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1 Indica qué valores enteros pueden tener a y b en cada caso.

a) |a| · 3 = 6 b) |b| : 2 = 5 c) |a| + |b| = 3 d) |a| · |b| = 5

2 Si a = +3, b = –7, c = +15 y d = –6, calcula a · b + a · c + a · d y también a · (b + c + d). ¿Qué observas?

3 ¿La resta y la división exacta de números enteros cumplen la propiedad conmutativa? ¿Y la asociativa? Razona tus respuestas.

4 Completa esta tabla:

5 Calcula y expresa el resultado en notación científica.

a) (3 · 106) · (4,2 · 10–3) b) (6,2 · 109) : (3,1 · 103)

6 Simplifica todo lo que puedas estas expresiones:

7 Calcula el resultado de cada una de estas expresiones:

a) Dividir el opuesto del triple de la mitad de 12 entre el opuesto de la cuarta parte del doble de 4.

b) Multiplicar el opuesto del doble del opuesto de 33 por la mitad del triple de 66.

c) Elevar al cuadrado la cuarta parte del triple del opuesto del doble de 6.

8 Descubre los valores de A, B, C y D sabiendo que B es el triple de A.

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1 Halla los términos desconocidos de estas fracciones:

2 Escribe todas las fracciones con denominador 2, 3 y 4 comprendidas entre los números 2 y 4.

3 Escribe todas las fracciones equivalentes a con denominador comprendido entre 4 y 20.

4 Saca factor común y calcula:

5 Completa:

6 Completa:

7 Calcula:

a) 933,45 + 22,98 = c) 832,36 : 9,23 =

b) 224,923 − 23,34 = d) 28,436 98 : 4,238

8 Calcula:

a) 12,46 + ______ = 18,264 c) _____ · 12,92 = 129,2

b) 843,92 − ______ = 43,498 d) ______ : 23,45 = 12,35

9 Calcula simplificando al máximo los resultados:

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1 Busca por tanteo el número a por el cual el valor numérico de 2 a + 1 coincide con el de a + 4.

2 Observa cómo hemos descompuesto esta expresión algebraica en un producto de factores:

A continuación, descompón en producto de factores cada una de estas expresiones algebraicas sacando previamente factor común.

3 Observa [3 + (x + 1)] · [3 − (x + 1)] = 32 − (x + 1)2

y, a continuación, efectúa:

4 ¿Es correcta esta demostración?

Aunque parezca mentira, se puede llegar a demostrar que 2 = 1.

Lo puedes hacer mediante el siguiente proceso:

Partimos de esta igualdad: suponemos que x = y

Multiplicamos por x los dos miembros: x2 = xy

Restamos y2: x2 − y2 = xy − y2

Descomponemos en factores, según la fórmula notable ya estudiada: (x − y) · (x + y) = y · (x − y)

Dividimos entre x − y: x + y = y

Como x = y, resulta 2y = y

Dividimos entre y: 2 = 1

¿Dónde se encuentra el error de esta demostración?

5 José ha embaldosado el comedor de su casa. Trabajando siempre al mismo ritmo, ha conseguido acabar en 3 días. El primer día completó los 2/5 del total de la obra, el segundo día embaldosó los 5/6 de lo que quedaba, mientras que el último día solo necesitó una hora para acabar. ¿Cuántas horas trabajó durante los tres días? ¿Cuántas horas trabajó cada día?

6 Demuestra que esta igualdad es correcta:

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1 Indica si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones.

2 El padre de Susana tiene el doble de edad que ella mientras que su hermano Víctor tiene cuatro años menos que Susana. La suma de estas tres edades representa cuatro años más de los 80 que tiene su abuelo. ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

— Observa que el enunciado utiliza una de las edades desconocidas para definir el resto de edades. Localiza la edad de dicha persona porque será nuestra incógnita.

— En lenguaje algebraico, las edades desconocidas son:

Susana: ................ Víctor: ................ Padre: ................ Abuelo: 80 años

— Con los datos anteriores, compón la ecuación correspondiente y resuélvela.

— ¿Qué edad tiene cada uno de ellos?

— Comprueba la solución obtenida.

3 Un comerciante mezcla un cacao de 9 €/kg con otro cacao de calidad inferior de 6,50 €/kg, de modo que obtiene una mezcla de 7,50 €/kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de cacao debe mezclar para obtener 15 kg de dicha mezcla?

4 En algunas ocasiones, una ecuación de segundo grado se puede resolver muy fácilmente por el método denominado de factorización. Observa el siguiente ejemplo:

(x + 8) · (x − 7) = 0

Igualamos a 0 cada uno de los factores. Así, tendremos:

(x + 8) = 0 → x = −8

(x − 7) = 0 → x = 7

Resuelve por factorización: a) x · (x + 5) = 0 b) 4x · (2x − 6) = 0 c) (3 + 9x) · (x + 2) = 0

5 Para embaldosar un patio cuadrado se han utilizado 500 baldosas también cuadradas cuyo precio era de 16 €/m2 y siendo 280 € el coste de la mano de obra y materiales. Si el precio final fue de 1 000 €, ¿cuánto mide el lado de cada una de las baldosas cuadradas utilizadas?

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1 El perímetro de un triángulo isósceles mide 23 cm. Si sumamos la mitad de su base más la mitad de uno de los lados iguales, el resultado es 7 cm. ¿Cuánto mide cada uno de los lados del triángulo?

2 Resuelve.

3 Un depósito dispone de dos grifos. Si abrimos solamente el primero, el depósito se llena en 7 horas. Si abrimos los dos grifos, el depósito se llena en 3 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si se abre solamente el segundo grifo?

4 Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, represéntalos gráficamente e indica cuáles de ellos son indeterminados y cuáles son incompatibles.

5 Hace 6 años la edad de una persona era el triple que la de otra, y dentro de 6 años será el doble. Halla la edad de cada una de ellas.

6 Halla una fracción tal que si sumamos 8 al numerador, resulta igual a 3, y si restamos 2 al denominador, resulta igual a 1.

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1 Observa estas proporciones y escribe el enunciado de cada propiedad:

2 En el esquema adjunto, A y B son magnitudes directamente proporcionales mientras que A y C son inversamente proporcionales. Calcula, en ambos casos, el valor de x.

A B C7 3 10X 6 5

3 Cuando un banco hace un préstamo acostumbra a cobrar un porcentaje de este capital. Este porcentaje se denomina, como ya sabes, interés. Por ejemplo, si un banco cobra un interés del 8 % por un préstamo de 1 000 000 de euros a una persona, esta le tendrá que pagar 80000 euros de interés al cabo de un año (además del dinero que le ha prestado). De la misma forma, si una persona deposita dinero en el banco, algunas veces el banco le paga un interés por tenerlo, de acuerdo con el llamado interés compuesto: si una persona deposita dinero en el banco y este le da un interés compuesto del 6 %, esto significa que en un año recibirá un 6 %, y sumará el dinero que tenía más el interés que le da; al segundo año, el interés del 6 % se calculará sobre esta suma, y así sucesivamente los siguientes años. Esta tabla muestra un caso concreto:

Años Dinero a principiosde año

Interés compuesto (6 %) Total a final de año

1.° 1 000 000 60 000 1 060 0002.° 1 060 000 63 600 1 123 6003.° 1 123 600 67 416 1 191 0164.° 1 191 016 71 460 1 262 476

En este caso, al cabo de cuatro años esta persona habría cobrado 262746 € de interés. En cambio, si hubiese cobrado el interés simple, la cantidad sería de 240 000 €. Supón ahora que otra persona deposita 800 000 € al 8 % de interés compuesto; calcula la tabla de los próximos cinco años:

Años Dinero a principiosde año

Interés compuesto(6 %) Total a final de año

1.°2.°3.°4.°5.°

Responde:

a) ¿Cuántos años han de pasar para que se doble el dinero que se había depositado en el banco, calculado con el interés compuesto? ¿Y con el interés simple?

b) Haz lo mismo para una cantidad inicial de 1 200 000 €. ¿Qué observas en los resultados de las preguntas anteriores?

c) Sabiendo que la fórmula para obtener el interés de una cantidad c a un interés i en un número de años n es I = c · i · n, ¿cuál sería la fórmula para obtener el interés compuesto?

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1 La razón de dos segmentos cuya longitud está expresada en decímetros es 3. ¿Cuál es su razón si la longitud de estos segmentos está expresada en centímetros? ¿Y si está expresada en milímetros?

2 Averigua si las rectas r y s de esta figura son paralelas.

3 Considera el triángulo ABC de la figura y traza una recta por los puntos medios M y N de los lados BC y CA.

Comprueba que AB es paralelo a NM y que la longitud de NM es la mitad de la longitud de AB.

4 Observa en esta figura tres rectas que pasan por el punto A cortadas por tres rectas paralelas.

a) Completa:

b) Si B'C' mide 3 cm; C'D', 2,5 cm y D'C'', 4 cm, ¿cuánto mide C''B''?

5 Observa la figura. Hipócrates de Quíos demostró que las áreas sombreadas son iguales. Es decir, el área sombreada del triángulo rectángulo isósceles, de hipotenusa igual al diámetro de la semicircunferencia pequeña, y el área sombreada de la lúnula formada entre las dos semicircunferencias, son iguales.

Compruébalo:

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Nombre: ...................................................................................................................................................................... Fecha: ...............................................................

1 Observa la figura adjunta y calcula la profundidad del pozo.

2 Observa la figura adjunta y calcula la anchura del río.

3 Sabiendo que los triángulos ADC y BCD de la figura son semejantes, calcula las longitudes BC, CA y DC.

4 Contesta, razonando la respuesta:

a) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo cuyos catetos son uno el doble del otro y cualquier otro triángulo con un ángulo de 60º?

b) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales y cualquier otro triángulo rectángulo con un ángulo de 45º?

c) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo, T, que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 60º, y otro triángulo, T', que es semejante a un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 30º?

d) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo, T, que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 60º, y otro triángulo, T', que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 30º?

e) ¿Son semejantes un triángulo rectángulo, T, que es semejante a un triángulo que tiene un ángulo de 70º, y un triángulo rectángulo, T', que es semejante a un triángulo con un ángulo de 20º?

5 Demuestra el teorema de Pitágoras (a2 + b2 = c2) a partir de la figura de la derecha y de la igualdad (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

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1 ¿Cuántas rectas determinan cuatro puntos no alineados? ¿Y cinco puntos? Di cuántos planos quedan determinados en los dos casos anteriores.

2 Traza una recta y dibuja un punto exterior a ella. ¿Cuántos planos quedan determinados? ¿Y si el punto pertenece a la recta?

3 Dado un segmento cualquiera, ¿cuántos planos lo contienen? ¿Y si son dos segmentos, tales que las rectas que los contienen se cruzan?

4 Dado un ángulo poliedro cualquiera, ¿pueden ser paralelas dos de las rectas que contienen las aristas? ¿Y perpendiculares?

5 Cualquier lugar de la superficie de la Tierra se localiza con dos números: latitud y longitud.

Para determinar la latitud de un punto P en la superficie de la Tierra, se dibuja el radio OP hasta este punto. Entonces, el ángulo de elevación del punto sobre el ecuador es su latitud, (lambda griega); latitud norte, cuando el punto está al norte del ecuador, y latitud sur (o negativa) si está al sur. En el globo terrestre, las líneas de latitud se denominan paralelos. El mayor es el ecuador, cuya latitud es 0, mientras que en los polos, en las latitudes 90° norte y 90° sur (o 90°), los círculos se empequeñecen hasta convertirse en puntos.

Por otra parte, todos los meridianos cruzan el ecuador. Como el ecuador es un círculo, podemos dividirlo, como cualquier otro círculo, en 360°; la longitud (phi griega) de un punto es, entonces, el valor señalado en la división por donde el meridiano cruza el ecuador.

Todos los atlas indican los paralelos y los meridianos mediante su latitud y su longitud, respectivamente.

— Busca en una enciclopedia la longitud de radio de la esfera terrestre.

— Calcula la longitud de la circunferencia del ecuador.

— Busca en un atlas dos ciudades que se encuentren sobre la circunferencia del ecuador y calcula su distancia aproximada.

— Calcula la longitud del paralelo terrestre 10° N.

— Repite la actividad anterior con las siguientes latitudes: 25° N, 55° N y 50° S.

— Entebee es una ciudad de Uganda que se encuentra sobre el ecuador y tiene una longitud aproximada de 32° E (es decir, a 32° al este del meridiano 0°). Busca en un atlas la longitud y la latitud de Moscú, y calcula la distancia aproximada entre ambas ciudades.

— Busca la longitud y la latitud de tu ciudad en un atlas y calcula su distancia a Moscú.

6 Deduce qué figuras planas se han hecho girar alrededor de cada eje para obtener estos objetos:

7 Deduce a qué cuerpos geométricos corresponden estos desarrollos:

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1 Relaciona cada una de estas figuras con la expresión que permite calcular su área.

2 El área de una esfera es 100π cm2. ¿Cuál es su radio? ¿Cuál es el área de un cilindro cuyo radio coincide con el de la esfera y cuya altura coincide con el diámetro de la misma?

3 El radio de una esfera mide 6 cm y su casquete, 3 cm de altura. En el dibujo se representa la relación entre la altura del casquete, su radio y el radio de la esfera.

— Identifica todos los radios de la esfera que estén en el dibujo.

— Señala la altura del casquete y su radio, marcados en el dibujo.

— ¿Qué medidas del triángulo de la figura conoces?

— Calcula el radio del casquete.

— ¿Conoces una fórmula que calcule el radio, a, de un casquete a partir del radio de la esfera, R, y la altura del casquete, h?

— Calcula el volumen del casquete y el área del casquete esférico.

— ¿Qué sucedería si la esfera tuviese un radio de 12 cm y el casquete, 6 cm de altura?

4 Existen otras figuras de revolución; por ejemplo, el toro. Se trata de una figura cuya generatriz es una circunferencia. Esta ilustración muestra el eje, la generatriz y, finalmente, el toro.

Existen fórmulas para calcular el área y el volumen de un toro. Si el radio de la circunferencia generatriz es r y la distancia del centro de esta circunferencia al eje es R, las fórmulas del área y del volumen son:

A = 4 2 R r

V = 2 2 R r 2

Un flotador mide 80 cm de anchura máxima, y su altura una vez hinchado es de 16 cm.

a) ¿Qué superficie de material plástico se ha empleado en este flotador?

b) ¿Qué volumen de aire puede contener el flotador?

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1 Completa la tabla de valores asociados a una dependencia y expresa esta dependencia mediante una fórmula. A continuación, da ejemplos de magnitudes que satisfagan esta dependencia.

x 1 2 4 6 n

y 3 4 8 12

2 El coste de una llamada telefónica depende del tiempo de comunicación y de la distancia. En el gráfico de la figura se representan las llamadas de cuatro amigos: Juan (J), Isabel (I), Mercedes (M) y Cristina (C).

a) ¿Quién ha llamado más lejos: Juan o Cristina?

b) ¿Quién ha llamado más cerca: Cristina o Isabel?

c) ¿Quién de los cuatro amigos ha llamado más cerca?

d) ¿Quién ha llamado más lejos?

e) ¿Dónde situarías una llamada hecha al mismo lugar al que ha llamado Juan pero de doble duración?

f) ¿Crees que tiene sentido unir de alguna manera los cuatro puntos representados?

3 Busca gráficas en los medios de comunicación e interprétalas.

4 Elabora una gráfica de temperaturas a lo largo de un mes e interprétala.

5 Representa en un mismo sistema de coordenadas las funciones: a) y = 4x; b) y = 4x +2. Contesta:

a) ¿Qué tienen en común estas gráficas? c) ¿Tienen todas las rectas la misma inclinación?

b) ¿En qué se diferencian? d) ¿De qué depende la inclinación de una recta?

6 Observa la gráfica de las funciones siguientes y contesta a las preguntas de los apartados.

a) ¿Cuáles son los puntos de corte con los ejes de estas funciones afines?

b) ¿Cuál de las dos tiene mayor pendiente?

c) ¿Cuál es la pendiente de cada una sin hallar la expresión de la función?

d) Halla las expresiones de estas funciones.

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1 Un gráfico estadístico de uso muy común es el histograma cuyo aspecto recuerda al diagrama de barras pero, en este caso, los datos de la distribución estadística no se toman individualmente sino de forma agrupada en intervalos. Se suele utilizar cuando la muestra es amplia y sus valores pueden ser muy dispersos. Para ello hay que tener en cuenta los siguientes aspectos:

• Número de intervalos (I) → Se suele considerar donde n es la muestra.

• Amplitud (A) de los intervalos → A = (valor máximo + 1) − (valor mínimo − 1) I

• Construir la tabla de frecuencias a partir de las marcas de clase (punto medio de cada intervalo)

Para los valores 4, 3, 5, 6, 4, 5, 4, 2, 2, 2, 4, 7, 5, 7, 8, 2:

→ Habrá 4 intervalos.

→ La amplitud de cada intervalo será de 2 unidades.

Los intervalos serán: [1, 3), [3, 5), [5, 7), [7, 9).

Las marcas de clase serán, respectivamente: 2, 4, 6, 8.

Siguiendo el procedimiento explicado, construye el histograma que corresponde a la duración de 25 películas cuyos tiempos (en minutos) son los siguientes: 126, 119, 105, 92, 91, 95, 120, 117, 114, 98, 102, 98, 95, 95, 99, 88, 110, 123, 109, 100, 95, 117, 92, 103, 89.

2 Luis está jugando a extraer al azar una carta de la baraja española. ¿Qué cartas debería eliminar para obtener los resultados siguientes?

a) La probabilidad de obtener un rey sea

b) La probabilidad de obtener una copa sea

c) La probabilidad de que salga una carta de espadas u oros sea

d) Que sea imposible obtener un 5.

e) Que sea seguro no obtener una figura.

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