Embed Size (px)
Citation preview
𝑓(𝑥) = 𝐹(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
відомості з курсу
«Алгебра і початки аналізу»
𝑠𝑖𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
𝑎log𝑎 𝑏 = 𝑏
Числова функція. Способи задання функцій. Область визначення, область
Значень функцій. Графік функції
Область визначення функції f — це множина тих значень, яких може набувати
незалежний аргумент x. Вона позначається D (f).
Область значень функції f — це множина, яка складається з усіх чисел яких може
набувати залежна змінна у, f (x), де x належить області визначення. Її позначають
E (f).
Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає додаткових
обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину
всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст. Функцію можна задати не
тільки за допомогою формули, а й за допомогою таблиці, графіка чи словесного
опису. Іноді функція може задаватися різними формулами на різних множинах
значень аргументу.
CПОСОБИ ЗАДАННЯ ФУНКЦІЇ
Аналітичний Табличний Графічний Словесний
Формулою Таблицею Графіком Описом
відповідностіх 1 2 3 4 5 6 7 8 9
у 1 4 9 16 25 36 49 64 81
y = x3 + x – 4
Таблиця
квадратівПарабола
Кожному працівникові
відповідає один оклад на
одному робочому місці
Функція f називається парною, якщо для будь-якого x з її області визначення
f (–x) = f (x). Графік парної функції розміщений симетрично відносно осі Oy.
Функція f називається непарною, якщо для будь-якого x з її області визначення
f (–x) = –f (x). Графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку
координат.
Обернена функція та її властивості
Найпростіші перетворення графіків функцій
Степеневими функціями називають функції виду у = хα, де α — будь-яке дійсне
число. Це, наприклад, функції у = х1 = х, у = х2, у = х3. При довільному
натуральному α графіки і властивості функції у = хα аналогічні відомим вам
графікам і властивостям указаних функцій.
1. Функція y = xα (α — парне натуральне число). Якщо α — парне натуральне
число, то функція у = х2n, п ∈ N, має властивості та графік, повністю аналогічні
властивостям і графіку функції у = х2.
Область визначення функції у = х2n: D (y) = R, оскільки значення цієї функції
можна обчислити при будь-яких значеннях х.
Область значень функції: Е (у) = [0; +∞).
Функція парна: якщо f(х)=х2n, то
f(–х)=(–х)2n=х2n=f(х). Отже, графік функції у = х2n
симетричний відносно осі Оу. Оскільки при х = 0
значення у = 0, то графік функції y = x2n завжди
проходить через початок координат.
На проміжку [0; +∞) функція зростає.
На проміжку (–∞; 0] функція спадає.
Найменше значення функції дорівнює нулю
(y=0 при x=0), також є нулем функції.
Найбільшого значення функція не має.
Функція неперервна, неперіодична.
Ураховуючи властивості функції у = х2n, п ∈ N, одержуємо її графік який називається
параболою.
2. Функція y = xα (α — непарне натуральне число). Якщо α — непарне
натуральне число (α = 2n – 1, n ∈ N), то властивості функції y = х2n – 1, п ∈ N,
аналогічні властивостям функції y = x3.
Область визначення функції y = х2n – 1, п ∈ N: D (y) = R, оскільки значення цієї
функції можна обчислити при будь-яких значеннях х.
Область значень заданої функції: y ∈ R, тобто Е (у) = R = (–∞; +∞).
Тому найменшого і найбільшого значень
функція не має.
Функція непарна: якщо f (х) = х2n – 1, то f (–х) = (–
х)2n – 1 = –х2n – 1 = –f (х). Отже, графік функції
симетричний відносно початку координат.
На всій області визначення функція зростає.
Нулі функції (0;0)
Функція неперервна, неперіодична
Графік функції називається кубічною параболою.
3. Функція y = xα (α — непарне від’ємне число). Якщо α — непарне від’ємне
число, то функція y = x–(2n – 1), n ∈ N, має властивості та графік, повністю
аналогічні властивостям і графіку функції y=
.
Область визначення функції: D(y) = (–∞; 0) ⋃ (0; +∞), оскільки значення
функції можна обчислити при будь-яких значеннях х, крім x = 0.
Область значень : у ≠ 0, тобто Е (у) =(–∞; 0) ⋃ (0; +∞).
Функція непарна: при х≠0, якщо f(x) = x–(2n – 1), то
f(–х) = (–х)–(2n – 1) = –х–(2n – 1) = –f(х). Отже, графік функції симетричний відносно
початку координат. Ураховуючи, що х ≠ 0 і y ≠ 0 одержуємо, що графік функції y
= x–(2n – 1) не перетинає осі координат.
На проміжку (0; +∞) функція спадає.
На проміжку (–∞; 0) функція теж спадає.
Це випливає з того, що її графік симетричний
відносно початку координат.
Тому найменшого і найбільшого значень
функція не має.
Проміжки знакосталості: при x > 0
значення y = x–(2n – 1) > 0, а при x < 0
значення y = x–(2n – 1) < 0.
Неперіодична, перервна у точці 0
(асимптоти – вісі Ох та Оу ).
Ураховуючи властивості функції y = x–(2n – 1), одержуємо її графік, який називається
гіперболою.
4. Функція y = xα (α — парне від’ємне число). Якщо α — парне від’ємне число,
то функція y = x–2n, п ∈ N, має властивості та графік, повністю аналогічні
властивостям і графіку функції y=
.
Область визначення функції: D(y)=(–∞; 0) ⋃ (0; +∞), оскільки значення
функції можна обчислити при будь-яких значеннях х, крім x = 0.
Область значень: Е (у) = (0; +∞).
Функція парна: при х ≠ 0, якщо f (x) = x–2n, то f (–х) = (–х)–2n = х–2n = f (х).
Отже, графік функції симетричний відносно осі
Oy. Графік функції у = х-2n не перетинає осі
координат.
На проміжку (0; +∞) функція спадає.
На проміжку (–∞; 0) функція зростає. Це
випливає з того, що її графік симетричний
відносно осі Oy.
Тому найменшого і найбільшого значень
функція не має.
Перервна у точці 0 (асимптоти – вісі Ох та Оу ),
неперіодична
Ураховуючи властивості функції y = x–2n, одержуємо її графік.
5. Функція y = xα (α — неціле додатне число : у=
)
Область визначення: D(y) = [0; +∞), оскільки значення степеня з додатним
нецілим показником означено тільки для невід’ємних значень х.
Область значень: Е(у) = [0; +∞).
Функція ні парна, ні непарна
Графік функції завжди проходить
через початок координат
На всій області визначення функція є
зростаючою.
Ні парна ні непарна, неперервна.
Зазначимо також, що при x = 1 значення y =
1α = 1. Зображуючи графік функції y = xα (α
> 0, α — неціле), слід ураховувати, що при 0
< α < 1 графік має вигляд, аналогічний
графіку рис. 90, а при α > 1 — аналогічний правій вітці графіка y = x2 (рис. 91).
6. Функція y = xα (α — неціле від’ємне число у =
). Якщо α — неціле від’ємне
число, то функція y = xα (α < 0, α — неціле) має:
Область визначення x > 0 (D (y) = (0; +∞)), оскільки
значення степеня з від’ємним нецілим показником означено
тільки для додатних значень х.
Область значень заданої функції: у > 0, тобто
Е (у) = (0; +∞).
Ні парна, ні непарна
Графік функції y = xα (α<0) не перетинає осі координат
На проміжку (0; +∞) функція спадає.
Неперіодична, перервна у точці 0 (асимптоти вісі координат)
Ураховуючи властивості функції y = xα (α < 0), одержуємо її графік.
7. Особливий випадок.
Якщо α = 0, то функція y = xα = x0 = 1 при х ≠ 0 (нагадаємо, що
00 — не означено) і її графік — пряма y = 1 без точки (0; 1).
Степенева функція, її властивості та графік
Показникова функція, її властивості та графік
Показниковою функцією (з основою а) називається функція виду у=ах, де а>0 і
а≠1. В залежності від числа а, показникова функція ділиться на два типи:
1. у=ах (де 0<а<1)
Область визначення (D(y)): х∈ (-∞;+∞).
Область значень (Е (у)): у∈ (0;+∞).
Функція спадає на всій числовій прямій.
Перетинає вісь Оу в точці (0;1)
Вісь Ох ніколи не перетинає.
Неперервна та неперіодична.
Ні парна, ні непарна (індиферентна).
2. у=ах (де а>1)
Область визначення (D(y)): х∈ (-∞;+∞).
Область значень (Е (у)): у∈ (0;+∞).
Функція зростає на всій числовій прямій.
Перетинає вісь Оу в точці (0;1)
Вісь Ох ніколи не перетинає.
Неперервна та неперіодична.
Ні парна, ні непарна (індиферентна).
Графік показникової функції називається експонентою, він завжди знаходиться
в верхній півплощині, тобто там, де ординати (у) додатні. Графік необмежено
наближається до осі Ох, але ніколи його не перетинає.
Логарифм з довільною основою. Натуральний та десятковий логарифми.
Основна логарифмічна тотожність. Властивості логарифмів.
Корінь рівняння ах=N, де а>0, і а≠1, називається логарифмом числа N за основою а.
Логарифмом числа N за основою а (а>0, і а≠1) називається показник степеня х
до якого треба піднести а, щоб отримати число N.
Логарифм позначається: = ах=N.
Бувають також натуральні та десяткові логарифми.
Десяткові логарифми – це логарифми з основою (а) 10, які позначаються:
= =
Натуральні логарифми – це логарифми з основою е (е- число Ейлера (або
неперове число), е≈2,71828…), які позначаються:
= =
Основна логарифмічна тотожність: =
Властивості логарифмів:
1. Логарифм добутку двох додатних множників дорівнює сумі їх логарифмів.
( ) = +
2. Логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорівнює різниці логарифмів
діленого і дільника (чисельника і знаменника).
(
) =
3. Логарифм степеня додатного числа дорівнює показнику степеня помноженого на
логарифм основи цього числа.
=
4. Логарифм з кореня додатного числа дорівнює логарифму підкореневого виразу
поділеного на показник кореня.
√ =
=
5. Якщо підлогарифмічне число дорівнює основі, то логарифм дорівнює 1.
=
6. Якщо логарифми двох додатних чисел за тією ж самою основою рівні, то й самі
логарифми рівні.
=
7. Логарифм одиниці за основою а завжди дорівнює нулю.
=
8. Логарифм степеня основи дорівнює логарифму поділеному на показник степеня.
=
=
Логарифмічна функція, її властивості та графік.
Поняття логарифмічної функції. Кожному додатному числу х відповідає певне
значення його логарифма: - основу а розглядаємо як дане стале додатне
число, що не дорівнює 1. Інакше кажучи, при заданому а (а>0, а≠1) є
функцією від х, визначеною на множині всіх додатних чисел. Функцію
називають логарифмічною функцією за основою а (а>0, а≠1). Оскільки рівності
y= і x=ay за означенням логарифма визначають один і той самий зв'язок між
змінними х і у, то показникова і логарифмічна функції є взаємно оберненими. Якщо
показникова функція відображає зміну степеня числа залежно від зміни показника
степеня, то логарифмічна функція відображає зміну показника степеня залежно від
зміни степеня числа а. В залежності від числа а, логарифмічна функція ділиться на
два типи:
1. y= (де 0<а<1)
Область визначення (D(y)): х ∈ (0;+∞).
Область значень (Е (у)): у ∈ (-∞;+∞).
Ні парна, ні непарна (індиферентна).
Перетинає вісь Ох в точці (1;0).
Вісь Оу ніколи не перетинає.
Функція спадає на всій числовій прямій.
Неперервна та неперіодична.
2. y= (де а>1)
Область визначення (D(y)): х ∈ (0;+∞).
Область значень (Е (у)): у ∈ (-∞;+∞).
Ні парна, ні непарна (індиферентна).
Перетинає вісь Ох в точці (1;0).
Вісь Оу ніколи не перетинає.
Функція зростає на всій числовій прямій.
Неперервна та неперіодична.
Основні властивості логарифмів:
( ) = + ( ) = +
= √
=
=
= =
=
=
=
= =
Властивості та графік тригонометричної функції у=sinx
Оскільки синус існує для будь-якого дійсного числа,
тому залежність дійсного числа від його синуса є
тригонометричною функцією: у= . Синусом
числа х називається відповідна ордината точки на
одиничному колі (коло з радіусом 1: можна
називати - числове, тригонометричне коло). Графік
функції у= називається синусоїдою.
Властивості:
Область визначення (D(y)): х ∈ (-∞;+∞).
Область значень (Е (у)): у ∈ [-1;1].
Непарна і неперервна.
Періодична з періодом Т= або Т=2 , n ∈ Z (Z – множин ціли чис л).
Зростає на проміжках: х ∈ [
+
+ ], де n ∈ Z.
Спадає на проміжках: х ∈ [
+
+ ], де n ∈ Z.
Важливо: Функція у=f(x) називається періодичною з найменшим позитивним
періодом Т (Т≠0), якщо для будь якого х з області визначення функції числа х+Т та
х-Т також належать області визначення і виконується умова: f(x)= f(х+Т)=f(х-Т).
Властивості та графік тригонометричної функції у = cosx
Косинусом числа х називається абсциса точки числового кола (у геометрії: косинус
- відношення прилеглого (до кута) катета до гіпотенузи).
Властивості:
Область визначення (D(y)): х ∈ (-∞;+∞).
Область значень (Е (у)): у ∈ [-1;1].
Парна (єдина парна тригонометрична функція!!!) і неперервна.
Періодична з періодом Т= або Т=2 , n ∈ Z (Z – множин ціли чис л).
Зростає на проміжках: х ∈ [ + ], де n ∈ Z.
Спадає на проміжках: х ∈ [ + ], де n ∈ Z.
Графік функції у = cosx.
Примітка: Графік функції у= cosx ідентичний графіку функції у=sinx, але зміщений
на ⁄ по осі Ох вліво.
Р.S. : Синусом (sin) кута називається відношення протилежного (до кута) катета до
гіпотенузи. Тангенсом (tg) кута називається відношення протилежного катета до
прилеглого катета. Котангенсом (ctg) кута називається відношення прилеглого
катета до протилежного.
Властивості та графік функції у=tgx. При якому значенні
аргументу тангенс дорівнює 1?
Властивості:
Область визначення
(D(y)): усі числа, крім
х≠
+ ∈ .
Область значень
(Е (у)): у ∈ (-∞;∞).
Непарна.
Періодична з періодом
Т=1 або Т= ,
n ∈ Z (Z – множин
ціли чис л).
Зростає в області визначення.
Неперервна в області значень. Графік функції називається тангенсоїдою.
Безмежно наближається до прямих, що проходять через точки
=
+ (п р л л ні осі у і п рп н и ул рні о осі ), але не перетинає їх.
Тангенс дорівнює 1, коли значення аргументу дорівнює
+
( і по тор т с ож н п ріо ).
Значення функцій основних кутів.
0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 180◦ 270◦ 360◦
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
0
-1
0
cos
1
2
3
2
2
2
1
0
-1
0
1
tg
0
3
3
1
3
–
0
–
0
ctg
–
3
1 3
3
0
–
0
–
Властивості та графік функції y=ctgx
Властивості:
Область визначення (D(y)): усі числа, крім х≠ ∈ .
Область значень (Е (у)): у ∈ (-∞;∞).
Непарна.
Періодична з періодом Т=1 або Т= , n ∈ Z (Z – множин ціли чис л).
Спадає в області визначення.
Неперервна в області значень.
Безмежно наближається до прямих, що проходять через точки
= (п р л л ні осі у і п рп н и ул рні о осі ), але не перетинає їх.
Примітка: графік функції
y=ctgx схожий на графік
у=tgx, але він дзеркально
«перевернутий» і
зміщений по осі Ох на
.
Знаки тригонометричних функцій у різних чвертях (квадрантах):
Геометричні перетворення графіків тригонометричних функцій
1) y = f (x± a) -
Паралельне
перенесення графіка
функції y = f (x)
уздовж осі Ox на a
одиниць.
2) y = f (x)± a - Паралельне
перенесення графіка функції y
= f (x) уздовж осі Oy на a
одиниць.
3) y = -f (x) – Симетрія
(дзеркальне відображення)
відносно осі Ox.
4) y = f (-x) – Симетрія
(дзеркальне відображення)
відносно осі Oy.
5) y = f (kx) - Розтяг або
стиск графіка функції y = f
(x) уздовж осі Ox (при k > 1
— стиск, при 0 < k < 1 —
розтяг).
6) y = kf (x) - Розтяг або
стиск графіка функції y = f
(x) уздовж осі Oy (при k > 1
розтяг, при 0 < k < 1 —
стиск).
Приклад:
Найпростіші тригонометричні рівняння
Тригонометричними рівняннями називаються рівняння, у яких невідома (змінна)
входить лише під знак тригонометричної функції. Тригонометричні рівняння, у яких
змінна входить лише під знак тригонометричної функції, або зовсім не мають
розв’язків, або мають здебільшого безліч коренів внаслідок властивості
періодичності. Не існує загального способу розв’язування будь-якого
тригонометричного рівняння, але, як правило, їх розв’язання зводиться до
розв’язання простіших рівнянь: sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a.
Приклад: sin8x=0; 8x=(-1)n ∙ arcsin 0 + ∈ ; 8x= ∈ ; =
.
Примітка: Розв’язання будь-яких тригонометричних нерівностей, як правило,
зводиться до розв’язання найпростіших нерівностей: sinx≥a або sinx≤a, cosx≥a
або cosx≤a, tgx≥a або tgx≤a, ctgx≥a або ctgx≤a. Тригонометричні нерівності
можна розв’язувати графічно (будуючи графіки функцій обох частин нерівності),
але зручнішим є спосіб розв’язання за допомогою одиничного кола.
Значення основних обернених тригонометричних функцій
a
0 2
1
2
2
2
3
1 a
0
3
1
1 3
arcsin a 0 6
4
3
2
arctg a 0
6
4
3
arcos a 2
3
4
6
0 arcctg a
2
3
4
6
Рівняння Розв’язок
sinx = a має розв’язки, якщо
-1≤a≤1
x= (-1)n ∙ arcsin a + ∈
cosx = a має розв’язки, якщо
-1≤a≤1
x=± arccos a + ∈
tgx = a
x=arctg a + ∈
ctgx = a
x=arcctg a + ∈
Приріст аргументу та функції. Похідна функції.
Різниця двох значень аргументу х називається приростом
аргументу: х= х1-х.
Відповідна різниця значень функції називається приростом
функції: y=f(x+ х)-f(x).
Похідною функції y=f(x) в точці х0 називається
границя відношення приросту y функції до приросту х
аргументу за умови, що приріст х аргументу прямує до
нуля, а границя існує. Позначається:
x
xfxxf
x
xf
xx
)()(lim
)(lim 00
0
0
0
Правило знаходження похідної:
1) Знайти приріст аргументу х;
2) Знайти приріст функції y у відповідній точці;
3) Скласти відношення:
x
xfxxf
x
y
;
4) Знайти границю цього відношення (похідну):
)( 0xfy x
xfxxf
x
xf
xx
)()(lim
)(lim 00
0
0
0.
Якщо похідна знаходиться в певній точці х0, то вона як границя є певним
числом у’. Але для різних значень х0 такі числа можуть бути різними, і
кожному х0 відповідатиме своє число у’. Отже похідна функції, є теж функцією
аргументу х. Операція знаходження похідної від функції y=f(x)
називається диференціюванням. Для зручності знаходження похідних
різних функцій створено таблиці похідних для загального виду функції.
Приклад:
Розглянемо функцію у=х2 і знайдемо похідну цієї функції.
xxx
xxx
x
y
2
)( 22
; у’=
Примітка:
Функція y=f(x) в точці х0 називається диференційованою, якщо в цій точці вона має похідну f’ (x0)
Якщо функція y=f(x) є диференційовною в кожній точці деякого інтервалу (а;b), то вона називається диференційовною на цьому інтервалі
Якщо функція y=f(x) в точці х0 є диференційовною, то вона в цій точці неперервна.
Похідна функції позначається штрихом у верхньому правому куті біля функції:
у’ (ігрек штрих) або f’ (x0) – еф штрих від ікс нульове.
x2
x +х x О x
(x +х)2
у
Похідна суми, добутку та частки функцій.
Похідна суми.
Похідна суми функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій.
Якщо функції f1(x) та fn(x) в точці х мають похідні, то функція у= f1(x)± fn(x) в цій
точці також має похідну, яка дорівнює: =
Похідна добутку.
Похідна добутку функцій дорівнює: = ( ) ( ) +
( ) ( ).
Похідна добутку n функцій: .............)...( 121212121 nnnnn uuuuuuuuuuuuu
Похідна частки.
Похідна частки дорівнює: = ( )
( ) ( ) ( )
( ( )) , якщо ( )≠0
Похідна складної функції.
Складна (складена) функція – це функція аргументом якої є ще одна функція:
= ( ( )) Тобто функція від функції. Похідну від такої функції можна знайти так:
= [ ( ( ))] = ( ( )) ( ) - правило ланцюга.
Спочатку знаходиться похідна від всієї функції, а потім множиться на похідні
функцій, що знаходяться в основній функції.
Примітка: Якщо функція y=f(x) має похідну в точці х, то і функція y=k∙f(x) має
похідну в цій точці, до того ж:
= ( ( )) = ( ( ))
Фізичний (механічний) зміст похідної функції
Похідна шляху за часом є швидкість (s’(t)= ). Похідна від швидкості за часом є
прискорення ( ) = . Приклад: Нехай 2
2
1gts — рівняння вільного руху тіла, g —
прискорення його вільного падіння. Знайти миттєву швидкість тіла в будь-який
момент часу; у момент часу t = 2 c. За означенням маємо
gttggtv
2
2
1
2
1 2. Зокрема, якщо t = 2, дістаємо: м/с6,1928,92 gv .
Існують також деякі інші фізичні змісти похідної, для знаходження:
Сили струму в конкретний момент часу;
Лінійної густини стержня в конкретній точці;
Теплоємності тіла при конкретній температурі;
Швидкості хімічної реакції конкретний момент часу.
Похідна степеневої, показникової, логарифмічної,
тригонометричних та обернених тригонометричних функцій
Функція Похідна Правило
= =
Похідна від степеневої функції дорівнює
показнику степеня помноженому на цю
функцію в степені, на одиницю меншому.
=
=
=
=
Похідна від показникової функції дорівнює
добутку цієї функції на логарифм
натуральний основи.
=
=
=
=
Похідна логарифмічної функції дорівнює
діленню одиниці на добуток аргументу
помноженого на логарифм натуральний
основи.
= = Похідна від синусу дорівнює косинусу.
= = Похідна від косинусу дорівнює синусу з
протилежним знаком.
= =
Похідна від тангенса дорівнює діленню
одиниці на .
= =
Похідна від котангенса дорівнює діленню
одиниці на з протилежним знаком.
= =
√
Похідна від арксинусу дорівнює діленню
одиниці на √ .
= =
√
Похідна від арккосинусу така ж як і похідна
від арксинусу, але з протилежним знаком.
= =
+
Похідна від арктангенса дорівнює частці
одиниці на + .
= =
+
Похідна від арккотангенса така ж як і
похідна від арктангенса, але з протилежним
знаком.
Примітка: Якщо функція у = f(x) має в точці х відмінну від нуля похідну, то функція,
обернена до даної, подається у вигляді х = g(y) теж має похідну х’ = g’(y), обернену до
похідної даної функції:
)(
1)(
xfyg
Приклад: для функції = оберненою є x=siny
22 1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
1)(arcsin
xyyyx
.
Геометричний зміст похідної функції. Рівняння
дотичної до графіка функції
Геометричний зміст похідної: Значення
похідної в деякій точці дорівнює тангенсу кута,
утвореного дотичною до кривої в цій точці з
додатним напрямом осі Ох, або її кутовому
коефіцієнту: = = ( )
Отже можна скласти рівняння дотичної до графіка функції (в певній точці),
використовуючи цю властивість:
= + ( ) ( )
Диференціал функції, його геометричний зміст.
Величина f’ (x0)х називається диференціалом функції f(x) за приростом х.
Позначається: ( ) = ( ) (де еф від ікс нульове)
( ) = ( ) =
Диференціал функції дорівнює похідній функції помноженій на приріст аргументу.
Геометричний зміст: Диференціал функції f(x) при
заданих х і дорівнює приросту ординати дотичної
до функції в точці х. Диференціал аргументу є
приростом аргументу, тобто = .
Примітка:
Похідна аргументу дорівнює одиниці (x)’=1.
Похідна від сталої (числа) дорівнює нулю (c)=0.
Існують також похідні вищих порядків (друга, третя і т.д.), які є похідними від
похідних (друга похідна – це похідна від першої похідної, третя – від другої і т.д.).
Монотонність функції. Ознаки зростання та спадання функції.
Правило дослідження функцій на монотонність
Монотонність функції – властивість функції спадати, зростати
чи бути сталою на будь-якому проміжку.
Ознака сталості функції: якщо на деякому проміжку похідна
функції дорівнює нулю то функція стала на цьому проміжку.
Ознаки монотонності:
Зростання: якщо на деякому проміжку похідна функції
додатна, то функція зростає.
Спадання: якщо на деякому проміжку похідна функції
від’ємна, то функція спадає.
Інтервали монотонності відділяються один від одного або точками де похідна
дорівнює нулю, або точками, де похідна не існує.
Критичні(стаціонарні) точки – точки, в яких похідна не існує або дорівнює нулю.
Правило дослідження функцій на монотонність:
Знайти критичні точки;
Цими точками розбити область визначення на інтервали;
Знайти знак похідної на кожному інтервалі.
Приклад: Знайти інтервали зростання і спадання функції 1555)( 345 xxxxf .
Маємо 0)3)(1(515205)( 2234 xxxxxxxf , звідки
x = 1 x = 3
x = 0
+ + – +
0 1 3
Похідна f (x) неперервна для х(– ; + ) і перетворюється на нуль лише в точках
х = 0, х = 1, х =3, тому вона в інтервалах (– ; 0), (0; 1), (1; 3) і (3; + ) зберігає
знак. Оскільки f(– 1) > 0, 03
1
f , f (2) < 0, f (5) > 0, f (х) > 0, якщо х(– ; 0), f
(х) > 0, х(0; 1), f (х) < 0, х(1; 3), f (х) > 0, х(3; + ). Тому функція f(x) зростає
на інтервалах (– ; 0); (0; 1); (3; + ) і спадає на інтервалі (1; 3).
Екстремум функції. Ознаки екстремуму. Дослідження функції на
екстремум за допомогою першої похідної.
Точка х0 називається точкою максимуму функції,
якщо для всіх х, які не дорівнюють х0
виконується, що f(x)<f(x0).
Точка х0 називається точкою мінімуму функції, якщо для всіх х, які не дорівнюють х0 виконується, що f(x)>f(x0).
Точки максимуму і мінімуму функції називають ще екстремальними точками, мінімум і максимум називають екстремумом функції.
Правило дослідження функції на екстремум за допомогою першої похідної:
Знайти критичні точки функції;
Знайти інтервали монотонності функції;
Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак з «+» на «-», то ця
точка є точкою максимуму;
Якщо при переході через критичну точку похідна змінює знак з «-» на «+», то ця
точка є точкою мінімуму.
Дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної
Якщо функція = ( ) диференційовна, то її похідну називають похідною другого
порядку і позначають = ( ).
За допомогою другої похідної, функцію можна дослідити на опуклість (вгору чи вниз
опуклий графік функції), знайти точки перегину, а також простіше знайти
екстремуми функції.
Правило дослідження функції на екстремум за допомогою другої похідної:
Знайти критичні точки функції;
Знайти похідну другого порядку;
Якщо друга похідна в критичній точці більше нуля, то ця точка є точкою
мінімуму;
Якщо друга похідна в критичній точці менше нуля, то ця точка є точкою
максимуму;
Приклад: дослідити функцію на екстремум за допомогою другої похідної
у = 2х3-15х2-84х+8.
Знаходимо 1-шу похідну: у’=6х2-30х-84.
Прирівнюємо похідну до нуля і розв’язуємо рівняння 6х2-30х-84=0
х1=7, х2=-2.
Знаходимо похідну другого порядку: у’’=12х-30.
Обчислюємо значення 2-ї похідної у критичних точках:
у’’(7)=54>0, у’’(-2)=-54<0. Отже хmax=-2, xmin= 7 уmax(-2)=100, уmin=-629.
Невизначений інтеграл, його властивості. Основні
табличні інтеграли.
Первісною функції f(x) називається така функція F, похідна якої дорівнює даній
функції, тобто ( ) = ( ). Якщо F (x) — одна з первісних функції f (x), то будь-яка
інша її первісна подається виразом F (x) + С, де С — довільна стала. Отже, якщо
функція f (x) має принаймні одну первісну, то їх існує безліч.
Сукупність (множина) усіх первісних функції називається невизначеним
інтегралом. Тому операція знаходження первісної називається інтегруванням
(операція інтегрування обернена до операції диференціювання). Позначається:
( ) = ( ) +
Вираз ( ) називають підінтегральним виразом, функцію f (x) —
підінтегральною функцією, змінну x — змінною інтегрування, ( ) + –
первісна функції.
Основні властивості невизначеного інтеграла:
Сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
( ) = ( ) ст ли множни
Інтеграл від суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів
.)(...)()()(...)()( 2121 dxxfdxxfdxxfdxxfxfxf nn
Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції.
( ( ) )
= ( )
Основні табличні інтеграли:
= + 1
2 = +
2 =
1
+
=
+ 1+ = | | +
2 + 2=
1
+
1
= | | + = | | +
√ 2 + 2= | + √ 2 + 2| +
=
+
√1 2= +
√ 2 2=
+
= +
1 + 2= +
= |
| +
= +
2 2=
1
|
+ | =
1
+
= + =1
+ =
1
2 = + =
1
+ ( + ) =
( + )
Визначений інтеграл, його геометричний зміст.
Формула Ньютона-Лейбніца
Приріст первісної на деякому проміжку [a;b] називається визначеним інтегралом
від a до b від функції: F(b)-F(a). Позначається:
∫ ( ) = ( )| = ( ) ( )
формула Ньютона-Лейбніца.
Геометричний зміст визначеного інтегралу:
Значення визначеного інтегралу на певному
проміжку дорівнює площі (S) криволінійної трапеції,
обмеженої графіком функції, прямими x=a, x=b та
віссю Ох (пряма у=0).
= ( )
Властивості визначеного інтегралу, його фізичний зміст
Властивості визначених інтегралів:
( ) =
=
( ( ) ( )) = ( ) + ( )
( )
= ( )
( )
= ( )
+ ( ) ∈ [ ]
Фізичний зміст визначеного інтеграла:
Значення визначеного інтеграла від швидкості дорівнює пройденому шляху на
даному проміжку часу:∫ ( ) = ( )
Значення визначеного інтеграла від прискорення дорівнює швидкості на даному
проміжку часу: ∫ ( ) = ( )
Робота змінної сили F (x) при переміщенні тіла з точки a в точку b дорівнює:
= ∫ ( )
- значенню визначеного інтеграла.
Елементи комбінаторики. Розміщення, перестановки, сполучення
Комбінаторика — розділ математики, в якому вивчаються способи вибору і
розміщення елементів деякої скінченної множини на основі якихось умов. Вибрані (або вибрані і розміщені) групи елементів називають сполуками. Якщо всі елементи
заданої впорядкованої множини різні — дістаємо перестановки без повторень, а
якщо в заданій упорядкованій множині елементи повторюються, то дістанемо перестановки з повтореннями. Сполуки бувають трьох видів – перестановки,
розміщення та комбінації.
Перестановкою з n елементів називається будь-яка впорядкована
множина з n елементів. Позначається - . Інакше кажучи, це така множина, що має в елементах певний порядок.
Формула числа перестановок:
= !
Факторіал – це добуток усіх натуральних чисел від 1 до числа . Позначається - !
Розміщенням з n елементів по k називається будь-яка впорядкована множина з k
елементів, складена з елементів n-елементної множини. Позначається - .
Інакше кажучи, це така множина, яка складається з числа способів якими можна
вибрати k елементів із всіх наявних елементів n і для якої важливий порядок розміщення цих k елементів.
Формула числа розміщення:
=
( )
Комбінацією n елементів по k називається будь-яка k-елементна підмножина
n-елементної множини. Позначається - .
Інакше кажучи, це така множина, яка складається з числа способів якими можна
вибрати k елементів із всіх наявних елементів n і для якої не важливий порядок розміщення цих k елементів.
Формула числа комбінацій:
=
( )
В основі розв’язування багатьох комбінаторних задач лежать два основних
правила — правило суми і правило добутку. Правило суми.
Якщо елемент А можна вибрати m способами, а елемент В — n способами, то А або В можна вибрати ( m + n) способами.
Правило добутку. Якщо елемент А можна вибрати т способами, а після цього елемент В — п
способами, то А і В можна вибрати (m∙n) способами.
Отже, якщо доводиться вибирати або перший елемент, або другий, або третій і т. д. елемент, кількості способів вибору кожного елементу додають, а коли доводиться
вибирати набір, у який входить і перший, і другий, і третій, і т. д. елементи,
кількості способів вибору кожного елементу перемножують.
Множини та операції над ними. Поняття множини. Одним з основних понять, які використовуються в математиці, є
поняття множини. Для нього не дається означення. Можна пояснити, що
множиною називають довільну сукупність об’єктів, об’єднаних певною
властивістю (а самі об’єкти — елементами даної множини). Як правило, множини
позначають великими літерами латинського алфавіту. Наприклад, якщо множина М
складається з чисел 1; 2; 3, то її позначають так: М = {1; 2; 3}. Той факт, що число
2 входить до цієї множини (є елементом даної множини М) записується за
допомогою спеціального значка ∈ так: 2 ∈ М; а те, що число 5 не входить до цієї
множини (не є елементом даної множини), записується так: 5 ∉ М. Можна
розглядати також множину, яка не містить жодного елемента,— порожню множину.
Порожня множина позначається символом , множина всіх натуральних чисел —
літерою N, множина всіх цілих чисел — літерою Z, множина всіх раціональних чисел
— літерою Q, а множина всіх дійсних чисел — літерою R.
Множини бувають скінченні і нескінченні в залежності від того, яку кількість
елементів вони містять. Так, множини А = {7}; M = {1; 2; 3} — скінченні, бо містять
скінченне число елементів, а множини N, Z, Q, R —
нескінченні.
Дві множини називаються рівними, якщо кожний
елемент першої множини є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини є
елементом першої множини.
Підмножина: Якщо кожен елемент множини A є елементом множини B, то говорять,
що множина A є підмножиною множини B.
Операції над множинами:
Об’єднання двох множин.
Об’єднанням множин А і В називають множину С, складену з усіх елементів, що належать хоча б одній із цих
множин (А або В).
Об’єднання множин позначають знаком .
Перетин (переріз) множин.
Перетином множин А і В називаюсь їхню спільну частину,
тобто множину С усіх елементів, що належать як множині А,
так і множині В.
Переріз множин позначають знаком .
Різниця множин.
Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з елементів, які належать множині А і не
належать множині В. Різницю множин позначають знаком \.
Доповнення множини.
Доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А (але які належать
універсальній множині U).
Доповнення множини А позначається (можна читати: «А з
рискою»). Потужність множини – це кількість її елементів. Позначається знаком модуля: |A|=10 .
Для будь-яких скінченних множин виконується рівність:
| | = | | + | | | |
Дії над векторами, що задані координатами
Вектором називається напрямлений відрізок.
Вектор позначається або двома великими латинськими буквами (перша буква-
початок, друга – кінець вектора), або однією маленькою латинською літерою, над
якими обов’язково ставиться стрілочка чи штрих (як вказівка, що це вектор, а не
відрізок!).
Відстань між початком вектора і його кінцем, називається довжиною (модулем,
абсолютною величиною) вектора. Позначається: | |, або | |.
Вектор називається нульовим (нуль-вектором), якщо він має нульову довжину,
тобто його кінець збігається з початком.
Вектор довжина якого дорівнює одиниці називається одиничним.
Одиничні вектори, що беруть початок у початку координат і лежать на вісях
координат називаються – ортами. Позначаються: н осі
Колінеарні вектори - це вектори, що лежать на одній прямій, або на паралельних
прямих. Вони можуть бути напрямлені і однаково і протилежно. Відповідні
координати колінеарних векторів пропорційні.
Компланарні вектори - вектори, що лежать в одній площині або в паралельних
площинах.
Вектори, що лежать на координатній площині (чи просторі) характеризуються
наявністю координат. За допомогою координат над векторами можна
виконувати різні дії.
Дії над векторами:
НА ПЛОЩИНІ У ПРОСТОРІ
КООРДИНАТИ ВЕКТОРА, ТА ЙОГО ДОВЖИНА
( ) , де = , = , =
( оор ин ти точо поч т у і інц тор )
| | = √ +
| | = √ +
+
РІВНІ ВЕКТОРИ
Рівними векторами називаються вектори, які однаково напрямлені, колінеарні і
мають однакові довжини: = . Усі відповідні координати векторів рівні
( ) = ( ) = ; = ( ) = ( ) = ;
= =
СУМА ВЕКТОРІВ
( )+ ( ) = ( + + ) ( ) + ( )
= ( + + + )
РІЗНИЦЯ ВЕКТОРІВ
( )- ( ) = ( ) ( ) ( )
= ( )
МНОЖЕННЯ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО (СКАЛЯР)
При >0, вектор і вектор однаково напрямлені.
При <0, вектор і вектор протилежно напрямлені.
( ) = ( ) ( ) = ( )
СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ
Скалярний добуток векторів дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.
= | | | | ут між тор ми
Скалярний добуток також дорівнює сумі добутків відповідних координат.
= + = + +
РОЗКЛАДАННЯ ВЕКТОРА
= + = + +
Крім дій з координатами векторів, їх можна додавати чи віднімати за допомогою
деяких інших (геометричних) правил. До них відносять: правило трикутника,
паралелограма, многокутника, паралелепіпеда (для простору).
Правило трикутника та паралелограма:
a + b
a
b
ba
b
ba
a
b + a
a + b b
baa
b b – a
a
a + b
a
b
ba
b
ba
a
b + a
a + b b
baa
Властивості логарифмів
якщо ( )
( 2) = + 2
(
2) = 2
( ) =
√
=
=
1
= 1
1 =
=
=1
=1
log =
log = log
=
ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ТРИГОНОМЕТРІЇ
Основна тригонометрична тотожність:
+ =
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу
=
=
=
=
=
= +
= +
Тригонометричні функції суми (Формули додавання)
( + ) = +
( ) =
( + ) =
( ) = +
( + ) = +
( ) =
+
( + ) =
+
( ) = +
Сума тригонометричних функцій
+ = +
= +
+ = +
=
+ = ( + )
[ і
+ ( )]
= ( )
Формули подвійного аргументу
=
= = =
=
[
+
+
]
=
[
]
Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
=
[ ( ) ( + )]
=
[ ( ) + ( + )]
=
[ ( ) + ( + )]
=
[ ( ) ( + )]
Формули половинного аргументу
= √
= √
+
= √
+ =
=
+
= √
+
=
+
=
Формули зведення
Формули зниження степеня
=
= +
=
+
= +
Функція
Аргумент
![УДК [373.5 : 372.851] : [512.1 + 514.1]...Математика : алгебра і початки аналізу та геометрія, ... §3. Похідна та її застосування](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f0d506d7e708231d439bbc0/-3735-372851-5121-5141-oe-.jpg)
