rezn)2 - (Imzn)2 + Rec] + i·[2·Rezn·Imzn + Imc],

Следовательно,

Rezn+1 = (Rezn)2 - (Imzn)2 + Rec,

Im zn+1 = 2·Rezn·Imzn + Imc.

Построение фракталов Мандельброта и Жюлиа

Множества Жюлиа при с=0,5+0,5i Множество Мандельброта

Другие алгебраические фракталы

Помимо процесса z z2+с,→возможно реализовать такие процессы, как

z z3+ с, z z4+с, z z5+с,...→ → →Эти процессы имеют схожие свойства с процессом z z2+с, → но вид множества качественно меняется.

Реализация процесса z z2+с→ Реализация процесса z z3+с→

Другие алгебраические фракталы

Изображение процессов z zn+с делится на →несколько ярко выраженных фрагментов в зависимости от степени, в которую возводится комплексное число.

Реализация процесса z z2+0,27→ Реализация процесса z z3+0,4→

Другие алгебраические фракталы

Число фрагментов для множеств Жюлиа равно показателю степени.

Реализация процесса z z4+0,485→ Реализация процесса z z5+0,551→

Другие алгебраические фракталы

Для множества Мандельброта число фрагментов на единицу меньше, чем показатель степени.

Реализация процесса z z4+с→ Реализация процесса z z5+с→