Міністерство освіти і наукиСумський державний університет

Шосткинський інститут

3759 МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИдо самостійної роботи

на тему «Криволінійні інтеграли та їх застосування»з дисципліни «Вища математика»

для студентів інженерних спеціальностейденної і заочної форм навчання

СумиСумський державний університет

2014

Методичні вказівки до самостійної роботи на тему «Криволінійні інтеграли та їх застосування» з дисципліни «Вища математика» / укладач А. М. Шкіра. – Суми : Сумський державний університет, 2014. – 28 с.

Кафедра фундаментальних і загальнонаукових дисциплін

ШІ СумДУ

ЗМІСТ

С.1. Криволінійні інтеграли.................................................................4

1.1. Криволінійний інтеграл першого роду...........................41.2. Криволінійний інтеграл другого роду..................................91.3. Умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.................................................................................12

2. Застосування криволінійних інтегралів....................................162.1. Довжина дуги кривої...........................................................172.2. Маса кривої...........................................................................172.3. Координати центра мас........................................................172.4. Моменти інерції....................................................................182.5. Площа плоскої фігури..........................................................182.6. Робота силового векторного поля......................................18

Приклади для самостійної роботи.................................................20Список рекомендованої літератури...............................................27

1. Криволінійні інтеграли

1.1. Криволінійний інтеграл першого роду

Нехай L – кусково-гладка просторова крива з початком у точці А і кінцем у точці В, на якій визначена і неперервна функція F(M). Інтегральною сумою розбиття дуги AB на n елементарних частин довжини називається така функція:

де – довільна точка на елементарному відрізку розбиття.

Криволінійним інтегралом першого роду від функції F(M) по дузі AB називається границя (якщо вона існує) інтегральної суми розбиття αn при та , яка не залежить від способу розбиття дуги AB точками Mk на елементи і вибору точок Nk в частинних дугах довжини ΔSk і позначається таким чином:

Криволінійний інтеграл 1-го роду (вздовж дуги L = AB) має вигляд

або (1)

де dl – довжина дуги.

Якщо крива AB задана явним рівнянням y = g(x) (a≤x≤b), то криволінійний інтеграл (1) зводиться до визначеного інтеграла

(2)

У разі задання кривої AB параметричними рівняннями інтеграл обчислюється за

формулою

(3)

Якщо AB – просторова крива, що задана параметричними рівняннями , , то має місце формула

(4)

Якщо крива AB задана рівнянням , , то інтеграл обчислюється за формулою

(5)

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл ,

де L – відрізок прямої між точками A(0; –2) та В(4; 0).

Розв’язання

Оскільки крива L задана явним рівнянням, то згідно з формулою (2) матимемо

Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл

вздовж дуги L, де L – перша арка циклоїди

Розв’язання

Знайдемо похідні, що входять до формули (3):

та диференціал

Тоді за формулою (3) матимемо

Приклад 3. Обчислити криволінійний інтеграл

, де – відрізок прямої, яка сполучає точки

і .

Розв’язання

Рівняння прямої, якій задовольняють задані точки, знаходиться за формулою

,

де – задані точки.

Пряма має вигляд

або .

Звідси .За формулою (2) матимемо

.

Приклад 4. Обчислити криволінійний інтеграл першого

роду , де коло .

Розв’язання

Перейдемо до полярних координат:

. Рівняння кривої набуває вигляду

,

де .

Для обчислення інтеграла застосуємо формулу (5), оскільки . Отже,

;

.

Приклад 5. Обчислити криволінійний інтеграл першого

роду , де – дуга циклоїди ,

між точками та .

Розв’язання

Знайдемо похідні функцій та за параметром :

.

За формулою (4) матимемо

1.2. Криволінійний інтеграл другого роду

Криволінійним інтегралом другого роду від векторної функції по дузі називається скінчена границя

інтегральної суми при (якщо вона існує і не залежить від способу розбиття дуги на елементи і вибору точок ). Інтеграл має вигляд

,

де радіус вектор точки; скалярний добуток.Криволінійний інтеграл другого роду (вздовж дуги ) має вигляд

Для просторової кривої криволінійний інтеграл 2-го роду записується таким чином:

Зі зміною напрямку інтегрування криволінійний інтеграл другого роду змінює знак на протилежний. Якщо крива АВ задана явним рівнянням , то криволінійний інтеграл другого роду обчислюється за формулою

(6)

Якщо гладка крива L=AB задана параметричними

рівняннями , ty , , то справедлива формула

(7)

Для гладкої просторової кривої

матимемо формулу

(8)

Приклад 6. Знайти криволінійний інтеграл другого роду

, де L – дуга параболи , яка обмежена

точками A(0;0) та B(1;2).

Розв’язання

Згідно з формулою (6)

Приклад 7. Обчислити криволінійний інтеграл

, де відрізок прямої від точки до точки

.

Розв’язання

Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки і :

.

Тоді . Скористаємось формулою (6):

Приклад 8. Обчислити інтеграл вздовж

ламаної , де і .Розв’язання

Вздовж ламаної на ділянці маємо і , на ділянці .

Тому, згідно з формулою (6), маємо:

Приклад 9. Знайти криволінійний інтеграл другого роду

, де L – еліпс, заданий параметричними рівняннями

, з додатним напрямом обходу.

Розв’язання

Згідно з формулою (7) маємо

1.3. Умова незалежності криволінійного інтеграла від шляху інтегрування

Якщо вираз є повним диференціалом деякої функції у деякій області, що містить криву L=AB, тобто виконується рівність , то інтеграл

(9)

не залежить від вибору форми шляху з точки A до точки B.Необхідною і достатньою умовою незалежності

криволінійного інтеграла від шляху інтегрування є рівність

(10)

Якщо справедлива умова (10), то функцію u(x,y) можна знайти, наприклад, так:

Розглянемо на площині деяку область D, обмежену контуром L. Для замкненого контуру L справедлива формула Гріна:

(11)

Тут символом позначено подвійний інтеграл по

області D, а символом – криволінійний інтеграл по

замкненому контуру L. Контур L обходять у додатному напрямку.

Криволінійні інтеграли першого та другого родів пов’язані між собою співвідношенням

де α – кут між дотичною до гладкої кривої в деякій точці та додатним напрямком осі Ox.

Приклад 10. Чи залежить криволінійний інтеграл від

шляху інтегрування ?

Розв’язання

За умовами задачі: .

Знайдемо часткові похідні і :

.

Отже, інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Приклад 11. Обчислити криволінійний інтеграл другого

роду , де L – коло

Розв’язання

Оскільки контур L замкнений, то скористаємось формулою Гріна (11)

Отже,

де область D – круг, обмежений контуром L.Введемо полярні координати і

перейдемо від подвійного інтеграла до повторного. Тоді

Приклад 12. За допомогою формули Гріна обчислити

криволінійний інтеграл , де

коло .

Розв’язання

За умовою;

.Отже,

.

За формулою Гріна маємо

.

Область коло з центром у точці і радіусом . Рівняння кола має вигляд:

.Перейдемо до полярних координат із полюсом у центрі . Рівняння, яке зв’язує і полярні координати з

полюсом у точці , має вигляд:.

Таким чином,

.

Приклад 13. Переконатись, що інтеграл

не залежить від шляху

інтегрування та обчислити його вздовж відрізка прямої від точки A(2;3) до точки B(3;4).

Розв’язання

Перевіримо умову (10)

Отже, цей інтеграл не залежить від шляху інтегрування. Запишемо тепер рівняння прямої, що проходить через точки A(2;3) та B(3;4). Матимемо

або

водночас . Тоді

2. Застосування криволінійних інтегралів

Розглянемо застосування криволінійного інтеграла першого роду у геометрії та фізиці.

2.1. Довжина дуги кривої

Нехай l – довжина дуги кривої L, тоді вона обчислюється за формулою

(12)

2.2. Маса кривої

Якщо – лінійна густина плоскої матеріальної кривої L, то числове значення маси кривої L дорівнює інтегралові

(13)

Для просторової кривої L формула (13) набирає вигляду

(14)

2.3. Координати центра мас

Нехай – координати центра мас плоскої кривої L, M – маса цієї кривої, – лінійна густина, тоді

(15)

Для просторової кривої координати центра маси обчислюються за формулами:

(16)

2.4. Моменти інерції

Позначимо через – моменти інерції кривої L щодо координатних осей Ox, Oy, а через I0 – момент інерції цієї кривої щодо початку координат. Тоді

(17)

Розглянемо тепер застосування криволінійного інтеграла другого роду.

2.5. Площа плоскої фігури

Позначимо через S площу плоскої фігури, обмеженої замкненою кривою L. Тоді

(18)

2.6. Робота силового векторного поля

Якщо – силове векторне поле, то криволінійний інтеграл другого роду має фізичний зміст роботи цього поля за переміщенням матеріальної точки з точки B до точки C. Робота поля

(19)

Приклад 14. Знайти довжину дуги кривої

між точками її перетину з осями координат.

Розв’язання

Скористаємось формулою (12). Спочатку знайдемо диференціал дуги

та межі параметра t:

Тоді

Приклад 15. Знайти площу фігури, обмеженої еліпсом

Розв’язання

Згідно з формулою (18) обчислення площі таке:

Приклад 16. Визначити роботу сили якщо вона переміщується з точки О(0;0) в

точку В(2;10) вздовж дуги кривої

Розв’язання

Згідно з формулою (19) маємо

Приклади для самостійної роботи

I. Обчислити криволінійні інтеграли першого роду:

1.1. де відрізок прямої між точками і

.

1.2. , де прямокутник із вершинами

.

1.3. , де коло .

1.4. де арка циклоїди

.

1.5. де L – відрізок прямої між точками

А(0;–2) і В(4;0).

1.6. де L – відрізок прямої між точками А(1;1)

і В(0;-2).

1.7. де L – контур прямокутника з вершинами

А(0;0), В(4;0), С(4;2) i D(0;2).

1.8. де L – дуга параболи відсічена

параболою .

1.9. де L – дуга синусоїди .

1.10. де L – коло .

1.11. де L – коло а>0.

1.12. де L – арка циклоїди

.

1.13. де L – чверть еліпса .

1.14. де L – дуга кривої ,

.

2. Обчислити криволінійні інтеграли другого роду:

2.1. , де верхня половина еліпса

за ходом стрілки годинника.

2.2. , де лінія від точки до

точки .

2.3. , де L – відрізок прямої від

точки А(1; 0) до точки В(–1; –2).

2.4. , де L – відрізок прямої від

точки А(0; 1) до точки В(2; 5).

2.5. , де L – верхня половина еліпса

, і обхід здійснюється за годинниковою стрілкою.

2.6. , де L – еліпс і обхід

здійснюється проти годинникової стрілки.

2.7. від точки О(0; 0) до А(1; 1), що

сполучені між собою:а) відрізком ОА прямої ; б) дугою параболи ;

в) дугою параболи ; г) ламаною ОВА, де В(0; 1); д) ламаною ОСА, де С(1; 0).

2.8. , де лінії ОА – ті самі, що у попередній

задачі.

, де L – права половина кола від точки А(0;

–а) до точки В(0; а).

2.9. , де ОА – відрізок між точками

О(0; 0) і А(π; 2π).

2.10. , де L – чверть кола , від

t1 = 0 до

2.11. , де L – верхня половина кола

від точки (а; 0) до очки (–а; 0).

3. За допомогою формули Гріна обчислити криволінійний інтеграл:

3.1. , де коло .

4. Вибрати криволінійний інтеграл за координатами, який не залежить від шляху інтегрування

4.1. .

4.2. .

4.3. .

5. Упевнитися, що інтеграли не залежать від шляху інтегрування, і обчислити їх:

5.1. .

5.2. .

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

6. Переконатися, що вирази є повними диференціалами деяких функцій, і знайти ці функції;

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8.

6.9.

6.10.

7. У задачах обчислити криволінійні інтеграли:1) за допомогою формули Гріна;2) безпосереднім інтегруванням:

7.1. , де L – контур трикутника, утвореного осями

координат і прямою

7.2. , де L – контур чотирикутника з

вершинами в точках О(0; 0), А(2; 0), В(4; 4), С(0; 4).

7.3. , де L – контур трикутника з

вершинами А(а; 0), В(а; а), С(0; а).

7.4. , де L – контур трикутника з

вершинами А(1; 1), В(3; 2), С(2; 5).

7.5. , де L – коло .

Список рекомендованої літератури

1. Дубовик В. П. Вища математика : навч. посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик. – К. : Видавництво А.С.К., 2009. – 648 с.

2. Дубовик В. П. Вища математика : збірник задач : навч. посібник / В. П. Дубовик, І. І. Юрик. – К. : Видавництво А.С.К., 2003. – 480 с.

3. Дюженкова Л. І. Математичний аналіз у задачах і прикладах : навч. посібник / Л. І. Дюженкова та ін. – К. : Вища школа, 2003. – Ч. 2. – 470 с.

4. Овчинников П. П. та ін. Вища математика : підручник / П. П. Овчинников та ін. – К. : Техніка, 2003. – Ч. 2. – 600 с.

5. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике / Д. Т. Письменный. – М. : Айрис-Пресс, 2000. – Ч. 2. – 252 с.