MIKROÖKONÓMIA I.

Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretébenTartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén

az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszékaz MTA Közgazdaságtudományi Intézet

és a Balassi Kiadóközrem¶ködésével

Készítette: K®hegyi Gergely és Horn Dániel

Szakmai felel®s: K®hegyi Gergely

2010. június

1

ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék

MIKROÖKONÓMIA I.

13. hét

Tényez®piacok és jövedelemelosztás 1. rész

K®hegyi Gergely, Horn Dániel

A tananyagot készítette: K®hegyi GergelyJack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009)Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECON-könyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el®adásvázlatok.http://econ.core.hu/∼kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával.

Technológia és költségek

Mi van a termel®i döntés hátterében?Termel®i döntés:

• célfüggvény: Π = Pq − C(q)→ maxq

• korlátozó feltétel:

� P =konstans (tökéletes verseny)

� P = D−1 = P (q) (monopólium)

• Adottnak tekintettük: C(q) (költségfüggvény)

Honnan származik a költségfüggvény?Hogyan határozhatjuk meg a költségfüggvényt?

• Számviteli kimutatásokból, statisztikai adatokból megbecsüljük

• Egy alapvet®bb szintr®l levezetjük (A továbbiakban mi EZT követjük)

Mit®l függenek a költségek?

• Termelési technológiától

• A termelési tényez®k, vagy ráfordítások (nyersanyagok, munka, gépek, energia, stb.) árától.

(EMLÉKEZTET�: A vállalatnak NINCS tulajdona, tehát minden termelési tényez®t vásárol, vagybérel)

1. De�nícióAzokat a piacokat, ahol a vállalat a keresletével jelenik meg, hogy megvásárolja a termeléshez szükségeser®forrásokat, tényez®piacoknak nevezzük.

1. MegjegyzésA termelési tényez®k ára függ az er®források kínálatától (ezt egyel®re adottnak tekintjük), valamint attól,hogy a vállalat a tényez®piacon mekkora piaci er®vel rendelkezik.

2

Technológia

• Technológiai halmaz: A megvalósítható input-output (a, q) kombinációk halmaza.

• Lehetséges maximális kibocsátás, a ráfordítás mellett: tpa ≡ q

• Átlagtermék: Egységnyi ráfordításra es® átlagos kibocsátás: apa = qa

• Határtermék: Ha egy (kicsiny) egységgel növeljük a felhasználást a ráfordításból, mennyivel változik akibocsátás: mpa = ∆q

∆a ;mpa = dqda

• Termelési függvény (feltesszük, hogy létezik): A technológiai halmaz határa, avagy a maximálisanmegvalósítható (hatékony) input-output kombinációk halmaza

q ≡ Φ(a)

Több ráfordítás � egy termék esetén:q ≡ Φ(a, b, c, . . .)

3

Több ráfordítás � több termék esetén:

q1 ≡ Φ1(a, b, c, . . .)

q2 ≡ Φ2(a, b, c, . . .)

q3 ≡ Φ3(a, b, c, . . .)

...

4

Egy ráfordítás, egy termék esete

2. De�nícióA csökken® hozadék: Ha az A ráfordításból felhasznált a mennyiségét növeljük, miközben a többi ráfordításszintjét rögzítjük, az össztermék (q) növekedési üteme, azaz a határtermék (mpa), el®bb-utóbb csökkenni kezd.Azt a ráfordítási szintet, amelynél ez a csökkenés megkezd®dik, a csökken® határhozadék határpontjánaknevezzük. Ha a ráfordítás nagysága e ponton túl tovább n®, el®bb-utóbb az átlagtermék (apa) is csökkennikezd. Azt a ráfordítási szintet, ahol ez bekövetkezik, a csökken® átlaghozadék határpontjának hívjuk. Ha pedigaz A ráfordítás mennyiségét még tovább növeljük, végs® soron akár az össztermék is csökkenhet. (A termeléstakadályozhatja, ha a ráfordításból széls®ségesen sok áll rendelkezésre.) Azt a pontot, ahol az össztermék iscsökkenni kezd, a csökken® teljes hozadék határpontjának nevezzük.

• Termelési függvény

• Átlagtermék

• Határtermék

5

Vízráfordítás és hagymatermés, Új-Mexikó, 1995Víz Össztermék Átlagtermék Határtermék(centiméter) (kilogramm/ (össztermék/ (az intervallumokméter) hektár) centiméter víz) felez®pontjainál számítva)86,8 39 665 457,0

475,4109,1 50 267 460,7

343,3131,3 57 888 440,9

192,5153,5 62 162 405,0

123,6175,7 64 906 369,4

Termelési függvény és költségekLegyenek adottak az A,B,C, . . . ráfordítások ha, hb, hc, . . . árai

C ≡ haa+ hbb+ hcc+ c

C ≡ F + V ≡ F + haa

1. PéldaTegyük fel, hogy a ≡ a(q), pl.: q =

√a

Ennek inverze: a ≡ a(q), azaz pl: a = q2

6

Ekkor a költségfüggvény: C ≡ F + haa(q),azaz pl: C ≡ F + haq

2,

Határköltség

MC ≡ ∆C

∆q≡ ha

∆a

∆q≡ ha

1

∆a/∆q≡ hampa

dC

da=∂C (q(a))

∂q

dq

da= ha

MC(q)mpa = ha

MC(q) =hampa

Átlagos változó költség

AV C ≡ V

q≡ haa

q≡ haq/a≡ haapa

Átlagköltség

AC ≡ C

q≡ F + V

q≡ F

q+

haapa

7

Optimális tényez®felhasználás

Optimális tényez®felhasználás

3. De�nícióAz A ráfordítás határtermékének értéke megegyezik a �zikai határtermék és a termék árának szorzatával

vmpa = P ×mpa

1. ÁllításEgy a termékpiacon és a tényez®piacon is árelfogadó vállalat optimális tényez®felhasználási szintjét a vmpa =ha egyenl®ség adjha meg.

BizonyításMivel egy a termékpiacon és a tényez®piacon is árelfogadó vállalat esetén Π = Pq − C(q), optimumban

dΠdq = P −MC(q) = 0, azaz P = MC, és az el®z®ek miatt MC(q) = ha

mpa, ezért optimumban Pmpa =

vmpa = ha.

2. ÁllításHa egy vállalat a termék- és a tényez®piacokon is árelfogadó, az egyedül változtatható A ráfordításra vonatkozókeresleti görbéje a vmpa görbe csökken® szakasza.

BizonyításAz optimum másodrend¶ feltétele, hogy d2Π

dq2 = −dMCdq < 0, azaz dMC

dq > 0, emiatt optimumban dvmpadq =

d(Pmpa)dq = d(ha/MC(q))

dq = − ha

MC2dMCdq < 0.

ÁrelfogadásOptimális döntés árelfogadó vállalat esetén

4. De�nícióAz A ráfordítás határtermék-bevétele megegyezik a határbevétel (MR) és a �zikai határtermék (mpa) szor-zatával:

mrpa = MR×mpa

3. ÁllításEgy a tényez®piacon árelfogadó vállalat optimális tényez®felhasználási szintjét az mrpa = ha egyenl®ség adjameg.

8

BizonyításMivel bármely a tényez®piacon árelfogadó, de a termékpiacon nem feltétlenül árelfogadó vállalat esetén

Π = R(q)−C(q), optimumban dΠdq = MR−MC(q) = 0, azazMR = MC, és az el®z®ek miattMC(q) = ha

mpa,

ezért optimumban MRmpa = mrpa = ha.

4. ÁllításHa egy vállalat egy adott ha bérleti díjjal szembesül, az A ráfordítás felhasználása akkor lesz optimális, hamrpa = ha. Mivel ennek a tényez®felhasználási feltételnek a vállalat A ráfordításra vonatkozó keresletigörbéjének minden pontjában, vagyis minden ha árszint mellett teljesülnie kell, a keresleti görbe egybeesik azmrpa görbével (pontosabban az mrpa görbe csökken® szakaszával).

Termékpiaci monopóliumOptimális tényez®felhasználási döntés a termékpiacon monopol er®vel rendelkez® vállalat esetén.

Két ráfordítás, egy termék eseteq = Φ(a, b, c, . . .)Két ráfordítás esetén: q = Φ(a, b)

A C ′C ′, D′D′, E′E′ görbéket, most a függ®leges dimenziót elhagyva kétdimenziós egyenl®termék-görbékként(izokvantokként) ábrázoljuk. Mindegyik izokvant egy adott kibocsátási szintnek felel meg.

9

Össztermék görbék

Össztermék görbékParciális termelési függvények:

• q = Φ(a, b0) = Φ(a)|b0

• q = Φ(a0, b) = Φ(b)|a0

10

Mit nevezünk hosszú távnak és mit rövid távnak? A de�níció nem alapulhat a �zikai id®n

• Nehézipar: 10 év vs. 2 év?

• Információtechnológia: 2 év vs. 1 hónap?

5. De�nícióHosszú távon minden ráfordítás felhasznált mennyisége, rövid távon csak az egyik ráfordítás felhasználtmennyisége változtatható.

2. MegjegyzésKett®nél többváltozós termelési függvények esetén többféle id®táv is de�niálható.

HatártermékKukoricatermés (bushel/angol hold)Nitrogén A tövek száma angol holdanként (a)(font/angol hold) (b) 9000 12 000 15 000 18 000 21 0000 50,6 54,2 53,5 48,5 39,250 78,7 85,9 88,8 87,5 81,9100 94,4 105,3 111,9 114,2 112,2150 88,9 107,1 121,0 130,6 135,9

mpa =∂q

∂a;mpb =

∂q

∂b

• mpa: Egy egységgel növelve az a ráfordítás felhasznált mennyiségét, feltéve, hogy a b ráfordítás fel-használt mennyisége rögzített, mennyivel változik meg a kibocsátás.

• mpb: Egy egységgel növelve a b ráfordítás felhasznált mennyiségét, feltéve, hogy a a ráfordítás felhasz-nált mennyisége rögzített, mennyivel változik meg a kibocsátás.

11

Tényez®kereslet

Mérethozadék

6. De�nícióTegyük fel, hogy z-szeresére (k > 1) növeljük mindkét termelési tényez® felhasználását, azaz Φ(za, zb) = zkq.Ha a kibocsátás

• kevesebb, mint z-szeresére n® (k < 1), akkor csökken® mérethozadékról (volumenhozadékról, skálaho-zadékról),

• több, mint z-szeresére n® (k > 1), akkor növekv® mérethozadékról,

• z-szeresére n® (k = 1), akkor állandó mérethozadékról

beszélünk.

Cobb-Douglas termelési függvény

q = κaαbβ

Pl.:

Yt = AtKαt L

βtN

γt

Mez®gazdasági termelés Kanadában � Cobb-Douglas részarányokTartomány Föld részaránya Munka részaránya T®ke részaránya

(γ) (β) (α)Saskatehewan 0,2217 0,2954 0.4830Quebec 0,1240 0,4308 0,4452Brit Columbia 0.0956 0,6530 0.2514Kanada (átlag) 0,1597 0,4138 0,4265

Speciális technológiák

• Tökéletes helyettesítés (állandó mérethozadékkal): q = αa+ βb

• Tökéletes helyettesítés (csökken® mérethozadékkal): q =√αa+ βb

• Tökéletes kiegészítés (állandó mérethozadékkal): q = min{αa;βb}

• Tökéletes kiegészítés (növekv® mérethozadékkal): q = (min{αa;βb})2

Optimális termelés és tényez®felhasználásTényez®piaci és termékpiaci árelfogadás esetén a termel®i döntés (Pro�tmaximalizálási feladat), ha adott

tényez®- és termékárak mellett a lehet® legnagyobb pro�tot kívánja elérni a vállalat:

• Célfüggvény: Π = Pq − (haa+ hbb)→ maxq,a,b

• Korlátozó felt.: q = Φ(a, b)

• Lagrange függvény: L = Pq − (haa+ hbb)− λ (q − Φ(a, b))

Els®rend¶ feltételek:

• ∂L∂a = −ha + λ∂Φ

∂a = 0

• ∂L∂b = −hb + λ∂Φ

∂b = 0

• ∂L∂q = P − λ = 0

• ∂L∂λ = q − Φ(a, b) = 0

12

A harmadik egyenlet felhasználásával az els® két optimumfeltétel

• Pmpa = ha

• Pmpb = hb

A feladat megoldása (mennyit termel a vállalat és ehhez mennyit használ fel az egyes termelési tényez®kb®laz árak függvényében)

• a∗ = a(P, ha, hb) (vállalati tényez®keresleti függvény)

• b∗ = b(P, ha, hb) (vállalati tényez®keresleti függvény)

• q∗ = q(P, ha, hb) (vállalati kínálati függvény)

• Π∗ = Π(P, ha, hb) (vállalati pro�tfüggvény)

Rövid távú (egy termelési tényez®s) optimalizálás geometriája

• célfüggvény: Π = Pq − (haa+ hbb0)→ maxq,a

• kolátozó felt.: q = Φ(a, b0)

Egyenl®pro�t (izopro�t) egyenes (egy konkrét pro�tszintet adott árak mellett generáló input-outputkombinációk halmaza):

q =Π + hbb0

P+haPa

• Cél: A lehet® legnagyobb pro�tszinthez tartozó (legnagyobb tengelymetszet¶) egyenl®pro�t egyenesre�'jutni�' úgy, hogy közben nem lépni ki a technológiai halmazból.

• Érintési feltétel (izopro�t egyenes meredeksége megegyezik a termelési függvény meredekségével): ha

P =mpa

• Rövid távú optimum: a∗, b0, q∗

Hosszú távú (két termelési tényez®s) optimalizálás geometriája

7. De�nícióTermelés helyettesítései határaránya (MRSQ) (más megnevezés: technikai helyettesítési határarány, TRS):Az a ráfordítás egységnyi (kicsiny) növelése esetén mennyit változhat a b ráfordítás felhasználása, ha a közbenkibocsátási szint nem változik (egy izokvant meredeksége)

MRSQ ≡ −∆b

∆a|q

MRSQ ≡ −db

da|q ≡ C

3. MegjegyzésA termelési függvény teljes di�erenciálja

dq =∂Φ

∂ada+

∂Φ

∂bdb

Egy izokvant mentén a termelési szint nem változik, azaz dq = 0, tehát a fenti kifejezést átrendezve

−mpampb

=db

da= MRSQ

• A termelés költsége: C = haa+ hbb

13

• Egyenl®költség egyenes (egy adott költségszintet generáló input kombinációk halmaza): b = Chb− ha

hba

• Cél: A lehet® legkisebb költségszintre (legalacsonyabb tengelymetszet¶ egynel®költség egyenesre) jutniminden adott termelési szint esetén.

• Érintési feltétel (egyenl®költség egyenes meredeksége megegyezik az izokvant meredekségével):

hahb

= MRSQ =mpampb

• Optimum: a∗, b∗

Vállalati méretnövelés görbeEgy tetsz®leges egyenl®költségegyenes mentén abban a pontban maximális a kibocsátás, ahol a legmagasabb elérhet®egyenl®termék- görbe érinti az egyenest. Adott költségszint és kibocsátás mellett ez az érintési pont adja mega termelési tényez®k optimális felhasználási arányát. Az összes ilyen érintési pontot öszszeköt® görbét a vállalatméretnövelés- görbéjének (scale expansion path, SEP) nevezzük.

5. ÁllításAz optimális tényez®arány egyenlete: mpa

ha= mpb

hb

14

Költségminimalizálás és tényez®felhasználásTényez®piaci árelfogadás esetén a termel®i döntés (Költségminimalizálási feladat), ha adott tényez®árak

mellett a lehet® legkisebb költséggel kíván megvalósítani a vállalat egy adott termelési szintet

• Célfüggvény: C = (haa+ hbb)→ mina,b

• Korlátozó felt.: q̄ = Φ(a, b)

• Lagrange függvény: L = haa+ hbb− λ (q̄ − Φ(a, b))

Els®rend¶ feltételek

• ∂L∂a = ha + λ∂Φ

∂a = 0

• ∂L∂b = hb + λ∂Φ

∂b = 0

• ∂L∂λ = q̄ − Φ(a, b) = 0

Az els® két optimumfeltétel

• −λmpa = ha

• −λmpb = hb

Ezeket egymással elosztva

MRSQ = −hahb

A feladat megoldása (mennyit használ fel a vállalat az egyes termelési tényez®kb®l a tényez®árak és atermelend® mennyiség függvényében)

• a∗ = a(q, ha, hb) (vállalati feltételes tényez®keresleti függvény)

• b∗ = b(q, ha, hb) (vállalati feltételes tényez®keresleti függvény)

• C∗ = C(q, ha, hb) (vállalati költségfüggvény)

Mivel ha és hb a tényez®piacon árelfogadó vállalat számára adott, q viszont döntési változó, ezért aköltségfüggvényt gyakran a már ismert egyváltozós formában írják fel, amelyb®l származtathatók a továbbiköltségfogalmak

C(q, ha, hb) = C(q)

Rövid távon csak az egyik termelési tényez® változtatható: q = Φ(a, b0). Ekkor a költségminmalizálásifeladat

• Célfüggvény: C = (haa+ hbb0)→ mina

• Korlátozó felt.: q̄ = Φ(a, b0)

A korlátozó feltételb®l a parciális termelési függvény invertálásával: a = Φ−1b0

=̇f(q). Ezt behelyettesítvea célfüggvénybe

C(q) = haf(q) + hbb

A költségkifejezés kibocsátástól függ® tagja a rövid távú változó költség: V C(q) = haf(q), a konstanstag pedig rövid távú �x költség: F = hbb0.

15

Ráfordítások iránti kereslet

MC =hampa

=hbmpb

MC

MR=

hamrpa

=hbmrpb

6. ÁllításOptimális tényez®felhasználási feltételek: (

mrpa = hamrpb = hb

)

Földhasználat Essexben a nagy pestisjárvány el®tt és után(földterület nagysága angol holdban)Id®szak Szántó Kaszáló Legel® Erd® Összes Szántó

földterület aránya (%)1272�1307 243 8 11 7 269 90,21377�1399 164 10 28 14 216 76,11461�1485 143 16 30 20 209 68,4

7. ÁllításHa a ráfordítások közötti viszony kiegészít® vagy helyettesít®, a vállalat keresleti görbéje mindkét ráfordításesetében laposabb (rugalmasabb), mint a határtermékbevételi görbék. Ebb®l adódik egy fontos következtetés:a változtatható ráfordítások felhasználása érzékenyebben reagál az árváltozásokra hosszú távon, ha lehet®ségvan a �rögzített� tényez®k módosítására is.

Ágazati tényez®kereslet

16

8. ÁllításHa a ha bérleti díj csökken, az ágazati összkibocsátás n®, aminek hatására a termék ára csökken. A vállala-toknak így kevésbé éri meg többet bérelniük az olcsóbbá vált ráfordításból. E termékárhatás miatt a ráfordításiránti ágazati kereslet görbéje meredekebb lesz, mint a vállalati keresleti görbék egyszer¶ horizontális összege.A belépési-kilépési hatás éppen ellentétes irányú. A ha bérleti díj csökkenése növeli a vállalatok pro� tját,aminek hatására új vállalatok lépnek be az ágazatba, csökkentve az A ráfordításra vonatkozó ágazati keresletigörbe meredekségét.

Monopszónia a tényez®piacokon

8. De�nícióAzt a piacformát, amikor egy (típikusan tényez®)piacon az egyik piaci szerepl® (típikusan a vállalat) egyedüljelenik meg keresletével, monopszóniának nevezzük.

9. De�nícióAz a termelési tényez® határköltsége termelési tényez®piaci monopszónia esetén, mivel a vállalat nem árel-fogadó

mfca =∂C

∂a= ha +

∂ha∂a

9. ÁllításTényez®felhasználási optimum monopszónia esetén: mfca = mrpa

Min®ségi csoportok Nettó mrp (dollár) Fizetés (dollár)Üt®játékosokKözépszer¶ek −30 000 17 200Átlagosak 128 300 29 100Sztárok 319 000 52 100

DobójátékosokKözépszer¶ek −10 600 15 700Átlagosak 159 600 33 000Sztárok 405 300 66 800

17

Minimálbér szabályozás

Korcsoport Alacsony bér¶ek Foglalkoztatottságaránya változása

Fér�ak15�19 44,5 −15,620�24 14,2 −5,725�64 3,3 −2,465�69 14,0 −4,2

N®k15�19 51,8 −13,020�24 19,0 −4,225�64 8,8 −0,365�69 21,0 +3,1

18