+ + + + - - - Vấn đề cơ bản 1

“HỌC – HỌC NỮA – HỌC MÃI” V. I – Lª nin

NhiÖt liÖt chµo mõng

GV thực hiện:Trần Thị Tình

Sử dụng máy tính casio

trong giải toán

phương trình,

hệ phương trình

Vấn đề cơ bản 1:I, Sử dụng máy tính casio tìm nghiệm của phương trình, lưu nghiệm, đoán các nghiệm có thể có của phương trình. 1, Tìm nghiệm ngẫu nhiên từ phương trình.

331012)13(2 22 xxxx2, Lưu nghiệm.

Cách 1: Lưu nghiệm không còn pt.

Cách 2: Lưu nghiệm vẫn còn pt.

Các vấn đề cơ bản:1, Tìm nghiệm ngẫu nhiên từ phương trình.

631012)13(2 22 xxxx2, Lưu nghiệm.Cách 1: Lưu nghiệm không còn pt.Cách 2: Lưu nghiệm vẫn còn pt.3, Đoán các nghiệm có thể có của pt.

-0,8208… 1,3922…

- - -21

21

+ +

+ +

- - -

Vấn đề cơ bản 1:

1, Tìm nghiệm ngẫu nhiên từ phương trình.

2, Lưu nghiệm.

Cách 1: Lưu nghiệm không còn pt.

Cách 2: Lưu nghiệm vẫn còn pt.

3, Đoán các nghiệm có thể có của pt.

Vấn đề cơ bản 2:II, Sử dụng máy tính casio giải phương trình bậc 4.Nhận xét: Cho pt: ax4+bx3+cx2+dx+e=0 (1), nếu pt có hai nghiệm x1 , x2 và x1 + x2 = S x1 . x2 = P thì pt(1) (x2–Sx+P)(ax2+mx+n)=0

Chú ý: m=b+Sa n=e/P , S và P hữu tỉ thì x1 ,x2 được gọi là hai nghiệm liên kết. Ví dụ1: Giải phương trình:

3x4 -2x3 -x2 -4x+1=0(3x2-5x+1)(x2+x+1)=0

0,2324… 1,4342…

0153

31.

35

2

xx

BA

BA

Ví dụ 2: Giải phương trình:

85)6(2 32 xxx

)8(25)6(4

06322

2

xxx

xx (luôn đúng)

0564852334 234 xxxx

(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

0)1494)(46( 22 xxxx

0464.6 2

xxBABA

Ví dụ 3 (Đề KD-2013): Giải phương trình:

221

2

xxx

x

0243

10

:

2

xxxxxpt

xx

Đk

0)1)(22( xxxx

0222.2

xxBABA

Vấn đề cơ bản 3:III, Sử dụng máy tính casio giải pt trong trường hợp pt có 1 nghiệm đơn nguyên hoặc hữu tỉ.

Số hạng vắng của )(xf là hằng số c tại x=x0

tức là cxf )( tại x=x0

hay )( 0xfc

+ +x0

- -

Khi đó: pt (x-x0 ).T=0 x=x0

T=0 ( cần cm T>0 hoặc T<0)


1611213 2 xxxx

)(13

12711

1)/(2

)72()2(11

213

2161121113

3;1:2

novôx

xx

mtx

xxxx

xx

xxxxPt

xĐK


xxxx 21324 2

)(0211

13324

62)/(2

)2(211

23324)62()2(

)2(21133244131:

2

2

2

novôxxx

xmtx

xxx

xx

xxxxxxpt

xĐk

Cách 1: Cách 2:

)(011

1

12324

2)/(2

011

2

12324

)2(2011)12(324

4131:

2

2

2

vnxxxx

mtxxx

xxx

xxxxxpt

xĐk

Vấn đề cơ bản 4:IV, Sử dụng máy tính casio giải pt trong trường hợp pt có nghiệm lẻ.

Số hạng vắng của )(xf là ax+b tại x=x0

tức là baxxf 00 )(

Nghiệm lẻ thường là nghiệm của pt bậc 2.

? ?

Sử dụng chức năng bảng table trong máy tính casio tìm a, b.

Ví dụ 1(đề thi đại học KB-2014): Giải phương trình:

xxx 232 2

baxx 2 lưu nghiệm xA Ta có: tại x =A

baAA 2? ?

;2 baAA

)(

2)(

XfbXa

AXAXf


xxx 232 2

xxhayxxb

a2122

212

211

)(

2)(

XfbXa

AXAXf


xxx 232 2

22

2

2

2122

2121

22)2(4)21()21(

22624

;2:

xx

xxxx

xxxpt

xĐK

Vậy: Tư tưởng 1: Đưa về bình phương 2 vế, đối số 2 bên là x22và x21

xx 2122


xxx 232 2

022)21(74

22624

;2:

2

2

xxx

xxxpt

xĐK

Vậy: Tư tưởng 2: Biểu thức liên hợp của x22 là x21

xx 2122

Liên hợp ngược

0122212221

022)21()2(4)21( 2

xxxx

xxxx

847)2(122)13(

...:22 xxxxxpt

ĐK

631012)13(2 22 xxxxBước nhảy 0,5


212212112 22 xxhayxxtable

Biểu thức liên hợp của 122 2 x là 2xLiên hợp ngược

0)13()2(122)2(122

)2()12(4)2(122)13(22

222

xxxxx

xxxxx

Kỹ năng liên hợp ngược:

)2(3

)1(3)3(2

22

xxyx

yxxyx

xxyx

novôxyx

xxyxxyx

xyxxxyxPT

ĐK

3

)(03

033

)3()(3)1(

....:

22

22

2222

2222

Ví dụ 3: Giải phương trình:2212 xxxx

xxvàxxtable 112

(*)012)1(1

]2;1[:2

xxxxxxpt

xđk

Đk có nghiệm? Nhận thấy nghiệm x 1,618 > 1

212 2 xxxxpt

Đk có nghiệm:]2;1(

]2;1[022

xx

xx

Ví dụ 3: Giải phương trình:2212 xxxx

(*)12)1(1

]2;1[:2

xxxxxxpt

xđk

212 2 xxxxpt

Đk có nghiệm:]2;1(

]2;1[022

xx

xx

01

121

11)1((*) 2

xxxx

xxpt

Ví dụ 4 (đề SGD Bắc Ninh-2015): Giải phương trình:

01218443453 2 xxxx

Vấn đề phương trình có 1 nghiệm lẻ và một nghiệm nguyên.

14145 xxvàxxtable

(*)0)33(4)1(43)1(453 2 xxxxxxpt

10184243453 2 xxxxpt

Đk có nghiệm:

5;

21

54

010184 2

xx

xx

54: xđk

- +0

+ -3,79

54

Ví dụ 4 (đề SGD Bắc Ninh-2015): Giải phương trình:

01218443453 2 xxxx

Vấn đề phương trình có 1 nghiệm lẻ và một nghiệm nguyên.

(*)0)33(4)1(43)1(453 2 xxxxxxpt

Đk có nghiệm:

014

01455;

21

xx

xxx

54: xđk

)(414

3145

3033

(*)

2

pphsôxxxx

xxpt

Ví dụ 5 (đề thi Đại học 2015): Giải phương trình:

)22)(1(3282

2

2

xx

xxxx

2- + + -

3,302-22: xđk

(*)22

132

4)/(2

222)1(

32)4()2(

2

2

xx

xxx

mtxxxx

xxxxpt


2- + + -

3,302-2

52)4(

)1(3222)4((*)23

2

xxxxx

xxxxxpt

12 xxtable


52)4(

)1(3222)4((*)23

2

xxxxx

xxxxxpt

12 xxtable

.,0243)('

)1()2((**)

,22)(

(**))1(2)1(2)1()2(2222

2

23

233

Rttttfcó

xfxfđóKhi

RtttttfhsXét

xxxxxxpt

Tư tưởng 1: Sử dụng hàm số, đối số 2 bên là 2x và 1x


52)4(

)1(3222)4((*)23

2

xxxxx

xxxxxpt

12 xxtable

)1(032)1(

12

)1)(13()1(2)4(

2

2

xxxx

xx

xxxxxxpt

Tư tưởng 2: Biểu thức liên hợp của 2x là 1x

Đk có nghiệm?

1:)1)(1(42)4(

52)4(

0

2

23

xncóđkxxxx

xxxxx

Bài tập (đề thi thử boxmath): Giải phương trình:

014445)20(401569 23 xxxxx

Ví dụ 7 (đề thi thử Nghệ An): Giải phương trình:

3 3223 5.2817102 xxxxxx

xxxtable 253 3

0)2()(

22

5.25)2(22

222

2323

3 32323

xbababa

bxbaxa

xxxxxxxxpt

Tư tưởng 1: Sử dụng kiểu hàm số, đối số 2 bên là 3 35 xx và x2

Ví dụ 7 (đề thi thử Nghệ An): Giải phương trình:

3 3223 5.2817102 xxxxxx

xxxtable 253 3

02181710

0252817102

2

3 322

tongcuathiêubpxxx

xxxxxxpt

Tư tưởng 2 : Biểu thức liên hợp của 3 35 xx là x2

Bài tập: Giải phương trình:

255336853 233 xxxx

?

Khi nào pt, hệ pt sử dụng pp bất đẳng thức hoặc pp đánh giá nhỉ?

Vấn đề cơ bản 5:V, Sử dụng máy tính casio giải pt trong trường hợp pt có một nghiệm kép.

+ +x0

+ +

- -x0

- -Hoặc

vt-vp=0

Khi đó vt > vp hoặc vt < vp

Số hạng vắng của )(xf là hằng số c tại x=x0

hay )( 0xfc

Khi đó: pt (x-x0 )2.T=0 x=x0


Cách 1:

2)( cxf Ta có: Nhân tử Xuất hiện từ số hạng 2)( oxx

tức là tại x=x0cxf )(

Số hạng vắng của )(xf là ax+b tại x=x0 (nghiệm kép)

hay

axfxf

baxxf

)(2)()(

0

0

00

Khi đó: pt (x-x0 )2.T=0 x=x0


Cách 2:

)()( baxxf Ta có: Nhân tử Xuất hiện từ số hạng 2)( oxx

tức là tại x=x0 (nghiệm kép)baxxf )(

Nghiệm kép thường là nghiệm của pt bậc 2.

Ví dụ 1 (đề thi khảo sát k11-2015): Giải phương trình:

)2(1619313 xxx

3,25- -

3 vtvp

Cách 1:

02313

21313

22

xxpt


)2(1619313 xxx

3,25- -

3 vtvp

Cách 2: Biểu thức liên hợp của

hay

axfxf

baxxf

)(2)()(

0

0

00

tại x=x0 (nghiệm kép)baxxf )(


)2(1619313 xxx

Cách 2: Biểu thức liên hợp của

axfxf

baxxf

)(2)(

)(

0

0

00

01

45

4133

3411

41313

014533

41113

22

xx

x

xx

x

xxxxpt

Ví dụ 2 (đề thi học kì 2 k10-2015): Giải phương trình:

14122)1(843824 23 xxxxx

1+ - - -

4-4

(*)142843824

1)142()1()1(843824

3

3

xxx

xxxxxxpt

0843282412(*) 3 xxxxpt

Tính giới hạn: (đề thi học kì 2 k11-2015):

125312,3

2122,2

11642,1

3

2

xxx

xxx

xxxx

Bài tập tương tự: Giải phương trình:

6416410843824lim 23

3

4

xxxxx

x

Ví dụ 3 (đề thi thử ĐH chuyên Vĩnh Phúc-2015):Ghpt:

)2(528712212

)1()(35222253

2222

xxyyxyx

yxyxyxyxyx

nymxyxyx 22 225

Định hướng:

Dấu “=“ tại x=y (no kép)

Hay nmttt 225 2Dấu “=“ tại (no kép)1

yxt

1;2 nm

yxyxyxyxyxyx 22)()2(225 2222

yxyxyxyxyxyx 22)()2(522 2222

Ví dụ 4 (đề thi thử ĐH SGD Nghệ An-2015):Ghpt:

)(23

)(422

33451322

22 yxyxyxyx

yxyxx

yxyxyxyxyx 2222 )()(22

yxyxyxyxyxyx

2222

)(31)(

3)(4

Gợi ý:

Bài tập (đề thi ĐH KA-2014): Giải hệ pt:

2218

12)12(123

2

yxx

xyyx

Ví dụ 5 (đề thi thử ĐH boxmath-2015):Gpt:

3 223 23)1(7138 xxxxx- -

1-0,125

+ + + +

)12(23)1(16158

16158)1)(18(3 223

232

xxxxxxpt

xxxxx

Nhân tử

Bài tập tương tự (đề thi thử ĐH -2015):Ghpt:

2

22223

212

4)45()2(3

yxyx

yxyxyxy

Vấn đề cơ bản 6:VI, Sử dụng máy tính casio giải pt trong trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt.

Số hạng vắng của )(xf là hằng số c1 tại x=x1

tức là

Khi đó: pt(x-x1).(x-x2).T=0 (x-x1).(x-x2)=0 T=0 ( cần cm T>0 hoặc T<0)

Cách 1:

21 )()( cxfcxf

Ta có: Nhân tử

Xuất hiện từ số hạng

)()( 21 xxxx

)(

)(

22

11

xfc

xfc

và số hạng vắng của )(xf là hằng số c2 tại x=x2

Số hạng vắng của )(xf là ax+b tại x= x1 và x=x2

tức là tại x= x1 và x=x2

hay

baxxf

baxxf

22

11

)(

)(

Cách 2:

)()( baxxf Ta có: Nhân tử

Xuất hiện từ số hạng 21)( xxxx

baxxf )(

Hai nghiệm thường là nghiệm của pt bậc 2.

Khi đó: pt(x-x1).(x-x2).T=0 (x-x1).(x-x2)=0 T=0 ( cần cm T>0 hoặc T<0)

Ví dụ 1 (đề thi đại học KB-2013): Giải phương trình:

451333 2 xxxx

0+ - - +

1-1/3

Số hạng vắng của 13 x là ax+b tại x= 0 và x=1

tức là tại x= 0 và x=1

hay 121

baba

b

baxx 13

Vậy Sh vắng của 113 xx


451333 2 xxxx

0+ - - +

1-1/3

Số hạng vắng của 45 x là ax+b tại x= 0 và x=1

tức là tại x= 0 và x=1

hay

21

32

ba

bab

baxx 45




451333 2 xxxx

0+ - - +

1-1/3

0

4521313

0452131331:

222

2

xxxx

xxxxxx

xxxxxxpt

xđk


245 xx


832224 2 xxx

-1- + + -

2-2 -22/3

Vấn đề cơ bản 7:VII, Sử dụng máy tính casio phân tích pt 2 ẩn số hoặc khai triển đa thức.

Ví dụ 1(đề thi đại học KB-2013): Giải hệ pt:

)2(4244

)1(01233222

22

yxyxxyx

yxxyyx

Pt(1) có phân tích được nhân tử ko?

Cho y một giá trị đủ lớn, chẳng hạn y=1000Gpt (1) với y=1000 được x=999=y-1 nhân tử (x-y+1)

0)12)(1()1( yxyxpt

21

2999

yx

Ví dụ 2(đề thi đại học KD-2008): Giải hệ pt:

)2(2212

)1(2 22

yxxyyx

yxyxxy

Cho y=1000 .Gpt (1) với y=1000 được x=2001=2y+1 nhân tử (x-2y-1)(x+y)=0

Cách 2:Cho y = 1000 .Gpt (1) với y =1000 được x = 2001 = 2y+1 và x = -1000 = -y nhân tử. pt(1)(x-2y-1)(x+y)=0

Ví dụ 3 (đề thi đại học KD-2012): Giải hệ pt:

)2(022

)1(022223 yxyyxyxx

xxy

Cho y=1000 .Gpt (2) với y=1000 được

nhân tử (2x-y+1)(x2 -y)=0 21

2999

yx

Ví dụ 4: Giải hệ pt:

)2(2252

)1(034538 233

xyx

xyyyx

Cho y=1000 .Gpt (1) với y=1000 được

nhân tử (2x-y-1)(4x2 +y2 -2xy+2x+2y+3)=0 Sử dụng pp hàm số đối số là 2x và y+1

Sử dụng pp hàm số đối số là 2x-1 và y

21

21001

yx

)1.(2)1()2.(2)2()1( 33 yyxxpt

)12(5)12(3)12(53)1( 2323 xxxyyypt

Khai triển đa thức:

Ví dụ 4(đề thi đại học KB-2007).Cho hàm số:

13)1(33 2223 mxmxxy

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O.

Ví dụ 4(đề thi đại học KB-2007).Cho hàm số:

13)1(33 2223 mxmxxy

Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. Giải: TXĐ: R y’=-3x2 +6x+3(m2 -1) y’=0 x=1-m x=1+mHàm số có cực đại, cực tiểu y’=0 có 2 nghiệm phân biệt m 0

13)1(33 2223 mxmxxyTìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O. Giải: TXĐ: R y’=-3x2 +6x+3(m2 -1) y’=0 x=1-m x=1+mHàm số có cực đại, cực tiểu y’=0 có 2 nghiệm phân biệt m 0 Gọi A, B là hai điểm cực trị của đồ thị xA và xB là hai nghiệm của pt y’=0.Giả sử xA =1-m, xB =1+m.

13)1(33 2223 mxmxxyKhi đó ta cóyA = -(1-m)3 +3(1-m)2 +3(m2 -1)(1-m)-3m2 -1yB = -(1+m)3 +3(1+m)2 +3(m2 -1)(1+m)-3m2 -1

?

yA =?, yB =?, Giả sử:

dcxbxaxxf 23)(

Thì khi cho x một giá trị đủ lớn, ta có:

cxbxaxxfdx

bxaxxfc

xaxxfb

xxfa

23

23

2

3

3

)(

)(

)(

)(

22

223

3

my

my

B

A

01:0000:5900:5800:5700:5600:5500:5400:5300:5200:5100:5000:4900:4800:4700:4600:4500:4400:4300:4200:4100:4000:3900:3800:3700:3600:3500:3400:3300:3200:3100:3000:2900:2800:2700:2600:2700:2600:2500:2400:2300:2200:2100:2000:1900:1800:1700:1600:1500:1400:1300:1200:1100:1000:0900:0800:0700:0600:0500:0400:0300:0200:0100:00

Documents

+ + + + - - - Vấn đề cơ bản 1