Upload
lehanh
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TUGAS KELOMPOK I MATA KULIAH ANALISA
Nama Anggota Kelompok :
Arman EfendiAlmanBudyanita Asrun
PASCA SARJANAUNIVERSITAS HASANUDDIN
2011
1
BAB 7
INTEGRAL RIEMANN
Pendahuluan
Integral merupakan salah satu cabang dari matematika yang banyak
diaplikasikan pada bidang matematika maupun pada bidang ilmu yang lain. Pada tahun
1850, Bernhard Riemann untuk pertama kalinya memberikan defenisi modern tentang
integral tentu yang sekarang disebut dengan integral rieamnn. Setelah itu penelitian
tentang integral terus berlanjut.
Pendefinisian integral Riemann dimulai dari sebuah pemartisian domain dari
sebuah fungsi yang berbentuk interval menjadi subinterval-subinterval. Kemudian
ditentukan jumlah Riemann atas dan jumlah Riemann bawah fungsi tersebut.
Misal adalah interval tertutup dan terbatas di R. Kemudian P dari
adalah himpunan dengan P = sedemikian sehingga
, dan . Misalkan f adalah sebuah fungsi
terbatas di dengan dengan . Didefenisikan
dan
Jumlah Riemann atas didefenisikan
Jumlah Riemann bawah didefenisikan
2
Selanjutnya, integral Riemann suatu fungsi dapat ditentukan jika nilai limit dari
jumlah Riemann atas dan jumlah Riemann bawah bernilai sama. Himpunan semua
fungsi yang diintegralkan Riemann dinotasikan dengan “R”, lebih khusus himpunan
semua fungsi yang terintegralkan Riemann pada interval [a,b] dinotasikan dengan
“R[a,b]”.
Gambar : Jumlah Riemann
7.1 Integral Riemann
Partisi dan Partisi Tag
Jika I:= [a,b] adalah sebuah interval tertutup dan terbatas di R, maka sebuah
partisi pada I adalah berhingga, himpunan terurut P:=(x0, x1, …,xn-1 , xn) pada titik di I,
sedemikian sehingga
a = x0< x1<…xn-1 < xn = b.
Titik-titik pada P digunakan untuk membagi I = [a,b] ke dalam sub-sub interval yang
tidak saling tumpang tindih.
Gambar : Partisi pada [a,b]
3
Sering Partisi P dinotasikan dengan P = . Untuk setiap partisi P
pada [a,b], norm partisi P dinotasikan dengan didefinisikan sebagai panjang
interval bagian terpanjang yang terbentuk dari partisi P. Jadi = Max
Jika sebuah titik ti dipilih dari tiap-tiap subinterval Ii =[xi-1, xi], untuk I = 1,2,
…,n, maka titik-titik tersebut dinamakan Tag-tag dari subinterval Ii. Suatu himpunan
dari pasangan berurutan
Pada sub-sub interval dan berhungan dengan tag-tag dinamakan Partisi Tag pada I.
Titik-tik tag dapat ditempatkan pada titik akhir bagian kiri atau titik kanan bagian akhir
dan bisa juga ditempatkan pada tengah-tengah interval.
Gambar : Tag Partisi pada [a,b]
Jika P yang telah disebutkan sebelumnya adalah sebuah Tag Partisi, maka dapat
didefinisikan Jumlah Riemann pada sebuah fungsi f : [a,b] sebagai,
4
Gambar : Jumlah Riemann
Definisi Integral Riemann
Definisi 7.1.1 Diberikan interval tertutup [a,b], fungsi bernilai real R
dikatakan terintegral Riemann jika tredapat bilangan L R sehingga untuk setiap
bilangan real sedemikian sehingga untuk setiap Tag Partisi pada
[a,b] dengan , maka
Himpunan dari semua fungsi yang terintegral Riemann pada [a,b] dinotasikan dengan
R[a,b] dan ditulis
5
Defenisi integral Riemann di atas dapat pula dinyatakan sebagai limit dengan
Teorema 7.1.2 Jika maka nilai integralnya adalah tunggal.
Bukti : Misalkan L1 dan L2 keduanya merupakan nilai integral Riemann fungsi f , maka
cukup dibuktikan L1=L2. Diketahui .
Misalkan bilangan
L1 adalah nilai integral f pada [a,b], maka terdapat bilangan sehingga untuk
setiap partisi P1 pada [a,b] dengan sifat berlaku
Dan juga jika L2 merupakan nilai integral f pada [a,b], maka terdapat bilangan
sehingga untuk setiap partisi P2 pada [a,b] dengan sifat berlaku
Dipilih > 0, akibatnya P merupakan Tag Partisi pada [a,b] dengan
sifat berlaku dan . Sehingga
dan
6
Selanjutnya dengan mengikuti Aturan “Ketaksamaan Segitiga” bahwa :
Karena sembarang bilangan positif maka dapat disimpulkan L1 = L2
7
Beberapa Contoh Soal Integral Rienmann
Jika kita hanya menggunakan defenisi dalam menunjukkan bahwa Integral
Riemann maka kita harus tahu :
i. Nilai L dari integral
ii. Membuat nilai yang memenuhi
Contoh :
1. Setiap fungsi konstan pada adalah berada pada
Jawaban
Jika untuk semua x . Jika P = adalah beberapa
partisi tag dari , maka dengan jelas bahwa
Maka untuk setiap , kita dapat memilih sehingga , maka
Dari maka kita menyimpulkan bahwa dan
2. Misalkan g : didefenisikan g(x) untuk dan g(x)
untuk . Pada gambar berikut merupakan gambar dari fungsi g.
Perhitungan awal kita perkirakan
8
Misalkan P adalah tag partisi pada dengan norm kita akan memperlihatkan
bagaimana menentukan untuk . Misalkan P1 adalah subset dari
P yang memiliki tag di dimana g(x) = 2, dan P2 adalah subset dari P dengan
partisi tag di (1,3] dimana g(x) = 3 dengan jelas membentuk
(i)
Dari , jika dan maka sehingga
dimana .Karena interval termuat dalam
gabungan subinterval di P dengan tag-tag . Gabungan ini termuat di
. Mengapa ? dari g(ti) = 2 untuk tag ini kita dapatkan
Dengan alasan yang sama kita memperlihatkan bahwa gabungan seluruh subinterval
dengan termuat dalam interval dengan panjang dan
termuat di dengan panjang sehingga
Tambahkan ketidaksamaan dan gunakan persamaan (i) dan menjadi
Sehingga
.Kemudian dengan mengambil maka kita mendapatkan
dengan . Dengan sembarang kita dapat
membuktikan bahwa dan
3. Misalkan untuk ; Tunjukkan bahwa
9
Dengan menggunakan partisi pada interval dan kita memilih tag
partisi dari interval dengan titik tengah maka
jumlahan rienmann menjadi
Kita akan menjumlahkan bentuk diatas sehingga menjadi
Misalkan P adalah tag partisi dari dengan sehingga
untuk . Misalkan Q mempunyai partisi yang sama
kemudian kit amemilih sebagai titik tengah dari . Dari dan dalam
interval, kemudian kita membentuk . Gunakan ketaksamaan
Segitiga sehingga membentuk
dari , kita ketahui bahwa maka dengan
mengambil maka kita bisa mengatakan bahwa dan
4. Misal F(x) := 1 untuk x = dan F(x) := 0 untuk yang lain di . Kita
akan menunjukkan bahwa F dan
Kita memiliki empat titik, setiap titik memiliki dua sub interval dalam partisi P .
Misalkan kit amemilih . Jika dan misalkan adalah subset
10
dari P dengan tag berbeda dari dan misalkan adalah subset dari P
dengan tag di titik – titik lain . Dari hal ini menunjukkan bahwa
);(;;; 110 PFSPFSPFSPFS
Dari 8 sub interval di dan setiap interval < 1 . Kita menyimpulkan bahwa
Dengan demikian dan
5. Misal G(x) := untuk x = dan G(x) := 0 untuk yang lain di
Diberikan , misalkan adalah himpunan titik – titik berhingga dimana
G(x) , misalkan adalah jumlah titik – titik di dan misalkan
. Dan misalkan P adalah tag partisi sedemikian sehingga . Misalkan
adalah subset dari P dengan tag luar dari dan adalah subset dari P dengan
tag di dalam maka kita mempunyai
Dari sembarang kita menyimpulkan bahwa dan
11
BEBERAPA SIFAT INTEGRAL
Teorema 7.1.4 Misalkan , maka :
1.
Bukti :
.
Akan ditunjukkan :
Dengan menggunakan Teorema 7.1.2
12
Karena , maka diperoleh :
Jadi,
Sekarang akan ditunjukkan :
Bukti :
Dengan menggunakan kontradiksi
Andaikan :
Ambil :
16
Jadi , Kontradiksi.
Sehingga dapat disimpulkan :
Teorema Terbatas
Teorema 7.1.5 Jika maka terbatas di
Bukti :
Asumsikan bahwa adalah fungsi tidak terbatas di dengan integral . Maka
terdapat , sehingga jika adalah tagged partisi di dengan , maka
diperoleh
………………..*)
Misalkan adalah partisi di dengan
Jika tidak terbatas di , maka terdapat paling sedikit satu subinterval di
. di tidak terbatas.
Jika terbatas di masing-masing subinterval oleh M, maka terbatas di
,
18
Akan dibuktikan dengan menggunakan kontradiksi ( persamaan *) .
Ambil , dan pilih , sehingga
Dengan Ketidaksamaan Segitiga ( , diperoleh :
Latihan :
Exercises for Section 7.1
8. Jika dan
Tunjukkan .
Penyelesaian :
Buktikan dengan menggunakan Integral Riemann
19