設 y = f ( x ) 為一函數， (1) 自變數 x 的微分 (differential) dx 是 x 的增量，即 dx = x

現代管理數學． Chapter 3　極佳化方法 3-1

設 y = f (x) 為一函數，(1) 自變數 x 的微分 (differential) dx 是 x 的增

量，即 dx = x

(2) 因變數 y 的微分 dy 為 dy = f (x) dx

由於已知　 = f (x) ，所以我們可將看成兩個微分 dy 、 dx 的商。再者， dy 可當作 y 的近似值。也就是說，當 x 變動時， dy 可視為因變數 y 的改變量。

3-13-1

dy

dx

dy

dx


設 y = f (x1, ……, xn) ，則

我們稱 dy 為因變數 y 的全微分 (total differential) 。

3-23-2

1 21 2

nn

f f fdy dx dx dx

x x x


設函數 y = f (x) 的定義域為 S Rn ，若對於 S

中所有的 x ， f (x0) f (x) ，則稱 f 在 x0 點有絕對極大值 (absolute or global maximum) 。若對於 S 中所有的 x ， f (x0) f (x) ，則 f 在 x0 點有絕對極小值 (absolute or global minimum) 。

3-33-3


若對於 x0 鄰近的點 x ， f (x0) f (x) ，則稱 f

在 x0 點有相對極大值 (relative or local maximum) 。若對於 x0 鄰近的點 x ， f (x0) f (x) ，則稱 f

在 x0 點有相對極小值 (relative or local minimu

m) 。

3-43-4


3-53-5

若 x* 滿足 gi (x*) = bi , i = 1, 2, …, m ，且 g1 (x*),

g2 (x*), …, gm (x*) 為線性獨立，則稱 x* 為 S

之正規點 (regular point) 。在正規點 x* ，我們可以進一步定義一個 Rn 的子空間

對 S 而言， M 代表的是在 x* 點的切面 (tangent

plane) 。

*1 2{ ( , , , ) ( )

0, 1,2, , }

nn iM z z z z R g x z

i m


設函數 f 及 f 皆定義於區間 (a, b) 。設 x0 在 (a, b) 內，且 f (x0) = 0 。

(1) 若 f (x0) > 0 ，則 f 在 x0 點有相對極小值。

(2) 若 f (x0) < 0 ，則 f 在 x0 點有相對極大值。

若 f (x0) = 0 ， f (x0) = 0 且 f (x0) 0 ，則 x0 為 f 的反曲點。

3-13-1

3-23-2


設 y = f (x1, x2, ……, xn) 為一函數。若 f 在 x0 上有極值，則

定理 3-3 的結論告訴我們偏導數全部為 0 只是極值的必要條件。就算已知在某一點上函數 f 的偏導數均為 0 ，我們也無法斷定 f 在此點上具有極值。因此如同定理 3-1 ，我們必須還要有其他的條件，以確定極值的存在。

3-33-3

0 0 01 2

( ) 0 , ( ) 0 , , ( ) 0n

f f fx x x

x x x


充分條件設 y = f (x1, x2, …, xn) 為一函數，若 f 在 x0 點滿足

(1)

(2) 對於每個非零向量 z ，

則 f 在 x0 點有相對極小 ( 大 ) 值。

3-43-4

0( ) 0, 1,2, ,i

fx i n

x

0( 0)Tz Hz


必要條件設 y = f (x1, x2, …, xn) 為一函數，若 f 在 x0 點有相對極小 ( 大 ) 值，則在 x0 點

(1)

(2) 對於每個非零向量 z ，

3-53-5

0( ) 0, 1,2, ,i

fx i n

x

0( 0)Tz Hz


設 y = f (x1, x2, …, xn) 為一函數。若點 x0 滿足

(1) 若在 x0 點，行列式 |Hk| > 0, k = 1, ……, n ，則 f 在 x0 點有相對極小值。

(2) 若在 x0 點， (1)k |Hk| > 0, k = 1, ……, n ，則 f 在 x0 點有相對極大值。

3-63-6

0( ) 0, 1, ,i

fx i n

x

，且


設 z = f (x, y) ，且在點 (a, b) 上，

(1)

(2)

3-73-7

( , ) ( , ) 0f f

a b a bx y

22 2 2 2

2 2 20

0 ( , )

f f f f

x y x y x

f a b

若，且

，則在點有相對極小值。22 2 2 2

2 2 20

0 ( , )

f f f f

x y x y x

f a b

若，且

，則在點有相對極大值。


(3) 　　　　　　　　　　　　　　　　則 (a, b) 為

一鞍點 (saddle point) ，即 f (a, b) 不是極值。

(4) 　　　　　　　　　　　　　　　則無法作任

何結論。所謂鞍點，就是沿著某一方向來看， f 在 (a, b) 上具有相對極大值，但沿另一方向來看時， f 在 (a, b) 上又是相對極小。如圖 3-5 所示。

22 2 2

2 2 0f f f

x y x y

若，

22 2 2

2 2 0f f f

x y x y

若，

3-73-7


設點 (a, b, ) 滿足

(1) 若

且 f 在 (a, b) 點有相對極小值。

3-83-8

( , , ) ( , , ) ( , , ) 0L L L

a b a b a bx y

22 2 2 2

2 2 20 0L L L L

x y x y x

且，


(2) 若

則 f 在 (a, b) 點有相對極大值。

(3) 若　　　　　　　　　　　　則無任

何結論。

22 2 2 2

2 2 20 0L L L L

x y x y x

且，

22 2 2

2 2 0L L L

x y x y

，

3-83-8


3-93-9

* * *

* * * *1 2 n

*

1

1

* * * *1 2 n

=( '' ) (P) (optional solu

( ) ( ) 0, 1, 2, ,

3-9

( ) ( ) 0, 1, 2, ,

t

ion

(3

)

i S =( '

)

)

4

'

-

mi

iik k

mi

iik k

gfx x k n

x x

gfx x k n

x x

定理中的一階必

必要條件

若，，，是問題的最佳解。

同時，假設是的正規點，則存在一向量

要條

，，，

使得

件

以及問

i i

(P)

g =b , i=1,2,...,m (3-5)

題的限制式


m

i i ii

1 2 n 1 2 n

1 2

=1

n

1

n

n+m ( ) n+m

L( , )=f(x)+ (b -g (x))

L(x, ) 0

x

'''''

'''''

L(x, ) 0 (

'' ''

=( '' )

3-x

，，，；，，，

，

構成一個包含的變數，個式子

的聯立方程式。若將拉式函數寫

，，為拉式函數，則拉式函數極值的

成

中為其必要條件

*

m

*

1

*

6)

L (x, ) 0

'''''

L(x, ) 0

(3-6) (3-4) (3-5)

(3-6) (x , ) x (P)

在這裡，式與、式完全相同，換言之，

聯立方程式所求得的解，其中即為問題的解


充分條件若 x* = 　　　　　　滿足 gi (x*) = bi, i = 1,2, …, m 且存在一向量 * = 　　　　　　，使得

同時，假設對於所有 Z M ， Z 0 ，

則問題 (P) 在 x* 點有相對極小值。

3-103-10

* * *1 2( , , , )nx x x

* * *1 2( , , , )m

* * *

1

( ) ( ) 0, 1, 2, ,m

ii

ik k

gfx x k n

x x

* *( , ) 0TZ H x Z

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設 y = f ( x ) 為一函數， (1) 自變數 x 的微分 (differential) dx 是 x 的增量，即 dx = x