Funcţii cu proprietatea lui

Darboux

PROF.BLAGA CORNELIA

Competenţe specifice:- Identificarea legăturii dintre funcţiile continue şi cele cu proprietatea lui Darboux;- Exprimarea utilizând interpretarea geometrică a funcţiilor cu proprietatea lui Darboux;- Utilizarea echivalenţei între funcţii cu punct de discontinuitate de speţa I şi cele care nu au proprietatea lui Darboux.

Obiective operaţionale:- Însuşirea definiţiei proprietăţii lui Darboux;- Folosirea teoremei lui Bolzano în stabilirea proprietăţii lui Darboux pentru diferite funcţii;- La sfârşitul lecţiei elevul să ştie să recunoască dacă o funcţie dată are sau nu proprietatea lui Darboux folosind definiţia sau teorema lui Bolzano (se folosesc numai funcţii continue sau discontinue de prima speţă).

IV. Prezentarea conţinutului şi dirijarea învăţării

Definiţie: Fie I , I-interval şi I:f o funcţie. Spunem că f are proprietatea lui Darboux dacă Ib,a , ba şi situat între f(a) respectiv f(b), există cel puţin un punct b,ax a.î. )x(f .

a) Se observă din definiţie că funcţiile cu proprietatea lui Darboux transformă un interval oarecare tot într-un interval. b) Geometric, o funcţie definită pe un interval are proprietatea lui Darboux dacă pentru orice Ib,a şi orice dreaptă orizontală y situată între f(a) şi f(b) intersectează graficul lui f în cel puţin un punct

y

x O

f(b)

f(a)

a x b

y

c) Fie :f , 1x)x(f f are P.D. pe pt. că:

alegând 2a 1b , b,a , ba şi 2,10 1,2x a.î. 0)x(f 01x 1,21x .

Proprietatea lui Darboux admite şi o interpretare fizică sugestivă.

Astfel dacă un automobil are viteza funcţie continuă pe un interval de timp I, I:v şi dacă la două momente de timp It,t 21 admite vitezele

)t(v)t(v 21 atunci orice viteză intermediară cuprinsă între )t(vv 11 şi )t(vv 22 este atinsă la un moment situat între 1t şi 2t .

d) Exemplu de funcţie care nu are P.D. Fie 2,4:f ,

2,0x,x

0,4x,4x)x(f

y

x - 4 - 1 0 1 2

1 2

3 4

f nu are P.D. pt. că 1a 1b , ba , 3)1(f , 1)1(f

şi 3,12

5 a.î. 1,1x

2

5)x(f

1) pt. 0,10,41,1x

2

5)x(f

2

54x 4

2

5x /2

0,12

3x

2

5)x(f , 0,1x .

2) pt. 1,02,01,1x

2

5)x(f 1,0

2

5x

Din 1) şi 2) 2

5)x(f 1,1x

Teorema Bolzano: Orice funcţie continuă I:f , I-interval are proprietatea lui Darboux.

Observaţii: 1) Dacă I:f are proprietatea lui Darboux atunci ea nu are puncte de

discontinuitate de speţa I. 2) Dacă I:f are un punct de discontinuitate de speţa I atunci f nu are

proprietatea lui Darboux. Exemplu: 1,1:f , ]x[x)x(f . 3) Dacă I:f , f continuă atunci )I(f este un interval. 4) Dacă I:f nu transformă intervalul I tot într-un interval atunci f nu

are P.D.

Exemple: i) :f ,

0x,1

0x,0

0x,1

)xsgn()x(f

}1,0,1{)(f nu este interval f nu are P.D. ii) :f ,

Q\x,0

Qx,1)x(f

}1,0{)(f nu este interval f nu are P.D.

Lema lui Bolzano: Dacă b,a:f este o funcţie continuă 0)b(f)a(f , atunci există cel

puţin un punct b,ac a.î. 0)c(f . Observaţii: 1) Altfel spus ecuaţia 0)x(f are cel puţin o soluţie în intervalul b,a . 2) Dacă 0)b(f)a(f atunci există cel puţin b,ac a.î. 0)c(f . 3) Dacă f este strict monotonă atunci soluţia este unică.

Exemplu: Să se arate că ecuaţia 01x3x 4 are cel puţin o soluţie în intervalul

0,1 . Teorema lui Bolzano face legătura între două clase de funcţii: cele

continue şi cele care au proprietatea lui Darboux astfel: )I(PD)I(C . Reciproca este adevărată? Este lăsată clasa să-şi exprime părerile după care se infirmă valabilitatea

acesteia dând un exemplu de funcţie cu proprietatea lui Darboux cu puncte de discontinuitate de speţa a II-a.

Exemplu: :f ,

0x,0

0x,x

1sin

)x(f

I. Evaluarea Stabiliţi proprietatea lui Darboux pentru funcţiile: 1) :f ,

1x,2

1x,1x)x(f

2

2) :f , ]x[)x(f

3) :f ,

0x,1

0x,x

)x1ln()x(f

4) :f , xsin)x(f 5) :f ,

0x,0

0x,x

tgx)x(f

VI. Evaluarea pe sarcini punctuale- Evaluarea prin lucru individual (tema pentru acasă).Manual – Elemente de analiză matematică