ECV 112Resistncia dos Materiais II

Prof.: Maila Pereira

CAPTULO 01

Anlise de Tenses

1 - Anlise Tenses

J vimos que o estado geral de tenso em um dado ponto Q caracterizado por seis componentes como mostra a figura.

1.1 Estado plano de tenso

x xy xz

yx y yz~

zx zy z

xy yx yz zy zx xz, , No Estado Plano de Tenso duas das faces do

elemento de volume esto livres de qualquer tenso. Por exemplo se considerarmos que as duas faces em que o eixo z perpendicular a tenso nula teremos:

xyx y, ,

0z zx zy .

1 - Anlise Tenses1.2 Transformao de tenso no plano

Dado o estado plano de tenso, como na figura, queremos determinar as componentes de tenso

, e associadas ao elemento depois que ele sofreu uma rotao de um ngulo q em torno do eixo z, expressando essas componentes em termos das componentes , e do estado de tenso original.

x' y' x' y'

x y xy

1 - Anlise Tenses

q

1.2 Transformao de tenso no plano A partir do elemento secionado podemos

escrever as equaes de equilbrio:

0

0

x

x x xy

y xy

FA Acos cos Acos sen

Asen sen Asen cos

q q q q

q q q q

0

0

y

x y x xy

y xy

F

A Acos sen Acos cos

Asen cos Asen sen

q q q q

q q q q

2 2 2x x y xycos sen sen cos q q q q (1)

2 2x' y' x y xysen cos cos sen q q q q (2) Usando as seguintes relaes trigonomtricas em (1) e em (2):

2 2

2 2

2

sen sen cos

cos cos sen

q q q

q q q

2

2

1 22

1 22

cossen

coscos

qq

qq

1 - Anlise Tenses1.2 Transformao de tenso no plano

Obtemos:

Somando (3) e (4) membro a membro, temos:

A equao (4) obtida substituindo q em (3) por q + 90 e usando as seguintes relaes:

2 22 2

x y x yx xycos sen

q q

(3)

2 22 2

x y x yy xycos sen

q q

(4)

2 22

x yx y xysen cos

q q

(5)

2 180 2

2 180 2

sen sen

cos cos

q q

q q

x y' x y Para o Estado Plano de Tenso a soma das tenses normais que atuam no elemento de volume do material independente da orientao do elemento

1 - Anlise Tenses

As equaes (3) e (5) so equaes paramtricas de uma circunferncia. Isso significa que se escolhermos um sistema de eixos cartesianos ortogonais e representarmos um ponto M de abscissa x e ordenada xy para um dado valor de do parmetro q , todos os pontos assim obtidos pertencero a um circunferncia.

1.3 Tenses Principais

2 22 2

x y x yx xycos sen

q q

(3)

2 22

x yx y xysen cos

q q

(5)

Para obtermos o raio e o centro da circunferncia eliminamos q dessas equaes:2 2

2 22 2

x y x yx xycos sen

q q

Usando (3): (6)

2

22 2

2x y

x y xysen cos

q q

Usando (5): (7)

Somando (6) e (7): 2 2

2

2 2x y x y

x x' y' xy

1 - Anlise Tenses

Onde:

1.3 Tenses Principais

2x y

md

2

2

2x y

xyR

2 2

2

2 2x y x y

x x' y' xy

2 2 2x md x y R

Os pontos A e B correspondem aos valores mximo e mnimo da tenso normal, essas tenses so chamadas Tenses Normais Principais.

As tenses normais principais correspondem a uma tenso de cisalhamento zero. Igualando a equao (5) a zero obtemos os valores qp do parmetro q que correspondem ao ponto A e B. 2

2 xypx y

tg

q

(8)

mx md R

mn md R 2

2

2 2x y x y

mx,mn xy

keverton pcRealce

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses1.3 Tenses Principais A equao (8) define dois valores de 2qp

defasados em 180 e portanto define dois valores de qp defasados em 90

22 xyp

x ytg

q

(8)

Esses ngulos so utilizados para determinar a orientao do elemento correspondente (figura). Os planos que contm as faces do elemento obtido a partir desses ngulos so chamados Planos Principais de Tenso no ponto Q.

Para determinar qual dos dois planos corresponde ao valor da tenso normal mxima necessrio substituir o valor de qp nas equaes (3) ou (4).

Nenhuma tenso de cisalhamento atua nos planos principais.

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses

Pela figura observamos que a tenso de cisalhamento mxima ocorre nos pontos D e E, a abscissa desses pontos vale:

1.4 Tenso de cisalhamento mxima

2x y

md

Os valore de qc (ngulo correspondente a tenso de

cisalhamento) so obtidos fazendo-se

na equao (3):2

x yx'

2 22 2

x y x yx xycos sen

q q

2 2 0

2x y

xycos sen

q q

Logo:

22x y

cxy

tg

q

(9)

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses1.4 Tenso de cisalhamento mxima

E a tenso normal correspondente tenso de cisalhamento mxima a abscissa do centro da circunferncia:

22x y

cxy

tg

q

(9)

A equao (9) define dois valores de 2qcdefasados em 180 e portanto define dois valores de qc defasados em 90

Esses ngulos so utilizados para determinar a orientao do elemento correspondente a tenso de cisalhamento mxima, conforme observado na figura anterior a tenso de cisalhamento mxima corresponde ao raio da circunferncia.

2

2

2x y

mx xy

2x y

md'

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses1.4 Tenso de cisalhamento mxima

22x y

cxy

tg

q

(9)

Comparando as equao (8) e (9) notamos que:

22 xyp

x ytg

q

(8)

122c p

tgtg

qq

Isso significa que os ngulos 2qc e 2qp esto defasados em 90 e portanto, qc e qp esto defasados em 45 , logo:

Os planos de tenso de cisalhamento mxima esto defasados em 45 dos planos principais.

1 - Anlise TensesExemplo 01

Para o estado plano de tenso mostrado, determine:

a) Os planos principais

b) As tenses principais

c) A tenso de cisalhamento mxima e a tenso normal correspondente.

1 - Anlise Tenses1.5 Crculo de Mohr para estado plano de tenso

O Crculo de Mohr um mtodo grfico para determinar as tenses principais, os planos principais, assim como as tenses x, y e xy que atuam em uma direo x, yqualquer.

O mtodo est apresentado no exemplo a seguir

keverton pcRealce

keverton pcRealce

keverton pcRealce

1 - Anlise TensesExemplo 02 Crculo de Mohr

Para o estado plano de tenso mostrado, determine a partir do crculo de Mohr:

a) As tenses principais e os planos principais

b) As componentes de tenso exercida sobre o elemento obtido pela rotao do elemento dado no sentido anti-horrio de 30.

1 - Anlise Tenses1.6 Estado Geral de Tenso

Quando um ponto em um corpo est sujeito a um estado de tenso tridimensional, um elemento de material tem uma componente de tenso normal e duas componentes de tenso de cisalhamento que agem em cada uma de suas faces.

Assim como no estado plano de tenso possvel desenvolver, no estado tridimensional, equaes de transformao de tenso que podem ser usadas para determinar as componentes de tenso normal e de cisalhamento que agem em qualquer plano oblquo do elemento.

Tambm possvel determinar no ponto em estudo, a orientao exclusiva de um elemento sobre cujas as faces ajam somente tenses principais.

1 - Anlise Tenses1.6 Estado Geral de Tenso

As dedues das equaes de transformao de no caso geral de tenso feita pela Teoria da Elasticidade e no est no escopo desta disciplina.

Os eixos a, b e c so chamados eixos principais;

Os planos correspondentes so os planos principais de tenso;

As tenses correspondentes a, b e c so as tenses principais.

keverton pcRealce

keverton pcRealce

keverton pcRealce

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses

Considere que a orientao principal do elemento e as tenses principais (tenses triaxiais) so conhecidas.

Considere ainda que:

Se o elemento sofre uma rotao em torno de um dos eixos principais (eixo c por exemplo), a transformao correspondente poder ser analisada por meio do Crculo de Mohr como se fosse uma transformao no estado plano de tenso, pois a tenso c continuar normal ao plano

Podemos utilizar, portanto o crculo de dimetro AB para determinar as tenses, normal e de cisalhamento, que atuam nas faces do elemento quando ele sofre uma rotao em torno do eixo c.

1.7 Aplicao do Crculo de Mohr na anlise tridimensional da tenso

a b c

0

0a

b

A ;

B ;

keverton pcRealce

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses

Analogamente , podemos traar Crculo de Mohr quando o elemento sofre uma rotao em torno do eixo a

E o crculo de dimetro BC ser usado para determinar as tenses, que atuam nas faces do elemento quando ele sofre uma rotao em torno do eixo a.

1.7 Aplicao do Crculo de Mohr na anlise tridimensional da tenso

a b c

0

0b

c

B ;

C ;

Por fim traamos o Crculo de Mohr quando o elemento sofre uma rotao em torno do eixo b, e o crculo de dimetro AC ser usado para determinar as tenses, que atuam nas faces do elemento quando ele sofre uma rotao em torno do eixo b.

keverton pcRealce

keverton pcRealce

keverton pcRealce

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses

Embora nossa anlise tenha sido limitada a rotaes em torno dos eixos principais, qualquer outra transformao de eixos levaria a tenses representadas por um ponto dentro da rea hachurada. Portanto, se tivssemos usado as equaes da Teoria da elasticidade para obter as tenses, normal e de cisalhamento, que agem sobre qualquer plano oblquo arbitrrio no ponto Q, as tenses de cisalhamento t no plano assim determinadas sero sempre menores que t mx, abs. Alm disso, a tenso normal que age em qualquer plano tem um valor entre smx e smin.

1.7 Aplicao do Crculo de Mohr na anlise tridimensional da tenso

2mx min

mx,abs

A tenso de cisalhamento mxima absoluta definida pelo crculo de dimetro AC

A tenso normal associada ser o centro do crculo de dimetro AC

2mx min

med

keverton pcRealce

keverton pcRealce

keverton pcRealce

1 - Anlise Tenses1.8 Aplicao para o caso de tenso no plano

Esse resultados tem uma implicao importante para o caso de tenso no plano, em particular quando as tenses principais tm o mesmo sinal (ambas de trao ou compresso) Seja o estado de tenso representado, considere que:

0a b c 0 a b

Assim:

0 0 0 0a bA ; B ; C ;

Quando consideramos apenas as tenses no plano ab, a tenso de cisalhamento mxima

2a b

mx

Esse valor no a tenso de cisalhamento mxima absoluta qual o material est sujeito, sendo esta dada por:

2 2mx mn mx

mx

Tenso de cisalhamento mxima absoluta

1 - Anlise Tenses1.8 Aplicao para o caso de tenso no plano

No caso em que as tenses possuem sinais opostos, tem-se:

0a b c 0 a b

Assim:

0 0 0 0a bA ; B ; C ;

Nesse caso:

2mx mn

mx mx

mx a mn b c int