数理とデザイン第８回 数理⼯学のツール（１）

数理⼯学専攻 南 裕樹

26. Nov. 2013

これまでのまとめ

スケジュール第 1 回 (10/1) : 導⼊ 全員第 2 回 (10/8) : モデリング（確率・統計） ⽥中先⽣第 3 回 (10/22): モデリング（動的システム） 太⽥先⽣第 4 回 (10/29): モデリング（グラフ） 川上先⽣第 5 回 (11/5) : 最適化（連続最適化） ⼭下先⽣第 6 回 (11/12): 最適化（メタヒューリスティクス） 川上先⽣第 7 回 (11/19): 最適化（離散最適化） ⼭下先⽣第 8 回 (11/26): ツール第 9 回 (12/3) : 事例紹介第10回 (12/10): ツール第11回 (12/17): ツール第12回 (1/7) : 事例紹介第13回 (1/14) : 事例紹介第14回 (1/21) : 事例紹介第15回 (1/28) : 事例紹介

数理⼯学の考え⽅＆道具↓

デザイン

導⼊授業計画（第８回，第１０回，第１１回）

・数理⼯学のツール（１）・数理⼯学のツール（２）・数理⼯学のツール（３）

制御系設計，信号処理Matlab, Scilab, LEGO

最適化 Excel, (CPLEX)

・さまざまなツールが利⽤できることを知る・基本的な使い⽅を学ぶ・（実際に，⼿を動かして体験する）

⽬標

導⼊

実問題に取り組む際に有⽤なツールの紹介

・数値計算（Matlab，Scilab），数式処理（Maple）⇒ 信号処理，制御システム，⾦融，情報⽣命科学

Matlab価格：10万〜

Scilab価格：無料

数値計算，データ解析／可視化，プログラム開発

授業内容１

・MaTX, jamox・Octave・FreeMat・Mathematica・Maple・Maxima

導⼊

・プロトタイピングツール（LEGO，Arduino）

LEGO Mindstorms NXT，EV3価格：4万〜6万

Arduino (UNO)価格：3000円〜

簡単＆安価に理論実装 ⇒ 性能評価

実問題に取り組む際に有⽤なツールの紹介

授業内容２ Raspberry pi価格：3300円

数値計算ソフト

振⼦

台⾞

倒⽴振⼦の安定化・モデリング・コントローラ設計・評価

数値計算，データ解析／可視化，プログラム開発

数値計算ソフト

・Ｃ⾔語などでは，⾏列演算は標準でサポートしていない・複素演算もサポートしている

⾏列演算

視覚化・グラフ／アニメが簡単に作成できる・ＧＵＩプログラミングが可能

信号処理・fft関数，eig関数，svd関数などが実装されている

インタフェース・他のアプリとの通信，実機へのＣ⾔語実装

数式処理ソフト数式処理

パラメータを含んだ形で厳密計算を⾏う⇒⼿計算は⼤変⇒ソフトを利⽤すると負担を軽減できる

・Mathemtaica・Maple・MuPAD・Maxima

⇒ Maltab + symbolic math toolbox

ラプラス変換＆逆ラプラス変換制御系の安定判別ラグランジュ⽅程式を⽤いた運動⽅程式の導出

たとえば・・・

演習

問１

(1) の固有値と固有ベクトルを求めよ

⾏列 を考える

(2) を対⾓化せよ(3) の⾏列式を計算せよ(4) のランクを計算せよ

演習

問２

(1) の固有値と固有ベクトルを求めよ

⾏列 を考える

(2) を対⾓化せよ(3) の⾏列式を計算せよ(4) のランクを計算せよ

演習

問３

のときの

⾏列 に対して，

の値を計算せよ

⽅法１）⽅法２）

⽅法３）

演習

問４ を部分分数分解せよ

問５ の概形を描け

問６ のラプラス変換を計算せよ

問７ のテイラー展開を求めよ（ ）

演習

Up/DownカウンタD/A

変換器

モータ エンコーダ

振⼦ (ボディ)

⾞輪 (モータにより回転)

マイコン

⾞輪型倒⽴振⼦を安定化せよ

A/D変換器

ジャイロ

制御系設計設計の流れ 実験装置の

設計・製作 モデリング

制御系設計

制御系解析

シミュレーション

実機実験

制御系設計設計の流れ 実験装置の

設計・製作 モデリング

制御系設計

制御系解析

シミュレーション

実機実験

PID 制御，極配置，最適レギュレータ，オブザーバ

安定性，可制御性，可観測性

⼤学の授業で主に勉強する内容

制御系設計設計の流れ 実験装置の

設計・製作 モデリング

制御系設計

制御系解析

シミュレーション

実機実験

PID 制御，極配置，最適レギュレータ，オブザーバ，

制御，LMI，etc...

数学モデル，パラメータ同定，線形化，etc...

アクチュエータ，センサ，インタフェース etc...

実装(組み込みプログラム， 離散化，

ノイズ除去 etc...)

制御系設計モデリング 運動⽅程式

：振⼦の質量：振⼦の重⼼まわりの慣性モーメント：振⼦の粘性摩擦係数

：振⼦の傾き⾓度

：モータの回転⾓度：⾞輪の質量：⾞輪の回転軸まわりの慣性モーメント

数学モデルの導出・ラグランジュ⽅程式を利⽤して運動法⼿式を⽴てる・未知パラメータを同定する・倒⽴状態近傍で線形化し，線形モデルを導出する

：⾞輪をまわすトルク

制御系設計モデリング 運動⽅程式

（振⼦）

（⾞輪）

制御系設計モデリング 運動⽅程式

制御系設計

ギヤ⾞輪

モデリング 運動⽅程式

発電機

：ギア⽐

駆動部の特性

制御系設計モデリング 運動⽅程式

制御系設計モデリング 運動⽅程式

（ギア⽐）

⾞輪のモデル

制御系設計モデリング 運動⽅程式

⾞輪のモデル ⾞体のモデル

測定可能

制御系設計モデリング パラメータ同定

制御系設計モデリング パラメータ同定

制御系設計モデリング 線形化

原点近傍で線形近似

⾞輪のモデル ⾞体のモデル

制御系設計モデリング 状態空間表現

⾞輪のモデル ⾞体のモデル

制御系設計設計の流れ 実験装置の

設計・製作 モデリング

制御系設計

制御系解析

シミュレーション

実機実験

PID 制御，極配置，最適レギュレータ，オブザーバ，

制御，LMI，etc...

数学モデル，パラメータ同定，線形化，etc...

アクチュエータ，センサ，インタフェース etc...

実装(組み込みプログラム， 離散化，

ノイズ除去 etc...)

制御系設計制御系解析 安定性

のすべての固有値の実部が負

リアプノフの安定定理（線形システム）

を満⾜する が唯⼀存在する

は安定

制御系設計制御系解析 可制御性，可観測性

可制御：任意の初期状態から，適当な時刻まで適当な⼊⼒を加えることで，状態を零とすることができるか？

可観測：有限時間区間の出⼒および⼊⼒から初期状態を⼀意に決定できるかどうか？

参考⽂献システム／制御／情報

2012 VOL.56 NO.4: 初学者のための図解でわかる制御⼯学Ⅰ 特集号

2011 VOL.55 NO.5: 制御系設計・解析における数値計算／数式処理

ソフトウェアの活⽤ 特集号