141
L A T E X ε y O x y 1 x 1 =

cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�������� ������

����� �� ���� �� ��� �� ��� �� ���� ����

������� �

�� ���� ����

��� � �� LATEX �ε

��

��

� �

����� ����

Page 2: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

ii

�������� ������

Page 3: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

����� ��� ������

��������� ������� ix

��� �������� �

I �� ������ �������� �

� �� ��� ������� ���������� ���� ������� ��� �� ���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������ ������������� ��� �� ����������� ��� ���� � � � � � � � � � �

��� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����! "�� ������� �#� �$����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��! ������ �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� %��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� "����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� ���������� ����� "��������� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!

����� ��� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!����� &�'����� �� ���(������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)����! *������ �#� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+����) ,��������� �#� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-

��� %���'����� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� ������ �� �������� ����������� � '���� ��. �� �������� � � � � � ������� %���'����� �#� '����/ ������ �� �� 0��� ��0��� � � � � � � � � � � �1

��! "��������� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� �� ������ ���������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� *������ �#� ����� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!��!�! 2�����(���'��� � 3��� ��� '������� �#� ������ � � � � � � � � � � �!��!�) 4����� ��������� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)

��) ,.� ������ �#� ��'����� � �.� �� '������� � � � � � � � � � � � � � � � � �)��+ &�'������ ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+

�$�� 5��� 6������

Page 4: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

iv 4,7�8 %89 &,4�: 89

��+�� &�'����� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-��+�� &�'����� �� �������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-��+�! 8.����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��- "���������� � ��'����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����-�� "���������� ��� '������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !1��-�� "���������� ��� '����� ��. �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � !���-�! "���������� ��� ������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � !���-�) "���������� ��� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�

��� "��������� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !������ *������ �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !!����� ������ �� �������� ���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � !)����! ������ �� �������� �� �� ��'������� � � � � � � � � � � � � � � � � � !)

��� "��������� ����3��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !+����� &�'����� ���� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !+����� ,.� �� ����� ����������� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � !-����! &��3���� �� ��������� ����3��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�

�� 7��� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )��� �� 7��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )��� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�

� ���������� ���������� ���� ������� �������� ��!�� &����������� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))

!���� 9����� ���������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))!���� 9����� ��������� �������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))!���! 9����� �������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))

!�� &����������� ��� �������� ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))!���� %����� �� ��0���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )+!���� 6�������� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )+!���! ������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )+

!�! ��� �������� ��������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )-!�!�� �������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )-!�!�� �������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +1!�!�! ,�������'��� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +�

!�) ������ �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +-!�)�� �'����0�����;����'����0����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +-

!�+ "������ �#���'����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +-!�- 6���3� �� ������ <����3� �� �������= � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +�!�� 93��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +�

!���� 93��� ��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + !���� 93��� ��������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -1!���! 93��� �#��3������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -1!���) 93��� ��3�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�

!�� "�� �������� ��� ������� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�!� 4����� ��� ������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -)!��1 "3�>��� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -+

�������� ������

Page 5: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

4,7�8 %89 &,4�: 89 v

!��1�� "3�>��� �� ������� �'����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -+!��1�� "3�>��� �� ������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � --!��1�! "3�>��� �� ������� �����.�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�!��1�) ������ �#3$����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -

� ���������� ��� ������� ��������� ��)�� ���� �� ��?��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)�� %��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

)���� ,����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���! &����� �#�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

)�! "����������� ��� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �))�!�� ,����� �������� ���������� �� �.�������� @ Σ � � � � � � � � � � � �))�!�� ,����� �������� �� ����� � @ ������� � � � � � � � � � � � � � �)

)�) &����������� �#�� ����� ������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � �))�)�� "�� �#�� ����� ������� @ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �+)�)�� "�� �#�� ����� ������� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

)�+ &����������� ����� �#� �����0�� �#������ �������� � � � � � � � � � � � ��)�- &����������� ���0��� �#� �����0�� �#������ �������� � � � � � � � � � � � ��

)�-�� 8����0�� ��� ������ �������� �.����� �� � �$����� �������� � ��)�-�� 4����� ��� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�-�! "�� ��� ������ �������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � �1

)�� ��� ���� �� "����0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���� &����������� ����� ��� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � ��)���� "�� � ����� �'� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!)���! "�� � ����� �'� ��3����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �))���) "�� � ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-

)�� &����������� ���0��� ��� ������ �������� �� ����� � � � � � � � � � � � � �-)���� �������� � ��'������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���� �������� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

)� ������� ��'������� ��� �� ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � ��)� �� ������� ��'������� ��� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)� �� ������� ��'������� ��� � �$����� �� ����� ��������� �� ��� ������ ��'����0��� �#� ������ �)� �! ������� ��'������� ��� ��� �����A�B���� � � � � � � � � � � � � � � � � �

)��1 4����� ��� ������ ����������0��� ��� ��� �������� �������� ������ � � � 1)��� ���� �� ��� ����������� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !

� �������� ��+�� ��������� ������� �#� �$����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�� ������� C���������� �� �� 9������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

+���� ������ �#�����0�� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+���� 2���� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

+�! 43������� ������. ���� � ������� ����������� �� �� ������� � � � � � � �11+�!�� 43������ �� �� ��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �11+�!�� 43������ � ������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �11

�$�� 5��� 6������

Page 6: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

vi 4,7�8 %89 &,4�: 89

+�) 8.����� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+�+ 43������ ��� ������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+�- ������ �#����������� �� �#3$����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+�� 9������ ����3��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1!

+���� D$���3��� E ���0���� ���� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �1!+���� 2����0�� �#� �$����� ����� @ � �������� � � � � � � � � � � � � � � �1)+���! 2����0�� �#� �$����� ����� @ ! �������� � � � � � � � � � � � � � � �1)

+�� ,�A0������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+� &��3��� �� ��������� �#� ���0���� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � �1�

II ������� ��

� ����� � ���,�� ������ �� 0������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

,���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���� 7������ ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

,�� ������ �� '����/ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�! 7���/ ������/ �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

,�!�� 7��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�!�� 7��� ���3������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�!�! 7��� ���3������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�!�) 7��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!,�!�+ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!,�!�- ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)

,�) ,������� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��),�)�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��),�)�� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)

,�+ ������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�! ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�) ���(����� �#� '���� �� � ������ � � �.� � � � � � � � � � � � � ��+,�+�+ "3�������� �� 0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-

,�- ������ '������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-,�-�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-,�-�� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�-�! ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�-�) �� ��0�� ������ '������� <C����� �� 6�00�= � � � � � � � � � � � � ���

,�� ������ ��.�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���! ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

,�� �� ��'����� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ,� &����� �#� ������� ��� ������� @ � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1

�������� ������

Page 7: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

4,7�8 %89 &,4�: 89 vii

,� �� ������� �#� ����� A @ � ����� B � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1

! "� ��� � ���7�� "3��� �� '���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!

7���� "3��� ������(���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!7���� "3��� �����$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!

7�� 4����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)7���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)7���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+

7�! ��'������� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+7�) F��������� �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-7�+ 2������� �����. �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

7�+�� ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�� ,.� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�! &����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�) %��������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�+ ��� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

7�- ��� ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�-�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7�-�� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

7�� ��� ������� @ ��������� <��������= � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7���! 9���� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�$�� 5��� 6������

Page 8: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

viii 4,7�8 %89 &,4�: 89

�������� ������

Page 9: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

����� ������

�����������

Rg (O, �xg, �yg, �zg) ���������� ������ ��������

(O,�x) ,.� ����� ��� �� ������� (O,�x)(�i,�j,�k

)7��� ���3������� ������ ������ ��� ��� '����� �i/ �j �� �k

Ri

(O,�i,�j,�k

) ����� �#������� O �� ����� ��� �� 0���

(�i,�j,�k

)Σ 9$����� ��������

Σ 8.������ � �$����� �������� Σ

Si 9����� ������ ���������0�� Si

qi ��������� ����������� ���������� �� �$�����

ψ,θ,ϕ ,����� �#8���[d−→Udt

]Ri

%���'�� � '����−→U ��� ������� � ������ t ������'�����

� ������ Ri

�����������

−−−−→V(P/Rg) *������ � ����� P ���� ��� ��'����� ��� ������� � ��A

��������� �������� Rg

−−−−−→Ω(Si/Rj) *���� ��. �� �������� � ������ Si ��� ������� � ������Rj

P

{V(S/Rg)

}4����� ��������� � ������ S �.����� � ����� P ������� ��'����� ��� ������� � ����������� �������� Rg

−−−−→Γ(P/Rg) ,��������� � ����� P ���� ��� ��'����� ��� �������� ����������� �������� Rg

�$�� 5��� 6������

Page 10: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

x �������� ��������

−−−−−−−→V g(I∈S1/S2) *������ �� ���������� �� I �� S1 ��� ������� @ S2

P

{V(S1/S2)

}4����� ��� '������� ������'�� �� S1 ��� ������� @ S2 �.������ ����� P

�n ,.� ������ � ����� ����� ��. �������

�t ,.� ������ ���� �� ���� ������� � ����� ����� ��. ��A�����

� ����� �� �������

(M,

−→F)

,���� �������−→F �������� � ����� M

−−−−−→M(P,−→F ) &����� ���� � ����� P �� �#����� �������

−→F

P

{F(Σ→Σ)

}4����� ��� ������ �������� �.�������� @ Σ �.����� ������ P

−−−−−→R(Σ→Σ) �������� ��� ������ �������� �.�������� @ Σ

−−−−−−−→M(P,Σ→Σ) &����� �������� � ����� P ��� ������ �������� �.��A������ @ Σ

M

{F(Σ→Σ)

}4����� ��� ������ �������� ���������� @ Σ �.����� ������ M

P

{F(S2→S1)

}4����� ��� ������ �������� �� S2 �� S1 �.����� ������ P

−−−−→R(1→2) ������ �� ����� � ������ S1 �� �� ������ S2

−−−−→T(1→2) ���(����� ���� �� ���� ������� � ����� ��

−−−−→R(1→2)

−−−−→N(1→2) ���(����� ��'��� �� ������� � ����� ��

−−−−→R(1→2)

�������� ������

Page 11: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

���������

���������

�������� E <����� E ���������/ ��� E ��������/ �� �����/ ��3���= E 2��� �����'������ �� ��� ���� �� �#�����0��� "���� ��������� ��������� �.����������� ��� �#�� ������ �������� �3������ �3$������ �� ������� ������� <� ��������= ������ ��� ��������'���� E

G �� �������� <���� ��� ��������� �#�����0��=/

G �� ���������� <���������� ��� ��'������/ �������������� ��� ���� �� ������'�����=/

G �� �������� <����� �� ����� �� �� ��������� ��� ������/ ���� �� ���� ��� ����������0��� @ �� �$������=/

G �� ��������� <��������� ����� ��� ��'������ �� ��� ���� @ �#������� �� �.A�=�

,����/ �� ������� ������� �.��� ��� ���������� ������� �� �������� ������ �� ��������� �� ��'�����/ �� �����/ �� '������/ �#�������/ �#����������/ �� ����� � �� �����

��� ��B������ �������� �� �� ������� ��'��� H��� �0����� ��'��� ����� �����3����B������� E

G �� ������� ��?��������/ �'� �� ���������� '��������� � ��'�����/

G �� ������� ����$���� ��'������� ��� �������� �'� �� ���������� '���������������� ���3�������/

G �� ������� ������'�����

�� � � �������

��� ��������

�#������� �� �� ������� �� ������ �'� �� �������� �� �#�����H� �� ��� 3������������ �. �3�������� �������/ ��� �. ��3����� �#��� ��� ���0������ %�� �#��������/�� ��������� ��������� ���������� �� ��������� �� �� ������ �#����� �� ��� ������/���� �� ����� ��� ����� �.�/ �� ����� ����� �� ������ �� ������

�� �������� 0���3� �� �� ������� @ H��� ������ ���� �������� ��� �� �������/ ���B��/ #��� �� ��������� �� ���� �����'���� ��� ������� ��� ��� ������� �� ����� �� �� ���� ��������'���� �� ������ "���� ��������� ��� ���� �. ���'�. �#���������/ �� �������� �� �������� ����� �� ���'���/ ���� ��� 0���� �� �#�����0�� ��� ���� I������� �� ����� �� �������

�$�� 5��� 6������

Page 12: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

� ����������

� ��'���� "���� ������� ��� ��3���� ������� <�����/ ���� ������/ 0������/ ��'���= ������������ �. ���0����� ������ �� ����������� � ��� � ����� ���� ����� ������� ��������� ��������� <�� ������ �� ���� ��� ����� �0�����=�

�� �$������ �#��� ����� ��� �0(�� �� ���������� �� �� ��� ��� ��'������ J ����������� @ � ��K��� ���0���� ��� ��� ������� ��� ��� ��������� �3������3���� ��� ��A'��� �����'������� 5��#� &�$�� L��/ �� ������� �� ��������������� ����� ��� �� �������#��� � �/ ����� ������� � ���� �� ��� ��������� �� ��. �$��� �� ��'������ E M��A����N � M'������N�

�� ��'����� '������ �0����� ���� �� �� ��� �� � ��� �B�� �� �� ������� ������/�� ���� ��� �� ����������� �� ����A�� �� ��'����� ������ ��� ������ '��� �� ��� ��������� ���� E ����� ��� ���� ����� ���0���A��� '��� �� 4���� ������ �� ��� ������ ������� '����� ���� �� ��'����� ������ ��� ���� �������/ ������� H��� �#�� ����� ��� ����������/��� � ��'����� ������� ���� � ����� �� �#O��'���� �� '������ �#� �0(�� ������#� ��'����� '������ ��� ��������������� @ �� ���� �������� ��� �� ����� ��������0��� ��'�����/ � ������� ������� �� '���� (��#@ �#����'�� �� 6�������

*��� �� P�*� �����/ �� ��������� �'� ���� �������/ �#�(��� ��� �� �0����� @ ��������� ���� �#���� �/ ������ ���������� �������� @ ��� ��� ���� �� ��'�����/ ����A�H�� ���� �� ��'����� �� ������0�� �� �#���>��� <������� �� 3��= � 0��� ���#�B��0��� <���� �#� ��'����� '��� �� 3��=� "�� ������ ��� H��� �#������� ������ <3����� ����= � '������ <������ �� � ����=�

�� ����� ����� �������� �� P*��� ����� �� ��� ��3��3�� ������������ �� ��������/����� �����/ ������ �� �� ������� ��� '��� ���� ������>��� �� ��'����� �3������ ����.������ �� ��'����� ��� �����

��� ������� �� ��������

�#�'������� �� �� �������� ���������� �� �#O��'��� ����� �� ����� �� �� ��������'� ��� ������� ����������������/ ����� �������������� �.������ @ ���'��� �� ��������#�������� ������� ������ �� 1638 �� �� ��'����� �#� ���� �� � ���� 3���Q����� ����������/ �� ���� ����� � ����� �� ������� ��� �� ����� �������� �� 1644� %#���� ����/������� ������ @ ��������� �� �� '������ �#� ���� �� 3�� ��0�� ��� ������������ � ������� � ����/ � �� ��� �� ����������� �'� �� ������� ������������� �� �� �$�������

�� ������������� ��� �������� �� �� ������� ��� ������������� �� @ �� !��� "�#$ ��/ �� �0���� ���� � ��� �'����� ��� ��� ����������. �� �� �3$���� E ��� %������������ ����� ��������� �� ���� ��� <1687=/ �R ���� ������� ��� ������� �� �����/ �� ��������� ��'�����/ �� ����� <������/ ���������=� %� �H��/ "�# �� �������� � ����� ��� ����� �0���� �� ����� ��� �������� ����������. �� �#�������/ �� �#������� ��� ��������������� ����� �� �� M�������� ������������N �.������� �#������� ����� ���� �� ����'���� �� ������� �� ��'������ 9�� S'��/ �������/ ��'������ � P*���� ����� �� �������������� �� ���� �� ������� ��������

, ������ ��� %�������� �� ����� �� P*���� �� �� P�P� �����/ �� ���0��. ��'���� �� �������������� @ ����� ��� ���������� �� �� �������/ ��� ��'��� ���� ����� ����� ��� �����#&����/ �� ���������/ �� ������� <��� �� M���� �#�������N �� �� ����� �� ��� 3����������� �����������=/ �� '������ <��� �� ���0�� �.������� � ������ �� �� �$������=/ ��%���� �� �� %���� <��� ���� ����� �� ������� ��� �������=�

�������� ������

Page 13: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

���������� !

��� ��'��� ����� �� ��'���������� �� �� ������� ����$���� �'� � ������ ���0������� ��� ���� �(����)�� �� ��)! �#� �'���� ������� �� �#���� ��� ��'������/�� ��� �� ���� ��� �����/ ������ �#�� (�� �0����

"���� ��������� ���'� ��� ����� �� ������ ���� �#���0������� � ��� ��B�������� ������ �#������ ��� �������� '������������ ��'������� @ �� �� � P*��� ����� �� �������/�� ���� �� ��� ���0�� ��� �� ������� �� ������� ����� �� %����� *��� �� +����� ��<��))=�

%� ��T�� ��������/ ��� �������� '������������ �������� �� �� ���(������ ��'�� ��� ����� �� ��'����� ��� ���� �� ���� �������� �� ������� ������� ������������ �� ���'�����/ ����A� ����� ������������ �.������ ��� �� ����� �#�� ����������

8� ����/ *�,���,� �0��� � �'���� ���������/ �� &������ ����$����/ �� ��������� ����� ��� ��� �� �� ������� �� ������� ����� ���� �� � ��'�� �������'�����������/ ��� �� �#���������� � ������� ��� '������� '�������� �� �� ��� �� �(����)�� ��� ���� ������ ������ ��� �������� �� �������� ��� �������� ��� �� '������ ��� �������� �R����� �#���������E 3$����$������/ ���� '�0��������

"���� ���3��� ���� ��������� ��� ��� ���'�. �� �� -������ �. /���� �� <��!)=/ ������������� �� ��'���� ����� ���� ������� <����� ���������� �� ��� �������� �� ����� ������= ��� �������� ��������� ��� �$������ �����'�����J �����A� ������ ������� ������������ ��� ���� ����)� <��)�=� "� ���������� ���� @ �� 0��� ��� ���'�. �� �3$���������� �� *��� �� ���,���/ �� �'������ �� '��� @ �� ������� ��������

�� ������ �� ���� �� �� ����������

������ �� '������ ��� ���� ��� ���3� �� ���� �� �� ������/ ��� �������� �� �� ��A����� ������� �� ���� ��� '���0���� �� ��� ����� �������� ��� ���� �� �� �������������'����� �� ��B����� ������������ ����� �� ��. �3������ ������ ���� �� ��������� ������� 8� ������� �������/ �� ����� ��� � ��������� �������� ��� 3��� �0���'�A���J ����� �� ���� �� �3����� �� �� ������'���/ �� ����� ��� �� '����0�� � �H�� ����� ����� ���������� �#����� �� �� �� �#���� ��� �� �� �H�� ������� ��� ��� ��� �0���'�������� ������� ����������� �� �� ������'���/ ����� ��� ��)�� &�� ��� �� 1905/ ������ ���� '������ �� �� ������ ��� �� �������� ������������ �� �#O��'��� E ���� �� ������ ��� ���#�0���'���� �� �� �� '������ @ ������� ���A� �� ������� �� '������ �� �� ������ ��������� ������ ������3����0���

��� ���� �� �� ������� ������� ���� ��������� ����� �� ����� ������ �#�� 3��3� @��� �������� @ ��� �$������ ���� �#����� ��� �� �#����� �� <� ��������� @= �� �������� ������U <h = 6,63 · 10−34J.s=� F� ����� �� ���� �� ������� �� �� ������� �������� O��$����� �3$���� ��� ����� �� ������� ������� ��� �� ������� ���3������� ����������� �#����/ ���� ��� '����0��� ���� ��� ���������� �� �� �����/ �� �� ������� �����#����������� ��������� @ �� ���������� E ����� ��� ������������� �3$����� � �$�����<'������/ �������/ ������ ���������= ��'��� �� H��� ��������

������ ���� � ����

"� ��0��� �#��� ��� �.3����� �� ������ �������� �� ���. ����� ���� �� ����������� � ��� ������ �3$������ �� ��� ���� �'���� �� ������� (��#@ ��� (����

�$�� 5��� 6������

Page 14: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

) ����������

��� ���� �� ��������� ���� �� ����

,�3����� A��� A���5��� 7����� �!11 �!+�������� �� *��� �)+� �+� ������ "������ �)�! �+)!4$3� 7��3� �+)- �-1�6������ �+-) �-)�5�3����� V����� �+�� �-!1 ��� %������� �+ - �-+17����� ����� �-�! �--�"3������� D$���� �-� �- + �0��� D��U� �-!+ ��1!���� ��?��� �-)� ����5���� 7������� �-+) ��1+5��� 7������� �--� ��)�%����� 7������� ��11 ��������3��� 8��� ��1� ���!5��� �� ��� %#,���0��� ���� ���!"3����� ,����� "����0 ��!- ��1-5����3A���� �������� ��!- ���!5���A7������� *����� ��)- �������� ������� ���� ��+ 9����� %���� ������� ���� ��)16������ 6���'� �� "������� �� � ��)!"3����� 6���'� 5��0� ��1) ��+�9�� W������ �?�� D������� ��1+ ��-+5��� 7������ ���� C���� ��� ��-�5�3� W������ 9����/ ���� �$����3 ��)� � � D���� ������� ��+) � ��,�0��� 8������� ��� � ++

�������� ������

Page 15: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�������� �����

�������� ��������

�$�� 5��� 6������

Page 16: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z
Page 17: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

������ �

����������� �������� ����

������ ������

L � 0� �� � 3������ ��� �� ������ ��� 0���� ������������� ���������� �� ������ ��$����� �������/ �� �� ��������� ���� �� 0� �#������ ��� ��'����� �� ��������

��� *�� '������� ��� �� �� ��������� ������� ��� �� !��� "�# �� �� �-���

��� ������������

��� �����������

,�� �� ����� @ 0��� �� ���� �� ������� �������� �� � ����� �������� � �� ��$����� ��������/ ��� ��'��� ��� �.�� � �$����� �� �������� ����� ��0���� ���/ �� ������������ �� ����>��� @ ��� ������� �� �������� ������ �� 3�� ��� ������ � �$����������� "� ����������� �� ������ E

G �#� ������ �#����� <! ����������=/ ����� ��� � ����� �� �� 0��� '��������� (�x,�y,�z)/G �#� ������ �� ����� <� ���������=/ ����� ��� �� ���� �� ����� �� � ������� ��������

�� ������ �#����� ������ ��� ��'������ �� ������� �������� ��� ��� @ �� 0��� EG ���3�������/ �x ⊥ �y/ �y ⊥ �z/ �z ⊥ �x/G ������/ ||�x|| = ||�y|| = ||�z|| = 1/G ������/ �x ∧ �y = �z�

�� ��� ��'���/ �� ����������� ������ ���� ������ �� ,������� � �#�)��� �� ���� Rg� "���������� �� ����������� �������� ����� ����� ��� �� �������� ��� �� ��?��� <����� )/ �� ��=�"���� ������ �� ����������� �0��� ��� ������� @ �0����� �'� ��� ��������� �3$����� ����� @�� 4����/ ���� �� ��K��� ��� ��� ������� @ ���'�� � ����������� 1�2����� ,�������3��� �#���� @ ������ ��� �.�����/ ��� ������������ ���������� �� �� ��0�������� �� ���� ������������/ ��� �.�������� � ������ �� C���� � ����3��� <��+� A ���������� � ������ �#����������= �� �� ��'������ '��� �#��� �#� ���� �� 3�� ��0�� <��+� A ���� �� ���� ���+� � E ��'������ �� �/�+ � '��� �#��� �� @ "�������= �������� �� �� ������������ �� ������� ����������

�$�� 5��� 6������

Page 18: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

� "3������ � A ����� ���� ��� ������ ���� �(�� � ��� �� �����

%#���� ����/ ��� ����������� ������� �� �#�.������� �� �#��'��� �X � 7��A0���������� @ ���'�� �� �H�� �� ������ �� "������ �#��� ��� ������������ 6��������

&����� ���/ �� ����� ������� ������� �� 0����� �����.�������� � ����������� ���������

"�#� �� $ ����� % �&��� �'����0���� ��� �� �������� "����� � ������ ! ������� �.����0���� ��� �� '������ "����� �� �� ����� ! ������� �.����0���� ��� �� ��)��� ���� ���� @ �� ����� �� �� 4���� C�.�� ��� ������� @ �� 4����

"�� ��B������ ������������ ���� 3�0���������� ������� ��� ����� ��� ����� �� ���A���� ���������

�������� � ��� ��0���� ��� ����� �(�� ���4���� �� ����� ��� ��� ���,�� ���0������� ������ 5 �� ��0���� ��� ,������� � �,������ ,�������.

�� !������� ��"������� #��� �� ��$�������� $��� ����

�(�(�(� )���� ��� ��

F� ������� ����� �������� ��� ����� �� �#����� �B��� �#� ����� �� ����� ���������

�(�(�(� ����� ���$� ��*�

O� ������ ���������0�� ��� � �����0�� �� ������ ��������� M ���� �� ������� �������. ������ ������� ����� ��'������� ���� �� �����/ �� � ���� �� ������ ��� �������������� ���������� F� �������� ���� ������ ��� � ���� � ����� �� ����������������

�(�(�(� ����� ��� ��

O� ������ �������� ���/ ��� ���������/ � ������ ���������0�� ���� �� ����3� ������� �� ����� ���������

�(�(�(� ������� ��� ��

F� ������� �$����� �������� ��� �����0�� �� �������/ 3������� � ���/ �� ������������� � ��� � ������ "� �$����� �������� ��� H��� ������ �� ������� �������A��0��� ���� ���� �� I���� <��Q �(���� ��� � ����� � � �'���/ �$������ 3$��������=�"� �$����� ��� ����� ��� �� ��������� <����� �.������� � �$�����=�

��� ����������

��� ������/ ���� ���� ������/ ���0��� ������ 3����� ��� ���������� @ ������� ������������� � �$����� �������� ��� ���/ ��� ������ ������ � �� �� ��� ������ <������� ��������= ��� ������ ��'��� ����������� @ � �$����� ���������

�������� ������

Page 19: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� %����� ��,�

� � �� $���� ��������

,�� �� ������ ������������ �� �������� �#� ����� �������� & ���� � ����������� ��������Rg/ ��� �'��� 0����� �� ����� �����������

"�� ����� ���������� �� ��'��� H��� ���� ��� ������/ ���� ��� �������� ���� ��������������� ��� ���������� � ������

"�� ���������� ��'��� H��� EG ����������� (x,y,z)/G $��������� (r,θ,z)/G ��3������ (ρ,θ,ϕ)�

M MM

z

θx

u u

ϕ

y

ρw

zr

θ

zg

yg

O

ggx

gyO

gz

g

O

x

gy

g

x

z

��� ��� G ��������� ��������� ��������� �� ������ �� ������ ���� ����

"� ����������� ��� ����������� ���� �� �� �#� ����� ��������/ ���� �� ��� �������� @ ����������� �#� ������ ��������� ��� ������ ����$�� �� ������ �� ���� �� ������ ��� �������� ���������� � ���������� �������������

� �� ������ ��������

G

(S)

O

xg

zg

yg

z

y

x

��� ��� G �� �� ����� ��������

�� ��'����� �#� ������ ��� ������� @ � ����������� ��� ������������ ��� �� ������>� �� ��'����� �#� ������ ��� @ � ������� �� ��� ��� ��� ����>��� @ 3���

�$�� 5��� 6������

Page 20: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1 "3������ � A ����� ���� ��� ������ ���� �(�� � ��� �� �����

������� �� �������� �#� ����� � ������ <������� � ������ E ! ����������= �� �#����������� ������� ���� �� � ����� <�� ������� �#������� E ! ����������=�

!� 0�� ���� �� ��6���� �� 7 ������ �� ���� ������ � ������ �� ��� ����(�� ����� ��� �(�����.

�(�(�(� +�� ��&�� ��,��

9��� Rg (O, �xg, �yg, �zg)/ � ����������� ������ ������������ ������ ������ �� �� �#� ������ S ��������� � ����� �.� O ���� �� �����������

�������� Rg <�� � ������� �$��������=�9��� R (O,�x,�y,�z)/ � ������ ��� � ������ S��� �������� � ������ S ��� ������� � ����������� Rg ������ �� ! ���������� ��������

<����������� � ������ S ���� � ����� O=�8� �B��/ ������������ @ � ������ ��0�� ���� �#�����/ �� �������� �#� ��� ������ �

������ <�� �#������ O= ��� ������������ �������� ������ ���� ����������� �� S ���� �� O/ ��� ��'��� ������� ��B������ �$������

�#������/ � �$����� �������� ������ ��� ��� ��� ��,�� ������� ���� <�����/ ��������� ����=/ ���� ����� ��� �� ������� � '��/ � �� ����� �� ������� ��������� %�������� ��/ ��� ���������� ��� ������ �#8��� E ψ/ θ �� ϕ�

ϕ

θ

θψ

ψ

z yw

ϕ

x

u

v

gz

gy

gx

O

��� ��! G ��������� �� ����� �������

��� ������ ������ �� ���������� �� �������� ��� �$������ �#�.�� ��������������� 9���(O,�u)/ �#����������� ����� ��� ����� ( �xg,O, �yg) �� (�x,O,�y)/ ������ ��,�� �� �8�� <��������'����� ���� ������ �� ������� ��������=�

G ψ = ( �xg,�u) ��� �#����� �� �������� ����� ���� �� �zg/

�������� ������

Page 21: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��! "� ��� �� ������ ��

G θ = (�zg,�z) ��� �#����� �� �� � ��� ����� ���� �� �u/

G ϕ = (�u,�x) ��� �#����� �� �� � ��� ������ ����� ���� �� �z�

−−−−→Ω(S/Rg) = ψ · �zg + θ · �u+ ϕ · �z <���=

"� '���� ��. �� �������� �#��� ��� ������0�� ���������� ��� ��� ���� �� �������/�� ��� �� ���(���� ���� �� ��� ��B������� 0���� �� ��� �'��� @ ����� ������������

�� ���(����� ���� �� 0��� ������� @ Rg

−−−−→Ω(S/Rg)/Rg =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(θ cosψ + ϕ sin θ sinψ

)· �xg(

θ sinψ − ϕ sin θ cosψ)· �yg(

ψ + ϕ cos θ)· �zg

�� ���(����� ���� �� 0��� ������� @ R

−−−−→Ω(S/Rg)/R =

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

(θ cosϕ+ ψ sin θ sinϕ

)· �x(

−θ sinϕ+ ψ sin θ cosϕ)· �y(

ϕ+ ψ cos θ)· �z

!� ���(����� ���� �� 0��� ������������� �� ���� (O,�u,�w,�z)

−−−−→Ω(S/Rg)/Resal =

⎧⎪⎨⎪⎩

θ · �uψ sin θ · �w(ϕ+ ψ cos θ

)· �z

� % ��� ������� �&�� �'��(�� ��������

9��� � �$����� Σ ������ �� � ������� �� �� � ������ ���������/ �����/ �� ��� � ��.�A�� �� N ���������� ��� ������ ���������� �� ��'����� � �$������

N = 6 · s+ 3 · q <���=

��� ������ � ��������

%��� �� �������/ �� ��'����� �#� ������ ��� ��'��� ������ �#�� ������� � �#������� 8� �B��/ � �$����� ������� ��� 0��� �� � �����0�� �� ������� ������ ����� �.�� ����� ����� �� �������� ������ ��'������ ������ ����� �������0����

��� �.�����/ � ������ ���������0�� ��� � �$����� �������� ������ �#�� ������� �������� ��������� ������ ����� �. ��� �� �������� ��'���� E �� ������� ����� ��. ������ ������� ���������0�� ����� �������� � ��� � ������

�$�� 5��� 6������

Page 22: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ � A ����� ���� ��� ������ ���� �(�� � ��� �� �����

�%� )�"�������

O�� ������� ��������� @ �� ����������/ �� ���������� � �� �������� �� ��� ��'�A����� � �$����� <���������� �� '������ � �� ��������=�

��� �������� ���������� �#Y��� ��� ������ �� ��0����� @ � �$����� ���������8���� �� ���������� ���3����������� ��� ��� ��������� <�������� � ����������= ��A

����� ��� ���������� ��������� � �$������

�% ������" �����

�(�(�(� -����#���.�

O�� ������� ��� ���� ���������'� �� ���� � ��'����� ������� ��� ������� ���������� @ �����������/ �� �#������� ��� ��������/ ���� ��� ����������� ���/ ���� ��� ����������� '����.�

�(�(�(� ����� .���.�

��� ����������/ �� ������� �����'���'� ��� �� ������� �� ��������� ��� ������� <����� ����������=� ��� ��������� ������� ������� �������� ���� ������� �����'���'��

%#�� ������� ��� ��3��������/ ��� ��'��� ���� �#�� ������� �������� ����� ��.������� ��� ���������� ��� E

G ��� ������ �� ����� �������������� ��������� �� ���������0���/G ��� ������ ���� ��������� �����'��

�������� � *� ������ ��������� ���0�� � � �� ������ ������� ��������9 ���� ����������� �� 5 �� ����� � �� ��� �,� ��������� ����. +��,�� ����9 ��� � ���������: ��,��������� �� ��� �� ������� ��� ���� � ������� �.

�������� ������

Page 23: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

������

��������

L � ��������� ��������� @ �#���� ��� ��'������ �� �$������ ��������� �������A������� ��� ���� ����� �� ��'������� �� 0� �� ���� ����� ��� �� ����������

�� �������� �������� �� �$������ �� �#�� ������ �� �������� ����� �� ��� ��� ��� ��'����� ����>��� �� '������ �� �#���������� @ ��� �������� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� '������ �� �#���������� �� ������� �� �������� �#� ����� �#����� ���� �� ������'�A���� @ � ������/ ����� ������� ��� ���� �� ������ ���������� � �$����� �� ������������������ �� ���������� ������������ �� �������� �� ��� ����� @ ��� ��������

��� ��������� �� ����

�� ��� ������������

�(�(�(� -/������

��� �'��� ' ����������� <����� �/ �� �= �� �#�����0�� �#� ������ �#����� <@ !����������= �� �#� ������ �� ����� ������� � ������������

"� �����������/ ���� ��� ��� �#������ ���� ����� �������� ���������� �� �#����� ������ ��� ���� �� ��������� �� ��� ������ ������ ��� 3�������� ���� �� ��(����� ����� �#������� � ����������� ������ �� ��������� ��� '������ �� ��.���� ����� ���� ���� �� �$������ ��� �#�����H� �� � �$�� �� ����������� �0����

�(�(�(� 0�#� �

�� ������ 3���� ��� ��(��� ���3������ ����� ��� ��'������ �� �������� O� ��������� ������� E

G �#� ����� �#������� O/

G �#�� 0��� ���3������� ������ ( �xg, �yg, �zg)�

�� �������� �#� ����� M ��� ������ ��� ��� ���������� <�����������/ $���������/ ���3������=� F� ������� �����

−−→OM ��$�� '���� � ����� M � '���� �������� � �����

M ���� �� ������ (O, �xg, �yg, �zg)�

�$�� 5��� 6������

Page 24: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�) "3������ � A ������ ����

M MM

z

θx

u u

ϕ

y

ρw

zr

θ

zg

yg

O

ggx

gyO

gz

g

O

x

gy

g

x

z

��� ��� G ���������� ���������� ���������� �� �������

−−→OM = x · �xg + y · �yg + z · �zg

−−→OM = r · �u+ z · �zg

−−→OM = ρ · �w⎧⎨

⎩xyz

⎧⎨⎩

x = r · cos θy = r · sin θz

⎧⎨⎩

x = ρ · cos θ · sinϕy = ρ · sin θ · sinϕz = ρ · cosϕ

<���=

� ��������� �� ���*� �����

�(�(�(� -/������ ���1������� �� ���.�����

F� ������� ��'����� ��M ���� ���������� �� R −→ R3 ��. ���� ����'�0�� @ ����'�������� ������ �� @ �� '����0�� t ���� ����������� � ����� M �� �#����� R3 ��������� ������ Rg (O, �xg, �yg, �zg) E

t −→ −−→OM (t)

0M

M

gx

gyO

gz −−−−−→V(M/Rg)

��� ��� G ��������� ���� ���� ��������

��� ���������� �� M ���� E

−−→OM = x · �xg + y · �yg + z · �zg =

⎛⎝ x(t)

y(t)z(t)

⎞⎠

Rg

�������� ������

Page 25: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ������ ���� �� ���� �+

�(�(�(� " �2����� �

F� ������� ���(������ �� M �� ��� ��� ��������� �����'�� ����� ��� �� ����� M���� �� ������ Rg ������ �� ����� t '�����

�������� � �� � ��;�� ���� � ���� ����� ���� ���� 5 �(����)�� �� ��� ��� ������� �� 4�� ��� ��� ���

−−→OM �� ���� �� ���. &��� ������ ���� �� ������ � ���� <

�% ������� �&�� $���� ��������

�(�(�(� -/������

�� '�������� �� �������� �#� ����� M ���� � ����������� R ����� ��. �������� ������������� ��� �� '������ �� � ����� M � �� '���� '������ ��� ����� ���3��������������� ����� �� ����'�� ��� ������� � ����� � '���� �������� �� M �

−−−−−→V(M/Rg) =

[d−−→OM

dt

]Rg

<���=

�� '���� '������ ��� ��(��� ������� @ �� ���(������ � ����� M @ �#������� ���������

�������� � !� �6� � ��� ��=������ �� �� �������� ��� 4� �� ��� ������ 5 �� ������ � �6������ ��� 4� �� ��� �� )�� ���� 5 �� ������.

�(�(�(� ��������� 3 4����

F� ���� ����B�������� E−−−−−−→V(M∈S/Rg) = −−−−−−→

VRg(M∈S)

�����#�� �#$ � ��� �#��0��Z�� �� �� ������ �#�����������/ �� ��� ��������� �#������ E

−−−−−→V(M/Rg) = −−−−→

VRg(M)

O���� 9��� E m.s−1

O����� ������ E km/h/ �S��

�(�(�(� ���#������� �� � .������

F� �� 0��� ���� � ����������� ������ �������� Rg (O,�x,�y,�z)/ �� ��� ����� ������� ���A������� �$��� �� ���������� ��� ������ ��� ���������� �� �� '������ �#� ����� ���������

,� ��� ������ �� ��������

−−→OM = x · �xg + y · �yg + z · �zg

⇒ −−−−−→V(M/Rg) =

dx

dt· �xg + x · d �xg

dt+dy

dt· �yg + y · d�yg

dt+dz

dt· �zg + z · d�zg

dt

�$�� 5��� 6������

Page 26: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�- "3������ � A ������ ����

�� d �xg

dt = d �yg

dt = d �zg

dt = �0 �� ��� '����� �xg/ �yg �� �zg ���� ��� '����� �������� �.������ Rg/ ��� ���� ��� ����������� �� t�

⇒ −−−−−→V(M/Rg) =

dx

dt· �xg +

dy

dt· �yg +

dz

dt· �yg = x · �xg + y · �yg + z · �zg

�� ����� x ������� �� ����'����� ��� ������� � ����� �#�� '����0�� �� ����������������

,� ��� ������ #��� ��

−−→OM = r · �u

g

g

r

u

v

θ

θ

M

gz

O

y

x

−−−−−→V(M/Rg)

{�u = cos θ · �xg + sin θ · �yg

�v = − sin θ · �xg + cos θ · �yg

��� ��! G ���������� ������

[d�u

dt

]Rg

= −θ sin θ · �xg + θ cos θ · �yg = θ · �v

⇒[d�u

dt

]Rg

= θ · �v ��[d�v

dt

]Rg

= −θ · �u

⇒ −−−−−→V(M/Rg) =

[d−−→OM

dt

]Rg

= r · �u+ r ·[d�u

dt

]Rg

= r · �u+ r · θ · �v

�+ � ��������� �&�� $���� ��������

�(�(�(� -/������

�� '�������� � '���� '������ �#� ����� M ����� ��. �������� ��� ���������� ��� ��'���� �����������

"� '���� ���������� ��� ����� ��� �� �������� ��'���� E

−−−−−→Γ(M/Rg) =

[d−−−−−→V(M/Rg)

dt

]Rg

<��!=

�������� ������

Page 27: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ����4� ��� 4�� ������� ��

�(�(�(� ��������� 3 4����

F� ���� ����B�������� E−−−−−−−→Γ(M∈S/Rg) = −−−−−−→ΓRg(M∈S)

�����#�� �#$ � ��� �#��0��Z�� �� �� ������ �#�����������/ �� ��� ��������� �#������ E

−−−−−→Γ(M/Rg) = −−−−→ΓRg(M)

O���� 9��� E m.s−2

�(�(�(� ���#������� �� ���� �����

,� ��� ������ �� �������� �� ������������ ��� �������� @ ��� ������ ��� ������� '������ E

−−−−−→Γ(M/Rg) =

[d2−−→OMdt2

]Rg

= x · �x+ y · �y + z · �z

,� ��� ������ #��� �� #���� ��� ��������� �� �#�.�������� �� �� '������ �� ����'��� ����� � ��������3� �������� E

−−−−−→V(M/Rg) = r · �u+ r · θ · �v

�� ��� �K� ��� �� ����'�� E

−−−−−→Γ(M/Rg) =

[d−−−−−→V(M/Rg)

dt

]Rg

= r · �u+ 2rθ · �v + rθ · �v − rθ2 · �u

F� ���'� ��� �� '���� �� �#���������� �#� ����� ���������� �� ���������� �������������� E

−−−−−→Γ(M/Rg) =(r − rθ2

)︸ ︷︷ ︸

����������� ������

·�u+(2rθ + rθ

)︸ ︷︷ ︸

����������� �����������

·�v <��)=

��� ����!����� !�������

%��� �� ������ ���������/ ��� �'��� ����� �� ��'����� �#� ����� M ��� ������� @� ����������� Rg �� ����������� ��'��� '����� E

G ��������/

G '������/

G �����������

"���������� ��. ������� R1 �� R2 �� ��'����� �#� ��� ������� @ �#����� 8.����A�A����� ��������� �� ��� ���������� �� ������ ��� ������������� ���������� �#� �����M ��� ������� � ������ R2 �. ������������� ���������� �� � �H�� ����� M ���������� � ������ R1[

�$�� 5��� 6������

Page 28: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ � A ������ ����

M

1

x1

O1

O

y

z2

2y

x2

1

2

z

�� �.���� �� �������� ������ ��� � �� ��� ��� '����� ��������� E �� �������� �� "3������

−−−→O1M = −−−→

O1O2 + −−−→O2M <��+=

��� � �� ��� ��� '������� �� ��� �����������/ ��� ��'����� ��������� '��� �����'����� ��������� ��� ��������� � �� ��� ���� ��\� �. ��������� �� � ��������3��

8���$��� �� ���������� �� �������� �� ���������� �� '������ �� ������� �� �� ����������������� <��� ��+/ �� ��=�

−−−−−→V(M/R1) =

[d−−−→O1M

dt

]R1

=

⎡⎣d(−−−→O1O2 + −−−→

O2M)

dt

⎤⎦

R1

−−−−−→V(M/R1) =

[d−−−→O1O2

dt

]R1

+

[d−−−→O2M

dt

]R1

= −−−−−→V(O2/R1) +

[d−−−→O2M

dt

]R1

<��-=

��� ��� �����'��� ��������� @ � ���0����/ �� ��� �� �� ����'�� �#� '������0��� ���� � ������� ��� ���/ ��� ��'��� ��������� ������� ������� �� ������ ��������� ��� �� ���� E

G �� '���� ��. �� �������� � �������� �����������/

G �� ������ �� �� 0��� ��0����

� #����� �� �������� ����������� �� �� ���� ���� �� ��������

�(�(�(� ��� �������� �� �/������

�� ������ R2 (O2, �x2, �y2, �z2) ��� ���3������ ����� ��� ��� ��������� E

⎧⎨⎩

‖ �x2‖ = 1‖�y2‖ = 1‖�z2‖ = 1

⎧⎨⎩

�x22 = 1 ⇒ �x2 · d �x2

dt = 0 ⇒ d �x2dt = γ · �y2 + δ · �z2

�y22 = 1 ⇒ �y2 · d �y2

dt = 0 ⇒ d �y2

dt = σ · �x2 + α · �z2�z2

2 = 1 ⇒ �z2 · d�z2dt = 0 ⇒ d�z2

dt = ξ · �y2 + β · �x2

%� ���/ �� �������� ��� �������� ��������� �� @ ��'�� �� ���� �� �� ������ ����

�������� ������

Page 29: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ����4� ��� 4�� ������� �

���3������/ �� ���'� E⎧⎨⎩

�y2 · �z2 = 0�x2 · �z2 = 0�x2 · �y2 = 0

⎧⎪⎨⎪⎩

�y2 · d�z2dt + �z2 · d �y2

dt = 0 ⇒ ξ = −α�x2 · d�z2

dt + �z2 · d �x2dt = 0 ⇒ δ = −β

�x2 · d �y2

dt + �y2 · d �x2dt = 0 ⇒ σ = −γ

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

[d �x2dt

]R1

= γ · �y2 − β · �z2[d �y2

dt

]R1

= α · �z2 − γ · �x2[d�z2dt

]R1

= β · �x2 − α · �y2

F� �������� ����� �� '���� ����−−−−−→Ω(R2/R1) �� ���������� (α,β,γ) ���� R2�

���� ��� � >� �� �−−−−−→Ω(R2/R1)9 �� 4�� ��� ��6 �� �� � ��� �� �� � ��� �� �� ���� ��

������ R2 ��� ������ 5 R1 �� ��� ?

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

[d �x2dt

]R1

= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �x2[d �y2

dt

]R1

= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �y2[d�z2dt

]R1

= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �z2

<���=

�� 4�� ��� ����� ���� �� ���4���� �� �� � ��� �� ������ R2 ��� ������ �� ������ R1.

������ � �

@ 1���� ��� �� �����3 ?−−−−−→Ω(R3/R1) = −−−−−→Ω(R3/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1)

@−−−−−→Ω(R2/R1) = −−−−−−→Ω(R1/R2)

@ ��� �� �� �(�� ������ �� ����� ��� ��� ������ 5 �(�� ��9 �� 4�� ��� ��6 �� �� � ���� ���.

�(�(�(� ���� �� .����� ���' �� ������� ���� �� ��� # ������

9��� R1 � ������ �.��9��� R2 � ������ �� �������� �#����� θ �� �#�.� (O,�z1) ���� �� R1�F� ������ ��� ������� �� ��������� ��

−−−−−→Ω(R2/R1) <��� ���/ �� � = E[d�z2dt

]R1

=[d�z1dt

]R1

= 0 �� �z2 = �z1 ��� ������� ���� R1.

F� [d�z2dt

]R1

= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �z2 = �0

%��−−−−−→Ω(R2/R1) �� �z2 ���� �����������

⇒ −−−−−→Ω(R2/R1) = λ · �z1 = λ · �z2

�$�� 5��� 6������

Page 30: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1 "3������ � A ������ ����

θ

θ

1y

x

O

z1

1

y2

x2

⎧⎨⎩

�x2 = cos θ · �x1 + sin θ · �y1

�y2 = − sin θ · �x1 + cos θ · �y1

�z2 = �z1

F� ������ ����� �� �������� �������� ���������� �� '���� ��. �� �������� E

[d �x2

dt

]R1

= −θ sin θ · �x1 + θ cos θ · �y1 = θ · �y2 = −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �x2

⇒ θ · �y2 = λ · �z2 ∧ �x2 ⇒ λ = θ

��� ��'��� ��� �� ������ �� �������� ������ ���������� �#����� �� '���� ��.�� �������� �#� ������ R2 ��� ������� @ � ���� ������ R1�

���� � � 5 ����� ���' �� ������� �� ������� ����������6%��� �� ������ R2 �� �� � ��� ����� �(��,�� θ � �(�6� (O,�z1) �� ��� �� R19 ��� ���4��

������ �� 4�� ��� ��6 �� �� � ���−−−−−→Ω(R2/R1) ��� �� ���� ��� ��4�� � ?

R1�������� (θ, �z1)−−−−−−−−−→ R2 ⇒ −−−−−→Ω(R2/R1) = θ · �z1 <���=

�������� �−−−−−→Ω(R2/R1)9 4�� ��� 4� �� �� � ��� �� �� ���� �� 4�� ��� ��6 �� �� � ���

�� R2 ��� ������ 5 R1 ���� ��� ?

@ ��� � ����� ���9 �� ����� ��� �� �(�6� �� ��� ������ R2 ����� ��� ������ 5 R19

@ ��� � �����9 �� 4� �� ��,������ 5 �������� � 0�� �� � �� � ���9

@ ��� �� ��9 �� �� �� �� � ��� A��,�� �� ���$)������B.

)��������� �&�� �� ����, ������� �� �� -��� ��-���

9��� R1 �� R2/ ��. ������� �� ��'�����/ �� ����>� �� '���� ��. �� �������� �������� R2 ��� ������� @ R1 E

−−−−−→Ω(R2/R1)�

9���−→V � '���� ��0�� ����� ��� ��� ���������� ���� R2 E

−→V =

⎡⎣ uvw

⎤⎦

R2

�������� ������

Page 31: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��! ������ ���� �� ����� ��

��� ������ @ ������� ����$�� �� ���������� �� ����'�� � '����−→V ��� ������� �

����������� ��� @ R1 �� �������� �� '���� ��. �� ��������−−−−−→Ω(R2/R1) E[

d−→V

dt

]R1

=du

dt�x2 +

dv

dt�y2 +

dw

dt�z2 + u

[d �x2

dt

]R1

+ v

[d�y2

dt

]R1

+ w

[d�z2dt

]R1[

d−→V

dt

]R1

=

[d−→V

dt

]R2

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ u · �x2 + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ v · �y2 + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ w · �z2[d−→V

dt

]R1

=

[d−→V

dt

]R2

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−→V

F� �0����� ��� �� �������� ��'���� �� ��� ����������� ������ �� 7�3� � �������� �� 0��� ��0����

���� � � 57� ��� �� � *��� ��*��6%��� �� 4�� ���

−→V ��� �� ������� � �� ������ ��� �� ������ R2 � ��� ���

�������� 5 ����4�� ��� ������ �� ������ R19 ��� ���4�� ������ ��� ?

[d−→V

dt

]R1

=

[d−→V

dt

]R2

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−→V <�� =

"���� ������ ��� ������ �� ����� �� ����'�� �#� '���� ��0�� ���� � �������

��� ��������� �� �����

��� �'��� ����� ���� ��� ��������3�� ��������� ��� ��'������ �� ��� ����������������������� �#� ����� �������� ���� �#������

"�� �������� ���� ������������ ��� �#���� � ��'����� �� ��������� ��� �������� ��'����� ��� ��B������ �0(��� �� ��� ��������/ ��� ������ ��������� �� ��'�������������

%� �� ������ ���������-��

�(�(�(� -/������

O� ������ ���������0�� ��� � �����0�� �� ������ ��������� M ���� �� ������� �������. ������ ������� ����� ��'������� ���� �� �����/ �� � ������ �� ������ ��� �������������� ����������

,��������/ #��� �� ������������� 8� �������/ ��� ������� �0������ ��� ������������ ��'��A��0��� <���������= � ����'����0��� <���������= ��� �#�B�� ��� ������ �������� �.���������

∀t, −→AB2 = Cste <���1=

�$�� 5��� 6������

Page 32: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ � A ������ ����

B

S

A

O

g

zg

yg

x

��� ��) G ����������� ���� ����� ������������

��� ������� ��� �� ���������� ����� ������ ���������0�� �� ������ �������0�� ��'����� �$�� �#���� �� ��� �������� ������ ������ ��� ��� ����������� �. ������������ ���. ���������� �0��� ��� �� ������/ ��� ���������� � ������ �� ������ �������0�� J ��������� �������� �� ���� �� ��������� � �� �$������/ ��� ��������� �� ������ �������� ���������0���

�(�(�(� 0������� ���������� ���� ����� ���$� ��*�

9��� S � ������ ���������0�� �� ��'����� ��� ������� @ � ������ R (O,�x,�y,�z)�9����� R1 �� R2 ��. ������� ���� @ S �������'����� �� O1 �� O2�

� �

� �

� �� �

� �

� �� �

� �

�� �������� �� "3����� �������� �. ��������� ������������ ����� E

−−−−→Ω(R2/R) = −−−−−→Ω(R2/R1) + −−−−→Ω(R1/R)

F� ���� R2 �� R1 ���� ���� � ������ S/ �� �#$ � ��� �� ��'����� �����0�� ����� R1

�� R2 ��� E −−−−−→Ω(R2/R1) = �0

F� �� ����� �� �� '���� ��. �� �������� � �������� ����������� �#� ������ ��� ����� '���� �������� ����������� �� �#������� ��� ������ ��� @ � �������

∀R1,R2 ���� @ S−−−−→Ω(R2/R) = −−−−→Ω(R1/R) = −−−−→Ω(S/R) <����=

�������� ������

Page 33: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��! ������ ���� �� ����� �!

�������� 8 � �� �� �� 9 �� 4�� ��� ��6 �� �� � ��� �� �� � ��� �� �� ����−−−−→Ω(S/R)

�(�� ����� S � �� ��� �� �� ���� �� ����� S9 �(� ���� �� ��4����� 4�� �����.

% ������� �&�� $���� �� ������

9����� A �� B ��. ������ �������� �#� ������ S �� ��'����� ��� ������� @ � ������R (O,�x,�y,�z)� 9��� �� ������ RS (A, �xS , �yS , �zS) ��� � ������ S �� ����� �� A�

9� �� 3��3� @ ����'�� �� '����−→AB �� �������� �� �������� �� ����'����� �#� '����

��0��� <��� �� / �� ��= E [d−→AB

dt

]R

=

[d−→AB

dt

]RS

+ −−−−−→Ω(RS/R) ∧−→AB

F�/ ���� RS ��� ��� @ S/ ����� E[d−→AB

dt

]RS

= �0 ��−−−−−→Ω(RS/R) = −−−−→Ω(S/R)

%#���� ����/

[d−→AB

dt

]R

=

⎡⎣d(−→OB −−→

OA)

dt

⎤⎦

R

=

[d−→OB

dt

]R

−[d−→OA

dt

]R

8� �������� �� ��������� �� �� '������ �#� �����/ �� ���'� ����� E[d−→AB

dt

]R

= −−−−−→V(B∈S/R) −

−−−−−→V(A∈S/R)

F� ���'� ��� �� �������� ���������� �� 3��� ��� '������� �#� ������ E

∀t,∀A,B ∈ S,−−−−−→V(B∈S/R) = −−−−−→

V(A∈S/R) + −−−−→Ω(S/R) ∧−→AB <����=

�� 3��� ��� '������� �#� ������ ��� ��� �����$��������

%% .���$��*� ������ �� /��$ ��� �������� �&�� ������

9����� A �� B ��. ������ �������� �#� ������ S �� ��'����� ��� ������� @ � ������R (O,�x,�y,�z)� ��� ��������� � ������ ���������0�� S/ ��� �'���

∀t, −→AB2 = Cste ⇒ d

−→AB2

dt= 0 ��

d−→AB2

dt= 2−→AB · d

−→AB

dt

⇒ 2−→AB · d−→AB

dt= 0 ⇔ −→

AB ·d(−→AO + −→

OB)

dt= 0

⇒ −→AB · d

−→OB

dt−−→AB · d

−→OA

dt= 0

�$�� 5��� 6������

Page 34: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�) "3������ � A ������ ����

� � � �

��� ��+ G �������� ������ ����������

"� �� ����� E∀t,∀A,B ∈ S,

−→AB · −−−−−→V(A∈S/R) = −→

AB · −−−−−→V(B∈S/R)

��� �����'��� ��� �� �������� �#������(���'��� � 3��� ��� '������� �#� �������"���� �������� ��� ����� ������������ ��� ����� �� �� ��������� ����3����

�� ���������� �� �� '������ �#� ����� �#� ������ �� � ��. �� �������� � ������������ �� ����>��� �� '������ �� ��� ��� ������ �� � ������� �� 3��� ��� '������� �#������� ����� ������(���� �� �����$�������/ � 3��� �� '���� ��� � 3��� �� �������� ������� ��� ��'��� ��� ��������� �� ������ ��� '������� �#� ������ � ����������������

%+ 0������ ���������� �&�� ������

O� ������ ��� �� ������ �� ��. �������� �� ������� E �� ��������� �� � �������%��� �� �� � ������ ��������� �#� ������/ �� ����� ��� ���������/ �� '���� ��.�� �������� � ������ �� ��� �� ������ �� '������ � ����� �������� � �������

8� �B��/ �� 3��� ��� '������� �#� ������ ����� ������(���� �� �����$�������/ �� ��A������� 0��� � 3��� ��� ������� �#� �������

%#���� ���� �� '���� ��. �� �������� �#� ������ ��� 0��� ��'������/ ��� �� ���� ������� � �� �#�.������

F� ������ �� ������ ��������� � ������ S ���� ��� ��'����� ��� ������� @ ������� ������� R (O,�x,�y,�z) E

{V(S/R)

}=

M

{ −−−−→Ω(S/R)−−−−−−→V(M∈S/R)

}<���!=

�� ���������� �� � ������ �� � ����� ������ �� ����>��� �� '������ �� ��� ��������� � �������

��" #$ ������ � �� ���!��� �� �$ � !�������

9��� � ������ S �� ��'����� ��� ������� @ � ������ R (O,�x,�y,�z)� �� ��'����� ��� ������ ��� ������������ ���/ �� ��� ����� ��� ��� ������ ��������� � ����� A E{

V(S/R)

}=

A

{ −−−−→Ω(S/R)−−−−−→V(A∈S/R)

}

�������� ������

Page 35: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��+ +��4���� ��� ������� �+

���� ��� � >� ������� ���� ��� ��� �� ���4���� �� S ��� ������ 5 R9 �� ���� C �� ���

−−−−−→V(C∈S/R) �� ���������� 5

−−−−→Ω(S/R). *� 4� ��−−−−−→V(C∈S/R) �� ���� ��� ��� C � ��������

A���� ��� ��� �� ����� ��� �� �� �� �� �� � ���B.

9� �� ����>� �� ������ ��������� � ������ S � ����� A/ �����/ �� ������ ��\� @ ���3����� ��� ������� �� E

−→AC =

−−−−→Ω(S/R) ∧−−−−−→V(A∈S/R)

−−−−→Ω(S/R)2

+ μ−−−−→Ω(S/R)

��� '�����−−−−→Ω(S/R) ��

−−−−−→V(A∈S/R) ����� ������ ��� � ������� t �����/ ��� ��B������

������ �����. C ���� �������� �� �� ������ �� '���� �������−−−−→Ω(S/R) ������� ��� ��

����� H ��� �� E

−→AH =

−−−−→Ω(S/R) ∧−−−−−→V(A∈S/R)

−−−−→Ω(S/R)2

"���� ������ Δ ��� ������� �.� ������ � ��'����� �� S ��� ������� � ������ R/ ���#������� ���� �.� �� '������� �� S�

��� '�����−−−−→Ω(S/R) ��

−−−−−→V(A∈S/R) ��'��� '����� @ ��� �������/ �� �������� �� �� �.� ���

������� @ S � ��� ������� @ R ��� '����� @ ��� �������������� �� ����� t '����/ �#�.� Δ �������� ���� �#����� ��� @ S �� ���� �#����� ��� @ R

��. ������/ �������� �.�Z��� � ��'������

��% &��!���� ����������

8� ������� �� �� '���� ��� �������� �� ������� � ������ ��������� � ������ S/��� ��'��� ������ � ������ ���0�� �� ��'������ ���������� ��� �� ������ S�

%��� �� �� �� ��� ������� �����0��/ �'�−−−−−→V(A∈S/R) = �0 ��

−−−−→Ω(S/R) = �0/ �� ����� ����'����� 3����Z��� ���������� ���� �� �#�.� Δ� 8� �B��/ �� ��� ��������� �� '������� ����� A �� ������� �� ���� �� C/ ����� ������ E

−−−−−→V(A∈S/R) = −−−−−→

V(C∈S/R) + −→AC ∧ −−−−→Ω(S/R)

�'� E

G−−−−−→V(C∈S/R) '���� ��������� @

−−−−→Ω(S/R)

G−→AC ∧ −−−−→Ω(S/R) '���� ���3������ @

−→AC ��

−−−−→Ω(S/R)

�� 3��� ��� '������� ��� ��������� @ ��� �� �#3���� �#� �'���/ �� ������� [AA′′]������������ @ �#3���� �� �#�'���� �#3���� ����� @ �� '������ �� ��������

−−−−→Ω(S/R) ��� �������

@ �#�'��� ��−−−−−→V(C∈S/R) ��������� @ �� '������ �� ����������� �� �#�'��� <��������� @

−−−−→Ω(S/R)=�

"� ��'����� 3����Z��� ��� ��� ���������� ��−−−−→Ω(S/R) ��� ������0�� �� '����� @ ���

�������/ �� ����� ���� �� ��������/ � �� �����>����� �� '�������� �� �#�.� �������

�$�� 5��� 6������

Page 36: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�- "3������ � A ������ ����

� � �

� � � �

� �

� � � � � � �

� � � � � � �

� � � �

� � � � � � � � �

� � � �

� � � � � �

� � � � �

��� ��- G ��������� ����� ��� ���������

�� ��������� �� �����������

��� ���������/ �� ������ S ��� �� ��'����� �� ����������� ��� ������� � ������ R ���� �������� �� ��� '���� ��. �� ��������

−−−−→Ω(S/R) ��� ���"� �� �������

∀M ∈ S, ∀N ∈ S,−−−−−−→V(M∈S/R) = −−−−−−→

V(N∈S/R)

%��/ ��� � ������� �����/ ��� ��� ������ � ������ S ���� �B���� �� �� �H�� '��������� ������� � ������ R�

"� '���� '������ �#��� ��� ������������� ������� ���� �� ��������� ��'��� ��������� ��B������ �$��� �� ����������� E

+� � �������� �����&�� 4�� ��� ������ �� S ��� �� ���(������ ��������� ��� �������@ R �� �� �H�� '���� '������ @ � ������� ����� <� '���� �#� ��� ������ �#H����������=�

+� � �������� �����&�� ���$� �� 4�� ��� ������ �� S ��� �� ���(������ ������������ ������� @ R �� �� �H�� '���� '������ @ � ������� �����/ � '���� '������ ������������ ���� �� ������

+� � �������� �� ���� � 4�� ��� ������ �� S ��� �� ���(������ ������� ��� �������@ R �� �� �H�� '���� '������ @ � ������� ������

� ��������� �� �������� ����������

��� ���������/ � ������ ��� ����� �#� ��'����� �� �������� ���������� @ �#������� t/�� �� �������� ��/ �� '���� '������ ��� ������ �����. C � ��'����� �� S ��� �������@ R ��� �� @ �#������� t� %��� � ��/ �� ������ ��������� �� S �#���� E

{V(S/R)

}=

C

{ −−−−→Ω(S/R)−−−−−→V(C∈S/R) = �0

}

�������� ������

Page 37: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��- ������ ��� �� ���4���� ��

%��� � ��/ �#�.� ������ Δ � ������ ��������� �#������� �.� ���������� �� ��������/�� �� ����� ��� ������������� �� �������� �.� ��� ������� @ S �� @ R�

��� ��� ����� P ����������� @ S �� ��� ��� ����� C ����������� @ �#�.� ������/ ����� ����� E

−−−−−→V(P∈S/R) = −→

PC ∧ −−−−→Ω(S/R)

F� �����'� 0��� �� �������� ��������� ����������� �� �������� � ������ S ����� ����� C�

�������� � +��4���� �� �� � ������ �� �� �� �(�6� ��� ��� Δ �� � �6� �� ���� �� ��� ��� ������ 5 S � 5 R9 ��

����� S � �� ���4���� �� �� � ��� ��� ������ 5 R �� ��� �� �(�6� Δ. ����9 ��� ����9 �� �� ���� �� S �� ��� ��;�� ���� ���������� �� ��� �� �(�6� Δ � �� 4�� ��� 4� ���� �� ���� �� S � ��,�� 5 � ��;�� ���� ���������� � � ��� ����� ������ �������� 5 ���� ���� ������ �� ���� �� �(�6� �� �� � ���.

�% 1���$��

�� ���������� ����� �A������ ������ �#����� � �'���� ���� �� ����������� ��3����� ������� �� ���3������ �� �� 3���� ��� �B���� ��� �#���� �� ������ O� '���� �#���A��0���� �������� ��� �� �#��� ������� @ 1/�1 &��/ ������ � �B��� �� ������� �� ����� ���� 3����� �#��������� ��������� �#���� �� ����� �� ��� �������� �� '���� �#�����0����/�� �#���� �� ���� �#� ��'����� �� ������ � �� �������� ��� ����� ��'�����������0��� ���� ������ ����������� ��� �#�'����� �� �3��� �A������ <��� ���/ �� ��=���������� � ������ � ���������� ���� �� �������� �������/ ���� �� �� ����� �� ����/ ��3���� @ �������� <�� �#������/ � ������� �#�3��������/ ����� � ������ �� ���'�$��=�

F� �� ������� �#�B���� �� ���� ��������� � ���������� ���� ���� �H�� ��A������/ ������� ��� ���������� �� �� �3��� ��������� ����� �A������ <��� ���/ �� � =�

&�'����� � 0��� �������� � ��� ������� @ � E

&�'����� � 0��� ������� ! ��� ������� @ � E

&�'����� �� �� ���� �� '���� ) ��� ������� @ - E

&�'����� �� �� �H�� + ��� ������� @ � E

��' ��������� �� ���!���

��� �$������ �������� ���������� ���� ��'��� ������� �� ������� ������� ���� ������. ��� ��� �������� <��� �� ��� ������ ]=� ��� '������ �#�� ��� ����Q ������ �� ������������� ������� ���������� �������� ����� ��� ��B������ ������� �������� �� �$�����/ �� �������� @ ������ ������ ������ �� ������� ����������/ ����� �� ��� �������� ������������ ��� ��������/ ����� �.�

�$�� 5��� 6������

Page 38: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ � A ������ ����

��� ��� G !���� �� ���� � �� ���� �������

�������� ������

Page 39: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��- ������ ��� �� ���4���� �

��� ��� G !���� ���������� �� ���� �������

�$�� 5��� 6������

Page 40: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!1 "3������ � A ������ ����

2� ���$������� ��� ��������

F� ���� S � ������ �� ��'����� ��� ������� @ ��. ������� �������� R1 (O1, �x1, �y1, �z1)�� R2 (O2, �x2, �y2, �z2)/ �� ��'����� �#� ��� ������� @ �#����� 9��� R (A, �xS , �yS , �zS)/ � ��������� � ������ S� F� 3��3� @ ���'�� �� �������� �.������� ����� �� '������ �#� ����� P������� �� S ����� ���� ��� ��'����� ��� ������� @ R1 �� ��� ������� @ R2�

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �

� �� �

��� �� G ��� ������ �� �����

��� ���������/

−−−−−−→V(P∈S/R1) =

[d−−→O1P

dt

]R1

=

[d−−−→O1O2

dt

]R1

+

[d−−→O2P

dt

]R1

−−−−−−→V(P∈S/R1) = −−−−−→

V(O2/R1) +

[d−−→O2P

dt

]R2

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P

−−−−−−→V(P∈S/R1) = −−−−−→

V(O2/R1) + −−−−→V(P/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧

−−→O2P

9� �� ���� �� '������ ��� ������� @ R1 � ����� �Z������ @ P ��� @ R2 @ �#������� t����� �� �������� �� �������� �� 3��� ��� '������� � M������N R2/ �� ���'� E

−−−−−−−→V(P∈R2/R1) = −−−−−→

V(O2/R1) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P

F� �0����� ��� �� ������ �� ���������� ��� '������� E−−−−−−→V(P∈S/R1)︸ ︷︷ ︸

������ �������

= −−−−−−→V(P∈S/R2)︸ ︷︷ ︸

������ ������ �

+ −−−−−−−→V(P∈R2/R1)︸ ︷︷ ︸

������ ����������

<���)=

�� 4� �� ���� �4� ��������� @ �� '������ � ����� P ���� �� ������ �#������� R2� ��4� �� �(�� ��C����� ��������� @ �� '������ � ����� P ∗ �.� ���� R2 �� �Z������ �'�P @ �#������� t ��� ������� � ������ R1�

%��� �� �� ��� ������� �#� ������ ����������� @ � �$����� @ n ������� ��B������ ����'����� ��� � ��� ������� �. �����/ E

−−−−−→V(∈R/R1) = −−−−−−→

V(P∈R/Rn) + −−−−−−−−−→V(P∈Rn/Rn−1) + · · · + −−−−−−−→

V(P∈R2/R1) <���+=

�������� 9 !� � � ���� ������� �� ���� �� ������ �� �� 4� �� �(�� ���� �(�� ������� ���4���� ��� ������ 5 �� ������ ����������. >� ��� ?

@ �� � ����� �� ����� ��� �� 4�� ��� 4� ��9

�������� ������

Page 41: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��- ������ ��� �� ���4���� !�

@ �� �� ���� ��� �� ����� �� 4� �� �(�� �����9

@ �� ��� �� ���� ��� �� ������ ��� �� 4� ��.

*� ����6 �� �� �� ��=���� � �� ���� � 0��� �� 0��� ��� �� ���� 5 � �����...

2 ���$������� ��� �� ����� ���� �� ��������

��� �'��� ' ����������� <����� �= �� ��� '����� ��. �� �������� ���� ���� ������. ��� �� �������� �� "3������ %��/ ���� �� �� ������� �#� ������ S �� ��'����� ���������� @ � ������ Rn/ �� �H�� �� ��'����� ��� ������� @ � ������ Rn−1/ ����� �� ����(��#� ������ R1/ ��� ��'��� ����� �� �������� �� ���������� � '���� ������������������� � ������ S E

−−−−→Ω(S/R1) = −−−−→Ω(S/Rn) + −−−−−−−→Ω(Rn/Rn−1) + · · · + −−−−−→Ω(R2/R1) <���-=

2% ���$������� ��� �������� �����������

"���� �������� �#��� �#�� �������� �������� ��� ��. ��������� ����������/ �� '����'������ �� �� '���� �������� ���������� ��'��� H��� �������� ���� �� ������ ����������

F� ���� Si/ ��� n ������� �� ��'����� ��� �� ��� ������� �. ����� ���� �� ������ ������� Ri� 9��� S � ������ ������������� �� ��'����� ��� ������� �. ������ F������� �.����� �� '������ � ����� P ����������� @ S ���� ��� ��'����� ��� ������� @R1�

��� ��'��� ����� ����� E

∀P ∈ S,

{V(S/R1)

}={V(S/Rn)

}+{V(Rn/Rn−1)

}+ · · · +

{V(R2/R1)

}<����=

2+ ���$������� ��� � ����������

F� ������ ���������� ���'�� �� �������� ���������� �� ������ �#���������� �#� ������������� P ����� ���� � ������ R2 ��� ������� @ � ������ R1�

F� ���� �� �� ��������� �������� �� �#���������� �#� ����� E

−−−−→Γ(P/R1) =

[d−−−−→V(P/R1)

dt

]R1

=d

dt

[−−−−→V(P/R2) + −−−−−→

V(O2/R1) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P

]R1

−−−−→Γ(P/R1) =d

dt

[−−−−→V(P/R2)

]R1

+d

dt

[−−−−−→V(O2/R1)

]R1

+d

dt

[−−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P

]R1

−−−−→Γ(P/R1) =d

dt

[−−−−→V(P/R2)

]R1

+ −−−−−→Γ(O2/R1) +d

dt

[−−−−−→Ω(R2/R1)

]R1

∧ −−→O2P + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧

d

dt

[−−→O2P

]R1

F� ������ �� ������ �� �� 0��� ��0��� ��� ����� �� ����'�� ������'����� � ������R1 ��

−−−−→V(P/R2) �� ��

−−→O2P E

�$�� 5��� 6������

Page 42: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!� "3������ � A ������ ����

−−−−→Γ(P/R1) =d

dt

[−−−−→V(P/R2)

]R2

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−−−→V(P/R2) + −−−−−→Γ(O2/R1) +

d

dt

[−−−−−→Ω(R2/R1)

]R1

∧ −−→O2P

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧(d

dt

[−−→O2P

]R2

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P

)−−−−→Γ(P/R1) = −−−−→Γ(P/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧

−−−−→V(P/R2) + −−−−−→Γ(O2/R1) +

d

dt

[−−−−−→Ω(R2/R1)

]R1

∧ −−→O2P

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧(−−−−→V(P/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧

−−→O2P

)−−−−→Γ(P/R1) = −−−−→Γ(P/R2) + −−−−−→Γ(O2/R1) + 2−−−−−→Ω(R2/R1) ∧

−−−−→V(P/R2) +

d

dt

[−−−−−→Ω(R2/R1)

]R1

∧ −−→O2P

+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧(−−−−−→Ω(R2/R1) ∧

−−→O2P

)F� �� ����� ��������� �� '���� �� �#���������� �0���� E

−−−−→Γ(P/R1) = −−−−→Γ(P/R2) + −−−−−−−−→Γ����������� + −−−−−→ΓCoriolis <����=

�#����������−−−−→Γ(P/R2) ��� ������� ���������� ������'� �� P �

�#���������� �� "������� ��������� � ����� E

−−−−−→ΓCoriolis = 2−−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−−−→V(P/R2) <��� =

�#���������� �#�����>������ ��������� �. ������ ������� E

−−−−−−−−→Γ����������� = −−−−−→Γ(O2/R1) +d

dt

[−−−−−→Ω(R2/R1)

]R1

∧ −−→O2P + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧

(−−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P

)<���1=

��� '������ ���� �� ���� � ��� �� �#���������� �� �� ������� �#��� ��� ���� �A������ 8� �B��/ ��� �� ���������� �� �$������/ �� �K� �� ����>��� �������� ���(�������� �#���������� �#� ������

F� ��� ������� �� �#���������� �� �� '������ �#�����>������ ������������ @ �#�A��������� �� �� '������ �#� ����� P �������� ���� �.� ���� �� ������ �#�����>������−−−−−−−→Γ(P∈R2/R1)�

��( ��������� �� �������

9����� ��. ������� S1 �� S2 �� ��'����� ���� � ����������� �������� �(O, �xg, �yg, �zg)�F� ������ �� �� ��. ������� ���� �� ����� �� �� � ����� ��� �������9����� O1 �� O2 ��. ������ ��������� �� S1 �� S2�F� ��� ��������� � ����� �� S1 �� �� S2/ ����� ������ E

G I E ����� ���������� �� �����/

G I1 = I ∈ S1 E ����� �Z������ �'� I �� ����������� @ S1 � ������ �����/

G I2 = I ∈ S2 E ����� �Z������ �'� I �� ����������� @ S2 � ������ ������

�������� ������

Page 43: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ������ ���� �� ��� �� !!

πI

O

gx

gy

gz

−→t

−→n

−−−−→V(I2/Rg)

−−−−−−−→V g(I∈S2/S1)

−−−−→V(I1/Rg) −−−−−→

V(I1/Rg)

S2

S1

��� ���1 G ����������� ���� ����� ������ ����� ���" �����

��� ������� ���������� ��� ������� S1 �� S2 ���� ������� ���������� ����E{V(S1/Rg)

}=

O1

{ −−−−−→Ω(S1/Rg)−−−−−−−→V(O1∈S1/Rg)

}��

{V(S2/Rg)

}=

O2

{ −−−−−→Ω(S2/Rg)−−−−−−−→V(O2∈S2/Rg)

}

F� ��� ��� ����>��� �� ������ ��������� ������� �� ����� � ����� I ����� ���������� S1 �� S2 E{

V(S2/S1)

}=

I

{V(S2/Rg)

}−

I

{V(S1/Rg)

}=

I

{ −−−−−→Ω(S2/S1)−−−−−−→V(I∈S2/S1)

}

�������� � �� ��� �� ��� �� ���� ��� � ��� ������� ��� �� ���� ����. &� �=� 9�� ����� �(� �� �� ��������� ����0����)��9 �� ��0��� �� ��� �� � ��� ������. >�� ������ ���� �� �� ��� �� ����� ��������� ��0����)�� A4��� ����� �� �� �� ������� ���B.

3� ������� �� ����������

F� ������� '������ �� ���������� � ����� I2 ��� ������� � ����� I1/ @ �#������� t/ ��'���� ���� E

−−−−−−→G(I∈S2/S1) = −−−−−−−→V g(I∈S2/S1) = −−−−−−→

V(I∈S2/Rg) −−−−−−−→V(I∈S1/Rg) <����=

9����� R1 �� R2/ ��. ������� ���� �������'����� @ S1 �� S2�F� ��� �����'�� �� ��������� �� ���� '������ �� ���������� @ ������ �� �� �������� ��

���������� ��� '��������

−−−−−−→V(I∈S2/Rg) = −−−−−−→

V(I∈S2/R1) + −−−−−→V(O1/Rg) + −−−−−→Ω(R1/Rg) ∧

−−→O1I2 ��

−−→O1I2 = −−→

O1I1−−−−−−→V(I∈S2/Rg) = −−−−−−→

V(I∈S2/R1) + −−−−−→V(O1/Rg) + −−−−−→Ω(R1/Rg) ∧

−−→O1I1︸ ︷︷ ︸

−−−−−−−→V(I∈S1/Rg)

−−−−−−→V(I∈S2/Rg) = −−−−−−→

V(I∈S2/R1) + −−−−−−→V(I∈S1/Rg) ��

−−−−−−−→V g(I∈S2/S1) = −−−−−−→

V(I∈S2/R1)

�$�� 5��� 6������

Page 44: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!) "3������ � A ������ ����

F� �����'� 0��� �� ��������� �� �� '������ �� �����������

�������� �:

• *� 4� �� �� ,������ ��������� 5 �� 4� �� �� ����� S2 ��� ������ �� �����S1

�9 ���� �� ������ ���� �� �� ��0���� ��� Rg.

• *� 4� �� �� ,������ ����� ��� �� ���� ��,�� �� ��� �� π.

• >� �� ��� �� �������� �� 4� �� �� ���� I1 � I2 ��� ����4� ��� ����� � �� 4�� ������ ���

−→OI1 �

−→OI2.

−−−−−−→V(I∈S1/Rg) =

[d−→OI1dt

]Rg

&� �=� 9 �� ���� ��D������ �(� �� �� ���� ��� �(�� �� ��� �� ���4���� .

• >� � ���� �� ���� ��� �� ����� �� 4� �� �� ����� S1 � S2 ���� �������� ��4� �� �� ���� I ∈ S1 � I ∈ S2.

3 #����� �� ��������� ���� ����������

�(�(�(� ��������� �� ������� ���� &��������

O�� ������ ��(����� ��� ��������� ������� �� ��� (��� ��� 0���� �� �� �������������� �������� �� �������� ���� ���������� <��� �#�� '����� �� �� ����/ ����������/ ������ �������=� �� ����� �� ���� ����� ��. ������� @ ����� ��3����� �� ���������� ��� ������������ ��������

�� �������� ���� ���������� ���� �� ��� ��'��� �� ������������/ �� �B��/ �� �.������'��� � ���������� ������� ������� ����� ��� ��. ��������

��� ����������� �� �������� �3������ �� �������� ���� ���������� ��� �� �������'�����

���� � � 5��������� �� ������� ���� &��������6���6 ����� S1 � S2 �� �� ��� ��� ��� ������ �� �������� �� ,������ (�� ��

�� ��� �� ���� ��� � � �� 4� �� �� ,������ �� �� �� ���6 ����� �� ���� �� ��� �� � �����.

−−−−−−→G(I∈S2/S1) = �0 ⇔ −−−−−−−→V g(I∈S2/S1) = �0 <����=

"���� �������� ��� ���� ���������� ����#���� ��� ��������� �#�0����� �� �������� �������� ��'��� ���������� � �$������

3% #����� �� ��������� �� �� $���������

%� �� �H�� ��T�� �� ��� �'��� ������ �� '������ �� ���������� ���� ����� �� '������������'� ����� ��� ��. �������/ ��� ��'��� ������ �� ������ �� ��. �� �������� ������� ������� S2 ��� ������� @ S1�

�� �� ��� ��������� �� � � ����

�������� ������

Page 45: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ������ ���� ,�������� !+

−−−−−→Ω(S2/S1) = −−−−−→Ω(S2/Rg) −−−−−−→Ω(S1/Rg) <���!=

"� '���� ��� H��� ��������� �� ��. ���������� ���(����� �� �� ������� �

����� �n :(−−−−−→Ωp(S2/S1)

)�� �� �� ���� ������� π :

(−−−−−→Ωr(S2/S1)

)�

−−−−−→Ω(S2/S1) = −−−−−→Ωp(S2/S1) + −−−−−→Ωr(S2/S1)

−−−−−→Ωp(S2/S1) ; ������� ����������� �� ��'������� <��'��� �� �������=/ ��� ��'��� ������������� �#�������� �'� �� 3�������� �� �������� ��� ���� �#�� '������

−−−−−→Ωr(S2/S1) ; ������� ����������� �� �������� <��'��� �� ���� ������� � �����=/ �����'��� @ ��'�� ����� �#�������� �'� �� �������� ��� ���� �X � ����� �� ��'������

��) ��������� �������

*�� '����Q ��� �� ���� �� �� ��������� ����$���� ��� H��� �.��H������ �X������ ����� �� ���� ��� ��� �$������ ��������� �����.���

�� ��������� ����3��� ������ �� �#�B���3�� � ���������� ���3������� �� ������� ����$����� ���� ������ "���� ���3�������� ������ �� ���������� ����3�������<��� ���0� ��� �� ����]= ��� � ������ <��������/ ������/ ���� � �����= ��� '������� ��������� ��� ��B������ ������� �������� �� �$����� ������ &��3���������/ ���� ���3����#��� ��� �K����� ��� ������� ��� ��� ���0����� �� ��������� E

G �#�� ����/ ��� ���� �� ��������� ���� ��'��� ��� ���� ������0��� @ �� ������� ������� �� �$������ �/ �� ���� � �� ��� '����� ����$����� ���� ����������/

G �#���� ����/ ���� ���3��� �#��� ������0�� �� ���� �� �� �� ���0����� �����/

G ����/ ���� ���3��� �� ��� ����� �� ��� �������� �����������/ �� ��� ��� ��������#���� ����3��� ��� 3��� �������� �������������

"��������/ ���� ���3��� ������ �� ���������� ���������� ��� �������� ���� �����<���� �� �� �� �#���������� �� �#����� �����������= �� ������ �#������ ��� ��������� ���A�������� � ������� �#� �������� ���� ����� �� ������� ����$���� �#�����0�� ���������� �����������

4� ��������� $��� ��� $���

F� ���� S2 � ������ �� ��'����� ��� ������� @ � ���� ������ S1 ���� �� ������� ������ R1 (O1, �x1, �y1, �z1)� F� ���� R2 (O2, �x2, �y2, �z2) �'� �z2 = �z1 �� ������ ������ @ S2� F������� �#� ��� � ��'����� �� S2/ �� ���� (O2, �x2, �y2) ����� ���������� �������'� �� ���� (O1, �x1, �y1)� ,����/ �� ������ �� ��'����� �� S2 ��� ������� @ S1 �� ���� �������

�� ��� ��� ��� ������ �����������

�$�� 5��� 6������

Page 46: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!- "3������ � A ������ ����

8� �������� �� �� ��������� �A�����/ ��� ��'��� ���� �� EG ��� '����� '������� �� ��� ��� ������ �� S2 �� ��'����� ��� ������� @ S1 �������

���������� � ���� (O1, �x1, �y1) �� ��� �� E

∀M ∈ S2,−−−−−−−→V(M∈S2/S1) · �z1 = �0

G �� '���� ��. �� �������� �� S2 ����� ���������� ��������� @ �#�.� (O1, �z1)/ ������� ���� � ��'����� E −−−−−→Ω(S2/S1) ∧ �z1 = �0

8� �����/ �� ������ ��������� �� S2 ���� ��� ��'����� ��� ������� @ S1 ����0������������� �� �� ����� E

{V(S2/S1)

}=

M

{ −−−−−→Ω(S2/R1)−−−−−−−→V(M∈S2/R1)

}=

M

⎧⎨⎩

0 Vx

0 Vy

Ωz 0

⎫⎬⎭

( �x1, �y1, �z1)

�� ���� P (O1, �x1, �y1) ���� ������ ���� �� ����������

�������� �� *� �� ��� �� ���4���� ���� �� ���� �� � ��� ������� ���9 ��� ������� � � ��4�� )������� ��� ������6�.

4 ��� �� ����� ����������� �� ��������

���� ��� � %�� ����� ���9 �� ������� �6� �� �� ��� �� �� � ��� �� S2 ��� ������ 5S19 �(�6� ��� ��� �� ����� ������ ���� �� S2/S1.

F� ����{V(S2/S1)

}/ �� ������ ��������� �� S2 ���� ��� ��'����� ��� ������� @

S1/ ��� �� E {V(S2/S1)

}=

P

{ −−−−−→Ω(S2/S1)−−−−−−→V(P∈S2/S1)

}

��� ��������� �� �#�.� ������/ �#�.� ���������� �� �������� ��� �#�����0�� ��� ������ N��� �� E

−−→PN =

−−−−−→Ω(S2/S1) ∧−−−−−−→V(P∈S2/S1)

−−−−−→Ω(S2/S1)2

+ μ−−−−−→Ω(S2/S1)

"��� ����� �#�.� Δ �� '���� �������−−−−−→Ω(S2/S1) �� ������� ��� �� ����� I �����������

� ���� �� ��������� ��� �� E

μ = 0 ⇒ −→PI =

−−−−−→Ω(S2/S1) ∧−−−−−−→V(P∈S2/S1)

−−−−−→Ω(S2/S1)2

%��� �� �� �#� ��'����� ���� �� ����/ ��� �'��� ��� ��������� E

−−−−−→Ω(S2/S1) ·−−−−−−→V(P∈S2/S1) = �0 <���)=

�������� ������

Page 47: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ������ ���� ,�������� !�

F� ��� ���� �� �#��'������ ������� � ������ ��������� ��� ��� "�� ��� '��� ��� �������� �� S �� ��� �������������� ��� I�

F�/ ��� ��������� �� �#�.� ������/−−−−−−→V(I∈S2/S1) ���� H��� ��������� @

−−−−−→Ω(S2/S1)� 8� ����������� �������� <��� ���)/ �� !-=/ ��� ��'��� �� ������ �� E

−−−−−−→V(I∈S2/S1) = �0

�� ������ ��������� � ������ S2 ���� ��� ��'����� ��� ������� @ S1 �#���� ������ ����� I E {

V(S2/S1)

}=

I

{−−−−−→Ω(S2/S1)�0

}�� ��'����� �#� ������ �� ��'����� ���� ��� ��(��� H��� �������� @ � ��A

'����� �� �������� ����������� ���� � ����� ���������� �� �������� I � �� ��� �.����������� �� �������� Δ ������� ��� I �� ������������� � ���� �� ����������

���� ��� � E �(�� �� t9 �� �6� � �� ������ ���� I9 ������ �� ��� �� !� �� ��� ���� � ���9 �� ���� ��� �� �(�6� �� �� ��� �� �� � ��� � �� ���� �� ��� ��� ��� �� ��� ������� S2 �� �� ���4���� �� �� � ��� �� ��� �� �(�6� (I,�z1) ��� ������ �� ����� S1.

�������� �� ��� �� �� ,������9 �� ��� ��� �� ���� I � 4����)�� �� ���� �� ���.��� �� �� �(�� ���4���� �� �� � ���9 �� �!� � ���0���� �4�� �� ��� �� �� �� � ���

� �� �� � �6� �� ���� �� ���.F�� ����� ��� ���4�� � ������ �� ���� ������� ����� ��� �� � ��� �� �����

�����9 �� �!� �6� � ��� ��� �� � ��;� � 5 �(�����...

4% ���/���� �� ���������� ���$/����

O�� '������ ��� ����3������� ����������� ��� � �������/ #��� @ ���� �#� ����� �#��A��������/ �#� ����/ �#�� �������� �� �#�� ������ 8B���� �� ���� �� �������������3��� ��'���� ��'��� @ ���������� �� ����/ �� �������� �� �� ����� � '���� '��������� � ����� ������

��� ��B������ �� ������ �A������ ��'������ '�� ��������� �� '�� ������ �� ��� ������0����� �� ��������� ����3������

�������� �� *� ��� �� �� ��� ����� �� � �(��� � ��� �� ������ ���� ,�������� � �������� ��� ������� A� ���� �6� � ��;59 �� �(� ����� <B ��� �� �� ������� �� ����� �� 4�� ���4� ��.

9��� ��. ������� S1 �� S2 �� ��'����� ���� �#� ��� ������� @ �#�����

�(9(�(� " ��������

F� ������ �� �� ������ S2 ��� �� ����������� ��� ������� � ������ S1�,����/ ���� � ��/ �#����� �� ��������� �� �� �����������/ �� '������ �� ��� ��� ������

�� S2 ��� ������� @ S1 ��� ��������� F� �� ����� �������� �� '������ �� ��� ����� �� S2�"�� ��� '���0�� ��� ��� ��� �$��� �� ����������� <���������/ �������/ ���=�

�$�� 5��� 6������

Page 48: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!� "3������ � A ������ ����

� � � � � �

� � � � � ��

��� ���� G �� �� ����� �� ����������

�(9(�(� 0�������

�� ������ S2 ��� ������ �� �������� ��� ������� @ S1 ���� � ����� O� F� ����>� ��'���� '������ � ����� A� F� ���� �� ��� � ��'����� �� �������� E

−−−−−−→V(A∈S2/S1) = −−−−−→Ω(S2/S1) ∧

−→OA⇒ ‖−−−−−−→V(A∈S2/S1)‖ = ‖−−−−−→Ω(S2/S1)‖ · ‖

−→OA‖

F� ��� �� ������ ‖−−−−−→Ω(S2/S1)‖ <�� rad.s−1=� %#���� ����/

−−−−−−−→V(B∈S2/S1) = −−−−−→Ω(S2/S1) ∧

−→OB ⇒ ‖−−−−−−−→V(B∈S2/S1)‖ = ‖−−−−−→Ω(S2/S1)‖ · ‖

−→OB‖

%�� �� ������ ��−−−−−−−→V(B∈S2/S1) ��� ���3������ @

−−−−−→Ω(S2/S1) �� @−→OB� F� ��� ��� ��������

��������−−−−−−−→V(B∈S2/S1)�

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

� � � �

��� ���� G �� �� ����� �� ��������

�(9(�(� <���# �2����.��

F� ����>�−−−−−−→V(A∈S2/S1) �� �� ������ ��

−−−−−−−→V(B∈S2/S1)�

�������� ������

Page 49: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ������ ���� ,�������� !

� � � � � �

� � � � � �

� � � �

��� ���! G #��������� �� ������ ����������

F� ������ �� �������� �#������(���'��� ������ ����������� �� �#���� E

−−−−−−→V(A∈S2/S1) ·

−→AB = −−−−−−−→

V(B∈S2/S1) ·−→AB

F� �� ����� ��������−−−−−−−→V(B∈S2/S1)�

�(9(�(� -��*� ���# �2����.��

F� ����>�−−−−−−→V(A∈S2/S1) ��

−−−−−−−→V(B∈S2/S1) �� �� 3��3� @ ���������� �� '������ �#� ���������

�����−−−−−−−→V(C∈S2/S1)� F� ������� ����� ��. ���� �#������(���'��� �� �� �� ����� �� '������ ��

��� ����� ����������� � ������ S2 �� ��� �������������� ���� �� C�

� � � � � �

� � � �

� � � � � � ��

� � � � ��

��� ���) G #��������� �� �� ������ ���� ����������

�(9(�(� ���#������� ��� .����� � .�������

�� ������ ��(����� ��� �$������ �������� ���� �����'���� ��� 3�>��� ������������������ �� ������� �������� ,�� �� ���������� ��� ��'������ � ��� '������� ��� ��B�A����� �������� � �$����� ��������/ ���� ��� �� ��������� ����$����/ ��� ��'�������� �� �� ���������� �� ��'������ "���� ���������� �� ������ ����3������� ��� ���������� '����������

��� ������ ������ �� �� � �$����� �� ����������� �� �#��������� � C�) 4������#��������� � ��� �� ������� ��'�� �'� �� ������ ������� �� �#�'��� 1 � ����� F� "����������� ��� �����$� ��\� @ � '���� 3$�������/ ������ �#� ���� ! �� ������� ����� �

�$�� 5��� 6������

Page 50: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)1 "3������ � A ������ ����

����� , �'� 1 �� �#�� ���� �/ ���� ���� �� ������� ����� �'� �#��������� �� �� ��'������� � ��� ������� @ ! ��� �� ����������� �� �� ��� �����0�� �� ����>��� �������� �� '�������� ������ �� �� ���� � ��� ������� � ���� !� �� �K� �#������� �� �������� �� ���������� ��'������ � ����� 7 ��� ���������� ��� ��B������� '��������

−−−−−→V(B∈1/0) = −−−−−→

V(B∈2/0) = −−−−−→V(B∈2/3) + −−−−−→

V(B∈3/0)

��� ���+ G #��������� �� �� �� ������ �� �����

�(9(�(8 4��������� �� ��0

F� ��� ���������� �������������� �� "� �� ������� �.��H������ ������� �� �K���� ��� �� ����>��� �� ������ ��� '������� �� ��. ������ �#� �H�� ������� �� "� ��� ���� @ �#����������� ��� ��. �������� �. '����� '�������� O� ���� �� "� ���/ ����� ������� ��� ���������� �� �� �������� ��� ���������� ��� '������� ��� ��B������ ������� ������ ���������

������ � � *����� ��� ����� S09 S19 S2 �� �� ���4���� ���� �� �� ��� ������ ��6 �� ��9 �� ��� ������ ��� �!�9 I019 I12 � I02. �� ��� �!� �� ���,��.

����� �� ��� � ���� ��� ����� S09 S1 � S2 �� ���4���� ���� �� ���� ��������� �z. >� �� � ����� �4���� I019 I12 � I02 �� �!� �� ���4���� �� S0/S19 ��S1/S2 � �� S0/S2.

%�� ����� ���9 �� � ?

−−−−−−−→V(I02∈S0/S2) = �0 = −−−−−−−→

V(I02∈S0/S1) + −−−−−−−→V(I02∈S1/S2)

�������� ������

Page 51: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� ��� � ������ � )�

�� −−−−−−−→V(I02∈S0/S1) = −−−−−−−→

V(I01∈S0/S1) + −−−−−→Ω(S0/S1) ∧−−−→I01I02

� −−−−−−−→V(I02∈S1/S2) = −−−−−−−→

V(I12∈S1/S2) + −−−−−→Ω(S1/S2) ∧−−−→I12I02

�� ���4� ���� −−−−−→Ω(S0/S1) ∧−−−→I01I02 + −−−−−→Ω(S1/S2) ∧

−−−→I12I02 = �0

�����z ∧(ωS0/S1

· −−−→I01I02 + ωS1/S2· −−−→I12I02

)= �0

�z � �� ��� ���9 ����ωS0/S1

· −−−→I01I02 + ωS1/S2· −−−→I12I02 = �0

����9 �� G �!� I019 I12 � I02 �� ���,��.

��* +�� � �������

F� ����� �� ��'����� ���� �� ���� �#� ������ S1 ��� ������� @ � ������ ����R0 (O0, �x0, �y0, �z0)� F� ���� R1 (O1, �x1, �y1, �z1)/ �� ������ ������ � ������ S1� F� ���� I(S/R0)

�� ����� ���������� �� �������� � ������ S ��� ������� � ������ R0�, ��� � ��'����� �� S1 ��� ������� � ������ R0/ �� ����� I(S1/R0) ��� 3�����

�� �������� ��� ������� � ������ R0 ���� ���� ��� ������� � ������/ �� ��� ��� �������� ������ R1 (O1, �x1, �y1, �z1) �

�� 5���

�� 0��� � ��'����� � ������ S1 ��� ������� @ R0 ��������� @ �� ���(������ �"����� ���������� �� ������� I(S1/R0) ��� ������� � ������ R0 (O0, �x0, �y0, �z0)�

� ��������

�� ������� � ��'����� � ������ S1 ��� ������� @ R0 ��������� @ �� ���(������ �"����� ���������� �� ������� I(S1/R0) ��� ������� � ������ R1 (O1, �x1, �y1, �z1) ��� � ������S�

�������� �� %�� ����� ���9 �� 4� �� �� �!�−−−−−−→V(I∈S1/R0) = �09 �� )�� � �� ������ �

�(�� ���4���� �� ���6 ����)� ��,�� � 5 �� �� �� �� ���� I(S1/R0) � ��� ������ �� ,���� �(��� �� �(�� �� �� �� ���� .

�������� �� ��� �� ���4���� ��4��� �� R1 (O1, �x1, �y1, �z1) � ��� ����� ��0������9�� �!� �� � �� ��� ��� �� )�� � �� ������ � �� ��4����.

�$�� 5��� 6������

Page 52: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)� "3������ � A ������ ����

�������� ������

Page 53: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

������ �

��������� �������� ����

������ ��������

L ��� �� �#���� � �� �� �������� �#� �$����� �������/ �� ������ � ����� ���0���#����� <���������/ �������/ �$������/ ��������� ��� �������./ ���=� �#������A

���� �� �� ����� ��� ���������� ���� @ �� ���� �� ���� �#3$���3���� �������������� 8��B��/ �� ����� �� �#��������� ��� �� �#�0(�� ���� ���� �� �� �������������� ���3���������� � ����� ��������� � ���� E �� �������

�� ������������ ��������� @ ��� �0(�� �� ���������� �#� ���� �� ��� ������������ '������ � �� '������ ��� �� ��� ��� ����������� �������� <����������/ ��������� �$�������= �#� �$������

�� �.���� ����� �� ������������ � ���� �� �� ���0���� � �� ��������� �B����� ��������������� �� ��� ��� ��(��� ������ @ �#������ �� ��� ��� ���� ���� ���� @ �������#� ������ <��� � ����� ���������= �� �#�� ��� '������ �� '������� ��� 3$���3���� ������� �� ��������� ��� �������� ��� �� �$����� �����

�� ������������ �#� �$����� ������� �� �������� �� ����� ������ �������� E

G �� <� ���= ������<�= �� ������/

G �� ������ �� ������� ������� �� ��� ������� �������/

G �� ������ �� ����3� �� ������ �� �� �3��� ���������/

G �� ������ �#������ ���������

��� '������ � 3������ ��'��� ������ ��������� ���������� <]= ��� ������ ���A����� ��������� @ � �$����� ��������

MO� ������ ��� �� �0�������� �� �� ������� �� ������0�� �K������� @ �#�0(���������� ��� �#�� ���� �����0�� �� �������� @ �������� �������� ���������� �0(�� �� �������� �� �������N <����� C 88&,�=

MO� ������ ��� H��� ����� ���� ����� �� ����� �� �� �������/ �#�.���������� ����� 3��� �� ��� 3��3��� @ �����3�����/ ����������� �� ��� �������� ��� ������� ����������N <6����� &� W8��78 6=

�$�� 5��� 6������

Page 54: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)) "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

��� &����������� � �� �����

9���� �� �$�� �#���� @ �����/ �� ������ ��B������ ������ ��� ����������� � ���������������

%�� 6����� ���������-��

8� ��������� � ������/ �� ��������� �� �'���A���(��/ �� ������ ��'��� �� ������ �������� ��������� �� ���0������� ���������0��� ��� ����� ���� �������� ��������� ��������O� ������ S ��� ��� ���������0�� �����#@ ��� ������� �/ �� ������� ����� ��. �������������� A �� B/ ��� ��������� &��3�����������/ �� ��� ����� ��

−→AB2 = Cste�

%� 6����� �� ������� �������-��

�� ������ �� ������ ��������� �� ���0������� ���������0�� ������� ��� ������� �� ������� ������� 8� �B��/ ������ ��. ������� ���� �� �����/ �� �������� �� ����� ����������� ���������� �� ��� ������������ ���� ��� ������� � '�������� �� ���� ������ ��������� ����� ������ ��� �.�����/ �#��� ��� ��'������0�� ���� �� �������/ �� ��������� ���������� �� ����� ������ ] %��� �#���� ��� ������ �� �����/ �� ��� ����� �#���� ����������� �#� ��� ��. �������/ � ��� ��. <������ �� D���Q=/ �������0��� ����������

%�% 6����� �������-��

8� ������� ��� ������� <��������� �� ��� �����=/ �� ����� ��� �.����� �� ��A��������� �� ����� �������� ��� �#����� �� 3���������� �� ��� ����� �0��������� ����������� �� �� ������ ��� �������0��� "��������/ ��� ������������ � ���� ���� ����A���� ���� ������� <� �� ��� '��� ���� �� ��(����� ��� ��= �� ���� ��I��� �� �#��������� ���� �������� ��� ����� ����������

��� &����������� �� �������� ��� ������

�� �.���� ����� �� ������� �� �������� �� �� ����� �� '� M������N �� �� �������� F������ ��������� ��� �������� ��'���� �� ���0��. ������ E

G �'� � ���� (�/

G �'� � ���� ����������� �#������� <������� ��������=/

G �������0�� � ����������/

G ������ � ��������/

G ������ � ��� ������� ������������

"#��� �� ��0����� �� ��B������ ������� �#�� ������ �� ���� ��� ������� ������������ ���������� �#�����0�� ��� ����������� �#� �������� E '�������/ �B����/ ���������/����/ �����0�����/ �����������

�������� ������

Page 55: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�� +������ ��� �� ������ �� �� ����� )+

% � )����� �� ��-����

9��� R (O,�x,�y,�z) �� ������ ����/ ������ @ �� ������� ����� ��. ������� 1 �� 2� �� ���0�� �������� �� ��0���� �#�� ������� ����� ��. �������/ ��� �� ���0�� �� ��'������ ������������������������ �� �� ������� �������� , ��.���/ � ���0�� ��� ���� @ - � E

G ! ������������ Tx/ Ty/ Tz/ ���� ��� �������� ���������� � ������ R/G ! ��������� Rx/ Ry/ Rz/ ���� �#�.�� ���������� �. �.�� � ������ R�F� ���� m �� ���0�� �� ������ �� ��0���� �#�� ���������� ���0�� �� ������ �� ������� ��� � �������� �� ���0�� �� ��'������ ������������

������������ �� �� ������� ��������� %��� �#�����/ �� ����� �� ������� '�� (6 −m) ��

��� !�� G ����� �� �������

% ��������� ��� ���� ��

F� ������� ������� ������� ��� �0����� �'� � ���� ������/ �� ������� � ������ ����� �� ��0����� %� � ���� �� ����� ��� �������� �������� ������ �� �� ����� �� ��Q��� � ����� ���� ����� ��� ������� ���������� "���� Q��� �� ����� ��� �������������0����� ��� ������ �� ������ �#����$�� �� �� ������������ ��� �������� ��� �#�0��� ������$�� ���������� ��� �������

�� ��� ��� ��'��� ��������� �� ����� � ������ %��� �� �������/ ��� �� ���� �� ��/�� $ � ��(��� �� ������ �������� ���� �� ������ <���� !��/ �� )-=/ �� $ ��� � E

G ����� ������ <��3���;����=/G ����� ������� <��3���;$������/ $������;����=G ����� ������� <��3���;��3���/ $������;$������/ ����;����=�

% % ������� $�������

�#���� ��� �������� ������� �.�������� ����� ��� ��B������� ����� �#� �������� ���������� �� ��K���� 8� �B��/ ��� ������ ����� ��� ������ �� ����� <�������/ ����� ��

�� ���� � ��� ���� ��� ��� ����� � ����� � ����� � ������ ������� ���� � � ���� ���������������� � ���� � �� �������� ������ � �� ������ �� ������� ���� � ����� � ���� � ������� ��� (3 − m)

�$�� 5��� 6������

Page 56: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)- "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

��� !�� G �������� �� � �� ����� �����������

�����=/ �� ������� �� (�/ �� ����������� ��� �����/ ��� �����������/ �� �#��� ����� �������� �3������ �� �� ������� �� �� �������� ,�� �� ��'��� ������ �� ������������� �#���������/ �� ��� ��������� �� ��������� ��� �������� ����� ��� ��B������� ������

O�� ������� ��� ���� �������� ��EG �� ����� �#���0��� �3���������� �� � �����/ �� �� ����� � �� �� ����� ��

��������� ���������� ������ <����/ ��3���/ $������/ ����� 3����Z����/ ���=/G ��� ������ �� ����� ���� �������� �������������� ��������� �� ���������0���/G �� ������� ��� ���� (� / ���� ���������� �� ��3������

�������� �8 ��� ��� ������ ���0�� �9 �� ������� ������ ��� �� �� ���=�� � ��������� ��� ���� �� ���4���� �� ���� ��� �� ������.

�������� �� ���� �� ����9 �� � �� ��� �� ������ ���0�� � � �� ������ ������� ��������...

��� ,� �������� ��-���� ����������

�� ����� �C 8� �9F ! +�A� �������� ���� �������� ����������� �� �#�� ��� ����A����� �� �������� ������������ �� �� �������� �������� <�� �������������� �� ��������'� ������ ��� �#�0(�� �#�� �������������/ ���� �#��� �� M��������� ���������N=� %��� ������� ��/�#����������� � �� �������������� �� �#������� ����� �C 8 1)A1�+A�/ ��� �.������/ ����������

%%� �������� ������������

O�� ������� ����������� ����� ��. ������� S1 �� S2 ��� �������� @ ������ �#� �������� �� ������ �� ����� <��3���;��3���/ ��3���;����/ ����;����/ $������;$������/$������;���� � ��3���;$������=�

�������� ������

Page 57: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�! *� ������ ���0�� � ��������� )�

�(�(�(� +������ #�.�� &������

%�. ������� ���� �� ������� ��'�� �������� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��A'����� ������� �����0�� ������ �#�� �������� �� �#�� ����������� ��� ������� @ � �.��

)�.�� &������ ���'� (O,�x) 5������� ����� �=����� �6-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ������ �� ��0����⎛⎝Rx Tx

0 00 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

∀P∈(O,�x)

⎧⎨⎩ωx Vx

0 00 0

⎫⎬⎭

(�x,�,�)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�x)�� ���� ���� 0��� �������� �� '���� �x�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

� �

� �

� �

� � �

�(�(�(� +������ �#1 ���� �� ����

%�. ������� ���� �� ������� ��3����� � ����� ��/ � ��� � �������������/ �� �����'����� ������� �����0�� ��� �� �������� ���� �#� ������

�#1 ���� 5�� ����6 �� ���� � O 5������� �#1� �=�#1� �6-�& � �� �*� � "� ��� ����������! ������ �� ��0����⎛⎝Rx 0Ry 0Rz 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

O

⎧⎨⎩ωx 0ωy 0ωz 0

⎫⎬⎭

(�,�,�)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� ���� �#������� ����� 0��������� �� �� ����� O�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

��

�� �

�$�� 5��� 6������

Page 58: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

�(�(�(� +������ �##�� #��

%�. ������� ���� �� ������� ���� ���� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ������ �#�� �������� ���� �#� �.� �� �� �� ����������� �� ���� �� ��.�.�� �������������� � ��������

�##�� #�� �� �� ��� �z 5������� #��=#��6-�& � �� �*� � "� ��� ����������! ������ �� ��0����⎛⎝ 0 Tx

0 TyRz 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

∀P

⎧⎨⎩

0 Vx

0 Vy

ωz 0

⎫⎬⎭

(�,�,�z)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#����� ������ ���� 0��� �������� �� '���� �z�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

��

�(�(�(� +������ ���� � �����&�� 5�������� �� �� �7 , :�3:��3�6

%�. ������� ���� �� ������� �������� ��������� �� �� ��� ��'����� ������� �����0�� �������#�� �������� ���� �� ��. �.�� �� �� �� ����������� �� ���� �� ��. ����� �.��/ �#����� ��������� �� �#�� ��� ������������ ����� ������'�� � �H�� �.��

+���� � �����&�� ���'� (O,�x) �� �� �� ��� �z 5������� ����� �=#��6-�& � �� �*� � "� ��� ����������) ������ �� ��0����⎛⎝Rx Tx

0 TyRz 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

O

⎧⎨⎩ωx Vx

0 Vy

ωz 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� � ���� (O,�x,�z)�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

���

� �

� �

��

�������� ������

Page 59: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�! *� ������ ���0�� � ��������� )

�(�(�(� +������ �#1� �3����� � �� ���� � ������ �

%�. ������� ���� �� ������� �������� �������� �� �� ��� ��'����� ������� �����0�� �������#�� �������� ���� �#� ����� �� �#�� ����������� ��'��� � �.� ������� ��� � ������

�#1� �3����� � �� ���� � O �� �� �� ������ �x 5������� �#1� �=����� �6-�& � �� �*� � "� ��� ����������) ������ �� ��0����⎛⎝Rx TxRy 0Rz 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

O

⎧⎨⎩ωx Vx

ωy 0ωz 0

⎫⎬⎭

(�x,�,�)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� ���� �#������� ����� 0������������ �� '���� �x ������ �� �� ����� O�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

��

��

�� �

��

�(�(�(8 +������ �#1� �3#�� �� #�������

%�. ������� ���� �� ������� �������� �� �� ��� ��'����� ������� �����0�� ������ �� ���������� ���� �#� ����� �� �� �� ����������� �� ���� �� ��. �.�� �������� �� � ������

�#1� �3#�� �� #������� �� �� ��� (O,�z) 5������� �#1� �=#��6-�& � �� �*� � "� ��� ����������+ ������ �� ��0����⎛⎝Rx TxRy TyRz 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

O

⎧⎨⎩ωx Vx

ωy Vy

ωz 0

⎫⎬⎭

(�,�,�z)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�z)���� ���� 0��� ��������� �� ������� � ������

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

��

� � � � �

� � �

� �

�$�� 5��� 6������

Page 60: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+1 "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

%% �������� ��$�����

O�� ������� ������� ��� �������� @ �#���� �� ������� ����� �� ������ �� ���������������� �� ������� �3�������

�(�(�(� +������ ������ �����

%�. ������� ���� �� ������� ����������� �#�� �#�.���� �� ����� �� ��0���� ����� �.�,����� �����

-�& � �� �*� � "� ��� ����������

1 ������ �� ��0����

{V(2/1)

}=

∀P

{0}

(�,�,�)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� P �� �#������� ���� ���� 0����

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

�� �

�(�(�(� +������ #�.��

%�. ������� ���� �� ������� ��'�� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ��� �� �������� ���� �#� �.��

)�.�� ���'� (O,�x)-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ����� �� ��0����⎛⎝Rx 0

0 00 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

∀P∈(O,�x)

⎧⎨⎩ωx 00 00 0

⎫⎬⎭

(�x,�,�)

�� ����� ��������� ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�x) ������ ���� 0��� �������� �� '���� �x�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

�� �

�� � �

�������� ������

Page 61: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�! *� ������ ���0�� � ��������� +�

�(�(�(� +������ &����� �

%�. ������� ���� �� ������� ��������� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ��� �� ����������� �� ���� �#� �.��

>����� � �� �� ������ �x-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ����� �� ��0����⎛⎝0 Tx

0 00 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

∀P

⎧⎨⎩

0 Vx

0 00 0

⎫⎬⎭

(�x,�,�)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� P �� ���� ����0��� �������� �� '���� �x�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

�(�(�(� +������ �#1 ���� ? ���&�

%�. ������� ���� �� ������� ��3����� @ ����� ��/ � ��� � �������������/ �� �����'����� ������� �����0�� ������ �� �� �������� ��� ������� @ ��. �.�� ���������

�#1 ���� ? ���&� 5���'� �� ���&� (O,�z2) �� �� #�� �� ���� � ( �x1,O,�z1)6-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ������ �� ��0����⎛⎝ 0 0Ry 0Rz 0

⎞⎠

{V(2/1)

}=

O

⎧⎨⎩

0 0ωy 0ωz 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� � ����� O�

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� � �

� �� �

��

� � �

� �

� �� �

�$�� 5��� 6������

Page 62: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

�(�(�(� +������ 1���@���

%�. ������� ���� �� ������� 3����Z���� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ������ �#�� �������� �� �#�� ����������� ���������������� ��� ������� @ ��.��

A���@��� ���'� (O,�x)-�& � �� �*� � "� ��� ����������

� ����� �� ��0����⎛⎝Rx Tx

0 00 0

⎞⎠

Rx �� Tx ���� �����

{V(2/1)

}=

∀P∈(O,�x)

⎧⎨⎩ωx V x0 00 0

⎫⎬⎭

(�x,�,�)

V x = ± p

2πωx D���� @ ������ <^= � @ ��3� <A=

�� ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�x) �� ���� ���� 0����������� �� '���� �x� p ��� �� ��� �� �� ������� 3����Z�����

,'��#���1����������

�#�������1����������

#���

� �

� �

� �

� � �

� � � � � � � � � � � � ! �

� � � � � � � � � " # $ � % �

� �

� � �

%%% ���� �������� ��� ��������

%��� �� ������ ��� �$������ ��������/ ��� �������� �#������������ ��� ���� ���������/��� ������ �� ����� �� ��������� �� �������� ���� M�������N �� ������� �������� ���A�������� ���� �� �Y�� ��� �� �������� �� ������ �� �� �������� "�� ��� �#����� ��� '������ ��� �������� @ ���0�� ������ �� ��0���� <��'��/ ���������= �� ���� �� ������ �� 0����������������� �� ������ �� �� ���0������

,�� �� ������ �� ���0�� �� �������� ���� � ��������/ �� ��� H��� ����� ���� �#�������3� ���0��� @ 3��3�� ��� �������� ���'�� ���'������� �������� ������ ������ ��������4���� ��

%�. �� �� ���������� �����/ @ �� '� � �$�����/ ���� ��� �������� ���� �� �����/ ���� ��������� �� ����������

�(�(�(� +������� �� � ��

�� �K� �#������� �� �������� �� ���������� ��� ������� ���������� ����� ��� ���������� ����� ��� �#�0����� �� ������ ��������� �� �� ������ ������ ���� ����4���� �� �� �K�

�������� ������

Page 63: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�! *� ������ ���0�� � ��������� +!

����� �#��������� � ������ �'� ��� ������� ��� �������� ����������� ��� ������ �� ����$�� ��� �� ������� ���'�������

������� � H ��� �(��� ���� �� ��������"�� ��� �� ����� 5 ��� ��� �� �(��� ���� �� �������� ��� ����� �� )������ ��

������� (2) �� �� � �)�� ��� �(�� ���)��,� A��� �����,� ��� �6�����B ,�I�� �� �� �� (3).

��� !�! G ������� �� ������ �� �� ���

>� ���� �� ����� ������ ����{V(1/3)

}�� �� ������ �� (1/3) � �� ����� ������ ����{

V(3/2)

}�� (3/2).{

V(1/3)

}=

{V(3/2)

}=

>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ������ ��� �� ����� ������ ���� ?{V(1/2)

}={V(1/3)

}+{V(3/2)

}=

�� ����� ������ ���� ��������� �� ����� ������ ���� �(��� ������...

�(�(�(� +������� �� #� ���

%��� � ��/ ��� �������� @ ������ ���� ����� ��� ��. �H��� �������/ �� �� ��� ��� ���������� �� ���������� ��� ������� ���������� F� ������� ��� �� ��� ������ �� ��0������������ ��� 3��� ��� ��������/ ��� ������ �� ��0����� �������� ��� 3��� ��� �����������'��� H��� ����������

������� � H ��� �(��� ������� � �� ��J��F�� ������� � � ������� �� ���6 )���� ����������� ��������� (2) ���� 5 �� ���

����� (1). �� �� ���6 )����9 ,��� �� �������� �4�� ��� ���� � ��� �� ����� �� ���$����,� ���� ��� ��,�� ���� �. !� �2 ���� �(�� �� � ���� ���� ��� �� �������,� � �����4�� ��� �� � ��� ���,�� A0��,���� ��� �K 5 �� �=� �(�� �����B.

�$�� 5��� 6������

Page 64: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+) "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

��� !�) G ������� �� ������� �� �� ���������

>� ���� �� ����� ������ ����{V(1a/2)

}�� �� ������ �� (1a/2) �� ���� A � �� �����

������ ����{V(1b/2)

}�� (1b/2) �� ���� B.

{V(1a/2)

}=

{V(1b/2)

}=

>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ����� �� ����� �� �����{V(1b/2)

}���� �(�6������

�� ���� A ?{V(1b/2)

}=

>� ������� ���� �� ��,�� �� ��)�� � �� ���6 ����� ��� ���4�� �� ���� ����.

*� ������ ����4���� � 5 �� ���6 ������ ��4� ,���� �� ��������� � ���� ��� ������...

�(�(�(� -�B ����� ������������ #����*��

F� ��� ����� ������� ��� ������� ���������� ��� ��������� ��� �������� ���'������� ��� �$����� ���� @ ������ �� �#���� �� �#����������� ��� �������� � ������

F� ��� ������ ��B������� ����������� �� �������� ������������ ��� �#�0����� ��� ���������� ���0�� ����� �� ��0���� <��'��/ ���������=�

�������� ������

Page 65: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�! *� ������ ���0�� � ��������� ++

�$�� 5��� 6������

Page 66: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+- "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

��" ������ � ��������

O� �������� ��� � �����0�� �������� �� ����� ��������/ ������� ����� ����� ��� �����������/ ���� �� ������� ��� �� ��� ��'��� �#���0��� ��3�������� �� �������� ������;������<��'������/ �B����= ��������� @ � 0����� �.������

%��� � ��������/ �� ������������ ��� �B���� �#�B��� ��� ��� ������ �� ���������� ����� ������ O� ��� ���0����� ���������� � ������� ��� �� 3����� <����� �����A����� ��� ������= �� �� ������������ <������ ��� ������/ �������.= ���������� ���������

%��� � �������� �� $ ��� ��(��� � ��'����� ������� ����� ��� �������/ �� ����������� ������ �� ������ ��� M� �����N �� ������ �� ������ ���� �� ��'����� ��� �����

%+� �������-�����7���������-�����

O� �������� ��� ��� ��4���)�� �� �� ��� �����'����� ������ �� ������� "#��� @ ���� �#���'����� � ������ �� ������/ ��������� �� ��'����� � ������ @ �#������� <�. E � ������#���������/ �� �$����� '�� ��� �� �� ������� ��� �����������/ �� ��� ������� �� �� ���������� '���� '���/ �#�� � � ������ �.� ������ �#�'��� �#��'������ �� �� ��� ��0�����=

��� ���������� � �������� �R � ��'����� �� ������ �� ��� ����� 0���� �#��������� ��� ����4���)���

��% ����� � ����!���� ����������

��� ���'��� � ��� ������ �� ������������� �#� ��������/ �� ��� ����� �� �3�A������� �� ������ @ �#���� ��� ��������������� ����������� ��� �������� �������� ��� ��� ����� ���������� ��� ��B������ �����0��� �� ��'����� ��� �� ��� ������� �. ������ O� ��������0�� �#������� ����� �#���'����� ��������� <� ����� �����0�� ����������������=� 8��� ��� �������� �� ����� ����0���� ��� ��� ��� ������� �. ����� E

G ���� �� ��������� E ��� ����� ���� �� ������� �����������/

�������� ������

Page 67: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�+ ���� �(����4������ ������ ���� +�

G ���� ���� �� �3��� �� ������������� J ����� ������� H��� ��0���� ����� ����� ������ ���� �3��� <������������� ������/ ����������/ �������=�

8� �3��� �� ������������� ������/ �� ����������/ �� �������/ ���/ � ����������� �'��� ��� ���A�����0��� ����������� ��B������� �� ��� ��� ������� ���� ����� �3����� ������������� �� �������� �� �������� ��� ���������� ��� ������ �#���'����������������

������� � ����� 1L �� ��3 �� ��M�

��

$�

��

��

�� �

��� !�+ G ���� ��������� �� �� �� � ����������� �����$�

&� �� ���� ���� � ��� �(�� ������ �� ��9 ��� ���4�� ������ �� ���� �(����4��������4�� � ?

corps = 0 = {4,7,9,10,11,13,19,21,23,24,25,26,27}; arbre = 1 = {2,5,6,15,17,28};piston = 2 = {14}; plateau = 3 = {18}

�������� �9 *(����)�� �� ���� �(����4������ �(�� �������� ��� �� �������$ � �0 �� �����$��. ��� �0��9 �� ����� ��0����)�� A���� 9 �������� ��� ����9...B9 �� ���$��� �� �������� 9 �� �� �� ,������9 �� ��� �� ���� �.

�$�� 5��� 6������

Page 68: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

��' .��� � �������� /���� � �������0

O� ����3� �� ������ <� ����3� ��� ��������=/ ��� � ����3� ������������ ��� ��B������������� �#���'����� <� ���� ��� �����= ������ ����� �. ��� ��� ������ ������������� ������������ F� $ �(��� ���� �� ��� ��� ��B������� �������� ����� �� ���� �������������������������

�������� �� %��� �� ,����� �� ������9 �� ��� ���� ��� ?@ *� �� � �D�� ������� �� �� ���� �(����4������9 ���,��� �� ��� �� ���=�� A ����6����� �� ��� �� � ������ �� ����� �� �� ����B �� ��� ��� �� ��.

@ !� �� �� �� �� �������� �� 0���� �(��� ����� ��� �� ���� �(����4������ � �� ������.

@ !� ��� �� ��4�� �� 0����9 �� ������� �� )�����.@ N ������ ���4�� ��;������ �� ��� ����9 �� ����� ���� �� ������ �� ���������.

� �

! $ � � � � �

� � & ! � � � �

' � & � # � � � � # & & $ � # � � �

� � # � � � � ( � �

) � * !

� � # � � � � � ( $ �

) � * ! � " � � + + # & !

� � # � � � � , ( � �

) & � ! $ � � � �

� � � � & � - # � � � � . ( $ �

��� !�- G %�� �� �� ������� �� �� �� � ����������� �����$�

��( 1����� ����������

�� �3��� ��������� ��� �� �������������� ����� � ��������/ ���������/ � ���A�����/ �������� ��� �$�0���� ���������� ��� �������� ����� �������� "#��� � ���� �� ���A������� ��3����/ � ������0�� @ ��� ��� �� �������� �� ��� H��� ������� �����#����������� � ����3� �� ������ �������� %��� �#����� ��/ �� �#������� �3��� ���A������ �#��3������� �� ��� ��� �.����� ������� �3���� ���������� �#� �H���������� ����� �� ����� �� ������ �� �#���� ��'�������

�� �3��� ��������� @ ��. �������� ���������� �� ������� EG ���� @ �� �������� �� ������� �� ������� ��������� �� ��������������G ���� @ �� �����3������ � ���������� �.�������"�� �3���� ���������� ��'��� H��� ���� � �� ��������'� <! ����������=�

�������� �: *� ���,����� �� %� ! � ���� ������� �� 4���)������ ? ,����� �� ���$ ���9 ����� �������,����9 ����� �(����� �� ���9 ����� ������ ����. �������� 9 4��

�������� ������

Page 69: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�� ����� ������ ���� +

���: ����� 5 � ����� �� ��=���� � ������� ��� ������ ��$���� �4�� �� 4���)����������� �� ��;��� �� ����� �� ��� ��� ���,�����.

%3� 6 /��� ���������� �������

F� ������� �3��� ��������� ������� ��� �� ���������� � �������� �'� � ����� ������� ������� ����� ��. ����� � ������ �#���'������� �� ����� ����� � ���.�� �� ��������� � �$����� ���� �#��� ��� �0������������� ������ @ �#�3�����

� � ��

. �

,�

��

� �

� �

/ �

0 �

��� !�� G !���� ���������� ������� �� �� �� � �����$�

�������� �� � ��)��� ��� ������� ��� ���� �(����4������ 0����� � �� ��� ��� �� �(� �$)������ �� ����� ���� �� ������������ �� ��������.�� ��� ��� ���� ����� �� ��

� ��� � *� ����� �� �������� ��� � ��0����� 9 ����� ��� �6����� �� ���� 9 ���� )��� �� ���� �6��� �� �� �� ������ �����(�� ����� �� ����� ����0����)��...

�������� �� F ����� ��� ������� �������� A��� �6�����9 �� ;����B ���� �� ������ ������ ����� ��� �� � ��� ��� �� �� 0���� ���� ��... � ���� �� 0���� ���� �� �������� ��� ���� � ������. �� �� � 0�J��9 �� �(����� ������ 5 ������ ���� �(����4������������ ���� <

�������� �� ��� �� ����� ������ A��<B �� ����� ������ ����9 �� � )�� �( ���� �������. >� �� ���� �� ���� ��$���� ?

@ >� ����� �� ������ ����� ��� ���� �� ������ A���� 9 �6�9 �������B.

@ >� ����� ���� �� ������� � ��� ��������� �� ������ �� ����� �� �� �������� �� ,���� ��� �� � ���.

@ >� ����� ���� �� ������ �� �� ���� �� ����� �� �� ��6���� �� ,���� ��� �� �$ ��� �������.

@ !� �� � ���� 5 4������ �� ��������� �� �� �� ���� � �� ������ A'���)��� ���� ����������� �� �� ��� �����...B.

�$�� 5��� 6������

Page 70: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

-1 "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

%3 6 /��� ���������� ��� �������

O� �3��� ��������� ���������� ��� � �3��� ��������� �#� �������� ������� �� �(��� ��� �$�0���� ���������� �� ��������� ��3��������� ����������

��� !�� G &�� � ' ���� �"���" ��� !� G ���(�� ����� ��� ���� ������ �����

%3% 6 /��� �&�� /��� ����

�� ��� $ �'��� �����H� @ ��������� �� ������� �� �������� ������������/ ���� ����.����� �� ��'�� �������� ��� ��. ��������� @ 0����� ������� �������'����� �� ������������ �� �� ������� �������� ��������� "��� ������ �����/ ��� �� ��� �� ���������� ������ �#������ �������� �0�� ��� 3�� ��� �������� ����� �� ��� ������ ���������B���'����� �� ���0������� ���������� ��� �� ������� ��'�� ���� ���.������0����

�� ��� ��'���/ �� ��� ������ @ �#�3����/ �� ��� ����� ���'�� �� ���� �#������� ���� ������� �� '������� �� ������ F� ����� ���� �� �3��� ������0��� ��� ���������

� � � � �

. �, �

��

��

��

� �

� �

/ �

0 �

��� !��1 G !���� ���������� ������������ �� �� �� � �����$�

������� � � ������� ��������� �� +���,� NOOO >� (�� ���� 5 �(� ������� ����������� +���,� NOOO9 ������ �� �� ;��)� �� ���� P$N � �� �� 0��� 79 �� 4���� ��� ������ G$Q� �� ����� L. *� �� � ��� 5 �� ������� �� �(�4��� O.

�������� ������

Page 71: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�� �� �� ��� �0 �� ,����,� �� �� � ��� -�

0

1

/

� � 2 � 3

4 �

4 � �

� �

� �

� � � �

� �

� �

� �

� � �

��� !��� G %�� �� �� ������� �� ���� ���������� ������������ �� ������������ ���� ���� ������ )***

%3+ 6 /��� �� /���������

8� �������� ��� �$�0���� ��3���������/ �� �3��� ��3�������� ������ �#������������ ������ ������������� �� ��� ��������� ��������� �� �������� �� ��������� F������ ���� �� �3��� ��������

�� '���� �#�� ���� ��� �������� ��� � �����0�� �� ������� ����� �� ������/�������� ���� ��� ��������� @ H��� �� ����� �'� �#����<�= ����<�=� "� ���� ��� ��A���� ������������� �� ����� ��� �� ������� ������ � ���� � �$����� �������� 8�������������� �� ���� ��� ������� ����� �.� �� ��� ��� ����� ��� ���3� � �������� ��������#� �� �#S��/ �� '��� ��� �������� ��3��������� ���������

��� !��� G !���� ������������ ���� ������� �� ��������

��) �� ���������- �� ������� � ��������

%��� �� ������ �#� ������ ��� ������� @ � ����/ ������� ��'������ ��'��� �� ������'� �� ������ ���������/ �� �#����� ���� �� �������� @ �� ������� �� (�. �������A

�$�� 5��� 6������

Page 72: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

-� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

����/ �� ������������ �� �������� 7���� �� ������/ �� ����������� ���� �#�� ���������������� �� ��� ��'��� ��������� � ������� ��� ����/ ��� ��������� �� ��0������� ��������������/ ��� ������ �������� �����������

�� ���0���� ��� �� ��'��� (��#� ���� ����� ������ ��� ��'��� ������� �� �����M��� ������ (�.N� ��� ���/ ��� ���������� �� ������� L/D �'� L �� ������ �� �������� D �� �������� � �������

� � �

' � & � # � � �

# & & $ � # � � �

) � * !

" � � + + # & ! � �

) � * !

� & � � � ! # � &

! $ � � � % � � � � � $ & �

- � � � � + # ! � & � � �

5 � � & � � � � � & � � - 5 ! � � � # & + �

� � # & # � � + � � � � + � � � + $ � ! # ! +

��� !��! G ����������� �� ������� �� �� ��� L/D

"���� ���3��� 0��� �� ���� ��0�������/ ������ �� ��������� ����Q ���������� ��� ��A����� �� ��������/ ��� '����� �� 0,8 �� 1,5 ���� @ ������ �� ������� ��� �������. ����� ������� �� ��0������� �������� ,���/ ��� ���������� �� '����� �� ������� @ �#�������#����� ���� ������0��� �� ������� � ����.�� ����������

�� �� � ������� ��� ��������� ��� �.��H������ ���������/ � �$�� �� ������ �� ��A������ ��� ���� ��'��� ������ ���� ��� ���������/ �� ��� ��� ��'��� ��������� �������������� ������� �������� ��� � � ������� ����������

��� !��) G +"�� �� �� ��������� ' ����� ��� !��+ G +"�� �� �� ��������� ' �������"

O� ��������/ ��� �#�� ����/ ���� H��� ���������� �.�������� ��� ������� @ �#��0�� �� @�#�������/ '��� ��� ��B������� ����������� �� �������������� �.����

��� ����� ����� <��� !��-/ �� -!= ������������ ��� ���H�� �.��. <������/ ���������/����������/ �������� ��������/ ���/ ��=�

O� ������� ��� �� ������� 0��� �� ��. �������/ �#� ��� ����� �.�/ �#���� ��� �������0��� �� ������ �.� ����� �� ������ ������ ����� �� �� �������� �.��� ���� ��� ��. ����� "������� �.� ��� ��� ���H�� �.�������� ��� ������� @ �#��0�� �� @ �#�������� �� ������ ��0���/��/ �#����� �� �� ������ ������/ �� ���� ��������� � ���������� �.��� �� ��T�� @ �'����

�������� ������

Page 73: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!�� �� �� ��� �0 �� ,����,� �� �� � ��� -!

��� !��- G �������� �� � �����,� �"���" ��� �� ���������

� �������� ��� ��������� ���� @ �� ���������� �� �#��0�� ��

�(9(:(� ,'��#�� �� �����&� �� ��������

�� �.���� � ����� ���0�� �� �������� ��B������ �� ���������/ ��� �#������ ��� ��'�A������ �� ��� ��B������ �$��� �� ������� �����0��� ��

%��� �� �� �#� ��0�� ������� ��� ������� @ �� �������� �� �� 3���� �.�/ ��� 0�������������� ��� ��. ������� ���� ������� ������� �� �#��0��� F� ���� ����� � ���H� �.��� ��3��� Y�� ��� 0���� ���������� <��� @ ���3��/ ������/ ���������/ ����������/ ���=�F� ���H�� �.�������� �������� �� 0��� �.������� � ������ �.��

%��� �� �� �#� �������� ������� ��� ������� @ �� �������� �� �� 3���� �.�/ ���0���� �.�������� ���� ������� ������� ���� �� �������� �'� ) ���H�� �.��. �� �� �#$ � ����. ���H�� �.��. �� �#��0���

��� !��� G -���� ������� �� ���� ����.�� ������ ����� /������ 012 3������� !4/5

��� !��� G �� �� ������� ��� ��������� �� �������666

�� ��� �� ������� � ������� �� � ��������� �� �������� ����� �� ������ ��� �� ������� ������������� � ���� ����� �� ����� ���� !����"� #��� ��� � $ �� � %��� ��&�������� ���� � �� ��� �������

�$�� 5��� 6������

Page 74: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

-) "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

��� !�� G 7���� �� ��������� ����.�� �� %�8���� 3!- 0195

��� !��1 G :������ ������� �� ���� ����.�� ������ ����� /������ 012 3������� !4/5

��� ��. �������� �������� �������� ��� ��������� @ ����� �0���� <�������� @0����� @ ����� �0���� �� �������� @ �����. ������= �� ���� ������� ��� �,� ��>/ �� �.���� ���� � ��� �,� �� R <������� ������������ ����� �X��.=� ��� ���������� F ���������� �� ������ �������� �H�� �'� � ��������� ���0�� ����� ��� �������� ����������� �� F ���� �����'�� �. �� �R �� �������� ��� ������� � ���� �#� ��0�� ��������'� � 3�������� �� ����� @ ��.� �� ������� �� P ��� ������ ��� ��� ��0��� ��������'� � 3�������� ����� ��� ��. ������� <���������/ ���=� "� �$�� �� �������� ���������� ���3���� <�������� �� �������= ��� ���������� ����������� "���� ���3���� ����������� ��� �#���������� �#���� � �� ���� �� ��������

��* 2����� �� ���� ���������

F� �#����T��� �� �� ������ �� �� ������� '� �������� ������� ��� ������ ��'�����������0��� <(�= ������ ��� � ������� S1 �� S2� ��� ����� ������>��� �� ��������� ��� ��������'������ �������0��� ��� �� ������� �� S2/S1/ ��� ������ �������� ��� �������� �� ���A���� � ������ ���������

{V(S2/S1)

}�

9��� � ������ S2 �� ��'����� ��� ������� @ � ���� S1� 9����� ��. ������ ���A����� A �� B � ������ ���������0�� S2� F� � E

∀t, ∀A,B ∈ S2,−−−−−−−→V(B∈S2/S1) = −−−−−−→

V(A∈S2/S1) + −−−−−→Ω(S2/S1) ∧−→AB

�������� ������

Page 75: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!��1 ���C�� �� ����� -+

9��� dt/ � �����'���� �� ����� �����������/ �� ��� ����� E

dt · −−−−−−−→V(B∈S2/S1) = dt · −−−−−−→V(A∈S2/S1) + dt · −−−−−→Ω(S2/S1) ∧−→AB

F� ���� ����� E

−−−−−−−→δu(B,S2/S1) = dt · −−−−−−→V(A∈S2/S1) ��

−−−−−→δθ(S2/S1) = dt · −−−−−→Ω(S2/S1)

���� ��� � *� ����� �� �� � ���������� �� ����� S2 ��� �� ���4���� ��������� 5 S1 (���� ? {

δD(S2/S1)

}=

A

{ −−−−−→δθ(S2/S1)−−−−−−−→δu(A,S2/S1)

}

*� ���� �� �−−−−−→δθ(S2/S1) � ������� 4�� ��� �� � � �� � ��� �� ����� S2 ��� ������ 5 S1.

*� ����� −−−−−−−→δu(A,S2/S1) � ������ 4�� ��� �� � ���������� �� S2 ��� ������ 5 S1 ��

���� A.*� �� � ���������� ������ 5 �� ���� ��� �� ����� �� ����� �(�� ����� ���� ?

−−−−−−−→δu(B,S2/S1) = −−−−−−−→

δu(A,S2/S1) + −−−−−→δθ(S2/S1) ∧

−→AB

� �

� �

� �

� �

� �

� �

��� !��� G ��������� ������ ����� �� ������� ��� ��� ������ ��� �� ���

"���� ������� ����� �#��0�� S2 �� �#������� S1 ��'���� ��������� �������� � ��'������� �������� �� �� ����������� ���� �� �#�.� (O,�x)� �� ������� �#� ����� (� <D1 >D2= ����� ��� ��. ������� ������ � ������ ���0�� �� ������ ��'������ �����>���� ��������� ����������� ��� ������ �� S2 ��� ������� @ S1� �#��0�� S2 ��� ��� �'��� � �������'����� �� �������� ���� �� �#�.� (O,�z) � (O,�y) � � ��'����� �� ����������������� ���� ������ �A����� <��� !���/ �� -+=�

���3 ��4�� � ������

%�� �/�8��� �� ������� ��������

O� �������� ��� ��� @ 3�>�� �'���� �#�� �#�.���� ��� �� 0���� 8� ������� � 0\��/�� '� �� ������ �� ������ '��� � ������ �������� <�� �$���� ��� 0��� �����������=�

�$�� 5��� 6������

Page 76: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

-- "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

��� !��� G �� ���� ��� ���� �������

%� �/�8��� �� ������� �������

O�� 3�>�� �� ������� S1/ S2/ ���/Sn ��� ������ �� �� ������ ������� ��� �� �H�� �� �� �����������

F� ��� ���������� �� �������� '��������� ���� M�� �������� ����������N ��� ��0���/ �� ���'��� �� �������� �� "3����� ����� ��� ������ ��� ���������

F� ���� Oi/ �'� i ������ �� 0 @ n/ ��� ������ ������������� ��� �������� ����� ��� ��������F� ��� ����� ����� E

−−−→O0On = −−−→

O0O1 + −−−→O1O2 + · · · + −−−−−→

On−1On <!��=

��� !��! G !��.�� ������ ���������

%��� �� �� � �$����� 0�����A����'����/ �� ��� ����� E

−→AC = −→

AB + −→AC

"���� �������� ��� ��������� �� ���������� �� �������� ����� �#����� �#����������� �� ������'���� �� �� �������� � �������

F� ��� ���� ����� �� �������� �� �� 3�>�� ��������� �� ����� �0����� �� ������������� ��� ������� ���������� ��� ��B������ ������� ��������� �� 0����

�������� ������

Page 77: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!��1 ���C�� �� ����� -�

%��� �� �� � �$����� 0�����A����'����/ ��� ����� E

{V(3/0)

}={V(3/2)

}+{V(2/1)

}+{V(1/0)

}

������� � H ��� �(�� ����

>� ����� �� )I � O �� ������R0 (O, �x0, �y0, �z0). >� �� � ?

−→OA = a · �x0

−→OB = b · �y0

*� )���� P � ���� �� )I � O ��� ��� ������,������ �� ����� ��� �y0. �� �� �

−→AC = y · �y0.

*� ������ R (C,�x,�y,�z0) � ��� 5 �� )���� P9 ���� � α = ( �x0,�x) �4�� α ��� �� . *� )���� N� ���� �� )I � ��� ��� ������ ,������ ������� ��� �x0 ���� ���

−→BI = x · �x0.

*� ���6 ����� P � N �� �� ��� �� �� ���� !9 �� � ��� ��� ������� � ����� �(����� �� ���� ��� �� ��� �� �� !.

"�� ���4�� ���� ����� �� ,����� �� ��� ��� � ����� ����� �� ����� ������ ������ ��=���� � ������.

&��� �9 ��� ���4�� �=�� ��� ��� 0���� ��� ,���� ����� ��� �� �� ������� �� ���� ��������� �� ������ �� x � y.

!� 0�� ������ 1�� ����,����� 3 �� �6� ��� �� ���;� �� �� � ���� ��� ���� 0���� ������C ���� ���6 ������ �� � �������� �� �������� ��� ������. %��� ����9 ��� ������� �����;� �� ��4�� �(�6� . . . . . . .

�$�� 5��� 6������

Page 78: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

-� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

>� ���4� ���� �� ���� ��� ��4�� � ?

"�� ���4�� ���� � �=�� ��� ��� 0���� ��� ������ ����. %��� �� �� 0���� �� ��4������ ������ �� �������9 ��� ������� �� ���� . . . ��� �(������ �� � 0���� ���.

*� ���� ��� �� �� 4�� ��� ��6 �� �� � ��� � �� ���4��)��9 ����� �� 4� �� ��� �������� ���� ��� ������ x � y �� �� ���;� �� ��4�� �(�6� . . . .

>� ��� ���� �) ���� ��� ��� �(�� ��� �� �� �� �4��� 5 �� ������� �� ��=���� ����$�� �� �� ���������� �� � ���. & ��� � ��� �4�� )���� �� ����� ����� �� 4� ���� ,������

−−−−→V(I∈1/2) �� ! �� �� P � N �� 0��� ��� �� ������ �� �(�� ��� x9 ��� ���4��

�� 0���� �� ���;� �� �� �� ���� ��� �� 4� �� ��4�� �(�6� . . . .

%�% �/�8��� �� ������� ��$�����

O�� 3�>�� �����.� ��� �������� �� ������� 0���� ������� �������� $����

��� !��) G �� ���� �������� ' ����� � ���� ���

�� ���0�� $�������� � ����3� ��� H��� ���� ��� �� ������ E

λ = NLiaisons −NPieces + 1

�������� ������

Page 79: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

!��1 ���C�� �� ����� -

�� ���������� �� ���0�� �� $��� ������������ ��'��� ������� ��� ��� ������� �3���� ������ 9� �� ������� ��� ��������� �� ���������� ��� '������� �� �� 0��� ��A�����/ � �� ��'���� @ ����� ��� '����� ���/ �� �0����� ��� 3��� $��/ - ������������0����� ���� ��� ������� ���� ��� ���������� �� �������� �� 3��� ������� <������ ����0����= �.������ �� ��� ������� �� ���0�� �� ��0������ � �������� <����� �� ������������=�

"� ���0�� ��������� �� ���������� �� ����� �� ��0����� �� �� ����� �#3$������������#�� 3�>�� �����.� �������

%�+ #����� �&/'$����������

%#� ����� �� '� ���������/ �� ������� ����� ��. ������� ������ �#Y��� ��� �������� ��0���� @ ��� �������� &��� �� �� �#��������� � ����� �� '� ������� � �$������/ ��������� ������ ���� �� ����������� ��� ������ �������� �#� ������ @ � �����

������� 8 �� �(�� �)���� 5 ��� ����

� � & � - # ! � 6 $ � - � & !

� 6 $ � * # � � & !

��� !��+ G ����������� ���������� ���� �������� ' 0 ���666

��� �� ��9 ��� ������ ���� ����� �� ������� ���������� ����� �� �� ����� ��������� �����$���� ����� ��� ���� �(�� �)���� �� �� ��. *� � ��� 1 �)���� 3 � ��$ � ����9 ���� �� 9 ��� �� ��;��� � �� ��9 �� ��� ��� �� �)���� 5 Q ����. *(�;�� �(�� ��� ����� ���� �� ����,� �� ���� �� ������ ���� �� � ��� ��� 4� ����� �� �(���$������ �� ������ ���� � ���� �� ��������� �� �)���� . >� ��� ��� ���� �� �)���� ����� � ����.

������ � ��'����� ����� ��. ������ �#���'������ ��� ���H�� ������� ���� �� ����� �� �$����� ��� ����� � �����

��� ����������/ ������ �� ������� ��� �������� ��� � ���0�� ������ �� ������ ��������/ �� �$����� ��� ��� �� � �����

�(�:(�(� �.����&�� �� �1�#� ��������

�#3$����������� ���� � �������� <� ���� �� ������ �� ��������= ������ E

G �� �������� ����������� ��� ������ ��������/

G �� ����������� �� �� �������� �� �#�����0�� <���������� �������=/

G �� �������� ��������� �. '�0������� <����������� �$�������=�

�$�� 5��� 6������

Page 80: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1 "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������

�(�:(�(� �����.������ �� �1�#� ��������

�� ��0�������/ �� ������� �� �� �������� �#� �$����� 3$���������� ���� 0������� �������/ ��� ���������� ��� ���������� ����������� �� ��������������� ���� �������������� �� �� ������� �� �� ������������� ������� H��� ��������������

�������� ������

Page 81: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

������ �

��������� ��� ����� ���������

L �� 0���� �� �� ������� �������� ���������� ���������� ���� ���������� ����� @�#���������� ��� ����� ���� ������������� �� �� �$������ ��'�������� ��� �� �����

��C��� ���� ��� M�3$�����3��� �������� �������� &��3������N �� �-�� �� "�� ����� �������������� �� ��'������� � ���������� '������� ������� ������>��� �� ������ �� ����/�#����� ������� � �� ������ �#�� ����� "� 3������ ����� �� ������������ ���������� ������ ��� ������ �������� �.����� ��� � �$����� �� � ����� "��(���������� 3������ ��������/ �� ������ �� �������� ��� ����� ����� �� ������� � �� �$�������� ��� ������������� ��� �$������ ������

"�� ,��� � �5���

���� � � 5�◦ +�� �� ��C��� �� ) ����#� �� ���� ���6%�� ������ 5 �� ��0���� ��� ���4���,�� Rg9 ������� �� ,�������9 �� ���� �� ����� A9

����,�� �� �� �� �� ���� � �� ���4���� ��� ���,�� ���0����.

−−−−→V(A/Rg) = Cste

���� � � 5�◦ +�� �� ��C��� �� +�� $���������� �� � ���������6%�� ������ 5 �� ��0���� ��� ���4���,�� Rg9 ������� �� ,�������9 �� ���4���� �(�� ����

�� ����� A �� ��� m ���� 5 ������� 0����−→F 9 ��� �� ���� �

∑−→F 9 � �0�� 5

�� ���� ��� ? ∑−→F =

d−→pdt

⇐⇒∑−→

F = m · −−−−→Γ(A/Rg)

�S −→p = m · −−−−→V(A/Rg) � ������ 4�� ��� ���� � � �� ���4���� �� A ��� ������ 5 Rg.

���� � 8 5�◦ +�� �� ��C��� �� ) ����#� ��� ������� ��# �����6 � �� ���� �� ����� A1 �6���� �� �� �� �� ���� �� ����� A2 ��� 0����

−−−→F1→29 ���� A2

�6���� �� A1 �� 0���� ������ ?−−−→F2→1 = −−−−→

F1→2.

�� '� ����� ��������� ���� �� �� ��� �� ��� � ������������ ��� ���� (�� ���� ���� � ����)������ � ������� � �������� �� ���*������ �� ����)�� � �� �������� ���� ������ � � �� ������������� ����������

�$�� 5��� 6������

Page 82: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

"�� ����������

+ � � ����� �� �������

F� ������� �� ��� ���������/ ���� ��� ������0�� �� E

G ��������� � ���� �� �����0��/

G ���� � ������� �� ��'����� �#� ����/

G ��������� �� ����������� �� � �����

�������� �� *� ���� �� ��� ��� ��������� 5 �� �� ��� �� �(�� � ��� �� �����9 ����� ���� �� �� ����� ��� ��� �� T���� A������� �� ,�:B.

+ ��� ��� ��

"#��� �� ����� ������� ��������� ��� �� ������� (P,�F )� P ��� �� ����� �#������������ �� ���� �� �F � '���� ���� E

G �� ����� ������ �� �������� �#�B�� �� �#����� �������/

G �� �������� �� �� ���� ���������� �� ������ �#����������� �� �#����� ��������

F� ������� ����� �� �� 0����/ �#�.� ����� ��� �� ����� �#���������� �� �� ���� �� ����� �������� �� �� ����� O�� ���� �#�.����� �� "�# �� <�=�

+ % ������ �&��� ��� �

�� ������ �� ���� �#��� ��� ���������� �K����� ��� ��������� �� ����������� �������� ������ �������� �� ��������� �� ������� �� ��� �'��� � �����0�� �� ����� @������� �� ��'����� �� �������� �#� �$����� ��������� 8� �B��/ �� �� ����� � ��$�� @� �$����� �� ��. ����� �F ������ �� �������� @ 3��� �� ��� �.��������/ �� ��� �������@ ������ ���� �� ��� �.� ������ (O,�z)/ �� ���/ 0��� �� �� ����� ��� �B���� ��������� ��$�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� �� ���3��� ���������� �� ��������� �� ��������#��� � �����0�� �#������ �������� @ ������ � ��'����� �� �������� @ � �$������������� ����������

O

z

�F

�F

��� )�� G +"�� �� ������������ �� ������ ����� ����

�������� ������

Page 83: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)�� ����� ��� �!

F� �������� ����� �� ������ �� ������ �#�� ���� �� � ������ F� ������� ������ ��M �#�� ���� �F �������� �� P / �� '����

−−−−−→M(M,�F) �� ��� �� E

−−−−−→M(M,�F) = −−→MP ∧ �F <)��=

�� ������−−−−−→M(M,�F) �#�� ���� �F �#�.����� �� "�# ��.�� �� <���=�

������� � �� �(��� ��� � <>� ����� �������� �(�� ��� ��������� �6����� ��� ��� ������� ���� ��0����� ���

��� �. >� ������� �(�� ��� ��������� �6����� �� �� ��� � ��� ��� 0���� �F ��������� ������ P .

)

� $ 5 5 � ! � � � � � # � 7 � � �

��� )�� G ����������� ����� ����666

>� ��� ���� �������� �� ����� �� ���� A �� �� 0���� �F �� � ����� �� ����� ��� �(������� �� 0���� ? −−−−−−−−−→M(A,�F→porte) = −→

AP ∧ �F

�(���� �� ����� ��� �� ������ 4�� �����9 ��� �4�� ��� �� 4�� ���−−−−−−−−−→M(A,�F→porte) � ��

��� ?@ �� ����� ��� �� ����� � �� ��,����� �� ���� 0���� ���

−→AP � �F 9

@ �� �� �� ����� � �� ���(−→AP ,�F ,

−−−−−−−−−→M(A,�F→porte)

)�� ����� 9

@ �� ����� �� ����� 4�� ?

‖−−−−−−−−−→M(A,�F→porte)‖ = ‖AP‖ · ‖�F‖ · |sin θ| = ‖�F‖ · ‖AP‖ · |sin θ|︸ ︷︷ ︸d

= ‖�F‖ · d

"���� ������� d ��� ������� �� )�� �� ��4���/ ��� ��������� @ �� ������� �� ��� ��������� �� ����� �� ��� � ������ <��'��� �� � �.� �� ��������= �� �� ������ �� �� �������������� ��� '�$��� �� �� �.����� ������ �#�� ��� �����0�� �� ����� � ������ ������ <� ����= �� ��. �������� ��B������� E

G �� �������� �� ������ �� ������ '������� '���� �H�� �� ������ �� �� ������ ��A�3����������� �� '���� �� � ������/

G �� �������� �� ������ ��� �3$���� �� 0��� �� ��'������� '������ �#�� �� �� �� ��. ���3���� ���� @ ��>������ ������������ ��� �� �����#3�� � �$�� �� �(�� <���� � ����/ ������� � �$�� �� �����/ ���=�

�$�� 5��� 6������

Page 84: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�) "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

"�� ������������ �� ������� ���������

�� �.���� ��. �������� �� ������ ��� ������ �������� ��������� @ � �$����� ������������ �#�� ���� �� ������� �������� E

G @ ������ �� ��� �������� �3$����/G @ ������ �� ��� ��������

+%� � ����� �� ������� ����������� �� ����������� 9 Σ

D�0����������/ ��� ���������� ��� ������� �� ����� ���� �� ������� ��\� @ �������� �� �$����� �������� Σ� "� �$����� �������� Σ ���� @ ��'�� � ����� �� ��������� �� ������� � �� �$�������

��� ��'��� ��� �������� ��� ������ �������� @ ������ �� ��� �������� ��� �������� �$����� Σ ������

��� �� ��� ��������� �6 ������� @ Σ ���� ��� ������ �������� ��� @ ��� �����'��A����� �.�������� � �$����� Σ ����� �� ��������� �.������� ∂Σ/ ��� ��� H��� �� ������� ����� �#� ������ �.������ �� Σ �� Σ/ � �#� �����/ �#� �������/ �#� 3������������ � �� ���������

��� �� ��� ��������� �� ������� @ Σ ���� ��� ������ �������� �.����� ��� ����������� � �$����� �������� Σ �� �� ���� ������� �� Σ� F� ��� �� ������ � ���������0�� E

G �B���� �� ����� ����� �������� � �$�����/G ����������� � �������� @ �#�������� � �$�����/G �B���� �� �3����� �� �� ������� � ���� ��� ������� �������� �� �$������

+% � ����� �� ������� �� ���� � �� 9 ������ �

F� ��� ���� ��'���� ��� ������ �������� �� �#��������� @ � �$����� Σ @ �������� ��� ������� E

• �� ��� ��������� �� ���� � 4��������/ � ������ �������� @ �������/ ��������'����� �� �#���������� @ ������� ����� � �$������ E

G 3��� �� �������� � �� ���'�������/G 3��� ��������� � ����������������

• �� ��� ��������� �� ���� � ��0������/ ��� ����������/ ����� ���'����� � ���������� ��. �������/ � ����� � ������ �� � I��� E

G ������� �� @ � �0����� <�.� � ��0���/ �'� � ���� �����������/������/������ � ��Q�.=/

G ������ �� ��������/G ������ �#������������

"�" &����������� � �� ������ �������� ���������

O�� ����� ������� ����������� ������ �� �#����� �#� ���� �� � ����� ��������� ����� � �� '���� �#� ���� ����� "���� ����� ������� ����������� ��� H���

�������� ������

Page 85: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)�) +������ ��� �(��� �� ��� ��������� ������ ���� �+

��������� ��� � �������(M,d�f(M)

)/ �'� M � ����� ����������� � ����� ������� �����

�� d�f(M) ��� �� E

G ‖d�f(M)‖ ��������� �#��������� �� �#����� ������� ����������� <�� ��?���=/

G �� ���� �� �� �������� �� d�f(M) ��������� �� ���� �� �� �������� �� �#����� �������������������

++� ��� �&��� � ���� �� ������ 9 ������ �

%��� � ��/ �� ����� �#����� ������� �� ������� '������/ �� ����� ������� ������������ ����� � ����� ������� �� '���� ����������� dV �

�#����� ������� ����������� ���� ����� ��������� ��� E

d�fv(M) = fv(M) · dV · �u <)��=

,'� E• fv(M) E ������� '������ �#�B��� <N ·m−3=/• dV E '���� ����������� <m3=/• �u E '���� ��������

�(�(�(� ������ �������� �� � #�������

�#����� ������� �� �� �������� ��� ���� ���������� ���� ��� ����� �� ������� ��� �$������/ #��� �� �B�� �� ���� ����� ������� �� ���� ��(��� ��������� 4�������/��� '������ 0����Y� �� ���� ��'���/ ���� ����� ������� ��� �������� ��'��� ��� ����������� �������� �.����� �� �� �$������

F� ����� M�#����� ������� �� �� ��������N � �� M�����N ��� ���������� �#������������ �.���� �� � ���� <�� ����� �= ��� �#��������� ��'������� �� �� ����� <���A'��� �= �� ��� ����� ����������� <�X�� � ���� �� �� ����������� ��������� �#��� ��� � �������������������/ ���������� �#�����>������=� "���� ����� ������� ��� '������� ���������� <��A����� '��� �� ����� �� �� �����=/ ���� ��� ��������������� @ �� ����� m �� � ����/ �� ������� ���������� ��� g/ �#���������� �� �� �������� ���� ��� �������� �� '���� ��$����9,81 m · s−2� �

�������� �� � �� ��� 5 )��� �� ��,��� ��� � ����9 �� ���,�,� ������ �� �����������9 ��� �� 0�� �� ���6 ���� ������� �� �� ����� ��� ���� ��=���� �9 ����� � ��� ,������� �� ������� �� ����� ��������9 ���� ��� �� ���� ������ �� ������� ���� ��� ��� ������ �� ����� � ����,�.

9��� � ������ S/ �� ����� '������ ρ/ ����� � 3��� �� �������� ��������� �g��#����� ������� ����������� ��� � ����� ������� �� '���� dV ����� �� �� ����� P�� S ��� �� ��������� ��� E

d�P = ρ · �gdV�� +������� � � ��� ���,���� � ����� � ��� ��� ������ � � ����� � ������� ������� ����

����� ���(���� � ������������ ������ � ������ � ������������ ���� ����� �� ,���� ������������� -� ������� ������ ��� ��� 9,78 m · s−2 � ���(����� � 9,83 m · s−2 �� �� �� �� �.��� ���

��/���� ��� ��� � �������������� ������0���� � � ������������� �������

�$�� 5��� 6������

Page 86: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�- "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

� 8 " 8 �

� � �

��� )�! G -���� �������� �� �� ������� �� �� ����� S

F� ��� ��� �� ������ �#����� ������� ���0��� �� �� �������� �� �� ������ S�������� E

�P =∫

Sd�P =

∫Sρ · �gdV = ρ ·

∫VdV �g = ρ · V �g = m · �g

�(�(�(� ���� � ����� ���

��� ���������/ �� ������� ��� �� �(���� �� �#� �$����� �������� Σ �� ����� ������ m/ ��0��$����� �� ��� ��� ������ M � �$����� �������� Σ �B���� �� ��� ����� ������������������'� dm� "� ����� �#��� ����� �#@ ������ ��� ������� ����������� � �$����� �� ���� �� @ ������ � ��'����� � �� �#��'���������� ���� ����� �'��� Σ�

∀Q, −→QG =

1m

∫Σ

−−→QM · dm <)�!=

F� �� ���� ���������� �� �������� ��'���� �� ��� ���� ���� ���� ��� �� ���� E

∫Σ

−−→GM · dm = �0 <)�)=

�������� �8 � �� ���9 �� �� 0�� �� ���0����� ��� �� �(���� �� � ��� �� �� ,��4� ��(�� �����. &� �=� 9 �� ��� �� �� ,��4� � � ����� ����� � �� �� ���� �(������� ��� ���� ���� �� � �� �� ��� �� �� ,��4� � �� �� � ��� �� ����� ��������9 �� ������ ���� ���(��4��������� ��� ������ � � �� �� � ��� � ��� ��� ����������� �� ����� �� ,��4� ���� ������ �� � ����,�. %��� �� � ���9 �� ��4��� �� ��9 �� ���6 ���� ���� ��������0���� � �� ��� �� �(���� �� ��� �)��4���� �� � G.

�������� �� %��� �� � ��� Σ ������ �(�� ����)�� �� �����9 �� ��� �� �(���� ��G �� � ��� � ����� ����� � �� �� )������ �� �� ������ �� ��� �� �(���� �� �� ������������ Σ �=�� � �� ���� ��� ����� �4�.

∀Q, −→QG =

1M

n∑i=1

mi−−→QGi M =

n∑i=1

mi

�������� �9 (�� �6� � �� ������ �� ��� ��� �� ����� ���� �� � ��� Σ A���� 9 �6��� ����B9 �� ��� �� �(���� �� ����� ��� �)��,� ������� 5 �� ������ .

�������� ������

Page 87: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)�+ +������ ��� ������ �(�� ����)�� �(�� ��� ��������� ��

9� �� 3��3� @ ����� �� ������ ��'������ ��� �#����� ������� �� �� �������� ������ G/ �� ���'� E

−−−−−−−−−−−−→M(G,pesanteur→S) =∫

S

−→GP ∧ ρ · �gdV =

∫S

−→GP · ρdV︸ ︷︷ ︸

�0

∧�g = �0

F� ���������� ��� �#����� ������� �� �� �������� ��� � ������� �.����� �� G E{F(pesanteur→S)

}=

G

{−−−−−−−−−−→R(pesanteur→S) = m · �g�0

}

++ ��� �&��� � ���� �� ������ �� ���� �

%��� � ��/ ��� ������ �������� ���� ������� � ����� ����� ��� ����/ � ���� ������ ������ �������� �� ������� �������� �� ����� ������� �������� ���� ��� � ������������ �� ����� ����������� dS� �#����� ������� ����������� ���� ����� ��������� ��� E

d�fs(M) = fs(M) · dS · �u <)�+=

,'� E

• fs(M) E ������� ������� �#�B��� <N ·m−2=/

• dS E ����� ����������� <m2=/

• �u E '���� ��������

�������� �� ��� �� �� �� �� ��� ��������� �� ���� � �������� A���)���� ����9�������� ��� ��)� �����B9 �� �� � ������ �������� ��� �� �� � ������ �� ���,���� ���$��� ���� dl. *(�� ��� ��������� ��� ���� �������� ��� ?

d�fl(M) = fl(M) · dl · �u <)�-=

�4�� ?

• fl(M) ? ���� � �������� �(�=�� AN ·m−1B9

• dl ? ���,���� ������ ���� AmB9

• �u ? 4�� ��� ��� ����.

"�% &����������� ����� � �� ���6� � ������� ���������

O�� ����� ������� �#� �$����� �������� Σ1 �� � ���� �$����� �������� Σ2 ����� ������� �� �� ��0������� ��� �B��� �#�� ������� �#������ �������� ������������ ��������� '������ � ��������

"���� ��� �#�'��� ' �����������/ 3��� ����� ������� ����������� ��� ��A������� ��� � �������/ #��� @ ���� � ����� �#���������� Mi ����� �#� '���� d�f(Mi)��#�����0�� �� �� ������ �������� ������������ ����� �#����� ������� �� Σ1 �� Σ2/

�$�� 5��� 6������

Page 88: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

�� �� �������� ��� � 3��� �� '����� d�f(Mi) �� ��� �����Mi � '���� � �� �� �������������

�������� �: *� ����� � ��� �� �� ��� ������ ���� �� �� ������� �������� A4������� ��0���B ��� �� �� ��=���� ��� ? ���0����9 ��������9 � �. *� ��� ��� ��4�� 5 �� ����$��� �� ����� ��� �(������ ���� � �� ����� �� ��� �� A���4� �B � �� ��� ��� �� ���������� � ������� ������ �� �� �,�9 4����� ���4�� �������� ������ ��� �� ��� ��� ��� � ����4��,� �� ������ �� ���������. *� ����� ��� ���� � � ���� ?

p < pmatage

!� � ���� ����� �� �� �4��� �� ������� �� ������ �� ��� �� �� �� ���6 ����� 5 ��� ���� ������� ��� �� ����� � ��� �� ������.

) �� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $ ) �

� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $

��� )�) G �������� �� � �� �� �������� ������� �������� ����������� �� �����

"�' &����������� ���6�� � �� ���6� � ������� ���������

�� ������������ ����� ��� ������ �������� ������ �� 0��� ������� �#�B�� M����N �

��� ������ �������� �� � �$�����/ � �� ��� ��� �����H� ������ ��� ��������� ��������������� �� � �$����� <�������� ���������/ �������� �� �����=�

"��������/ ���� ������������ ��� ���� ����� @ ������� �� ��� �$������ �����.�� <���� �#����������= � ���� �� �� ������� �#�� ������� �� ������ @ ������� ���� �#�� ����������� � �$������/ #��� @ ���� ������ �#�� �#��������� �. ��'������ � @ �#�����0���#� �$�����/ �� ������������ ��� ���0��� ������ �� ����������� �K������ �#������������ �#� �$����� �������� �� � �����

+2� 1����-�� ��� � ����� �� ������� ���� ��� ��� �� �'��(�� ��������

%#�� ������� ��������/ �� � �$����� �������� Σ1 �.��� �� � �$����� �������� Σ2

� �����0�� ��� �#������ �������� ���������� ��� p �����−→Fi �. ������ �#����������

"� 1��� � ���� ������2

�������� ������

Page 89: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)�- +������ ��� ,��)��� �(�� ����)�� �(�� ��� ��������� �

−→F1

−→F2

−→Fp

1P

2

Σ

PpPM

yg

g

gx

O

z

��� )�+ G !��.�� �������� ���� ' �� ������� ������� ��������

Pi/ �� ��� ���������� �#�����0�� ��� ������ �������� ��������� @ � �$����� ����������� ��. '����� E

G �� ��������� ��� ������ �������� �.���� ��� Σ1 �� Σ2 E

−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =p∑

i=1

−→Fi <)��=

G �� ������ �������� ���� � ����� M ��� ������ �������� �� Σ1 �� Σ2 E

−−−−−−−−→M(M,Σ1→Σ2) =p∑

i=1

−−→MPi ∧

−→Fi <)��=

�������� �� � �� ������� 5 �� ����� �� �� ������� ��� ������� �� ���6 4�� �������� ��$���9 ��� ���4�� ���� ��� ?

@ *� ���� �� �−−−−−−→R(Σ1→Σ2) ����� ���� �(�=� �� �(����)�� �� �� ��� ��������� �� Σ1

�� Σ2 ����� �� �� ������� �� A�� ��B ���4���� �� ����� ��� �� Σ2.

@ *� ����� −−−−−−−−→M(M,Σ1→Σ2) ����� ���� �(�=� �� �(����)�� �� �� ��� ��������� ��

Σ1 �� Σ2 ����� �� �� ������� �� A�� ��B ���4���� �� �� � ��� �� Σ2.

�������� �� �� � ������� ��� ����� �� ��,������ �� �� ��� ��������� ������$ ���� �(�� � ��� �� ����� �� �� �� �� ��� ��� �� ��,������ ��� �6����� �(����)���� �� ��� ��������� �6 ������� ��������� 5 �� ����� �� 5 �� � ��� �� �����.

+2 0������ ��� � ����� �� �������

�� ������ �������� ��� ������ �������� ��������� � �$����� �������� Σ2 '������� �������� �� 3�������� �� ����� �#� ������� F� ��� ��� �������� �� ��������� ���

�$�� 5��� 6������

Page 90: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1 "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

������ �������� �� �� ������ �������� ���� �� ������ ��'��� E

{F(Σ1→Σ2)

}=

M

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =p∑

i=1

−→Fi

−−−−−−−−→M(M,Σ1→Σ2) =p∑

i=1

−−→MPi ∧

−→Fi

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

<)� =

"� ������ ��� ������ �� ����� �� �� ��� ��������� � �$����� Σ1 ��������� �� ���$����� Σ2�

"������������ �. ����� ������� ������� �� �������/ �� ������ ��� ������ ���A����� ��� ��'��� �.������ ��� ����� �� ������� E

{F(Σ1→Σ2)

}=

M

{X · �x+ Y · �y + Z · �zL · �x+M · �y +N · �z

}=

M

⎧⎨⎩X LY MZ N

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

<)��1=

�������� �� �� 0�� �� %������� �� �� ��� ����������9 �� ����� �� �� ��� ����$����� �� ������� �� � ��� Σ � ��� ����� ���.

∀M{F(Σ→Σ)

}=

M

{0}

<)���=

�� � �������� � �� � �� ����� ���� ��� �� ����6 �� � ��� 5 �����. &� �=� 9 ��������� ���� �� ���� ���� � ���� �� � ��� Σ � ����9 ��� ���J�� ��� ��� �=�� 5�(�� ������ �� 5 �(�6 ������ �� �� 0��� ���� �� � ��� � ���� ��� �� 0���� ������C �� ���� ��� �� ���� ��� ��� �� �(������� ��� �� %������� '������� �� �� �� � ���� �� ���� ���������.

+2% ��� ��� � ����� �� ������� ������������

%��� �� �� ��� ������ �������� ������������ �� ������� ������� � '������/ ���.���� �� ������� �� �� ������ �������� �������������

��� �� ��'��� ��� ��� ������� �� ����� ������� ��� �������� �� ��B������� �A����� ��������/ ���� ��� ���������� �� ����� ������ ������ �� �� ������� ��������<����� � '����=/ #��� @ ����/ �� ������������

%��� �� �� �#�� ����� ������� �� ������� ������� <����� �� �����=/ �� ��������������� ��� �� ����� �� ����� �� Σ1 �� Σ2/ �� �B��� ����� �� ��������� ��0�� ���� ����� S E

{F(Σ1→Σ2)

}=

O

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =∫∫S

fs(M) · dS · �u

−−−−−−−−→M(O,Σ1→Σ2) =∫∫S

−−→OM ∧ fs(M) · dS · �u

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

<)���=

�������� ������

Page 91: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)�� *� ��� �� ������) ��

) �) �

� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $

� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $

� � � � � � �

� � � � � � �

% � /

%

��� )�- G ����������� �������;����������� ����� ��� �� � ���� ����� ��������

%��� �� �� �#�� ����� ������� �� ������� '������ <����� @ �������=/ �� ��������������� ��� �� '���� �� Σ2/ �� �B��� ����� �� ��������� ������ �� �� '���� V2 E

{F(Σ1→Σ2)

}=

O

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =∫∫∫

V2

fv(M) · dV · �u

−−−−−−−−→M(O,Σ1→Σ2) =∫∫∫

V2

−−→OM ∧ fv(M) · dV · �u

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

<)��!=

"�( ,� ���� � �����6

�����#� ���� ��� �� ��'�����/ �� ��� ��(��� ����� @ ��� ����������� <��������� ���#��� � �� �#��/ ���������� �� �� ���� �� �� ���/ ���������� �#�� 0���� �� �� 0��� ����� ��������/ ���=� "�� �������� �.����� �� �� ���� �� ����� ������� �� �#������ @�� '�������

9�'���/ ��� ���������/ �� �������� �� ����������� ��������0���/ �� �������� ����� �������������� ���� �� �#������� �� �� ������� �� ��� �������� �0���� ��'��� �#�� ���'�������� �� %��� �� �� ��������/ �� ��� ����� ����� ����� �� �#�B�� �� � ���������� <� ���#��3�����= ���� ��� ������

F� ����� ��� ������ �������� �� ����������� �� ��. ������ E

G ��� ����������� �������/

G ��� ����������� '����.�

�����#�� �#���� �#� ���������� ������/ �� ��� ��������� �#����� ������� �� ������A����� ���� ����������� ������������ �� �� '������ � ����� 9� �� ���� ��� ����� @��� ����������� '����./ �#����� ������� �� ����������� ��� ����� ��������������� @ ��'������ � �����

��� ���� �� �� ���������� ������ ��� ��� ���������� ��� �� P*◦ ����� ��� +��� � �� ����� ��� ���� �������� ����Q �������� ���������� ��� ��� ��'������� ��� �� �3$�����

3� ��� ��� ��� ������ �� ��4� � ���� � ������� �� �5��)� � � �� ��� ��� �������� ����� ������� ���������� � �� ���������� �� ����� � ��!��� � ����)� ������(�� ���� �6� ���� �� ,������������ ��������� � ��������

�$�� 5��� 6������

Page 92: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

�1� �� ��&����� �� �����* <��!-A��1-= @ �� �� � ��◦ ������ 8���� ���������� �� �A��������� ����Q ���������� ��� ������ ����� ������� �'� � ���������� � �� �#��3����� ��

���� ��� 8 ���)���,��

*� �� ���0������ � ��� ��� 5 ��� �� �� ������ ,������ ���0��� A0�� ��B � ��,�A������9 � ���B9 �� � � � ������ �� PU7V ��� �. ������ ���� ���,��� �� ������ ���� ���� �� ��������� ���� �)�� �� � �������� ������ ���6 ���� �� ��� �� �� ������(�� ���4���� ���� �0. &��� �����4�� �� �� �� �� �� �� ������� �� 0�� ���� 9 �� �(����� �� �� ��)����� ���.

+3� ������������ �� ��� ��� � ����� �� �������

F� �������� ��. ������� S1 �� S2 �� ������ "� ����� ��� ��������� ��� �� ������� ����� S�

F� �� ���� �� � ����� P ������� �� S �� �� �.����� �#����� ������� ������������� ����� �� S1 �� S2�

d�f(P ) = f(P ) · dS · �u <)��)=

�� ��� ��(��� �����0�� �� ������ � ����/ ����� π/ ������� @ �� ����� �� ����� S�� S2 �� S1/ � ����� P ��������� F� ��������� � ���� π/ �� ���� ��,�� �� ��� �� � "����� ��� H��� ����� ��� �� �������/ ����� �n(P )/ ���� ������� ����� ������/ ��� ��'������/�������� ��� ������� @ S2 <�������� '��� �#�.������ �� S2=�

)

� �

� �

&

� 7 � ) �

� 7 & � ) �

� 7 ! � ) �

��� )�� G ����������� �� ����� ����� ���" �� S1 �� S2

��� ��'��� ����� ���(���� �#����� ������� ����������� � ����� P ��'��� �� ���A���� @ �� ����� �� ����� S � ����� P �� ���� �� ���� ������� � ����� � �����P �

d�f(P ) = d�fn(P ) + d�ft(P ) <)��+=

7� +�������� ���� � ��� �� �� ������������ ����� ���� �������� �� ���� �� ������ ����� ��������

�������� ������

Page 93: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)�� *� ��� �� ������) �!

F� ��� ����� ����� E

d�f(P ) = fn(P ) · dS · �n(P ) + d�ft(P ) <)��-=

�#����� ������� ������� �� S1 �� S2 �#�.��� ��(��� '��� �#�������� �� S2�/ ����

��� ���������� ��� �� ������ �� ��� �� / ����� p(P )/ ��(��� ������'�� F� ��� ���������� E

d�f(P ) = −p(P ) · dS · �n(P ) + d�ft(P ) <)���=

�������� �� *� ��� �� ������) �� ��� ��� �� ��4������� ��� ���� �� ������ ��������4�� �� )��� �� ,��������� 5 �� ������ ,��)�� �(�� ��� ���������.

�������� �� "�� 4����� �� ��� ��� ��� ��� �� ���� �� � ���� � ��� �� ������ ��������� ��� �� ����� �� �(�� ��� ��������� �������9 �� ���� ��� �������9 ������ ���� �� �� ��� ��������� ��������� �� ���� S2 ���� ��� �� ����� ��� �� ���4���� ���(������)�� �� ���� S2. &� ����������9 ������ d�fn(P ) = �09 �� ��� �� ���.

��� �� ������������� �� �#����� ������� ����������� ������������ d�ft(P )/ �� ��� ���������� � ��'����� � � ���A��'����� � ������ S1 ��� ������� � ������ S2� ����'��� ��� ��. �� @ ������/ �'� � ���� ��'����� ��������

+3 ��� �� ���� � ��� ����������

%��� �� �� �R �� $ � � ��'����� ������� ����� S1 �� S2/ �� ��� ������� � ��'�������� �� '������ �� ���������� ��� ���� � ����� P ���������

−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0 <)���=

%��� � ��/ �� $ � ���������� �� ����������� ����� ��� ������� S1 �� S2� �3$��������/��� ���������� �� �� ����������� �#�������� � ��'����� ������� �� S2 ��� ������� @S1� "����0 � ������/ �#�� �������� �����.�������/ �� ��� ��������� �� E�◦ �� ; d�ft(P ) �#�.��� S1 �� S2 ��� ������ ��� �� �H�� ������ ��

−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)�

�◦ �� ; d�ft(P ) ��� �� ���� ������ @−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)�

�◦ �� ; ‖d�ft(P )‖ ��� ��������������� @ �#����� ����������� ������� ‖d�fn(P )‖�

‖d�ft(P )‖ = f · ‖d�fn(P )‖

��� ����� ���� �A����� ��'��� H��� ������ ���� �� �������� �������� E

d�ft(P ) = −f · ‖d�fn(P )‖ ·−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)

‖−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)‖<)�� =

8� 9� ,���� �� ������� � �� ����������� �� ����� S2 ���� � ����� S1� ��� �� ,��� ������� ���

�$�� 5��� 6������

Page 94: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�) "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

f ��� ��� � ����� �� ���������������� ����� d�ft(P ) �� d�fn(P )/ �� ��� ������ ��K������ �����������

f �#��� ������� �� �� �� '������ �� ����������/ �� �� �� ������� �������/ �� �� �� ������� �����/ �� �� ������ �� E

G � ���� �� ������� �� S1 �� S2/

G �� �#���� �� �����/

G �#�� �'������� �0���������

F� ��� ������ �� ��K���� �� ���������� ��\� @ �� ������ �� Y�� �� ���������� ������A����� �#�'����� ϕ/ ������ ����� �� ����������/ ��� �� f = tanϕ�

)

� �

� �

&

� 7 � ) �

� 7 & � ) �

� 7 ! � ) �

" � ) ( � � � � � �

��� )�� G :����� �� <�� �� ����������

9�−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0/ ����� �#����� ������� ����������� �� ����� � ������ S1 �� ��

������ S2 � ����� P / d�f(P ) = d�fn(P ) + d�ft(P )/ �� ���� �� �� Y�� �� �����������

+3% ��� �� ���� � ��� ��/���� �

��� ���������/ �� ��� �#�� $ � ��3����� ����� ��. ������� �� � ����� �� ����� P / ����� ���� �� �� '������ �� ���������� ��� �����

−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0 <)��1=

�#�.������� ������ ��−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) ����� ���� ���� �� ‖d�ft(P )‖ �#������� ��� �� '����

‖d�ft(P )‖ = f0 · ‖d�fn(P )‖� %��/ ������ �� '������ �� ���������� ��� ����/ ‖d�ft(P )‖ �����

��������� @ f0 · ‖d�fn(P )‖ �� d�ft(P ) ��� ������� ���� �� ���� ������� � ����� π��� ��������� f0 ��� ������ ��K���� �#��3�����/ �� ��� ������� � ��K���� ��

���������� f ��� � ����� ������9�

−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0/ ����� �� ��������� ��� ������ �������� �� ����� � ������ S1

�� �� ������ S2 d�f(P ) = d�fn(P ) + d�ft(P ) ��� @ �#�������� � Y�� �#��3����� �� ����A������#�'����� ϕ0 ��� �� f0 = tanϕ0�

�������� ������

Page 95: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)�� *� ��� �� ������) �+

)

� �

� �

&

� 7 & � ) �

� 7 ! � ) �

� 7 � ) �

��

��� )� G :����� �� <�� ����������

�������� �8 5������ �� $ �������� �� ����1 ����6&� ����� �9 �� ���2���� �� 0�� ���� �(� �� ���������� �� �� 4� �� �� ,������ 9

�� �4��� ��� ��� �� ����� � ��� �� ����)� ��$����.

f0

f

"��K���� �� ����������

−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)

��� )��1 G +�������� �� ��=���� �� ����������

"�� ���4�� �������� � ����� �� ������� ��� ��� ����� ��4�� � ?@ ���� ��� 4� �� �� ,������

−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �09 ��� ���4�� � ����� �� ���2����

�(��������� f09@ �� ��(�� � � ��� 4� �� �� ,������

−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) ��� ����� ���� ��� � ����� ��

���2���� �� 0�� ���� f = Cste.

��� ���' �� ������� f0 f�� �0���� �� �0����

,���;,��� 1/� @ 1/! 1/�+ @ 1/� 1/� 1/��,���;7���Q� 1/� 1/�� @ 1/� 1/�+ 1/1�,���;C������ 1/! @ 1/) 1/�+ @ 1/!+,���;�4C8 1/1� @ 1/) 1/1� @ 1/1� 1/1! @ 1/1+���; ��� � 1/+ @ 1/- 1/! @ 1/+

�$�� 5��� 6������

Page 96: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�- "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

+3+ ��� �� ���� � $������

9�/ ���� � ����� ����� ��. �������/ �� ��K���� �� ���������� f ��� ��/ ����� �#������������ �� ����� �#��� ������ �� ��� �� ������� −→n @ �� ����� �� ������ �� ������������������� d�ft(P ) ��� ����� ����� �� ����� ��� ����� ��� M���0�� N�

"�) &����������� ���6�� �� ������� ��������� � �������

O� ����� ����� ��. ������� ��� H��� ������/ ������� � �������� ��� �'��� '����������� <��� !����/ �� )+= �� ���� ��� ��� ��/ �� ����� �� ���� �� �� ����������� <����������� ����� ��� ������� � ��'�� � �����=�

��� ��'��� ��������� �#�����0�� ��� ������ �������� ������������ �� ����� �������. ������� S1 �� S2 @ ������ �#� ������ �#������ �������� <������ ���0��=�

{F(S1→S2)

}=

I

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−−−−−−→R(S1→S2) =∫∫S

fs(M) · dS · �u = −−−−−−→N(S1→S2) + −−−−−→T(S1→S2)

−−−−−−−→M(I,S1→S2) =∫∫S

−→IM ∧ fs(M) · dS · �u = −−−−−−−−→Mp(I,S1→S2) + −−−−−−−−→Mr(I,S1→S2)

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

<)���=

%��� � ��/ ��� '�$��� ������>��� � ������ �� ��� ��'��� ���(���� �� �� ��������n(I) � ���� ������� � ����� � ����� I �������� ����� �� �� �� ���� ������� � �����π�

−−−−−−−→M(I,S1→S2) = −−−−−−−−→Mp(I,S1→S2) + −−−−−−−−→Mr(I,S1→S2) <)���=

F� ������ ����� �� ������������ ���3� �� ���� ���� ��� ���� �� "����0 ��� ������� �������

� �

� �

&

: � � ( � � � � � �

: � � � ( � � � � � �

: 5 � � ( � � � � � �

� � � � � � � �

� � � � � � � � �

� 5 � � � � � � �

��� )��� G :����� �� ������� �� ��������� �� �� ���������

�������� ������

Page 97: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)� %������ ��4������� ��� ��� �� ��� ��������� ��

+4� �������� � �� $���������

�� '���� � ������ �� ��������� � ��'������� ������ � ��'����� �� S2 ���������� @ S1 �� ��� �������������� ��

−−−−−→Ωp(S2/S1)/ <��� ����!/ �� !)=��� �.���� ��. �� EG 9�

−−−−−→Ωp(S2/S1) = �0/ ����� E

−−−−−−−−→Mp(I,S1→S2) = −δ · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ ·−−−−−→Ωp(S2/S1)

‖−−−−−→Ωp(S2/S1)‖<)��!=

G 9�−−−−−→Ωp(S2/S1) = �0/ ����� E

‖−−−−−−−−→Mp(I,S1→S2)‖ ≤ δ · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ <)��)=

δ ��� �� ��������� �� ��������� � ��'�������� �� ��� 3������� @ ��� �������

+4 �������� � �� ���������

�� '���� � ������ �� ��������� � �������� ������ ���� � ��'����� �� S2 ���������� @ S1 �� ��� �������������� ��

−−−−−→Ωr(S2/S1)/ <��� ����!/ �� !)=��� �.���� ���� ��. �� EG 9�

−−−−−→Ωr(S2/S1) = �0/ ����� E

−−−−−−−−→Mr(I,S1→S2) = −η · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ ·−−−−−→Ωr(S2/S1)

‖−−−−−→Ωr(S2/S1)‖<)��+=

G 9�−−−−−→Ωr(S2/S1) = �0/ ����� E

‖−−−−−−−−→Mr(I,S1→S2)‖ ≤ η · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ <)��-=

η ��� �� ��������� �� ��������� � ��������� �� ��� ���� 3������� @ ��� ��������#�B�� �� �� ������� ����� ������������ ���0�� ��'��� ��� ��� ������ �������� ��

�������������/ ��� ���� ��� ������������ �������� ���� ��� ����� ��

"�* �������� ��!��� �� �� ������ ��������

+�� :������ � ������$$�� $�� ��� ��� �

��� ���������/ �� ������� ������� �� �� ����−→F / �� ������� ����� ��� E

P(−→F →M/Rg) = −→F · −−−−−→V(M/Rg) <)���=

• �� ������� ������ � ����������� �#�����• �� ������� ��� ���� �� �� ���������� ��� ������������� @ �� ���� <��� �.����� E

���� �� �������� �� ���������� 3���Q�����=�• 9� P > 0/ ����� �� ������� ��� ������ <�#�.������ ������� �� �#������� � �$�����=�• 9� P < 0/ ����� �� ������� ��� ���������� <����� �#������� � �$�����=�• O���� 9��� E W��� <W=

:� &�� ���� ����� ������� ���� ��4���� � �������� !�������

�$�� 5��� 6������

Page 98: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

+� :������ � ������$$�� $�� �� �'��(�� �� ��� �� �$$������� �� ���$����� �������-��� �&�� ������

9��� � ������ �������� S �� ��'����� ��� ������� � ����������� �������� Rg (O, �xg, �yg, �zg)�

−→F1

−→F2

−→Fp

P1

P2

(S)

pP G

xg

zg

yg

O

−−−−→V(G/Rg)

−−−−→Ω(S/Rg)

��� )��� G !����� �������� ���� ' �� ������� ������� ��������

9�� ������ ��������� ��� ��� �� G�

{V(S/Rg)

}=

G

{ −−−−→Ω(S/Rg)−−−−−−→V(G∈S/Rg)

}

"� ������ ��� ����� @ � �����0�� �#������ �������� ��������� ��� p �����−→Fi ��

������ �#���������� Pi� F� ��� ���������� �#�����0�� ��� ������ �������� ���������@ � �$����� �������� ��� �� ������ ��'��� E

{F(S→S)

}=

G

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

−−−−−→R(S→S) =p∑

i=1

−→Fi

−−−−−−−→M(G,S→S) =p∑

i=1

−−→GPi ∧

−→Fi

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

��� ��'��� @ ������� ����� �� ������� P(S→S/Rg) ��'������� ��� ��� ������

�������� ������

Page 99: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)� %������ ��4������� ��� ��� �� ��� ��������� �

�������� ��������� �� �� ������ S�

P(S→S/Rg) =p∑

i=1

−→Fi ·

−−−−−→V(Pi/Rg) ��

−−−−−→V(Pi/Rg) = −−−−→

V(G/Rg) + −−−−→Ω(S/Rg) ∧−−→GPi

P(S→S/Rg) =p∑

i=1

−→Fi ·(−−−−→V(G/Rg) + −−−−→Ω(S/Rg) ∧

−−→GPi

)

P(S→S/Rg) =p∑

i=1

−→Fi ·

−−−−→V(G/Rg) +

p∑i=1

−→Fi ·(−−−−→Ω(S/Rg) ∧

−−→GPi

)

P(S→S/Rg) =p∑

i=1

−→Fi ·

−−−−→V(G/Rg) +

p∑i=1

(−−→GPi ∧

−→Fi

)· −−−−→Ω(S/Rg)

P(S→S/Rg) = −−−−−→R(S→S) ·−−−−→V(G/Rg) + −−−−−−−→M(G,S→S) ·

−−−−→Ω(S/Rg)

F� �����'� �� ��������� ��� �������� �� �������� � ������ ��� �B���� �.������� ������� S �� � ������ ��������� �� S ��� ������� @ Rg� F� ��� ��� ����� ���� ����������� �� ����� � �������� ��� ������� ��� �B���� �.������� �� ����������

P(S→S/Rg) =G

{F(S→S)

}⊗

G

{V(S/Rg)

}=

G

{ −−−−−→R(S→S)−−−−−−−→M(G,S→S)

}⊗

G

{ −−−−→Ω(S/Rg)−−−−−−→V(G∈S/Rg)

}<)���=

F� ��� �� �� ��������� M���'����� @ �� �����������N �� �� �� ������ M���'����� @ ����������N�

+�% :������ � ������$$�� $�� ��� �����;�<����

9��� ��. ������� S1 �� S2 �� ��'����� ��� ������� @ Rg (O, �xg, �yg, �zg)���� ���������� ��� �� ������ ��������� �� S1 ����� �� ��� �� S2 �� � ����� I

�� ������� ����� ��� ��. ��������

{V(S1/Rg)

}=

I

{ −−−−−→Ω(S1/Rg)−−−−−−→V(I∈S1/Rg)

} {V(S2/Rg)

}=

I

{ −−−−−→Ω(S2/Rg)−−−−−−→V(I∈S2/Rg)

}

"�� ��. ������� ���� ������ ��� �� ������� ����� �� ��� ����������� �� ������ ��������� �������� �� S1 �� S2� %� �� �H�� ��T��/ ��� �� S2 �� S1 �� ��� ��� ��������� ��\� @ �� ��������� ��� �� ��?����

{F(S1→S2)

}=

I

{ −−−−−−→R(S1→S2)−−−−−−−→M(I,S1→S2)

} {F(S2→S1)

}=

I

{ −−−−−−→R(S2→S1)−−−−−−−→M(I,S2→S1)

}

�� ������� P(S2↔S1) ��'������� ��� ��� �����A�B���� ����� S1 �� S2 ��� �#����� ����� ����� ��'���� E

�$�� 5��� 6������

Page 100: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

1 "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

P(S2↔S1) = P(S1→S2/Rg) + P(S2→S1/Rg)

P(S2↔S1) =I

{F(S1→S2)

}⊗

I

{V(S2/Rg)

}+

I

{F(S2→S1)

}⊗

I

{V(S1/Rg)

}

P(S2↔S1) =I

{F(S1→S2)

}⊗

I

{V(S2/Rg)

}−

I

{F(S1→S2)

}⊗

I

{V(S1/Rg)

}

P(S2↔S1) =I

{F(S1→S2)

}⊗[I

{V(S2/Rg)

}−

I

{V(S1/Rg)

}]︸ ︷︷ ︸

I

{V(S2/S1)

}

P(S2↔S1) =I

{F(S1→S2)

}⊗

I

{V(S2/S1)

}

��� ���'��� �#�.�������� �� �� ������� ��'������� ��� ��� �����A�B���� ����� �� ������S1 �� S2 �� ������� � ������ ��� �����A�B���� �� � ������ ��������� E

P(S2↔S1) =I

{F(S1→S2)

}⊗

I

{V(S2/S1)

}<)�� =

�������� �� *� ������� ��4������� ��� �� �� ��$�=�� �� ��� �(��� ������ � ��$�������� � �� ��0���� ��� �� ������.

�������� �9 ��� �� �� �S �� ������ � ��� ������ ���0�� � A�� 0�� ���� B9 ��������� ��4������� ��� �� �� ��$�=�� �� �� ������ � �)��,� ������� �����. ��� ����9 �� ����� �� �� ��$�=�� � �� ��������� �� ����� ������ ����9 �� ������� �����6 ����� � �� ��� ������� ���.

"��3 2����� �� ������� ����������6�� �� �� �������� ����7����� ������

��� �'��� ' ���� �� 3������ �������� <����� !�!/ �� )-= �#�� �.������ ��� �������������� ������� ��� �� ������������ ����������� %��� �� �� �R �� �������� ���� ���������/��� ��'��� �������� ������ �� ������ ��� ������ ����������0��� ��� �� �������� @ �������� �� ���������� �� ��� ������ ����������

�������� ������

Page 101: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)��1 ������ �� �� ��� ������)�� ��� �� ������ ��������� ������ �

���� � ��1���������� "� ���

�� � ������ )��� �#�������� �������� ��������*��

{F(S1→S2)}

9�3���A����<��������= ��������� (O,�z)

� � �

� �

��

� � � � �O

⎧⎨⎩

0 00 0Z 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

�������� ����A����� �#�.� (O,�x)�� �� ������� �z

� �

��

� � �

���

O

⎧⎨⎩

0 00 MZ 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

9�3���A$�������� ����� O ���� �������� �x

�� �

�� � �

��

O

⎧⎨⎩

0 0Y 0Z 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

,��� ���� ��������� �z

�� �

��

O

⎧⎨⎩

0 L0 MZ 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

9�3����� ������� O

� �

��

�� �

O

⎧⎨⎩X 0Y 0Z 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

�$�� 5��� 6������

Page 102: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

���� � ��1���������� "� ���

�� � ������ )��� �#�������� �������� ��������*��

{F(S1→S2)}

9�3����� @����� �#�.� ������� (O,�z2) ���� ���� �� ���A��� ( �x1,O,�z1)

� �

� �� � � � �

� �� �

��

� �

O

⎧⎨⎩X LY 0Z 0

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

��'�� ���������#�.� (O,�x)

� �

� �

� �

� � �

� �

O

⎧⎨⎩

0 0Y MZ N

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

��'�� �#�.�(O,�x)

�� �

�� � �

� �

O

⎧⎨⎩X 0Y MZ N

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

6�������� �� ��A������ �x

� �

�O

⎧⎨⎩

0 LY MZ N

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

D����Z�����#�.� (O,�x)

� � � � � � � � � � � � ! �

� � � � � � � � � " # $ � % �

� �

� � �

� �

� �

� �

� � �

O

⎧⎨⎩X LY MZ N

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

L = ± p

2π·X

8����������

� �

�� � O

⎧⎨⎩X LY MZ N

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

�������� �� %��� �� �� �� �� ������ ������D����9 �� 0�� ���� ���� � �� �� �� �(������

�������� ������

Page 103: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)��� �� ��� �� �� ����� ��� �� ������ !

���� ���4��� �����C �� �� �,�� �� ����� �� 0��� ��� �� �� 0����. !� �6� � ���� ���6 �� ?@ ��� �� �� �(��� ������ 5 ���� � ?

L = − p

2πX

@ ��� �� �� �(��� ������ 5 ,����� ?

L =p

2πX

�� ���� � � �� ���4� ������ ��� �(� ���� ��� �� �� ������� ��4������� ��� �� �� ��$�=�� � �� ����� ������ ���� �����.

"��� 8���� ��� �� ������������ � �������

��� �'��� ' � 3������ �������� �� ��� ��� �������� �� �����/ ��� ��'���� ���'���������� �� ������ ��������� ���'����� �� ��� �� ������� ���'�������

��� �����/ ���� �� �� ��� �������� �� ����������/ ��� �'��� ' �� �#���������� ���������� ���������� ����� ��� �������� %��� � ��/ �� ��� ��� ���� �#������� ��� ����������������� ��� ������� ��� ������ �������� ����������0��� ��� �� ���������� �� ����������'������ @ ��. �������� �� �����������

�� �K� ����� �#�.������ ��� ������� ��� ������ �������� ����������0��� ��� 3����������� �� � �H�� ����� �� �� ���������� �� ������ ���0�� �� ����� ��� ������ ������������������0��� � ������� ������ �� �#����� �� ����� ���� @ ��������� �� ������� ���'������@ ������ �� �� ����� � ������ ��� ������ �������� ����������0��� ��� �� ������� ���0����

������� 9 *� �� ��� �� �� ������� �"�� ����� � ����� �� ������� � ������� �� ���6 )���� ����������� ��������� (2) ����

5 �� ��� ����� (1) ��� �(���,�� �� � �� ����.

��� )��! G ������� �� ������� �� �� ���������

>� ���� �� ����� �� �� ��� ��������� ������)��{F(1a→2)

}��� �� ������ ��

(1a/2) �� ���� A � �� ����� �� �� ��� ���������{F(1b→2)

}�� ���� B.

�$�� 5��� 6������

Page 104: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

) "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

{F(1a→2)

}=

{F(1b→2)

}=

>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ����� �� ����� �� �����{F(2→1b)

}���� �(�6������

�� ���� A ?{F(1b→2)

}=

>� ������� ���� �� ����� ,��)�� �� �� ��� ��������� �� 2 �� 1 �� ���� A ?{F(1→2)

}=

A

{F(1a→2)

}+

A

{F(1b→2)

}=

*� ������ ����4���� � 5 �� ���6 ������ ��4� ,���� �� ��������� � ���� ��� ������...

������� � �� �� �(� ������� ��������� �� +���,� NOOO"�� ��� �� ������� 5 �� ������ ,��)��� ������ �� 0� �� �� ;��)� �� ���� 1 5 ��

������� 0 �� �(�4���. �� � ������ ,��)��� � �������� �� ���6 ������ �� ��������� ? ��������� �������� �� ��� �� � � ��� ������ ����� �������� �� ��� �� � � �� ����� ��� �x.

��� )��) G !���� ���������� �� ������������ ���� �� �� ������ )***

>� ���� �� ����� �� �� ��� ��������� ������)��{F(0→1la)

}��� �� ������

�����W�������� �� ���� A � �� ����� �� �� ��� ��������� ������)��{F(0→1r)

}��� �� ������ �������� �� ���� B.{

F(0→1la)

}=

�������� ������

Page 105: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

)��� �� ��� �� �� ����� ��� �� ������ +

{F(0→1r)

}=

>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ����� �� ����� �� �����{F(0→1r)

}���� �(�6������

�� ���� A ?{F(0→1r)

}=

>� ������� ���� �� ����� ,��)�� �� �� ��� ��������� �� 1 �� 0 �� ���� A ?{F(0→1)

}=

A

{F(0→1r)

}+

A

{F(0→1la)

}=

*� ������ ����4���� � 5 �� ���6 ������ �� ��������� � ���� ��� ������...

�$�� 5��� 6������

Page 106: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

- "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������

�������� ������

Page 107: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

������ �

�����

N �� ��'��� ������ �� ������� ���� ����� �� ����� �� �#���� ��� ���� �� �#���A��0��� "���� ��������� ����� �� �������� �� ��� @ �B�� ����� �#�����0�� �#� �$�����

�������� Σ �� ��� ������ �������� ���� �� ��� �������� ������������� ��� ������ �������� ��� �� ����� ����������� ���� �#���� �#�

�$����� ��������/ ���� ������ �� ��������������� ��� ��B������ �������� �� � �$�����<���������/ '�����/ ������= �� ������� �#���� ��� ������������ ��� ��B������ ���������������� � �$����� <��������� ��� �������.=�

O� ����� ���0�� �#������ �������� ���� ����� ��� ��� ���� �� ����������� <���A����/ ����������/ ����� �#� I���/ ���= � ���� ������� @ ���������� <����� ��������� �� ��������=� "�� ������ �������� ������ ��� ������� �� ��� ���0����� �� ����������� ������ �������� �� ����� ����� ��� ��B������ ������� ��������� �� �$����� ������� ��'��� H��� �0����� ��� ��� ���� �� �����������/ �� ��� ����� �� ������'����� �XA���� �� ������� @ ������ �� S'��� �#���� ������� �#� �$����� ������ �� ��������������$�������� � ����3������� �� ������ ��������� &���/ ���������/ ���� ���� ���A���� ������ �� ���������� ��� ������ �������� �� ����� �������� ���� �� �� �#��$����� �� �����0��� %��� �� �� �#� �$����� �� ��'�����/ �� ����� ��0������ ��� ����A����� �� ���������/ �� ������� �� �� ��������� �� ��'����� �� ������� �� �$��������� ���������� ��� ������ �������� �� �� ��'����� �#� �$����� �������� ��

%�� ������� �������� � �� �9����

,'��� �#������ �#�����0�� ������� �#� �$����� ��������/ �� ��� ������0������ �#�������O� �$����� ������� Σ ��� ��� ����� ����������� �� E

G �� � ����� �� ��������� �#��������� �� ��� �� �$����� �����/

G �� � �B��� �� 0���� ��� ������ �������� �.�������� ��������� � �$����� ������

�#�.������ � �$����� Σ ��� �������� ���� Σ/ #��� �� ������������� @ Σ ���������� @ �#��'��� ��

�� &� ,����� ������� �� �� ��� ��� ��������� � �� ����� �� �������� � ;&& � $ �� � ;&��� -���� �� ����� � ������ � ���� �� ������� �� ����� ���� �� ����� � ;&& ���������� ����� ��

� ������ � ��� �������� ����� �� �5��)� �������

�$�� 5��� 6������

Page 108: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

� "3������ + A � ����

S1

S2

S3

S1

S2

S3

Σ Σ−−−−−→F(S1→Σ)

−−−−−→F(S2→Σ)

−→P

F� ����� Σ =⇒

−−−−−→F(S3→Σ)

��� +�� G >������� ���� ��.�� ��������

F� ������� ������ �������� �.�������� @ Σ/ �#�����0�� ��� ������ �������� �.��A��� ��� Σ �� Σ� F� ��� ��� ��������� ���0������� ��� �� ������ ��'��� E

{F(Σ→Σ)

}=

M

{ −−−−−→R(Σ→Σ)−−−−−−−→M(M,Σ→Σ)

}<+��=

�� ������������� ������ �� � ������ �#������ �������� ��� ���� ��'��� �������0��/��� ���/ �� ������ �� ��������� �3$���� �� Σ �� �� �������� ��� ������ �������� ���������� ��� ��B������ ���A�����0��� ��������� Σ� ��� ���/ �� ��� ����� @ �B������ ����� �� �� ��� ��������� �6 ������� @ Σ�

�������� �: ��� �� 0����� �� �(� ��� �� � ����9 �� � ����� �� �� ��� ����� �� ,������� ��� ��� �� � ��� � ���� � �(� ����� �� �� ��=���� � �� ��� ��������� �����������6 ��=���� ���� ������� �� � ��� Σ � ����.

�������� �� *�� �� ����6 �� � ��� 5 �����9 �� �(���� ;���� �� )I �. &� �=� 9 ������ )I �9 �� � �����)�� �(�=�� ��� �� )���� �� �� ��� ��������� �6 �������.

%�� ������ :��������� � �� 1������

� � #����� �&������-�� ��������

O� �$����� �������� Σ ��� ��� �� �����0�� ��� ������� @ � ����������� Rg/ �� @ ���������� t/ 3��� ����� �� Σ ����� �� �H�� �������� ���� �� ������ ��� @ Rg�

⇔ ∀t,∀M ∈ Σ

{ −−−−−→V(M/Rg) = −→0−−−−−→Γ(M/Rg) = −→0

�������� �� "�� 4���� ��� �� ����� ��� ��$��� ��� �� �� ��� �(������)�� � �� �$����� ���� �� ��0���� ��� ����� ���� �(� ���. � �� ��0���� ��� � ,�������A��� P.P.P9 �. XB9

�������� ������

Page 109: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+�� %������� '������� �� �� �� � ����

�(������)�� ��� ������� �� ��� �� �(�)���9 ��� �� �� ��� �����9 �� ������� �(������)�� ��$�� �0.

�(�� �� ��� 9 � ��� ������ �(�6����� �(�� �4��� �� 4�� �� �������� A�� � ��� � 4� ����� �� �B9 �(�4��� � �� ������)�� ��� ������ 5 �� ��0���� ��� Rb ��� 5 �(�4���9 �� ������� ���� ��� ������)��� �� ��C��� �� �(��� � �� ��� ���� ������)��� �� ���� �� �(�4���.%��� �� 9 �� �4��� �(� �� � ����9 ���� �� �59 �� �4���� ��� 5 ������� 900 km.h−1

���� �� �4��� �� ��,��.

��� +�� G ?�������� ���� ����� �� ��� �� ����.��

!� � ���� �� ������)�� � ���� ��� ������ �� ��0���� ��� Rb � �� ������)�� ������������ ������ �� ��0���� ��� Rg ����� ,������� ��� 5 �� ���K � ���� ��. +��9 �� ��0���� ���Rb ��� 5 �(�4��� �(� $�� �� ,������� ��� ���Y �

� .��� � �� $��� �$�

���� � � 5) ����#� $��������� �� � ��������6!� �6� � �� ���� �� ��0���� ��� �� � Rg � ����� ,�������9 ��� ������ ���� �� � ���

�� ����� Σ �� ������)��9 �� ����� �� �� ��� ��������� �6 ������� 5 Σ � �,�� �� ��������.

∃Rg/∀P ∈ Σ,{F(Σ→Σ)

}={

0}

<+��=

�������� �� ���� ��� �(������)�� �� � ��� �� ����� ��� �� ���� ��� ?{F(Σ→Σ)

}={

0}

�� � �������� �(�������� �� �(������)�� �� � ��� �. !� �(� � ���� �� �� ��������� ����� �� ��������.

�� ��� ��� ����� ���� ��� ����� ������ �� 8<���"� ��� � � (�� � ���� ����(� ��� �� �� �� ���� � ������ � � ��� �������

�$�� 5��� 6������

Page 110: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�11 "3������ + A � ����

%�� 2������� �������$ ����� �� ����� -��������� � ���������

�%� 0/���(�� �� �� ���������� ��������

��� � �$����� �������� Σ �� �����0�� ��� ������� @ � ����������� ������ ��������Rg/ �� ��������� ��� ������ �������� �.�������� ��������� @ Σ ��� ���� E

∃Rg/ −−−−−→R(Σ→Σ) = �0 ⇔∑−−−−→

Fext→Σ = �0 <+�!=

�% 0/���(�� �� ������ ��������

��� � �$����� �������� Σ �� �����0�� ��� ������� @ � ����������� ������ ��������Rg/ �� ������ ��� ������ �������� �.�������� ��������� @ Σ/ ���� �� ��� ����� P��� �� @ ��� ������� E

∃Rg/ −−−−−−−→M(P,Σ→Σ) = �0 <+�)=

"� �3������ ����� '��� ��� �� ���� �� ����� P �R �#�� �.����� �� ������ ���������

�������� �� *(������� ��� �� %������� '������� �� �� �� � ���� ���� �� ����� ����(����� ��� ����� 7 ���� ��� ������� AG ���� �� ���;�� ��� �� �� ���� �� �9 G ���� �����;�� ��� �� ����� B. !� ��)�� ���� ����� �� �� ��)��� �� � ��� �4�� �� ����������� ������ ��� �� �� ���� ��� �� ���� ��� �� ����� �. "� �� ���� � ��� ������� �� � �� ���� ���9 ���� �� �� 5 ���� < ���� ������ �� �� �� ����� 5 ����� <

�������� �� ��� �� �� �(�� ���)���� ����9 �(������� ��� �� %������� '������� �� ���� � ���� �� �� � ��� �� ����� �� ������ ����� G ���� ���9 ���6 5 ��� �� �� ��������� �� ���� �� � A���;�� ��� ��4�� ���6 �6� �� ���� �� �(� ���B9 ��� 5 ��� �� �� ��������� ����� ���� �� A���;�� ��� ��4�� �(�6� ��������������� �� ���� �� �(� ���B.

�������� �8 � �� � ��� � ���� � ������ �� N ����� �� �����9 ���� �� ��� ������ �� ��6���� 6 × (N − 1) ���� ��� ���������� � 5 ��� �� �� �(������� ��� �� %' .

�������� �� *� ����� ��� �(�� ���)���� �� � ���� A��� �� ���������B ��� ���������� ���� �� ����� �� � ?

P. �� ������� ��� �� � ��� ���� A���� 4�� ��� �� ��4�� �������B9N. �(������� �� A�� ��B � ���AB 5 � �����9G. �� )���� �� �� ��� ��������� �6 ������� �� � ��� ���� A�� � �� �� ��� ����$

����� � ����� ����� 5 ������� �B9Q. �(������� ��� �� %' 5 �� �� ������� � ��� A� ��� ��� ����������� �(��� ��

������� ���� ��� 4�� ������� �� ���;�� ��� ��4�� �� �6� ����� �� �� 0���� ��$����C �� ��� �� ������� �������� � �� ���� 0��� ��� �� ������ �� ���)����B9

L. �� ����� ��� �� ���� ���� �� �(���� ��� �) ���� �� �� � ��� �(���� ��� �) ���97. �� 4������ ��� �� ���� � � �� �� ��� ������ �� ����6 �� ������� ���.

3� ;�� ��� � �5� � �����)� � ������� ������ �� ����< � ��� ��� ��� ��0���� � �� �����(�� ������ ����� � ������!� �� ��� ��� ���� � �������

�������� ������

Page 111: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+�) &6����� �� ������ �1�

%�" ;$�� � ������

��� ��'��� ��������� �#�.����� ������ �� �� ����� �� ��� �'��� ��'������ ���� �3������ �������� �������� �� ������������ ��� ������ �������� <����� )/ �� ��=�

)

� $ 5 5 � ! � � � � � # � 7 � � �

��� +�! G ����������� ����� ����666

9� �� ����� ���� �H�� ����� @ �� ���� �� �H�� ���������/ �� �H�� �������� �� ������ ������� 9� �� ������� �#����� ������� �� �� ��������/ ���� ����� ��� ������ @ ����������� �������� E

G �#����� ������� ��������� ��� �� �������(P,−→F)/ ����� ������� ����/

G �� ������ ��� ������ �������� ����������0��� ��� �� ������� ��'�� ����� �� ����� ���� 3��0�����/ ������ ���� �� ����� ��� ���� � ����� A/

G �#����� ������� ��������� ��� �� �������(M,−−→

F)/ ����� ������� ���������A

���� �������

%� ������� �3$���� <M���������� � 0�� ����N=/ ��� ��'��� ����� ���������� ������� E

G

G

G

8� �������� �#������� '��������� ���� �� �#���������� � �3������ �� �� ����������������/ ��� �0������ �� ������� ��'��� E

��� '�$��� ��� �� ���� � ��/ �� ������������ �� �#������� � ������ ��� ������������� ����#�� ��� ������ �� ������ ��� ��������� �� �#�����0���

9� �� ����� ���� ����� @ �� ����−→F1 �#��������� ��� ���0�� ��

−→F / �� ���� ������

�� �� �H�� ��������/ ��� ��'��� @ ��'�� ������� ���� ������� � ������ ���������� �� ���������� �� �������� � �#�� ���� ����� ���� ����

−→F1 ��� �#�'��� � �����0���

�$�� 5��� 6������

Page 112: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1� "3������ + A � ����

"� ������������ ��� �#�B���� �� ������� �������� ��� �#���������� �� ������� � ��������� ��� ������ �� �������� ��� 0��� �� ��'��� �� �� �������� �3$�����

�������� �9 � ���4���9 ��� 4�� ���������� �� 4�� � ���� �� ��� �� �;� ��� �� ������� �� ���)���� �� � ���� A���� ��� �� ��� ���� ���� �� ���������B.&� �=� 9 ���� �(���� 9 �� ��� �� ���������� 5 �������� � �� ��� �� �� � ��� 5 � �����A4�� ��� 0���� � W�� ����� 9 ����� �� �� ��� ���������B ��� ��4�� ����� ��� ���;� ? ���� ���� ��� ����� ��� �� ������ ��� �������� ������� � � �� ����� ��

�����. ���� ���� �� ��������� ��� �������� ������� ��� � ������ ����� � ��������9�� )� �� �(�����4� ����� � �� �� 4������ 4� �� ������ � 5 ������� �� ����� ��� ������ ��6�� �� �� ���� ����9 ��� 4�� ��������� 0�� ���� �� �������� �������� ,�I�� ��6)�� �� ��4��� � 5 4� �� �� �������.

�������� �� ��0 5 �������� 5 �� ������� �6��� �(�� �;� �� �������9 �� � �� ���� �(������ � ��� ������� �� 6 × n ���� ��� ������� ��� �� �(������� ��� �� %' 5 ��� ��� �� ����� ������ �� n �����. !� � ��� �� ���� �(����� �� ������� �� � ����(���� ���. *� )� �� �� � ���� ��6 ������� � �� 4������ 4� �� ������ � 5 ��T�����9�������� � �������� �� ���)���� � ��� �� 4������ 4� �� ��C ��� A�� ��� ��C ���B �� ������� ��� �� � ��� �(���� ���... �

%�% 2������ �� ������� ���������

"� �3������ ��������� @ �� '������ ��� ������ �� �� ��������� ��� �� ��?���<��� )��/ �� ��=�

��� ��� �$����� �������� Σ1 �� Σ2/ @ ��� ������� t/ �� ������ ��� ������ ���������.����� ��� Σ1 �� Σ2 ��� �#������ �� ��� ��� ������ �������� �.����� ��� Σ2 �� Σ1�

∀t, ∀Σ1,Σ2,

{F(Σ1→Σ2)

}= −

{F(Σ2→Σ1)

}<+�+=

F� ��� ���� ��������� �����'�� � �3������ @ ������ �� �#���������� � �������C���������� �� �� 9�������

%�' ������ � ���������� � � �9��������

��� � �$����� �������� Σ �����/ 3��� ��������� ����� � ��� - �������� ���������������������� %�� ��� � �$����� ������ �#� 0\�� �� �� (n − 1) ������� <#��� @ ����n ������� � �����=/ �� ��� ����� 6 · (n− 1) ���������

��� ��������/ �� �����0����� �#� ���0���� �� ������� ������ � ���0�� �#���������������� �� �� ���� ��� $ �� �'��� ��� �� 6 · (n− 1)�

7� �� �������� �� ����� ��� �� ���� � � ���������(���

�������� ������

Page 113: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+�� � ���� ,�������� �1!

%��� � ��/ �� ���0���� ��� ��� ����������� F� ��� ��� �� ������� �� �������� ��������� C���������� �� �� 9�������

%��� �� �� ��������/ �� ���0�� �#������� �������� ��� ������� � ���0�� �#���A����� ��������/ �� ���0���� ��� ��� 3$����������� F� �� ��� ����� �� ������� �#�� �����A������ �� ��'����� �������� �������� ��\�/ ��� �.�����/ @ �� ��������� ��� �������.�

F� ��� ����� ����� �� ��,�� �(����� � ��� �(�� � ��� ��\� @ �� �������� ��'���� E

h = Is − rs �'� rs ≤ 6 · (n− 1) <+�-=

,'� EG Is E ���0�� �#������� �������� <�� �������=�G rs E ���0�� �#�������� �������� ������������� ����� �� �#���������� � �C9�G h E ����� �#3$������������G n E ���0�� �� ������� �������� �� �$����� <$ ������ �� 0\��=�

%�( 1������ �������

"���� ���� �� �� �� �� ���������/ �� ��� �����0�� �� ������� � ������ ���0���� ���0����� �� ������� ��\� @ �� ���3��� ����3���� 8� �B��/ ��� �������� ���������� ��(��� 3�������� @ ��� '�����/ ��� ��� ��'��� ��� ����������� �� � �3���@ �#�3�����

&��3���������/ ���� ���� �� �� �� �� �������/ �� ���3���� ����3���� '��� H��������'��� @ � ������ ���0�� �� �� ������� �� ����� @ ��� �����������/ �� �������� ������A����/ �� ��� ���������� ��� ���������� ���� �. ���0����� �� ��������������� O� ���0������ ������� ����3��� ��� ������������� ���� � ��� H��� �������� ���� ����

�� ������� ����3��� �#����� �� ��� ���� �� ������� ����$���� �� �� ��� ������������ �� ������

�3� ='$��/(�� > $��-�(�� $��� �� ��������

��� �'��� � ���0���� ����������� ����/ �� �K� �� �� �$����� ����� ���� @ �#���A��0�� ��� �#�B�� �#������ �������� ���� ��� ���������� ���� ���������� �� ��� ��������'������ �������������� @ � �����

��� �.�����/ �� �� ���0���� ����� ��� � ���0���� ���� ���� �� ���� (O,�x,�y)/ �������� ������� ��� ������ �������� �������� � �$����� Σ ����� ��'��� �#����� ��� ������� E {

F(Σi→Σ)

}=

Pi

{−−−−−→R(Σi→Σ) = Xi · �x+ Yi · �y−−−−−−−−→M(Pi,Σi→Σ) = Ni · �z

}=

Pi

⎧⎨⎩Xi 0Yi 00 Ni

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

<+��=

��� �� �#�.������ �� � �$�� �� ���0���� ���� �� ���� ��� ���� ������/ ���� ������ �� �� �$������ ���������� �� �� �$������ �� 3��������/ �� ������� ����Q ��'��� �������� ������� ��� � ������ ������� &H�� �� ��� ���/ �� �#������� �� �� ������� � �$�����<�� 3$���3��� ������������ �� ���=�

���� �� �� ��������� ����3��� �#� ���0���� ����/ ��� ������� �#������ ��������������� ���� ��(��� ��� ������� @ ��������� <� �������=�

�$�� 5��� 6������

Page 114: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1) "3������ + A � ����

�3 .�����-�� �&�� �'��(�� ������ 9 ���������

F� ���� Σ1/ � �$����� �������� ����� �������� �. ������ �������� �� ��.����� �$������ ���������/ Σ2 �� Σ3�

��� +�) G ?�������� ���� ��.�� ���� ' ���" ����

F� ����� �� �$����� Σ1 �� �� �B��� �� 0���� ��� ������ �������� �.��������/ �� ������� �. ��. �������� ������ �A������ E

{F(Σ2→Σ1)

}=

A

{−−−−−−→R(Σ2→Σ1)�0

} {F(Σ3→Σ1)

}=

B

{−−−−−−→R(Σ3→Σ1)�0

}<+��=

F� ������ �������� �� ������� C���������� �� �� 9������ @ Σ1 � ����� A/ �� ���������0������ ����� ��� ��� ������� �� A E

{F(Σ3→Σ1)

}=

A

{ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)−→AB ∧ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)

}

F� �0����� ����� ��� ��. �������� '���������� ��'����� E{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) = −−−−−−−→R(Σ3→Σ1)−→AB ∧−−−−−−→R(Σ3→Σ1) = �0

<+� =

F� '��� ����� ��−−−−−−→R(Σ2→Σ1) ��

−−−−−−→R(Σ3→Σ1) ���� �� ���� ������ �� �� ����� ��������/ �������� ��� �� �H�� ��� ��� ��. ����� �� �� ��� �0������������� ����� ���

−→AB�

���� � 9 � �� � ��� �� ����� Σ � ���� ��������� 5 ���6 0����9 � ��� �����6 0���� �� �� �� �� ������)�� ��� ������ 5 �� ��0���� ��� ����� ,�������9 �� � Rg9���� �� ���6 0���� �� ����������� �,��� � ������.

�3% .�����-�� �&�� �'��(�� ������ 9 % ���������

�� �.���� ��. �� �����0��� ��� �� �����0�� E

G ���� ��� ����� ����� ������������ ��� ��� ����� �������� ���� ����������/

G ���� ��� ����� ����� ���� ����������

�������� ������

Page 115: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+�� � ���� ,�������� �1+

"�� ��. �� �� ��'��� ��� H��� ������ ��'��� �� �H�� ���3����F� ���� Σ1/ � �$����� �������� ����� �������� �. ������ �������� �� �����

����� �$������ ���������/ Σ2/ Σ3 �� Σ4�F� ����� �� �$����� Σ1 �� �� �B��� �� 0���� ��� ������ �������� �.��������/ �� ��

����� �. ����� �������� ������ �A������ E

{F(Σ2→Σ1)

}=

A

{−−−−−−→R(Σ2→Σ1)�0

}<+��1={

F(Σ3→Σ1)

}=

B

{−−−−−−→R(Σ3→Σ1)�0

}<+���={

F(Σ4→Σ1)

}=

C

{−−−−−−→R(Σ4→Σ1)�0

}<+���=

�(�(�(� 7� ��� ������ �����

F� ������ �� �#����� �������−−−−−−→R(Σ2→Σ1) �� Σ2 �� Σ1 ��� ������������ ���� ��

�� �#�� ����>� ���� �� ������ ��−−−−−−→R(Σ3→Σ1)�

��� ������� �� �� ��. ����� �� ����� �� � ����� P � ���� �� ����������F� ������ �������� �� ������� C���������� �� �� 9������ @ Σ1 � ����� P / �� ���

������0������ ����� ��� ��� ������� �� P E

{F(Σ2→Σ1)

}=

P

{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1)−→PA ∧ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) = �0

}<+��!=

{F(Σ3→Σ1)

}=

P

{ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)−→PB ∧ −−−−−−→R(Σ3→Σ1) = �0

}<+��)=

{F(Σ4→Σ1)

}=

P

{ −−−−−−→R(Σ4→Σ1)−→PC ∧ −−−−−−→R(Σ4→Σ1)

}<+��+=

F� �0����� ����� ��� ��. �������� '���������� ��'����� E

{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) + −−−−−−→R(Σ3→Σ1) + −−−−−−→R(Σ4→Σ1) = �0−→PC ∧ −−−−−−→R(Σ4→Σ1) = �0

<+��-=

F� '��� ����� ��−−−−−−→R(Σ2→Σ1)/

−−−−−−→R(Σ3→Σ1) ��−−−−−−→R(Σ4→Σ1) ������� � �������� ��� ����� �� ��

����� '��������� ��� ����� ��� ����/ �� ������ ��−−−−−−→R(Σ4→Σ1) ��� ������������� �������

�. ��. ����� � ����� P �

���� � � � �� � ��� �� ����� ���� 5 ��� 0���� ��� ��������� � 5 �(������)�� ��������� 5 �� ��0���� ��� ����� ,�������9 ���� �� ��� 0���� �� ����������� ������$��� � � ���� ���� 4�� ������� � ����� A ����,�� �� 0���� �� ���������B.

�$�� 5��� 6������

Page 116: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1- "3������ + A � ����

� � � � � � �

��

� � � � � � � �

��� +�+ G ?�������� ���� ��.�� ���� ' ���� ����

�(�(�(� 7� ��� #� ����

F� ������ �� �#����� �������−−−−−−→R(Σ2→Σ1) �� Σ2 �� Σ1 ��� ������������ ���� ��

�� �#�� ����>� ���� �� ������ ��−−−−−−→R(Σ3→Σ1)� F� ������ ��� ����� ������ A/ B �� C ��������

��� ������� �� �� ��. ����� ���� ����������/ �� ��������� ������ ��� ���������������������� �. ��. ����� <�#����� �� �3������ �� �� ���������= �� �� �� ������� �� �������C���������� �� �� ������� �� C E{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) + −−−−−−→R(Σ3→Σ1) + −−−−−−→R(Σ4→Σ1) = �0

−→CA ∧ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) = −−→

CB ∧ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)<+���=

F� �� ��� ��� ����� ������ �� ���3��� �������� �� ��������� ����3��� ���� � �� �@�

� � � � � � �

��

� � � � � � ��

��

� ��� � � �

� ��� � � �

��� +�- G �� �� 0���� �� ����� ��������� �� ���0����

�������� �: *� ��� ����� �� ��� 0���� ���4�� ��� �� ���0����. ��� ����9 �� ����� �� ����������� ��� � ��� �� ���� � (AB). *(������� ��� �� %�������'������� �� �� �� � ���� �� ����� ���� ��(��� ���� ��� ���������� � ���� ���6 �����$���9 �� 0�� ��������� �� %' ��6 ����� �� ��� �� Σ1 ��� �(�) ���� ��� ���� ��� �����$��� ����.

�������� ������

Page 117: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

+�� ���$)�� ���� �1�

%�) #��76������

�#��A0������� ��� � ����������� �X @ �#��3����� ����� �������� ������ ��� �������� ����� ���� ������ ���� �� Y�� �#��3����� <� Y�� �� ���������� ��� ���������=/ ���� ��� $ �'��� �� ����������/ �� �� ����� ����� �� �������� � �#��A0�������� %���������� �� � �3������� ��� ��3��3� <�����A(�����/ ��� ��0��/ �������� @ �������=/ �� �����#�����/ �� ���� H��� �'��� <������� ������������=� %��� �#3$���3��� � ������ ���������0��/ ���������� �#��A0������� ��� �� �������� �����������

�#��A0������� ��� � �3������� ��� ����� �#�����0�� <�� ��� ��������/ �� ��A'�����= ��� ����������� �� �#��������� ��� ������ �������� �� (��

������� �: ���� ��)��

*� � ��� ����� ��$���� ����� �� ����� 1 �� �� ������ ��� ��� �� �� ��������� �� ��)��� 0. *� ����� �� ��)��� � �� � R9 �� ����� �(�� ������� 29 r. *����2���� �� 0�� ���� �� ��� �� 1/2 � 2/0 � f = tanϕ.

� �

� �

� � � �

� �

� �

� � � � � �

� � � � � �

� �

� �

� �

��� +�� G ���$)�� ���� ��� ��� ���� ��)��

>� ��,��,� �(�� ��� �� �� ���� ��� � �(�� ��� �� ������ ����� �� �� ���� ���� ����� �� �� �� �� �������6 � �� ��)���. ���� ������� �� ������� 2 �� ���4� ���� ��(��� ���� 5 �(�� ��� �� 2 ,�����

−−−−→R(0→2) � −−−−→R(1→2). �� ���6 ,����� �� ��� � ��� ��

��� ����� (AB)9 �� �,��6 �� �� ��� � � ����� �� ��. � �� ���� � �� ,������ 9�� �� �� �� �Z�� �� 0�� ���� ����� ��� �� ������� �� ��� �� 9 � �� 1/2 ��,�� �� ���� ϕ. *� ����� ��� �(���$)�� ���� � ������ ��� ?

cos 2ϕ ≥ a+ r

R− r

�$�� 5��� 6������

Page 118: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�1� "3������ + A � ����

%�* &����� � ���������� � �� ��6��� � �������

*�� ���'���Q �A������ �� M���3���N ������0�� ��� �� ��������� �#� ���0���� ���������� "���� ���3��� �#��� ��� ��������0��/ ���� �� ���������� �#�� �3����������� ���������� � �$�� �� ������������ �� '�� ��'�Q H��� ����� @ ������� ��� @ � ���0���� ���������� ,'��� �#�B���� � ������������/ �� ��'���� �� '������ �#����������� � ���0������� �� '������ �� �����0����� �� ��������� �� � ���0���� ��� �#���������� ������ � ������������������ �� �� ��������

Tracer le graphe de structure

Effectuer le bilan des actions mécaniques appliquées au système

Recherche d’une stratégie permettant de relierla ou les inconnues aux données du problème

Ecriture d’une équation scalaire provenantde l’application du PFS à un système en un point

en projection suivant un axe particulier.

Résolution de l’équation afinde déterminer l’inconnue.

Une ou plusieurséquations à écrire

Ecriture d’une équation scalaire provenantde l’application du PFS à un système en un point

en projection suivant un axe particulier.

Résolution du système d’équations afin dedéterminer l’inconnue ou les inconnues finales.

N équationsN inconnues

oui

non

une

plusieurs

Ce graphe permet de faire apparaître de manière synthétiqueles actions mécaniques transmissibles par les liaisons (inconnues).

Ces actions mécaniques seront notées sur le graphe de structure,rechercher les actions mécaniques données ( effort d’un vérin, couple moteur).Les actions mécaniques inconnues seront toutes supposées positives par convention.

Recherche des solides ou systèmes soumis à uniquement 2 ou 3 glisseurs (apport d’informations sur ces glisseurs).Choix intelligent du ou des systèmes à isoler (utilisation du graphe de structure).Une force n’est pas toujours obtenue par l’application du théorème de la résultante, c’est d’ailleurs bien souventle contraire.

�������� ������

Page 119: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�������� �����

�������

�$�� 5��� 6������

Page 120: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z
Page 121: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

������ �

�������

L � ������� �������� ��� �� ����� �.����������� �� ��������/ ���3���������/��� �� ������ �� ���� ��� ���� �3$����� �� ��� �$������ ��������� ������/ ���

������ �0����� �#������� �������� ������� ���3�������� ��� ��������� ��� ������� �.A������������� �� ������ �� 4�� ��� ��� �� ��� ������� ���3�������� ��� ��� �������� ��������� ��������/ �� ��� ��� 0�� �#�B���� ������ ������� �� �� ���� �� 0��� ����������

#�� ������ � 6�����

��� )�"������

F� ������� )����� −→AB/ �#�����0�� ������� �� ��. ������ A �� B ���� ���� �� ������

F� ������� ����� � 0������−→AB/ �� '���� �0���� �� ������ �� ������ AB �� �����

‖−→AB‖�O� 0������

−→AB ��� ����� ��� E

G ��� ������� A/

G ��� ������/ �� ������ (AB)/

G ��� ����/ �� A '��� B/

G �� ����� E ‖−→AB‖�

�� 5�$���� ����$������

%�. 0�������−→AB ��

−→CD ���� ���� ����������� �� �� �������� �� ��� �������� [AD] ��

[BC] ��� �� �H�� ����� <��� ,��/ �� ���=�"�� 0������� ����������� ���� E

G �� ������� ����������/

G �� �H�� ����/

G �� �H�� ������

�$�� 5��� 6������

Page 122: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ���� , A [�� ���

� .

��� ,�� G 7� ���� ���� ������

#�� ������ � !����< ���������

F� ������� 4�� ���−→AB/ �� ����� �#���'����� ��� 0������� ����������� ���� �� 0������−→

AB ��� �� ������������� F� ��� ���� �� ����� (P,�u) �'� P ������� � 0������ �u�%�. '����� �u �� �v ���� ���. �� �� �������� ��/ ���� �������������

−→AB ��

−→CD ����

������������%�. '����� �u �� �v ���� ���������� �� �� �������� �� ���� �������������

−→AB ��

−→CD

�� �H�� ������� ���� �� �H�� �������

#�� +��< ���< ��-���������

�%� 5���

F� ������� )�� �� �#����� '������� E �� ��������� ! ��� ������� �� '����� (�x,�y,�z)��� �� ��� '���� �V �� E ��� �#����� �� ��T�� ���� E

�V = x · �x+ y · �y + z · �z

��� ����� (x,y,z) ���� ��� ����� ���������� �� �V ���� �� 0��� (�x,�y,�z)�

�% 5��� ���/�������

O�� )�� �� ��,����� ��� �� 0��� ���� ��� '����� �� �� �������� ���� ���3�����.��. @ ��.�

�x · �y = �y · �z = �z · �x = 0

�%% 5��� ���/�������

O�� )�� �� �������� ��� �� 0��� ���3������� ���� ��� '����� ���� ���������

‖�x‖ = ‖�y‖ = ‖�z‖ = 1

�������� ������

Page 123: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

,�! ���9 ������9 ��0���� ���... ��!

�%+ 5��� ���� ��

O�� )�� ��� ���� ����� � �� �� ������� ����� ��� ��B������ '����� (�x,�y,�z) �������� ��0��� �� ���� ��� �� �������� ���� �� ���� �������������� < ���� ��� ����� ������ �� �� ����������=�

7��� (�x,�y,�z) ������ ⇔ �z = �x ∧ �y

8� ������� ��������/ ��� �#���������� �� ��� 0���� ���3�������� �������� 8� ��������� ���3�������/ ��� ��'��� ����������� �� 0��� ���3������� ������ ��'��� �������� �� ��3� �� �� ���� <��� ,��/ �� ��!=/ ��� �������� � �� ���� ��� ��'�� �� ���������� ��� ���3��������� �/ ��� ��������� �������� ��������� �� �������������� �������� �� ���� �H�� �����

��� ,�� G ��������� �� ���������� ����� ��� ����������� �����

�%� ��$(��

O� ������ ��� ������� E

G �#�� 0��� ���3������� ������ (�x,�y,�z)/G �#� ����� O ������ ������� � �������

F� ������ � ������ (O,�x,�y,�z)�O� ������ ��� ������� ����������/ �� ������ �� ����>��� �� �������� ������ �#�

����� M ���� �#����� ��� �#������ � '����−−→OM �

−−→OM = xM · �x+ yM · �y + zM · �z

xM / yM �� zM ���� ��� ���������� ����������� �� M ���� �� ������ (O,�x,�y,�z)�

�� =��� ��� ��� �� ���� (� ���� ������ �������� �� ����� ����� � ��)� ��� �5��)� ���������������� � ,��� � � ��� ,��� ������0�� �� ����� �������� � �� ��� ���)� ��������� �� ����������� � ��� ��� �� ����)� �� �� ����)� ,������

�$�� 5��� 6������

Page 124: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��) ���� , A [�� ���

:

� �

� �

� �

��� ,�! G +"�� �� �� �� .�� ������ �� ��������

�%2 �����������

O� ��0���� ��� � ��� ������ E

G �#� ������ ���3������ ����� (O,�x,�y,�z)/G �#� ������ �� ����� �'� �� ������� t0 �� �� ���� <�� ������ <�==�

#�" #������� !�������

�+� )�"������

�� ����� �� ��. '�����−→V1 ��

−→V2 ��� � '���� �0��� �������������� �� �������

0�� @ 0�� ��� '�����−→V1 ��

−→V2 �

� 2 �

��� ,�) G +"�� �� ���������� ����������

�+ 1�$������� ����'�����

9�−→V1 ��

−→V2 ��� �������'����� ��� ���������� (x1,y1,z1) �� (x2,y2,z2) ���� �� 0���

(�x,�y,�z)/ ����� �#�������� '��������� ��−→V1 ��

−→V2 �#���� E

−→V1 + −→

V2 = (x1 + x2) · �x+ (y1 + y2) · �y + (z1 + z2) · �z

�������� ������

Page 125: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

,�+ %����� ������� ��+

#�% ������� �������

��� )�"������

�� ������ ������� �� ��. '����� ��� � � <� �������= ����−→V1 · −→V2 ����� ��� ��

�������� ��'���� E −→V1 · −→V2 = ‖−→V1‖ · ‖

−→V2‖ · cos

(−→V1 ,

−→V2

)�� 1�$������� ����'�����

9�−→V1 ��

−→V2 ��� �������'����� ��� ���������� (x1,y1,z1) �� (x2,y2,z2) ���� �� 0���

(�x,�y,�z)/ ����� �� ������ ������� ��−→V1 ��

−→V2 �#���� E

−→V1 · −→V2 = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2

�������� �� � �� ���9 �� ���� � �(� 4���)�� ��� � �� ���6 4�� ���−→V1 �

−→V2 ��

�6����� ��� �� ��� )�� (�x,�y,�z).

��% :��$������

���� �� ;−→V1 · −→V2 = −→

V2 · −→V1

-��� �*���.�� ;−→V1 ·

(−→V2 + −→

V3

)= −→V1 · −→V2 + −→

V1 · −→V3

����#������� #� �� ����� � ; λ1 ·−→V1 · λ2 ·

−→V2 = λ1 · λ2 ·

−→V1 · −→V2

�� ����� � ;−→V1

2 = −→V1 · −→V1 = ‖−→V1‖2

8� ��������/ �� �� '����−→V1 � ��� ���������� (x1,y1,z1) ���� �� ������ (O,�x,�y,�z)/

����� E‖V1‖ =

√x2

1 + y21 + z2

1

) ����� ����� � �� ;−→V1 ·�0 = 0 �� ��

−→V1⊥

−→V2 �����

−→V1 · −→V2 = 0

��+ :��*� ���� �&�� �� ���� ��� �� ������ �� �� ���

9���−→V � '���� ������� �� D �� ������ �� �#����� �� '���� ������� �u/ �����

��� ���������/ �� ���(����� ���3������� �� �� D �#���� E

−→V · �u = ‖−→V ‖ · ‖�u‖ · cos

(−→V ,�u

)

$�

� 8 $

��� ,�+ G &�������� ���� ������ �� ��� ������

�$�� 5��� 6������

Page 126: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��- ���� , A [�� ���

��� �/�������� �� -���

O�� ��� ����������� ��� ��� ������� �� ������� � ������ ������� ��� �� 3����A���� �� 0��� �#� '����/ #��� @ ���� ������ �#�� 3��3� @ �.������ ��� '����� �#��0��� �� ������� ��� '����� �#�� ���� 0���� ��� ��� ���������� � �� �R ��� ��.0���� ��� � '���� �� �����

9��� B1 ( �x1, �y1, �z1) �� B2 ( �x2, �y2, �z1)/ ��. 0���� ���3�������� ������� �'� �� '���� �z1�� �����

α

α

1y

x

O

z1

1

y2

x2

�x2 = ( �x2 · �x1) · �x1 + ( �x2 · �y1) · �y1

�� �x2 · �x1 = ‖ �x2‖ · ‖ �x1‖ · cos ( �x2, �x1) = cosα�� �x2 · �y1 = ‖ �x2‖ · ‖�y1‖ · cos ( �x2, �y1) = cos

(π2 − α

)⇒ �x2 · �y1 = sinα

⇒{

�x2 = cosα · �x1 + sinα · �y1

�y2 = − sinα · �x1 + cosα · �y1

�������� �� �� ��� �(�6������ ��� ����C �� ���� �4���� ���, � ����� �� ��4��� ��$ ���� ����9 � ���� �� 9 �(��� ������� ;��� �� ������� ������9 4�� ���: �� 5 ����(�=�� ��� �� ����,���� �� )�� ;� � �� ��,����� �� �,���...

#�' ������� !������

�2� )�"������

�� ������ '������� �� ��. '�����−→V1 ��

−→V2 ��� � '����/ ����

−→V1 ∧ −→

V2 / ��� �� E

G−→V1 ∧−→

V2 ���� ���3������ � ����(−→V1 ,

−→V2

)/

G �� �������(−→V1 ,

−→V2 ,

−→V1 ∧ −→

V2

)���� �����/

G ‖−→V1 ∧ −→V2‖ = ‖−→V1‖ · ‖

−→V2‖ · |sin

(−→V1 ,

−→V2

)|�

�.

� �

��� ,�- G &������ ��������

�������� �� *� ����� �� ������ 4�� �����−→V1 ∧ −→

V2 ��������� 5 �(���� �� ���������$,����� ABCD.

�������� ������

Page 127: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

,�- %����� 4�� ����� ���

�������� �� ��� �� �� ������� �� �� �� 4�� ��� ���� � �� ������ 4�� ����� �� ��$����� ��������� � �2����9 4�� ���4�: � ����� ���6 ��,�� ����� ?

@ �� ��,�� �� ���$)������ �6����� �� �� �� �,��� A��� �.X9 �. PPXB9

@ �� ��,�� �� ��� ���, �� �� ���� ���� �...

��� ,�� G +"�� �� ������������ �� �� �.��� �� ����@������

�2 1�$������� ����'�����

9���−→V1 � '���� �� ���������� (x1,y1,z1) ��

−→V2 �� ���������� (x2,y2,z2) ���� ��

������ R (O,�x,�y,�z)��� ������ '�������

−→V1 ∧−→

V2 �#���� E

−→V1 ∧ −→

V2 =

⎛⎝ x1

y1

z1

⎞⎠

R

⎛⎝ x2

y2

z2

⎞⎠

R

=

⎛⎝ y1 · z2 − y2 · z1

z1 · x2 − z2 · x1

x1 · y2 − x2 · y1

⎞⎠

R−→V1 ∧ −→

V2 = (y1 · z2 − y2 · z1) · �x+ (z1 · x2 − z2 · x1) · �y + (x1 · y2 − x2 · y1) · �z

�������� �� � �� ���9 ����� ���� �� �� �� ������ �������9 �� ���� � �(� 4���)����� � �� ���6 4�� ���

−→V1 �

−→V2 �� �6����� ��� �� ��� )�� (�x,�y,�z). �� 4�� ��4� �

���� 0�� ���� 5 ������� �� )�� �(�6������ ������ 4�� ����4�: 4� 4�� ��� �� 0������ 4�� ��� �������.

��� ����/ ��� ����� �� ������ '������� ����� ��. '�����/ ��� ���������� �����A��������� �� ��������� � �#�.�������� ����$���� � ������ '������� ��

�� 9� ,���� ���� ���������� ���� ��� �� �� ��!������ �� ������� ������� � (�� ���� �/�������� �������)�� � ���*������

�$�� 5��� 6������

Page 128: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ���� , A [�� ���

�2% :��$������

�������� �� ;−→V1 ∧ −→

V2 = −−→V2 ∧ −→

V1

-��� �*���.�� �.�� ��������� .���� ��� ;−→V1 ∧

(−→V2 + −→

V3

)= −→V1 ∧−→

V2 + −→V1 ∧ −→

V3

����#������� #� �� ����� � ; λ1 ·−→V1 ∧ λ2 ·

−→V2 = λ1 · λ2 ·

(−→V1 ∧ −→

V2

)��� �� ���� ;

−→V1 ∧ −→

V2 ��� �� ��−→V1 = �0 �

−→V2 = �0 � ��

−→V1 ��

−→V2 ���� �����������

�2+ �� ���-�� $������ �� ������ ?@������ �� ��--�A

��� ����� '�����−→V1 /

−→V2 ��

−→V3 ������/ �� ������ �� E

−→V1 ∧

(−→V2 ∧ −→

V3

)=(−→V1 · −→V3

)· −→V2 −

(−→V1 · −→V2

)· −→V3 <,��=

�� ��� �������� ������� ���� �������� �'� ���������/ �� ��� ��'��� ��� ����� �#��A����� ��� ��. ������� '�������� ������� �� �#������� ���� ���������

#�( ������� ��$�

�3� )�"������

�� ������ ��.�� �� ����� '�����−→V1 /

−→V2 ��

−→V3 ��� �� ������� ������ ��� �#���������

��'���� E (−→V1 ,

−→V2 ,

−→V3

)= −→V1 ·

(−→V2 ∧ −→

V3

)

/

��� ,�� G &������ ��"��

�������� �8 *� 4����� �)���� �� ������ ��6 �(−→V1 ,

−→V2 ,

−→V3

)��������� �� 4����� ��

��������������� ����� 5 ��� �� �� �� ��� 4�� ���.

8� ������� ��������/ ��� �������� ����Q �� �� ������� ��.��� ���� ��� �������� ���������� ��� ���������� �� � ������ ��� ��������� ��� �.��������� '�����������

�3 1�$������� ����'�����

�� ������ ��.�� �� ����� '�����−→V1 /

−→V2 ��

−→V3 �� ���������� �������'�� (x1,y1,z1)/

(x2,y2,z2) �� (x3,y3,z3) ���� �� 0��� ���3������� ������ B (�x,�y,�z) �� ���� @ ������ ������������ (3 × 3) ��'��� E

(−→V1 ,

−→V2 ,

−→V3

)=

∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3

∣∣∣∣∣∣�������� ������

Page 129: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

,�� *� ��4���� 4�� ������� ��

"� �� ����� ����� ��������� � ����������� E(−→V1 ,

−→V2 ,

−→V3

)= x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2 − x3y2z1 − x1y3z2 − x2y1z3

�3% :��$������

)� �������� ��� # ������ ����� �� �� .���� ��� ;(−→V1 ,

−→V2 ,

−→V3

)= −→V1 ·

(−→V2 ∧ −→

V3

)=(−→V1 ∧−→

V2

)· −→V3

)� �������� �� ���� � ��� .����� � ;(−→V1 ,

−→V2 ,

−→V3

)=(−→V3 ,

−→V1 ,

−→V2

)=(−→V2 ,

−→V3 ,

−→V1

)<,��=

)� �������� �� ���' .����� � ;(−→V1 ,

−→V2 ,

−→V3

)= −

(−→V2 ,

−→V1 ,

−→V3

)

#�) ,� ��!����� !�������

�� ��'����� '��������� ������� @ ������� �� ������� � �$�� E

−→A ∧ −→

X = −→B

�'�−→A ��

−→B ��� '����� ������ ��

−→X �� '���� ������

F� ������ ����� �� E

−→X =

−→B ∧ −→

A−→A 2

+ λ−→A ,∀λ ∈ � <,�!=

; 0

;

� ��

��� ,� G ������������ �� �� ������� ����������

����� �� ��� � >� �� ��� ������� �� ���)���� ��� � �� 4�� ���−→A �

−→B ��

�� ��,����6. >� ������� (π)9 �� ���� ��������������� �� 4�� ���−→B . %�� ����� ��� �� ������

4�� �����9 ��A��B 4�� ���AB−→X ��� ��� �� �(���� ��� ����� ��� 5 �� ����9 ���� ��� ��

4�� ���−→A .

%��� �� 4�� ���−→X0 �� ��� �� ������

(−→A ,

−→X0,

−→B)�� �� ��,���� ����� 9 ���� ��� ��

�� ? −→A ∧ −→

X0 = −→B

�$�� 5��� 6������

Page 130: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��1 ���� , A [�� ���

� �� ��� ����� 4�� ���������� �� � �6������ ��� �� 4�� ���−→A � ��� �(�� � ���� �� ���� ���

�� ���)�� ������ 4�� �����9 �� ���4� ��� ?

−→A ∧

(−→A ∧ −→

X0

)= −→A ∧ −→

B

−→A ·

(−→A · −→X0

)︸ ︷︷ ︸

=0 ��−→A⊥−→

X0

−−→A 2 · −→X0 = −→

A ∧ −→B

�� ��� ����� ?

−→X0 =

−→B ∧ −→

A−→A 2

�(�� �� ��� 9 ��� �4�� ��� ?

−→A ∧ −→

X = −→B <,�)=

−→A ∧ −→

X0 = −→B <,�+=

�.Q− �.L = −→A ∧

(−→X −−→

X0

)= �0

���� �(� ���)�� ��� � �� ���6 4�� ��� �� ���������� � ���� ��� ?(−→X −−→

X0

)= λ

−→A ⇒ −→

X = −→X0 + λ

−→A

>� �� ���4� ���� �� ��� ��� ,������� �� �(���� ��� �� 0���� ������ ����� AλB ?

−→X =

−→B ∧−→

A−→A 2

+ λ−→A

#�* &���� � �� ������� �� ����� = �� ����

O� ������� ��� � ���� ������� �#� ����� �� �#� '����/ ���� �� ����� ���������@ �#������� � '�����

F� ������� ������ �� A � �������(P,�V)/ �� '���� ��'��� E

−−−−→M(A,�V ) = −→

AP ∧ �V

"� ������ ����� ������ ��� � ������ '�������/ ��� ������� ������� ��� ������������ � ������ ��� ����� ��� ���������� ��� ��������

��� :������ �&�� $���� A 9 �� $���� B

��� ������ ���� ���� ������ ������ �� ��� ��������� �� 0��� ������� �� ������� ����B���� ��� ���� '���������

�������� ������

Page 131: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

,� +���� �(�� ,����� ��� ������ 5 �� ���� ���

9����� A �� B/ ��. ������ �������� �� �#������ 9�����−−−−→M(A,�V ) ��

−−−−→M(B,�V )/ ��� �������

�� A �� B � �H�� �������(P,�V)�

−−−−→M(A,�V ) = −→

AP ∧ �V =(−→AB + −→

BP)∧ �V = −→

AB ∧ �V + −→BP ∧ �V︸ ︷︷ ︸−−−−−→M(B,�V )

= −−−−→M(B,�V ) + −→

AB ∧ �V

��� ��'��� ��� ������� ����B�������� <���� ���� �� �������= ��� ��. �����������'����� E { −−−−→

M(A,�V ) = −−−−→M(B,�V ) + −→

AB ∧ �V−−−−→M(A,�V ) = −−−−→

M(B,�V ) + �V ∧−→BA

�$�� 5��� 6������

Page 132: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ���� , A [�� ���

�������� ������

Page 133: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

������ �

��������

L #���������� ��� ������� ������ �� ������� ��������� ��� ���� �� ������� ���������� ��� �� �H�� �� ��������� �� �����

��� ���� ��� �������� ������� ��� ������� ��� ���0����� �� ��������/ ��� �#��A������� ��� �� ��������� ��'�����/ ���� ���������� �������� �� ���. M������N ��� ��B�A����� ������ �������� O� ������ �#��� �#� ���� ���3�������] 8� ��� ������ ����������� ����� ���� � 3���������

+�� ��� � !����

F� ������� 3��� �� '����/ ���� ���������� ��/ @ ��� ����� M �� �#�����/ ��������������� � '����

−−→V(M)�

5�� �/��$ ����$��*� ���

O� 3��� �� '����−−→V(M) ��� ��� ������(���� �� E

∀P,∀Q, −→PQ · −−→V(Q) = −→

PQ · −−→V(P )

�#���������� �� ���� ��������� ��� ��������������� ���� @ �� ��������� �� ���0����� ����������� ����3��� ���� �� ������ �� �3��� �A�������

5� �/��$ �����'��������

O� 3��� �� '����−−→V(M) ��� ��� �����$������� �� E

∃−→U ∈ �/∀P,∀Q, −−→V(Q) = −−→

V(P ) + −→U ∧−→

PQ

"� 3��� �����$������� ��� ���� ������ 3��� �� ������ ��� '������ ������ ������������ ��'��� �������� ��������� �#� 3��� �� '���� ������(���� ��� �����$��A

����� �� �������������

�$�� 5��� 6������

Page 134: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��) ���� 7 A ������

P

Q−−→V(P ) −−→

V(Q)

��� 7�� G +"�� �� ������ ����������

9���−−→V(M)/ � 3��� �� '���� �����$������� E

−→PQ · −−→V(Q) = −→

PQ ·

⎛⎜⎝−−→V(P ) + −→

U ∧ −→PQ︸ ︷︷ ︸

⊥−→PQ

⎞⎟⎠ = −→

PQ · −−→V(P )

O� 3��� �� '���� �����$������� ��� ��� ������(�����"3��������� ���������� � 3���

−−→V(M) ������(�����

−→PQ · −−→V(Q) = −→

PQ · −−→V(P ) ⇒−→PQ · −−→V(Q) −

−→PQ · −−→V(P ) = �0 ⇒ −→

PQ ·(−−→V(Q) −

−−→V(P )

)= �0

��� '�����(−−→V(Q) −

−−→V(P )

)��

−→PQ ���� ��� ���3�����.� F� ��. ����� ����� �� ��������

��'���� E∃�U/

(−−→V(Q) −

−−→V(P )

)= �U ∧ −→

PQ⇒ −−→V(Q) = −−→

V(P ) + �U ∧ −→PQ

O� 3��� �� '���� ������(���� ��� ��� �����$��������

+�� 2�����

5 � )�"������

F� ������� ������ �� ������ �� ��. 3���� �� '�����−→R ��

−→M E

G−→R ��� ������ �� ��������� � ������ <#��� � ��'������=�

G−→M ��� �� ������ � ������/ ��� �.�������� ������ � ����� �R �� ��� �.������

{τ} =P

{ −→R

−−→M(P )

}−→R ��

−→M ���� ������� ��� �������� �� ������� � �������

−−→M(P ) ��� � 3��� ��

'����� EG �����$������� E ∀P,∀Q, −−−→

M(Q) = −−→M(P ) + −→

R ∧ −→PQ

G ������(���� E ∀P,∀Q, −→PQ · −−−→M(Q) = −→

PQ · −−→M(P )−−→M(P ) ��� � 3��� �� ������� �� �������

�������� ������

Page 135: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

7�! !�4����� �(�� ����� ��+

5 #�������

O� ������ ����� ������� �� ��. ��������/ � ������ �#��� ����������� ����� ���� �������� R (O,�x,�y,�z) �� �� �#�� ����>� �.���������� E

G �� ��������� E−→R = Rx · �x+Ry · �y +Rz · �z/

G �� ����� P �� ����� �� ��� �.����� E−→OP = xP · �x+ yP · �y + zP · �z/

G ��� ������ �� ��� ����� �#�.�������� P E−−→M(P ) = Mx · �x+My · �y +Mz · �z�

F� ��� ����� ����� �� ������ �� ��. �������� E

G ��� ����� �� '����� �������

{τ} =P

{ −→R

−−→M(P )

}=

P

⎧⎨⎩Rx Mx

Ry My

Rz Mz

⎫⎬⎭

(�x,�y,�z)

�'� �� 0�� @ ��3� �� ����� �R ��� �.����� �� ������ �� �� 0�� @ ������/ �� 0����#�.�������� ��� '�����/

G ��� ����� �� '����� ������

{τ} =P

{ −→R

−−→M(P )

}=

P

{Rx · �x+Ry · �y +Rz · �zMx · �x+My · �y +Mz · �z

}

�'� �� 0�� @ ������ �� ����� �R ��� �.����� �� �������

+�� ��!������� � �� ������

9��� � ������ ������� {τ} =A

{ −→R

−−→M(A)

}��� ��� ��� �������� �� ������� �

����� A ������9� �� ���������� � ������ � ����� B/ �� �#���� ����� E

{τ} =B

{ −→R

−−−→M(B) = −−→

M(A) + −→BA ∧ −→

R

}

�� ��������� �#� ��� 3����� <�� �� ��'��� ��(@=/ ���� ��������� � ������� ��'������� ������/ �� �#������� �#��.� ���� .���� ���

9� �� ���� �� �������−→R · −−−→M(B)/ �� ���'� E

−→R · −−−→M(B) = −→

R ·(−−→M(A) + −→

BA ∧ −→R)

= −→R · −−→M(A) + −→

R ·(−→BA ∧ −→

R)

︸ ︷︷ ︸�0

= −→R · −−→M(A)

�� ��.���� ��'������ �#� '���� �#������� �#��.� ���� ����� �/ �� ��������� ������� ������� ����� �� ��������� �� ��� ������� 6�������������/ ��� ��������� @ �����(����� ���3������� � ������ �� �� ����������

�$�� 5��� 6������

Page 136: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��- ���� 7 A ������

+�" >�������� ��� �� �������

• 4�������� �#� ������9�3��� �#� ������ ������ � ����� �R �� ��� �.�����/ �� �� '� �� �H�� ��� ��������

{τ} =A

{ −→R

−−→M(A)

}=

B

{ −→R

−−−→M(B)

}�'�

−−−→M(B) = −−→

M(A) + −→R ∧ −→

AB

−→R ��

−−→M(A) ���� ��� �������� �� ������� �� A � ������ {τ}/ �� �H��/

−→R ��

−−−→M(B)

���� ��� �������� �� ������� �� B � ������ {τ}�• 8������ ����� ��. �������

%�. ������� {τ1} �� {τ2} ���� ���. �#��� ��� ��� �H��� �������� �� ������� ��H�� ����� �#�.�������� P �

{τ1} = {τ2} ⇔{ −→R1 = −→

R2−−−→M1(P )

= −−−→M2(P )

• 4����� ���� ������ �� ��� � ������ �R ��� ��. �������� �� ������� ���� ��� E

{τ} =P

{ −→R = �0

−−→M(P ) = �0

}

�� �� �������� ��(��� ��� ���� �����/ �� �/ ����� ���� �� ����� �R �� ��� �.������• ,������� �� ��. �������

��� ����� �� ����� �� ��. ������� {τ1} �� {τ2}/ �� ��� ������0������ �.�������� ��. ������� � �H�� ����� P � �� �K� ������ �� ������ ��� �������� ��������� ��� ��. ��������

{τ1} + {τ2} =P

{ −→R1−−−→M1(P )

}+

P

{ −→R2−−−→M2(P )

}=

P

{ −→R1 + −→

R2−−−→M1(P )

+ −−−→M2(P )

}

• ������ �#� ������� �� �#� ������

9��� � ������ {τ} =P

{ −→R

−−→M(P )

}��� ��� �� �������� �� ������� � ����� P �

�� ������ �#� ������� λ ��� � ������ �#���� E

λ · {τ} = λ ·P

{ −→R

−−→M(P )

}=

P

{λ · −→Rλ · −−→M(P )

}

• "������� �� ��. �������F� ������� ������� �� ��. ������� {τ1} �� {τ2}/ �� ������� ����� �A������ E

{τ1} ⊗ {τ2} =P

{ −→R1−−−→M1(P )

}⊗

P

{ −→R2−−−→M2(P )

}= −→R1 ·

−−−→M2(P )

+ −→R2 ·

−−−→M1(P )

�������� ������

Page 137: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

7�+ H����� ��� ���6 �(�� ����� ���

"���� ��� ��� ����� ����������/ �� ������� �� �#�B��� �#����� ��. ��������.������ � �H�� ������

�������� �� &� ��������� ,�������9 �� � ����� ��� � �6 ������ � ��� ���� �� �������� �������9 �(����,�� � �(�� �� ���� �� �� ����� � ���� �� �� � �� �� �����... +����� �� ���������� ��� ���.

+�% ?������ ������$ � �� ������

9��� � ������ ������� {τ} =A

{ −→R

−−→M(A)

}��� ��� ��� �������� �� ������� �

����� A ������

5�� :���� ������

F� ������� ����� ������ �#� ������ {τ} � ����� C �R �� ������ � ������−−−→M(C) ���

��������� @ �� ���������−→R �

5� ��� ������

%��� �� ��������� � ����� ������/ ��� ��'��� ������� �� ���������� �� ������� ������3������� ��\� @ �� �������� ��'���� E

−−−→M(C) ∧

−→R = �0

8� ��'�������� ���� �������� ��\� @ �� �������� �� 3��� �� ������ � ������ �� ���������� �� �������� �� ��'����� '��������� <��� ,�!/ �� �� =/ ��� ���'��� �� ��������� ���#�.� ������ E

−→AC =

−→R ∧ −−→

M(A)−→R 2

+ λ−→R ,∀λ ∈ � <7��=

�������� �9 ��� �� �� ������� ��������� �(�6� ��� ���9 �� ������� �� ���������� ������ C ���� ��� 4����� ��� �������� �� λ9 ��� �6����� λ = 0. *(�6� ��� ��� � �� ���� ����� ��� �� ���� C � �� 4�� ��� ����� ���

−→R .

5�% ������ ������

F� ������� ������ ������/ �� ������ � ������ �� � ����� �� �#�.� ������ � ��������� ������ ������ ��� �� �H�� �� ��� ����� �� �#�.� �������9����� ��. ������ �� �#�.� ������/ C �� C ′/ ��� ��'��� ����� E

−−−→M(C) = −−−→

M(C′) +−−→CC ′ ∧ −→

R = −−−→M(C′)

8� �B��/ �� '���� ������� �� �#�.� ������ ��� �� '����−→R �

�$�� 5��� 6������

Page 138: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

��� ���� 7 A ������

5�+ )�� ��$���� �����������

8� �������� �� �������� �� 3��� �� ������ �#� ������/ �� ��� ����� E

−−→M(A) = −−−→

M(C)︸ ︷︷ ︸��������� �

−→R

+ −→AC ∧ −→

R︸ ︷︷ ︸⊥ @

−→AC ��

−→R

����� ��������������� @ AC

� � �

: � � �

: � � �

: � � �

: � � � �

: � � �

� �

� �

: � � �

: � � � � �

� � �

��� 7�� G ���������� ���� �� ������ ������

�������� �� "�� 4���� �� �� �,��� ��$��� � ,�I�� 5 �� ���� ��� ������� �(��$ ���� ��� �� ����� �� ����� �� ����� ��� �� ����� �6����� �� �� ���� ��� ��� C� �������9 �� ����� ��� ���

−−−→M(C) � ���� �� ����� �������.

5�� :�� �&�� �������

�� ������ ������ �#� ������ ����� ������� �� ��������� @ �� ��������� �� � ������/�� �.���� � ������� p ��� �� E

∀C ∈ (Δ) , −−−→M(C) = p

−→R

F� ������ �� E

p =−→R · −−→M(A)

−→R 2

+�' ,� ������� �����

�������� ������

Page 139: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

7�� *� ����� 5 ���� �� � A,�����B ��

52� )�"������

O� ������ ���� ��� � ������ ���� �� ��������� ��� �����

{τ} =P

{ −→R = �0

−−→M(P ) = �0

}

52 :��$������

• �� ������ �#� ������ ���� ��� �� �H�� �� ��� ����� �� �#������ 8� ����A����/ � ������ ��� ��'������/ �� �/ ����� ���� �� ����� �R �� ��� �.������

{τ} =A

{�0

−−→M(A) = �0

}=

B

{�0

−−−→M(B) = −−→

M(A)

}

• O� ������ ���� ��� H��� ���������� ��� � �����0�� �� ��. �������� �� �����������������/ �� �H�� ����� �� �� ���� ���������

{τ} =A

{�0

−−→M(A) = �0

}=

A

{−→R�0

}+

B

{−−→R�0

}��� ��

−−→M(A) = −→

BA ∧−→R

+�( ,� ������� = ��������� /��������0

53� )�"������

O� ������ @ ��������� ��� � ������ ���� �� ������ ������ ��� �� E

∀C ∈ (Δ) , {τ} =C

{ −→R

−−−→M(C) = �0

}<7��=

53 :��$�����

O� ������ {τ} =A

{ −→R = �0

−−→M(A) = �0

}��� � ������ @ ��������� �� ��� ��'������ ������� ���

��/ #��� @ ���� ��� ���������� �� �� ��. �������� �� ������� ���� ���� ���3�����.�

53% 6���� �� ���������

%��� �� �� �#�� ����� ������� �� n ������� @ ��������� {τi} =Ci

{−→Ri

�0

}�'� Ci ∈

(Δi)/ �� ������ ����� �#���� �� � ����� A ������� E

{τ} =

A

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

n∑i=1

−→Ri

n∑i=1

(−−→ACi ∧

−→Ri

)⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

�$�� 5��� 6������

Page 140: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�!1 ���� 7 A ������

%��� �� �� �#�� ����������� ������ <'������/ ������� � �������= �� �������

@ ��������� ���������� �� � ����� P �#� ������� E ��� {τ} =P

{−−→R(P )�0

}/ �� ������

����� �#���� �� � ����� A ������� E

{τ} =

A

⎧⎪⎨⎪⎩

∫P∈E

−→R∫

P∈E

(−→AP ∧ −→

R)⎫⎪⎬⎪⎭

�������� 8: "�� 4����� ��� ��� ��(�� ,���� ���)�� �� ����� � ���� �� ����$����� ,������� A�� ��� ���������9 ���� ����9 ���������B ����������� 5 �� ���� �� ����� 5 ���� �� �9 ��� �(� 5 ���4��� ���� ��� ���.

�������� ������

Page 141: cpgeptljg.free.frcpgeptljg.free.fr/wp-content/uploads/Mecanique_PTSI.pdf · G θ = ( z g,z) # u / G ϕ = (u,x) # z −−−−→ Ω(S/Rg) = ψ˙ ·z g +θ˙· u+˙ϕ·z

�������� �

_,0 �` &� ,0���/ � ��� ��������� ? ������� � ������������� / %���/ � ��_7����` %����� 7�����/ ���� �� ��������� ,�������/ "������/ 9�����0�� � ���_7�� )` 5�"� 7Y��/ 5� &���� �� &� 7�3��/ +�������� ,������� / %���/ ,�X� � )�_7�� +` a� 7������/ �� ����./+�������� P ? +�������� �� ����� ����0����)��/ 8�������/

� +�_"3� -�` � "3�'�����/ ���� �� ��������� �� ����� ����0����)��/ 8�9 "�3�� / � -�_"3�1)` � "3�'�����/ +�������� �� � ��� � �� ������6 ��0����)��/ 8������� / �11)�_"3� �` &���� "3�����/ +� ���� ���� �� �(��,������/ %��� / � ��_"�� �` 6� "����0���/ 5� 6���� ������ !��� ������ �%�& P◦ �����/ C�3�� / � ��_C�$-!` � C�$����/ ���� �� ������� ���� P$+��������/ %���/ � -!�_C�01!` 5� C�0��/ a'�� �������� �� &� ,����/ \�� �4�: 4�� �� �(�� �� �� ���� ����Y

� �(��,� �� ���4� ��,������ � �� � ����� �� ���������/ C������ �A-/ "������/�11!�

_6���-` �� 6������/ +��������9 ���� P � N/ 8�������/ � �-�_6���1` �� 6������/ ���� �� ���������/ 8��� ���$��3���� / � �1�_6���` "3������� 6�0��/ +�������� ,�������/ ������� ���$��3����� ��������/ � ���_���11` �0��� ������ �� "3������3� 7���/ ���� � �6������ �����,� �� ������ ����/ 8�A

������/ �111�_���1�` �0��� ������ �� "3������3� 7���/ ���� � �6������ �����,� �� ���������/ 8�A

������/ �11��_��?�!` ���� ��?���/ %���������� "� ����� %�������� +� ���� ���/ 4�U���/ ���!�_����!` 5��� ����Q/ +�������� �� ���� � �� � ��� �� �����/ &�����/ � �!�_���1�` 5��� ����Q/ +��������9 0������� � ������� ���/ %��� -◦ �������/ �11��_43�11` ,���� 43����/ ������ !��� ������ ? +�������� P◦ �����/ 8�������/ �111�

�$�� 5��� 6������