Upload
lediep
View
248
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
1
PELUANG
1. Definisi peluang
2. Permutasi dan kombinasi
3. Himpunan
4. Sifat dan syarat peluang
5. Sampling
6. Teorama Bayes
I. Definisi Peluang
a. Definisi peluang klasik
Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali
diantara N peristiwa yang saling eksklusif dan masing-
masing terjadi dengan kesempatan yang sama, maka
peluang peristiwa E terjadi adalah n/N atau P(E) = n/N
Contoh :
1. Eksperimen dengan melantunkan koin Rp 100,-
sebanyak 1X menghasilkan peristiwa-peristiwa yang
terjadi :
1) muncul angka (G) = 12) muncul gambar (A) = 1 N = 2
P(G) = ½ ; P(A) = ½
2
2. Eksperiman dengan melantunkan dadu 1X
Menghasilkan peristiwa, peristiwa yang terjadi :
1)muncul mata dadu 1 = 12)muncul mata dadu 2 = 13)muncul mata dadu 3 = 14)muncul mata dadu 4 = 15)muncul mata dadu 5 =16)muncul mata dadu 6 =1 N = 6
P(MD1) = 1/6 ; P(MD2) = 1/6
3. Eksperimen mengambil sebuah bola kecil dalam kotak yang
berisi 2 merah, 8 hitam, 6 putih dan 4 kuning
Diambil 1 bola 4K 2M 8H 6P
Peristiwa yang terjadi :- terambil bola M = 2- terambil bola H = 8- terambil bola P = 6- terambil bola K = 4 N= 20
P(M) = 2/20 ; P(K) = 4/20
Sifat peluang klasik : saling eksklusif dan kesempatan yang sama
b. Definisi peluang empirik
3
Peluang empirik/frekuensi relatif terjadi apabila eksperimen
dilakukan berulang. Apabil kita perhatikan frekuensi absolut
(=m) tentang terjadinya peristiwa E untuk sejumlah
pengamatan (=n), maka peluang peristiwa itu adalah limit
dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan bertambah
sampai tak hingga P(E) = limit m/n
nN
Contoh
1. Eksperimen melantunkan sebuah dadu (1000X)
Peristiwa yang muncul : - muncul mata dadu 1
hingga
- muncul mata dadu 6
Event M1 M2 M3 M4 M5 M6 total
m 166 169 165 167 169 164 1000
P(M1) = 166/1000 ; P(M6) = 164/1000
c. Definisi peluang subjektif
1. Nilai peluang didasarkan kepada preferensi seseorang
yang diminta untuk menilai
2. Pada umumnya yang dinilai adalah peristiwa yang
belum terjadi
4
II. Permutasi dan kombinasi
A. Permutasi
- Permutasi sejumlah objek adalah penyusunan objek
tersebut dalam suatu urutan yang tertentu
- Perrmutasi dari n objek yang berbeda tanpa
pemulihan yang terpilih
Contoh :
A, B, C ada berapa susunan yang dapat dibuat ?
ABC n = 3
3P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA = 6
Jika dibuat diagram pohon
Macam-macam permutasi
Permutasi sebanyak r dari n objek
r < n objek
5
Contoh :
A, B, C 2 objek dipermutasikan
n = 3 ; r = 2
3P2 =
Peristiwa/even = AB, AC, BA, BC, CA, CB
Permutasi keliling
Contoh :
3K3 = (3-1)! = 2! = 2
Permutasi r dari n objek dengan pemulihan objek yang
terpilih
nRr = nr
Contoh :
A, B, C 2 objek dipermutasikan dengan pemulihan
n = 3
r = 2
3R2 = 32 = 9
AB, AC, BA, BC, CA, CB, AA, BB, CC
Permutasi dari n objek yang tidak seluruhnya dapat
dilakukan
6
Contoh
AABC dipermutasikan semua objek
n = 4 ; n1 = 2 ; n2 = 1 ; n3 = 1
AABC CAAB
ABAC CABA
ABCA CBAA
BAAC AACB
BACA ACBA
BCAA ACAB
B. Kombinasi
Kombinasi dari sejumlah objek merupakan cara pemilihan
objek yang bersangkutan tanpa menghiraukan urutan objek itu
sendiri
Kombinasi r dari n objek dimana r < n
nCr =
Contoh :
1. A B C kombinasi 2 dari 3 objek
n = 3
r = 2
7
3C2 =
AB , AC, BC
2. A B C D E
r = 2
5C2 =
Contoh :
Berapa banyak peristiwa yang mungkin muncul dalam
pertandingan final sepak bola liga Indonesia dari tim yang
masuk semifinal ?
4 kesebelasan menjadi 2 kesebelasan
Kombinasi → 4C2 =
III. Himpunan
A. Himpunan (Set/populasi)
Adalah kumpulan dari objek yang dirumuskan secara tegas
dan dapat dibedakan
B. Elemen (unsur)
Adalah event/kejadian tiap objek yang secara kolektif
membentuk suatu kelompok (himpunan)
C. Bentuk himpunan
1. Himpunan dengan unsur yang tidak terbatas
8
2. Himpunan dengan unsur yang terbatas
3. Himpunan kosong
D. Cara mendefinisikan himpunan
1. Cara daftar : unsur dalam himpunan dinyatakan diantara
kurung kurawal
Contoh : eksperimen melantukan sebuah dadu
S = {1,2,3,4,5,6}
2. Cara kaedah dinyatakan dengan syarat yang harus
dipenuhi oleh setiap unsur
Eksperimen melantunkan dadu
S = {X; X adalah bilangan bulat dan 1≤ X ≤ 6}
E.Subset (himpunan bagian)
F.Operasi himpunan
1. Komplemen dari A adalah kelompok yang terdiri dari
unsur-unsur dalam “S” serta tidak terdapat dalam A.
=A’ = {X S, X A}
2. Interaksi/irisan dari A dan B
Dan , A B = {X ; X A dan X B}
3. Union/gabungan
Atau, A B = {X ; X A atau X B}
G. Diagram venn
Merupakan gambaran unsur dari linier dan operasi hitung
9
IV. Sifat dan syarat peluang
A. Sifat peluang
1. Peristiwa yang saling eksklusif secara bersama (mutually
exclusive). Dua peristiwa merupakan peristiwa yang ME
bila kedua peristiwa tersebut tidak dapat terjadi pada
waktu yang bersamaan.
P(A1 A2..... An) = P(A1) + P(A2) + ........+ P(An)
2. Peristiwa yang non ME
Dua peristiwa merupakan peristiwa yang non ME bila
kedua peristiwa tersebut tidak usah terpisah (disjoint)/ada
irisan.
P(A1 A2) = P(A1) + P (A2) – P(A1 A2)
3. Sekatan (partition)
Bila peristiwa A1, A2, …..An merupakan ME dan lengkap
terbatas sehingga A1 A2….. An = S
P(A1) + P (A2) + ……+ P(An) = 1
4. Komplementer
Bila terdapat peristiwa A dan peristiwa dalam sebuah
ruang sampel yag sama dan bila meliputi semua unsur
dalam ruang sampel tersebut kecuali yang terdapat pada
10
A, maka merupakan peristiwa komplementer bagi
peristiwa A.
P(A) + P( ) = 1
5. Peristiwa yang independent
Dua peristiwa dikatakan independent bila dan hanya bila
terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak
mempengaruhi terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa
kedua.
P(A1 A2) = P(A1).P(A2)
6. Peristiwa yang dependent
P(A/B) = ; P(B) > 0
P(B/A) =
B. Syarat peluang
1. Nilai peluang berada pada selang nilai 0 ≤ P ≤ 1
2. P(A1) + P (A2) + ……+ P(An) = 1
3. P(A) + P( ) = 1
V. Sampling
Sampling merupakan proses pengambilan sampel dari
populasi
A. Sampling tanpa pengembalian
11
1. Sampling diambil satu persatu (peristiwa dependent)
Contoh :
Eksperimen mengambil 2 buah bola dari kotak yang berisi
5 putih dan 10 merah
Diambil 2 bola5 P 10M
Event: - PP P(PP) ?
- PM P(PM) ?
- MP P(MP) ?
- MM P(MM)?
P(PP) = P(P) x P(P/P) = 5/15 x 4/14 = 10/105
P(PM) = P(P) x P(M/P) = 5/15 x 10/14 = 25/105
P(MP) = P(M) x P(P/M) = 10/15 x 5/14 = 25/105
P(MM) = P(M) x P(M/M) = 10/15 x 9/14 = 45/105 +
1
2. Sampling diambil sekaligus
Eksperimen di atas tetapi sampel diambil sekaligus
Event : - PP P(PP) ?
- PM/MP P(PM) ?
- MM P(MM)?
12
P(PP) =
___________+
1
B. Sampling dengan pengembalian (peristiwa
independent)
Event: - PP P/PP
- PM P/PM
- MP M/MP
- MM M/MM
- P(PP) = P(P).P(P) = 5/15 x 5/15 = 25/225
- P(PM) = P(P).P(M) = 5/15 X 10/15 = 50/225
- P(MP) = P(M). P(P) = 10/15 X 5/15 = 50/225
- P(MM) = P(M).P(M) = 10/15 X 10/15 = 100/225 +
1
VI. Teorama bayes
13
Teori
1. P(A/B) = ; P(B) > 0
P(B/A) =
P(A B) = P(A/B).P(B)
= P(B/A).P(A)
2.
P(B1/A) =
P(A B1) = P(B1/A).P(A)
= P(A/B1).P(B1)
A = A B1 + A B2
P(A) = P(A B1)+ P(A B2)
= P(A/B1).P(B1) + P(A/B2).P(B2)
P(B1/A) =
Contoh :
1. Dalam suatu ruang kelas yang terdiri dari 60 siswa (L+P)
ternyata berasal dari daerah :
14
- Sumut (A1) 10 (6L)
- Sulsel (A2) 12 (6L)
- Jabar (A3) 20 (12L)
- Kalbar (A4) 10 (4L)
- Bali (A5) 8 (4L)
Apabila ditunjuk salah seorang laki-laki untuk mewakili
kelas tersebut dalam pemilihan ketua kelas, berapa peluang
ia berasal dari daerah Jabar ? (gunakan pendekatan bayes).
P(A3/L) =
15
Berapa peluang seorang wanita menjadi ketua kelas dan dia
berasal dari daerah Sulsel ?
P(A2/P)
2. Sebuah pabrik yang memproduksi produk X dengan distribusi
pekerjaan pada 4 mesin (A, B, C, dan D) dengan proporsi
20%, 40%, 30%, dan 10%. Diketahui dari data masukan
bahwa produk gagal yang dihasilkan mesin-mesin tadi
mencapai 1½ %, 1%, 1½ % dan 2% masing-masing untuk
mesin A, B, C dan D.
a. Apabila suatu saat didapati produk gagal, berapakah
peluangnya bahwa produk itu berasal dari mesin B ?
b. Apabila didapati suatu saat didapati produk baik,
berapakah peluangnya bahwa produk tersebut berasal dari
mesin C ?
16
a. P(B/G) =
b. P(C/S) =
=
17
SOAL LATIHAN
1. Dalam suatu pertandingan atletik untuk lari 100 m diikuti oleh 8
orang peserta. Berapa susunan juara 1, 2 dan 3 yang dapat dibuat ?
2. Suatu pohon akan dihias dengan 9 bola lampu dirangkai seri. Ada
berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna
merah, 4 kuning dan 2 biru ?
3. Dengan berapa carakah dapat ditanam 4 pohon akasia, 5 bungur
dan 3 cemara dalam satu garis lurus bila pohon yang sejenis tidak
dibedakan ?
4. Terdapat 6 orang yang akan dipotret. Ada berapa cara susunan jika
susunan berpasangan
18
5. bila terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan carilah banyaknya
susunan panitia 3 orang yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1
fisikawan.
6. Jika ada 6 orang pria dan 3 wanita membentuk panitia HUT
kemerdekaan yang berjumlah 5 orang terdiri dari 3 pria dan 2 wanita.
Ada berapa susunan yang dapat dibuat dari panitia tersebut ?
7. Jika 2 buah dadu dilemparkan, berapakah peluang jumlah mata
dadu 7 atau 11 muncul ?
8. Dari 100 siswa yang diwisuda, 54 belajar matematika, 69 belajar
sejarah, 35 belajar matematika dan sejarah. Bila seorang siswa dipilih
secara acak, hitunglah peluangnya :
a. dia belajar matematika atau sejarahb. dia tidak belajar keduanyac. dia belajar sejarah tetapi tidak matematika
9. Apabila diketahui dari 50 siswa ternyata 20 siswa menyukai renang
dan 30 orang menyukai basket sedangkan 10 orang siswa menyukai
keduanya. Berapa peluang siswa yang
a. menyukai renang atau basket.
b. tidak menyukai keduanya
c.menyukai renang tapi tidak basket
10. Dari setumpuk kartu yang terkocok dengan baik, diambil sebuah
kartu secara random. Hitung probabilitas kartu yang terambil
adalah :
a. Kartu Hitam atau ♥
b. Kartu Queen atau ♦
19
Ket : Kartu terdiri dari 13♥ merah , 13♦ merah , 13♣ hitam, dan 13 ♠
hitam
11. Dari setumpuk kartu yang terkocok dengan baik, diambil sebuah
kartu secara random. Hitung probabilitas kartu yang terambil
adalah :
a. Kartu King atau kartu angka 2
b. Kartu angka 5 atau kartu warna merah
12. Suatu kota mempuyai satu mobil pemadam dan satu ambulan.
Peluang mobil pemadam siap waktu adalah 0,98 dan ambulan siap
waktu dipanggil adalah 0,92. Dalam kejadian ada kecelakaan karena
kebakaran gedung cari peluang keduanya siap ?
13. Tiga kartu diambil satu persatu tanpa pengembalian dari sekotak
kartu. Cari peluang bahwa kejadian A1 ∩ A2 ∩ A3 terjadi bila A1
kejadian kartu pertama as berwarna merah, A2 kejadian kartu
kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3
tapi lebih besar dari 7
14. Bila 3 buku diambil secara acak dari suatu rak yang berisi 5
novel, 3 buku syair dan 1 kamus, berapakah peluangnya bahwa dua
novel dan sebuah buku syair yang terpilih
15. Dari 4 buah kaset yang diambil secara bersamaan dari sebuah
lemari yang berisi 3 lagu Peterpan, 4 lagu Limpkin Park dan 2
lagu Rhoma Irama, berapakah peluang terambilnya 2 kaset
Peterpan, 1 kaset Limpkin Park dan 1 kaset Rhoma Irama ?
20
16. Dalam sebuah kantong plastic terdapat 15 buah-buahan yang
terdiri dari 5 buah apel, 8 buah jeruk dan 2 buah mangga.
Kemudian diambil 3 buah satu persatu dengan pengembalian.
Berapa peluang terambilnya buah apel, jeruk dan mangga ? dan
berapa peluang terambilnya apel,jeruk, mangga tanpa
pengembalian?
17. Hitunglah peluang dari kejadian-kejadian berikut ini :
a. Dalam sebuah kotak berisi 20 kancing, terdapat 5 kancing
warna kuning dan 15 kancing warna hijau. Kemudian diambil dua
kancing berturut-turut dengan pengembalian. Berapa peluang
terambilnya kancing kuning dan hijau
b. Dari soal a apabila kancing diambil satu persatu tanpa
pengembalian, berapa peluang yang terambil kedua-duanya berwarna
kuning.
21