005 Capitolul 5 Final Slide Slide

Capitolul 5

COSTUL DE OPORTUNITATE. FUNCŢII DE COST

Prof. dr. Stelian STANCU

5.1. Definiţie, trăsături, alegeri raţionale

- raritatea induce alegerea între utilizări alternative ale resurselor;

- costul alegerii între alternative se numeşte cost de oportunitate.

Definiţia 5.1. Se numeşte cost de oportunitate, avantajul maxim la care se renunţă atunci când se face o alegere sau se ia o decizie economică (de alocare a resurselor).

Trăsături: costul de oportunitate:

• funcţionează în orice decizie;

• nu are întotdeauna o expresie monetară.

5.2. Formularea problemei de minimizare a costului mediu

Costul capitalului este un cost mediu ponderat, pornind de la

următoarele elemente:

- există n surse de capital notate 1,2,…,n;

- costul formării capitalului i este ci, ni ,1= ;

- ponderea capitalului în totalul capitalului atras, pi, ni ,1= ;

- funcţia de eficienţă este costul mediu, C:

Capitolul 5. Costul de oportunitate. Funcţii de cost

55

∑=

=n

i

iin pcpppC1

21 ),...,,( .

- C ia valori cuprinse în intervalul [a,b] unde i

ii

icbca max,min == .

(P)

=≥

=

∑

∑

=

=

nip

p

cp

i

n

i

i

n

i

iii

,1,0

1

min

1

1

Etape (paşi): Pasul 1. Se construieşte funcţia lui Lagrange L:

−−= ∑∑

==

n

i

i

n

i

iin pcppppL11

21 1);,...,,( λλ

Pasul 2. Se determină punctele staţionare:

=∂

∂

==∂

∂

0

,1,0

λ

L

nip

L

i deci

=+++

====

1...

...

21

21

n

n

ppp

ccc λ

Rezultate:

- dacă },...,,{min 21 ni cccc = , atunci soluţia optimă

),...,,( 21∗∗∗∗ = npppp este următoarea:

1

0...... *1121

=

=======∗

∗+

∗−

∗∗

i

nii

p

ppppp

Microeconomie cantitativă

56

5.3. Calculul costului de oportunitate şi interpretarea economică

(P)

=≥

=∑

∑

=

=

nip

p

pc

i

n

i

i

n

i

iii

,1,0

1

min

1

1

- din punct de vedere matematic:

� rezolvarea este extrem de comodă, practic imediată;

- din punct de vedere economic:

� soluţia optimă nu este relevantă.

- costul mediu de capital se compară cu aşa numitul cost de

oportunitate, c. - c - este soluţia următoarei ecuaţii algebrice de grad superior (ecuaţia

de oportunitate):

∑ ∑= =

−+=+1 2

1 1

)1()1(t

t

t

t

t

t

t

t cFcI (5.1)

t1 - reprezintă durata de realizare a investiţiei; t2 - reprezintă durata de viaţă a investiţiei; It - reprezintă cuantumul investiţional în anul t; Ft - reprezintă fluxul financiar pozitiv adus în anul t. Semnificaţie:

- membrul drept - suma capitalizată pe toată durata în care se

realizează investiţia; - membrul stâng - valoarea actuală a tuturor fluxurilor financiare

aduse în perioada de viaţă a investiţiei.


57

- ecuaţia (5.1) este extrem de dificil de rezolvat;

- tehnica cea mai comodă - aceea a liniarizării.

- se porneşte de la egalitatea xx αα +=+ 1)1( :

)1(...)21()1()1(...)21()1(

221 21121 ctFcFcFctIcIcIttt

−++−+−=++++++

)...(...)...2...2(1221 2121221121 tttt

IIIFFFFtFFItIIc +++−+++=+++++++

deci

∑∑

∑∑

==

==

+

−

=21

21

11

11t

k

k

t

k

k

t

t

t

t

t

t

kFkI

IF

c (5.2)

(costul de oportunitate, c ∗ )

- costul optim (minim) de structură a capitalului, f ∗ :

∗∗∗∗ = npppff ,...,,( 21 )

Situaţii:

a) c ∗ > f ∗ - structura optimă a capitalului este rentabilă (alegerea de capital este rentabilă);

b) c ∗ < f ∗ - structura optimă a capitalului este nerentabilă (alegerea de

capital este nerentabilă);.

5.4 Definirea funcţiei de cost

Definiţia 5.2. O funcţie +

++ → RRc m 1: , dată de:

{ })(/[min]),(0

qCrxrqxcmr

∈=≥

(5.3)


58

se numeşte funcţie cost, unde mRr +∈ , reprezintă vectorul input-urilor

(vector1 presupus, de data aceasta, ca fiind coloană); mRx +∈ reprezintă

vectorul preţurilor factorilor, cu 0>ix , oricare ar fi mi ,1= (nu există

bunuri libere sau gratuite); { }qrqRrqC m ≥∈= + )(/)( , unde q este nivelul cerut al output-ului.

Problema (5.3) mai poate fi scrisă cu condiţia mai restrictivă

)(qIr ∈ , după cum urmează:

xrmr 0

[min]≥

pe restricţiile: (5.4)

q(r)= q , q dat

mr 0≥

sau analitic: ∑=

m

iii

rrr

rxm 1,...,, 21

[min]

pe restricţiile: (5.4’)

qrrq m =),...,( 1 , q dat

ir 0≥ , mi ,1=

5.5. Proprietăţi ale funcţiei cost

Presupunem mulţimea )(qC ca fiind nevidă şi închisă, oricare ar fi q>0. Presupunem, de asemenea, că c(x,q) este continuă, iar funcţia de producţie q(r) satisface cel puţin proprietăţile 3P , 6P , 8P şi 9P din capitolul

Functii de producţie.

• Proprietăţi ale funcţiei cost c(x,q):

1C : Funcţia cost c(x,q) este strict pozitivă pentru x>0 şi r>0

2C : Funcţia cost c(x,q) este crescătoare în x

( )( ) 02121 ≤−− rrxx

1 Acolo unde nu se specifică dacă r este vector linie sau coloană, se va alege convenabil contextului respectiv.


59

ceea ce reprezintă inegalitatea fundamentală a costului minim.

3C : Funcţia cost c(x,q) este concavă şi continuă în x

C4: Funcţia cost c(x,q) este liniar omogenă în x.

C5: Funcţia cost c(x,q) este crescătoare în q (cu alte cuvinte, costul marginal este întotdeauna mai mare sau egal cu zero).

C6: Funcţia cost 0)0,( =xc , adică nu există costuri fixe. Această proprietate se situează în zona funcţiilor de cost pe termen lung şi rezultă din proprietatea de esenţialitate slabă a funcţiei de producţie.

Lema Shephard: Fie ++

+ → RRc m 1: , o funcţie de cost dată de (5.3). Dacă c(x,q) este diferenţiabilă în x, atunci există un unic vector al cererii de factori, de cost minim, ce este egal cu gradientul funcţiei cost c(x,q) în x, adică:

i

ix

qxcqxr

∂

∂=

),(),( , pentru mi ,1= (5.5)

Importanţa acestei leme constă în determinarea vectorului cererii de factori, în funcţie de preţul fiecăruia dintre ei.

5.6. Costurile pe termen lung şi scurt

Costurile pe termen lung

Aşa cum am precizat mai sus, costurile pe termen lung consideră toate input-urile ca fiind variabile.

•••• Tipuri de costuri pe termen lung i1) Costul total pe termen lung – minimizează costul pentru

fiecare nivel al output-ului, când toate input-urile sunt variabile. ),()()( qxcqCVqCTL ==

Definiţia 5.2. Curba costului mediu are forma de ∪.

i3) Costul marginal pe termen lung ( mC L) se defineşte ca fiind

costul atras ca urmare a obţinerii unei unităţi adiţionale de output. Pentru funcţia c(x,q) presupusă derivabilă, avem:

mC L=

q

qxc

∂

∂ ),(

Elasticitatea costului total pe termen lung în raport cu output-ul, după relaţia:


60

(5.6)

Cu acest indicator nou introdus, relaţia (5.6) poate avea şi forma:

(5.6’’)

Din relaţiile (5.6/), (5.6//) şi (5.6) se deduce monotonia curbei

costului mediu: Comentarii:

1) Pentru 1=cε , rezultă CmL=CML;

2) Pentru 1>cε , rezultă curba CML este crescătoare şi situată sub CmL,

ceea ce înseamnă că avem o risipă la scală; 3) Pentru 1<cε , avem curba CML descrescătoare şi situată deasupra

CmL, ceea ce înseamnă că avem o economie la scală.

Figura 5.1. Monotonia curbei CML

Costurile pe termen scurt

Tipuri de costuri pe termen scurt:

i1) Costul total pe termen scurt (CTS)

1cε <

1cε < 1cε >

1cε >

1cε = q 0

( ) ( )qLCqCML m ,

1=cε

CmL

CML

1cε <

CML

LC

q

qxc

q

qxc m

c =∂

∂=

),(:

),(ε

[ ]1),(

),(

2−=

∂

∂

cq

qxc

q

q

qxc

ε


61

Fie r=( 1r , 2r ,…, ir ,…, mr ) – vectorul factorilor şi q(r) funcţia de

producţie corespunzătoare. Presupunem factorii 1r , 2r ,…, ir variabili, iar 1+ir , 2+ir ,…, mr ficşi,

cu kk rr ≤ , −+= krmik ,,1 dat.

Costul unitar al factorilor ficşi va fi:

+=>∞

≤=

mikrr

rrx

kk

kk

k,1,,

,finităvaloareo

Există două abordări în ceea ce priveşte costul total al factorilor

ficşi, cazul kk rr ≤ . 1. Prima, când vectorul preţurilor factorilor ( 1+ix , 2+ix ,…, mx ) se

înmulţeşte cu vectorul ( 1+ir , 2+ir ,…, mr ) al consumurilor efective din factorii

respectivi. Costul consumării factorilor kr ; mik ,1+= va fi:

∑ +++=+=

++++

m

ikmmiiiikk rxrxrxrx

12211 ...

În acest caz, costul consumării factorilor kr , mik ,1+= coincide cu abordarea pe termen lung.

2. A doua, când indiferent dacă factorii kr , mik ,1+= se consumă

în întregime sau nu, costul consumării lor va fi:

∑ +++=+=

++++

m

ikmmiiiik

krxrxrxrx

12211 ...

În consecinţă, în acest caz:

∑ ∑= +=

+=i

k

m

ikkkkk rxrxCTS

1 1


62

i2) Costul mediu pe termen scurt (CMS) se defineşte ca fiind raportul dintre costul total pe termen scurt şi volumul de output obţinut:

q

qCTSqCMS

)()( = (5.7)

i3) Costul marginal pe termen scurt (CmS) se defineşte ca fiind modificarea absolută înregistrată în cost, ca urmare a creşterii output-ului cu o unitate:

q

qCTSqSCm

∂

∂=

)()(

Figura 5.2 Curba înfăşurătoare a CML

5.7. Separabilitatea funcţiei cost

Definiţia 5.3. Fiind dată o funcţie cost ++

+ → RRc m 1: , de clasă 2C ,

spunem că preţurile ix şi jx sunt separabile de kx în c(x,q) dacă:

{ } kjimkji

x

qxc

x

qxc

x

j

i

k

≠∈=

∂

∂

∂

∂

∂

∂,,,...,2,1,, ,0

),(

),(

5.8. Problema minimizării costului. Analiza formală

Minimizarea costului pe termen lung

CML

Costuri

q 0

niSCM ,1 ; =′


63

Formularea problemei:

(1)

∑ ←==

m

kkk

r

rxxr1

[min] funcţia obiectiv

pe restricţiile:

,)( qrq ≥ q – dat

mr 0> (echivalent cu kr 0≥ mk ,1=∀ şi există cel puţin un

{ }mi ,...,1∈ astfel încât ir 0> )

Ipoteze: 1) mRx +∈ – vector al preţurilor input-urilor, dat; 2) Funcţia obiectiv este convexă şi diferenţiabilă;

3) Restricţiile sunt convexe şi diferenţiabile. Rezolvarea problemei: Fiind o problemă de programare convexă,

de minimizare, se aplică teorema Kuhn – Tucker: Teorema Kuhn – Tucker: Condiţia necesară şi suficientă ca o

soluţie admisibilă *r mR+∈ , a problemei (1), să fie optimă este să existe

+∈ R*λ cu proprietăţile:

=−

≥

≤−

0)]([

0

0)(

**

*

*

rqq

rqq

λ

λ şi totodată

=∇

≥∇

≥

0

0

0

*Lr

L

r

r

r

m

(5.8)

unde: )]([),( rqqxrrL −+= λλ – reprezintă lagrangeanul asociat problemei (1), λ - reprezintă multiplicatorul lui Lagrange;

∂

∂

∂

∂

∂

∂=∇

m

rr

rL

r

rL

r

rLL

),(,...,

),(,

),(

21

λλλ - reprezintă gradientul

funcţiei ),( rL λ . Din rezolvarea sistemului de relaţii 5.8) se obţine soluţia optimă

*r mR+∈ .


64

Minimizarea costului pe termen scurt

Formularea problemei:

∑ ∑+== +=≥

i

k

m

ikkkkk

r

rxrxxrm 1 10

[min] reprezintă funcţia obiectiv

(2) pe restricţiile:

−≥ qqrq ,)( dat

,kk rr ≤ mik ,1+=

kr 0≥ , mk ,1=

unde kr sunt valori cunoscute, mik ,1+= Ipoteze:

1) mRx +∈ - vector al preţurilor factorilor, dat;

2) Atât funcţia obiectiv, cât şi restricţiile sunt convexe şi diferenţiabile;

3) Presupunem că funcţia de producţie q(r) este strict cvasiconcavă şi de două ori diferenţiabilă şi continuă.

Rezolvarea problemei: Fiind îndeplinite condiţiile pentru aplicarea teoremei Kuhn – Tucker, avem:

1

( ) 0

0, 1,

0

0, 1,

( ) 0

( ) 0, 1,

0, 1,

0, 1,

0

kk

k

kk k

k

k

m

k

k k

q q r

r r k i m

k i m

q q r

r r k i m

r k m

Lk m

r

Lr

r

γ

λ

γ

λ

=

− ≤

− ≤ = +

≥

≥ = +

− =

− = = +

≥ =

∂≥ =

∂

∂=

∂∑

(5.9)


65

unde

[ ] ∑∑ ∑+== +=

−+−++=++

m

ik

i

k

m

ik

kkkkkkkmii rrrqqrxrxrL11 1

)()(),...,,,,( 21 λγλλλγ

Din rezolvarea acestui sistem se obţine soluţia **,γjr şi ,*

kλ cu

mj ,1= , mik ,1+= .

Minimizarea costului la o firmă cu mai multe subunităţi

Vom presupune o firmă formată din două subunităţi, fiecare urmând

a obţine un anumit volum de output iq , i=1,2, din acelaşi produs, astfel ca la

nivelul de ansamblu al firmei să se obţină cel puţin cantitatea ,21qqq +=

dată. Este necesar astfel a aborda problema pornind de la cele două nivele

care o compun: Primul nivel – cel al subunităţilor, unde funcţiile cost sunt de forma

)( i

ii qcc = , 2,1=i pentru fiecare din cele două subunităţi.

Nivelul 2 – cel de la firmă, unde este necesar a se rezolva următoarea problemă de optim:

1 2

1 2 1 21 2

,

1 2

min ( , ) ( ) ( )

pe restricţiile:

, dat

0, 1,2, dar cel puţin pentru un , restricţia este îndeplinită strict

q q

i

c q q c q c q

q q q q

q i i

= + + ≥ −

≥ =

(5.10) Rezolvarea problemei, dată de relaţiile (5.10), presupune:

- construirea lagrangeanului: ( )212

21

121 )()(),,( qqqqcqcqqL −−++= λλ

- condiţiile Kuhn – Tucker corespunzătoare sunt:


66

[ ]

[ ]

∑ =−

=≥−=

≥≥

=−−

≥

≤−−

=

2

1

21

21

21

0)('

2,1,0)(''

0,0

0

0

0

i

i

i

i

i

iq

qcq

iqcL

qq

qqq

qqq

i

λ

λ

λ

λ

Monopolul natural

Definiţia 5.6. Fie ),( qxc o funcţie cost pentru fiecare dintre cele două

subunităţi identice. Atunci, dacă pentru qq ≤ dat, este îndeplinită condiţia:

),(),(),( 2121qxcqxcqqxc +<+ , cu qqq ≤+≤ 210 (5.11)

spunem că avem un monopol natural asupra output-ului respectiv (când costul producerii nivelului 21

qq + , într-o singură subunitate este mai mic

decât costul producerii aceluiaşi volum 21qq + dar în subunităţi separate).

Observaţie: O funcţie de cost ce satisface relaţia (5.11) se numeşte subaditivă; astfel că subaditivitatea este echivalentă cu monopolul natural.

Combinarea producţiei

Definiţia 5.7. Combinarea producţiei este mai avantajoasă specializării producţiei dacă: ),0,()0,,(),,( 2121 qxcqxcqqxc +< unde x este vectorul preţurilor input-urilor, presupus dat.

Definiţia 5.8. Funcţia de cost multioutput ),,( 21 qqxc este subaditivă dacă:

),(),(),( 2121qxcqxcqqxc +<+

unde ),( 21

iiiqqq = .

Documents

005 Capitolul 5 Final Slide Slide