Upload
hoangthuy
View
239
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
�������� ������
����� �� ���� �� ��� �� ��� �� ���� ����
������� �
�� ���� ����
��� � �� LATEX �ε
�
��
��
� �
�
����� ����
ii
�������� ������
����� ��� ������
��������� ������� ix
��� �������� �
I �� ������ �������� �
� �� ��� ������� ���������� ���� ������� ��� �� ���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������ ������������� ��� �� ����������� ��� ���� � � � � � � � � � �
��� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ �� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� �� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����! "�� ������� �#� �$����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��! ������ �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� %��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� "����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� ���������� ����� "��������� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!
����� ��� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!����� &�'����� �� ���(������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)����! *������ �#� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+����) ,��������� �#� ����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-
��� %���'����� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������� ������ �� �������� ����������� � '���� ��. �� �������� � � � � � ������� %���'����� �#� '����/ ������ �� �� 0��� ��0��� � � � � � � � � � � �1
��! "��������� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� �� ������ ���������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����!�� *������ �#� ����� � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!��!�! 2�����(���'��� � 3��� ��� '������� �#� ������ � � � � � � � � � � �!��!�) 4����� ��������� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �)
��) ,.� ������ �#� ��'����� � �.� �� '������� � � � � � � � � � � � � � � � � �)��+ &�'������ ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+
�$�� 5��� 6������
iv 4,7�8 %89 &,4�: 89
��+�� &�'����� �� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-��+�� &�'����� �� �������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-��+�! 8.����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��- "���������� � ��'����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����-�� "���������� ��� '������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !1��-�� "���������� ��� '����� ��. �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � !���-�! "���������� ��� ������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � !���-�) "���������� ��� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�
��� "��������� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !������ *������ �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !!����� ������ �� �������� ���� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � !)����! ������ �� �������� �� �� ��'������� � � � � � � � � � � � � � � � � � !)
��� "��������� ����3��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !+����� &�'����� ���� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !+����� ,.� �� ����� ����������� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � !-����! &��3���� �� ��������� ����3��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�
�� 7��� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )��� �� 7��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )��� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�
� ���������� ���������� ���� ������� �������� ��!�� &����������� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))
!���� 9����� ���������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))!���� 9����� ��������� �������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))!���! 9����� �������0�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))
!�� &����������� ��� �������� ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ))!���� %����� �� ��0���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )+!���� 6�������� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )+!���! ������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )+
!�! ��� �������� ��������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )-!�!�� �������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )-!�!�� �������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +1!�!�! ,�������'��� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +�
!�) ������ �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +-!�)�� �'����0�����;����'����0����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +-
!�+ "������ �#���'����� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +-!�- 6���3� �� ������ <����3� �� �������= � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +�!�� 93��� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +�
!���� 93��� ��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � + !���� 93��� ��������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -1!���! 93��� �#��3������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -1!���) 93��� ��3�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�
!�� "�� �������� ��� ������� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�!� 4����� ��� ������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -)!��1 "3�>��� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -+
�������� ������
4,7�8 %89 &,4�: 89 v
!��1�� "3�>��� �� ������� �'����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -+!��1�� "3�>��� �� ������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � --!��1�! "3�>��� �� ������� �����.�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -�!��1�) ������ �#3$����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -
� ���������� ��� ������� ��������� ��)�� ���� �� ��?��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)�� %��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
)���� ,����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���! &����� �#�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
)�! "����������� ��� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �))�!�� ,����� �������� ���������� �� �.�������� @ Σ � � � � � � � � � � � �))�!�� ,����� �������� �� ����� � @ ������� � � � � � � � � � � � � � �)
)�) &����������� �#�� ����� ������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � �))�)�� "�� �#�� ����� ������� @ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �+)�)�� "�� �#�� ����� ������� �� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
)�+ &����������� ����� �#� �����0�� �#������ �������� � � � � � � � � � � � ��)�- &����������� ���0��� �#� �����0�� �#������ �������� � � � � � � � � � � � ��
)�-�� 8����0�� ��� ������ �������� �.����� �� � �$����� �������� � ��)�-�� 4����� ��� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � )�-�! "�� ��� ������ �������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � �1
)�� ��� ���� �� "����0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���� &����������� ����� ��� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � ��)���� "�� � ����� �'� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!)���! "�� � ����� �'� ��3����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �))���) "�� � ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �-
)�� &����������� ���0��� ��� ������ �������� �� ����� � � � � � � � � � � � � �-)���� �������� � ��'������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)���� �������� � �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
)� ������� ��'������� ��� �� ����� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � ��)� �� ������� ��'������� ��� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)� �� ������� ��'������� ��� � �$����� �� ����� ��������� �� ��� ������ ��'����0��� �#� ������ �)� �! ������� ��'������� ��� ��� �����A�B���� � � � � � � � � � � � � � � � � �
)��1 4����� ��� ������ ����������0��� ��� ��� �������� �������� ������ � � � 1)��� ���� �� ��� ����������� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !
� �������� ��+�� ��������� ������� �#� �$����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+�� ������� C���������� �� �� 9������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
+���� ������ �#�����0�� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �+���� 2���� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
+�! 43������� ������. ���� � ������� ����������� �� �� ������� � � � � � � �11+�!�� 43������ �� �� ��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �11+�!�� 43������ � ������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �11
�$�� 5��� 6������
vi 4,7�8 %89 &,4�: 89
+�) 8.����� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+�+ 43������ ��� ������ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+�- ������ �#����������� �� �#3$����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+�� 9������ ����3��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1!
+���� D$���3��� E ���0���� ���� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �1!+���� 2����0�� �#� �$����� ����� @ � �������� � � � � � � � � � � � � � � �1)+���! 2����0�� �#� �$����� ����� @ ! �������� � � � � � � � � � � � � � � �1)
+�� ,�A0������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1�+� &��3��� �� ��������� �#� ���0���� �� ������� � � � � � � � � � � � � � � � �1�
II ������� ��
� ����� � ���,�� ������ �� 0������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
,���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���� 7������ ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
,�� ������ �� '����/ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�! 7���/ ������/ �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
,�!�� 7��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�!�� 7��� ���3������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�!�! 7��� ���3������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�!�) 7��� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!,�!�+ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!,�!�- ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
,�) ,������� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��),�)�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��),�)�� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)
,�+ ������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�! ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+,�+�) ���(����� �#� '���� �� � ������ � � �.� � � � � � � � � � � � � ��+,�+�+ "3�������� �� 0��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-
,�- ������ '������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-,�-�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-,�-�� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�-�! ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,�-�) �� ��0�� ������ '������� <C����� �� 6�00�= � � � � � � � � � � � � ���
,�� ������ ��.�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���� 8.�������� ����$���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���,���! ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
,�� �� ��'����� '��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ,� &����� �#� ������� ��� ������� @ � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
�������� ������
4,7�8 %89 &,4�: 89 vii
,� �� ������� �#� ����� A @ � ����� B � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��1
! "� ��� � ���7�� "3��� �� '���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!
7���� "3��� ������(���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!7���� "3��� �����$������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��!
7�� 4����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)7���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��)7���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+
7�! ��'������� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��+7�) F��������� �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��-7�+ 2������� �����. �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
7�+�� ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�� ,.� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�! &����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�) %��������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�+�+ ��� �#� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���
7�- ��� ������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���7�-�� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7�-�� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
7�� ��� ������� @ ��������� <��������= � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7���� %�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7���� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� 7���! 9���� �� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
�$�� 5��� 6������
viii 4,7�8 %89 &,4�: 89
�������� ������
����� ������
�����������
Rg (O, �xg, �yg, �zg) ���������� ������ ��������
(O,�x) ,.� ����� ��� �� ������� (O,�x)(�i,�j,�k
)7��� ���3������� ������ ������ ��� ��� '����� �i/ �j �� �k
Ri
(O,�i,�j,�k
) ����� �#������� O �� ����� ��� �� 0���
(�i,�j,�k
)Σ 9$����� ��������
Σ 8.������ � �$����� �������� Σ
Si 9����� ������ ���������0�� Si
qi ��������� ����������� ���������� �� �$�����
ψ,θ,ϕ ,����� �#8���[d−→Udt
]Ri
%���'�� � '����−→U ��� ������� � ������ t ������'�����
� ������ Ri
�����������
−−−−→V(P/Rg) *������ � ����� P ���� ��� ��'����� ��� ������� � ��A
��������� �������� Rg
−−−−−→Ω(Si/Rj) *���� ��. �� �������� � ������ Si ��� ������� � ������Rj
P
{V(S/Rg)
}4����� ��������� � ������ S �.����� � ����� P ������� ��'����� ��� ������� � ����������� �������� Rg
−−−−→Γ(P/Rg) ,��������� � ����� P ���� ��� ��'����� ��� �������� ����������� �������� Rg
�$�� 5��� 6������
x �������� ��������
−−−−−−−→V g(I∈S1/S2) *������ �� ���������� �� I �� S1 ��� ������� @ S2
P
{V(S1/S2)
}4����� ��� '������� ������'�� �� S1 ��� ������� @ S2 �.������ ����� P
�n ,.� ������ � ����� ����� ��. �������
�t ,.� ������ ���� �� ���� ������� � ����� ����� ��. ��A�����
� ����� �� �������
(M,
−→F)
,���� �������−→F �������� � ����� M
−−−−−→M(P,−→F ) &����� ���� � ����� P �� �#����� �������
−→F
P
{F(Σ→Σ)
}4����� ��� ������ �������� �.�������� @ Σ �.����� ������ P
−−−−−→R(Σ→Σ) �������� ��� ������ �������� �.�������� @ Σ
−−−−−−−→M(P,Σ→Σ) &����� �������� � ����� P ��� ������ �������� �.��A������ @ Σ
M
{F(Σ→Σ)
}4����� ��� ������ �������� ���������� @ Σ �.����� ������ M
P
{F(S2→S1)
}4����� ��� ������ �������� �� S2 �� S1 �.����� ������ P
−−−−→R(1→2) ������ �� ����� � ������ S1 �� �� ������ S2
−−−−→T(1→2) ���(����� ���� �� ���� ������� � ����� ��
−−−−→R(1→2)
−−−−→N(1→2) ���(����� ��'��� �� ������� � ����� ��
−−−−→R(1→2)
�������� ������
���������
���������
�������� E <����� E ���������/ ��� E ��������/ �� �����/ ��3���= E 2��� �����'������ �� ��� ���� �� �#�����0��� "���� ��������� ��������� �.����������� ��� �#�� ������ �������� �3������ �3$������ �� ������� ������� <� ��������= ������ ��� ��������'���� E
G �� �������� <���� ��� ��������� �#�����0��=/
G �� ���������� <���������� ��� ��'������/ �������������� ��� ���� �� ������'�����=/
G �� �������� <����� �� ����� �� �� ��������� ��� ������/ ���� �� ���� ��� ����������0��� @ �� �$������=/
G �� ��������� <��������� ����� ��� ��'������ �� ��� ���� @ �#������� �� �.A�=�
,����/ �� ������� ������� �.��� ��� ���������� ������� �� �������� ������ �� ��������� �� ��'�����/ �� �����/ �� '������/ �#�������/ �#����������/ �� ����� � �� �����
��� ��B������ �������� �� �� ������� ��'��� H��� �0����� ��'��� ����� �����3����B������� E
G �� ������� ��?��������/ �'� �� ���������� '��������� � ��'�����/
G �� ������� ����$���� ��'������� ��� �������� �'� �� ���������� '���������������� ���3�������/
G �� ������� ������'�����
�� � � �������
��� ��������
�#������� �� �� ������� �� ������ �'� �� �������� �� �#�����H� �� ��� 3������������ �. �3�������� �������/ ��� �. ��3����� �#��� ��� ���0������ %�� �#��������/�� ��������� ��������� ���������� �� ��������� �� �� ������ �#����� �� ��� ������/���� �� ����� ��� ����� �.�/ �� ����� ����� �� ������ �� ������
�� �������� 0���3� �� �� ������� @ H��� ������ ���� �������� ��� �� �������/ ���B��/ #��� �� ��������� �� ���� �����'���� ��� ������� ��� ��� ������� �� ����� �� �� ���� ��������'���� �� ������ "���� ��������� ��� ���� �. ���'�. �#���������/ �� �������� �� �������� ����� �� ���'���/ ���� ��� 0���� �� �#�����0�� ��� ���� I������� �� ����� �� �������
�$�� 5��� 6������
� ����������
� ��'���� "���� ������� ��� ��3���� ������� <�����/ ���� ������/ 0������/ ��'���= ������������ �. ���0����� ������ �� ����������� � ��� � ����� ���� ����� ������� ��������� ��������� <�� ������ �� ���� ��� ����� �0�����=�
�� �$������ �#��� ����� ��� �0(�� �� ���������� �� �� ��� ��� ��'������ J ����������� @ � ��K��� ���0���� ��� ��� ������� ��� ��� ��������� �3������3���� ��� ��A'��� �����'������� 5��#� &�$�� L��/ �� ������� �� ��������������� ����� ��� �� �������#��� � �/ ����� ������� � ���� �� ��� ��������� �� ��. �$��� �� ��'������ E M��A����N � M'������N�
�� ��'����� '������ �0����� ���� �� �� ��� �� � ��� �B�� �� �� ������� ������/�� ���� ��� �� ����������� �� ����A�� �� ��'����� ������ ��� ������ '��� �� ��� ��������� ���� E ����� ��� ���� ����� ���0���A��� '��� �� 4���� ������ �� ��� ������ ������� '����� ���� �� ��'����� ������ ��� ���� �������/ ������� H��� �#�� ����� ��� ����������/��� � ��'����� ������� ���� � ����� �� �#O��'���� �� '������ �#� �0(�� ������#� ��'����� '������ ��� ��������������� @ �� ���� �������� ��� �� ����� ��������0��� ��'�����/ � ������� ������� �� '���� (��#@ �#����'�� �� 6�������
*��� �� P�*� �����/ �� ��������� �'� ���� �������/ �#�(��� ��� �� �0����� @ ��������� ���� �#���� �/ ������ ���������� �������� @ ��� ��� ���� �� ��'�����/ ����A�H�� ���� �� ��'����� �� ������0�� �� �#���>��� <������� �� 3��= � 0��� ���#�B��0��� <���� �#� ��'����� '��� �� 3��=� "�� ������ ��� H��� �#������� ������ <3����� ����= � '������ <������ �� � ����=�
�� ����� ����� �������� �� P*��� ����� �� ��� ��3��3�� ������������ �� ��������/����� �����/ ������ �� �� ������� ��� '��� ���� ������>��� �� ��'����� �3������ ����.������ �� ��'����� ��� �����
��� ������� �� ��������
�#�'������� �� �� �������� ���������� �� �#O��'��� ����� �� ����� �� �� ��������'� ��� ������� ����������������/ ����� �������������� �.������ @ ���'��� �� ��������#�������� ������� ������ �� 1638 �� �� ��'����� �#� ���� �� � ���� 3���Q����� ����������/ �� ���� ����� � ����� �� ������� ��� �� ����� �������� �� 1644� %#���� ����/������� ������ @ ��������� �� �� '������ �#� ���� �� 3�� ��0�� ��� ������������ � ������� � ����/ � �� ��� �� ����������� �'� �� ������� ������������� �� �� �$�������
�� ������������� ��� �������� �� �� ������� ��� ������������� �� @ �� !��� "�#$ ��/ �� �0���� ���� � ��� �'����� ��� ��� ����������. �� �� �3$���� E ��� %������������ ����� ��������� �� ���� ��� <1687=/ �R ���� ������� ��� ������� �� �����/ �� ��������� ��'�����/ �� ����� <������/ ���������=� %� �H��/ "�# �� �������� � ����� ��� ����� �0���� �� ����� ��� �������� ����������. �� �#�������/ �� �#������� ��� ��������������� ����� �� �� M�������� ������������N �.������� �#������� ����� ���� �� ����'���� �� ������� �� ��'������ 9�� S'��/ �������/ ��'������ � P*���� ����� �� �������������� �� ���� �� ������� ��������
, ������ ��� %�������� �� ����� �� P*���� �� �� P�P� �����/ �� ���0��. ��'���� �� �������������� @ ����� ��� ���������� �� �� �������/ ��� ��'��� ���� ����� ����� ��� �����#&����/ �� ���������/ �� ������� <��� �� M���� �#�������N �� �� ����� �� ��� 3����������� �����������=/ �� '������ <��� �� ���0�� �.������� � ������ �� �� �$������=/ ��%���� �� �� %���� <��� ���� ����� �� ������� ��� �������=�
�������� ������
���������� !
��� ��'��� ����� �� ��'���������� �� �� ������� ����$���� �'� � ������ ���0������� ��� ���� �(����)�� �� ��)! �#� �'���� ������� �� �#���� ��� ��'������/�� ��� �� ���� ��� �����/ ������ �#�� (�� �0����
"���� ��������� ���'� ��� ����� �� ������ ���� �#���0������� � ��� ��B�������� ������ �#������ ��� �������� '������������ ��'������� @ �� �� � P*��� ����� �� �������/�� ���� �� ��� ���0�� ��� �� ������� �� ������� ����� �� %����� *��� �� +����� ��<��))=�
%� ��T�� ��������/ ��� �������� '������������ �������� �� �� ���(������ ��'�� ��� ����� �� ��'����� ��� ���� �� ���� �������� �� ������� ������� ������������ �� ���'�����/ ����A� ����� ������������ �.������ ��� �� ����� �#�� ����������
8� ����/ *�,���,� �0��� � �'���� ���������/ �� &������ ����$����/ �� ��������� ����� ��� ��� �� �� ������� �� ������� ����� ���� �� � ��'�� �������'�����������/ ��� �� �#���������� � ������� ��� '������� '�������� �� �� ��� �� �(����)�� ��� ���� ������ ������ ��� �������� �� �������� ��� �������� ��� �� '������ ��� �������� �R����� �#���������E 3$����$������/ ���� '�0��������
"���� ���3��� ���� ��������� ��� ��� ���'�. �� �� -������ �. /���� �� <��!)=/ ������������� �� ��'���� ����� ���� ������� <����� ���������� �� ��� �������� �� ����� ������= ��� �������� ��������� ��� �$������ �����'�����J �����A� ������ ������� ������������ ��� ���� ����)� <��)�=� "� ���������� ���� @ �� 0��� ��� ���'�. �� �3$���������� �� *��� �� ���,���/ �� �'������ �� '��� @ �� ������� ��������
�� ������ �� ���� �� �� ����������
������ �� '������ ��� ���� ��� ���3� �� ���� �� �� ������/ ��� �������� �� �� ��A����� ������� �� ���� ��� '���0���� �� ��� ����� �������� ��� ���� �� �� �������������'����� �� ��B����� ������������ ����� �� ��. �3������ ������ ���� �� ��������� ������� 8� ������� �������/ �� ����� ��� � ��������� �������� ��� 3��� �0���'�A���J ����� �� ���� �� �3����� �� �� ������'���/ �� ����� ��� �� '����0�� � �H�� ����� ����� ���������� �#����� �� �� �� �#���� ��� �� �� �H�� ������� ��� ��� ��� �0���'�������� ������� ����������� �� �� ������'���/ ����� ��� ��)�� &�� ��� �� 1905/ ������ ���� '������ �� �� ������ ��� �� �������� ������������ �� �#O��'��� E ���� �� ������ ��� ���#�0���'���� �� �� �� '������ @ ������� ���A� �� ������� �� '������ �� �� ������ ��������� ������ ������3����0���
��� ���� �� �� ������� ������� ���� ��������� ����� �� ����� ������ �#�� 3��3� @��� �������� @ ��� �$������ ���� �#����� ��� �� �#����� �� <� ��������� @= �� �������� ������U <h = 6,63 · 10−34J.s=� F� ����� �� ���� �� ������� �� �� ������� �������� O��$����� �3$���� ��� ����� �� ������� ������� ��� �� ������� ���3������� ����������� �#����/ ���� ��� '����0��� ���� ��� ���������� �� �� �����/ �� �� ������� �����#����������� ��������� @ �� ���������� E ����� ��� ������������� �3$����� � �$�����<'������/ �������/ ������ ���������= ��'��� �� H��� ��������
������ ���� � ����
"� ��0��� �#��� ��� �.3����� �� ������ �������� �� ���. ����� ���� �� ����������� � ��� ������ �3$������ �� ��� ���� �'���� �� ������� (��#@ ��� (����
�$�� 5��� 6������
) ����������
��� ���� �� ��������� ���� �� ����
,�3����� A��� A���5��� 7����� �!11 �!+�������� �� *��� �)+� �+� ������ "������ �)�! �+)!4$3� 7��3� �+)- �-1�6������ �+-) �-)�5�3����� V����� �+�� �-!1 ��� %������� �+ - �-+17����� ����� �-�! �--�"3������� D$���� �-� �- + �0��� D��U� �-!+ ��1!���� ��?��� �-)� ����5���� 7������� �-+) ��1+5��� 7������� �--� ��)�%����� 7������� ��11 ��������3��� 8��� ��1� ���!5��� �� ��� %#,���0��� ���� ���!"3����� ,����� "����0 ��!- ��1-5����3A���� �������� ��!- ���!5���A7������� *����� ��)- �������� ������� ���� ��+ 9����� %���� ������� ���� ��)16������ 6���'� �� "������� �� � ��)!"3����� 6���'� 5��0� ��1) ��+�9�� W������ �?�� D������� ��1+ ��-+5��� 7������ ���� C���� ��� ��-�5�3� W������ 9����/ ���� �$����3 ��)� � � D���� ������� ��+) � ��,�0��� 8������� ��� � ++
�������� ������
�������� �����
�������� ��������
�$�� 5��� 6������
������ �
����������� �������� ����
������ ������
L � 0� �� � 3������ ��� �� ������ ��� 0���� ������������� ���������� �� ������ ��$����� �������/ �� �� ��������� ���� �� 0� �#������ ��� ��'����� �� ��������
��� *�� '������� ��� �� �� ��������� ������� ��� �� !��� "�# �� �� �-���
��� ������������
��� �����������
,�� �� ����� @ 0��� �� ���� �� ������� �������� �� � ����� �������� � �� ��$����� ��������/ ��� ��'��� ��� �.�� � �$����� �� �������� ����� ��0���� ���/ �� ������������ �� ����>��� @ ��� ������� �� �������� ������ �� 3�� ��� ������ � �$����������� "� ����������� �� ������ E
G �#� ������ �#����� <! ����������=/ ����� ��� � ����� �� �� 0��� '��������� (�x,�y,�z)/G �#� ������ �� ����� <� ���������=/ ����� ��� �� ���� �� ����� �� � ������� ��������
�� ������ �#����� ������ ��� ��'������ �� ������� �������� ��� ��� @ �� 0��� EG ���3�������/ �x ⊥ �y/ �y ⊥ �z/ �z ⊥ �x/G ������/ ||�x|| = ||�y|| = ||�z|| = 1/G ������/ �x ∧ �y = �z�
�� ��� ��'���/ �� ����������� ������ ���� ������ �� ,������� � �#�)��� �� ���� Rg� "���������� �� ����������� �������� ����� ����� ��� �� �������� ��� �� ��?��� <����� )/ �� ��=�"���� ������ �� ����������� �0��� ��� ������� @ �0����� �'� ��� ��������� �3$����� ����� @�� 4����/ ���� �� ��K��� ��� ��� ������� @ ���'�� � ����������� 1�2����� ,�������3��� �#���� @ ������ ��� �.�����/ ��� ������������ ���������� �� �� ��0�������� �� ���� ������������/ ��� �.�������� � ������ �� C���� � ����3��� <��+� A ���������� � ������ �#����������= �� �� ��'������ '��� �#��� �#� ���� �� 3�� ��0�� <��+� A ���� �� ���� ���+� � E ��'������ �� �/�+ � '��� �#��� �� @ "�������= �������� �� �� ������������ �� ������� ����������
�$�� 5��� 6������
� "3������ � A ����� ���� ��� ������ ���� �(�� � ��� �� �����
%#���� ����/ ��� ����������� ������� �� �#�.������� �� �#��'��� �X � 7��A0���������� @ ���'�� �� �H�� �� ������ �� "������ �#��� ��� ������������ 6��������
&����� ���/ �� ����� ������� ������� �� 0����� �����.�������� � ����������� ���������
"�#� �� $ ����� % �&��� �'����0���� ��� �� �������� "����� � ������ ! ������� �.����0���� ��� �� '������ "����� �� �� ����� ! ������� �.����0���� ��� �� ��)��� ���� ���� @ �� ����� �� �� 4���� C�.�� ��� ������� @ �� 4����
"�� ��B������ ������������ ���� 3�0���������� ������� ��� ����� ��� ����� �� ���A���� ���������
�������� � ��� ��0���� ��� ����� �(�� ���4���� �� ����� ��� ��� ���,�� ���0������� ������ 5 �� ��0���� ��� ,������� � �,������ ,�������.
�� !������� ��"������� #��� �� ��$�������� $��� ����
�(�(�(� )���� ��� ��
F� ������� ����� �������� ��� ����� �� �#����� �B��� �#� ����� �� ����� ���������
�(�(�(� ����� ���$� ��*�
O� ������ ���������0�� ��� � �����0�� �� ������ ��������� M ���� �� ������� �������. ������ ������� ����� ��'������� ���� �� �����/ �� � ���� �� ������ ��� �������������� ���������� F� �������� ���� ������ ��� � ���� � ����� �� ����������������
�(�(�(� ����� ��� ��
O� ������ �������� ���/ ��� ���������/ � ������ ���������0�� ���� �� ����3� ������� �� ����� ���������
�(�(�(� ������� ��� ��
F� ������� �$����� �������� ��� �����0�� �� �������/ 3������� � ���/ �� ������������� � ��� � ������ "� �$����� �������� ��� H��� ������ �� ������� �������A��0��� ���� ���� �� I���� <��Q �(���� ��� � ����� � � �'���/ �$������ 3$��������=�"� �$����� ��� ����� ��� �� ��������� <����� �.������� � �$�����=�
��� ����������
��� ������/ ���� ���� ������/ ���0��� ������ 3����� ��� ���������� @ ������� ������������� � �$����� �������� ��� ���/ ��� ������ ������ � �� �� ��� ������ <������� ��������= ��� ������ ��'��� ����������� @ � �$����� ���������
�������� ������
��� %����� ��,�
� � �� $���� ��������
,�� �� ������ ������������ �� �������� �#� ����� �������� & ���� � ����������� ��������Rg/ ��� �'��� 0����� �� ����� �����������
"�� ����� ���������� �� ��'��� H��� ���� ��� ������/ ���� ��� �������� ���� ��������������� ��� ���������� � ������
"�� ���������� ��'��� H��� EG ����������� (x,y,z)/G $��������� (r,θ,z)/G ��3������ (ρ,θ,ϕ)�
M MM
z
θx
u u
ϕ
y
ρw
zr
θ
zg
yg
O
ggx
gyO
gz
g
O
x
gy
g
x
z
��� ��� G ��������� ��������� ��������� �� ������ �� ������ ���� ����
"� ����������� ��� ����������� ���� �� �� �#� ����� ��������/ ���� �� ��� �������� @ ����������� �#� ������ ��������� ��� ������ ����$�� �� ������ �� ���� �� ������ ��� �������� ���������� � ���������� �������������
� �� ������ ��������
G
(S)
O
xg
zg
yg
z
y
x
��� ��� G �� �� ����� ��������
�� ��'����� �#� ������ ��� ������� @ � ����������� ��� ������������ ��� �� ������>� �� ��'����� �#� ������ ��� @ � ������� �� ��� ��� ��� ����>��� @ 3���
�$�� 5��� 6������
�1 "3������ � A ����� ���� ��� ������ ���� �(�� � ��� �� �����
������� �� �������� �#� ����� � ������ <������� � ������ E ! ����������= �� �#����������� ������� ���� �� � ����� <�� ������� �#������� E ! ����������=�
!� 0�� ���� �� ��6���� �� 7 ������ �� ���� ������ � ������ �� ��� ����(�� ����� ��� �(�����.
�(�(�(� +�� ��&�� ��,��
9��� Rg (O, �xg, �yg, �zg)/ � ����������� ������ ������������ ������ ������ �� �� �#� ������ S ��������� � ����� �.� O ���� �� �����������
�������� Rg <�� � ������� �$��������=�9��� R (O,�x,�y,�z)/ � ������ ��� � ������ S��� �������� � ������ S ��� ������� � ����������� Rg ������ �� ! ���������� ��������
<����������� � ������ S ���� � ����� O=�8� �B��/ ������������ @ � ������ ��0�� ���� �#�����/ �� �������� �#� ��� ������ �
������ <�� �#������ O= ��� ������������ �������� ������ ���� ����������� �� S ���� �� O/ ��� ��'��� ������� ��B������ �$������
�#������/ � �$����� �������� ������ ��� ��� ��� ��,�� ������� ���� <�����/ ��������� ����=/ ���� ����� ��� �� ������� � '��/ � �� ����� �� ������� ��������� %�������� ��/ ��� ���������� ��� ������ �#8��� E ψ/ θ �� ϕ�
ϕ
θ
θψ
ψ
z yw
ϕ
x
u
v
gz
gy
gx
O
��� ��! G ��������� �� ����� �������
��� ������ ������ �� ���������� �� �������� ��� �$������ �#�.�� ��������������� 9���(O,�u)/ �#����������� ����� ��� ����� ( �xg,O, �yg) �� (�x,O,�y)/ ������ ��,�� �� �8�� <��������'����� ���� ������ �� ������� ��������=�
G ψ = ( �xg,�u) ��� �#����� �� �������� ����� ���� �� �zg/
�������� ������
��! "� ��� �� ������ ��
G θ = (�zg,�z) ��� �#����� �� �� � ��� ����� ���� �� �u/
G ϕ = (�u,�x) ��� �#����� �� �� � ��� ������ ����� ���� �� �z�
−−−−→Ω(S/Rg) = ψ · �zg + θ · �u+ ϕ · �z <���=
"� '���� ��. �� �������� �#��� ��� ������0�� ���������� ��� ��� ���� �� �������/�� ��� �� ���(���� ���� �� ��� ��B������� 0���� �� ��� �'��� @ ����� ������������
�� ���(����� ���� �� 0��� ������� @ Rg
−−−−→Ω(S/Rg)/Rg =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
(θ cosψ + ϕ sin θ sinψ
)· �xg(
θ sinψ − ϕ sin θ cosψ)· �yg(
ψ + ϕ cos θ)· �zg
�� ���(����� ���� �� 0��� ������� @ R
−−−−→Ω(S/Rg)/R =
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
(θ cosϕ+ ψ sin θ sinϕ
)· �x(
−θ sinϕ+ ψ sin θ cosϕ)· �y(
ϕ+ ψ cos θ)· �z
!� ���(����� ���� �� 0��� ������������� �� ���� (O,�u,�w,�z)
−−−−→Ω(S/Rg)/Resal =
⎧⎪⎨⎪⎩
θ · �uψ sin θ · �w(ϕ+ ψ cos θ
)· �z
� % ��� ������� �&�� �'��(�� ��������
9��� � �$����� Σ ������ �� � ������� �� �� � ������ ���������/ �����/ �� ��� � ��.�A�� �� N ���������� ��� ������ ���������� �� ��'����� � �$������
N = 6 · s+ 3 · q <���=
��� ������ � ��������
%��� �� �������/ �� ��'����� �#� ������ ��� ��'��� ������ �#�� ������� � �#������� 8� �B��/ � �$����� ������� ��� 0��� �� � �����0�� �� ������� ������ ����� �.�� ����� ����� �� �������� ������ ��'������ ������ ����� �������0����
��� �.�����/ � ������ ���������0�� ��� � �$����� �������� ������ �#�� ������� �������� ��������� ������ ����� �. ��� �� �������� ��'���� E �� ������� ����� ��. ������ ������� ���������0�� ����� �������� � ��� � ������
�$�� 5��� 6������
�� "3������ � A ����� ���� ��� ������ ���� �(�� � ��� �� �����
�%� )�"�������
O�� ������� ��������� @ �� ����������/ �� ���������� � �� �������� �� ��� ��'�A����� � �$����� <���������� �� '������ � �� ��������=�
��� �������� ���������� �#Y��� ��� ������ �� ��0����� @ � �$����� ���������8���� �� ���������� ���3����������� ��� ��� ��������� <�������� � ����������= ��A
����� ��� ���������� ��������� � �$������
�% ������" �����
�(�(�(� -����#���.�
O�� ������� ��� ���� ���������'� �� ���� � ��'����� ������� ��� ������� ���������� @ �����������/ �� �#������� ��� ��������/ ���� ��� ����������� ���/ ���� ��� ����������� '����.�
�(�(�(� ����� .���.�
��� ����������/ �� ������� �����'���'� ��� �� ������� �� ��������� ��� ������� <����� ����������=� ��� ��������� ������� ������� �������� ���� ������� �����'���'��
%#�� ������� ��� ��3��������/ ��� ��'��� ���� �#�� ������� �������� ����� ��.������� ��� ���������� ��� E
G ��� ������ �� ����� �������������� ��������� �� ���������0���/G ��� ������ ���� ��������� �����'��
�������� � *� ������ ��������� ���0�� � � �� ������ ������� ��������9 ���� ����������� �� 5 �� ����� � �� ��� �,� ��������� ����. +��,�� ����9 ��� � ���������: ��,��������� �� ��� �� ������� ��� ���� � ������� �.
�������� ������
������
��������
L � ��������� ��������� @ �#���� ��� ��'������ �� �$������ ��������� �������A������� ��� ���� ����� �� ��'������� �� 0� �� ���� ����� ��� �� ����������
�� �������� �������� �� �$������ �� �#�� ������ �� �������� ����� �� ��� ��� ��� ��'����� ����>��� �� '������ �� �#���������� @ ��� �������� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� '������ �� �#���������� �� ������� �� �������� �#� ����� �#����� ���� �� ������'�A���� @ � ������/ ����� ������� ��� ���� �� ������ ���������� � �$����� �� ������������������ �� ���������� ������������ �� �������� �� ��� ����� @ ��� ��������
��� ��������� �� ����
�� ��� ������������
�(�(�(� -/������
��� �'��� ' ����������� <����� �/ �� �= �� �#�����0�� �#� ������ �#����� <@ !����������= �� �#� ������ �� ����� ������� � ������������
"� �����������/ ���� ��� ��� �#������ ���� ����� �������� ���������� �� �#����� ������ ��� ���� �� ��������� �� ��� ������ ������ ��� 3�������� ���� �� ��(����� ����� �#������� � ����������� ������ �� ��������� ��� '������ �� ��.���� ����� ���� ���� �� �$������ ��� �#�����H� �� � �$�� �� ����������� �0����
�(�(�(� 0�#� �
�� ������ 3���� ��� ��(��� ���3������ ����� ��� ��'������ �� �������� O� ��������� ������� E
G �#� ����� �#������� O/
G �#�� 0��� ���3������� ������ ( �xg, �yg, �zg)�
�� �������� �#� ����� M ��� ������ ��� ��� ���������� <�����������/ $���������/ ���3������=� F� ������� �����
−−→OM ��$�� '���� � ����� M � '���� �������� � �����
M ���� �� ������ (O, �xg, �yg, �zg)�
�$�� 5��� 6������
�) "3������ � A ������ ����
M MM
z
θx
u u
ϕ
y
ρw
zr
θ
zg
yg
O
ggx
gyO
gz
g
O
x
gy
g
x
z
��� ��� G ���������� ���������� ���������� �� �������
−−→OM = x · �xg + y · �yg + z · �zg
−−→OM = r · �u+ z · �zg
−−→OM = ρ · �w⎧⎨
⎩xyz
⎧⎨⎩
x = r · cos θy = r · sin θz
⎧⎨⎩
x = ρ · cos θ · sinϕy = ρ · sin θ · sinϕz = ρ · cosϕ
<���=
� ��������� �� ���*� �����
�(�(�(� -/������ ���1������� �� ���.�����
F� ������� ��'����� ��M ���� ���������� �� R −→ R3 ��. ���� ����'�0�� @ ����'�������� ������ �� @ �� '����0�� t ���� ����������� � ����� M �� �#����� R3 ��������� ������ Rg (O, �xg, �yg, �zg) E
t −→ −−→OM (t)
0M
M
gx
gyO
gz −−−−−→V(M/Rg)
��� ��� G ��������� ���� ���� ��������
��� ���������� �� M ���� E
−−→OM = x · �xg + y · �yg + z · �zg =
⎛⎝ x(t)
y(t)z(t)
⎞⎠
Rg
�������� ������
��� ������ ���� �� ���� �+
�(�(�(� " �2����� �
F� ������� ���(������ �� M �� ��� ��� ��������� �����'�� ����� ��� �� ����� M���� �� ������ Rg ������ �� ����� t '�����
�������� � �� � ��;�� ���� � ���� ����� ���� ���� 5 �(����)�� �� ��� ��� ������� �� 4�� ��� ��� ���
−−→OM �� ���� �� ���. &��� ������ ���� �� ������ � ���� <
�% ������� �&�� $���� ��������
�(�(�(� -/������
�� '�������� �� �������� �#� ����� M ���� � ����������� R ����� ��. �������� ������������� ��� �� '������ �� � ����� M � �� '���� '������ ��� ����� ���3��������������� ����� �� ����'�� ��� ������� � ����� � '���� �������� �� M �
−−−−−→V(M/Rg) =
[d−−→OM
dt
]Rg
<���=
�� '���� '������ ��� ��(��� ������� @ �� ���(������ � ����� M @ �#������� ���������
�������� � !� �6� � ��� ��=������ �� �� �������� ��� 4� �� ��� ������ 5 �� ������ � �6������ ��� 4� �� ��� �� )�� ���� 5 �� ������.
�(�(�(� ��������� 3 4����
F� ���� ����B�������� E−−−−−−→V(M∈S/Rg) = −−−−−−→
VRg(M∈S)
�����#�� �#$ � ��� �#��0��Z�� �� �� ������ �#�����������/ �� ��� ��������� �#������ E
−−−−−→V(M/Rg) = −−−−→
VRg(M)
O���� 9��� E m.s−1
O����� ������ E km/h/ �S��
�(�(�(� ���#������� �� � .������
F� �� 0��� ���� � ����������� ������ �������� Rg (O,�x,�y,�z)/ �� ��� ����� ������� ���A������� �$��� �� ���������� ��� ������ ��� ���������� �� �� '������ �#� ����� ���������
,� ��� ������ �� ��������
−−→OM = x · �xg + y · �yg + z · �zg
⇒ −−−−−→V(M/Rg) =
dx
dt· �xg + x · d �xg
dt+dy
dt· �yg + y · d�yg
dt+dz
dt· �zg + z · d�zg
dt
�$�� 5��� 6������
�- "3������ � A ������ ����
�� d �xg
dt = d �yg
dt = d �zg
dt = �0 �� ��� '����� �xg/ �yg �� �zg ���� ��� '����� �������� �.������ Rg/ ��� ���� ��� ����������� �� t�
⇒ −−−−−→V(M/Rg) =
dx
dt· �xg +
dy
dt· �yg +
dz
dt· �yg = x · �xg + y · �yg + z · �zg
�� ����� x ������� �� ����'����� ��� ������� � ����� �#�� '����0�� �� ����������������
,� ��� ������ #��� ��
−−→OM = r · �u
g
g
r
u
v
θ
θ
M
gz
O
y
x
−−−−−→V(M/Rg)
{�u = cos θ · �xg + sin θ · �yg
�v = − sin θ · �xg + cos θ · �yg
��� ��! G ���������� ������
[d�u
dt
]Rg
= −θ sin θ · �xg + θ cos θ · �yg = θ · �v
⇒[d�u
dt
]Rg
= θ · �v ��[d�v
dt
]Rg
= −θ · �u
⇒ −−−−−→V(M/Rg) =
[d−−→OM
dt
]Rg
= r · �u+ r ·[d�u
dt
]Rg
= r · �u+ r · θ · �v
�+ � ��������� �&�� $���� ��������
�(�(�(� -/������
�� '�������� � '���� '������ �#� ����� M ����� ��. �������� ��� ���������� ��� ��'���� �����������
"� '���� ���������� ��� ����� ��� �� �������� ��'���� E
−−−−−→Γ(M/Rg) =
[d−−−−−→V(M/Rg)
dt
]Rg
<��!=
�������� ������
��� ����4� ��� 4�� ������� ��
�(�(�(� ��������� 3 4����
F� ���� ����B�������� E−−−−−−−→Γ(M∈S/Rg) = −−−−−−→ΓRg(M∈S)
�����#�� �#$ � ��� �#��0��Z�� �� �� ������ �#�����������/ �� ��� ��������� �#������ E
−−−−−→Γ(M/Rg) = −−−−→ΓRg(M)
O���� 9��� E m.s−2
�(�(�(� ���#������� �� ���� �����
,� ��� ������ �� �������� �� ������������ ��� �������� @ ��� ������ ��� ������� '������ E
−−−−−→Γ(M/Rg) =
[d2−−→OMdt2
]Rg
= x · �x+ y · �y + z · �z
,� ��� ������ #��� �� #���� ��� ��������� �� �#�.�������� �� �� '������ �� ����'��� ����� � ��������3� �������� E
−−−−−→V(M/Rg) = r · �u+ r · θ · �v
�� ��� �K� ��� �� ����'�� E
−−−−−→Γ(M/Rg) =
[d−−−−−→V(M/Rg)
dt
]Rg
= r · �u+ 2rθ · �v + rθ · �v − rθ2 · �u
F� ���'� ��� �� '���� �� �#���������� �#� ����� ���������� �� ���������� �������������� E
−−−−−→Γ(M/Rg) =(r − rθ2
)︸ ︷︷ ︸
����������� ������
·�u+(2rθ + rθ
)︸ ︷︷ ︸
����������� �����������
·�v <��)=
��� ����!����� !�������
%��� �� ������ ���������/ ��� �'��� ����� �� ��'����� �#� ����� M ��� ������� @� ����������� Rg �� ����������� ��'��� '����� E
G ��������/
G '������/
G �����������
"���������� ��. ������� R1 �� R2 �� ��'����� �#� ��� ������� @ �#����� 8.����A�A����� ��������� �� ��� ���������� �� ������ ��� ������������� ���������� �#� �����M ��� ������� � ������ R2 �. ������������� ���������� �� � �H�� ����� M ���������� � ������ R1[
�$�� 5��� 6������
�� "3������ � A ������ ����
M
1
x1
O1
O
y
z2
2y
x2
1
2
z
�� �.���� �� �������� ������ ��� � �� ��� ��� '����� ��������� E �� �������� �� "3������
−−−→O1M = −−−→
O1O2 + −−−→O2M <��+=
��� � �� ��� ��� '������� �� ��� �����������/ ��� ��'����� ��������� '��� �����'����� ��������� ��� ��������� � �� ��� ���� ��\� �. ��������� �� � ��������3��
8���$��� �� ���������� �� �������� �� ���������� �� '������ �� ������� �� �� ����������������� <��� ��+/ �� ��=�
−−−−−→V(M/R1) =
[d−−−→O1M
dt
]R1
=
⎡⎣d(−−−→O1O2 + −−−→
O2M)
dt
⎤⎦
R1
−−−−−→V(M/R1) =
[d−−−→O1O2
dt
]R1
+
[d−−−→O2M
dt
]R1
= −−−−−→V(O2/R1) +
[d−−−→O2M
dt
]R1
<��-=
��� ��� �����'��� ��������� @ � ���0����/ �� ��� �� �� ����'�� �#� '������0��� ���� � ������� ��� ���/ ��� ��'��� ��������� ������� ������� �� ������ ��������� ��� �� ���� E
G �� '���� ��. �� �������� � �������� �����������/
G �� ������ �� �� 0��� ��0����
� #����� �� �������� ����������� �� �� ���� ���� �� ��������
�(�(�(� ��� �������� �� �/������
�� ������ R2 (O2, �x2, �y2, �z2) ��� ���3������ ����� ��� ��� ��������� E
⎧⎨⎩
‖ �x2‖ = 1‖�y2‖ = 1‖�z2‖ = 1
⇒
⎧⎨⎩
�x22 = 1 ⇒ �x2 · d �x2
dt = 0 ⇒ d �x2dt = γ · �y2 + δ · �z2
�y22 = 1 ⇒ �y2 · d �y2
dt = 0 ⇒ d �y2
dt = σ · �x2 + α · �z2�z2
2 = 1 ⇒ �z2 · d�z2dt = 0 ⇒ d�z2
dt = ξ · �y2 + β · �x2
%� ���/ �� �������� ��� �������� ��������� �� @ ��'�� �� ���� �� �� ������ ����
�������� ������
��� ����4� ��� 4�� ������� �
���3������/ �� ���'� E⎧⎨⎩
�y2 · �z2 = 0�x2 · �z2 = 0�x2 · �y2 = 0
⇒
⎧⎪⎨⎪⎩
�y2 · d�z2dt + �z2 · d �y2
dt = 0 ⇒ ξ = −α�x2 · d�z2
dt + �z2 · d �x2dt = 0 ⇒ δ = −β
�x2 · d �y2
dt + �y2 · d �x2dt = 0 ⇒ σ = −γ
⇒
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
[d �x2dt
]R1
= γ · �y2 − β · �z2[d �y2
dt
]R1
= α · �z2 − γ · �x2[d�z2dt
]R1
= β · �x2 − α · �y2
F� �������� ����� �� '���� ����−−−−−→Ω(R2/R1) �� ���������� (α,β,γ) ���� R2�
���� ��� � >� �� �−−−−−→Ω(R2/R1)9 �� 4�� ��� ��6 �� �� � ��� �� �� � ��� �� �� ���� ��
������ R2 ��� ������ 5 R1 �� ��� ?
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩
[d �x2dt
]R1
= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �x2[d �y2
dt
]R1
= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �y2[d�z2dt
]R1
= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �z2
<���=
�� 4�� ��� ����� ���� �� ���4���� �� �� � ��� �� ������ R2 ��� ������ �� ������ R1.
������ � �
@ 1���� ��� �� �����3 ?−−−−−→Ω(R3/R1) = −−−−−→Ω(R3/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1)
@−−−−−→Ω(R2/R1) = −−−−−−→Ω(R1/R2)
@ ��� �� �� �(�� ������ �� ����� ��� ��� ������ 5 �(�� ��9 �� 4�� ��� ��6 �� �� � ���� ���.
�(�(�(� ���� �� .����� ���' �� ������� ���� �� ��� # ������
9��� R1 � ������ �.��9��� R2 � ������ �� �������� �#����� θ �� �#�.� (O,�z1) ���� �� R1�F� ������ ��� ������� �� ��������� ��
−−−−−→Ω(R2/R1) <��� ���/ �� � = E[d�z2dt
]R1
=[d�z1dt
]R1
= 0 �� �z2 = �z1 ��� ������� ���� R1.
F� [d�z2dt
]R1
= −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �z2 = �0
%��−−−−−→Ω(R2/R1) �� �z2 ���� �����������
⇒ −−−−−→Ω(R2/R1) = λ · �z1 = λ · �z2
�$�� 5��� 6������
�1 "3������ � A ������ ����
θ
θ
1y
x
O
z1
1
y2
x2
⎧⎨⎩
�x2 = cos θ · �x1 + sin θ · �y1
�y2 = − sin θ · �x1 + cos θ · �y1
�z2 = �z1
F� ������ ����� �� �������� �������� ���������� �� '���� ��. �� �������� E
[d �x2
dt
]R1
= −θ sin θ · �x1 + θ cos θ · �y1 = θ · �y2 = −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ �x2
⇒ θ · �y2 = λ · �z2 ∧ �x2 ⇒ λ = θ
��� ��'��� ��� �� ������ �� �������� ������ ���������� �#����� �� '���� ��.�� �������� �#� ������ R2 ��� ������� @ � ���� ������ R1�
���� � � 5 ����� ���' �� ������� �� ������� ����������6%��� �� ������ R2 �� �� � ��� ����� �(��,�� θ � �(�6� (O,�z1) �� ��� �� R19 ��� ���4��
������ �� 4�� ��� ��6 �� �� � ���−−−−−→Ω(R2/R1) ��� �� ���� ��� ��4�� � ?
R1�������� (θ, �z1)−−−−−−−−−→ R2 ⇒ −−−−−→Ω(R2/R1) = θ · �z1 <���=
�������� �−−−−−→Ω(R2/R1)9 4�� ��� 4� �� �� � ��� �� �� ���� �� 4�� ��� ��6 �� �� � ���
�� R2 ��� ������ 5 R1 ���� ��� ?
@ ��� � ����� ���9 �� ����� ��� �� �(�6� �� ��� ������ R2 ����� ��� ������ 5 R19
@ ��� � �����9 �� 4� �� ��,������ 5 �������� � 0�� �� � �� � ���9
@ ��� �� ��9 �� �� �� �� � ��� A��,�� �� ���$)������B.
)��������� �&�� �� ����, ������� �� �� -��� ��-���
9��� R1 �� R2/ ��. ������� �� ��'�����/ �� ����>� �� '���� ��. �� �������� �������� R2 ��� ������� @ R1 E
−−−−−→Ω(R2/R1)�
9���−→V � '���� ��0�� ����� ��� ��� ���������� ���� R2 E
−→V =
⎡⎣ uvw
⎤⎦
R2
�������� ������
��! ������ ���� �� ����� ��
��� ������ @ ������� ����$�� �� ���������� �� ����'�� � '����−→V ��� ������� �
����������� ��� @ R1 �� �������� �� '���� ��. �� ��������−−−−−→Ω(R2/R1) E[
d−→V
dt
]R1
=du
dt�x2 +
dv
dt�y2 +
dw
dt�z2 + u
[d �x2
dt
]R1
+ v
[d�y2
dt
]R1
+ w
[d�z2dt
]R1[
d−→V
dt
]R1
=
[d−→V
dt
]R2
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ u · �x2 + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ v · �y2 + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧ w · �z2[d−→V
dt
]R1
=
[d−→V
dt
]R2
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−→V
F� �0����� ��� �� �������� ��'���� �� ��� ����������� ������ �� 7�3� � �������� �� 0��� ��0����
���� � � 57� ��� �� � *��� ��*��6%��� �� 4�� ���
−→V ��� �� ������� � �� ������ ��� �� ������ R2 � ��� ���
�������� 5 ����4�� ��� ������ �� ������ R19 ��� ���4�� ������ ��� ?
[d−→V
dt
]R1
=
[d−→V
dt
]R2
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−→V <�� =
"���� ������ ��� ������ �� ����� �� ����'�� �#� '���� ��0�� ���� � �������
��� ��������� �� �����
��� �'��� ����� ���� ��� ��������3�� ��������� ��� ��'������ �� ��� ����������������������� �#� ����� �������� ���� �#������
"�� �������� ���� ������������ ��� �#���� � ��'����� �� ��������� ��� �������� ��'����� ��� ��B������ �0(��� �� ��� ��������/ ��� ������ ��������� �� ��'�������������
%� �� ������ ���������-��
�(�(�(� -/������
O� ������ ���������0�� ��� � �����0�� �� ������ ��������� M ���� �� ������� �������. ������ ������� ����� ��'������� ���� �� �����/ �� � ������ �� ������ ��� �������������� ����������
,��������/ #��� �� ������������� 8� �������/ ��� ������� �0������ ��� ������������ ��'��A��0��� <���������= � ����'����0��� <���������= ��� �#�B�� ��� ������ �������� �.���������
∀t, −→AB2 = Cste <���1=
�$�� 5��� 6������
�� "3������ � A ������ ����
B
S
A
O
g
zg
yg
x
��� ��) G ����������� ���� ����� ������������
��� ������� ��� �� ���������� ����� ������ ���������0�� �� ������ �������0�� ��'����� �$�� �#���� �� ��� �������� ������ ������ ��� ��� ����������� �. ������������ ���. ���������� �0��� ��� �� ������/ ��� ���������� � ������ �� ������ �������0�� J ��������� �������� �� ���� �� ��������� � �� �$������/ ��� ��������� �� ������ �������� ���������0���
�(�(�(� 0������� ���������� ���� ����� ���$� ��*�
9��� S � ������ ���������0�� �� ��'����� ��� ������� @ � ������ R (O,�x,�y,�z)�9����� R1 �� R2 ��. ������� ���� @ S �������'����� �� O1 �� O2�
�
�
�
� �
� �
� �� �
� �
� �� �
�
� �
�� �������� �� "3����� �������� �. ��������� ������������ ����� E
−−−−→Ω(R2/R) = −−−−−→Ω(R2/R1) + −−−−→Ω(R1/R)
F� ���� R2 �� R1 ���� ���� � ������ S/ �� �#$ � ��� �� ��'����� �����0�� ����� R1
�� R2 ��� E −−−−−→Ω(R2/R1) = �0
F� �� ����� �� �� '���� ��. �� �������� � �������� ����������� �#� ������ ��� ����� '���� �������� ����������� �� �#������� ��� ������ ��� @ � �������
∀R1,R2 ���� @ S−−−−→Ω(R2/R) = −−−−→Ω(R1/R) = −−−−→Ω(S/R) <����=
�������� ������
��! ������ ���� �� ����� �!
�������� 8 � �� �� �� 9 �� 4�� ��� ��6 �� �� � ��� �� �� � ��� �� �� ����−−−−→Ω(S/R)
�(�� ����� S � �� ��� �� �� ���� �� ����� S9 �(� ���� �� ��4����� 4�� �����.
% ������� �&�� $���� �� ������
9����� A �� B ��. ������ �������� �#� ������ S �� ��'����� ��� ������� @ � ������R (O,�x,�y,�z)� 9��� �� ������ RS (A, �xS , �yS , �zS) ��� � ������ S �� ����� �� A�
9� �� 3��3� @ ����'�� �� '����−→AB �� �������� �� �������� �� ����'����� �#� '����
��0��� <��� �� / �� ��= E [d−→AB
dt
]R
=
[d−→AB
dt
]RS
+ −−−−−→Ω(RS/R) ∧−→AB
F�/ ���� RS ��� ��� @ S/ ����� E[d−→AB
dt
]RS
= �0 ��−−−−−→Ω(RS/R) = −−−−→Ω(S/R)
%#���� ����/
[d−→AB
dt
]R
=
⎡⎣d(−→OB −−→
OA)
dt
⎤⎦
R
=
[d−→OB
dt
]R
−[d−→OA
dt
]R
8� �������� �� ��������� �� �� '������ �#� �����/ �� ���'� ����� E[d−→AB
dt
]R
= −−−−−→V(B∈S/R) −
−−−−−→V(A∈S/R)
F� ���'� ��� �� �������� ���������� �� 3��� ��� '������� �#� ������ E
∀t,∀A,B ∈ S,−−−−−→V(B∈S/R) = −−−−−→
V(A∈S/R) + −−−−→Ω(S/R) ∧−→AB <����=
�� 3��� ��� '������� �#� ������ ��� ��� �����$��������
%% .���$��*� ������ �� /��$ ��� �������� �&�� ������
9����� A �� B ��. ������ �������� �#� ������ S �� ��'����� ��� ������� @ � ������R (O,�x,�y,�z)� ��� ��������� � ������ ���������0�� S/ ��� �'���
∀t, −→AB2 = Cste ⇒ d
−→AB2
dt= 0 ��
d−→AB2
dt= 2−→AB · d
−→AB
dt
⇒ 2−→AB · d−→AB
dt= 0 ⇔ −→
AB ·d(−→AO + −→
OB)
dt= 0
⇒ −→AB · d
−→OB
dt−−→AB · d
−→OA
dt= 0
�$�� 5��� 6������
�) "3������ � A ������ ����
�
� � � �
��� ��+ G �������� ������ ����������
"� �� ����� E∀t,∀A,B ∈ S,
−→AB · −−−−−→V(A∈S/R) = −→
AB · −−−−−→V(B∈S/R)
��� �����'��� ��� �� �������� �#������(���'��� � 3��� ��� '������� �#� �������"���� �������� ��� ����� ������������ ��� ����� �� �� ��������� ����3����
�� ���������� �� �� '������ �#� ����� �#� ������ �� � ��. �� �������� � ������������ �� ����>��� �� '������ �� ��� ��� ������ �� � ������� �� 3��� ��� '������� �#������� ����� ������(���� �� �����$�������/ � 3��� �� '���� ��� � 3��� �� �������� ������� ��� ��'��� ��� ��������� �� ������ ��� '������� �#� ������ � ����������������
%+ 0������ ���������� �&�� ������
O� ������ ��� �� ������ �� ��. �������� �� ������� E �� ��������� �� � �������%��� �� �� � ������ ��������� �#� ������/ �� ����� ��� ���������/ �� '���� ��.�� �������� � ������ �� ��� �� ������ �� '������ � ����� �������� � �������
8� �B��/ �� 3��� ��� '������� �#� ������ ����� ������(���� �� �����$�������/ �� ��A������� 0��� � 3��� ��� ������� �#� �������
%#���� ���� �� '���� ��. �� �������� �#� ������ ��� 0��� ��'������/ ��� �� ���� ������� � �� �#�.������
F� ������ �� ������ ��������� � ������ S ���� ��� ��'����� ��� ������� @ ������� ������� R (O,�x,�y,�z) E
{V(S/R)
}=
M
{ −−−−→Ω(S/R)−−−−−−→V(M∈S/R)
}<���!=
�� ���������� �� � ������ �� � ����� ������ �� ����>��� �� '������ �� ��� ��������� � �������
��" #$ ������ � �� ���!��� �� �$ � !�������
9��� � ������ S �� ��'����� ��� ������� @ � ������ R (O,�x,�y,�z)� �� ��'����� ��� ������ ��� ������������ ���/ �� ��� ����� ��� ��� ������ ��������� � ����� A E{
V(S/R)
}=
A
{ −−−−→Ω(S/R)−−−−−→V(A∈S/R)
}
�������� ������
��+ +��4���� ��� ������� �+
���� ��� � >� ������� ���� ��� ��� �� ���4���� �� S ��� ������ 5 R9 �� ���� C �� ���
−−−−−→V(C∈S/R) �� ���������� 5
−−−−→Ω(S/R). *� 4� ��−−−−−→V(C∈S/R) �� ���� ��� ��� C � ��������
A���� ��� ��� �� ����� ��� �� �� �� �� �� � ���B.
9� �� ����>� �� ������ ��������� � ������ S � ����� A/ �����/ �� ������ ��\� @ ���3����� ��� ������� �� E
−→AC =
−−−−→Ω(S/R) ∧−−−−−→V(A∈S/R)
−−−−→Ω(S/R)2
+ μ−−−−→Ω(S/R)
��� '�����−−−−→Ω(S/R) ��
−−−−−→V(A∈S/R) ����� ������ ��� � ������� t �����/ ��� ��B������
������ �����. C ���� �������� �� �� ������ �� '���� �������−−−−→Ω(S/R) ������� ��� ��
����� H ��� �� E
−→AH =
−−−−→Ω(S/R) ∧−−−−−→V(A∈S/R)
−−−−→Ω(S/R)2
"���� ������ Δ ��� ������� �.� ������ � ��'����� �� S ��� ������� � ������ R/ ���#������� ���� �.� �� '������� �� S�
��� '�����−−−−→Ω(S/R) ��
−−−−−→V(A∈S/R) ��'��� '����� @ ��� �������/ �� �������� �� �� �.� ���
������� @ S � ��� ������� @ R ��� '����� @ ��� �������������� �� ����� t '����/ �#�.� Δ �������� ���� �#����� ��� @ S �� ���� �#����� ��� @ R
��. ������/ �������� �.�Z��� � ��'������
��% &��!���� ����������
8� ������� �� �� '���� ��� �������� �� ������� � ������ ��������� � ������ S/��� ��'��� ������ � ������ ���0�� �� ��'������ ���������� ��� �� ������ S�
%��� �� �� �� ��� ������� �����0��/ �'�−−−−−→V(A∈S/R) = �0 ��
−−−−→Ω(S/R) = �0/ �� ����� ����'����� 3����Z��� ���������� ���� �� �#�.� Δ� 8� �B��/ �� ��� ��������� �� '������� ����� A �� ������� �� ���� �� C/ ����� ������ E
−−−−−→V(A∈S/R) = −−−−−→
V(C∈S/R) + −→AC ∧ −−−−→Ω(S/R)
�'� E
G−−−−−→V(C∈S/R) '���� ��������� @
−−−−→Ω(S/R)
G−→AC ∧ −−−−→Ω(S/R) '���� ���3������ @
−→AC ��
−−−−→Ω(S/R)
�� 3��� ��� '������� ��� ��������� @ ��� �� �#3���� �#� �'���/ �� ������� [AA′′]������������ @ �#3���� �� �#�'���� �#3���� ����� @ �� '������ �� ��������
−−−−→Ω(S/R) ��� �������
@ �#�'��� ��−−−−−→V(C∈S/R) ��������� @ �� '������ �� ����������� �� �#�'��� <��������� @
−−−−→Ω(S/R)=�
"� ��'����� 3����Z��� ��� ��� ���������� ��−−−−→Ω(S/R) ��� ������0�� �� '����� @ ���
�������/ �� ����� ���� �� ��������/ � �� �����>����� �� '�������� �� �#�.� �������
�$�� 5��� 6������
�- "3������ � A ������ ����
� � �
�
�
� � � �
� �
� � � � � � �
� � � � � � �
� � � �
� � � � � � � � �
� � � �
� � � � � �
� � � � �
��� ��- G ��������� ����� ��� ���������
�� ��������� �� �����������
��� ���������/ �� ������ S ��� �� ��'����� �� ����������� ��� ������� � ������ R ���� �������� �� ��� '���� ��. �� ��������
−−−−→Ω(S/R) ��� ���"� �� �������
∀M ∈ S, ∀N ∈ S,−−−−−−→V(M∈S/R) = −−−−−−→
V(N∈S/R)
%��/ ��� � ������� �����/ ��� ��� ������ � ������ S ���� �B���� �� �� �H�� '��������� ������� � ������ R�
"� '���� '������ �#��� ��� ������������� ������� ���� �� ��������� ��'��� ��������� ��B������ �$��� �� ����������� E
+� � �������� �����&�� 4�� ��� ������ �� S ��� �� ���(������ ��������� ��� �������@ R �� �� �H�� '���� '������ @ � ������� ����� <� '���� �#� ��� ������ �#H����������=�
+� � �������� �����&�� ���$� �� 4�� ��� ������ �� S ��� �� ���(������ ������������ ������� @ R �� �� �H�� '���� '������ @ � ������� �����/ � '���� '������ ������������ ���� �� ������
+� � �������� �� ���� � 4�� ��� ������ �� S ��� �� ���(������ ������� ��� �������@ R �� �� �H�� '���� '������ @ � ������� ������
� ��������� �� �������� ����������
��� ���������/ � ������ ��� ����� �#� ��'����� �� �������� ���������� @ �#������� t/�� �� �������� ��/ �� '���� '������ ��� ������ �����. C � ��'����� �� S ��� �������@ R ��� �� @ �#������� t� %��� � ��/ �� ������ ��������� �� S �#���� E
{V(S/R)
}=
C
{ −−−−→Ω(S/R)−−−−−→V(C∈S/R) = �0
}
�������� ������
��- ������ ��� �� ���4���� ��
%��� � ��/ �#�.� ������ Δ � ������ ��������� �#������� �.� ���������� �� ��������/�� �� ����� ��� ������������� �� �������� �.� ��� ������� @ S �� @ R�
��� ��� ����� P ����������� @ S �� ��� ��� ����� C ����������� @ �#�.� ������/ ����� ����� E
−−−−−→V(P∈S/R) = −→
PC ∧ −−−−→Ω(S/R)
F� �����'� 0��� �� �������� ��������� ����������� �� �������� � ������ S ����� ����� C�
�������� � +��4���� �� �� � ������ �� �� �� �(�6� ��� ��� Δ �� � �6� �� ���� �� ��� ��� ������ 5 S � 5 R9 ��
����� S � �� ���4���� �� �� � ��� ��� ������ 5 R �� ��� �� �(�6� Δ. ����9 ��� ����9 �� �� ���� �� S �� ��� ��;�� ���� ���������� �� ��� �� �(�6� Δ � �� 4�� ��� 4� ���� �� ���� �� S � ��,�� 5 � ��;�� ���� ���������� � � ��� ����� ������ �������� 5 ���� ���� ������ �� ���� �� �(�6� �� �� � ���.
�% 1���$��
�� ���������� ����� �A������ ������ �#����� � �'���� ���� �� ����������� ��3����� ������� �� ���3������ �� �� 3���� ��� �B���� ��� �#���� �� ������ O� '���� �#���A��0���� �������� ��� �� �#��� ������� @ 1/�1 &��/ ������ � �B��� �� ������� �� ����� ���� 3����� �#��������� ��������� �#���� �� ����� �� ��� �������� �� '���� �#�����0����/�� �#���� �� ���� �#� ��'����� �� ������ � �� �������� ��� ����� ��'�����������0��� ���� ������ ����������� ��� �#�'����� �� �3��� �A������ <��� ���/ �� ��=���������� � ������ � ���������� ���� �� �������� �������/ ���� �� �� ����� �� ����/ ��3���� @ �������� <�� �#������/ � ������� �#�3��������/ ����� � ������ �� ���'�$��=�
F� �� ������� �#�B���� �� ���� ��������� � ���������� ���� ���� �H�� ��A������/ ������� ��� ���������� �� �� �3��� ��������� ����� �A������ <��� ���/ �� � =�
&�'����� � 0��� �������� � ��� ������� @ � E
&�'����� � 0��� ������� ! ��� ������� @ � E
&�'����� �� �� ���� �� '���� ) ��� ������� @ - E
&�'����� �� �� �H�� + ��� ������� @ � E
��' ��������� �� ���!���
��� �$������ �������� ���������� ���� ��'��� ������� �� ������� ������� ���� ������. ��� ��� �������� <��� �� ��� ������ ]=� ��� '������ �#�� ��� ����Q ������ �� ������������� ������� ���������� �������� ����� ��� ��B������ ������� �������� �� �$�����/ �� �������� @ ������ ������ ������ �� ������� ����������/ ����� �� ��� �������� ������������ ��� ��������/ ����� �.�
�$�� 5��� 6������
�� "3������ � A ������ ����
��� ��� G !���� �� ���� � �� ���� �������
�������� ������
��- ������ ��� �� ���4���� �
��� ��� G !���� ���������� �� ���� �������
�$�� 5��� 6������
!1 "3������ � A ������ ����
2� ���$������� ��� ��������
F� ���� S � ������ �� ��'����� ��� ������� @ ��. ������� �������� R1 (O1, �x1, �y1, �z1)�� R2 (O2, �x2, �y2, �z2)/ �� ��'����� �#� ��� ������� @ �#����� 9��� R (A, �xS , �yS , �zS)/ � ��������� � ������ S� F� 3��3� @ ���'�� �� �������� �.������� ����� �� '������ �#� ����� P������� �� S ����� ���� ��� ��'����� ��� ������� @ R1 �� ��� ������� @ R2�
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �
� �� �
�
��� �� G ��� ������ �� �����
��� ���������/
−−−−−−→V(P∈S/R1) =
[d−−→O1P
dt
]R1
=
[d−−−→O1O2
dt
]R1
+
[d−−→O2P
dt
]R1
−−−−−−→V(P∈S/R1) = −−−−−→
V(O2/R1) +
[d−−→O2P
dt
]R2
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P
−−−−−−→V(P∈S/R1) = −−−−−→
V(O2/R1) + −−−−→V(P/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧
−−→O2P
9� �� ���� �� '������ ��� ������� @ R1 � ����� �Z������ @ P ��� @ R2 @ �#������� t����� �� �������� �� �������� �� 3��� ��� '������� � M������N R2/ �� ���'� E
−−−−−−−→V(P∈R2/R1) = −−−−−→
V(O2/R1) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P
F� �0����� ��� �� ������ �� ���������� ��� '������� E−−−−−−→V(P∈S/R1)︸ ︷︷ ︸
������ �������
= −−−−−−→V(P∈S/R2)︸ ︷︷ ︸
������ ������ �
+ −−−−−−−→V(P∈R2/R1)︸ ︷︷ ︸
������ ����������
<���)=
�� 4� �� ���� �4� ��������� @ �� '������ � ����� P ���� �� ������ �#������� R2� ��4� �� �(�� ��C����� ��������� @ �� '������ � ����� P ∗ �.� ���� R2 �� �Z������ �'�P @ �#������� t ��� ������� � ������ R1�
%��� �� �� ��� ������� �#� ������ ����������� @ � �$����� @ n ������� ��B������ ����'����� ��� � ��� ������� �. �����/ E
−−−−−→V(∈R/R1) = −−−−−−→
V(P∈R/Rn) + −−−−−−−−−→V(P∈Rn/Rn−1) + · · · + −−−−−−−→
V(P∈R2/R1) <���+=
�������� 9 !� � � ���� ������� �� ���� �� ������ �� �� 4� �� �(�� ���� �(�� ������� ���4���� ��� ������ 5 �� ������ ����������. >� ��� ?
@ �� � ����� �� ����� ��� �� 4�� ��� 4� ��9
�������� ������
��- ������ ��� �� ���4���� !�
@ �� �� ���� ��� �� ����� �� 4� �� �(�� �����9
@ �� ��� �� ���� ��� �� ������ ��� �� 4� ��.
*� ����6 �� �� �� ��=���� � �� ���� � 0��� �� 0��� ��� �� ���� 5 � �����...
2 ���$������� ��� �� ����� ���� �� ��������
��� �'��� ' ����������� <����� �= �� ��� '����� ��. �� �������� ���� ���� ������. ��� �� �������� �� "3������ %��/ ���� �� �� ������� �#� ������ S �� ��'����� ���������� @ � ������ Rn/ �� �H�� �� ��'����� ��� ������� @ � ������ Rn−1/ ����� �� ����(��#� ������ R1/ ��� ��'��� ����� �� �������� �� ���������� � '���� ������������������� � ������ S E
−−−−→Ω(S/R1) = −−−−→Ω(S/Rn) + −−−−−−−→Ω(Rn/Rn−1) + · · · + −−−−−→Ω(R2/R1) <���-=
2% ���$������� ��� �������� �����������
"���� �������� �#��� �#�� �������� �������� ��� ��. ��������� ����������/ �� '����'������ �� �� '���� �������� ���������� ��'��� H��� �������� ���� �� ������ ����������
F� ���� Si/ ��� n ������� �� ��'����� ��� �� ��� ������� �. ����� ���� �� ������ ������� Ri� 9��� S � ������ ������������� �� ��'����� ��� ������� �. ������ F������� �.����� �� '������ � ����� P ����������� @ S ���� ��� ��'����� ��� ������� @R1�
��� ��'��� ����� ����� E
∀P ∈ S,
{V(S/R1)
}={V(S/Rn)
}+{V(Rn/Rn−1)
}+ · · · +
{V(R2/R1)
}<����=
2+ ���$������� ��� � ����������
F� ������ ���������� ���'�� �� �������� ���������� �� ������ �#���������� �#� ������������� P ����� ���� � ������ R2 ��� ������� @ � ������ R1�
F� ���� �� �� ��������� �������� �� �#���������� �#� ����� E
−−−−→Γ(P/R1) =
[d−−−−→V(P/R1)
dt
]R1
=d
dt
[−−−−→V(P/R2) + −−−−−→
V(O2/R1) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P
]R1
−−−−→Γ(P/R1) =d
dt
[−−−−→V(P/R2)
]R1
+d
dt
[−−−−−→V(O2/R1)
]R1
+d
dt
[−−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P
]R1
−−−−→Γ(P/R1) =d
dt
[−−−−→V(P/R2)
]R1
+ −−−−−→Γ(O2/R1) +d
dt
[−−−−−→Ω(R2/R1)
]R1
∧ −−→O2P + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧
d
dt
[−−→O2P
]R1
F� ������ �� ������ �� �� 0��� ��0��� ��� ����� �� ����'�� ������'����� � ������R1 ��
−−−−→V(P/R2) �� ��
−−→O2P E
�$�� 5��� 6������
!� "3������ � A ������ ����
−−−−→Γ(P/R1) =d
dt
[−−−−→V(P/R2)
]R2
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−−−→V(P/R2) + −−−−−→Γ(O2/R1) +
d
dt
[−−−−−→Ω(R2/R1)
]R1
∧ −−→O2P
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧(d
dt
[−−→O2P
]R2
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P
)−−−−→Γ(P/R1) = −−−−→Γ(P/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧
−−−−→V(P/R2) + −−−−−→Γ(O2/R1) +
d
dt
[−−−−−→Ω(R2/R1)
]R1
∧ −−→O2P
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧(−−−−→V(P/R2) + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧
−−→O2P
)−−−−→Γ(P/R1) = −−−−→Γ(P/R2) + −−−−−→Γ(O2/R1) + 2−−−−−→Ω(R2/R1) ∧
−−−−→V(P/R2) +
d
dt
[−−−−−→Ω(R2/R1)
]R1
∧ −−→O2P
+ −−−−−→Ω(R2/R1) ∧(−−−−−→Ω(R2/R1) ∧
−−→O2P
)F� �� ����� ��������� �� '���� �� �#���������� �0���� E
−−−−→Γ(P/R1) = −−−−→Γ(P/R2) + −−−−−−−−→Γ����������� + −−−−−→ΓCoriolis <����=
�#����������−−−−→Γ(P/R2) ��� ������� ���������� ������'� �� P �
�#���������� �� "������� ��������� � ����� E
−−−−−→ΓCoriolis = 2−−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−−−→V(P/R2) <��� =
�#���������� �#�����>������ ��������� �. ������ ������� E
−−−−−−−−→Γ����������� = −−−−−→Γ(O2/R1) +d
dt
[−−−−−→Ω(R2/R1)
]R1
∧ −−→O2P + −−−−−→Ω(R2/R1) ∧
(−−−−−→Ω(R2/R1) ∧−−→O2P
)<���1=
��� '������ ���� �� ���� � ��� �� �#���������� �� �� ������� �#��� ��� ���� �A������ 8� �B��/ ��� �� ���������� �� �$������/ �� �K� �� ����>��� �������� ���(�������� �#���������� �#� ������
F� ��� ������� �� �#���������� �� �� '������ �#�����>������ ������������ @ �#�A��������� �� �� '������ �#� ����� P �������� ���� �.� ���� �� ������ �#�����>������−−−−−−−→Γ(P∈R2/R1)�
��( ��������� �� �������
9����� ��. ������� S1 �� S2 �� ��'����� ���� � ����������� �������� �(O, �xg, �yg, �zg)�F� ������ �� �� ��. ������� ���� �� ����� �� �� � ����� ��� �������9����� O1 �� O2 ��. ������ ��������� �� S1 �� S2�F� ��� ��������� � ����� �� S1 �� �� S2/ ����� ������ E
G I E ����� ���������� �� �����/
G I1 = I ∈ S1 E ����� �Z������ �'� I �� ����������� @ S1 � ������ �����/
G I2 = I ∈ S2 E ����� �Z������ �'� I �� ����������� @ S2 � ������ ������
�������� ������
��� ������ ���� �� ��� �� !!
πI
O
gx
gy
gz
−→t
−→n
−−−−→V(I2/Rg)
−−−−−−−→V g(I∈S2/S1)
−−−−→V(I1/Rg) −−−−−→
V(I1/Rg)
S2
S1
��� ���1 G ����������� ���� ����� ������ ����� ���" �����
��� ������� ���������� ��� ������� S1 �� S2 ���� ������� ���������� ����E{V(S1/Rg)
}=
O1
{ −−−−−→Ω(S1/Rg)−−−−−−−→V(O1∈S1/Rg)
}��
{V(S2/Rg)
}=
O2
{ −−−−−→Ω(S2/Rg)−−−−−−−→V(O2∈S2/Rg)
}
F� ��� ��� ����>��� �� ������ ��������� ������� �� ����� � ����� I ����� ���������� S1 �� S2 E{
V(S2/S1)
}=
I
{V(S2/Rg)
}−
I
{V(S1/Rg)
}=
I
{ −−−−−→Ω(S2/S1)−−−−−−→V(I∈S2/S1)
}
�������� � �� ��� �� ��� �� ���� ��� � ��� ������� ��� �� ���� ����. &� �=� 9�� ����� �(� �� �� ��������� ����0����)��9 �� ��0��� �� ��� �� � ��� ������. >�� ������ ���� �� �� ��� �� ����� ��������� ��0����)�� A4��� ����� �� �� �� ������� ���B.
3� ������� �� ����������
F� ������� '������ �� ���������� � ����� I2 ��� ������� � ����� I1/ @ �#������� t/ ��'���� ���� E
−−−−−−→G(I∈S2/S1) = −−−−−−−→V g(I∈S2/S1) = −−−−−−→
V(I∈S2/Rg) −−−−−−−→V(I∈S1/Rg) <����=
9����� R1 �� R2/ ��. ������� ���� �������'����� @ S1 �� S2�F� ��� �����'�� �� ��������� �� ���� '������ �� ���������� @ ������ �� �� �������� ��
���������� ��� '��������
−−−−−−→V(I∈S2/Rg) = −−−−−−→
V(I∈S2/R1) + −−−−−→V(O1/Rg) + −−−−−→Ω(R1/Rg) ∧
−−→O1I2 ��
−−→O1I2 = −−→
O1I1−−−−−−→V(I∈S2/Rg) = −−−−−−→
V(I∈S2/R1) + −−−−−→V(O1/Rg) + −−−−−→Ω(R1/Rg) ∧
−−→O1I1︸ ︷︷ ︸
−−−−−−−→V(I∈S1/Rg)
−−−−−−→V(I∈S2/Rg) = −−−−−−→
V(I∈S2/R1) + −−−−−−→V(I∈S1/Rg) ��
−−−−−−−→V g(I∈S2/S1) = −−−−−−→
V(I∈S2/R1)
�$�� 5��� 6������
!) "3������ � A ������ ����
F� �����'� 0��� �� ��������� �� �� '������ �� �����������
�������� �:
• *� 4� �� �� ,������ ��������� 5 �� 4� �� �� ����� S2 ��� ������ �� �����S1
�9 ���� �� ������ ���� �� �� ��0���� ��� Rg.
• *� 4� �� �� ,������ ����� ��� �� ���� ��,�� �� ��� �� π.
• >� �� ��� �� �������� �� 4� �� �� ���� I1 � I2 ��� ����4� ��� ����� � �� 4�� ������ ���
−→OI1 �
−→OI2.
−−−−−−→V(I∈S1/Rg) =
[d−→OI1dt
]Rg
&� �=� 9 �� ���� ��D������ �(� �� �� ���� ��� �(�� �� ��� �� ���4���� .
• >� � ���� �� ���� ��� �� ����� �� 4� �� �� ����� S1 � S2 ���� �������� ��4� �� �� ���� I ∈ S1 � I ∈ S2.
3 #����� �� ��������� ���� ����������
�(�(�(� ��������� �� ������� ���� &��������
O�� ������ ��(����� ��� ��������� ������� �� ��� (��� ��� 0���� �� �� �������������� �������� �� �������� ���� ���������� <��� �#�� '����� �� �� ����/ ����������/ ������ �������=� �� ����� �� ���� ����� ��. ������� @ ����� ��3����� �� ���������� ��� ������������ ��������
�� �������� ���� ���������� ���� �� ��� ��'��� �� ������������/ �� �B��/ �� �.������'��� � ���������� ������� ������� ����� ��� ��. ��������
��� ����������� �� �������� �3������ �� �������� ���� ���������� ��� �� �������'�����
���� � � 5��������� �� ������� ���� &��������6���6 ����� S1 � S2 �� �� ��� ��� ��� ������ �� �������� �� ,������ (�� ��
�� ��� �� ���� ��� � � �� 4� �� �� ,������ �� �� �� ���6 ����� �� ���� �� ��� �� � �����.
−−−−−−→G(I∈S2/S1) = �0 ⇔ −−−−−−−→V g(I∈S2/S1) = �0 <����=
"���� �������� ��� ���� ���������� ����#���� ��� ��������� �#�0����� �� �������� �������� ��'��� ���������� � �$������
3% #����� �� ��������� �� �� $���������
%� �� �H�� ��T�� �� ��� �'��� ������ �� '������ �� ���������� ���� ����� �� '������������'� ����� ��� ��. �������/ ��� ��'��� ������ �� ������ �� ��. �� �������� ������� ������� S2 ��� ������� @ S1�
�� �� ��� ��������� �� � � ����
�������� ������
��� ������ ���� ,�������� !+
−−−−−→Ω(S2/S1) = −−−−−→Ω(S2/Rg) −−−−−−→Ω(S1/Rg) <���!=
"� '���� ��� H��� ��������� �� ��. ���������� ���(����� �� �� ������� �
����� �n :(−−−−−→Ωp(S2/S1)
)�� �� �� ���� ������� π :
(−−−−−→Ωr(S2/S1)
)�
−−−−−→Ω(S2/S1) = −−−−−→Ωp(S2/S1) + −−−−−→Ωr(S2/S1)
−−−−−→Ωp(S2/S1) ; ������� ����������� �� ��'������� <��'��� �� �������=/ ��� ��'��� ������������� �#�������� �'� �� 3�������� �� �������� ��� ���� �#�� '������
−−−−−→Ωr(S2/S1) ; ������� ����������� �� �������� <��'��� �� ���� ������� � �����=/ �����'��� @ ��'�� ����� �#�������� �'� �� �������� ��� ���� �X � ����� �� ��'������
��) ��������� �������
*�� '����Q ��� �� ���� �� �� ��������� ����$���� ��� H��� �.��H������ �X������ ����� �� ���� ��� ��� �$������ ��������� �����.���
�� ��������� ����3��� ������ �� �#�B���3�� � ���������� ���3������� �� ������� ����$����� ���� ������ "���� ���3�������� ������ �� ���������� ����3�������<��� ���0� ��� �� ����]= ��� � ������ <��������/ ������/ ���� � �����= ��� '������� ��������� ��� ��B������ ������� �������� �� �$����� ������ &��3���������/ ���� ���3����#��� ��� �K����� ��� ������� ��� ��� ���0����� �� ��������� E
G �#�� ����/ ��� ���� �� ��������� ���� ��'��� ��� ���� ������0��� @ �� ������� ������� �� �$������ �/ �� ���� � �� ��� '����� ����$����� ���� ����������/
G �#���� ����/ ���� ���3��� �#��� ������0�� �� ���� �� �� �� ���0����� �����/
G ����/ ���� ���3��� �� ��� ����� �� ��� �������� �����������/ �� ��� ��� ��������#���� ����3��� ��� 3��� �������� �������������
"��������/ ���� ���3��� ������ �� ���������� ���������� ��� �������� ���� �����<���� �� �� �� �#���������� �� �#����� �����������= �� ������ �#������ ��� ��������� ���A�������� � ������� �#� �������� ���� ����� �� ������� ����$���� �#�����0�� ���������� �����������
4� ��������� $��� ��� $���
F� ���� S2 � ������ �� ��'����� ��� ������� @ � ���� ������ S1 ���� �� ������� ������ R1 (O1, �x1, �y1, �z1)� F� ���� R2 (O2, �x2, �y2, �z2) �'� �z2 = �z1 �� ������ ������ @ S2� F������� �#� ��� � ��'����� �� S2/ �� ���� (O2, �x2, �y2) ����� ���������� �������'� �� ���� (O1, �x1, �y1)� ,����/ �� ������ �� ��'����� �� S2 ��� ������� @ S1 �� ���� �������
�� ��� ��� ��� ������ �����������
�$�� 5��� 6������
!- "3������ � A ������ ����
8� �������� �� �� ��������� �A�����/ ��� ��'��� ���� �� EG ��� '����� '������� �� ��� ��� ������ �� S2 �� ��'����� ��� ������� @ S1 �������
���������� � ���� (O1, �x1, �y1) �� ��� �� E
∀M ∈ S2,−−−−−−−→V(M∈S2/S1) · �z1 = �0
G �� '���� ��. �� �������� �� S2 ����� ���������� ��������� @ �#�.� (O1, �z1)/ ������� ���� � ��'����� E −−−−−→Ω(S2/S1) ∧ �z1 = �0
8� �����/ �� ������ ��������� �� S2 ���� ��� ��'����� ��� ������� @ S1 ����0������������� �� �� ����� E
{V(S2/S1)
}=
M
{ −−−−−→Ω(S2/R1)−−−−−−−→V(M∈S2/R1)
}=
M
⎧⎨⎩
0 Vx
0 Vy
Ωz 0
⎫⎬⎭
( �x1, �y1, �z1)
�� ���� P (O1, �x1, �y1) ���� ������ ���� �� ����������
�������� �� *� �� ��� �� ���4���� ���� �� ���� �� � ��� ������� ���9 ��� ������� � � ��4�� )������� ��� ������6�.
4 ��� �� ����� ����������� �� ��������
���� ��� � %�� ����� ���9 �� ������� �6� �� �� ��� �� �� � ��� �� S2 ��� ������ 5S19 �(�6� ��� ��� �� ����� ������ ���� �� S2/S1.
F� ����{V(S2/S1)
}/ �� ������ ��������� �� S2 ���� ��� ��'����� ��� ������� @
S1/ ��� �� E {V(S2/S1)
}=
P
{ −−−−−→Ω(S2/S1)−−−−−−→V(P∈S2/S1)
}
��� ��������� �� �#�.� ������/ �#�.� ���������� �� �������� ��� �#�����0�� ��� ������ N��� �� E
−−→PN =
−−−−−→Ω(S2/S1) ∧−−−−−−→V(P∈S2/S1)
−−−−−→Ω(S2/S1)2
+ μ−−−−−→Ω(S2/S1)
"��� ����� �#�.� Δ �� '���� �������−−−−−→Ω(S2/S1) �� ������� ��� �� ����� I �����������
� ���� �� ��������� ��� �� E
μ = 0 ⇒ −→PI =
−−−−−→Ω(S2/S1) ∧−−−−−−→V(P∈S2/S1)
−−−−−→Ω(S2/S1)2
%��� �� �� �#� ��'����� ���� �� ����/ ��� �'��� ��� ��������� E
−−−−−→Ω(S2/S1) ·−−−−−−→V(P∈S2/S1) = �0 <���)=
�������� ������
��� ������ ���� ,�������� !�
F� ��� ���� �� �#��'������ ������� � ������ ��������� ��� ��� "�� ��� '��� ��� �������� �� S �� ��� �������������� ��� I�
F�/ ��� ��������� �� �#�.� ������/−−−−−−→V(I∈S2/S1) ���� H��� ��������� @
−−−−−→Ω(S2/S1)� 8� ����������� �������� <��� ���)/ �� !-=/ ��� ��'��� �� ������ �� E
−−−−−−→V(I∈S2/S1) = �0
�� ������ ��������� � ������ S2 ���� ��� ��'����� ��� ������� @ S1 �#���� ������ ����� I E {
V(S2/S1)
}=
I
{−−−−−→Ω(S2/S1)�0
}�� ��'����� �#� ������ �� ��'����� ���� ��� ��(��� H��� �������� @ � ��A
'����� �� �������� ����������� ���� � ����� ���������� �� �������� I � �� ��� �.����������� �� �������� Δ ������� ��� I �� ������������� � ���� �� ����������
���� ��� � E �(�� �� t9 �� �6� � �� ������ ���� I9 ������ �� ��� �� !� �� ��� ���� � ���9 �� ���� ��� �� �(�6� �� �� ��� �� �� � ��� � �� ���� �� ��� ��� ��� �� ��� ������� S2 �� �� ���4���� �� �� � ��� �� ��� �� �(�6� (I,�z1) ��� ������ �� ����� S1.
�������� �� ��� �� �� ,������9 �� ��� ��� �� ���� I � 4����)�� �� ���� �� ���.��� �� �� �(�� ���4���� �� �� � ���9 �� �!� � ���0���� �4�� �� ��� �� �� �� � ���
� �� �� � �6� �� ���� �� ���.F�� ����� ��� ���4�� � ������ �� ���� ������� ����� ��� �� � ��� �� �����
�����9 �� �!� �6� � ��� ��� �� � ��;� � 5 �(�����...
4% ���/���� �� ���������� ���$/����
O�� '������ ��� ����3������� ����������� ��� � �������/ #��� @ ���� �#� ����� �#��A��������/ �#� ����/ �#�� �������� �� �#�� ������ 8B���� �� ���� �� �������������3��� ��'���� ��'��� @ ���������� �� ����/ �� �������� �� �� ����� � '���� '��������� � ����� ������
��� ��B������ �� ������ �A������ ��'������ '�� ��������� �� '�� ������ �� ��� ������0����� �� ��������� ����3������
�������� �� *� ��� �� �� ��� ����� �� � �(��� � ��� �� ������ ���� ,�������� � �������� ��� ������� A� ���� �6� � ��;59 �� �(� ����� <B ��� �� �� ������� �� ����� �� 4�� ���4� ��.
9��� ��. ������� S1 �� S2 �� ��'����� ���� �#� ��� ������� @ �#�����
�(9(�(� " ��������
F� ������ �� �� ������ S2 ��� �� ����������� ��� ������� � ������ S1�,����/ ���� � ��/ �#����� �� ��������� �� �� �����������/ �� '������ �� ��� ��� ������
�� S2 ��� ������� @ S1 ��� ��������� F� �� ����� �������� �� '������ �� ��� ����� �� S2�"�� ��� '���0�� ��� ��� ��� �$��� �� ����������� <���������/ �������/ ���=�
�$�� 5��� 6������
!� "3������ � A ������ ����
� � � � � �
� � � � � ��
�
�
��� ���� G �� �� ����� �� ����������
�(9(�(� 0�������
�� ������ S2 ��� ������ �� �������� ��� ������� @ S1 ���� � ����� O� F� ����>� ��'���� '������ � ����� A� F� ���� �� ��� � ��'����� �� �������� E
−−−−−−→V(A∈S2/S1) = −−−−−→Ω(S2/S1) ∧
−→OA⇒ ‖−−−−−−→V(A∈S2/S1)‖ = ‖−−−−−→Ω(S2/S1)‖ · ‖
−→OA‖
F� ��� �� ������ ‖−−−−−→Ω(S2/S1)‖ <�� rad.s−1=� %#���� ����/
−−−−−−−→V(B∈S2/S1) = −−−−−→Ω(S2/S1) ∧
−→OB ⇒ ‖−−−−−−−→V(B∈S2/S1)‖ = ‖−−−−−→Ω(S2/S1)‖ · ‖
−→OB‖
%�� �� ������ ��−−−−−−−→V(B∈S2/S1) ��� ���3������ @
−−−−−→Ω(S2/S1) �� @−→OB� F� ��� ��� ��������
��������−−−−−−−→V(B∈S2/S1)�
� � � � � �
� � � � � �
�
�
� � � �
� � � �
�
�
��� ���� G �� �� ����� �� ��������
�(9(�(� <���# �2����.��
F� ����>�−−−−−−→V(A∈S2/S1) �� �� ������ ��
−−−−−−−→V(B∈S2/S1)�
�������� ������
��� ������ ���� ,�������� !
� � � � � �
� � � � � �
�
� � � �
�
�
��� ���! G #��������� �� ������ ����������
F� ������ �� �������� �#������(���'��� ������ ����������� �� �#���� E
−−−−−−→V(A∈S2/S1) ·
−→AB = −−−−−−−→
V(B∈S2/S1) ·−→AB
F� �� ����� ��������−−−−−−−→V(B∈S2/S1)�
�(9(�(� -��*� ���# �2����.��
F� ����>�−−−−−−→V(A∈S2/S1) ��
−−−−−−−→V(B∈S2/S1) �� �� 3��3� @ ���������� �� '������ �#� ���������
�����−−−−−−−→V(C∈S2/S1)� F� ������� ����� ��. ���� �#������(���'��� �� �� �� ����� �� '������ ��
��� ����� ����������� � ������ S2 �� ��� �������������� ���� �� C�
� � � � � �
�
� � � �
� � � � � � ��
�
� � � � ��
�
��� ���) G #��������� �� �� ������ ���� ����������
�(9(�(� ���#������� ��� .����� � .�������
�� ������ ��(����� ��� �$������ �������� ���� �����'���� ��� 3�>��� ������������������ �� ������� �������� ,�� �� ���������� ��� ��'������ � ��� '������� ��� ��B�A����� �������� � �$����� ��������/ ���� ��� �� ��������� ����$����/ ��� ��'�������� �� �� ���������� �� ��'������ "���� ���������� �� ������ ����3������� ��� ���������� '����������
��� ������ ������ �� �� � �$����� �� ����������� �� �#��������� � C�) 4������#��������� � ��� �� ������� ��'�� �'� �� ������ ������� �� �#�'��� 1 � ����� F� "����������� ��� �����$� ��\� @ � '���� 3$�������/ ������ �#� ���� ! �� ������� ����� �
�$�� 5��� 6������
)1 "3������ � A ������ ����
����� , �'� 1 �� �#�� ���� �/ ���� ���� �� ������� ����� �'� �#��������� �� �� ��'������� � ��� ������� @ ! ��� �� ����������� �� �� ��� �����0�� �� ����>��� �������� �� '�������� ������ �� �� ���� � ��� ������� � ���� !� �� �K� �#������� �� �������� �� ���������� ��'������ � ����� 7 ��� ���������� ��� ��B������� '��������
−−−−−→V(B∈1/0) = −−−−−→
V(B∈2/0) = −−−−−→V(B∈2/3) + −−−−−→
V(B∈3/0)
��� ���+ G #��������� �� �� �� ������ �� �����
�(9(�(8 4��������� �� ��0
F� ��� ���������� �������������� �� "� �� ������� �.��H������ ������� �� �K���� ��� �� ����>��� �� ������ ��� '������� �� ��. ������ �#� �H�� ������� �� "� ��� ���� @ �#����������� ��� ��. �������� �. '����� '�������� O� ���� �� "� ���/ ����� ������� ��� ���������� �� �� �������� ��� ���������� ��� '������� ��� ��B������ ������� ������ ���������
������ � � *����� ��� ����� S09 S19 S2 �� �� ���4���� ���� �� �� ��� ������ ��6 �� ��9 �� ��� ������ ��� �!�9 I019 I12 � I02. �� ��� �!� �� ���,��.
����� �� ��� � ���� ��� ����� S09 S1 � S2 �� ���4���� ���� �� ���� ��������� �z. >� �� � ����� �4���� I019 I12 � I02 �� �!� �� ���4���� �� S0/S19 ��S1/S2 � �� S0/S2.
%�� ����� ���9 �� � ?
−−−−−−−→V(I02∈S0/S2) = �0 = −−−−−−−→
V(I02∈S0/S1) + −−−−−−−→V(I02∈S1/S2)
�������� ������
�� ��� � ������ � )�
�� −−−−−−−→V(I02∈S0/S1) = −−−−−−−→
V(I01∈S0/S1) + −−−−−→Ω(S0/S1) ∧−−−→I01I02
� −−−−−−−→V(I02∈S1/S2) = −−−−−−−→
V(I12∈S1/S2) + −−−−−→Ω(S1/S2) ∧−−−→I12I02
�� ���4� ���� −−−−−→Ω(S0/S1) ∧−−−→I01I02 + −−−−−→Ω(S1/S2) ∧
−−−→I12I02 = �0
�����z ∧(ωS0/S1
· −−−→I01I02 + ωS1/S2· −−−→I12I02
)= �0
�z � �� ��� ���9 ����ωS0/S1
· −−−→I01I02 + ωS1/S2· −−−→I12I02 = �0
����9 �� G �!� I019 I12 � I02 �� ���,��.
��* +�� � �������
F� ����� �� ��'����� ���� �� ���� �#� ������ S1 ��� ������� @ � ������ ����R0 (O0, �x0, �y0, �z0)� F� ���� R1 (O1, �x1, �y1, �z1)/ �� ������ ������ � ������ S1� F� ���� I(S/R0)
�� ����� ���������� �� �������� � ������ S ��� ������� � ������ R0�, ��� � ��'����� �� S1 ��� ������� � ������ R0/ �� ����� I(S1/R0) ��� 3�����
�� �������� ��� ������� � ������ R0 ���� ���� ��� ������� � ������/ �� ��� ��� �������� ������ R1 (O1, �x1, �y1, �z1) �
�� 5���
�� 0��� � ��'����� � ������ S1 ��� ������� @ R0 ��������� @ �� ���(������ �"����� ���������� �� ������� I(S1/R0) ��� ������� � ������ R0 (O0, �x0, �y0, �z0)�
� ��������
�� ������� � ��'����� � ������ S1 ��� ������� @ R0 ��������� @ �� ���(������ �"����� ���������� �� ������� I(S1/R0) ��� ������� � ������ R1 (O1, �x1, �y1, �z1) ��� � ������S�
�������� �� %�� ����� ���9 �� 4� �� �� �!�−−−−−−→V(I∈S1/R0) = �09 �� )�� � �� ������ �
�(�� ���4���� �� ���6 ����)� ��,�� � 5 �� �� �� �� ���� I(S1/R0) � ��� ������ �� ,���� �(��� �� �(�� �� �� �� ���� .
�������� �� ��� �� ���4���� ��4��� �� R1 (O1, �x1, �y1, �z1) � ��� ����� ��0������9�� �!� �� � �� ��� ��� �� )�� � �� ������ � �� ��4����.
�$�� 5��� 6������
)� "3������ � A ������ ����
�������� ������
������ �
��������� �������� ����
������ ��������
L ��� �� �#���� � �� �� �������� �#� �$����� �������/ �� ������ � ����� ���0���#����� <���������/ �������/ �$������/ ��������� ��� �������./ ���=� �#������A
���� �� �� ����� ��� ���������� ���� @ �� ���� �� ���� �#3$���3���� �������������� 8��B��/ �� ����� �� �#��������� ��� �� �#�0(�� ���� ���� �� �� �������������� ���3���������� � ����� ��������� � ���� E �� �������
�� ������������ ��������� @ ��� �0(�� �� ���������� �#� ���� �� ��� ������������ '������ � �� '������ ��� �� ��� ��� ����������� �������� <����������/ ��������� �$�������= �#� �$������
�� �.���� ����� �� ������������ � ���� �� �� ���0���� � �� ��������� �B����� ��������������� �� ��� ��� ��(��� ������ @ �#������ �� ��� ��� ���� ���� ���� @ �������#� ������ <��� � ����� ���������= �� �#�� ��� '������ �� '������� ��� 3$���3���� ������� �� ��������� ��� �������� ��� �� �$����� �����
�� ������������ �#� �$����� ������� �� �������� �� ����� ������ �������� E
G �� <� ���= ������<�= �� ������/
G �� ������ �� ������� ������� �� ��� ������� �������/
G �� ������ �� ����3� �� ������ �� �� �3��� ���������/
G �� ������ �#������ ���������
��� '������ � 3������ ��'��� ������ ��������� ���������� <]= ��� ������ ���A����� ��������� @ � �$����� ��������
MO� ������ ��� �� �0�������� �� �� ������� �� ������0�� �K������� @ �#�0(���������� ��� �#�� ���� �����0�� �� �������� @ �������� �������� ���������� �0(�� �� �������� �� �������N <����� C 88&,�=
MO� ������ ��� H��� ����� ���� ����� �� ����� �� �� �������/ �#�.���������� ����� 3��� �� ��� 3��3��� @ �����3�����/ ����������� �� ��� �������� ��� ������� ����������N <6����� &� W8��78 6=
�$�� 5��� 6������
)) "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
��� &����������� � �� �����
9���� �� �$�� �#���� @ �����/ �� ������ ��B������ ������ ��� ����������� � ���������������
%�� 6����� ���������-��
8� ��������� � ������/ �� ��������� �� �'���A���(��/ �� ������ ��'��� �� ������ �������� ��������� �� ���0������� ���������0��� ��� ����� ���� �������� ��������� ��������O� ������ S ��� ��� ���������0�� �����#@ ��� ������� �/ �� ������� ����� ��. �������������� A �� B/ ��� ��������� &��3�����������/ �� ��� ����� ��
−→AB2 = Cste�
%� 6����� �� ������� �������-��
�� ������ �� ������ ��������� �� ���0������� ���������0�� ������� ��� ������� �� ������� ������� 8� �B��/ ������ ��. ������� ���� �� �����/ �� �������� �� ����� ����������� ���������� �� ��� ������������ ���� ��� ������� � '�������� �� ���� ������ ��������� ����� ������ ��� �.�����/ �#��� ��� ��'������0�� ���� �� �������/ �� ��������� ���������� �� ����� ������ ] %��� �#���� ��� ������ �� �����/ �� ��� ����� �#���� ����������� �#� ��� ��. �������/ � ��� ��. <������ �� D���Q=/ �������0��� ����������
%�% 6����� �������-��
8� ������� ��� ������� <��������� �� ��� �����=/ �� ����� ��� �.����� �� ��A��������� �� ����� �������� ��� �#����� �� 3���������� �� ��� ����� �0��������� ����������� �� �� ������ ��� �������0��� "��������/ ��� ������������ � ���� ���� ����A���� ���� ������� <� �� ��� '��� ���� �� ��(����� ��� ��= �� ���� ��I��� �� �#��������� ���� �������� ��� ����� ����������
��� &����������� �� �������� ��� ������
�� �.���� ����� �� ������� �� �������� �� �� ����� �� '� M������N �� �� �������� F������ ��������� ��� �������� ��'���� �� ���0��. ������ E
G �'� � ���� (�/
G �'� � ���� ����������� �#������� <������� ��������=/
G �������0�� � ����������/
G ������ � ��������/
G ������ � ��� ������� ������������
"#��� �� ��0����� �� ��B������ ������� �#�� ������ �� ���� ��� ������� ������������ ���������� �#�����0�� ��� ����������� �#� �������� E '�������/ �B����/ ���������/����/ �����0�����/ �����������
�������� ������
!�� +������ ��� �� ������ �� �� ����� )+
% � )����� �� ��-����
9��� R (O,�x,�y,�z) �� ������ ����/ ������ @ �� ������� ����� ��. ������� 1 �� 2� �� ���0�� �������� �� ��0���� �#�� ������� ����� ��. �������/ ��� �� ���0�� �� ��'������ ������������������������ �� �� ������� �������� , ��.���/ � ���0�� ��� ���� @ - � E
G ! ������������ Tx/ Ty/ Tz/ ���� ��� �������� ���������� � ������ R/G ! ��������� Rx/ Ry/ Rz/ ���� �#�.�� ���������� �. �.�� � ������ R�F� ���� m �� ���0�� �� ������ �� ��0���� �#�� ���������� ���0�� �� ������ �� ������� ��� � �������� �� ���0�� �� ��'������ ������������
������������ �� �� ������� ��������� %��� �#�����/ �� ����� �� ������� '�� (6 −m) ��
��� !�� G ����� �� �������
% ��������� ��� ���� ��
F� ������� ������� ������� ��� �0����� �'� � ���� ������/ �� ������� � ������ ����� �� ��0����� %� � ���� �� ����� ��� �������� �������� ������ �� �� ����� �� ��Q��� � ����� ���� ����� ��� ������� ���������� "���� Q��� �� ����� ��� �������������0����� ��� ������ �� ������ �#����$�� �� �� ������������ ��� �������� ��� �#�0��� ������$�� ���������� ��� �������
�� ��� ��� ��'��� ��������� �� ����� � ������ %��� �� �������/ ��� �� ���� �� ��/�� $ � ��(��� �� ������ �������� ���� �� ������ <���� !��/ �� )-=/ �� $ ��� � E
G ����� ������ <��3���;����=/G ����� ������� <��3���;$������/ $������;����=G ����� ������� <��3���;��3���/ $������;$������/ ����;����=�
% % ������� $�������
�#���� ��� �������� ������� �.�������� ����� ��� ��B������� ����� �#� �������� ���������� �� ��K���� 8� �B��/ ��� ������ ����� ��� ������ �� ����� <�������/ ����� ��
�� ���� � ��� ���� ��� ��� ����� � ����� � ����� � ������ ������� ���� � � ���� ���������������� � ���� � �� �������� ������ � �� ������ �� ������� ���� � ����� � ���� � ������� ��� (3 − m)
�$�� 5��� 6������
)- "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
��� !�� G �������� �� � �� ����� �����������
�����=/ �� ������� �� (�/ �� ����������� ��� �����/ ��� �����������/ �� �#��� ����� �������� �3������ �� �� ������� �� �� �������� ,�� �� ��'��� ������ �� ������������� �#���������/ �� ��� ��������� �� ��������� ��� �������� ����� ��� ��B������� ������
O�� ������� ��� ���� �������� ��EG �� ����� �#���0��� �3���������� �� � �����/ �� �� ����� � �� �� ����� ��
��������� ���������� ������ <����/ ��3���/ $������/ ����� 3����Z����/ ���=/G ��� ������ �� ����� ���� �������� �������������� ��������� �� ���������0���/G �� ������� ��� ���� (� / ���� ���������� �� ��3������
�������� �8 ��� ��� ������ ���0�� �9 �� ������� ������ ��� �� �� ���=�� � ��������� ��� ���� �� ���4���� �� ���� ��� �� ������.
�������� �� ���� �� ����9 �� � �� ��� �� ������ ���0�� � � �� ������ ������� ��������...
��� ,� �������� ��-���� ����������
�� ����� �C 8� �9F ! +�A� �������� ���� �������� ����������� �� �#�� ��� ����A����� �� �������� ������������ �� �� �������� �������� <�� �������������� �� ��������'� ������ ��� �#�0(�� �#�� �������������/ ���� �#��� �� M��������� ���������N=� %��� ������� ��/�#����������� � �� �������������� �� �#������� ����� �C 8 1)A1�+A�/ ��� �.������/ ����������
%%� �������� ������������
O�� ������� ����������� ����� ��. ������� S1 �� S2 ��� �������� @ ������ �#� �������� �� ������ �� ����� <��3���;��3���/ ��3���;����/ ����;����/ $������;$������/$������;���� � ��3���;$������=�
�������� ������
!�! *� ������ ���0�� � ��������� )�
�(�(�(� +������ #�.�� &������
%�. ������� ���� �� ������� ��'�� �������� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��A'����� ������� �����0�� ������ �#�� �������� �� �#�� ����������� ��� ������� @ � �.��
)�.�� &������ ���'� (O,�x) 5������� ����� �=����� �6-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ������ �� ��0����⎛⎝Rx Tx
0 00 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
∀P∈(O,�x)
⎧⎨⎩ωx Vx
0 00 0
⎫⎬⎭
(�x,�,�)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�x)�� ���� ���� 0��� �������� �� '���� �x�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
� �
� � �
�(�(�(� +������ �#1 ���� �� ����
%�. ������� ���� �� ������� ��3����� � ����� ��/ � ��� � �������������/ �� �����'����� ������� �����0�� ��� �� �������� ���� �#� ������
�#1 ���� 5�� ����6 �� ���� � O 5������� �#1� �=�#1� �6-�& � �� �*� � "� ��� ����������! ������ �� ��0����⎛⎝Rx 0Ry 0Rz 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
O
⎧⎨⎩ωx 0ωy 0ωz 0
⎫⎬⎭
(�,�,�)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� ���� �#������� ����� 0��������� �� �� ����� O�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
��
�� �
�
�
�
�$�� 5��� 6������
)� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
�(�(�(� +������ �##�� #��
%�. ������� ���� �� ������� ���� ���� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ������ �#�� �������� ���� �#� �.� �� �� �� ����������� �� ���� �� ��.�.�� �������������� � ��������
�##�� #�� �� �� ��� �z 5������� #��=#��6-�& � �� �*� � "� ��� ����������! ������ �� ��0����⎛⎝ 0 Tx
0 TyRz 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
∀P
⎧⎨⎩
0 Vx
0 Vy
ωz 0
⎫⎬⎭
(�,�,�z)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#����� ������ ���� 0��� �������� �� '���� �z�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
��
�
�
�
�
�
�
�
�(�(�(� +������ ���� � �����&�� 5�������� �� �� �7 , :�3:��3�6
%�. ������� ���� �� ������� �������� ��������� �� �� ��� ��'����� ������� �����0�� �������#�� �������� ���� �� ��. �.�� �� �� �� ����������� �� ���� �� ��. ����� �.��/ �#����� ��������� �� �#�� ��� ������������ ����� ������'�� � �H�� �.��
+���� � �����&�� ���'� (O,�x) �� �� �� ��� �z 5������� ����� �=#��6-�& � �� �*� � "� ��� ����������) ������ �� ��0����⎛⎝Rx Tx
0 TyRz 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
O
⎧⎨⎩ωx Vx
0 Vy
ωz 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� � ���� (O,�x,�z)�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
���
�
� �
� �
�
��
�
�������� ������
!�! *� ������ ���0�� � ��������� )
�(�(�(� +������ �#1� �3����� � �� ���� � ������ �
%�. ������� ���� �� ������� �������� �������� �� �� ��� ��'����� ������� �����0�� �������#�� �������� ���� �#� ����� �� �#�� ����������� ��'��� � �.� ������� ��� � ������
�#1� �3����� � �� ���� � O �� �� �� ������ �x 5������� �#1� �=����� �6-�& � �� �*� � "� ��� ����������) ������ �� ��0����⎛⎝Rx TxRy 0Rz 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
O
⎧⎨⎩ωx Vx
ωy 0ωz 0
⎫⎬⎭
(�x,�,�)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� ���� �#������� ����� 0������������ �� '���� �x ������ �� �� ����� O�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
��
�
�
��
�
�� �
��
�(�(�(8 +������ �#1� �3#�� �� #�������
%�. ������� ���� �� ������� �������� �� �� ��� ��'����� ������� �����0�� ������ �� ���������� ���� �#� ����� �� �� �� ����������� �� ���� �� ��. �.�� �������� �� � ������
�#1� �3#�� �� #������� �� �� ��� (O,�z) 5������� �#1� �=#��6-�& � �� �*� � "� ��� ����������+ ������ �� ��0����⎛⎝Rx TxRy TyRz 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
O
⎧⎨⎩ωx Vx
ωy Vy
ωz 0
⎫⎬⎭
(�,�,�z)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�z)���� ���� 0��� ��������� �� ������� � ������
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�$�� 5��� 6������
+1 "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
%% �������� ��$�����
O�� ������� ������� ��� �������� @ �#���� �� ������� ����� �� ������ �� ���������������� �� ������� �3�������
�(�(�(� +������ ������ �����
%�. ������� ���� �� ������� ����������� �#�� �#�.���� �� ����� �� ��0���� ����� �.�,����� �����
-�& � �� �*� � "� ��� ����������
1 ������ �� ��0����
{V(2/1)
}=
∀P
{0}
(�,�,�)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� P �� �#������� ���� ���� 0����
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
�� �
�
�
�
�
�(�(�(� +������ #�.��
%�. ������� ���� �� ������� ��'�� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ��� �� �������� ���� �#� �.��
)�.�� ���'� (O,�x)-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ����� �� ��0����⎛⎝Rx 0
0 00 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
∀P∈(O,�x)
⎧⎨⎩ωx 00 00 0
⎫⎬⎭
(�x,�,�)
�� ����� ��������� ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�x) ������ ���� 0��� �������� �� '���� �x�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�� � �
�������� ������
!�! *� ������ ���0�� � ��������� +�
�(�(�(� +������ &����� �
%�. ������� ���� �� ������� ��������� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ��� �� ����������� �� ���� �#� �.��
>����� � �� �� ������ �x-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ����� �� ��0����⎛⎝0 Tx
0 00 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
∀P
⎧⎨⎩
0 Vx
0 00 0
⎫⎬⎭
(�x,�,�)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� P �� ���� ����0��� �������� �� '���� �x�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�(�(�(� +������ �#1 ���� ? ���&�
%�. ������� ���� �� ������� ��3����� @ ����� ��/ � ��� � �������������/ �� �����'����� ������� �����0�� ������ �� �� �������� ��� ������� @ ��. �.�� ���������
�#1 ���� ? ���&� 5���'� �� ���&� (O,�z2) �� �� #�� �� ���� � ( �x1,O,�z1)6-�& � �� �*� � "� ��� ����������� ������ �� ��0����⎛⎝ 0 0Ry 0Rz 0
⎞⎠
{V(2/1)
}=
O
⎧⎨⎩
0 0ωy 0ωz 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
�� ����� ��������� � ������ ��������� ��� '���0�� � ����� O�
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� � �
� �� �
��
�
� � �
�
� �
� �� �
�$�� 5��� 6������
+� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
�(�(�(� +������ 1���@���
%�. ������� ���� �� ������� 3����Z���� ��/ � ��� � �������������/ �� ��� ��'������������ �����0�� ������ �#�� �������� �� �#�� ����������� ���������������� ��� ������� @ ��.��
A���@��� ���'� (O,�x)-�& � �� �*� � "� ��� ����������
� ����� �� ��0����⎛⎝Rx Tx
0 00 0
⎞⎠
Rx �� Tx ���� �����
{V(2/1)
}=
∀P∈(O,�x)
⎧⎨⎩ωx V x0 00 0
⎫⎬⎭
(�x,�,�)
V x = ± p
2πωx D���� @ ������ <^= � @ ��3� <A=
�� ������ ��������� ��� '���0�� �� ��� ����� �� �#�.� (O,�x) �� ���� ���� 0����������� �� '���� �x� p ��� �� ��� �� �� ������� 3����Z�����
,'��#���1����������
�#�������1����������
#���
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
� � �
�
�
�
� � � � � � � � � � � � ! �
� � � � � � � � � " # $ � % �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
%%% ���� �������� ��� ��������
%��� �� ������ ��� �$������ ��������/ ��� �������� �#������������ ��� ���� ���������/��� ������ �� ����� �� ��������� �� �������� ���� M�������N �� ������� �������� ���A�������� ���� �� �Y�� ��� �� �������� �� ������ �� �� �������� "�� ��� �#����� ��� '������ ��� �������� @ ���0�� ������ �� ��0���� <��'��/ ���������= �� ���� �� ������ �� 0����������������� �� ������ �� �� ���0������
,�� �� ������ �� ���0�� �� �������� ���� � ��������/ �� ��� H��� ����� ���� �#�������3� ���0��� @ 3��3�� ��� �������� ���'�� ���'������� �������� ������ ������ ��������4���� ��
%�. �� �� ���������� �����/ @ �� '� � �$�����/ ���� ��� �������� ���� �� �����/ ���� ��������� �� ����������
�(�(�(� +������� �� � ��
�� �K� �#������� �� �������� �� ���������� ��� ������� ���������� ����� ��� ���������� ����� ��� �#�0����� �� ������ ��������� �� �� ������ ������ ���� ����4���� �� �� �K�
�������� ������
!�! *� ������ ���0�� � ��������� +!
����� �#��������� � ������ �'� ��� ������� ��� �������� ����������� ��� ������ �� ����$�� ��� �� ������� ���'�������
������� � H ��� �(��� ���� �� ��������"�� ��� �� ����� 5 ��� ��� �� �(��� ���� �� �������� ��� ����� �� )������ ��
������� (2) �� �� � �)�� ��� �(�� ���)��,� A��� �����,� ��� �6�����B ,�I�� �� �� �� (3).
��� !�! G ������� �� ������ �� �� ���
>� ���� �� ����� ������ ����{V(1/3)
}�� �� ������ �� (1/3) � �� ����� ������ ����{
V(3/2)
}�� (3/2).{
V(1/3)
}=
{V(3/2)
}=
>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ������ ��� �� ����� ������ ���� ?{V(1/2)
}={V(1/3)
}+{V(3/2)
}=
�� ����� ������ ���� ��������� �� ����� ������ ���� �(��� ������...
�(�(�(� +������� �� #� ���
%��� � ��/ ��� �������� @ ������ ���� ����� ��� ��. �H��� �������/ �� �� ��� ��� ���������� �� ���������� ��� ������� ���������� F� ������� ��� �� ��� ������ �� ��0������������ ��� 3��� ��� ��������/ ��� ������ �� ��0����� �������� ��� 3��� ��� �����������'��� H��� ����������
������� � H ��� �(��� ������� � �� ��J��F�� ������� � � ������� �� ���6 )���� ����������� ��������� (2) ���� 5 �� ���
����� (1). �� �� ���6 )����9 ,��� �� �������� �4�� ��� ���� � ��� �� ����� �� ���$����,� ���� ��� ��,�� ���� �. !� �2 ���� �(�� �� � ���� ���� ��� �� �������,� � �����4�� ��� �� � ��� ���,�� A0��,���� ��� �K 5 �� �=� �(�� �����B.
�$�� 5��� 6������
+) "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
��� !�) G ������� �� ������� �� �� ���������
>� ���� �� ����� ������ ����{V(1a/2)
}�� �� ������ �� (1a/2) �� ���� A � �� �����
������ ����{V(1b/2)
}�� (1b/2) �� ���� B.
{V(1a/2)
}=
{V(1b/2)
}=
>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ����� �� ����� �� �����{V(1b/2)
}���� �(�6������
�� ���� A ?{V(1b/2)
}=
>� ������� ���� �� ��,�� �� ��)�� � �� ���6 ����� ��� ���4�� �� ���� ����.
*� ������ ����4���� � 5 �� ���6 ������ ��4� ,���� �� ��������� � ���� ��� ������...
�(�(�(� -�B ����� ������������ #����*��
F� ��� ����� ������� ��� ������� ���������� ��� ��������� ��� �������� ���'������� ��� �$����� ���� @ ������ �� �#���� �� �#����������� ��� �������� � ������
F� ��� ������ ��B������� ����������� �� �������� ������������ ��� �#�0����� ��� ���������� ���0�� ����� �� ��0���� <��'��/ ���������=�
�������� ������
!�! *� ������ ���0�� � ��������� ++
�$�� 5��� 6������
+- "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
�
��" ������ � ��������
O� �������� ��� � �����0�� �������� �� ����� ��������/ ������� ����� ����� ��� �����������/ ���� �� ������� ��� �� ��� ��'��� �#���0��� ��3�������� �� �������� ������;������<��'������/ �B����= ��������� @ � 0����� �.������
%��� � ��������/ �� ������������ ��� �B���� �#�B��� ��� ��� ������ �� ���������� ����� ������ O� ��� ���0����� ���������� � ������� ��� �� 3����� <����� �����A����� ��� ������= �� �� ������������ <������ ��� ������/ �������.= ���������� ���������
%��� � �������� �� $ ��� ��(��� � ��'����� ������� ����� ��� �������/ �� ����������� ������ �� ������ ��� M� �����N �� ������ �� ������ ���� �� ��'����� ��� �����
%+� �������-�����7���������-�����
O� �������� ��� ��� ��4���)�� �� �� ��� �����'����� ������ �� ������� "#��� @ ���� �#���'����� � ������ �� ������/ ��������� �� ��'����� � ������ @ �#������� <�. E � ������#���������/ �� �$����� '�� ��� �� �� ������� ��� �����������/ �� ��� ������� �� �� ���������� '���� '���/ �#�� � � ������ �.� ������ �#�'��� �#��'������ �� �� ��� ��0�����=
��� ���������� � �������� �R � ��'����� �� ������ �� ��� ����� 0���� �#��������� ��� ����4���)���
��% ����� � ����!���� ����������
��� ���'��� � ��� ������ �� ������������� �#� ��������/ �� ��� ����� �� �3�A������� �� ������ @ �#���� ��� ��������������� ����������� ��� �������� �������� ��� ��� ����� ���������� ��� ��B������ �����0��� �� ��'����� ��� �� ��� ������� �. ������ O� ��������0�� �#������� ����� �#���'����� ��������� <� ����� �����0�� ����������������=� 8��� ��� �������� �� ����� ����0���� ��� ��� ��� ������� �. ����� E
G ���� �� ��������� E ��� ����� ���� �� ������� �����������/
�������� ������
!�+ ���� �(����4������ ������ ���� +�
G ���� ���� �� �3��� �� ������������� J ����� ������� H��� ��0���� ����� ����� ������ ���� �3��� <������������� ������/ ����������/ �������=�
8� �3��� �� ������������� ������/ �� ����������/ �� �������/ ���/ � ����������� �'��� ��� ���A�����0��� ����������� ��B������� �� ��� ��� ������� ���� ����� �3����� ������������� �� �������� �� �������� ��� ���������� ��� ������ �#���'����������������
������� � ����� 1L �� ��3 �� ��M�
��
$�
�
��
��
�� �
��� !�+ G ���� ��������� �� �� �� � ����������� �����$�
&� �� ���� ���� � ��� �(�� ������ �� ��9 ��� ���4�� ������ �� ���� �(����4��������4�� � ?
corps = 0 = {4,7,9,10,11,13,19,21,23,24,25,26,27}; arbre = 1 = {2,5,6,15,17,28};piston = 2 = {14}; plateau = 3 = {18}
�������� �9 *(����)�� �� ���� �(����4������ �(�� �������� ��� �� �������$ � �0 �� �����$��. ��� �0��9 �� ����� ��0����)�� A���� 9 �������� ��� ����9...B9 �� ���$��� �� �������� 9 �� �� �� ,������9 �� ��� �� ���� �.
�$�� 5��� 6������
+� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
��' .��� � �������� /���� � �������0
O� ����3� �� ������ <� ����3� ��� ��������=/ ��� � ����3� ������������ ��� ��B������������� �#���'����� <� ���� ��� �����= ������ ����� �. ��� ��� ������ ������������� ������������ F� $ �(��� ���� �� ��� ��� ��B������� �������� ����� �� ���� �������������������������
�������� �� %��� �� ,����� �� ������9 �� ��� ���� ��� ?@ *� �� � �D�� ������� �� �� ���� �(����4������9 ���,��� �� ��� �� ���=�� A ����6����� �� ��� �� � ������ �� ����� �� �� ����B �� ��� ��� �� ��.
@ !� �� �� �� �� �������� �� 0���� �(��� ����� ��� �� ���� �(����4������ � �� ������.
@ !� ��� �� ��4�� �� 0����9 �� ������� �� )�����.@ N ������ ���4�� ��;������ �� ��� ����9 �� ����� ���� �� ������ �� ���������.
� �
�
! $ � � � � �
� � & ! � � � �
' � & � # � � � � # & & $ � # � � �
� � # � � � � ( � �
) � * !
� � # � � � � � ( $ �
) � * ! � " � � + + # & !
� � # � � � � , ( � �
) & � ! $ � � � �
� � � � & � - # � � � � . ( $ �
��� !�- G %�� �� �� ������� �� �� �� � ����������� �����$�
��( 1����� ����������
�� �3��� ��������� ��� �� �������������� ����� � ��������/ ���������/ � ���A�����/ �������� ��� �$�0���� ���������� ��� �������� ����� �������� "#��� � ���� �� ���A������� ��3����/ � ������0�� @ ��� ��� �� �������� �� ��� H��� ������� �����#����������� � ����3� �� ������ �������� %��� �#����� ��/ �� �#������� �3��� ���A������ �#��3������� �� ��� ��� �.����� ������� �3���� ���������� �#� �H���������� ����� �� ����� �� ������ �� �#���� ��'�������
�� �3��� ��������� @ ��. �������� ���������� �� ������� EG ���� @ �� �������� �� ������� �� ������� ��������� �� ��������������G ���� @ �� �����3������ � ���������� �.�������"�� �3���� ���������� ��'��� H��� ���� � �� ��������'� <! ����������=�
�������� �: *� ���,����� �� %� ! � ���� ������� �� 4���)������ ? ,����� �� ���$ ���9 ����� �������,����9 ����� �(����� �� ���9 ����� ������ ����. �������� 9 4��
�������� ������
!�� ����� ������ ���� +
���: ����� 5 � ����� �� ��=���� � ������� ��� ������ ��$���� �4�� �� 4���)����������� �� ��;��� �� ����� �� ��� ��� ���,�����.
%3� 6 /��� ���������� �������
F� ������� �3��� ��������� ������� ��� �� ���������� � �������� �'� � ����� ������� ������� ����� ��. ����� � ������ �#���'������� �� ����� ����� � ���.�� �� ��������� � �$����� ���� �#��� ��� �0������������� ������ @ �#�3�����
�
� � ��
. �
,�
��
�
� �
� �
/ �
0 �
��� !�� G !���� ���������� ������� �� �� �� � �����$�
�������� �� � ��)��� ��� ������� ��� ���� �(����4������ 0����� � �� ��� ��� �� �(� �$)������ �� ����� ���� �� ������������ �� ��������.�� ��� ��� ���� ����� �� ��
� ��� � *� ����� �� �������� ��� � ��0����� 9 ����� ��� �6����� �� ���� 9 ���� )��� �� ���� �6��� �� �� �� ������ �����(�� ����� �� ����� ����0����)��...
�������� �� F ����� ��� ������� �������� A��� �6�����9 �� ;����B ���� �� ������ ������ ����� ��� �� � ��� ��� �� �� 0���� ���� ��... � ���� �� 0���� ���� �� �������� ��� ���� � ������. �� �� � 0�J��9 �� �(����� ������ 5 ������ ���� �(����4������������ ���� <
�������� �� ��� �� ����� ������ A��<B �� ����� ������ ����9 �� � )�� �( ���� �������. >� �� ���� �� ���� ��$���� ?
@ >� ����� �� ������ ����� ��� ���� �� ������ A���� 9 �6�9 �������B.
@ >� ����� ���� �� ������� � ��� ��������� �� ������ �� ����� �� �� �������� �� ,���� ��� �� � ���.
@ >� ����� ���� �� ������ �� �� ���� �� ����� �� �� ��6���� �� ,���� ��� �� �$ ��� �������.
@ !� �� � ���� 5 4������ �� ��������� �� �� �� ���� � �� ������ A'���)��� ���� ����������� �� �� ��� �����...B.
�$�� 5��� 6������
-1 "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
%3 6 /��� ���������� ��� �������
O� �3��� ��������� ���������� ��� � �3��� ��������� �#� �������� ������� �� �(��� ��� �$�0���� ���������� �� ��������� ��3��������� ����������
��� !�� G &�� � ' ���� �"���" ��� !� G ���(�� ����� ��� ���� ������ �����
%3% 6 /��� �&�� /��� ����
�� ��� $ �'��� �����H� @ ��������� �� ������� �� �������� ������������/ ���� ����.����� �� ��'�� �������� ��� ��. ��������� @ 0����� ������� �������'����� �� ������������ �� �� ������� �������� ��������� "��� ������ �����/ ��� �� ��� �� ���������� ������ �#������ �������� �0�� ��� 3�� ��� �������� ����� �� ��� ������ ���������B���'����� �� ���0������� ���������� ��� �� ������� ��'�� ���� ���.������0����
�� ��� ��'���/ �� ��� ������ @ �#�3����/ �� ��� ����� ���'�� �� ���� �#������� ���� ������� �� '������� �� ������ F� ����� ���� �� �3��� ������0��� ��� ���������
�
� � � � �
. �, �
��
�
��
�
��
�
� �
� �
/ �
0 �
��� !��1 G !���� ���������� ������������ �� �� �� � �����$�
������� � � ������� ��������� �� +���,� NOOO >� (�� ���� 5 �(� ������� ����������� +���,� NOOO9 ������ �� �� ;��)� �� ���� P$N � �� �� 0��� 79 �� 4���� ��� ������ G$Q� �� ����� L. *� �� � ��� 5 �� ������� �� �(�4��� O.
�������� ������
!�� �� �� ��� �0 �� ,����,� �� �� � ��� -�
0
�
1
/
� � 2 � 3
4 �
4 � �
� �
� �
� � � �
� �
� �
� �
� � �
��� !��� G %�� �� �� ������� �� ���� ���������� ������������ �� ������������ ���� ���� ������ )***
%3+ 6 /��� �� /���������
8� �������� ��� �$�0���� ��3���������/ �� �3��� ��3�������� ������ �#������������ ������ ������������� �� ��� ��������� ��������� �� �������� �� ��������� F������ ���� �� �3��� ��������
�� '���� �#�� ���� ��� �������� ��� � �����0�� �� ������� ����� �� ������/�������� ���� ��� ��������� @ H��� �� ����� �'� �#����<�= ����<�=� "� ���� ��� ��A���� ������������� �� ����� ��� �� ������� ������ � ���� � �$����� �������� 8�������������� �� ���� ��� ������� ����� �.� �� ��� ��� ����� ��� ���3� � �������� ��������#� �� �#S��/ �� '��� ��� �������� ��3��������� ���������
��� !��� G !���� ������������ ���� ������� �� ��������
��) �� ���������- �� ������� � ��������
%��� �� ������ �#� ������ ��� ������� @ � ����/ ������� ��'������ ��'��� �� ������'� �� ������ ���������/ �� �#����� ���� �� �������� @ �� ������� �� (�. �������A
�$�� 5��� 6������
-� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
����/ �� ������������ �� �������� 7���� �� ������/ �� ����������� ���� �#�� ���������������� �� ��� ��'��� ��������� � ������� ��� ����/ ��� ��������� �� ��0������� ��������������/ ��� ������ �������� �����������
�� ���0���� ��� �� ��'��� (��#� ���� ����� ������ ��� ��'��� ������� �� �����M��� ������ (�.N� ��� ���/ ��� ���������� �� ������� L/D �'� L �� ������ �� �������� D �� �������� � �������
�
�
� � �
' � & � # � � �
# & & $ � # � � �
) � * !
" � � + + # & ! � �
) � * !
� & � � � ! # � &
! $ � � � % � � � � � $ & �
- � � � � + # ! � & � � �
5 � � & � � � � � & � � - 5 ! � � � # & + �
� � # & # � � + � � � � + � � � + $ � ! # ! +
��� !��! G ����������� �� ������� �� �� ��� L/D
"���� ���3��� 0��� �� ���� ��0�������/ ������ �� ��������� ����Q ���������� ��� ��A����� �� ��������/ ��� '����� �� 0,8 �� 1,5 ���� @ ������ �� ������� ��� �������. ����� ������� �� ��0������� �������� ,���/ ��� ���������� �� '����� �� ������� @ �#�������#����� ���� ������0��� �� ������� � ����.�� ����������
�� �� � ������� ��� ��������� ��� �.��H������ ���������/ � �$�� �� ������ �� ��A������ ��� ���� ��'��� ������ ���� ��� ���������/ �� ��� ��� ��'��� ��������� �������������� ������� �������� ��� � � ������� ����������
��� !��) G +"�� �� �� ��������� ' ����� ��� !��+ G +"�� �� �� ��������� ' �������"
O� ��������/ ��� �#�� ����/ ���� H��� ���������� �.�������� ��� ������� @ �#��0�� �� @�#�������/ '��� ��� ��B������� ����������� �� �������������� �.����
��� ����� ����� <��� !��-/ �� -!= ������������ ��� ���H�� �.��. <������/ ���������/����������/ �������� ��������/ ���/ ��=�
O� ������� ��� �� ������� 0��� �� ��. �������/ �#� ��� ����� �.�/ �#���� ��� �������0��� �� ������ �.� ����� �� ������ ������ ����� �� �� �������� �.��� ���� ��� ��. ����� "������� �.� ��� ��� ���H�� �.�������� ��� ������� @ �#��0�� �� @ �#�������� �� ������ ��0���/��/ �#����� �� �� ������ ������/ �� ���� ��������� � ���������� �.��� �� ��T�� @ �'����
�������� ������
!�� �� �� ��� �0 �� ,����,� �� �� � ��� -!
��� !��- G �������� �� � �����,� �"���" ��� �� ���������
� �������� ��� ��������� ���� @ �� ���������� �� �#��0�� ��
�(9(:(� ,'��#�� �� �����&� �� ��������
�� �.���� � ����� ���0�� �� �������� ��B������ �� ���������/ ��� �#������ ��� ��'�A������ �� ��� ��B������ �$��� �� ������� �����0��� ��
%��� �� �� �#� ��0�� ������� ��� ������� @ �� �������� �� �� 3���� �.�/ ��� 0�������������� ��� ��. ������� ���� ������� ������� �� �#��0��� F� ���� ����� � ���H� �.��� ��3��� Y�� ��� 0���� ���������� <��� @ ���3��/ ������/ ���������/ ����������/ ���=�F� ���H�� �.�������� �������� �� 0��� �.������� � ������ �.��
%��� �� �� �#� �������� ������� ��� ������� @ �� �������� �� �� 3���� �.�/ ���0���� �.�������� ���� ������� ������� ���� �� �������� �'� ) ���H�� �.��. �� �� �#$ � ����. ���H�� �.��. �� �#��0���
��� !��� G -���� ������� �� ���� ����.�� ������ ����� /������ 012 3������� !4/5
��� !��� G �� �� ������� ��� ��������� �� �������666
�� ��� �� ������� � ������� �� � ��������� �� �������� ����� �� ������ ��� �� ������� ������������� � ���� ����� �� ����� ���� !����"� #��� ��� � $ �� � %��� ��&�������� ���� � �� ��� �������
�$�� 5��� 6������
-) "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
��� !�� G 7���� �� ��������� ����.�� �� %�8���� 3!- 0195
��� !��1 G :������ ������� �� ���� ����.�� ������ ����� /������ 012 3������� !4/5
��� ��. �������� �������� �������� ��� ��������� @ ����� �0���� <�������� @0����� @ ����� �0���� �� �������� @ �����. ������= �� ���� ������� ��� �,� ��>/ �� �.���� ���� � ��� �,� �� R <������� ������������ ����� �X��.=� ��� ���������� F ���������� �� ������ �������� �H�� �'� � ��������� ���0�� ����� ��� �������� ����������� �� F ���� �����'�� �. �� �R �� �������� ��� ������� � ���� �#� ��0�� ��������'� � 3�������� �� ����� @ ��.� �� ������� �� P ��� ������ ��� ��� ��0��� ��������'� � 3�������� ����� ��� ��. ������� <���������/ ���=� "� �$�� �� �������� ���������� ���3���� <�������� �� �������= ��� ���������� ����������� "���� ���3���� ����������� ��� �#���������� �#���� � �� ���� �� ��������
��* 2����� �� ���� ���������
F� �#����T��� �� �� ������ �� �� ������� '� �������� ������� ��� ������ ��'�����������0��� <(�= ������ ��� � ������� S1 �� S2� ��� ����� ������>��� �� ��������� ��� ��������'������ �������0��� ��� �� ������� �� S2/S1/ ��� ������ �������� ��� �������� �� ���A���� � ������ ���������
{V(S2/S1)
}�
9��� � ������ S2 �� ��'����� ��� ������� @ � ���� S1� 9����� ��. ������ ���A����� A �� B � ������ ���������0�� S2� F� � E
∀t, ∀A,B ∈ S2,−−−−−−−→V(B∈S2/S1) = −−−−−−→
V(A∈S2/S1) + −−−−−→Ω(S2/S1) ∧−→AB
�������� ������
!��1 ���C�� �� ����� -+
9��� dt/ � �����'���� �� ����� �����������/ �� ��� ����� E
dt · −−−−−−−→V(B∈S2/S1) = dt · −−−−−−→V(A∈S2/S1) + dt · −−−−−→Ω(S2/S1) ∧−→AB
F� ���� ����� E
−−−−−−−→δu(B,S2/S1) = dt · −−−−−−→V(A∈S2/S1) ��
−−−−−→δθ(S2/S1) = dt · −−−−−→Ω(S2/S1)
���� ��� � *� ����� �� �� � ���������� �� ����� S2 ��� �� ���4���� ��������� 5 S1 (���� ? {
δD(S2/S1)
}=
A
{ −−−−−→δθ(S2/S1)−−−−−−−→δu(A,S2/S1)
}
*� ���� �� �−−−−−→δθ(S2/S1) � ������� 4�� ��� �� � � �� � ��� �� ����� S2 ��� ������ 5 S1.
*� ����� −−−−−−−→δu(A,S2/S1) � ������ 4�� ��� �� � ���������� �� S2 ��� ������ 5 S1 ��
���� A.*� �� � ���������� ������ 5 �� ���� ��� �� ����� �� ����� �(�� ����� ���� ?
−−−−−−−→δu(B,S2/S1) = −−−−−−−→
δu(A,S2/S1) + −−−−−→δθ(S2/S1) ∧
−→AB
�
�
�
� �
� �
�
�
�
� �
� �
�
�
�
� �
� �
�
��� !��� G ��������� ������ ����� �� ������� ��� ��� ������ ��� �� ���
"���� ������� ����� �#��0�� S2 �� �#������� S1 ��'���� ��������� �������� � ��'������� �������� �� �� ����������� ���� �� �#�.� (O,�x)� �� ������� �#� ����� (� <D1 >D2= ����� ��� ��. ������� ������ � ������ ���0�� �� ������ ��'������ �����>���� ��������� ����������� ��� ������ �� S2 ��� ������� @ S1� �#��0�� S2 ��� ��� �'��� � �������'����� �� �������� ���� �� �#�.� (O,�z) � (O,�y) � � ��'����� �� ����������������� ���� ������ �A����� <��� !���/ �� -+=�
���3 ��4�� � ������
%�� �/�8��� �� ������� ��������
O� �������� ��� ��� @ 3�>�� �'���� �#�� �#�.���� ��� �� 0���� 8� ������� � 0\��/�� '� �� ������ �� ������ '��� � ������ �������� <�� �$���� ��� 0��� �����������=�
�$�� 5��� 6������
-- "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
��� !��� G �� ���� ��� ���� �������
%� �/�8��� �� ������� �������
O�� 3�>�� �� ������� S1/ S2/ ���/Sn ��� ������ �� �� ������ ������� ��� �� �H�� �� �� �����������
F� ��� ���������� �� �������� '��������� ���� M�� �������� ����������N ��� ��0���/ �� ���'��� �� �������� �� "3����� ����� ��� ������ ��� ���������
F� ���� Oi/ �'� i ������ �� 0 @ n/ ��� ������ ������������� ��� �������� ����� ��� ��������F� ��� ����� ����� E
−−−→O0On = −−−→
O0O1 + −−−→O1O2 + · · · + −−−−−→
On−1On <!��=
�
�
�
�
��� !��! G !��.�� ������ ���������
%��� �� �� � �$����� 0�����A����'����/ �� ��� ����� E
−→AC = −→
AB + −→AC
"���� �������� ��� ��������� �� ���������� �� �������� ����� �#����� �#����������� �� ������'���� �� �� �������� � �������
F� ��� ���� ����� �� �������� �� �� 3�>�� ��������� �� ����� �0����� �� ������������� ��� ������� ���������� ��� ��B������ ������� ��������� �� 0����
�������� ������
!��1 ���C�� �� ����� -�
%��� �� �� � �$����� 0�����A����'����/ ��� ����� E
{V(3/0)
}={V(3/2)
}+{V(2/1)
}+{V(1/0)
}
������� � H ��� �(�� ����
>� ����� �� )I � O �� ������R0 (O, �x0, �y0, �z0). >� �� � ?
−→OA = a · �x0
−→OB = b · �y0
*� )���� P � ���� �� )I � O ��� ��� ������,������ �� ����� ��� �y0. �� �� �
−→AC = y · �y0.
*� ������ R (C,�x,�y,�z0) � ��� 5 �� )���� P9 ���� � α = ( �x0,�x) �4�� α ��� �� . *� )���� N� ���� �� )I � ��� ��� ������ ,������ ������� ��� �x0 ���� ���
−→BI = x · �x0.
*� ���6 ����� P � N �� �� ��� �� �� ���� !9 �� � ��� ��� ������� � ����� �(����� �� ���� ��� �� ��� �� �� !.
"�� ���4�� ���� ����� �� ,����� �� ��� ��� � ����� ����� �� ����� ������ ������ ��=���� � ������.
&��� �9 ��� ���4�� �=�� ��� ��� 0���� ��� ,���� ����� ��� �� �� ������� �� ���� ��������� �� ������ �� x � y.
!� 0�� ������ 1�� ����,����� 3 �� �6� ��� �� ���;� �� �� � ���� ��� ���� 0���� ������C ���� ���6 ������ �� � �������� �� �������� ��� ������. %��� ����9 ��� ������� �����;� �� ��4�� �(�6� . . . . . . .
�$�� 5��� 6������
-� "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
>� ���4� ���� �� ���� ��� ��4�� � ?
"�� ���4�� ���� � �=�� ��� ��� 0���� ��� ������ ����. %��� �� �� 0���� �� ��4������ ������ �� �������9 ��� ������� �� ���� . . . ��� �(������ �� � 0���� ���.
*� ���� ��� �� �� 4�� ��� ��6 �� �� � ��� � �� ���4��)��9 ����� �� 4� �� ��� �������� ���� ��� ������ x � y �� �� ���;� �� ��4�� �(�6� . . . .
>� ��� ���� �) ���� ��� ��� �(�� ��� �� �� �� �4��� 5 �� ������� �� ��=���� ����$�� �� �� ���������� �� � ���. & ��� � ��� �4�� )���� �� ����� ����� �� 4� ���� ,������
−−−−→V(I∈1/2) �� ! �� �� P � N �� 0��� ��� �� ������ �� �(�� ��� x9 ��� ���4��
�� 0���� �� ���;� �� �� �� ���� ��� �� 4� �� ��4�� �(�6� . . . .
%�% �/�8��� �� ������� ��$�����
O�� 3�>�� �����.� ��� �������� �� ������� 0���� ������� �������� $����
��� !��) G �� ���� �������� ' ����� � ���� ���
�� ���0�� $�������� � ����3� ��� H��� ���� ��� �� ������ E
λ = NLiaisons −NPieces + 1
�������� ������
!��1 ���C�� �� ����� -
�� ���������� �� ���0�� �� $��� ������������ ��'��� ������� ��� ��� ������� �3���� ������ 9� �� ������� ��� ��������� �� ���������� ��� '������� �� �� 0��� ��A�����/ � �� ��'���� @ ����� ��� '����� ���/ �� �0����� ��� 3��� $��/ - ������������0����� ���� ��� ������� ���� ��� ���������� �� �������� �� 3��� ������� <������ ����0����= �.������ �� ��� ������� �� ���0�� �� ��0������ � �������� <����� �� ������������=�
"� ���0�� ��������� �� ���������� �� ����� �� ��0����� �� �� ����� �#3$������������#�� 3�>�� �����.� �������
%�+ #����� �&/'$����������
%#� ����� �� '� ���������/ �� ������� ����� ��. ������� ������ �#Y��� ��� �������� ��0���� @ ��� �������� &��� �� �� �#��������� � ����� �� '� ������� � �$������/ ��������� ������ ���� �� ����������� ��� ������ �������� �#� ������ @ � �����
������� 8 �� �(�� �)���� 5 ��� ����
� � & � - # ! � 6 $ � - � & !
� 6 $ � * # � � & !
��� !��+ G ����������� ���������� ���� �������� ' 0 ���666
��� �� ��9 ��� ������ ���� ����� �� ������� ���������� ����� �� �� ����� ��������� �����$���� ����� ��� ���� �(�� �)���� �� �� ��. *� � ��� 1 �)���� 3 � ��$ � ����9 ���� �� 9 ��� �� ��;��� � �� ��9 �� ��� ��� �� �)���� 5 Q ����. *(�;�� �(�� ��� ����� ���� �� ����,� �� ���� �� ������ ���� �� � ��� ��� 4� ����� �� �(���$������ �� ������ ���� � ���� �� ��������� �� �)���� . >� ��� ��� ���� �� �)���� ����� � ����.
������ � ��'����� ����� ��. ������ �#���'������ ��� ���H�� ������� ���� �� ����� �� �$����� ��� ����� � �����
��� ����������/ ������ �� ������� ��� �������� ��� � ���0�� ������ �� ������ ��������/ �� �$����� ��� ��� �� � �����
�(�:(�(� �.����&�� �� �1�#� ��������
�#3$����������� ���� � �������� <� ���� �� ������ �� ��������= ������ E
G �� �������� ����������� ��� ������ ��������/
G �� ����������� �� �� �������� �� �#�����0�� <���������� �������=/
G �� �������� ��������� �. '�0������� <����������� �$�������=�
�$�� 5��� 6������
�1 "3������ ! A +������ ��� ������ ���� �(�� � ��� ���������
�(�:(�(� �����.������ �� �1�#� ��������
�� ��0�������/ �� ������� �� �� �������� �#� �$����� 3$���������� ���� 0������� �������/ ��� ���������� ��� ���������� ����������� �� ��������������� ���� �������������� �� �� ������� �� �� ������������� ������� H��� ��������������
�������� ������
������ �
��������� ��� ����� ���������
L �� 0���� �� �� ������� �������� ���������� ���������� ���� ���������� ����� @�#���������� ��� ����� ���� ������������� �� �� �$������ ��'�������� ��� �� �����
��C��� ���� ��� M�3$�����3��� �������� �������� &��3������N �� �-�� �� "�� ����� �������������� �� ��'������� � ���������� '������� ������� ������>��� �� ������ �� ����/�#����� ������� � �� ������ �#�� ����� "� 3������ ����� �� ������������ ���������� ������ ��� ������ �������� �.����� ��� � �$����� �� � ����� "��(���������� 3������ ��������/ �� ������ �� �������� ��� ����� ����� �� ������� � �� �$�������� ��� ������������� ��� �$������ ������
"�� ,��� � �5���
���� � � 5�◦ +�� �� ��C��� �� ) ����#� �� ���� ���6%�� ������ 5 �� ��0���� ��� ���4���,�� Rg9 ������� �� ,�������9 �� ���� �� ����� A9
����,�� �� �� �� �� ���� � �� ���4���� ��� ���,�� ���0����.
−−−−→V(A/Rg) = Cste
���� � � 5�◦ +�� �� ��C��� �� +�� $���������� �� � ���������6%�� ������ 5 �� ��0���� ��� ���4���,�� Rg9 ������� �� ,�������9 �� ���4���� �(�� ����
�� ����� A �� ��� m ���� 5 ������� 0����−→F 9 ��� �� ���� �
∑−→F 9 � �0�� 5
�� ���� ��� ? ∑−→F =
d−→pdt
⇐⇒∑−→
F = m · −−−−→Γ(A/Rg)
�S −→p = m · −−−−→V(A/Rg) � ������ 4�� ��� ���� � � �� ���4���� �� A ��� ������ 5 Rg.
���� � 8 5�◦ +�� �� ��C��� �� ) ����#� ��� ������� ��# �����6 � �� ���� �� ����� A1 �6���� �� �� �� �� ���� �� ����� A2 ��� 0����
−−−→F1→29 ���� A2
�6���� �� A1 �� 0���� ������ ?−−−→F2→1 = −−−−→
F1→2.
�� '� ����� ��������� ���� �� �� ��� �� ��� � ������������ ��� ���� (�� ���� ���� � ����)������ � ������� � �������� �� ���*������ �� ����)�� � �� �������� ���� ������ � � �� ������������� ����������
�$�� 5��� 6������
�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
"�� ����������
+ � � ����� �� �������
F� ������� �� ��� ���������/ ���� ��� ������0�� �� E
G ��������� � ���� �� �����0��/
G ���� � ������� �� ��'����� �#� ����/
G ��������� �� ����������� �� � �����
�������� �� *� ���� �� ��� ��� ��������� 5 �� �� ��� �� �(�� � ��� �� �����9 ����� ���� �� �� ����� ��� ��� �� T���� A������� �� ,�:B.
+ ��� ��� ��
"#��� �� ����� ������� ��������� ��� �� ������� (P,�F )� P ��� �� ����� �#������������ �� ���� �� �F � '���� ���� E
G �� ����� ������ �� �������� �#�B�� �� �#����� �������/
G �� �������� �� �� ���� ���������� �� ������ �#����������� �� �#����� ��������
F� ������� ����� �� �� 0����/ �#�.� ����� ��� �� ����� �#���������� �� �� ���� �� ����� �������� �� �� ����� O�� ���� �#�.����� �� "�# �� <�=�
+ % ������ �&��� ��� �
�� ������ �� ���� �#��� ��� ���������� �K����� ��� ��������� �� ����������� �������� ������ �������� �� ��������� �� ������� �� ��� �'��� � �����0�� �� ����� @������� �� ��'����� �� �������� �#� �$����� ��������� 8� �B��/ �� �� ����� � ��$�� @� �$����� �� ��. ����� �F ������ �� �������� @ 3��� �� ��� �.��������/ �� ��� �������@ ������ ���� �� ��� �.� ������ (O,�z)/ �� ���/ 0��� �� �� ����� ��� �B���� ��������� ��$�� ���� ����� �� ��� ��� ��������� �� ���3��� ���������� �� ��������� �� ��������#��� � �����0�� �#������ �������� @ ������ � ��'����� �� �������� @ � �$������������� ����������
O
z
�F
�F
��� )�� G +"�� �� ������������ �� ������ ����� ����
�������� ������
)�� ����� ��� �!
F� �������� ����� �� ������ �� ������ �#�� ���� �� � ������ F� ������� ������ ��M �#�� ���� �F �������� �� P / �� '����
−−−−−→M(M,�F) �� ��� �� E
−−−−−→M(M,�F) = −−→MP ∧ �F <)��=
�� ������−−−−−→M(M,�F) �#�� ���� �F �#�.����� �� "�# ��.�� �� <���=�
������� � �� �(��� ��� � <>� ����� �������� �(�� ��� ��������� �6����� ��� ��� ������� ���� ��0����� ���
��� �. >� ������� �(�� ��� ��������� �6����� �� �� ��� � ��� ��� 0���� �F ��������� ������ P .
�
)
�
�
� $ 5 5 � ! � � � � � # � 7 � � �
��� )�� G ����������� ����� ����666
>� ��� ���� �������� �� ����� �� ���� A �� �� 0���� �F �� � ����� �� ����� ��� �(������� �� 0���� ? −−−−−−−−−→M(A,�F→porte) = −→
AP ∧ �F
�(���� �� ����� ��� �� ������ 4�� �����9 ��� �4�� ��� �� 4�� ���−−−−−−−−−→M(A,�F→porte) � ��
��� ?@ �� ����� ��� �� ����� � �� ��,����� �� ���� 0���� ���
−→AP � �F 9
@ �� �� �� ����� � �� ���(−→AP ,�F ,
−−−−−−−−−→M(A,�F→porte)
)�� ����� 9
@ �� ����� �� ����� 4�� ?
‖−−−−−−−−−→M(A,�F→porte)‖ = ‖AP‖ · ‖�F‖ · |sin θ| = ‖�F‖ · ‖AP‖ · |sin θ|︸ ︷︷ ︸d
= ‖�F‖ · d
"���� ������� d ��� ������� �� )�� �� ��4���/ ��� ��������� @ �� ������� �� ��� ��������� �� ����� �� ��� � ������ <��'��� �� � �.� �� ��������= �� �� ������ �� �� �������������� ��� '�$��� �� �� �.����� ������ �#�� ��� �����0�� �� ����� � ������ ������ <� ����= �� ��. �������� ��B������� E
G �� �������� �� ������ �� ������ '������� '���� �H�� �� ������ �� �� ������ ��A�3����������� �� '���� �� � ������/
G �� �������� �� ������ ��� �3$���� �� 0��� �� ��'������� '������ �#�� �� �� �� ��. ���3���� ���� @ ��>������ ������������ ��� �� �����#3�� � �$�� �� �(�� <���� � ����/ ������� � �$�� �� �����/ ���=�
�$�� 5��� 6������
�) "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
"�� ������������ �� ������� ���������
�� �.���� ��. �������� �� ������ ��� ������ �������� ��������� @ � �$����� ������������ �#�� ���� �� ������� �������� E
G @ ������ �� ��� �������� �3$����/G @ ������ �� ��� ��������
+%� � ����� �� ������� ����������� �� ����������� 9 Σ
D�0����������/ ��� ���������� ��� ������� �� ����� ���� �� ������� ��\� @ �������� �� �$����� �������� Σ� "� �$����� �������� Σ ���� @ ��'�� � ����� �� ��������� �� ������� � �� �$�������
��� ��'��� ��� �������� ��� ������ �������� @ ������ �� ��� �������� ��� �������� �$����� Σ ������
��� �� ��� ��������� �6 ������� @ Σ ���� ��� ������ �������� ��� @ ��� �����'��A����� �.�������� � �$����� Σ ����� �� ��������� �.������� ∂Σ/ ��� ��� H��� �� ������� ����� �#� ������ �.������ �� Σ �� Σ/ � �#� �����/ �#� �������/ �#� 3������������ � �� ���������
��� �� ��� ��������� �� ������� @ Σ ���� ��� ������ �������� �.����� ��� ����������� � �$����� �������� Σ �� �� ���� ������� �� Σ� F� ��� �� ������ � ���������0�� E
G �B���� �� ����� ����� �������� � �$�����/G ����������� � �������� @ �#�������� � �$�����/G �B���� �� �3����� �� �� ������� � ���� ��� ������� �������� �� �$������
+% � ����� �� ������� �� ���� � �� 9 ������ �
F� ��� ���� ��'���� ��� ������ �������� �� �#��������� @ � �$����� Σ @ �������� ��� ������� E
• �� ��� ��������� �� ���� � 4��������/ � ������ �������� @ �������/ ��������'����� �� �#���������� @ ������� ����� � �$������ E
G 3��� �� �������� � �� ���'�������/G 3��� ��������� � ����������������
• �� ��� ��������� �� ���� � ��0������/ ��� ����������/ ����� ���'����� � ���������� ��. �������/ � ����� � ������ �� � I��� E
G ������� �� @ � �0����� <�.� � ��0���/ �'� � ���� �����������/������/������ � ��Q�.=/
G ������ �� ��������/G ������ �#������������
"�" &����������� � �� ������ �������� ���������
O�� ����� ������� ����������� ������ �� �#����� �#� ���� �� � ����� ��������� ����� � �� '���� �#� ���� ����� "���� ����� ������� ����������� ��� H���
�������� ������
)�) +������ ��� �(��� �� ��� ��������� ������ ���� �+
��������� ��� � �������(M,d�f(M)
)/ �'� M � ����� ����������� � ����� ������� �����
�� d�f(M) ��� �� E
G ‖d�f(M)‖ ��������� �#��������� �� �#����� ������� ����������� <�� ��?���=/
G �� ���� �� �� �������� �� d�f(M) ��������� �� ���� �� �� �������� �� �#����� �������������������
++� ��� �&��� � ���� �� ������ 9 ������ �
%��� � ��/ �� ����� �#����� ������� �� ������� '������/ �� ����� ������� ������������ ����� � ����� ������� �� '���� ����������� dV �
�#����� ������� ����������� ���� ����� ��������� ��� E
d�fv(M) = fv(M) · dV · �u <)��=
,'� E• fv(M) E ������� '������ �#�B��� <N ·m−3=/• dV E '���� ����������� <m3=/• �u E '���� ��������
�(�(�(� ������ �������� �� � #�������
�#����� ������� �� �� �������� ��� ���� ���������� ���� ��� ����� �� ������� ��� �$������/ #��� �� �B�� �� ���� ����� ������� �� ���� ��(��� ��������� 4�������/��� '������ 0����Y� �� ���� ��'���/ ���� ����� ������� ��� �������� ��'��� ��� ����������� �������� �.����� �� �� �$������
F� ����� M�#����� ������� �� �� ��������N � �� M�����N ��� ���������� �#������������ �.���� �� � ���� <�� ����� �= ��� �#��������� ��'������� �� �� ����� <���A'��� �= �� ��� ����� ����������� <�X�� � ���� �� �� ����������� ��������� �#��� ��� � �������������������/ ���������� �#�����>������=� "���� ����� ������� ��� '������� ���������� <��A����� '��� �� ����� �� �� �����=/ ���� ��� ��������������� @ �� ����� m �� � ����/ �� ������� ���������� ��� g/ �#���������� �� �� �������� ���� ��� �������� �� '���� ��$����9,81 m · s−2� �
�������� �� � �� ��� 5 )��� �� ��,��� ��� � ����9 �� ���,�,� ������ �� �����������9 ��� �� 0�� �� ���6 ���� ������� �� �� ����� ��� ���� ��=���� �9 ����� � ��� ,������� �� ������� �� ����� ��������9 ���� ��� �� ���� ������ �� ������� ���� ��� ��� ������ �� ����� � ����,�.
9��� � ������ S/ �� ����� '������ ρ/ ����� � 3��� �� �������� ��������� �g��#����� ������� ����������� ��� � ����� ������� �� '���� dV ����� �� �� ����� P�� S ��� �� ��������� ��� E
d�P = ρ · �gdV�� +������� � � ��� ���,���� � ����� � ��� ��� ������ � � ����� � ������� ������� ����
����� ���(���� � ������������ ������ � ������ � ������������ ���� ����� �� ,���� ������������� -� ������� ������ ��� ��� 9,78 m · s−2 � ���(����� � 9,83 m · s−2 �� �� �� �� �.��� ���
��/���� ��� ��� � �������������� ������0���� � � ������������� �������
�$�� 5��� 6������
�- "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
�
� 8 " 8 �
�
� � �
��� )�! G -���� �������� �� �� ������� �� �� ����� S
F� ��� ��� �� ������ �#����� ������� ���0��� �� �� �������� �� �� ������ S�������� E
�P =∫
Sd�P =
∫Sρ · �gdV = ρ ·
∫VdV �g = ρ · V �g = m · �g
�(�(�(� ���� � ����� ���
��� ���������/ �� ������� ��� �� �(���� �� �#� �$����� �������� Σ �� ����� ������ m/ ��0��$����� �� ��� ��� ������ M � �$����� �������� Σ �B���� �� ��� ����� ������������������'� dm� "� ����� �#��� ����� �#@ ������ ��� ������� ����������� � �$����� �� ���� �� @ ������ � ��'����� � �� �#��'���������� ���� ����� �'��� Σ�
∀Q, −→QG =
1m
∫Σ
−−→QM · dm <)�!=
F� �� ���� ���������� �� �������� ��'���� �� ��� ���� ���� ���� ��� �� ���� E
∫Σ
−−→GM · dm = �0 <)�)=
�������� �8 � �� ���9 �� �� 0�� �� ���0����� ��� �� �(���� �� � ��� �� �� ,��4� ��(�� �����. &� �=� 9 �� ��� �� �� ,��4� � � ����� ����� � �� �� ���� �(������� ��� ���� ���� �� � �� �� ��� �� �� ,��4� � �� �� � ��� �� ����� ��������9 �� ������ ���� ���(��4��������� ��� ������ � � �� �� � ��� � ��� ��� ����������� �� ����� �� ,��4� ���� ������ �� � ����,�. %��� �� � ���9 �� ��4��� �� ��9 �� ���6 ���� ���� ��������0���� � �� ��� �� �(���� �� ��� �)��4���� �� � G.
�������� �� %��� �� � ��� Σ ������ �(�� ����)�� �� �����9 �� ��� �� �(���� ��G �� � ��� � ����� ����� � �� �� )������ �� �� ������ �� ��� �� �(���� �� �� ������������ Σ �=�� � �� ���� ��� ����� �4�.
∀Q, −→QG =
1M
n∑i=1
mi−−→QGi M =
n∑i=1
mi
�������� �9 (�� �6� � �� ������ �� ��� ��� �� ����� ���� �� � ��� Σ A���� 9 �6��� ����B9 �� ��� �� �(���� �� ����� ��� �)��,� ������� 5 �� ������ .
�������� ������
)�+ +������ ��� ������ �(�� ����)�� �(�� ��� ��������� ��
9� �� 3��3� @ ����� �� ������ ��'������ ��� �#����� ������� �� �� �������� ������ G/ �� ���'� E
−−−−−−−−−−−−→M(G,pesanteur→S) =∫
S
−→GP ∧ ρ · �gdV =
∫S
−→GP · ρdV︸ ︷︷ ︸
�0
∧�g = �0
F� ���������� ��� �#����� ������� �� �� �������� ��� � ������� �.����� �� G E{F(pesanteur→S)
}=
G
{−−−−−−−−−−→R(pesanteur→S) = m · �g�0
}
++ ��� �&��� � ���� �� ������ �� ���� �
%��� � ��/ ��� ������ �������� ���� ������� � ����� ����� ��� ����/ � ���� ������ ������ �������� �� ������� �������� �� ����� ������� �������� ���� ��� � ������������ �� ����� ����������� dS� �#����� ������� ����������� ���� ����� ��������� ��� E
d�fs(M) = fs(M) · dS · �u <)�+=
,'� E
• fs(M) E ������� ������� �#�B��� <N ·m−2=/
• dS E ����� ����������� <m2=/
• �u E '���� ��������
�������� �� ��� �� �� �� �� ��� ��������� �� ���� � �������� A���)���� ����9�������� ��� ��)� �����B9 �� �� � ������ �������� ��� �� �� � ������ �� ���,���� ���$��� ���� dl. *(�� ��� ��������� ��� ���� �������� ��� ?
d�fl(M) = fl(M) · dl · �u <)�-=
�4�� ?
• fl(M) ? ���� � �������� �(�=�� AN ·m−1B9
• dl ? ���,���� ������ ���� AmB9
• �u ? 4�� ��� ��� ����.
"�% &����������� ����� � �� ���6� � ������� ���������
O�� ����� ������� �#� �$����� �������� Σ1 �� � ���� �$����� �������� Σ2 ����� ������� �� �� ��0������� ��� �B��� �#�� ������� �#������ �������� ������������ ��������� '������ � ��������
"���� ��� �#�'��� ' �����������/ 3��� ����� ������� ����������� ��� ��A������� ��� � �������/ #��� @ ���� � ����� �#���������� Mi ����� �#� '���� d�f(Mi)��#�����0�� �� �� ������ �������� ������������ ����� �#����� ������� �� Σ1 �� Σ2/
�$�� 5��� 6������
�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
�� �� �������� ��� � 3��� �� '����� d�f(Mi) �� ��� �����Mi � '���� � �� �� �������������
�������� �: *� ����� � ��� �� �� ��� ������ ���� �� �� ������� �������� A4������� ��0���B ��� �� �� ��=���� ��� ? ���0����9 ��������9 � �. *� ��� ��� ��4�� 5 �� ����$��� �� ����� ��� �(������ ���� � �� ����� �� ��� �� A���4� �B � �� ��� ��� �� ���������� � ������� ������ �� �� �,�9 4����� ���4�� �������� ������ ��� �� ��� ��� ��� � ����4��,� �� ������ �� ���������. *� ����� ��� ���� � � ���� ?
p < pmatage
!� � ���� ����� �� �� �4��� �� ������� �� ������ �� ��� �� �� �� ���6 ����� 5 ��� ���� ������� ��� �� ����� � ��� �� ������.
) �� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $ ) �
� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $
��� )�) G �������� �� � �� �� �������� ������� �������� ����������� �� �����
"�' &����������� ���6�� � �� ���6� � ������� ���������
�� ������������ ����� ��� ������ �������� ������ �� 0��� ������� �#�B�� M����N �
��� ������ �������� �� � �$�����/ � �� ��� ��� �����H� ������ ��� ��������� ��������������� �� � �$����� <�������� ���������/ �������� �� �����=�
"��������/ ���� ������������ ��� ���� ����� @ ������� �� ��� �$������ �����.�� <���� �#����������= � ���� �� �� ������� �#�� ������� �� ������ @ ������� ���� �#�� ����������� � �$������/ #��� @ ���� ������ �#�� �#��������� �. ��'������ � @ �#�����0���#� �$�����/ �� ������������ ��� ���0��� ������ �� ����������� �K������ �#������������ �#� �$����� �������� �� � �����
+2� 1����-�� ��� � ����� �� ������� ���� ��� ��� �� �'��(�� ��������
%#�� ������� ��������/ �� � �$����� �������� Σ1 �.��� �� � �$����� �������� Σ2
� �����0�� ��� �#������ �������� ���������� ��� p �����−→Fi �. ������ �#����������
"� 1��� � ���� ������2
�������� ������
)�- +������ ��� ,��)��� �(�� ����)�� �(�� ��� ��������� �
−→F1
−→F2
−→Fp
1P
2
Σ
PpPM
yg
g
gx
O
z
��� )�+ G !��.�� �������� ���� ' �� ������� ������� ��������
Pi/ �� ��� ���������� �#�����0�� ��� ������ �������� ��������� @ � �$����� ����������� ��. '����� E
G �� ��������� ��� ������ �������� �.���� ��� Σ1 �� Σ2 E
−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =p∑
i=1
−→Fi <)��=
G �� ������ �������� ���� � ����� M ��� ������ �������� �� Σ1 �� Σ2 E
−−−−−−−−→M(M,Σ1→Σ2) =p∑
i=1
−−→MPi ∧
−→Fi <)��=
�������� �� � �� ������� 5 �� ����� �� �� ������� ��� ������� �� ���6 4�� �������� ��$���9 ��� ���4�� ���� ��� ?
@ *� ���� �� �−−−−−−→R(Σ1→Σ2) ����� ���� �(�=� �� �(����)�� �� �� ��� ��������� �� Σ1
�� Σ2 ����� �� �� ������� �� A�� ��B ���4���� �� ����� ��� �� Σ2.
@ *� ����� −−−−−−−−→M(M,Σ1→Σ2) ����� ���� �(�=� �� �(����)�� �� �� ��� ��������� ��
Σ1 �� Σ2 ����� �� �� ������� �� A�� ��B ���4���� �� �� � ��� �� Σ2.
�������� �� �� � ������� ��� ����� �� ��,������ �� �� ��� ��������� ������$ ���� �(�� � ��� �� ����� �� �� �� �� ��� ��� �� ��,������ ��� �6����� �(����)���� �� ��� ��������� �6 ������� ��������� 5 �� ����� �� 5 �� � ��� �� �����.
+2 0������ ��� � ����� �� �������
�� ������ �������� ��� ������ �������� ��������� � �$����� �������� Σ2 '������� �������� �� 3�������� �� ����� �#� ������� F� ��� ��� �������� �� ��������� ���
�$�� 5��� 6������
�1 "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
������ �������� �� �� ������ �������� ���� �� ������ ��'��� E
{F(Σ1→Σ2)
}=
M
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =p∑
i=1
−→Fi
−−−−−−−−→M(M,Σ1→Σ2) =p∑
i=1
−−→MPi ∧
−→Fi
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭
<)� =
"� ������ ��� ������ �� ����� �� �� ��� ��������� � �$����� Σ1 ��������� �� ���$����� Σ2�
"������������ �. ����� ������� ������� �� �������/ �� ������ ��� ������ ���A����� ��� ��'��� �.������ ��� ����� �� ������� E
{F(Σ1→Σ2)
}=
M
{X · �x+ Y · �y + Z · �zL · �x+M · �y +N · �z
}=
M
⎧⎨⎩X LY MZ N
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
<)��1=
�������� �� �� 0�� �� %������� �� �� ��� ����������9 �� ����� �� �� ��� ����$����� �� ������� �� � ��� Σ � ��� ����� ���.
∀M{F(Σ→Σ)
}=
M
{0}
<)���=
�� � �������� � �� � �� ����� ���� ��� �� ����6 �� � ��� 5 �����. &� �=� 9 ��������� ���� �� ���� ���� � ���� �� � ��� Σ � ����9 ��� ���J�� ��� ��� �=�� 5�(�� ������ �� 5 �(�6 ������ �� �� 0��� ���� �� � ��� � ���� ��� �� 0���� ������C �� ���� ��� �� ���� ��� ��� �� �(������� ��� �� %������� '������� �� �� �� � ���� �� ���� ���������.
+2% ��� ��� � ����� �� ������� ������������
%��� �� �� ��� ������ �������� ������������ �� ������� ������� � '������/ ���.���� �� ������� �� �� ������ �������� �������������
��� �� ��'��� ��� ��� ������� �� ����� ������� ��� �������� �� ��B������� �A����� ��������/ ���� ��� ���������� �� ����� ������ ������ �� �� ������� ��������<����� � '����=/ #��� @ ����/ �� ������������
%��� �� �� �#�� ����� ������� �� ������� ������� <����� �� �����=/ �� ��������������� ��� �� ����� �� ����� �� Σ1 �� Σ2/ �� �B��� ����� �� ��������� ��0�� ���� ����� S E
{F(Σ1→Σ2)
}=
O
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =∫∫S
fs(M) · dS · �u
−−−−−−−−→M(O,Σ1→Σ2) =∫∫S
−−→OM ∧ fs(M) · dS · �u
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭
<)���=
�������� ������
)�� *� ��� �� ������) ��
) �) �
� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $
� 7 � ) � � 9 7 � ) � � 8 � � 8 $
� � � � � � �
� � � � � � �
% � /
%
��� )�- G ����������� �������;����������� ����� ��� �� � ���� ����� ��������
%��� �� �� �#�� ����� ������� �� ������� '������ <����� @ �������=/ �� ��������������� ��� �� '���� �� Σ2/ �� �B��� ����� �� ��������� ������ �� �� '���� V2 E
{F(Σ1→Σ2)
}=
O
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−−−−−−→R(Σ1→Σ2) =∫∫∫
V2
fv(M) · dV · �u
−−−−−−−−→M(O,Σ1→Σ2) =∫∫∫
V2
−−→OM ∧ fv(M) · dV · �u
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭
<)��!=
"�( ,� ���� � �����6
�����#� ���� ��� �� ��'�����/ �� ��� ��(��� ����� @ ��� ����������� <��������� ���#��� � �� �#��/ ���������� �� �� ���� �� �� ���/ ���������� �#�� 0���� �� �� 0��� ����� ��������/ ���=� "�� �������� �.����� �� �� ���� �� ����� ������� �� �#������ @�� '�������
9�'���/ ��� ���������/ �� �������� �� ����������� ��������0���/ �� �������� ����� �������������� ���� �� �#������� �� �� ������� �� ��� �������� �0���� ��'��� �#�� ���'�������� �� %��� �� �� ��������/ �� ��� ����� ����� ����� �� �#�B�� �� � ���������� <� ���#��3�����= ���� ��� ������
F� ����� ��� ������ �������� �� ����������� �� ��. ������ E
G ��� ����������� �������/
G ��� ����������� '����.�
�����#�� �#���� �#� ���������� ������/ �� ��� ��������� �#����� ������� �� ������A����� ���� ����������� ������������ �� �� '������ � ����� 9� �� ���� ��� ����� @��� ����������� '����./ �#����� ������� �� ����������� ��� ����� ��������������� @ ��'������ � �����
��� ���� �� �� ���������� ������ ��� ��� ���������� ��� �� P*◦ ����� ��� +��� � �� ����� ��� ���� �������� ����Q �������� ���������� ��� ��� ��'������� ��� �� �3$�����
3� ��� ��� ��� ������ �� ��4� � ���� � ������� �� �5��)� � � �� ��� ��� �������� ����� ������� ���������� � �� ���������� �� ����� � ��!��� � ����)� ������(�� ���� �6� ���� �� ,������������ ��������� � ��������
�$�� 5��� 6������
�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
�1� �� ��&����� �� �����* <��!-A��1-= @ �� �� � ��◦ ������ 8���� ���������� �� �A��������� ����Q ���������� ��� ������ ����� ������� �'� � ���������� � �� �#��3����� ��
���� ��� 8 ���)���,��
*� �� ���0������ � ��� ��� 5 ��� �� �� ������ ,������ ���0��� A0�� ��B � ��,�A������9 � ���B9 �� � � � ������ �� PU7V ��� �. ������ ���� ���,��� �� ������ ���� ���� �� ��������� ���� �)�� �� � �������� ������ ���6 ���� �� ��� �� �� ������(�� ���4���� ���� �0. &��� �����4�� �� �� �� �� �� �� ������� �� 0�� ���� 9 �� �(����� �� �� ��)����� ���.
+3� ������������ �� ��� ��� � ����� �� �������
F� �������� ��. ������� S1 �� S2 �� ������ "� ����� ��� ��������� ��� �� ������� ����� S�
F� �� ���� �� � ����� P ������� �� S �� �� �.����� �#����� ������� ������������� ����� �� S1 �� S2�
d�f(P ) = f(P ) · dS · �u <)��)=
�� ��� ��(��� �����0�� �� ������ � ����/ ����� π/ ������� @ �� ����� �� ����� S�� S2 �� S1/ � ����� P ��������� F� ��������� � ���� π/ �� ���� ��,�� �� ��� �� � "����� ��� H��� ����� ��� �� �������/ ����� �n(P )/ ���� ������� ����� ������/ ��� ��'������/�������� ��� ������� @ S2 <�������� '��� �#�.������ �� S2=�
)
� �
� �
&
� 7 � ) �
� 7 & � ) �
� 7 ! � ) �
��� )�� G ����������� �� ����� ����� ���" �� S1 �� S2
��� ��'��� ����� ���(���� �#����� ������� ����������� � ����� P ��'��� �� ���A���� @ �� ����� �� ����� S � ����� P �� ���� �� ���� ������� � ����� � �����P �
d�f(P ) = d�fn(P ) + d�ft(P ) <)��+=
7� +�������� ���� � ��� �� �� ������������ ����� ���� �������� �� ���� �� ������ ����� ��������
�������� ������
)�� *� ��� �� ������) �!
F� ��� ����� ����� E
d�f(P ) = fn(P ) · dS · �n(P ) + d�ft(P ) <)��-=
�#����� ������� ������� �� S1 �� S2 �#�.��� ��(��� '��� �#�������� �� S2�/ ����
��� ���������� ��� �� ������ �� ��� �� / ����� p(P )/ ��(��� ������'�� F� ��� ���������� E
d�f(P ) = −p(P ) · dS · �n(P ) + d�ft(P ) <)���=
�������� �� *� ��� �� ������) �� ��� ��� �� ��4������� ��� ���� �� ������ ��������4�� �� )��� �� ,��������� 5 �� ������ ,��)�� �(�� ��� ���������.
�������� �� "�� 4����� �� ��� ��� ��� ��� �� ���� �� � ���� � ��� �� ������ ��������� ��� �� ����� �� �(�� ��� ��������� �������9 �� ���� ��� �������9 ������ ���� �� �� ��� ��������� ��������� �� ���� S2 ���� ��� �� ����� ��� �� ���4���� ���(������)�� �� ���� S2. &� ����������9 ������ d�fn(P ) = �09 �� ��� �� ���.
��� �� ������������� �� �#����� ������� ����������� ������������ d�ft(P )/ �� ��� ���������� � ��'����� � � ���A��'����� � ������ S1 ��� ������� � ������ S2� ����'��� ��� ��. �� @ ������/ �'� � ���� ��'����� ��������
+3 ��� �� ���� � ��� ����������
%��� �� �� �R �� $ � � ��'����� ������� ����� S1 �� S2/ �� ��� ������� � ��'�������� �� '������ �� ���������� ��� ���� � ����� P ���������
−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0 <)���=
%��� � ��/ �� $ � ���������� �� ����������� ����� ��� ������� S1 �� S2� �3$��������/��� ���������� �� �� ����������� �#�������� � ��'����� ������� �� S2 ��� ������� @S1� "����0 � ������/ �#�� �������� �����.�������/ �� ��� ��������� �� E�◦ �� ; d�ft(P ) �#�.��� S1 �� S2 ��� ������ ��� �� �H�� ������ ��
−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)�
�◦ �� ; d�ft(P ) ��� �� ���� ������ @−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)�
�◦ �� ; ‖d�ft(P )‖ ��� ��������������� @ �#����� ����������� ������� ‖d�fn(P )‖�
‖d�ft(P )‖ = f · ‖d�fn(P )‖
��� ����� ���� �A����� ��'��� H��� ������ ���� �� �������� �������� E
d�ft(P ) = −f · ‖d�fn(P )‖ ·−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)
‖−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)‖<)�� =
8� 9� ,���� �� ������� � �� ����������� �� ����� S2 ���� � ����� S1� ��� �� ,��� ������� ���
�$�� 5��� 6������
�) "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
f ��� ��� � ����� �� ���������������� ����� d�ft(P ) �� d�fn(P )/ �� ��� ������ ��K������ �����������
f �#��� ������� �� �� �� '������ �� ����������/ �� �� �� ������� �������/ �� �� �� ������� �����/ �� �� ������ �� E
G � ���� �� ������� �� S1 �� S2/
G �� �#���� �� �����/
G �#�� �'������� �0���������
F� ��� ������ �� ��K���� �� ���������� ��\� @ �� ������ �� Y�� �� ���������� ������A����� �#�'����� ϕ/ ������ ����� �� ����������/ ��� �� f = tanϕ�
)
� �
� �
&
� 7 � ) �
� 7 & � ) �
� 7 ! � ) �
�
" � ) ( � � � � � �
��� )�� G :����� �� <�� �� ����������
9�−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0/ ����� �#����� ������� ����������� �� ����� � ������ S1 �� ��
������ S2 � ����� P / d�f(P ) = d�fn(P ) + d�ft(P )/ �� ���� �� �� Y�� �� �����������
+3% ��� �� ���� � ��� ��/���� �
��� ���������/ �� ��� �#�� $ � ��3����� ����� ��. ������� �� � ����� �� ����� P / ����� ���� �� �� '������ �� ���������� ��� �����
−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0 <)��1=
�#�.������� ������ ��−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) ����� ���� ���� �� ‖d�ft(P )‖ �#������� ��� �� '����
‖d�ft(P )‖ = f0 · ‖d�fn(P )‖� %��/ ������ �� '������ �� ���������� ��� ����/ ‖d�ft(P )‖ �����
��������� @ f0 · ‖d�fn(P )‖ �� d�ft(P ) ��� ������� ���� �� ���� ������� � ����� π��� ��������� f0 ��� ������ ��K���� �#��3�����/ �� ��� ������� � ��K���� ��
���������� f ��� � ����� ������9�
−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �0/ ����� �� ��������� ��� ������ �������� �� ����� � ������ S1
�� �� ������ S2 d�f(P ) = d�fn(P ) + d�ft(P ) ��� @ �#�������� � Y�� �#��3����� �� ����A������#�'����� ϕ0 ��� �� f0 = tanϕ0�
�������� ������
)�� *� ��� �� ������) �+
)
� �
� �
&
� 7 & � ) �
� 7 ! � ) �
� 7 � ) �
��
��� )� G :����� �� <�� ����������
�������� �8 5������ �� $ �������� �� ����1 ����6&� ����� �9 �� ���2���� �� 0�� ���� �(� �� ���������� �� �� 4� �� �� ,������ 9
�� �4��� ��� ��� �� ����� � ��� �� ����)� ��$����.
f0
f
"��K���� �� ����������
−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1)
��� )��1 G +�������� �� ��=���� �� ����������
"�� ���4�� �������� � ����� �� ������� ��� ��� ����� ��4�� � ?@ ���� ��� 4� �� �� ,������
−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) = �09 ��� ���4�� � ����� �� ���2����
�(��������� f09@ �� ��(�� � � ��� 4� �� �� ,������
−−−−−−−−→V g(P∈S2/S1) ��� ����� ���� ��� � ����� ��
���2���� �� 0�� ���� f = Cste.
��� ���' �� ������� f0 f�� �0���� �� �0����
,���;,��� 1/� @ 1/! 1/�+ @ 1/� 1/� 1/��,���;7���Q� 1/� 1/�� @ 1/� 1/�+ 1/1�,���;C������ 1/! @ 1/) 1/�+ @ 1/!+,���;�4C8 1/1� @ 1/) 1/1� @ 1/1� 1/1! @ 1/1+���; ��� � 1/+ @ 1/- 1/! @ 1/+
�$�� 5��� 6������
�- "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
+3+ ��� �� ���� � $������
9�/ ���� � ����� ����� ��. �������/ �� ��K���� �� ���������� f ��� ��/ ����� �#������������ �� ����� �#��� ������ �� ��� �� ������� −→n @ �� ����� �� ������ �� ������������������� d�ft(P ) ��� ����� ����� �� ����� ��� ����� ��� M���0�� N�
"�) &����������� ���6�� �� ������� ��������� � �������
O� ����� ����� ��. ������� ��� H��� ������/ ������� � �������� ��� �'��� '����������� <��� !����/ �� )+= �� ���� ��� ��� ��/ �� ����� �� ���� �� �� ����������� <����������� ����� ��� ������� � ��'�� � �����=�
��� ��'��� ��������� �#�����0�� ��� ������ �������� ������������ �� ����� �������. ������� S1 �� S2 @ ������ �#� ������ �#������ �������� <������ ���0��=�
{F(S1→S2)
}=
I
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−−−−−−→R(S1→S2) =∫∫S
fs(M) · dS · �u = −−−−−−→N(S1→S2) + −−−−−→T(S1→S2)
−−−−−−−→M(I,S1→S2) =∫∫S
−→IM ∧ fs(M) · dS · �u = −−−−−−−−→Mp(I,S1→S2) + −−−−−−−−→Mr(I,S1→S2)
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭
<)���=
%��� � ��/ ��� '�$��� ������>��� � ������ �� ��� ��'��� ���(���� �� �� ��������n(I) � ���� ������� � ����� � ����� I �������� ����� �� �� �� ���� ������� � �����π�
−−−−−−−→M(I,S1→S2) = −−−−−−−−→Mp(I,S1→S2) + −−−−−−−−→Mr(I,S1→S2) <)���=
F� ������ ����� �� ������������ ���3� �� ���� ���� ��� ���� �� "����0 ��� ������� �������
�
� �
� �
&
: � � ( � � � � � �
: � � � ( � � � � � �
: 5 � � ( � � � � � �
� � � � � � � �
� � � � � � � � �
� 5 � � � � � � �
��� )��� G :����� �� ������� �� ��������� �� �� ���������
�������� ������
)� %������ ��4������� ��� ��� �� ��� ��������� ��
+4� �������� � �� $���������
�� '���� � ������ �� ��������� � ��'������� ������ � ��'����� �� S2 ���������� @ S1 �� ��� �������������� ��
−−−−−→Ωp(S2/S1)/ <��� ����!/ �� !)=��� �.���� ��. �� EG 9�
−−−−−→Ωp(S2/S1) = �0/ ����� E
−−−−−−−−→Mp(I,S1→S2) = −δ · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ ·−−−−−→Ωp(S2/S1)
‖−−−−−→Ωp(S2/S1)‖<)��!=
G 9�−−−−−→Ωp(S2/S1) = �0/ ����� E
‖−−−−−−−−→Mp(I,S1→S2)‖ ≤ δ · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ <)��)=
δ ��� �� ��������� �� ��������� � ��'�������� �� ��� 3������� @ ��� �������
+4 �������� � �� ���������
�� '���� � ������ �� ��������� � �������� ������ ���� � ��'����� �� S2 ���������� @ S1 �� ��� �������������� ��
−−−−−→Ωr(S2/S1)/ <��� ����!/ �� !)=��� �.���� ���� ��. �� EG 9�
−−−−−→Ωr(S2/S1) = �0/ ����� E
−−−−−−−−→Mr(I,S1→S2) = −η · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ ·−−−−−→Ωr(S2/S1)
‖−−−−−→Ωr(S2/S1)‖<)��+=
G 9�−−−−−→Ωr(S2/S1) = �0/ ����� E
‖−−−−−−−−→Mr(I,S1→S2)‖ ≤ η · ‖−−−−−−→N(S1→S2)‖ <)��-=
η ��� �� ��������� �� ��������� � ��������� �� ��� ���� 3������� @ ��� ��������#�B�� �� �� ������� ����� ������������ ���0�� ��'��� ��� ��� ������ �������� ��
�������������/ ��� ���� ��� ������������ �������� ���� ��� ����� ��
"�* �������� ��!��� �� �� ������ ��������
+�� :������ � ������$$�� $�� ��� ��� �
��� ���������/ �� ������� ������� �� �� ����−→F / �� ������� ����� ��� E
P(−→F →M/Rg) = −→F · −−−−−→V(M/Rg) <)���=
• �� ������� ������ � ����������� �#�����• �� ������� ��� ���� �� �� ���������� ��� ������������� @ �� ���� <��� �.����� E
���� �� �������� �� ���������� 3���Q�����=�• 9� P > 0/ ����� �� ������� ��� ������ <�#�.������ ������� �� �#������� � �$�����=�• 9� P < 0/ ����� �� ������� ��� ���������� <����� �#������� � �$�����=�• O���� 9��� E W��� <W=
:� &�� ���� ����� ������� ���� ��4���� � �������� !�������
�$�� 5��� 6������
�� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
+� :������ � ������$$�� $�� �� �'��(�� �� ��� �� �$$������� �� ���$����� �������-��� �&�� ������
9��� � ������ �������� S �� ��'����� ��� ������� � ����������� �������� Rg (O, �xg, �yg, �zg)�
−→F1
−→F2
−→Fp
P1
P2
(S)
pP G
xg
zg
yg
O
−−−−→V(G/Rg)
−−−−→Ω(S/Rg)
��� )��� G !����� �������� ���� ' �� ������� ������� ��������
9�� ������ ��������� ��� ��� �� G�
{V(S/Rg)
}=
G
{ −−−−→Ω(S/Rg)−−−−−−→V(G∈S/Rg)
}
"� ������ ��� ����� @ � �����0�� �#������ �������� ��������� ��� p �����−→Fi ��
������ �#���������� Pi� F� ��� ���������� �#�����0�� ��� ������ �������� ���������@ � �$����� �������� ��� �� ������ ��'��� E
{F(S→S)
}=
G
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
−−−−−→R(S→S) =p∑
i=1
−→Fi
−−−−−−−→M(G,S→S) =p∑
i=1
−−→GPi ∧
−→Fi
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭
��� ��'��� @ ������� ����� �� ������� P(S→S/Rg) ��'������� ��� ��� ������
�������� ������
)� %������ ��4������� ��� ��� �� ��� ��������� �
�������� ��������� �� �� ������ S�
P(S→S/Rg) =p∑
i=1
−→Fi ·
−−−−−→V(Pi/Rg) ��
−−−−−→V(Pi/Rg) = −−−−→
V(G/Rg) + −−−−→Ω(S/Rg) ∧−−→GPi
P(S→S/Rg) =p∑
i=1
−→Fi ·(−−−−→V(G/Rg) + −−−−→Ω(S/Rg) ∧
−−→GPi
)
P(S→S/Rg) =p∑
i=1
−→Fi ·
−−−−→V(G/Rg) +
p∑i=1
−→Fi ·(−−−−→Ω(S/Rg) ∧
−−→GPi
)
P(S→S/Rg) =p∑
i=1
−→Fi ·
−−−−→V(G/Rg) +
p∑i=1
(−−→GPi ∧
−→Fi
)· −−−−→Ω(S/Rg)
P(S→S/Rg) = −−−−−→R(S→S) ·−−−−→V(G/Rg) + −−−−−−−→M(G,S→S) ·
−−−−→Ω(S/Rg)
F� �����'� �� ��������� ��� �������� �� �������� � ������ ��� �B���� �.������� ������� S �� � ������ ��������� �� S ��� ������� @ Rg� F� ��� ��� ����� ���� ����������� �� ����� � �������� ��� ������� ��� �B���� �.������� �� ����������
P(S→S/Rg) =G
{F(S→S)
}⊗
G
{V(S/Rg)
}=
G
{ −−−−−→R(S→S)−−−−−−−→M(G,S→S)
}⊗
G
{ −−−−→Ω(S/Rg)−−−−−−→V(G∈S/Rg)
}<)���=
F� ��� �� �� ��������� M���'����� @ �� �����������N �� �� �� ������ M���'����� @ ����������N�
+�% :������ � ������$$�� $�� ��� �����;�<����
9��� ��. ������� S1 �� S2 �� ��'����� ��� ������� @ Rg (O, �xg, �yg, �zg)���� ���������� ��� �� ������ ��������� �� S1 ����� �� ��� �� S2 �� � ����� I
�� ������� ����� ��� ��. ��������
{V(S1/Rg)
}=
I
{ −−−−−→Ω(S1/Rg)−−−−−−→V(I∈S1/Rg)
} {V(S2/Rg)
}=
I
{ −−−−−→Ω(S2/Rg)−−−−−−→V(I∈S2/Rg)
}
"�� ��. ������� ���� ������ ��� �� ������� ����� �� ��� ����������� �� ������ ��������� �������� �� S1 �� S2� %� �� �H�� ��T��/ ��� �� S2 �� S1 �� ��� ��� ��������� ��\� @ �� ��������� ��� �� ��?����
{F(S1→S2)
}=
I
{ −−−−−−→R(S1→S2)−−−−−−−→M(I,S1→S2)
} {F(S2→S1)
}=
I
{ −−−−−−→R(S2→S1)−−−−−−−→M(I,S2→S1)
}
�� ������� P(S2↔S1) ��'������� ��� ��� �����A�B���� ����� S1 �� S2 ��� �#����� ����� ����� ��'���� E
�$�� 5��� 6������
1 "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
P(S2↔S1) = P(S1→S2/Rg) + P(S2→S1/Rg)
P(S2↔S1) =I
{F(S1→S2)
}⊗
I
{V(S2/Rg)
}+
I
{F(S2→S1)
}⊗
I
{V(S1/Rg)
}
P(S2↔S1) =I
{F(S1→S2)
}⊗
I
{V(S2/Rg)
}−
I
{F(S1→S2)
}⊗
I
{V(S1/Rg)
}
P(S2↔S1) =I
{F(S1→S2)
}⊗[I
{V(S2/Rg)
}−
I
{V(S1/Rg)
}]︸ ︷︷ ︸
I
{V(S2/S1)
}
P(S2↔S1) =I
{F(S1→S2)
}⊗
I
{V(S2/S1)
}
��� ���'��� �#�.�������� �� �� ������� ��'������� ��� ��� �����A�B���� ����� �� ������S1 �� S2 �� ������� � ������ ��� �����A�B���� �� � ������ ��������� E
P(S2↔S1) =I
{F(S1→S2)
}⊗
I
{V(S2/S1)
}<)�� =
�������� �� *� ������� ��4������� ��� �� �� ��$�=�� �� ��� �(��� ������ � ��$�������� � �� ��0���� ��� �� ������.
�������� �9 ��� �� �� �S �� ������ � ��� ������ ���0�� � A�� 0�� ���� B9 ��������� ��4������� ��� �� �� ��$�=�� �� �� ������ � �)��,� ������� �����. ��� ����9 �� ����� �� �� ��$�=�� � �� ��������� �� ����� ������ ����9 �� ������� �����6 ����� � �� ��� ������� ���.
"��3 2����� �� ������� ����������6�� �� �� �������� ����7����� ������
��� �'��� ' ���� �� 3������ �������� <����� !�!/ �� )-= �#�� �.������ ��� �������������� ������� ��� �� ������������ ����������� %��� �� �� �R �� �������� ���� ���������/��� ��'��� �������� ������ �� ������ ��� ������ ����������0��� ��� �� �������� @ �������� �� ���������� �� ��� ������ ����������
�������� ������
)��1 ������ �� �� ��� ������)�� ��� �� ������ ��������� ������ �
���� � ��1���������� "� ���
�� � ������ )��� �#�������� �������� ��������*��
{F(S1→S2)}
9�3���A����<��������= ��������� (O,�z)
�
�
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � � �O
⎧⎨⎩
0 00 0Z 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
�������� ����A����� �#�.� (O,�x)�� �� ������� �z
�
� �
�
��
� � �
���
�
�
O
⎧⎨⎩
0 00 MZ 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
9�3���A$�������� ����� O ���� �������� �x
�
�
�� �
�� � �
��
�
�
�
O
⎧⎨⎩
0 0Y 0Z 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
,��� ���� ��������� �z
�
�
�
�� �
��
�
�
�
O
⎧⎨⎩
0 L0 MZ 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
9�3����� ������� O
�
�
�
� �
��
�� �
O
⎧⎨⎩X 0Y 0Z 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
�$�� 5��� 6������
� "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
���� � ��1���������� "� ���
�� � ������ )��� �#�������� �������� ��������*��
{F(S1→S2)}
9�3����� @����� �#�.� ������� (O,�z2) ���� ���� �� ���A��� ( �x1,O,�z1)
�
�
� �
� �� � � � �
� �� �
��
�
� �
O
⎧⎨⎩X LY 0Z 0
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
��'�� ���������#�.� (O,�x)
�
�
�
� �
�
�
�
�
� �
�
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
O
⎧⎨⎩
0 0Y MZ N
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
��'�� �#�.�(O,�x)
�
�
�
�
�
�� �
�
�
�
�
�
�� � �
� �
�
�
�
�
�
O
⎧⎨⎩X 0Y MZ N
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
6�������� �� ��A������ �x
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�O
⎧⎨⎩
0 LY MZ N
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
D����Z�����#�.� (O,�x)
�
�
�
� � � � � � � � � � � � ! �
� � � � � � � � � " # $ � % �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
� � �
O
⎧⎨⎩X LY MZ N
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
L = ± p
2π·X
8����������
�
�
�
�
� �
�� � O
⎧⎨⎩X LY MZ N
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
�������� �� %��� �� �� �� �� ������ ������D����9 �� 0�� ���� ���� � �� �� �� �(������
�������� ������
)��� �� ��� �� �� ����� ��� �� ������ !
���� ���4��� �����C �� �� �,�� �� ����� �� 0��� ��� �� �� 0����. !� �6� � ���� ���6 �� ?@ ��� �� �� �(��� ������ 5 ���� � ?
L = − p
2πX
@ ��� �� �� �(��� ������ 5 ,����� ?
L =p
2πX
�� ���� � � �� ���4� ������ ��� �(� ���� ��� �� �� ������� ��4������� ��� �� �� ��$�=�� � �� ����� ������ ���� �����.
"��� 8���� ��� �� ������������ � �������
��� �'��� ' � 3������ �������� �� ��� ��� �������� �� �����/ ��� ��'���� ���'���������� �� ������ ��������� ���'����� �� ��� �� ������� ���'�������
��� �����/ ���� �� �� ��� �������� �� ����������/ ��� �'��� ' �� �#���������� ���������� ���������� ����� ��� �������� %��� � ��/ �� ��� ��� ���� �#������� ��� ����������������� ��� ������� ��� ������ �������� ����������0��� ��� �� ���������� �� ����������'������ @ ��. �������� �� �����������
�� �K� ����� �#�.������ ��� ������� ��� ������ �������� ����������0��� ��� 3����������� �� � �H�� ����� �� �� ���������� �� ������ ���0�� �� ����� ��� ������ ������������������0��� � ������� ������ �� �#����� �� ����� ���� @ ��������� �� ������� ���'������@ ������ �� �� ����� � ������ ��� ������ �������� ����������0��� ��� �� ������� ���0����
������� 9 *� �� ��� �� �� ������� �"�� ����� � ����� �� ������� � ������� �� ���6 )���� ����������� ��������� (2) ����
5 �� ��� ����� (1) ��� �(���,�� �� � �� ����.
��� )��! G ������� �� ������� �� �� ���������
>� ���� �� ����� �� �� ��� ��������� ������)��{F(1a→2)
}��� �� ������ ��
(1a/2) �� ���� A � �� ����� �� �� ��� ���������{F(1b→2)
}�� ���� B.
�$�� 5��� 6������
) "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
{F(1a→2)
}=
{F(1b→2)
}=
>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ����� �� ����� �� �����{F(2→1b)
}���� �(�6������
�� ���� A ?{F(1b→2)
}=
>� ������� ���� �� ����� ,��)�� �� �� ��� ��������� �� 2 �� 1 �� ���� A ?{F(1→2)
}=
A
{F(1a→2)
}+
A
{F(1b→2)
}=
*� ������ ����4���� � 5 �� ���6 ������ ��4� ,���� �� ��������� � ���� ��� ������...
������� � �� �� �(� ������� ��������� �� +���,� NOOO"�� ��� �� ������� 5 �� ������ ,��)��� ������ �� 0� �� �� ;��)� �� ���� 1 5 ��
������� 0 �� �(�4���. �� � ������ ,��)��� � �������� �� ���6 ������ �� ��������� ? ��������� �������� �� ��� �� � � ��� ������ ����� �������� �� ��� �� � � �� ����� ��� �x.
��� )��) G !���� ���������� �� ������������ ���� �� �� ������ )***
>� ���� �� ����� �� �� ��� ��������� ������)��{F(0→1la)
}��� �� ������
�����W�������� �� ���� A � �� ����� �� �� ��� ��������� ������)��{F(0→1r)
}��� �� ������ �������� �� ���� B.{
F(0→1la)
}=
�������� ������
)��� �� ��� �� �� ����� ��� �� ������ +
{F(0→1r)
}=
>� � ���� ���� �� ���� ��� �� ����� �� ����� �� �����{F(0→1r)
}���� �(�6������
�� ���� A ?{F(0→1r)
}=
>� ������� ���� �� ����� ,��)�� �� �� ��� ��������� �� 1 �� 0 �� ���� A ?{F(0→1)
}=
A
{F(0→1r)
}+
A
{F(0→1la)
}=
*� ������ ����4���� � 5 �� ���6 ������ �� ��������� � ���� ��� ������...
�$�� 5��� 6������
- "3������ ) A +������ ��� �� �� ��� ���������
�������� ������
������ �
�����
N �� ��'��� ������ �� ������� ���� ����� �� ����� �� �#���� ��� ���� �� �#���A��0��� "���� ��������� ����� �� �������� �� ��� @ �B�� ����� �#�����0�� �#� �$�����
�������� Σ �� ��� ������ �������� ���� �� ��� �������� ������������� ��� ������ �������� ��� �� ����� ����������� ���� �#���� �#�
�$����� ��������/ ���� ������ �� ��������������� ��� ��B������ �������� �� � �$�����<���������/ '�����/ ������= �� ������� �#���� ��� ������������ ��� ��B������ ���������������� � �$����� <��������� ��� �������.=�
O� ����� ���0�� �#������ �������� ���� ����� ��� ��� ���� �� ����������� <���A����/ ����������/ ����� �#� I���/ ���= � ���� ������� @ ���������� <����� ��������� �� ��������=� "�� ������ �������� ������ ��� ������� �� ��� ���0����� �� ����������� ������ �������� �� ����� ����� ��� ��B������ ������� ��������� �� �$����� ������� ��'��� H��� �0����� ��� ��� ���� �� �����������/ �� ��� ����� �� ������'����� �XA���� �� ������� @ ������ �� S'��� �#���� ������� �#� �$����� ������ �� ��������������$�������� � ����3������� �� ������ ��������� &���/ ���������/ ���� ���� ���A���� ������ �� ���������� ��� ������ �������� �� ����� �������� ���� �� �� �#��$����� �� �����0��� %��� �� �� �#� �$����� �� ��'�����/ �� ����� ��0������ ��� ����A����� �� ���������/ �� ������� �� �� ��������� �� ��'����� �� ������� �� �$��������� ���������� ��� ������ �������� �� �� ��'����� �#� �$����� �������� ��
%�� ������� �������� � �� �9����
,'��� �#������ �#�����0�� ������� �#� �$����� ��������/ �� ��� ������0������ �#�������O� �$����� ������� Σ ��� ��� ����� ����������� �� E
G �� � ����� �� ��������� �#��������� �� ��� �� �$����� �����/
G �� � �B��� �� 0���� ��� ������ �������� �.�������� ��������� � �$����� ������
�#�.������ � �$����� Σ ��� �������� ���� Σ/ #��� �� ������������� @ Σ ���������� @ �#��'��� ��
�� &� ,����� ������� �� �� ��� ��� ��������� � �� ����� �� �������� � ;&& � $ �� � ;&��� -���� �� ����� � ������ � ���� �� ������� �� ����� ���� �� ����� � ;&& ���������� ����� ��
� ������ � ��� �������� ����� �� �5��)� �������
�$�� 5��� 6������
� "3������ + A � ����
S1
S2
S3
S1
S2
S3
Σ Σ−−−−−→F(S1→Σ)
−−−−−→F(S2→Σ)
−→P
F� ����� Σ =⇒
−−−−−→F(S3→Σ)
��� +�� G >������� ���� ��.�� ��������
F� ������� ������ �������� �.�������� @ Σ/ �#�����0�� ��� ������ �������� �.��A��� ��� Σ �� Σ� F� ��� ��� ��������� ���0������� ��� �� ������ ��'��� E
{F(Σ→Σ)
}=
M
{ −−−−−→R(Σ→Σ)−−−−−−−→M(M,Σ→Σ)
}<+��=
�� ������������� ������ �� � ������ �#������ �������� ��� ���� ��'��� �������0��/��� ���/ �� ������ �� ��������� �3$���� �� Σ �� �� �������� ��� ������ �������� ���������� ��� ��B������ ���A�����0��� ��������� Σ� ��� ���/ �� ��� ����� @ �B������ ����� �� �� ��� ��������� �6 ������� @ Σ�
�������� �: ��� �� 0����� �� �(� ��� �� � ����9 �� � ����� �� �� ��� ����� �� ,������� ��� ��� �� � ��� � ���� � �(� ����� �� �� ��=���� � �� ��� ��������� �����������6 ��=���� ���� ������� �� � ��� Σ � ����.
�������� �� *�� �� ����6 �� � ��� 5 �����9 �� �(���� ;���� �� )I �. &� �=� 9 ������ )I �9 �� � �����)�� �(�=�� ��� �� )���� �� �� ��� ��������� �6 �������.
%�� ������ :��������� � �� 1������
� � #����� �&������-�� ��������
O� �$����� �������� Σ ��� ��� �� �����0�� ��� ������� @ � ����������� Rg/ �� @ ���������� t/ 3��� ����� �� Σ ����� �� �H�� �������� ���� �� ������ ��� @ Rg�
⇔ ∀t,∀M ∈ Σ
{ −−−−−→V(M/Rg) = −→0−−−−−→Γ(M/Rg) = −→0
�������� �� "�� 4���� ��� �� ����� ��� ��$��� ��� �� �� ��� �(������)�� � �� �$����� ���� �� ��0���� ��� ����� ���� �(� ���. � �� ��0���� ��� � ,�������A��� P.P.P9 �. XB9
�������� ������
+�� %������� '������� �� �� �� � ����
�(������)�� ��� ������� �� ��� �� �(�)���9 ��� �� �� ��� �����9 �� ������� �(������)�� ��$�� �0.
�(�� �� ��� 9 � ��� ������ �(�6����� �(�� �4��� �� 4�� �� �������� A�� � ��� � 4� ����� �� �B9 �(�4��� � �� ������)�� ��� ������ 5 �� ��0���� ��� Rb ��� 5 �(�4���9 �� ������� ���� ��� ������)��� �� ��C��� �� �(��� � �� ��� ���� ������)��� �� ���� �� �(�4���.%��� �� 9 �� �4��� �(� �� � ����9 ���� �� �59 �� �4���� ��� 5 ������� 900 km.h−1
���� �� �4��� �� ��,��.
��� +�� G ?�������� ���� ����� �� ��� �� ����.��
!� � ���� �� ������)�� � ���� ��� ������ �� ��0���� ��� Rb � �� ������)�� ������������ ������ �� ��0���� ��� Rg ����� ,������� ��� 5 �� ���K � ���� ��. +��9 �� ��0���� ���Rb ��� 5 �(�4��� �(� $�� �� ,������� ��� ���Y �
� .��� � �� $��� �$�
���� � � 5) ����#� $��������� �� � ��������6!� �6� � �� ���� �� ��0���� ��� �� � Rg � ����� ,�������9 ��� ������ ���� �� � ���
�� ����� Σ �� ������)��9 �� ����� �� �� ��� ��������� �6 ������� 5 Σ � �,�� �� ��������.
∃Rg/∀P ∈ Σ,{F(Σ→Σ)
}={
0}
<+��=
�������� �� ���� ��� �(������)�� �� � ��� �� ����� ��� �� ���� ��� ?{F(Σ→Σ)
}={
0}
�� � �������� �(�������� �� �(������)�� �� � ��� �. !� �(� � ���� �� �� ��������� ����� �� ��������.
�� ��� ��� ����� ���� ��� ����� ������ �� 8<���"� ��� � � (�� � ���� ����(� ��� �� �� �� ���� � ������ � � ��� �������
�$�� 5��� 6������
�11 "3������ + A � ����
%�� 2������� �������$ ����� �� ����� -��������� � ���������
�%� 0/���(�� �� �� ���������� ��������
��� � �$����� �������� Σ �� �����0�� ��� ������� @ � ����������� ������ ��������Rg/ �� ��������� ��� ������ �������� �.�������� ��������� @ Σ ��� ���� E
∃Rg/ −−−−−→R(Σ→Σ) = �0 ⇔∑−−−−→
Fext→Σ = �0 <+�!=
�% 0/���(�� �� ������ ��������
��� � �$����� �������� Σ �� �����0�� ��� ������� @ � ����������� ������ ��������Rg/ �� ������ ��� ������ �������� �.�������� ��������� @ Σ/ ���� �� ��� ����� P��� �� @ ��� ������� E
∃Rg/ −−−−−−−→M(P,Σ→Σ) = �0 <+�)=
"� �3������ ����� '��� ��� �� ���� �� ����� P �R �#�� �.����� �� ������ ���������
�������� �� *(������� ��� �� %������� '������� �� �� �� � ���� ���� �� ����� ����(����� ��� ����� 7 ���� ��� ������� AG ���� �� ���;�� ��� �� �� ���� �� �9 G ���� �����;�� ��� �� ����� B. !� ��)�� ���� ����� �� �� ��)��� �� � ��� �4�� �� ����������� ������ ��� �� �� ���� ��� �� ���� ��� �� ����� �. "� �� ���� � ��� ������� �� � �� ���� ���9 ���� �� �� 5 ���� < ���� ������ �� �� �� ����� 5 ����� <
�������� �� ��� �� �� �(�� ���)���� ����9 �(������� ��� �� %������� '������� �� ���� � ���� �� �� � ��� �� ����� �� ������ ����� G ���� ���9 ���6 5 ��� �� �� ��������� �� ���� �� � A���;�� ��� ��4�� ���6 �6� �� ���� �� �(� ���B9 ��� 5 ��� �� �� ��������� ����� ���� �� A���;�� ��� ��4�� �(�6� ��������������� �� ���� �� �(� ���B.
�������� �8 � �� � ��� � ���� � ������ �� N ����� �� �����9 ���� �� ��� ������ �� ��6���� 6 × (N − 1) ���� ��� ���������� � 5 ��� �� �� �(������� ��� �� %' .
�������� �� *� ����� ��� �(�� ���)���� �� � ���� A��� �� ���������B ��� ���������� ���� �� ����� �� � ?
P. �� ������� ��� �� � ��� ���� A���� 4�� ��� �� ��4�� �������B9N. �(������� �� A�� ��B � ���AB 5 � �����9G. �� )���� �� �� ��� ��������� �6 ������� �� � ��� ���� A�� � �� �� ��� ����$
����� � ����� ����� 5 ������� �B9Q. �(������� ��� �� %' 5 �� �� ������� � ��� A� ��� ��� ����������� �(��� ��
������� ���� ��� 4�� ������� �� ���;�� ��� ��4�� �� �6� ����� �� �� 0���� ��$����C �� ��� �� ������� �������� � �� ���� 0��� ��� �� ������ �� ���)����B9
L. �� ����� ��� �� ���� ���� �� �(���� ��� �) ���� �� �� � ��� �(���� ��� �) ���97. �� 4������ ��� �� ���� � � �� �� ��� ������ �� ����6 �� ������� ���.
3� ;�� ��� � �5� � �����)� � ������� ������ �� ����< � ��� ��� ��� ��0���� � �� �����(�� ������ ����� � ������!� �� ��� ��� ���� � �������
�������� ������
+�) &6����� �� ������ �1�
%�" ;$�� � ������
��� ��'��� ��������� �#�.����� ������ �� �� ����� �� ��� �'��� ��'������ ���� �3������ �������� �������� �� ������������ ��� ������ �������� <����� )/ �� ��=�
�
)
�
�
� $ 5 5 � ! � � � � � # � 7 � � �
��� +�! G ����������� ����� ����666
9� �� ����� ���� �H�� ����� @ �� ���� �� �H�� ���������/ �� �H�� �������� �� ������ ������� 9� �� ������� �#����� ������� �� �� ��������/ ���� ����� ��� ������ @ ����������� �������� E
G �#����� ������� ��������� ��� �� �������(P,−→F)/ ����� ������� ����/
G �� ������ ��� ������ �������� ����������0��� ��� �� ������� ��'�� ����� �� ����� ���� 3��0�����/ ������ ���� �� ����� ��� ���� � ����� A/
G �#����� ������� ��������� ��� �� �������(M,−−→
F)/ ����� ������� ���������A
���� �������
%� ������� �3$���� <M���������� � 0�� ����N=/ ��� ��'��� ����� ���������� ������� E
G
G
G
8� �������� �#������� '��������� ���� �� �#���������� � �3������ �� �� ����������������/ ��� �0������ �� ������� ��'��� E
��� '�$��� ��� �� ���� � ��/ �� ������������ �� �#������� � ������ ��� ������������� ����#�� ��� ������ �� ������ ��� ��������� �� �#�����0���
9� �� ����� ���� ����� @ �� ����−→F1 �#��������� ��� ���0�� ��
−→F / �� ���� ������
�� �� �H�� ��������/ ��� ��'��� @ ��'�� ������� ���� ������� � ������ ���������� �� ���������� �� �������� � �#�� ���� ����� ���� ����
−→F1 ��� �#�'��� � �����0���
�$�� 5��� 6������
�1� "3������ + A � ����
"� ������������ ��� �#�B���� �� ������� �������� ��� �#���������� �� ������� � ��������� ��� ������ �� �������� ��� 0��� �� ��'��� �� �� �������� �3$�����
�������� �9 � ���4���9 ��� 4�� ���������� �� 4�� � ���� �� ��� �� �;� ��� �� ������� �� ���)���� �� � ���� A���� ��� �� ��� ���� ���� �� ���������B.&� �=� 9 ���� �(���� 9 �� ��� �� ���������� 5 �������� � �� ��� �� �� � ��� 5 � �����A4�� ��� 0���� � W�� ����� 9 ����� �� �� ��� ���������B ��� ��4�� ����� ��� ���;� ? ���� ���� ��� ����� ��� �� ������ ��� �������� ������� � � �� ����� ��
�����. ���� ���� �� ��������� ��� �������� ������� ��� � ������ ����� � ��������9�� )� �� �(�����4� ����� � �� �� 4������ 4� �� ������ � 5 ������� �� ����� ��� ������ ��6�� �� �� ���� ����9 ��� 4�� ��������� 0�� ���� �� �������� �������� ,�I�� ��6)�� �� ��4��� � 5 4� �� �� �������.
�������� �� ��0 5 �������� 5 �� ������� �6��� �(�� �;� �� �������9 �� � �� ���� �(������ � ��� ������� �� 6 × n ���� ��� ������� ��� �� �(������� ��� �� %' 5 ��� ��� �� ����� ������ �� n �����. !� � ��� �� ���� �(����� �� ������� �� � ����(���� ���. *� )� �� �� � ���� ��6 ������� � �� 4������ 4� �� ������ � 5 ��T�����9�������� � �������� �� ���)���� � ��� �� 4������ 4� �� ��C ��� A�� ��� ��C ���B �� ������� ��� �� � ��� �(���� ���... �
%�% 2������ �� ������� ���������
"� �3������ ��������� @ �� '������ ��� ������ �� �� ��������� ��� �� ��?���<��� )��/ �� ��=�
��� ��� �$����� �������� Σ1 �� Σ2/ @ ��� ������� t/ �� ������ ��� ������ ���������.����� ��� Σ1 �� Σ2 ��� �#������ �� ��� ��� ������ �������� �.����� ��� Σ2 �� Σ1�
∀t, ∀Σ1,Σ2,
{F(Σ1→Σ2)
}= −
{F(Σ2→Σ1)
}<+�+=
F� ��� ���� ��������� �����'�� � �3������ @ ������ �� �#���������� � �������C���������� �� �� 9�������
%�' ������ � ���������� � � �9��������
��� � �$����� �������� Σ �����/ 3��� ��������� ����� � ��� - �������� ���������������������� %�� ��� � �$����� ������ �#� 0\�� �� �� (n − 1) ������� <#��� @ ����n ������� � �����=/ �� ��� ����� 6 · (n− 1) ���������
��� ��������/ �� �����0����� �#� ���0���� �� ������� ������ � ���0�� �#���������������� �� �� ���� ��� $ �� �'��� ��� �� 6 · (n− 1)�
7� �� �������� �� ����� ��� �� ���� � � ���������(���
�������� ������
+�� � ���� ,�������� �1!
%��� � ��/ �� ���0���� ��� ��� ����������� F� ��� ��� �� ������� �� �������� ��������� C���������� �� �� 9�������
%��� �� �� ��������/ �� ���0�� �#������� �������� ��� ������� � ���0�� �#���A����� ��������/ �� ���0���� ��� ��� 3$����������� F� �� ��� ����� �� ������� �#�� �����A������ �� ��'����� �������� �������� ��\�/ ��� �.�����/ @ �� ��������� ��� �������.�
F� ��� ����� ����� �� ��,�� �(����� � ��� �(�� � ��� ��\� @ �� �������� ��'���� E
h = Is − rs �'� rs ≤ 6 · (n− 1) <+�-=
,'� EG Is E ���0�� �#������� �������� <�� �������=�G rs E ���0�� �#�������� �������� ������������� ����� �� �#���������� � �C9�G h E ����� �#3$������������G n E ���0�� �� ������� �������� �� �$����� <$ ������ �� 0\��=�
%�( 1������ �������
"���� ���� �� �� �� �� ���������/ �� ��� �����0�� �� ������� � ������ ���0���� ���0����� �� ������� ��\� @ �� ���3��� ����3���� 8� �B��/ ��� �������� ���������� ��(��� 3�������� @ ��� '�����/ ��� ��� ��'��� ��� ����������� �� � �3���@ �#�3�����
&��3���������/ ���� ���� �� �� �� �� �������/ �� ���3���� ����3���� '��� H��������'��� @ � ������ ���0�� �� �� ������� �� ����� @ ��� �����������/ �� �������� ������A����/ �� ��� ���������� ��� ���������� ���� �. ���0����� �� ��������������� O� ���0������ ������� ����3��� ��� ������������� ���� � ��� H��� �������� ���� ����
�� ������� ����3��� �#����� �� ��� ���� �� ������� ����$���� �� �� ��� ������������ �� ������
�3� ='$��/(�� > $��-�(�� $��� �� ��������
��� �'��� � ���0���� ����������� ����/ �� �K� �� �� �$����� ����� ���� @ �#���A��0�� ��� �#�B�� �#������ �������� ���� ��� ���������� ���� ���������� �� ��� ��������'������ �������������� @ � �����
��� �.�����/ �� �� ���0���� ����� ��� � ���0���� ���� ���� �� ���� (O,�x,�y)/ �������� ������� ��� ������ �������� �������� � �$����� Σ ����� ��'��� �#����� ��� ������� E {
F(Σi→Σ)
}=
Pi
{−−−−−→R(Σi→Σ) = Xi · �x+ Yi · �y−−−−−−−−→M(Pi,Σi→Σ) = Ni · �z
}=
Pi
⎧⎨⎩Xi 0Yi 00 Ni
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
<+��=
��� �� �#�.������ �� � �$�� �� ���0���� ���� �� ���� ��� ���� ������/ ���� ������ �� �� �$������ ���������� �� �� �$������ �� 3��������/ �� ������� ����Q ��'��� �������� ������� ��� � ������ ������� &H�� �� ��� ���/ �� �#������� �� �� ������� � �$�����<�� 3$���3��� ������������ �� ���=�
���� �� �� ��������� ����3��� �#� ���0���� ����/ ��� ������� �#������ ��������������� ���� ��(��� ��� ������� @ ��������� <� �������=�
�$�� 5��� 6������
�1) "3������ + A � ����
�3 .�����-�� �&�� �'��(�� ������ 9 ���������
F� ���� Σ1/ � �$����� �������� ����� �������� �. ������ �������� �� ��.����� �$������ ���������/ Σ2 �� Σ3�
��� +�) G ?�������� ���� ��.�� ���� ' ���" ����
F� ����� �� �$����� Σ1 �� �� �B��� �� 0���� ��� ������ �������� �.��������/ �� ������� �. ��. �������� ������ �A������ E
{F(Σ2→Σ1)
}=
A
{−−−−−−→R(Σ2→Σ1)�0
} {F(Σ3→Σ1)
}=
B
{−−−−−−→R(Σ3→Σ1)�0
}<+��=
F� ������ �������� �� ������� C���������� �� �� 9������ @ Σ1 � ����� A/ �� ���������0������ ����� ��� ��� ������� �� A E
{F(Σ3→Σ1)
}=
A
{ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)−→AB ∧ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)
}
F� �0����� ����� ��� ��. �������� '���������� ��'����� E{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) = −−−−−−−→R(Σ3→Σ1)−→AB ∧−−−−−−→R(Σ3→Σ1) = �0
<+� =
F� '��� ����� ��−−−−−−→R(Σ2→Σ1) ��
−−−−−−→R(Σ3→Σ1) ���� �� ���� ������ �� �� ����� ��������/ �������� ��� �� �H�� ��� ��� ��. ����� �� �� ��� �0������������� ����� ���
−→AB�
���� � 9 � �� � ��� �� ����� Σ � ���� ��������� 5 ���6 0����9 � ��� �����6 0���� �� �� �� �� ������)�� ��� ������ 5 �� ��0���� ��� ����� ,�������9 �� � Rg9���� �� ���6 0���� �� ����������� �,��� � ������.
�3% .�����-�� �&�� �'��(�� ������ 9 % ���������
�� �.���� ��. �� �����0��� ��� �� �����0�� E
G ���� ��� ����� ����� ������������ ��� ��� ����� �������� ���� ����������/
G ���� ��� ����� ����� ���� ����������
�������� ������
+�� � ���� ,�������� �1+
"�� ��. �� �� ��'��� ��� H��� ������ ��'��� �� �H�� ���3����F� ���� Σ1/ � �$����� �������� ����� �������� �. ������ �������� �� �����
����� �$������ ���������/ Σ2/ Σ3 �� Σ4�F� ����� �� �$����� Σ1 �� �� �B��� �� 0���� ��� ������ �������� �.��������/ �� ��
����� �. ����� �������� ������ �A������ E
{F(Σ2→Σ1)
}=
A
{−−−−−−→R(Σ2→Σ1)�0
}<+��1={
F(Σ3→Σ1)
}=
B
{−−−−−−→R(Σ3→Σ1)�0
}<+���={
F(Σ4→Σ1)
}=
C
{−−−−−−→R(Σ4→Σ1)�0
}<+���=
�(�(�(� 7� ��� ������ �����
F� ������ �� �#����� �������−−−−−−→R(Σ2→Σ1) �� Σ2 �� Σ1 ��� ������������ ���� ��
�� �#�� ����>� ���� �� ������ ��−−−−−−→R(Σ3→Σ1)�
��� ������� �� �� ��. ����� �� ����� �� � ����� P � ���� �� ����������F� ������ �������� �� ������� C���������� �� �� 9������ @ Σ1 � ����� P / �� ���
������0������ ����� ��� ��� ������� �� P E
{F(Σ2→Σ1)
}=
P
{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1)−→PA ∧ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) = �0
}<+��!=
{F(Σ3→Σ1)
}=
P
{ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)−→PB ∧ −−−−−−→R(Σ3→Σ1) = �0
}<+��)=
{F(Σ4→Σ1)
}=
P
{ −−−−−−→R(Σ4→Σ1)−→PC ∧ −−−−−−→R(Σ4→Σ1)
}<+��+=
F� �0����� ����� ��� ��. �������� '���������� ��'����� E
{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) + −−−−−−→R(Σ3→Σ1) + −−−−−−→R(Σ4→Σ1) = �0−→PC ∧ −−−−−−→R(Σ4→Σ1) = �0
<+��-=
F� '��� ����� ��−−−−−−→R(Σ2→Σ1)/
−−−−−−→R(Σ3→Σ1) ��−−−−−−→R(Σ4→Σ1) ������� � �������� ��� ����� �� ��
����� '��������� ��� ����� ��� ����/ �� ������ ��−−−−−−→R(Σ4→Σ1) ��� ������������� �������
�. ��. ����� � ����� P �
���� � � � �� � ��� �� ����� ���� 5 ��� 0���� ��� ��������� � 5 �(������)�� ��������� 5 �� ��0���� ��� ����� ,�������9 ���� �� ��� 0���� �� ����������� ������$��� � � ���� ���� 4�� ������� � ����� A ����,�� �� 0���� �� ���������B.
�$�� 5��� 6������
�1- "3������ + A � ����
� � � � � � �
��
� � � � � � � �
�
��� +�+ G ?�������� ���� ��.�� ���� ' ���� ����
�(�(�(� 7� ��� #� ����
F� ������ �� �#����� �������−−−−−−→R(Σ2→Σ1) �� Σ2 �� Σ1 ��� ������������ ���� ��
�� �#�� ����>� ���� �� ������ ��−−−−−−→R(Σ3→Σ1)� F� ������ ��� ����� ������ A/ B �� C ��������
��� ������� �� �� ��. ����� ���� ����������/ �� ��������� ������ ��� ���������������������� �. ��. ����� <�#����� �� �3������ �� �� ���������= �� �� �� ������� �� �������C���������� �� �� ������� �� C E{ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) + −−−−−−→R(Σ3→Σ1) + −−−−−−→R(Σ4→Σ1) = �0
−→CA ∧ −−−−−−→R(Σ2→Σ1) = −−→
CB ∧ −−−−−−→R(Σ3→Σ1)<+���=
F� �� ��� ��� ����� ������ �� ���3��� �������� �� ��������� ����3��� ���� � �� �@�
� � � � � � �
��
�
� � � � � � ��
��
� ��� � � �
� ��� � � �
��� +�- G �� �� 0���� �� ����� ��������� �� ���0����
�������� �: *� ��� ����� �� ��� 0���� ���4�� ��� �� ���0����. ��� ����9 �� ����� �� ����������� ��� � ��� �� ���� � (AB). *(������� ��� �� %�������'������� �� �� �� � ���� �� ����� ���� ��(��� ���� ��� ���������� � ���� ���6 �����$���9 �� 0�� ��������� �� %' ��6 ����� �� ��� �� Σ1 ��� �(�) ���� ��� ���� ��� �����$��� ����.
�������� ������
+�� ���$)�� ���� �1�
%�) #��76������
�#��A0������� ��� � ����������� �X @ �#��3����� ����� �������� ������ ��� �������� ����� ���� ������ ���� �� Y�� �#��3����� <� Y�� �� ���������� ��� ���������=/ ���� ��� $ �'��� �� ����������/ �� �� ����� ����� �� �������� � �#��A0�������� %���������� �� � �3������� ��� ��3��3� <�����A(�����/ ��� ��0��/ �������� @ �������=/ �� �����#�����/ �� ���� H��� �'��� <������� ������������=� %��� �#3$���3��� � ������ ���������0��/ ���������� �#��A0������� ��� �� �������� �����������
�#��A0������� ��� � �3������� ��� ����� �#�����0�� <�� ��� ��������/ �� ��A'�����= ��� ����������� �� �#��������� ��� ������ �������� �� (��
������� �: ���� ��)��
*� � ��� ����� ��$���� ����� �� ����� 1 �� �� ������ ��� ��� �� �� ��������� �� ��)��� 0. *� ����� �� ��)��� � �� � R9 �� ����� �(�� ������� 29 r. *����2���� �� 0�� ���� �� ��� �� 1/2 � 2/0 � f = tanϕ.
� �
� �
� � � �
� �
� �
� � � � � �
� � � � � �
� �
� �
� �
��� +�� G ���$)�� ���� ��� ��� ���� ��)��
>� ��,��,� �(�� ��� �� �� ���� ��� � �(�� ��� �� ������ ����� �� �� ���� ���� ����� �� �� �� �� �������6 � �� ��)���. ���� ������� �� ������� 2 �� ���4� ���� ��(��� ���� 5 �(�� ��� �� 2 ,�����
−−−−→R(0→2) � −−−−→R(1→2). �� ���6 ,����� �� ��� � ��� ��
��� ����� (AB)9 �� �,��6 �� �� ��� � � ����� �� ��. � �� ���� � �� ,������ 9�� �� �� �� �Z�� �� 0�� ���� ����� ��� �� ������� �� ��� �� 9 � �� 1/2 ��,�� �� ���� ϕ. *� ����� ��� �(���$)�� ���� � ������ ��� ?
cos 2ϕ ≥ a+ r
R− r
�$�� 5��� 6������
�1� "3������ + A � ����
%�* &����� � ���������� � �� ��6��� � �������
*�� ���'���Q �A������ �� M���3���N ������0�� ��� �� ��������� �#� ���0���� ���������� "���� ���3��� �#��� ��� ��������0��/ ���� �� ���������� �#�� �3����������� ���������� � �$�� �� ������������ �� '�� ��'�Q H��� ����� @ ������� ��� @ � ���0���� ���������� ,'��� �#�B���� � ������������/ �� ��'���� �� '������ �#����������� � ���0������� �� '������ �� �����0����� �� ��������� �� � ���0���� ��� �#���������� ������ � ������������������ �� �� ��������
Tracer le graphe de structure
Effectuer le bilan des actions mécaniques appliquées au système
Recherche d’une stratégie permettant de relierla ou les inconnues aux données du problème
Ecriture d’une équation scalaire provenantde l’application du PFS à un système en un point
en projection suivant un axe particulier.
Résolution de l’équation afinde déterminer l’inconnue.
Une ou plusieurséquations à écrire
Ecriture d’une équation scalaire provenantde l’application du PFS à un système en un point
en projection suivant un axe particulier.
Résolution du système d’équations afin dedéterminer l’inconnue ou les inconnues finales.
N équationsN inconnues
oui
non
une
plusieurs
Ce graphe permet de faire apparaître de manière synthétiqueles actions mécaniques transmissibles par les liaisons (inconnues).
Ces actions mécaniques seront notées sur le graphe de structure,rechercher les actions mécaniques données ( effort d’un vérin, couple moteur).Les actions mécaniques inconnues seront toutes supposées positives par convention.
Recherche des solides ou systèmes soumis à uniquement 2 ou 3 glisseurs (apport d’informations sur ces glisseurs).Choix intelligent du ou des systèmes à isoler (utilisation du graphe de structure).Une force n’est pas toujours obtenue par l’application du théorème de la résultante, c’est d’ailleurs bien souventle contraire.
�������� ������
�������� �����
�������
�$�� 5��� 6������
������ �
�������
L � ������� �������� ��� �� ����� �.����������� �� ��������/ ���3���������/��� �� ������ �� ���� ��� ���� �3$����� �� ��� �$������ ��������� ������/ ���
������ �0����� �#������� �������� ������� ���3�������� ��� ��������� ��� ������� �.A������������� �� ������ �� 4�� ��� ��� �� ��� ������� ���3�������� ��� ��� �������� ��������� ��������/ �� ��� ��� 0�� �#�B���� ������ ������� �� �� ���� �� 0��� ����������
#�� ������ � 6�����
��� )�"������
F� ������� )����� −→AB/ �#�����0�� ������� �� ��. ������ A �� B ���� ���� �� ������
F� ������� ����� � 0������−→AB/ �� '���� �0���� �� ������ �� ������ AB �� �����
‖−→AB‖�O� 0������
−→AB ��� ����� ��� E
G ��� ������� A/
G ��� ������/ �� ������ (AB)/
G ��� ����/ �� A '��� B/
G �� ����� E ‖−→AB‖�
�� 5�$���� ����$������
%�. 0�������−→AB ��
−→CD ���� ���� ����������� �� �� �������� �� ��� �������� [AD] ��
[BC] ��� �� �H�� ����� <��� ,��/ �� ���=�"�� 0������� ����������� ���� E
G �� ������� ����������/
G �� �H�� ����/
G �� �H�� ������
�$�� 5��� 6������
��� ���� , A [�� ���
�
� .
��� ,�� G 7� ���� ���� ������
#�� ������ � !����< ���������
F� ������� 4�� ���−→AB/ �� ����� �#���'����� ��� 0������� ����������� ���� �� 0������−→
AB ��� �� ������������� F� ��� ���� �� ����� (P,�u) �'� P ������� � 0������ �u�%�. '����� �u �� �v ���� ���. �� �� �������� ��/ ���� �������������
−→AB ��
−→CD ����
������������%�. '����� �u �� �v ���� ���������� �� �� �������� �� ���� �������������
−→AB ��
−→CD
�� �H�� ������� ���� �� �H�� �������
#�� +��< ���< ��-���������
�%� 5���
F� ������� )�� �� �#����� '������� E �� ��������� ! ��� ������� �� '����� (�x,�y,�z)��� �� ��� '���� �V �� E ��� �#����� �� ��T�� ���� E
�V = x · �x+ y · �y + z · �z
��� ����� (x,y,z) ���� ��� ����� ���������� �� �V ���� �� 0��� (�x,�y,�z)�
�% 5��� ���/�������
O�� )�� �� ��,����� ��� �� 0��� ���� ��� '����� �� �� �������� ���� ���3�����.��. @ ��.�
�x · �y = �y · �z = �z · �x = 0
�%% 5��� ���/�������
O�� )�� �� �������� ��� �� 0��� ���3������� ���� ��� '����� ���� ���������
‖�x‖ = ‖�y‖ = ‖�z‖ = 1
�������� ������
,�! ���9 ������9 ��0���� ���... ��!
�%+ 5��� ���� ��
O�� )�� ��� ���� ����� � �� �� ������� ����� ��� ��B������ '����� (�x,�y,�z) �������� ��0��� �� ���� ��� �� �������� ���� �� ���� �������������� < ���� ��� ����� ������ �� �� ����������=�
7��� (�x,�y,�z) ������ ⇔ �z = �x ∧ �y
8� ������� ��������/ ��� �#���������� �� ��� 0���� ���3�������� �������� 8� ��������� ���3�������/ ��� ��'��� ����������� �� 0��� ���3������� ������ ��'��� �������� �� ��3� �� �� ���� <��� ,��/ �� ��!=/ ��� �������� � �� ���� ��� ��'�� �� ���������� ��� ���3��������� �/ ��� ��������� �������� ��������� �� �������������� �������� �� ���� �H�� �����
�
�
�
�
�
�
��� ,�� G ��������� �� ���������� ����� ��� ����������� �����
�%� ��$(��
O� ������ ��� ������� E
G �#�� 0��� ���3������� ������ (�x,�y,�z)/G �#� ����� O ������ ������� � �������
F� ������ � ������ (O,�x,�y,�z)�O� ������ ��� ������� ����������/ �� ������ �� ����>��� �� �������� ������ �#�
����� M ���� �#����� ��� �#������ � '����−−→OM �
−−→OM = xM · �x+ yM · �y + zM · �z
xM / yM �� zM ���� ��� ���������� ����������� �� M ���� �� ������ (O,�x,�y,�z)�
�� =��� ��� ��� �� ���� (� ���� ������ �������� �� ����� ����� � ��)� ��� �5��)� ���������������� � ,��� � � ��� ,��� ������0�� �� ����� �������� � �� ��� ���)� ��������� �� ����������� � ��� ��� �� ����)� �� �� ����)� ,������
�$�� 5��� 6������
��) ���� , A [�� ���
�
�
�
�
:
� �
� �
� �
��� ,�! G +"�� �� �� �� .�� ������ �� ��������
�%2 �����������
O� ��0���� ��� � ��� ������ E
G �#� ������ ���3������ ����� (O,�x,�y,�z)/G �#� ������ �� ����� �'� �� ������� t0 �� �� ���� <�� ������ <�==�
#�" #������� !�������
�+� )�"������
�� ����� �� ��. '�����−→V1 ��
−→V2 ��� � '���� �0��� �������������� �� �������
0�� @ 0�� ��� '�����−→V1 ��
−→V2 �
�
� 2 �
�
��� ,�) G +"�� �� ���������� ����������
�+ 1�$������� ����'�����
9�−→V1 ��
−→V2 ��� �������'����� ��� ���������� (x1,y1,z1) �� (x2,y2,z2) ���� �� 0���
(�x,�y,�z)/ ����� �#�������� '��������� ��−→V1 ��
−→V2 �#���� E
−→V1 + −→
V2 = (x1 + x2) · �x+ (y1 + y2) · �y + (z1 + z2) · �z
�������� ������
,�+ %����� ������� ��+
#�% ������� �������
��� )�"������
�� ������ ������� �� ��. '����� ��� � � <� �������= ����−→V1 · −→V2 ����� ��� ��
�������� ��'���� E −→V1 · −→V2 = ‖−→V1‖ · ‖
−→V2‖ · cos
(−→V1 ,
−→V2
)�� 1�$������� ����'�����
9�−→V1 ��
−→V2 ��� �������'����� ��� ���������� (x1,y1,z1) �� (x2,y2,z2) ���� �� 0���
(�x,�y,�z)/ ����� �� ������ ������� ��−→V1 ��
−→V2 �#���� E
−→V1 · −→V2 = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2
�������� �� � �� ���9 �� ���� � �(� 4���)�� ��� � �� ���6 4�� ���−→V1 �
−→V2 ��
�6����� ��� �� ��� )�� (�x,�y,�z).
��% :��$������
���� �� ;−→V1 · −→V2 = −→
V2 · −→V1
-��� �*���.�� ;−→V1 ·
(−→V2 + −→
V3
)= −→V1 · −→V2 + −→
V1 · −→V3
����#������� #� �� ����� � ; λ1 ·−→V1 · λ2 ·
−→V2 = λ1 · λ2 ·
−→V1 · −→V2
�� ����� � ;−→V1
2 = −→V1 · −→V1 = ‖−→V1‖2
8� ��������/ �� �� '����−→V1 � ��� ���������� (x1,y1,z1) ���� �� ������ (O,�x,�y,�z)/
����� E‖V1‖ =
√x2
1 + y21 + z2
1
) ����� ����� � �� ;−→V1 ·�0 = 0 �� ��
−→V1⊥
−→V2 �����
−→V1 · −→V2 = 0
��+ :��*� ���� �&�� �� ���� ��� �� ������ �� �� ���
9���−→V � '���� ������� �� D �� ������ �� �#����� �� '���� ������� �u/ �����
��� ���������/ �� ���(����� ���3������� �� �� D �#���� E
−→V · �u = ‖−→V ‖ · ‖�u‖ · cos
(−→V ,�u
)
$�
� 8 $
��� ,�+ G &�������� ���� ������ �� ��� ������
�$�� 5��� 6������
��- ���� , A [�� ���
��� �/�������� �� -���
O�� ��� ����������� ��� ��� ������� �� ������� � ������ ������� ��� �� 3����A���� �� 0��� �#� '����/ #��� @ ���� ������ �#�� 3��3� @ �.������ ��� '����� �#��0��� �� ������� ��� '����� �#�� ���� 0���� ��� ��� ���������� � �� �R ��� ��.0���� ��� � '���� �� �����
9��� B1 ( �x1, �y1, �z1) �� B2 ( �x2, �y2, �z1)/ ��. 0���� ���3�������� ������� �'� �� '���� �z1�� �����
α
α
1y
x
O
z1
1
y2
x2
�x2 = ( �x2 · �x1) · �x1 + ( �x2 · �y1) · �y1
�� �x2 · �x1 = ‖ �x2‖ · ‖ �x1‖ · cos ( �x2, �x1) = cosα�� �x2 · �y1 = ‖ �x2‖ · ‖�y1‖ · cos ( �x2, �y1) = cos
(π2 − α
)⇒ �x2 · �y1 = sinα
⇒{
�x2 = cosα · �x1 + sinα · �y1
�y2 = − sinα · �x1 + cosα · �y1
�������� �� �� ��� �(�6������ ��� ����C �� ���� �4���� ���, � ����� �� ��4��� ��$ ���� ����9 � ���� �� 9 �(��� ������� ;��� �� ������� ������9 4�� ���: �� 5 ����(�=�� ��� �� ����,���� �� )�� ;� � �� ��,����� �� �,���...
#�' ������� !������
�2� )�"������
�� ������ '������� �� ��. '�����−→V1 ��
−→V2 ��� � '����/ ����
−→V1 ∧ −→
V2 / ��� �� E
G−→V1 ∧−→
V2 ���� ���3������ � ����(−→V1 ,
−→V2
)/
G �� �������(−→V1 ,
−→V2 ,
−→V1 ∧ −→
V2
)���� �����/
G ‖−→V1 ∧ −→V2‖ = ‖−→V1‖ · ‖
−→V2‖ · |sin
(−→V1 ,
−→V2
)|�
�
�.
�
�
� �
�
��� ,�- G &������ ��������
�������� �� *� ����� �� ������ 4�� �����−→V1 ∧ −→
V2 ��������� 5 �(���� �� ���������$,����� ABCD.
�������� ������
,�- %����� 4�� ����� ���
�������� �� ��� �� �� ������� �� �� �� 4�� ��� ���� � �� ������ 4�� ����� �� ��$����� ��������� � �2����9 4�� ���4�: � ����� ���6 ��,�� ����� ?
@ �� ��,�� �� ���$)������ �6����� �� �� �� �,��� A��� �.X9 �. PPXB9
@ �� ��,�� �� ��� ���, �� �� ���� ���� �...
�
�
�
�
��� ,�� G +"�� �� ������������ �� �� �.��� �� ����@������
�2 1�$������� ����'�����
9���−→V1 � '���� �� ���������� (x1,y1,z1) ��
−→V2 �� ���������� (x2,y2,z2) ���� ��
������ R (O,�x,�y,�z)��� ������ '�������
−→V1 ∧−→
V2 �#���� E
−→V1 ∧ −→
V2 =
⎛⎝ x1
y1
z1
⎞⎠
R
∧
⎛⎝ x2
y2
z2
⎞⎠
R
=
⎛⎝ y1 · z2 − y2 · z1
z1 · x2 − z2 · x1
x1 · y2 − x2 · y1
⎞⎠
R−→V1 ∧ −→
V2 = (y1 · z2 − y2 · z1) · �x+ (z1 · x2 − z2 · x1) · �y + (x1 · y2 − x2 · y1) · �z
�������� �� � �� ���9 ����� ���� �� �� �� ������ �������9 �� ���� � �(� 4���)����� � �� ���6 4�� ���
−→V1 �
−→V2 �� �6����� ��� �� ��� )�� (�x,�y,�z). �� 4�� ��4� �
���� 0�� ���� 5 ������� �� )�� �(�6������ ������ 4�� ����4�: 4� 4�� ��� �� 0������ 4�� ��� �������.
��� ����/ ��� ����� �� ������ '������� ����� ��. '�����/ ��� ���������� �����A��������� �� ��������� � �#�.�������� ����$���� � ������ '������� ��
�� 9� ,���� ���� ���������� ���� ��� �� �� ��!������ �� ������� ������� � (�� ���� �/�������� �������)�� � ���*������
�$�� 5��� 6������
��� ���� , A [�� ���
�2% :��$������
�������� �� ;−→V1 ∧ −→
V2 = −−→V2 ∧ −→
V1
-��� �*���.�� �.�� ��������� .���� ��� ;−→V1 ∧
(−→V2 + −→
V3
)= −→V1 ∧−→
V2 + −→V1 ∧ −→
V3
����#������� #� �� ����� � ; λ1 ·−→V1 ∧ λ2 ·
−→V2 = λ1 · λ2 ·
(−→V1 ∧ −→
V2
)��� �� ���� ;
−→V1 ∧ −→
V2 ��� �� ��−→V1 = �0 �
−→V2 = �0 � ��
−→V1 ��
−→V2 ���� �����������
�2+ �� ���-�� $������ �� ������ ?@������ �� ��--�A
��� ����� '�����−→V1 /
−→V2 ��
−→V3 ������/ �� ������ �� E
−→V1 ∧
(−→V2 ∧ −→
V3
)=(−→V1 · −→V3
)· −→V2 −
(−→V1 · −→V2
)· −→V3 <,��=
�� ��� �������� ������� ���� �������� �'� ���������/ �� ��� ��'��� ��� ����� �#��A����� ��� ��. ������� '�������� ������� �� �#������� ���� ���������
#�( ������� ��$�
�3� )�"������
�� ������ ��.�� �� ����� '�����−→V1 /
−→V2 ��
−→V3 ��� �� ������� ������ ��� �#���������
��'���� E (−→V1 ,
−→V2 ,
−→V3
)= −→V1 ·
(−→V2 ∧ −→
V3
)
�
�
/
��� ,�� G &������ ��"��
�������� �8 *� 4����� �)���� �� ������ ��6 �(−→V1 ,
−→V2 ,
−→V3
)��������� �� 4����� ��
��������������� ����� 5 ��� �� �� �� ��� 4�� ���.
8� ������� ��������/ ��� �������� ����Q �� �� ������� ��.��� ���� ��� �������� ���������� ��� ���������� �� � ������ ��� ��������� ��� �.��������� '�����������
�3 1�$������� ����'�����
�� ������ ��.�� �� ����� '�����−→V1 /
−→V2 ��
−→V3 �� ���������� �������'�� (x1,y1,z1)/
(x2,y2,z2) �� (x3,y3,z3) ���� �� 0��� ���3������� ������ B (�x,�y,�z) �� ���� @ ������ ������������ (3 × 3) ��'��� E
(−→V1 ,
−→V2 ,
−→V3
)=
∣∣∣∣∣∣x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
∣∣∣∣∣∣�������� ������
,�� *� ��4���� 4�� ������� ��
"� �� ����� ����� ��������� � ����������� E(−→V1 ,
−→V2 ,
−→V3
)= x1y2z3 + x2y3z1 + x3y1z2 − x3y2z1 − x1y3z2 − x2y1z3
�3% :��$������
)� �������� ��� # ������ ����� �� �� .���� ��� ;(−→V1 ,
−→V2 ,
−→V3
)= −→V1 ·
(−→V2 ∧ −→
V3
)=(−→V1 ∧−→
V2
)· −→V3
)� �������� �� ���� � ��� .����� � ;(−→V1 ,
−→V2 ,
−→V3
)=(−→V3 ,
−→V1 ,
−→V2
)=(−→V2 ,
−→V3 ,
−→V1
)<,��=
)� �������� �� ���' .����� � ;(−→V1 ,
−→V2 ,
−→V3
)= −
(−→V2 ,
−→V1 ,
−→V3
)
#�) ,� ��!����� !�������
�� ��'����� '��������� ������� @ ������� �� ������� � �$�� E
−→A ∧ −→
X = −→B
�'�−→A ��
−→B ��� '����� ������ ��
−→X �� '���� ������
F� ������ ����� �� E
−→X =
−→B ∧ −→
A−→A 2
+ λ−→A ,∀λ ∈ � <,�!=
; 0
;
� ��
��� ,� G ������������ �� �� ������� ����������
����� �� ��� � >� �� ��� ������� �� ���)���� ��� � �� 4�� ���−→A �
−→B ��
�� ��,����6. >� ������� (π)9 �� ���� ��������������� �� 4�� ���−→B . %�� ����� ��� �� ������
4�� �����9 ��A��B 4�� ���AB−→X ��� ��� �� �(���� ��� ����� ��� 5 �� ����9 ���� ��� ��
4�� ���−→A .
%��� �� 4�� ���−→X0 �� ��� �� ������
(−→A ,
−→X0,
−→B)�� �� ��,���� ����� 9 ���� ��� ��
�� ? −→A ∧ −→
X0 = −→B
�$�� 5��� 6������
��1 ���� , A [�� ���
� �� ��� ����� 4�� ���������� �� � �6������ ��� �� 4�� ���−→A � ��� �(�� � ���� �� ���� ���
�� ���)�� ������ 4�� �����9 �� ���4� ��� ?
−→A ∧
(−→A ∧ −→
X0
)= −→A ∧ −→
B
−→A ·
(−→A · −→X0
)︸ ︷︷ ︸
=0 ��−→A⊥−→
X0
−−→A 2 · −→X0 = −→
A ∧ −→B
�� ��� ����� ?
−→X0 =
−→B ∧ −→
A−→A 2
�(�� �� ��� 9 ��� �4�� ��� ?
−→A ∧ −→
X = −→B <,�)=
−→A ∧ −→
X0 = −→B <,�+=
�.Q− �.L = −→A ∧
(−→X −−→
X0
)= �0
���� �(� ���)�� ��� � �� ���6 4�� ��� �� ���������� � ���� ��� ?(−→X −−→
X0
)= λ
−→A ⇒ −→
X = −→X0 + λ
−→A
>� �� ���4� ���� �� ��� ��� ,������� �� �(���� ��� �� 0���� ������ ����� AλB ?
−→X =
−→B ∧−→
A−→A 2
+ λ−→A
#�* &���� � �� ������� �� ����� = �� ����
O� ������� ��� � ���� ������� �#� ����� �� �#� '����/ ���� �� ����� ���������@ �#������� � '�����
F� ������� ������ �� A � �������(P,�V)/ �� '���� ��'��� E
−−−−→M(A,�V ) = −→
AP ∧ �V
"� ������ ����� ������ ��� � ������ '�������/ ��� ������� ������� ��� ������������ � ������ ��� ����� ��� ���������� ��� ��������
��� :������ �&�� $���� A 9 �� $���� B
��� ������ ���� ���� ������ ������ �� ��� ��������� �� 0��� ������� �� ������� ����B���� ��� ���� '���������
�������� ������
,� +���� �(�� ,����� ��� ������ 5 �� ���� ���
9����� A �� B/ ��. ������ �������� �� �#������ 9�����−−−−→M(A,�V ) ��
−−−−→M(B,�V )/ ��� �������
�� A �� B � �H�� �������(P,�V)�
−−−−→M(A,�V ) = −→
AP ∧ �V =(−→AB + −→
BP)∧ �V = −→
AB ∧ �V + −→BP ∧ �V︸ ︷︷ ︸−−−−−→M(B,�V )
= −−−−→M(B,�V ) + −→
AB ∧ �V
��� ��'��� ��� ������� ����B�������� <���� ���� �� �������= ��� ��. �����������'����� E { −−−−→
M(A,�V ) = −−−−→M(B,�V ) + −→
AB ∧ �V−−−−→M(A,�V ) = −−−−→
M(B,�V ) + �V ∧−→BA
�$�� 5��� 6������
��� ���� , A [�� ���
�������� ������
������ �
��������
L #���������� ��� ������� ������ �� ������� ��������� ��� ���� �� ������� ���������� ��� �� �H�� �� ��������� �� �����
��� ���� ��� �������� ������� ��� ������� ��� ���0����� �� ��������/ ��� �#��A������� ��� �� ��������� ��'�����/ ���� ���������� �������� �� ���. M������N ��� ��B�A����� ������ �������� O� ������ �#��� �#� ���� ���3�������] 8� ��� ������ ����������� ����� ���� � 3���������
+�� ��� � !����
F� ������� 3��� �� '����/ ���� ���������� ��/ @ ��� ����� M �� �#�����/ ��������������� � '����
−−→V(M)�
5�� �/��$ ����$��*� ���
O� 3��� �� '����−−→V(M) ��� ��� ������(���� �� E
∀P,∀Q, −→PQ · −−→V(Q) = −→
PQ · −−→V(P )
�#���������� �� ���� ��������� ��� ��������������� ���� @ �� ��������� �� ���0����� ����������� ����3��� ���� �� ������ �� �3��� �A�������
5� �/��$ �����'��������
O� 3��� �� '����−−→V(M) ��� ��� �����$������� �� E
∃−→U ∈ �/∀P,∀Q, −−→V(Q) = −−→
V(P ) + −→U ∧−→
PQ
"� 3��� �����$������� ��� ���� ������ 3��� �� ������ ��� '������ ������ ������������ ��'��� �������� ��������� �#� 3��� �� '���� ������(���� ��� �����$��A
����� �� �������������
�$�� 5��� 6������
��) ���� 7 A ������
P
Q−−→V(P ) −−→
V(Q)
��� 7�� G +"�� �� ������ ����������
9���−−→V(M)/ � 3��� �� '���� �����$������� E
−→PQ · −−→V(Q) = −→
PQ ·
⎛⎜⎝−−→V(P ) + −→
U ∧ −→PQ︸ ︷︷ ︸
⊥−→PQ
⎞⎟⎠ = −→
PQ · −−→V(P )
O� 3��� �� '���� �����$������� ��� ��� ������(�����"3��������� ���������� � 3���
−−→V(M) ������(�����
−→PQ · −−→V(Q) = −→
PQ · −−→V(P ) ⇒−→PQ · −−→V(Q) −
−→PQ · −−→V(P ) = �0 ⇒ −→
PQ ·(−−→V(Q) −
−−→V(P )
)= �0
��� '�����(−−→V(Q) −
−−→V(P )
)��
−→PQ ���� ��� ���3�����.� F� ��. ����� ����� �� ��������
��'���� E∃�U/
(−−→V(Q) −
−−→V(P )
)= �U ∧ −→
PQ⇒ −−→V(Q) = −−→
V(P ) + �U ∧ −→PQ
O� 3��� �� '���� ������(���� ��� ��� �����$��������
+�� 2�����
5 � )�"������
F� ������� ������ �� ������ �� ��. 3���� �� '�����−→R ��
−→M E
G−→R ��� ������ �� ��������� � ������ <#��� � ��'������=�
G−→M ��� �� ������ � ������/ ��� �.�������� ������ � ����� �R �� ��� �.������
{τ} =P
{ −→R
−−→M(P )
}−→R ��
−→M ���� ������� ��� �������� �� ������� � �������
−−→M(P ) ��� � 3��� ��
'����� EG �����$������� E ∀P,∀Q, −−−→
M(Q) = −−→M(P ) + −→
R ∧ −→PQ
G ������(���� E ∀P,∀Q, −→PQ · −−−→M(Q) = −→
PQ · −−→M(P )−−→M(P ) ��� � 3��� �� ������� �� �������
�������� ������
7�! !�4����� �(�� ����� ��+
5 #�������
O� ������ ����� ������� �� ��. ��������/ � ������ �#��� ����������� ����� ���� �������� R (O,�x,�y,�z) �� �� �#�� ����>� �.���������� E
G �� ��������� E−→R = Rx · �x+Ry · �y +Rz · �z/
G �� ����� P �� ����� �� ��� �.����� E−→OP = xP · �x+ yP · �y + zP · �z/
G ��� ������ �� ��� ����� �#�.�������� P E−−→M(P ) = Mx · �x+My · �y +Mz · �z�
F� ��� ����� ����� �� ������ �� ��. �������� E
G ��� ����� �� '����� �������
{τ} =P
{ −→R
−−→M(P )
}=
P
⎧⎨⎩Rx Mx
Ry My
Rz Mz
⎫⎬⎭
(�x,�y,�z)
�'� �� 0�� @ ��3� �� ����� �R ��� �.����� �� ������ �� �� 0�� @ ������/ �� 0����#�.�������� ��� '�����/
G ��� ����� �� '����� ������
{τ} =P
{ −→R
−−→M(P )
}=
P
{Rx · �x+Ry · �y +Rz · �zMx · �x+My · �y +Mz · �z
}
�'� �� 0�� @ ������ �� ����� �R ��� �.����� �� �������
+�� ��!������� � �� ������
9��� � ������ ������� {τ} =A
{ −→R
−−→M(A)
}��� ��� ��� �������� �� ������� �
����� A ������9� �� ���������� � ������ � ����� B/ �� �#���� ����� E
{τ} =B
{ −→R
−−−→M(B) = −−→
M(A) + −→BA ∧ −→
R
}
�� ��������� �#� ��� 3����� <�� �� ��'��� ��(@=/ ���� ��������� � ������� ��'������� ������/ �� �#������� �#��.� ���� .���� ���
9� �� ���� �� �������−→R · −−−→M(B)/ �� ���'� E
−→R · −−−→M(B) = −→
R ·(−−→M(A) + −→
BA ∧ −→R)
= −→R · −−→M(A) + −→
R ·(−→BA ∧ −→
R)
︸ ︷︷ ︸�0
= −→R · −−→M(A)
�� ��.���� ��'������ �#� '���� �#������� �#��.� ���� ����� �/ �� ��������� ������� ������� ����� �� ��������� �� ��� ������� 6�������������/ ��� ��������� @ �����(����� ���3������� � ������ �� �� ����������
�$�� 5��� 6������
��- ���� 7 A ������
+�" >�������� ��� �� �������
• 4�������� �#� ������9�3��� �#� ������ ������ � ����� �R �� ��� �.�����/ �� �� '� �� �H�� ��� ��������
{τ} =A
{ −→R
−−→M(A)
}=
B
{ −→R
−−−→M(B)
}�'�
−−−→M(B) = −−→
M(A) + −→R ∧ −→
AB
−→R ��
−−→M(A) ���� ��� �������� �� ������� �� A � ������ {τ}/ �� �H��/
−→R ��
−−−→M(B)
���� ��� �������� �� ������� �� B � ������ {τ}�• 8������ ����� ��. �������
%�. ������� {τ1} �� {τ2} ���� ���. �#��� ��� ��� �H��� �������� �� ������� ��H�� ����� �#�.�������� P �
{τ1} = {τ2} ⇔{ −→R1 = −→
R2−−−→M1(P )
= −−−→M2(P )
• 4����� ���� ������ �� ��� � ������ �R ��� ��. �������� �� ������� ���� ��� E
{τ} =P
{ −→R = �0
−−→M(P ) = �0
}
�� �� �������� ��(��� ��� ���� �����/ �� �/ ����� ���� �� ����� �R �� ��� �.������• ,������� �� ��. �������
��� ����� �� ����� �� ��. ������� {τ1} �� {τ2}/ �� ��� ������0������ �.�������� ��. ������� � �H�� ����� P � �� �K� ������ �� ������ ��� �������� ��������� ��� ��. ��������
{τ1} + {τ2} =P
{ −→R1−−−→M1(P )
}+
P
{ −→R2−−−→M2(P )
}=
P
{ −→R1 + −→
R2−−−→M1(P )
+ −−−→M2(P )
}
• ������ �#� ������� �� �#� ������
9��� � ������ {τ} =P
{ −→R
−−→M(P )
}��� ��� �� �������� �� ������� � ����� P �
�� ������ �#� ������� λ ��� � ������ �#���� E
λ · {τ} = λ ·P
{ −→R
−−→M(P )
}=
P
{λ · −→Rλ · −−→M(P )
}
• "������� �� ��. �������F� ������� ������� �� ��. ������� {τ1} �� {τ2}/ �� ������� ����� �A������ E
{τ1} ⊗ {τ2} =P
{ −→R1−−−→M1(P )
}⊗
P
{ −→R2−−−→M2(P )
}= −→R1 ·
−−−→M2(P )
+ −→R2 ·
−−−→M1(P )
�������� ������
7�+ H����� ��� ���6 �(�� ����� ���
"���� ��� ��� ����� ����������/ �� ������� �� �#�B��� �#����� ��. ��������.������ � �H�� ������
�������� �� &� ��������� ,�������9 �� � ����� ��� � �6 ������ � ��� ���� �� �������� �������9 �(����,�� � �(�� �� ���� �� �� ����� � ���� �� �� � �� �� �����... +����� �� ���������� ��� ���.
+�% ?������ ������$ � �� ������
9��� � ������ ������� {τ} =A
{ −→R
−−→M(A)
}��� ��� ��� �������� �� ������� �
����� A ������
5�� :���� ������
F� ������� ����� ������ �#� ������ {τ} � ����� C �R �� ������ � ������−−−→M(C) ���
��������� @ �� ���������−→R �
5� ��� ������
%��� �� ��������� � ����� ������/ ��� ��'��� ������� �� ���������� �� ������� ������3������� ��\� @ �� �������� ��'���� E
−−−→M(C) ∧
−→R = �0
8� ��'�������� ���� �������� ��\� @ �� �������� �� 3��� �� ������ � ������ �� ���������� �� �������� �� ��'����� '��������� <��� ,�!/ �� �� =/ ��� ���'��� �� ��������� ���#�.� ������ E
−→AC =
−→R ∧ −−→
M(A)−→R 2
+ λ−→R ,∀λ ∈ � <7��=
�������� �9 ��� �� �� ������� ��������� �(�6� ��� ���9 �� ������� �� ���������� ������ C ���� ��� 4����� ��� �������� �� λ9 ��� �6����� λ = 0. *(�6� ��� ��� � �� ���� ����� ��� �� ���� C � �� 4�� ��� ����� ���
−→R .
5�% ������ ������
F� ������� ������ ������/ �� ������ � ������ �� � ����� �� �#�.� ������ � ��������� ������ ������ ��� �� �H�� �� ��� ����� �� �#�.� �������9����� ��. ������ �� �#�.� ������/ C �� C ′/ ��� ��'��� ����� E
−−−→M(C) = −−−→
M(C′) +−−→CC ′ ∧ −→
R = −−−→M(C′)
8� �B��/ �� '���� ������� �� �#�.� ������ ��� �� '����−→R �
�$�� 5��� 6������
��� ���� 7 A ������
5�+ )�� ��$���� �����������
8� �������� �� �������� �� 3��� �� ������ �#� ������/ �� ��� ����� E
−−→M(A) = −−−→
M(C)︸ ︷︷ ︸��������� �
−→R
+ −→AC ∧ −→
R︸ ︷︷ ︸⊥ @
−→AC ��
−→R
����� ��������������� @ AC
� � �
�
: � � �
�
: � � �
: � � �
: � � � �
: � � �
� �
� �
: � � �
: � � � � �
� � �
��� 7�� G ���������� ���� �� ������ ������
�������� �� "�� 4���� �� �� �,��� ��$��� � ,�I�� 5 �� ���� ��� ������� �(��$ ���� ��� �� ����� �� ����� �� ����� ��� �� ����� �6����� �� �� ���� ��� ��� C� �������9 �� ����� ��� ���
−−−→M(C) � ���� �� ����� �������.
5�� :�� �&�� �������
�� ������ ������ �#� ������ ����� ������� �� ��������� @ �� ��������� �� � ������/�� �.���� � ������� p ��� �� E
∀C ∈ (Δ) , −−−→M(C) = p
−→R
F� ������ �� E
p =−→R · −−→M(A)
−→R 2
+�' ,� ������� �����
�������� ������
7�� *� ����� 5 ���� �� � A,�����B ��
52� )�"������
O� ������ ���� ��� � ������ ���� �� ��������� ��� �����
{τ} =P
{ −→R = �0
−−→M(P ) = �0
}
52 :��$������
• �� ������ �#� ������ ���� ��� �� �H�� �� ��� ����� �� �#������ 8� ����A����/ � ������ ��� ��'������/ �� �/ ����� ���� �� ����� �R �� ��� �.������
{τ} =A
{�0
−−→M(A) = �0
}=
B
{�0
−−−→M(B) = −−→
M(A)
}
• O� ������ ���� ��� H��� ���������� ��� � �����0�� �� ��. �������� �� �����������������/ �� �H�� ����� �� �� ���� ���������
{τ} =A
{�0
−−→M(A) = �0
}=
A
{−→R�0
}+
B
{−−→R�0
}��� ��
−−→M(A) = −→
BA ∧−→R
+�( ,� ������� = ��������� /��������0
53� )�"������
O� ������ @ ��������� ��� � ������ ���� �� ������ ������ ��� �� E
∀C ∈ (Δ) , {τ} =C
{ −→R
−−−→M(C) = �0
}<7��=
53 :��$�����
O� ������ {τ} =A
{ −→R = �0
−−→M(A) = �0
}��� � ������ @ ��������� �� ��� ��'������ ������� ���
��/ #��� @ ���� ��� ���������� �� �� ��. �������� �� ������� ���� ���� ���3�����.�
53% 6���� �� ���������
%��� �� �� �#�� ����� ������� �� n ������� @ ��������� {τi} =Ci
{−→Ri
�0
}�'� Ci ∈
(Δi)/ �� ������ ����� �#���� �� � ����� A ������� E
{τ} =
A
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
n∑i=1
−→Ri
n∑i=1
(−−→ACi ∧
−→Ri
)⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭
�$�� 5��� 6������
�!1 ���� 7 A ������
%��� �� �� �#�� ����������� ������ <'������/ ������� � �������= �� �������
@ ��������� ���������� �� � ����� P �#� ������� E ��� {τ} =P
{−−→R(P )�0
}/ �� ������
����� �#���� �� � ����� A ������� E
{τ} =
A
⎧⎪⎨⎪⎩
∫P∈E
−→R∫
P∈E
(−→AP ∧ −→
R)⎫⎪⎬⎪⎭
�������� 8: "�� 4����� ��� ��� ��(�� ,���� ���)�� �� ����� � ���� �� ����$����� ,������� A�� ��� ���������9 ���� ����9 ���������B ����������� 5 �� ���� �� ����� 5 ���� �� �9 ��� �(� 5 ���4��� ���� ��� ���.
�������� ������
�������� �
_,0 �` &� ,0���/ � ��� ��������� ? ������� � ������������� / %���/ � ��_7����` %����� 7�����/ ���� �� ��������� ,�������/ "������/ 9�����0�� � ���_7�� )` 5�"� 7Y��/ 5� &���� �� &� 7�3��/ +�������� ,������� / %���/ ,�X� � )�_7�� +` a� 7������/ �� ����./+�������� P ? +�������� �� ����� ����0����)��/ 8�������/
� +�_"3� -�` � "3�'�����/ ���� �� ��������� �� ����� ����0����)��/ 8�9 "�3�� / � -�_"3�1)` � "3�'�����/ +�������� �� � ��� � �� ������6 ��0����)��/ 8������� / �11)�_"3� �` &���� "3�����/ +� ���� ���� �� �(��,������/ %��� / � ��_"�� �` 6� "����0���/ 5� 6���� ������ !��� ������ �%�& P◦ �����/ C�3�� / � ��_C�$-!` � C�$����/ ���� �� ������� ���� P$+��������/ %���/ � -!�_C�01!` 5� C�0��/ a'�� �������� �� &� ,����/ \�� �4�: 4�� �� �(�� �� �� ���� ����Y
� �(��,� �� ���4� ��,������ � �� � ����� �� ���������/ C������ �A-/ "������/�11!�
_6���-` �� 6������/ +��������9 ���� P � N/ 8�������/ � �-�_6���1` �� 6������/ ���� �� ���������/ 8��� ���$��3���� / � �1�_6���` "3������� 6�0��/ +�������� ,�������/ ������� ���$��3����� ��������/ � ���_���11` �0��� ������ �� "3������3� 7���/ ���� � �6������ �����,� �� ������ ����/ 8�A
������/ �111�_���1�` �0��� ������ �� "3������3� 7���/ ���� � �6������ �����,� �� ���������/ 8�A
������/ �11��_��?�!` ���� ��?���/ %���������� "� ����� %�������� +� ���� ���/ 4�U���/ ���!�_����!` 5��� ����Q/ +�������� �� ���� � �� � ��� �� �����/ &�����/ � �!�_���1�` 5��� ����Q/ +��������9 0������� � ������� ���/ %��� -◦ �������/ �11��_43�11` ,���� 43����/ ������ !��� ������ ? +�������� P◦ �����/ 8�������/ �111�
�$�� 5��� 6������